11-р ангийн математикийн хөтөлбөр. 2-р хувилбар (2012/08/05)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "11-р ангийн математикийн хөтөлбөр. 2-р хувилбар (2012/08/05)"

Transcript

1 11-р ангийн математикийн хөтөлбөр -р хувилбар (01/08/05)

2 Танилцуулга 11, 1 дугаар ангийн хөтөлбөр боловсруулах ажил болон сургалтын үеэр энэхүү материалыг ашиглана.

3

4

5 11 дүгээр ангийн Математик Хөтөлбөрийн зорилго Энэхүү хөтөлбөрийн зорилго нь бүх сурагчдад тэгш хамааралтай болно. Зорилгуудыг 11 ба 1 дугаар ангийн Математикийн хичээлийн нэгж хичээлд суурилсан болно. Зорилтууд тодорхой дэс дараалалтай бус жагсаав. Сурагчид: Тэдгээрийн математикийн мэдлэг ба ур чадваруудыг хөгжүүлэхдээ итгэлтэй байхыг зөвлөх ба сэтгэл ханамж ба дур сонирхлыг хангах ёстой. Математикийн зарчмуудын ойлголтыг хөгжүүлэх ба математикийг логик ба уялдаатай холбоотой хичээл гэж үнэлэх Төрөл бүрийн математикийн ур чадваруудын эзэмших, ялангуяа өдөр тутмын амьдралын хэрэгцээнд хэрэглэх ба өөрсдийн судалж байгаа бусад хичээлд ашиглах Асуудлуудад логик дүн шинжилгээ хийх чадвараа хөгжүүлэх, хэзээ ба ямар тохиолдлыг математикаар илэрхийлж болох, зайлшгүй тохиолдолд харгалзах хүчин зүйлүүдийг хөрвүүлэх, асуудлыг шийдэх математикийн аргыг сонгох Математикийг зарим тохиолдолд харилцааны хэрэглүүр болгон хэрэглэх Математикийн үндсэн мэдлэгийг эзэмшихдээ цаашид түүнтэй холбоотой бусад хичээлд ашиглаж сурах Хөтөлбөрийн агуулга Хөтөлбөрийн агуулгыг нэгж хичээл бүрээг доорх схемд нарийвчлан оруулав. Хичээлийг өгсөн дэс дарааллын дагуу заавал заах шаардлагагүй. Сурагчид холбогдох аргыг эзэмших чадвартай болсоноор, сурсан мэдлэгээ ашиглаж, асуудлыг шийдвэрлэнэ. Асуултууд нь хэд хэдэн нэгж хичээлийн хүрээнд эзэмших аргуудаас бүрдэнэ. 10 дугаар ангийн Математик нь бүх нэгж хичээлийг суурь болно. Сурагчид нийлмэл нэгжийг хувиргаж сурна. Жишээлбэл, 5 m s 1 ыг 5 метр/секунд.

6 Нэгж ОМ1: Онолын математик 1 Нэгж код Шаардлагатай Байва л зохих хасах Тайлб ар Сэдэв 1. ОМ1 1.1 Квадрат тэгшитгэл ax bx c квадрат гурван гишүүнтийг бүтэн квадрат ялгах, түүнийг ашиглан асуудал шийдвэрлэх, тухайлбал, ax bx c функцийн графикийн оройг тодорхойлох, графикийг тоймлон зурах ax bx c квадрат гурван гишүүнтийн дискриминантийг олох, түүнийг хэрэглэх, ОМ1 1.. ax bx c = 0 тухайлбал, квадрат тэгшитгэлийн бодит тоон шийдийн тоог тодорхойлох Нэг үл мэдэгдэгчтэй квадрат тэгшитгэл, ОМ шугаман болон квадрат тэнцэтгэл биш бодох Шугаман ба квадрат тэгшитгэлээс тогтох ОМ тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар бодох ОМ Сэдэв. Квадрат тэгшитгэлд шилжих тэгшитгэлийг таних, бодох, тухайлбал, Функц x 4 5x 4 = 0 ОМ1.1 Функцийн тодорхойлогдох муж, утгын муж, харилцан нэгэн утгатай функц, урвуу функц, давхар функц (композици)-ийн ухагдахуунуудыг ойлгох Өгсөн функцийн утгын мужийг олох ОМ1.. (энгийн тохиолдолд), өгсөн хоёр функцийн композицийг олох Өгсөн функц нь харилцан нэгэн утгатай ОМ1 эсэхийг тодорхойлох, харилцан нэгэн.3. утгатай функцийн урвууг олох (энгийн тохиолдолд) Харилцан нэгэн утгатай функц ба түүний ОМ1.4. урвуу функцийн хоорондын хамаарлыг графикаар дүрслэх Сэдэв 3. Координатын геометр

7 ОМ1 3.1 Хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүдийн координат өгсөн үед түүний урт, налалт, дундаж цэгийг олох Өгсөн нөхцлийг ашиглан шулууны ОМ1 тэгшитгэлийг олох, тухайлбал, түүний 3.. хоёр цэгийн координат эсвэл нэг цэг ба налалт өгсөн үед Параллель, перпендикуляр шулуунуудын ОМ налалтын хоорондын хамаарлыг ойлгох, хэрэглэх Шулууны тэгшитгэл тайлбарлах, y = mx c ОМ хэрэглэх, тухайлбал, ба y y1 = m( x x1 ) хэлбэрийн хувьд График ба түүний алгебрийн тэгшитгэл хоорондын хамаарлыг ойлгох, тэгшитгэлүүдийн шийдүүд ба түүний ОМ графикийн огтлолцлын цэгүүдийн хоорондын хамаарлыг хэрэглэх (энгийн тохолдолд, муруй ба шүргэгч шулуун эсвэл тэгшитгэлийн язгуурын хувьд) Сэдэв 4. ОМ1 4.1 ОМ1 4.. Сэдэв 5. ОМ1 5.1 ОМ1 5.. ОМ Радиан хэмжээс Өнцгийн радиан хэмжээсийг ойлгох, радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын холбоог ашиглаж сурах Тойргийн нумын урт ба дугуйн секторын талбайтай холбоотой бодлогыг 1 s = rθ, A = r θ Тригонометр томьёо ашиглан бодох Синус, косинус, тангенс функцийн графикийг тоймлон зурах, хэрэглэх (өнцгийн хэмжээг градусан эсвэл радиан өгсөн үед) 30 0, 45 0, ын өнцгийн синус, косинус, тангенсын утгыг ашиглан холбогдох 3 cos150 = утгуудыг олох, тухайлбал, Тригонометрийн урвуу функцийг тэмдэглэх sin = arcsin, cos = arccos,tg = arctg тэмдэглэх хэрэглэх

8 sinθ tgθ ОМ cosθ sin θ cos θ = 1 ба адилтгалуудыг хэрэглэх Хялбар тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх ОМ шийдийг өгсөн завсарт олох (шийдийн ерөнхий хэлбэрийг оролцуулахгүй) Сэдэв 6. Вектор Векторын стандарт тэмдэглэгээг ОМ1 6.1 хэрэглэх, ө.х. ОМ1 6.. ОМ1 ОМ ОМ Сэдэв 7. uuur r ( x, y), xi yj, ( x, y, z), xi yj zk, AB, a Векторуудын нийлбэр, ялгавар ба скаляр үржвэрийг олох, тэдгээр үйлдлийн геометр ухагдахууныг тайлбарлах Нэгж векторууд, векторын шилжилт ба векторын харилцан байршлыг хэрэглэх Векторын урт, хоёр векторын скаляр үржвэрийг тооцоолох Хоёр векторын хоорондох өнцгийг олохдоо скаляр үржвэр ашиглах, векторын перпендикуляр чанартай холбоотой бодлогыг скаляр үржвэр ашиглан бодох Дараалал ( a b) n задаргааг хэрэглэх, энд k C n ОМ1 7.1 эерэг бүхэл тоо (энд ба тэмдэглэх мэдэх ёстой, харин хамгийн их утгатай гишүүн, коэффициентүүдийн чанарын тухай авч үзэх шаардлагагүй) ОМ1 7.. Арифметик ба геометр прогрессийг таних n Арифметик ба геометр прогрессын -р ОМ гишүүний томьёо, эхний гишүүний нийлбэрийг олох томьёо ашиглан асуудал шийдвэрлэх Геометр прогрессийн нийлэлтиййн ОМ нөхцөл, нийлдэг геометр прогрессийн төгсгөлгүй нийлбэрийн томьёог хэрэглэх Сэдэв 8. Дифференциал ОМ1 8.1 Муруйн налалтын санааг ойлгох, n n! n -

9 ОМ1 8.. ОМ ОМ Сэдэв 9. ОМ1 9.1 ОМ1 9.. ОМ ОМ dy f '( x), f "( x),, dx dx хэрэглэх x n d y тэмдэглэгээг функцийн уламжлалыг тооцоолох ( рационал тоо), функцийн нийлбэр, ялгавар, тогтмол үржигдэхүүн, давхар функцийн уламжлалыг олох n - Өнцгийн коэффициент, шүргэгч, нормаль, функцийн өсөх, буурах завсар, хурдны өөрчлөлтөд дифференциалыг ашиглах Экстремум цэг олох, графикийн тойм зураг зурахад экстремум цэгийн мэдээллийг ашиглах Интеграл Интеграл нь дифференциалын урвуу үйлдэл болохыг ойлгох, ( ax b) n n 1 функцийг интегралчлах (энд рационал тоо), интегралын чанаруудыг хэрэглэх (тогтмол үржигдэхүүн, нийлбэр, ялгавар) Интегралын тогтмолыг үнэлэхтэй холбоотой бодлого бодох, тухайлбал, dy x 1 dx = (1, ) ба цэгийг дайрсан муруйн тэгшитгэл олох Тодорхой интеграл бодох (энгийн тохиолдолд) Тодорхой интеграл ашиглан олох. Үүнд: Муруй ба тэнхлэгүүдтэй параллель шулуунуудаар хашигдсан дүрс, хоёр муруйгаар хашигдсан дүрсийн талбай Муруйг аль нэг тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох Нэгж МC1: Магадлалын онол ба статистик 1

10 Нэгж код Сэдэв 1. Өгөгдлийн дүрслэл МС1 Анхдагч статистик өгөгдлүүдийг дүрслэх тохиромжтой хэлбэрийг сонгох, 1.1. зарим хэлбэрийн давуу болон дутагдалтай талуудыг тайлбарлах МС1 Иш навчны диаграм, сахалтай хайрцагны диаграм, гистограм, 1.. хуримтлагдсан давтамжийн графикийг тайлбарлах, байгуулах Төвийн хандлага (арифметик дундаж, медиан, моод) ба хэлбэлзэл (далайц, МС1 квартил хоорондын далайц, стандарт хазайлт)-ийн ялгаатай 1.3. хэмжигдэхүүнүүдийг ойлгох, хэрэглэх, тухайлбал, өгөгдлүүдийн олонлогийн төсөөтэй ба ялгаатай талуудыг харьцуулах МС1 Өгөгдлийн олонлогийн медиан, квартил, квартил хоорондын далайцыг 1.4. тооцоолохдоо хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглах МС1 Өгөгдлөөс арифметик дундаж, стандарт хазайлтыг тооцоолох (бүлэглэгдсэн 1.5. өгөгдөл ашиглах тохиолдолд тодорхой нарийвчлалтай тооцоолох) Сэдэв. МС1.1. МС1.. Сэдэв 3. Комбинаторик Гүйлгэмэл, хэсэглэл, сэлгэмэл ухагдахууныг ойлгох, комбинаторикийн хялбар бодлогод хэрэглэх Сонгогдсон зүйлсийг нэг эгнээнд жагсаах дараах бодлогыг бодох: Өгөгдсөн бүтэц бүхий давталттай сэлгэмэл (МАГАДЛАЛ үгийн үсгүүдийн байрыг солих замаар хэдэн ялгаатай үг үүсгэх вэ? гэх мэт) Нэмэлт нөхцөл өгсөн тохиолдолд (хэрэв тухайн хоёр хүн зэрэгцэн зогссон эсвэл зэрэгцэн зогсоогүй байх бол хэдэн хүнийг нэг эгнээнд жагсааж болох вэ? гэх мэт) Магадлал МС Ижил боломжтой эгэл үзэгдлүүдээс тогтох өгсөн үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох (тухайлбал, хоёр шоо орхиход буух онооны нийлбэрийн тухай) эсвэл хэсэглэл, гүйлгэмэл, сэлгэмэл хэрэглэн тооцоолох МС1 3.. Магадлалын нэмэх, үржихийн дүрэм хэрэглэх (энгийн тохиолдолд) МС Нийцгүй, хамааралгүй үзэгдлүүдийн учрыг ойлгох, энгийн тохиолдолд нөхцөлт магадлалыг хэрэглэх, тооцоолох (модны диаграммаар) Сэдэв 4. МС Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X - дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүснэгтийг байгуулах, математик дундаж - E( X ), дисперс - D( X ) тооцоолох МС1 4.. Бином тархалтыг практик нөхцөлд таних, түүний томьёог хэрэглэх - МС Бином тархалтын математик дундаж, дисперсийг томьёог хэрэглэх Сэдэв 5. Хэвийн тархалт Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг болох хэвийн тархалтын МС хэрэглээг ойлгох, хэвийн тархалтын хүснэгтийг хэрэглэх B( n, p)

11 МС1 5.. МС X : N µ σ (, ) - санамсаргүй хэмжигдэхүүний дараах бодлого бодох: P( X > x1 ) x, µ, σ 1 утгыг олох эсвэл - өгснөөр холбогдох магадлалыг олох P( X > x1 ) x, µ, σ 1 утга эсвэл холбогдох магадлал өгсөн үед хоорондын хамаарлыг олох Бином тархалтын ойролцоо утгыг олохдоо хэвийн тархалтыг ашиглаж болох нөхцлийг мэдэх ( бодоход хэрэглэх n - хангалттай их, np > 5 ба nq > 5 ), түүнийг бодлого

12 heme of Work pre-populated template

13 Scheme Document of Work T pre-populated e template 1 of #

14

БИЕ ДААЛТЫН БОДЛОГО Цалин Татвар 10.

БИЕ ДААЛТЫН БОДЛОГО Цалин Татвар 10. БИЕ ДААЛТЫН БОДЛОГО. ax bx c 0 квадрат тэгшитгэлийн бодит шийдийг олох алгоритм зохиох. Хэрэв төсвийн байгууллагын ажилтан нь доорхи хүснэгтэнд өгсөн цалинтай бол татварыг тооцох программ зохио. Цалин

Διαβάστε περισσότερα

Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл ба Түүний Нийтлэг Хэрэглээ

Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл ба Түүний Нийтлэг Хэрэглээ Тухайн Дифференциал Тэгшитгэл ба Түүний Нийтлэг Хэрэглээ Сүхболдын Төгөлдөр 2012 оны 1р сарын 23 1 Өмнөх Үг Юуны өмнө энэ семинарт оролцох боломжийг олгосон Төмөр ахдаа баярлалаа. Миний бие астрофизикийн

Διαβάστε περισσότερα

Өгөгдөл(Data) and Дохио(signal)

Өгөгдөл(Data) and Дохио(signal) Мэдээллийн сүлжээ профессорын баг Өгөгдөл(Data) and Дохио(signal) Семинар 2 Багш (Доктор Ph.D) Л.Одончимэг Оюутан юу эзэмших вэ: Өгөгдөл гэж юу вэ? Өгөгдөл ба Дохионы ялгаа Аналог ба Тоон дохионы ялгаа

Διαβάστε περισσότερα

Нягтруулга Multiplexing

Нягтруулга Multiplexing Шинжлэх Ухаан Технологийн Их Сургууль Мэдээлэл Холбооны Технологийн Сургууль Нягтруулга Multiplexing Мэдээллийн Сүлжээний баг Лекц 6 Багш Доктор (Ph.D) Л.Одончимэг Агуулга: Нягтруурлга гэж юу вэ? Нягтруулгын

Διαβάστε περισσότερα

Transmission of Analog Signal

Transmission of Analog Signal Шинжлэх Ухаан Технологийн Их Сургууль Мэдээлэл Холбооны Технологийн Сургууль Мэдээллийн сүлжээний профессорын баг Transmission of Analog Signal Лекц 5 Багш (Ph.D)Л.Одончимэг Аналог дохио дамжуулал Агуулга:

Διαβάστε περισσότερα

Монголд уул уурхайн өсөн нэмэгдэж буй үйлдвэрлэл хөдөө аж ахуйн салбарт хэрхэн нөлөөлж байгаа тухай

Монголд уул уурхайн өсөн нэмэгдэж буй үйлдвэрлэл хөдөө аж ахуйн салбарт хэрхэн нөлөөлж байгаа тухай Монголын бэлчээрийн нөхөн сэргэх чадамжийг бэхжүүлэх нь Салбар хөрвөсөн эрдэм шинжилгээний судалгааны хурлын бүтээл, Улаанбаатар хот, Монгол Улс, 2015 оны 6-р сарын 9-10 Монголд уул уурхайн өсөн нэмэгдэж

Διαβάστε περισσότερα

АНДЕРРАЙТИНГИЙН ГАРЫН УЛААНБААТАР ХОТ АВЛАГА

АНДЕРРАЙТИНГИЙН ГАРЫН УЛААНБААТАР ХОТ АВЛАГА 2014 АНДЕРРАЙТИНГИЙН ГАРЫН УЛААНБААТАР ХОТ АВЛАГА ДААТГАЛЫН ТӨРӨЛ: ТЭЭВРИЙН ХЭРЭГСЛИЙН ДААТГАЛ Д.Жаргал /Монгол Даатгал ХХК/ С.Золбоо /Практикал Даатгал ХХК/ Ч.Бат-Эрдэнэ /Бодь Даатгал ХХК/ С.Нарантунгалаг

Διαβάστε περισσότερα

СҮРЬЕЭГИЙН АСУУЛТ, ХАРИУЛТУУД ИЛРҮҮЛЭЛТ, ЭМЧИЛГЭЭ, БА ХЯНАЛТ ХОЁРДАХЬ ХЭВЛЭЛ ДЭЛХИЙН ЭРҮҮЛ МЭНДИЙН БАЙГУУЛЛАГА ЖЕНЕВ

СҮРЬЕЭГИЙН АСУУЛТ, ХАРИУЛТУУД ИЛРҮҮЛЭЛТ, ЭМЧИЛГЭЭ, БА ХЯНАЛТ ХОЁРДАХЬ ХЭВЛЭЛ ДЭЛХИЙН ЭРҮҮЛ МЭНДИЙН БАЙГУУЛЛАГА ЖЕНЕВ СҮРЬЕЭГИЙН ИЛРҮҮЛЭЛТ, ЭМЧИЛГЭЭ, БА ХЯНАЛТ АСУУЛТ, ХАРИУЛТУУД ХОЁРДАХЬ ХЭВЛЭЛ ДЭЛХИЙН ЭРҮҮЛ МЭНДИЙН БАЙГУУЛЛАГА ЖЕНЕВ 2 Сүрьеэгийн Èлрүүлэлт, эмчилгээ, ба хяналт асуулт, хариултууд Хоёрдахь хэвлэл Хянасан

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

С. Лувсандондовын зохиосон ерөөл ба морины цолын шинээр олдсон гар бичмэлийн судалгаа 1

С. Лувсандондовын зохиосон ерөөл ба морины цолын шинээр олдсон гар бичмэлийн судалгаа 1 Ondřej Srba Прага дахь Карлын их сургууль С. Лувсандондовын зохиосон ерөөл ба морины цолын шинээр олдсон гар бичмэлийн судалгаа 1 1. Сэдбазарын Лувсандондов хийгээд түүний зохиол бүтээл Халхын алдартай

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

«Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ Cambridge International Examinations ФОРМУЛАЛАР ТІЗІМІ ЖƏНЕ СТАТИСТИКАЛЫҚ КЕСТЕЛЕР

«Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ Cambridge International Examinations ФОРМУЛАЛАР ТІЗІМІ ЖƏНЕ СТАТИСТИКАЛЫҚ КЕСТЕЛЕР ** «Назарбаев Зияткерлік мектептері» ДББҰ Cambridge International Eaminations МАТЕМАТИКА ФОРМУЛАЛАР ТІЗІМІ ЖƏНЕ СТАТИСТИКАЛЫҚ КЕСТЕЛЕР -сынып Мамыр 0 MATHK/0/0/0 Бұл құжат басылған беттен жəне таза беттен

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f (x) = log x (5x + 3) + sin x. f (x) = (x + ) sin x 3. f 3 (x) = 3 sin

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 72 Fringe: Season 1 Episode 10 73 Επίλυση Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

1 2 3 4 C n a k max 1 = 92% max 1 = 70% max 1 = 60% max 1 = 50% min(p) = 180 max(p) = 180 min(p) = 90 max(p) = 145 min(p) = 0 max(p) = 90 min(w) = w q min(w) = 2 w q min(w) = 3 w q 1 2 3 X L R Z δ

Διαβάστε περισσότερα

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες)

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΘΕΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας χωρίζεται στα τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α είναι τριαρθρωτό τόξο. Απομονώνοντας το Α και

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; O.T.

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; O.T. Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; ιανυσµατικό µέγεθος Μέτρο ιεύθυνση Φορά A Μετατόπιση Τελική θέση Αρχική θέση Σύµβολο µέτρου διανύσµατος A ύο διανύσµατα είναι ίσα αν έχουν ίδιο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες χρήσης του προσοµοιωτή emu8086 (Για τους φοιτητές του εργαστηρίου της Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών).

Οδηγίες χρήσης του προσοµοιωτή emu8086 (Για τους φοιτητές του εργαστηρίου της Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών). Οδηγίες χρήσης του προσοµοιωτή emu8086 (Για τους φοιτητές του εργαστηρίου της Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών). Αστέριος Τούτιος, Νοέµβριος 2004 Ξεκινώντας το πρόγραµµα-προσοµοιωτή emu8086 βλέπουµε την οθόνη:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο ΙV : Εργαστηριακές ασκήσεις που αφορούν πίνακες και µεθόδους στη Java.

Κεφάλαιο ΙV : Εργαστηριακές ασκήσεις που αφορούν πίνακες και µεθόδους στη Java. Κεφάλαιο ΙV : Εργαστηριακές ασκήσεις που αφορούν πίνακες και µεθόδους στη Java. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εργαστηριακές ασκήσεις οι οποίες αφορούν την χρήση πινάκων και την δηµιουργία και χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή της γενικής λύσης

Εφαρμογή της γενικής λύσης Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις

Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ταλαντώσεις εμφανίζονται παντού Ø Μικρές ταλαντώσεις γύρω από θέση ισορροπίας Ø Εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα κβαντοµηχανικής Ø Έχουμε ήδη συναντήσει σε

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ (Μ. ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) x 2t+1. 4t dt

ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ (Μ. ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) x 2t+1. 4t dt ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ - (Μ ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) ΑΣΚΗΣΗ Να ευρεθεί η αράγωγος της συνάρτησης G με ++7 ( ) G = dt/, + t ( cos ++5) β) ( ) G = dt/ t ΑΣΚΗΣΗ Έστω f/ [,+ ) συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

3η Εργασία. (B t 2 ) /2 - (C t 3 )/3 + c

3η Εργασία. (B t 2 ) /2 - (C t 3 )/3 + c 1 3η Εργασία Άσκηση 1 (8 µονάδες) A) (4 µονάδες). Η επιτάχυνση µιας βενζινακάτου ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από την εξίσωση: = Bt Ct, όπου οι µονάδες της είναι m/s. α). Ποιες είναι οι µονάδες των

Διαβάστε περισσότερα

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x ΛΥΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 Θ. Τομαράς 1. Πρωτόνια στις κοσμικές ακτίνες φτάνουν ακόμα και ενέργειες της τάξης των 10 20 ev. Να συγκρίνετε την ενέργεια αυτή με την ενέργεια που έχει μια πέτρα που πετάτε με

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικός ταλαντωτής

6. Αρµονικός ταλαντωτής 6 Αρµονικός ταλαντωτής Βιβλιογραφία Kittel, W D Knight, A Ruderman, A Helmholz και B J oyer, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998 Κεφ 7 F S rawford Jr, Κυµατική Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette)

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010 ΦΥΕ4, 9--Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 8/6/ Άσκηση A) Μια ράβδος μήκους είναι ομοιόμορφα φορτισμένη θετικά με συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται κατά μήκος του θετικού άξονα x από το σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s, Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου 9-1 ιάρκεια εξέτασης :3 5//1 Ι. Σ. Ράπτης Ε. Φωκίτης Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση (µάζα m σταθερά ελατηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης

Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Διδάσκων: Αν. Καθ. Ιωάννης Φούντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 010-11 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές αικονίσις, Ααγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 Έστω η γραμμική αικόνιση T : μ T ( 1,1) = (, 0) και ( 0,1) ( 1,1) T = (α) Βρίτ τον ίνακα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Σύνοψη Το παρόν κεφάλαιο είναι θεμελιώδες για τα συστήματα γραφικών. Αποτελεί τη βάση για την υλοποίηση πολλών πιο πολύπλοκων διαδικασιών όπως ο φωτισμός,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης.

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης. Φυσική Ι 1ο εξάμηνο Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης 4 ο μάθημα Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια Έργο σε μια διάσταση Νόμοι διατήρησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

ϐρίσκεται στο http://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ety213

ϐρίσκεται στο http://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ety213 Τµηµα Επιστηµης και Τεχνολογιας Υλικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση Σηµειώσεις ιαλέξεων και Εργαστηρίων Ηράκλειο εκέµβριος 01 Copyright c 005 01 Στη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων Άσκηση a) Τρόπος α : Λύνουμε όλους (ή έστω μερικούς από) τους συνδυασμούς [l i, r j ]: [l x, x] = [l y, y] = [l z, x] = i ħ y Κ.ο.κ., και συμπεραίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Method, Slab Analysis)

Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ ( Friction-Hill Method, Slab Analysis) Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Metod, Slab Analysis) Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 7 η : Ανίχνευση Ακμών. Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 7 η : Ανίχνευση Ακμών. Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 7 η : Ανίχνευση Ακμών Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην ανίχνευση ακμών Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 8/6/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ατοκίνητο μάζας 1 Kg ξεκινώντας με μηδενική ταχύτητα επιταχύνει ομαλά σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec. Ημερομηνία Παράδοσης: 6//006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) ΘΕΜΑ 1

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) ΘΕΜΑ 1 προσπίπτει vb vb το Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (8-7-6) ΘΕΜΑ A. Ένα σωματίδιο μάζας mbb σε σωματίδιο μάζας mbb οποίο είναι ακίνητο και συγκρούεται ελαστικά μαζί του. Τα σωματίδια κινούνται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

y r = y r y r 1. y r+ 1 + y r 1 δy r = y r+ 1 y sinh 1 z = z 1 6 z z z7 +,

y r = y r y r 1. y r+ 1 + y r 1 δy r = y r+ 1 y sinh 1 z = z 1 6 z z z7 +, 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΙΑΦΟΡΙΚ ΕΣ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ Συνεπώς, E = e hd και hd = ln E = ln1 + ). Από την τελευταία σχέση µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή της παραγώγου µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο x r, όταν είναι γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î

ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 6 Š 539.1.07: 621.384.8 Œ -. Œ ˆ ˆ ˆ - ˆ Šˆ ˆ Œ. B. ʱ Ï Î É Ê ± É ÉÊÉ Ö µ Ë ±, ƒ ÉÎ, µ Ö ˆ 1520 Œ ˆ ˆŠ Ÿ ˆ 1522 Š Œ - 1528 ˆ Œ Œ - 1542 Š ˆ Šˆ Œ Œ - 1548 ²µ. Œ ˆ ˆŒŒ ˆ ˆ -

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://www.teiath.gr/stef/tio/medisp/gr_downloads.htm E-mail: gloudos@teiath.gr Ροπή Η τάση για περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Μια νέα (;) ιδιότητα της παραβολής

Μια νέα (;) ιδιότητα της παραβολής Σελίδα 1 από 6 Μια νέα (;) ιδιότητα της παραβολής Γιάννης Καμπούρογλου Μαθηματικός (4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ) Γιάννης Αλεξίου Μαθηματικός (4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ) Περίληψη Παρουσιάζουμε με απόδειξη μια νέα (;)

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34. Ιούλιος 2008 KYMATIKH. ιάρκεια: 210 λεπτά

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34. Ιούλιος 2008 KYMATIKH. ιάρκεια: 210 λεπτά Κυµατική ΦΥΕ4 5/7/8 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ4 Ιούλιος 8 KYMATIKH ιάρκεια: λεπτά Θέµα ο (Μονάδες:.5) A) Θεωρούµε τις αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα