ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις των αποτελεσμάτων σύγκλισης και περατότητας του αλγορίθμου. Για το σκοπό αυτό υποθέσαμε ότι τα γραμμικά προβλήματα είναι μη εκφυλισμένα, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν δεσμοί στους υπολογισμούς των ελαχίστων λόγων. Μπορούμε να συμπεράνουμε εύκολα από τις προηγούμενες αποδείξεις ότι το πρόβλημα που θα αντιμετωπίσουμε προέρχεται από την ύπαρξη δεσμών στον προσδιορισμό της εξερχόμενης μεταβλητής. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι στην τρέχουσα επανάληψη υπάρχουν δεσμοί στον υπολογισμό της εξερχόμενης μεταβλητής και πιο συγκεκριμένα για τις γραμμές r, r 2,, r k οι αντίστοιχοι λόγοι είναι ίσοι με θ και θ θ 2. Επομένως οι δείκτες r, r 2,, r k ανήκουν όλοι στο τρέχον σύνολο Ι -. Μπορούμε να επιλέξουμε αυθαίρετα οποιονδήποτε απ' αυτούς τους δείκτες ώστε να προσδιορίσουμε την γραμμή περιστροφής. Ας πούμε ότι επιλέγουμε το δείκτη r. Θέτοντας στην επόμενη επανάληψη I {r } I όλες οι αποδείξεις του προηγούμενου κεφαλαίου μπορούν να επαναληφθούν ως έχουν στην περίπτωσή μας. Προσέξτε ότι, αν εφαρμόσουμε τον ΔΑΣΕΣ όπως περιγράφτηκε προηγούμενα το νέο σύνολο I δεν θα είναι ίσο με I - - {r }, αλλά με το σύνολο I - - {r, r 2,, r k }. Αυτό βεβαίως αμέσως δηλώνει ότι είναι πιθανόν

2 90 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων ο αλγόριθμος ΔΑΣΕΣ να μην εντοπίσει μια βέλτιστη λύση ακόμη και στην περίπτωση που το γραμμικό πρόβλημα είναι βέλτιστο. Επομένως μέχρι τώρα βλέπουμε ότι η σωστή υλοποίηση του ΔΑΣΕΣ ώστε να επιλύει και εκφυλισμένα προβλήματα οδηγεί στην ανανέωση των συνόλων I - και I + και όχι στον υπολογισμό τους στην αρχή κάθε επανάληψης με τη χρήση των τιμών των δεξιών μερών του tbleu Simplex. Πιο συγκεκριμένα τα σύνολα I και I + της επόμενης επανάληψης ανανεώνονται ως εξής α) Αν η γραμμή περιστροφής ανήκει στο Ι - τότε I Ι - - {r} I Ι + + {r} + β) Αν η γραμμή περιστροφής ανήκει στο Ι + τότε τα σύνολα Ι + και Ι - παραμένουν ίδια Βεβαίως υπάρχει ακόμη το πρόβλημα της κύκλωσης, δηλαδή στην περίπτωση εκφυλισμένων προβλημάτων αυθαίρετο σπάσιμο των δεσμών των ελαχίστων λόγων μπορεί να προκαλέσει κύκλωση του αλγόριθμου. Ως γνωστόν κατά την κύκλωση ενός αλγόριθμου υπάρχει μια ακολουθία διαδοχικών βάσεων η οποία επαναλαμβάνεται έπ' αόριστο κάνοντας τον αλγόριθμο να μη συγκλίνει. Το πρόβλημα αυτό που εμφανίζεται και σε άλλους αλγόριθμους έχει επιλυθεί με την ανάπτυξη κανόνων περιστροφής γνωστών ως κανόνων αντικύκλωσης του αλγορίθμου Simplex. Ένας από τους κανόνες ο οποίος αποτρέπει και τον ΔΑΣΕΣ να κάνει κύκλωση είναι ο κανόνας του Blnd (977). Όπως είναι γνωστό στον κανόνα του Blnd κατά το σπάσιμο των δεσμών επιλέγεται πάντοτε ο μικρότερος δείκτης. Ένας άλλος κανόνας αντικύκλωσης είναι ο λεξικογραφικός κανόνας, βλέπε Dntzig (963). Επειδή οι αποδείξεις αντικύκλωσης των παραπάνω κανόνων στον ΔΑΣΕΣ είναι όμοιες με προηγούμενες παρόμοιες αποδείξεις

3 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 9 παραλείπονται. Ο ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει τις αποδείξεις αυτές στις αναφορές Blnd (977), Anstreiher και Terlky (994), Pprrizos (993). Ένα υπολογιστικό μειονέκτημα του αλγορίθμου ΔΑΣΕΣ του προηγούμενου κεφαλαίου προέρχεται από τον υπολογισμό της m+ γραμμής του tbleu Simplex σε κάθε επανάληψη. Μπορούμε να υπολογίσουμε περισσότερο αποτελεσματικά την m+ γραμμή αν την ανανεώνουμε σε κάθε επανάληψη. Επειδή οι πράξεις της ανανέωσης του tbleu Simplex είναι γραμμικές, η ανανέωση της m+ γραμμής μπορεί να γίνει ως εξής α) Στις επαναλήψεις κατά τις οποίες r I + η m+ γραμμή ανανεώνεται όπως κάθε άλλη γραμμή του tbleu Simplex εκτός της γραμμής περιστροφής, αφού τα σύνολα I + και I - δεν αλλάζουν, η γραμμή περιστροφής r δεν ανήκει στο Ι - και οι πράξεις είναι γραμμικές. β) Όταν r I - η ανανέωση της γραμμής m+ δεν είναι προφανές πως θα γίνει αφού τα σύνολα Ι - και Ι + αλλάζουν στην επόμενη επανάληψη όπως περιγράψαμε προηγουμένως στην περίπτωση α). Για να δούμε τώρα πως μπορεί να γίνει ανανέωση της m+ γραμμής σκεφτόμαστε ως εξής. Πριν γίνει η περιστροφή αφαιρούμε από την m+ γραμμή τη γραμμή περιστροφής και μετά ανανεώνουμε την νέα m+ γραμμή. Τότε το στοιχείο είναι ίσο με μηδέν, αφού όλα τα στοιχεία της στήλης s εκτός αυτού â m +,s της γραμμής r είναι ίσα με μηδέν. Όμως στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε ανανεώνοντας την m+ γραμμή όπως ακριβώς ανανεώνονται και οι υπόλοιπες γραμμές του tbleu Simplex. Αποδείχτηκε επομένως το επόμενο αποτέλεσμα.

4 92 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Θεώρημα 4. Η ανανέωση της m+ γραμμής του tbleu Simplex γίνεται σε κάθε τύπο περιστροφής (Α ή Β) όπως γίνεται η ανανέωση κάθε άλλης γραμμής, i 0,, 2,, m (εκτός της r). Παράδειγμα 4.. Δίνεται το επαυξημένο tbleu Simplex ενός γραμμικού προβλήματος που προκύπτει από το βήμα α, στην η επανάληψη του αλγόριθμου ΔΑΣΕΣ. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ x x x x Να ολοκληρωθεί η επανάληψη με εφαρμογή της ανανέωσης της m+ γραμμής του επόμενου tbleu Simplex. Λύση Θα συνεχίσουμε την επανάληψη του ΔΑΣΕΣ από το βήμα β. Άρα έχουμε

5 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 93 Βήμα β: Από τη σχέση (3.2.4) βρίσκουμε J - {2, 3, 4}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου min,, Άρα s 4 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ x x x x Βήμα 2: Από τη σχέση (3.2.6) έχουμε Ι + {2, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ b 4 2 min, θ b 3 2 min, Επειδή θ 2 < θ θέτουμε r 4. Άρα η βασική μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 44 2 και προκύπτει το επόμενο επαυξημένο tbleu Simplex, όπου η m+ γραμμή

6 94 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων. προκύπτει με ανανέωση όπως περιγράφεται παραπάνω στην περίπτωση β) με r Ι +. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ /2 3 x x x /2 - x / /2-3 Πράγματι, αν προσθέσουμε την η και 3 η γραμμή του παραπάνω tbleu Simplex προκύπτει η γραμμή m+ όπως αυτή ανανεώθηκε προηγούμενα. Άρα μπορούμε να ανανεώνουμε και την m+ γραμμή όπως τις άλλες γραμμές όταν r Ι + αντί να υπολογίζεται σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3). Θα δούμε επίσης με το επόμενο παράδειγμα πως γίνεται η ανανέωση της m+ γραμμής αν r Ι -. Παράδειγμα 4..2 Να γίνει μια επανάληψη του αλγόριθμου ΔΑΣΕΣ με σημείο εκκίνησης το τελευταίο tbleu Simplex, όπως αυτό προέκυψε από το προηγούμενο παράδειγμα. Λύση Θα συνεχίσουμε την επανάληψη του ΔΑΣΕΣ από το βήμα β. Άρα έχουμε

7 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 95 Βήμα β: Από τη σχέση (3.2.4) βρίσκουμε J - {3}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου min Άρα s 3 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ /2 3 x x x /2 - x / /2-3 Βήμα 2: Από τη σχέση (3.2.6) έχουμε Ι + {2, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ b 2 min, θ b min Επειδή θ θ 2 θέτουμε r 3. Άρα η βασική μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση.

8 96 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο και προκύπτει το επόμενο επαυξημένο tbleu Simplex, όπου η m+ γραμμή προκύπτει με ανανέωση όπως περιγράφεται παραπάνω. 33 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ x /2 - x /2 2 x /2 x /2 - Πράγματι, από την η γραμμή του παραπάνω tbleu Simplex προκύπτει η γραμμή m+ όπως αυτή ανανεώθηκε προηγούμενα. Άρα μπορούμε να ανανεώνουμε και την m+ γραμμή όπως τις άλλες γραμμές όταν r Ι - αντί να υπολογίζεται σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3). Συνοψίζοντας τα παραπάνω μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η βηματική περιγραφή του ΔΑΣΕΣ μπορεί κάλλιστα να είναι η παρακάτω. Σ' αυτή την περιγραφή δεν προσδιορίζουμε τον αντικυκλωτικό κανόνα περιστροφής στο σπάσιμο των δεσμών. Βηματική περιγραφή Αλγορίθμου ΔΑΣΕΣ για εκφυλισμένα προβλήματα Βήμα 0: Ξεκίνα με μια δυϊκά εφικτή βάση και κατασκεύασε το αρχικό tbleu Simplex ( A, b). Προσδιόρισε το σύνολο δεικτών Ι - από τη σχέση (3.2.) και θέσε I + {, 2,, m} - I -. Αν I - υπολόγισε την m+ γραμμή με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3).

9 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 97 Βήμα : α) (Έλεγχος τερματισμών) Αν Ι -, TΕΛΟΣ (η παρούσα λύση είναι βέλτιστη). β) (Έλεγχος μη εφικτότητας) Προσδιόρισε το σύνολο των δεικτών J - από τη σχέση (3.2.4). Αν J - ΤΕΛΟΣ (το πρόβλημα P είναι αδύνατο). Διαφορετικά προσδιόρισε το δείκτη s από τη σχέση (3.2.5). Η μη βασική μεταβλητή x s εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: (Περιστροφή) Προσδιόρισε τις ποσότητες θ και θ 2 από τις σχέσεις (3.2.7) και (3.2.8) αντίστοιχα. α) Αν θ θ 2, θέσε r k. β) Αν θ 2 < θ, θέσε r l. Η βασική μεταβλητή x B(r) εξέρχεται από τη βάση. Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs Aν θ θ 2 τότε θέσε και Ι + Ι + + {r} και Ι - Ι - - {r} Πήγαινε στο βήμα. Θα διευκρινίσουμε τώρα τον αλγόριθμο με το παρακάτω παράδειγμα το οποίο είναι εκφυλισμένο. Παράδειγμα 4..3 Στο παρακάτω γραμμικό πρόβλημα θα εφαρμόσουμε τον ΔΑΣΕΣ για εκφυλισμένα προβλήματα.

10 98 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων min 4x + 3x 2 + 4x 3 + 4x 4 μ.π x + x 2 + 2x 3 - x 4 + x 5 4-4x - 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 + x 6 4-5x - 2x 2 + 2x 3 - x 4 + x x 2 + 4x 3 + 4x 4 + x 8-8 4x - 2x 2-5x 3 + 3x 4 + x 9-8 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 Λύση Επανάληψη Βήμα 0: Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ x x x x x Υπολογίζουμε το σύνολο Ι - {3, 4, 5} και θέτουμε Ι + {, 2, 3, 4, 5}- Ι - {, 2}. Επειδή I - κατασκευάζουμε το επαυξημένο tbleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3)

11 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 99 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ x x x x x Βήμα : α) Επειδή I - η παρούσα λύση δεν είναι βέλτιστη β) Βρίσκουμε J - {, 2}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου min, Άρα s 2 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες b min,, 4 3 θ b 4 min 4 θ 2 2 Επειδή θ θ 2 θέτουμε r 3. Άρα η βασική μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 32 2 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex.

12 00 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. 7/ / / x 5-3/ /2 0 / x 6 7/2 0 2 /2 0-3/ x 2 5/2 - / / x x Θέτουμε Ι + Ι + + {r} {, 2, 3} και Ι - Ι - - {r} {4, 5} Πηγαίνουμε στο βήμα. Επανάληψη 2 Βήμα : α) Επειδή I - η παρούσα λύση δεν είναι βέλτιστη β) Βρίσκουμε J - {3, 7}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου /2 3 min, Άρα s 7 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 7 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες b 0 0 min, 0 4 θ 47 b 0 min 0 θ 2 7 /2

13 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 0 Επειδή θ θ 2 θέτουμε r 4. Άρα η βασική μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 47 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ /2 0 2 x /2 0 0 x /2 0 6 x /2 0 4 x x Θέτουμε Ι + Ι + + {r} {, 2, 3, 4} και Ι - Ι - - {r} {5} Η περιστροφή καταλήγει σε βέλτιστο tbleu. Παρότι είναι Ι -. Μπορούμε να κάνουμε ακόμα μια περιστροφή στη γραμμή 5. Το νέο tbleu θα είναι επίσης βέλτιστο. Τώρα θα σταματήσει ο αλγόριθμος επειδή τώρα έχουμε Ι Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Είδαμε ότι ο ΔΑΣΕΣ μπορεί να εφαρμοστεί αμέσως σε ένα γραμμικό πρόβλημα για το οποίο έχουμε στη διάθεσή μας μια βάση Β που είναι δυϊκώς εφικτή, δηλαδή στα πρωτεύοντα προβλήματα ελαχιστοποίησης και στο αρχικό tbleu Simplex που αντιστοιχεί στη βάση Β είναι 0j 0, για j, 2,, n.

14 02 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σε ένα γενικό γ.π. η παραπάνω συνθήκη είναι δυνατό να μην ισχύει για μερικές τιμές του j. Σ' αυτή την περίπτωση μπορούμε να εφαρμόσουμε μια μέθοδο μεγάλου Μ παρόμοια μ' αυτή του δυϊκού αλγορίθμου Simpex. Πιο συγκεκριμένα στο αρχικό μας πρόβλημα το οποίο υπενθυμίζουμε ότι είναι στην ισοτική μορφή min {c T x : Ax b, x 0} όπου x, c R n, b R n, A R mxn, και Τ δηλώνει αναστροφή, εισάγουμε ένα περιορισμό της μορφής n j m+,jx j + x n+ M όπου Μ είναι ένας πάρα πολύ μεγάλος θετικός αριθμός. Θα ονομάζουμε τον παραπάνω περιορισμό "τεχνητό". Επομένως το πρόβλημα του μεγάλου Μ στο οποίο θα εφαρμοστεί ο ΔΑΣΕΣ θα έχει τη μορφή min z c T x μ.π. Ax b n+. x + x n+ M x 0, x n+ 0 στο οποίο η μεταβλητή x n+ είναι η τεχνητή μεταβλητή. Είναι γνωστό ότι το μέγεθος του αριθμού Μ μπορεί να προσδιοριστεί από τα δεδομένα του προβλήματος. Στην πράξη όμως χρησιμοποιούνται τιμές Μ Στις περιγραφές μας δεν θα προσδιορίζουμε την τιμή του Μ, αλλά τιμές του Μ μπορούν να δίνονται όταν ο αλγόριθμος υλοποιείται σε Η/Υ. Οι τιμές των m+ j μπορεί να είναι οι παρακάτω

15 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 03 m + j 0, αν, αν 0j 0j 0 > 0 Προσέξτε ότι οι δείκτες j για τους οποίους είναι m+ j είναι μη βασικοί δείκτες. Ο ΔΑΣΕΣ μπορεί να εφαρμοστεί στο πρόβλημα του μεγάλου Μ ως εξής. Πρώτα υπολογίζουμε το tbleu Simplex που αντιστοιχεί στη βάση Β και στο αρχικό μας πρόβλημα. Το tbleu αυτό όπως ήδη γνωρίζουμε έχει m+ γραμμές που αριθμούνται 0,, 2,, m, όπου η μηδενική γραμμή αντιστοιχεί στη γραμμή κόστους, και n+ στήλες, όπου η στήλη n+ αντιστοιχεί στο δεξιό μέρος. Στο tbleu αυτό εισάγουμε μια νέα στήλη που θα αντιστοιχεί στην τεχνητή μεταβλητή, x n+ και θα τοποθετηθεί ανάμεσα στην n και στην παλιά n+ στήλη. Άρα τώρα το δεξιό μέρος αναγράφεται στην n+2 στήλη. Προφανώς οι συντελεστές της τρέχουσας στήλης n+ είναι όλοι ίσοι με μηδέν. Στο σημείο αυτό εισάγουμε τους συντελεστές του τεχνητού περιορισμού στο κάτω μέρος του τρέχοντος tbleu, δηλαδή στη γραμμή m+. Υπενθυμίζουμε ότι η αρίθμηση των γραμμών του tbleu είναι 0,, 2,, m, m+ και επομένως το tbleu αποτελείται από m+2 γραμμές. Παράδειγμα 4.2. Δίνεται το γραμμικό πρόβλημα min -7x - 3x 2-4x 3-2x 4 μ.π 4x - x 2 + 4x 3 + 6x 4 + x 5-3 -x + 3x 2-2x 3 + x 4 + x 6 6 3x - x 2 + x 3 + 5x 4 + x 7-9 5x - 2x 2 - x 3-3x 4 + x 8-7 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0

16 04 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Να υπολογιστεί το πρόβλημα του μεγάλου Μ για τον ΔΑΣΕΣ. Λύση Αν κατασκευάσουμε το αρχικό tbleu Simplex θα παρατηρήσουμε ότι δεν υπάρχει στη διάθεσή μας μια βάση Β που να είναι δυϊκώς εφικτή στο παραπάνω γραμμικό πρόβλημα, δηλαδή δεν υπάρχει 0j 0, για j, 2,, n. Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του μεγάλου Μ στο παραπάνω γραμμικό πρόβλημα. Εισάγουμε τον τεχνητό περιορισμό x + x 2 + x 3 + x 4 + x σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν προηγούμενα και το πρόβλημα του μεγάλου M θα έχει την παρακάτω μορφή min -7x - 3x 2-4x 3-2x 4 μ.π 4x - x 2 + 4x 3 + 6x 4 + x 5-3 -x + 3x 2-2x 3 + x 4 + x 6 6 3x - x 2 + x 3 + 5x 4 + x 7-9 5x - 2x 2 - x 3-3x 4 + x 8-7 x + x 2 + x 3 + x 4 + x x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 Μένει τώρα να κατασκευάσουμε την πρώτη βασική λύση του προβλήματος του μεγάλου Μ η οποία θα είναι δυϊκώς εφικτή ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος ΔΑΣΕΣ. Πρώτα επεκτείνουμε την τρέχουσα βάση εισάγοντας το δείκτη n+ της τεχνητής μεταβλητής. Μετά προσδιορίζουμε τη στήλη s, όπου s προσδιορίζεται από τη σχέση

17 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 05 0s mx { 0j : j μη βασικό } Επειδή η βάση Β δεν είναι δυϊκώς εφικτή στο αρχικό πρόβλημα μπορούμε εύκολα να δούμε ότι είναι 0s > 0 (και στο αρχικό και στο πρόβλημα του μεγάλου Μ). Κάνουμε τώρα μια περιστροφή, στην οποία γραμμή περιστροφής είναι η m+ γραμμή, δηλαδή αυτή που αντιστοιχεί στον τεχνητό περιορισμό και στήλη περιστροφής είναι η στήλη s. Αν δηλώσουμε με ij τα στοιχεία του νέου tbleu Simplex βλέπουμε ότι για τα στοιχεία της γραμμής κόστους έχουμε τις σχέσεις 0 j 0j 0s, για j n τέτοιο ώστε m+ j 0 j 0j, για j n τέτοιο ώστε m+ j n Για j n τέτοιο ώστε m+ j 0 είναι 0j 0 και επομένως 0 j 0. Για j n τέτοιο ώστε m+ j είναι 0j > 0. Όμως λόγω της επιλογής του δείκτη s έχουμε 0 < 0j 0s και επομένως 0 j 0j 0s 0. Επομένως για όλους τους δείκτες j, 2,, n, n+ είναι 0 j 0 και άρα η νέα βάση είναι δυϊκώς εφικτή. Επειδή στο προηγούμενο tbleu Simplex η βάση είναι το σύνολο των δεικτών B {n+}, εξερχόμενη βασική μεταβλητή είναι η x n+ και εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x s, η νέα βάση είναι το σύνολο των δεικτών B {s} Τώρα μπορούμε στο τρέχον tbleu να εφαρμόσουμε τον ΔΑΣΕΣ.

18 06 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Όσον αφορά τώρα στην επίλυση του αρχικού προβλήματος ισχύουν τα αποτελέσματα του παρακάτω θεωρήματος. Θεώρημα 4.2. Έστω ότι ο ΔΑΣΕΣ εφαρμόζεται στο πρόβλημα του μεγάλου Μ. Συμβολίζουμε με 0j τα στοιχεία του τελευταίου tbleu. α) Αν το πρόβλημα του μεγάλου Μ είναι βέλτιστο και σε μια βέλτιστη λύση του (αυτή που υπολόγισε ο ΔΑΣΕΣ) είναι 0n+ 0 τότε το αρχικό πρόβλημα είναι επίσης βέλτιστο. Αν είναι 0n+ < 0 το αρχικό πρόβλημα είναι απεριόριστο. β) Αν το πρόβλημα του μεγάλου Μ είναι αδύνατο τότε και το αρχικό πρόβλημα είναι αδύνατο. Μια απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος μπορεί κάποιος να βρεί στην αναφορά Pprrizos (2005). Το θεώρημα αυτό ισχύει και για τον ΔΑΣΕΣ επειδή στην περίπτωση που το πρόβλημα του μεγάλου Μ είναι βέλτιστο είναι 0j 0, βλέπε απόδειξη στην αναφορά Pprrizos (2005). Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τις παραπάνω διαδικασίες με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα Στο πρόβλημα του μεγάλου Μ του παραδείγματος 4.2. να προσδιοριστεί η πρώτη δυϊκώς εφικτή βασική λύση ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος ΔΑΣΕΣ. Λύση Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex για το πρόβλημα του μεγάλου Μ όπως αυτό προσδιορίστηκε στο προηγούμενο παράδειγμα.

19 Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 07 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ x x x x x Επειδή η αρχική βάση Β δεν είναι δυϊκώς εφικτή στο πρόβλημα του μεγάλου Μ προσδιορίζουμε τη στήλη περιστροφής, δηλαδή 0 mx{7, 3, 4, 2} 7 και επομένως η στήλη περιστροφής είναι s. Γραμμή περιστροφής είναι η r 6, δηλαδή αυτή που αντιστοιχεί στον τεχνητό περιορισμό. Κάνουμε περιστροφή σύμφωνα με τις σχέσεις που περιγράφηκαν παραπάνω και έχουμε το επόμενο tbleu Simplex. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ x x x x x Από το παραπάνω tbleu Simplex είναι φανερό τώρα, ότι έχουμε έτοιμη στη διάθεσή μας, μια πρώτη βάση που είναι δυϊκώς εφικτή, δηλαδή τη βάση Β [ 5, 6, 7, 8, ]

20 08 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Άρα μπορούμε στη συνέχεια να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο ΔΑΣΕΣ στο τρέχον tbleu Simplex. Από τη λύση του προβλήματος του μεγάλου Μ και σύμφωνα με το θεώρημα 4.2. προκύπτει η λύση του αρχικού γραμμικού προβλήματος όπως δόθηκε στο παράδειγμα 4.2..

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 5.1 Εισαγωγή Μια υπολογιστική μελέτη (computational study) αποτελεί ένα μέσο σύγκρισης δυο ή περισσότερων αλγορίθμων ώστε να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής

Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής Κεφάλαιο 3: Εισαγωγή στους αλγορίθμους - διαγράμματα ροής Αλγόριθμος (algorithm) λέγεται μία πεπερασμένη διαδικασία καλά ορισμένων βημάτων που ακολουθείται για τη λύση ενός προβλήματος. Το διάγραμμα ροής

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα