Δυναμική διερεύνηση γεωμετρικών τόπων: Η περίπτωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος. Περίληψη

Transcript

1 726/1474 Δυναμική διερεύνηση γεωμετρικών τόπων: Η περίπτωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος Γεώργιος Κωστόπουλος Μαθηματικός Β θμιας Εκπαίδευσης Κων/να Δρακοπούλου Μαθηματικός Περίληψη Η έννοια της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος στο Γυμνάσιο αποτελεί μια από τις σημαντικότερες έννοιες της Γεωμετρίας και βασικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων της καθημερινότητας, αφού είναι ένας από τους βασικούς γεωμετρικούς τόπους που διδάσκονται οι μαθητές στο πέρασμα τους από τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Στη συγκεκριμένη εργασία θα περιγραφεί μια διδακτική παρέμβαση ως προς την έννοια της μεσοκαθέτου σε μαθητές Α τάξης Γυμνασίου με χρήση ΤΠΕ. Το προτεινόμενο σενάριο υλοποιείται με τη χρήση του λογισμικού Geogebra, το οποίο είναι ένα λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας. Το περιβάλλον εργασίας στο λογισμικό Geogebra προσομοιώνει την αξιωματική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και από αυτή την άποψη θεωρείται κατάλληλο εργαλείο για τη διδασκαλία της. Θα περιγραφούν αναλυτικά ο σχεδιασμός του σεναρίου, καθώς και οι προτεινόμενες δραστηριότητες για την επιτυχή υλοποίησή του. Λέξεις κλειδιά: Geogebra, Φύλλο Εργασίας, Ευθύγραμμο Τμήμα, Μεσοκάθετος, Γεωμετρική Κατασκευή. Εισαγωγή Η Γεωμετρία αποτελεί αναπόσπαστο μέρος των μαθηματικών. Σύμφωνα με τον Raymond Duval (1998), μια γεωμετρική δραστηριότητα περιλαμβάνει τρία είδη γνωστικών διαδικασιών, που πληρούν συγκεκριμένες επιστημολογικές λειτουργίες: Διαδικασίες απεικόνισης, Διαδικασίες κατασκευής από εργαλεία, Διαδικασίες αιτιολόγησης Έρευνες σχετικές με την κατανόηση γεωμετρικών εννοιών από μαθητές, έχουν δείξει ότι οι μαθητές έχουν δυσκολίες στον ορισμό και την κατανόηση βασικών γεωμετρικών σχημάτων και εννοιών, όπως επίσης και στη χρήση της αφαιρετικής σκέψης στη γεωμετρία (Pyshkalo, 1968; Μαστρογιάννης & Αναστόπουλος, 2011). Κατά τη διδασκαλία της Γεωμετρίας αναπτύσσεται στη σχολική τάξη μια ειδική ορολογία για την περιγραφή των γεωμετρικών εννοιών, η οποία προκαλεί δυσκολίες στην κατανόηση των εννοιών αυτών από τους περισσότερους μαθητές. Ένας από τους βασικούς λόγους για τους οποίους οι μαθητές δυσκολεύονται στην κατανόηση της Γεωμετρίας είναι η μέθοδος διδασκαλίας που επιλέγει ο εκπαιδευτικός (Clements & Battista, 1992). Σύμφωνα με τον Holt (1995), τα παιδιά ίσως θέλουν να προβληματιστούν, να συζητήσουν, να μάθουν και όχι να διδαχθούν. Σε αυτό είναι δυνατόν να βοηθήσει η διδασκαλία με

2 727/1474 Νέες Τεχνολογίες. Οι ΤΠΕ που συνδυάζουν ένα μεγάλο μέρος από τις διαθέσιμες τεχνολογίες, θεωρούνται ως το πλέον ισχυρό εργαλείο στα χέρια του εκπαιδευτικού και του μαθητή για την υποστήριξη της διδακτικής και μαθησιακής διαδικασίας (Μικρόπουλος, 2006). Όσον αφορά την έννοια της μεσοκαθέτου, μία από τις σημαντικότερες παρανοήσεις αποτελεί το γεγονός ότι πολλοί μαθητές πιστεύουν ότι η μεσοκάθετος μιας πλευράς ενός τριγώνου πρέπει να διέρχεται από την απέναντι κορυφή (CK 12 Foundation, 2009). Επίσης, δημιουργούνται λάθη κατά την εύρεση του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου. Οι μαθητές γνωρίζουν ότι το κέντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του, οπότε συνήθως φέρουν τις μεσοκαθέτους μόνο των δύο πλευρών του και σημειώνουν το σημείο τομής τους. Επειδή δημιουργούνται πολλές φορές λάθη κατά τη σχεδίαση, προτείνεται να φέρουν και τις τρεις μεσοκαθέτους, εν είδει επαλήθευσης. Εάν δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο, μπορούν να επανελέγξουν τη σχεδίαση των μεσοκαθέτων και να διορθώσουν τα λάθη τους (CK 12 Foundation, 2009). Το εκπαιδευτικό λογισμικό Το σενάριο διεξήχθη με τη χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού Geogebra, το οποίο είναι μια ελεύθερη και πολλών πλατφόρμων εφαρμογή μαθηματικών για όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης, που ενσωματώνει Γεωμετρία, Άλγεβρα, πίνακες, γραφήματα και Λογισμό, σε ένα πακέτο, εύκολο ως προς την χρήση. Το εκπαιδευτικό λογισμικό Geogebra μπορεί να ενταχθεί στο κύριο διδακτικό έργο και την καθημερινή πραγματικότητα του σχολείου και ανταποκρίνεται τόσο στις ανάγκες των μαθητών, όσο και των εκπαιδευτικών. Συμπληρώνει τη μαθησιακή και διδακτική διαδικασία, προκαλεί και διατηρεί το ενδιαφέρον των μαθητών ενισχύοντας κυρίως τη διερευνητική και ενεργητική μάθηση και προσφέρεται για πειραματισμό σε ένα μεγάλο μέρος των Μαθηματικών, όλων των τάξεων του Γυμνασίου και του Λυκείου. Σκοπός και θέματα του σεναρίου Το σενάριο αφορά στην έννοια της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος και εντάσσεται στο αναλυτικό πρόγραμμα της Α Γυμνασίου, σύμφωνα με το ΕΠΠΣ και τις οδηγίες του Υπουργείου Παιδείας για τη διδασκαλία των θετικών μαθημάτων του Γυμνασίου, κατά το σχολικό έ τος Ο σκοπός του σεναρίου είναι να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος με επιμέρους θέματα μελέτης: Την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου. Τη γεωμετρική της κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη). Σύμφωνα με το σενάριο αυτό οι μαθητές: Αρχικά, θα προσεγγίσουν με ευρετικό τρόπο την αναγκαιότητα της χάραξης της μεσοκαθέτου, ως μέσο για την οριοθέτηση της πορείας ενός πλοίου. Θα χειριστούν και θα μεταβάλλουν δυναμικά σχήματα που αφορούν στην πορεία ενός πλοίου, θα κάνουν

3 728/1474 μετρήσεις με βάση το φύλλο εργασίας που θα τους δοθεί και θα ανακαλύψουν βασικές ιδιότητες της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος. Στη συνέχεια (δραστηριότητα 3), θα πειραματιστούν και μπορεί να καταλήξουν στη γεωμετρική κατασκευή της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος. Τελικά, θα χρειαστεί να εφαρμόσουν τα προηγούμενα, επιλύοντας συγκεκριμένα προβλήματα της καθημερινότητας (δραστηριότητες 4 και 5), ενισχύοντας με αυτό τον τρόπο την κριτική τους σκέψη. Οι δραστηριότητες αυτές στηρίζονται στη θεωρία της ανακαλυπτικής μάθησης του Bruner, η οποία δίνει έμφαση στη μάθηση μέσω εξερεύνησης, πειραματισμού, έρευνας, υποβολής ερωτήσεων και αναζήτησης απαντήσεων (Παναγιωτακόπουλος, Πιερρακέας & Πιντέλας, 2003). Χώρος και χρόνος υλοποίησης Σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα, και επειδή οι μαθητές χρειάζεται να εξοικειωθούν με το λογισμικό και τη χρήση του, ο χρόνος που προτείνεται για την πραγματοποίηση του σεναρίου είναι 3 διδακτικές ώρες. Οι μαθητές θα εργαστούν στο εργαστήριο Ηλεκτρονικών Υπολογιστών του σχολείου. Η εργασία των μαθητών σε ομάδες των δύο ατόμων, καθώς και η στενή και συνεχής συνεργασία των μαθητών κάθε ομάδας, θεωρείται καθοριστικός παράγοντας στην επίτευξη των προσδοκώμενων μαθησιακών αποτελεσμάτων. Οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν: Προαπαιτούμενες γνώσεις Την έννοια της ευθείας και του ευθυγράμμου τμήματος. Να συγκρίνουν ευθύγραμμα τμήματα, είτε με τη βοήθεια χάρακα, είτε με χρήση διαβήτη. Της έννοια της απόστασης δύο σημείων και ότι αυτή εκφράζεται από το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που τα ενώνει. Την έννοια του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος και ότι αυτό είναι μοναδικό. Την έννοια της καθετότητας δύο ευθειών. Να χειρίζονται ηλεκτρονικό υπολογιστή και το λογισμικό Geogebra. Να χρησιμοποιούν γνώμονα και διαβήτη. Πρότερες γνώσεις Οι μαθητές έχουν γνωρίσει σε μικρότερες τάξεις τις βασικές γεωμετρικές έννοιες (σημείο, ευθεία, επίπεδο, ευθύγραμμο τμήμα, γωνία, κύκλος, ευθύγραμμα σχήματα), έχουν εξασκηθεί στο σχεδιασμό ευθυγράμμων σχημάτων και κύκλων με κανόνα και διαβήτη, έχουν μάθει να σχεδιάζουν το συμμετρικό ενός σχήματος ως προς άξονα, να διενεργούν μεταφορές, μεγεθύνσεις και σμικρύνσεις και έχουν κατανοήσει τη σημασία τους στην ανάπτυξη της Γεωμετρίας. Στο συγκεκριμένο σενάριο, ως πρότερες γνώσεις μπορούν να θεωρηθούν όλα τα γεωμετρικά σχήματα και

4 729/1474 οι αναπαραστάσεις που ο ίδιος ο μαθητής έχει δημιουργήσει κατά το πέρασμα του από την Πρωτοβάθμια εκπαίδευση, καθώς και από την καθημερινή του εμπειρία. Στόχοι Οι στόχοι του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι οι μαθητές: να πειραματιστούν με τις περιεχόμενες μαθηματικές έννοιες. να κατανοήσουν την έννοια της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος. να κατασκευάσουν γεωμετρικά τη μεσοκάθετο ευθυγράμμου τμήματος. να ανακαλύψουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου. να χρησιμοποιήσουν τη μεσοκάθετο για την επίλυση υπαρκτών προβλημάτων. να συνεργαστούν με τους συμμαθητές τους, οργανώνοντας τα δεδομένα τους, να συζητήσουν τις παρατηρήσεις τους και να καταλήξουν σε συμπεράσματα. να γίνουν οι ίδιοι ερευνητές, αυτενεργώντας και ανακαλύπτοντας τη γνώση. να βελτιώσουν τη στάση τους απέναντι στην καθημερινή σχολική διαδικασία και στη μάθηση λειτουργώντας σε ένα κοινωνικό περιβάλλον επικοινωνίας με τους συμμαθητές και τους εκπαιδευτικούς τους. Δραστηριότητα 1 Αποτελείται από ένα φύλλο εργασίας. Σκοπός είναι να ανιχνευθούν οι αναπαραστάσεις που έχουν τα παιδιά, οι πρότερες γνώσεις τους, καθώς και τυχόν γνωστικές δυσκολίες ώστε να προσαρμοστεί κατάλληλα το διδακτικό σενάριο στις γνωστικές τους ανάγκες. Αρχικά οι μαθητές θα ενημερωθούν για το εκπαιδευτικό σενάριο, παρουσιάζεται το θέμα και οι διδακτικοί στόχοι. Η διαμόρφωση κατάλληλου κλίματος για το μαθητή μέσα στη σχολική τάξη, αποτελεί σημαντικό παράγοντα για την επιτυχή εφαρμογή του σεναρίου. Οι μαθητές θα συμπληρώσουν το 1 ο φύλλο εργασίας που περιέχει ερωτήσεις, ώστε να ενεργοποιήσουν τις γνώσεις που έχουν μέχρι τώρα και να τις συνδέσουν στη συνέχεια με το αντικείμενο της διδασκαλίας. Συγκεκριμένα θα τεθούν τα ερωτήματα: Πώς ονομάζεται το σημείο ενός ευθυγράμμου τμήματος που το χωρίζει σε δύο ίσα τμήματα; Πόσες ευθείες διέρχονται από αυτό; Μπορείς να σχεδιάσεις κάποιες από αυτές; Πόσες από αυτές είναι κάθετες στο ευθύγραμμο τμήμα; Τι σκέφτεστε όταν ακούτε ότι ένα σημείο απέχει ίσες αποστάσεις από δύο άλλα σημεία; Με τη διαδικασία αυτή, οι μαθητές μπορεί να αποκτήσουν ενδιαφέρον για το μάθημα, ενώ συγχρόνως είναι δυνατό να αξιοποιήσουν τις πρότερες γνώσεις τους, μετατρέποντάς τες σε ε πιστημονικά συμπεράσματα και κανόνες.

5 730/1474 Δραστηριότητα 2 Αποτελείται από ένα φύλλο εργασίας. Σκοπός είναι oι μαθητές να κατανοήσουν την αναγκαιότητα χάραξης της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος και να ανακαλύψουν την ιδιότητα κάθε σημείου της. Το 2ο φύλλο εργασίας αφορά το εξής πρόβλημα: Ο καπετάνιος ενός πλοίου προσπαθεί να κρατήσει την πορεία του πλοίου μακριά από τις ξέρες Α και Β (Σχήμα 1α), επειδή η στενότητα του περάσματος και η παλίρροια κάνουν δύσκολη τη διέλευση του. Οι μαθητές ζητείται να υποδείξουν την πορεία που πρέπει να ακολουθήσει το πλοίο, ώστε να περάσει με ασφάλεια το στενό. Σχήμα 1α: Εύρεση της πορείας πλοίου Σχήμα 1β: Εύρεση της πορείας πλοίου Μέσα από τα ερωτήματα του φύλλου εργασίας, τα παιδιά αρχικά καλούνται να πειραματιστούν βρίσκοντας διάφορα πιθανά σημεία της πορείας του πλοίου και στη συνέχεια να ανακαλύψουν ότι αυτά βρίσκονται πάνω σε ευθεία. Σύμφωνα με έναν από τους 7 γνωστούς τύπους συρσίματος (Μαστρογιάννης, 2013), τους οποίους μετέρχονται οι μαθητές κατά την παιδαγωγική αξιοποίηση των Δυναμικών Περιβαλλόντων Γεωμετρίας, οι μαθητές σχεδιάζουν νέα σημεία τα οποία ανήκουν σε μια γραμμή ενός σχήματος, το οποίο διατηρεί μια ορισμένη ιδιότητα. Με αυτόν τον τρόπο και το είδος του συρσίματος, το οποίο καλείται σύρσιμο γραμμής, ο γεωμετρικός τόπος, παύει να είναι λανθάνων, καθίσταται φανερός και αποκαλύπτεται στην οθόνη. Οι μαθητές εντοπίζουν και μαρκάρουν πολλά σημεία από το ίχνος του πλοίου, τα οποία πληρούν τη δεδομένη ιδιότητα (Μαστρογιάννης, 2013). Ακολούθως, μπορούν να παρατηρήσουν το τελικό σχήμα της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ (Σχήμα 1β). Ο εκπαιδευτικός έχοντας διαμεσολαβητικό ρόλο ενθαρρύνει τους μαθητές να πειραματιστούν, να διερευνήσουν, να ανταλλάξουν απόψεις και να συνεργαστούν. Έτσι οι μαθητές μπορεί να ανακαλύψουν ότι η πορεία του πλοίου πρέπει να είναι κάθετη στο τμήμα ΑΒ, θα μετρήσουν και θα συγκρίνουν τις αποστάσεις του πλοίου από τα σημεία Α,Β σε διάφορες θέσεις του και είναι

6 731/1474 δυνατόν να συμπεράνουν ότι είναι ίσες σε κάθε περίπτωση. Επίσης, θα διερευνήσουν τι θα συνέβαινε αν το πλοίο δεν περνούσε από το μέσο Μ του ΑΒ ή αν περνούσε από το μέσο, αλλά ακολουθώντας πορεία διαφορετική από την κάθετη. Τελικά, θα διατυπώσουν την κοινή ιδιότητα που έχουν όλα τα σημεία της πορείας του πλοίου, δηλαδή να ισαπέχουν από τα σημεία Α και Β. Δραστηριότητα 3 Στους μαθητές δίνεται το 3ο φύλλο εργασίας. Αρχικά θα κατασκευάσουν ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4 cm και στη συνέχεια θα φέρουν τους κύκλους (Α, 3cm) και (B, 3 cm). Θα παρατηρήσουν ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία Γ και Δ τα οποία θα ενώσουν, σχηματίζοντας την ευθεία ΓΔ. Στη συνέχεια θα διερευνήσουν εάν αυτή η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος ΑΒ, καθώς και θα μετρήσουν τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία ΓΔ με το τμήμα ΑΒ. Έτσι τελικά, μπορεί να συμπεραίνουν ότι η ευθεία ΓΔ είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ, αφού την τέμνει κάθετα (Σχήμα 2). Σχήμα 2: Γεωμετρική κατασκευή μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος Επίσης, θα διερευνήσουν διάφορες περιπτώσεις της προηγούμενης κατασκευής, όπως: Τι θα προέκυπτε εάν οι κύκλοι είχαν άνισες ακτίνες (Σχήμα 3); Τι θα συνέβαινε εάν οι κύκλοι είχαν ακτίνα 1cm (Σχήμα 4); Ποιά η σχέση των ακτινών των κύκλων, ώστε να δημιουργηθεί η μεσοκάθετος του ΑΒ;

7 732/1474 Σχήμα 3: Διερεύνηση για τη γεωμετρική κατασκευή της μεσοκαθέτου (α) Σχήμα 4: Διερεύνηση για τη γεωμετρική κατασκευή της μεσοκαθέτου (β) Η κατάλληλα δομημένη αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών, αλλά και μεταξύ μαθητών και υπολογιστή (μέσω κυρίως της εικονικής ανατροφοδότησης που αυτός παρέχει), η σύγκριση και συσχέτιση εικασιών απαντήσεων, μπορεί να τους οδηγήσει να καταλήξουν σε ένα κανόνα γεωμετρικής κατασκευής της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος, ο οποίος τελικά ζητείται να καταγραφεί στο φύλλο εργασίας. Δραστηριότητα 4 Στους μαθητές δίνεται το 4ο φύλλο εργασίας με το εξής πρόβλημα, παρέχοντας ερείσματα μαθηματικού αλφαβητισμού και μαθηματικοποίησης (Μαστρογιάννης 2011): Δύο χωριά Α και Β θέλουν να κατασκευάσουν από κοινού ένα λιμάνι Λ, το οποίο να ισαπέχει από αυτά (Σχήμα 5). Οι μαθητές πρέπει να βρουν σημείο Λ στην όχθη του ποταμού ώστε να ισαπέχει από τα χωριά Α και Β. Σχήμα 5: Κατασκευή λιμανιού Σχήμα 6: Διερεύνηση Η κατανόηση της έννοιας της μεσοκαθέτου και της ιδιότητας των σημείων της να ισαπέχουν από τα άκρα τους, μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές να διερευνήσουν πιθανές θέσεις του λιμανιού και τελικά να καταλήξουν στη μοναδικότητά του, αφού πρέπει να βρίσκεται στην όχθη

8 733/1474 του ποταμού. Από τη μια η ελευθερία κινήσεων κάθε μαθητή και από την άλλη η συνεργασία μεταξύ των μαθητών αναμένεται να τους οδηγήσουν στην επίλυση του προβλήματος. Επίσης, μετακινώντας το σημείο Β (ή και το Α) θα διαπιστώσουν ότι δεν είναι πάντοτε εφικτή η λύση του προβλήματος, αφού η μεσοκάθετος του ΑΒ δεν τέμνει πάντοτε την όχθη (Σχήμα 6). Δραστηριότητα 5 Στους μαθητές δίνεται το 5ο φύλλο εργασίας με το εξής πρόβλημα δίνοντας βαρύτητα, όπως και στην παραπάνω δραστηριότητα στη μαθηματική γνώση, που χρησιμοποιείται για τη μελέτη ποικίλων πρακτικών προβλημάτων της καθημερινής ζωής: Η Κωνσταντίνα, η Αφροδίτη και ο Γιώργος μένουν στα σπίτια Α, Β, Γ αντιστοίχως, όπως φαίνεται στο σχήμα 6, και το σχολείο τους απέχει την ίδια απόσταση από τα τρία σπίτια. Μπορείτε να βρείτε τη θέση του σχολείου; Στη δραστηριότητα αυτή αυξάνεται σταδιακά ο βαθμός δυσκολίας και απαιτείται συνδυασμός γνώσεων, αντίληψης και παρατήρησης για την επίλυση του προβλήματος. Σχήμα 7: Η θέση του σχολείου Οι μαθητές, διερευνώντας διάφορες περιπτώσεις μπορεί να καταλήξουν στη σχεδίαση των μεσοκαθέτων των τμημάτων ΑΒ,ΒΓ και ΑΓ, αφού το σχολείο θα πρέπει να ισαπέχει από τα σημεία Α,Β,Γ. Έτσι είναι πιθανό να ανακαλύψουν τη μοναδική θέση του σχολείου, που είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ το οποίο συγχρόνως αποτελεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Συζητήσεις Συμπεράσματα Προτάσεις Η παρούσα εργασία αποτελεί μια πρόταση για τη διδασκαλία της έννοιας της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος στο Γυμνάσιο με χρήση ΤΠΕ, και συγκεκριμένα του εκπαιδευτικού λογισμικού Geogebra. Το εκπαιδευτικό λογισμικό Geogebra δίνει τη δυνατότητα για κατασκευή και διερεύνηση γεωμετρικών αντικειμένων διαδραστικά, αποτελώντας ένα δυναμικό, μαθησιακό μέσο διερευνητικής και ανακαλυπτικής προσέγγισης κατά τη διδασκαλία και μάθηση της γεωμετρίας.

9 734/1474 Η χρήση λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας μπορεί να καταστήσει ικανούς τους μαθητές για να διερευνούν και να πειραματίζονται με τις προτεινόμενες αλληλεπιδραστικές δραστηριότητες, καθώς και να παρατηρούν συγκεκριμένες ιδιότητες των γεωμετρικών τους κατασκευών, πριν προσπαθήσουν να τις αποδείξουν. Οι μαθητές παρατηρούν, καταγράφουν, υπολογίζουν, προβλέπουν, κατασκευάζουν, δοκιμάζουν και αναπτύσσουν θεωρίες για να εξηγήσουν φαινόμενα που τους απασχολούν (Man & Leung,2005). Η παρούσα εργασία μέσω των δραστηριοτήτων μάθησης οι οποίες σχετίζονται με υπαρκτά προβλήματα της καθημερινότητας και παρέχοντας συγχρόνως ερείσματα μαθηματικού αλφαβητισμού και μαθηματικοποίησης, δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να αναπτύξουν δεξιότητες υψηλού επιπέδου, ενισχύοντας με αυτό τον τρόπο την κριτική τους σκέψη και ικανότητα. Τελικά, «η δυναμική γεωμετρία μπορεί να μετατρέψει τα μαθηματικά σε ένα επιστημονικό εργαστήριο» (Olive, 2000). Βιβλιογραφία 1. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. 2. CK 12 Foundation, (2009). Geometry Teacher s Edition Common Errors. USA, California: Creative Commons, page Clements, D. H., & Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York: Macmillan Publishing Company. 4. Holt, J. (1995). How Clildren Fail, Penguin Education. 5. Man, Y., & Leung, H. (2005). Teaching transformational geometry via dynamic geometry software. Paper presented at Redesigning Pedagogy International Conference: Research, Policy, Practice, Singapore. 6. Μαστρογιάννης, Α. (2013). Εκπαιδευτική Τεχνολογία, Εκπαιδευτικό Λογισμικό και Θεωρίες Μάθησης. Αγρίνιο: Εκδόσεις Πασχέντη, ISBN: Μαστρογιάννης, Α. (2011). Απόψεις εκπαιδευτικών της Α/βάθμιας Εκπαίδευσης ως μέσο αξιολόγησης της εφαρμογής των Α.Π. και σχολικών εγχειριδίων των Μαθηματικών στις α νώτερες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Διπλωματική εργασία για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης, Ρόδος: Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα ΤΕΠΑΗ. 8. Μαστρογιάννης, Α., & Αναστόπουλος, Α. (2011). Μαθηματικοποίηση και Μαθηματικός Αλφαβητισμός, μέσω Δυναμικών Περιβαλλόντων Γεωμετρίας: Η περίπτωση του ορθόκεντρου τριγώνων. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική πράξη», Σύρος 6, 7, 8, Μαΐου Μικρόπουλος, Τ.Α. (2006). Ο υπολογιστής ως γνωστικό εργαλείο, (σελ ). Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. 10. Olive, J. (2000). Implications of Using Dynamic Geometry Technology for Teaching and Learning. Paper presented at the Conference on Teaching and Learning Problems in Geometry Fundao, Portugal.

10 735/ Παναγιωτακόπουλος, Χ. Πιερρακέας, Χ., & Πιντέλας, Π. (2003). Το εκπαιδευτικό λογισμικό και η αξιολόγησή του. Αθήνα: Εκδόσεις Μεταίχμιο. 12. Pyshkalo, A. (1968). Geometry in Grades 1 4: Problems in the formation of geometric conceptions in pupils in the primary grades, Moscow: Prosresticheuive Publishing House.