Tema 4 Magnetismo. 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide. 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Tema 4 Magnetismo. 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide. 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted"

Transcript

1 Tema 4 Magnetismo 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted 4-2 Lei de Lorentz. Definición de B. Movemento dunha carga nun campo magnético. 4-3 Forza exercida sobre unha corrente rectilínea 4-4 Lei de Biot e Savart. Campo magnético creado por unha corrente rectilínea 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide 4-6 Inducción electromagnética 4-7 Correntes inducidas. Leis de Faraday e Lenz 4-8 Autoinducción 4-9 Problemas e cuestións 4-1 Magnetismo. Experiencia de Oersted. Os primeiros fenómenos magnéticos observáronse en certos minerais chamados imáns naturais, como a magnetita (Fe 3 O 4 ), que posúen a propiedade de atraer ao ferro. Esta mesma propiedade a presentan os imáns artificiais, obtidos ao poñer en contacto sustancias como o aceiro cun imán natural, ou despois de colocalas no interior dunha bobina percorrida por unha corrente eléctrica. Ao acercar os extremos de dúas barras imantadas, prodúcense entre elas forzas de atracción ou de repulsión. As zonas dun corpo imantado onde se manifestan máis intensamente as forzas magnéticas, chámanse polos do imán. Aos extremos dun compás, que é unha agulla imantada empregada na navegación para seguir un rumbo, que se orientan cara aos polos norte e sur terrestres, asígnanselle os nomes de polo norte e sur respectivamente. Obsérvase experimentalmente, que as accións mutuas magnéticas entre polos de igual natureza son de repulsión, e entre polos de distinta natureza de atracción. Á rexión do espacio, que rodea a un imán, onde se exercen ditas accións magnéticas chámase campo magnético. Este concepto é similar ao de campo gravitatorio creado por unha masa, ou ao do campo eléctrico creado por unha carga (en repouso ou en movemento). Actualmente sabemos que os campos magnéticos son creados por cargas en movemento, e que as propiedades magnéticas dos imáns, débense aos movementos dos electróns, arredor dos núcleos atómicos e arredor de se mesmos. A primeira observación experimental na que se manifesta a creación de campos magnéticos por cargas en movemento, foi realizada en 1819 polo físico danés Hans Oersted, ao observar que un conductor Tema 4: Magnetismo 1

2 rectilíneo, percorrido por unha corrente eléctrica, colocado paralelamente á agulla móbil dun compás, desvíaa da súa posición N-S e tende a orientala perpendicularmente ao fío conductor. Para elo o polo norte da agulla magnética xira coma un sacarrollas que avance no mesmo sentido cá corrente eléctrica. A diferencia do campo eléctrico, creado por cargas en repouso ou movemento, e que actúa sobre cargas en repouso ou movemento, a interacción magnética prodúcese exclusivamente entre cargas en movemento. Unha carga en movemento produce (ademais dun campo eléctrico) un campo magnético, que actúa sobre cargas que estean en movemento dentro de dito campo. Se consideramos dúas cargas individuais en movemento, interaccionan, conforme ao dito, mediante forzas eléctrica e magnética. As correntes eléctricas en conductores, consisten nun movemento ordenado de cargas eléctricas, e por tanto interaccionan magneticamente entre si. Sen embargo, non interaccionan electricamente, por que en conxunto son corpos neutros, compensándose as forzas eléctricas de atracción entre os electróns e os ións positivos da rede cristalina do metal, coas forzas de repulsión ións-ións e electróns-electróns. Igual que nos campos gravitatorio e eléctrico, un campo magnético queda perfectamente determinado, asignando a cada punto o valor correspondente do vector intensidade de campo. O vector intensidade de campo magnético, tamén chamado vector inducción, represéntase por B vec. Analogamente aos campos gravitatorio e eléctrico, os campos magnéticos represéntanse graficamente mediante liñas de forza, que se debuxan de xeito que o vector inducción B vec sexa tanxente a elas en cada punto. Por convenio as liñas de forza magnética saen do polo norte e entran no polo sur. Poden visualizarse as liñas de forza, creado por un imán, espallando limaduras finas de ferro, sobre unha folla de papel colocada enriba do imán. As limaduras tenden a aliñarse seguindo arcos, que unen os polos do imán. Nas zonas próximas aos polos, as liñas de forza están máis apertadas, o que indica que o campo magnético é máis intenso. 4-2 Lei de Lorentz. Definición de Movemento dunha carga nun campo magnético. Cando unha carga q penetra nun campo magnético B cunha velocidade v, sofre unha forza dada pola lei de Lorentz: F = qv B onde q debe escribirse co signo (+ ou -) correspondente. Analicemos as características desta forza. O seu módulo vale: F= qvbsenα sendo α o ángulo formado polos vectores velocidade e intensidade de campo magnético. A súa dirección é perpendicular ao plano formado por ditos vectores. O seu sentido, se a carga é positiva, corresponde ao de avance ou retroceso dun sacarrollas, que xire como o vector velocidade cando "vai" cara ao vector campo, polo camiño máis curto. Se a carga é negativa, a forza magnética ten sentido oposto ao descrito. B. A partir do módulo da forza de Lorentz dedúcese que: Tema 4: Magnetismo 2

3 F B = qvsenα Polo tanto, a unidade de inducción magnética será o valor dun campo magnético nun punto, onde ao moverse a unidade de carga positiva, 1 coulomb, con velocidade unidade, 1 m/s, en dirección normal ao mesmo (senα=sen90 =1) actúa sobre dita carga unha forza unidade, 1 newton. Esta unidade chámase tesla ou weber m -2. Movemento dunha carga nun campo magnético. Cando a carga se despraza con velocidade paralela ao campo, a forza magnética é nula: F=qvBsen0º=0, e a partícula prosegue o seu movemento sen sufrir ningunha perturbación. Cando unha carga eléctrica se despraza cunha velocidade non paralela ao campo magnético, a forza que actúa sobre ela, será normal á traxectoria en cada instante; pois a forza é perpendicular á velocidade, e esta tanxente á traxectoria. Ao ser a forza magnética normal á traxectoria, será perpendicular a cada desprazamento elemental dr da partícula cargada, de xeito que non realiza traballo sobre ela: dw = F dr = 0 W = F dr = 0 En consecuencia, se aplicamos o teorema da enerxía cinética: W= Ecf Eci = Ec ao ser cero o traballo realizado pola forza magnética, a partícula non modifica a súa enerxía cinética nin, por tanto, a súa velocidade. Daquela a forza magnética cambia a dirección en que se despraza a carga, pero non modifica o módulo da velocidade. Esto último dedúcese de xeito inmediato, tendo en conta que a forza magnética é perpendicular á velocidade, e normal á traxectoria, de xeito que produce unha aceleración normal, o que implica un cambio na dirección da velocidade, pero non do módulo desta. Representemos mediante cruces, e puntos, un campo magnético perpendicular ao folio dirixido cara dentro do papel, e cara fóra do papel, respectivamente. Consideremos unha carga q movéndose perpendicularmente a un campo magnético constante e uniforme. A forza magnética que actúa sobre ela, será normal á traxectoria en cada instante, provocando que a partícula describa un MCU, ao actuar como forza centrípeta, vencendo a tendencia inercial a moverse en liña recta e obrigándoa a describir unha circunferencia: 2 q v B = mv / R de onde: R=mv/qB dicir, o radio da traxectoria será proporcional ao momento lineal da partícula e inversamente proporcional á intensidade do campo magnético. A velocidade angular con que describen a órbita será: v ω = R q B R = m R q = m logo tódalas partículas que posúan a mesma carga específica (q/m), xiran coa mesma velocidade angular, aínda que os radios serán distintos dependendo da súa velocidade. B Se a velocidade v da partícula non é perpendicular ao campo, senón que forma con el un ángulo α, podemos considerar a dita v descomposta en dúas compoñentes, unha normal ao campo v N e outra paralela a este v B. Debido a v N =v senα conforme acabamos de ver, a Tema 4: Magnetismo 3

4 partícula describe unha circunferencia de radio: mvsenα R = qb pero simultaneamente a partícula desprazase na dirección do campo con velocidade v B = v cosα. A carga realiza un movemento resultante da composición dunha rotación e unha translación, describindo unha traxectoria helicoidal (en forma de hélice). 4-3 Forza exercida sobre unha corrente rectilínea. Ao colocar un conductor móbil dentro dun campo magnético, se polo conductor non circula corrente eléctrica, o campo non exerce ningunha forza sobre el. A razón está en que os electróns libres e os núcleos positivos da rede cristalina do metal, móvense e vibran, respectivamente, ao chou en tódalas direccións do espacio, de xeito que as forzas magnéticas individuais, exercidas polo campo sobre cada carga, anúlanse entre si. En cambio se polo conductor circula unha corrente eléctrica, dito conductor sufrirá un desprazamento dentro do campo magnético, consecuencia dunha forza que actúa sobre el. Vamos obter a expresión matemática da forza exercida sobre unha corrente dentro dun campo magnético. Por tradición séguese estudiando a corrente eléctrica en metais, coma se o transporte de carga fose producido por portadores de carga positiva, de xeito que por convenio o sentido da corrente eléctrica vai do polo positivo da pila ao negativo. Realmente as cargas móbiles son os electróns de valencia do metal que se desprazan dende o polo negativo da pila ao positivo. O resultado matemático obtido é o mesmo tanto ao considerar o sentido convencional da corrente eléctrica coma ao estudiar a corrente coma un fluxo de electróns. Sexa N o número de electróns libres por unidade de volume de metal, e o valor da carga de cada electrón e v a velocidade media con que se desprazan ao través do conductor. A carga Q que atravesa a sección transversal S do conductor nun tempo t será: Q = N e v t S pois v t S é o volume ocupado polos electróns que atravesan a sección S do conductor no tempo t, e N e a carga por unidade de volume do conductor. A intensidade de corrente I defínese coma a carga que atravesa a sección transversal do conductor na unidade de tempo: Q I = = NevS t A forza magnética exercida sobre cada electrón vale: f =ev B sendo v a velocidade media dos electróns ao desprazarse dende o polo negativo ao positivo. A forza exercida sobre tódolos electróns contidos nun fío rectilíneo conductor de sección S e lonxitude l será: F=NSlf =NSlev B Tema 4: Magnetismo 4

5 Como os electróns son cargas negativas a forza magnética é a mesma ca que actúa sobre un fluxo de cargas positivas que se desprazasen en sentido oposto, é dicir, no sentido convencional da corrente, do polo positivo ao negativo, polo que podemos escribir: F=Il B sendo l un vector de módulo igual á lonxitude do conductor e sentido o da corrente eléctrica. 4-4 Lei de Biot e Savart. Campo magnético creado por unha corrente rectilínea indefinida. O módulo do campo magnético B creado por unha corrente rectilínea indefinida, nun determinado punto, é directamente proporcional á intensidade de corrente I e inversamente proporcional á distancia s dende a corrente ata o punto considerado. A expresión matemática correspondente é a lei de Biot e Savart: µ I B = 2π s sendo µ a permeabilidade magnética do medio. As liñas de forza son círculos perpendiculares á corrente Lei de Biot e Savart rectilínea e con centro nesta, e o seu sentido coincide co dun sacarrollas que xire de xeito que avance no mesmo sentido que a corrente. A dirección do vector intensidade de campo B e tanxente ás liñas de forza en cada punto e o sentido o mesmo ca estas. Accións mutuas entre correntes. Definición de amperio. Consideremos dúas correntes eléctricas rectilíneas, indefinidas e paralelas, de intensidades I 1 e I 2 de igual sentido, separadas unha distancia s entre si. A corrente I 1 orixina un campo magnético que no baleiro e a unha distancia s ten o valor: µ 0 I = =2 I B 10 2π s s Este campo actúa sobre a corrente I 2 producindo unha forza F 12 de atracción sobre unha lonxitude l de fío de valor: µ 0 I1 µ 0 I1I 2 7 I1I 2 F 12 =IlB 2 1=Il 2 = l=2 10 l 2π s 2π s s Analogamente deduciriamos que campo magnético creado pola corrente I 2 produce unha forza F 21 de atracción sobre unha lonxitude l da corrente I 1 de valor: µ 0 I 2 µ 0 I 2I =IlB 1 2=Il 1 = l=2 I I F 10 l= F12 =F 2π s 2π s s A forza por unidade de lonxitude vale: F =2 I I 10 l s Baseándose nesta expresión, defínese a unidade de intensidade de corrente eléctrica, o amperio, coma a intensidade de corrente, que circulando no mesmo sentido por dous fíos conductores rectilíneos e paralelos separados un metro no baleiro, orixina en cada un deles unha forza de atracción magnética de N por metro de lonxitude de fío. Tema 4: Magnetismo 5

6 Campo magnético creado por unha espira circular. Consideremos unha espira circular percorrida por unha corrente eléctrica, e imaxinemos un plano perpendicular á espira e que pase polo centro desta, coma se indica na figura. A corrente ascendente produce liñas de forza aproximadamente circulares, con centro no fío e sentido antihorario dado pola regra do sacarrollas. A corrente descendente produce tamén liñas de forza aproximadamente circulares e sentido horario. Observando a figura vemos que as liñas de forza entran pola cara da espira na que se ve circular a corrente en sentido horario, e saen por aquela na que se ve circular a corrente en sentido antihorario. Polo tanto a espira compórtase coma unha lámina moi delgada imantada de contorno igual ao da espira. Para recordar facilmente que cara se comporta coma polo norte e cal coma polo sur, podemos debuxar as letras N e S cos extremos rematados en frecha, que indican o sentido no que se ve circular a corrente dende o lado da espira que actúa coma polo norte e sur, respectivamente. No centro da espira o campo magnético ten a expresión. µ I B= 2r sendo r o radio da espira, I a intensidade da corrente e µ a permeabilidade magnética do medio. 4-5 Lei de Ampere. Campo magnético creado por un solenoide. A lei de Biot e Savart, que proporciona o módulo do campo magnético creado por unha corrente rectilínea indefinida, pode escribirse como: B 2πs= µ I. Observando a figura da lei de Biot e Savart, observamos que o termo da esquerda da ecuación anterior, é a circulación de B vec ao longo da traxectoria circular da figura: B dr = Bdr = B dr = B2π s, e o termo da dereita é igual ao producto da permeabilidade magnética µ do medio pola intensidade de corrente eléctrica I que atravesa o interior da traxectoria pechada. A lei de Biot e Savart escrita no xeito anterior, é un caso particular dunha expresión máis xeral coñecida como lei de Ampere: B dr = µ Itotal e que se expresa da seguinte forma: a circulación do campo magnético ao longo dunha traxectoria pechada calquera é igual ao producto da permeabilidade magnética do medio pola intensidade total que atravesa o interior da traxectoria. Cando aplicamos a lei de Ampere tomamos como positivas as correntes que atravesan o interior da liña pechada no sentido do avance dun sacarrollas que xire no sentido no que se percorre a liña. No exemplo da figura: I Total =-i 1 -i 2 +i 3. A lei de Ampere implica que, a diferencia dos campos gravitatorio e eléctrico, a circulación do campo magnético ao longo dunha traxectoria pechada non é nula en xeral. Recordemos que o traballo realizado polo campo eléctrico ou gravitatorio, ao longo de calquera Tema 4: Magnetismo 6

7 traxectoria pechada era cero. En consecuencia o campo magnético non é conservativo. Os campos gravitatorio e eléctrico son creados por masas e cargas illadas, respectivamente, e as liñas de campo son abertas: no campo gravitatorio as liñas van dende o infinito ata as masas creadoras do campo, e no campo eléctrico as liñas saen das cargas positivas e entran nas cargas negativas. Son ambos campos creados por fontes puntuais o que orixina que as liñas de campo sexan abertas. No campo magnético as liñas de campo son sempre pechadas enlazando as correntes eléctricas que crean o campo. Por exemplo as liñas do campo magnético creado por unha corrente eléctrica rectilínea e indefinida son círculos perpendiculares á corrente rectilínea e con centro nesta. Analogamente unha corrente circular compórtase como unha lámina delgada imantada, saíndo as liñas da campo da cara norte e entrando na cara sur, pechándose sobre elas mesmas. Non existen polos magnéticos illados: un campo deste tipo, sen fontes puntuais, denomínase solenoidal Defínese un solenoide cilíndrico (Fig. a) como un conxunto de correntes circulares equidistantes e paralelas. Se as correntes circulares están agrupadas sobre unha circunferencia.(fig. b) temos un solenoide toroidal. Podemos calcular o valor do campo magnético no interior dun solenoide toroidal, formado por N espiras, aplicando a lei de Ampere ao longo da circunferencia media. Como a través do circulo interior pasa N veces unha intensidade i, teremos B2πr = µni, ou sexa: B= µni /2πr = µni / l, onde l=2πr é a lonxitude da circunferencia, ou ben: B = µni sendo n= N / l, o número de espiras por unidade de lonxitude: A fórmula B=µni dá o valor do campo magnético no interior dun solenoide toroidal. A mesma expresión se obtén para o campo magnético no interior dun solenoide cilíndrico. No interior dun solenoide toroidal as liñas de campo magnético son circulares, e no exterior o campo é nulo. Nun solenoide cilíndrico as liñas saen da cara Norte do solenoide (onde se ve circular a corrente en sentido oposto as agullas do reloxo) e entran pola cara Sur. 4-6 Inducción electromagnética O desenvolvemento da industria eléctrica foi posible gracias as experiencias de Faraday en Inglaterra e Henry nos Estados Unidos, arredor de 1831, ao establecer as bases da transformación da enerxía mecánica en eléctrica, a baixo prezo, mediante os fenómenos de inducción electromagnética. Estas experiencias son facilmente reproducibles no laboratorio, e consisten na producción de f.e.m. inducidas en circuítos móbiles en campos magnéticos ou en circuítos fixos sometidos a campos magnéticos variables. Algunhas destas experiencias son as seguintes: Tema 4: Magnetismo 7

8 a) Consideremos un circuíto eléctrico sen ningún xerador en contacto con el, no que intercalamos un amperímetro para a detección de corrente eléctrica. O circuíto empregado no laboratorio consiste nunha bobina conectada a un amperímetro. Se acercamos ou separamos un imán á bobina observaremos o paso dunha corrente eléctrica, fig. a. Se permanece fixo o imán e movemos a bobina, tamén se orixina unha corrente eléctrica. b) O mesmo fenómeno de producción de corrente na bobina, obsérvase se empregamos, en vez do imán, un solenoide percorrido por unha corrente de intensidade constante, fig. b. c) Tamén podemos producir unha corrente na bobina sen movemento relativo entre o imán e a bobina. Empregando un solenoide polo que circule unha intensidade variable, o que se consigue mediante unha resistencia variable intercalada entre o solenoide e a fonte de alimentación, ver a primeira figura da páxina seguinte. d) Se colocamos a bobina en contacto co solenoide, ao abrir ou pechar a fonte de alimentación do solenoide, prodúcese unha corrente na bobina. En tódalas experiencias anteriores, na que se induce unha corrente eléctrica nun circuíto sen xeradores, hai unha característica común: a variación do fluxo magnético, Φ=B S, a través do circuíto, ou o que é equivalente, a variación do número de liñas de forza magnética que atravesan a superficie limitada polo circuíto. 4-7 Correntes inducidas. Leis de Faraday e Lenz Concepto introductorio: forza electromotriz dun xerador. Para producir unha corrente eléctrica nun circuíto é necesario que un xerador (pila, batería, dínamo, etc) subministre enerxía, que se disipará en forma de calor en dito circuíto. O fenómeno é análogo ao desprazamento con fricción dun corpo sobre unha superficie, no que o traballo realizado sobre o corpo transfórmase en calor debido ao rozamento. Defínese a forza electromotriz f.e.m. ε dun xerador coma o traballo W que realiza o xerador sobre a unidade de carga que o atravesa. W ε = Q Tema 4: Magnetismo 8

9 Forza electromotiz inducida. Sexa un conductor movéndose con velocidade v dentro dun campo magnético B coma se indica na figura a. Sobre cada electrón actúa unha forza magnética dada pola lei de Lorentz Fm = ev B, na que o signo negativo da carga e do electrón fai que o sentido da forza F sexa contrario ao do producto vectorial v B. Esta forza produce unha acumulación de electróns na parte inferior do conductor, quedando a parte superior cun exceso de carga positiva. Esta redistribución da carga produce un campo eléctrico E no interior do conductor, que actúa sobre cada electrón producindo unha forza eléctrica Fe = ee, que ten sentido oposto á forza magnética. Como a intensidade de campo eléctrico E aumenta coa acumulación de carga nos extremos do conductor, chega un momento no que a forza eléctrica iguala á forza magnética: ev B = ee. Nese intre as cargas do conductor acadan un novo estado de equilibrio, e cesa o movemento dos electróns. Se o conductor móbil desliza sobre un conductor fixo, formando un circuíto eléctrico, coma se indica na figura b, os electróns do conductor fixo moveranse dende o extremo inferior ao extremo superior do conductor móbil, que se comporta coma un xerador. Prodúcese por tanto unha corrente eléctrica inducida no circuíto que ten, por convenio, sentido contrario ao fluxo de electróns. Debido á corrente eléctrica de intensidade I que atravesa o circuíto, aparece sobre o conductor móbil unha forza magnética dada pola expresión: FM = Il B, sendo l un vector de módulo igual á lonxitude do conductor móbil e sentido o da corrente eléctrica. O módulo desta forza é F M =IlB, pois l e B son perpendiculares, é ten sentido oposto ao da velocidade v, polo tanto se queremos que o conductor sega movéndose coa mesma velocidade, debemos exercer unha forza igual e de sentido contrario F. Calculemos o traballo realizado pola forza magnética F M cando o conductor móbil se despraza unha distancia x. Como os sentidos da forza e o desprazamento son opostos, este traballo vale: W=-F M x=-ilb x substituíndo as relacións I=Q/ t e x=v t na ecuación anterior queda: W=-QlBv recordando a definición de f.e.m. obtemos: Tema 4: Magnetismo 9

10 W ε = = lbv Q expresión que danos o valor da forza electromotriz que se induce nun circuíto, debido ao movemento do conductor dentro dun campo magnético. O traballo realizado ao desprazar o conductor vencendo a forza magnética é igual á enerxía necesaria para inducir a corrente eléctrica no circuíto. Hai polo tanto unha transformación de enerxía mecánica en enerxía eléctrica. Lei de Faraday. Na figura b inicialmente a superficie limitada polo circuíto vale S i =l x, e o fluxo magnético que a atravesa será Φ i =BS i =Blx. Despois de que o conductor móbil se desprace unha distancia x, a superficie limitada polo circuíto vale S f =l(x+ x) e o fluxo magnético que a atravesa será Φ f =BS f =Bl(x+ x). A variación de fluxo a través do circuíto é: Φ=Φ f -Φ i =Bl x=blv t como -Blv é a f.e.m. inducida no circuíto será: Φ ε = t que no limite cando t 0: dφ ε = dt Esta expresión constitúe a lei de Faraday que pode enunciarse dicindo: "A f.e.m. inducida nun circuíto é igual á derivada con respecto ao tempo do fluxo magnético que o atravesa." O feito de ter deducido a lei de Faraday no caso particular dun conductor movéndose dentro dun campo magnético, pode levar a pensar, erroneamente, que non é unha expresión fundamental do electromagnetismo, pero a lei de Faraday non pode derivarse, en xeral, das demais leis, polo que é unha das ecuacións básicas do electromagnetismo. Recordemos que nas experiencias de inducción as correntes inducidas aparecían tanto se movemos o conductor como se variamos o campo magnético; que apareza inducción no segundo caso é desconcertante pois os campos magnéticos non son quen de provocar movemento en cargas inmóbiles; este feito indica que aparece un campo eléctrico que ao actúar sobre os electróns do metal provoca a corrente observada. A experiencia práctica e a lei de Faraday teoricamente coinciden nesta conclusión: os campos magnéticos variables provocan campos eléctricos tamén variables; necesitaremos esta idea cando intentemos explicar a natureza electromagnética da luz. Lei de Lenz. O signo negativo da lei de Faraday interprétase do seguinte xeito: (Lei de Lenz) "A f.e.m. inducida nun circuíto orixina unha corrente de sentido tal, que se opón á causa que a produce". Dita causa é sempre a variación do fluxo magnético que atravesa o circuíto. Por exemplo se diminuímos a intensidade de corrente nunha bobina colocada sobre un circuíto de xeito que diminúe o fluxo magnético que o atravesa, a corrente inducida no circuíto provocará un fluxo (liña discontinua) que se opoña á diminución de fluxo que a provoca.para elo a parte superior do circuíto debe comportarse coma o polo sur dun imán. Daquela a corrente inducida terá sentido horario. Tema 4: Magnetismo 10

11 4-8 Autoinducción. Consideremos un circuíto formado por un solenoide de N espiras de lonxitude l e con sección S, unha resistencia variable e unha fonte de alimentación. Ao variar a resistencia eléctrica, modificamos a intensidade da corrente I que circula polo solenoide, polo que varía o campo magnético no interior da espira, que vale: N B = µ I l En consecuencia ao variar a intensidade varía o fluxo magnético que atravesa as N espiras do solenoide: 2 2 N N N S N S Φ = Φ f Φ i= B fsn BiSN = µ I fsn µ IiSN = µ ( I f Ii)= µ I l l l l Esta variación do fluxo magnético orixina no propio solenoide unha f.e.m. autoinducida de valor: N 2 S I I ε = Φ = µ =L t l t t expresión que nos indica que a f.e.m. autoinducida nun circuíto é directamente proporcional á rapidez con que varia a intensidade, sendo a constante de proporcionalidade o coeficiente de autoinducción L que depende da xeometría do circuíto. A unidade de autoinducción e o henrio. Resumindo o anterior podemos dicir que sempre que varíe a intensidade de corrente nun circuíto, crease por inducción no propio circuíto, outra corrente chamada corrente autoinducida ou extracorrente. O sentido das correntes autoinducidas virá dado pola lei de Lenz, é dicir, será tal que se opoña á causa que as produce, neste caso a variación da intensidade no propio circuíto. Se a corrente principal diminúe, a corrente autoinducida ten o mesmo sentido ca esta, en particular ao abrir un circuíto a extracorrente de apertura ten o mesmo sentido que a corrente principal. Se a corrente principal aumenta a corrente autoinducida ten sentido oposto ao desta, en particular ao pechar un circuíto a extracorrente de peche ten sentido oposto ao da corrente principal. 4-9 Problemas e cuestións: Lei de Lorentz. Movemento dunha carga nun campo magnético. 1) Nunha habitación existe un campo magnético que apunta verticalmente cara abaixo. De pronto lánzanse dous electróns coa mesma velocidade en dirección perpendicular ó campo, pero sentidos contrarios. Como se moverán? a) En círculos tanxentes e sentido horario b) No mesmo círculo c) En círculos tanxentes e sentido antihorario Solución: a De acordo coa lei de Lorentz : F = qv B, que vai orixinar un movemento circular no electrón (carga q negativa), resultará: F= ( ev ) B Móvense en sentido horario describindo círculos tanxentes. 2) Cando unha partícula cargada se move dentro dun campo magnético, a forza magnética que actúa sobre ela realiza un traballo que sempre é:a) Positivo, se a carga é positiva. b) Tema 4: Magnetismo 11

12 Positivo, sexa como sexa a carga. c) Cero. Solución: c. Unha partícula cargada en movemento dentro dun campo magnético está sometida a acción dunha forza magnética, que segundo a lei de Lorentz F = qv B, resultará perpendicular ó campo e á velocidade da partícula. Por isto o traballo realizado será nulo: dw= F dr = 0 pois F e dr son dous vectores perpendiculares. 3) Para que unha carga eléctrica non se desvíe ó pasar por unha zona de campo magnético non nulo, as liñas de campo han ser: a) Perpendiculares ó desprazamento da carga. b) Paralelas ó desprazamento da carga. c) De calquera xeito que sexan, a carga desvíase sempre. Solución: b A forza que sofre unha carga en movemento no seo dun campo magnético é F = qv B, polo que, en caso de haber movemento (v 0) dunha carga (q 0) nun campo magnético (B 0) a forma de que dita forza sexa nula é que a velocidade e o campo sexan paralelos: F=qvBsenα=0, senα=0, α=0 ou α=180. 4) Se un corpo cargado entra perpendicularmente nun campo magnético uniforme, para diminuí-lo seu radio de xiro, debemos: a) Aumenta-la súa velocidade. b) Poñe-lo campo o máis paralelo posible á traxectoria inicial. c) Aumenta-la carga. Solución: c Xa que a forza de desviación vén dada por F=qvBsenα, con senα=sen90=1, e o radio podémolo achar a partir da forza centrípeta, F=mv 2 /r, resulta que: r=mv 2 /qvb=mv/qb, polo que poderemos face-lo que se nos pide (reducir r ) aumentando a carga ou o campo. 5) Un positrón de carga 1' C entra nun campo magnético B =0'1 j T. Se a velocidade do positrón é v = 10 5 i m/s, a forza que sofre, en Newton é: a)1, i, b)1, j, c)1, k Solución: c. A partir da aplicación da lei de Lorentz: F = qv B Como resultado de aplica-lo producto vectorial entre os vectores v e B, obtense que a forza magnética resultante debe ser: 1, k. 6) Un electrón describe órbitas circulares en presencia dun campo magnético B uniforme perpendicular á órbita. Disipa enerxía en forma de traballo dito electrón? Por que?. 7) Xustifica se un electrón pode ou non moverse nun campo magnético sen desviarse. 8) Un electrón e un protón describen órbitas circulares nun mesmo campo B uniforme e coa mesma enerxía cinética: a) a velocidade do protón é maior; b) o radio da órbita do protón é maior; c) os períodos de rotación son os mesmos. (Dato m p >>m e ) Solución: a) Falso: Como ambas partículas teñen igual E C : 1 m v 2 1 m v 2 p p = e e 2 2 mp > me b)verdadeiro vp < ve Tema 4: Magnetismo 12

13 m v p p = meve 2 m 2 v 2 m 2 v 2 p p > e e, mpvp > meve mp > me Da expresión do radio da órbita: R=mv/qB temos que R p >R e. 2 2 c) Falso: mv m π R π R = =, T = m e vemos que o período varía coa masa. qb qb T qb 9) Calcula: a) O radio da órbita que describe un electrón nun campo magnético de intensidade B = 3 weber/m 2 que forma un ángulo de 90º co plano da súa traxectoria. b) O tempo que tarda en dar unha volta se se move a unha velocidade de 9000 km/s. Datos: Carga do electrón = 1' C ; Masa do electrón = kg Solución: a) Primeiro teremos que acha-la forza exercida polo campo magnético sobre o electrón. A forza que actúa sobre unha carga eléctrica de Q culombios, que se move cunha velocidade de v m/s, a través dun campo magnético de B weber/m 2, cando o ángulo que forman a dirección de movemento da carga e o campo magnético é igual a α, vale: F = Q v B sen α neste caso: Q = carga do electrón = 1' C ; v = 9000 km/s = m/s B = 3 weber/m 2 ; α = 90 º ; sen α = 1 Substituíndo, obtemos: F = 1' C m/s. 3 weber/m 2 1 = 4' N Esta forza será a forza centrípeta causante do movemento circular do electrón, que vale F = (mv 2 )/r F = 4' N ; m = masa do electrón = kg ; v = 9000 km/s = m/s Substituíndo e despexando r, obtemos: r = m v 2 /F = ( ) 2 /(4' ) =16' m=16'875 µm b) Sabemos, ademais, que v = espacio/tempo ; v=2πr/t O tempo necesario para dar unha volta, ou período, será T = 2πr/v Substituíndo os valores de v e r, obtemos T = 11' segundos 10) Un protón ten unha enerxía cinética de J. Segue unha traxectoria circular nun campo magnético B= 0'5 T. Calcular: a) O radio da traxectoria. b) A frecuencia coa que xira. Datos: m protón = 1' kg; q protón = 1' C Solución: a) Unha partícula cargada que penetra perpendicularmente a un campo magnético describe unha traxectoria circular. Por isto a forza magnética (Lei de Lorentz) será a forza centrípeta que producirá o movemento circular. F = Q v B sen α F c = mv 2 /R Q v B= m v 2 /R => R = (mv)/(q B) Como E c = (1/2)mv 2 => v = (2Ec/m) 1/2 => v = 3' ms -1 R = (1' ' )/(1' ,5) = 0'072 m. Radio de xiro = 0'072 m. b) Aplicando as ecuacións propias do movemento circular poderemos calcula-la frecuencia coa que xira: v = 2πR/T =2πRν => ν= v/(2πr) => ν= 7' Hz A frecuencia é de 7' Hz 11) Un electrón penetra perpendicularmente nun campo magnético de 0'5 T cunha velocidade de 2000 km/s. Calcula-lo radio da órbita que describe. Acha-lo número de voltas que dá en 0,01 s. Datos : q e = -1' C, m e = 9' kg. Tema 4: Magnetismo 13

14 Solución: a) A forza magnética que actúa sobre o electrón ten módulo F m = qvb xa que v e B son perpendiculares. O electrón describirá un movemento circular no cal a forza centrípeta é a magnética q v B = mv 2 /r => r = (m v)/(q B) r = 2' m. b) O espacio que percorrerá nese tempo será x = v t = '01 = m dividindo pola lonxitude da circunferencia obterémo-lo número de voltas nº de voltas = / (2 π 2' ) = 14' rev 12) Un ciclotrón para acelerar protóns ten un campo magnético de intensidade 0'4 teslas, e o seu radio é 0'8 m. Calcular: a) Velocidade coa que saen os protóns do ciclotrón. b) Que voltaxe faría falta para que os protóns adquirisen esa velocidade partindo do repouso. Datos: m protón = 1' kg; q protón = 1' C Solución: a) Como a forza centrípeta no ciclotrón é a forza magnética m v 2 /r = q v B => v = q B r/m ; v = m/s b) A enerxía cinética sería igual ó traballo eléctrico realizado ½ m v 2 = q V V =0'5 1' ( ) 2 /1' = 4' V 13) Un electrón lanzado a kms -1 atravesa un campo magnético de 1 T a) Calcula-lo radio da desviación máxima. b) Calcula-lo radio da desviación mínima que pode exercer. Datos: masa do electrón: kg; carga do electrón: -1' C Solución: a) O electrón describirá unha traxectoria circular na que a forza centrípeta é a forza magnética F c = F m Como o módulo da forza magnética é: Fm = q v B sen α; sendo α o ángulo que forman os vectores velocidade e campo magnético, o valor da F m será máximo cando α =90 e mínimo cando α = 0 m v 2 /r = q v B (sen α) r = m v /(q B sen α) cando o sen α=1 terá máximo valor, entón o radio será mínimo r min = /(1' ) = 5' m b) O radio máximo será para o mínimo valor do sen α, e dicir ó aproximarse a 0: r max = seguiría logo sen desviarse xa que v e B teñen a mesma dirección 14) Un electrón (carga eléctrica = 1' C) a unha velocidade de 1000 ms -1 entra nunha zona perpendicular a un campo magnético de 10 T a) Calcula-lo radio de xiro da súa órbita. b) Calcula-la intensidade dun campo eléctrico que anule o efecto do campo magnético. Datos: q e = -1' C; m e = 0' kg Solución: a) Xa que F c = F m ; e como v e B son perpendiculares: r = m v/(q B) = 5' m b) Se F e = F m =>q E = q v B E = v B = = 10 4 N/C 15) Un protón acelerado dende o repouso por unha diferencia de potencial de V adquire unha velocidade no sentido positivo do eixe X, coa que penetra nunha rexión na que existe un campo magnético uniforme B= 0,2 T no sentido do eixe Y; calcula: a) o raio da órbita descrita (fai un debuxo do problema); b) o número de voltas que da en 1 segundo. (Datos: m P = 1, , q P = 1, ) Tema 4: Magnetismo 14

15 R.- a) R=1,02 m ; b) 3, voltas/s 16) Un protón penetra nunha zona onde hai un campo magnético de 5 T, cunha velocidade de 1000 ms -1 e dirección perpendicular ó campo. Calcula: a) o radio da órbita descrita; b) a intensidade e sentido dun campo eléctrico que ó aplicalo anule o efecto do campo magnético. (Fai un debuxo do problema)(datos: m p = l, kg, q p = l, C) R.- a) R=2, m ; b) E=5000 N/C 17) Un protón ten unha enerxía cinética de J. Segue unha traxectoria circular nun campo magnético B = 2 T. Calcula: a) o radio da traxectoria; b) o número de voltas que da nun minuto. (Datos: m protón = l,67 l0-27 kg ; q proton = 1, C) R.- a) 5, m ; 1, voltas/minuto 18) Un protón acelerado por una diferencia de potencial de 5000 V penetra perpendicularmente nun campo magnético uniforme de 0,32 T; calcula: a) a velocidade do protón, b) o radio da órbita que describe e o número de voltas que da en 1 segundo. (Datos q p = 1, C, m p =1, kg ). (Fai un debuxo do problema). R.- a) v=9, m/s ; b) R=3, m ; n=4, voltas/s Forza exercida sobre unha corrente rectilínea 19) Un cable recto de lonxitude l e corrente i está colocado nun campo magnético uniforme B formando con el un ángulo θ. O módulo da forza exercida sobre dito cable é: a) ilbtgθ, ; b) ilbsenθ; c) ilbcosθ. Lei de Biot e Savart.Accións mútuas entre correntes. 20) Un conductor leva unha corrente de 1 A. Produce un campo magnético máis intenso:a) Canto máis groso sexa o conductor. b) Canto maior sexa a velocidade de cada electrón individual. c) Canto máis próximo estea ó punto exterior. Solución: c Tendo en conta B= I µ 0 /2πr, canto menor sexa r, maior será o campo magnético. 21) O campo magnético creado por un fío infinito e recto con corrente de 1 A en sentido ascendente nun punto a distancia de r m do fío. a) Depende da inversa do cadrado da distancia. b) Ten a dirección de li as solenoidais. c) Depende do cadrado da Intensidade de corrente. Solución: b Este tipo de campo magnético vén dado por B=µ 0 I/2πr. E función inversa da distancia ó fío e función directa da intensidade. As súas liñas son solenoidais entorno ó fío seguindo a regra do sacarrollas. 22) Por dos conductores largos rectos e paralelos circulan correntes I no mesmo sentido. Nun punto do plano situado entre os dous conductores o campo magnético resultante, comparado co creado por un solo dos conductores é : a) maior; b) menor; c) o mesmo. 23) Por dous conductores paralelos e próximos entre si circulan correntes eléctricas do mesmo sentido. Que lle ocorrerá ós conductores?. a) Atráense. b) Repélense. c) Non exercen forzas mutuas se as correntes son da mesma magnitude. Solución: a. A partir da aplicación da 2ª lei de Laplace: F = I( l B) e da lei de Biot-Savart: B= I µ0 / 2πd, poderemos coñece-las características das forzas debidas a acción mutua entre correntes. Tema 4: Magnetismo 15

16 F= I 1 I 2 l µ 0 /(2π d) A partir da aplicación dos correspondentes productos vectoriais de I B, obtense unha acción mutua de tipo atractivo entre correntes do mesmo sentido. 24) As interaccións entre correntes maniféstanse porque dous conductores rectilíneos e indefinidos, paralelos, polos que circulan correntes eléctricas no mesmo sentido: a) Repélense. b) Atráense. c) Xiran ata poñerse perpendiculares. Solución: b Facendo a representación gráfica correspondente obsérvase que dous conductores rectilíneos indefinidos e paralelos polos que circulan correntes eléctricas do mesmo sentido producen forzas de tipo atractivo entre si. 25) Disponse dun fío infinito recto e con corrente eléctrica I. Unha carga eléctrica +q próxima ó fío movéndose paralelamente a el e no mesmo sentido que a corrente: a) será atraída; b) será repelida; c) non experimentará ningunha forza. 26) Dous condutores rectos, paralelos e longos están situados no plano XY e paralelos ó eixe Y. Un pasa polo punto (10,0) cm e o outro polo (20,0) cm. Ambos conducen correntes eléctricas de 5 A no sentido positivo do eixe Y; a) Explica a expresión utilizada para o cálculo do vector magnético creado por un longo condutor rectilíneo con corrente I; b) Calcula o campo magnético no punto (30,0) cm; c) Calcula o campo magnético no punto (15,0) cm. (Datos µ 0 =4π 10-7 (S.I.)) R.- b) B=1, T ; c) B= 0 T 27) Dous fíos condutores rectos moi longos e paralelos (A e B) con correntes I A = 5 A e I B = 3 A no mesmo sentido están separados 0,2 m; calcula: a) o campo magnético no punto medio entre os dous condutores (D), b) a forza exercida sobre un terceiro condutor C paralelo ós anteriores, de 0,5 m e con I C = 2 A e que pasa por D. (Dato, µ 0 = 4π 10-7 S.I.) R.- a) B= T ; b) F= N. Lei de Ampere. 28) Os campos magnetostáticos son creados por: a) Cargas eléctricas en repouso. b) Por correntes eléctricas estacionarias. c) Por cargas magnéticas. Solución: b Os campos magnetostáticos son creados por cargas eléctricas en movemento. Non son creados por cargas en repouso nin por cargas magnéticas que non existen. 29) Poden separarse os polos dun imán? Córtanse as liñas de forza magnética? Xustifica a resposta. 30) Que son as liñas vectoriais dun campo? Como son as liñas do campo electrostático e as do magnetostático? Razoa a resposta. 31) Xustifica por que as liñas do campo magnético son pechadas. Correntes inducidas. Leis de Faraday e Lenz 32) Se se move unha espira paralelamente ó seu eixe na mesma dirección dun campo magnético uniforme, indica-lo que é correcto: a) Prodúcese corrente inducida ó empeza-lo movemento. b) Non se produce ningunha corrente inducida. c) Aparece unha corrente inducida no sentido antihorario. Solución: b A aparición dunha corrente inducida, de acordo coa lei de Lenz implica a existencia dun fluxo magnético Tema 4: Magnetismo 16

17 variable, algo que non ocorre se a espira non modifica a súa dirección de movemento no seo do campo magnético. 33) Unha espira rectangular está situada nun campo magnético uniforme, representado polas frechas da figura. Razoa si o amperímetro indicará paso de corrente: a) si a espira xira arredor do eixe Y; b) si xira arredor do eixe X; c) si se despraza ó longo de calquera dos eixes X ou Y. 34) Se se acerca de súpeto o polo norte dun imán ó plano dunha espira sen corrente, nesta prodúcese: a) f.e.m. inducida en sentido horario; b) f.e.m. inducida en sentido antihorario; c) ningunha f.e.m. porque a espira inicialmente non posúe corrente. Autoinducción 35) O fluxo do campo magnético creado por unha bobina a través de si mesma: a) Depende do número de espiras. b) Depende da inversa do coeficiente de autoinducción. c) É función inversa da intensidade de corrente. Solución: a O Fluxo magnético a través dunha bobina debido a súa propia corrente vén dado por Fluxo= NSB e o campo B depende do número de espiras e da intensidade de corrente, B=Nµ 0 I/l. 36) O coeficiente de autoinducción dunha bobina toroidal é a relación: a) Entre o fluxo e a intensidade. b) Entre a intensidade e o campo magnético. c) Entre o campo eléctrico e o campo magnético. Solución: a O coeficiente de autoinducción dunha bobina é unha característica xeométrica que se pode obter como relación entre o fluxo e a intensidade, e mídese en Henrios. ε=- dφ/dt=-l di/dt, dφ=ldi Tema 4: Magnetismo 17

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

Problemas y cuestiones de electromagnetismo Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA PAU SETEMBRO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2015 FÍSICA

PAU XUÑO 2015 FÍSICA PAU XUÑO 2015 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica) Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2014 FÍSICA

PAU XUÑO 2014 FÍSICA PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica), problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO Física Exercicios de Selectividade Páxina 1 / 8 EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO 15-16 http://ciug.cesga.es/exames.php TEMA 1. GRAVITACIÓN. 1) CUESTIÓN.- Un satélite artificial de masa m que

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)).

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)). 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas, 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións, 4 puntos

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2009

PAAU (LOXSE) Setembro 2009 PAAU (LOXSE) Setembro 2009 Código: 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación As Mareas INDICE 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación Introducción A marea é a variación do nivel da superficie libre

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 9, kg) = -1, C; m e

FÍSICA. = 9, kg) = -1, C; m e 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 FÍSICA

PAU XUÑO 2010 FÍSICA PAU XUÑO 1 Cóigo: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 caa cuestión, teórica ou practica) Problemas 6 puntos (1 caa apartao) Non se valorará a simple anotación un ítem como solución ás cuestións;

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03b. Ondas

Exercicios de Física 03b. Ondas Exercicios de Física 03b. Ondas Problemas 1. Unha onda unidimensional propágase segundo a ecuación: y = 2 cos 2π (t/4 x/1,6) onde as distancias se miden en metros e o tempo en segundos. Determina: a) A

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS

RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS 1. Un detector de radiactividade mide unha velocidade de desintegración de 15 núcleos/minuto. Sabemos que o tempo de semidesintegración é de 0 min. Calcula: a) A constante de

Διαβάστε περισσότερα

Uso e transformación da enerxía

Uso e transformación da enerxía Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 4 Unidade didáctica 5 Uso e transformación da enerxía Páxina 1 de 50 Índice 1. Introdución...3

Διαβάστε περισσότερα

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO 1. Punto e recta 2. Lugares xeométricos 3. Ángulos 4. Trazado de paralelas e perpendiculares con escuadro e cartabón 5. Operacións elementais 6. Trazado de ángulos

Διαβάστε περισσότερα

ONDAS. segundo a dirección de vibración. lonxitudinais. transversais

ONDAS. segundo a dirección de vibración. lonxitudinais. transversais PROGRAMACIÓN DE AULA MAPA DE CONTIDOS propagan enerxía, pero non materia clasifícanse ONDAS exemplos PROGRAMACIÓN DE AULA E magnitudes características segundo o medio de propagación segundo a dirección

Διαβάστε περισσότερα

S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA EXTRACCIÓN DO ADN EXTRACCIÓN DO ADN CUANTIFICACIÓN. 260 280 260/280 ng/µl

S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA EXTRACCIÓN DO ADN EXTRACCIÓN DO ADN CUANTIFICACIÓN. 260 280 260/280 ng/µl CUANTIFICACIÖN 26/VI/2013 S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA - ESPECTROFOTÓMETRO: Cuantificación da concentración do ADN extraido. Medimos a absorbancia a dúas lonxitudes

Διαβάστε περισσότερα

CiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA

CiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA CiUG COMISIÓN INTERUNIVERSITARIA DE GALICIA PAAU (LOXSE) XUÑO 2001 Código: 22 ÍSICA Elixir e desenrolar unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións

Διαβάστε περισσότερα

A LUZ. ÓPTICA XEOMÉTRICA

A LUZ. ÓPTICA XEOMÉTRICA A LUZ. ÓPTICA XEOMÉTRICA PROBLEMAS. Un espello esférico ten 0,80 m de radio. a) Se o espello é cóncavo, calcular a qué distancia hai que colocar un obxecto para obter unha imaxe real dúas veces maior que

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ Α. Να αποδώσετε στο τετράδιό σας στην ελληνική γλώσσα το παρακάτω κείμενο,

Διαβάστε περισσότερα

FORMULARIO DE ELASTICIDAD

FORMULARIO DE ELASTICIDAD U. D. Resistencia de Mateiales, Elasticidad Plasticidad Depatamento de Mecánica de Medios Continuos Teoía de Estuctuas E.T.S. Ingenieos de Caminos, Canales Puetos Univesidad Politécnica de Madid FORMULARIO

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2013 FÍSICA

PAU XUÑO 2013 FÍSICA PAU XUÑO 2013 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica) Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Solucionario Trigonometría ACTIVIDADES INICIALES.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, y cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.

Διαβάστε περισσότερα

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora:

Διαβάστε περισσότερα

Escenas de episodios anteriores

Escenas de episodios anteriores Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje

Διαβάστε περισσότερα

ENLACE QUÍMICO 1. CONCEPTO DE ENLACE EN RELACIÓN COA ESTABILIDADE ENERXÉTICA DOS ÁTOMOS ENLAZADOS.

ENLACE QUÍMICO 1. CONCEPTO DE ENLACE EN RELACIÓN COA ESTABILIDADE ENERXÉTICA DOS ÁTOMOS ENLAZADOS. ENLACE QUÍMICO 1. Concepto de enlace en relación coa estabilidade enerxética dos átomos enlazados. 2. Enlace iónico. Propiedades das substancias iónicas. Concepto de enerxía de rede. Ciclo de orn-haber.

Διαβάστε περισσότερα

13 Estrutura interna e composición da Terra

13 Estrutura interna e composición da Terra 13 composición da Terra EN PORTADA: Un mensaxeiro con diamantes En Kimberley (África do Sur) atópase unha das minas de diamantes máis importantes do planeta. En honor a esa cidade, déuselle o nome de kimberlita

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS

TEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS TEMA 6.- BIMLÉCULAS RGÁNICAS IV: ÁCIDS NUCLEICS A.- Características generales de los Ácidos Nucleicos B.- Nucleótidos y derivados nucleotídicos El esqueleto covalente de los ácidos nucleicos: el enlace

Διαβάστε περισσότερα

OS PRONOMES RELATIVO INTERROGATIVOS E INDEFINIDOS SINTAXE DA ORACIÓN DE RELATIVO. O INFINITIVO E A SÚA SINTAXE.

OS PRONOMES RELATIVO INTERROGATIVOS E INDEFINIDOS SINTAXE DA ORACIÓN DE RELATIVO. O INFINITIVO E A SÚA SINTAXE. EPAPU OURENSE GREGO 1º BACHARELATO CURSO 2008-09 1 GREGO 1º BACHARELATO 11º QUINCENA OS PRONOMES RELATIVO INTERROGATIVOS E INDEFINIDOS SINTAXE DA ORACIÓN DE RELATIVO. O INFINITIVO E A SÚA SINTAXE. 1º.-

Διαβάστε περισσότερα

ε x = du dx ε(x) = ds ds = du(x) dx

ε x = du dx ε(x) = ds ds = du(x) dx Capítulo 8 ECUCIONES DIFERENCIES Cálculo de desplazamientos Dr. Fernando Flores 8.. INTRODUCCIÓN En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas. En general se

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Expresións alxébricas... páx. 64 De expresións a ecuacións Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Expresións alxébricas... páx. 64 De expresións a ecuacións Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás: A traballar con expresións literais para a obtención de valores concretos en fórmulas e ecuacións en diferentes contextos. A regra de Ruffini. O teorema

Διαβάστε περισσότερα

Black and White, an innovation in wooden flooring.

Black and White, an innovation in wooden flooring. a m s t e r d a m v i e n n a l o n d o n p a r i s m o s c o w d u b l i n m i l a n c o p e n h a g e n g e n e v a a t h e n s b a r c e l o n a r e y k j a v i c k i e v GB PT ES IT GR Black and White,

Διαβάστε περισσότερα

Panel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy

Panel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.

Διαβάστε περισσότερα

Puerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy

Puerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.

Διαβάστε περισσότερα

Radiotelescopios. Resumo: Contidos: Nivel: Segundo ciclo de ESO e Bacharelato

Radiotelescopios. Resumo: Contidos: Nivel: Segundo ciclo de ESO e Bacharelato Radiotelescopios Resumo: Nesta unidade introdúcense os alumnos no estudo dos radiotelescopios mediante a comparación destes cos telescopios ópticos, a explicación do seu funcionamento e a descrición das

Διαβάστε περισσότερα

Nro. 01 Septiembre de 2011

Nro. 01 Septiembre de 2011 SOL Cultura La Tolita, de 400 ac. a 600 dc. En su representación se sintetiza toda la mitología ancestral del Ecuador. Trabajado en oro laminado y repujado. Museo Nacional Banco Central del Ecuador Dirección

Διαβάστε περισσότερα

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M06/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2006 MODERN GREEK / GREC

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 QUÍMICA OPCIÓN A

PAU XUÑO 2011 QUÍMICA OPCIÓN A AU XUÑO 011 Código: 7 QUÍMICA Cualificación: O alumno elixirá UNA das dúas opcións. Cada pregunta cualificarase con puntos OCIÓN A 1. 1.1. Que sucedería se utilizase unha culler de aluminio para axitar

Διαβάστε περισσότερα

Proyecto Mini-Robot con PICAXE-08 MINI-ROBOT CON PICAXE

Proyecto Mini-Robot con PICAXE-08 MINI-ROBOT CON PICAXE MINI-ROBOT CON PICAXE O constante avance dos microcontroladores, cada vez máis pequenos, mais poderosos e sobre todo baratos, fan posible a mini-robótica e imos construir un mini-robot cun destes "cerebros"

Διαβάστε περισσότερα

KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS

KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS Estas instrucciones forman parte integrante del manual que acompaña el aparato en el cual está instalado este Kit. Este manual se refiere a ADVERTENCIAS GENERALES y REGLAS

Διαβάστε περισσότερα

La experiencia de la Mesa contra el Racismo

La experiencia de la Mesa contra el Racismo La experiencia de la Mesa contra el Racismo Informe Di icultad para identi icarse como discriminado Subsistencia de mecanismos individuales para enfrentar el racismo Las propuestas de las organizaciones

Διαβάστε περισσότερα

TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES

TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES Titulación: Doctorado en Tecnologías Industriales Alumno/a: Salvador Vera Nieto Director/a/s: José Salvador Cánovas Peña Antonio Guillamón Frutos Cartagena, 10

Διαβάστε περισσότερα

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά Επίθετα και Μετοχές Nic o las Pe lic ioni de OLI V EI RA 1 Apresentação Modelo de declinação de adjetivos e particípios (επίθετα και μετοχές, em grego) apresentado pela universidade Thessaloniki. Só é

Διαβάστε περισσότερα

preguntas arredor do ALZHEIMER

preguntas arredor do ALZHEIMER preguntas arredor do ALZHEIMER PRESENTACIÓN A enfermidade de Alzheimer produce unha grave deterioración na vida do individuo que leva con frecuencia a unha dependencia total e absoluta do enfermo coas

Διαβάστε περισσότερα

IV FESTIVAL LEA. Concurso entre escuelas de aprendizaje del español

IV FESTIVAL LEA. Concurso entre escuelas de aprendizaje del español IV FESTIVAL LEA El IV Festival Iberoamericano Literatura En Atenas, organizado por la revista Cultural Sol Latino, el Instituto Cervantes de Atenas y la Fundación María Tsakos, dura este año dos semanas:

Διαβάστε περισσότερα

MANUAL DE PROCEDIMENTO DA CONSELLERIA DE FACENDA PARA A REMISIÓN DA DOCUMENTACIÓN DE SINISTROS PÓLIZA DE RESPONSABILIDADE CIVIL/PATRIMONIAL SANITARIA

MANUAL DE PROCEDIMENTO DA CONSELLERIA DE FACENDA PARA A REMISIÓN DA DOCUMENTACIÓN DE SINISTROS PÓLIZA DE RESPONSABILIDADE CIVIL/PATRIMONIAL SANITARIA MANUAL DE PROCEDIMENTO DA CONSELLERIA DE FACENDA PARA A REMISIÓN DA DOCUMENTACIÓN DE SINISTROS PÓLIZA DE RESPONSABILIDADE CIVIL/PATRIMONIAL SANITARIA 1 O Decreto 307/2009, do 28 de maio, polo que se establece

Διαβάστε περισσότερα

Tema de aoristo. Morfología y semántica

Tema de aoristo. Morfología y semántica Tema de aoristo Morfología y semántica El verbo politemático Cada verbo griego tiene 4 temas principales. La diferencia semántica entre ellos es el aspecto, no el tiempo. Semántica de los temas verbales

Διαβάστε περισσότερα

1.ª DECLINAÇÃO. Somente nomes femininos e masculinos, não há neutros. Os nomes femininos têm o

1.ª DECLINAÇÃO. Somente nomes femininos e masculinos, não há neutros. Os nomes femininos têm o 52 1.ª DECLINAÇÃO Somente nomes femininos e masculinos, não há neutros. Os nomes femininos têm o nominativo singular terminado em α (que pode ser puro ou impuro) ou η; já os masculinos os têm terminados

Διαβάστε περισσότερα

Los Determinantes y los Pronombres

Los Determinantes y los Pronombres Los Determinantes y los Pronombres Englobamos dentro de los determinantes al artículo y a todos los adjetivos determinativos (demostrativos, posesivos, numerales, indefinidos, interrogativos y exclamativos).

Διαβάστε περισσότερα

Las Funciones Trigonométricas

Las Funciones Trigonométricas Caítulo 3 Las Funciones Trigonométricas 3.. El círculo trigonométrico Vamos a suoner conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a concetos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un

Διαβάστε περισσότερα

Análisis de las Enneadas de Plotino. Gonzalo Hernández Sanjorge A Parte Rei 20

Análisis de las Enneadas de Plotino. Gonzalo Hernández Sanjorge A Parte Rei 20 Análisis de las Enneadas de Plotino, Tratado Cuarto de la Enneada Primera Acerca de la felicidad1 Gonzalo Hernández Sanjorge La felicidad vinculada al vivir bien: la sensación y la razón. Identificar qué

Διαβάστε περισσότερα

Τ ο οριστ ικό άρθρο ΕΝΙΚΟΣ Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλ ητική Αρσενικός ο του το(ν) Θηλ υκός η της τη(ν) Ουδέτερο το του το ΠΛΗΘΥ ΝΤΙΚΟΣ

Τ ο οριστ ικό άρθρο ΕΝΙΚΟΣ Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλ ητική Αρσενικός ο του το(ν) Θηλ υκός η της τη(ν) Ουδέτερο το του το ΠΛΗΘΥ ΝΤΙΚΟΣ Apresentação Άρθρο και Ουσιαστικά Nic o las Pe lic ioni de OLI V EI RA 1 Modelo de declinação de artigos e substantivos (άρθρο και ουσιαστικά, em grego) apresentado pela universidade Thessaloniki. Só é

Διαβάστε περισσότερα

VERBOS II: A idéia de tempo, em grego, refere-se à qualidade da ação e não propriamente ao tempo,

VERBOS II: A idéia de tempo, em grego, refere-se à qualidade da ação e não propriamente ao tempo, 43 VERBOS II: A idéia de tempo, em grego, refere-se à qualidade da ação e não propriamente ao tempo, como em português. No presente, por exemplo, temos uma ação durativa ou linear. É uma ação em progresso,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΑΡΧΗ ΣΕΛΙ ΑΣ 1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Πέμπτη, 15 Σεπτεμβρίου 2011

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Estadísticos en la Ingeniería

Métodos Estadísticos en la Ingeniería Métodos Estadísticos e la Igeiería INTERVALOS DE CONFIANZA Itervalo de cofiaza para la media µ de ua distribució ormal co variaza coocida: X ± z α/ µ = X = X i N µ X... X m.a.s. de X Nµ Itervalo de cofiaza

Διαβάστε περισσότερα

UNIDADE 2. ACTIVIDADES DE AUTOAVALIACIÓN.

UNIDADE 2. ACTIVIDADES DE AUTOAVALIACIÓN. j UNIDADE 2. ACTIVIDADES DE AUTOAVALIACIÓN. Pra'xi" 1: 1. Busca no dicionario os seguintes artigos e explica que queren dicir as abreviaturas e as formas de presentación: ἡµετέρος, α, ον ἀµπλακίσκω δύσφορος

Διαβάστε περισσότερα

PAU MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS

PAU MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS PAU 2011-2012 MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS Circular informativa curso 2011-2012 Como directora do Grupo de Traballo de Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais e no nome de todo o grupo, póñome en

Διαβάστε περισσότερα

ἈΝΑΓΙΓΝΩΣΚΕ! Tempos segundos

ἈΝΑΓΙΓΝΩΣΚΕ! Tempos segundos 1 Tempos segundos, verbos depoñentes e verbos en -μι. Subordinación (sustantivas, temporais e finais). Formas nominais do verbo (I): o infinitivo 2 A literatura grega (I): Épica e Lírica ἈΝΑΓΙΓΝΩΣΚΕ! Tempos

Διαβάστε περισσότερα

PRODUCTOS PARA PERSONALIZAR / PRODUCTES PER PERSONALITZAR PRODUCTS TO PERSONALIZE / PRODUITS POUR PERSONNALISER ΠΡΟΙΟΝΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΣΩΠΟΠΟΙΗΣΗ

PRODUCTOS PARA PERSONALIZAR / PRODUCTES PER PERSONALITZAR PRODUCTS TO PERSONALIZE / PRODUITS POUR PERSONNALISER ΠΡΟΙΟΝΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΣΩΠΟΠΟΙΗΣΗ 11 DECORACIÓN PERSONALIZADA Le ofrecemos la posibilidad de personalizar sus productos: Simplemente debe enviarnos su logotipo original o escoger entre una de nuestras tipografías, decidir el tipo de producto

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ REPÚBLICA HELÉNICA MINISTERIO DE FINANZAS

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ REPÚBLICA HELÉNICA MINISTERIO DE FINANZAS ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ HELLENIC REPUBLIC MINISTRY OF FINANCE REPÚBLICA HELÉNICA MINISTERIO DE FINANZAS 1ο αντίγραφο για την Ελληνική Φορολογική Αρχή 1 st copy for the Hellenic Tax Authority

Διαβάστε περισσότερα

Nro. 13 - Agosto de 2013

Nro. 13 - Agosto de 2013 SOL Cultura La Tolita, de 400 ac. a 600 dc. En su representación se sintetiza toda la mitología ancestral del Ecuador. Trabajado en oro laminado y repujado. Museo Nacional Banco Central del Ecuador Dirección

Διαβάστε περισσότερα

Método de Diferenças Finitas Aplicado à Precicação de Opções EDÍLIO ROCHA QUINTINO Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Computação da Universidade Federal Fluminense como requisito

Διαβάστε περισσότερα

GB PT ES IT GR. La linea Lifestyle sono pavimenti in legno che presentano la giusta bilancia del pavimento e dell arredamento moderno.

GB PT ES IT GR. La linea Lifestyle sono pavimenti in legno che presentano la giusta bilancia del pavimento e dell arredamento moderno. a m s t e r d a m v i e n n a l o n d o n p a r i s m o s c o w d u b l i n m i l a n c o p e n h a g e n g e n e v a a t h e n s b a r c e l o n a r e y k j a v i c k i e v GB PT ES IT GR Lifestyle is

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Reprodución e relación

Ámbito científico tecnolóxico. Reprodución e relación Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 2 Unidade didáctica 7 Reprodución e relación Páxina 1 de 42 Índice 1. Programación da unidade...3 1.1 Encadramento da unidade

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Un calcolo deduttivo per la teoria ingenua degli insiemi. Giuseppe Rosolini da un università ligure

Un calcolo deduttivo per la teoria ingenua degli insiemi. Giuseppe Rosolini da un università ligure Un calcolo deduttivo per la teoria ingenua degli insiemi Giuseppe Rosolini da un università ligure Non è quella in La teoria ingenua degli insiemi Ma è questa: La teoria ingenua degli insiemi { < 3} è

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλευση Κανονικών Ορθοδόξων Επισκόπων Λατινικής Αμερικής. Γενική Γραμματεία ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Συνέλευση Κανονικών Ορθοδόξων Επισκόπων Λατινικής Αμερικής. Γενική Γραμματεία ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Συνέλευση Κανονικών Ορθοδόξων Επισκόπων Λατινικής Αμερικής Γενική Γραμματεία ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ «Πορευθέντες μαθητεύσατε πάντα τὰ ἔθνη» Μτ 28, 19 Συνήλθεν άπó τής 20ης έως 23ης Ιανουαρίου άρξαμένου έτους, είς

Διαβάστε περισσότερα

1 3ª declinación: sustantivos e adxectivos 2 Historia de Grecia: Época Clásica

1 3ª declinación: sustantivos e adxectivos 2 Historia de Grecia: Época Clásica 1 3ª declinación: sustantivos e adxectivos 2 Historia de Grecia: Época Clásica ΒΛΕΠΕ! Entraremos na segunda parte da Historia de grecia (a Época Clásica) a través dunha nova presentación: 1. Ἱστορία τῆς

Διαβάστε περισσότερα

Curso A MATERIA VIVA. Tema 1. Bioloxía 2º Bacharelato

Curso A MATERIA VIVA. Tema 1. Bioloxía 2º Bacharelato Curso 2014 2015 A MATERA VVA Bioloxía 2º Bacharelato Temario CUGA Clasificación dos compoñentes químicos. Tipos de enlaces químicos presentes na materia viva: covalente, iónico, pontes de hidróxeno, forzas

Διαβάστε περισσότερα

LAGAN PT ES GR NL HGC3K

LAGAN PT ES GR NL HGC3K LAGAN PT ES GR NL HGC3K PORTUGUÊS 4 ESPAÑOL 13 ΕΛΛΗΝΙΚΑ 22 NEDERLANDS 31 PORTUGUÊS 4 Índice Informações de segurança 4 Descrição do produto 5 Utilização diária 6 Sugestões e conselhos úteis 6 Manutenção

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΛΟΤΗΤΑ. Innovación y simplicidad

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΛΟΤΗΤΑ. Innovación y simplicidad pro ima pro ima Innovación y simplicidad PROXIMA es la última innovación de Serrature Meroni, un producto diseñado tanto para aquellos que ya disponen de un pomo PremiApri Meroni en su puerta, como para

Διαβάστε περισσότερα

PROXECTO LECTOR DO CENTRO

PROXECTO LECTOR DO CENTRO PROXECTO LECTOR DO CENTRO Colexio Casa de la Virgen Rodeira nº 12 36940 Cangas do Morrazo PONTEVEDRA Telf.: 986 39 23 13 Fax: 986 39 23 12 INDICE DE CONTIDOS: I. INTRODUCIÓN 5 II. UBICACIÓN E BREVE HISTORIA

Διαβάστε περισσότερα

REPÚBLICA DE ANGOLA EMBAIXADA DA REPÚBLICA DE ANGOLA NA GRÉCIA DIPLOMÁTICO OFICIAL ORDINÁRIO ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ

REPÚBLICA DE ANGOLA EMBAIXADA DA REPÚBLICA DE ANGOLA NA GRÉCIA DIPLOMÁTICO OFICIAL ORDINÁRIO ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ REPÚBLICA DE ANGOLA EMBAIXADA DA REPÚBLICA DE ANGOLA NA GRÉCIA PEDIDO DE VISTO ΑΙΤΗΣΗ ΓΙΑ ΒΙΖΑ FOTO ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ DIPLOMÁTICO OFICIAL ORDINÁRIO ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ TRÂNSITO TRABALHO F. RESIDÊNCIA

Διαβάστε περισσότερα

Compra y Venta de divisas negociadas en el país por el Sistema Financiero privado

Compra y Venta de divisas negociadas en el país por el Sistema Financiero privado Compra y Venta de divisas negociadas en el país por el Sistema Financiero privado SUBGERENCIA DE PROGRAMACIÓN Y REGULACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE SÍNTESIS MACROECONÓMICA www.bce.ec Nro. 22 Primer trimestre

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 27 Μαίου 2014

Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 27 Μαίου 2014 Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαίου 014 Στόχοι διάλεξης Πώς να: υπολογίζει την μεταβολή της μαγνητικής ροής. εφαρμόζει το νόμο του Faraday για τον υπολογισμό της επαγόμενης

Διαβάστε περισσότερα

M07/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/Q

M07/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/Q IB MODERN GREEK B STANDARD LEVEL PAPER 1 GREC MODERNE B NIVEAU MOYEN ÉPREUVE 1 GRIEGO MODERNO B NIVEL MEDIO PRUEBA 1 Monday 7 May 2007 (morning) Lundi 7 mai 2007 (matin) Lunes 7 de mayo de 2007 (mañana)

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεράσματα της Έκθεσης για την Ελλάδα

Συμπεράσματα της Έκθεσης για την Ελλάδα Συμπεράσματα της Έκθεσης για την Ελλάδα Conclusiones del Informe sobre Grecia Πρόγραμμα INVOLVE (DG EMPLOYMENT-VS/2015/0379). Το σχέδιο αυτό χρηματοδοτείται με την υποστήριξη της Ευρωπαϊκής Επιτροπής.

Διαβάστε περισσότερα

PorTUGUese 4 spanish 11 Greek DUTch 25

PorTUGUese 4 spanish 11 Greek DUTch 25 LUFTIG PT ES GR NL Portuguese 4 Spanish 11 Greek 18 Dutch 25 português 4 Índice Informações sobre a segurança 4 Descrição do produto 5 Limpeza e manutenção 6 Informações sobre a segurança Para a sua segurança

Διαβάστε περισσότερα

Introducción a la dinámica estructural por el MEF. Propiedades de inercia de los elementos

Introducción a la dinámica estructural por el MEF. Propiedades de inercia de los elementos Introducción a la dinámica structural por l MEF Propidads d inrcia d los lmntos Principios nrgéticos n dinámica Furzas d olumn Furzas d suprfici Furzas d inrcia q IN q q s q ρu x INx = q = ρu = ρu INy

Διαβάστε περισσότερα

Anuncio Pág Reg. 07/13688-x.

Anuncio Pág Reg. 07/13688-x. Boletín Nº 282. Viernes, 7 de diciembre de 2007 IV. Administración local IV.2 Municipal Boiro Anuncio Pág. 13894 Reg. 07/13688-x. Anterior Siguiente Aprobación definitiva Ordenana municipal de contaminación

Διαβάστε περισσότερα

Wilo-Stratos/-D/-Z/-ZD

Wilo-Stratos/-D/-Z/-ZD Wilo-Stratos/-D/-Z/-ZD E Instrucciones de instalación y funcionamiento GR Οδηγίες εγκατάστασης και λειτουργίας I Istruzioni di montaggio, uso e manutenzione 2 090 721-Ed.01 / 2008-08-Locatech Fig. 1a:

Διαβάστε περισσότερα

1745 P. v. Musschenbroek 1752. Franklin Α 1785 Coulomb. ό ος Coulomb 1800 A. Volta. 1 1820 H. C. Oersted. 1820 Α.. Ampere. 1827 G. S.

1745 P. v. Musschenbroek 1752. Franklin Α 1785 Coulomb. ό ος Coulomb 1800 A. Volta. 1 1820 H. C. Oersted. 1820 Α.. Ampere. 1827 G. S. Η ο :Η ι ά ο ί ισ ς ύ ος Κο ο ί ς ο ή ο ι ή ή Η ο ι ώ ο οί Η οι οί σ φι βσι ά ο ι ά 2 ι Η ο Η ι ι ι ίο ισ ς 3 Η ο ισ ς Κ σσι ς. έ ι 900.Χ. «οσ ς» ο ι σί ι άς Ασί 600.Χ. ής ύ ιβής 1000 ; ήσ ά ύ ισ ι ι ισ

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά Παλετών του Οίκου SISMEBI

Χαρακτηριστικά Παλετών του Οίκου SISMEBI Χαρακτηριστικά Παλετών του Οίκου SISMEBI Συνήθης Χωρητικότητα παλέτας: 588 φιάλες 0,75lt (στα 75,9 mm διαμέτρου) Η Παλέτα δέχεται όλες τις φιάλες (σε 3 επίπεδα) που έχουν ύψος έως 330 mm. Αδρανείς σε οσμές,

Διαβάστε περισσότερα

Высокоэффективные настенные газовые котлы

Высокоэффективные настенные газовые котлы es ru el GR Caldera mural de gas de alto rendimiento Manual de uso para el usuario y el instalador Высокоэффективные настенные газовые котлы Руководство по установке и эксплуатации Υψηλής απόδοσης λέβητες

Διαβάστε περισσότερα

Dentes e moas na fraseoloxía galega

Dentes e moas na fraseoloxía galega Dentes e moas na fraseoloxía galega Xesús Ferro Ruibal Centro Ramón Piñeiro para a Investigación en Humanidades Análise do corpus de fraseoloxismos somáticos galegos referidos a dentes e moas. A dentamia

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Ισπανικά για τον τουρισμό(α1-α2) Συγγραφέας: Δημήτρης Ε. Φιλιππής

Διαβάστε περισσότερα

O clítoris. e os seus segredos. María. María Victoria. Yolanda. M. Elísabeth. Lameiras Fernández. Carrera Fernández.

O clítoris. e os seus segredos. María. María Victoria. Yolanda. M. Elísabeth. Lameiras Fernández. Carrera Fernández. ] O clítoris e os seus segredos María Lameiras Fernández María Victoria Carrera Fernández Yolanda Rodríguez Castro ILUSTRADO POR M. Elísabeth Rodríguez González ] O clítoris e os seus segredos DIFUSORA

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

CARELINK EXPRESS TM MONITOR ΣΥΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ. MONITOR CARELINK EXPRESS TM Model 2020B/2020C / Μοντέλο 2020B/2020C / Modelo 2020B/2020C

CARELINK EXPRESS TM MONITOR ΣΥΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ. MONITOR CARELINK EXPRESS TM Model 2020B/2020C / Μοντέλο 2020B/2020C / Modelo 2020B/2020C CARELINK EXPRESS TM MONITOR ΣΥΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ CARELINK EXPRESS TM MONITOR CARELINK EXPRESS TM Model 2020B/2020C / Μοντέλο 2020B/2020C / Modelo 2020B/2020C Electromagnetic Compatibility Declaration

Διαβάστε περισσότερα

CR 1000, CR 1000 XL. Instrucciones de uso Manual de Utilização Istruzioni d uso Οδηγίες χρήσης. 2/08 revised 4/08 FORM NO. 56041723.

CR 1000, CR 1000 XL. Instrucciones de uso Manual de Utilização Istruzioni d uso Οδηγίες χρήσης. 2/08 revised 4/08 FORM NO. 56041723. CR 1000, CR 1000 XL Instrucciones de uso Manual de Utilização Istruzioni d uso Οδηγίες χρήσης Nilfisk Models: 56515850, 56515852 2/08 revised 4/08 FORM NO. 56041723 A-Español B-Português C-Italiano D-ΕλληvÈκά

Διαβάστε περισσότερα

Lípidos. Clasificación

Lípidos. Clasificación Lípidos Son compuestos encontrados en organismos vivos, generalmente solubles en solventes orgánicos e insolubles en agua. Clasificación Propiedades físicas aceites grasas Estructura simples complejos

Διαβάστε περισσότερα

TAREAS DE VERANO. GRIEGO 1º BACHILLERATO

TAREAS DE VERANO. GRIEGO 1º BACHILLERATO TAREAS DE VERANO. GRIEGO 1º BACHILLERATO Contenidos que debes repasar y estudiar para el examen de recuperación de septiembre: Morfología nominal: artículos (página 26), declinaciones (primera, segunda

Διαβάστε περισσότερα