INTRODUCERE ÎN COMPRESIA DATELOR
|
|
- Άιμον Παχής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 INTRODUCERE ÎN COMPRESIA DATELOR Compresia datelor se ocupă cu reprezetarea iformaţiei îtr-o formă compactă. Acest lucru se realizează pri idetificarea şi extragerea redudaţei di date. Datele pot fi caractere ditr-u fişier text, umere ce reprezită eşatioae ale uor semale vocale sau de imagie etc. Exemple de compresie [2]: - codul Morse, care alocă literelor ce apar mai des î cuvite mai puţie seme (liie, puct) şi celor mai rare, mai multe seme; - alfabetul Braille, care foloseşte tablouri de pucte de dimesiui 2x3, î care puctele sut distribuite î fucţie de probabilităţile de apariţie a literelor î cuvite. Î aceste exemple de compresie s-a folosit structura statistică a cuvitelor, dar mai există şi alte caracteristici ale semalelor ce pot fi folosite î scopul realizării compresiei. Astfel, î timpul vorbirii, costrucţia fizică a cavităţii bucale dictează tipul de suete ce se produc, adică mecaica producerii vorbirii impue structura vorbirii, pri urmare, î loc de a trasmite vorbirea îsăşi, s-ar putea trasmite iformaţii cu privire la coformaţia cavităţii bucale, care ar putea fi folosite la recepţie petru a sitetiza vorbirea. Î acest ses, o catitate adecvată de iformaţie privid coformaţia cavităţii bucale poate fi reprezetată mai compact decât umerele ce reprezită eşatioaele semalului vocal. 1
2 Î compresie mai pot fi folosite caracteristicile utilizatorului datelor. De multe ori, câd se trasmit semale soore sau vizuale, acestea sut destiate percepţiei umae, dar oameii au posibilităţi de percepţie limitate. De exemplu, oameii u pot auzi frecveţe foarte îalte, pe care, îsă, uele aimale le pot percepe. Aşadar, u are rost a trasmite iformaţii ce u pot fi percepute, astfel îcât iformaţiile irelevate u mai trebuie trasmise. Cu toate că î ultimul timp capacitatea de stocare şi trasmitere a iformaţiei a crescut mult (de exemplu compact discul şi fibra optică), aceasta u răspude pe depli ceriţelor practice, motiv care justifică ecesitatea compresiei fişierelor de dimesiui mari ce trebuie stocate sau trasmise. Î cazul stocării, petru a creşte volumul de date ce poate fi stocat, cum este cazul fişierelor grafice, se folosesc metode care comprimă datele la stocare şi le decomprimă la redare. Î cazul trasmiterii, lăţimea de badă a semalelor digitale este foarte mare, î comparaţie cu a caalelor dispoibile, astfel îcât compresia datelor la emiţător este absolut ecesară petru a putea folosi caalul. La recepţie are loc operaţia de decompresie. De exemplu, semalul TV de îaltă defiiţie, HDTV, ecesită petru trasmiterea fără compresie aproximativ 884 Mbiţi/secudă. Petru a trasmite această catitate mare de iformaţie, ar fi ecesar u caal cu bada de cca. 220 MHz. Folosid compresia, este ecesar a trasmite mai puţi de 20 Mbiţi /sec, care, împreuă cu semalul audio, pot fi trasmişi îtr-o badă de 6 MHz. Tehici de compresie şi decompresie Tehicile sau algoritmii de compresie şi de decompresie cuprid doi algoritmi: uul care furizează reprezetarea X pe mai puţii biţi a 2 c
3 semalului de itrare X şi algoritmul de recostrucţie care operează asupra lui X c, petru a produce semalul recostruit ˆX. Schemele de compresie se împart î două clase: - compresie fără pierderi, câd X = Xˆ ; - compresie cu pierderi, câd X Xˆ. Î acest caz se realizează o compresie mai mare. Compresia fără pierderi După cum arată umele, aceasta u implică pierderea de iformaţie, datele iiţiale fiid refăcute exact di cele compresate. Această compresie se foloseşte de obicei petru semale discrete ca text, date geerate de calculator, uele tipuri de iformaţie video, deoarece refacerea exactă este eseţială î cazul textelor (sesul comuicării), uor imagii (imagistică petru diagostic), umere (comuicări bacare) etc. Compresia cu pierderi Compresia cu pierderi coduce la o rată de compresie superioară cu preţul pierderii de iformaţie, datele care au fost supuse compresiei eputâd fi refăcute exact. Această compresie este mai eficietă câd se aplică semalelor imagistice sau soore, caz î care pierderea de iformaţie di afara percepţiei vizuale sau auditive umae poate fi tolerată. Multe tehici de compresie cu pierderi pot fi ajustate la diferite ivele de calitate. Evidet, creşterea acurateţei semalului refăcut se obţie cu preţul uei compresii mai reduse. Volumul compresiei depide atât de mărimea redudaţei sursei, cât şi de eficieţa reducerii acesteia. 3
4 Evaluarea compresiei U algoritm de compresie poate fi evaluat î fucţie de: - ecesarul de memorie petru implemetarea algoritmului; - viteza algoritmului pe o aumită maşiă; - raportul de compresie; - calitatea recostrucţiei. De obicei, ultimele două criterii sut eseţiale î adoptarea algoritmului de compresie. Uzual, performaţele compresiei pot fi exprimate pri raportul de compresie şi rata de compresie. Raportul de compresie este raportul ditre umărul de biţi ecesar reprezetării datelor îaite şi după compresie. Rata de compresie reprezită umărul mediu de biţi ecesar reprezetării uui eşatio. Î compresia cu pierderi, versiuea recostruită diferă de variata origială şi, petru a determia eficieţa algoritmului de compresie, trebuie să existe mijloace de apreciere a difereţei ditre semalul origial şi cel recostruit. Difereţa ditre semalul origial şi cel recostruit se umeşte distorsiue. Tehicile de compresie cu pierderi se folosesc de obicei petru compresia semalelor aalogice, care se mai umesc forme de udă, motiv petru care compresia semalelor aalogice mai poartă deumirea de codarea formelor de udă. Î cazul codării semalelor video şi soore destiatarul este, de obicei, omul, al cărui răspus este dificil de apreciat, motiv petru care se folosesc măsuri aproximative de determiare a calităţii recostrucţiei. Alţi termei folosiţi î aprecierea difereţei ditre semalul origial şi cel refăcut este fidelitatea şi calitatea. Acestea sut cu atât 4
5 mai ridicate, cu cât difereţa ditre versiuea recostruită şi cea origială a sursei este mai mică. Modelare şi codare Ceriţele recostrucţiei sut cele ce impu dacă compresia este cu sau fără pierderi, schema exactă depizâd de u umăr de factori. Uii di cei mai importaţi sut impuşi de caracteristicile datelor destiate compresiei, de exemplu, o tehică de compresie poate fi eficietă petru compresia uui text, dar total ieficietă petru imagii. Fiecare aplicaţie prezită particularităţi specifice. Dezvoltarea algoritmilor de compresie petru o varietate de date cupride două faze: - prima fază se referă de obicei la modelare, câd se îcearcă extragerea iformaţiei despre orice redudaţă di date şi descrierea acesteia sub forma uui model; - a doua fază este codarea. Difereţa ditre date şi model se umeşte secveţă reziduală. Î cotiuare sut prezetate câteva exemple de modelare a datelor. Exemplul 1. Fie secveţa de eşatioae { x } = {9,11,11,11,14,13,15,17,16,17,20,21}, petru = 1,12. Dacă se doreşte a se trasmite sau stoca reprezetarea biară a acestor umere, ar fi ecesari 5 biţi/eşatio. U model sugerat de reprezetarea eşatioaelor secveţei, care ar ecesita mai puţii biţi, ar putea fi o dreaptă, descrisă de ecuaţia: xˆ = + 8; = 1, 2, 5
6 Î Fig. 1 s-au reprezetat eşatioaele secveţei. Fig. 1 Difereţa ditre date şi model, adică eroarea reziduală, este dată de secveţa: e ˆ = x x = {0,1,0, 1, 1, 1,0,1, 1, 1,1,1} Secveţa reziduală coţie umai trei valori, umerele { 1,0,1}, care pot fi codate cu 2 biţi, de exemplu: şi, pri urmare, se obţie compresia pri trasmiterea sau stocarea parametrilor modelului şi secveţa reziduală. 6
7 Exemplul 2. Fie secveţa x = {27, 28, 29, 28, 26, 27, 29, 28, 30, 32, 34, 36, 38}, cu reprezetarea di Fig. 2. Fig. 2 Se observă că secveţa u urmează o lege simplă, ca î cazul precedet, î schimb, fiecare valoare este apropiată de precedeta. Se presupue că se trasmite prima valoare, apoi se trasmite difereţa faţă de valoarea precedetă. Astfel, secveţa trasmisă ar fi: 1, 1, -1, -2, 1, 2, -1, 2, 2, 2, 2, 2. Petru trasmiterea acestei secveţe sut ecesare 4 umere {-1, 1, -2, 2}, care pot fi codate cu 2 biţi, după cum urmează:
8 La fel ca î cazul precedet, umărul valorilor disticte a fost redus, fiecare umăr fiid reprezetat pe u umăr mai mic de biţi, efectuâdu-se astfel compresia. Decodorul adaugă fiecare valoare recepţioată la valoarea precedetă decodată petru a obţie secveţa recostruită. Tehicile care folosesc valorile trecute ale secveţei petru a estima valoarea curetă şi apoi codează eroarea de predicţie sau reziduală se umesc predictive. Î cazul redudaţei de tip statistic, sursele geerează mesaje cu diferite probabilităţi, caz î care este avatajos a asiga coduri biare de lugimi diferite, diferitelor simboluri. Exemplul 3. Fie secveţa de mesaje m a r e a b/ e b/ t a a a r e b/ t a a a a r e b/ m a r e, tipică petru toate secveţele geerate de sursă. Se observă că secveţa este formată di şase mesaje diferite. Petru a reprezeta şase mesaje, sut ecesari 3 biţi/mesaj. Î loc de a proceda astfel, se poate folosi codul di Tabelul 1. Tabelul 1 a 1 e 000 r 001 b/ 010 m 0110 t 0111 Se observă că s-a atribuit cuvâtul cu u sigur bit mesajului care apare cel mai des si cel mai lug cuvât mesajului care apare cel mai rar. Cu acest cod rezultă 75 biţi petru îtreaga secveţă. Cum sut 8
9 27 mesaje î secveţă, rezultă că sut atribuiţi 2,7 biţi/mesaj. Aceasta îseamă u raport de compresie 1,08. Î cazul textelor, împreuă cu redudaţa statistică, există redudaţă î forma cuvitelor care se repetă mai des. Avatajul acestui tip de redudaţa costă î posibilitatea costruirii uei liste de cuvite şi apoi să se reprezite poziţia lor î listă. Acest tip de compresie se umeşte tehică de dicţioar. Adesea, structura sau redudaţa datelor devie mai evidetă, dacă se cosideră grupuri de mesaje. Prelimiarii matematice petru compresia fară pierderi Shao a defiit iformaţia ataşată uui eveimet A, care se produce cu probabilitatea pa, ( ) ca fiid [87] ia ( ) = log x pa ( ) (1) Cosideraţii asupra bazei logaritmului vor fi făcute ulterior. Cu alte cuvite, cu cât probabilitatea uui eveimet este mai mică, cu atât iformaţia adusă de acesta este mai mare, şi ivers. Caracterul subiectiv al uui eveimet este greu măsurabil, motiv petru care iformaţia asociată uui eveimet va fi măsurată matematic cu relaţia (1), ea fiid eliberată de caracterul său sematic. O altă proprietate a acestei defiiţii matematice a iformaţiei este că iformaţia obţiută la producerea a doua eveimete idepedete este suma iformaţiilor obţiute la producerea eveimetelor idividuale. iab ( ) = ia ( ) + ib ( ) (2) Uitatea de măsură a iformaţiei depide de baza logaritmului. Petru baza 2 uitatea de măsură se umeşte bit; baza e uitatea de măsură se umeşte at; 9
10 baza 10 uitatea de măsură se umeşte hartley. De obicei se foloseşte baza 2, care u este dispoibilă î calculator. Petru a folosi baza e cu care operează calculatoarele, se ţie cot că l x log 2 x =. l 2 Dacă se dispue de o mulţime de eveimete idepedete A i, care reprezită mulţimile realizărilor uui eveimet S, astfel îcât A i = S, (3) atuci iformaţia medie asociată eveimetului este dată de H = p( A) i( A) = p( A)log p( A) (4) i i i i x i i care se umeşte etropia asociată experimetului. Shao a arătat că dacă experimetul este o sursă care furizează mesajele A i ditr-o mulţime A, atuci etropia este o măsură a umărului mediu de simboluri biare ecesare codării ieşirii sursei. De asemeea, Shao a arătat că u algoritm de compresie fără pierderi optim poate coda mesajele sursei cu u umăr mediu de biţi, cel puţi egal cu etropia sursei [87]. Mulţimea mesajelor, umite şi mesaje, defieşte alfabetul sursei. Petru o sursă S cu alfabetul A = {1, 2, m} care geerează secveţa { x1, x2,, x }, etropia este [1], [34]: 1 H( S) = lim G (5) ude m m m G =... p( x = i, x = i,..., x = i )log p( x = i,.., x = i ) i = 1 i = 1 i =
11 Dacă fiecare elemet di secveţă este idepedet şi idetic distribuit, (i.i.d), rezultă atuci m ( 1 1)log ( 1 1) (6) i = 1 G = p x = i p x = i 1 Modelul statistic i.i.d. îseamă că variabilele aleatoare sut idepedete şi sut caracterizate de aceeaşi lege de repartiţie. Î acest caz etropia devie: m i i (7) i = 1 i = 1 HS ( ) = px ( = i)log px ( = i) = px ( )log px ( ) 1 1 Petru multe surse relaţiile (5) şi (7) u sut idetice. Petru a face deosebire ître ele, catitatea calculată cu (7) se umeşte etropia de ordiul îtâi a sursei, iar (5) etropia sursei. Î geeral, u este posibil a cuoaşte etropia uei surse fizice, aceasta trebuid estimată. Estimarea etropiei depide de presupuerile asupra statisticii sursei. Exemplul 4. Fie secveţa de eşatioae: {1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 9, 10} Petru această secveţă probabilităţile de apariţie petru fiecare umăr sut 1 p(1) = p(2) = p(7) = p(10) = 16 2 p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(8) = p(9) = 16 Presupuâd secveţa i.i.d., etropia sa este aceeaşi cu etropia de ordiul 1, dată de relaţia (7). 11
12 16 H( S) = pi ( )log pi ( ) = 3,25 biţi 1 Aceasta îseamă că cea mai buă schemă de codare petru această secveţă o poate coda la 3,25 biţi/mesaj. Dacă se presupue că există corelaţie ître mesajele sursei şi aceasta se îlătură, reţiâd umai difereţa ître valorile eşatioaelor vecie, se ajuge la secveţa reziduală: {1, 1, 1, -1, 1, 1, 1,-1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Această secveţă este costituită umai di două valori 1 şi 1, cu probabilităţile: 13 3 p (1) = şi p( 1) = Î acest caz etropia este 0,7 biţi /mesaj. Evidet, cuoscâd umai această secveţă u se va putea recostrui origialul. Receptorul trebuie să cuoască procesul pri care a fost geerată secveţa reziduală di cea origială. Procesul depide de presupuerile asupra redudaţei sau structurii secveţei. Aceste presupueri determiă modelul petru secveţă. Î exemplul cosiderat modelul este x = x + r 1 ude x este al -lea elemet al secveţei origiale şi r, al -lea elemet al secveţei reziduale. Acest model este static, deoarece rămâe ivariat, oricare ar fi. Modelul care se modifică odată cu se umeşte adaptiv. Exemplul 5. Fie următoarea secveţă: 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 2. 12
13 Evidet, î aceste date există o aumită redudaţă. Dacă se cosideră fiecare mesaj separat, este dificil de extras redudaţa di date. Petru acest caz, 1 1 p(1) = p(2) = ; p (3) = ; 4 2 rezultă H( S ) =1,5 biţi/mesaj. Secveţa coţie 20 de mesaje, deci î total sut ecesari 1,5 x 20 = 30 de biţi petru a reprezeta secveţa. Î cotiuare se cosideră secveţa observată î blocuri de lugime 2. Astfel, se observă că sut umai două mesaje 12 şi 33 cu probabilităţile: 1 1 p (12) = ; p (33) = ; 2 2 rezultâd H( S ) =1 bit /mesaj Cum î secveţă sut 10 astfel de grupe de două mesaje, rezultă u ecesar de 10 biţi petru a reprezeta îtreaga secveţă. Teoria spue că îtotdeaua se poate extrage redudaţa di date, pri cosiderarea blocurilor de date di ce î ce mai mari, dar î practică există limitări la această abordare. Petru a evita aceste limitări, se va îcerca obţierea uui model cât mai exact petru date şi să se codeze sursa coform modelului. Modele U model bu petru date coduce la algoritmi de compresie eficieţi. Petru a dezvolta algoritmi care efectuează operaţii matematice asupra datelor, acestea trebuie modelate matematic. 13
14 Modele fizice Dacă se cuoaşte ceva despre mecaismul de geerare a datelor, se poate folosi această iformaţie petru costruirea modelului. De exemplu, î aplicaţiile referitoare la vorbire, cuoaşterea mecaismului de producere a vorbirii poate fi folosit la costruirea uui model matematic petru procesul vorbirii eşatioate. Modele probabilistice Cel mai simplu model statistic petru sursă este de a presupue că fiecare mesaj furizat de sursă este idepedet de celelalte şi fiecare se produce cu aceeaşi probabilitate. Acesta este umit model de igoraţă si ar putea fi util câd u se cuoaşte imic despre sursă. Următorul pas î creşterea complexităţii modelului este de a păstra presupuerea asupra idepedeţei, dar de a îlătura presupuerea de probabilitate egală petru mesaje. Î acest caz se alocă fiecărui mesaj o probabilitate î fucţie de frecveţa de furizare a mesajului respectiv. Petru o sursă care geerează mesaje ditr-u alfabet S = { s1,..., s M } se poate folosi modelul de probabilitate P = { p( s1), p( s2),..., p( s M )} Cu acest model se poate calcula etropia sursei cu relaţia (7) şi pot fi costruite coduri eficiete petru reprezetarea mesajelor di S, adică se poate folosi u umăr mediu miim de biţi petru fiecare mesaj. Dacă se reuţă la presupuerea de idepedeţă, se pue problema găsirii uui mod de a descrie depedeţa datelor, aşa cum este î cazul modelelor Markov. 14
15 Modele Markov Uul ditre cele mai răspâdite moduri de reprezetare a depedeţei ître date este folosirea modelului Markov [49]. Petru modelarea datelor, î compresia fără pierderi se foloseşte u model particular umit laţ Markov discret. Fie { x } secveţa observată. Aceasta secveţă se zice că este u model Markov de ordi k, dacă: px ( x,... x,..) = px ( x,... x ), (8) 1 k 1 k adică simbolul x depide umai de ultimele k mesaje x,..., 1 x k Mulţimile { xi 1,..., xi k}, i =, 1,..., reprezită stările procesului. Dacă mărimea alfabetului sursei este l, umărul de stări este. k l. Cel mai des folosit model Markov este cel de ordiul 1, petru care: px ( x, x...) = px ( x ) (9) Relaţiile (8) şi (9) idică existeţa depedeţei ître eşatioae, dar modul î care a fost itrodusă această depedeţă u este explicit. Se pot dezvolta diferite modele de ordiul 1, î fucţie de presupuerile asupra modului de itroducere a depedeţei ître eşatioae. Dacă se presupue că depedeţa a fost itrodusă liiar, secveţa de date ar putea fi văzută ca ieşirea uui filtru liiar excitat cu zgomot alb. Ieşirea acestui filtru este dată de ecuaţia cu difereţe [36]: x = ρx 1 + w (10) ude w este zgomot alb. Acest model se foloseşte frecvet la dezvoltarea algoritmilor petru vorbire şi imagie. Folosirea modelului Markov u ecesită prezumţia de liiaritate. De exemplu, fie o imagie biară, care are umai două feluri de pixeli - albi şi egri. Se ştie că apariţia uui pixel alb la observarea următoare 15
16 depide î oarecare măsură dacă pixelul curet este alb sau egru. Pri urmare, se poate modela succesiuea de pixeli cu u laţ Markov. Defiid stările S a şi S corespuzătoare cazului câd pixelul curet este alb, respectiv egru, probabilităţile de traziţie pa ( / ) şi p ( / a ) şi probabilităţile fiecărei stări ps ( a ) şi ps ( ), modelul Markov poate fi reprezetat ca î Fig. 3. i= 1 Fig. 3 pa ( / a) = 1 p ( / a) k Î geeral, etropia uui proces cu M = l stări fiite, S i, este valoarea medie a etropiei fiecărei stări: M k H = p( Si) H( Si); M = l (11) l H( S ) = p( S S )log p( S S ); (12) i j i j i j= 1 ude ps ( S) este probabilitatea de trecere di starea i î starea j. j i Folosirea modelelor Markov î compresia textelor Modelele Markov sut utile î compresia textelor, deoarece probabiltatea de apariţie a uei litere este iflueţată de precedetele. Fie cuvâtul oritorig. Se presupue că s-a procesat deja oritori şi 16
17 urmează a se coda următoarea literă. Dacă u se ţie seama de cotext şi se tratează litera ca o surpriză, probabilitatea să apară litera g este relativ scăzută. Dacă se foloseşte u model Markov de ordiul Ι, probabilitatea să urmeze g creşte cosiderabil. Cu creşterea ordiului modelului Markov (de la la i, la ri ş.a.m.d.) probabilitatea literei g devie mai mare, ceea ce coduce la o etropie scăzută. Model de surse compuse Î multe aplicaţii u este potrivit a se folosi u sigur model petru a descrie sursa, caz î care se poate defii o sursă compusă, care poate fi văzută ca o combiaţie de diverse surse, di care ua este activă la u momet dat. Fiecare di acestea este descrisă de u model propriu. 17
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI
CAPITOLUL 2 CANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI 2.. Model ateatic de caal discret de trasisiui Î acest odel trebuie precizate ulţiile sibolurilor aplicate la itrarea caalului, ale sibolurilor recepţioate la
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME PROPUSE- SET4 Controlul interferenţei intersimbol. Criteriile lui Nyquist Transmisiuni codare corelativă.
PROBLEME PROPUSE- SE4 Cotrolul iterfereţei itersimbol. Criteriile lui Nyquist rasmisiui codare corelativă. Problema Fie modelul adoptat petru trasmisia î bada de bază cu repartizarea filtrării ître emiţător
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut
Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραModelare si simulare _Seminar 1 SEMINAR 1
SEMIAR. Experimet aleator U feome a carui evolutie difera semificativ atuci cad este repetat i aceleasi coditii se umeste experimet aleator. Specificarea experimetului aleator costa i stabilirea procedurii
Διαβάστε περισσότεραAplicatii ale marimilor medii in practica
Aplicatii ale marimilor medii i practica October 5, 2012 Aplicatii ale marimilor medii i practica Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραTEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραSisteme de conversie analog numerica
Sisteme de coversie aalog umerica CONVERTOARE ANALOG-NUMERICE I sistemele idustriale o mare parte di datele moitorizate sut de tip aalogic.i vedrea prelucrarii lor pri itermediul sistemelor digitale valorile
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότερα9. SONDAJUL STATISTIC
9. SODAJUL STATISTIC 9.. Cosideraţii geerale Creşterea ecesarului de iformaţii ce trebuie obţiute cu maximă operativitate a codus la extiderea utilizării sodajului statistic. Această expasiue a sodajului
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραŞiruri de tip Fibonacci
Şiruri de tip iboacci Sirul lui iboacci este o secveta de umere i care fiecare umar se obtie di suma precedetelor doua di sir. Astfel, primele 10 umere ale sirului lui iboacci sut: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραZgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)
Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα2. Metode de calcul pentru optimizarea fără restricţii
. Metode de calcul petru optimizarea fără restricţii Problemele de optimizare îtâlite î practică sut probleme cu restricţii, dar metodele de calcul petru optimizarea fără restricţii sut importate pri faptul
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραCURSUL AL II-LEA. 2. Indicatori statistici
. Idicatori statistici CURSUL AL II-LEA.. Serii de valori. Aşa cum s-a văzut î cursul aterior, ueori este ecesar să urmărim mai îtâi o sigură variabilă umerică di multitudiea de variabile îregistrate îtr-u
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραPRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Variabile aleatoare 6. Repartiţia şi desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare Caracteristica, variabila studiată di ştiiţele eperimetale se modelează
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραMădălina Roxana Buneci. Metode Numerice - aspecte teoretice şi practice
Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice - aspecte teoretice şi practice Editura Academica Brâcuşi Târgu-Jiu, 009 Mădălia Roxaa Bueci ISBN 978-973-44-89- Metode Numerice CUPRINS Prefaţă...7 I. Noţiui itroductive...9
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραCAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ
CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότερα