3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA

Transcript

1 KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse impulssi ahel ka liikumishulgaks. See on ananenud mõiste ja selle kasutamine ei ole otstarbekas. Nii näiteks on ka elektromagnetäljal impulss, mille üheks aaldusormiks on algus rõhk. Elektromagnetälja korral aga on liikumishulga mõiste kohatu. Impulsi mõiste on kasulik seetõttu, et teatud juhtudel, näiteks kehade põrgetel, kehtib impulsi jääuse seadus. Viimase üldine sõnastus on järgmine. Impulsi jääuse seadus: suletud (isoleeritud) süsteemi koguimpulss on jää suurus, st mistahes ajahetkel on süsteemi kuuluate kehade impulsside summa konstantne r p + r p + + r L p = n const. Kehade liikumisel ja omaahelistel astastikmõjudel kehade impulsid muutuad, muutuda õib ka kehade ar süsteemis. Nii näiteks õiad kehad põrgetel liituda kui ka laguneda mitmeks kehaks. Näidisülesanne. Milline on 30 kg poisi impulss kui ta jookseb kiirusega 6 m/s? m = 30 kg = 6 m/s p =? Teeme joonise. Vastaalt impulsi definitsioonile

2 p = m, millest arutamine annab p = ( 30 6) (kg m)/s = 80 (kg m)/s Vastus: poisi impulss on 80 (kg m)/s. Kommentaar. Mõni sõna terminoloogiast. Impulssi p r r = m nimetatakse ahel ka liikumishulgaks. Tänapäea füüsikas liikumishulga mõistet enam ei kasutata, olgugi et paljudes õpikutes seda eel kahjuks tehakse, sest see pärineb eel Newtoni aegsest füüsikast, kus impulss on tõesti ainult massi ja kiiruse korrutis. Impulsi mõiste on märksa üldisem ja kasutusel ka äljaspool mehaanikat ning kus ta aaldub hoopis teisiti. Nii on näiteks impulss elektromagnetäljal (sealhulgas ka algusel) kui ka mikroosakestel (näiteks elektronil), mis on samaaegselt nii osakesed kui lained, jne. Oluline on see, et impulss on alati kindla dimensiooniga suurus ja paljudes füüsikalistes protsessides kehtib impulsi jääuse seadus. Näidisülesanne. Kuul massiga 4 g äljub automaadist, mille mass on 4,5 kg, kiirusega 95 m/s. Määrata rela tagasilöögi kiirus lasu momendil. m = 4 g = 0,004 kg M = 4,5 kg = 95 m/s V =? Teeme sümboolse joonise, millel asakpoolne pilt kujutab algolekut (kuul on automaadis paigal) ja parempoolne lõppolekut (kuul äljub automaadist). Antud ülesandes peab rakendama impulsi jääuse seadust, sest me eeldame, et aadeldaale süsteemile mingeid äliseid jõudusid ei mõju ja seetõttu on tegemist isoleeritud süsteemiga. Kui enne lasku on automaat ja kuul paigal, siis summaarset liikumist ei ole ja koguimpulss õrdub nulliga. Seega peab ka lõppolek olema selline, kus koguimpulss õrdub nulliga r r m+ MV = 0. Kirjutades selle teisiti r r MV = m on lihtne näha, et rel ja kuul liiguad peale lasku astassuunas, kusjuures kuuli impulss peab õrduma automaadi impulsiga MV = m, millest rela tagasilöögi kiirus

3 m 0, V = = ( ) m = 0,8 m/s. M 4,5 Kuna rel ei liigu abalt, aid toetub astu laskuri õlga, siis laskur tunneb seda rela tagasilöögina, sest laskuri õlg pidurdab rela liikumise. Antud juhul on tagasilöök suhteliselt äike, tugeamajõulistel reladel (näiteks intpüssidel) on tagasilöök suurem ja laskuri õlg liigub peale lasu sooritamist märgataalt tagasi. Vastus: rela tagasilöögi kiirus peale lasu sooritamist on 0,8 m/s. 3. Töö Muutumatu jõu korral aaldub töö järgmise alemiga A= F s cosα, kus s on keha poolt aadeldaa jõu mõjul läbitud teepikkus ja α on nurk jõu mõjumise suuna ja keha liikumissuuna ahel. Sõltualt jõu mõjumise suunast õib töö olla nii positiine kui ka negatiie. Kui aga kehale mõju jõud on risti keha liikumissuunaga, siis on selle jõu töö õrdne nulliga. Nii näiteks on niidi otsas olea kuulikese ühtlasel ringliikumisel (pöörlemisel) niidi tõmbe poolt tehta töö õrdne nulliga, sest niidi tõmme on risti kuulikese kiirusega ja seetõttu ka kuuli liikumissuunaga. Raskusjõu töö Juhul kui kehale mõjub raskusjõud, aaldub töö kujul A = P h= m g h, kus h on keha algkõrguse ja lõppkõrguse ahe h= h h. Elastsusjõu töö Juhul kui kehale mõjub elastsusjõud F k x =, aaldub töö kujul 3

4 k x A=, kus x on häle tasakaaluasendist. Näidisülesanne 3. Poiss pingutas kelgu edamisel nööri jõuga 50 N. Kui palju tööd ta tegi, kui ta edas kelku 50 m ja kelgunöör moodustas liikumise suunaga nurga 45 0? F = 50 N s = 50 m 0 α = 45 A =? Teeme joonise. Siin ülesandes tuleb lähtuda töö arutamise põhialemist A= F s cosα. Kuna meil kõik suurused on antud, jääb ainult tulemus älja arutada 0 A= cos 45 = 5300 J = 5, 3 kj. Vastus: tehtud töö on 5300 J ehk 5,3 kj (kilodžauli). Vastuses taaliselt tuhandeid ja miljoneid 3 pikalt älja ei kirjutata, tulemus antakse kas kümne astmetena, antud juhul oleks see 5,3 0 J, õi siis kordsetes ühikutes kj õi MJ (megadžaul). Näidisülesanne 4. Kehale massiga kg mõjus 0 s jooksul jõud 0 N. Arutada seejuures tehtud töö. m = kg t = 0 s F = 0 N A =? Teeme joonise. Kuna kehale mõjub üks jõud, siis liigub ta selle jõu suunas. Kuna nüüd on jõud ja teepikkus samasuunalised, on töö arutamise alem A= F s. 4

5 Jõud on antud, aja on leida keha poolt läbitud teepikkus. Kuna jääa jõu mõjul liikumisel on tegemist ühtlaselt kiirenea liikumisega, siis arutatakse teepikkus alemiga at s=, kiirenduse aga saame omakorda Newtoni II seadust kasutades F a=. m Teepikkus aaldub seetõttu kujul F t s= ja töö m ( F t) A= F s= m Arutamine annab (0 0) A = ( ) J = 0000 J = 0 kj. Vastus: tehtud töö on 0 kj. Näidisülesanne 5. Kui palju tööd tuleb teha, et tõsta sekundiga keha massiga 50 kg kahe meetri kõrgusele. Tõstmine toimub ühtlaselt kiirenealt. m = 50 kg h = m t = s g = 9,8 m/s A =? Teeme joonise. Kehale mõjub tõstmisel kaks jõudu, tema raskusjõud P = mg ja tõstejõud T. Kõigepealt selgitame, milline jõud meid huitaat tööd teeb. Kui me tõstaks keha ühtlaselt, siis oleks T = P ja me õiks arutada raskusjõu töö. Kuna aga tõstmine toimub ühtlaselt kiirenealt, siis tuleb arutada kehale rakendataa tõstejõu T töö A= T h. Kui kiirendus on suunatud ülespoole, on tõstejõud T = P + ma = m(g + a) (tõstejõud peab ületama raskusjõu ja andma eel kiirenduseks ajaliku jõu F = ma). Töö aaldub seega järgmiselt 5

6 A = T h= m( g+ a) h. Veel on aja leida kiirendus, mis alemist at h= aaldub kõrguse ja aja kaudu h a=. t Seda kasutades saame lõpliku alemi töö arutamiseks h A = m( g+ ) h. t Arutamine annab lõpptulemuseks A = ( 50 (9,8+ ) ) J = 080 J. Vastus: keha tõstmiseks tuleb teha 080 J tööd. 3.3 Energia Keha energiaks nimetatakse tema õimet teha tööd. Kehal õib olla energia, mis sõltub tema liikumisest (kineetiline energia) kui ka energia, mis sõltub tema asukohast (potentsiaalne energia). Lisaks sellele on kehal olemas ka siseenergia, mis on enamasti seotud keha sisemise soojusliikumisega. Kineetiline energia Kui keha liigub, siis sõltualt kiirusest omistatakse talle kineetiline energia, mis aaldub kujul m E k =. Mistahes jõu töö on aaldata lõpp- ja algoleku kineetilise energia ahena m m A= Ek Ek =. 6

7 Näidisülesanne 6. Keha impulss on (kg m)/s. Kui suur on selle keha kineetiline energia, kui keha mass on 6 kg? p = (kg m)/s m = 6 kg E k =? Kineetiline energia aaldub alemiga m E k =. Lahendamiseks on kaks õimalust: arutada impulsi ja massi kaudu kiirus ja siis kineetiline energia õi aaldada kineetiline energia impulsi kaudu. Kasutame teist õimalust, sest tihti on kasulik teada kineetilise energia aaldist impulsi kaudu. Selleks aaldame kiiruse impulsi kaudu p = m = p m ja asendame selle kineetilise energia alemisse, saame tulemuseks p E k =. m Arutamine annab tulemuseks E k = ( ) J = J. 6 Vastus: keha kineetiline energia on J. Näidisülesanne 7. Kui palju tuleb teha tööd, et panna autot, mille mass on 3 t, ) suurendama oma kiirust 36 kuni 7 km/h, ) peatuma, kui algkiirus on 90 km/h? m = 3 t = 3000 kg = 36 km/h = 0 m/s = 7 km/h = 0 m/s = 90 km/h = 5 m/s 3 ) A =? ) A =? Teeme mõlema liikumise kohta joonise. Ülemisel pildil auto suurendab kiirust, alumisel peatub. 7

8 Teataasti on töö ja kineetiline energia teineteisega tihedalt seotud, töö keha liikumisel on õrdne tema kineetilise energia muuduga, st lõpp- ja algoleku kineetilise energia ahega. ) Kiirus suureneb. Sel juhul on tehtud töö A m m m = = ( ). Arutus annab 3000 A = ( (0 0 )) J = J = 450 kj. ) Auto peatub. Algul liigub auto teataa algkiirusega ja siis peatub, Sel juhul läheb auto kogu esialgne kineetiline energia pidurdustööks m0 A =. Asendades algandmed, saame tulemuseks A = ( ) J = J = 940 kj. Vastus: kiiruse suurendamisel 36 kuni 7 km/h on tehtud töö 450 kj, auto peatumisel kiiruselt 90 km/h on tehtud töö 940 kj. Potentsiaalne energia Lisaks kineetilisele energiale saab mitmete jõudude (nn konseratiisete jõudude) jaoks sisse tuua eel keha asukohast sõltua energia ehk potentsiaalse energia. Potentsiaalse energia arel õib keha samuti tööd teha, kusjuures töö aaldub keha alg- ja lõppoleku potentsiaalse energia ahena. Kuna füüsikaliselt mõõdetaaks suuruseks on töö, mitte potentsiaalne energia, pole potentsiaalne energia määratud üheselt, aid konstandi täpsuseni. Potentsiaalse energia konkreetne kuju sõltub potentsiaalse energia nullpunkti alikust. NB! Mehaanikas on konseratiiseks jõuks graitatsioonijõud, raskusjõud ja elastsusjõud. Hõõrdejõud ei ole konseratiine jõud. Hõõrdejõu korral ei saa potentsiaalse energia mõistet sisse tuua. 8

9 Raskusjõu potentsiaalne energia Raskusjõu korral aaldub keha potentsiaalne energia kujul E p = m g h, kus h on keha kõrgus aadeldaast nullnioost. Potentsiaalne energia ei ole määratud üheselt, aid konstandi täpsuseni ja sõltub sellest, millise punkti me alime potentsiaalne energia nullpunktist. Raskusjõu korral õetakse nullpunktiks (õi nullniooks) enamasti sualine punkt Maa pinnal (potentsiaalne energia sõltub ainult kõrgusest). Sama hästi õib ka nullpunkti alida mujalt, sõltualt konkreetsest ülesandest. Nii näiteks on laua peal olea keha korral mõistlik alida nullpunktiks laua peal ole punkt. Sel juhul on laua pinnast kõrgemal potentsiaalne energia positiine, allpool aga negatiine. Raskusjõu töö aaldub keha alg- ja lõppoleku potentsiaalse energia ahena A = m g ( h h ) = E p E p. Elastsusjõu potentsiaalne energia Elastsusjõu korral aaldub potentsiaalne energia kujul k x E p =. Antud juhul on potentsiaalne energia tasakaaluasendis (x = 0) õetud õrdseks nulliga. Näidisülesanne 8. Kui kõrgele õiks tõsta auto massiga 3 t energia kw h arel? m = 3 t = 3000 kg 6 E = kw h = 3,6 0 J g = 9,8 m/s h =? Teeme joonise. 9

10 Tõstes auto maapinnast kõrgusele h oleks tema potentsiaalne energia E p = mgh. Ilmselt tuleks auto iimiseks sellisele kõrgusele kulutada ka sama palju energiat. Seega E p = E ja kõrgus E h=. mg Asendades arandmed, saame 6 3,6 0 h = ( ) m = 0 m ,8 Vastus: energiaga kw h õiks auto tõsta 0 meetri kõrgusele. Kommentaar. Kiloatttund - kw h on taaelus kasutata energia ühik, mis lähtub õimsuse ühikust att - W. SI-süsteemi energiaühik džaul (J) aaldub õimsusühiku att (W) kaudu järgmiselt: J = ( W) ( s) = W s. Siit kiloatttund kw h = (000 W) (3600 s) = 3,6 0 6 J = 3,6 MJ. Näidisülesanne 9. Vedru kokkusurumiseks cm õrra on aja rakendada jõudu 00 N. Kui suur on selle edru potentsiaalne energia kui ta on 4 cm õrra kokku surutud? x = cm = 0,0 m F = 00 N x = 4 cm = 0,04 m E p =? Teeme joonise, kus ülemine pilt kujutab edru normaalolekut, ülejäänud aga edru kokkusurumisel tekkinud olekuid ja edrus mõjuat elastsusjõudu. Kokkusurutud edru potentsiaalne energia aaldub kujul k x E p =, millest on näha, et energia arutamiseks on aja edru jõukonstandi äärtust. Selle saab leida elastsusjõu alemist, teades millist jõudu on deformeerimiseks aja F = k x 0

11 (kuna märk näitab jõu suunda, siis seda pole antud juhul aja arestada). Jõukonstant aaldub kujul F k =. x Asendades selle potentsiaalse energia alemisse, saame F x E p = x. Arutamine annab tulemuseks 00 0,04 E p = ( ) J = 8 J. 0,0 Vastus: edru potentsiaalne energia on 8 J. 3.4 Energia jääuse seadus Energia on oluline mõiste ka seetõttu, et looduses kehtib energia jääuse seadus, mis äidab seda, et mistahes isoleeritud süsteemis on süsteemi koguenergia jää suurus. Selle seaduse rakendamine ei ole alati lihtne, sest koguenergiat ei ole üldjuhul lihtne leida, eriti siis kui tuleb aresse õtta ka kehade soojusliikumisest tingitud siseenergiat. Mehaanikas on see enamasti seotud hõõrdejõudude tööga, mis läheb siseenergiaks (kehad soojenead) ja see enam mehaanika aldkonda ei kuulu. Hõõrdejõudude korral ei saa seetõttu rääkida potentsiaalsest energiast. Mehaanilises süsteemis, kus kehadele mõjuad jõud on konseratiised jõud (st jõud, millel on potentsiaalne energia), on kineetilise ja potentsiaalse energia summa jää suurus E = Ek + E p = const. Kui näiteks keha liigub raskusjõu mõjul, õime kirjutada m E = + m g h= const.

12 Näidisülesanne 0. Keha libiseb hõõrdumiseta alla kaldpinnalt kõrgusega m. Kui suure kiiruse ta saab kui keha algkiirus oli õrdne nulliga? h = m g = 9,8 m/s =? Teeme joonise, mia kujutab keha libisemist kaldpinda mööda alla. Keha kiiruse leidmiseks kasutame energia jääuse seadust raskusjõu mõjul liikumisel. Algolekus on keha kaldpinnal paigal, seega on keha koguenergia õrdne tema potentsiaalse energiaga E= E p = m g h. Kui keha on libisenud kaldpinnalt alla ( h = 0 ), siis on tema potentsiaalne energia õrdne nulliga ja keha koguenergia õrdub nüüd tema kineetilise energiaga m E = E = k. Koguenergia jääusest saame õrduse m E = m g h=, mis peale massi taandamist annab g h=. Kiirus aaldub siin järgmiselt = g h. Arutamine annab tulemuseks = ( 9,8 ) m/s = 4,4 m/s. Vastus: m kõrguselt kaldpinnalt alla libisemisel saautab keha kiiruseks 4,4 m/s. Tulemus on huita selle poolest, et kasutades energia jääust, saime lõpptulemuse lihtsalt arutada. Teiseks on huita ka see, et raskusjõu mõjul liikumisel on lõppkiirus alati sama ja ei sõltu sellest, millist teed pidi keha lõppolekusse jõuab. Eelmise peatüki näidisülesandes 4 me nägime, et mööda kaldpinda libisemisel liigub keha kiirendusega, mis sõltub kaldpinna kaldenurgast. Nüüd näeme, et ükskõik milline see ka ei oleks, saautab keha ikka ühe ja selle sama lõppkiiruse (sama lõppkiiruse saab keha ka samalt kõrguselt kukkumisel).

13 Näidisülesanne. Kii massiga 00 g isati 40 m kõrgusest tornist horisontaalse algkiirusega 5 m/s. Milline potentsiaalne ja kineetiline energia on sellel kiil s pärast. m = 00 g = 0, kg h = 40 m =5 0 m/s t = s g = 9,8 m/s E k =?, E p =? Teeme joonise. Alustame kineetilisest energiast. Visatud keha liigub parabooli mööda, kusjuures horisontaalsuunas liigub ta jääa kiirusega 0, ertikaalsuunas on aga tegemist aba langemisega kiirusega = g t. Kogukiirus on erisuunaliste kiiruste ektorsumma, kiiruse äärtus aga = +. 0 (gt) Kii kineetiline energia ajahetkel t m m ( 0 + ( gt) ) E k = =. Arutamine annab tulemuseks 0, (5 + (9,8 ) ) E = k ( ) J = 6 J. Edasi aatame potentsiaalset energiat. Lugedes potentsiaalse energia maa pinnal õrdseks nulliga, oleks kõrgusel h potentsiaalne energia E p = mgh. Et saada potentsiaalset energiat etteantud ajahetkel t, peame leidma kui kõrgel maapinnast h sel hetkel on. Kuna ertikaalsuunas on tegemist aba langemisega, siis aja t jooksul langeb keha gt h= õrra, mistõttu 3

14 gt h = h h= h ja potentsiaalne energia aaldub seetõttu kujul E p gt = mgh = mg ( h ). Tehes arutused, saame 9,8 E p = ( 0, 9,8 (40 )) J = 40 J. Kuna tegemist on raskusjõu mõjul liikumisega, siis kehtib energia jääuse seadus. See tähendab, et keha koguenergia on liikumisel jää suurus. Antud juhul on koguenergia E = E k + E p =0 J. See peab olema õrdne koguenergiaga mistahes ajahetkel. Arutame koguenergia liikumise alguses. Kõrgusel h on potentsiaalne energia E p = mgh= ( 0, 9,8 40) J = 78,4 J. Kuna kehale anti horisontaalsuunaline algkiirus, on keha kineetiline energia m 0 0, 5 E k = = ( ) J =,5 J. Antud arutustäpsuse juures saame koguenergiaks E = 0 J, mis tõepoolest kinnitab seda, et kogu liikumise jooksul on koguenergia jää suurus. Vastus: sekundi pärast on kii kineetiline energia 6 J ja potentsiaalne energia 40 J. 3.5 Põrked Jääusseaduste rakendamine on tihti otstarbekas, sest kehadeahelised jõud õiad olla üsna keerukad ja me nende kuju täpselt ei tea. Sel juhul ei ole liikumisülesande otsene lahendamine õimalik ja tuleb pöörduda jääusseaduste poole. Seejuures tuleb muidugi selgitada, kas nad aadeldaa ülesande korral on rakendataad. Üheks oluliseks aldkonnaks, kus saame rakendada jääusseadusi, on põrked. Põrgete korral me eeldame, et enne põrget on kehad üksteisest piisaalt kaugel ja me õime neid lugeda abadeks. Seejärel liiguad nad piirkonda, kus kehadeahelised jõud muutuad oluliseks ja need muudaad kehade liikumisolekuid. Seda osa me nimetamegi põrkeks. Pärast põrget kehad 4

15 eemalduad ja neid õib jälle lugeda abadeks. Niisugusel juhul õime rakendada alg- ja lõppoleku jaoks impulsi ja energia jääust, saades olulist teaet aadeldaa põrke kohta. Nii näiteks õime sellisel iisil analüüsida piljardikuulide põrget, sest kuulide otsesel kokkupuutel mõjuaid jõudusid ei ole õimalik täpselt leida ja seetõttu ei saa ka Newtoni II seadust otseselt rakendada. Põrked jaotatakse elastseteks ja mitteelastseteks põrgeteks. Elastsel põrkel muutuad põrkuate kehade kiirused ja liikumissuunad selliselt, et kehade kogu kineetiline energia põrkel ei muutu, teisisõnu summaarne kineetiline energia enne põrget ja peale põrget on sama. Mitteelastsel põrkel muutub aga osa energiast kehade siseenergiaks ja summaarne kineetiline energia jää ei ole (elastsel põrkel kehade siseenergia ei muutu). Näidisülesanne. Kuulike massiga 50 g liigub kiirusega 5 m/s ja põrkub paigalseisa kuulikesega massiga 30 g. Millised on kuulide kiirused peale põrget kui kuulid liiguad samas suunas ja tegemist on absoluutselt elastse tsentraalse põrkega? m = 50 g m = 30 g = 5 m/s = 0 m/s =,? =? Teeme lihtsa joonise, mis kujutab kuulikeste põrget. Ülemisel pildil on kehade liikumine ennepõrget, alumisel pärast põrget. Mistahes põrkel kehtib alati kaks jääusseadust impulsi jääuse seadus ja energia jääuse seadus. Viimase kuju aga sõltub sellest, millise põrkega on tegemist. Absoluutselt elastsel põrkel on põrkuate kehade kineetiliste energiate summa jää suurus, st. kineetiliste energiate summa enne põrget on õrdne kineetiliste energiate summaga pärast põrget. (Mitteelastsel põrkel see nii ei ole, sest osa energiast läheb kehade deformeerumisel nende siseenergiaks.) Paneme kõigepealt kirja impulsi jääuse seaduse. Selle üldkuju on (enne põrget oli teine keha paigal ja selle impulss õrdne nulliga) r r r r r r p = p + p ehk m = m + m r r kus ja on kuulikeste kiirused peale põrget., Kuna kuulikesed liiguad samas suunas, siis peale tsentraalset põrget liiguad nad samas sihis edasi. Seetõttu õime impulsi jääuse kirjutada kujul (loeme põrkua kuulikese kiiruse suunad positiiseks) m =. m + m 5

16 Millised on kiiruste suunad peale põrget me esialgu ei tea, seetõttu oletame, et mõlemad kuulikesed liiguad peale põrget samas suunas edasi. Nii õib alati teha, sest hilisem arutus annab kiiruse tegeliku suuna: kui kiirus tuleb plussmärgiga, liigub keha meie poolt oletatud suunas, kui aga kiirus tuleb miinusmärgiga, liigub keha peale põrget astassuunas, ehk tagasi. Energia jääuse seadus on aga kujul m m m = +. Kuulikeste kiiruste leidmiseks oleme saanud kaks õrrandit m =, m + m m = m + m esimene oli impulsi jääuse seadus, teine aga energia jääuse seadus, milles nimetajas olea ühise teguri taandasime. Edasine on juba puhas matemaatika. Meil on kaks otsitaat kiirused peale põrget ja ning kaks õrrandit nende leidmiseks. Seetõttu sõltub kõik järgne matemaatika oskusest. Lahendame selle üldtuntud meetodil (mis ei pruugi olla alati kõige lihtsam), asendades esimesest õrrandist ühe lõppkiirustest õi ja asendades selle teise õrrandisse, mis tuleb seejärel lahendada. Aaldame kiiruse m ( ) =. m Enne teise õrrandisse asendamist kirjutame selle õrrandi kujul m ( = m. ) Võttes ruutu ja asendades, saame m m. ( ) = ( ) ehk m ( ) = m ( ) m Viimasest õrrandit tuleb leida kiirus. Selleks on kaks õimalust: esimene on otsene ehk jõumeetod, aame paremal pool sulud ja saame jaoks ruutõrrandi, mis seejärel tuleks lahendada, teine meetod aga põhineb lihtsal algebral. Läheme teist teed ja kasutame tuntud ruutude ahe alemit (a -b ) = (a+b)(a-b). Saame m +. ( )( ) = m ( ) 6

17 Nüüd jagame mõlemaid pooli ( ) -ga ( = ei ole õimalik, sest sel juhul põrget ei toimu ja teine keha jääb edasi paigale [kuulikesed liiguad teineteisega paralleelselt]) ja saame arutamiseks lihtsa õrrandi m + ) = m ( ). ( Viies otsitaaga liikmed ühele poole ja kiirusega liikmed teisele poole, saame kiiruseks m m. = m + m Selle asendamine eespool toodud aaldisse annab tulemuseks (jätame siinkohal arutused tegemata) m =. m + m Arutame nüüd tulemused = (( ) 5) m =,5 m/s, = (( ) 5) m = 6,5 m/s (Massiühikuid pole aja teisendada, sest arutamisel läheb aja masside suhet.) Vastus: kuulikeste kiirused peale põrget on astaalt,5 m/s ja 6,5 m/s. Kuna tulemused on plussmärgiga, liiguad kuulikesed peale põrget esialgses suunas edasi. Näidisülesanne 3. Kuulike massiga 30 g liigub kiirusega 5 m/s ja põrkub paigalseisa kuulikesega massiga 50 g. Millised on kuulide kiirused peale põrget kui kuulid liiguad samas suunas ja tegemist on absoluutselt elastse tsentraalse põrkega? m= 30 g m = 50 g = 5 m/s = 0 m/s =,? =? Teeme sama joonise, mis eelmise ülesande korral. Põrkel kehtib alati kaks jääusseadust impulsi jääuse seadus ja energia jääuse seadus. Kuna on tegemist absoluutselt elastse põrkega, on põrkuate kehade kineetiliste energiate 7

18 summa jää suurus, st. kineetiliste energiate summa enne põrget on õrdne kineetiliste energiate summaga pärast põrget. Paneme kõigepealt kirja impulsi jääuse seaduse. Selle üldkuju on (enne põrget oli teine keha paigal ja selle impulss õrdne nulliga) r r r r r r p = p + p ehk m = m + m r r kus ja on kuulikeste kiirused peale põrget., Kuna kuulikesed liiguad samas suunas, siis peale tsentraalset põrget liiguad nad samas sihis edasi. Seetõttu õime impulsi jääuse kirjutada kujul (loeme põrkua kuulikese kiiruse suunad positiiseks) m =. m + m Millised on kiiruste suunad peale põrget me esialgu ei tea, seetõttu oletame, et mõlemad kuulikesed liiguad peale põrget samas suunas edasi. Nii õib alati teha, sest hilisem arutus annab kiiruse tegeliku suuna: kui kiirus tuleb plussmärgiga, liigub keha meie poolt oletatud suunas, kui aga kiirus tuleb miinusmärgiga, liigub keha peale põrget astassuunas, ehk tagasi. Energia jääuse seadus on aga kujul m m m = +. Kiiruste ja leidmiseks ajaminead arutused tegime läbi eelmises ülesandes, seetõttu õtame sealt ka kiiruste alemid m m, = m + m m =. m + m Arutamine annab tulemuseks = (( ) 5) m/s = -,5 m/s, = (( ) 5) m/s = 3,75 m/s Kuna esimese kuulikese kiirus tuli miinusmärgiga, siis liigub see kuulike peale põrget astassuunas (tagasi). Vastus: kuulikeste kiirused peale põrget on astaalt -,5 m/s ja 3,75, mis tähendab, et esimene kuulike liigub peale põrget tagasi kiirusega,5 m/s, teine kuulike hakkab liikuma kiirusega 3,75 m/s edasi (pealelangea kuulikese esialgse kiiruse suunas). 8

19 Kommentaar. Kahe kuulikese absoluutselt elastne põrge. Eeltoodud kaks näidisülesannet iseloomustasid kahe kuulikese absoluutselt elastset põrget kui üks kuulike oli algul paigal. Need ülesanded olid näiteks, kus füüsikalise sisu poolest lihtsate ülesannete lahendamine nõudis suhteliselt pikki arutusi. Üldiselt nii ongi, et iga ülesande korral peame kirja panema selle sisule astaate füüsikanähtuste kohta käiad alemid ja nendest siis midagi arutama. See iimane pool ülesandest on reeglina puhas matemaatika ja nõuab mingi õrrandi õi õrrandisüsteemi lahendamist. Siin tuleb kasutada oma teadmisi matemaatikast, sest õrrandite õi õrrandisüsteemide lahendamine käib matemaatikas õpitud reeglite järgi. Vahe on ainult selles, et matemaatikas tähistatakse otsitaaid suurusi taaliselt x, y õi z, füüsikaalemis õib aga otsitaaks suuruseks olla mistahes füüsikaline suurus (kiirus, kiirendus, jõud, jne). Seda taaliselt x, y õi z-ga ei tähistata, kuid leitakse ta ikka samade matemaatikareeglite järgi (Eelmised kaks ülesannet olid näited sellisest arutusest). Kui nüüd põrgete juurde tagasi tulla, siis nägime, et paigalseise keha liigub peale põrget samas suunas, kus liikus pealelange kuul, edasi. Pealelangea kuuli liikumise suund aga sõltub kehade massidest. Kui pealelangea keha mass on paigalseisa keha massist suurem, liigub ta esialgses suunas edasi (kuid äiksema kiirusega), astupidisel juhtumil (paigalseisa keha mass on suurem) aga põrkub tagasi. Üldjuhul kui mõlemad kehad enne põrget liiguad (aata joonist), saab tuletada järgmised lõppkiirusse alemid (neid alemeid pole aja meelde jätta) m + m ( ) =, m + m m + m ( =. m + m ) Näidisülesanne 4. Kaks mitteelastset keha massidega kg ja 3 kg liiguad samas suunas astaalt kiirustega 5 m/s ja 4 m/s. Kui suur on kehade kiirus pärast absoluutselt mitteelastset põrget ja kui palju energiat kulus kehade deformeerimiseks? m= kg m = 3 kg = 5 m/s = 4 m/s V =?, E =? Teeme joonise kehadest enne ja peale põrget (asakul poolel on kujutatud kehad enne põrget, paremal pärast põrget). Absoluutselt mitteelastne põrge tähendab seda, et kehad liiguad peale põrget edasi ühe liitunud kehana. 9

20 Kirjutame älja impulsi jääuse seaduse r m r r + m = ( m m ) V, + mis kehade liikumissuundasi arestades annab m + m = m m ) V. ( + Siit saame alemi kiiruse arutamiseks peale põrget V m + + m =. m m Arutamine annab tulemuseks V = ( ) m/s = 4,4 m/s. + 3 Järgnealt aatame energiaga seotud probleemi. Absoluutselt mitteelastsel põrkel kehtib ka energia jääuse seadus, ainult eidi keerukamal kujul kui elastsel põrkel. Enam ei ole kehade kineetiliste energiate summa jää suurus, sest deformeerumisel muutub eel kehade siseenergia (põrkel kehad soojenead ja selle tõttu nende siseenergia suureneb). Seetõttu õime energia jääuse seaduse kirjutada kujul T e = T + E, p m m ( m + m ) V kus T e = + on kineetiliste energiate summa enne põrget, T p = kineetiline energia peale põrget ja E kehade siseenergiate muutus põrkel ehk kehade deformatsiooniks kulunud energia. Arutame kineetilise energia enne ja pärast põrget m m T e = + = ( + ) J = 49,0 J, ( m + m ) V (+ 3)4,4 T p = = ( ) = 48,4 J. Deformatsiooniks kulu energia on õrdne kineetiliste energiate ahega E= T e T = ( 49,0 48,4) J = 0,6 J. p Vastus: kehade kiirus peale põrget on 4,4 m/s ja deformatsiooniks kulu energia 0,6 J 0

21 Näidisülesanne 5. Kaks mitteelastset keha massidega kg ja 3 kg liiguad teineteisele astu, kiirustega astaalt 5 m/s ja 4 m/s. Kui suur on kehade kiirus pärast absoluutselt mitteelastset põrget ja kui palju energiat kulus kehade deformeerimiseks? m= kg m = 3 kg = 5 m/s = 4 m/s V =?, E =? Teeme joonise kehadest enne ja peale põrget. Ülemine pilt kujutab kehade liikumist enne põrget, alumine aga liikumist peale põrget, kus kehad liiguad peale põrget edasi ühe liitunud kehana. Impulsi jääuse seaduse üldkuju on sama, mis eelmise ülesande korral r m r r + m = ( m m ) V, + skalaarne kuju, arestades kehade liikumissuundi aga järgmine (õtame esimese keha kiiruse suuna positiiseks) m m = m m ) V, ( + millest kiirus peale põrget V m m =. m + m Arutamine annab tulemuseks V = = 0,4 m / s. + 3 Nagu näha, on teineteisele astu liikudes kiirus peale põrget oluliselt äiksem. Miinusmärk tähendab lihtsalt seda, et antud juhul liiguad kehad peale põrget teise keha liikumise suunas (meie poolt alumisel joonisel toodud suunale astupidiselt). Energiaga on samamoodi, nagu eelmises ülesandes, kus kehad liikusid samas suunas. Deformatsiooniks kulu energia on algoleku ja lõppoleku kineetiliste energiate ahe E = T e T p, kus

22 m m T e = + ja ( m + m ) V T p =. Kineetiline energia enne põrget on sama, nagu eelmisel juhul m m T e = + = ( + ) J = 49,0 J, kineetiline energia pärast põrget ( m + m ) V (+ 3)0,4 T p = = ( ) J = 0,4 J. Deformatsiooniks kulu energia E = T e T = ( 49,0 0,4) J = 48,6 J. p Vastus: kehade kiirus peale põrget on 0,4 m/s ja deformatsiooniks kulu energia 48,6 J. Võrreldes seda eelmise ülesandega, milles kehad ja nende algkiirused olid samad, on otsekokkupõrkel (laupkokkupõrkel) kiirus pärast põrget üsna äike ja peaaegu kogu esialgne kineetiline energia läheb kehade deformatsioonienergiaks. Kommentaar. Autode kokkupõrge. Eelmised kaks ülesannet on kasulikud ka praktilises elus, sest annaad ettekujutuse õimalikest kahjudest autode kokkupõrkel. Mida suurem on deformatsioonienergia, seda suuremad on autode kahjustused. Tagant otsasõiduga liiklusõnnetusi on kahjuks üsna palju, samuti ka autode laupkokkupõrkeid. Tagant otsasõidu korral põrge enamasti absoluutselt mitteelastne ei ole, kuid autode kahjustused õiad olla piisaalt suured, sõltualt sellest, kui palju energiat läheb kokkupõrkel deformatsioonienergiaks (lihtne absoluutselt mitteelastse põrke mudel annab maksimaalse deformatsioonienergia. Laupkokkupõrke korral on aga kahjud ülisuured, sest põrge on enamasti absoluutselt mitteelastne ja nagu me iimases ülesandes nägime, läheb peaaegu kogu autode esialgne kineetiline energia deformatsioonienergiaks (tagant otsa sõidul aga muutub oluliselt äiksem osa esialgsest kineetilisest energiast deformatsioonienergiaks).

23 Näidisülesanne 6. Kaks kuulikest massidega 70 g ja 50 g ripuad paralleelsete niitide otsas nii, et nad puutuad kokku. Esimene kuulike kallutatakse kõrale nii, et tema masskese tõuseb 0 cm õrra ja lastakse lahti. Millisele kõrgusele tõusead kuulikesed, kui põrge )oli elastne, ) mitteelastne? m = 70 g = 0,07 kg m = 50 g= 0,05 kg h = 0 cm = 0, m g = 9,8 m/s ) h =?, h =? ) h = 3? Antud ülesandes tuleb kasutada energia jääust raskusjõu mõjul liikumisel, kui impulsi ja energia jääust põrgetel. Teeme joonise, mis kajastab kuulide algolekut ja olekut, kus esimene kuul on tõstetud 0 cm kõrgusele. Kui esimene kuul lahti lasta, siis liikudes algasendisse tagasi, on ta saautanud teataa kiiruse, mis on arutata energia jääuse seadusest raskusjõu mõjul liikumisel. Edasi kuulike põrkub teise kuulikesega ja sõltualt põrke iseloomust saame leida, milliste kiirustega liiguad kuulikesed pärast põrget edasi. Kuulide lõppoleku saame jälle arutada energia jääusest. Leiame kõigepealt esimese kuulikese kiiruse enne põrget. Kui kuulike on tõstetud kõrgusele h, siis on tema potentsiaalne energia = m g h. See läheb kuulikese kineetiliseks energiaks m m g h= g h=, E p millest esimese kuulikese kiirus ahetult enne põrget g h =. Arutades kiiruse, saame = ( 9,8 0,) m/s =,4 m/s. Edasine sõltub sellest, millise põrkega on tegemist. Peale elastset põrget hakkaad kuulikesed liikuma erineate algkiirustega ja tõusead kõrgusele, mis sõltub kuulikese kineetilisest energiast. Mitteelastse põrke järel hakkaad kuulikesed liikuma ühe kehana ja tõusead kõrgusele, mis sõltub algsest kineetilisest energiast. Vaatame neid juhte eraldi. 3

24 ) Kuulide elastne põrge. Elastsel põrkel saame impulsi ja energia jääusest arutada kuulikeste kiirused ahetult peale põrget. Siin on tegemist juhuga, kus üks põrkuatest kehadest on paigal ( = 0). Kiiruste alemeid me uuesti tuletama ei hakka, need on toodud näidisülesandes : m m m =, =. m + m m + m Arutame kuulikeste kiirused peale põrget 0,07 0,05 = (,4) m/s = 0,3 m/s, 0,07+ 0,05 0,07 = (,4) m/s =,63 m/s. 0,07+ 0,05 Kuna peale põrget liiguad kuulikesed jälle raskusjõu mõjul, kehtib mõlema jaoks energia jääuse seadus, mille kohaselt kuulikeste kõrguse määrab ära esialgne kineetiline energia. Esimese kuulikese jaoks m = m g h = g h, millest h =. g Analoogiliselt saame teise keha kõrguse arutamiseks alemi h =. g Arutamine annab 0,3 h = ( ) m = 0,03 m, 9,8.,63 h = ( ) m = 0,4 m. 9,8 4

25 ) Mitteelastne põrge. Mitteelastsel põrkel liiguad kuulikesed edasi ühe kehana massiga m +. Kirjutame älja impulsi jääuse seaduse põrkel m m = m m ) V. ( + Sellest saame kuulide kiiruseks ahetult peale põrget V m =. m + m Arutamine annab tulemuseks 0,07 V = (,4) m/s = 0,8 m/s. 0,07+ 0,05 Edasine kuulikeste liikumine toimub samuti kooskõlas energia jääusega ja kuulikesed tõusead koos kõrgusele V h = 3. g Arutamine annab tulemuseks 0,8 h 3 = ( ) m = 0,034 m. 9,8 Vastus: peale elastset põrget tõusead kuulikesed astaalt kõrgusele 0,003 m (0,3 cm) ja 0,4 m (4 cm), peale mitteelastset põrget aga kõrgusele 0,034 m (3,4 cm). Kui analüüsida eel tulemusi, siis elastsel põrkel kuulikeste siseenergia ei muutu ja seetõttu kehtib energia jääus ka algoleku ja lõppoleku ahel m gh= mgh + m gh, mitteelastsel põrkel läheb aga osa energiast kuulikeste deformeerimiseks, mistõttu algoleku energia on suurem lõppoleku energiast m gh> ( m + m ) gh3 (kontrollida!). NB! Siin ülesandes me kasutasime jääusseadusi kolm korda. Esimene kord siis kui kuul kallutatakse kõrale ja lastakse lahti. Kuul liigub raskusjõu mõjul ja saame rakendada energia jääuse seadust, et leida esimese kuulikese algkiirust enne põrget. Edasi toimub kuulide põrge, mille korral peame rakendama sõltualt põrke iseloomust astaaid jääusseadusi, et leida kuulide kiirused peale põrget. Sealt edasi liiguad kuulid jälle raskusjõu mõjul ja saame rakendada energia jääuse seadust, et leida kui kõrgele kuulid antud algkiiruse korral tõusead. 5

26 NB! Valemid, mis on aja kindlasti meeles pidada. Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Isoleeritud süsteemis kehtib impulsi jääuse seadus. Muutumatu jõu korral aaldub töö järgmise alemiga A= F s cosα, kus s on keha poolt aadeldaa jõu mõjul läbitud teepikkus ja α on nurk jõu mõjumise suuna ja keha liikumissuuna ahel. Kui keha liigub, siis sõltualt kiirusest omistatakse talle kineetiline energia, mis aaldub kujul m E k =. Mistahes jõu töö on aaldata lõpp- ja algoleku kineetilise energia ahena m m A= Ek Ek =. Raskusjõu korral aaldub keha potentsiaalne energia kujul E p = m g h, kus h on keha kõrgus aadeldaast nullnioost. Elastsusjõu korral aaldub potentsiaalne energia kujul k x E p =, kus x on nihe tasakaaluasendist. Mehaanilises süsteemis, kui kehadele mõjuad jõud nn konseratiised jõud (st jõud, millel on potentsiaalne energia), on kineetilise ja potentsiaalse energia summa jää suurus 6

27 E = Ek + E p = const. Kui näiteks keha liigub raskusjõu mõjul, õime kirjutada m E = + m g h= const. 7

28 Ülesandeid iseseisaks lahendamiseks 3. Mürsk massiga 0 kg äljub kahurist, mille mass on t, kiirusega 800 m/s. Milline on kahuri tagasilöögi kineetiline energia lasu momendil? (6 kj) 3. Kui suur on Maa kineetiline energia kui ta tiirleb Päikese ümber kiirusega 30 km/s? (, J) 3.3 Millise kiirusega jookseb sprinter massiga 70 kg kui tema kineetiline energia on 3500 J? (0 m/s) 3.4 Kui suure töö teeb inimene kõndides kümnendale korrusele? Inimese mass on 60 kg, korruste ahe 3,7 m. ( kj) 3.5 Poiss massiga 40 kg sõidab alla 50 m pikkuselt mäenõlalt kaldenurgaga 0 0. Kelgu mass on 0 kg ja kelgu lõppkiirus 8 m/s. Kui suur oli sel juhul hõõrdejõudude töö? (6,8 kj) 3.6 Ujuja massiga 65 kg kulutab 00 m läbimiseks 3000 J energiat. Kui palju sellest energiast kulus eetakistuse ületamiseks, kui ujuja lõppkiirus oli m/s? (870 J) 3.7 Püssikuul, mille mass oli 0 g ja mis lendas kiirusega 800 m/s, lõi läbi 5 cm paksuse laua. Kui suur oli löögi jõud, kui laua läbistamise tõttu kaotas kuul ¾ oma kiirusest? (8 kn) 3.8 Kui palju tööd tuleb teha, et enitada edru, mis oli tasakaaluasendist cm õrra älja iidud eel 5 cm pikemaks? Vedru jäikus on 00 N/m. (0,35 J) 3.9 Keha libiseb hõõrdumiseta mööda kaldpinda alla. Milline on keha kiirus hetkel kui ta on läbinud poole teest? Kaldpinna kõrgus on m, keha algkiirus oli õrdne nulliga. (3, m/s) 3.0 Auto kogumassiga, t sõidab kiirusega 54 km/h tagant otsa samasugusele paigalseisale autole. Oletades, et autode kokkupõrge on absoluutselt mitteelastne, leida autode kiirus peale otsasõitu ja autode deformatsiooniks ( mõlkimiseks ) kulunud energia. (7,5 m/s, 68 kj) 3.0 Toimus kahe ühesuguse auto laupkokkupõrge. Leida autode kiirus peale kokkupõrget ja deformatsiooniks ( mõlkimiseks ) kulunud energia, kui mõlema auto mass on,t ja autod sõitsid mõlemad kiirusega 54 km/h. (0 m/s, 70 kj) 8