Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Transcript

1 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά και µη συνευθειακά σηµεία. Τρία σηµεία να σχηµατίζουν τρίγωνο. Ασκήσεις προς λύση 1-40

2 1. Δίνονται τα διανύσματα α = (λ, 4), β = (λ 4, 1), λ #. α) Μπορεί αυτά να είναι ίσα; Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 6 (εκφωνήσεις 1-40) β) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε αυτά να είναι παράλληλα μεταξύ τους. 2. Θεωρούμε τα διανύσματα α = (1,2), β = (3, 4). Να βρεθούν τα, συγγραμμικά προς τα α, β αντίστοιχα, διανύσματα, που έχουν άθροισμα το δ = (0,3). 3. Δίνονται τα σημεία Α(2,1), Β(3, 2), Γ(0,7). α) Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά. β) Να βρείτε σημείο Μ, ώστε ΜΒ = ΜΓ και ΜΑ = Δίνονται τα διανύσματα α = (x,1), β = (4,x), x #. Να βρείτε το x, ώστε αυτά να είναι αντίρροπα. 5. Αν u = (3, 4), να βρείτε διάνυσμα ν, ώστε ν / /u, ν = 2 u. 6. Δίνονται τα σημεία Α(1,2), Β( 3, 4), Γ(2κ +1, 1 κ), κ. Να δείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου, για οποιαδήποτε τιμή του κ. 7. Να δείξετε ότι τα σημεία Α( 1,2), Β(1, 4), Γ(3,2) είναι ομοκυκλικά. 8. Δίνονται τα διανύσματα α = (5κ, 3 λ), β α) Για ποιες τιμές των κ, λ είναι α = β ; β) Αν λ = 8, κ > 0 και α/ /β, να βρείτε το κ. = (4 λ, 4κ), κ,λ #. 9. Δίνονται τα διανύσματα α = (1, λ + 2), β = (2,1), λ #. Να βρείτε το λ, ώστε να είναι α/ /β. 10. Δίνονται τα διανύσματα α = ( 4,11), β = (1, 2), γ σε δύο συνιστώσες, παράλληλες προς τα β, γ = ( 2,5). Να αναλύσετε το α αντίστοιχα. 11. Να εξετάσετε αν τα σημεία Μ(α + β, α β), Ν(α, β), Ρ(α + 2β, 2α β), όπου α, β, είναι συνευθειακά.

3 Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 6 (εκφωνήσεις 1-40) 12. Θεωρούμε τα διανύσματα α = (συνθ, ηµθ), β = ( ηµθ,συνθ), θ #. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του θ, τα α, β είναι μη συγγραμμικά. 13. Δίνονται τα σημεία Α(2, 1), Β( 3, 4), Γ(κ,5), κ. Να βρείτε το κ, ώστε: α) ΑΓ/ / y y. β) τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. 14. Να αναλύσετε το διάνυσμα u = (16,12) σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο α = ( 4,6) και μία παράλληλη στο β = (6,3). 15. Να βρείτε τον αριθμό x, ώστε τα σημεία Α(1,2), Β(0,3), Γ(5,x) να είναι συνευθειακά. 16. Έστω α, β μη μηδενικά διανύσματα. Θεωρούμε και το γ = συνω α + ηµω β, όπου 0 ω 2π. Να βρείτε το ω, ώστε: α) τα α, γ να είναι ομόρροπα. β) τα α, γ να είναι αντίρροπα. γ) το γ να είναι ομόρροπο με το α + β. 17. Σε ορθοκανονικό σύστημα Oxy, με μοναδιαία διανύσματα i, j, δίνονται τα σημεία Α( 2,1), Β(1, 3). α) Να γράψετε τα διανύσματα θέσης των Α, Β με αρχή το Ο. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες και το μέτρο του ΑΒ. γ) Να βρείτε το διάνυσμα θέσης του μέσου του ΑΒ. δ) Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα, που είναι ομόρροπο του ΑΒ. 18. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ = (8,10) σε δύο συνιστώσες, οι οποίες να είναι παράλληλες, αντίστοιχα, στα α = ( 1,2), β = (3,5). 19. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, με βάσεις ΑΒ, ΓΔ. Αν Α( 1,2), Β(2,3), Γ(5,0), να βρείτε την κορυφή Δ. 20. Δίνονται τα σημεία Α( 3,2), Β(3, 1), Γ(κ,1), κ. Να βρεθεί ο κ, ώστε αυτά να 'ναι συνευθειακά. 21. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α, το οποίο έχει το ίδιο μήκος με το β = (4, 3) και την διεύθυνση του γ = (1, 3).

4 Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 6 (εκφωνήσεις 1-40) 22. Αν Α( 3, 2), Β(2,κ), Γ(5, 3), Δ(4,κ), κ, να βρείτε για ποια τιμή του κ είναι ΑΒ/ /ΓΔ. 23. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(α, β + γ), Β(β, γ + α), Γ(γ, α + β), α, β, γ, είναι συνευθειακά. 24. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(2,3), Β( 2, 1), Γ(4,1). Αν Ε είναι σημείο της διαμέσου ΒΔ, ώστε ΒΕ = 1 3 ΕΔ, να βρείτε σημείο, Ζ, της ΒΓ, ώστε ΑΕ/ /ΔΖ. 25. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με Α( 2,2), Β(1,3), Δ( 4, 3). Αν Κ, Λ είναι τα συμμετρικά του Α σημεία ως προς τα Β και Δ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα Κ, Γ, Λ είναι συνευθειακά. 26. Δίνονται τα σημεία Α(1,1), Β( 3,2), Γ( 5,λ), λ. Να βρείτε το λ, ώστε αυτά να είναι συνευθειακά. 27. Να αναλύσετε το διάνυσμα α = (4, 3) σε δύο συνιστώσες, οι οποίες να έχουν τις διευθύνσεις των β = (1,2), γ = (4,3). 28. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του λ, ώστε τα διανύσματα α = (0, λ 2 + 4) και β = (λ 4 +16, 0) να είναι συγγραμμικά. 29. Θεωρούμε τα διανύσματα α = (1, 4), β = (2,3), γ = ( 2,2). Να αναλύσετε το α δύο συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο β παράλληλη στο γ. και η άλλη σε 30. Να βρείτε διάνυσμα β, το οποίο να είναι παράλληλο στο α = (4,3) και να έχει μέτρο τριπλάσιο απ' αυτό. 31. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο, με κορυφές Α(2,2), Β(0, 1), Γ( 5, 2), Δ(1,7), είναι ισοσκελές τραπέζιο. 32. Να βρείτε τον λ, ώστε τα α = (4,λ), β = (λ,1) να είναι αντίρροπα. 33. Δίνονται τα διανύσματα α = (x +1, 5), β = (5, x +1). Να βρείτε τον x, ώστε αυτά να 'ναι αντίρροπα.

5 34. Δίνονται τα διανύσματα α = (1,2), β = (3, 1), γ = ( 2,3). α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα. β) Να αναλύσετε το διάνυσμα γ σε δύο συνιστώσες, παράλληλες στα α Πηγή: Γιώργος Μ. Μιχαηλίδης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 45, σελ. 93), 35. Δίνονται τα διανύσματα α Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 6 (εκφωνήσεις 1-40) = (λ +1, λ 2), β = (2, 3 λ), γ = ( 8, 2λ). Να υπο- λογίσετε το λ, ώστε γ / /α + β., β. Πηγή: Γιώργος Μ. Μιχαηλίδης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 46, σελ. 93), 36. Να βρεθεί διάνυσμα, ομόρροπο με το α = (4, 3), που να έχει μέτρο 2. Πηγή: Γιώργος Μ. Μιχαηλίδης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 48, σελ. 93), 37. Να δείξετε ότι, για κάθε µ, τα σημεία Α(µ,1), Β(2µ +1, 1), Γ(3µ +1, 3) είναι κορυφές τριγώνου. Πηγή: Γιώργος Μ. Μιχαηλίδης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 57, σελ. 95), 38. Δίνονται τα διανύσματα α, β, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις 3α + 2β = ( 2,9) και α 2β = (10, 5). α) Να βρείτε τα διανύσματα α, β. β) Να γράψετε το διάνυσμα γ = (4,7) ως γραμμικό συνδυασμό των α γ) Να βρείτε το λ, ώστε το διάνυσμα δ διάνυσμα α β., β. = (λ, 6 λ) να είναι παράλληλο στο Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 4.60, σελ. 84), εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, Δίνονται τα διανύσματα α = ( 2,1), β = (1,1). α) Να αποδείξετε ότι τα α, β δεν είναι συγγραμμικά. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u, για το οποίο ισχύουν οι " " " " " σχέσεις (u α)/ /β και (u 2β)/ /(α + 5β). γ) Να εκφράσετε το διάνυσμα u ως γραμμικό συνδυασμό των α, β. Πηγή: Γιώργος Μ. Μαυρίδης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 77, σελ. 91), εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2009.

6 Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 6 (εκφωνήσεις 1-40) 40. Δίνονται τα διανύσματα α = (x 2,2)+(y 2 +1, 0), β = (x,1)+ 2(y 1, 0), τα οποία είναι παράλληλα μεταξύ τους. Να βρείτε: α) τους x,y. β) τα μέτρα των διανυσμάτων α, β. Πηγή: Γιώργος Μ. Μαυρίδης, Μαθηµατικά Β Λυκείου, θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης (άσκ. 68, σελ. 89), εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2009.