ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ"

Transcript

1 ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές 7.. Η κατανοµή Χ Η κατανοµή t Η κατανοµή F Κεφάλαιο ο : Κατανοµές στατιστικών δείγµατος.. Κατανοµή µέσης τιµής δείγµατος... Κατανοµή διαφοράς µέσων τιµών δύο δειγµάτων..3. Κατανοµή διακύµανσης δείγµατος Κατανοµή λόγου διακυµάνσεων δύο δειγµάτων 3.5. Κατανοµή ποσοστού (αναλογίας δείγµατος Κατανοµή διαφοράς ποσοστών (αναλογιών δύο δειγµάτων 4 Κεφάλαιο 3 ο : Εκτιµητική Σηµειακή εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή Σηµειακές εκτιµήτριες της µέσης τιµής και της διακύµανσης ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή.. 6 i. Σηµειακή εκτίµηση της µέσης τιµής ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή.. 6 ii. Σηµειακή εκτίµηση της διακύµανσης ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή ιάστηµα εµπιστοσύνης της παραµέτρου Θ ενός πληθυσµού Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης της µέσης τιµής µ πληθυσµού Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης της διαφοράς των µέσων τιµών δύο 6 πληθυσµών 3.6. Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης της διακύµανσης σ πληθυσµού Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης του λόγου των διακυµάνσεων δύο 35 πληθυσµών Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης του ποσοστού (αναλογίας των στοιχείων πληθυσµού Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης του λόγου των ποσοστών (αναλογιών 38 των στοιχείων δύο πληθυσµών.. Κεφάλαιο 4 ο 4 : Έλεγχοι υποθέσεων 4.. Γενικά Σφάλµατα στάθµη σηµαντικότητας περιοχή απόρριψης της Η Έλεγχος υπόθεσης για τη µέση τιµή του πληθυσµού. 4

3 4.3.. Έλεγχος υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών Έλεγχος υπόθεσης για το ποσοστό των στοιχείων ενός πληθυσµού Έλεγχος υπόθεσης για τη διαφορά των ποσοστών των στοιχείων δύο 57 πληθυσµών Έλεγχος υπόθεσης για τη διακύµανση ενός πληθυσµού Έλεγχος υπόθεσης για το λόγο των διακυµάνσεων δύο πληθυσµών Έλεγχος υπόθεσης και διάστηµα εµπιστοσύνης. 64 Κεφάλαιο 5 ο : Ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων Γενικά Ο έλεγχος ανεξαρτησίας Ο έλεγχος οµογένειας 67 Κεφάλαιο 6 ο : Έλεγχος προσαρµοστικότητας Έλεγχος προσαρµοστικότητας της υποθετικής κατανοµής Έλεγχος Χ Έλεγχος Kolmogorov-Smirov (K-S 73 Κεφάλαιο 7 ο : Απλή παλινδρόµηση - Γραµµικό µοντέλο Η Έννοια της συσχέτισης Η Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων (γραµµική παλινδρόµηση Μέσο τετραγωνικό σφάλµα ή Συντελεστής Προσδιορισµού Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλα απλής παλινδρόµησης Μοντέλα απλής παλινδρόµησης που ανάγονται σε γραµµικά µοντέλα.. 93 Κεφάλαιο 8 ο : Χρονολογικές σειρές Εισαγωγή Συνιστώσες των χρονολογικών σειρών Στατικός προσδιορισµός σειρών i. Χάραξη µε το χέρι γραφική µέθοδος. ii. Η µέθοδος των µέσων σηµείων iii. Η µέθοδος των κινητών µέσων όρων... iv. Η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 8.4. Στατικός προσδιορισµός της εποχικότητας.. 4 i. Η µέθοδος των ποσοστών ως προς το µηνιαίο µέσο ii. Η µέθοδος των ποσοστών ως προς τη µηνιαία τάση iii. Η µέθοδος των ποσοστών ως προς το µηνιαίους κινητούς µέσους Στατιστικός Προσδιορισµός των κυκλικών κυµάνσεων... 9 Κεφάλαιο 9 ο : Αριθµοδείκτες Αριθµοδείκτες Απλοί Αριθµοδείκτες Σύνθετοι Αριθµοδείκτες Μη σταθµισµένος σύνθετος αριθµοδείκτης Σταθµισµένος σύνθετος αριθµοδείκτης

4 9.4. είκτες πληθωρισµού αποπληθωρισµού και αποπληθωρισµός των 33 Χρηµατικών αξιών..... Βιβλιογραφία 36 4

5 Πρόλογος Σκοπός του παρόντος βοηθήµατος είναι να δώσει στον φοιτητή του τµήµατος της Αγροτικής Ανάπτυξης, µε όσο το δυνατόν µεγαλύτερη απλότητα και πιο ουσιαστικά, τις βασικές γνώσεις της Στατιστικής και να παρουσιάσει κύριους τοµείς εφαρµογής της Στατιστικής στο χώρο της Οικονοµικής διαχείρισης και της διαχείρισης των επιχειρήσεων µε έµφαση στον τοµέα της Αγροτικής Οικονοµίας και Ανάπτυξης. Η εφαρµοσµένη Στατιστική αποτελεί σηµαντικό εργαλείο δουλειάς για ένα µελλοντικό επιστήµονα που θα ασχοληθεί µε θέµατα Αγροτικής Οικονοµίας και Ανάπτυξης. Για τον λόγο αυτό o φοιτητής-α πρέπει να εµπεδώσει τις βασικές έννοιες της Στατιστικής και να ασχοληθεί µε πρακτικά προβλήµατα που αναδεικνύουν τον σπουδαίο ρόλο της Στατιστικής στο πεδίο της εφαρµογής. Το ξεκίνηµα αυτής της προσπάθειας θέλω να πιστεύω ότι θα έχει συνέχεια και ότι λάθη και παραλήψεις στο παρόν εγχείρηµα θα διορθωθούν στην πορεία µε τελικό στόχο να προκύψει ένα βοήθηµα απλό ουσιαστικό και κατανοητό για όλους όσους ενδιαφέρονται και ασχολούνται άµεσα µε τα θέµατα της Αγροτικής Οικονοµίας και Ανάπτυξης. Θ. Χ. Κουτρουµανίδης 5

6 Εισαγωγή Η Στατιστική πρωτοεµφανίστηκε στην αρχαιότητα ως πρακτική µεθοδολογία καταµέτρησης δεδοµένων και στην πορεία εξελίχθηκε σ ένα κλάδο επιστηµονικό µε την αντίστοιχη θεωρητική υποδοµή κυρίως µε την εισαγωγή της θεωρίας των πιθανοτήτων. Ποτέ όµως δεν έπαψε να αποτελεί εργαλείο δουλειάς και έρευνας για όλους τους επιστηµονικούς κλάδους θεωρητικούς και θετικούς. Σήµερα µε την ραγδαία εξέλιξη της πληροφορικής η Στατιστική έχει ενσωµατωθεί σε πάρα πολλές επιστήµες και αποτελεί αναπόσπαστο τµήµα τους. Παράλληλα επικρατεί η άποψη ότι µειώνεται ο ρόλος του επιστήµονα ερευνητή σ ένα περιβάλλον που κατακλύζεται από στατιστικά προγράµµατα µέσω Η/Υ. Εδώ θα πρέπει να είµαστε σαφείς και κατηγορηµατικοί ο ερευνητής έχει τον πρώτο και τον τελευταίο λόγο στην επεξεργασία των δεδοµένων µέσω στατιστικών πακέτων και θα πρέπει να έχει κατανοήσει καλά τις βασικές έννοιες της Στατιστικής (περιγραφικής και επαγωγικής για να µπορέσει να κάνει σωστά τη δουλειά του. Άρα προέχει η εκπαίδευση του σε θέµατα Στατιστικής και δεν µπορεί κανένα στατιστικό πρόγραµµα να υποκαταστήσει τον ερευνητή. Το παρόν σύγγραµµα κινείται σ αυτήν την αντίληψη, να δώσει δηλαδή απλά και ουσιαστικά τις βασικές γνώσεις της Στατιστικής και να παρουσιάσει εφαρµογές της Στατιστικής στον χώρο της Αγροτικής Οικονοµίας και Ανάπτυξης, ώστε να µπορεί ο µελλοντικός επιστήµονας που θα ασχοληθεί µε τα θέµατα της Αγροτικής Ανάπτυξης να χρησιµοποιεί στατιστικές µεθόδους και τεχνικές για την δουλειά του. Η δοµή του συγγράµµατος περιλαµβάνει τα εξής µέρη: Παράγωγες κατανοµές (Κεφάλαιο ο, Κατανοµές στατιστικών δείγµατος (Κεφάλαιο ο, Εκτιµητική (Κεφάλαιο 3, Έλεγχοι υποθέσεων (Κεφάλαιο 4, Έλεγχο προσαρµοστικότητας (Κεφάλαιο 5, Ανάλυση κατηγορικών µεταβλητών (Κεφάλαιο 6, Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Κεφάλαιο 7, Χρονολογικές σειρές (Κεφάλαιο 8, Αριθµοδείκτες (Κεφάλαιο 9. 6

7 Παράγωγες Κατανοµές Κεφάλαιο ο.. Η Χ - Κατανοµή Θεωρούµε τις τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ,., Χ v που είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και όπου η κάθε µια µεταβλητή έχει τυπική κανονική κατανοµή Ν(,. ηµιουργούµε την τυχαία µεταβλητή Χ Χ +Χ +..+Χ v. Η τυχαία αυτή µεταβλητή ακολουθεί µια κατανοµή που ονοµάζεται Χ - τετράγωνο κατανοµή, Χ. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής η f(x έχει v-βαθµούς ελευθερίας: f ( x x v x v / e Γ( v, x >, x < όπου Γ(κ(κ-! Έχουµε Ε [X ] v και Vr[X ] v. f(x ν v3 v v6 v 5 X 7

8 Όταν v>3 η κατανοµή Χ είναι σχεδόν συµµετρική και λέµε ότι τείνει προς την κανονική. Η αθροιστική συνάρτηση F(x εκφράζει το εµβαδόν τµήµατος. f(x F( X P[ X ] x v,α α F( X + x v, Ο πίνακας δίνει τις τιµές x v,α x της Χ για τις οποίες έχουµε την πιθανότητα P [ X ] α, όπου α η δοσµένη πιθανότητα και v - βαθµοί ελευθερίας γνωστοί. > x v, α f(x -α α x v,α x.. Η t - Κατανοµή. Θεωρούµε δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ από τις οποίες η Χ έχει κανονική κατανοµή και η Υ ακολουθεί την κατανοµή Χ µε v-βαθµούς ελευθερίας. X Η τυχαία µεταβλητή T Y v ακολουθεί την κατανοµή t µε v-βαθµούς 8

9 ελευθερίας. Η Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανοµής αυτής v+ t f ( t β + v ελευθερίας., < t < +, όπου Γ(( v + / β Γ( v / πν έχει v-βαθµούς v Με Ε[Τ] και Vr [ T]. v limvr [ T ]. v + Όταν ο v (βαθµοί ελευθερίας είναι µεγάλος η κατανοµή t τείνει στην τυπική κανονική κατανοµή Ν (,. N(, v + v f(t v3 v tν,α t Έχουµε : Σε πίνακα δίνονται οι τιµές t v,α της Τ για τις οποίες έχουµε την πιθανότητα P[T<t v,α ] α και v οι βαθµοί ελευθερίας. 9

10 ( f(t P [ t < T < t ] α v, α / v, α / α/ + -t v,α/ t v,α/ t Επίσης (3 f(t [ t ] P T P[ T > tv, F( t v,α α ] + t ν,α t.3. Η F - Κατανοµή Μια τυχαία µεταβλητή που παράγεται ως λόγος δύο άλλων τυχαίων µεταβλητών ακολουθεί την F Κατανοµή η οποία εκφράζεται µε δύο βαθµούς ελευθερίας το ν, που είναι ο βαθµός ελευθερίας του αριθµητή και το ν, που είναι ο βαθµός ελευθερίας του παρανοµαστή. Έτσι συµβολίζεται µε F ν, ν. Υπάρχουν πίνακες που δίνουν τις κριτήριες τιµές F ν, ν ;α οι οποίες ορίζονται από τη σχέση: Ρ(Χ > F ν, ν ;α α Για τις διάφορες τιµές των α, ν, ν.

11 Κατανοµές στατιστικών δείγµατος Κεφάλαιο ο.. Κατανοµή µέσης τιµής δείγµατος Αν πάρουµε πολλά τυχαία δείγµατα µεγέθους από ένα πληθυσµό τότε προκύπτει η τυχαία µεταβλητή X, από τις τιµές των µέσων τιµών των δειγµάτων. Όταν το δείγµα προέρχεται από κανονικό πληθυσµό Ν(µ, σ ανεξάρτητα από το µέγεθός του έχουµε σ ότι η X ακολουθεί κανονική κατανοµή Ν(µ,, το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που το δείγµα δεν προέρχεται από κανονικό πληθυσµό αλλά το µέγεθός του είναι µεγάλο 3. Τότε η Ζ X µ σ ή Ζ X µ s ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό, η διακύµανση του πληθυσµού άγνωστη και ο πληθυσµός, από όπου προέρχεται το δείγµα, κανονικός τότε η ποσότητα: t X µ ακολουθεί την t-κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. s.. Κατανοµή διαφοράς µέσων τιµών δύο δειγµάτων Αν πάρουµε δύο δείγµατα µεγάλα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές x και y και διακυµάνσεις s, s και οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι σ, σ αντίστοιχα τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: X Y ( µ µ σ σ + ν κ ακολουθεί Ν(,.

12 Εφόσον οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι άγνωστες αντικαθίστανται από τις δειγµατικές διακυµάνσεις s, s και έχουµε ότι η µεταβλητή: κ ν µ µ ( s s Y X + ακολουθεί Ν(,. Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές και και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυσµούς µε άγνωστες αλλά ίσες διακυµάνσεις σ σ σ τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: x y κ ν κ ν κ ν µ µ ( ( ( s s Y X ακολουθεί t-κατανοµή µε ν+κ- βαθµούς ελευθερίας Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές και και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυσµούς µε άγνωστες και διαφορετικές διακυµάνσεις σ x y σ τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: κ ν µ µ ( s s Y X + ακολουθεί t κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας λ (ν- όταν ν κ

13 και λ s s ( + ν κ s s ( ( ν + κ ν κ (στρογγυλεµένο στον πλησιέστερο ακέραιο όταν ν κ.3. Κατανοµή διακύµανσης δείγµατος Η ποσότητα: ( s X σ ακολουθεί την X κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. Ο πληθυσµός από όπου πάρθηκε το δείγµα µεγέθους θεωρείται κανονικός µε σ και s είναι η δειγµατική διακύµανση..4. Κατανοµή λόγου διακυµάνσεων δύο δειγµάτων Σύµφωνα µε την θεωρία αν πάρουµε δύο δείγµατα ανεξάρτητα µεγέθους και m αντίστοιχα µε s, s τις δειγµατικές διακυµάνσεις τους από δύο κανονικούς πληθυσµούς µε σ, σ τις πληθυσµιακές διακυµάνσεις, τότε ισχύει ότι η ποσότητα: s s σ σ ακολουθεί την F κατανοµή µε - και m- βαθµούς ελευθερίας.5. Κατανοµή ποσοστού (αναλογίας δείγµατος Αν εκτιµήσουµε το ποσοστό (αναλογία p x των στοιχείων στο µεγάλο δείγµα µεγέθους που έχουν κάποιο συγκεκριµένο χαρακτηριστικό, τότε σύµφωνα µε την θεωρία το δειγµατικό ποσοστό κατανέµεται κανονικά: ηλαδή η δειγµατική µεταβλητή P, που παράγεται από τις τιµές p, ακολουθεί την κανονική κατανοµή: Ν(P, πληθ p πληθ ( Pπληθ 3

14 Όπου P πληθ το πραγµατικό ποσοστό στον πληθυσµό. Συνεπώς έχουµε ότι η µεταβλητή: P P P P πληθ ( πληθ πληθ ακολουθεί την Ν(,..6. Κατανοµή διαφοράς ποσοστών (αναλογιών δύο δειγµάτων x y Έστω p και p είναι οι δειγµατικές αναλογίες των στοιχείων, που έχουν l κάποιο συγκεκριµένο χαρακτηριστικό, δύο δειγµάτων µεγέθους, l από δύο πληθυσµούς, όπου οι πραγµατικές αναλογίες είναι αντίστοιχα P πληθ, P πληθ. Τότε έχουµε ότι οι διαφορές των δειγµατικών µεταβλητών P - P ακολουθούν κανονική κατανοµή: Ν(P πληθ - P πληθ, P πληθ ( P πληθ P πληθ ( P πληθ + l 4

15 Κεφάλαιο 3 ο Εκτιµητική 3.. Σηµειακή εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή. Όπως έχει αναφερθεί µέχρι τώρα για να µελετήσουµε ένα µεγάλο πληθυσµό ως προς κάποια µεταβλητή Χ καταφεύγουµε στην δειγµατοληψία. Λαµβάνουµε ένα δείγµα - στοιχείων του πληθυσµού και µελετάµε αυτό ως προς την µεταβλητή Χ. Τα συµπεράσµατα που προκύπτουν χαρακτηρίζουν, µέσω της επαγωγικής σκέψης, και το πληθυσµό. Αυτό άλλωστε αποτελεί και τη βασική σκέψη της Επαγωγικής Στατιστικής της οποίας ένα από τα σπουδαιότερα κεφάλαια είναι αυτό της Εκτιµητικής. Σε κάθε δείγµα προσδιορίζονται οι στατιστικές παράµετροι αυτού, όπως είναι η µέση τιµή x, η διακύµανση s, η τυπική απόκλιση s κλπ. Η τιµή µιας από αυτές τις παραµέτρους ονοµάζεται σηµειακή εκτιµήτρια της αντίστοιχης παραµέτρου του πληθυσµού. Γενικά αν ονοµάσουµε Θ την σηµειακή εκτιµήτρια της αντίστοιχης παραµέτρου Θ του πληθυσµού αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί κάποιες βασικές ιδιότητες. Κατ αρχήν επειδή µπορούµε να πάρουµε πολλά δείγµατα ίσου µεγέθους από τον πληθυσµό θα έχουµε και τις αντίστοιχες σηµειακές εκτιµήτριες των δειγµάτων αυτών για την άγνωστη παράµετρο του πληθυσµού. ηλαδή αν πάρουµε ν δείγµατα ίσου µεγέθους από τον πληθυσµό θα έχουµε και τις αντίστοιχες Θ εκτιµήτριες της Θ. v Γίνεται λοιπόν φανερό ότι η εκτιµήτρια Θ είναι και αυτή τυχαία µεταβλητή. Η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Θ σε ένα συγκεκριµένο i-δείγµα Θ i i,,3,4,,ν λέγεται σηµειακή εκτίµηση της παραµέτρου Θ. Οι βασικές ιδιότητες που πρέπει να πληρούνται από την σηµειακή εκτιµήτρια Θ είναι: i. Η Αµεροληψία: θα πρέπει δηλαδή η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Θ να είναι η άγνωστη παράµετρος Θ : Ε ( Θ Θ. Αν E( Θ Θ τότε η εκτιµήτρια είναι µεροληπτική και έχουµε το σφάλµα µεροληψίας ή σφάλµα εκτίµησης: E ( Θ Θ. 5

16 ii. Η Αποτελεσµατικότητα: Θα πρέπει η διακύµανση της αµερόληπτης εκτιµήτριας Θ, η Vr ( Θ, και είναι µικρότερη ή ίση από την διακύµανση οποιαδήποτε άλλης αµερόληπτης εκτιµήτριας ( Θ : iii. Η συνέπεια: Vr ( Θ Vr( Θ Μια σηµειακή εκτιµήτρια Θ είναι συνεπής όταν το σφάλµα µεροληψίας και η διακύµανσή της τείνουν στο µηδέν καθώς το µέγεθος του δείγµατος τείνει στο άπειρο: lim E ( Θ Θ και limvr( Θ Σηµειακές εκτιµήτριες της µέσης τιµής και της διακύµανσης ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή. i. Σηµειακή εκτίµηση της µέσης τιµής ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή. Έστω x,x,..x οι παρατηρήσεις της µεταβλητής Χ και µ η άγνωστη µέση τιµή του πληθυσµού. Έχουµε προσδιορίσει την δειγµατική µέση τιµή x, την σηµειακή εκτιµήτρια της µ του πληθυσµού, από τον τύπο: x v i xi Αν πάρουµε πολλά δείγµατα ίσου µεγέθους µπορούµε να ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή X : X v i όπου Χ,Χ,..Χ τυχαίες µεταβλητές µε κατανοµή την ίδια µε αυτή της Χ. Xi 6

17 Η µέση τιµή E(X είναι µια αµερόληπτη σηµειακή εκτιµήτρια της πραγµατικής µέσης τιµής µ του πληθυσµού και ισχύει: E ( X, Vr( X σ µ και τυπική απόκλιση σ. Στις συµµετρικές κατανοµές ως σηµειακή εκτιµήτρια µπορεί να ληφθεί και η διάµεσος Μ, διότι έχουµε: E ( M µ. ii. Σηµειακή εκτίµηση της διακύµανσης ενός πληθυσµού ως προς µια µεταβλητή. Οµοίως η άγνωστη διακύµανση ενός πληθυσµού σ εκτιµάται από την διακύµανση ενός δείγµατος x, x,..x τιµών ως προς την µεταβλητή Χ του πληθυσµού. Η δειγµατική διακύµανση συµβολίζεται µε s και είναι σύµφωνα µε όσα αναφέρθησαν: s v i ( xi x Η δειγµατική αυτή διακύµανση είναι τυχαία µεταβλητή S, επειδή µπορούµε να λάβουµε πολλά δείγµατα ίσου µεγέθους του πληθυσµού και να ορίσουµε έτσι τις αντίστοιχες διακυµάνσεις. S v i ( Xi X όπου Χi οι προαναφερόµενες τυχαίες µεταβλητές και X η µέση τιµή αυτών. Αποδεικνύεται ότι E( S σ,δηλαδή η διακύµανση του δείγµατος s είναι µια τιµή της τυχαίας µεταβλητής S που έχει µέση τιµή E( S τη διακύµανση σ του πληθυσµού ιάστηµα εµπιστοσύνης της παραµέτρου Θ ενός πληθυσµού. Επειδή η δειγµατική σηµειακή εκτιµήτρια Θ της πραγµατικής τιµής Θ του πληθυσµού δεν µας δίνει πληροφορίες περί του βαθµού ακρίβειάς της, δηλαδή πόσο 7

18 κοντά στην τιµή Θ βρίσκεται, καταφεύγουµε στο να υπολογίσουµε ένα διάστηµα που µε κάποια προκαθορισµένη πιθανότητα θα περιέχει την άγνωστη τιµή του πληθυσµού. Το διάστηµα αυτό το ονοµάζουµε «διάστηµα εµπιστοσύνης» της τιµής Θ. Το διάστηµα αυτό (β, γ είναι το διάστηµα στο οποίο εκτιµούµε ότι θα βρίσκεται η τιµή Θ του πληθυσµού µε ορισµένη πιθανότητα ή επίπεδο εµπιστοσύνης -α. P ( β Θ γ α µε α. Τα β, γ ονοµάζονται όρια εµπιστοσύνης και η πιθανότητα α καλείται επίπεδο σηµαντικότητας Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης της µέσης τιµής µ πληθυσµού. i. Κανονικός πληθυσµός (γνωστή η διακύµανση σ. Είναι δεκτό ότι εφόσον ο πληθυσµός που αντιστοιχεί στην τυχαία µεταβλητή Χ είναι κανονικής κατανοµής τότε και η δειγµατική εκτιµήτρια x είναι κανονικής κατανοµής. ηλαδή ισχύει ότι η τυχαία µεταβλητή X, που παίρνει τιµές τις x, ακολουθεί την σ κανονική κατανοµή N( µ,. Εποµένως η τυχαία µεταβλητή κανονική κατανοµή. X µ σ / µε τιµές x µ σ / ακολουθεί µια τυπική X µ Η πιθανότητα η τιµή να βρίσκεται µέσα σ ένα δοσµένο διάστηµα για σ / παράδειγµα το +,96 δίδεται από τη σχέση: x µ P,96,96 φ(,96 φ(,96,95. σ / Από την σχέση αυτή αν είναι γνωστή η σ µπορούµε να πούµε ότι: x,96σ / µ x+.96σ /, δηλαδή η µέση τιµή µ του πληθυσµού µε τιµή x. πιθανότητα 95% βρίσκεται σε απόσταση ±,96σ / από την δειγµατική µέση 8

19 Παρατήρηση: Μια άλλη ερµηνεία της σχέσεως αυτής είναι ότι «αν χρησιµοποιηθούν διάφορα δείγµατα µεγέθους για τον προσδιορισµό «διαστηµάτων πιθανότητας 95%» τότε κατά µέσο όρο το 95% από τα διαστήµατα αυτά θα περιέχουν την αληθινή τιµή µ.. Σύµφωνα µε τα ανωτέρω αν συµβολίσουµε µε -α το προκαθορισµένο «επίπεδο εµπιστοσύνης» και µε + z α / τις τιµές της τυπικής κανονικής µεταβλητής µε αντίστοιχες τιµές της Αθροιστικής Συνάρτησης κατανοµής α/ και -α/, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: f(x πυκνότητα Εµβαδόν Εµβαδόν Εµβαδόν α/ -α α/ - z α/ z α/ x µ /( σ / Τότε έχουµε την πιθανότητα: P z α / x µ z σ / α / α. σ σ ή P x zα / µ x + zα / α. Μπορούµε να πούµε ότι υπάρχει εµπιστοσύνη επιπέδου -α ότι το διάστηµα που εκτιµήθηκε περιέχει την άγνωστη τιµή της µ. Το διάστηµα αυτό ονοµάζεται «διάστηµα εµπιστοσύνης της µ σε επίπεδο -α» και δίδεται από τη σχέση: σ σ (Ι < µ > α ( x zα /,( x + zα /, µε σ γνωστή. Παρατήρηση: 9

20 Η ανωτέρω σχέση ισχύει για κανονικές τυχαίες µεταβλητές που γνωρίζουµε τη σ. Για µη κανονικούς πληθυσµούς ισχύει προσεγγιστικά και ο βαθµός προσέγγισης αυξάνει όσο µεγαλώνει το µέγεθος του δείγµατος. Σχόλιο Η διαδικασία προσδιορισµού διαστηµάτων εµπιστοσύνης της µ, όταν η σ είναι γνωστή ακολουθεί τα εξής βήµατα: ο : Επιλέγουµε το επίπεδο εµπιστοσύνης -α. ο : Υπολογίζουµε την τιµή z α/ από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής. z α α φ. 3 ο : Χρησιµοποιούµε τη σχέση (Ι θέτοντας στη θέση του x τη δειγµατική µέση τιµή των - παρατηρήσεων. Παραδείγµατα.. Η ηµερήσια συγκέντρωση διαλυµένου οξυγόνου σ ένα σταθµό µέτρησης ενός ποταµού έχει µετρηθεί για 3 ηµέρες. Από προηγούµενες εµπειρίες είναι γνωστό ότι η διασπορά της ηµερήσιας συγκέντρωσης είναι 4, (mg/l. Για τις 3 µετρήσεις η µέση δειγµατική τιµή x,5mg / l. Να υπολογισθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης επιπέδου 99% για τη µέση ηµερήσια συγκέντρωση διαλυµένου οξυγόνου. Θεωρούµε ότι ο πληθυσµός των µετρήσεων της ηµερήσιας συγκέντρωσης διαλυµένου οξυγόνου κατανέµεται κανονικά. α,99 α,5 z φ (,995,5,58 σ z α 4,,58, < µ >.99 ( x,965, x +,965 (,56, 3,49 mg / l. Αυτό είναι το διάστηµα εµπιστοσύνης της µ σε επίπεδο 99%.

21 . Σε ένα δείγµα κουτιών παστεριωµένου γάλακτος που παράγει µια βιοµηχανία γάλακτος το µέσο βάρος των κουτιών είναι 5 γραµµάρια. Από προηγούµενες µετρήσεις είναι γνωστή η διακύµανση που παρατηρείται και ίση, µε 6 γραµµάρια. Να προσδιοριστεί το διάστηµα εµπιστοσύνης στο οποίο θα βρίσκεται το µέσο βάρος του συνόλου των κουτιών γάλακτος που παράγονται µε πιθανότητα 99,6%. Θεωρούµε ότι ο πληθυσµός των βαρών των κουτιών κατανέµεται κανονικά. Έχουµε α,996 α,. Άρα, α z α z φ φ (,998,88. Επίσης σ 6 zα,88 7,5. Το διάστηµα εµπιστοσύνης: < > x z σ µ α α, x + zα σ ( x 7,5, + 7,5 (5 7,5,5 + 7,5 < µ >.996 x ( 4,95, 57,5 < µ >.996 γραµµάρια. Το διάστηµα εµπιστοσύνης της µ µε πιθανότητα ή επίπεδο εµπιστοσύνης 99,6%. Αν ο πληθυσµός της ηµερήσιας συγκέντρωσης είναι κανονικός τότε το παραπάνω διάστηµα είναι ακριβές αν όχι τότε το δεχόµαστε προσεγγιστικά. ii. είγµα µεγάλο άγνωστή η διακύµανση σ. Όταν το δείγµα είναι µεγάλο σύµφωνα µε το κεντρικό οριακό θεώρηµα η X µ x µ τυχαία µεταβλητή µε τιµές ακολουθεί µια τυπική κανονική κατανοµή. σ / σ / Συνεπώς το «διάστηµα εµπιστοσύνης της µ σε επίπεδο -α» δίδεται επίσης από τη σχέση:

22 σ σ (Ι < µ > α ( x zα /,( x + zα /, εφόσον η διακύµανση σ είναι άγνωστη αντικαθίσταται από την s οπότε καταλήγουµε στη σχέση: s s < µ > α ( x zα /,( x + zα / Παράδειγµα: Η ηµερήσια συγκέντρωση διαλυµένου οξυγόνου σ ένα σταθµό µέτρησης ενός ποταµού έχει µετρηθεί για 9 ηµέρες και είχαµε x,5 mg/l και s 4, (mg/l (άγνωστη η σ. Να υπολογισθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης επιπέδου 99% για τη µέση ηµερήσια συγκέντρωση διαλυµένου οξυγόνου. Το διάστηµα εµπιστοσύνης για τη µέση ηµερήσια συγκέντρωση διαλυµένου οξυγόνου είναι: -α,99 α/,5. ν 9-8. Άρα t v t, 763 (παράρτηµα. Οπότε:,,5, 8 < µ >.99,5,763 (,47, 3,57 mg / l. 4,,,5 +, , 9 ii. είγµα µικρό άγνωστή η διακύµανση σ. Για µικρό πολύ π.χ. < τα διαστήµατα εµπιστοσύνης της µ από την (Ι µε s στη θέση του σ είναι αρκετά ανακριβή (όταν δεν είναι γνωστή η διασπορά σ. Όταν η κατανοµή του πληθυσµού της Χ είναι κανονική τότε και αν ακόµα ή σ δεν είναι γνωστή µπορούν να προσδιοριστούν ακριβή διαστήµατα εµπιστοσύνης για τη x µ µ. Έχει αποδειχθεί ότι η τυχαία µεταβλητή T µε τιµ ές έχει κατανοµή t µε - s βαθµούς ελευθερίας και µε συνάρτηση πυκνότητας f(t.

23 f(t N(, 6 x µ T τ.µ. µε τιµ ές s X: κανονική µεταβλητή t x µ s Η κατανοµή t είναι συµµετρική ως προς το µηδέν και έχει σχήµα παρόµοιο της κανονικής κατανοµής, όταν το µεγαλώνει (ν - βαθµοί ελευθερίας τότε η κατανοµή t προσεγγίζει την κανονική κατανοµή. Έχουµε λοιπόν: x µ P tα /, v tα /, v α. s Το t είναι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Τ που αντιστοιχεί σε τιµή της α, v Αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής ίση µε -α/, για v - βαθµούς ελευθερίας. Οι τιµές του t α/,v δίδονται από πίνακα (παράρτηµα. f(t Η πιθανότητα s s P x tα /, v µ x + tα /, v α. α/ εµβαδού α/ -α t α /,v t α /, v 3

24 µας οδηγεί στη σχέση όπου s s < µ > α ( x tα /, v,( x + tα /, v x: δειγµατική µέση τιµή s: δειγµατική τυπική απόκλιση. Αυτό είναι το διάστηµα εµπιστοσύνης της µ, µε άγνωστη τη σ, σε επίπεδο -α. Παρατήρηση: Όταν ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας είναι πολύ µεγάλος τότε t v διότι η κατανοµή t τείνει τότε στην τυπική κανονική κατανοµή. z α, α Παράδειγµα: Σε ένα δείγµα κουτιών παστεριωµένου γάλακτος που παράγει µια βιοµηχανία γάλακτος το µέσο βάρος των κουτιών είναι 5 γραµµάρια και η δειγµατική διακύµανση s 56,5. Να προσδιοριστεί το διάστηµα εµπιστοσύνης στο οποίο θα βρίσκεται το µέσο βάρος του συνόλου των κουτιών γάλακτος που παράγονται µε πιθανότητα 99,6%. Γνωρίζουµε ότι: s s < µ > α ( x tα /, v, x + tα /, v α α,998, v 9 t α, v t,,9 3,883. (παράρτηµα. t α, v s 3,883 7,5 6,5. Άρα < µ > ( 5 6,5, 5 + 6,5 kgr,998 < µ >,998 ( 43,488, 56,5 kgr, το διάστηµα εµπιστοσύνης. 4

25 Μονόπλευρα όρια εµπιστοσύνης για τη µέση τιµή µ. i. Η διακύµανση σ γνωστή: Χρησιµοποιείται η τ.µ. µε τιµές κατανοµής. x µ κανονικής σ σ < µ > α x zα zα φ ( α. Αυτό δηλώνει ότι η µέση τιµή του πληθυσµού θα είναι µεγαλύτερη από το όριο αυτό µε πιθανότητα -α. * Αυτό προκύπτει από το ότι πρέπει η: x µ σ P zα α., άρα P µ x zα α. σ µε z φ ( α. α Ανώτατο όριο εµπιστοσύνης της µ επιπέδου -α. ( σ > α x zα, z φ ( α. v µ α i Η διακύµανση σ άγνωστη (µικρό δείγµα: χρησιµοποιείται η t - κατανοµή για τον προσδιορισµό ανώτατου και κατώτατου ορίου εµπιστοσύνης. Κατώτατο όριο εµπιστοσύνης της µ, επιπέδου -α. s < µ α x tα, v, tα, v από πίνακα. Ανώτατο όριο εµπιστοσύνης της µ, επιπέδου -α. s > από πίνακα ( µ α x tα, v, tα, v 5

26 Παράδειγµα. Τα εργαστηριακά αποτελέσµατα δοκιµίων χάλυβα Α36 που διαλέχτηκαν τυχαία δείχνουν για την τάση ροής µια µέση τιµή x kp / cm και µια τυπική απόκλιση kp / cm. Να προσδιορισθεί το κατώτατο όριο εµπιστοσύνης της µέσης τιµής µ της τάσης ροής του χάλυβα αυτού σε επίπεδο 95%. Λόγω µεγάλου µεγέθους σ ~ s. α,95 α,5 z φ (,5 φ (,95,65.,5 παράρτηµα οπότε κατώτατο όριο: σ > α x z,65 64 kgr. < µ α Γενική παρατήρηση: Οι αποφάσεις ή εκτιµήσεις στη Στατιστική έχουν στοχαστικό χαρακτήρα. εν αποτελούν αποδείξεις. Έτσι εκτιµούµε ότι ο µέσος ενός πληθυσµού < µ > α ( α, β. ηλαδή ότι ο µέσος µ βρίσκεται στο διάστηµα ( α, β δίνοντας συγχρόνως την πιθανότητα σφάλµατος αυτής της εκτίµησης. Έτσι λέµε ότι σε επίπεδο εµπιστοσύνης 95% -α η µέση τιµή (µ του πληθυσµού ανήκει στο διάστηµα: (,36,, Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης της διαφοράς των µέσων τιµών δύο πληθυσµών. Θεωρώ την διαφορά των µέσων τιµών δύο δειγµάτων x x από δύο πληθυσµούς. Η διαφορά αυτή είναι µια τυχαία µεταβλητή:. Αν πάρουµε δύο δείγµατα ανεξάρτητα µεγάλα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές και, διακυµάνσεις s y, s και οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι γνωστές σ, σ αντίστοιχα, τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: x 6

27 X Y ( µ µ σ σ + ν κ ακολουθεί Ν(,. Τότε ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών όταν οι διακυµάνσεις τους είναι γνωστές είναι: x - y - Ζ σ σ + µ - µ x - y + Ζ ν κ σ ν + σ κ Εάν οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι άγνωστες αντικαθίστανται από τις δειγµατικές διακυµάνσεις s, s και έχουµε ότι η µεταβλητή: X Y ( µ µ s s + ν κ ακολουθεί Ν(,. Τότε ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών όταν οι διακυµάνσεις τους είναι άγνωστες είναι: x - y - Ζ s s + µ - µ x - y + Ζ ν κ s s + ν κ. Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές και y και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυσµούς µε άγνωστες αλλά ίσες διακυµάνσεις σ σ σ έχουµε ότι η µεταβλητή: x X Y ( µ µ ( ν s + ( κ s ν + κ + ν κ ακολουθεί t-κατανοµή µε ν+κ- βαθµούς ελευθερίας Τότε ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών όταν οι διακυµάνσεις τους είναι άγνωστες αλλά ίσες είναι: 7

28 x - - t y ; α κ ν + s κ ν + µ - µ - + t x y ; α κ ν + s κ ν + όπου s ( ( + + κ ν κ ν s s 3. Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές και και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυσµούς µε άγνωστες και διαφορετικές διακυµάνσεις σ x y σ έχουµε ότι η µεταβλητή: κ ν µ µ ( s s Y X + ακολουθεί t κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας λ (ν- όταν ν κ και λ ( ( ( + + κ κ ν ν κ ν s s s s (στρογγυλεµένο στον πλησιέστερο ακέραιο όταν ν κ Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών όταν οι διακυµάνσεις τους είναι άγνωστες και διαφορετικές σ σ είναι: x - - t y ; α λ ν ν s s + µ - µ - + t x y ; α λ ν ν s s + για ν κ ή 8

29 x - y - t λ; α s s + µ - µ x - y + t ν κ λ; α s s + για ν κ ν κ Παραδείγµατα:. ύο εργοστάσια κατασκευάζουν το ίδιο εξάρτηµα για µια µηχανή. Παίρνουµε ένα δείγµα 3 εξαρτηµάτων από το πρώτο εργοστάσιο και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος τους είναι 7 kgr και έχουν δειγµατική διακύµανση 4 kgr. Λαµβάνουµε επίσης ένα δείγµα 4 εξαρτηµάτων από το δεύτερο εργοστάσιο και βρίσκουµε ότι έχει µέσο βάρος 7 kgr µε δειγµατική διακύµανση 45 kgr. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς µ - µ των πραγµατικών µέσων των πληθυσµών µε πιθανότητα 99%. Ποιου εργοστασίου το εξάρτηµα είναι βαρύτερο κατά µέσο όρο; Έχουµε x 7 x 7 s 4, s 45 3, 4. α,99, α,5 α α z φ φ (,995,58. s x x s s ,5833 s x x 4,958 x x,58 4,958 < µ µ < +,58 4,958 3,79 < µ µ < 7, ή 3,79 > µ µ > 7,. Το εξάρτηµα του δεύτερου εργοστασίου είναι βαρύτερο κατά µέσο όρο. 9

30 . Αν στο πιο πάνω παράδειγµα γνωρίζουµε ότι ύστερα από µετρήσεις οι διακυµάνσεις των πληθυσµών είναι σ 4καισ 48 τότε το διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς µ -µ, µε πιθανότητα 99%, θα είναι: z α,58 σ σ 4 48 σ x x σ x 5, 99 x 3 4,58 5,99 < µ µ < +,58 5,99 33,6 < µ µ < 6,84 33,6 > µ µ > 6, Παίρνουµε ένα δείγµα κονσερβών από ένα εργοστάσιο κονσερβοποιίας και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος είναι 7 γρ. µε διακύµανση 4 γρ. Λαµβάνουµε επίσης ένα δεύτερο δείγµα 8 κονσερβών από ένα δεύτερο εργοστάσιο κονσερβοποιίας και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος είναι 7 γρ. µε διακύµανση 45 γρ. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς µ -µ των πραγµατικών µέσων βαρών των κονσερβών που παράγονται στα δύο εργοστάσια µε πιθανότητα 99%. Θεωρούµε ότι οι πληθυσµοί των βαρών των κονσερβών των δύο εργοστασίων είναι κανονικοί και ότι οι διακυµάνσεις των βαρών των κονσερβών στα δύο εργοστάσια είναι άγνωστες αλλά ίσες. Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών όταν οι διακυµάνσεις τους είναι άγνωστες αλλά ίσες είναι: x - y - t ν + κ ; α s + µ - µ x - y + t ν κ ν + κ ; α s + ν κ όπου s ( ν s + ( κ s ν + κ Έχουµε x 7, y 7 s 4, s 45,, 8., + - 6, α α,99,,,5 και t,779 ν + κ α ; 3

31 s ( 4 + (8 45 6,6 s +,6 *,39 8,54 ν κ x x,779 8,54 < µ µ < +,779 8,54 43,73 < µ µ < 4. Παίρνουµε ένα δείγµα κονσερβών από ένα εργοστάσιο κονσερβοποιίας και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος είναι 7 γρ. µε διακύµανση 4 γρ. Λαµβάνουµε επίσης ένα δεύτερο δείγµα κονσερβών από ένα δεύτερο εργοστάσιο κονσερβοποιίας και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος είναι 7 γρ. µε διακύµανση 45 γρ. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς µ -µ των πραγµατικών µέσων βαρών των κονσερβών που παράγονται στα δύο εργοστάσια µε πιθανότητα 99%. Θεωρούµε ότι οι πληθυσµοί των βαρών των κονσερβών των δύο εργοστασίων είναι κανονικοί και ότι οι διακυµάνσεις των βαρών των κονσερβών στα δύο εργοστάσια είναι άγνωστες και διαφορετικές. Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών 3,73 όταν οι διακυµάνσεις τους είναι άγνωστες και διαφορετικές σ σ είναι: x - y - t λ; α s s + µ - µ x - y + t ν ν λ; α s s + για ν κ ν ν Έχουµε x 7, y 7 s 4, s 45,,, α α,99,,,5, λ (- 8 και t,878 λ; α 3

32 ,,878 9, < µ µ < +,878 9, ή - 46,54 < µ - µ < 6,54 5. Παίρνουµε ένα δείγµα κονσερβών από ένα εργοστάσιο κονσερβοποιίας και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος είναι 7 γρ. µε διακύµανση 4 γρ. Λαµβάνουµε επίσης ένα δεύτερο δείγµα 6 κονσερβών από ένα δεύτερο εργοστάσιο κονσερβοποιίας και διαπιστώνουµε ότι το µέσο βάρος είναι 7 γρ. µε διακύµανση 45 γρ. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς µ -µ των πραγµατικών µέσων βαρών των κονσερβών που παράγονται στα δύο εργοστάσια µε πιθανότητα 99%. Θεωρούµε ότι οι πληθυσµοί των βαρών των κονσερβών των δύο εργοστασίων είναι κανονικοί και ότι οι διακυµάνσεις των βαρών των κονσερβών στα δύο εργοστάσια είναι άγνωστες και διαφορετικές. Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυσµών όταν οι διακυµάνσεις τους είναι άγνωστες και διαφορετικές σ σ είναι: x - y - t λ; α s s + µ - µ x - y + t ν ν λ; α s s + για ν κ ν ν Έχουµε x 7, y 7 s 4, s 45,, 6 α α,99,,,5, λ 4 45 ( ( (

33 και t,845 λ; α ,,845 9, < µ µ < +,845 9, ή - 46,3 < µ - µ < 6,3 4. Για δείγµατα µικρά εξαρτηµένα (ζευγαρωτές παρατηρήσεις που προέρχονται από µετρήσεις της ίδιας οµάδας σε δυο διαφορετικές χρονικές στιγµές (ζευγαρωτές παρατηρήσεις ορίσουµε x i και y i, i,,., τις παρατηρήσεις στα δύο δείγµατα και δηµιουργούµε τις αντίστοιχες διαφορές z i x i - y i, i,,., που τις θεωρούµε διαφορετικές. Ο πληθυσµός από όπου πήραµε τα ζεύγη θεωρείται κανονικός. Οι παρατηρήσεις z i ακολουθούν την t κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. Z s Z που ακολουθεί t κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης πληθυσµών είναι: για τη διαφορά µ -µ µ των δύο Z Z - t ; s z µ - µ µ Z Z - t ; s z Όταν το δείγµα είναι µικρό τότε έχουµε : t Ζ Παράδειγµα: Έχουµε τις παρακάτω ζευγαρωτές παρατηρήσεις: ; Χ: , 5, 5,3 6,4 4,8 5,3 5 33

34 Y: 4,9 4,8 5, ,5 5,9 4,8 5,7 Να βρεθεί ένα 9% διάστηµα εµπιστοσύνης για την πραγµατική διαφορά µ - µ. Έχουµε Ζ: -,9,,3 -,8 -,8, -, -,,5 -,7 Και Z -,33, S Z,7, t 9;, 5,833 Εποµένως ένα 9% διάστηµα εµπιστοσύνης για την πραγµατική διαφορά µ - µ είναι: Z - t 9 ;,5 S Z / µ - µ µ Z Z + t 9,5 S / ; Z ή -,33 -,833 x,7/ 3,6 µ - µ µ Z -,33 +,833 x,7/ 3,6 ή -,75 µ - µ µ Z, Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης για την διακύµανση του πληθυσµού Στην θεωρία διατυπώθηκε ότι η ποσότητα: X ( s σ ακολουθεί την X κατανοµή µε - βαθµούς. Ο πληθυσµός από όπου πάρθηκε το δείγµα θεωρείται κανονικός µε σ και s η δειγµατική διακύµανση. Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διακύµανση σ του πληθυσµού είναι: ( s X ; ( s σ X ; 34

35 Παράδειγµα: Ένα δείγµα από 5 αγρότες παρουσιάζει διακύµανση των ετήσιων εισοδηµάτων τους s 56 ευρώ. Να βρεθεί ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την διακύµανση σ των ετήσιων εισοδηµάτων του πληθυσµού των αγροτών. Έχουµε ότι: ( s X ; ( s σ X ή ; ( 556 7,4 [Χ 5 7,4, Χ 3,36] ;,5 5;,975 σ ή ( 556 3,36 9, σ 4, Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης για τον λόγο των διακυµάνσεων δύο πληθυσµών Σύµφωνα µε την θεωρία αν πάρουµε δύο δείγµατα ανεξάρτητα µεγέθους και m αντίστοιχα µε s, s τις δειγµατικές διακυµάνσεις από δύο κανονικούς πληθυσµούς αντίστοιχα µε σ, σ τις πληθυσµιακές διακυµάνσεις τότε ισχύει ότι η ποσότητα: s s σ σ ακολουθεί την F κατανοµή µε - και m- βαθµούς ελευθερίας Οι πληθυσµοί είναι κανονικοί. Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για τον λόγο των διακυµάνσεων σ,σ των δύο πληθυσµών είναι: 35

36 s s F, m; σ σ s s F m, ; Παράδειγµα: Πήραµε δύο δείγµατα αγροτών από δύο διοικητικές περιφέρειες της Ελλάδας και εξετάσαµε τα ετήσια εισοδήµατά τους. Είχαµε τα ακόλουθα δεδοµένα: 3, S ευρώ και m 4, S ευρώ Να βρεθεί ένα 98% διάστηµα εµπιστοσύνης για τον λόγο των πραγµατικών διακυµάνσεων σ, σ των ετήσιων εισοδηµάτων των αγροτικών πληθυσµών στις δύο διοικητικές περιφέρειες της Ελλάδας. Έχουµε ότι: s s F, m; σ σ s s F m, ; F 3, F,3, 4;, 4,3;,, σ σ ή,3 σ,4 σ, Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης αναλογίας σε πληθυσµό. Αν εκτιµήσουµε το ποσοστό (αναλογία p x των στοιχείων στο µεγάλο δείγµα µεγέθους που έχουν κάποιο συγκεκριµένο χαρακτηριστικό, τότε σύµφωνα µε την θεωρία το δειγµατικό ποσοστό κατανέµεται κανονικά: ηλαδή η δειγµατική µεταβλητή P, που παράγεται από τις τιµές p, ακολουθεί την κανονική κατανοµή: 36

37 Ν(P, πληθ p πληθ ( Pπληθ Όπου P πληθ το πραγµατικό ποσοστό στον πληθυσµό. Συνεπώς έχουµε ότι η µεταβλητή: Συνεπώς έχουµε ότι η µεταβλητή: P P P P πληθ ( πληθ πληθ ακολουθεί την Ν(,. Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το ποσοστό (αναλογία του πληθυσµού είναι: ρ z α ρ ( ρ P πληθ ρ + z α ρ ( ρ Παράδειγµα: Ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων µιας µεταποιητικής βιοµηχανίας αγροτικών προϊόντων που εντοπίσθηκαν σ ένα δείγµα 3 προϊόντων είναι 4 προϊόντα. Να βρεθούν τα όρια µέσα στα οποία θα βρίσκεται το πραγµατικό ποσοστό Π των ελαττωµατικών προϊόντων της συνολικής παραγωγής µε πιθανότητα 98%. Έχουµε 3, m 4 4 ρ 8%,8. 3 Οπότε q,9. α,98, α, z α φ φ (,99,33. ρ q Sρ ρ z,8,9,57 3 Sρ < Ρ < ρ + z Sρ 37

38 ,8,57,33 < P <,8 +,57,33,434 < P <,65 4,34% < P <,6% Εκτίµηση διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη διαφορά των αναλογιών στοιχείων δύο πληθυσµών. x y Έστω ρ και ρ είναι οι δειγµατικές αναλογίες των στοιχείων, που l έχουν κάποιο συγκεκριµένο χαρακτηριστικό, δύο µεγάλων δειγµάτων µεγέθους, l από δύο πληθυσµούς, όπου οι πραγµατικές αναλογίες είναι αντίστοιχα P πληθ, P πληθ. Τότε έχουµε ότι οι διαφορές των δειγµατικών µεταβλητών P - P ακολουθούν κανονική κατανοµή: Ν(P πληθ - P πληθ, P πληθ ( P πληθ P πληθ ( P πληθ + l Ένα (-α% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη διαφορά των ποσοστών (αναλογιών των δύο πληθυσµών P πληθ, P πληθ είναι: ρ - ρ - Ζ ρ ( ρ P - P ρ - ρ + Ζ πληθ πληθ Παράδειγµα: ρ ( ρ + l ρ ( ρ ρ ( ρ + l Παίρνουµε δύο µεγάλα δείγµατα µιας ποικιλίας ενός φυτού από δύο διαφορετικούς πληθυσµούς και εξετάζουµε πόσα από αυτά ασθένησαν µέσα σε ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα. Τα δεδοµένα που προέκυψαν ήταν: Από τα του πρώτου δείγµατος ασθένησαν τα και από τα m3 του δεύτερου δείγµατος ασθένησαν τα 8. Να βρεθεί ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη διαφορά των πραγµατικών ποσοστών (αναλογιών των ασθενούντων φυτών των δύο πληθυσµών P πληθ, P πληθ. Έχουµε ότι: p - p - Ζ ρ ( ρ ρ ( ρ + l 38

39 P - P p -p + Ζ πληθ πληθ ρ ( ρ ρ ( ρ + l ρ /,, ρ 8/3,4 Έχουµε: ρ - ρ -,4 Ζ,96,5,x,9,4x,86 +,4 3 Άρα ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη διαφορά των πραγµατικών ποσοστών (αναλογιών των ασθενούντων φυτών των δύο πληθυσµών P πληθ, P πληθ είναι: -,4,96 x,4 P - P πληθ πληθ -,4 +,96 x,4 ή -,8 P - P πληθ πληθ,38 39

40 Κεφάλαιο 4 ο Έλεγχοι υποθέσεων 4.. Γενικά Εκτός του προσδιορισµού του διαστήµατος εµπιστοσύνης µιας αγνώστου παραµέτρου Θ του πληθυσµού πολλές φορές απαιτείται να κάνουµε υποθέσεις για την τιµή που µπορεί να πάρει η Θ, τις οποίες και ελέγχουµε. Σηµαντικό ρόλο στον έλεγχο της υπόθεσης που κάνουµε για την άγνωστη παράµετρο Θ του πληθυσµού παίζει η εκτιµήτρια θ και το στατιστικό του ελέγχου από το δείγµα. Καταρχήν η υπόθεση που διατυπώνουµε για την άγνωστη παράµετρο Θ του πληθυσµού καλείται Η και είναι ης µορφής: Η : Θ θ * όπου θ * είναι µια συγκεκριµένη τιµή που υποθέτουµε ότι µπορεί να ην πάρει η Θ. Η υπόθεση αυτή ελέγχεται αν ισχύει η όχι και καλείται µηδενική υπόθεση. Οι εναλλακτικές υποθέσεις είναι τις µορφής Η : Θ θ *, Η : Θ > θ *, Η : Θ < θ * Έτσι διαµορφώνονται οι ακόλουθες υποθέσεις προς έλεγχο: * Η : Θ θ Η : Θ θ * έχουµε τότε δίπλευρο έλεγχο. * Η : Θ θ * Η : Θ > θ έχουµε τότε µονόπλευρο έλεγχο (δεξιά * Η : Θ θ * Η : Θ < θ έχουµε τότε µονόπλευρο έλεγχο (αριστερά Για τον έλεγχο υπολογίζεται η απορριπτική περιοχή R της Η,δηλαδή η περιοχή στα σηµεία τη οποίας η Η απορρίπτεται. Αυτή προσδιορίζεται από την κατανοµή που ακολουθεί το στατιστικό του ελέγχου και το σφάλµα α που λαµβάνεται υπόψη. Συνεπώς τα στοιχεία ενός ελέγχου µηδενικής υπόθεσης είναι τα ακόλουθα: 4

41 . Ορισµός της µηδενικής υπόθεσης. Ορισµός της εναλλακτικής υπόθεσης 3. Ορισµός του στατιστικού του ελέγχου από το δείγµα 4. Ορισµός της απορριπτικής περιοχής R της Η 5. Εξαγωγή συµπερασµάτων. 4.. Σφάλµατα στάθµη σηµαντικότητας περιοχή απόρριψης της Η Το α είναι η πιθανότητα να απορρίψουµε την Η α Ρ(απόρριψη της Η / Η σωστή Το α καλείται και σφάλµα τύπου Ι. Το β είναι η πιθανότητα να δεχτούµε την Η ενώ είναι σωστή: ενώ είναι λάθος: β Ρ(αποδοχή της Η / Η λάθος Το β καλείται και σφάλµα τύπου ΙΙ. Το γ β και εκφράζει την πιθανότητα απόρριψης της Η όταν η Η είναι πράγµατι λάθος. Το γ καλείται και ισχύς του στατιστικού του ελέγχου. Η απορριπτική περιοχή της R της Η ορίζεται βάσει του σφάλµατος α που καλείται στάθµη σηµαντικότητας ή επίπεδο σηµαντικότητας (σ.σ. Συγκεκριµένα επίπεδο σηµαντικότητας α ενός ελέγχου µηδενικής υπόθεσης Η ονοµάζουµε την πιθανότητα να παρατηρηθεί µια τιµή του στατιστικού του ελέγχου µεγαλύτερη από αυτή που έδωσε το δείγµα. ηλαδή η πιθανότητα Ρ(Υ> y / Η σωστή, όπου Υ η τ.µ που αντιστοιχεί στο στατιστικό και y η τιµή του στατιστικού από το συγκεκριµένο δείγµα. Η πιθανότητα αυτή αναφέρεται σε µονόπλευρους ελέγχους ενώ σε δίπλευρους ελέγχους η πιθανότητα διπλασιάζεται. Η υπόθεση Η απορρίπτεται εάν η παρατηρούµενη πιθανότητα α Ρ(απόρριψη της Η / Η σωστή είναι µικρότερη µιας ορισµένης στάθµης σηµαντικότητας που επιλέγεται από αυτόν που βγάζει τα στατιστικά συµπεράσµατα. Πως ορίζεται το στατιστικό και η απορριπτική περιοχή R; Εάν η εκτιµήτρια θ ακολουθεί κανονική κατανοµή ή προσεγγιστικά κανονική κατανοµή τότε βάσει της θεωρίας η µεταβλητή: * θ θ τ ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Όπου τ το τυπικό σφάλµα (τυπική απόκλιση της κατανοµής της εκτιµήτριας θ. 4

42 * θ θ Η υπόθεση Η απορρίπτεται όταν > Ζ α µε α το επίπεδο σηµαντικότητας του τ ελέγχου. Γενικά όταν το δείγµα προέρχεται από κανονικό πληθυσµό µε την προϋπόθεση ότι * θ θ ισχύει η Η η ποσότητα ακολουθεί γνωστή κατανοµή και η περιοχή απόρριψης τ της Η είναι εκεί όπου: * θ θ τ > Φ, α * θ θ τ < - Φ ή α * θ θ τ > Φ α όταν οι εναλλακτικές υποθέσεις είναι αντίστοιχα: * * Η : Θ > θ, Η : Θ < θ ή Η : Θ * θ Οι Φ, Φ α α είναι τιµές της κατανοµής που ακολουθεί η ποσότητα * θ θ τ * θ θ ώστε Ρ( τ >Φ α, Ρ( α * θ θ τ * θ θ <-Φ α α και Ρ( τ >Φ α α 4.3. Έλεγχοι υποθέσεων Έλεγχος υπόθεσης για τη µέση τιµή του πληθυσµού Ι. Έλεγχος υπόθεσης για τη µέση τιµή του πληθυσµού (όταν 3 και η διακύµανση του πληθυσµού να είναι γνωστή ή άγνωστη. Οι έλεγχοι υποθέσεων στην προκειµένη περίπτωση παίρνουν τις ακόλουθες µορφές: * Η : µ µ Η : µ µ * δίπλευρος έλεγχος. * Η : µ µ Η : µ > µ * µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά 4

43 * Η : µ µ Η : µ < µ * µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά Ο σηµειακός εκτιµητής του µ είναι το x. Όταν το δείγµα προέρχεται από κανονικό πληθυσµό Ν(µ, σ ανεξάρτητα από το µέγεθός του έχουµε ότι η X ακολουθεί κανονική σ κατανοµή Ν(µ,, το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που το δείγµα δεν προέρχεται από κανονικό πληθυσµό αλλά το µέγεθός του είναι 3. Το στατιστικό για τον έλεγχο είναι το: X µ σ ή X µ s Στην πράξη παίρνουµε: X µ * σ ή * X µ s Οι απορριπτικές περιοχές για τους προαναφερόµενους ελέγχους είναι αντίστοιχα: Για τον δίπλευρο έλεγχο R { z > z }και για τον µονόπλευρο έλεγχο (αριστερά R {z < - z } z }, για τον µονόπλευρο έλεγχο (δεξιά R {z > ΙΙ. Έλεγχος υπόθεσης για τη µέση τιµή του πληθυσµού (όταν <3 και η διακύµανση του πληθυσµού να είναι άγνωστη. Όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό, η διακύµανση του δείγµατος άγνωστη και ο πληθυσµός από όπου προέρχεται το δείγµα κανονικός τότε η ποσότητα: X µ ακολουθεί την t κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. s 43

44 Η µεταβλητή αυτή παίρνεται ως το στατιστικό ελέγχου. Οι έλεγχοι υποθέσεων: * Η : µ µ Η : µ µ * δίπλευρος έλεγχος. * Η : µ µ Η : µ > µ * µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά * Η : µ µ Η : µ < µ * µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά έχουν ως απορριπτικές περιοχές αντίστοιχα: o δίπλευρος έλεγχος R { t > t ; }, ο µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά R {t > t }και ο µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά R {t < - t } Παραδείγµατα: ; ;. Παίρνουµε ένα δείγµα ηµερήσιων αµοιβών 4 εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή x 8 ευρώ. Θεωρούµε ότι οι ηµερήσιες αµοιβές των εργατών κατανέµονται κανονικώς Ν(9, 4. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση ηµερήσια αµοιβή στον πληθυσµό είναι µικρότερη του 9. Έχουµε τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης: (α,5 Η : µ 9 Η : µ < 9 µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά Η απορριπτική περιοχή είναι: 44

45 R {z < - z } µε Ζ z z, 5,64 X µ σ 8 9 -, Συνεπώς δεν απορρίπτουµε την Η. Παίρνουµε ένα δείγµα ηµερήσιων αµοιβών 5 εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή x 38 ευρώ και δειγµατική διακύµανση 6. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση ηµερήσια αµοιβή στον πληθυσµό είναι µεγαλύτερη του 39. Έχουµε τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης: (α,5 Η : µ 39 Η : µ > 39 µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά Η απορριπτική περιοχή είναι: R {z > z } µε Ζ z z, 5,64 X µ σ Συνεπώς δεν απορρίπτουµε την Η , Παίρνουµε ένα δείγµα ηµερήσιων αµοιβών εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή x 33 ευρώ και δειγµατική διακύµανση 6. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση ηµερήσια αµοιβή στον πληθυσµό διαφέρει του 3. Έχουµε τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης: (α,5 Η : µ 3 Η : µ 3 δίπλευρος έλεγχος Η απορριπτική περιοχή είναι: 45

46 R { t > t t ; ; }, µε t t 9 ;,5,93 X µ σ Συνεπώς απορρίπτουµε την Η 33 3, Έλεγχος υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών µ, µ δύο πληθυσµών Ι. Έλεγχος υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών (δείγµατα µεγάλα ανεξάρτητα, διακυµάνσεις γνωστές ή άγνωστες Από τις κατανοµές των στατιστικών ενός δείγµατος γνωρίζουµε ότι: Αν πάρουµε δύο δείγµατα µεγάλα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές x και y και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: X Y ( µ µ σ σ + ν κ ακολουθεί Ν(,. Εφόσον οι διακυµάνσεις είναι άγνωστες αντικαθίστανται από τις δειγµατικές διακυµάνσεις s, s και έχουµε ότι η µεταβλητή: X Y ( µ µ s s + ν κ ακολουθεί Ν(,. Οι έλεγχοι υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών (δείγµατα µεγάλα ανεξάρτητα, διακυµάνσεις γνωστές ή άγνωστες είναι οι ακόλουθοι: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Η : µ µ Η : µ > µ µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά 46

47 Η : µ µ Η : µ < µ µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά Χρησιµοποιείται ως στατιστικό ελέγχου το: x y σ ν + σ κ ή x y s s + ν κ και έχουµε ως απορριπτικές περιοχές αντίστοιχα: Για τον δίπλευρο έλεγχο R { z > z }, για τον µονόπλευρο έλεγχο (δεξιά R {z > z }και για τον µονόπλευρο έλεγχο (αριστερά R {z < - z } Παραδείγµατα:. Από ένα πληθυσµό ηµερήσιων αµοιβών εργατών παίρνουµε ένα δείγµα 4 ηµερήσιων αµοιβών εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή x 33 ευρώ και δειγµατική διακύµανση 6 και από ένα δεύτερο πληθυσµό ηµερήσιων αµοιβών εργατών παίρνουµε ένα δεύτερο δείγµα 5 ηµερήσιων αµοιβών εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή y 3 ευρώ και δειγµατική διακύµανση 5. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση ηµερήσια αµοιβή µ στον πρώτο πληθυσµό διαφέρει της µέσης ηµερήσιας αµοιβής µ στον δεύτερο πληθυσµό σε επίπεδο σηµαντικότητας (α,5 Ο έλεγχος µηδενικής υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών είναι ο ακόλουθος: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Η απορριπτική περιοχή είναι: R { z > z }, Για τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης χρησιµοποιούµε το στατιστικό 47

48 Ζ x y s s + ν κ ,54 Έχουµε ότι: z,96 Επειδή Ζ > z απορρίπτεται η Η. Άρα σε επίπεδο σηµαντικότητας α5% δεν δεχόµαστε ότι µ µ.. Από ένα πληθυσµό ηµερήσιων αµοιβών εργατών παίρνουµε ένα δείγµα 38 ηµερήσιων αµοιβών εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή x 37 ευρώ. Από ένα δεύτερο πληθυσµό ηµερήσιων αµοιβών εργατών παίρνουµε ένα δεύτερο δείγµα 45 ηµερήσιων αµοιβών εργατών µε µέση ηµερήσια αµοιβή y 34 ευρώ. Γνωρίζουµε τις πληθυσµιακές διακυµάνσεις των ηµερήσιων αµοιβών ότι είναι 4 και 5 αντίστοιχα. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση ηµερήσια αµοιβή µ στον πρώτο πληθυσµό διαφέρει της µέσης ηµερήσιας αµοιβής µ στον δεύτερο πληθυσµό σε επίπεδο σηµαντικότητας (α,5 Ο έλεγχος µηδενικής υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών είναι ο ακόλουθος: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Η απορριπτική περιοχή είναι: R { z > z }, Για τον έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης χρησιµοποιούµε το στατιστικό Ζ x y σ ν + σ κ ,3 Έχουµε ότι: z,96 48

49 Επειδή Ζ> z απορρίπτεται η Η. Άρα σε επίπεδο σηµαντικότητας α5% δεν δεχόµαστε ότι µ µ. ΙΙ. Έλεγχος υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών (δείγµατα µικρά ανεξάρτητα, διακυµάνσεις άγνωστες και ίσες Από τις κατανοµές των στατιστικών ενός δείγµατος γνωρίζουµε ότι: Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές y και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυσµούς µε άγνωστες αλλά ίσες διακυµάνσεις σ σ σ τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: x και X Y ( µ µ ( ν s + ( κ s ν + κ + ν κ ακολουθεί t-κατανοµή µε ν+κ- βαθµούς ελευθερίας Οι έλεγχοι υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών (δείγµατα µικρά ανεξάρτητα, διακυµάνσεις άγνωστες και ίσες είναι οι ακόλουθοι: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Η : µ µ Η : µ > µ µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά Η : µ µ Η : µ < µ µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά Χρησιµοποιείται ως στατιστικό ελέγχου το: 49

50 x ( ν s + ( κ s + ν + κ ν κ και έχουµε ως απορριπτικές περιοχές αντίστοιχα: o δίπλευρος έλεγχος R { t > t +κ ν ; y }, ο µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά R {t > t }και ο µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά R {t < - t } ν +κ ; ν +κ ; Παράδειγµα: Από ένα πληθυσµό στρεµµατικών αποδόσεων µιας καλλιέργειας σε µια περιοχή παίρνουµε ένα δείγµα ν 6 στρεµµατικών αποδόσεων µε µέση τιµή x 37κιλά/στρεµ. Από ένα δεύτερο πληθυσµό στρεµµατικών αποδόσεων της ίδιας καλλιέργειας σε µια άλλη περιοχή παίρνουµε ένα δεύτερο δείγµα κ 5 στρεµµατικών αποδόσεων µε µέση τιµή y 34 κιλά/στρεµ. Οι δειγµατικές διακυµάνσεις είναι αντίστοιχα 4 και 5. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση στρεµµατική απόδοση µ στον πρώτο πληθυσµό διαφέρει της µέσης στρεµµατική απόδοση µ στον δεύτερο πληθυσµό σε επίπεδο σηµαντικότητας (α,5. Θεωρούµε ότι οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι άγνωστες και ίσες. Ο έλεγχος µηδενικής υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών είναι ο ακόλουθος: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Χρησιµοποιείται το στατιστικό: t x y ( ν s + ( κ s + ν + κ ν κ (6 68+ ( ,34 η απορριπτική περιοχή είναι: 5

51 R { t > t +κ ν ; Εφόσον t < tν +κ ; }, tν +κ ; t 9 ;, 5,45 δεν απορρίπτεται η Η. Άρα σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5% δεχόµαστε ότι µ µ και δεν µπορούµε να ισχυριστούµε ότι διαφέρουν µεταξύ τους. ΙΙΙ. Έλεγχος υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών (δείγµατα µικρά ανεξάρτητα, διακυµάνσεις άγνωστες και διαφορετικές y Από τις κατανοµές των στατιστικών ενός δείγµατος γνωρίζουµε ότι: Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέσες τιµές και διακυµάνσεις s, s αντίστοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυσµούς µε άγνωστες και διαφορετικές διακυµάνσεις σ X Y ( µ µ s s + ν κ σ τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: ακολουθεί t κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας λ (ν- όταν ν κ x και και λ s s ( + ν κ s s ( ( ν + κ ν κ (στρογγυλεµένο στον πλησιέστερο ακέραιο όταν ν κ Οι έλεγχοι υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών (δείγµατα µικρά ανεξάρτητα, διακυµάνσεις άγνωστες και διαφορετικές είναι οι ακόλουθοι: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Η : µ µ Η : µ > µ µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά 5

52 Η : µ µ Η : µ < µ µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά χρησιµοποιούν ως στατιστικό ελέγχου το: x y s s + ν κ και έχουν ως απορριπτικές περιοχές αντίστοιχα: o δίπλευρος έλεγχος R { t > t λ ; }, ο µονόπλευρος έλεγχος (δεξιά R {t > t ο µονόπλευρος έλεγχος (αριστερά R {t < - t } Παραδείγµατα:. Από ένα πληθυσµό στρεµµατικών αποδόσεων µιας καλλιέργειας σε µια περιοχή παίρνουµε ένα δείγµα ν6 στρεµµατικών αποδόσεων µε µέση τιµή x 37κιλά/στρεµ. Από ένα δεύτερο πληθυσµό στρεµµατικών αποδόσεων της ίδιας καλλιέργειας σε µια άλλη περιοχή παίρνουµε ένα δεύτερο δείγµα κ6 στρεµµατικών αποδόσεων µε µέση τιµή y 34 κιλά/στρεµ. Οι δειγµατικές διακυµάνσεις είναι αντίστοιχα 4 και 5. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση στρεµµατική απόδοση µ στον πρώτο πληθυσµό διαφέρει της µέσης στρεµµατική απόδοση µ στον δεύτερο πληθυσµό σε επίπεδο σηµαντικότητας (α,5. Θεωρούµε ότι οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι άγνωστες και διαφορετικές. Ο έλεγχος µηδενικής υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών είναι ο ακόλουθος: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Χρησιµοποιείται το στατιστικό: λ; λ; }και 5

53 t x y s s + ν κ ,8 η απορριπτική περιοχή είναι: R { t > t λ ; }, t λ ; t 3 ;, 5,4 λ (ν- 3 Εφόσον t < t λ ; δεν απορρίπτεται η Η. Άρα σε επίπεδο σηµαντικότητας α5% δεχόµαστε ότι µ µ και δεν µπορούµε να ισχυριστούµε ότι διαφέρουν µεταξύ τους.. Από ένα πληθυσµό στρεµµατικών αποδόσεων µιας καλλιέργειας σε µια περιοχή παίρνουµε ένα δείγµα ν στρεµµατικών αποδόσεων µε µέση τιµή x 37κιλά/στρεµ. Από ένα δεύτερο πληθυσµό στρεµµατικών αποδόσεων της ίδιας καλλιέργειας σε µια άλλη περιοχή παίρνουµε ένα δεύτερο δείγµα κ6 στρεµµατικών αποδόσεων µε µέση τιµή y 34 κιλά/στρεµ. Οι δειγµατικές διακυµάνσεις είναι αντίστοιχα 4 και 5. Μπορούµε να πούµε ότι η µέση στρεµµατική απόδοση µ στον πρώτο πληθυσµό διαφέρει της µέσης στρεµµατική απόδοση µ στον δεύτερο πληθυσµό σε επίπεδο σηµαντικότητας (α,5. Θεωρούµε ότι οι πληθυσµιακές διακυµάνσεις είναι άγνωστες και διαφορετικές. Ο έλεγχος µηδενικής υπόθεσης για τη διαφορά των µέσων τιµών δύο πληθυσµών είναι ο ακόλουθος: Η : µ µ Η : µ µ δίπλευρος έλεγχος. Χρησιµοποιείται το στατιστικό: t x y s s + ν κ ,63 53

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ασκήσεις 1 ου Κεφαλαίου 1. Σε ένα δείγµα 90 δοχείων ελαιολάδου το µέσο βάρος των δοχείων είναι 500 γραµµάρια. Από µετρήσεις έχει γίνει γνωστή η διακύµανση

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 1. ΘΕΜΑ α. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {ΑΑ, ΑΒ, ΒΑ, ΒΒ} ενός πειράµατος τύχης µε τα ενδεχόµενα Α, Β τέτοια ώστε Α Β = Ω και Α Β = Φ. Να ορισθεί µια τυχαία µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Στατιστική Λυµένες Ασκήσεις, Πολιτικοί Μηχανικοί Ιανουάριος 6 Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μέρος Α Θεωρία Πιθανοτήτων Άσκηση [Θέµα στις εξετάσεις Φεβρουαρίου ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

ιαστήµατα Εµπιστοσύνης ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Ορισµοί: ιάστηµα Εµπιστοσύνης (Cofidece Iterval): Είναι ένα διάστηµα που βασίζεται σε παρατηρήσεις ενός δείγµατος και είναι καθορισµένο µε τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχει µια συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15 Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 009 στη Στατιστική 9/06/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Ο χρόνος ζωής ενός εξαρτήµατος εργαστηριακού οργάνου σε εκατοντάδες ώρες περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα