Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Transcript

1 Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

2 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Δ23-2 Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος υπό τη δράση εξωτερικού φορτίου {p(t)} είναι {&&} + { &} + { } = { ()} m u c u k u p t (1) Επειδή οι ιδιομορφές είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, η απόκριση {u(t)} μπορεί να εκφραστεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών του συστήματος: { ut ()} = q() t { φ } = q() t { φ} + q() t { φ } + K + q() t { φ } r = 1 r r (2) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2) στην εξίσωση (1) παίρνουμε m q&& () t c q () t k q () t p() t { φ } + & { φ } + { φ } = { } r r r r r r r= 1 r= 1 r= 1 (3) ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

3 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ23-3 Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης (3) με φ προκύπτει { φ } && { φ } + { φ } & m qr() t r c qr() t { φr} (4) r= 1 r= 1 + { φ} k { φ } = { φ } { } qr() t r p() t r = 1 Μεβάσητιςσυνθήκεςορθογωνικότητας, όλοι οι όροι της εξίσωσης (4) μηδενίζονται εκτός από τον -οστό όρο. Άρα: { } { φ } { φ }&& + { φ } { φ } + { φ } k { φ } q () t = { φ } { p() t } m q () t c q& () t (5) ή mq && () t + cq & () t + kq () t = p () t =12,, K, (6) ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

4 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ23-4 όπου m c k = { φ } [ m] { φ } { φ } [] c { φ } { φ } [ k] { φ } { φ } { } = = p () t = p() t ηγενικευμένη(ιδιομορφική) μάζα ηγενικευμένη(ιδιομορφική) απόσβεση ηγενικευμένη(ιδιομορφική) ακαμψία ηγενικευμένη(ιδιομορφική) δύναμη Έτσι οι συζευγμένες εξισώσεις του φυσικού συστήματος συντεταγμένων, εξ. (1),ανάγονται σε ασύζευκτες εξισώσεις στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων. Δηλαδή, η απόκριση ενός Ν-βάθμιου συστήματος ανάγεται σε γραμμικό συνδυασμό (εξ. (2)) Ν μονοβάθμιων συστημάτων (εξ.(6)). ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

5 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ23-5 Δεδομένου ότι και c k = ω m 2 = 2ζ m ω (7) (8) η εξίσωση (6) γράφεται q&& ( t) + 2 q& ( t) + q ( t) = p ( t) = 1, 2, K, 2 1 ζω ω m (9) Η εξίσωση (9) περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά ενός μονοβάθμιου συστήματος σε εξαναγκασμένη ταλάντωση του οποίου η λύση ισούται με ζ ( 0) ( 0) ωt q& + ζ ωq q() t = e q()cos 0 ωdt + siωdt ωd 1 t 0 ω D ζ ω ( t τ) ( ) + p ( τ) e siωd t τ dτ m (10) ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

6 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ23-6 Οι αρχικές συνθήκες στο γενικευμένο σύστημα μπορούν να εκφραστούν ως προς τις αρχικές συνθήκες στο φυσικό σύστημα βάσει των σχέσεων { φ} m { u() 0 } { φ} m { u() 0 } m { φ } m { φ } q( 0) = = = 1, 2, K, { φ} m { u& () 0 } { φ} m { u& () 0 } m { φ } m { φ } q& ( 0) = = = 1, 2, K, (11) (12) Για την επίλυση πολυβάθμιων συστημάτων δε χρειάζεται η μόρφωση του μητρώου απόσβεσης [c], αλλά ούτε και ο υπολογισμός των γενικευμένων αποσβέσεων c. Το μόνο που χρειάζεται είναι ο προσδιορισμός (εκτίμηση) του λόγου απόσβεσης κάθε ιδιομορφής ζ. ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

7 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ23-7 Σύνοψη Μεθόδου Επαλληλίας των Ιδιομορφών Η Μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών συνοψίζεται στα εξής βήματα: 1. Προσδιορισμός των ιδιοτήτων του συστήματος: - Μητρώο μάζας [m] και μητρώο ακαμψίας [k] - Eκτίμηση του λόγου απόσβεσης κάθε ιδιομορφής ζ 2. Προσδιορισμός των ιδιομορφών φ και ιδιοσυχνοτήτων ω του (αναπόσβεστου) συστήματος με επίλυση του ιδιοπροβλήματος 2 ( k ω m ){ φ} = { 0} 3. Υπολογισμός των γενικευμένων (ιδιομορφικών) μεγεθών m = { φ } [ ]{ φ } η γενικευμένη (ιδιομορφική) μάζα m p () t = φ p() t ηγενικευμένη(ιδιομορφική) δύναμη { } { } { } ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

8 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ Διατύπωση της εξίσωσης κίνησης στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων q&& () t + 2 q& () t + q () t = p () t = 1, 2, K, 2 1 ζω ω m 5. Υπολογισμός των αρχικών συνθηκών στο γενικευμένο σύστημα με βάση τις αρχικές συνθήκες στο φυσικό σύστημα { φ } m { u() 0 } q 0 = () = 1, 2, K, m { φ } m { u& () 0 } q& 0 = () = 1, 2, K, m ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

9 Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) Δ Επίλυση των εξισώσεων κίνησης των Ν μονοβάθμιων ταλαντωτών και υπολογισμός των ιδιομορφικών συντεταγμένων q (t). Η επίλυση των εξισώσεων μπορεί να γίνει με (αναλυτικό ή αριθμητικό) υπολογισμό του ολοκληρώματος Duhamel ήμε απευθείας αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης. Βάσει του ολοκληρώματος Duhamel: ζ ( 0) ( 0) ωt q& + ζ ωq q() t = e q()cos 0 ωdt + siωdt ωd 1 t 0 ω D ζ ω ( t τ) ( ) + p ( τ) e siωd t τ dτ m ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

10 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ23-10 Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση (...) 7. Υπολογισμός των φυσικών μετατοπίσεων {u(t)} από επαλληλία των ιδιομορφών του συστήματος: φ11 φ12 φ1 φ 21 φ 22 φ 2 ut () = qr() t r = q1() t + q2() t + K + q() t r = 1 M M M φ φ φ { } { φ } Υπολογισμός των ισοδύναμων στατικών (ελαστικών) δυνάμεων που ασκούνται στις στάθμες των ορόφων { } = { } = { φ } f k u () t k q () t s r r r = 1 ΠΠΜ320: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 2008 Παναγιώτης Ρουσής

11

12

13

14

15

16

17

18