Historicizam. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. Historicizam je proučavanje odredenog
|
|
- Δήλια Παπάζογλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Iz rječnika metodike Historicizam Zdravko Kurnik, Zagreb Uspješnost nastave matematike ovisi o mnogim činiteljima. Važne ideje za ostvarenje ovog cilja nastavnik matematike nalazi već u načelima nastave matematike. Jedno od presudnih je bez sumnje načelo interesa: Nastava matematike mora biti takva da kod učenika budi interes prema predmetu. To nije lako postići. Matematika se ubraja u teže nastavne predmete, zahtijeva neprekidan rad u koji je potrebno uložiti dosta vremena, truda i napora. Učenici nisu uvijek spremni tako raditi i svladavanje matematičkih sadržaja zadaje im dosta teškoća. Medutim, ako učenici pokazuju interes prema predmetu, ako matematiku uče sa zadovoljstvom, mnoge teškoće nestaju i nastava matematike i proces učenja odvijaju se mirnije i uspješnije. Vrijeme učenja brzo prolazi, matematički sadržaji lakše se usvajaju. Budući da je interes najveći poticaj za učenje matematike i kao takav nezamjenjiv, nastavnik mora pronaći načine njegova pobudivanja i njegovanja. Jedan od još dovoljno neiskorištenih načina su historicizmi. Historicizam je proučavanje odredenog pitanja pretežno s povijesne strane i isticanje i naglašavanje povijesnih činjenica medu svim drugim činjenicama. Dakle, interes prema matematici može se poticati i posebnim sadržajima same matematike, ljepotom njezinih ideja, djelotvornošću njezinih metoda, njezinim dostignućima. Sve to možemo raditi koristeći mali matematički vremeplov. Učenici obično nemaju ni najosnovniju predodžbu o razvoju matematike, o njezinoj staroj i bogatoj povijesti. Oni možda misle da je matematika uvijek bila takva kakva je sada. Njih treba osposobiti da nauče vrednovati matematiku, cijeniti suvremene matematičke pojmove, ideje i metode. Oni će ih bolje shvatiti ako poznaju barem djelomično njihov razvoj. Kao elementi historicizama mogu poslužiti: znanstvena matematička otkrića, povijesni razvoj matematičkih ideja, anegdote iz života velikih matematičara, matematičke zanimljivosti idr. Takvi sadržaji, primjereno odabrani i zanimljivo opisani, mogu biti vrlo korisni i poučni. Mnogi veliki matematičari, uz sav svoj znanstveni rad, dali su značajne doprinose i školskoj matematici. Danas se rezultati njihovih istraživanja mogu naći na stranicama udžbenika matematike za osnovnu i srednje škole. Veće doprinose školskoj matematici dali su: Tales, Pitagora, Euklid, Diofant, Arhimed, Viète, Napier, Briggs, Descartes, Cavalieri, de Fermat, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Horner, Dirichlet. 5 17, 00
2 Radi potpunosti navodimo i one matematičare čiji su doprinosi školskoj matematici nešto manji i koji se u njoj spominju ovim redom: van Ceulen, Heron, Cardano, Tartaglia, Stirling, Lobačevski, Guldin, Getaldić, Hamilton, Apolonije, Papus, Bošković, Goldbach, Jacob Bernoulli, Dedekind, Cantor, Weierstrass, de Moivre, Venn, de Morgan, d Alembert, Bayes, Fibonacci, Cauchy. A) Veliki matematičari Pogledajmo najprije nekoliko historicizama koji se odnose na velike matematičare i njihove doprinose školskoj matematici. Medu prvima koji se spominju pri obradi školske matematike su matematičari koji su živjeli i radili u staroj Grčkoj. Grčki matematičari su često putovali u druge zemlje, upoznavali matematička dostignuća drugih kultura i na kraju skupili veliko znanje. Njihova je zasluga što su razvili djelotvorne istraživačke metode, pa su oni primjenom tih metoda matematiku razvili kao znanost. Što o njihovom radu saznaju učenici? Malo. Pretežno su to pojedinačne i šture činjenice, a u nekim udžbenicima manjka čak i to. Uzmimo kao primjer prvog od njih, Talesa. Učenici uče dva poučka koji nose njegovo ime. To su Talesov poučak o obodnom kutu nad promjerom kružnice i Talesov poučak o proporcionalnosti u pramenu pravaca. Evo tih izreka: Obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut. Ako se dva ukrštena pravca ravnine presijeku s dva paralelna pravca, onda su odgovarajući odresci na tim pravcima proporcionalni. Bilo bi poželjno da učenici pri usvajanju ovih poučaka čuju malo više i tko je Tales i koje su njegove zasluge. U tu svrhu mogao bi poslužiti ovaj historicizam: TALES (Milet, Mala Azija, oko 65. oko 548. p.k.). Starogrčki matematičar, fizičar, astronom i filozof. Otac grčke matematike i prvi grčki astronom. Bavio se trgovinom. U mladosti je bio u Babilonu i Egiptu, gdje je izučavao različite znanosti. Odatle je vjerojatno u Grčku prenio njihova znanja iz geometrije. Po povratku osnovao je u Miletu filozofsku školu (Miletska škola). Svojim predvidanjem pomrčine Sunca g. p. K. stekao slavu jednog od sedam mudraca (Solon, Tales, Hilon, Pitak, Bijant, Kleobul, Perijander). Izračunao je visinu Velike egipatske piramide pomoću njezine sjene. Bio je prvi matematičar koji je dokazivao matematičke tvrdnje, iako njegov dokaz još nije logički strog. Osim navedena dva poučka Talesu se pripisuju i mnoge druge geometrijske tvrdnje. Evo još nekih od njih: jednakost vršnih kutova, jednakost kutova uz osnovicu jednakokračnog trokuta, treći poučak o sukladnosti trokuta (K-S-K), promjer raspolavlja krug. Njegovo ime nosi i jedan krater na vidljivoj strani Mjeseca. Problem. Pri proučavanju piramide u osmom razredu učenicima bi se moglo postaviti pitanje što misle kako i u koje vrijeme dana je Tales izračunao visinu piramide pomoću sjene. Budući da je osnovka piramide kvadrat, učenici bi sigurno imali neke ideje. Problem bi pobudio interes. Nastava bi postala mnogo životnija. 17, 00 53
3 U drugom razredu srednjih škola obraduju se jednakosti x 1 + x = ; b a x 1x = c a koje povezuju rješenja x 1, x kvadratne jednadžbe ax +bx+c = 0 i njezine koeficijente a, b, c, te analogne jednakosti x 1 + x + x 3 = ; b a, x 1 x + x 1 x 3 + x x 3 = c a, x 1x x 3 = ; d a za kubnu jednadžbuax 3 +bx +cx+d = 0. U četvrtom razredu ove jednakosti se generaliziraju. U sva tri slučaju jednakosti se nazivaju Vièteove formule. A o Vièteu znaju samo da je francuski matematičar. Budući da je iduće godine 400-ta godišnjica njegove smrti, bilo bi dobro i za učenike poučno da saznaju nešto više činjenica o njegovom životu i djelu. Historicizam: FRANÇOIS VIÈTE (1540., Fontenay-le-Comte 13. prosinca 1603., Paris). Francuski matematičar. Otac algebre. Po profesiji bio je pravnik. Privukla ga je astronomija, pa je zbog nje morao proučavati trigonometriju i algebru. U njegovim radovima algebra postaje općom znanosti o algebarskim jednadžbama. Prvi je godine uveo slova za oznake ne samo nepoznanica, već i danih veličina, koeficijenata. Do tada su se razmatrale samo konkretne jednadžbe. Time je omogućio po prvi puta prikaz svojstava algebarskih jednadžbi i njihovih rješenja pomoću općih formula. Razradio je jednolik pristup rješavanju jednadžbi drugog, trećeg i četvrtog stupnja. Uveo je novu metodu rješavanja kubne jednadžbe, te dao trigonometrijsko rješenje te jednadžbe u nesvodljivom slučaju. Našao je jednakosti koje izražavaju vezu rješenja i koeficijenata jednadžbe, danas poznate kao Vièteove formule. Za približno rješavanje jednadžbi opisao je metodu koja je slična poznatoj Newtonovoj metodi. Slabost njegove algebre je to što nije priznavao iracionalne, negativne i kompleksne brojeve. I njegova simbolika nije sasvim podesna. U trigonometriji njegov doprinos su potpuno rješenje zadaće o odredenosti ravninskog ili sfernog trokuta ako su zadana tri elementa i prikazi veličina sin nx i cos nx pomoću sin x i cos x. Njegovo djelo Matematički kanon iz godine sadrži tablice sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, sekansa i kosekansa. On je prvi promatrao beskonačni produkt i upisivanjem u kružnicu pravilnih poligona sa 4, 8, 16, :::stranica našao da je r s = 1 π 1 1+ r 1 s1 1+ r 1 ::: ili u današnjim oznakama π = cos π 4 cos π 8 cos π 16 :::: Viète je pomoću ravnala i šestara riješio Apolonijev problem o konstrukciji kružnice koja dodiruje tri dane kružnice, što mu je donijelo naziv Galski Apolonije. Družio se i dopisivao s našim matematičarem M. Getaldićem. Njegovo ime nosi i jedan krater na vidljivoj strani Mjeseca. Listajući stare i nove udžbenike ponekad za pravokutni koordinatni sustav možemo naći naziv Kartezijev koordinatni sustav. Najčešće bez objašnjenja odakle potječe taj naziv. Tko je taj Kartezije? Budući da se radi o Descartesu, jednom od osnivača analitičke geometrije, udžbenici bi trebali sadržavati više činjenica o njegovom životu i radu. Historicizam: RENÉ DESCARTES (31. ožujka 1596., La Haye 11. veljače 1650., Stockholm). Francuski matematičar, fizičar i filozof. Njegovo znanstveno djelo obuhvaća mnoge znanosti: filozofiju, matematiku, fiziku, psihologiju, fiziologiju, medicinu, meteorologiju i dr. U filozofiji on je osnivač racionalizma i smatraju ga ocem moderne filozofije. U matematici uveo je pojam promjenljive veličine, 54 17, 00
4 čime je počeo period matematike promjenljivih veličina. Otkrio je analitičku geometriju ( Geometrija, 1637.). Danas se koordinatni sustav po njegovu latiniziranom imenu Kartezije (Cartesius) naziva Kartezijev koordinatni sustav. Uveo je algebarsku metodu u geometriji i metodu neodredenih koeficijenata. Razvio je pojam potencije i uveo današnje označavanje eksponenta. Dao je potpuno objašnjenje negativnih brojeva i zasnovao operacije s njima. On ima predodžbu o realnom broju koja je bliska današnjoj. Već 168. godine jasno razlikuje pozitivna i negativna rješenja, a govori i o imaginarnim rješenjima algebarskih jednadžbi. Od njega potječu nazivi realan i imaginaran. Njegovo ime nosi i jedan krater na vidljivoj strani Mjeseca. B) Velika otkrića Povijest velikih matematičkih otkrića takoder je vrlo poučna. Ona nam najbolje odražava duh vremena u kojem je neko otkriće nastalo, upoznaje nas s načinom rada velikih matematičara toga vremena i načinom njihovog mišljenja, što može poticajno djelovati na svakog tko se upoznaje s tim idejama. Razmotrit ćemo ukratko nekoliko značajnih trenutaka iz te povijesti koji su bliski školskoj matematici. Njih opisuju historicizmi: aksiomatska izgradnja geometrije, otkriće analitičke geometrije, utemeljenje diferencijalnog i integralnog računa i otkriće neeuklidske geometrije. EUKLIDSKA GEOMETRIJA Kao što je ranije rečeno, starogrčki matematičari su do III. stoljeća p. K. skupili veliko znanje. Zato je bio sasvim prirodan pokušaj da se dotadašnja matematika sistematizira i da se ona cijela ili neke njezine teorije zasnuju na odredenom broju jednostavnih istina, polaznih tvrdnji, koje se pretpostavljaju kao točne i bez dokaza. Zamisao je ostvario Euklid (oko 330. oko 75.) oko 300. godine p.k. u svom glasovitom djelu Elementi u 13 knjiga. Na početku Euklid daje pregled polaznih tvrdnji geometrije, podijeljenih u dvije skupine. Polazne tvrdnje prve skupine karakteriziraju opća svojstva veličina i nazivaju se aksiomi. Ima ih 9. Takva je na primjer tvrdnja: Cjelina je veća od dijela. Polazne tvrdnje druge skupine imaju čisto geometrijski karakter i nazivaju se postulati. Ima ih 5. Posebno je važan V. postulat koji se u našim udžbenicima iskazuje u sljedećem ekvivalentnom i jednostavnijem obliku: Točkom izvan pravca može se povući točno jedan pravac paralelan s tim pravcem. Sada se na temelju aksioma i postulata putem logičkih zaključivanja izgraduje cijela geometrija ravnine. Navedeno djelo je, i pored stanovitih nedostataka, sjajno dostignuće antike. Više od 000 godina ono je služilo kao uzor sustavnog izlaganja elementarne geometrije i sve do XIX. stoljeća bilo osnovni udžbenik iz kojega se ona učila. Danas je uobičajeno da se geometrija koja se predaje u školama naziva euklidska geometrija. ANALITIČKA GEOMETRIJA Ideja koordinatne metode nije dostignuće novoga vremena. Primjenjivali su je već stari Egipćani i starogrčki astronomi (Hiparh, Ptolemej), ali su pomanjkanje prikladne simbolike i općeg pojma broja kočili njezin razvoj. Analitičku geometriju otkrili su neovisno jedan od drugoga francuski matematičari René Descartes ( ) i Pierre de Fermat ( ). Descartes je analitičku metodu objelodanio godine u Geometriji, dijelu svoje Rasprave o metodi. On ispituje ovisnost dviju dužina ili točaka, već prema karakteru promatranog neodredenog problema. Pri izvodenju prve analitičke formule koristi Vìeteovu algebarsku analizu i rabi koordinatni sustav koji nije koordinatni sustav u današnjem smislu i nema nazive njegovih dijelova. Ima 17, 00 55
5 ishodište, jednu os, drugu os uspostavlja prema nužnosti, a vladanje krivulje proučava samo u I. kvadrantu. Fermat je analitičku metodu opisao u nevelikom djelu Uvod u teoriju ravninskih i prostornih mjesta, koje je napisao oko godine, ali je djelo objavljeno tek godine. Za razliku od Descartesa on promatra neodredene jednadžbe, na primjer jednadžbu s dvije nepoznanice. Postoji beskonačno mnogo parova brojeva koji zadovoljavaju takvu jednadžbu. Parovi se mogu predočiti u koordinatnom sustavu pomoću neke krivulje. Kod Fermata koordinatni sustav nalazimo prvi puta kao sredstvo predočavanja krivulja. Izbjegava negativne brojeve, a to znači da i on sve svodi na I. kvadrant. U Uvodu nalazimo jednadžbe oblika y = kx, xy = m, x + y = a, x a y = b. Fermatove jednadžbe nisu ovako suvremene, već su pisane u duhu nepodesne Vièteove simbolike. Fermatova prednost je u činjenici da je on analitičku metodu prenio u prostor i napravio niz primjena. Prema opisanim povijesnim činjenicama opravdano bi bilo koordinatni sustav zvati Descartesov koordinatni sustav ili Fermatov koordinatni sustav. DIFERENCIJALNI I INTEGRALNI RAČUN Uvodenje analitičke metode dalo je snažan poticaj razvoju metode grafičkog predočavanja, razvoju pojma funkcije te je poslužilo kao osnova za izgradnju diferencijalnog i integralnog računa. Račun su utemeljili neovisno jedan od drugoga Isaac Newton ( ) i Gottfried Wilhelm Leibniz ( ), ali na različitim idejama. Njihovim radovima prethodili su radovi drugih matematičara (Cavalieri, Roberval, Fermat, Wallis, Barrow). Infinitezimalne metode matematičari su primjenjivali još u antici (Eudokso, Arhimed, metoda ekshaustije). Newton je promatrao matematiku samo kao način za fizikalna istraživanja. Takva veza jasno je došla do izražaja u njegovoj metodi fluksija. Osnovne ideje te metode temeljene na fizikalnim razmatranjima (problem brzine) za potrebe mehanike razradio je izmedu i godine. Derivaciju je nazvao fluksija, a uvodi i termin limes. Otkrio je obratni karakter operacija diferenciranja i integriranja, dao je i niz otkrića u teoriji beskonačnih redova, a razradio je i posebnu metodu istraživanja funkcija primjenom beskonačnih redova. Leibniz do otkrića dolazi preko geometrijskih razmatranja (problem tangente) izmedu i godine. Njegov je pristup apstraktan. Uveo je pojam karakterističnog trokuta i derivaciju definirao pomoću novog pojma diferencijala. Formulirao je niz pravila, pored ostalog i pravila za diferenciranje produkta i potencije. Osim diferencijala uveo je i mnoge druge matematičke termine (funkcija, varijabla, konstanta, diferencijalni račun, diferencijalna jednadžba, algoritam, apscisa, ordinata, koordinata) i oznake. Newton je očito prvi utemeljio infinitezimalni račun, ali je Leibnizova zasluga u tome što su njegov pristup i simbolika suvremeniji. Rezultate svojih otkrića oba osnivača objelodanili su nekoliko godina kasnije. NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA Sve do XIX. stoljeća nitko nije sumnjao u to da su svi Euklidovi postulati apsolutne i postojane istine i da je euklidska geometrija jedini geometrijski sustav. Jedino se stvorilo mišljenje da je V. postulat, Euklidov aksiom o paralelama, zbog svoje složenosti ovisan o ostalim postulatima, te da se prema tome pomoću njih može dokazati. Mnogi matematičari su to i pokušali. Ruski matematičar N. I. Lobačevski ( ) napravio je prekretnicu u razvoju geometrije. Na početku i sam pokušava dokazati V. postulat, ali uskoro uvida da je to uzaludan posao i donosi sudbonosne zaključke: V. postulat je nedokaziv. Teorija paralela mora biti općenitija i dublja. Pitanje paralelnih pravaca Lobačevski je razriješio na taj način da je Euklidov V. postu , 00
6 lat zamijenio novim aksiomom o paralelnim pravcima koji glasi: Točkom izvan pravca u ravnini prolaze dva pravca koji su paralelni s tim pravcem. Ravnina naravno više nije euklidska. Ravnina u kojoj se ostvaruje zahtjev Lobačevskog naziva se ravnina Lobačevskog ili hiperbolička ravnina. Na temelju gornjeg aksioma Lobačevski izgraduje novi geometrijski sustav koji je on nazvao imaginarna geometrija. Gauss je toj geometriji dao naziv neeuklidska geometrija. Danas se ona naziva još geometrija Lobačevskog i hiperbolička geometrija. Danom rodenja novog geometrijsko sustava smatra se 3. veljače 186. godine kada je na zasjedanju Fizičkomatematičkog fakulteta Sveučilišta u Kazanju Lobačevski izložio svoj rad Kratko izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelnim pravcima. Na pomisao o postojanju neeuklidske geometrije došla su još dva matematičara: C. F. Gauss ( ) i madarski matematičar J. Bolyai ( ). Gauss je osnovne ideje neeuklidske geometrije imao razradene već 184. godine, ali se zarekao da za života neće dopustiti njihovo objavljivanje. Bolyai je do svojih rezultata došao 185. godine, ali ih je objavio tek godine. C) Pojmovi i simboli Nastava matematike upoznaje učenike s mnogim činjenicama iz terminologije i simbolike. To se znanje u svakom višem razredu sve više proširuje i obogaćuje. Iz ovog područja mogu se izvući mnoge zanimljive činjenice. U ovom odjeljku dat ćemo mali pregled pojmova i simbola s naglaskom na imenima matematičara koji su ih prvi uveli. Evo tog pregleda: Apolonije: asimptota, apscisa, ordinata, aplikata, hiperbola, parabola. Descartes: a (piše i aa), a 3, a 4 itd. (168), x, y, z (1637), realan, imaginaran. Wallis: 1 (1655). Leibniz: : (znak za dijeljenje, 1684), (znak za množenje, 1698), d(diferencijal), R (integral, 1686). Jones: π (1706). Euler: e (baza prirodnih logaritama, 1736), i (imaginarna jedinica, P 1777), (razlika, prirast), (suma), sin, cos, tg, ctg (trigonometrijske funkcije), f (x) (funkcija). Cauchy: konjugirano kompleksni brojevi (181), ~r (1853). D) Izreke Za učenike mogu biti poučne i izreke o matematici i matematičarima. Citirane u nastavi u pogodnom trenutku one će pozitivno utjecati na razvijanje pravilnog stava učenika o vrijednosti i važnosti matematike. Postoje mnoge takve izreke. Izrekli su ih veliki matematičari, ali i velikani iz drugih područja ljudske djelatnosti. Evo nekoliko takvih izreka: Brojevi vladaju svemirom. Bog uvijek geometrizira. (Pitagora) (Platon) Matematika je kraljica znanosti i aritmetika je kraljica matematike. (Gauss) Nema nikakve sigurnosti tamo gdje se ne može primijeniti neka od matematičkih znanosti ili nešto što je u vezi s tim matematičkim znanostima. (Leonardo da Vinci) 17, 00 57
7 Zanemarivanje matematike šteti svakom znanju. (Bacon) Matematika, kad je čovjek dobro shvati, sadrži ne samo istinu već i najvišu ljepotu. (Russel) Bilo je mnogo više mašte u Arhimedovoj glavi negoli u Homerovoj. (Voltaire) E) Anegdote Sva djelovanja prirode samo su matematičke posljedice malog broja ustaljenih zakona. (Laplace) Napretkom i usavršavanjem matematike uvjetovano je blagostanje države. (Napoleon) Nadahnuće je potrebno poeziji kao i geometriji. (Puškin) Ne bi li se glazba mogla opisati kao matematika osjećaja, a matematika kao glazba razuma? njihov je duh isti! (Sylvester) Matematičar koji nije pomalo i pjesnik neće nikada biti pravi matematičar. (Weierstrass) Cijele brojeve stvorio je dragi Bog, a sve ostalo djelo je čovjeka. (Kronecker) Postoji i drugi razlog za veliki ugled matematike: on je u tome da matematika pruža egzaktnim prirodnim znanostima stanovitu mjeru sigurnosti koja se bez matematike ne bi mogla postići. (Einstein) Kao što je slučaj sa svim velikanima čovječanstva, i o velikim matematičarima pričaju se anegdote. I one imaju svoju poučnu stranu. Zbog pomanjkanja prostora o tome drugom prilikom. O mnogim gore navedenim matematičarima i zanimljivostima vezanim za našu temu pisano je u našim matematičkim časopisima Matematičko-fizički list, Matka, Matematika iškola i Poučak. Čitatelji mogu u njima naći obilje novih činjenica koje su pogodne za proširenje znanja učenika o matematici, gledajući s povijesne strane. Literatura [1] N. M. Beskin, O nekim osnovnim principima predavanja matematike, Matematika (1985), [] A. I. Borodin A. S. Bugaj, Vydajuščiesja matematiki, Radjans ka škola, Kiev [3] Z. Dadić, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, Školska knjiga, Zagreb 199. [4] I. Gusić, Tales, Matka 9 (1994), 1 3. [5] I. Gusić, Matematički rječnik, Element, Zagreb [6] S. Kukovačec, Veliki matematičari i školska matematika, diplomski rad, Zagreb 00. [7] Z. Kurnik, René Descartes, Matematika i škola 6 (000), 6 9. [8] Z. Kurnik, 175 godina od otkrića neeuklidske geometrije, Matematika i škola 8 (001), [9] Z. Kurnik, Pierre de Fermat ( ), Poučak 8 (001), , 00
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα