8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 02/12/2016

2 Ουρές Προτεραιότητας: Υπενθύμιση Μια ουρά προτεραιότητας είναι μια πιο εξειδικευμένη δομή δεδομένων σε σχέση με τη στοίβα ή την ουρά Όπως και στην ουρά, τα στοιχεία αφαιρώνται από την αρχή Όμως, τα στοιχεία ταξινομούνται (κατά την εισαγωγή) έτσι, ώστε το στοιχείο με το χαμηλότερο (ή το υψηλότερο) κλειδί να βρίσκεται πάντα μπροστά Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 2

3 Ουρές Προτεραιότητας: Υπενθύμιση Τα στοιχεία τοποθετούνται στην ουρά με βάση την σημαντικότητά τους Θεωρούμε ότι το στοιχείο με το μικρότερο (μεγαλύτερο) κλειδί έχει μεγαλύτερη προτεραιότητα Ο στόχος μας είναι να προσπελάσουμε το σημαντικότερο στοιχείο στη συλλογή απομακρύνουμε το στοιχείο από τη συλλογή Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 3

4 Λειτουργίες Μία ουρά προτεραιότητας είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (abstract data type ADT) που προσφέρει μεθόδους που επιτρέπουν Απομάκρυνση στοιχείου με την ελάχιστη ή μέγιστη τιμή κλειδιού (στοιχείο στην αρχή της ουράς) Εισαγωγή Όπως και με τους άλλους ADT, η ουρά προτεραιότητας μπορεί να υλοποιηθεί με διάφορες υποκείμενες δομές Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 4

5 Υλοποίηση Υλοποίηση ουράς προτεραιότητας Ταξινομημένος πίνακας Απομάκρυνση του μεγαλύτερου στοιχείου γρήγορα Ο(1) Εισαγωγή διαρκεί περισσότερο χρόνο Ο(Ν) Πρέπει να μετακινηθούν τα μισά στοιχεία του πίνακα (κατά μέσο όρο) ώστε να εισαχθεί το νέο στοιχείο στη σωστή θέση Σωρός (είδος δέντρου) Εκτελεί εισαγωγή και διαγραφή σε χρόνο Ο(logN) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 5

6 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 6

7 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 7

8 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 8

9 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 9

10 Σωρός (Εισαγωγή) Ένας σωρός είναι ένα δυαδικό δέντρο με τα εξής χαρακτηριστικά: Είναι πλήρες: είναι πλήρως συμπληρωμένο, αν κοιτάμε κάθε γραμμή από αριστερά προς δεξιά Όμως, η τελευταία γραμμή δε χρειάζεται να είναι συμπληρωμένη Κάθε κόμβος σ ένα σωρό ικανοποιεί τη συνθήκη σωρού, η οποία δηλώνει ότι κλειδί κάθε κόμβου >= κλειδιά των παιδιών του Συνήθως υλοποιείται ως πίνακας Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 10

11 Εικονικός κόμβος Πατέρας ρίζας Μπορεί να γίνει υλοποίηση και χωρίς τον εικονικό κόμβο Το δεξί παιδί τοποθετείται αμέσως μετά το αριστερό παιδί Ένα πλήρες δυαδικό δέντρο που αναπαριστά το σωρό και η υλοποίηση του με πίνακα Ο πίνακας αποθηκεύεται στη μνήμη και ο σωρός είναι μόνο μία βασική απεικόνιση Το δέντρο είναι πλήρες και η συνθήκη σωρού ικανοποιείται για όλους τους κόμβους Σαν συνέπεια της πληρότητας του δέντρου, ο πίνακας δεν έχει κενές θέσεις Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 11

12 Υλοποίηση Σωρού χωρίς τον Εικονικό Κόμβο Αν ο αριθμός δείκτη του κόμβου είναι index: Αριστερό παιδί:2*index + 1 εξιό παιδί: 2*index + 2 και ο γονέας του είναι: (index-1)/2 December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 12

13 Ουρές Προτεραιότητας & Σωροί Οι σωροί χρησιμοποιούνται κυρίως για να υλοποιούν ουρές προτεραιότητας Στη συνέχεια για την υλοποίηση ουράς προτεραιότητας με σωρό - θεωρούμε ότι το μέγιστο κλειδί βρίσκεται στην αρχή της ουράς class Node { private int idata;... } // end class Node Κόμβος σωρού Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 13

14 Κώδικας Σωρού class Heap{ private Node heaparray[]; } public void insert(node nd) { } public Node remove() { } class priorityqueue { private Heap theheap; public void insert(node nd) { theheap.insert(nd);} public Node remove() { return theheap.remove()} } Άρα, ο σωρός είναι μια πιο βασική δομή δεδομένων από μια ουρά προτεραιότητας Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 14

15 Σύγκριση με ΔΔΑ Ο σωρός είναι χαλαρά ταξινομημένος (weakly ordered) συγκριτικά με Α Στα Α, για οποιοδήποτε κόμβο, οι αριστεροί απόγονοι έχουν κλειδιά μικρότερα των δεξιών απογόνων Ως συνέπεια, σε ένα σωρό δεν είναι εύκολη η διάσχιση (traversal) με αύξουσα σειρά, διότι ο σωρός δεν είναι τόσο αυστηρά οργανωμένος όπως το Α Επίσης, πράξεις όπως αναζήτηση και διαγραφή στοιχείου με βάση την τιμή κλειδιού δεν μπορούν να υλοποιηθούν αποδοτικά Παρόλα αυτά, ο τρόπος οργάνωσης του σωρού επιτρέπει ακριβώς την αποδοτική απομάκρυνση στοιχείου με μέγιστη τιμή κλειδιού και εισαγωγή νέων στοιχείων Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 15

16 Σωρός: Διαγραφή (1) Απομάκρυνση (διαγραφή) στοιχείου Αφαίρεση του κόμβου με το μέγιστο κλειδί Ο κόμβος προς διαγραφή είναι πάντα η ρίζα maxnode = heaparray[0]; Με τη διαγραφή της ρίζα το δέντρο δεν θα είναι πλήρες κενό κελί Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 16

17 Σωρός: Διαγραφή (2) Βήματα για την απομάκρυνση του μεγίστου κόμβου Απομάκρυνση ρίζας Μετακίνηση του τελευταίου κόμβου στη ρίζα (ώστε να είναι πλήρης ο σωρός) Τελευταίος κόμβος δεξιότερος κόμβος στο τελευταίο κατειλημμένο επίπεδο του δέντρου Αντιγραφή κόμβου στη ρίζα heaparray[0] = heaparray[n-1]; N--; Καθοδική πορεία του τελευταίου κόμβου μέχρι να βρεθεί κάτω από έναν κόμβο με μεγαλύτερο κλειδί και πάνω από έναν κόμβο με μικρότερο (ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη σωρού) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 17

18 Απομάκρυνση του Μέγιστου Κόμβου (Ρίζα) December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 18

19 Αντιμετάθεση Κόμβου για Αποκατάσταση της Ιδιότητας του Σωρού μετά από Διαγραφή Αντιμετάθεση του κόμβου προορισμού με το μεγαλύτερο παιδί Αντιμετάθεση με μικρότερο θα οδηγούσε σε παραβίαση της ιδιότητας σωρού Το παιδί θα γίνει γονέας ενός μεγαλύτερου παιδιού Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 19

20 Σωρός: Εισαγωγή Ο κόμβος που θα εισαχθεί τοποθετείται στην πρώτη ανοιχτή θέση στο τέλος του πίνακα heaparray[n] = newnode; N++; Είναι πιθανό να παραβιαστεί η συνθήκη σωρού Κλειδί του νέου κόμβου > κλειδί νέου γονέα Ο νέος κόμβος θα πρέπει να κινηθεί προς τα πάνω μέχρι να βρεθεί κάτω από έναν κόμβο με μεγαλύτερο κλειδί και πάνω από έναν κόμβο με μικρότερο Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 20

21 Εισαγωγή Κόμβου Αν απομακρύνουμε έναν κόμβο και τον επαναεισάγουμε, το αποτέλεσμα δεν είναι απαραίτητα η αποκατάσταση του αρχικού σωρού Ένα δοθέν σύνολο κόμβων μπορεί να διευθετηθεί με πολλούς έγκυρους σωρούς, ανάλογα με τη σειρά εισαγωγής των κόμβων December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 21

22 Δε Γίνεται Αντιμετάθεση στην Πραγματικότητα 1 αντιμετάθεση 3 αντιγραφές Στο παράδειγμα (β): 5 αντιγραφές κάνουν τη δουλειά που κάνουν 3 αντιμεταθέσεις December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 22

23 Η Κλάση Node Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 23

24 Η Κλάση Heap Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 24

25 Η Μέθοδος insert() Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 25

26 Η Μέθοδος trickleup() Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 26

27 Η Μέθοδος remove() Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 27

28 Η Μέθοδος trickledown() December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 28

29 Απόδοση Λειτουργιών Σωρού Ο ανοδικός (trickleup) και ο καθοδικός (trickledown) αλγόριθμος αποτελούν το πιο χρονοβόρο κομμάτι των λειτουργιών Ο αριθμός των απαιτούμενων αντιγραφών περιορίζεται από το ύψος του μονοπατιού (π.χ. για 5 επίπεδα απαιτούνται 4 αντιγραφές) TrickleUp: 1 σύγκριση του νέου κόμβου με τον κόμβο στην τρέχουσα θέση TrickleDown: 2 συγκρίσεις μία για την εύρεση του μεγαλύτερου παιδιού και μία για τη σύγκριση του παιδιού με τον τελευταίο κόμβο Ο αριθμός των επιπέδων L είναι log (N+1) όπου Ν το πλήθος των κόμβων Οι δύο μέθοδοι απαιτούν L-1 επαναλήψεις του βρόχου τους Άρα η πολυπλοκότητα των δύο μεθόδων είναι Ο(logN) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 29

30 HeapSort Αλγόριθμος Ταξινόμησης ημιουργία σωρού Εισαγωγή στοιχείων 7, 1, 8, 0, 6, 2, 9, 4 σε σωρό Απομάκρυνση στοιχείου από το σωρό (άρα σε ταξινομημένη σειρά) και εισαγωγή σε πίνακα ιαγραφή πάντα από ρίζα Πολυπλοκότητα: O(N*logN) for (j=0 ; j < size ; j++) theheap.insert( anarray[j] ); // from unsorted array for (j=0 ; j < size ; j++) anarray[j] = theheap.remove(); // to sorted array Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 30

31 Αναδρομή Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 31

32 Ιδιότητες Αναδρομικών Μεθόδων Ιδιότητες Μια αναδρομική μέθοδος καλεί τον εαυτό της Όταν καλεί τον εαυτό της, το κάνει για να λύσει ένα μικρότερο πρόβλημα Υπάρχει κάποια εκδοχή του προβλήματος που είναι ιδιαίτερα απλή και μπορεί να λυθεί χωρίς η μέθοδος να καλέσει τον εαυτό της Σε κάθε διαδοχική κλήση μιας αναδρομικής μεθόδου, το όρισμα γίνεται μικρότερο (δηλαδή το πρόβλημα γίνεται μικρότερο ή ευκολότερο) Όταν το όρισμα φτάσει σε μια ελάχιστη τιμή, ενεργοποιείται μια συνθήκη (γνωστή και ως βάση αναδρομής ή βασική περίπτωση) και η μέθοδος επιστρέφει χωρίς να καλέσει τον εαυτό της Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 32

33 Αναλογία με Μαθηματικά Η αναδρομή είναι το προγραμματιστικό αντίστοιχο της μαθηματικής επαγωγής (ένας τρόπος για να ορίζουμε κάτι χρησιμοποιώντας το ίδιο) Τριγωνικοί Αριθμοί tri(n) = 1 αν n = 1 tri(n) = n + tri(n-1) αν n > 1 Παραγοντικό factorial(n) = 1 αν n = 1 factorial(n) = n * factorial(n-1) αν n> 1 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 33

34 Παράδειγμα Ι: Ύψωση Αριθμού σε Δύναμη 1 x x n x n-1 if if n n 0 0 public double power(double x, int n) { if (n == 0) return 1.0; else return x * power(x, n-1); } Βάση αναδρομής Αναδρομική κλήση Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 34

35 Παράδειγμα ΙΙ: Παραγοντικό ενός Αριθμού Υπολογισμός παραγοντικού ενός φυσικού αριθμού public long factorial (int n) { if (n==0) return 1; return n*factorial(n-1); } 0!=1 n! = n*(n-1)! Αναδρομική βάση αλγορίθμου: Η τιμή για n== 0 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 35

36 Η Απόδοση της Αναδρομής Η κλήση μιας μεθόδου επιφέρει κάποια καθυστέρηση Επίσης, τα ορίσματα στη μέθοδο και η διεύθυνση στην οποία η μέθοδος πρέπει να επιστρέψει εισάγονται σε μια εσωτερική στοίβα Μπορεί η αναδρομή να επιφέρει μια επιβάρυνση στο χρόνο εκτέλεσης Η αναδρομή χρησιμοποιεί επιπλέον μνήμη για την αποθήκευση των ορισμάτων και των τιμών επιστροφής στην εσωτερική στοίβα Εάν η ποσότητα των δεδομένων είναι μεγάλη, μπορεί να συμβεί υπερχείλιση στοίβας Η αναδρομή χρησιμοποιείται επειδή απλοποιεί ένα πρόβλημα, όχι επειδή είναι πιο αποτελεσματική Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 36

37 υαδική Αναζήτηση Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 37

38 Δυαδική Αναζήτηση με Αναδρομή December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 38

39 Περιπτώσεις μη Αποδοτικής Αναδρομής (1) Fibonacci (0) = 0 Fibonacci(1) = 1 Fibonacci(n) = Fibonacci(n-1)+ Fibonacci(n-2) public static long fib(int n) { if (n<=1) return n else return fib(n-1)+fib(n-2) } Πλεονάζοντες υπολογισμοί με τη χρήση αναδρομής Υπολογίζουμε το fib(n) υπολογίζοντας το fib(n-1) Όταν η αναδρομική κλήση επιστρέψει υπολογίζουμε το fib(n-2) χρησιμοποιώντας μία άλλη αναδρομική κλήση. Ωστόσο το fib(n-2) έχει υπολογιστεί κατά τον υπολογισμό του fib(n-1) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 39

40 Περιπτώσεις μη Αποδοτικής Αναδρομής (2) Ποτέ μη διπλασιάζετε τη δουλειά λύνοντας το ίδιο πρόβλημα σε διαφορετικές αναδρομικές κλήσεις Λύση: υναμικός Προγραμματισμός Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 40

41 Αλγόριθμοι Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Η αναδρομική δυαδική αναζήτηση είναι ένα παράδειγμα της προσέγγισης διαίρει και βασίλευε ιαιρούμε το πρόβλημα σε δύο μικρότερα και λύνουμε καθένα ξεχωριστά Η λύση σε κάθε μικρότερο πρόβλημα είναι η ίδια ιαιρούμε το πρόβλημα σε δύο ακόμα μικρότερα προβλήματα και τα λύνουμε Τελικά, φτάνουμε στη βασική συνθήκη, η οποία λύνεται εύκολα, χωρίς περαιτέρω διαίρεση στη μέση Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 41

42 Ταξινόμηση Σύζευξης (MergeSort) Η ταξινόμηση σύζευξης είναι πολύ αποδοτικότερη από τους αλγόριθμους ταξινόμησης που έχουμε δει ως τώρα Έχει πολυπλοκότητα O(N*logN) Οι αλγόριθμοι που έχουμε δει ως τώρα έχουν O(N 2 ) Είναι σχετικά απλή στην υλοποίησή της Μειονέκτημα εν κάνει επί τόπου (in-place) ταξινόμηση Απαιτεί έναν επιπλέον πίνακα στη μνήμη, ίσο σε μέγεθος με αυτόν που ταξινομείται Η AVLSort απαιτεί δομή δέντρου AVL για την υλοποίησή της Η HeapSort απαιτεί δομή σωρού για την υλοποίησή της Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 42

43 Βασική Ιδέα: Σύζευξη Ταξινομημένων Πινάκων Α C Β Η σύζευξη δύο ταξινομημένων πινάκων A και B δημιουργεί έναν τρίτο πίνακα C, που περιέχει όλα τα στοιχεία των A και B ταξινομημένα Υποθέστε ότι αρχικά ο C είναι κενός Το σχήμα δείχνει τον C μετά τη διαδικασία συγχώνευσης Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 43

44 Η Μέθοδος Συγχώνευσης December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 44

45 Παράδειγμα MergeSort December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 45

46 Κώδικας MergeSort Υπάρχει ένας πίνακας thearray με τα στοιχεία προς ταξινόμηση ημιουργείται ένας βοηθητικός πίνακας (πίνακας εργασίας) workspace ίσου μεγέθους, που θα χρησιμοποιηθεί για την προσωρινή αποθήκευση των δευτερευόντων πινάκων που δημιουργούνται Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 46

47 Κλήση: recmergesort(workspace, 0, nelems-1) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 47

48 Τροποποιημένη merge() December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 48

49 Απόδοση Ταξινόμησης Σύζευξης Αριθμός αντιγραφών Ανάλογος του N*logN Για ταξινόμηση Ν στοιχείων χρειαζόμαστε logn επίπεδα και σε κάθε επίπεδο N αντιγραφές Π.χ. για Ν=8: 8*log8 = 8*3 = 24 Συνολικός αριθμός αντιγραφών = 2*N*logN Αριθμός συγκρίσεων Είναι πάντα λίγο μικρότερος από τον αριθμό των αντιγραφών Για κάθε κλήση της merge() απαιτούνται τουλάχιστον Ν/2 και το πολύ Ν-1 συγκρίσεις, όπου Ν το πλήθος των στοιχείων που συγχωνεύονται Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 49

50 Προχωρημένη Ταξινόμηση Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 50

51 Τι Ξέρουμε Μέχρι Τώρα; Απλές μέθοδοι ταξινόμησης (BubbleSort, SelectionSort, InsertionSort) Κόστος O(N 2 ) Απλές στην υλοποίηση Με χρήση αναδρομής (MergeSort) Κόστος O(N*logN) Όμως απαιτεί διπλάσιο χώρο του αρχικού πίνακα Θα εξετάσουμε μία νέα μέθοδο ταξινόμησης που έχει κόστος O(N*logN) και δεν απαιτεί επιπλέον χώρο Quicksort είναι η γρηγορότερη ταξινόμηση Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 51

52 Ταξινόμηση QuickSort H QuickSort στηρίζεται στην έννοια του διαχωρισμού (ή αλλιώς διαμέριση) partition Ο διαχωρισμός δεδομένων είναι η διαίρεσή τους σε ομάδες ώστε όλα τα στοιχεία με τιμή κλειδιού μικρότερη (μεγαλύτερη) από μια συγκεκριμένη τιμή να ανήκουν σε μια (άλλη) ομάδα Το στοιχείο με τη συγκεκριμένη τιμή λέγεται pivot Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 52

53 Αλγόριθμος Διαχωρισμού Χρησιμοποιεί δύο δείκτες, έναν σε κάθε άκρη του πίνακα Ο δείκτης στα αριστερά (leftptr) κινείται προς τα δεξιά, ενώ ο δείκτης στα δεξιά (rightptr) κινείται προς τα αριστερά Όσο ο leftptr (rightptr) συναντά στοιχεία με τιμή κλειδιού μικρότερη (μεγαλύτερη) από του pivot, συνεχίζει να κινείται δεξιά (αριστερά) Όταν ο leftptr (rightptr) βρει στοιχείο με μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή σταματάει Εκεί συμβαίνει αντιμετάθεση (swap) των στοιχείων Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να συναντηθούν οι δείκτες leftptr και rightptr Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 53

54 low low high Pivot, high Low σταματά στο μεγαλύτερο στοιχείο 8 high σταματά στο μικρότερο στοιχείο 2 Τα στοιχεία 2 και 8 αντιμετατίθενται low high Low σταματά στο μεγαλύτερο στοιχείο 9 high σταματά στο μικρότερο στοιχείο 5 Τα στοιχεία 5 και 9 αντιμετατίθενται Οι δείκτες low και high διασταυρώνονται high low Αντιμετάθεση του στοιχείου pivot με αυτό στη θέση low Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 54

55 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 55

56 Απόδοση του Αλγόριθμου Διαχωρισμού Χρόνος εκτέλεσης: O(N) Αριθμός συγκρίσεων: Ν+1 ή N+2 Αριθμός αντιμεταθέσεων: <= Ν/2 (χειρότερη περίπτωση) Κατά μέσο όρο για τυχαία δεδομένα γίνονται περίπου οι μισές του μέγιστου αριθμού αντιμεταθέσεων Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 56

57 QuickSort Ο αλγόριθμος QuickSort διαχωρίζει έναν πίνακα σε δύο υποπίνακες και καλεί τον εαυτό του για να ταξινομήσει τον κάθε υποπίνακα Επιλογή του pivot Η τιμή του πρέπει να είναι τιμή κλειδιού ενός υπαρκτού στοιχείου Μπορεί να επιλεγεί με τυχαίο τρόπο (για λόγους απλότητας ας υποθέσουμε ότι επιλέγεται πάντα το στοιχείο στο δεξιότερο άκρο του υποπίνακα που έχει διαχωρισθεί) Μετά το διαχωρισμό, αν το pivot τοποθετηθεί μεταξύ του αριστερού και του δεξιού υποπίνακα, θα βρίσκεται στην τελική του θέση Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 57

58 Πηγή: Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 58

59 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 59

60 December 2, 2016 Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 60

61 Η Επιλογή του Pivot Για αντίστροφα ταξινομημένο πίνακα και εάν ως pivot επιλέγεται το στοιχείο στο δεξιότερο άκρο του υποπίνακα Η απόδοση είναι O(N 2 ) Το πρόβλημα είναι η επιλογή του pivot Ιδανικά, το pivot θα έπρεπε να είναι το μεσαίο των στοιχείων που ταξινομούνται Αυτό θα κατέληγε σε διαχωρισμό του πίνακα σε δύο υποπίνακες ίσου μεγέθους Αυτή είναι η ιδανική περίπτωση για την QuickSort Χειρότερη περίπτωση: διαχωρισμός σε 1 και Ν-1 στοιχεία Άλλοι τρόποι επιλογής pivot Μέσος εκ των τριών (αριστερό, μεσαίο και δεξιό στοιχείο) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 61

62 Απόδοση της QuickSort Για ομοιόμορφα τυχαία διάταξη των στοιχείων εισόδου, η QuickSort έχει αναμενόμενο χρόνο εκτέλεσης O(N*logN) Αριθμός συγκρίσεων: (Ν+2)*logN Αριθμός αντιμεταθέσεων: <= (N/2)*logN Στη γενικότερη περίπτωση, έχει πολυπλοκότητα Ο(Ν 2 ) Η QuickSort χρησιμοποιείται ευρύτατα στην πράξη(!) Δομές Δεδομένων, 3ο Εξάμηνο 62

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 17 Σωροί (Heaps) έκδοση 10 1 / 19 Heap Σωρός Ο σωρός είναι μια μερικά ταξινομημένη δομή δεδομένων που υποστηρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 2. Πίνακες 45 23 28 95 71 19 30 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 21/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η διαδικασία PercolateDown, Δημιουργία Σωρού O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Υλοποίηση, Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Ο αλγόριθμος Quick-Sort. 6/14/2007 3:42 AM Quick-Sort 1

Ο αλγόριθμος Quick-Sort. 6/14/2007 3:42 AM Quick-Sort 1 Ο αλγόριθμος Quick-Sort 7 4 9 6 2 2 4 6 7 9 4 2 2 4 7 9 7 9 2 2 9 9 6/14/2007 3:42 AM Quick-Sort 1 Κύρια σημεία για μελέτη Quick-sort ( 4.3) Αλγόριθμος Partition step Δέντρο Quick-sort Παράδειγμα εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. Σαλτογιάννη Αθανασία

Ταξινόμηση. Σαλτογιάννη Αθανασία Ταξινόμηση Σαλτογιάννη Αθανασία Ταξινόμηση Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν λέμε ταξινόμηση; Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν λέμε ταξινόμηση; Ποια είδη αλγορίθμων ταξινόμησης υπάρχουν; Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ουρές προτεραιότητας Κεφάλαιο 9. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ουρές προτεραιότητας Κεφάλαιο 9. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ουρές προτεραιότητας Κεφάλαιο 9 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ουρές προτεραιότητας Στοιχειώδεις υλοποιήσεις Δοµή δεδοµένων σωρού Αλγόριθµοι σε σωρούς Ο αλγόριθµος heapsort Δοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Πτυχιακή Εξεταστική Ιούλιος 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 09.07.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ -Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης(ΔΔΑ) - Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου - Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue)

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Δομή δεδομένων που υποστηρίζει δύο βασικές λειτουργίες : Εισαγωγή στοιχείου με δεδομένο κλειδί. Επιστροφή ενός στοιχείου με μέγιστο (ή ελάχιστο) κλειδί και διαγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο Ουρές προτεραιότητας Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο αριθμός είναι μεγάλος, τόσο οι πελάτες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Είσοδος n αντικείμενα a 1, a 2,..., a n με κλειδιά (συνήθως σε ένα πίνακα, ή λίστα, κ.τ.λ)

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Ουρά Προτεραιότητας: Heap ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ομές εδομένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειμένων για

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 14η Διάλεξη Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 14η Διάλεξη Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 14η Διάλεξη Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης Ε. Μαρκάκης Περίληψη Δέντρα Δυαδικής Αναζήτησης Υλοποιήσεις εισαγωγής και αναζήτησης Χαρακτηριστικά επιδόσεων ΔΔΑ Εισαγωγή στη ρίζα ΔΔΑ Υλοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 16: Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις

Διάλεξη 16: Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 16: Σωροί Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις Ουρά Προτεραιότητας Η δομή

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Γράψτε μία αναδρομική συνάρτηση που θα παίρνει ως παράμετρο ένα δείκτη στη ρίζα ενός δυαδικού δένδρου και θα επιστρέφει το βαθμό του

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue)

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Δομή δεδομένων που υποστηρίζει τις ακόλουθες λειτουργίες PQinsert : εισαγωγή στοιχείου PQdelmax : επιστροφή του στοιχείου με το μεγαλύτερο* κλειδί και διαγραφή του

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ουρές Προτεραιότητας. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ουρές Προτεραιότητας. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Ουρές Προτεραιότητας Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρά Προτεραιότητας Το πρόβλημα Έχουμε αντικείμενα με κλειδιά και θέλουμε ανά πάσα στιγμή

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1

Διαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1 Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας Ενότητα Ουρές Προτεραιότητας ΗΥ4 - Παναγιώτα Φατούρου Ουρές Προτεραιότητας Θεωρούµε ένα χώρο κλειδιών U και έστω ότι µε κάθε κλειδί Κ (τύπου Key) έχει συσχετισθεί κάποια πληροφορία Ι (τύπου Type). Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 9 ο Ταξινόµηση Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ταξινόµηση Εισαγωγή Selection sort Insertion sort Bubble sort

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectoSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. IsertoSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή Γ. MergeSort

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 1

Εργαστηριακή Άσκηση 1 Εργαστηριακή Άσκηση 1 Επανάληψη προγραμματισμού Βασικοί Αλγόριθμοι Είσοδος τιμών από το πληκτρολόγιο Σε όλα τα προγράμματα που θα γράψουμε στην συνέχεια του εξαμήνου θα χρειαστεί να εισάγουμε τιμές σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 9-1

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 9-1 Σωροί Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθµος ταξινόµησης HeapSort Παραλλαγές Σωρών ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

13/5/2015 ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ. Δομές Δεδομένων. Ουρές Προτεραιότητας

13/5/2015 ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ. Δομές Δεδομένων. Ουρές Προτεραιότητας ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ Δομές Δεδομένων Τι θα δούμε Ουρές προτεραιότητας Πράξεις Διωνυμικές Ουρές Διωνυμικά Δέντρα Διωνυμικοί Σωροί Ουρές Fibonacci Αναπαράσταση Πράξεις Ανάλυση Συγκρίσεις Ουρές προτεραιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Quicksort Ο βασικός αλγόριθµος Χαρακτηριστικά επιδόσεων Μικροί υποπίνακες Μη αναδροµική υλοποίηση Δοµές Δεδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η έννοια της αναδρομής Μη αναδρομικός / Αναδρομικός Ορισμός Συναρτήσεων Παραδείγματα Ανάδρομης Αφαίρεση της Αναδρομής

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 22 Counting sort, bucket sort και radix sort 1 / 16 Ιδιότητες αλγορίθμων ταξινόμησης ευστάθεια (stable

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Υλοποίηση Δυαδικού Σωρού σε γλώσσα Java. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Υλοποίηση Δυαδικού Σωρού σε γλώσσα Java. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Υλοποίηση Δυαδικού Σωρού σε γλώσσα Java Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σωρός Μεγίστου ως ΑΤΔ Ένας σωρός μεγίστου (max heap) είναι ένας ΑΤΔ που

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort. Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort. Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012 Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012 3 5 1 Ταξινόμηση - Sorting Πίνακας Α 1 3 5 5 3 1 Ταξινόμηση (Φθίνουσα) Χωρίς Ταξινόμηση Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΑΝΑ ΡΟΜΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ. n! = 1*2*3*..(n-1)*n. n! = 1 αν n = 0, = n*(n-1)! αν n > ΑΝΑ ΡΟΜΗ Εισαγωγή

3 ΑΝΑ ΡΟΜΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ. n! = 1*2*3*..(n-1)*n. n! = 1 αν n = 0, = n*(n-1)! αν n > ΑΝΑ ΡΟΜΗ Εισαγωγή 3 ΑΝΑ ΡΟΜΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ 3.1 ΑΝΑ ΡΟΜΗ 3.1.1 Εισαγωγή ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Αναδροµή είναι η µέθοδος κατά την οποία, σε µία γλώσσα προγραµµατισµού, µία διαδικασία ή συνάρτηση έχει την δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 6η Διάλεξη Αναδροµικές Εξισώσεις και Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 6η Διάλεξη Αναδροµικές Εξισώσεις και Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 6η Διάλεξη Αναδροµικές Εξισώσεις και Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων Ε. Μαρκάκης Περίληψη Χρήση αναδροµικών εξισώσεων στην ανάλυση αλγορίθµων Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Συλλογές στοιχείων Στοίβα

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 10η Διάλεξη Ταξινόµηση. E. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 10η Διάλεξη Ταξινόµηση. E. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 10η Διάλεξη Ταξινόµηση E. Μαρκάκης Περίληψη Ταξινόµηση µε αριθµοδείκτη κλειδιού Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 5) 1 / 17 Απόδοση προγραμμάτων Συχνά χρειάζεται να εκτιμηθεί η απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

Αφηρημένες Δομές Δεδομένων. Στοίβα (Stack) Υλοποίηση στοίβας

Αφηρημένες Δομές Δεδομένων. Στοίβα (Stack) Υλοποίηση στοίβας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής ισαγωγή στην πιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 λγόριθμοι και ομές εδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης φηρημένες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών

Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 06: Συνδεδεμένες Λίστες & Εφαρμογές Στοιβών και Ουρών Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Υλοποίηση ΑΤΔ με Συνδεδεμένες Λίστες -

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: 2 3 Δένδρα, Εισαγωγή και άλλες πράξεις Άλλα Δέντρα: Β δένδρα, Β+ δέντρα, R δέντρα Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων. Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1

Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων. Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1 Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων Βάσεις Δεδομένων 2013-2014 Ευαγγελία Πιτουρά 1 Επεξεργασία Ερωτήσεων Θα δούμε την «πορεία» μιας SQL ερώτησης (πως εκτελείται) Ερώτηση SQL Ερώτηση ΣΒΔ Αποτέλεσμα Βάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Λεξικό, Union Find ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαχείριση ιαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι Ε. Μαρκάκης Περίληψη Bubble Sort Selection Sort Insertion Sort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Shellsort Ταξινόµηση συνδεδεµένων λιστών Δοµές Δεδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

Δένδρα Αναζήτησης Πολλαπλής Διακλάδωσης

Δένδρα Αναζήτησης Πολλαπλής Διακλάδωσης Δένδρα Αναζήτησης Πολλαπλής Διακλάδωσης Δένδρα στα οποία κάθε κόμβος μπορεί να αποθηκεύει ένα ή περισσότερα κλειδιά. Κόμβος με d διακλαδώσεις : k 1 k 2 k 3 k 4 d-1 διατεταγμένα κλειδιά d διατεταγμένα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. Παύλος Εφραιμίδης. Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1

Ταξινόμηση. Παύλος Εφραιμίδης. Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1 Ταξινόμηση Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1 Το πρόβλημα της ταξινόμησης Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 2 Ταξινόμηση Δίνεται πολυ-σύνολο Σ με στοιχεία από κάποιο σύμπαν U (πχ. U = το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 12η Διάλεξη Διάσχιση Δέντρων και Ουρές Προτεραιότητας. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 12η Διάλεξη Διάσχιση Δέντρων και Ουρές Προτεραιότητας. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 12η Διάλεξη Διάσχιση Δέντρων και Ουρές Προτεραιότητας Ε. Μαρκάκης Περίληψη Διάσχιση δέντρων Ουρές προτεραιότητας Στοιχειώδεις υλοποιήσεις Δοµή δεδοµένων σωρού Αλγόριθµοι σε σωρούς Ο αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Στοίβες Ουρές Στοίβες: Βασικές Έννοιες. Ουρές: Βασικές Έννοιες. Βασικές Λειτουργίες. Παραδείγματα. Στοίβες Δομή τύπου LIFO: Last In - First Out (τελευταία εισαγωγή πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθμος ταξινόμησης HeapSort

Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθμος ταξινόμησης HeapSort Σωροί Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθμος ταξινόμησης HeapSort ΕΠΛ 231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 9-1 Ουρά προτεραιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 1 Εισαγωγή 1 / 14 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομή Δεδομένων Δομή δεδομένων είναι ένα σύνολο αποθηκευμένων

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ι. Δυναμική Διαχείριση Μνήμης. Δημήτρης Μιχαήλ. Ακ. Έτος 2011-2012. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Προγραμματισμός Ι. Δυναμική Διαχείριση Μνήμης. Δημήτρης Μιχαήλ. Ακ. Έτος 2011-2012. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Προγραμματισμός Ι Δυναμική Διαχείριση Μνήμης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2011-2012 Ανάγκη για Δυναμική Μνήμη Στατική Μνήμη Μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματιστικές Τεχνικές

Προγραμματιστικές Τεχνικές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραμματιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 2012-13 Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ Ιωάννης Βασιλείου Καθηγητής, Τοµέας Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Ενότητα 8 Ταξινόµηση ΗΥ0 - Παναγιώτα Φατούρου Ταξινόµηση Θεωρούµε έναν πίνακα Α[0..n-] µε n στοιχεία στα οποία έχει ορισθεί µια γραµµική διάταξη, δηλαδή ζεύγος στοιχείων x,y του Α, είτε x < y, ή x > y

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Γραμμική Αναζήτηση και Δυαδική Αναζήτηση-Εισαγωγή στα Δέντρα και Δυαδικά Δέντρα-Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης & Υλοποίηση ΔΔΑ με δείκτες Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 10: Πλήρη Δυαδικά Δέντρα, Μέγιστα/Ελάχιστα Δέντρα & Εισαγωγή στο Σωρό- Ο ΑΤΔ Μέγιστος Σωρός. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 10: Πλήρη Δυαδικά Δέντρα, Μέγιστα/Ελάχιστα Δέντρα & Εισαγωγή στο Σωρό- Ο ΑΤΔ Μέγιστος Σωρός. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Ενότητα 10: Πλήρη Δυαδικά Δέντρα, Μέγιστα/Ελάχιστα Δέντρα & Εισαγωγή στο Σωρό- Ο ΑΤΔ Μέγιστος Σωρός Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Επιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επιλογή ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k, 1 k n. Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 28: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Η διαδικασία PercolateDown, Δημιουργία Σωρού - O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort - Υλοποίηση, Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Αναζήτησης. κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο. Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου

Δομές Αναζήτησης. κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο. Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου Δομές Αναζήτησης Χειριζόμαστε ένα σύνολο στοιχείων κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο όπου το κάθε στοιχείο έχει ένα Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου με

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 3 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Οι λίστες, χάνοντας τα πλεονεκτήματα των πινάκων, λύνουν προβλήματα που παρουσιάζουν οι πίνακες

Οι λίστες, χάνοντας τα πλεονεκτήματα των πινάκων, λύνουν προβλήματα που παρουσιάζουν οι πίνακες Δομές δεδομένων Πίνακες Οι πίνακες είναι το πιο απλό «μέσο» αποθήκευσης ομοειδούς πληροφορίας. Χρησιμοποιούν ακριβώς όση μνήμη χρειάζεται για την αποθήκευση της πληροφορίας Επιτρέπουν την προσπέλαση άμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 6α: Αναζήτηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, σελ. 55-62 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 5) Δυαδική αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου. Επιλογή i-οστoύ στοιχείου : Εύρεση στοιχείου με το i-οστό μικρότερο κλειδί

Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου. Επιλογή i-οστoύ στοιχείου : Εύρεση στοιχείου με το i-οστό μικρότερο κλειδί Δομές Αναζήτησης Χειριζόμαστε ένα σύνολο στοιχείων κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο όπου το κάθε στοιχείο έχει ένα Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου με

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Δομές δεδομένων και αρχείων

Πληροφορική 2. Δομές δεδομένων και αρχείων Πληροφορική 2 Δομές δεδομένων και αρχείων 1 2 Δομή Δεδομένων (data structure) Δομή δεδομένων είναι μια συλλογή δεδομένων που έχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη σχέση Παραδείγματα δομών δεδομένων Πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 13: B-Δέντρα/AVL-Δέντρα. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 13: B-Δέντρα/AVL-Δέντρα. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων Ενότητα 13: B-Δέντρα/AVL-Δέντρα Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου Ουρές Προτεραιότητας Θεωρούµε ένα χώρο κλειδιών U και έστω ότι µε κάθε κλειδί Κ (τύπου Key) έχει συσχετισθεί κάποια πληροφορία Ι (τύπου Type).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Κλάσεις και Αντικείμενα Μέθοδοι

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Κλάσεις και Αντικείμενα Μέθοδοι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Κλάσεις και Αντικείμενα Μέθοδοι Παράδειγμα 1 Θέλουμε ένα πρόγραμμα που να προσομοιώνει την κίνηση ενός αυτοκινήτου, το οποίο κινείται και τυπώνει τη θέση του.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Αναζήτηση. Σειριακή αναζήτηση. Δυαδική Αναζήτηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Παραδοχή Στη συνέχεια των διαφανειών (διαλέξεων) η ασυμπτωτική έκφραση (συμβολισμός Ο, Ω, Θ) του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 3η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Απλοί Αλγόριθμοι & Δομές Δεδομένων Δύο Απλές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Αναζήτησης Αλγόριθμοι Αναζήτησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 21η: Απλά Συνδεδεμένες Λίστες

Διάλεξη 21η: Απλά Συνδεδεμένες Λίστες Διάλεξη 21η: Απλά Συνδεδεμένες Λίστες Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών Πρατικάκης (CSD) Απλές Λίστες CS100, 2015-2016 1 / 10 Δομές δεδομένων Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

υαδικά δέντρα αναζήτησης

υαδικά δέντρα αναζήτησης υαδικά δέντρα αναζήτησης οµές εδοµένων 3 ο εξάµηνο Ορισµός δυαδικού δέντρου αναζήτησης Σ ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης, για κάθε κόµβο Χ, Όλα τα κλειδιά(αντικείµενα) στο αριστερό υποδέντρο του Χ έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 (5.1-5.2 και 5.4-5.6) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Δέντρα Βασικοί ορισµοί Μαθηµατικές ιδιότητες Διάσχιση δέντρων Preorder, postorder,

Διαβάστε περισσότερα

Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015

Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015 ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ B- Trees Δομές Δεδομένων Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015 ampaltas@ceid.upatras.gr Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Ορισμός B- tree 3. Αναζήτηση σε B- tree 4. Ένθεση σε

Διαβάστε περισσότερα

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55 ΑΝΑ ΡΟΜΗ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μια µέθοδος είναι αναδροµική όταν καλεί τον εαυτό της και έχει µια συνθήκη τερµατισµού π.χ. το παραγοντικό ενός αριθµού Ν, µπορεί να καλεί το παραγοντικό του αριθµού Ν-1 το παραγοντικό

Διαβάστε περισσότερα

Δομές δεδομένων (2) Αλγόριθμοι

Δομές δεδομένων (2) Αλγόριθμοι Δομές δεδομένων (2) Αλγόριθμοι Παράγωγοι τύποι (struct) σύνοψη προηγουμένων Πίνακες: πολλές μεταβλητές ίδιου τύπου Παράγωγοι τύποι ή Δομές (struct): ομαδοποίηση μεταβλητών διαφορετικού τύπου struct Student

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Ερωτήσεων

Επεξεργασία Ερωτήσεων Εισαγωγή Επεξεργασία Ερωτήσεων ΜΕΡΟΣ 1 Γενική Εικόνα του Μαθήματος 1. Μοντελοποίηση (Μοντέλο Ο/Σ, Σχεσιακό, Λογικός Σχεδιασμός) 2. Προγραμματισμός (Σχεσιακή Άλγεβρα, SQL) ημιουργία/κατασκευή Εισαγωγή εδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010 Κεφάλαιο 2 Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση., 2/05/200 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Σωρός και Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ταξινόμηση σωρού Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και

ταξινόμηση σωρού Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και ταξινόμηση σωρού Παύλος Εφραιμίδης ταξινόμηση σωρού ταξινόμηση σωρού άλλος ένας αλγόριθμος ταξινόμησης πολυπλοκότητας O(n lgn) Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά: χρησιμοποιεί μια δομή δεδομένων που ονομάζεται «σωρός»

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Αλγόριθμοι Ένα ενδεικτικό πρόβλημα: συνδετικότητα Αλγόριθμοι ένωσης-εύρεσης Προοπτική Σύνοψη θεμάτων 46

1.1 Αλγόριθμοι Ένα ενδεικτικό πρόβλημα: συνδετικότητα Αλγόριθμοι ένωσης-εύρεσης Προοπτική Σύνοψη θεμάτων 46 Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ ΕΝΑ Θεμελιώδεις έννοιες 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑ. Εισαγωγή 23 1.1 Αλγόριθμοι 24 1.2 Ένα ενδεικτικό πρόβλημα: συνδετικότητα 26 1.3 Αλγόριθμοι ένωσης-εύρεσης 31 1.4 Προοπτική 44 1.5 Σύνοψη θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

Οντοκεντρικός Προγραμματισμός

Οντοκεντρικός Προγραμματισμός Οντοκεντρικός Προγραμματισμός Ενότητα 8: C++ ΒΙΒΛΙΟΗΚΗ STL, ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δομές Δεδομένων ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ιωάννης Χατζηλυγερούδης, Χρήστος Μακρής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Δομές

Διαβάστε περισσότερα

τις αναδρομικές ακολουθίες (recursive sequences) στις οποίες ορίζαμε

τις αναδρομικές ακολουθίες (recursive sequences) στις οποίες ορίζαμε Κεφάλαιο 9: Αναδρομή Ο τρόπος με τον οποίο σκεφτήκαμε και σχεδιάσαμε τις συναρτήσεις στο προηγούμενο κεφάλαιο ακολουθούσε τη φιλοσοφία του προγραμματισμού που είχαμε αναπτύξει σε όλο το προηγούμενο βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 9: ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ, ΔΙΑΙΡΕΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΛΕΥΕ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 9: ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ, ΔΙΑΙΡΕΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΛΕΥΕ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 9: ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ, ΔΙΑΙΡΕΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΛΕΥΕ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Συναρτήσεις Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Συναρτήσεις Ως τώρα γράφαμε όλα τα προγράμματα μας μέσα στην main..1

Διαβάστε περισσότερα