ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)
|
|
- Πελαγία Ελευθερίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά Μη εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 30 Ελλάδα (Attribution Non Commercial ShareAlike 3 Greece) CC BY-NC-SA 30 GR Εξαιρείται από την ως άνω άδεια υλικό που περιλαμβάνεται στις διαφάνειες του μαθήματος, και υπόκειται σε άλλου τύπου άδεια χρήσης Η άδεια χρήσης στην οποία υπόκειται το υλικό αυτό αναφέρεται ρητώς Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους
3 5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα, Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνό του Το 1 δεν είναι ακέραιος 2 Μπορεί να γραφτεί και ως εξής: Κανένα A δεν είναι B To c είναι Β To c δεν είναι Α Η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη γιατί αν το συμπέρασμα ήταν ψευδές αλλά οι υποθέσεις αληθείς, τότε το c θα ήταν και A και Β Τι κάνει όμως την εξαγωγή συμπεράσματος έγκυρη; Αν η λέξη «κανένα» αντικαθιστόταν από τη λέξη «κάθε» ή «μερικά», τότε δεν θα ήταν έγκυρη Στον προτασιακό λογισμό δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε προτάσεις της μορφής «κανένα Α δεν είναι Β» Είναι μια αρνητική πρόταση, αλλά δεν είναι η άρνηση της πρότασης «όλα τα Α είναι Β» Η άρνηση αυτής θα ήταν «μερικοί ακέραιοι είναι μεγαλύτεροι από το τετράγωνό τους» Άρα θα πρέπει να έχουμε τη δυνατότητα να αναπαριστούμε προτάσεις αυτής της μορφής επίσης Οι φράσεις «ακέραιος» και «μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» δηλώνουν ιδιότητες τις οποίες κάποια αντικείμενα μπορούν να έχουν Η πρόταση «κανένα A δεν είναι B» μας λέει ότι κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να έχει τις δύο ιδιότητες συγχρόνως, ή, διαφορετικά, ότι η κλάση των ακεραίων με την κλάση των αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από το τετράγωνό τους δεν έχουν κοινά στοιχεία Τα γράμματα A και Β δηλώνουν λοιπόν ιδιότητες Το γράμμα c είναι διαφορετικό Το 1 δεν δηλώνει μια 2 ιδιότητα αλλά ένα συγκεκριμένο αντικείμενο Αντικείμενα μπορεί να έχουν ιδιότητες Πχ, το 1 έχει την ιδιότητα ότι είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνό του, αλλά δεν έχει 2 την ιδιότητα του ακέραιου Θεωρείστε τώρα την εξαγωγή συμπεράσματος
4 Ο Αριστοτέλης είναι φιλόσοφος Ο Σοφοκλής είναι ποιητής Ο Αριστοτέλης μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή Κάποιος φιλόσοφος μένει στην ίδια πόλη με κάποιον ποιητή η οποία μπορεί να γραφεί και ως α είναι P β είναι Q α είναι R με β κάποιο P είναι R με κάποιο Q Τα α,β είναι αντικείμενα ενώ τα P,Q είναι ιδιότητες Το R δεν είναι ιδιότητα Εκφράζει μια σχέση μεταξύ αντικειμένων Μπορούμε να έχουμε και τριαδικές ή n-αδικές σχέσεις Πχ, μκδ(α,β,γ): το γ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β Χρειαζόμαστε λοιπόν μηχανισμούς αναπαράστασης και λογισμού για αντικείμενα, ιδιότητες και σχέσεις Αυτό είναι και το αντικείμενο του Κατηγορηματικού Λογισμού 52 Ονόματα και Κατηγορήματα Τα ονόματα παίζουν το ρόλο περιγραφικών εκφράσεων που υποδεικνύουν κάποιο αντικείμενο Στον κατηγορηματικό λογισμό χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα (a,b,c,d κλπ) ως ονόματα και τα οποία καλούνται σταθερές αντικειμένων ή απλά σταθερές αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης Για την απόδοση ιδιότητων σε αντικείμενα σε χρησιμοποιούμε σύμβολα κατηγορημάτων (για τις ιδιότητες) και ορίσματα (για τα αντικείμενα) Για παράδειγμα, για να αποδώσουμε την ιδιότητα F στο αντικείμενο α, γράφομε F(α) Με παρόμοιο τρόπο αναπαριστώνται και οι σχέσεις : χρησιμοποιούμε κατηγορήματα με περισσότερα του ενός ορίσματα Για παράδειγμα, Q(a,b) αναπαριστά τη σχέση Q μεταξύ των a,b Παράδειγμα: Έστω τα κατηγορήματα Ε(_): _είναι άρτιος, P(_): _είναι πρώτος, Μ(_,_) o _ είναι πολλαπλάσιο του _, G(_,_): o _ είναι μεγαλύτερος του _ Αν οι σταθερές a,b,c,d συμβολίζουν τους ακέραιους 1,2,3,4 αντίστοιχα, τότε E(b) σημαίνει «ο 2 είναι άρτιος», P(c) σημαίνει «ο 3 είναι πρώτος», ΨM ( b, c) σημαίνει «ο 2 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3», M ( f, b) Ϊ P( f ) σημαίνει «το 6 είναι πολλαπλάσιο του 2 ή το 6 είναι πρώτος», M ( h, b) P( h) Ϊ G( h, b) σημαίνει «αν το 8 είναι πολλαπλάσιο του 2, τότε το 8 είναι πρώτος ή το 8 είναι μεγαλύτερο του 2» και P( d) «E( e) σημαίνει «το 4 είναι πρώτος αν και μόνο αν το 5 είναι άρτιος» 53 Ποσοδείκτες
5 Θεωρείστε ξανά την εξαγωγή συμπεράσματος ο Αριστοτέλης είναι φιλόσοφος ο Σοφοκλής είναι ποιητής ο αριστοτέλης μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή κάποιος φιλόσοφος μένει στην ίδια πόλη με κάποιον ποιητή Οι υποθέσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως P( a), Q( b), R( a, b ) Πως μπορεί όμως να εκφραστεί το συμπέρασμα; Το συμπέρασμα μπορεί να γραφεί ως : για κάποιο x, o x είναι φιλόσοφος και για κάποιο y, o y είναι ποιητής και ο x μένει στην ίδια πόλη με τον yά Χρησιμοποιούμε το σύμβολο $ για να εκφράσουμε τη φράση «για κάποιο» Το «για κάποιο» διαβάζεται και ως «υπάρχει κάποιο» Το συμπέρασμα γράφεται ως $ x( P( x) Ω$ y( Q( y) Ω R( x, y))) Οι μεταβλητές x,y ονομάζονται δεσμευμένες μεταβλητές γιατί η ύπαρξή τους στην πρόταση δεσμεύεται από τους ποσοδείκτες Παραδείγματα: Υπάρχει ένας ποιητής - $xq( x) Κάποιος ποιητής είναι φιλόσοφος - $ x( Q( x) ΩP( x)) Κάποιος φιλόσοφος είναι ποιητής - $ x( P( x) ΩQ( x)) Κάποιος μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή - $xr( x, b) Ο Σοφοκλής μένει στην ίδια πόλη με κάποιον - $xr( b, x) Ο Σοφοκλής μένει στην ίδια πόλη με κάποιον φιλόσοφο - $ x( P( x) ΩR( b, x)) Ο Σοφοκλής δεν μένει στην ίδια πόλη με κάποιον φιλόσοφο - Ψ$x ( P( x) ΩR( b, x)) Κανένας φιλόσοφος δεν μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή - Ψ$x ( P( x) ΩR( x, b)) Παράδειγμα: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνό του Το 1 δεν είναι ακέραιος 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: Ψ$x ( ( x) ΩG( x)) G( a) Ψ ( a)
6 όπου αναπαριστά την ιδιότητα «ακέραιος», G την ιδιότητα «μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» και a το 1 Αν αντί του G χρησιμοποιηθεί το κατηγόρημα H(_,_) που 2 αναπαριστά τη σχέση «μεγαλύτερος από το τετράγωνό του», τότε η παραπάνω εξαγωγή συμπεράσματος γράφεται ως Ψ$x ( ( x) ΩH ( x, x)) H ( a, a) Ψ ( a) Έχουμε ήδη εισάγει τον υπαρξιακό ποσοδείκτη ( $ ) Η ύπαρξη ενός ποσοδείκτη σε μια πρόταση δεσμεύει την μεταβλητή που ο ποσοδείκτης εισάγει Για παράδειγμα, η μεταβλητή x στην πρόταση $ x( Q( x) Ω R( a, x)) είναι δεσμευμένη από το $ Η πρόταση αυτή είναι ισοδύναμη με τις προτάσεις $ y( Q( y) ΩR( a, y)) και $ z( Q( z) Ω R( a, z)) Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για τη μεταβλητή δεν έχει σημασία εφόσον χρησιμοποιείται σε όλα τα μέρη που εμφανίζεται η δεσμευμένη μεταβλητή Επομένως, η παραπάνω πρόταση δεν είναι ισοδύναμη με την πρόταση $ y( Q( y) Ω R( a, z)) Σε περίπτωση που περισσότεροι από έναν ποσοδείκτες είναι απαραίτητοι, διαφορετικές μεταβλητές πρέπει να χρησιμοποιηθούν Για παράδειγμα, $ x( P( x) Ω$ y( Q( y) ΩR( x, y))) ή $ z( P( z) Ω$ y( Q( y) Ω R( z, y))) αλλά όχι $ x( P( x) Ω$ x( Q( x) Ω R( x, x))) Το πεδίο ενός ποσοδείκτη είναι το (σύνθετο) κατηγόρημα στο οποίο εφαρμόζεται Απλά κατηγορήματα φτιάχνονται από σύμβολα κατηγορημάτων, πχ, P,Q Σύνθετα κατηγορήματα προκύπτουν από τα απλά με χρήση συνδετικών και ποσοδεικτών Πχ, P( a) Ω$ y( Q( y) Ω R( a, y)) είναι σύνθετο κατηγόρημα Στην πρόταση $ x( P( x) Ω$ y( Q( y) ΩR( x, y))) το πεδίο του $ x είναι ( P( x) Ω$ y( Q( y) Ω R( x, y))) ενώ το πεδίο του $ y είναι ( Q( y) Ω R( x, y)) Ο καθολικός ποσοδείκτης συμβολίζεται με το σύμβολο " Χρησιμοποιείται για την έκφραση προτάσεων που αποδίδουν μια ιδιότητα σε όλα τα μέλη ενός συνόλου Πχ, «κάθε άνθρωπος είναι θνητός», «για κάθε ακέραιο υπάρχει ένας ακέραιος ο οποίος ισούται με το τετράγωνο του πρώτου» Η πρώτη από αυτές τις προτάσεις μπορεί να γραφτεί ως εξής: για κάθε x, αν ο x είναι άνθρωπος, τότε ο x είναι θνητός» Αντιστοιχεί δηλαδή στη μορφή " x( P( x) Q( x)), όπου P σημαίνει «άνθρωπος» και Q σημαίνει «θνητός» Εν γένει, καθολικές δηλώσεις χρησιμοποιούν ", ενώ υπαρξιακές χρησιμοποιούν $, Ω Η πρόταση «κάποιος άνθρωπος είναι θνητός» γράφεται ως $ x( P( x) Ω Q( x)) Οι προτάσεις $ x( P( x) Ω Q( x)) και $ x( P( x) Q( x)) έχουν διαφορετικό νόημα από τις παραπάνω εκφράσεις Η πρώτη μας λέει ότι «τα πάντα έχουν τις ιδιότητες P,Q», ενώ η δεύτερη μας λέει ότι «είτε κάτι δεν είναι άνθρωπος είτε είναι θνητός» Όσον αφορά τη σχέση μεταξύ των δύο ποσοδεικτών, θεωρείστε την πρόταση «κανένας φιλόσοφος δεν μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή» Η πρόταση αυτή αναπαριστάται ως Ψ$x ( P( x) Ω R( x, b)) Η ίδια πρόταση μπορεί να γραφεί και ως : για κάθε x, αν x είναι φιλόσοφος, τότε ο x δεν μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή», που
7 αντιστοιχεί στην έκφραση $ x( P( x) Ψ R( x, b)) Κάθε ένας από τους ποσοδείκτες μπορεί να εκφραστεί από τον άλλο ποσοδείκτη: ΨΨ$ x() Ί Ψ" xψ () δηλαδή $ x() Ί Ψ" xψ () Παρομοίως, ΨΨ"x () Ί Ψ$xΨ () δηλαδή " x() Ί Ψ$ xψ () Βάσει αυτών των ισοδυναμιών προκύπτει ότι: Ψ$ x( P( x) ΩR( x, b)) Ί " xψ( P( x) ΩR( x, b)) Ί " x( ΨP ( x) Ϊ ΨR ( x, b)) Ί " x( P( x) ΨR ( x, b)) Οι ποσοδείκτες μπορούν να συνδυαστούν και να χρησιμοποιηθούν στην ίδια πρόταση Για παράδειγμα, «κάθε φοιτητής παρακολουθεί κάποιο μάθημα» εκφράζεται ως " x( S( x) $ y( C( y) Ω A( x, y))) «κάποιος φοιτητής παρακολουθεί κάθε μάθημα» εκφράζεται ως $ x( S( x) Ω" y( C( y) A( x, y))) «κάθε μάθημα παρακολουθείται από κάποιο φοιτητή» εκφράζεται ως " y( C( y) $ x( S( x) ΩA( x, y))) «κάποιο μάθημα παρακολουθείται από κάθε φοιτητή» εκφράζεται ως $ y( C( y) Ω" x( S( x) A( x, y))) 54 Συναρτήσεις Η χρήση συναρτήσεων μας δίνει ένα τρόπο προσδιορισμού αντικειμένων Ο προσδιορισμός αντικειμένων με σταθερές είναι μερική περίπτωση της χρήσης συναρτήσεων Για παράδειγμα, εάν θέλουμε να εκφράσουμε την πρόταση «ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος», θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια σταθερά για το «δάσκαλο του Αριστοτέλη», όπως στην έκφραση P(a) Τότε η παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη: Ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος Κάθε φιλόσοφος μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή Ο δάσκαλος του Αριστοτέλη μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή P( a) ή " x( P( x) R( x, b) R( a, b) Θεωρείστε όμως και την ακόλουθη έγκυρη εξαγωγή συμπεράσματος Ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος Ο δάσκαλος κάποιου είναι φιλόσοφος Αυτή η εξαγωγή συμπεράσματος δεν μπορεί να εκφραστεί με το συμβολισμό του Κατηγορηματικού Λογισμού που έχουμε που έχουμε εισάγει μέχρι τώρα Πρέπει να διατυπωθεί ως εξής: «για κάποιο x, αν ο x είναι δάσκαλος του Αριστοτέλη, τότε ο x είναι φιλόσφος», δηλαδή ως: $ x( F( x, a) Ω P( x)) Αν το F θεωρεί ως κατηγόρημα, τότε
8 ενδέχεται να υπάρχουν περισσότεροι από έναν δάσκαλοι του Αριστοτέλη ενώ εμείς υπονοούμε ότι υπάρχει μόνο ένας Χρειαζόμαστε μία συνάρτηση η οποία μας δίνει το μοναδικό δάσκαλο του Αριστοτέλη Τυπικά: αντικείμενα προσδιορίζονται από όρους Οι όροι μπορεί να είναι απλοί ή σύνθετοι Ένα απλός όρος είναι μια σταθερά ή μια μεταβλητή Σύνθετοι όροι σχηματίζονται με τη χρήση συναρτησιακών συμβόλων που εφαρμόζονται σε όρους Ένα συναρτησιακό σύμβολο f και μια σταθερά α σχηματίζουν τον όρο f(a) Οι όροι μπορούν να χρησιμοποιούνται ως ορίσματα κατηγορημάτων Πχ, αν η συνάρτηση f δίνει το δάσκαλο ενός ατόμου, τότε η έκφραση P(f(a)) σημαίνει «ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος» Άλλα παραδείγματα : «Υπάρχει κάποιος φιλόσοφος» - $xp( x) «Ο δάσκαλος κάποιου είναι φιλόσοφος» - $xp( f ( x)) «Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» - Ψ$x ( ( x) ΩG( x, sq( x)) 55 Συντακτικό του Κατηγορηματικού Λογισμού Ο Κατηγορηματικός Λογισμός Πρώτης Τάξης είναι ένα τυπικό σύστημα με : 1 Λεξιλόγιο: a ένα σύνολο C, πιθανόν κενό, από σταθερές αντικειμένων (a,b,c,d, ) b ένα σύνολο F, πιθανόν κενό, από συναρτησιακά σύμβολα (f,g,h, ) c ένα σύνολο P, μη κενό, από σύμβολα κατηγορημάτων (F,G,P,Q,R, ) d ένα σύνολο V, μη κενό, πιθανόν μη-πεπερασμένο από μεταβλητές (u,, v, w, x, y, ) e ποσοδείκτες (", $) f συνδετικά ( Ψ, Ω, Ϊ,, «) g παρενθέσεις και κόμμα (,) Συναρτησιακά σύμβολα και σύμβολα κατηγορημάτων έχουν μια πληθικότητα (βαθμό) μεγαλύτερη του 0 2 Κανόνες Συντακτικού a Ένας όρος είναι μια σταθερά ή μια μεταβλητή ή f ( t1, t2,, tn) όπου f είναι συναρτησιακό σύμβολο βαθμού n και t 1, t 2,, t n είναι όροι b Αν t 1, t 2,, t n είναι όροι και P είναι ένα σύμβολο κατηγορήματος βαθμού n, τότε P( t1, t2,, tn ) είναι ένα απλό σχήμα c Αν A και Β είναι σχήματα τότε και τα ΨA, A ΩB, AΪ B, A B, A «B είναι σχήματα d Ένα μοναδιαίο σχήμα είναι ένα σχήμα μιας μεταβλητής (πχ P(_), Q(_) ΩR( a, _)) e Αν Φ είναι ένα μοναδιαίο σχήμα και x κάποια μεταβλητή που δεν εμφανίζεται στο Φ, τότε " xf( x) και $ xf( x) είναι σχήματα 56 Σημασιολογία του Κατηγορηματικού Λογισμού
9 Για να αποδοθεί σημασιολογία στις προτάσεις του Σημασιολογικού Λογισμού, η έννοια της ερμηνείας πρέπει να επεκταθεί Στον Προτασιακό Λογισμό, μια ερμηνεία αποδίδει μια τιμή αλήθειας (α,ψ) σε μια πρόταση Στην περίπτωση του Κατηγορηματικού Λογισμού, για να αποδοθεί μια τιμή αλήθειας σε μια πρόταση πρέπει να ερμηνευθούν κατάλληλα όλα τα σύμβολα της γλώσσας Ο κατηγορηματικός λογισμός είναι μια πρωτοβάθμια γλώσσα Για πρωτοβάθμιες γλώσσες, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός: Μια ερμηνεία για μια πρωτοβάθμια γλώσσα έχει δύο συστατικά: 1 Το πεδίο της γλώσσας, δηλαδή το σύνολο των αντικειμένων στα οποία αναφέρονται τα σύμβολα της γλώσσας 2 μια συνάρτηση ερμηνείας, η οποία παρέχει μια αντιστοίχιση των συμβόλων της γλώσσας στο πεδίο της γλώσσας 3 Σταθερές Αντικειμένων: οι σταθερές αντικειμένων ερμηνεύονται σαν μέλη του πεδίου D Δηλαδή για κάθε a Ξ C, ( a) Ξ D 4 Συναρτησιακά σύμβολα: η ερμηνεία ενός συναρτησιακού λογισμού f είναι μια συνάρτηση (f) με πεδίο ορισμού το D Αν το συναρτησιακό σύμβολο δέχεται ένα όρισμα, τότε ( f ) : D D Αν το συναρτησιακό σύμβολο g δέχεται ( g) : D D D Γενικά, αν μια συνάρτηση h είναι βαθμού n, τότε n ( h) : D D 5 Ερμηνεία όρων της γλώσσας: για να ερμηνεύσουμε τους όρους της γλώσσας, πρέπει να επεκτείνουμε την συνάρτηση ερμηνείας σε μια συνάρτηση Ά, η οποία θα περιέχει την ερμηνεία των όρων και των σύνθετων εκφράσεων της γλώσσας Αν ο όρος είναι εφαρμογή μιας συνάρτησης s σε μια σταθερά α, τότε Ά ( s( a)) = ( s)( ( a)) Γενικότερα, Ά ( f ( t1,, t n )) = ( f )( Ά( t1),, Ά( t n )) Για σύμβολα κατηγορημάτων : ( P) Ν D, αν P είναι βαθμού 1, καθώς το P υποδηλώνει τα αντικείμενα στα οποία αποδίδεται η ιδιότητα P Γενικότερα, αν ένα σύμβολο κατηγορήματος Q είναι βαθμού n, τότε n ( Q) Ν D Μπορούμε τώρα να ορίσουμε την έννοια της ικανοποίησης ενός απλού σχήματος δεδομένης μιας ερμηνείας: = P( a) αν και μόνο αν ( a) Ξ ( P) για a Ξ C Γενικότερα, αν t είναι όρος, = P( t) αν και μόνο αν Ά( t) Ξ ( P) Για κατηγορήματα μεγαλύτερου βαθμού, = Q( t1, t2,, tn ) αν και μόνο αν ( Ά( t1 ), Ά( t2 ),, Ά( tn )) Ξ ( Q) Σύνθετα σχήματα προκύπτουν από τα απλά σχήματα με τη χρήση συνδετικών και ποσοδεικτών Η έννοια της ικανοποίησης σχημάτων είναι ίδια όπως και στην περίπτωση του Προτασιακού Λογισμού για εκείνα τα σχήματα που δεν χρησιμοποιούν ποσοδείκτες Πρέπει να οριστεί η ερμηνεία σχημάτων με ποσοδείκτες Θεωρείστε ότι διευρύνουμε το λεξιλόγιο της γλώσσας L με κάποια σταθερά *, και έστω L* η γλώσσα που προκύπτει Επεκτείνουμε κάθε ερμηνεία της L σε μια ερμηνεία της L* ως εξής: για κάθε d Ξ D, υπάρχει μια ερμηνεία d της L* η οποία συμπεριφέρεται όπως η για τις απλές εκφράσεις της L και επιπλέον απεικονίζει το
10 στοιχείο * στο d, δηλαδή d (*) = d Τότε για κατηγορήματα βαθμού 1, = P(*) αν d και μόνο αν d Ξ ( P) Αφού το d είναι οποιοδήποτε μέλος του θα έχουμε ότι ( P) = { d Ξ D = P(*)} d Στη συνέχεια, θεωρείστε σύνθετα κατηγορήματα πχ, Q(_) Ω R( a, _) Χρησιμοποιώντας το στοιχείο *, μπορούμε να δημιουργήσουμε το σχήμα Q( x) Ω R( a, x) Η ερμηνεία αυτού του σχήματος είναι το σύνολο των στοιχείων d για τα οποία Q( x) Ω R( a, x) είναι αληθής σύμφωνα με την d Δηλαδή Ά ( Q(_) Ω R( a, _)) = { d Ξ D = Q(*) Ω R( a,*) } και γενικότερα, για οποιοδήποτε σύνθετο κατηγόρημα Φ, d ΆF ( ) = { d Ξ D = d F (*)} Στην περίπτωση που το σχήμα περιλαμβάνει ποσοδείκτες: 1 = d " xf ( x) αν και μόνο αν ΆF ( ) = D 2 = d $ xf ( x) αν και μόνο αν ΆF ( ) ΉΖ Ανακεφαλαιώνοντας, μια ερμηνεία της γλώσσας L = (C,F,P,V) είναι ένα ζεύγος (), όπου D είναι το πεδίο της ερμηνείας και είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο C Θ F Θ P έτσι ώστε : 1 για κάθε c Ξ C, ( c) Ξ D n 2 για κάθε συνάρτηση f βαθμού n, ( f ) : D D n 3 για κάθε κατηγόρημα P βαθμού n, ( P) Ν D Βάσει της, ορίζεται η Άως Ά( f ( t1,, t n )) = ( f )( Ά( t1 ), Ά( t2 ),, Ά( t n )) Ικανοποιησιμότητα: = P( t1,, tn) ανν ( Ά( t1 ),, Ά( tn )) Ξ ( P) = Ψ A ανν ΉD, A = A ΩB ανν = A και = Β = A Ϊ B ανν = A ή = Β = A B ανν ΉD, A ή ( = A και = Β) = A «B ανν = A B και = Β A Για ένα σύνθετο κατηγόρημα Φ, ΆF ( ) = { d Ξ D = d F (*)}, και : 1 = d " xf ( x) αν και μόνο αν ΆF ( ) = D 2 = d $ xf ( x) αν και μόνο αν ΆF ( ) ΉΖ Παράδειγμα: L = (C,F,P,V) όπου C = {a}, F= {s,u}, P = {Ε,G}, V = {u,w,x,y,z} Έστω D = N, όπου Ν το σύνολο των φυσικών αριθμών Μια ερμηνεία Ι για την γλώσσα L ορίζεται ως εξής: ( a ) = 0 ( s)( n) = n + 1 ( u)( m, n) = m + n ( E) = { n Ξ N n ' artios} = {0,2,4,6,8,} ( G) = {( m, n) Ξ N N m > n} Η εκτεταμένη ερμηνεία Άορίζεται ως:
11 Ά ( a) = ( a) = 0 '( s( a)) = ( s)( Ά( a)) = ( s)( ( a)) = = 1 '( s( s( a))) = ( s)( Ά( s( a))) = 1+ 1 = 2 Ά( u( s( a), u( a, s( a)))) = ( u)( Ά( s( a)), Ά( u( a, s( a)))) = Ά( s( a)) + Ά( u( a, s( a))) = 1 + ( u)( Ά( a), Ά( s( a))) = 1 + (0 + 1) = 2 Ισχύει = E( a) ; Ισχύει αν ( a) Ξ ( E), δηλαδή αν 0 Ξ {0,2,4,6} Ισχύει = G( a, a) ; Ισχύει αν ( ( a), ( a)) Ξ ( G) δηλαδή αν (0, 0) Ξ ( G), το οποίο δεν ισχύει Ισχύει = E( s( s( a))) ; Ισχύει αν Ά( s( s( a))) Ξ ( E) δηλαδή αν 2 Ξ {0, 2, 4,6} Από τα παραπάνω προκύπτει ότι = E( a) E( s( s( a))) και = G( a, a) ΩG( a, a) G( a, a) Το σχήμα G(a,*) ικανοποιείται από τις ερμηνείες d για τις οποίες (0, d) Ξ ( G) Απαιτείται δηλαδή 0>d Άρα το σχήμα είναι ψευδές για κάθε φυσικό αριθμό d Άρα, Ά ( G( a, _)) = Ζ και επομένως Ή $ yg( a, y) Επίσης, = " x( E( x) E( s( s( x)))) ανν Ά ( E( x) E( s( s( x)))) = D Ά ( E( x) E( s( s( x)))) = { d Ξ D = E( x) E( s( s(*)))} = { d Ξ D Ή d E(*)} Θ d { d D Ή E(*)} Θ{ d Ξ D = E(*) ΩE( s( s(*)))} = {1,3,5,7,} Θ{ d Ξ D Ξ d d d Ξ {0,2,4,6,}, d + 2 Ξ{0,2,4,6,}} = {1,3,5,7,} Θ {0,2,4,6,} = N = D Άρα, = " x( E( x) E( s( s( x)))) 5 7 Λογική Συνέπεια και Ισοδυναμία στον Κατηγορηματικό Λογισμό Μια ερμηνεία () η οποία ικανοποιεί ένα σχήμα Α του κατηγορηματικού λογισμού λέγεται μοντέλο του Α Ορισμός: Ένα σύνολο S από σχήματα του Κατηγορηματικού Λογισμού είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνο αν υπάρχει μια ερμηνεία () για την οποία = A για κάθε AΞ S Ισοδύναμα, ένα σύνολο σχημάτων είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνο αν υπάρχει μοντέλο κάθε μέλους του S Παράδειγμα: S1 = {" x( P( x) Q( x)), $ xp( x), $ xψ Q( x)} Υπάρχει μοντέλο αυτού του συνόλου; Θεωρείστε D = {0,1}, ( P) = {0}, ( Q) = {0} Τότε, Ά ( P(_)) = {0} ΉΖ Ά ( ΨQ (_)) = {1} ΉΖ Ά ( P(_) Q(_)) = {1} Θ{0} = {0,1} = D
12 Άρα η ερμηνεία () είναι μοντέλο του S1 Παράδειγμα: S2 = {" x( P( x) Q( x)), $ xp( x), Ψ $ xq( x)} Υπάρχει μοντέλο αυτού του συνόλου; Έστω () μια ερμηνεία που ικανοποιεί τα δύο πρώτα σχήματα του S 2 Εφόσον, = $ xp( x), τότε ( P) ΉΖ, άρα υπάρχει d Ξ ( P) Αφού = " x( P( x) Q( x)), τότε Ά ( P(_) Q(_)) = D και επομένως d Ξ Ά ( P(_) Q(_)) και = P(*) Q(*) d Ξέροντας ότι d Ξ ( P), πρέπει να ισχύει ότι d Ξ ( Q) Άρα, ( Q) ΉΖ και = $ xq( x) Η ερμηνεία που ικανοποιεί το $ xq( x) δεν μπορεί να ικανοποιεί και το Ψ $xq( x) Άρα το σύνολο δεν μπορεί να είναι ικανοποιήσιμο Η λογική συνεπαγωγή μπορεί να οριστεί βάσει της ικαποιησιμότητας: για ένα σύνολο σχημάτων S και ένα σχήμα Α, S = A αν και μόνο αν S Θ{ Ψ A} είναι μηικανοποιήσιμο σύνολο Επίσης, S = A αν και μόνο αν το S Θ{ ΨA} δεν έχει μοντέλο Στο προηγούμενο παράδειγμα δείξαμε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος {" x( P( x) Q( x)), $ xp( x)}/ $ xq( x) είναι έγκυρη Από αυτό συμπεραίνουμε ότι και η εξαγωγή συμπεράσματος " x( P( x) Q( x)) / $ xp( x) $ xq( x) είναι έγκυρη, άρα " x( P( x) Q( x)) = $ xp( x) $ xq( x) Ισχύει όμως η αντίστροφη λογική συνεπαγωγή Έστω D = {0,1}, ( P) = {0}, ( Q) = {1} Τότε = $ xp( x) $ xq( x) Αλλά, Ά ( P(_) Q(_)) = {1} ΉD και επομένως η ερμηνεία () δεν ικανοποιεί την πρόταση " x( P( x) Q( x)) Ορισμός: Δύο σχήματα Α και Β λέγονται ισοδύναμα αν ικανοποιούνται από τις ίδιες ακριβώς ερμηνείες, δηλαδή αν έχουν τα ίδια μοντέλα Έστω ότι Μ(Α) δηλώνει το σύνολο των μοντέλων του A Τότε για οποιοδήποτε σχήματα Α και Β, A = B αν και μόνο αν M ( A) Ν M ( B) και A Ί B αν και μόνο αν M ( A) = M ( B) Τώρα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε την ισοδυναμία " xψf ( x) Ί Ψ $ xf( x) Έστω ότι = " xψ F( x) Αυτό σημαίνει ότι Ά( Ψ F ) = D Έστω κάποιο d Ξ D Τότε = d Ψ F(*) αν και μόνο αν Ή F(*) Ξέρουμε όμως ότι = d d Ψ F(*) για κάθε d Ξ D, επομένως δεν υπάρχει d Ξ D για το οποίο = d F (*), δηλαδή ΆF ( ) = Ζ Άρα, Ή $ qf( x) και = Ψ $ xf( x) Παρόμοια δείχνουμε και το αντίστροφο Ορισμός: ένα σχήμα λέγεται λογικά αληθές αν ικανοποιείται από κάθε ερμηνεία και λογικά ψευδές αν δεν υπάρχει ερμηνεία που να το ικανοποιεί Δηλαδή, = Α αν και μόνο αν για κάθε ερμηνεία (), = A και Ή A αν και μόνο αν για κάθε ερμηνεία (), = D, A d Παράδειγμα: Το σχήμα " x( F( x) $ y( F( y))) είναι λογικά αληθές Έστω μια ερμηνεία () Τότε = $ yf( y) ανν Ά( F) ΉΖ Έστω eξ D Αν e Ξ ( F), τότε = F(*) $ yf ( y) Αν eο ( F), τότε = e Ψ F(*), οπότε e = F(*) $ yf( y) Σε κάθε περίπτωση, '( F(_) $ yf( y)) = D, άρα e
13 = " x( F( x) $ yf( y)) Η ερμηνεία () επιλέχτηκε αυθαίρετα, επομένως το επόμενο συμπέρασμα ισχύει για κάθε ερμηνεία Λογικά αληθείς προτάσεις δεν καλλούνται ταυτολογίες εκτός και αν είναι στιγμιότυπα ταυτολογιών του Προτασιακού Λογισμού Για παράδειγμα, η " x( F( x) $ yf( y)) δεν είναι ταυτολογία (παρόλο που είναι λογικά αληθής), ενώ η " xf( x) Ϊ Ψ" xf( x) είναι ταυτολογία Επίσης, η πρόταση " x( F( x) Ϊ Ψ F( x)) δεν είναι ταυτολογία 58 Συστήματα αποδείξεων για τον Κατηγορηματικό Λογισμό: Μορφολογική Παραγωγή Οι κανόνες της μορφολογικής παραγωγής για τον Προτασιακό Λογισμό χρησιμοποιούνται και για τον Κατηγορηματικό ΛογισμόΧρειαζόμαστε όμως και κανόνες οι οποίοι να αναφέρονται σε σχήματα που χρησιμοποιούν ποσοδείκτες F( tό), t : rov 1 εισαγωγή - $ : $ xf( x) Αιτιολογία: η παραδοχή Φ(t) σημαίνει ότι για να είναι αληθής σε μια ερμηνεία, πρέπει '( t) Ξ '( F), δηλαδή '( F) ΉΖ Άρα αυτή η ερμηνεία ικανοποιεί και την $ xf( x) " xf( x) 2 Απαλοιφή - " : F ( tό), t : rov Αιτιολογία: = " xf( x) σημαίνει ότι '( F ) = D, άρα '( t) Ξ D αφού '( t) Ξ '( F) Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος x R(x,a) / x R(a,x) είναι έγκυρη με χρήση των κανόνων της μορφολογικής παραγωγής (1) " xr( x, a) (υπόθεση) (2) R( a, a ) (από (1) με απαλοιφή-" και a/x) (3) $ xr( a, x) (από (2) με εισαγωγή- $ και x/a) O συμβολισμός a/x σημαίνει ότι η μεταβλητή x αντικαθίσταται από τη σταθερά α Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι εξαγωγή συμπεράσματος {" xp( x) Ϊ " xψp ( x), ΨP ( a)}/ Ψ P( b) είναι έγκυρη με τη χρήση των κανόνων της μορφολογικής παραγωγής (1) " xp( x) Ϊ " xψ P( x) (υπόθεση) (2) υποπαραγωγή (21 ) " xp( x) (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) υποπαραγωγή (221) P( b ) (υπόθεση υποπαραγωγής) (222) P( a ) (από (21) με απαλοιφή-" και a/x)
14 (223) Ψ P( a) (υπόθεση) (23) Ψ P( b) (από (22) με εισαγωγή- Ψ) (3) υποπαραγωγή (31) " xψ P( x) (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) Ψ P( b) (από (31) με απαλοιφή-" και b/x) (4) Ψ P( b) (από (2), (3) με απαλοιφή- ) Διαδοχικές εφαρμογές των κανόνων της απαλοιφής- " και της εισαγωγής- $ μπορούν να συμπτυχθούν σε ένα βήμα Δηλαδή αντί της ακολουθίας (1) " x" y" zp( x, y, z) (2) " y" zp( a, y, z) (3) "zp( a, b, z) (4) P( a, b, c) μπορούμε να γράφουμε (1) " x" y" zp( x, y, z) (2) P( a, b, c ) (απαλοιφή-" και a/x, b/y, c/z) Με παρόμοιο τρόπο: (1) P( a, b, c) (2) x y z P(x,y,z) (εισαγωγή- $ και x/a, y/b, z/c) Στη συνέχεια θα εισάγουμε τους κανόνες της εισαγωγής του καθολικού ποσοδείκτη και της απαλοιφής του υπαρξιακού ποσοδείκτη Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα Παράδειγμα: Θεωρείστε την ακόλουθη εξαγωγή συμπεράσματος Κάθε τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο Κάθε παραλληλόγραμμο έχει ίσες διαγωνίους Κάθε τετράγωνο έχει ίσες διαγωνίους η οποία γνωρίζουμε ότι είναι ορθή (άρα και έγκυρη) Η εγκυρότητά της δικαιολογείται από τα ακόλουθα βήματα μιας μη-τυπικής απόδειξης: (1) έστω ΑΒΓΔ ένα τετράγωνο (2) Αν το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο, τότε είναι παραλληλόγραμμο (3) Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο (4) Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τότε έχει ίσες διαγωνίους (5) Άρα το ΑΒΓΔ έχει ίσες διαγωνίους (6) Αν το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο, τότε έχει ίσες διαγωνίους (7) Κάθε τετράγωνο έχει ίσες διαγωνίους Το τελευταίο βήμα γενικεύει το συμπέρασμα για το ΑΒΓΔ σε όλα τα τετράγωνα Η γενίκευση αυτή είναι έγκυρη εφόσον το ΑΒΓΔ είναι ένα τυχαίο τετράγωνο και δεν συμμετέχει σε καμία από τις υποθέσεις Τυπικά, αν σε κάποια παραγωγή έχει γίνει η παραδοχή Φ(α), τότε μπορούμε να συμπεράνουμε " xf ( x) αν η σταθερά a δεν εμφανίζεται στο Φ(_) ή σε μια υπόθεση της παραγωγής ή στην υπόθεση μιας μη-ολοκληρωμένης υποπαραγωγής
15 ( ) 3 Εισαγωγή: -" F a : " x F ( x) Παράδειγμα: Η προηγούμενη εξαγωγή συμπεράσματος μπορεί να τυποποιηθεί ως εξής: έστω ότι τα κατηγορήματα P,Q,R εκφράζουν τις ιδιότητες «τετράγωνο», παραλληλόγραμμο» και «έχει ίσες διαγωνίους» αντίστοιχα (1) " x( P( x) Q( x)) (υπόθεση) (2) " x( Q( x) R( x)) (υπόθεση) (3) υποπαραγωγή (31) P( a ) (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) P( a) Q( a) (από την (1) με απαλοιφή-" και α/x) (33) Q( a ) (από (31), (32) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (34) Q( a) R( a) (από την (2) με απαλοιφή-" και α/x) (35) R( a ) (από (33), (34) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (4) P( a) R( a) (από (3) με εισαγωγή συνεπαγωγής) (5) " x( P( x) R( x)) ( από (4) με εισαγωγή-" ) Αν παραβιάζονται οι συνθήκες εφαρμογής του κανόνα της εισαγωγής- ", μπορούμε να φτάσουμε σε μη-έγκυρες εξαγωγές συμπερασμάτων Παράδειγμα: Παραβίαση της πρώτης συνθήκης (1) "xr( x, x) (2) R( a, a ) (απαλοιφή-" και α/x) (3) " xr( x, a) (εισαγωγή-" και x/a) Παραβίαση δεύτερης συνθήκης: (1) R( a, b) (2) " yr( a, y) (εισαγωγή-" και y/b) (3) " x" yr( x, y) (εισαγωγή-" και x/α) (4) " yr( b, y) (απαλοιφή-" και b/x) (5) R( b, a ) (απαλοιφή-" και a/y) Kανόνας απαλοιφής- $ : Έστω ότι σε μια παραγωγή έχουμε εξάγει $ xf( x) και έστω α μια σταθερά που ικανοποιεί τις συνθήκες του κανόνα της εισαγωγής- " Έστω A ένα σχήμα που δεν περιέχει το α και το οποίο παράγεται από το Φ(α) Τότε μπορούμε να εξάγουμε το Α από το $ xf ( x) $ xf( x) F( a) 4 Απαλοιφή- $ : A A
16 Παράδειγμα: Δείξτε ότι {" x( P( x) Q( x)), $ xp( x)} = $ xq( x) (1) " x( P( x) Q( x)) (υπόθεση) (2) $ xp( x) (υπόθεση) (3) υποπαραγωγή (31) P( a ) (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) P( a) Q( a) (από (1) με απαλοιφή-" και α/χ) (33) Q( a ) (από (31), (32) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (34) $ xq( x) (από (33) με εισαγωγή- $ και α/χ) (4) $ xq( x) (από (2), (3) με απαλοιφή- $ ) Παράδειγμα: Δείξτε ότι το σχήμα " x( F( x) $ yf( y)) είναι λογικά αληθές (1) Υποπαραγωγή (11) F( a ) (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) $ yf( y) (από (11) με εισαγωγή- $ και y/a) (2) F( a) $ yf( y) (από (1) με εισαγωγή συνεπαγωγής) (3) " x( F( x) $ yf( y)) (από (2) με εισαγωγή-" και x/a)
\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)
\5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης 1. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΛογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 4ο μέρος σημειώσεων: Ακολουθίες Επίλυσης, Επίλυση για όρους Horn, Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019
Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου
Διαβάστε περισσότεραΛογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης a. Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραHY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5
HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #7: Ευφυής Ελεγκτής Μέρος Α Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΑρχεία και Βάσεις Δεδομένων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 7η: Σχεσιακός Λογισμός Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 14: Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 3/3/2016 Κατερίνα Δημητράκη
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Ορισμός και λειτουργία των μηχανών Turing Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΛογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 2 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 7: Πεπερασμένη αναπαράσταση γλωσσών Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε
Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική
Διαβάστε περισσότεραΣυνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
Διαβάστε περισσότεραp p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 5: Ασκήσεις Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα #10: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Ενότητα #10: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Διδάσκων: Μανασάκης Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Τα κείμενα και
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3: Συναρτήσεις - σχέσεις Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων
Διαβάστε περισσότεραΓνωστική Ψυχολογία 3
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Γνωστική Ψυχολογία 3 Ενότητα #3: Εισαγωγή στη Μνήμη Διδάσκων: Οικονόμου Ηλίας ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ
Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ Ενότητα 3: Eφαρμογές Άλγεβρας Boole Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Τετάρτη 24 Οκτωβρίου, 2018 Διάρκεια : 12:00 13:30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 4: Τελεστές - Αλγόριθμος Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότεραΥποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 4: Ισοδυναμία, διάταξη, άπειρα σύνολα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5 Λογικοί Τελεστές Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Εντολή if. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης
ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΝΝΙΝΩΝ ΝΟΙΚΤ ΚΔΗΜΪΚ ΜΘΗΜΤ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Εντολή if Διδάσκοντες: ν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, ν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναδείξει την ερμιτιανότητα
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Εργαλεία Θετικής Ανάλυσης Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Β: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία για την εκτίμηση ποσοστού Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ
Διαβάστε περισσότερα