ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει μια επίπεδη επιφάνεια ακανόνιστου σχήματος, με κέντρο βάρους το σημείο C με συντεταγμένες x, y. Η αρχή του συστήματος των συντεταγμένων (Ο XY ) θεωρείται αυθαίρετα στο σημείο Ο. Ως da, ορίζεται ένα στοιχείο επιφάνειας απειροστών διαστάσεων, το οποίο έχει συντεταγμένες x, y, ενώ ως Α ορίζεται το εμβαδό όλης της επιφάνειας. Η επιφάνεια Α υπολογίζεται με το ολοκλήρωμα da. Επιπρόσθετα ορίζονται οι ποσότητες των πρώτων ροπών της επιφάνειας ως προς τους άξονες x,y. Πρώτη Ροπή της Επιφάνειας ως προς τον άξονα x: QX yda Πρώτη Ροπή της Επιφάνειας ως προς τον άξονα y: QY xda - E:nfo@avakas.net - T:

2 Για να αντιληφθεί κανείς την έννοια της πρώτης ροπής επιφάνειας Α ως προς άξονα, αρκεί να θεωρήσει ότι η προς εξέταση επιφάνεια διαιρείται σε ν τμήματα da απειροστών διαστάσεων. Αθροίζοντας τα γινόμενα του κάθε απειροστού εμβαδού επί της αντίστοιχης απόστασης (τετμημένης ως προς τον άξονα y και τεταγμένης ως προς τον άξονα x), προκύπτουν τα μεγέθη των πρώτων ροπών της επιφάνειας ως προς τους άξονες. Οι πρώτες ροπές, μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές, καθώς το πρόσημό τους εξαρτάται από τη θέση της αρχής των αξόνων Ο XY και ενώ το εμβαδό είναι πάντα θετική ποσότητα, η αντίστοιχη τεταγμένη ή τετμημένη μπορεί να είναι και αρνητικές. Η μονάδα μέτρησής τους είναι m 3. Οι συντεταγμένες x, y, του κέντρου βάρους της επιφάνειας Α προκύπτουν από το πηλίκο της πρώτης ροπής ως προς άξονα προς το εμβαδό της επιφάνειας : QY x A xda da και QX y A yda. da Εάν η εξεταζόμενη επιφάνεια περικλείεται από απλές μαθηματικές συναρτήσεις ή/και τους άξονες x,y τα παραπάνω ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν ακριβώς. Στην περίπτωση που η εξεταζόμενη επιφάνεια έχει ακανόνιστα όρια και δεν περικλείεται από απλές μαθηματικές εκφράσεις, τότε η πορεία που ακολουθείται είναι η ακόλουθη. Χωρίζεται η εξεταζόμενη επιφάνεια σε ν μικρά πεπερασμένα στοιχεία (γνωστά γεωμετρικά σχήματα, π.χ. τετράγωνα, ορθογώνια, τρίγωνα κτλ) με υπολογιζόμενο εμβαδό και υπολογιζόμενες συντεταγμένες κέντρου βάρους. Σε αυτή την περίπτωση τα παραπάνω ολοκληρώματα αντικαθίστανται από αθροίσεις, σύμφωνα με τα ακόλουθα. A για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειας. 1 Q y για τον υπολογισμό της πρώτης ροπής ως προς τον άξονα x. x E:nfo@avakas.net - T:

3 Q x για τον υπολογισμό της πρώτης ροπής ως προς τον άξονα y. y 1 Με ν συμβολίζεται το πλήθος πεπερασμένων στοιχείων, y η τεταγμένη του κέντρου βάρους ως προς τον άξονα y για το στοιχείο και x η τετμημένη του κέντρου βάρους ως προς τον άξονα x για το στοιχείο. Σύμφωνα με τα παραπάνω οι σχέσεις υπολογισμού των συντεταγμένων του κέντρου βάρους είναι οι ακόλουθες : Qy x A 1 1 x και Qx y A 1 1 y Είναι προφανές ότι η ακρίβεια των υπολογισμών εξαρτάται τόσο από το πλήθος όσο και από τα σχήματα των επιλεγμένων γεωμετρικών σχημάτων με τα οποία «καλύπτεται» η επιφάνεια. Παρατηρήσεις : Εφόσον η επιφάνεια έχει άξονα συμμετρίας τότε υποχρεωτικά το κέντρο βάρους βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας. Για παράδειγμα στο επόμενο σχήμα, το οποίο έχει ένα άξονα συμμετρίας (Cx), το κέντρο βάρους θα βρίσκεται επί του άξονα Cx. - E:nfo@avakas.net - T:

4 Εφόσον η επιφάνεια έχει δύο άξονες συμμετρίας τότε υποχρεωτικά το κέντρο βάρους βρίσκεται στην τομή των αξόνων συμμετρίας. Στο επόμενο σχήμα, το οποίο έχει δύο άξονες συμμετρίας (Cx, Cy), το κέντρο βάρους θα βρίσκεται στην τομή των αξόνων, στο σημείο C. Εν συνεχεία δίνονται τα κέντρα βάρους γνωστών τεσσάρων γνωστών γεωμετρικών σχημάτων που ενδέχεται να ζητηθούν σε εφαρμογές. x h y x 3 h y E:nfo@avakas.net - T:

5 x 0 4r y 3 4r x 3 4r y 3 Στο επόμενο παράδειγμα, θεωρείται η επιφάνεια ΟΑΒ παραβολικής μορφής σύμφωνα x με την εξίσωση y f( x) h(1 ) με τις διαστάσεις,h να δίνονται στο σχήμα, που περιορίζεται από τον άξονα x και τον άξονα y και ζητείται να βρεθεί το κέντρο βάρους της. Θεωρείται στοιχειώδης επιφάνεια da, με τη μορφή κατακόρυφης λεπτής λωρίδας, πλάτους dx και ύψους y. Η επιφάνεια της λωρίδας προκύπτει da ydx και λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση της παραβολικής επιφάνειας θα έχουμε για τη x στοιχειώδη λωρίδα da h(1 ) dx. Αφού εκφράστηκε το εμβαδό συναρτήσει του x, τότε η επιφάνεια προκύπτει με την ολοκλήρωση της έκφρασης του da ως προς - E:nfo@avakas.net - T:

6 τα όρια της μεταβλητής x, και πιο συγκεκριμένα είναι x h (1 ). 0 A da h dx 3 Θεωρώντας τώρα ότι το κέντρο βάρους της τυχαίας λωρίδας da, έχει συντεταγμένες y x, (αφού y είναι το συνολικό της ύψος), μπορούν να υπολογιστούν οι πρώτες ροπές της στοιχειώδους επιφάνειας da, σαν τα γινόμενα των συντεταγμένων επί το εμβαδό της επιφάνειας. Αντικαθιστώντας σε αυτές τις σχέσεις την έκφραση για το x στοιχειώδες εμβαδό da h(1 ) dx προκύπτουν εκφράσεις ως προς τη μεταβλητή x. Ολοκληρώνοντας αυτές τις εκφράσεις ως προς τα όρια της μεταβλητής x, προκύπτουν οι πρώτες ροπές της επιφάνειας ως προς το σύστημα των αξόνων. y h x 4h Qx da dx (1 ) 0 15 και x h Qy xda hx(1 ) dx 0 4 Με τις πρώτες ροπές γνωστές, υπολογίζεται άμεσα το κέντρο βάρους της επιφάνειας Qy 3 Qx h και μάλιστα είναι x και y. A 8 A 5 ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Είναι αλήθεια ότι για τις συνηθισμένες εφαρμογές του μηχανικού, σπανίως χρειάζεται να υπολογιστούν κέντρα βάρους μέσω υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Τα κέντρα βάρους των συνηθισμένων γεωμετρικών επιφανειών είναι ήδη γνωστά. Παρολ αυτά, πολύ συχνά χρειάζεται ο υπολογισμός του κέντρου βάρους σύνθετων επιφανειών που αποτελούνται από διάφορα τμήματα, με το καθένα να έχει γνωστό γεωμετρικό σχήμα. Αν θεωρηθεί ότι η εξεταζόμενη επιφάνεια χωρίζεται σε ν μέρη, με γνωστά εμβαδά και κέντρα βάρους και έστω ότι η επιφάνεια έχει εμβαδό. - E:nfo@avakas.net - T:

7 Για τον υπολογισμό του εμβαδού και των πρώτων ροπών της σύνθετης επιφάνειας μπορούν να χρησιμοποιηθούν πλέον οι τύποι : A για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειας. 1 Q y για τον υπολογισμό της πρώτης ροπής ως προς τον άξονα x. x 1 Q y 1 x για τον υπολογισμό της πρώτης ροπής ως προς τον άξονα y. Με ν συμβολίζεται το πλήθος των επιμέρους επιφανειών, y η τεταγμένη του κέντρου βάρους ως προς τον άξονα y για την επιφάνεια και x η τετμημένη του κέντρου βάρους ως προς τον άξονα x για το στοιχείο. Σύμφωνα με τα παραπάνω οι σχέσεις υπολογισμού των συντεταγμένων του κέντρου βάρους είναι οι ακόλουθες : Qy x A 1 1 x και Qx y A 1 1 y Εφόσον η σύνθετη επιφάνεια έχει χωριστεί σε ακριβώς ν μέρη, η υπολογιστική διαδικασία που παρουσιάστηκε δίνει τα ακριβή αποτελέσματα για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους. - E:nfo@avakas.net - T:

8 Στη συνέχεια δίνεται ενδεικτικό παράδειγμα υπολογισμού του κέντρου βάρους σύνθετης επιφάνειας. Για την επιφάνεια σχήματος L διαστάσεων και c και πάχους t, ζητείται να βρεθεί το κέντρο βάρους. Καταρχήν, θα θεωρηθεί ότι η σύνθετη επιφάνεια χωρίζεται σε δύο επιμέρους επιφάνειες (ορθογώνια παραλληλόγραμμα), οι οποίες έχουν γνωστά εμβαδά και κέντρα βάρους. - E:nfo@avakas.net - T:

9 Για την επιφάνεια A 1, ισχύουν : Εμβαδό A1 t t, x1 και y1 c t Για την επιφάνεια A, ισχύουν : Εμβαδό A ( c t) t, x και y Το εμβαδό της σύνθετης επιφάνειας είναι A A1 A tt( ct) t( c t). t Οι πρώτες ροπές της σύνθετης επιφάνειας ως προς τους άξονες x,y θα είναι : t t QX y A y A t ct t ct t 1 1 ( ) ( ) t c t t QY x A x A t ct t tc t 1 1 ( ) ( ) Τελικά οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους της σύνθετης επιφάνειας είναι : - E:nfo@avakas.net - T:

10 t ( c tt ) QY c tt x A t( ct) ( ct) και t ( ctt ) QX ctt y A t( c t) ( c t). Θα πρέπει να σημειωθεί πως στην περίπτωση που η σύνθετη επιφάνεια αποτελείται μόνο από δύο μέρη, το κέντρο βάρους της σύνθετης επιφάνειας βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα βάρους των δύο επιμέρους επιφανειών, όπως σημειώνεται και στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας για τη σύνθετη επιφάνεια σχήματος L. Για σύνθετες επιφάνειες που έχουν προκύψει από την «απουσία» τμήματος επιφάνειας, η εφαρμογή των παραπάνω γίνεται με αφαίρεση της συνεισφοράς του τμήματος που «απουσιάζει». Για παράδειγμα στο αριστερό σχήμα, η σύνθετη επιφάνεια θα θεωρηθεί ότι προκύπτει από το πλήρες ορθογώνιο παραλληλόγραμμο acd, αφαιρώντας τη συνεισφορά του τμήματος efgh που στην ουσία λείπει. Αντίστοιχα στο δεξί σχήμα, πάλι θα εργαστούμε θεωρώντας το πλήρες ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφαιρώντας τη συνεισφορά του κυκλικού τμήματος. - E:nfo@avakas.net - T:

11 Στη συνέχεια παρουσιάζεται αντίστοιχο παράδειγμα για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου. Ζητείται να βρεθεί το κέντρο βάρους της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας του σχήματος. Σύμφωνα με την γενική θεώρηση, η γραμμοσκιασμένη επιφάνεια προέκυψε από την αφαίρεση του κυκλικού τμήματος από το πλήρες ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό κέντρου βάρους x1 3cm και y1 4cm. A1 68 x 48cm και συντεταγμένες Ο κύκλος έχει εμβαδό x cm και y 6cm. 4 A 3,14x1 3,14cm και συντεταγμένες κέντρου βάρους Για τον υπολογισμό τόσο του εμβαδού της επιφάνειας όσο και των συντεταγμένων του κέντρου βάρους η συνεισφορά της επιφάνειας του κύκλου θα θεωρηθεί αρνητική. Κατά συνέπεια θα έχουμε τα ακόλουθα : - E:nfo@avakas.net - T:

12 A A1 A 48 3,14 44,86cm για το εμβαδό της σύνθετης επιφάνειας QX y1a1 ya 4x48 6x3,14 173,16cm για την πρώτη ροπή ως προς x Q x1a1 xa 3x48 4x3,14 131, 44cm Y για την πρώτη ροπή ως προς y Q Y 131, 44 x,93cm και A 44,86 Q X 173,16 y 3,86cm, οι συντεταγμένες του A 44,86 κέντρου βάρους της σύνθετης επιφάνειας. - E:nfo@avakas.net - T: