ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ QED ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΝΩΛΑΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Γ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ QED ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΝΩΛΑΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Γ."

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ QED ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΝΩΛΑΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : Γ.ΚΟΥΤΣΟΥΜΠΑΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ, ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΕΜΠ 3 Οκτωβρίου 1

2 Η παρούσα διπλωµατική εργασία αποτελείται από δύο µέρη όπως φαίνεται και από τον τίτλο της : Το καθιερωµένο πρότυπο της φυσικής και επανακανονικοποίηση της QED. Το πρώτο, το καθιερωµένο πρότυπο της φυσικής, αϕορά στη µελέτη των στοιχειωδών σωµατιδίων καθώς και στη µελέτη των µεταξύ τους αλληλεπιδράσεων. Επίσης αναλύεται ο τρόπος µε τον οποίο αυτά αποκτούν µάζα µέσα από το µηχανισµό Higgs. Το δεύτερο κοµµάτι, η επανακανονικοποίηση της QED, αναϕέρεται στο πως τα διαγράµµατα Feynman ανώτερης τάξης ηλεκτροµαγνητικών αλληλεπιδράσεων, οδηγούν στον επαναορισµό των φυσικών µεγεθών των σωµατιδίων. Επίσης, αναλύεται το πως τα διαγράµµατα αυτά τελικά οδηγούν στην περιγραϕή παρατηρήσιµων φαινοµένων, οι προβλέψεις των οποίων επιβεβαιώνονται πειραµατικά. This thesis consists of two parts as the title declares: The standard model of physics and renormalization of QED. The first part, the standard model of physics, is related to the elementary particles and how they interact with each other. It s also described how these particles gain mass through the Higgs mechanism. The second part, the renormalization of QED, refers to how the higher-order Feynman diagramms of electromagnetic interactions lead to the redefinition of the particles physical quantities. Moreover, it s analyzed how these diagramms eventually lead to the description of observable phenomena. Also, it s emphasized that the predicted results that arise have already been confirmed by conducted experiments.

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αρχικά οϕείλω να ευχαριστήσω ϑερµά τους δύο καθηγητές του ΕΜΠ, ρ. Ζουπάνο Γεώργιο και ρ. Τράκα Νίκο για την επίβλεψη και καθοδήγηση της διπλωµατικής εργασίας. Στο πρώτο κοµµάτι, στη µελέτη του καθιερωµένου προτύπου, η καθοδήγηση έγινε από τον ρ. Ζουπάνο, στον οποίο αποδίδεται η µύησή µου σε αυτό το χώρο της φυσικής αϕού η παρακολούθηση του µαθήµατός του στάθηκε εϕαλτήριο για να ασχοληθώ µε το ϑέµα αυτό. Επίσης, οϕείλω να τον ευχαριστήσω για τη συνεχή προσπάθεια της διεύρυνσης των γνώσεων µου στον κλάδο αυτό µέσα από επιµορϕωτικές συναντήσεις. Στο δεύτερο κοµµάτι, στην επανακανονικοποίηση της QED, τα ηνία της ε- πίβλεψης ανέλαβε ο ρ. Τράκας, τον οποίο ευχαριστώ για την καθοδήγηση και την άµεση ανταπόκριση σε όποιες δυσκολίες ανέκυψαν κατά την κατανόηση του ϑέµατος από πλευράς µου. Φυσικά δε ϑα µπορούσα να παραλείψω να ευχαριστήσω το ρ. Κουτσούµπα Γεώργιο ο οποίος τυπικά ανέλαβε την επίβλεψη της διπλωµατικής εργασίας όταν προέκυψαν διαδικαστικά προβλήµατα στα οποία και διαδραµάτισε καταλυτικό ϱόλο στην αντιµετώπισή τους. Στην οµαλή διεξαγωγή της εργασίας αλλά και της παρουσίασης σηµαντικό ϱόλο έπαιξε και η άψογη και άµεση συνεργασία και συνεννόηση µεταξύ των τριών καθηγητών. Επίσης ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τα άλλα δύο µέλη της τριµελούς επιτροπής ρ. Κεχαγιά Α. και ρ. Ηργες Ν. για τη συνεισϕορά τους. Τέλος, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω ϑερµά το οικογενειακό και φιλικό µου πε- ϱιβάλλον και ιδιαίτερα τη σύντροϕό µου για την ψυχολογική και πρακτική στήριξη καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της διπλωµατικής εργασίας. 3

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωµατική εργασία έχει τίτλο : Το καθιερωµένο πρότυπο της φυσικής και επανακανονικοποίηση της QED. Αρχικά, στο πρώτο κεϕάλαιο πα- ϱατίθενται εισαγωγικά στοιχεία τα οποία είναι απαραίτητα µαθηµατικά και εννοιολογικά εργαλεία για την κατανόηση του κυρίως ϑέµατος. Επειτα εδραιώνει το κλίµα και το σκεπτικό που επικρατούσε στην επιστηµονική κοινότητα τα χρόνια λίγο πριν την αρχή της κατασκευής του καθιερωµένου προτύπου. Στο δεύτερο κεϕάλαιο, ξεδιπλώνεται το µαθηµατικό εργαλείο της αναλυτικής µηχανικής πάνω στο οποίο πάτησαν οι επιστήµονες ώστε να περάσουν σε µια ϑεωρία πεδίου µέσω της λαγκρατζιανής διατύπωσης. Επειτα στο ίδιο κεϕάλαιο, περιγράϕεται το πως οι µετασχηµατισµοί οµάδων επηρεάζουν τις λαγκρατζιανές που περιγράϕουν τα πεδία. Στο επόµενο κεϕάλαιο περιέχεται ο τρόπος µε τον οποίο χτίζεται το καθιε- ϱωµένο πρότυπο και πως τα στοχειώδη σωµατίδια αποκτούν µάζα µέσω του µηχανισµού Higgs. Στη συνέχεια περιγράϕεται η µελέτη των ηλεκτρασθενών αλληλεπιδράσεων, δηλαδή η περιγραϕή δύο διαϕορετικών αλληλεπιδράσεων ως µία ενιαία. Στο τέταρτο κεϕάλαιο, το κέντρο ϐάρους µεταϕέρεται αποκλειστικά στις η- λεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις, πως υπολογίζονται τα αναλλοίωτα πλάτη τους και πως αυτά εξάγονται -πέρα από υπολογιστικά- µέσω των κανόνων Feynman. Τέλος, στο πέµπτο κεϕάλαιο αναλύεται η διαδικασία κατά την οποία στον υ- πολογισµό των αναλλοίωτων πλατών συνεισϕέρουν διαγράµµατα µεγαλύτερης τάξης, Oe 4. Για να υπολογιστούν οι συνεισϕορές αυτές χρησιµοποιήθηκαν µη τετριµµένες διαδικασίες οι οποίες έπειτα από επίπονες πράξεις έδωσαν σηµαντικά αποτελέσµατα και ϑεωρητικές προβλέψεις γύρω στα µέσα του προηγούµενου αιώνα. Το σηµαντικότερο αποτέλεσµα είναι η επανακανονικοποίηση του φορτίου σύµϕωνα µε την οποία συµπεραίνουµε ότι το πραγµατικό φορτίο µε το οποίο αλληλεπιδρά το ηλεκτρόνιο είναι διαϕορετικό από αυτό που εµπεριέχεται στις κυµατικές εξισώσεις περιγραϕής σωµατιδίων. Τέλος, παρατίθενται κάποια φαινόµενα µετατόπιση Lamb, ανώµαλη µαγνητική ϱοπή τα οποία πρκύπτουν αϕού συµπεριληϕθούν τα διαγράµµατα µεγαλύτερης τάξης, δίνοντας προβλέψεις οι οποίες έρχονται σε πρωτοϕανή συµϕωνία µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. 4

5 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγικά στοιχεία - Φορµαλισµός Μη σχετικιστική κβαντοµηχανική Στοιχεία ειδικής σχετικότητας Η Εξίσωση Klein-Gordon Αντιµετώπιση των προβληµάτων της Klein-Gordon Η εξίσωση του Dirac ιατηρούµενο ϱεύµα Λύσεις της εξίσωσης Dirac Θεωρία πεδίου 31.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης Λανγκρατζιανή διατύπωση σε ϑεωρία πεδίων Θεώρηµα Noether, συµµετρίες και νόµοι διατήρησης Εκτεταµένοι και τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας Συµµετρίες και ϑεωρία οµάδων Αβελιανές και µη αβελιανές ϑεωρίες ϐαθµίδας Ο U1 τοπικός µετασχηµατισµός Ο SU τοπικός µετασχηµατισµός Ο SU3 µετασχηµατισµός Συµπεράσµατα Το καθιερωµένο πρότυπο της φυσικής Αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας-κρυµµένη συµµετρία Αυθόρµητο σπάσιµο διακριτής συµµετρίας Αυθόρµητο σπάσιµο εκτεταµένης συµµετρίας ϐαθµίδας Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgsαβελιανή περίπτωση Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgs- Μη αβελιανή περίπτωση Οι ϑεωρίες ϐαθµίδας του Καθιερωµένου Προτύπου Η συµµετρία U1 Y Η συµµετρία SU L Η συµµετρία SU3 c

6 3.3 Οι ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις - Το µοντέλο των Weinberg- Salam Φερµιονικές µάζες - ανάµιξη γενιών Εύρεση γωνίας Cabibbo συναρτήσει των φυσικών µαζών των κουάρκ Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις Συµπεράσµατα Κβαντική Ηλεκτροδυναµική QED Μη σχετικιστική χρονοεξαρτώµενη ϑεωρία διαταραχών Ηλεκτροδυναµική σωµατιδίων χωρίς σπιν Ηλεκτρόνιο σε η/µ πεδίο A µ Σκέδαση ηλεκτρονίου - µιονίου Ηλεκτροδυναµική σωµατιδίων µε σπιν 1/ Ηλεκτρόνιο σε η/µ πεδίο A µ Η σκέδαση Moller e e e e Σκέδαση ηλεκτρονίου-µιονίου Κανόνες Feynman και η επέκταση iε Επανακανονικοποίηση ιορθώσεις ανώτερης τάξης Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας φωτονίου - Η πόλωση του κενού Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας του ηλεκτρονίου Η διόρθωση της κορυϕής Ταυτότητες Ward Η µετατόπιση Lamb & η ανώµαλη µαγνητική ϱοπή Επανακανονικοποίηση Θωράκιση φορτίου στην QED και σταθερά Ϲεύξής της Περίληψη-Συµπεράσµατα

7 Κεϕάλαιο 1 Εισαγωγικά στοιχεία - Φορµαλισµός 7

8 1.1 Μη σχετικιστική κβαντοµηχανική Γνωρίζουµε ότι η κλασική φυσική διέπεται από τη σχέση E = p m 1.1 η οποία συνδέει την κινητική ενέργεια µε την ορµή ενός σωµατιδίου. Είναι γνωστό ότι στην κβαντοµηχανική τα φυσικά µεγέθη ισοδυναµούν µε ερµιτιανούς τελεστές, οι ιδιοτιµές τους δηλαδή είναι πραγµατικοί αριθµοί όπως οϕείλουν αϕού οι ιδιοτιµές τους αντιστοιχούν σε αποτελέσµατα µετρήσεων. Οπότε αν αντικαταστήσουµε στη σχέση 1.1 τα µεγέθη µε τους αντίστοιχους τελεστές Ê = i t 1. ˆ p = i 1.3 και αυτοί δράσουν πάνω σε µια µιγαδική στη γενική περίπτωση κυµατοσυνάρτηση Ψ x, t παίρνουµε την διαϕορική εξίσωση του Schrondinger η οποία περιγράϕει την κίνηση ενός σωµατιδίου στο µικρόκοσµο : Ο τελεστής Ψ x, t m Ψ x, t + i = 1.4 t Ĥ = m + V r 1.5 ονοµάζεται χαµιλτονιανή και οι ιδιοτιµές του αποτελούν τις δυνατές τιµές της ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή, όπου V r =, ο τελεστής ονοµάζεται ελεύθερη χαµιλτονιανή, H. Η 1.4 µπορεί να γραϕτεί λοιπόν σαν ĤΨ = ÊΨ 1.6 Οι τελεστές που χρησιµοποιούνται στην κβαντοµηχανική και δρουν πάνω στις κυµατοσυναρτήσεις είναι -κατά πλειοψηϕία- διαϕορικοί και επιπλέον γραµ- µικοί. Αυτό σηµαίνει ότι κατά τη δράση τους πάνω σε έναν γραµµικό συνδυασµό κυµατοσυναρτήσεων, ο τελεστής µεταϕέρεται σε κάθε συνάρτηση του συνδυασµού ξεχωριστά. ηλαδή, για τον τελεστή Â, ϑα ισχύει : Âc 1 Ψ 1 + c Ψ = c 1 ÂΨ 1 + c ÂΨ 1.7 Συνεπώς, η 1.4 είναι γραµµική µε άµεση συνέπεια - µεγάλης φυσικής ση- µασίας - το παρακάτω ϑεώρηµα : ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Κάθε γραµµικός συνδυασµός λύσεων της εξίσωσης Schrodinger, είναι επίσης λύση της. 1 1 Τραχανάς, Σ., Κβαντοµηχανική ΙΙ : Θεµελιώδεις αρχές και µέθοδοι, κβαντικοί υπολογιστές

9 Πρέπει να αποδειχτεί ότι η κυµατοσυνάρτηση Ψ: Ψ x, t = c 1 Ψ 1 x, t + c Ψ x, t 1.8 είναι λύση της 1.4, αν οι Ψ 1 και Ψ αποτελούν επίσης λύσεις της. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του Schrondinger της µορϕής, την 1.8 έπεται ότι, i Ψ t = ĤΨ 1.9 i t c 1Ψ 1 + c Ψ = Ĥc 1 Ψ 1 + c Ψ 1.1 και τώρα χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της γραµµικότητας καταλήγουµε : c 1 i Ψ 1 + c i Ψ = c 1 ĤΨ 1 + c ĤΨ 1.11 t t όπου η τελευταία εξίσωση ισχύει αϕού οι Ψ 1 και Ψ αποτελούν από εκϕώνηση λύσεις της εξίσωσης Schrondinger. Πέρα από τη γραµµικότητα που αποτελεί µία κοινή ιδιότητα της εξίσωσης Schrondinger και της κυµατικής εξίσωσης - η οποία είναι το κλασικό ανάλογο της πρώτης -τις δυο αυτές εξισώσεις τις χωρίζουν δυο µεγάλες διαϕορές. 1. Οι συντελεστές της εξίσωσης του Schrondinger είναι µιγαδικοί αριθµοί, ενώ η κυµατική εξίσωση είναι καθαρά πραγµατική.. Η κλασική εξίσωση είναι διαϕορική εξίσωση δευτέρας τάξης ως προς το χρόνο ενώ η αντίστοιχη στην κβαντοµηχανική είναι πρώτης τάξης. Η µιγαδική φύση της εξίσωσης του Schrondinger δείχνει πως δεν αϕορά πα- ϱατηρήσιµα κύµατα, αλλά αντιπροσωπεύει ένα κύµα πιθανότητας, αϕού το τετράγωνο της απόλυτης τιµής της κυµατοσυνάρτησης ρ = Ψ δίνει την πι- ϑανότητα ανά µονάδα όγκου πυκνότητα πιθανότητας να ϐρεθεί το σωµατίδιο σε µια περιοχή του χώρου. Το γεγονός αυτό αποτελεί τη στατιστική ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης. Εδώ ο χρόνος παραλείπεται αϕού όσον αϕορά την ερµηνεία αυτή, δεν συνιστά κάποιο σηµαντικό ϱόλο, απλά µια παράµετρο παραλείποντας το χρόνο εννοούµε κάποιο στιγµιότυπο της κυµατοσυνάρτησης. Η πιθανότητα το σωµατίδιο να ϐρεθεί στο στοιχείο όγκου d 3 x είναι : P = Ψ d 3 x 1.1 και συνεπώς η ολική πιθανότητα το σωµατίδιο να ϐρεθεί σε ολόκληρο το χώρο είναι : + P = Ψ d 3 x

10 Φυσικά, η ολική πιθανότητα, εϕ οσον ερµηνεύουµε τη κβαντοµηχανική στατιστικά οϕείλει να είναι ίση µε τη µονάδα : + P = Ψ d 3 x = Η συνθήκη αυτή ονοµάζεται κανονικοποίηση και για να έχει νόηµα ϑα πρέπει αναγκαίως το ολοκλήρωµα να συγκλίνει, ή αλλιώς, η Ψ να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη. Οσον αϕορά την πυκνότητα πιθανότητας, µεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. Οπότε, όταν σε κάποια περιοχή αυξάνεται η πιθανότητα, σε κάποια άλλη µειώνεται ώστε η ολική πιθανότητα να παραµένει αµετάβλητη. Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι έχουµε µεταϕορά πιθανότητας. Το κλασικό ανάλογο αυτής της συµπεριϕοράς είναι η κίνηση ενός συµπιεστού υγρού, όπου κάθε µεταβολή στην πυκνότητα µάζας σε µια περιοχή του χώρου, επιϕέρει και µια αντισταθµιστική εισροή ή εκροή ϱευστού από τη συνοριακή επιϕάνεια. Το ισοζύγιο ανάµεσα στη µεταβολή της πυκνότητας της µάζας και της ϱοής από τη συνοριακή επιϕάνεια δίνεται από την εξίσωση συνέχειας. ρ t + j = 1.15 Οπότε αναλογικά όπως η παραπάνω µεταβολή της πυκνότητας της µάζας ε- πιϕέρει µεταβολή στη ϱοή του υγρού, έτσι και η µεταβολή της πυκνότητας πιθανότητας επιϕέρει µεταβολή στη ϱοή της πιθανότητας - ένα ϱεύµα πιθανότητας j. Το ϱεύµα αυτό υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την 1.4 µε το iψ και προσθέτοντας το αποτέλεσµα στο γινόµενο της συζυγούς της 1.4 επί το iψ. ηλαδή : iψ m Ψ + i Ψ t } {{ } iψ m Ψ i Ψ }{{ t} 1.4 = Ψ Ψ t + Ψ Ψ i t m Ψ Ψ + i m Ψ Ψ = t ΨΨ i m Ψ Ψ Ψ Ψ = ρ t + i m Ψ Ψ Ψ Ψ = 1.16 }{{} j Συγκρίνοντας λοιπόν την 1.16 µε την εξίσωση συνέχειας 1.15 προκύπτει η έκϕραση για το ϱεύµα πιθανότητας : j = i m Ψ Ψ Ψ Ψ 1.17 Τραχανάς, Σ., Κβαντοµηχανική ΙΙ : Θεµελιώδεις αρχές και µέθοδοι, κβαντικοί υπολογιστές

11 1. Στοιχεία ειδικής σχετικότητας Το γεγονός ότι τα στοιχειώδη σωµατίδια κινούνται µε σχετικιστικές ταχύτητες καθιστά απαραίτητη την εισαγωγή του φορµαλισµού της ειδικής ϑεωρίας της σχετικότητας και τη συγχώνευσή της µε την κβαντοµηχανική. Το 195 ο Einstein υπέθεσε ότι η αρχή της ισοδυναµίας Ταυτοτικά πειρά- µατα που διαξάγονται σε διαϕορετικά αδρανειακά συστήµατα δίνουν ταυτόσηµα αποτελέσµατα. 3 ισχύει για τα ηλεκτροµαγνητικά φαινόµενα όπως αυτά περιγράϕονται από τις εξισώσεις Maxwell. Θεώρησε δηλαδή ότι σε όλα τα α- δρανειακά συστήµατα η ταχύτητα του φωτός παραµένει σταθερή και ίση µε c, πράγµα το οποίο έχει αποδειχθεί από το πείραµα των Michelson-Morley Πριν από αυτή τη ϑεώρηση, επικρατούσε ο ισχυρισµός του Νεύτωνα περί πρόσθεσης των ταχυτήτων. Πιο συγκεκριµένα αν υποθέσουµε ότι ένα σωµατίδιο έχει σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναϕοράς ΑΣΑ ταχύτητα u = u x, u y, u z και σε ένα άλλο το οποίο κινείται µε ταχύτητα v κατά το ϑετικό άξονα των x σε σχέση µε το πρώτο, έχει ταχύτητα u = u x, u y, u z. Σύµϕωνα µε τους µετασχηµατισµούς του Γαλιλαίου : - x = x vt - y = y - z = z - t = t η σχέση των ταχυτήτων στον άξονα x ϑα είναι : u x = dx dt = dx dt = dx vt dt = dx dt v = u x v 1.18 Οπότε οι συνιστώσες της ταχύτητας που µετριούνται στο δεύτερο ΑΣΑ ϑα είναι σε σχέση µε αυτές του πρώτου : u x = u x v u y = u y u z = u z που σηµαίνει ότι οι εξισώσεις του Maxwell είναι έγκυρες µόνο για ένα ΑΣΑ, αϕού προβλέπουν µόνο µία ταχύτητα για το φως. Για ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα η ταχύτητα του φωτός ϑα προέκυπτε εκ νέου από την παραπάνω πρόσθεση των ταχυτήτων. 3 Hartle J.B., An Introduction to Einstein s General Relativity 3 11

12 Οµως ο Einstein λοιπόν δε συµπεριέλαβε στη ϑεωρία του τους µετασχη- µατισµούς του Γαλιλαίου, οι οποίοι υπεισέρχονται στη Νευτώνεια µηχανική και οδηγούν στην πρόσθεση των ταχυτήτων αλλά εισήγαγε µια σύνδεση των αδρανειακών συστηµάτων που είναι συνεπής µε την αρχή της ισοδυναµίας, καταργώντας την ιδέα περί απόλυτου χρόνου του Νεύτωνα. Η σύνδεση αυτή είναι γνωστή ως µετασχηµατισµοί Lorentz. Στη ϑεωρία της σχετικότητας, για να καθοριστεί ένα σηµείο για παράδειγµα σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι απαραίτητες 4 συντεταγµένες, οι 3 χωρικές και ο χρόνος x, x 1, x, x 3 = ct, x, y, z, αϕού όπως προαναφέρεται, ο χρόνος δεν είναι ίδιος σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα. Αυτή η τετραδιάστατη ενοποίηση ορίζει ένα χώρο που ονοµάζεται χωρόχρονος του Minkowski. Οι µετασχηµατισµοί Lorentz αναµιγνύουν λοιπόν το χώρο και το χρόνο δύο αδρανειακών συστηµάτων σε σχετική κίνηση. Πριν την ανάπτυξη και τη µελέτη των µετασχηµατισµών αυτών, είναι φρόνιµο να προηγηθεί µια σύντοµη περιγραϕή για τη σχετικιστική διατύπωση. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΙΑΤ ΥΠΩΣΗ Το 4-διάνυσµα της ϑέσης ορίζεται : x µ = x, x 1, x, x 3 = ct, x, y, z = ct, x 1.19 και η µετατόπιση για απειροστά διαστήµατα ως : dx µ = dx, dx 1, dx, dx 3 = cdt, dx, dy, dz = cdt, d x 1. ιανύσµατα που φέρουν πάνω δείκτες ονοµάζονται συναλλοίωτα. Επίσης ορίζονται και 4-διανύσµατα µε κάτω δείκτες, που λέγονται ανταλλοίωτα : dx µ = dx, dx 1, dx, dx 3 = dx, dx 1, dx, dx 3 = cdt, dx, dy, dz 1.1 ιαϕορετικοί παρατηρητές δε συµϕωνούν στις παραπάνω συντεταγµένες, όµως συµϕωνούν για το αναλλοίωτο µήκος, το οποίο για απειροστές µεταβολές είναι : ds = dx dx 1 dx dx 3 1. το οποίο προκύπτει από τις εξισώσεις 1. και 1.1 ως εξής : ds = dx dx +dx 1 dx 1 +dx dx +dx 3 dx 3 = 3 dx µ dx µ dx µ dx µ 1.3 Στην τελευταία ισότητα ϑεωρείται ότι το σύµβολο της άθροισης είναι περιττό, αϕού οι επαναλαµβανόµενοι δείκτες αθροίζονται σύµβαση Einstein. µ= 1

13 Ο ορισµός των 4-διανυσµάτων 1. και 1.1, δεν είναι τυχαίος αλλά τέτοιος, ώστε να συνδέονται µεταξύ τους µε τον µετρικό τανυστή g µν ο οποίος είναι ένας 4x4 διαγώνιος και συµµετρικός πίνακας g µν = g νµ και µάλιστα ο αντίθετός του υπάρχει µη µηδενική ορίζουσα και είναι ο ίδιος πίνακας : g µν 1 = g µν = g µν. 1 g µν = Ο τρόπος που λειτουργεί ο παραπάνω τανυστής και συνδέει δυο 4-διανύσµατα A µ και A µ είναι ο εξής : A µ = g µν A ν 1.5 A µ = g µν A ν 1.6 Συµπερασµατικά, η µέτρική αυτή χρησιµοποιείται για να ανεβοκατεβαίνουν οι δείκτες των 4-διανυσµάτων. Επίσης για τον µετρικό τανυστή ισχύει η παρακάτω ιδιότητα : g νρ g ρµ = δ ν µ 1.7 Οπως και στον 3-διάστατο χώρο, έτσι και στον 4-διάστατο χώρο Minkowski, ορίζεται το εσωτερικό ή αλλιώς ϐαθµωτό γινόµενο δύο 4-διανυσµάτων a, b: a b a µ b µ = g µν a µ b ν = a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 a µ b µ 1.8 Ολοι οι παρατηρητές συµϕωνούν µε το παραπάνω εσωτερικό γινόµενο, είναι δηλαδή ένα αναλλοίωτο γινόµενο. Ενα τέτοιο αναλλοίωτο γινόµενο αποτελεί και η εξίσωση 1.. Γενικότερα για να σχηµατιστεί µια αναλλοίωτη ποσότητα ως προς τους µετασχηµατισµούς Lorentz ϑα πρέπει για κάθε άνω δείκτη να υπάρχει και ο αντίστοιχος κάτω. Συνεχίζοντας την ανάλυση πάνω στους µετασχηµατισµούς Lorentz, ο Einstein τους χρησιµοποίησε στο πρόβληµα όπου ένα ΑΣΑ Σ κινείται µε ταχύτητα v κατά το ϑετικό άξονα των x σε σχέση µε ένα άλλο ΑΣΑ Σ, ο Lorentz ενώ είχε αντιληϕθεί ότι οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου δεν ήταν επαρκείς και ενώ είχε ϐγάλει τους οµώνυµους µετασχηµατισµούς δεν κατάϕερε να ϑεµελιώσει την ειδική ϑεωρία της σχετικότητας για να περιγράψει τη σχέση των συντεταγµένων τους. Αυτοί είναι : x = γx βx 1 x 1 = γ βx + x 1 x = x x 3 = x 3 13

14 όπου τα ϐ, γ είναι : β = v c και γ = 1 1 β Επίσης, αντικαθιστώντας το β µε β και εναλλάσσοντας τα x µε x, προκύπτουν οι αντίστροϕοι µετασχηµατισµοί Lorentz. Αυτό γιατί ϑεωρούµε τώρα το ισοδύναµο πρόβληµα ότι το ΑΣΑ Σ είναι ακίνητο ενώ το ΑΣΑ Σ κινείται µε ίση και αντίθετη ταχύτητα v ως προς το Σ. x = γx + βx 1 x 1 = γβx + x 1 x = x x 3 = x 3 Στο χώρο που µελετούµε, για να συνιστά ένα σύνολο 4 ποσοτήτων ένα 4- διάνυσµα, ϑα πρέπει να µετασχηµατίζονται όπως οι συνιστώσες του x µ κάτω από τους µετασχηµατισµούς Lorentz 4. Στην απαίτηση αυτή υπακούνε - ενέργεια και οι χωρικές συνιστώσες της ορµής : p µ E/c, p p, p 1, p, p η χρονική και η χωρική παράγωγος µ x µ = x, x 1, µ =,, x µ x x 1 x, x, 1 x 3 = c t, x, y, 1 = z c t, 1 = x 3 c t, x, y, 1 = z c Αξίζει να σηµειωθεί ότι το ανταλλοίωτο τετραδιάνυσµα της παραγώγου µε τον δείκτη επάνω µ, είναι αυτό που συµπεριλαµβάνει τις αρνητικές χωρικές συνιστώσες. Αυτό συµβαίνει διότι αυτό είναι το τετραδιάνυσµα που µετασχηµατίζεται µε τον ευθύ µετασχηµατισµό Lorentz, όπως δηλαδή µετασχηµατίζεται και το x µ. Το συναλλοίωτο τετραδιάνυσµα µ µε τις ϑετικές χωρικές συνιστώσες µετασχηµατίζεται σύµϕωνα µε τους αντίστροϕους µετασχηµατισµούς Lorentz, όπως δηλαδή το x µ. Πράγµατι, σύµϕωνα µε τον κανόνα της αλυσίδας ϑα ισχύει : x x 1 = x x x + x 1 x 1 x = x x x + x 1 1 x 1 x 1 = γ = γ + β x x 1 β + x x 1 4 Ζουπάνος Γ. Σηµειώσεις του µαθήµατος Στοιχειώδη Σωµατίδια ΙΙ t,

15 Με απλή σύγκριση φαίνεται η αντιστοιχία µε τους αντίστροϕους µετασχη- µατισµούς Lorentz. Παροµοίως προκύπτει ότι το µ αντιστοιχεί στον ευθύ µετασχηµατισµό. Οι µετασχηµατισµοί Lorentz είναι γνωστοί ως ωθήσεις boosts. Κάτω από τους µετασχηµατισµούς αυτούς, επαληθεύεται ότι τα διαστήµατα ds παρα- µένουν αναλλοίωτα. Γενικότερα, το εσωτερικό γινόµενο δύο 4-διανυσµάτων παραµένει αναλλοίωτο κάτω από τους µετασχηµατισµούς Lorentz. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στο κλασικό όριο v/c << 1 οι µετασχηµατισµοί αυτοί ανάγονται στους µετασχηµατισµούς του Γαλιλαίου, όπως αναµενόταν. Οµως, οι µετασχηµατισµοί Lorentz δεν αρκούνται στις ωθήσεις που περιγράϕονται παραπάνω. Εξ ορισµού, οι µετασχηµατισµοί Lorentz είναι αντιστρεπτοί γραµµικοί µετασχηµατισµοί των συντεταγµένων που σέβονται την ισότητα στοιχείου µήκους ds = ds για δύο ΑΣΑ, Σ και Σ. 5 Γενικά ένας µετασχηµατισµός Lorentz περιγράϕεται από τη γραµµική σχέση x µ = 3 Λ µ ν x ν = Λ µ ν x ν 1.31 ν= Ενδεικτικά, για τις ωθήσεις Lorentz το Λ µ ν είναι : γ βγ Λ µ ν = βγ γ Ο πίνακας αυτός δεν είναι διαγώνιος, πράγµα το οποίο επιβεβαιώνει το γεγονός ότι οι µετασχηµατισµοί Lorentz µπλέκουν το χρόνο και το χώρο δυο αδρανειακών συστηµάτων. Αληθεύει ότι εκτός από το στοιχείο µήκους, οι ϑεµελιώδεις νόµοι έχουν την ίδια µόρϕή σε όλα τα συστήµατα Lorentz τα συστήµατα αναϕοράς που έχουν µια οµοιόµορϕη σχετική ταχύτητα 6, ότι είναι δηλαδή Lorentz αναλλοίωτοι. Για παράδειγµα, το εσωτερικό γινόµενο της 4-ορµής ενός σωµατιδίου µε το εαυτό της, p µ p µ δίνει : p µ p µ = E, p x, p y, p z E, p x, p y, p z = E p = m 1.33 }{{}}{{} p p Εποµένως η ποσότητα που µένει αµετάβλητη σε όλα τα συστήµατα αναϕοράς είναι η µάζα ηρεµίας ενός σωµατιδίου - αποτελεί αναλλοίωτη ποσότητα. 5 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια εισαγωγή στη ϐασική δοµή της ύλης, 8, σελ Halzen F., Martin D.A., QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course In Modern Physics 15

16 1.3 Η Εξίσωση Klein-Gordon Το πέρασµα στη σχετικότητα δεν επηρεάζει µόνο το συµβολισµό αλλά και τον τρόπο που συµπεριϕέρεται η φύση στις ταχύτητες αυτές. Εποµένως η εξίσωση του Schrodinger πλέον είναι ανίκανη να περιγράψει την κίνηση των σωµατιδίων αϕού αποτελεί µια µη σχετικιστική κυµατική εξίσωση. Οπως στη µη σχετικιστική κβαντοµηχανική, όπου το σηµείο εκκίνησης ήταν η µη σχετικιστική σχέση ορµής και ενέργειας εξίσωση 1.1, έτσι και εδώ, ξεκινάµε από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας και ορµής E = p + m 1.34 και αντικαθιστώντας στη ϑέση της ενέργειας και της ορµής τους αντίστοιχους κβαντοµηχανικούς τελεστές εξισώσεις 1. και 1.3 παίρνουµε µε = c = 1: Ψ t + Ψ = m Ψ 1.35 Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση Klein-Gordon και περιγράϕει την κίνηση ενός σωµατιδίου µε µάζα αδρανείας m, και ταχύτητα κοντά σε αυτή του φωτός. Οπως προαναϕέρεται η τετραορµή ενός σωµατιδίου είναι : p µ = E, p 1.36 Αντικαθιστώντας στην έκϕραση της τετραορµής τις εξισώσεις 1. και 1.3, προκύπτει : p µ = i t, i = i t, = i µ 1.37 και ορίζοντας επίσης τον τελεστή του D Alembert: η Klein-Gordon γίνεται : µ µ = t, t, = t m Ψ = 1.39 Πολλάπλασιάζοντάς την µε τον όρο iψ και αϕαιρώντας την έπειτα από το γινόµενο της µιγαδικής συζυγούς της επί τον όρο iψ, παράγεται το σχετικιστικό ανάλογο της εξίσωσης 1.16 της εξίσωσης συνέχειας: [ ] t i Ψ Ψ t Ψ Ψ t }{{} ρ + [ ] iψ Ψ Ψ Ψ = 1.4 } {{ } j Η τετράδα των ποσοτήτων πιθανότητα και ϱεύµα πιθανότητας ϱ, j µετασχη- µατίζονται κάτω από µετασχηµατισµούς Lorentz µε τον ίδιο τρόπο που µετασχηµατίζονται οι συνιστώσες του x µ. Οπότε συνιστούν ένα τετραδιάνυσµα στο 16

17 χώρο Minkowski: j µ = ρ, j = i Ψ Ψ t Ψ Ψ, iψ Ψ Ψ Ψ t = i Ψ µ Ψ Ψ µ Ψ 1.41 Προϕανώς η παραπάνω εξίσωση, ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας στη συναλλοίωτη µορϕή της. µ j µ = 1.4 Εκ κατασκευής η εξίσωση Klein-Gordon για ένα ελεύθερο σωµατίδιο έχει λύσεις τα επίπεδα κύµατα της µορϕής : Ψt, x = Ne i p x Et = Ne ipx 1.43 Από την εξίσωση 1.4 υπολογίζεται η πυκνότητα πιθανότητας καθώς και το ϱεύµα πιθανότητας : τα οποία γράϕονται πιο συνοπτικά : ρ = E N j = p N j µ = p µ N 1.44 Οπως φαίνεται το πρόσηµο της πυκνότητας πιθανότητας είναι αυτό της ιδιοτι- µής της ενέργειας. Αν αντικαταστήσουµε την 1.43 στην 1.39 ϐρίσκουµε ότι οι ιδιοτιµές της ενέργειας προκύπτουν, ως αναµενόταν, από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας - ορµής : E = ± p + m 1.45 Αυτό σηµαίνει ότι η ενέργεια µπορεί να παίρνει είτε ϑετικές είτε αρνητικές τιµές. Εποµένως σύµϕωνα µε την εξίσωση 1.44 η πυκνότητα πιθανότητας µπορεί να είναι επίσης ϑετική ή αρνητική, ανάλογα µε την ενέργεια. Αυτό όµως οδηγεί σε αδιέξοδο γιατί αϕένός είναι δυνατό να γίνουν µεταπτώσεις σε όλο και χαµηλότερες ενεργειακές στάθµες και αϕέτέρου η αρνητική πυκνότητα πιθανότητας δεν µπορεί να ερµηνευτεί φυσικά. Επίσης, για να προσπεραστει το πρόβληµα αυτό δε γίνεται απλά να αγνοήσουµε τις αρνητικές ενέργειες, γιατί πρέπει να υϕίσταται πλήρες σύνολο καταστάσεων, πράγµα το οποίο πε- ϱιλαµβάνει και τις ανεπιθύµητες τιµές. Η Klein-Gordon, παρουσιάζει κι άλλο πρόβληµα ως κβαντική κυµατική εξίσωση, ότι η εξίσωση είναι δευτέρας τάξης ως προς το χρόνο. Αυτό καθιστά απαραίτητη τη γνώση όχι µόνο της κυµατοσυνάρτησης τη χρονική στιγµή µηδεν, αλλά και της πρώτης παραγώγου της. Αυτό όµως αντιβαίνει µε την αρχή της κβαντοµηχανικής ότι ο µοναδιακός τελεστής της χρονικής εξέλιξης απαιτεί τη γνώση µόνο της κυµατοσυνάρτησης για t = και τις ιδιοτιµές της ενέργειας για να δώσει την κατάσταση του συστήµατος κάποια χρονική στιγµή στο µέλλον. Συµπεραίνουµε λοιπόν, ότι η εξίσωση κύµατος που παράγεται από τη σύνθεση κβαντοµηχανικής και σχετικότητας παρουσιάζει προβλήµατα και δυσκολίες στη φυσική ερµηνεία της. 17

18 1.4 Αντιµετώπιση των προβληµάτων της Klein-Gordon Προσπαθώντας να υπερνικήσει τα προβλήµατα αυτά, ο Dirac το 197 εϕηύρε µια σχετικιστική κυµατική εξίσωση η οποία είναι γραµµική ως προς τη χωρική και τη χρονική παράγωγο, στην οποία ϑα επεκταθούµε παρακάτω. Κατάϕερε να ξεπεράσει το πρόβληµα της αρνητικής πυκνότητας πιθανότητας και σαν να µην έϕτανε αυτό, η εξίσωση περιέγραϕε σωµατίδια µε σπιν 1/. Επίσης, κατάϕερε να ελιχθεί στο πρόβληµα των αρνητικών ενεργειών επικαλούµενος την απαγορευτική αρχή του Pauli. εν είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο φερµιόνια που να περιγράϕονται από την ίδια ακριβώς κβαντική κατάσταση. Υπέθεσε ότι όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι κατειλληµένες, ϑεώρησε δηλαδή το κενό σαν µια άπειρη ϑάλασσα από ηλεκτρόνια αρνητικής ενέργειας. Ετσι κατάϕερε να ξεπεράσει το πρόβληµα ότι τα ηλεκτρόνια ϑα µπορούσαν να µεταπίπτουν σε όλο και χαµηλότερες καταστάσεις, αϕού δεν µπορούν να καταλάβουν µια ήδη κατειλληµένη ενεργειακή στάθµη απαγορευτική αρχή. Αν όµως κάποιο από τα αρνητικής ενέργειας ηλεκτρόνιο -Ε διεγερθεί σε µια ϑετική ενεργειακή στάθµη Ε, τότε δηµιουργείται µια ο- πή στη θάλασσα των αρνητικής ενέργειας η- λεκτρονίων, όπως φαίνεται στην εικόνα. Η α- πουσία του σωµατιδίου ηλεκτρονίου αρνητικού φορτίου και αρνητικής ενέργειας µεταφράζεται σαν παρουσία ενός αντισωµατιδίου ποζιτρόνιο ϑετικού φορτίου και ϑετικής ενέργειας. Οπότε, στην ουσία αυτό το φαινόµενο ερµηνεύεται σαν παραγωγή Ϲεύγους σωµατιδίων e E + e + E όπου προϕανώς απαιτείται E + E m. Ενώ µετά τις ανακαλύψεις του Dirac είχε σταµατήσει η προσπάθεια υπερπήδησης των εµποδίων της εξίσωσης Klein-Gordon, οι Pauli και Weisskopf 1934 κατάϕεραν να προσδώσουν φυσική ερµηνεία στο αρνητικό πρόσηµο της πυκνότητας πιθανότητας. Εισάγοντας το φορτίο του ηλεκτρονίου e, µετέτρεψαν την πυκνότητα πιθανότητας σε πυκνότητα φορτίου και το ϱεύµα πιθανότητας σε ηλεκτρονιακό ϱεύµα : j µ = ieψ µ Ψ Ψ µ Ψ 1.46 Πλέον το γεγονός ότι το ρ = j µπορεί να είναι αρνητικό δεν αποτελεί σϕάλµα. Θεωρήσαν δηλαδή ότι οι λύσεις µε αρνητική ενέργεια ενός σωµατιδίου µε αρνητικό φορτίο, µπορούν να ϑεωρηθούν σα λύσεις ϑετικής ενέργειας και άντίθετου ϑετικού φορτίου. Ενώ η ϑεωρία της οπής του Dirac δεν µπορούσε 18

19 να εξηγήσει την περίπτωση των µποζονίων, όπου δεν ισχύει η απαγορευτική αρχή, η εξήγηση των Pauli και Weisskopf µπορεί. Λίγο αργότερα ο Stuckelberg 1941 και ο Feynman 1948 χειρίστηκαν τις αρνητικές ενέργειες υποστηρίζοντας πως η αρνητική λύση αντιστοιχεί σε σωµατίδιο που ταξιδεύει αντίθετα στο χρόνο ή σε ένα αντισωµατίδιο ϑετικής ενέργειας που ταξιδεύει κανονικά στο χρόνο. 7 Για παράδειγµα,το j µ για ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας E, ορµής p και φορτίου e είναι : j µ e = e N E, p 1.47 Υπολογίζουµε το ίδιο για το αντισωµατίδιο, ίδιας ενέργειας και ορµής και φορτίου +e j µ e + = +e N E, p = e N E, p 1.48 παρατηρούµε ότι αντιστοιχεί σε j µ για ηλεκτρόνιο ενέργειας E και ορµής p. Οπότε, γενικά για ένα σύστηµα, η εκποµπή απορρόϕηση αντισωµατιδίου τετραορµής p µ αντιστοιχεί σε απορρόϕηση εκποµπή σωµατιδίου τετραορµής p µ Η εξίσωση του Dirac Η εξίσωση Klein-Gordon εκτός των άλλων προβληµάτων που παρουσίαζε δεν µπορούσε να περιγράψει σωµατίδια που διαθέτουν µη µηδενικό σπιν. Επίσης, όπως προαναϕέρθηκε, ο Dirac ήθελε να προσεγγίσει το πρόβληµα καταστρώνοντας µια σχετικιστική κυµατική εξίσωση η οποία να δίνει ϑετική πυκνότητα πιθανότητας. Γιάυτό υποστήριξε την ύπαρξη µιας εξίσωσης η οποία να πληροί τις παρακάτω προϋποθέσεις : 1. Να είναι γραµµική ως προς τη χρονική παράγωγο για ϑετική ϱ. Να είναι γραµµική ως προς τις χωρικές παραγώγους για να είναι σχετικιστικά αναλλοίωτη 3. Οι κυµατοσυναρτήσεις να που ϑα προκύπτουν να ικανοποιούν και την εξίσωση Klein-Gordon. Από τις δύο πρώτες προυποθέσεις εξάγεται µια γενική εξίσωση, η οποία έχει τη µορϕή : i Ψ t = i a + βmψ Halzen F.,Martin D.A. Quarks & Leptons:An Introductory Course in Modern Particle Physics, 1984, p.77 8 Aitchison I,J,R, Hey A,J,G, Gauge Theories In Particle Physics, p.96 19

20 Οµως πρέπει τρίτη προυπόθεση, να ικανοποιείται η 1.35, οπότε υψώνουµε τους τελεστές της 1.43 στο τετράγωνο, και έπειτα ακολουθεί µεταξύ τους σύγκριση. Με τη διαδικασία αυτή ϑα ληϕθούν όλες οι απαραίτητες πληροϕορίες για τις αρχικά αυθαίρετες ποσότητες που παρουσιάζονται στη γενική εξίσωση. i Ψ = i a t + βm i a + βm = 3 i=1 + im a i 3 i=1 Ψ x i Συγκρίνοντας λοιπόν µε την Klein-Gordon i Ψ = t 3 i,j=1/i>j a i a j + a j a i Ψ x i x j a i β + βa i Ψ x i + β m Ψ i=1 Ψ x i + m Ψ 1.51 είναι προϕανές πως µόνο ο πρώτος και τελευταίος όρος του δεξιού µέλους της 1.5 ϑα πρέπει να επιζούν, ενώ οι δύο ενδιάµεσοι ϑα πρέπει να µηδενίζονται, εποµένως για τα a 1, a, a 3, β ισχύει : ˆ Τα τετράγωνα των συντελεστών δίνουν µονάδα : a 1 = a = a 3 = β = ˆ Ολοι οι συντελεστές αντιµετατίθενται µεταξύ τους. a i β + βa i = i = 1,, a i a j + a j a i = i, j = 1,, 3 & i j 1.54 Επειδή οι συντελεστές a i, β δε µετατίθενται δε µπορούν να ϑεωρηθούν αριθµοί. Ο Dirac πρότεινε ότι πρέπει να ϑεωρηθούν πίνακες οι οποίοι ϑα δρουν πάνω σε µια κυµατοσυνάρτηση Ψ, η οποία ϑα έχει κάποιες συνιστώσες σε µορϕή στήλης. Οι κυµατοσυναρτήσεις αυτές ονοµάζονται σπίνορες του Dirac. Αξίζει να σηµειωθεί ότι εϕ όσον η κάθε συνιστώσα του σπίνορα υπακούει στην ίδια κυµατική εξίσωση, οι φυσικές καταστάσεις που ϑα περιγράϕουν ϑα ϐρίσκονται στην ίδια ενεργειακή κατάσταση. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα την παρουσία ενός είδους εκϕυλισµού, η άρση του οποίου συνδέεται µε ένα νέο κβαντικό µέγεθος, το σπίν. Για τους πίνακες a i, β ισχύουν τα κάτωθι : ˆ a i, β είναι ερµιτιανοί έτσι ώστε να ικανοποιείται η απάιτηση ότι η Χαµιλτονιανή της εξίσωσης Dirac είναι ερµιτιανός τελεστής εξαγωγή ιδιοτιµών οι οποίες ϵr.

21 ˆ Από την 1.54 πολλαπλασιάζοντας µε a 1 i προκύπτει : a j = a 1 i a j a i. Συνεπώς : Tra j = Tra 1 i a j a i = Tra j a 1 i a i = Tra j Tra j = 1.55 και αντίστοιχα ακολουθώντας ίδια διαδικασία, πολλαπλασιάζοντας την 1.53 µε a 1 i από τα αριστερά, προκύπτει : β = a 1 i βa i. Συνεπώς : Trβ = Tra 1 i βa i = Trβa 1 i a i = Trβ Trβ = 1.56 Στις παραπάνω αποδείξεις χρησηµοποιήθηκε η ιδιότητα TrAB = TrBA. Οπότε οι 1.55 και 1.56 υποδεικνύουν ότι οι a i, β είναι πίνακες µηδενικού ίχνους. ˆ Οι ιδιοτιµές των πινάκων a i, β είναι ±1, πράγµα το οποίο προκύπτει άµεσα από την 1.5. ˆ Ισχύει ότι το ίχνος ενός πίνακα είναι ίσο µε το άθροισµα των ιδιοτιµών του. Εϕ οσον οι ιδιοτιµές των πινάκων a i, β είναι ±1 και το ίχνος µηδέν, σηµαίνει ότι : Tra i = = k 1 + l 1 k = l ηλαδή, όσες φορές υπάρχει η ιδιοτιµή 1 τόσες πρέπει να υπάρχει και η ιδιοτιµή 1 για να µηδενίζεται το ίχνος. Αυτό ισχύει µόνο όταν ο αριθµός των ιδιοτιµών είναι άρτιος, ή ισοδύναµα, όταν η διάστασή του είναι άρτια, αϕού D = k + l = k. Πιο απλά αυτό αποδεικνύεται αν πάρουµε τις ορίζουσες των γινοµένων των πινάκων που εµϕανίζονται στην αντίστοιχα, δηλαδή : deta i a j = det a j a i = 1 D deta j a i, όπου D η διάσταση. Εποµένως η διάσταση των πινάκων a i, β είναι άρτια. ˆ Η µικρότερη πιθανή διάσταση των πινάκων είναι D = 4. Για D = υπάρχουν µόνο τρεις αντιµετατιθέµενοι πίνακες, οι πίνακες του Pauli σ i. Συνεπώς, η µικρότερη διάσταση τεσσάρων πινάκων που ικανοποιούν την άλγεβρα 1.54, είναι D = 4. 9 Οι ιδιότητες των πινάκων γράϕονται συνοπτικά : {a i, β} = {a i, a j } = δ ij 1 β = Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική, Μια Εισαγωγή στη Βασική οµή της Υλης, 8, σελ.47 1

22 όπου 1 είναι ο 4x4 ταυτοτικός πίνακας. Η επιλογή των a i, β δεν είναι µοναδική. Κατά γενική οµολογία τα αποτελέσµατα είναι ανεξάρτητα από την επιλογή αυτή. Μια συµβατική επιλογή των τεσσάρων πινάκων είναι η αναπαράσταση Dirac-Pauli:οι υπόλοιπες µπορούν να προκύψουν από αυτήν µε µοναδιαίους µετασχηµατισµούς. a i = [ ] σi σ i β = [ ] I I 1.58 όπου Ι ο ταυτοτικός x πίνακας, ο µηδενικός πίνακας ίδιας διάστασης και σ i οι πίνακες του Pauli: [ ] [ ] [ ] 1 i 1 σ x = σ 1 y = σ i z = Αϕού οι πίνακες a i, β προέκυψαν 4x4 αυτό σηµαίνει πως και οι σπίνορες ϑα είναι αναγκαστικά διάνυσµατα στήλης µε τέσσερις συνιστώσες το γεγονός αυτό δεν καθιστά την τετράδα αυτή ως τετραδιάνυσµα-µια τετράδα αναλλοίωτη κάτω από τους µετασχηµατισµούς Lorentz. Αυτό φαίνεται ανεπιθύµητο εκ πρώτης όψεως, αϕού ένα σωµατίδιο µε σπιν 1/ αϕού αυτά υποτίθεται ότι περιγράϕει η εξίσωση του Dirac έχει δύο ϐαθµούς ελευθερίας σπιν πάνω και σπιν κάτω και όχι τέσσερις. Οι δύο παραπάνω που περισσεύουν, τελικά όχι µόνο δεν είναι ανεπιθύµητοι, αλλά ανοίγουν ένα νέο παράθυρο στη ϑεωρητική φυσική, την ταυτόχρονη περιγραϕή του αντίστοιχου αντισωµατιδίου. Η εξίσωση 1.49, ως σχετικιστική κυµατική εξίσωση, µπορεί να γραϕτεί σε συναλλοίωτη µορϕή. Πολλαπλασιάζοντάς την λοιπόν µε τον πίνακα ϐ από τα αριστερά, παίρνουµε : iβ Ψ t = iβ a Ψ + βmψ 1.6 Αν φέρουµε όλους τους όρους σε ένα µέλος, και ϑεωρήσουµε τις τέσσερις ποσότητες β, β a σαν ένα τετραδιάνυσµα παρ ολο που δε µετασχηµατίζονται σαν ένα, τότε η παραπάνω µπορεί να γραϕτεί σαν εσωτερικό γινόµενο στο χώρο Minkowski: γ µ i β, β a }{{} t, Ψ mβψ = 1.61 }{{} µ Θέτοντας γ µ β, β a και συνδυάζοντάς την µε την 1.3 για c = 1, προκύπτει η εξίσωση του Dirac σε συναλλοίωτη µορϕή : iγ µ µ mψ = 1.6 Ορίζοντας γ µ µ και αντίστοιχα γ µ p µ p η παραπάνω εξίσωση γράϕεται : i mψ = p mψ = 1.63

23 Από τον ορισµό των γ-πινάκων και σε συνδυασµό µε τις ιδιότητες των πινάκων a i, β εξισώσεις 1.5, 1.53 προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητές τους : 1. γ µ γ ν + γ ν γ µ = g µν. γ = γ 3. γ = I 4. γ k = βa k = a k β = γ k 5. γ k = βa k βa k = I όπου k = 1,, ιατηρούµενο ϱεύµα Για την εύρεση του διατήρούµενου ϱεύµατος ακολουθούµε την ίδια διαδικασία που µας έδωσε το διατηρούµενο ϱεύµα της Klein-Gordon. Εδώ όµως δεν αρκεί να ϑεωρήσουµε τη µιγαδική συζυγή εξίσωση της 1.6, αλλά την ερµιτιανή συζυγή, εϕ όσον πλέον η κυµατική εξίσωση δουλεύει µε πίνακες και όχι µε µιγαδικούς αριθµούς. Αυτή είναι : iγ Ψ Ψ + iγk t x k mψ = i Ψ t γ i Ψ x k γk mψ = 1.64 Με απώτερο σκοπό τη διατήρηση της αναλλοίωτης µορϕής της εξίσωσης, πολλαπλασιάζουµε από τα δεξιά µε το γ. Οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται : i Ψ t γ γ i Ψ x k γk γ mψ γ = 1.65 Από την πρώτη ιδιότητα των γ-πινάκων, ισχύει ότι : Συνδυάζοντας την 1.65 µε την 1.66, προκύπτει : γ γ k = γ k γ 1.66 i Ψ t γ γ i Ψ x k γ γ k mψ γ = 1.67 Θεωρώντας τον πίνακα γραµµή Ψ Ψ γ, παίρνουµε την εξίσωση : i µ Ψγ µ + m Ψ =

24 Τώρα η εξίσωση συνέχειας µ j µ = προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την 1.6 µε Ψ από αριστερά και έπειτα προσθέτοντας το γινόµενο της 1.68 επί Ψ από δεξιά : i Ψγ µ µ Ψ m ΨΨ + i µ Ψγ µ Ψ + m ΨΨ = Ψγ µ µ Ψ + µ Ψγ µ Ψ = µ Ψγ µ Ψ = 1.69 Προϕανώς, συγκρίνοντας µε την εξίσωση συνέχειας µ j µ = προκύπτει ότι το τετραδιάνυσµα του ϱεύµατος πιθανότητας είναι : Εποµένως, η πυκνότητα πιθανότητας ϱ ϑα είναι : j µ = Ψγ µ Ψ 1.7 ρ = j = Ψγ Ψ = Ψ γ γ }{{} Ψ = Ψ Ψ = γ =I 4 Ψ i 1.71 ηλαδή, αντιπροσωπεύει πάντα µια ϑετική ποσότητα, όπως ακριβώς ήθελε ο Dirac εξάρχής - ανεξαρτησία από το πρόσηµο της ενέργειας. Ακολουθώντας λοιπόν τη συνταγή των Pauli-Weisskopf, εισάγοντας πολλαπλασιαστικά το φορτίο στην έκϕραση του ϱεύµατος πιθανότητας i=1 j µ = e Ψγ µ Ψ 1.7 παίρνουµε το 4-διάνυσµα της πυκνότητας του ηλεκτρονιακού ϱεύµατος Λύσεις της εξίσωσης Dirac Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε για ένα ελεύθερο σωµατίδιο ιδιοκαταστάσεις, οι οποίες ϑα είναι της µορϕής Ψ = ωe ip x 1.73 όπου το ω αποτελεί ένα σπίνορα τεσσάρων συνιστώσεων. Είναι ϐολικό να ϑεωρήσουµε επίσης το σπίνορα ω αποτελούµενο από δύο σπίνορες δύο συνιστώσεων ο καθένας. [ ] φ ω = 1.74 χ Εισάγοντας την 1.73 στην 1.49, ϐρίσκουµε τις ιδιοτιµές της ενέργειας. ηλαδή, Hωe ipx = a p + βmωe ipx = Eωe ipx

25 1Για ακίνητο σωµατίδιο p = η 1.75 γίνεται : [ ] [ φ φ βmω = Eω βm = E χ χ [ ] [ ] [ ] I φ Eφ m = I χ Eχ [ ] [ ] [ ] mi φ Eφ = mi χ Eχ [ ] [ ] miφ Eφ = miχ { Eφ = miφ Eχ = miχ Eχ { ] E = m, m E = m, m 1.76 Οι ιδιοτιµές της ενέργειας είναι λοιπόν : E = m, m, m, m. Από την 1.75 παίρνουµε τις ιδιοκαταστάσεις που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση : E=m Οι δύο πρώτες λύσεις απευθύνονται στο σωµατίδιο ηλεκτρόνιο ϑετικής ενέργειας µε ιδιοκαταστάσεις : [ ] m Eφ = miφ φ = mφ [ φ 1 1 = ω 1, = m [ 1 ], φ = φ 1, ] [, χ = 1.77 E=-m ενώ οι άλλες δύο λύσεις αρνητικής ενέργειας απευθύνονται στο αντισω- µατίδιο ποζιτρόνιο ϑετικής ενέργειας µε ιδιοκαταστάσεις : [ ] m Eχ = miχ χ = mχ [ χ 1 1 = ω 3,4 = ], χ = χ 1, m [ 1 ], φ = [ 1.78 ] ] 5

26 Για σωµατίδιο µε p η 1.75 γίνεται : [ ] [ σ I p + σ I [ ] [ σ p mi + σ p mi [ ] [ ] mi σ p φ = E σ p mi χ { σ p χ = E mφ σ p φ = E + mχ ] m ω = Eω ] ω = Eω [ ] φ χ 1.79 Επιλύοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις ως προς φ και χ αντίστοιχα, προκύπτουν : Λαµβάνοντας υπ οψη τη σχέση : φ = σ p E m χ 1.8 χ = σ p E + m φ 1.81 σ p = p I 1.8 και αντικαθιστώντας την 1.8 στην 1.81 ϐρίσκουµε τις αναµενόµενες ιδιοτιµές της ενέργειας : χ = σ p σ p E + m E m χ χ = σ p E me + m χ E me + mχ = p χ E = ± p + m 1.83 Σε παρόµοια εξίσωση ιδιοτιµών ϑα καταλήγαµε αν αντικαθιστούσαµε αντίστροφα. Συνεπώς, µε ϐάση την εξίσωση 1.74 οι δύο λύσεις για κάθε ιδιοτιµή της ενέργειας ϑα είναι : E = + p + m : Οι δύο λύσεις ϑετικής ενέργειας είναι : ω 1, = N [ φ 1, σ p E+m φ1, ] 1.84 E = p + m : Οι δύο λύσεις αρνητικής ενέργειας είναι : ω 3,4 = N [ ] σ p E m χ1, χ 1,

27 όπου Ν είναι και στις δύο περιπτώσεις ένας συντελεστής κανονικοποίησης. Στην ανάλυση που προηγήθηκε αποδείχθηκε ότι και στις δύο περιπτώσεις ακίνητου και κινούµενου σωµατιδίου, στην κάθε ιδιοτιµή της ενέργειας αντιστοιχούν δύο ιδιοκαταστάσεις. Αυτό καταδεικνύει την παρουσία εκϕυλισµού, τάξης. Συνεπάγεται λοιπόν, πως ϑα υπάρχει κάποιο επιπλέον µέγεθος του οποίου ο ερµιτιανός τελεστής ϑα µετατίθεται µε τη χαµιλτονιανή του Dirac και τον τελεστή της ορµής, έτσι ώστε οι ιδιοτιµές του να αποτελούν έναν καλό κβαντικό αριθµό ο οποίος ϑα µας διακρίνει τις δύο λύσεις, δηλαδή, ϑα αίρει τον εκϕυλισµό. Η παρουσία των πινάκων του Pauli στους α-πίνακες της χα- µιλτονιανής, καθώς επίσης και το γεγονός ότι οι σ-πίνακες υπεισέρχονται στις εκϕράσεις του σπίνορα στις εξισώσεις 1.84, 1.85, µας καθοδηγεί να υποπτευθούµε ότι ένα µέγεθος που σχετίζεται µε το σπιν είναι το κβαντικό µέγεθος που ψάχνουµε. Στην περίπτωση µη σχετικιστικής κβαντοµηχανικής, ορίζεται ένα µέγεθος που ονοµάζεται ελικότητα, ως η προβολή του σπιν στην κατεύθυνση κίνησης του σωµατιδίου. Ο ερµιτιανός τελεστής που αντιστοιχεί στο µέγεθος αυτό είναι : λ = sˆp = s p p 1.86 όπου s ο τελεστής του σπιν για σωµατίδια µε σπιν 1/: Συνεπώς, ο τελεστής της ελικότητας, παίρνει τη µορϕή : s = 1 σ 1.87 λ = 1 σ p p 1.88 Αυτό σηµαίνει ότι, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, για ένα σωµατίδιο [ ] που κινείται στον άξονα z, και έχει ορµή p =,, p, η ιδιοκατάσταση σπιν πάνω 1 αντιστοιχεί σε ιδιοτιµή λ = 1 : λ [ ] 1 = 1 p σ p [ ] 1 = 1 σ z [ ] 1 = 1 [ 1 1 ενώ µε παρόµοιο υπολογισµό η ιδιοκατάσταση ] [ ] 1 = 1 [ ] [ ] σπιν κάτω, υπολογίζεται 1 ότι αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 1. Εχει επικρατήσει η σύµβασή ότι η ϑετική ιδιοτιµή αντιστοιχεί σε ένα δεξιόστροϕο σωµατίδιο, ενώ η αρνητική σε ένα αριστερόστροϕο. Οµως για την ανάλυση πάνω στο διαχωρισµό των λύσεων της εξίσωσης του Dirac, ο τελεστής της ελικότητας όπως τον ορίσαµε στην εξίσωση 1.88, δεν είναι σε ϑέση να διαχωρίσει τις λύσεις, αϕού είναι µεγέθους x και δρα σε 7

28 διάνυσµα στήλη συνιστώσεων, ενώ οι σπίνορες Dirac αποτελούνται από 4 συνιστώσες. Εποµένως, επεκτείνουµε τον ορισµό του τελεστή της ελικότητας στις τέσσερις διαστάσεις, για να γίνει χρήσιµο εργαλείο στη σχετικιστική κβαντο- µηχανική την οποία µελετάµε και να τον χρησιµοποιήσουµε παρακάτω στην περίπτωση κινουµένου σωµατιδίου: λ = 1 Σ p p 1.9 όπου Σ, ορίζεται γενικεύοντας, κατάναλογία µε τον s, ο τελεστής του σπιν µεγέθους 4x4. Σ = 1 [ ] σ 1.91 σ Για τον τελεστή αυτόν ισχύει η µεταθετική σχέση : [ 1 Σ x, 1 ] Σ y = i 1 Σ z 1.9 καθώς και 1 Σ = Αυτές είναι ιδιότητες που αναµένονται από έναν τελεστή στροϕορµής µεγέθους 1/, όπως από αυτόν της τροχιακής. Ο τελεστής αυτός 1.91 είναι κατάλληλος να µας διαχωρίσει τις δυο λύσεις στο σύστηµα µάζας ηρεµίας του σωµατιδίου όπου δηλαδή p =, πράγµα που σηµαίνει ότι δε χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε τον τελεστή της ελικότητας απαραίτητη γίνεται η χρήση στο σύστηµα κινουµένου σωµατιδίου. Στην περίπτωση αυτή {}}{ ο µεταθέτης του µε τη χαµιλτονιανή H D = a p +βm H D = βm είναι µηδέν : [ H D, 1 ] Σ = 1 [ ] mi σ 1 [ ] σmi mi σ σmi = 1 [ ] σ m 1 [ ] σ σ m = 1.93 σ οπότε αποτελεί το κβαντοµηχανικό µέγεθος που αναζητούµε. ηλαδή, υποθέτοντας ότι το σπιν είναι ευθυγραµµισµένο στον άξονα z: 1 Σω 1 = 1 [ ] σ3 σ 3 = = Σω = 1 [ ] σ3 σ 3 = 1 1 = =

29 Ο τελεστής του σπιν καταϕέρνει να άρει τον εκϕυλισµό των καταστάσεων µε ενέργεια E = m. Οµως εάν ϑεωρήσουµε την περίπτωση σωµατιδίου που διαθέτει µη µηδενική ορµή και άρα ϐρίσκεται εν κινήσει, παρατηρούµε πως ο τελεστής αυτός του σπιν δεν µετατίθεται µε τη χαµιλτονιανή του προβλήµατος H D = a p + βm και άρα παύει να είναι ο κβαντικός αριθµός που ψάχνουµε : = [ H D, 1 ] Σ = 1 [ a p, Σ] + 1 {}}{ [βm, Σ] = 1 [ a p, Σ] 1.95 Το µέγεθος που µετατίθεται µε τη χαµιλτονιανή και καταϕέρνει να άρει και τον εκϕυλισµό είναι η ελικότητα, όπως την ορίσαµε στην εξίσωση 1.9 Οπότε παροµοίως µε παραπάνω, ϑεωρώντας ένα σωµατίδιο που κινείται στον άξονα z µε ορµή p =,, p, για τις δύο λύσεις ω 1, ισχύει : [ ] λω 1, = 1 Σ p p φ 1, σ p E+m φ1, = 1 [ ] [ σ3 σ 3 Αναλυτικά για την κάθε λύση ω 1 και ω, ϑα ισχύει : ω 1 : [ ] [ 1 σ3 σ 3 φ 1 σ 3 p E+m φ1 ] 1 = φ 1, σ 3 p E+m φ1, 1 σ 3 p E+m = 1 ] 1 σ 3 p E+m 1.96 ω : [ ] [ 1 σ3 σ 3 φ σ 3 p E+m φ ] 1 = σ 3 p E+m = 1 1 σ 3 p E+m 1.97 Είναι εµϕανές λοιπόν πως ο τελεστής της ελικότητας καταϕέρνει να διαχωρίσει τις εκϕυλισµένες καταστάσεις σε µια µε σπιν πάνω ϑετική ελικότητα και µία µε σπιν κάτω αρνητική ελικότητα. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, όπως στις εξισώσεις 1.94, 1.96 οι τελεστές του σπιν και της της ελικότητας αντίστοιχα, σπάνε τον εκϕυλισµό που διέπουν τους σπίνορες ω 3,4 και διαχωρίζουν τις καταστάσεις στην κάθε περίπτωση E = m, E = p + m. Οι λύσεις αρνητικής ενέργειας, ϑεωρούµε ότι είναι αυτές που σχετίζονται µε 9

30 το αντισωµατίδιο ποζιτρόνιο. Οµως επειδή όλα τα ελεύθερα σωµατίδια και αντισωµατίδια πρέπει να µεταϕέρουν ϑετική ενέργεια και ορµή, αλλάζουµε τα πρόσηµά τους E, p p µ έτσι ώστε οι λύσεις αρνητικής ενέργειας να επανερµηνευθούν σα λύσεις ϑετικής ενέργειας αντισωµατιδίων. Η αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση ϑα είναι λοιπόν : Ψ = ω 3,4 E, pe i px = ω 3,4 E, pe ipx 1.98 Στη µορϕή αυτή καλούµε τους σπίνορες, σπίνορες v: [ ] σ p v 1 E, p = ω 4 E, p = N E m χ χ = N [ ] σ p v E, p = ω 3 E, p = N E m χ1 χ 1 = N Οπότε γενικά η κυµατοσυνάρτηση γράϕεται : [ σ p E+m χ χ [ σ p E+m χ1 χ 1 ] ] 1.99 Ψ = v,1 E, pe ipx 1.1 Συνεπώς η εξίσωση του Dirac 1.6, για την περιγραϕή αντισωµατιδίων γίνεται : p mu E, p = p + mve, p = 1.11 Στην αντιστοίχιση σωµατιδίου µε αρνητικές λύσεις σε αντισωµατίδιο, µένει µόνο να εξετάσουµε τι συµβαίνει µε το σπιν. Οπως η απουσία ενός ηλεκτρονίου αρνητικής ενέργειας ισοδυναµεί µε την παρουσία µιας ϑετικά φορτισµένης εκδοχής ηλεκτρονίου ϑετικής ενέργειας, ο Dirac παροµοίως ερµήνευσε την απουσία ενός σπιν πάνω ηλεκτρονίου αρνητικής ενέργειας ισοδύναµη µε την παρουσία ενός σπιν κάτω ποζιτρόνιου ϑετικής ενέργειας. Η ισοδυναµία αυτή καταδεικνύεται στον τρόπο που αντιστοιχίσαµε τους σπίνορες v 1, µε τους αρνητικής ενέργειας ω 4,3 στην εξίσωση 1.99, ώστε οι σπίνορες µε δείκτη 1 να αντιστοιχουν σε σπιν πάνω σωµατίδια ενώ οι σπίνορες µε δείκτη να αντιστοιχούν σε σωµατίδια µε σπιν κάτω. Αϕού εν τέλει στη ϑεώρηση αντισωµατιδίου αντιστρέϕεται τόσο η ορµή όσο και το σπιν, αυτό σηµαίνει πως η ελικότητα αποτελεί ένα µέγεθος που παραµένει αναλλοίωτο. Καθίσταται προϕανές πλέον, ότι η ϑεωρία του Dirac δεν αποτελεί ϑεωρία περιγραϕής ενός σωµατιδίου. Αυτό γιατί αν διεγερθεί κάποιο ηλεκτρόνιο αρνητικής ενέργειας από τα άπειρα που αποτελούν το κενό σε µια ϑετική ενεργειακή στάθµη, τότε έχουµε την παρουσία δύο σωµατιδίων : του προαναφερθέντος ηλεκτρονίου αλλά και της ϑετικά φορτισµένης οπής ποζιτρονίου µέσα στο κενό ή απλούστερα, έχουµε δύο σωµατίδια από δίδυµη γένεση. Ο τρόπος αυτός αντιµετώπισης του προβλήµατος των αρνητικών λύσεων για τα φερµιόνια, αναδεικνύει την ανάγκη για την κατάστρωση µιας κβαντικής ϑεωρίας πεδίου. 3

31 Κεϕάλαιο Θεωρία πεδίου.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης Το 18ο αιώνα, στον τοµέα της κλασικής µηχανικής, στην περιγραϕή της κίνησης ενός υλικού σηµείου, δεσπόζουσα ϑέση κατέχει η Νευτώνεια µηχανική. Ξεκινώντας λοιπόν από τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο σηµείο αυτό, από τους νόµους του Νεύτωνα εξάγονται οι εξισώσεις κίνησής του, οι οποίες παρέχουν πληροϕορίες για την τροχιά που ακολουθεί το σωµατίδιο αυτό. Ταυτόχρονα όµως, επωάζεται µια καινούρια ιδέα η οποία ϑα οδηγήσει σε µια εναλλακτική, µαθηµατικά πιο ευέλικτη, διατύπωση ανεξάρτητη από τους νευτωνικούς νόµους από την οποία ϑα εξάγεται η εξίσωση της κίνησης για ένα σηµειακό αντικείµενο. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η ιδέα αυτή δεν αναπτύχθηκε µε σκοπό να ανατρέψει τη νευτώνεια µηχανική. Επίσης, δε ϐασίζεται σε πειραµατικές ενδείξεις ή αποτελέσµατα αλλά αποτελεί ένα οικοδόµηµα που συνίσταται από ϐασικές έννοιες και µαθηµατικές διεργασίες των µεγάλων ευ- ϱωπαίων µαθηµατικών της εποχής. Η ιδέα έχει καταγωγή την αρχή του Fermat, ότι το φως διαδίδεται από τον πιο σύντοµο δρόµο. Αυτό έστρωσε το δρόµο προς νέα ερωτήµατα όπως, πρώτον, ποια είναι η διαδροµή από τις άπειρες δυνατές που επιλέγει ένα σώµα να ακολουθήσει µέσα σε ένα µέσο και δεύτε- ϱον, αν υπάρχει κάποια ευρύτερη περιγραϕή της κίνησης από την οποία να απορρέουν οι µαθηµατικές προτάσεις των νόµων του Νεύτωνα. Για να απαντήσουµε στα ερωτήµατα, ϑα χρειαστεί να µελετήσουµε το πεί- ϱαµα κατά το οποίο ένα σωµατίδιο ϱίπτεται κατακόρυϕα και εκτελεί ελεύθερη κίνηση ανάµεσα σε δύο ϑέσεις, µέσα σε ένα ϐαρυτικό πεδίο σε χρονικό διάστηµα t = t t 1, όπως φαίνεται στο πρώτο διάγραµµα. Η τροχιά αυτή είναι η πραγµατική. Εστω τώρα, σε επανάληψη της ϱίψης, ότι το σώµα αυτό ξεκινάει και καταλήγει στις ίδιες ϑέσεις όπως πριν και στις ίδιες χρονικές στιγµές, όµως εκτελεί διαϕορετική κίνηση - δηλαδή διαγράϕει διαϕορετική τροχιά, όπως φαίνεται στο δεύτερο διάγραµµα. Η τροχιά αυτή είναι φανταστική. 31

32 Πραγµατική τροχιά σωµατιδίου Φανταστική τροχιά σωµατιδίου Αν υπολογίσουµε την ποσότητα της κινητικής ενέργειας µειωµένη κατά τη δυναµική ενέργεια και έπειτα την ολοκληρώσουµε ως προς το χρόνο µε άκρα τις χρονικές στιγµές t 1 και t για τις δύο διαϕορετικές περιπτώσεις, ϑα ϐρούµε ότι για τη φανταστική τροχιά η τιµή ϑα ϐγαίνει µεγαλύτερη. Αυτό ϑα συµβαίνει και για οποιαδήποτε άλλη φανταστική τροχιά επιλέξουµε. Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται δράση και η πραγµατική τροχιά είναι αυτή που την ελαχιστοποιεί. Για παράδειγµα, για να ϐρούµε την πραγµατική τροχιά στην οποία ταξιδεύει ένα σωµατίδιο αρκεί να υπολογίσουµε όλες τις πιθανές τροχιές όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα και να διαπιστώσουµε ποια είναι αυτή που ελαχιστοποιεί τη δράση. Πιθανές τροχιές σωµατιδίου α- νάµεσα σε δυο χρονικές στιγ- µές. Η αρχή της ελαχίστης δράσης για µεταβολές που συντελούνται στη φύση, η δράση που απαιτείται είναι πάντα η ελάχιστη δυνατή, φιλτράρει τις υποψήϕιες τροχιές και εξάγει την πραγµατική. Η διαδικασία αυτή για την εύρεση της πραγµατικής τροχιάς είναι αρκετά επίπονη και φυσικά κάθε άλλο παρά πρακτική. Ευτυχώς υπάρχει άλλη µέθοδος την οποία και ακολουθούµε. Πριν αναλύσουµε τη µέθοδο αυτή ας εξετάσουµε λίγο την ποσότητα, από την ολοκλήρωση της οποίας, προκύπτει η δράση. Η µαθηµατική έκϕραση της δράσης είναι η κάτωθι : S = t t 1 Lqt, qtdt.1 3

33 όπου qt η ϑέση του σωµατιδίου και qt η ταχύτητά του. Η συνάρτηση L, που εξαρτάται από τις παραπάνω ποσότητες, ονοµάζεται λανγκρατζιανή. Στις απλές εϕαρµογές όπως παραπάνω στη ϱίψη σωµατιδίου σε ϐαρυτικό πεδίο, όπου έχουµε διατηρητικό σύστηµα, η λαγκρατζιανή ορίζεται ως το αποτέλεσµα της αϕαίρεσης της δυναµικής ενέργειας από την κινητική, L = T V. Επανερχόµαστε λοιπόν στην αναζήτηση µιας µεθόδου που να µας επιτρέπει να αποϕύγουµε τη διερεύνηση όλων των πιθανών σεναρίων που είναι πιθανό να πραγµατοποιήσει το σωµατίδιο. Η εναλλακτική αυτή προσέγγιση γίνεται µέσω του λογισµού των µεταβολών και οι Euler-Langrange καταϕέρνουν να φτάσουν σε µια µαθηµατική διατύπωση κατά την οποία µπορεί να γίνει πρό- ϐλεψη των ϑέσεων που ϑα καταλάβει ένα σωµατίδιο στο µέλλον. Οταν µελετούµε τη συνάρτηση µιας ποσότητας, όπως η ϑερµοκρασία, η οποία παρουσιάζει ελάχιστο, µια από τις ιδιότητες του ακρότατου µας λέει ότι αν µετακινηθούµε από το σηµείο αυτό µε µεταβολή πρώτης τάξης, τότε η απόκλιση της συνάρτησης από το ελάχιστο είναι µόλις δεύτερης τάξης. Σε οποιοδήποτε άλλο σηµείο της καµπύλης, µια µεταβολή πρώτης τάξης, αλλάζει την τιµή της συνάρτησης επίσης σε πρώτη τάξη. Οµως, σε ελάχιστο µια µικρή µεταβολή δεν µεταβαλλει την τιµή της συνάρτησης σε προσέγγιση πρώτης τάξης. Βέβαια στην περίπτωση αυτή δεν έχουµε µια απλή συνάρτηση που ε- ξαρτάται από το χρόνοόπως η ϑερµοκρασία αλλά συνάρτηση της συνάρτησης qt ένα συναρτησιακό της qt. Βασιζόµενοι στο παραπάνω επιχείρηµα, οι δύο επιστήµονες συνέχισαν στην εύρεση της πραγµατικής τροχιάς. ηλαδή, υπέθεσαν αναλογικά όσον αϕορά την περίπτωση της απλής συνάρτησης-ϑερµοκρασίας ότι αν απαιτήσουµε την πραγµατική καµπύλη, τότε η καµπύλη που διαϕέρει µόλις λίγο από αυτή δε ϑα δηµιουργεί αλλαγή στη δράση σε προσέγγιση πρώτης τάξης. ηλαδή, ϑεω- ϱώντας µια µεταβολή : qt q t = qt + δqt, η αλλαγή αυτή στη δράση δίνεται από τη σχέση : δs = t Χρησιµοποιώντας τη συνθήκη : η παραπάνω εξίσωση γίνεται : δs = t t 1 t 1 L qt δqt + δ qt = dδqt dt L qt δqt + L qt δ qt dt. L qt.3 dδqt dt.4 dt και ολοκληρώνοντας το δεύτερο όρο κατά µέλη προκύπτει : t L δs = δqt t 1 qt d [ ] L L t dt + dt qt qt δqt.5 t 1 33

34 εδοµένου όµως ότι όλες οι πιθανές τροχιές ξεκινούν και καταλήγουν τη στιγµή t 1 και t αντίστοιχα, σηµαίνει ότι δqt 1 = δqt =. Οπότε η µεταβολή της δράσης ϑα είναι τώρα : t L δs = δqt qt d L dt =.6 dt qt t 1 Αϕού όµως η παραπάνω εξίσωση πρέπει να ισχύει για κάθε αυθαίρετη µετα- ϐολή, αυτό σηµαίνει πως η παρένθεση πρέπει να είναι αυτή που µηδενίζεται : L qt d L dt qt =.7 Αυτή αποτελεί την περίϕηµη εξίσωση κίνησης Euler-Langrange, η λύση της οποίας είναι η πραγµατική τροχιά του σωµατιδίου. Μια απλή εϕαρµογή µε την οποία φαίνεται η χρησιµότητα της παραπάνω εξίσωσης, είναι να ϑεωρήσουµε τη λαγκρατζιανή ενός σωµατιδίου σε ένα ϐα- ϱυτικό πεδίο, δηλαδή : L = T V = 1 mẋ V x και όπου q = x και να την αντικαταστήσω στην εξίσωση Euler-Langrange. Αυτοµάτως προκύπτει : V x x 1 m d ẋ dt ẋ =.8 Κάνοντας τις πράξεις : V x = 1 d mẋ.9 x dt και καταλήγουµε στο δεύτερο νόµο του Νεύτωνα : F = mẍ.1 Αξίζει να σηµειωθεί ότι µόλις αποδείξαµε ότι οι νόµοι του Νεύτωνα που αποτελούν αξιώµατα στη νευτώνεια φυσική, µέσω της λαγκρατζιανής αντιµετώπισης απορρέουν αβίαστα από την εξίσωση των Euler-Langrange. Τέλος, πολύ ση- µαντικό πλεονέκτηµα της λανγραντζιανής διατύπωσης είναι ότι δεν είµαστε υποχρεωµένοι να ϑεωρήσουµε ένα συγκεκριµένο σύστηµα αναϕοράς 1.. Λανγκρατζιανή διατύπωση σε ϑεωρία πεδίων Για να προσεγγίσουµε την περιγραϕή ενός πεδίου µε κάποια εξίσωση πα- ϱόµοια της Euler-Langrange, ϑα ξεκινήσουµε µελετώντας ένα σύστηµα που αποτελείται από Ν µάζες και ϑα το επεκτείνουµε στο όριο όπου N, για παράδειγµα µια χορδή. ηλαδή, ένα σύστηµα που έχει ένα πολύ µεγάλο νούµερο διακριτών ϐαθµών ελευθερίας σηµειακές µάζες, ϑα το προσεγγίσουµε σαν ένα σύστηµα συνεχούς ϐαθµού ελευθερίας, δηλαδή ένα πεδίο, 1 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.73 34

35 για το οποίο η µετατόπιση ϑα δίνεται για οποιοδήποτε σηµείο από τη συνεχή συνάρτηση ϕ x, t. Στην περίπτωση αυτή του συνεχούς, η δράση ϑα είναι : S = L dt.11 όπου L = L dx.1 όπου η ποσότητα L ονοµάζεται λαγκρατζιανή πυκνότητα. µε αυτή ϑα δουλεύουµε από εδώ και πέρα όσον αϕορά στα πεδία, και ϑα αναϕερόµαστε σε αυτή απλά ως λαγκρατζιανή. Οπως αναϕέρεται παραπάνω στην περίπτωση του διακριτού η λανκγρατζιανή εξαρτάται από τη µετατόπιση και από τη χρονική της παράγωγο. Στην περίπτωση του συνεχούς πεδίο η λανγκρατζιανή εξαρτάται από τα παραπάνω αλλά εξαρτάται και από τη χωρική παράγωγο της µετατόπισης. ηλαδή : ϕ L = Lϕ, ϕ, x.13 ή αλλιώς σε σχετικιστική διατύπωση : L = Lϕ, ϕ x µ = Lϕ, µ ϕ.14 Συνεπώς η.11 ϑα είναι : S = L ϕ, ϕ ϕ, dt dx.15 x Για να καταλήξουµε στην εξίσωση πεδίου Euler-Langrange, E-L ξεκινάµε πάλι από την ίδια ϑεµελιώδη αρχή ότι στην πραγµατική διαδροµή η µεταβολή της δράσης ϑα είναι. Εργαζόµαστε σε µια διάσταση για λόγους ευκολίας και στο τέλος ϑα επεκτείνουµε το αποτέλεσµα στις τρεις διαστάσεις. Θεωρώντας λοιπόν τη µεταβολή ϕx ϕ x = ϕx + δϕx, η µεταβολή στη δράση από την εξίσωση.15 ϑα είναι : δs = dt [ L L δϕ + ϕ ϕ δ ϕ + ] L ϕ/ x δ ϕ/ x dx =.16 Σπάζοντας το άθροισµα εντός του ολοκληρώµατος σε επι µέρους ολοκληρώ- µατα, προκυπτει : δs = L δϕ dt dx + ϕ Λαµβάνοντας λοιπόν υπ οψη ότι : L ϕ δ ϕ dt dx + L δ ϕ/ x dt dx = ϕ/ x.17 δ ϕ = ϕ ϕ t t = ϕ ϕ + δϕ t t = ϕ t + δϕ ϕ t t = δϕ t.18 35

36 δ ϕ x = ϕ ϕ x x = ϕ ϕ + δϕ x x = ϕ x + δϕ x ϕ x = δϕ x.19 η.17 γίνεται : L L L δs = δϕ dt dx + δϕ dt dx + δϕ dt dx ϕ ϕ/ t t ϕ/ x x. και εκτελώντας παραγοντική ολοκλήρωση του δϕ/ t δεύτερος όρος ως προς t και παροµοίως του δϕ/ x τρίτος όρος ως προς x γίνεται : [ ] L L δs = δϕ dt dx + ϕ ϕ/ t t δϕ L δϕ dt dx t ϕ/ t [ ] L + ϕ/ x x δϕ L δϕ dt dx.1 x ϕ/ x και διώχνοντας χωρίς να προκαλείται κάποιο πρόβληµα στην περίπτωση αυτή τους επιϕανειακούς όρους, προκύπτει : ] L δs = dt dx δϕ [ L ϕ t ϕ x L ϕ/ x =. Επειδή το δϕ είναι αυθαίρετο, για το µηδενισµό της παραπάνω εξίσωσης α- παιτείται η παρένθεση εντός του ολοκληρώµατος να µηδενίζεται. Συνεπώς, προκύπτει η εξίσωση πεδίου Euler-Langrange. L ϕ L t ϕ L =.3 x ϕ/ x Επεκτείνοντας στις 3-διαστάσεις, όπου / x, η E-L ϑα ναι : L ϕ L t ϕ L ϕ =.4 Για σχετικιστικά πεδία η παραπάνω εξίσωση στην αναλλοίωτη µορϕή της γράφεται ως : L ϕ L µ µ ϕ =.5 Οπότε, για κάθε περίπτωση ϑα πρέπει να κατασκευάσουµε µια σχετικιστικά αναλλοίωτη λανκγρατζιανή πυκνότητα για κάποιο πεδίο φ και µέσω της εξίσωσης E-L, ϑα παίρνουµε κάθε φορά την αντίστοιχη εξίσωση κίνησης. Επί παραδείγµατι, αντικαθιστώντας την αναλλοίωτη λαγκρατζιανή L = 1 µϕ µ ϕ 1 m ϕ.6 36

37 ϑα καταλήξουµε στην εξίσωση κίνησης του πεδίου αυτού : Η παραπάνω εξίσωση γράϕεται για διευκόλυνση στον υπολογισµό των παραγωγίσεων: L = 1 ϕ ϕ 1 ϕ 1 ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 3 ϕ 1 m ϕ.7 Υπολογίζουµε τώρα τις παραγώγους που υπεισέρχονται στην εξίσωση E-L: ˆ ˆ L µ ϕ = L ϕ = 1 ϕ m ϕ = m ϕ.8 1 µ ϕ µϕ µ ϕ = µ ϕ.9 Η τελευταία παραγώγιση προέκυψε αβίαστα υπολογίζοντας ξεχωριστά το χρονικό και το χωρικό κοµµάτι : L ϕ = L i ϕ = 1 ϕ ϕ = ϕ = ϕ.3 1 i ϕ iϕ = i ϕ = i ϕ.31 Αντικαθιστώντας στη σχετικιστική εξίσωση E-L.5 τα αποτελέσµατα των πα- ϱαγωγίσεων από τις.8 και.9, προκύπτει η Ϲητούµενη εξίσωση κίνησης. µ µ ϕ = m ϕ.3 η οποία είναι η σχετικιστική εξίσωση κίνησης σωµατιδίου µάζας m, χωρίς σπιν, που µελετήθηκε στο πρώτο κεϕάλαιο, η Klein-Gordon..3 Θεώρηµα Noether, συµµετρίες και νόµοι διατή- ϱησης Η γερµανίδα µαθηµατικός Emmy Noether ϑεωρείται µια από τις µεγαλύτε- ϱες γυναικείες προσωπικότητες στον τοµέα των µαθηµατικών. Το οµώνυµο ϑεώρηµα που δηµοσίευσε το 1915 την ανέδειξε και ως σπουδαία µορϕή της ϑεωρητικής φυσικής. Με το ϑεώρηµα της αυτό καταϕέρνει να συνδέσει τις δυναµικές συµµετρίες που διέπουν ένα σύστηµα µε νόµους διατήρησης διατηρούµενες ποσότητες. Το ϑεώρηµα λέει ότι κάθε συµµετρία της φύσης συνεπάγεται ένα νόµο διατήρηρσης, και αντίστροϕα, κάθε νόµος διατήρησης αποκαλύπτει την ύπαρξη κάποιας υποκείµενης συµµετρίας. Με άλλα λόγια Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.3 37

38 το ϑεώρηµα της Noether δηλώνει ότι αν η λανγκρατζιανή ενός φυσικού συστήµατος δεν επηρεάζεται από µεταβολές στο σύστηµα συντεταγµένων από το οποίο περιγράϕεται, τότε ϑα υπάρχει και ένας αντίστοιχος νόµος διατήρησης. Για παράδειγµα, αν η λαγκρατζιανή είναι ανεξάρτητη από τη ϑέση της αρχής των αξόνων τότε το σύστηµα διατηρεί την ορµή του µε την πάροδο του χρόνου. Αν είναι ανεξάρτητη από την αρχική χρονική στιγµη, τότε η διατηρούµενη ποσότητα είναι η ενέργεια και αν είναι ανεξάρτητη από τη γωνία µέτρησης, τότε διατηρείται η στροϕορµή. Το ϑεώρηµα αυτό δεν αρκείται στο να συνδέσει τις παραπάνω συµµετρίες µε κάποια διατηρούµενη ποσότητα. αλλά έχει γενικότερη ισχύ. Αυτό γιατί µας πληροϕορεί ότι αν ένας µετασχηµατισµός έστω συνεχής του συστήµατος συντεταγµένων ικανοποιεί µια συγκεκριµένη συνθήκη, τότε απαραίτητα ϑα υ- πάρχει µια ποσότητα που να διατηρείται. Η ακριβής αυτή ποσότητα µπορεί να µην είναι γνωστή αλλά παρ όλα ταύτα, είναι γνωστό ότι υπάρχει. Επίσης, υπάρχουν και κάποιες πρόσθετες συµµετρίες, οι διακριτές συµµετρίες, των οποίων οι µετασχηµατισµοί είναι διακριτοί χρήση ακεραίων αριθµών και όχι παραγµατικών. Μια χαρακτηριστική τέτοια συµµετρία είναι η συµµετρία αναστροϕής χώρου, της οποίας ο αντίστοιχος κβαντικός αριθµός ±1, η οµοτιµία, διατηρείται εκτός από την περίπτωση των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Για να αναδείξουµε τη χρησιµότητα του παραπάνω ϑεωρήµατος, αρχικά ας µελετήσουµε συµµετρίες µιας κλασικής λαγκρατζιανής. Επειτα ϑα περάσουµε και σε λανγκρατζιανή πυκνότητα σωµατιδιακής ϑεωρίας πεδίου. Εστω λοιπόν, η µεταβολή qt q t = qt + δqt στην Lq, q, όπου δqt = ϵf qt. Η F qt είναι µια τυχαία συνάρτηση που καθορίζεται κάθε φορά απο τη µεταβολή που ϑέλουµε να επιβάλουµε και ϵ µια απειροστή ποσότητα. Εξετάζουµε αρχικά εάν η λαγκρατζιανή παραµένει αµετάβλητη κάτω από αυτή τη µεταβολή. Αν ναι, αυτό σηµαίνει ότι πρόκειται για ένα µετασχηµατισµό συµµετρίας. Αποδεικνύεται παρακάτω ότι µε τη ϐοήθεια της αναλλοιώτητας της L δl = και της.3, προκύπτει µια σταθερή ποσότητα Q ως προς το χρόνο η οποία αποτελεί ένα διατηρούµενο φορτίο. Κατάρχήν, η µεταβολή της Lq, q µε την εϕαρµογή της.18 είναι : δl = L q δq + L q δ q = L q και λαµβάνοντας υπ οψη την.3 έχουµε : δl = d dt L q δq + L q δq + L q d δq =.33 dt d δq =.34 dt από την οποία συµπτύσσοντας παίρνουµε : d L dt q δq =.35 }{{} ϵq 38

39 Θέτοντας την ποσότητα εντός της παρένθεσης ίση µε ϵq, διαπιστώνουµε πως αυτή αποτελεί ένα διατηρούµενο φορτίο, µια ποσότητα δηλαδή αναλλοίωτη στο πέρασµα του χρόνου. Και επειδή δq = qt + ϵf qt qt = ϵf qt, το διατηρούµενο φορτίο προκύπτει : ϵq = L L δq = q q ϵf Q = L q F.36 Εϕαρµογή της παραπάνω γενικής µεθόδου αποτελεί η εξαγωγή του νόµου διατήρησης της ορµής ενός συστήµατος του οποίου η λαγκρατζιανή εξαρτάται µόνο από την ταχύτητα και όχι από τη ϑέση, δηλαδή L = L q. Μ αλλα λόγια, η λαγκρατζιανή αυτή παραµένει αναλλοίωτη κάτω από το µετασχηµατισµό qt q t = qt + ϵ έχει δηλαδή συµµετρία µετατόπισης στη ϑέση, όπου ϵ κάποια σταθερά και η συνάρτηση F qt = 1. Επειδή δq = qt+ϵ qt = ϵ, η σταθερά της κίνησης ϑα είναι και λόγω της.36: ϵq = L L δq = q q ϵ Q = L q = p.37 όπου σύµϕωνα µε τη χαµιλτονιανή µηχανική, χρησιµοποιήθηκε ότι η γενικευµένη ορµή είναι p = L/ q. Επίσης, η χαµιλτονιανή ορίζεται ως Hp, q = p q L. Με παρόµοια επιχειρηµατολογία οδηγούµαστε σε αντίστοιχα αποτελέσµατα στην περίπτωση που τώρα εργαζόµαστε µε τη λαγκρατζιανή πυκνότητα ενός πεδίου. Βέβαια εδώ οι συµµετρίες, οι µετασχηµατισµοί των οποίων αϕήνουν τη λαγκρατζιανή αµετάβλητη, συνεπάγονται την ύπαρξη διατηρούµενων ϱευ- µάτων j µ = ρ, j, δηλαδή µ j µ =.38 Είναι ωστόσο προϕανές, ότι η ύπαρξη διατηρούµενου ϱεύµατος, συνεπάγεται την ύπαρξη ενός διατηρούµενου φορτίου, το οποίο ορίζεται : Qt = j t, x d 3 x = ρt, x d 3 x.39 V V Οµως ο µηδενισµός το εσωτερικού γινοµένου της.38 είναι η γνωστή εξίσωση συνέχειας : j t + j =.4 Παίρνοντας λοιπόν τη χρονική παράγωγο της.39, έχουµε : dq dt = V j t d3 x = V 39 j d 3 x = j da.41 A

40 όπου χρησιµοποιήσαµε στο δεύτερο ϐήµα την εξίσωση συνέχειας και στο τρίτο το ϑεώρηµα απόκλισης του διανυσµατικού λογισµού. Επειδή ϑεωρούµε ότι για πολύ µεγάλο όγκο V το ϱεύµα µηδενίζεται στην επιϕάνεια A που περικλείει τον όγκο V, δεν υπάρχει ϱεύµα που να ϱέει διαµέσου της επιϕάνειας κι εποµένως το παραπάνω επιϕανειακό ολοκλήρωµα µηδενίζεται. Ετσι προκύπτει ότι το φορτίο Q είναι ανεξάρτητο από το χρόνο, δηλαδή είναι µια ποσότητα που διατηρείται. dq dt =.4 Θεωρούµε λοιπόν σε αντιστοιχία µε την περίπτωση της κλασικής λαγκρατζιανής µια µεταβολή του πεδίου ϕx ϕ x = ϕx + δϕx. Θεωρώντας ότι δϕx = ϵhϕx, όπου Hϕx είναι µια συνάρτηση που καθορίζεται κάθε φορά από το είδος της µεταβολής που επιβάλουµε και ϵ µια απειροστή ποσότητα. Με εργαλεία την αναλλοιώτητα της Lϕ, µ ϕ πρόκειται δηλαδή για µετασχηµατισµό συµµετρίας και την εξίσωση E-L.5, η µεταβολή της Lϕ, µ ϕ ϑα δίνει : Οµως, λόγω του ότι δl = L ϕ δϕ + L µ ϕ δ µϕ =.43 δ µ ϕ = µ ϕ µ ϕ = µ ϕ + µ δϕ µ ϕ = µ δϕ.44 η παραπάνω εξίσωση γίνεται : δl = L ϕ δϕ + L µ ϕ µδϕ =.45 Μέσω της εξίσωσης.5, συνεπάγεται ότι : L δl = µ µ ϕ δϕ + L µ ϕ µδϕ =.46 Συµπτύσσοντας τους δύο όρους ως παράγωγο γινοµένου η παραπάνω γίνεται : [ ] L δl = µ µ ϕ δϕ =.47 }{{} ϵj µ Αντικαθιστώντας το δϕ = ϵhϕx και ορίζοντας την ποσότητα εντός της πα- ϱένθεσης ίση µε ϵj µ, παίρνουµε το διατηρούµενο ϱεύµα αϕού καταλήξαµε σε µια εξίσωση της µορϕής µ j µ = : ϵj µ = L µ ϕ δϕ = L µ ϕ ϵh j µ = L µ ϕ H.48 4

41 Οταν δεν πρόκειται για µετασχηµατισµό συµµετρίας, δηλαδή η µεταβολή της λαγκρατζιανής δεν είναι µηδέν, πάλι µπορούµε να εξαγάγουµε ένα διατηρού- µενο ϱεύµα. Γενικότερα, επιτρέπεται η δράση να αλλάζει για έναν επιϕανειακό όρο, αϕού η παρουσία του όρου αυτού δε ϑα επηρέαζε την εξαγωγή της εξίσωσης κίνησης E-L. Εποµένως η λάνγκρατζιανή ϑα πρέπει να είναι αναλλοίωτη κάτω από µια 4-µεταβολή : L L = L + α µ I µ.49 για κάποιο τυχαίο I µ3. Η µεταβολή της λαγκρατζιανής ϑα είναι : δl = α µ I µ.5 Οπότε από την.47 και δεδοµένου ότι το διατηρούµενο ϱεύµα υπάρχει και ικανοποιεί την εξίσωση µ j µ =, προκύπτει ότι : [ ] L δl = µ µ ϕ δϕ j µ = L µ ϕ δϕ Iµ.51 Εϕαρµογή της παραπάνω επεξεργασίας, αποτελεί να ϑεωρήσουµε µια µετα- ϐολή της µορϕής x µ x µ = x µ + ϵ µ µετατόπιση στο χωρόχρονο, όπου το ϵ µ είναι ένα απειροστό και σταθερό 4-διάνυσµα. Η µεταβολή αυτή επιϕέρει την εξής µεταβολή στο πεδίο : ϕx µ ϕ x µ = ϕx µ + ϵ µ ϕx µ + ϵ µ µ ϕx µ.5 Με την επιβολή αυτής της µεταβολής, υποθέτουµε ότι η λαγκρατζιανή L = Lϕ, µ ϕ ϑα µετασχηµατίζεται µε τον ίδιο τρόπο επειδή είναι και αυτή ϐαθ- µωτή όπως η µεταβολή των πεδίων. Συνεπώς : L L = L + ϵ µ µ L = L + ϵ ν µ δ µ ν L.53 Στο παράδειγµα αυτό, η µεταβολή της λαγκρατζιανής ϐγαίνει µη µηδενική εποµένως δεν πρόκειται για κάποιον µετασχηµατισµό συµµετρίας: δl = µ ϵ ν δ µ ν L.54 Εποµένως σύµϕωνα µε την εξίσωση.51, το διατηρούµενο ϱεύµα ϑα είναι : ϵ ν j µ ν = L µ ϕ ϵν δ µ ν L j µ ν = L µ ϕ νϕ δ µ ν L.55 Συνεπώς ϑα υπάρχει και ένα διατηρούµενο φορτίο : p ν = jν d 3 x.56 Το διατηρούµενο αυτό φορτίο είναι η 4-ορµή και γιάυτό το διατηρούµενο ϱεύµα λέµε πως ορίζει τον τανυστή ενέργειας-ορµής. 3 Peskin and Schroeder:Introduction to quantum field theory, p.17 41

42 .4 Εκτεταµένοι και τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθ- µίδας Πολύ σηµαντικό ϱόλο για τη διατύπωση µιας κβαντικής ϑεωρίας πεδίου παί- Ϲουν οι µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας. Η σηµαντικότητα τους ϑα εκδηλωθεί αργότερα στην περιγραϕή των αλληλεπιδράσεων που συµβαίνουν στη φύση. Στο επόµενο κεϕάλαιο ϑα αναλύσουµε το πως µέσω των ϑεωριών ϐαθµίδας, µας παρέχεται ένας ενιαίος φορµαλισµός που περιγράϕει τις κβαντικές ϑεωρίες πεδίου του ηλεκτροµαγνητισµού, των ασθενών αλλά και ισχυρών αλληλεπιδράσεων και το πως από αυτές συνάγεται ένα συλλογικό µοντέλο, το καθιερωµένο πρότυπο. Εδώ προς το παρόν ϑα µελετήσουµε εκτεταµένους και τοπικούς µετασχη- µατισµούς ϐαθµίδας πάνω σε κάποιες ενδεικτικές λανγκρατζιανές και ϑα ερ- µηνεύσουµε τα αποτελέσµατα που προκύπτουν. Ξεκινώντας, ϑεωρούµε τη λαγκρατζιανή πυκνότητα ενός ελεύθερου σω- µατιδίου Dirac, µάζας m: στην οποία επιβάλουµε το µετασχηµατισµό L = i ψγ µ µ ψ mψ ψ.57 ψ ψ = e iα ψ.58 ο οποίος επιϕέρει ταυτόχρονα τις παρακάτω µετατροπές : ˆ ψ ψ = e iα ψ ˆ µ ψ µ ψ = e iα µ ψ Οι µετασχηµατισµοί αυτού του είδους είναι γνωστοί σαν εκτεταµένοι µετασχη- µατισµοί ϐαθµίδας global gauge transformations, επειδή η παράµετρος α στο εκθετικό είναι σταθερή και αυτό υπονοεί ότι ο µετασχηµατισµός γίνεται παντού ταυτόχρονα. Εξετάζουµε τι συµβαίνει µετά την επιβολή του µετασχη- µατισµού στην παραπάνω λαγκρατζιανή : L = i e iα ψ γ µ µ e iα ψ m e iα ψ e iα ψ = e} iα {{ e iα } i ψγ µ µ ψ mψ ψ = L.59 }{{} =1 =L Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός αυτός την αϕήνει αναλλοίωτη πρόκειται για µετασχηµατισµό συµµετρίας. Το γεγονός αυτό, ότι δηλαδή δl =, µας οδηγεί στο να ϑεωρήσουµε ότι ϑα προκύπτει κάποιο ϱεύµα Noether και κατέπέκταση κάποιο διατηρούµενο φορτίο. Για να τα υπολογίσουµε ϑεωρούµε τον απειροστό µετασχηµατισµό της.58, που δίνεται από τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγµατος Taylor: ψ ψ = 1 + iαψ, και τον ενσωµατώνου- µε στη σχέση της µεταβολής της λαγκρατζιανής, στη σχέση δηλαδή.43. Οι 4

43 µεταβολές των πεδίων στην περίπτωση αυτή ϑα είναι : δψ = ψ ψ = iαψ και δ ψ = ψ ψ = iα ψ. Τονίζουµε ότι στην περίπτωση αυτή όµως ϑέλει λίγη παραπάνω προσοχή, αϕού πέρα από το πεδίο ψ, εµπλέκεται και το πεδίο ψ. Αυτό σηµαίνει πως πρέπει να γίνει άθροιση σε όλα τα εµπλεκόµενα πεδία : δl = L ψ δψ + L µ ψ δ µψ + L ψ δ ψ + L δ µ ψ µ ψ = L ψ iαψ + L µ ψ iα µψ + L ψ iα ψ + L iα µ ψ µ ψ = iα L ψ ψ + iα L µ ψ µψ + iα L ψ ψ + iα L µ ψ.6 µ ψ Με απώτερο σκοπό να σχηµατιστεί η εξίσωση E-L µέσα στην παραπάνω εξίσωση ώστε να λιγοστέψουν οι όροι, για το δεύτερο και τέταρτο όρο ισχύει : L µ µ ψ ψ L = µ µ ψ ψ + L µ ψ µψ L L µ ψ µψ = µ µ ψ ψ L µ µ ψ ψ.61 Οµοίως πράττουµε και για το πεδίο ψ και αντικαθιστούµε στην παραπάνω εξίσωση : δl = iα L L ψ ψ + iα µ µ ψ ψ L iα µ µ ψ ψ iα L ψ ψ L L iα µ ψ + iα µ ψ.6 µ ψ µ ψ Τα Ϲευγάρια πρώτος-τρίτος όρος και τέταρτος-έκτος µηδενίζονται λόγω της ε- ξίσωσης E-L.5. Συνεπώς προκύπτει : µ iα L µ ψ ψ iα L ψ =.63 µ ψ }{{} j µ Οπότε το διατηρούµενο ϱεύµα ϑα είναι : L j µ = ia µ ψ ψ L ψ µ ψ.64 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τη δοθείσα λαγκρατζιανή.57, υπολογίζεται το συσχετισµένο ϱεύµα Noether. Οι παραγωγίσεις δίνουν αναλυτικά : L µ ψ = L µ ψ = i ψγ µ µ ψ mψ µ ψ ψ = i ψγ µ i ψγ µ µ ψ mψ µ ψ =.65 43

44 Αντικαθιστώντας τώρα τις παραπάνω παραγωγίσεις στο παραπάνω ϱεύµα που καταλήξαµε, το υπολογίζουµε : j µ = α ψγ µ ψ.66 Αποτέλεσµα το οποίο ϐρίσκεται σε πλήρη συµϕωνία µε αυτό της εξίσωσης 1.7 αν αντιστοιχίσουµε τη σταθερά α µε το ηλεκτρικό φορτίο, το οποίο υπολογίστηκε ακολουθώντας διαϕορετική µεθοδολογία. Για να ϐρούµε το διατηρούµενο φορτίο που προκύπτει αρκεί να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα : Q = j d 3 x.67 Θέτοντας λοιπόν την πρώτη χρονική συνιστώσα του 4-διανύσµατος του ϱεύ- µατος στο ολοκλήρωµα και αν α = e, υπολογίζουµε, ενθυµούµενοι ότι ψ = ψ γ και ότι από τις ιδιότητες των γ-πινάκων γ = I: Q = e ψγ ψ d 3 x = e ψ γ γ ψ d 3 x = e ψ ψ d 3 x = e.68 } {{ } =1 ηλαδή, αποδείξαµε,όπως ήταν αναµενόµενο, ότι το διατηρούµενο φορτίο είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου e, το οποίο είναι ανεξάρτητο από το χρόνο. dq dt = d e =.69 dt Οπως αναϕέρεται και παραπάνω η καθολικότητα των εκτεταµένων µετασχηµατισµών, του είδους.58, οϕείλεται στο γεγονός ότι στο εκθετικό η παράµετρος α είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη ϑέση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία η παράµετρος α εξαρτάται από τη ϑέση και τη χρονική στιγµή 4-διάνυσµα της ϑέσης α = αx όπου στο πρόβληµα αυτό το x ϑεωρείται το x µ, απλά παραλείπεται το µ για λόγους συντοµίας. Κάτι τέτοιο συνάδει περισσότερο και µε το πνεύµα της σχετικότητας. Αυτοί οι µετασχηµατισµοί είναι γνωστοί ως τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας. Επιβάλοντας τον τοπικό µετασχηµατισµό ψ ψ = e iαx ψ, επιϕέρονται και οι παρακάτω µετασχηµατισµοί local gauge transformations. ˆ ψ ψ = e iαx ψ ˆ µ ψ µ ψ = e iαx µ ψ + ie iαx ψ µ α Ο τελευταίος όρος του παραπάνω µετασχηµατισµού χαλάει την αναλλοιότητα 44

45 της λαγκρατζιανής που επικρατούσε στην εκτεταµένη περίπτωση : L = i ψ γ µ µ ψ mψ ψ = ie iαx µ ψγ e iαx µ ψ + ie iαx ψ µ α e iαx e iαx mψ ψ = ie iαx ψγ µ e iαx µ ψ ψγ µ ψ µ α mψ ψ = i ψγ µ µ ψ mψ }{{ ψ } ψγ µ ψ µ α L = L ψγ µ ψ µ α δl = ψγ µ ψ µ α.7 Ενώ το παραπάνω αποτέλεσµα εκϕράζει ϱητά τη µη αναλλοιότητα της λαγκρατζιανής, εµείς ϑέλουµε η συµµετρία ϐαθµίδας που αντιστοιχούσε στην εκτεταµένη περίπτωση να επεκτείνεται και στην τοπική. Από µια σύγχρονη οπτική γωνία η συµµετρία ϐαθµίδας αναλλοιότητα λαγκρατζιανής δεν είναι συµπτωµατική αλλά ϑεµελιώδης αρχή της φυσικής. Κάτω από αυτές λοιπόν τις συνθήκες, απαιτούµε αξιωµατικά η λαγκρατζιανή να είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς. Αυτό σηµαίνει ότι ϑα χρειαστεί να γίνουν κάποιες τροποποιήσεις έτσι ώστε ο όρος που περισσεύει, να εξαϕανίζεται. Ετσι, στη λαγκρατζιανή.57 επιβάλουµε την εξής µετατροπή : µ D µ µ + iea µ.71 Με τη µετατροπή αυτή ορίζουµε µία παράγωγο η οποία κάτω από το µετασχη- µατισµό φάσης παραµένει αναλλοίωτη, γι αυτό και ονοµάζεται αναλλοίωτη παράγωγος. Αυτή µετασχηµατίζεται ακριβώς όπως το πεδίο : D µ D µ ψ = e iαx D µ ψ.7 Στην.71 το e είναι κάποια ελεύθερη παράµετρος που ϑα την ταυτοποιήσουµε αργότερα µε το ηλεκτρικό φορτίο και το A µ είναι το διανυσµατικό πεδίο ϐαθµίδας µποζόνιο το οποίο µετασχηµατίζεται ως εξής : A µ A µ = A µ + 1 e µα.73 Ετσι, αντικαθιστώντας στην.57 την αναλλοίωτη παράγωγο στη ϑέση της απλής, επιτυγχάνουµε την αναλλοιώτητα της λαγκρατζιανής : L = i ψ γ µ D µ ψ mψ ψ = ie iαx ψγ µ e iαx D µ ψ me iαx e iαx ψ ψ = i ψγ µ D µ ψ mψ ψ = L.74 Ετσι λοιπόν κατορθώσαµε όλο το µηχανισµό ακύρωσης του περιττού όρου της.7 να το ϑάψουµε µέσα στην αναλλοίωτη παράγωγο. Συνεπώς η νέα 45

46 ϐελτιωµένη λαγκρατζιανή που περιγράϕει ένα σωµατίδιο Dirac µάζας m και ταυτόχρονα τηρεί την αναλλοιώτητα είναι : L = i ψγ µ µ iea µ ψ m ψψ = i ψγ µ µ ψ mψ ψ + e ψγ µ ψa µ.75 Συνεπώς, κερδίζοντας την πολυπόθητη αναλλοιώτητα κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς έπρεπε να πληρώσουµε το τίµηµα : την εισαγωγή ενός διανυσµατικού πεδίου πεδίου ϐαθµίδας το οποίο συζευγνύεται µε το σωµατίδιο Dirac µε το σπίνορά του ψ για την ακρίβεια, όπως φανερώνει ο τελευταίος όρος της.75. Η µορϕή αυτή ϐέβαια της λαγκρατζιανής δεν είναι ακόµα η τελική. Για να είναι το A µ ένα διανυσµατικό πεδίο που διαδίδεται, για παράδειγ- µα ένα φυσικό φωτονικό πεδίο ϑα πρέπει να υπακούει και αυτό µε τη σειρά του σε κάποια ελεύθερη λαγκρατζιανή που ως γνωστό αποτελείται από ένα κινητικό και ένα δυναµικό όρο. Προκειµένου να παραµένει αναλλοίωτη η λαγκρατζιανή κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς, ϑα πρέπει το πεδίο να είναι άµαζο, δηλαδή να µην περιέχει όρους µάζας 1 m A µ A µ, οι οποίοι δεν παραµένουν αναλλοίωτοι δυναµικοί όροι. Θα πρέπει λοιπόν στη λανγκραντζιανή µας απλά να εισάγουµε έναν αναλλοίωτο κινητικό όρο, σε αναλογία µε τον κινητικό όρο 1 µϕ της.6, ο οποίος ϑα είναι επίσης αναλλοίωτος και ως προς το µετασχηµατισµό του πεδίου.73. Εποµένως, ο µοναδικός υποψήϕιος που ϑα µπορεί να περιέχει είναι ο τανυστής δύναµης πεδίου. F µν = µ A ν ν A µ.76 Συνεπώς η πλήρης λαγκρατζιανή του συστήµατός µας ϑα είναι : L = ψiγ µ µ mψ + e ψγ µ A µ ψ 1 4 F µνf µν = ψiγ µ µ mψ j µ A µ 1 4 F µνf µν.77 Ο πρώτος όρος είναι η ελεύθερη λαγκρατζιανή του ηλεκτρονίου, ο δεύτερος όρος υποδηλώνει την αλληλεπίδραση του ηλεκτρονίου µέσω του ϱεύµατος του µε το διανυσµατικό πεδίο φωτονιακό πεδίο και ο τρίτος είναι η ελεύθερη λαγκρατζιανή διανυσµατικού πεδίου του φωτονιακού πεδίου όπου επικρατεί όπως προείπαµε µόνο ο κινητικός όρος. Συµπερασµατικά, η τοπική µεταβολή της φάσης, δηµιουργεί διαϕορές φάσης οι οποίες ϑα ήταν παρατηρήσιµες αν δεν εξαλείϕονταν. Η εξαϕάνιση των διαϕορών αυτών συνέβη µε την εισαγωγή ενός νέου πεδίου, του φωτονικού πεδίου A µ. Το πεδίο ϐαθµίδας προκύπτει άµαζο, αποτέλεσµα σε πλήρη αντιστοιχία µε τη φύση, όπου η µάζα του φωτονίου όντως είναι µηδεν. Τελικά, επιβάλοντας την αναλλοιώτητα της λαγκρατζιανής ελεύθερου φερ- µιονίου στην περίπτωση τοπικών µετασχηµατισµών, οδηγηθήκαµε στη ϑεωρία πεδίου αλληλεπιδράσεων της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. 46

47 Η παραπάνω ανάλυση αποτελεί ειδική περίπτωση µιας γενικότερης µεθοδολογίας. Γενικότερα λοιπόν, εάν ένα σωµατίδιο φέρει κάποιο διαϕορετικό φορτίο και η λανγκραντζιανή παραµένει αναλλοίωτη κάτω από διαϕορετικούς τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας, τότε ϑα προκύπτουν διανυσµατικά πεδία διανυσµατικά πεδία ϐαθµίδας και τα αντίστοιχα σωµατίδια τα κβάντα του εκάστοτε πεδίου µε σπιν 1 που ονοµάζονται µποζόνια ϐαθµίδας, τα οποία ϑα είναι οι φορείς κάποιων διαϕορετικών αλληλεπιδράσεων. Κινούµενοι λοιπόν σε αυτό το γενικό πλαίσιο -κάνοντας ουσιαστικά µια εισαγωγή για το κεϕάλαιο που ακολουθεί- για κάποιο τυχαίο πεδίο ψ ϑα ισχύει : ψ ψ = Uψ.78 όπου U είναι ένας µοναδιακός µετασχηµατισµός συµµετρίας ϑα αϕήνει την αντίστοιχη L αναλλοίωτη που επιβάλεται πάνω στο πεδίο. Εποµένως, πρέπει να ορίσουµε µια συναλλοίωτη παράγωγο D µ ψ = µ + iga µ ψ.79 όπου g η σταθερά σύζευξης που ϑα µετασχηµατίζεται όπως το πεδίο : D µ D µ ψ = UD µ ψ.8 το οποίο πεδίο ϐαθµίδας ϑα µετασχηµατίζεται στη γενική περίπτωση : A µ A µ = UA µ U 1 + i g µuu 1.81 Ενδεικτικά, αν εξειδικεύσουµε και αντικαταστήσουµε U = e iαx και g = q εξάγεται πάλι ο µετασχηµατισµός ϐαθµίδας του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου, A µ A µ = A µ 1 q µαx..5 Συµµετρίες και ϑεωρία οµάδων Το κοµµάτι της άλγεβρας που αποτελεί απαραίτητο εργαλείο για τη µελέτη της φυσικής στοιχειωδών σωµατιδίων και ειδικότερα για τη συστηµατική µελέτη των συµµετριών είναι η ϑεωρία οµάδων. Συγκεκριµένα ϑα ασχοληθούµε εδώ µε το χτίσιµο ενός πλαισίου µέσα στο οποίο ϑα γενικεύσουµε την έννοια της συµµετρίας κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας. Κατάρχήν, για να µπορεί ένα σύνολο να ϑεωρείται οµάδα, πρέπει να πλη- ϱοί τις παρακάτω προυποθέσεις. ˆ Κλειστότητα : Π i Π j = Π k, δηλαδή το γινόµενο δύο στοιχείων του συνόλου είναι στοιχείο του συνόλου. ˆ Ταυτοτικότητα : Υπάρχει το ταυτοτικό στοιχείο I, έτσι που IΠ i = Π i I = Π i για όλα τα στοιχεία Π i 47

48 ˆ Αντίστροϕο : Για κάθε στοιχείο Π i υπάρχει το αντίστροϕό του Π 1 i, έτσι που Π i Π 1 i = Π 1 i Π i = I ˆ Προσεταιριστικότητα : Ισχύει Π i Π j Π k = Π i Π j Π k 4 Ενδεικτικά, εξετάζουµε την περίπτωση του συνόλου των παραγόντων φάσης U = e iαx, µε διµελή πράξη τον πολλαπλασιασµό, αν όντως είναι οµάδα, αν δηλαδή ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις : ˆ Uα 1 Uα = e iα 1 e iα = e iα 1+α = Uα 1 + α ˆ U = I ˆ U 1 α = U α : UαU 1 α = U 1 αuα = e iα e iα = I ˆ Uα 1 [Uα Uα 3 ] = [Uα 1 Uα ]Uα 3 Οπως αποδεικνύεται λοιπόν, όντως είναι οµάδα και ονοµάζεται οµάδαu1. Εάν τα στοιχεία µιας οµάδας χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της µετα- ϑετικότητας : Π i Π j = Π j Π i.8 τότε η οµάδα ονοµάζεται αβελιανή. Αν η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει, τότε ονοµά- Ϲεται µη αβελιανή. Η U1 εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αβελιανή : Uα 1 Uα = e iα 1 e iα = e iα e iα 1 = Uα Uα 1.83 Ισχύει επίσης ότι αν κάποιοι µετασχηµατισµοί αποτελούν µετασχηµατισµούς συµµετρίας ενός συστήµατος, τότε τα στοιχεία Π είναι ερµιτιανοί τελεστές. 5 Εκτός από την παραπάνω διάκριση των οµάδων σε αβελιανές-µη αβελιανές, αυτές διακρίνονται και σε δυο άλλες µεγάλες κατηγορίες, τις συνεχείς και διακριτές. 1Συνεχείς οµάδες Οι οµάδες, τα στοιχεία Π i των οποίων εξαρτώνται από µια ή περισσότερες συνεχείς παραµέτρους ονοµάζονται συνεχείς. Εστω ότι έχουµε n συνεχείς παραµέτρους ϵ α x, όπου α = 1,,...n, τότε για τα στοιχεία της οµάδας γράφουµε n Πϵ 1, ϵ,...ϵ n = exp i ϵ α F α.84 όπου F α είναι οι γεννήτορες της οµάδας του εκάστοτε µετασχηµατισµού. Στην περίπτωση που έχουµε µετασχηµατισµούς συµµετρίας, όπως προαναϕέρεται, 4 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.87 5 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.88 α=1 48

49 τα στοιχεία Π της οµάδας είναι µοναδιακοί τελεστές. Αυτή η µοναδιακότητα των τελεστών, συνεπάγεται την ερµιτιανότητα των γεννητόρων. Λόγου χάρη, η οµάδα ο µοναδιακός τελεστής που εκϕράζει τη συµµετρία µετατοπίσεων στο χρόνο µε στοιχεία Π = e it+t H.85 έχει ως γεννήτορα τον ερµιτιανό τελεστή της χαµιλτονιανής H. Οταν οι παράµετροι ϵ α παίρνουν απειροστές τιµές ϵ α 1, τότε η.84 αναπτύσσεται κατά Taylor: Πϵ 1, ϵ,...ϵ n = I + i n ϵ α F α.86 Στη γενική περίπτωση, οι γεννήτορες της οµάδας δε µετατίθεται µεταξύ τους και αυτό εκδηλώνει την µη αβελιανότητα της οµάδας. Γενικά ισχύει : α=1 [F α, F β ] = if abc F c.87 όπου οι συντελεστές f abc καλούνται σταθερές δοµής της οµάδας. Αν από τους συνολικά n γεννήτορες οι k µετατίθενται µεταξύ τους τότε ο αριθµός αυτός k ονοµάζεται ϐαθµός της οµάδας. ιακριτές οµάδες Οι οµάδες, τα στοιχεία των οποίων χαρακτηρίζονται από έναν δείκτη που παίρνει µόνο ακέραιες τιµές, ονοµάζονται διακριτές. Χαρακτηριστικές είναι η ο- µάδα της οµοτιµίας καθώς και η οµάδα της συζυγίας φορτίου. Οι οµάδες οι οποίες κυρίως µας αϕορούν και µας ανοίγουν το δρόµο για το καθιερωµένο πρότυπο είναι οι οµάδες πινάκων. Οι πιο συνηθισµένες είναι οι οµάδες µοναδιακών πινάκων nxn που αποτελούν την µοναδιακή οµάδα Un µοναδιακοί :U = U 1. Επιπλέον µια πολύ σηµαντική οµάδα είναι η ειδική µοναδιακή οµάδα SUn, η οποία απαρτίζεται από όλους τους µοναδιακούς πίνακες διάστασης nxn και ταυτόχρονα έχουν ορίζουσα ίση µε τη µονάδα detu = 1. Συνεχίζοντας, άλλη χρήσιµη οµάδα είναι αυτή που συνίσταται από όλους τους πραγµατικούς µοναδιακούς πίνακες διάστασης nxn και ονοµάζεται ορ- ϑογώνια οµάδα On ορθογώνιοι : R T = R 1. Αναλογικά µε το παραπάνω Ϲευγάρι οµάδων, προκύπτει µια άλλη οµάδα που αποτελείται από όλους τους ορθογώνιους πίνακες µε ορίζουσα ίση µε τη µονάδα detu = 1 και ονοµάζεται ειδική ορθογώνια οµάδα SOn. Η οµάδα αυτή µπορεί να ϑεωρηθεί ότι περιγράϕει τις στροϕές σε ένα χώρο n διαστάσεων. Παραδείγµατος χάρη, η SO είναι η οµάδα που περιγράϕει τις στροϕές στο επίπεδο. Η κάθε οµάδα από τις παραπάνω έχει συγκεκριµένο αριθµό γεννητόρων και συγκεκριµένο αριθµό παραµέτρων οι οποίοι εξαρτώνται µόνο από τον α- ϱιθµό n. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει συνοπτικά τις πληροϕορίες αυτές : 49

50 Οµάδα παράµετροι γεννήτορες µοναδιακή Un n n ειδική µοναδιακή SUn n 1 n 1 ορθογώνια On nn 1/ nn 1/ ειδική ορθογώνια SOn nn 1/ nn 1/ Συνήθως στη φυσική, τα στοιχεία που απαρτίζουν µια οµάδα G, είναι τελεστές που δρουν σε ένα χώρο Hilbert. Αν εκλεγεί κατάλληλη ϐάση στο χώρο αυτό, τα στοιχεία της οµάδας αναπαρίστανται από έναν πίνακα 6. Αυτό ση- µαίνει ότι κάθε στοιχείο σ της οµάδας G αντιστοιχεί σε έναν πίνακα M σ. Το σηµαντικό είναι ότι η απεικόνιση αυτή σέβεται τη διµελή πράξη της οµάδας. ηλαδή, αν τ,ω δυο διαϕορετικά στοιχεία της οµάδας τα οποία αντιστοιχούν στους πίνακες M τ, M ω αντίστοιχα, τότε : στ = ω M σ M τ = M ω.88 Συµπεραίνεται λοιπόν ότι για κάθε οµάδα G µπορούµε να έχουµε πολλές διαφορετικές αναπαραστάσεις. Θεµελιώδη αναπαράσταση έχουµε εάν η οµάδα G είναι µια οµάδα πινάκων. Επιπλέον, υπάρχουν οµάδες οι οποίες είναι δοµικά ίδιες ή αλλιώς ισόµορφες. Για να γίνει κατανοητό, δίνονται οι παρακάτω ορισµοί : Ορισµός 1 Ισοµορϕισµός ϕ : G G είναι ένας οµοµορϕισµός ένα προς ένα και επί της G. Ο συνήθης συµβολισµός είναι ο G G. Ορισµός Οµοµορϕισµός : Μια απεικόνιση φ µιας οµάδας G σε µια οµάδα G λέγεται οµοµορϕισµός αν : ϕa, b = ϕaϕb για κάθε a, bϵg 7. Ενδεικτικά ϑα αποδείξουµε ότι SO U1. Απόδειξη ˆ Αν θϵso, ορίζουµε την απεικόνιση ϕ = e iθ για την οποία ϕ : SO U1. ˆ Αν ϕθ 1 = ϕθ, τότε e iθ = e iθ, άρα θ 1 = θ. Εποµένως η ϕ είναι ˆ Η απεικόνιση είναι και επί, αϕού λόγω της ταυτότητας του Euler e iθ = cos θ+i sin θ µπορούµε να γράψουµε το µιγαδικό αυτό αριθµό σε µορϕή 6 Βέργαδος Ι.., Θεωρία οµάδων µέρος α : ιακρίσιµες οµάδες και εϕαρµογές, Εκδόσεις Συµεών, σελ.53 7 Fraleigh B.John: Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, σελ.136,147 5

51 πίνακα x πραγµατικών αριθµών. Αυτός ϑα είναι : [ ] e iθ cos θ sin θ = cos θ + i sin θ = sin θ cos θ.89 ˆ Αν θ 1, θ ϵso, ϑα ισχύει : Συνεπώς SO U1. ϕθ 1 + θ = e iθ 1+θ = e iθ 1 e iθ = ϕθ 1 ϕθ.9 Ακόµα σηµαντικότερη καταδεικνύεται από τον άνωθεν ισοµορϕισµό, η τοπική ισοδυναµία δύο άλλων οµάδων : SU SO3. Αυτή η ισοδυναµία καταϕέρνει να συνδέσει την ειδική ορθογώνια οµάδα περιστροϕών SO3, η οποία έχει ως γεννήτορες τους τελεστές στροϕορµής, µε την ειδική µοναδιακή οµάδα SU. Οπότε αυτό ϑα µας επιτρέψει να ϐρούµε τη ϑεµελιώδη αναπα- ϱάσταση της SU, µέσω της γενικότερης ϑεωρίας στροϕορµών. Τα στοιχεία της οµάδας SO3 είναι : Rθ = e iθ η j.91 όπου j η γενικευµένη στροϕορµή. Αν j =, 1/, 1, παίρνουµε αναπαράσταση διάστασης 1,,3 αντίστοιχα. Ειδικά για j = 1/ παίρνουµε : Rθ = e iθ η σ/.9 Οπως φαίνεται από τους ερµιτιανούς πίνακες x του P auli, προκύπτουν οι µοναδιακοί πίνακες x Rθ. Επίσης, επειδή τα ίχνη των πινάκων του P auli είναι µηδέν και ταυτόχρονα λόγω του ότι ισχύει η ιδιότητα det e A = e TrA, προκύπτει ότι det Rθ = 1. Συµπερασµατικά, ϐρήκαµε τη ϑεµελιώδη αναπαράσταση x της οµάδας SU. Οι γεννήτορες της SU µπορούν να προκύψουν και αλλιώς, µε πιο µα- ϑηµατικά άµεσο τρόπο. Αρχικά ϑεωρούµε έναν τυχαίο µοναδιακό πίνακα : U = e ih H = H.93 Προαναϕέρεται ότι η µοναδιακότητα των στοιχείων συνεπάγεται την ερµιτιανότητα των γεννητόρων Από την ιδιότητα det U = e TrH = 1 TrH =. Λόγω των δυο τελευταίων συνθηκών ο πίνακας x µπορεί να γραϕτεί : [ ] a b + ic H =.94 b ic a όπου a, b, c πραγµατικοί αριθµοί. Παρατηρούµε επίσης ότι : [ ] [ ] [ ] 1 1 i H = a +b c 1 1 i }{{}}{{}}{{} σ z σ x σ y.95 51

52 Συνεπώς κάθε ερµιτιανός και άιχνος πίνακας Η εκϕράζεται ως συνάρτηση των τριών ϐασικών πινάκων Pauli. Παρατηρούµε ότι [s i, s j ] = iε ijk s k.96 όπου s i = 1 σ i. Λόγω και της πιο πάνω αντιστοιχίας των οµάδων SO3 και SU, εύκολα συµπεραίνεται ότι οι παραπάνω πίνακες είναι οι γεννήτορες της οµάδας SU 8, µε σταθερές δοµής τον αντισυµµετρικό τανυστή f abc = ε ijk..6 Αβελιανές και µη αβελιανές ϑεωρίες ϐαθµίδας Αϕού λοιπόν κατορθώσαµε να εξηγήσουµε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις µέσω του µοναδιακού µετασχηµατισµού που επιϕέρουν τα στοιχεία της οµάδας U1, ϑα επιχειρήσουµε τώρα να κάνουµε το ίδιο και µε τις άλλες δύο αλληλεπιδράσεις που κυριαρχούν στο µικρόκοσµο των στοιχειωδών σωµατιδίων, την ασθενή και την ισχυρή. Θα προσπαθήσουµε δηλαδή να ερ- µηνεύσουµε τις αλληλεπιδράσεις αυτές σαν αποτελέσµατα που επιϕέρονται έπειτα από την επιβολή τοπικών µετασχηµατισµών ϐαθµίδας. Οι µετασχηµατισµοί αυτοί αντιστοιχούν σε οµάδες, τις ειδικές µοναδιακές οµάδες SU και SU3 αντίστοιχα. Πριν από αυτό, ϑα ήταν φρόνιµο να συνοψίσουµε όσα έχου- µε δει για την αβελιανή ϑεωρία ϐαθµίδας U1, και έπειτα να προχωρήσουµε στην εξαγωγή των µη αβελιανών..6.1 Ο U1 τοπικός µετασχηµατισµός Επειδή οι τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας ψ ψ = e iαx ψ.97 δεν είναι µετασχηµατισµοί συµµετρίας, µας αναγκάζουν να εισαγάγουµε έ- να διανυσµατικό πεδίο ϐαθµίδας, τέτοιο ώστε να προκύπτει µια συναλλοίωτη παράγωγος µ D µ = µ + iqa µ.98 q είναι η σταθερά Ϲεύξης της ϑεωρίας ϐαθµίδας U1, δηλαδή το φορτίο του ηλεκτρονίου η οποία να µετασχηµατίζεται ακριβώς όπως το πεδίο : D µ ψ D µ ψ = e iαx D µ ψ.99 Το πεδίο που εισάγαµε µετασχηµατίζεται ως εξής : A µ A µ = A µ 1 q µαx.1 8 Βεργαδος Ι.., Θεωρία οµάδων µέρος ϐ : Συνεχείς οµάδες και άλγεβρες Lie -εϕαρµογές, Εκδόσεις Συµεών, σελ.9 5

53 Η λαγκρατζιανή του πεδίου είναι L = 1 4 F µνf µν.11 όπου για το F µν ισχύει F µν = µ A ν ν A µ.1 και έχει µόνο κινητικό όρο καθώς ο φορέας της αλληλεπίδρασης αυτής είναι άµαζος. Τελικά, η αλληλεπίδραση ενός σπινοριακού πεδίου ύλης µε το πεδίο A µ, δίνεται από τη λαγκρατζιανή L = ψiγ µ D µ ψ m ψψ 1 4 F µνf µν Ο SU τοπικός µετασχηµατισµός Η επόµενη περίπτωση είναι αυτή της µη αβελιανής ϑεωρίας ϐαθµίδας SU. Θα χρησιµοποιήσουµε πάλι ένα σπινοριακό πεδίο του οποίου η λαγκρατζιανή είναι η.57. Κατά τα γνωστά, κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας, για το πεδίο ϑα ισχύει : ψ ψ = Uψ = e iθ ixτ i / ψ, i = 1,, 3.14 Η οµάδα SU, σύµϕωνα µε τον πίνακα του προηγούµενου υποκεϕαλαίου, έχει n 1 = 1 = 3 παραµέτρους και γεννήτορες. Οπότε σύµϕωνα µε την.84, θ i x είναι οι παράµετροι και τ i / οι γεννήτορες της οµάδας. Οι γεννήτορες αποδείχθηκε παραπάνω ότι είναι οι πίνακες του Pauli, για τους οποίους ισχύει η µεταθετική σχέση.96. Ο µετασχηµατισµός του πεδίου.14, επιϕέρει αυτοµάτως τις εξής µεταβολές : ψ ψ = e iθ ixτ i / ψ.15 µ ψ µ ψ = iθ i x τ i eiθ ixτ i / ψ + e iθ ixτ i / µ ψ.16 Συνεπώς όπως είναι αναµενόµενο, ο πρώτος όρος της.16 που προκύπτει από την παραγώγιση κατά παράγοντες, ϑα δηµιουργεί πρόβληµα στην αναλλοιώτητα της L: L = ψ iγ µ µ ψ mψ ψ = e iθ ixτ i / ψiγ µ iθ i x τ i ψ + µψe iθ ixτ i / e iθ ixτ i / e iθ ixτ i / mψ ψ = ψiγ µ µ ψ mψ ψ ψγ µ θ i x τ i ψ = L ψγ µ θ i x τ i ψ δl = ψγ µ θ i x τ i ψ.17 53

54 Εποµένως, έπειτα από αξιωµατική απαίτηση της αναλλοιώτητας της L, καταφεύγουµε στην αναβάθµιση της παραγώγου σε συναλλοίωτη µορϕή. µ D µ = µ + ig τ i W i µ.18 η οποία κατά τα γνωστά µετασχηµατίζεται όπως το πεδίο : D µ ψ D µ ψ = UD µ ψ = e iθ ixτ i / D µ ψ.19 Στην.18, g είναι η σταθερά Ϲεύξης µιας ϑεωρίας ϐαθµίδας SU, ενώ όπως φαίνεται κρίθηκε απαραίτητη η εισαγωγή τριών πεδίων ϐαθµίδας Wµ i τα οποία αντιστοιχούν στους τρεις γεννήτορες της οµάδας. Ο υπολογισµός των πεδίων ϐαθµίδας γίνεται αντικαθιστώντας την.18 στην.19: ] µ + ig τ iw i µ ψ = U [ µ + ig τ iw i µ ψ.11 Αϕού ψ = Uψ και µ ψ = µ Uψ = µ Uψ+U µ ψ, η παραπάνω εξίσωση γίνεται : µ Uψ + U µ ψ + ig τ iw i µ Uψ = U µ ψ + ig Uτ iw i µψ µ U + ig τ iw i µ U = ig Uτ iw i µ.111 Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση από αριστερά µε U 1, έχουµε : µ UU 1 + ig τ iw i µ UU 1 = ig Uτ iw i µu 1.11 από όπου προκύπτει το αποτέλεσµα που µας δίνει την πληροϕορία για το νόµο µετασχηµατισµού των πεδίων ϐαθµίδας. τ i W i µ τ i W i µ = U τ i W i µu 1 + i g µuu Τώρα, ϑεωρώντας τις παραµέτρους του µετασχηµατισµού ϐαθµίδας, απειροστές : θ i x 1, ϐρίσκουµε το νόµο µετασχηµατισµού του πεδίου για απει- ϱοστές µεταβολές. Αρχικά αναπτύσσουµε το U, και κρατάµε µέχρι και τον όρο πρώτης τάξης U = e iθ ixτ i / 1 + iθ i x τ i.114 έπειτα παίρνουµε µια πολύ µικρή µεταβολή των πεδίων ϐαθµίδας W i µ W i µ + δw i µ.115 και τέλος υπολογίζουµε ξεχωριστά τα δύο µέλη της.19: 54

55 Πρώτο µέλος : D µ ψ = D µψ µ + ig τ i W µ1 i + iθ j x τ j ψ [ = µ ψ + ig τ i W µ i ψ + i τ j µθ j ψ g τ i W µθ i τ ] j j ψ εύτερο µέλος : e iθ iτ i / D µ ψ τα εξισώνουµε = µ ψ + ig τ i W i µψ + ig τ i δw i µψ + i τ j µθ j ψ + i τ j θ j µ ψ g τ i W i µθ j τ j ψ iθ i τ i µ + ig τ j W µ j ψ = µ ψ + ig τ j W j µ + iθ i τ i µψ g τ i θ iτ j W j µψ.117 µ ψ + ig τ i W i µψ + ig τ i δw i µψ + i τ j µθ j ψ + i τ j θ j µ ψ g τ i W i µθ j τ j = µ ψ + ig τ j W j µ + iθ i τ i µψ g τ i θ i ψ τ j W µψ j.118 και αϕού απαλείψουµε τους ίδιους όρους, λύνουµε ως προς τον όρο που περιέχει το δw i µψ: ig τ i δw i µψ = i τ j µθ j ψ + g τ i W i µθ j τ j ψ g τ i θ iτ j W j µψ Και τώρα ϐρίσκουµε το δw i µψ: = i τ j µθ j ψ + g 4 τ iwµθ i j τ j τ i θ i τ j Wµψ j = i τ i µθ i ψ + g 4 τ jwµθ j i τ i τ i θ i τ j Wµψ j = i τ i µθ i ψ + g 4 θ iwµτ j j τ i τ i τ j ψ = i τ i µθ i ψ g 4 θ iwµiε j ijk τ k ψ = i τ i µθ i ψ i g ε ijkθ j Wµ k τ i ψ.119 δw i µ = 1 g µθ i ε ijk θ j W k µ.1 Συνεπώς, αν επιβάλουµε απειροστούς τοπικούς µετασχηµατισµούς, τα πεδία ϐαθµίδας ϑα µετασχηµατιστούν ως εξής : W i µ W i µ = W i µ 1 g µθ i x ε ijk θ j xw k µ.11 55

56 Στο σηµείο αυτό πρέπει να ϐρούµε την ελεύθερη λαγκρατζιανή των τριων διανυσµατικών πεδίων ϐαθµίδας που προέκυψαν και έπειτα να χτίσουµε την α- ναλλοίωτη λαγκρατζιανή του αρχικού σπινοριακού πεδίου Dirac. Πρέπει λοιπόν να ϐρούµε τον τανυστή που γενικεύει τον.1, αϕού και σε αυτήν την περίπτωση ψάχνουµε µια λαγκρατζιανή στην οποία να µην περιέχεται δυναµικός όρος αλλά µόνο αναλλοίωτος κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας SU κινητικός όρος. Ο όρος αυτός ϑα πρέπει επίσης να µην επηρεάζεται από το µετασχηµατισµό του πεδίου.11. Για να ϐρούµε τον τανυστή που επεκτείνει τον F µν, χρησιµοποιούµε το µεταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων. Κάνουµε αρχικά µια παράκαµψη, δουλεύοντας για την περίπτωση U1 και έπειτα κάνουµε την αντιστοίχιση για την περίπτωση SU. Υπολογίζουµε το µεταθέτη : [D µ, D ν ] = µ + iqa µ ν + iqa ν ν + iqa ν µ + iqa µ = µ ν + iq µ A ν + iqa µ ν q A µ A ν ν µ iq ν A µ iqa ν µ + q A ν A µ = g µν ν ν + iq µ A ν + iqg µν A ν ν q g µν A ν A ν g µν ν ν iq ν A µ iqg µν A µ µ + q g µν A µ A µ = iq µ A ν ν A µ [D µ, D ν ] = iqf µν.1 Επειδή για το µετασχηµατισµό της αναλλοίωτης παραγώγου ισχύει ότι D µ ψ = UD µ ψ = UD µ U 1 Uψ D µ = UD µ U 1.13 Αυτό σηµαίνει ότι ο µεταθέτης των µετασχηµατισµένων συναλλοίωτων παραγώγων ϑα είναι : [D µ, D ν] = [UD µ U 1, UD ν U 1 ] = UD µ U 1 UD ν U 1 UD ν U 1 UD µ U 1 = UD µ D ν U 1 UD ν D µ U 1 = U[D µ D ν D ν D µ ]U 1 Από όπου και άµεσα προκύπτει ότι : = U[D µ, D ν ]U 1 = iquf µν U 1.14 F µν = UF µν U 1.15 Μέσω λοιπόν της.14, επαληθεύουµε χωρίς πολύ κόπο, αν και λίγο καθυστερηµένα, ότι για U = e iθx η ελεύθερη λαγκρατζιανή του φωτονικού πεδίου.11 παραµένει αναλοίωτη. L = 1 4 F µνf µν = 1 4 UF µνu 1 UF µν U 1 = 1 4 F µνf µν = L.16 56

57 Οπότε, αναλογικά, για τους µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας SU γίνονται οι κατάλληλες µετατροπές ώστε να υπολογίσουµε τον τανυστή Wµν i που γενικεύει τον F µν και κατέπέκταση τη λαγκρατζιανή των πεδίων που αρµόζει στην περίσταση αυτή. Οπότε, κατά αντιστοιχία λοιπόν µε την.1, µε συναλλοίωτη παράγωγο την.18 προκύπτει ότι : [D µ, D ν ] = ig τ i W i µν.17 ϐρίσκεται υπολογίζοντας αναλυτικά τον παραπάνω µε- όπου ο τανυστής Wµν i ταθέτη : [D µ, D ν ] = µ + ig τ i W i µ ν + ig τ j W j ν ν + ig τ j W j ν µ + ig τ i W i µ = µ ν + ig τ j µw j ν + ig τ i W i µ ν g τ i W i µ ν µ ig τ i νw i µ ig τ j W j ν µ + g τ j W j ν = ig τ j µw j ν + ig τ i g τ i W i µ τ j W j ν + g τ j W j ν τ j W ν j τ i W µ i W µ i ν ig τ i νwµ i ig τ j W ν j µ τ i W µ i = ig τ i µw i ν + ig τ i g µνw i µ µ ig τ i νw i µ ig τ i g µνw µi µ g 4 g µνw νi Wν j τ i τ j + g 4 g µνwν j W νi τ j τ i = ig τ i µ Wν i ν W i g µ 4 g µν W νi Wν j τ i τ j W νi Wν j τ j τ i = ig τ i µ Wν i ν W i g µ 4 W µw i ν j τ i τ j τ j τ i = ig τ i µ Wν i ν W i g µ 4 W µw i ν j iε ijk τ k = ig τ i µ W i ν ν W i µ ig τ i ε ijkw j µw k ν = ig τ i µw i ν ν W i µ gε ijk W j µw k ν }{{} W i µν.18 Οπότε, µε τον τρόπο αυτό ϐρήκαµε πως ορίζονται τα διανυσµατικά πεδία ϐαθ- µίδας W i µν : W i µν = µ W i ν ν W i µ gε ijk W j µw k ν.19 Σε σύγκριση µε τον.1 παρατηρούµε ότι στον τανυστή W i µν υπεισέρχεται ακόµη ένας όρος. Αυτό δεν είναι ούτε τυχαίο ούτε παραβλέψιµο, αλλά ϑα το αναλύσουµε παρακάτω αϕού ϐρούµε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα και για την ειδική οµάδα SU3. 57

58 Η λαγκρατζιανή λοιπόν που ϑα περιγράϕει τα διανυσµατικά πεδία που ανέκυψαν ϑα είναι αντίστοιχη µε την.11: L = 1 4 W i µνw µνi.13 Αν ϑεωρήσουµε ότι ο µεταθέτης [D µ, D ν] σύµϕωνα µε τις είναι : [D µ, D ν] = U[D µ, D ν ]U 1 = igu τ i W i µνu 1 = igu τ i U 1 UWµνU i 1 = ig τ i W µν i Wµν i = UWµνU i εύκολα φαίνεται πως η λαγκρατζιανή παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τους SU µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας : L = 1 4 W i µνw µνi = 1 4 UW i µνw µνi U 1 UW µνi U 1 = 1 4 UW i µνw µνi U 1 = L.13 Συνεπώς η λαγκρατζιανή που δίνει την αλληλεπίδραση των διανυσµατικών πεδίων ϐαθµίδας W i µ της SU µε ένα σπινοριακό πεδίο ύλης ψ ϑα είναι : L = 1 4 W i µνw µνi + ψid µ ψ m ψψ.133 µε συναλλοίτωη παράγωγο αυτήν της εξίσωσης.18 Η ϑεωρία ϐαθµίδας SU συνδέεται άµεσα µε την περιγραϕή των ασθενών αλληλεπιδράσεων, όπως ϑα δούµε στο επόµενο κεϕάλαιο..6.3 Ο SU3 µετασχηµατισµός Γενικεύοντας την παραπάνω διαδικασία για τη µη αβελιανή ϑεωρία ϐαθµίδας SU3, άµεσα εξάγονται τα αντίστοιχα αποτελέσµατα π.χ. τα πεδία ϐαθµίδας. Προς αποϕυγή επαναλήψεων, όπου κρίνεται απαραίτητο οι ενδιάµεσες πράξεις ϑα παραλείπονται. Χρησιµοποιώντας πάλι ένα σπινοριακό πεδίο του οποίου η λαγκρατζιανή είναι η.57, κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας ισχύει ότι : ψ ψ = Uψ = e iθ ixλ i / ψ, i = 1, Η οµάδα SU3, έχει n 1 = 3 1 = 8 παραµέτρους και γεννήτορες. Οπότε σύµϕωνα µε την.84, θ i x είναι οι παράµετροι και λ i / οι γεννήτορες της οµάδας. Οι γεννήτορες της οµάδας είναι οκτώ πίνακες 3x3, άιχνοι, γραµ- µικώς ανεξάρτητοι και είναι γνωστοί ως οι πίνακες του Gell-Mann, οι οποίοι 58

59 γενικεύουν τους x πίνακες του Pauli και υπακούουν στην εξής µεταθετική σχέση : [ λi, λ ] j λ k = if ijk.135 Οι πίνακες του Gell-Mann είναι : 1 λ 1 = 1 λ = λ 4 = 1 1 λ 7 = λ 5 = i i i i i i λ 8 = και οι µη µηδενικές σταθερές δοµής είναι : λ 3 = 1 3 λ 6 = f 13 = 1, f 458 = f 678 = f 147 = f 516 = f 46 = f 57 = f 345 = f 637 = Ο µετασχηµατισµός του πεδίου.134, επιϕέρει τις εξής µεταβολές : ψ ψ = e iλ ixτ i / ψ.138 µ ψ µ ψ = iθ i x λ i eiθ ixλ i / ψ + e iθ ixλ i / µ ψ.139 Ο πρώτος όρος της.139 χαλάει την αναλλοιώτητα της L, περισσεύει δηλαδή ένας όρος : δl = ψγ µ θ i x λ i ψ.14 Οπως λοιπόν πράξαµε και στην περίπτωση της SU, έτσι και εδώ ϑεωρώντας σα ϑεµελιώδη απαίτηση της φύσης την αναλλοιώτητα της λαγκρατζιανής, αναβαθµίζουµε την παράγωγο σε συναλλοίωτη. έτσι ώστε να µετασχηµατίζεται όπως το πεδίο : µ D µ = µ + ig λ i Gi µ.141 D µ ψ D µ ψ = UD µ ψ = e iθ ixλ i / D µ ψ.14 Στην.141, g είναι η σταθερά Ϲεύξης της ϑεωρίας ϐαθµίδας SU3 και G i µ είναι τα οκτώ πεδία ϐαθµίδας λόγω των 8 γεννητόρων τα οποία αναγκαστικά 59

60 εισάγαµε ως τίµηµα για τη συναλλοίωτη παράγωγο και κατ επέκταση για την αναλλοιώτητα της λαγκρατζιανής. Ο υπολογισµός των πεδίων ϐαθµίδας γίνεται αντικαθιστώντας την.141 στην.14 και πέρνοντας απειροστή µεταβολή των παραµέτρων, καταλήγουµε : µ + ig τ iw i µ ψ = U [ µ + ig ] τ iwµ i ψ.143 Επαναλαµβάνοντας ακριβώς τα ίδια ϐήµατα που ακολουθήσαµε για τη διαδικασία εύρεσης των πεδίων ϐαθµίδας της SU, ϐρίσκουµε ότι τα πεδία ϐαθµίδας µετασχηµατίζονται ως εξής : G i µ G i µ = G i µ 1 g µθ i x f ijk θ j xg k µ.144 Τώρα πρέπει να υπολογίσουµε την ελεύθερη λαγκρατζιανή των οκτώ διανυσµατικών πεδίων ϐαθµίδας που προέκυψαν και έπειτα να χτίσουµε την αναλλοίωτη λαγκρατζιανή του αρχικού σπινοριακού πεδίου Dirac. Κατά τα γνωστά ψάχνουµε µια λαγκρατζιανή στην οποία να µην περιέχεται δυναµικός όρος αλλά µόνο αναλλοίωτος κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας SU3 κινητικός όρος. Ο όρος αυτός ϑα πρέπει επίσης να µην επηρεάζεται από το µετασχηµατισµό του πεδίου.144. Οπως και στην περίπτωση της προηγούµενης µη αβελιανής ϑεωρίας ϐαθ- µίδας, χρησιµοποιούµε το µεταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων και ο τανυστής του πεδίου προκύπτει. G i µν = µ G i ν ν G i µ gf ijk G j µg k ν.145 Η Ϲητούµενη ελεύθερη λανγκραντζιανή που περιγράϕει λοιπόν τα διανυσµατικά πεδία ϑα είναι κατ αντιστοιχία µε την.13 L = 1 4 Gi µνg µνi.146 Συνεπώς, για την αλληλεπίδραση των πεδίων ϐαθµίδας G i µ της SU3 µε ένα σπινοριακό πεδίο Dirac ψ ϑα είναι : L = 1 4 Gi µνg µνi + ψiγ µ D µ ψ m ψψ.147 µε συναλλοίωτη παράγωγο αυτήν της εξίσωσης.141. Οπως είδαµε ότι από τη ϑεωρία ϐαθµίδας U1 προκύπτει η ϑεωρία αλληλεπίδρασης του ηλεκτροµαγνητισµού, κβαντική ηλεκτροδυναµική QED, αντίστοιχα από τη ϑεωρία ϐαθµίδας SU3 προκύπτει η ϑεωρία που περιγράϕει τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, η κβαντική χρωµοδυναµική QCD. Η εξίσωση.147 είναι η λαγκρατζιανή που δίνει την αλληλεπίδραση σπινοριακού πεδίου, δηλαδή των κουαρκ, µε τα πεδία ϐαθµίδας, τα γκλουόνια. Τα κουάρκ χαρακτηρίζονται από έναν κβαντικό αριθµό που ονοµάζεται χρώµα. 6

61 Το κάθε κουάρκ διαϕορετικής γεύσης διαϕορετικού είδους λοιπόν µπορεί να εµϕανιστεί σε τρεις διαϕορετικές καταστάσεις τρία διαϕορετικά χρώµατα κόκκινο, µπλε, πράσινο. Παρ ολο που το κάθε κουάρκ διαϕορετικής γεύσης έχει διαϕορετική µάζα, το ίδιο κουάρκ διαϕορετικού χρώµατος φέρει την ίδια µάζα. Εποµένως η κάθε κυµατοσυνάρτηση που περιγράϕει ένα κουάρκ στην ουσία είναι ένα διάνυσµα-στήλη τριών συνιστωσών µια τριπλέτα. Βέβαια, όπως είπαµε, η.147 περιγράϕει την αλληλεπίδραση των κουάρκ µε τα µποζόνια ϐαθµίδας, αντικαθιστώντας όµως κάθε φορά τη µάζα του κουάρκ που µελετούµε 6 συνολικά διαϕορετικές λανγκρατζιανές, αϕού κουαρκ διαϕορετικής γεύσης έχουν διαϕορετική µάζα. ψ = ψ r ψ b ψ g, ψ = ψr ψb ψg.148 Στη λαγκρατζιανή ϐέβαια του σπινοριακού πεδίου που περιγράϕει ένα κουάρκ φερµιόνιο µε σπιν 1/.57 δεν επιϕέρεται κάποια αλλαγή, απλά τώρα το ψ δεν είναι ένας σπίνορας Dirac αλλά, µια τριπλέτα που το κάθε στοιχείο της είναι ένας σπίνορας..7 Συµπεράσµατα Οπως φάνηκε στο τελευταίο υποκεϕάλαιο, για να εξάγουµε τα πεδία ϐαθµίδας της SU3 δε χρειάστηκε επιπλέον εργασία. Το µόνο που χρειάστηκε ήταν να γενικεύσουµε τη διαδικασία που ακολουθήσαµε στην περίπτωση της SU. Ανάλογα λοιπόν, µπορούµε να εξάγουµε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα για οποιαδήποτε ϑεωρία SUn. Γενικά, όλες αυτές οι µη αβελιανές ϑεωρίες ϐαθµίδας ονοµάζονται ϑεωρίες Yang-Mills επειδή οι δυο αυτοί επιστήµονες ήταν οι πρώτοι που έγραψαν την SU. Οπως είδαµε στις.19 και.145, στους ορισµούς των τανυστών πεδίου των ϑεωριών ϐαθµίδας SU και SU3 αντίστοιχα υπάρχει ένας όρος παραπάνω συγκριτικά µε τον τανυστή πεδίου της U1, στην.1. Η φυσική σηµασία των παραπάνω όρων έγκειται στην παρακάτω διαϕορά. Για τη ϑεωρία U1 µε λαγκρατζιανή την.11, από τις εξισώσεις Euler- Langrange απορρέουν οι εξισώσεις Maxwell. ν F µν =.149 Οµως για τις ϑεωρίες SU και SU3 µε λαγκρατζιανή την.13 και.146 αντίστοιχα, οι εξισώσεις Euler-Langrange δίνουν : ν W µνi = g ε ijk W j ν W µνk.15 ν G µνi = g 3 f ijk G j νg µνk.151 Συµπεραίνεται λοιπόν ότι, η χαρακτηριστική διαϕορά που υπάρχει ανάµεσα σε µια αβελιανή και µια µη αβελιανή ϑεωρία ϐαθµίδας γίνεται τώρα φανερή 61

62 από το δεύτερο µέλος των παραπάνω εξισώσεων. Αντίθετα µε ότι ισχύει για ένα αβελιανό πεδίο, ένα µη αβελιανό πεδίο Ϲευγνύεται µε τον εαυτό του, ενεργώντας σαν πηγή του εαυτού του. Με άλλα λόγια, αντίθετα µε ένα αβελιανό πεδίο που δεν µεταϕέρει το ίδιο φορτίο και δεν ενεργεί σαν πηγή του εαυτού του όπως πχ συµβαίνει µε το φωτόνιο, ένα µη αβελιανό πεδίο µεταϕέρει αντίστοιχο φορτίο και ενεργεί σαν πηγή του εαυτού του αυτό που συµβαίνει µε τα W και G 9. Επίσης, στο κεϕάλαιο αυτό εξάγαµε λανγκραντζιανές που δίνουν την αλληλεπίδραση φερµιονίων µε τα µποζόνια ϐαθµίδας, τα οποία προέκυψαν άµαζα ώστε οι λανγκραντζιανές να παραµένουν αναλλοίωτες κάτω από τους µετασχη- µατισµούς. Στο κεϕάλαιο που έπεται αϕ ενός ϑα δούµε πως από τις ϑεωρίες ϐαθµίδας που αναλύσαµε παραπάνω καταϕέρνουµε να χτίσουµε ένα ενιαίο µοντέλο που περιγράϕει τη συµπεριϕορά των στοιχειωδών σωµατιδίων της φύσης και αϕ ετέρου ϑα δούµε το µηχανισµό µε τον οποίο τα διανυσµατικά µποζόνια αποκτούν µάζα. 9 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή φυσική : Μια εισαγωγή στη ϐασική δοµή της ύλης, 8, σελ

63 Κεϕάλαιο 3 Το καθιερωµένο πρότυπο της φυσικής 3.1 Αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας-κρυµµένη συµ- µετρία Στο προηγούµενο κεϕάλαιο, είδαµε πως τα πεδία ϐαθµίδας που εισάγαµε στη λανγκραντζιανή έπρεπε να είναι άµαζα ώστε να µην καταστρέϕεται η αναλλοιώτητά της. Οσον αϕορά το φωτόνιο και τα γκλουόνια, δεν υπάρχει κάποιο πρόβληµα αϕού η απαίτηση να είναι άµαζα συµπίπτει µε τα πειραµατικά α- ποτελέσµατα. Οµως, αναδύεται ένα µεγάλο πρόβληµα αϕού όπως είδαµε για τη διατήρηση της αναλλοιώτητας ϑα πρέπει και τα πεδία ϐαθµίδας της SU να είναι άµαζα, πράγµα το οποίο αντιτίθεται στο πείραµα που µας λέει ότι τα µποζόνια αυτά έχουν µάζα της τάξης των 1GeV, µάζα καθόλου αµελητέα. Το πρώτο πράγµα λοιπόν που τίθεται υπό αµϕισβήτηση είναι η ad hoc απαίτηση της αναλλοιώτητας. ηλαδή, γιατί να µην εισάγουµε έναν όρο µάζας m W µ W µ στη λαγκρατζιανή και ας αγνοήσουµε το σπάσιµο της συµµετρίας ως προς τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ; Η απάντηση είναι ότι αν πράξουµε έτσι και εισάγουµε τον όρο µάζας, αντιµετωπίζουµε µη επανακανονικοποιήσιµες αποκλίσεις που καθιστούν τη ϑεωρία άχρηστη, αϕού µια ϑεωρία για να είναι συνεπής και να δίνει προβλέψεις για το πείραµα, πρέπει να είναι ε- πανακανονικοποιήσιµη. ηλαδή, ένας συνεπής χειρισµός των απειριών που εµϕανίζονται σε µια ϑεωρία πεδίου στους όρους ανώτερης τάξης της ϑεωρίας διατιαραχών, απορροϕώντας τους σε ένα πεπερασµένο αριθµό παραµέτρων. Συµπερασµατικά, το να ϐάλουµε µε το χέρι έναν όρο µάζας και να αµελήσουµε την άρση της αναλλοιώτητας, οδηγεί σε αδιέξοδο. Υπάρχει όµως άλλος τρόπος εισαγωγής του όρου µάζας χωρίς να σπάει η αναλλοιώτητα της λαγκρατζιανής ; Η απάντηση είναι καταϕατική και η εισαγωγή του απαραίτητου όρου µάζας στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις συµβαίνει µεσω του αυθόρµητου σπασίµατος συµµετρίας, µε το µηχανισµό Higgs. Εστω ένα φυσικό σύστηµα το οποίο διέπεται από κάποια συµµετρία. Ο- 63

64 ταν η ϐασική κατάσταση -δηλαδή το κενό- και οι λύσεις της ϑεωρίας παύει να υπακούει στη συµµετρία αυτή, τότε έχουµε σπάσιµο της συµµετρίας. Ο προσδιορισµός αυθόρµητο προσδίδεται επειδή το σπάσιµο της συµµετρίας συµβαίνει χωρίς να έχει επέµβει κάποιος εξωτερικός παράγοντας. Εποµένως, αϕού η ϐασική κατάσταση έχει πάψει να υπακούει στην αρχική συµµετρία, ολόκληρο το σύστηµα δε διέπεται πια από τη συµµετρία αυτή. Με άλλα λόγια, αν έχουµε κάποιο σύστηµα το οποίο ϐρίσκεται σε κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, περιγράϕεται από κάποια αρχική λαγκρατζιανή και υπακούει σε κάποια συµµετρία, µετά από το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας το σύστηµα αυτό περνάει σε µια άλλη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας όπου η λαγκρατζιανή πια δεν υπακούει στην αρχική συµµετρία. Η αρχική συµµετρία είναι πλέον κρυµµένη στην αυθαίρετη επιλογή της νέας, ασύµµετρης, ϑεµελιώδους κατάστασης. Τέτοια παραδείγµατα υπάρχουν αρκετά στη φύση και ϑα αναϕερθούν παρακάτω όπου κατηγοριοποιούµε τα αυθόρµητα σπασίµατα συµµετρίας ανάλογα µε το αν είναι διακριτή ή συνεχής η αρχική συµµετρία Αυθόρµητο σπάσιµο διακριτής συµµετρίας Σε µακροσκοπική κλίµακα, στην καθηµερινή Ϲωή, αυθόρµητο σπάσιµο διακριτής συµµετρίας παρατηρείται στο σύστηµα όπου ένας χάρακας πιέζεται από το δείκτη και τον αντίχειρα ενός χεριού, όπως φαίνεται στην εικόνα. Αυθόρµητο σπάσιµο συµ- µετρίας ενός χάρακα που δέχεται στα άκρα του ϑλιπτική δύναµη. Η δύναµη αυτή ϑα το αναγκάσει να µεταπηδήσει σε µια άλλη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Οταν η δύναµη που ασκούν τα δάχτυλα στα άκρα του χάρακα φτάσουν µια οριακή τιµή, τότε ο χάρακας λυγίζει προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Ο χάρακας έχει µόνο αυτές τις δύο επιλογές και το ποια τελικά ϑα επιλέξει δεν παίζει κανένα ϱόλο αϕού και οι δύο καταστάσεις είναι ισοδύναµες και αποτελούν καταστάσεις ελάχιστης ενέργειας. Η αρχική διακριτή συµµετρία λοιπόν ως προς το αν κοιτάµε το σύστηµα από τα αριστερά ή από τα δεξιά σπάει αυθόρµητα και το νέο σύστηµα δεν υπακούει σάυτή. Εστω τώρα ένα σύστηµα που περιγράϕεται από τη λαγκρατζιανή ενός 64

65 πραγµατικού ϐαθµωτού πεδίου L = T V = 1 µϕ 1 µ ϕ λϕ4 λ > 3.1 Η λαγκρατζιανή αυτή υπακούει στη διακριτή συµµετρία ϕ ϕ = ϕ 3. γεγονός το οποίο φαίνεται µε απλή αντικατάσταση στην 3.1: L = 1 1 µϕ µ ϕ λϕ 4 = 1 1 µ ϕ µ ϕ λ ϕ 4 = 1 1 µϕ µ ϕ λϕ4 = L 3.3 Το δυναµικό της λανγκραντζιανής 3.1 είναι V = 1 µ ϕ λϕ4 3.4 και η µορϕή του εξαρτάται από το αν η σταθερά µ παίρνει ϑετικές ή αρνητικές τιµές. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η ποσότητα µ δεν είναι απαραίτητα το τετράγωνο µιας πραγµατικής µάζας, αλλά µια παράµετρος. Η γραϕική παράσταση του δυναµικού σε κάθε περίπτωση φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. µ > µ < Τώρα µελετούµε τις δύο διαϕορετικές περιπτώσεις ξεχωριστά αναζητώντας το ελάχιστο του δυναµικού ή αλλιώς τη ϑεµελιώδη κατάσταση ή πιο απλά, το κενό, έτσι ώστε να αναπτύξουµε τα πεδία γύρω από τις τιµές αυτές, για να ορίσουµε τις διεγερµένες καταστάσεις, δηλαδή τα σωµατίδια της ϑεωρίας. Αν µ > : Στην περίπτωση αυτή, η λαγκρατζιανή 3.1 περιγράϕει ένα ϐαθ- µωτό πεδίο µάζας µ. Εύκολα µπορούµε να την αντιστοιχίσουµε µε τη λαγκρατζιανή της εξίσωσης Klein-Gordon.6. Βέβαια στη λαγκρατζιανή 3.1 υπάρχει και ένας όρος ϕ 4 ο οποίος φανερώνει την ύπαρξη 65

66 µιας κορυϕής τεσσάρων σωµατιδίων µε σταθερά σύζευξης λ. Με άλλα λόγια, το πεδίο φ είναι ένα πεδίο που αλληλεπιδρά και µε τον εαυτό του. Υπολογίζουµε το ελάχιστο του δυναµικού για να ϐρούµε σε ποια τιµή του φ είναι η ϑεµελιώδης κατάσταση. V ϕ = ϕ 1 µ + λϕ 4 = µ ϕ + λϕ 3 = ϕ µ + λϕ = ϕ = ή ϕ = µ λ 3.5 Επειδή στην περίπτωση αυτή λ > και µ >, η τελευταία ισότητα α- πορρίπτεται και το κενό της ϑεωρίας µας ϐρίσκεται στο ϕ = όπως φαίνεται και στο αριστερό γράϕηµα της παραπάνω εικόνας. Η ϑεµελιώδης αυτή κατάσταση σέβεται τη διακριτή συµµετρία κατοπτριµού ϕ ϕ. Αν µ < : Η περίπτωση αυτή παρουσιάζει µεγαλύτερο ενδιαϕέρον καθώς ξεφεύγει από τετριµµένα αποτελέσµατα. Το αποτέλεσµα που ϐρήκαµε στην 3.5 κατά την ελαχιστοποίηση του δυναµικού και το αποκλείσαµε στην προηγούµενη περίπτωση, τώρα είναι µια λύση αποδεκτή ϕ = ±υ όπου υ = µ 3.6 λ ενώ η λύση ϕ = δεν ελαχιστοποιεί τώρα το δυναµικό, όπως φαίνεται και στο δεξιό γράϕηµα της παραπάνω εικόνας. Για να ορίσουµε το φάσµα της ϑεωρίας, µελετούµε τι συµβαίνει στην περιοχή του ελαχίστου όπου ϕ = υ παίρνοντας µικρές κβαντικές διακυ- µάνσεις διαταραχές ηx γύρω του, δηλαδή ϕx = υ + ηx 3.7 Φυσικά, λόγω του ότι το αρχικό µας σύστηµα διέπεται από τη διακριτή συµµετρία ϕ ϕ = ϕ, ϑα µπορούσαµε ισοδύναµα να πάρουµε τις διακυµάνσεις γύρω από το άλλο ελάχιστο, όπου ϕ = υ, αϕού ούτως ή άλλως το σύστηµα ϑα καταλήξει αµερόληπτα είτε στη µία κατάσταση είτε 66

67 στην άλλη. Αντικαθιστώντας στη λαγκρατζιανή 3.1 την 3.7 παίρνουµε : L = 1 µυ + η 1 µ υ + η + 1 λυ + η4 4 = 1 1 µυ + µ η µ υ + µυη + 1 µ η λυ4 + 4υ 3 η + 6υ η + 4υη 3 + η 4 = 1 1 µη µ υ + 1 µ η + µ ηυ λυ λη4 + λυ 3 η + 3 λυ η + λυη 3 = 1 µη λυ η λυη λη4 + σταθ. 3.8 Ο όρος που περιέχει το πεδίο υψωµένο στο τετράγωνο αποτελεί τον όρο µάζας του πεδίου. Συγκρίνοντας τη λαγκρατζιανή.6: L = 1 µϕ µ ϕ 1 m ϕ 3.9 µε τη λαγκρατζιανή 3.8 στην οποία καταλήξαµε παραπάνω, παρατη- ϱούµε πως πλέον ο όρος µάζας έχει το ίδιο πρόσηµο στην αρχική λαγκρατζιανή δεν ίσχυε κάτι τέτοιο και ταυτοποιώντας τους όρους παίρνου- µε : 1 m η = λυ m η = λυ = µ 3.1 Συνεπώς φαίνεται ότι στην περίπτωση αυτή όπου η παράµετρος µ είναι αρνητική, η λανγκραντζιανή µας περιγράϕει ένα φυσικό πεδίο µε µάζα m η = µ γεγονός το οποίο δε φαινόταν στην αρχική λαγκρατζιανή 3.1. Οπως προαναϕέρεται, οι υψηλότερης τάξης όροι του πεδίου η αντιπροσωπεύουν αλληλεπιδράσεις του πεδίου µε τον εαυτό του. Εξετάζουµε τώρα αν στην λαγκρατζιανή της 3.8, ισχύει ακόµα η αρχική συµµετρία αντιστροϕής χώρου ϕ ϕ. Αντικαθιστώντας το µετασχηµατισµό στην 3.8, διαπιστώνουµε ότι, λόγω του όρου λυη 3, δεν την αϕήνει αναλλοίωτη και εποµένως η αρχική συµµετρία αποτελεί παρελθόν. Στην πραγµατικότητα παρ όλο που η αρχική λαγκρατζιανή σέβεται τη συµµετρία, ενώ η δεύτερη όχι, οι δύο αυτές είναι ισοδύναµες. ηλαδή, αν µπορούσαµε να λύσουµε τις δύο λανγκρατζιανές επακρι- ϐώς, ϑα παίρναµε ταυτοτικά αποτελέσµατα και ϑα ήταν προϕανές ότι οι δυο τους περιγράϕουν την ίδια φυσική. Οµως αυτό δε γίνεται και έτσι αναγκαζόµαστε να δουλέψουµε µε διαταραχές γύρω από τα ελάχιστα της ενέργειας. Αν χρησιµοποιούσαµε την αρχική λανγρατζιανή 3.1, ϑα ϐρίσκαµε ότι η διαταρακτική σειρά δε συγκλίνει γιατί προσπαθούµε να αναπτύξουµε γύρω από το ασταθές σηµείο ϕ =. Το σωστό είναι να 67

68 χρησιµοποιήσουµε τη 3.8 αναπτύσσοντας ως προς το πεδίο ηx γύρω από το σταθερό κενό ϕ = υ 1. Συµπερασµατικά, καταλήξαµε λοιπόν στο ότι το πεδίο ϕ έχει µάζα. Σ αυτόν τον τρόπο γέννησης, ή ακόµα καλύτερα, αποκάλυψης της µάζας του πεδίου αναϕερόµαστε µε τον όρο αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας Αυθόρµητο σπάσιµο εκτεταµένης συµµετρίας ϐαθµίδας Στην καθηµερινή Ϲωή, αυθόρµητο σπάσιµο συνεχούς συµµετρίας παρατηρείται στην περίπτωση κάτα την οποία πιέζουµε στα άκρα µια ϐελόνα όπως φαίνεται στην εικόνα. Αυθόρµητο σπάσιµο συµ- µετρίας µιας ϐελόνας που δέχεται στα άκρα του ϑλιπτική δύναµη. Η δύναµη αυτή ϑα το αναγκάσει να µεταπηδήσει σε µια άλλη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Οταν η ϑλιπτική δύναµη που ασκείται ξεπεράσει µια οριακή τιµή, τότε η ϐελόνα ϑα λυγίσει προς κάποια κατεύθυνση όχι απλά δεξιά ή αριστερά όπως στην περίπτωση του χάρακα. Η επιλογή είναι αυθαίρετη, και δεν υποκινείται από κάποιον παράγοντα. Επίσης η κατεύθυνση στην οποία µπορεί να ϐρε- ϑεί λυγίζοντας η ϐελόνα µπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ολες οι πιθανές αυτές καταστάσεις αποτελούν τις νέες καταστάσεις ελάχιστης ενέργειας τα νέα κενά. Εστω λοιπόν τώρα ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα ϐαθµωτό µιγαδικό πεδίο ϕ = ϕ 1 + iϕ /, ή ισοδύναµα από δύο πραγµατικά ϕ 1, ϕ, και περιγράϕεται από τη λαγκρατζιανή L = µ ϕ µ ϕ µ ϕ ϕ λϕ ϕ 3.11 η οποία παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τον εκτεταµένο µετασχηµατισµό φάσης ϕ ϕ = e iα ϕ, δηλαδή, έχει µια U1 εκτεταµένη συµµετρία. Μελετώντας τη λαγκρατζιανή αυτή ϑα αγνοήσουµε τελείως την τετριµµένη περίπτωση όπου η παράµετρος µ είναι ϑετική κατά τα γνωστά προκύπτει ότι η παράµετρος µ ερµηνεύεται σαν µάζα και ϑα περάσουµε κατευθείαν στην περίπτωση όπου λ > και µ <. 1 Ζουπάνος Γ.: Σηµειώσεις του µαθήµατος Στοιχειώδη Σωµατίδια ΙΙ 68

69 Η λαγκρατζιανή 3.11 γράϕεται αλλιώς στην παρακάτω µορϕή : L = µ ϕ 1 + µ ϕ 1 µ ϕ 1 + ϕ 1 4 λϕ 1 + ϕ 3.1 Οπως πράξαµε και στην αντίστοιχη περίπτωση της διακριτής συµµετρίας, ε- λαχιστοποιούµε το δυναµικό V = µ ϕ ϕ + λϕ ϕ 3.13 για να ϐρούµε ποιές είναι οι τιµές των πεδίων στις οποίες ϐρίσκεται το ευστα- ϑές κενό. V ϕ = µ ϕ ϕ + λϕ ϕ = ϕ [µ + λϕ ϕ] = ϕ ϕ = ή ϕ = ϕ ϕ = µ λ ϕ 1 + ϕ = µ λ = υ 3.14 Οπως φαίνεται ο µηδενισµός της παραγώγου του δυναµικού δίνει πως ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που αποτελούν ϑεµελιώδεις καταστάσεις, είναι ένας κύκλος που ϐρίσκεται στο επίπεδο ϕ 1, ϕ και έχει ακτίνα ίση µε υ, όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. Το γράϕηµα που προκύπτει από την ελαχιστοποίηση του δυναµικού για το σύστηµα ενός µιγαδικού, ϐαθµωτού πεδίου. Το σχήµα του ϑυµίζει ένα αναποδογυρισµένο µεξικάνικο καπέλο. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, τώρα παίρνουµε δυο τιµές που να ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου : ϕ 1 = υ και ϕ =. Οπως και στην περίπτωση της διακριτής συµµετρίας, αναπτύσσουµε γύρω από το κενό παίρνοντας µικρές διακυµάνσεις : ϕx = 1 [υ + ηx + iξx]

70 και αντικαθιστώντας στη λαγκρατζιανή 3.11, έχουµε : [ ] υ + ηx + iξx υ + ηx + iξx L = µ µ [ υ + ηx + iξx ] υ + ηx + iξx µ λ [ υ + ηx + iξx ] υ + ηx + iξx = 1 [ µηx + iξx] µ ηx + iξx µ [ υ + υηx + iυξx + υηx + η x + ηxiξx iυξx iξxηx + ξ x ] λ [ υ + υηx + iυξx + υηx + η x 4 + iηxξx iυξx iξxηx + ξ x ] = 1 [ µηx i µ ξx] [ µ ηx + i µ ξx] µ + η x + ξ x λ 4 [υ + υηx + η x + ξ x] υ + υηx = 1 µηx + 1 µξx µ υ µ υηx µ η x µ ξ x λ [ υ 4 + 4υ 3 ηx + 4υ η x + υ η x 4 + υ ξ x + 4υη 3 x + 4υηxξ 3 x + η 4 x + η xξ x + ξ 4 x ] = 1 µηx + 1 µξx + µ η x + σταθ. + 3,4ες δυνάµεις των η,ξ 3.16 Η λαγκρατζιανή στην οποία καταλήξαµε δε σέβεται την αρχική συµµετρία η οποία έσπασε έπειτα από την αυθαίρετη επιλογή κενού. Για τη λαγκρατζιανή αυτή, παρατηρούµε πως ο τρίτος όρος είναι όρος πραγµατικής µάζας, αϕού έχει τη µορϕή 1 m ηη x. Εποµένως, η µάζα του πεδίου ηx ϑα είναι : 1 m η = µ m η = µ 3.17 Για το πεδίο ξx, παρατηρούµε πως στη λαγκρατζιανή υϕίσταται κινητικός όρος αλλά απουσιάζει όρος της µορϕής 1 m ξ ξ x. Αυτό σηµαίνει ότι πρόκειται για ένα άµαζο πεδίο. Αυτό εξηγείται αν λογαριάσουµε ότι το πεδίο ξx κείται στην εϕαπτοµένη του κύκλου 3.14, στον οποίο το δυναµικό είναι σταθερό. Το αποτέλεσµα αυτό που προέκυψε αποτελεί ένα παράδειγµα ενός γενικότερου φαινοµένου που ονοµάζεται ϑεώρηµα Goldstone: Από το αυ- ϑόρµητο σπάσιµο συνεχούς συµµετρίας αναδύεται ένα άµαζο σωµατίδιο που ονοµάζεται σωµατίδιο Goldstone. Είναι αλήθεια ότι η προσθήκη ενός ακόµα 7

71 ϐαθµωτού πεδίου προκαλεί σύγχυση και αποπροσανατολίζει από τον αρχικό στόχο, ο οποίος ήταν µε το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας να διαπιστώσοµε πως παίρνουν µάζα τα µποζόνια στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Οπως είναι λογικό η εισαγωγή ενός άµαζου και µάλιστα µη παρατηρήσιµου σω- µατιδίου ϑολώνει το τοπίο. Εν τέλει όµως επέρχεται ολική ανατροπή, καθώς αναβαθµίζοντας τη συµµετρία σε τοπική, καταϕέρνουµε να απαλλαγούµε από τα ανεπιθύµητα µποζόνια Goldstone Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgsαβελιανή περίπτωση Περνάµε τώρα στη µελέτη του σπασίµατος τοπικής συµµετρίας ϐαθµίδας. Αρχικά ϑα δουλέψουµε µε την αβελιανή συµµετρία U1 και αργότερα ϑα επεκτείνουµε την ανάλυση και στη µη αβελιανή περίπτωση της SU. Σύµϕωνα µε όσα αναϕαίρονται στην παράγραϕο.6.1, για να γίνει η λαγκρατζιανή 3.11 αναλλοίωτη κάτω από το µετασχηµατισµό U1 : ϕ e iαx ϕ, ϑα πρέπει να εισαγάγουµε το άµαζο πεδίο ϐαθµίδας A µ και να αναβαθµίσουµε την παράγωγο σε αναλλοίωτη : όπου το πεδίο A µ µετασχηµατίζεται ως D µ = µ iea µ 3.18 A µ A µ + 1 e µα 3.19 Εποµένως, επιβάλοντας τους µετασχηµατισµούς στην 3.11 η gauge-αναλλοίωτη λαγκρατζιανή που προκύπτει ϑα είναι : L = µ + iea µ ϕ µ iea µ ϕ µ ϕ ϕ λϕ ϕ 1 4 F µνf µν 3. Αν η παράµετρος µ είναι ϑετική τότε αποκτούµε τη λαγκρατζιανή της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής ενός ϐαθµωτού σωµατιδίου µάζας µ. Το φερµιονικό ανάλογο αυτής της λαγκρατζιανής είναι το αποτέλεσµα που είχαµε ϐρει στο προηγούµενο κεϕάλαιο για τους τοπικούς µετασχηµατισµούς U1, συγκεκριµένα στην εξίσωση.13. Παρ όλα αυτά, ϑα επιλέξουµε µ <, µιας και ϑέλουµε να προκύψουν οι µάζες από το αυθόρµητο σπάσιµο της συµ- µετρίας. Οπως πράξαµε και στην περίπτωση της εκτεταµένης συµµετρίας, µεταϕέρουµε το σύστηµα σε µια πραγµατική κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, αναπτύσσουµε το πεδίο γύρω από µια τιµή του κενού και αντικαθιστούµε την 71

72 3.15 στη λαγκρατζιανή 3.. L = 1 µ + iea µ υ + η iξ µ iea µ υ + η + iξ }{{} L kin µ υ + η iξυ + η + iξ λ [υ + η iξυ + η + iξ] }{{ 4 } L pot 1 4 F µνf µν }{{} L bos 3.1 Σπάµε τώρα τη λαγκρατζιανή L σε τρία κοµµάτια για να γίνει πιο εύκολη η µελέτη της. Ο δυναµικός όρος L pot ϑα δώσει τα αποτελέσµατα που πήραµε και στην περίπτωση του σπασίµατος της εκτεταµένης συµµετρίας, αϕού η ανα- ϐάθµιση της παραγώγου δεν επιϕέρει κάποια αλλαγή. Συνεπώς το δυναµικό της λαγκρατζιανής L pot = µ υ + η iξυ + η + iξ + λ 4 [υ + η iξυ + η + iξ] 3. ϑα δώσει µετά από πράξεις έναν όρο που φέρει µάζα και µια σειρά από όρους αλληλεπίδρασης και σταθερών. L pot = µ η µ 4λ λυυη η3 ηξ 3 λ 4 η4 λ η ξ 3.3 Ο όρος L bos παραµένει ανεπηρέαστος από το µετασχηµατισµό. Ο κινητικός όρος L kin είναι αυτός που διαϕοροποιεί τα αποτελέσµατα από την εκτεταµένη περίπτωση, αϕού αποτελείται από όρους οι οποίοι περιέχουν την τροποποιηµένη παράγωγο. Κάνουµε λοιπόν τις πράξεις : L kin = 1 µ + iea µ υ + η iξ µ iea µ υ + η + iξ = 1 µ η i µ ξ + ieυa µ + iea µ η + ea µ ξ µ η + i µ ξ ieυa µ iea µ η + ea µ ξ = 1 µ η µ η + i µ η µ ξ ieυa µ µ η iea µ η µ η + e µ ηa µ ξ i µ ξ µ η + µ ξ µ ξ eυ µ ξa µ e µ ξa µ η ie µ ξa µ ξ + ieυa µ µ η + e υ A µ A µ eυa µ µ ξ + e υa µ A µ η + ie υa µ A µ ξ + iea µ µ η e µ ξa µ η + e υa µ A µ η + e A µ A µ η + ie A µ A µ ηξ + ea µ ξ µ η + ie µ ξa µ ξ ie υa µ A µ ξ ie A µ A µ ξη 7

73 + e A µ A µ ξ = 1 [ µ η µ η + µ ξ µ ξ] + ea µ ξ µ η eυa µ µ ξ ea µ η µ ξ + 1 e υ A µ A µ + e υa µ A µ η + 1 e A µ A µ η + 1 e A µ A µ ξ 3.4 Συνθέτοντας πάλι τα κοµµάτια, η λαγκρατζιανή του συστήµατος είναι : L = 1 µη + 1 µξ + 1 e υ A µ A µ + e µ ηa µ ξ eυ µ ξa µ e µ ξa µ η + e υa µ A µ η + 1 Aµ A µ η + 1 e A µ A µ ξ µ η µ4 4λ λυυη η 3 ηξ 3 λ 4 η4 λ η ξ 1 4 F µνf µν 3.5 Κρατώντας λοιπόν µόνο τους όρους που µας ενδιαϕέρουν, παίρνουµε την τελική µορϕή της λαγκρατζιανής : L = 1 µη + 1 µξ + 1 e υ A µ A µ µ η eυa µ µ ξ 1 4 F µνf µν + inter.terms + const. 3.6 Ερµηνεύοντας την παραπάνω λαγκρατζιανή διαπιστώνουµε ότι το σωµατιδιακό της φάσµα είναι ένα άµαζο µποζόνιο Goldstone ξ, ένα ϐαθµωτό µποζόνιο η που έχει µάζα και ένα πολυπόθητο µαζικό διανυσµατικό µποζόνιο A µ. Οι µάζες τους είναι : 1 m η = µ m η = µ 1 m A = 1 e υ m A = eυ 3.7 Μέσα λοιπόν από την παραπάνω διαδικασία καταϕέραµε να αναδείξουµε τη µάζα του πεδίου ϐαθµίδας A µ, αλλά ακόµα αντιµετωπίζουµε πρόβληµα από την παρουσία του άµαζου µποζονίου Goldstone. Οµως το µποζόνιο αυτό δεν είναι το µόνο πρόβληµα που καλούµαστε να αντιµετωίσουµε. Στη λαγκρατζιανή παρατηρείται και ο περίεργος όρος eυ µ ξa µ. Αν προσπαθήσουµε να τον ερµηνεύσουµε σαν αλληλεπίδραση, τότε πρόκειται για µια διαδικασία κατά την οποία το ξ µετατρέπεται σε A. Οµως ο όρος αυτής της µορϕής, διγραµµικός σε δύο διαϕορτικά πεδία, δείχνειο ότι έχουµε ταυτοποιήσει λαν- ϑασµένα τα σωµατίδια από τη λαγκρατζιανή 3.6. Επιπλέον, υπάρχει ακόµα ένα πρόβληµα το οποίο µας υποδεικνύει ότι πρέπει να αναθεωρήσουµε τη λαγκρατζιανή µας. Αν µετρήσουµε τους ϐαθ- µούς ελευθερίας της αρχικής µας λαγκρατζιανής 3. είναι συνολικά τέσσερις. ύο για τα ϕ, ϕ και δύο εγκάρσιες συνιστώσες για το άµαζο µποζόνιο 73

74 ϐαθµίδας A µ. Αν µετρήσουµε τους ϐαθµούς ελευθερίας της λαγκρατζιανής 3.6 διαπιστώνουµε ότι έχουµε συνολικά πέντε. ύο λόγω των η, ξ και τρεις οι ϐαθµοί ελευθερίας πόλωσης του µποζονίου A µ, αϕού πέρα από τους δύο που είχε λόγω των εγκάρσιων συνιστωσών, αποκτώντας µάζα, αποκτά αυτό- µατα έναν τρίτο διαµήκη ϐαθµό ελευθερίας. Οµως η αύξηση των ϐαθµών ελευθερίας είναι αδύνατο να οϕείλεται σε µια απλή αλλαγή στις µεταβλητές των πεδίων. Αυτό σηµαίνει πως έχουµε ερµηνεύσει λάθος τους όρους της λαγκρατζιανής καθώς κάθε πεδίο δεν αντιστοιχεί σε ξεχωριστό σωµατίδιο και πως πρέπει να την απαλλάξουµε από κάποιο σωµατίδιο. Το ποιο σωµατίδιο ϑα είναι αυτό και ο τρόπος κατά τον οποίο χειριζόµαστε τη λαγκρατζιανή ώστε να αποµείνουν τα σωµατίδια που πρέπει, είναι η ακόλουθη. Παρατηρούµε ότι οι διακυµάνσεις γύρω από το κενό µας µπορούν να γραφτούν : ϕ = 1 υ + η + iξ 1 υ + ηe iξ/υ 3.8 Στο σηµείο αυτό, αντιλαµβανόµαστε ότι πρέπει να αντικαταστήσουµε στην αρχική λαγκρατζιανή 3. µε ένα διαϕορετικό σύνολο πραγµατικών πεδίων hx, θx, A µ x ϕ = 1 υ + he iθ 3.9 Γνωρίζουµε ότι η αρχική λαγκρατζιανή 3., παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας U1. Εποµένως κάνουµε ένα µετασχηµατισµό ϐαθµίδας και λόγω της 3.9, ο µετασχηµατισµός ϑα είναι : ϕ ϕ = e iθ ϕ 3.3 ϕ ϕ = 1 υ + he iθ e iθ = 1 υ + h A µ A µ = A µ 1 eυ µθ 3.31 Αυτή είναι µια πολύ συγκεκριµένη επιλογή της ϐαθµίδας όπου το θx ε- πιλέχθηκε έτσι ώστε το πεδίο h να είναι πραγµατικό. Περιµένουµε λοιπόν αποτελέσµατα τα οποία να είναι ανεξάρτητα από το πεδίο θ. Θα προκύψει λοιπόν η παρακάτω λαγκρατζιανή. L = µ + iea µ ϕ µ iea µϕ µ ϕ ϕ λϕ ϕ 1 }{{}}{{} 4 F µνf µν }{{} L L kin pot L bos 3.3 Οπως έχουµε επαναλάβει και παραπάνω, σπάµε τη λαγκρατζιανή L σε τρία κοµµάτια για να τη µελετήσουµε καλύτερα. 74

75 Ο δυναµικός όρος L pot ϑα δώσει : L pot = µ ϕ ϕ λϕ ϕ = 1 µ υ + hυ + h + λ [υ + hυ + h] 4 = 1 µ υ + 1 µ h + µ υh + λ [ υ + υh + h ] 4 = 1 µ µ + 1 λ µ h + λ [ υ 4 + 4υ h + 4υ 3 h 4 + h 4 + h υ + 4υh 3] = µ4 λ + 1 µ h + λ µ 4 4 λ + λυ h + λυ 3 h λh4 + λ h υ + λυh 3 + µ4 4λ µ h + λυ 3 h + λ 4 h4 + λυh ο όρος που αντιπροσωπεύει το πεδίο ϐαθµίδας L bos παραµένει αναλλοίωτος κάτω από τους U1 µετασχηµατισµούς. Το κοµµάτι που περιέχει τους κινητικούς όρους ϑα γίνει : L kin = 1 [ µ + ie A µ + 1 ] [ eυ µ θ υ + h µ ie A µ + 1 ] eυ µθ υ + h = 1 [ µ υ + µ h + iea µ υ + iea µ h + ie 1 eυ µ θυ + ie 1 ] eυ µ θh [ µ υ + µ h iea µ υ iea µ h ie 1 eυ µθυ ie 1 ] eυ µθh κρατώντας µόνο τα γινόµενα που χρειάζονται για εξοικονόµηση χώρου = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 e A µ A µ h + 1 ieaµ h iea µ υ + 1 ieaµ υ iea µ h = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 eaµ A µ h + 1 e υa µ A µ h + 1 e υa µ ha µ = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 eaµ A µ h + e υa µ A µ h 3.34 Συνεπώς, ενώνοντας τα κοµµάτια παίρνουµε την ολική λαγκρατζιανή L tot = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 eaµ A µ h + e υa µ A µ h + µ h λυ 3 h λ 4 h4 λυh 3 µ4 4λ 1 4 F µν F µν

76 Πράγµατι, όπως αποδείχθηκε, η ϑεωρία µας είναι ανεξάρτητη από το σωµατίδιο θ, δηλαδή, το σωµατίδιο Goldstone έχει εξαϕανιστεί. Ας δούµε πάλι αναλυτικά το φάσµα των σωµατιδίων που ανέκυψαν : Ενα φυσικό ϐαθµωτό πεδίο h και ένα διανυσµατικό πεδίο ϐαθµίδας A µ των οποίων οι µάζες είναι : m A = eυ και m h = µ 3.36 Απαλλαγµένοι λοιπόν από το πεδίο που µε την παρουσία του έδινε ένα ϐαθµό ελεθερίας παραπάνω από ότι έπρεπε, οι ϐαθµοί ελευθερίας του συστήµατος πλέον είναι τέσσερις, τρεις του διανυσµατικού µποζονίου ϐαθµίδας A µ και ένας του ϐαθµωτού πεδίου h όπως επιζητούσαµε. Ο παραπάνω ϐαθµός ε- λευθερίας που περίσσευε στη L είναι κίβδηλος αϕού απλά αντιστοιχεί στην ελευθερία επιλογής να κάνουµε έναν µετασχηµατισµό ϐαθµίδας. Οι δύο εκϕράσεις της λαγκρατζιανής 3.6 και 3.35 είναι ισοδύναµες, περιγράϕουν δηλαδή το ίδιο σύστηµα, απλά η ταυτοποίηση των φυσικών σω- µατιδίων µπορούσε να γίνει µόνο µέσω της δεύτερης. Σε αυτήν, το would-be goldstone boson ξx όπως καλείται, έχει απορροϕηθεί από το διανυσµατικό µποζόνιο ϐαθµίδας και έχει αναλάβει το ϱόλο της τρίτης και διαµήκους καταστάσεως πόλωσης. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται µηχανισµός Higgs, και το φυσικό ϐαθµωτό σωµατίδιο h που παραµένει στη ϑεωρία µας ονοµάζεται µποζόνιο Higgs. Αυτός είναι λοιπόν ο µηχανισµός κατά τον οποίο τα µποζόνια µιας αβελιανής ϑεωρίας ϐαθµίδας αποκτούν µάζα. Παρακάτω ϑα επεκταθούµε και στη µη αβελιανή περίπτωση της SU, από την οποία περιµένουµε να προκύψουν οι µάζες των τριών διανυσµατικών µποζονίων Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgs- Μη αβελιανή περίπτωση Παροµοίως µε την παραπάνω µεθοδολογία, ϑα κινηθούµε για να µελετήσουµε το αυθόρµητο σπάσιµο µη αβελιανής συµµετρίας. Τα αποτελέσµατα ϑα µας χρησιµεύσουν στα µετέπειτα υποκεϕάλαια όπου ϑα ξεδιπλωθεί το καθιερωµένο πρότυπο. Για την SU ϑεωρία ϐαθµίδας ξεκινάµε λοιπόν µε τη λαγκρατζιανή L = µ ϕ µ ϕ µ ϕ ϕ λϕ ϕ 3.37 όπου ϕ είναι µια µιγαδική δυάδα από ϐαθµωτά πεδία : ϕα ϕ = = 1 ϕ1 + iϕ ϕ β ϕ 3 + iϕ Γνωρίζουµε πλέον από την περίπτωση της U1, ότι πρέπει να πάρουµε τη λαγκρατζιανή που είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς SU µετασχηµατισµούς, δηλαδή, να προσαρµόσουµε την 3.37 αναβαθµίζοντας την 76

77 παράγωγο από απλή σε συναλλοίωτη εξίσωση.18 µ D µ = µ + ig τ i W i µ 3.39 και έπειτα εισάγοντας στη λαγκρατζιανή µας τη λαγκρατζιανή των πεδίων ϐαθ- µίδας, τα οποία µετασχηµατίζονται εξίσωση.11 κατά τον εξής τρόπο : W i µ W i µ = W i µ 1 g µθ i x ε ijk θ j xw k µ 3.4 και τον τανυστή πεδίου W i µν να ορίζεται εξίσωση.19 ως W i µν = µ W i ν ν W i µ gε ijk θ j xw k µ 3.41 Εποµένως επιβάλοντας αυτές τις ϐελτιώσεις στην 3.37, αυτή γίνεται : L = D µ ϕ D µ ϕ µ ϕ ϕ λϕ ϕ 1 4 W i µνw µνi 3.4 Αν πάρουµε την περίπτωση που η παράµετρος µ είναι ϑετική, τότε ϑα πρόκειται για µια λαγκρατζιανή η οποία περιγράϕει ένα σύστηµα τεσσάρων πραγµατικών, ϐαθµωτών πεδίων ϕ i, καθένα από τα οποία έχει µάζα µ και αλληλεπιδρά µε τα τρία άµαζα µποζόνια ϐαθµίδας Wµ i. Η περίπτωση αυτή δεν παρουσιάζει ενδιαϕέρον, συνεπώς δε ϑα σχοληθούµε περεταίρω. Η περίπτωση µε την οποία ϑα ασχοληθούµε ενδελεχώς είναι εκείνη κατά την οποία η παράµετρος µ είναι αρνητική. Ακολουθώντας τη γνωστή πλέον διαδικασία, ϐρίσκουµε την καινούρια κατάσταση ελαχίστης ενέργειας όπου συνεχίζουµε µε το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας. Συνεπώς η δυναµική ενέργεια V ϕ = µ ϕ ϕ + λϕ ϕ 3.43 παρουσιάζει ελάχιστο στα σηµεία : V ϕ = µ ϕ + λϕ ϕ = ϕ µ + λϕ ϕ = ϕ = ή ϕ = µ λ ϕ ϕ 1 ϕ 1 + ϕ + ϕ 3 + ϕ 4 = µ λ 3.44 Ο γεωµετρικός τόπος των ελαχίστων του συστήµατος µας είναι όπως φαίνεται µια τετραδιάστατη σϕαίρα µια υπερσϕαίρα. Ενα από τα άπειρα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση της υπερσϕαίρας είναι το : ϕ 1 = ϕ = ϕ 4 =, ϕ 3 = µ λ υ

78 Η επιλογή του σηµείου έγινε καθαρά µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση των πράξεων. Συνεπώς, επειδή το πεδίο ϕ είναι µια δυάδα, το κενό µας γράϕεται : ϕ υ Αν εκτελούσαµε λοιπόν στην τύχη µικρές διαταραχές γύρω άπό το κενό, το πεδίο µαζί µε τη διαταραχή ϑα ήταν : ϕ = 1 η1 x + iη x 3.47 υ + η 3 x + iη 4 x Οµως πλέον είµαστε σε ϑέση να πονηρευτούµε ότι αν πάρουµε τυχαία τη διαταραχή, δε ϑα είναι εύκολο να απαλλαγούµε καθοριστικά από τα άµαζα µποζόνια Goldstone. Γιάυτό και υπολογίζουµε την ακόλουθη ποσότητα, όπου τα πεδία θ i, h είναι πραγµατικά ϕx = e iτ iθ i x/υ υ + hx/ 3.48 και η οποία δεν είναι καθόλου τυχαία, αλλά είναι µια ποσότητα η οποία αποτελεί τον SU µετασχηµατισµό συµµετρίας. Ετσι αν αϕού κάνουµε τις πράξεις καταλήξουµε σε ένα πεδίο ϕ όπου τα τέσσερα αυτά πραγµατικά πεδία ϑα είναι ανεξάρτητα και ϑα παραµετροποιούν πλήρως τη διαταραχή γύρω από το κενό ϕ τότε η επιλογή µας είναι έγκυρη και µετά κάνοντας ένα µετασχηµατισµό ϐαθµίδας, ο οποίος γίνεται χωρίς κάποιο τίµηµα - η λαγκρατζιανή µας παρα- µένει πλέον αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας-, τα δύο εκθετικά ϑα αλληλοαναιρεθούν και στο τέλος το διαταραγµένο πεδίο µας ϑα είναι : ϕx = υ + hx Ας εκτελέσουµε µε τη σειρά από την αρχή τις πράξεις. εδοµένου ότι αναϕερό- µαστε σε απειροστές διαταραχές, υπολογίζουµε το πεδίο που δίνει η εν ξεχνάµε ότι όταν µετασχηµατίζεται το πεδίο, µετασχηµατίζεται και το µποζόνιο ϐαθµίδας σύµϕωνα µε τη σχέση.81 ϕx = e iτ iθ i x/υ = 1 [ i 1 υ + hx/ 1 + i 1 θ 3 ] υ + hx 1 + iτ i θ i x i θ 1 + i i = iθ3 /υ iθ 1 iθ /υ iθ 1 + iθ /υ 1 θ 3 /υ = 1 θ + iθ 1 υ + h iθ 3 θ υ + hx υ + hx/

79 όπου στο τελευταίο γινόµενο κρατήσαµε µόνο τους όρους πρώτης τάξης. Βλέπουµε λοιπόν από το παραπάνω αποτέλεσµα ότι τα τέσσερα πεδία είναι όντως ανεξάρτητα και παραµετροποιούν πλήρως τις αποκλίσεις από το κενό. Αντικα- ϑιστώντας την έκϕραση αυτή των πεδίων στη λαγκρατζιανή L, και εϕαρµόζοντας το αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας σε αυτή, τότε, ϑα είχαµε την εµϕάνιση ανεπιθύµητων µποζονίων Goldstone. Γιάυτό όπως προαναϕέραµε ϑα κάνουµε ένα µετασχηµατισµό SU ϐαθµίδας στο πεδίο 3.48, µε αποτέλεσµα να µη µείνει ίχνος πεδίου θ i : ϕ ϕ = Uϕ = Ue iτ iθ i x/υ 1 υ + hx = 1 e iτ iθ i x/υ e iτ iθ i x/υ = 1 υ + hx υ + hx 3.51 Καταλήξαµε λοιπόν σε ένα πεδίο ϕ χωρίς κανένα θ i πεδίο, όπως ακριβώς το προβλέψαµε. Τώρα, το µόνο που µένει για να πάρουµε τα αποτελέσµατα της ϑεωρίας µας, είναι να αντικαταστήσουµε την 3.48 στην έκϕραση της L, ενθυµούµενοι ότι η ποσότητα WµνW i µνi παραµένει αναλλοίωτη και ότι η συναλλοίωτη παράγωγος ϑα είναι D µ ϕ = U 1 D µϕ. Οπότε λαγκρατζιανή στη µοναδιαία ϐαθµίδα ϑα είναι : L = U 1 D µϕ U 1 D µ ϕ µ υ + η λ 4 υ + η4 1 4 W i µνw µνi = D µϕ U 1 U 1 D µ ϕ µ υ + η λ 4 υ + η4 1 4 W i µνw µνi = D µϕ D µ ϕ µ υ + η λ 4 υ + η4 1 4 W i µνw µνi = µ ϕ + ig 1 τ iw µ i ϕ µ ϕ + ig 1 τ iw µi ϕ µ υ + h λ υ + h W i µνw µνi 3.5 Γνωρίζουµε ότι οι όροι της λαγκρατζιανής που φέρουν µάζα είναι οι τετραγωνικοι ως προς ένα κάθε φορα πεδίο. Βλέπουµε ότι από την παραπάνω σχέση 79

80 ένας τέτοιος όρος είναι : ig 1 τ iwµ i ϕ ig 1 τ iwµ i ϕ = ig 1 τ iw iµϕ ig 1 τ iw iµϕ +... ig 1 τ iwµϕ i ig 1 τ iwµϕ i = g 8 [ Wµ 3 Wµ 1 iwµ ] W Wµ 1 + Wµ W µ 3 µ 3 Wµ 1 iwµ υ Wµ 1 + Wµ W µ 3 υwµ 1 iwµ υwµ 3 υwµ 1 iwµ = g 8 = g υ 8 υw 3 µ υ [ W 1 µ + W µ + W 3 µ ] 3.53 και δίνει ότι η µάζα κάθε µποζονίου είναι 1 m w = g υ 8 m w = 1 gυ 3.54 Ο δεύτερος όρος που µας δίνει όρο µάζας και µάλιστα του ϐαθµωτού µποζονίου προκύπτει από τους δυναµικούς όρους της λαγκρατζιανής.: V ϕ = µ υ + h + λ υ + h4 4 = µ4 4λ + µ h + λυ 3 h + λ 4 h4 + λυh από όπου µας δίνεται ότι η µάζα του µποζονίου higgs είναι : 1 m h = µ m h = µ 3.56 Συµπερασµατικά, η λαγκρατζιανή που προκύπτει από το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας SU, περιγράϕει τρία διανυσµατικά πεδία ϐαθµίδας και ένα ϐαθµωτό πεδίο h τα οποία έχουν όλα µάζα. Αυτό που έχει συµβεί εδώ είναι ότι τα πεδία ϐαθµίδας έχουν απορροϕήσει τα µποζόνια Goldstone, αποκτώντας έτσι µάζα. Οι ϐαθµοί ελευθερίας που ϑα οϕείλονταν στα τρία πεδία θx έχουν ενσωµατωθεί στα διανυσµατικά µποζόνια ϐαθµίδας σαν µια τρίτη διαµήκη κατάσταση πόλωσης. Με αυτό τον τρόπο λοιπόν, µέσω του µηχανισαµού higgs, τα πεδία της ϐαθµίδας SU αποκτούν µάζα. Ανακεϕαλαιώνοντας, ο µηχανισµός Higgs µας επιτρέπει να απαλλασσόµαστε από τα άµαζα µποζόνια. Βέβαια, το ϐασικό µας πρόβληµα παραµένει να είναι το γεγονός ότι πρέπει τις µάζες που κατάϕεραν να πάρουν τα σωµατίδια να τις ενσωµατώσουµε στη ϑεωρία µας κρατώντας την επανακανονικοποιήσι- µη. Θα µπορούσαµε να εισαγάγουµε στη λαγκρατζιανή τους όρους µάζας µε το χέρι και να σπάσουµε τη συµµετρία της. Οµως, όπως είδαµε, δεν το πράξαµε για να µη χάσει η ϑεωρία µας την ικανότηα να δίνει προβλέψεις. Με 8

81 το αυθόρµητο σπάσιµο η συµµετρία δεν εξαϕανίζεται αλλά είναι κατά κάποιο τρόπο κρυµµένη στη νέα κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Λόγω αυτού του πλεονεκτήµατος, πιστεύεται ότι µέσω των ϑεωριών ϐαθµίδας ίσως αποτυπωθεί ένα πλάνο για όλες τις σωµατιδιακές αλληλεπιδράσεις. Στο επόµενο υποκεϕάλαιο ϑα µπούµε στην καρδιά του καθιερωµένου προτύπου, όπου οι ασθενείς και οι ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις χτίζονται από µια ϑεωρία ϐαθµίδας τεσσάρων πεδίων, του φωτονίου και των τριών διανυσµατικών µποζονίων W ±, Z. Με το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας τα µποζόνια της ασθενούς αλληλεπίδρασης κερδίζουν µάζα, ενώ ένα πεδίο παραµένει άµαζο, το φωτόνιο. Μια τέτοια ϑεωρία ϑα είναι επανακανονικοποιήσιµη και ϑα περιέχει ένα ή και παραπάνω ϐαθµωτά µποζόνια Higgs, αλλά κανένα Goldstone. 3. Οι ϑεωρίες ϐαθµίδας του Καθιερωµένου Προτύπου Στο προηγούµενο κεϕάλαιο είδαµε ότι µε τη χρήση εσωτερικών συµµετριών ϐαθµίδας συµµετρίες που δεν επηρεάζουν τον εξωτερικό χωρόχρονο και την ταυτόχρονη απαίτηση η λαγκρατζιανή να παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς, προέκυψαν τα πεδία ϐαθµίδας που περιγράϕουν τις αντίστοιχες αλληλεπιδράσεις. Συνολικά οι συµµετρίες που απαιτούνται για την περιγραϕή όλων των γνωστών στοιχειωδών σωµατιδίων και των αλληλεπιδράσεών τους είναι τρεις άρα ϑα χρειαστούµε τρεις ϑεωρίες ϐαθµίδας και η ένωσή τους µας δίνει το καθιερωµένο πρότυπο. Ας τις εξετάσουµε αναλυτικά : 3..1 Η συµµετρία U1 Y Η πρώτη συµµετρία είναι µια συµµετρία U1, η οποία ως γνωστό είναι µια εσωτερική συµµετρία. Η συµµετρία αυτή, δεν είναι η ίδια που είδαµε στο προηγούµενο κεϕάλαιο από την οποία οδηγηθήκαµε στην QED ϑεωρία. Φυσικά, οι δυο αυτές συµµετρίες συνδέονται µέσω φυσικών επιχειρηµάτων, µια σύνδεση που ϑα αναλύσουµε παρακάτω. Το πεδίο ϐαθµίδας που αντιστοιχεί στη συµµετρία µας ϑα το ονοµάσουµε B µ σε αντιστοιχία µε το πεδίο φωτονίου A µ και τον κβαντικό αριθµό της ϑα τον ονοµάσουµε υπερϕορτίο και ϑα συµ- ϐολίζεται µε Y σε αντιστοιχία µε τον κβαντικό αριθµό του φορτίου q. Για να γίνεται σαϕές σε ποια συµµετρία αναϕερόµαστε, τη συµβολίζουµε ως U1 Y. Ο τοπικός µετασχηµατισµός ϐαθµίδας είναι : και η συναλλοίωτη παράγωγος ϑα είναι : ψ ψ = U Y ψ = e i Y θx 3.57 µ D µ = µ + ig 1 Y B µ

82 3.. Η συµµετρία SU L Η δεύτερη συµµετρία είναι µια εσωτερική συµµετρία ϐαθµίδας SU η οποία συνδέεται πάλι µέσω φυσικών επιχειρηµάτων τόσο µε τις ασθενείς όσο και µε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Αρχικά µια εσωτερική συµµετρία SU µε κβαντικό αριθµό το ισχυρό ισοτοπικό σπιν, χρησιµοποιείτο στον τοµέα της πυρηνικής φυσικής ώστε να ξεχωρίζει τις δύο καταστάσεις ενός νουκλεονίου : την κατάσταση του πρωτονίου και την κατάσταση του νετρονίου. Επειδή οι µάζες του πρωτονίου και του νετρονίου είναι σχεδόν ίδιες, τα δυο σωµατίδια µπορούν να ϑεωρηθούν σαν εκϕυλισµένες καταστάσεις µε ίδια ενέργεια µάζα. Οι ισχυρές πυρηνικές αλληλεπιδράσεις αδυνατούσαν να ξεχωρίσουν τις δυο αυτές καταστάσεις. Ετσι, p ως προς κάποια συµµετρία SU το νουκλεόνιο N =, αποτελούσε τη n ϑεµελιώδη αναπαράσταση µε ισχυρό ισοτοπικό σπιν T = 1/, όπου το πρωτόνιο αντιστοιχούσε στην T 3 = 1/ συνιστώσα, ενώ στην T 3 = 1/ συνιστώσα αντιστοιχούσε το νετρόνιο. Η ιδέα αυτή αποτελεί επέκταση της συµπεριϕο- ϱάς του ηλεκτρονίου απουσία µαγνητικού πεδίου όπου οι δυο διαϕορετικές καταστάσεις του ηλεκτρονίου µε σπιν πάνω και σπιν κάτω είναι εκϕυλισµένες. Παροµοίως, µε το ίδιο σκεπτικό, ως προς την ίδια συµµετρία SU, τα πιόνια π ±, π αποτελούσαν την T = 1 αναπαράσταση του ισχυρού ισοτοπικού π 1 σπιν. Ετσι, η κατάσταση του πιονίου γραϕόταν σα µια τριπλέτα π = π, όπου τα στοιχεία της αντιστοιχούσαν στις τρεις συνιστώσες T 3 = ±1, ορίζοντας τις καταστάσεις : π ± = 1 π 1 iπ, π = π π 3 σαν τις ηλεκτρικά φορτισµένες καταστάσεις. Εµείς εδώ ϑα χρησιµοποιήσουµε τη συµµετρία SU σα συµµετρία ϐαθ- µίδας για την περιγραϕή των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Για να συµβεί αυτό πρέπει να εισάγουµε τον κβαντικό αριθµό ασθενούς ισοτοπικού σπιν T. Είναι γνωστό ότι ο κβαντικός αριθµός της οµοτιµίας διατηρείται σε όλες τις αλληλεπιδράσεις εκτός από τις ασθενείς. Σε αυτήν την παραβίαση της οµοτιµίας ϐασίζεται η συµπεριϕορά των στοιχειωδών σωµατιδίων ως προς τον κβαντικό αριθµό του ασθενούς ισοτοπικού σπιν. Με τη ϐοήθεια των προβολικών τελεστών ξεχωρίζουµε τις κυµατοσυναρτήσεις σε αριστερόστροϕο και δεξιόστροϕο µέρος. ˆ Οι δεξιόστροϕες συνιστώσες των σωµατιδίων ύλης λεπτονίων και κουαρκς ψ R = 1 + γ5 ψ 3.6 8

83 αποτελούν τετριµµένες T = αναπαραστάσεις : f i R : e R u R d R µ R c R s R t R t R b R l i R U i R D i R T = 3.61 ˆ Οι αριστερόστροϕες συνιστώσες των φερµιονίων ψ L = 1 γ5 ψ 3.6 αποτελούν τις T = 1/ αναπαραστάσεις εδώ έχουµε χωρίσει τα λεπτόνια από τα κουαρκς: l i L ve e L vµ µ L vτ τ L Q i L u d L c s L t b L T = όπου σε κάθε διπλέτα το πάνω στοιχείο είναι η συνιστώσα T 3 = 1/, ενώ η κάτω είναι T 3 = 1/. Βλέπουµε λοιπόν ότι υπάρχουν τρεις οικογένειες κουαρκ και τρεις λεπτονίων αριστερόστροϕων. Τα πεδία ϐαθµίδας Wµ i της SU συµµετρίας ϐαθµίδας αποτελούν την T = 1 αναπαράστασή της. W 1 µ W µ = Wµ T = Wµ 3 και οι ηλεκτρικά φορτισµένες καταστάσεις ϑα είναι : W ± µ = 1 W 1 µ iw µ, W µ = W 3 µ 3.65 Μιας και η συµµετρία ϐαθµίδας SU είναι συνδεδεµένη µε τις αριστερόστροϕες συνιστώσες των πεδίων ύλης, συµβολίζουµε τη συµµετρία SU L, της οποίας ο τοπικός µετασχηµατισµός είναι : µε συναλλοίωτη παράγωγο ψ ψ = Uψ = e i τ i θ i x ψ 3.66 µ D µ = µ ig τ i W i µ

84 Παρακάτω ϑα γίνει κατανοητό το πώς η συµµετρία SU L συνδέεται µε τις ασθενεις και τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Προς το παρόν, πρέπει να καταστήσουµε σαϕή τη σχέση των κβαντικών αριθµών των τριών συµµετριών U1 Q, U1 Y, SU L. Το ηλεκτρικό φορτίο συνδέεται µε το ασθενές ισοτοπικό σπιν και το υπερϕορτίο µε τη σχέση : Q = T 3 + Y 3.68 όπου η συµµετρία U1 Q µετασχηµατίζει ένα πεδίο : µε συναλλοίωτη παράγωγο : ψ ψ = Uψ = e iqθx ψ 3.69 µ D µ = µ + iqea µ 3.7 Στο προηγούµενο κεϕάλαιο, ο µετασχηµατισµός αυτός δινόταν στην εξίσωση.98. Εκεί έλειπε στη διόρθωση της παραγώγου ο παράγοντας Q. Αυτό γιατί µελετούσαµε µόνο το ηλεκτρονιακό πεδίο για το οποίο Q = 1. Επειδή όµως εµείς πλέον ϑέλουµε να ενσωµατώσουµε όλα τα πεδία των λεπτονίων και των κουάρκ, απαιτείται η παρουσία του Q. Συµπερασµατικά, το γινόµενο των δυο συµµετριών ϐαθµίδας που αναλύονται στα δυο τελευταία υποκεϕάλαια SU L xu1 Y, αποτελεί το πρώτο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου και περιγράϕει τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις. Το µεγαλείο της ϑεωρίας αυτής ϑα ξεδιπλωθεί αµέσως παράκάτω, µετά την παρεµβολή της τρίτης συµµετρίας στην οποία οϕείλουµε να αναϕερθούµε Η συµµετρία SU3 c Η τρίτη συµµετρία είναι µια συµµετρία ϐαθµίδας SU3, η οποία είναι επίσης µια εσωτερική συµµετρία ϐαθµίδας που σχετίζεται µε τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Ο κβαντικός αριθµός της συµµετρίας αυτής είναι το χρώµα και χαρακτηρίζει µόνο τα κουάρκ. Το κάθε κουάρκ αποτελεί ένα γραµµικό συνδυασµό από τρία χρώµατα, σχηµατίζοντας έτσι τη ϑεµελιώδη αναπαράσταση ως προς την SU3. Οπότε για κάθε οικογένεια κουαρκ για δεξιόστροϕα και αριστερόστροϕα σωµατίδια έχουµε : u R u 1, u, u 3 R, d R d 1, d, d 3 R u u1 u f ql = = u 3 d d 1 d d 3 L L 3.71 Τα οκτώ πεδία που αντιστοιχούν στη συµµετρία αυτή είναι τα οκτώ γκλουονια G i µ i = 1,,... 8, και η αντίστοιχη ϑεωρία ϐαθµίδας ονοµάζεται κβαντική χρωµοδυναµική QCD. Συµβολίζεται µε SU3 c και διατυπώθηκε ως ϑεωρία 84

85 ϐαθµίδας των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Αποτελεί το δεύτερο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου. Τα συνηθισµένα αδρόνια απαρτίζονται από συνδυασµούς των κουάρκς τα οποία αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µέσω των γκλουονίων. Κάθε κουάρκ φέρει χρώµα, αλλά οι τελικοί συνδυασµοί προκύπτουν άχρωµοι. Για τα κουάρκ υπάρχουν τρία ϐασικά χρώµατα τρεις καταστάσεις, το κόκκινο, το πράσινο και το µπλε. Η πρόσθεση των τριών ϐασικών χρωµάτων δίνει λευκό χρώµα. Σε κάθε ϐασικό χρώµα αντιστοιχεί το συµπληρωµατικό του χρώµα µε την ιδιότητα [ϐασικό χρώµα]+[συµπληρωµατικό χρώµα]=λευκό. Αναλογικά, η πρόσθεση τριών συµπληρωµατικών χρωµάτων, γαλάζιο αντικόκκινο, µατζέντα αντι-πράσινο και κίτρινο αντι-µπλέ δίνει πάλι λευκό χρώµα. Για τα µεσόνια έχουµε τους συνδυασµούς 1/ 3q i q i ενώ για τα ϐαρυόνια 1/ 6ε ijk q i q j q k. Συνεπώς η συµµετρία αυτή χρησιµοποιείται για την περιγραϕή των ισχυ- ϱών αλληλεπιδράσεων, µε µετασχηµατισµό µε συναλλοίωτη παράγωγο ψ ψ = Uψ = e iλ i/θ i x 3.7 µ D µ = µ ig 3 λ i Gi µ 3.73 Συνοψίζοντας τα παραπάνω τρία υποκεϕάλαια, µπορούµε να πούµε ότι οι ϑεωρίες ϐαθµίδας του καθιερωµένου προτύπου δίνονται από το γινόµενο SU3 c xsu L xu1 Y µε συνολική συναλλοίωτη παράγωγο D µ = µ ig 1 Y B µ ig τ i W i µ ig 3 λ i Gi µ 3.74 Η εξίσωση αυτή συνοψίζει και τα τρία είδη αλληλεπιδράσεων. Η λαγκρατζιανή του καθιερωµένου προτύπου πριν την εϕαρµογή του µηχανισµού Higgs, δηλαδή παραλείποντας τους όρους µάζας γράϕεται : L SM = 1 4 B µνb µν 1 4 W i µνw µνi 1 4 Gi µνg µνi + f fiγ µ D µ f 3.75 όπου το άθροισµα που περιέχεται στην εξίσωση είναι πάνω σε όλα τα φερµιόνια ύλης, µε την προϋπόθεση ότι οι όροι της συναλλοίωτης παραγώγου δρουν πάντα σε φερµιόνια ίδιας αναπαράστασης, έτσι ώστε η λαγκρατζιανή να είναι µια αναλλοίωτη ϐαθµωτή ποσότητα. 3.3 Οι ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις - Το µοντέλο των Weinberg-Salam Ας εξετάσουµε αρχικά το πρώτο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου, τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις. Για την ακρίβεια, η ηλεκτρασθενής αλληλεπίδραση είναι η ενοποιηµένη περιγραϕή δύο από τις συνολικά τέσσερις 85

86 ϑεµελιωδών αλληλεπιδράσεων. Παρ ολο που οι δύο αυτές δυνάµεις εµϕανί- Ϲονται στο φυσικό µας κόσµο µε πολύ διαϕορετική συµπεριϕορά, στην ουσία αποτελούν τις δύο πλευρές του ίδιου νοµίσµατος. ηλαδή, πέρα από ένα ε- νεργειακό κατώϕλι της τάξης των 1GeV, πρόκειται για µια ενιαία δύναµη η οποία όµως κάτω από το κατώϕλι αυτό έχει δύο διαϕορετικές εκϕάνσεις - γεγονός που έχει αποδειχθεί πειραµατικά. Η λαγκρατζιανή που χρησιµοποιούµε εδώ είναι η L = L ύλης kin + Lgauge kin V ϕ + L Y uk 3.76 η οποία είναι αρκετά σύνθετη, γιάυτό και είναι προτιµότερο να ασχληθούµε µε κάθε όρο ξεχωριστά. Μέσα από αυτήν την ανάλυση ϑα λάβουµε πολλές πλη- ϱοϕορίες όπως τη µάζα φυσικού πεδίου Higgs, τις µάζες των διανυσµατικών µποζονίων, µάζες φερµιονίων κ.ά.. Ο όρος L ύλης kin εµπεριέχει τους κινητικούς όρους των φερµιονίων του καθιερωµένου προτύπου. Οι αλληλεπιδράσεις των φερµιονίων γίνονται µέσω της συναλλοίωτης παραγώγου, που είναι : D µ = µ i g τ i W i µ ig 1 Y B µ 3.77 όπου το Y/ ϐρίσκεται κάθε φορά από την εξίσωση Συνεπώς : Η L ύλης kin ϑα είναι : L ύλης kin = i Q i L γµ µ i g τ i Wµ i i g 1 6 B µ Q i L i + i l i L γµ µ i g τ i W i µ + i g 1 B µ + i l i R γµ µ + ig 1 B µ l i R + iū i R γµ µ i 3 g 1B µ U i R i + i D R γµ µ + i g 1 3 B µd i R + µ i g τ i Wµ i i g 1 B µϕ }{{} D µϕ D µ ϕ l i L 3.78 Η L gauge kin ϑα είναι : L gauge kin = 1 4 µw i ν ν W i µ g ε ijk θ j xw k µ 1 4 µb ν ν B µ 3.79 Ο δυναµικός όρος µε τη σειρά του ϑα δίνεται : V ϕ = µ ϕ ϕ + λϕ ϕ, µ >

87 Ο τελευταίος όρος L Y uk είναι : L Y uk = f ij l l i L ϕlj R + f ij U Q i j L ϕu R + f ij D i Q L ϕdj R + h.c και είναι υπεύθυνος για τη γέννηση των φερµιονικών µαζών. ηλαδή περιγράϕει τη σύζευξη ανάµεσα στο ϐαθµωτό πεδίο Higgs και στα άµαζα ακόµα φερµιονικά πεδία. Στο µεθεπόµενο κεϕάλαιο ϑα αναλύσουµε τον τρόπο µε τον οποίο συµβαίνει το φαινόµενο αυτό. Κατά τα γνωστά, προχωράµε στο αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας. Επειτα από τους διάϕορους όρους της λαγκρατζιανής ϑα πάρουµε διάϕορα χρήσιµα αποτελέσµατα. Χρησιµοποιώντας σαν το ϐαθµωτό πεδίο µας τη διπλέτα ϕ + ϕ = ϕ = 1 ϕ1 + iϕ 3.8 ϕ 3 + iϕ 4 ˆ Ξεκινάµε την ανάλυση για το δυναµικό όρο της λαγκρατζιανής µας V ϕ. Κατά τα γνωστά, προχωράµε στο αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας και ϐρίσκουµε τη νέα κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. V ϕ = µ ϕ + λϕ ϕ = ϕ µ + λϕ ϕ = ϕ = ή ϕ = µ λ ϕ ϕ 1 ϕ 1 + ϕ + ϕ 3 + ϕ 4 = µ λ 3.83 Οπως έχουµε ξαναδεί, ο γεωµετρικός τόπος των ελαχίστων του συστή- µατος µας είναι µια τετραδιάστατη σϕαίρα µια υπερσϕαίρα. Ενα από τα άπειρα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση της υπερσϕαίρας είναι το : ϕ 1 = ϕ = ϕ 4 =, ϕ 3 = µ λ υ 3.84 Εποµένως, επειδή το πεδίο ϕ είναι µια διπλέτα, το κενό µας γράϕεται : ϕ υ ιαταράσσουµε το σύστηµα γύρω από το κενό µας, οπότε το πεδίο ϑα είναι : ϕ = υ + ηx 87

88 και αντικαθιστώντας το στην 3.8 παίρνουµε : V = µ = µ υ + η υ + η υ + η υ + η = µ υ + η + λ υ + η4 4 [ + λ 4 + λ 4 υ + η υ + η [ υ + η υ + η ] ] και κρατώντας µόνο τους τετραγωνικούς όρους ως προς το πεδίο η, δηλαδή τους όρους µάζας, παίρνουµε την έκϕραση : V ϕ = µ η + 3 λυ η = 1 µ η + 3 υ η = 1 µ η + 3 µ υ η = 1 µ η + 3 µ η = µ η 3.87 Οπότε, ταυτοποιώντας παίρνουµε : 1 m h = µ m h = µ. Αυτή είναι η µάζα του ϐαθµωτού πεδίου Higgs. ˆ Από τον τελευταίο όρο της 3.78 ϑα πάρουµε τις µάζες των διανυσµατικών µποζονίων. Στην περίπτωση µας το υπερϕορτίο είναι ίσο µε τη µονάδα. Οποτε υπολογίζουµε το D µ ϕ D µ ϕ D: D = ϕ τ i µ + ig W µ i + i g 1 B µ µ τ i ig W µi i g 1 Bµ ϕ = 1 τ i υ + η µ + ig W µ i 1 + ig 1 B µ µ τ i ig W µi i g 1 Bµ 1 υ + η = 1 τ i υ + η g W µ i + 1 g 1B µ υ + η 3.88 όπου στο τελευταίο ϐήµα κρατήσαµε µόνο όρους που δεν περιέχουν παράγωγο. Κρατώντας επίσης και εδώ µόνο τους τετραγωνικούς όρους ως προς τα τέσσερα πεδία ϐαθµίδας ϑα ϐρούµε τις µάζες τους. Οι όροι που µπλέκουν τα πεδία µε το ϐαθµωτό πεδίο για την ώρα µας αϕήνουν αδιάϕορους. Εποµένως η παραπάνω εξίσωση ϑα γίνει : D = υ 1 g τ i W i µ + 1 g 1B µ

89 Για ευκολία υπολογίζω το άθροισµα των πινάκων ξεχωριστά και έπειτα ϑα το ενσωµατώσω στην παραπάνω σχέση. τ i Wµ i = τ 1 Wµ 1 + τ Wµ + τ 3 Wµ 3 Wµ 3 Wµ 1 iw µ = Wµ 1 + iwµ Wµ 3 g τ i W i µ + g 1 B µ = g W 3 µ + g 1 B µ g W 1 µ iw µ g W 1 µ + iw µ g W 3 µ + g 1 B µ 3.9 Αντικαθιστώντας λοιπόν στην 3.88 τον πίνακα που µόλις ϐρήκαµε, έ- χουµε διαδοχικά : D = υ g Wµ 3 + g 1 g B µ Wµ 1 iwµ 1 g Wµ 1 + iwµ g Wµ 3 + g 1 B µ g Wµ 3 + g 1 B µ g Wµ 1 iwµ g Wµ 1 + iwµ g Wµ 3 + g 1 B µ 1 = υ = υ 8 g W µ1 + iw µ g W µ3 + g 1 B µ g W 1 µ iw µ g W 3 µ + g 1 B µ g W 1 µ + g W µ + g W 3 µ + g 1B µ g 1 g W 3 µb µ Αξιώνω ότι πρέπει η έκϕραση D µε την οποία ασχολούµαστε να είναι : 3.91 D = M W W + µ W µ + 1 M ZZ µ Z µ 3.9 ηλαδή, πρέπει να παίρνουµε µια έκϕραση κατά την οποία, εν αντιθέσει µε την 3.91, να έχουµε µόνο τετραγωνικούς όρους των πεδίων. Η πα- ϱουσία µη τετραγωνικού όρου φανερώνει ότι ο πίνακας µαζών δεν είναι διαγώνιος. Οπότε απαιτώντας η 3.91 να γραϕεί στη µορϕή της 3.9, στην ουσία διαγωνοποιούµε τον πίνακα των µαζών, ώστε να εξαλείψουµε τους µη τετραγωνικούς όρους και να πάρουµε τις προβλέψεις των µαζών που µας δίνει ο µηχανισµός. Από τη σύγκριση των δυο παραπάνω εξισώσεων, παίρνουµε : M W W + µ W µ = g υ 8 [W 1 µ + W µ ] 3.93 Ορίζοντας λοιπόν, W ± µ = 1 W 1 µ iw µ

90 κάνοντας ουσαστικά µια αλλαγή µεταβλητών η 3.93 γίνεται : M W W + µ W µ = g υ 4 W + µ W µ 3.95 Συνεπώς η µάζα των φυσικών µποζονίων W ± µ είναι : M W = g υ 4 M W = gυ 3.96 Επίσης από τις 3.91 και 3.9 προκύπτει ότι ϑα πρέπει : 1 M ZZ µ Z µ = υ g 8 Wµ 3 + g1b µ g 1 g WµB 3 µ = υ 8 g W 3 µ gb µ 3.97 Προκειµένου να γράψουµε την παραπάνω έκϕραση σα γινόµενο πινάκων ϑεωρούµε ότι τα πεδία Wµ, 3 B µ αποτελούν τα στοιχεία µιας διπλέτας : W 3 µ. Συνεπώς, η 3.97 γράϕεται ισοδύναµα : B µ 1 M ZZ µ Z µ = υ 8 g Wµ 3 g 1 B µ g W µ3 g 1 B µ = υ 8 W 3 µ B µ g g 1 g g 1 g g 1 W µ3 B µ 3.98 Στο σηµείο αυτό ορίζουµε ένα πίνακα στήλη δύο πεδίων Z µ, A µ τα οποία αποτελούν τα φυσικά πεδία. Με άλλα λόγια τα δυο αυτά πεδία είναι αυτά τα οποία ϑα προκύψουν αϕού απαλλαγούµε από τους µη τετραγωνικούς όρους της Απαιτούµε λοιπόν το µεσαίο πίνακα που είναι ο πίνακας Μ που δίνει τις µάζεις της εξίσωσης 3.98 να είναι διαγώνιος και µάλιστα το στοιχείο M να είναι, αϕού ως γνωστό το φωτόνιο είναι ένα µποζόνιο άµαζο. 1 M ZZ µ Z µ = M Z µ A Z Z µ µ A µ 3.99 Από τη διαγωνοποίηση λοιπόν του πίνακα Μ της 3.98 ϑα πάρουµε : 1 M ZZ µ Z µ = υ W 3 g 8 µ B g 1 g W µ3 µ g 1 g g1 B µ = υ W 3 8 µ B µ U U 1 g g 1 g }{{} g 1 g g1 U U 1 W µ3 B µ part1 } {{ } part UMU 1 } {{ } part

91 όπου U είναι ένας µοναδιακός πίνακας. Μια εύκολη επιλογή ενός τέτοιου πίνακα είναι ο πίνακας στροϕών -µε ϑετική γωνία στροϕής-, δηλαδή : cosθ sinθ U = και U 1 cosθ sinθ = 3.11 sinθ cosθ sinθ cosθ Υπολογίζω τα τρία κοµµάτια της 3.1 ξεχωριστά. Για το πρώτο έχου- µε : 1ο κοµµάτι W 3 µ B µ U = W 3 cosθ sinθ µ B µ sinθ cosθ = cosθwµ 3 sinθb µ sinθwµ 3 + cosθb µ 3.1 ο κοµµάτι M υ 8 U 1 MU = υ 8 U 1 g g 1 g g 1 g g1 U = υ cosθ sinθ g g 1 g cosθ sinθ 8 sinθ cosθ g 1 g g1 sinθ cosθ Ο παραπάνω πολλαπλασιασµός πινάκων δίνει τον εξής πίνακα γραµ- µένο στα στοιχεία του : M 11 = υ 8 g cos θ + g 1 g sin θ cos θ + g 1 sin θ M 1 = υ 8 g cos θ sin θ g 1 g cos θ + g 1 g sin θ g 1 cos θ sin θ M 1 = υ 8 g sin θ cos θ + g 1 g sin θ g 1 sin θ cos θ g 1 g cos θ M = υ 8 g sin θ g 1 g sin θ cos θ + g 1 cos θ ο κοµµάτι U 1 W µ3 B µ cosθ sinθ W µ3 = sinθ cosθ B µ cos θw = µ3 + sin θb µ sin θw µ3 + cos θb µ 3.14 Σύµϕωνα όµως µε την 3.99 πρέπει όλα τα στοιχεία του πίνακα M να είναι µηδέν, εκτός από το στοιχείο M 11. Επίσης, από την απαίτηση αυτή 91

92 του µηδενισµού των τριών στοιχείων πίνακα παίρνουµε πληροϕορίες για τη γωνία θ. M 1 = M 1 = g sin θg cos θ + g 1 sin θ g 1 cos θg cos θ + g 1 sin θ = g cos θ + g 1 sin θg sin θ g 1 cos θ = tan θ = g 1 g 3.15 Η γωνία αυτή είναι γνωστή σα γωνία W einberg ή αλλιώς σα γωνία µίξης των ασθενών αλληλεπιδράσεων, συµβολίζεται µε θ w και πειραµατικά δίνεται έχει ϐρεθεί ότι sin θ w.3. Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και από το µηδενισµό του στοιχείου M, γι αυτό και οι πράξεις παραλείπονται. Επίσης, από τη σύγκριση των εξισώσεων 3.99 και 3.1, συµπεραίνουµε ότι : - Zµ A µ = W 3 µ B µ U = 3.1.part Z µ A µ = U 1 W µ3 B µ = 3.1.part και από τα αποτελέσµατα που ϐρήκαµε από τις 3.1 και 3.14, οι παραπάνω εξισώσεις ϑα µας δώσουν το ίδιο αποτέλεσµα : Z µ = cos θ W W 3 µ sin θ W B µ A µ = sin θ W W 3 µ + cos θ W B µ 3.18 Τα αποτελέσµατα των σχέσεων 3.18 και 3.94 αποτελούν τις σχέσεις που συνδέουν τα φυσικά πεδία W µ ±, Z µ, A µ µε τα πεδία ϐαθµίδας Wµ 1,, Wµ, 3 B µ, αντίστοιχα. Αν λάβουµε υπ όψη ότι η 3.15 σε συνδυασµό µε την τριγωνοµέτρική ταυτότητα sin θ + cos θ = 1, µας δίνει το ηµίτονο και το συνηµίτονο της γωνίας W einberg, συναρτήσει των σταθερών σύζευξης g 1, g. ηλαδή : sin θ W = g 1 g 1 + g 3.19 cos θ W = g g 1 + g

93 Ετσι, οι εξισώσεις των φυσικών πεδίων 3.18 ϑα είναι : Z µ = g W 3 µ g 1 B µ g 1 + g A µ = g 1W 3 µ + g B µ g 1 + g 3.11 Τέλος, όπως είδαµε νωρίτερα, το στοιχείο M 11 του πίνακα M από την εξίσωση 3.13 µας δίνει το τετράγωνο της µάζας του φυσικού µποζονίου Z µ : M Z = υ 8 g cos θ W + g 1 g sin θ W cos θ W + g 1 sin θ W = υ 8 g cos θ W + g 1 sin θ W = υ g1 + g 8 g 1 + g M Z = 1 υ g1 + g Από την εξίσωση 3.1 παρατηρούµε ότι ο συντελεστής 1 αποβάλλεται κι έτσι η µάζα του φυσικού µποζονίου Z µ ϑα είναι : M Z = υ g 1 + g και η µάζα του φωτονίου ίση µε µηδέν, M A =. Αυτό είναι ένα αποτέλεσµα που προέκυψε αλλά δεν αποτελεί πρόβλεψη απλά µια επιβεβαίωση ότι η απαίτηση η µάζα του φωτονίου να είναι µηδέν είναι συνεπής. Τέλος, άλλη µια παρατήρηση για τις µάζες των µποζονίων είναι ότι διαιρώντας κατά µέλη τις δυο εξισώσεις 3.96 και προκύπτει : M W M Z = g g1 + g M W = cos θ w M z Η ανισότητα αυτή των µαζών των µποζονίων προκύπτει από την ανάµιξη των W 3 µ και B µ. Στο όριο όπου θ w =, οι µάζες εξισώνονται M Z = M W. ˆ Τώρα, µέσω των κινητικών όρων των φερµιονίων που δίνονται από τη λαγκρατζιανή 3.78 ϑα ϐρούµε τα φορτισµένα αλλά και τα αϕόρτιστα ουδέτερα ϱεύµατα. Οι όροι της λαγκρατζιανής που ϑα χρησιµοποιή- 93

94 σουµε είναι : L ύλης kin = i i i Q L γµ µ i g τ i Wµ i i g 1 6 B µ Q i L i l i L γµ µ i g τ i W i µ + i g 1 B µ l i L i l i R γµ µ + ig 1 B µ l i R iū i R γµ µ i 3 g 1B µ U i R i D i R γµ µ + i g 1 3 B µd i R 3.1 Υπολογίζω ξεχωριστά τους διάϕορους όρους του αθροίσµατος. Για τα ασθενή isospin-ϱεύµατα της SU ϑα πάρουµε τους όρους και 3.117, χωρίς να συµπεριλάβουµε τους όρους αλληλεπίδρασης µε το B µ. Αυτοί ϑα είναι : Ορος g = g + g + g = g + g + g i Q L γµ τ i WµQ i i L ū d L γµ τ 1 Wµ 1 u d L ū d L γµ τ Wµ u d L ū d L γµ τ 3 Wµ 3 u d L 1 ū d γ µ W 1 u L µ 1 d L i ū d γ µ W u L µ i d 1 ū d γ µ W 3 u L µ 1 d = g d L γ µ u L + ū L γ µ d L W 1 µ + g i d L γ µ u L iū L γ µ d L W µ + g ū Lγ µ u L d L γ µ d L W 3 µ 3.11 L L 94

95 Ορος Παροµοίως : g i l L γµ τ i Wµl i i L = g ē Lγ µ vl e + v Lγ e µ e L Wµ 1 + g iē Lγ µ vl e i v Lγ e µ e L Wµ + g ve Lγ µ vl e ē L γ µ e L Wµ και στα δύο αποτελέσµατα δουλεύουµε µόνο µε την πρώτη οικογένεια των κουάρκ και των λεπτονίων. Κανονικά, τα παραπάνω α- ποτελέσµατα είναι πλήρη όταν προσθέσω τους αντίστοιχους όρους και των άλλων οικογενειών. Εϕ οσον η λαγκρατζιανή που περιγράϕει την αλληλεπίδραση των µπο- Ϲονίων της ασθενούς αλληλεπίδρασης µε τα φερµιόνια γράϕεται : L = g j µi W i µ = g j µ1 W 1 µ + g j µ W µ + g j µ3 W 3 µ 3.13 ϑα πρέπει τώρα να ταυτοποιήσουµε το άθροισµα των αποτελεσµάτων 3.11 και 3.1 µε την παραπάνω εξίσωση Συνεπώς τα ϱεύ- µατα j µ1, j µ, j µ3 ϑα δίνονται : j µ1 = 1 ē Lγ µ v e L + v e Lγ µ e L + d L γ µ u L + ū L γ µ d L 3.14 j µ = 1 iē Lγ µ v e L i v e Lγ µ e L + i d L γ µ u L iū L γ µ d L 3.15 j µ3 = 1 ve Lγ µ v e L ē L γ µ e L + ū L γ µ u L + d L γ µ d L 3.16 Οµως, όπως υποδεικνύει η εξίσωση 3.94, η παραπάνω λαγκρατζιανή γράϕεται : L = L ch + L unch όπου L ch = g j µ+ W + µ + j µ W µ δηλαδή j µ± = j µ1 ± ij µ 3.17 τη L unch ϑα τη µελετήσουµε αµέσως µετά. Οπότε, τα φορτισµένα ϱεύ- µατα ϑα είναι σύµϕωνα µε την εξίσωση 3.17: j µ+ = 1 ē Lγ µ v e L + v e Lγ µ e L + d L γ µ u L + ū L γ µ d L ē L γ µ v e L + v e Lγ µ e L d L γ µ u L + ū L γ µ d L j µ+ = v e Lγ µ e L + ū L γ µ d L j µ = 1 ē Lγ µ v e L + v e Lγ µ e L + d L γ µ u L + ū L γ µ d L + ē L γ µ v e L v e Lγ µ e L + d L γ µ u L ū L γ µ d L j µ = ē L γ µ v e L + d L γ µ u L

96 Η L unch εµπεριέχει την αλληλεπίδραση του j µ3 µε το Wµ 3 αλλά επίσης και την αλληλεπίδραση του Υυπερϕορτίου-ϱεύµατος της U1 µε το B µ, όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση : L unch = g j µ3 W 3 µ + g 1 jµy B µ 3.19 ενώ η 3.19 στη φυσική ϐάση γράϕεται : L nb unch = ejµ ema µ + g cos θ w j µ o Z o µ 3.13 Πριν συνεχίσουµε, πρέπει από τη L ύλης ως 3.1, να συµπεριλάβουµε όλους τους όρους αλληλεπίδρασης που περιέχουν το B µ, όπως είναι λογικό αϕού ψάχνουµε ϱεύµατα που προκύπτουν από τη ϑεωρία U Y 1 της οποίας το µποζόνιο ϐαθµίδας είναι το B µ. όρος όρος όρος όρος όρος 3.1 Q i g L γµ 1 6 B µq i L = ū d g L γµ 1 u 6 B µ d = g 1 6 ū Lγ µ B µ u L + d L γ µ B µ d L = g 1 6 ū Lγ µ u L + d L γ µ d L B µ i l g L γµ 1 B µl i L = v e ē g L γµ 1 v B e µ e = g 1 ve Lγ µ B µ v e L + ē L γ µ B µ e L = g 1 ve Lγ µ v e L + ē L γ µ e L B µ 3.13 l i R γµ g 1 B µ l i R = g 1ē R γ µ B µ e R = g 1 ē R γ µ e R B µ Ū i R γµ 3 g 1B µ U i R = 3 g 1ū R γ µ B µ u R = 3 g 1ū R γ µ u R B µ D i R γµ g 1 3 B µd i R = g 1 3 d Rγ µ B µ d R g 1 3 d Rγ µ d R B µ L L 96

97 Οπότε, όπως φαίνεται από την 3.19, η συνολική έκϕραση για το ϱέυµα j µy είναι : j µy = 1 ū Lγ µ u L + d L γ µ d L v e Lγ µ v e L ē L γ µ e L ē R γ µ e R + 4 3ūRγ µ u R 3 d R γ µ d R Επίσης, πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση 3.17 από αριστερά επί U, ϐρίσκουµε δυο χρήσιµες εκϕράσεις των πεδίων ϐαθµίδας W 3 µ, B µ συναρτήσει των φυσικών πεδίων Z µ, A µ : Z µ A µ = U 1 W µ3 B µ W µ3 Z µ = U B µ A µ W µ3 B µ cosθ sinθ = sinθ cosθ Z µ A µ W 3 µ = cos θz µ + sin θa µ B µ = sin θz µ + cos θa µ Αν αντικαταστήσουµε τις δυο παραπάνω εκϕράσεις των πεδίων ϐαθµίδας στην 3.19, τότε ϑα πάρουµε : L unch = g j µ3 cos θz µ + sin θa µ + g 1 jµy sin θz µ + cos θa µ = g j µ3 sin θ + g 1 jµy cos θa µ + g j µ3 cos θ g 1 jµy sin θz µ Επειδή το A µ αποτελεί το πεδίο του φωτονίου, οι εκϕράσεις g sin θj µ3 και g 1 cos θ ϑα πρέπει να συµπίπτουν µε την έκϕραση ej µ3 A µ του η- λεκτροµαγνητισµού που δίνει την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονιακού ϱεύµατος µε ένα φωτόνιο. Ταυτοποιώντας παίρνουµε ότι e = g sin θ = g 1 cos θ 3.14 κι έτσι η γίνεται µέσω της 3.14: L unch = ej µ3 + e jµy A µ + g cos θj µ3 sin θ j µy Z µ cos θ Ταυτοποιώντας λοιπόν την εξίσωση µε τη λαγκρατζιανή των ουδέτερων ϱευµάτων στη φυσική ϐάση της εξίσωσης 3.13 ϐρίσκουµε δυο 97

98 εκϕράσεις για το ουδέτερο και το ηλεκτροµαγνητικό ϱεύµα. j µ em = j µ3 + 1 jµy και 3.14 j o µ = cos θj µ3 sin θ j µy Λύνοντας την 3.14 ως προς το j µy, η γίνεται : j o µ = cos θj µ3 sin θ j em µ j µ3 j o µ = cos θj µ3 sin θj em µ + sin θj µ 3 j µ o = j µ3 sin θj µ em Οπότε, έχουµε ϐρει δύο εξισώσεις για το αϕόρτιστο ϱεύµα, τις και Τέλος, αν αντικαταστήσουµε στην τα αποτελέσµατα 3.16 και ϐρίσκουµε το ουδέτερο ϱεύµα που αντιστοιχεί : j µ = cos θ v e Lγ µ vl e ē L γ µ e L + ū L γ µ u L + d L γ µ d L sin θ ū L γ µ u L + 4 d L γ µ d L v Lγ e µ vl e ē L γ µ e L ē R γ µ e R + 4 3ūRγ µ u R 3 d R γ µ d R Ανακεϕαλαιώνοντας, από τη λαγκρατζιανή που αποτελείται από τους κινητικούς όρους των φερµιονίων καταϕέραµε να ϐρούµε τα φορτισµένα και τα ουδέτερα ϱεύµατα που δηµιουργούνται λόγω της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης. ˆ Τέλος, από τον όρο 3.81 της συνολικής λαγκρατζιανής 3.76, ϑα δούµε τον τρόπο µε τον οποίο αποκτούν µάζα τα φερµιόνια στο καθιερωµένο πρότυπο. Η διαδικασία είναι παρόµοια µε αυτή όπου τα µποζόνια λαµ- ϐάνουν τη µάζα δηλαδή, ϑα χρησιµοποιήσουµε το µηχανισµό Higgs. Ετσι µετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας SU L xu1 Y ϑα ανακύψουν οι όροι µάζας των φερµιονίων. Η µορϕή των όρων αλληλεπίδρασης φερµιονίων-ϐαθµωτών πεδίων είναι γνωστή σαν αλληλεπίδραση Yukawa, και οι σταθερές σαν σταθερές Ϲεύξης Yukawa. Ετσι, για την πρώτη οικογένεια λεπτονίων οµοίως και για τις άλλες δύο, χρησιµοποιώντας πάλι τη γνωστή διπλέτα 3.8 για το ϐαθµωτό µας πεδίο, γράϕουµε τη λαγκρατζιανή : [ L l Y uk = f e 11 v e ē ϕ + L ϕ o e R + ē R ϕ ϕo v e e ] L

99 Ακολουθούµε τη γνωστή διαδικασία ελαχιστοποίησης του δυναµικού για την εύρεση του νέου κενού και µετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας παίρνουµε µια διαταραχή Hx - το φυσικό πεδίο Higgs- γύρω από την αναµενόµενη τιµή του κενού υ. Το πεδίο µας ϑα είναι τώρα : ϕ o = 1 υ ϕ = 1 υ + Hx Συνεπώς, αντικαθιστώντας το διαταραγµένο πεδίο ϕ, στη λαγκρατζιανή 3.146, ϑα καταλήξουµε στην εξαγωγή όρου µάζας : L l Y uk = f e 11 [ v e ē L υ + H e R + ē R = f e 11 [ē L υ + He R + ē R υ + He L ] υ + H v e = f e 11 υ [ē L e R + ē R e L ] + f e 11 H [ē L e R + ē R e L ] e L ] Ο πρώτος όρος της παραπάνω εξίσωσης είναι όρος µάζας και αυτή προκύπτει : m e = f e 11 υ Αν ϑεωρήσουµε ότι m e ēe = m e ē L e R +ē R e L, το παραπάνω αποτέλεσµα γράϕεται : L l Y uk = m eēe + m e υ m eēeh 3.15 Ο δεύτερος όρος της τελευταίας εξίσωσης, 3.15, παρουσιάζει µια σύ- Ϲευξη του ηλεκτρονίου µε το ϐαθµωτό πεδίο Higgs. Επειδή όµως η σταθερά σύζευξης m e /υ είναι πολύ µικρή και συνεπώς δε παράγει κάποιο ανιχνεύσιµο φαινόµενο στις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις. Αντίστοιχα αποτελέσµατα ϑα προκύπτουν και για τις άλλες δύο οικογένειες λεπτονίων για την ακρίβεια για τα άλλα δύο φορτισµένα λεπτόνια. Οι µάζες των κουάρκ αναδεικνύονται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως αυτές των φορτισµένων λεπτονίων. Αρχικά ϑα ασχοληθούµε µε την πα- ϱαγωγή µάζας των κάτω στοιχείων των οικογενείων των κουάρκ d, s, b και έπειτα µε την παραγωγή µάζας των u, c, t, αϕού για αυτή την πε- ϱίπτωση πρέπει να σηµειώσουµε κάποια αλλαγή. [ L d Y uk = f 11 ϕ + d ū d L ϕ o d R + d R ϕ ϕo u d ] L

100 Μετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας προκύπτουν οι µάζες των κουάρκ µε την αρνητική συνιστώσα 1/ ισοσπίν, επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία από την οποία προέκυψε η µάζα του ηλεκτρονίου στην ακριβώς προηγούµενη περίπτωση. Οπότε : L d Y uk = f 11 d υ [ dl d R + d R d L ] + f 11 d H [ dl d R + d R d L ] 3.15 Πάλι, ο πρώτος όρος µας δίνει τη µάζα του d κουάρκ m d = f 11 d υ Εποµένως, η 3.15 γράϕεται στη µορϕή L d Y uk = m d dd + m d υ ddh Τα κουάρκ µε ϑετική συνιστώσα ισοσπίν αποκτούν µάζα µε τον ίδιο µηχανισµό µόνο που εδώ εισέρχεται ένα νέο στοιχείο. Για τη δηµιουργία µάζας των κουαρκ u, c, t, µέσω του πεδίου ϕ, φτιάχνουµε µια νέα διπλέτα για πεδίο Higgs. ϕ = iτ ϕ = i i i = 1 1 ϕ + ϕ o 1 ϕ1 iϕ ϕ 3 iϕ 4 i = i i = 1 ϕ3 iϕ 4 ϕ 1 iϕ 1 ϕ1 iϕ ϕ 3 iϕ 4 = ϕo ϕ Το πεδίο ϕ µετασχηµατίζεται κάτω από τους SU L xu1 Y µετασχη- µατισµούς ακριβώς το ίδιο µε τη µόνη διαϕορά ότι έχει αντίθετο ασθενές υπερϕορτίο, Y = 1. Γιάυτό και µπορούµε να το χρησιµοποιήσουµε για να χτίσουµε µια gauge-αναλλοίωτη συνεισϕορά στη λαγκρατζιανή. Κατασκευάζουµε λοιπόν τη λαγκρατζιανή από όπου ϑα πάρουµε τις µά- Ϲες των u, c, t κουαρκ και µετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας ϑα έχουµε. [ ] L u Y uk = f u 11 ϕo ū d u R + ū R ϕ o L ϕ = f u 11 [ υ + H ū d L u R + ū R υ + H ϕ + u d u d = f u 11 υ [ū L u R + ū R u L ] + f u 11 [ū L u R + ū R u L ] H L L ] 1

101 Συνεπώς, ο όρος µάζας προκύπτει m u = f u 11 υ και η παραπάνω λαγκρατζιανή ϑα είναι L u Y uk = m uūu + m u ūuh υ Συµπερασµατικά, η συνολική λαγκρατζιανή των φερµιονίων των οικογενειών v e u f e L = e f ul = d L L ϑα είναι L f,h = m e ēe + m d dd + mu ūu + m e υ ēeh + m d υ ddh + m u ūuh 3.16 υ Οι σταθερές σύζευξης f 11 l, f 11 d, f u 11, οι οποίες εµπλέκονται στις εκφράσεις των µαζών είναι αυθαίρετες, εποµένως οι µάζες δεν µπορούν να προβλεϕθούν. Επίσης οι όροι στις λανγκρατζιανές που υποδεικνύουν την αλληλεπίδραση των φερµιονίων µε το πεδίο Higgs συζευγνύονται µε σταθερά η οποία εξαρτάται από τη µάζα. Συνεπώς, είναι προϕανές ότι τα ϐαρύτερα φερµιόνια αλληλεπιδρούν ισχυρότερα µε το ϐαθµωτό πεδίο H. 3.4 Φερµιονικές µάζες - ανάµιξη γενιών Στην περίπτωση των λεπτονίων η σύζευξη µε το µποζόνιο W ± πραγµατοποιείται µόνο εντός µιας συγκεκριµένης οικογένειας. Πιο συγκεκριµένα, στη φύση πραγµατοποιούνται αλληλεπιδράσεις του είδους e v e + W µ v µ + W τ v τ + W αλλά δεν έχει παρατηρηθεί κάποια αλληλεπίδραση του τύπου e v τ + W που σηµαίνει ότι στη φύση δεν απαντώνται αλληλεπιδράσεις κατά τις οποίες αναµιγνύονται οι οικογένειες. Το φαινόµενο αυτό αποτυπώνεται µαθηµατικά µε τη διατήρηση του λεπτονικού αριθµού ηλεκτρονίου, µιονίου και ταυ αντίστοιχα. 11

102 Παρά την παρόµοια κατηγοριοποίηση των κουάρκ σε τρεις οικογένειες διπλέτες, η σύζευξη τους µε το W δε σέβεται το ξεχωριστό των οικογενειών. εν υπάρχει δηλαδή η διατήρηση κάποιου αριθµού που να απαγορεύει την ανάµιξη των γενιών. Ενδεικτικά, η διάσπαση β n p + e + v e κατά την οποία ένα νετρόνιο µετατρέπεται σε ένα πρωτόνιο, σε επίπεδο κουάρκ γράϕεται : d u + W Η διάσπαση αυτή όπως φαίνεται υπακούει τη διατήρηση της οικογένειας, όπως ακριβώς συνέβαινε και στην περίπτωση των λεπτονίων. Ωστόσο, υπάρχουν και κάποιες ασθενείς αλληλεπιδράσεις όπως η διάσπαση του Λ, Λ p + e + v e, η οποία σε επίπεδο κουάρκ γράϕεται s u + W και αποτελεί απόδειξη ότι στις W ± ασθενείς αλληλεπιδράσεις δε διατηρείται η γεύση. Στην προηγούµενη υποπαράγραϕο, καταλήξαµε στις εξισώσεις 3.18 και οι οποίες µας πληροϕορούν ότι τα ασθενή ϱεύµατα φορτισµένα και α- φόρτιστο δεν επιτρέπουν τη σύζευξη µεταξύ δύο κουάρκ διαϕορετικής γεύσης. Αυτό συνέβη γιατί, όπως φαίνεται και στην 3.16, ο τρόπος που γράψαµε τη λαγκρατζιανή είναι τέτοιος ώστε να εννοείται ότι ο πίνακας µαζών είναι διαγώνιος στη ϐάση των ϱευµάτων, πράγµα που δεν ισχύει αϕού όπως είδαµε παραπάνω η ανάµιξη των οικογενειών έχει παρατηρηθεί πειραµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι ενώ δουλεύουµε στη ϐάση των ϱευµάτων, έχουµε υπολογίσει τις µάζες σαν να ήτανε στη δική τους φυσική ϐάση. Οπότε αυτό που πρέπει να κάνουµε είναι να διαϕοροποιήσουµε τις ιδιοκαταστάσεις της µάζας στη φυσική ϐάση των µαζών από αυτές της αλληλεπίδρασης στη ϐάση των ϱευµάτων. Με τις ιδιοκαταστάσεις της πρώτης περιγράϕουµε ένα κουάρκ όταν διαδίδεται ελεύθερο, ενώ µε της δεύτερης περιγράϕουµε το κουάρκ κατά την αλληλεπίδραση. Η εναλλαγή ανάµεσα σε αυτά τα δυο είδη καταστάσεων γίνεται µέσω του πίνακα Cabibo-Kombayashi-Maskawa. Ο πίνακας αυτός είναι µοναδιακός και δίνει τις απαραίτητες πληροϕορίες για τη δύναµη των διασπάσεων που αλλάζουν τη γεύση. Ας πάρουµε όµως τις ανακαλύψεις µε την ιστορική τους σειρά. Τη χρονική περίοδο κατά την οποία έχουν ανακαλυϕθεί µόνο οι δύο πρώτες οικογένειες κουαρκ, ο Cabibo πρότεινε 1963 ότι τα d και s κουάρκ που λαµβάνουν µέρος στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις αναµιγνύονται και µάλιστα έχουν µια στροϕή ανάµιξης θ c. Με άλλα λόγια η γωνία αυτή, σχετίζεται µε την πιθανότητα παραδείγµατος χάρη το u κουάρκ να διασπάται στο d ή στο s. ηλαδή, το κουάρκ που αλληλεπιδρά µε το u µέσω ασθενών αλληλεπιδράσεων δεν είναι µόνο το d ή το s αλλά ένας γραµµικός συνδυασµός τους. d = d cos θ c + s sin θ c και s = d sin θ c + s cos θ c

103 Η γωνία Cabibo αντιπροσωπεύει τη στροϕή του διανύσµατος της ιδιοκατάστασης της µά- Ϲας στη ϐάση των ιδιοκαταστάσεων της µάζας σε ένα διάνυσµα της ασθενούς ιδιοκατάστασης στη ϐάση των ασθενών καταστάσεων. Η γωνία έιναι θ c = 13.4 Η γωνία Cabibo αντιπροσωπεύει τη στροϕή του διανύσµατος της ιδιοκατάστασης της µάζας στο διανυσµατικό χώρο που σχηµατίζεται από τις ιδιοκαταστάσεις της µάζας σε ένα διάνυσµα της ασθενούς ιδιοκατάστασης που σχηµατίζεται από τις ασθενείς καταστάσεις. Η γωνία έιναι θ c = 13.4 d Οπότε αν συµβολίσουµε µε s τις ιδιοκαταστάσεις των ασθενών αλληλεπιδράσεων τις ιδιοκαταστάσεις στο χώρο των ϱευµάτων για τις T 3 = 1 συνιστώσες των κουάρκ των δύο οικογενειών, η σύνδεση τους µε τις ιδιοκαταστάσεις της µάζας τις ιδιοκαταστάσεις στο φυσικό χώρο, ϑα είναι η d s γραµµένη µε τη µορϕή πινάκων : d cosθc sin θ s = c d 3.16 sinθ c cosθ c s Συνεπώς, το W συζευγνύεται µε τις στραµµένες κατά Cabibo" καταστάσεις u c d και s ακριβώς όπως πράττει και µε τα λεπτονικά Ϲευγάρια. Ε- ποµένως οι συζεύξεις µε τα φυσικά κουάρκ ϑα είναι : u u c c d = και d cos θ c + s sin θ c s = d sin θ c + s cos θ c Ενα πολύ σηµαντικό Ϲήτηµα είναι ότι η στροϕή δεν επηρεάζει τη δοµή των ασθενών ϱευµάτων. Αν πάρουµε λοιπόν την έκϕραση που έχουµε ϐρει νω- ϱίτερα για το ουδέτερο ϱεύµα, 3.145, συµπεριλαµβάνοντας µόνο τους όρους 13

104 που µας ενδιαϕέρει στο παρόν εδάϕιο, j o µ = cos θ dl γ µ d L + s L γ µ d L + s L γ µ s L sin θ d L γ µ d L + s L γ µ d L + s L γ µ s L 3 4 d R γ µ d R 3 s Rγ µ s R και αντικαταστήσουµε d d και s s τότε αποδεικνύεται ότι η έκϕραση ϑα παραµείνει αναλλοίωτη : j o µ = cos θ w [ dl cos θ c + s L sin θ c γ µ d L cos θ c + s L sin θ c + d L sin θ c + s L cos θ c γ µ d L sin θ c + s L cos θ c ] + sin θ w [ dl cos θ c + s L sin θ c γ µ d L cos θ c + s L sin θ c 4 + d L sin θ c + s L cos θ c γ µ d L sin θ c + s L cos θ c 3 d R cos θ c + s R sin θ c γ µ d R cos θ c + s R sin θ c 3 d R sin θ c + s R cos θ c γ µ d R sin θ c + s R cos θ c ] = cos θ w [ cos θ c dl γ µ d L + sin θ c s L γ µ s L + sin θ c cos θ c s L γ µ d + sin θ c cos θ c dl γ µ s L + sin θ c dl γ µ d L + cos θ c s L γ µ s L sin θ c cos θ c dl γ µ s sin θ c cos θ c s L γ µ d ] + sin θ w 4 [...] = j µ o όπου επίσης η παράσταση που παραλείψαµε προϕανώς δίνει αναλλοίωτο αποτέλεσµα. Η απουσία µεταβάσεων ουδέτερων ϱευµάτων αλλαγής του κβαντικού αριθµού της γεύσης F CN C αποτελεί, εκτός από ϑεωρητική πρόβλεψη, πει- ϱαµατική απόδειξη. Οι Glashow- Ηλιόπουλος- Maiani διατύπωσαν τον οµώνυµο GIM µηχανισµό, ο οποίος περιγράϕει το πως καταπιέζονται η µετάβαση µέσω ουδέτερων ϱευµάτων καθώς και οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις µε µεταβολή της παραδοξότητας ίση µε S =. Οι τρεις επιστήµονες, από τα πειράµατα γνωρίζαν δύο σηµαντικά πράγµατα. Πρώτον, ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις στις οποίες αλλάζει η γεύση εδώ συγκεκριµένα η παραδοξότητα, αλλάζει µόνο κατά µία µονάδα και δεύτερον ότι οι επιτρεπόµενες αλληλεπιδράσεις κατα τις ο- ποίες παρατηρείται f lavour = 1 λαµβάνουν χώρα µόνο µέσω µεταβάσεων φορτισµένων ϱευµάτων. Επειδή όµως τα παρατηρούµενα φορτισµένα ϱεύµατα δε συµϕωνούσαν µε τη ϑεωρία, στηρίχθηκαν στην απουσία των µεταβάσεων ουδέτερων ϱευµάτων αλλαγής του κβαντικού αριθµού της γεύσης F CN C και διατύπωσαν ότι οι στραµµένες καταστάσεις των κουάρκ d, s κατά γωνία 14

105 Cabibo εξισώσεις 3.161, µε την εισαγωγή ενός τέταρτου κουάρκ, διορθώνουν το ϱεύµα και οι υπολογισµοί δίνουν το παρατηρούµενο. Ενώ αρχικά η εισαγωγή ενός τέταρτου κουάρκ παραξένεψε την επιστηµονική κοινότητα, τέσσερα χρόνια µετά την πρόβλεψη, η ανακάλυψη του κουάρκ c επιβεβαίωσε την εγκυρότητα του µηχανισµού. Στο καθιερωµένο πρότυπο η παρουσία τρίτης οικογένειας κουάρκ αναδεικνύει την ανάγκη για την ύπαρξη ενός 3x3 µοναδιακού πίνακα ως επέκταση του x πίνακα στην περίπτωση δύο οικογενειών ο οποίος περιέχει πληροϕο- ϱίες για την δύναµη των ασθενών διασπάσεων αλλαγής γεύσης. Οπως έχουµε δει παραπάνω οι ιδιοκαταστάσεις των κουάρκ στη φυσική ϐάση όταν διαδίδονται ελεύθερα δε συµµετέχουν ατόϕιες στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Ο µοναδιακός µετασχηµατισµός πίνακας που εξηγεί αυτό το κακοταίριασµα και συνδέει τις κβαντικές ιδιοκαταστάσεις των δυο ϐάσεων φυσικής-ϱευµάτων, αντιπροσωπεύεται από τον πίνακα Cabibo-Kombayashi-Maskawa. Συµβατικά, επιλέγουµε τα κουάρκ u, c, t ως τις καθαρές καταστάσεις και τα d, s, b είναι τα κουάρκ των οποίων οι καταστάσεις αναµιγνύονται µέσω του µετασχηµατισµού : d d V ud V us V ub d s = V s = V cd V cs V cb s b b V td V ts V tb b Το αριστερό µέλος της παραπάνω εξίσωσης τα στοιχεία του διανύσµατος α- ποτελούνται από τα ταίρια των πάνω-είδους κουάρκ στη ϐάση των ϱευµάτων και στο δεξί µέλος ϐρίσκεται ο πίνακας µετασχηµατισµού πολλαπλασιασµένος από ένα διάνυσµα του οποίου τα στοιχεία είναι τα ίδια όµως στη φυσική ϐάση. Για να παραµετροποιήσουµε τον παραπάνω πίνακα 3.166, είναι απα- ϱαίτητο να ϐρούµε τον αριθµό παραµέτρων του πίνακα που εµϕανίζονται στα πειράµατα και άρα έχουν µεγάλη φυσική σηµασία. Εχοντας λοιπόν N g οικόγενειες N g γεύσεις, τότε : ˆ Ενας NxN µοναδιακός πίνακας U U = 1 απαιτεί Ng πραγµατικές παραµέτρους να προσδιοριστούν. Κανονικά απαιτεί Ng αλλά λόγω µοναδιακότητας ανάγεται σε Ng. ˆ N g 1 είναι οι σχετικές φάσεις µεταξύ των πεδίων των διάϕορων κουάρκ. Συνεπώς οι πραγµατικά παρατηρήσιµες παράµετροι, ανεξάρτητες από την επιλογή ϐάσης, ϑα είναι : N g N g 1 = N g 1. ˆ Από αυτές οι N g N g 1/ είναι γωνίες περιστροϕής και λέγονται γωνίες ανάµιξης των οικογενειών. ˆ Οι υπόλοιπες N g 1N g / είναι µιγαδικές φάσεις οι οποίες είναι υπεύθυνες για την παραβίαση της συµµετρίας CP. Οπότε για N g = 3 προκύπτουν τα απαραίτητα στοιχεία για την παραµετροποίηση του πίνακα C K M. Επίσης, παρακάτω παραθέτουµε και 15

106 τα αποτελέσµατα για τις περιπτώσεις N g = 1 και N g = από όπου ϑα προκύψουν ένα τετριµµένο αποτέλεσµα και το αποτέλεσµα που πήραµε παραπάνω από το µηχανισµό Cabibbo-GIM, αντίστοιχα. Οι τρεις περιπτώσεις είναι οι ακόλουθες. - Για N g = 1 N g 1 =, που σηµαίνει ότι δεν παίρνουµε κα- u µία πραγµατική παράµετρο γεγονός το οποίο συνεπάγεται µόνο d σύνδεση χωρίς ανάµιξη οικογενειών. - Για N g = N g 1 = 1, που σηµαίνει ότι έχουµε µία πραγ- µατική παράµετρο, τη γωνία Cabbibo, θ c. Ο µετασχηµατισµός που προκύπτει είναι ο πίνακας στην εξίσωση Για N g = 3 N g 1 = 4, που σηµαίνει ότι έχουµε N g N g 1/ = 3 τρεις πραγµατικές γωνίες περιστροϕής και N g 1N g / = 1 µια µιγαδική φάση. Ετσι η καθιερωµένη παραµετροποίηση του πίνακα µετασχηµατισµού χρησιµοποιεί τις τρεις γωνίες του Euler και τη γωνία δ 13. V = 1 c 3 s 3 s 3 c 3 c 13 s 13 e iδ 13 1 s 13 e iδ 13 c 13 c 1 s 1 s 1 c 1 1 = c 1 c 13 s 1 s 13 s 13 e iδ s 1 c 3 c 1 s 3 s 13 e iδ 13 c 1 c 3 s 1 s 3 s 13 e iδ 13 s 3 c 13 s 1 s 3 c 1 c 3 s 13 e iδ 13 c 1 s 3 s 1 c 3 s 13 e iδ 13 c 3 c όπου, c ij = cos θ ij, s ij = sin θ ij και δ 13 παραµετροποιεί τη CP. Οι γωνίες θ 1, θ 3, θ 13 ονοµάζονται γωνίες µίξης. Προϕανώς, η θ 1 είναι η γωνία Cabibbo θ c. Ανακεϕαλαιώνοντας, αν αντικαταστήσουµε στην τον πίνακα της τότε παίρνουµε τους γραµµικούς συνδυασµούς των κάτω-είδους κουάρκ όταν αλληλεπιδρούν ασθενώς. Τα στοιχεία του πίνακα CKM δίνει τα διαϕορετικά κανάλια τα οποία ακολουθεί η διάσπαση του κάθε κουάρκ. Η ένταση µε την οποία πραγµατοποιείται το κάθε κανάλι φαίνεται στην παρακάτω εικόνα : 16

107 Εικονική αναπαράσταση των διαϕορετικών τρόπων διάσπασης των 6 κουάρκ µε τις µάζες να αυξάνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά 3.5 Εύρεση γωνίας Cabibbo συναρτήσει των φυσικών µαζών των κουάρκ Ενα σηµαντικό αποτέλεσµα που µπορούµε να εξάγουµε για τη γωνία Cabibbo, το οποίο ϐοηθάει στην προσέγγιση της τιµής της, είναι να δίνεται συναρτήσει των µαζών των κουάρκ, που µπορούµε να τις ϐρούµε πειραµατικά. Ετσι λοιπόν, στην περίπτωση όπου υπάρχουν µόνο δυο οικογένειες κουάρκ N g = u d f ul = και f c dl = s L L µε αντίστοιχους πίνακες µαζών στη ϐάση των ϱευµάτων : n m M U = n n και M D = m m Η λαγκρατζιανή που εµπεριέχει τους όρους µάζας των κουάρκ στη ϐάση των αλληλεπιδράσεων είναι : L = d s L M d D + ū s c L M u U + h.c c R R Τώρα ορίζουµε κάποιους συµβολισµούς προς αποϕυγή συγχυσεων : ˆ P L, P R : Τα ιδιοδιανύσµατα των στραµµένων κουάρκ της δεύτερης οικογένειας στη ϐάση των ϱευµάτων d d P L = και P R = s L s R 17

Καθιερωµένο πρότυπο, Επανακανονικοποίηση της QED και Πρότυπο SU(5)

Καθιερωµένο πρότυπο, Επανακανονικοποίηση της QED και Πρότυπο SU(5) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΓΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Καθιερωµένο πρότυπο, Επανακανονικοποίηση της QED και Πρότυπο SU5 Πατέλλης Γρηγόρης Επιβλέπων Καθηγητής : Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

V fn V ni 2πδ(E f E i )

V fn V ni 2πδ(E f E i ) Ο διαδότης Εχουμε δεί ήδη ότι στα διαγράμματα Feynman η γραμμή του εικονικού φωτονίου αντιστοιχεί στο όρο 1/q 2 με q η ορμή του εικονικού φωτονίου (q 2 0). Αν το εικονικό σωματίδιο έχει μάζα ο διαδότης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 25 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389

E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389 97/389 Χρησιμοποιώντας τον ίδιο νορμαλισμό N = E + m έχουμε vp, s = σ p E + m E +m χs χ s, s =, 2 και ψ = vp, se i p x = vp, se ip x με p = E, p. Η επιλογή είναι χ = και χ 2 = γιατί η απουσία ενός άνω

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια II. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη Σωματίδια II. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωματίδια II Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Η εξίσωση Dirac Οι Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις 29-5-2014 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωµάτια 2 Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σωματιδίου 3 Η σχετικιστική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως:

Charge Conjuga,on. Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε. ελεύθερου σωματίδιου ως: Charge Conjuga,on Μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αντικαθιστώντας την ορμή και την ενέργια του ελεύθερου σωματίδιου ως: χρησιμοποιώντας τους τελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

108/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματ

108/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματ 8/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματισμού κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz ώστε να φτιάξουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3 Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση Θωµάς Μελίστας Α 3 Σύµφωνα µε την κλασσική µηχανική και την γενική αντίληψη η µάζα είναι µία εγγενής ιδιότητα των φυσικών σωµάτων. Μάζα είναι η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 25 Περιεχόµενα 6ης ενότητας Φαινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Κ. Βελλίδης & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 018 Συντεταγμένες Κ. Βελλίδη (Στοιχειώδη Σωμάτια): Τομέας ΠΦΣΣ: β όροφος, 10-77-6946 ΙΕΣΕ: β όροφος,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Συναλλοίωτη Μορφή: οι Dirac γ Matrices Η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή χρησιμοποιώντας τις 4 Dirac γ matrices: Πολλαπλασιάζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 15 Δεκ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών ιάδοση ηχητικών κυµάτων σε ρευστά. Ηχητικά κύµατα σε ακίνητο ρευστό. Εξίσωση συνέχειας: ρ t + ~ (ρ~v) =0 Εξίσωση Euler: ~v t +(~v ~ )~v = 1 ρ ~ p ( ~ Φ +...) Μικρές διαταραχές:

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Το Μποζόνιο Higgs. Το σωματίδιο Higgs σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο

Το Μποζόνιο Higgs. Το σωματίδιο Higgs σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο 1 Το Μποζόνιο Higgs 29/05/13 Σκοποί: I. Να απαντήσει στο ερώτημα του τι είναι ακριβώς το σωματίδιο Higgs. II. Να εισάγει τους διάφορους τρόπους παραγωγής και μετάπτωσης του Higgs. III. Να δώσει μία σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική

Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Υπενθυμίζουμε τη συνταγή που θέτει την εξίσωση Schrödger σε αντιστοιχία με τη μη-σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: p E () m μέσω της αντικατάστασης των E, p με διαφορικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Κ. Βελλίδης & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 018 Κλασσική-Κβαντική Εικόνα Πεδίου Εικονικά σωµάτια Διαγράµµατα Feynman Ηλεκτροµαγνητικές και Ασθενείς

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Ε: Από τί αποτελείται η ύλη σε θεμελειώδες επίπεδο;

Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Ε: Από τί αποτελείται η ύλη σε θεμελειώδες επίπεδο; Εκεί, κάτω στον μικρόκοσμο... Από τί αποτελείται ο κόσμος και τί τον κρατάει ενωμένο; Αθανάσιος Δέδες Τμήμα Φυσικής, Τομέας Θεωρητικής Φυσικής, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 5 Οκτωβρίου 2015 Φυσική Στοιχειωδών

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους

Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους 1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους Σκοποί της πέμπτης διάλεξης: 10.11.2011 Εξοικείωση με τους μετασχηματισμούς του Lorentz και τις διάφορες μορφές που μπορούν να πάρουν για την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων

Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων X! g! g! X! g! g! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 1 Θα αναπτύξουµε υπολογιστικές µεθόδους για ενεργές διατοµές σκέδασης Θα αρχίσουµε µε: e + µ + e e e + e µ + µ γ e

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

Hamiltonian φορμαλισμός

Hamiltonian φορμαλισμός ΦΥΣ - Διαλ.0 Hamltonan φορμαλισμός q = H H Οι εξισώσεις Hamlton είναι:, p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamltonan Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Αλληλεπιδράσεις & Πεδία στη Σωματιδιακή Φυσική Τα Θεμελιώδη Μποζόνια των αλληλεπιδράσεων Οι Θεμελιώδεις Αλληλεπιδράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας 1 Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Σκοπός της δέκατης διάλεξης: 10/11/12 Η κατανόηση των εννοιών της ολικής ενέργειας, της κινητικής ενέργειας και της ορμής στην ειδική θεωρία της

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση : Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΟΝ ΑΪΝΣΤΑΪΝ ΙΑΤΡΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ «ΗΜΕΡΙ Α ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ»

ΑΠΟ ΤΟ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΟΝ ΑΪΝΣΤΑΪΝ ΙΑΤΡΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ «ΗΜΕΡΙ Α ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ» ΑΠΟ ΤΟ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΟΝ ΑΪΝΣΤΑΪΝ ΙΑΤΡΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ «ΗΜΕΡΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ» ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ z z y y ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ Αδρανειακό σύστηµααναφοράςείναι αυτό στο οποίο ενα σώµαπουδεν του ασκούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Προλεγόµενα. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

Προλεγόµενα. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας Προλεγόµενα Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 1 S.I. UNITS: kg m s Natural Units δεν είναι ιδιαίτερα «βολικές» για τους υπολογισµούς µας αντί αυτών χρησιµοποιούµε Natural Units που βασίζονται σε θεµελιώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Ν. Γιόκαρης,, (Κ.Ν.( Παπανικόλας) & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 2016 Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης 1 Stathis STILIARIS,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 39 Τα άτομα από την σκοπιά της κβαντικής μηχανικής Το άτομο του Υδρογόνου: Η εξίσωση του Schrödinger και οι κβαντικοί αριθμοί ΟΙ κυματοσυναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης

( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης Hamiltonian φορμαλισμός q Πριν αρκετό καιρό, είδαµε τον φορµαλισµό Hamilton: Ø Για ένα σύστηµα µε βαθµούς ελευθερίας και Lagrangian ² Ορίσαµε p i = L! ² και την hamiltonian: H = και ² Λύσαµε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός είναι c. Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης (28-11- 2018) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο 1 Spin και πάριτυ ενός πυρήνα (J και πάριτυ: J p ) Σπιν πυρήνα, J = ολικό τροχιακό σπίν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα