Το «Δήλιον πρόβλημα» ή ο διπλασιασμός του κύβου ή η τριχοτόμησις της αρμονίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το «Δήλιον πρόβλημα» ή ο διπλασιασμός του κύβου ή η τριχοτόμησις της αρμονίας"

Transcript

1 Το «Δήλιον πρόβλημα» ή ο διπλασιασμός του κύβου ή η τριχοτόμησις της αρμονίας 1. Προλεγόμενα Κυρίες και κύριοι σύνεδροι, ως καθηγητής της Ακουστικής ησχολήθην με τον Πυθαγορισμόν στοχεύων εις την κατανόησιν του τρόπου μελέτης υπό των πυθαγορείων των ακουστικών φαινομένων, τα οποία ακολουθούν νόμους αρμονικούς και φθάνουν επί σειράν αιώνων κατ αυτόν ή τον άλλον τρόπον εις την ανθρωπίνην αίσθησιν. Καθ οδόν εντυπωσιάσθην τα μάλα υπό του μυστικισμού, ο οποίος διέκρινεν την μετάδοσιν της επιστημονικής γνώσεως μεταξύ των μεμυημένων οπαδών του Πυθαγορισμού, αλλά συντόμως διεπίστωσα ότι ανέκαθεν οι κοσμοθεωρίες των κατ έθνη ιερατείων εβασίζοντο εις τον συμβολισμόν. Η επιστημονική γνώσις παρέμενεν κρυφή και αρρήκτως συνδεδεμένη μετά σημείων, συμβόλων, αριθμών και αστερισμών, προκειμένου να προστατευθούν αλήθειες και ιδανικά, τα οποία, εν εναντίᾳ περιπτώσει, παρερχομένου του χρόνου, θα υφίσταντο διαστρέβλωσιν. Ιδού γιατί οι «παλαιοὶ» 1 Έλληνες φιλόσοφοι, τραγικοί και ποιητές εδίδασκον κρυφίως «μύθῳ φιλοσοφοῦντες» κάποιες απόκρυφες διδασκαλίες, κεκαλυμμένες δι αριστοτεχνικού φιλοσοφικού τρόπου. 2. Η Γεωμετρική εκδοχή του διπλασιασμού του κύβου Ο διπλασιασμός του κύβου 2 ή το «Δήλιον πρόβλημα» κατελέγετο μεταξύ των τριών αλύτων προβλημάτων της Ελληνικής αρχαιότητος μετά κανόνος και διαβήτου μόνον. Τα έτερα δύο άλυτα προβλήματα ήσαν η τριχοτόμησις δοθείσης γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου. 1 οἱ παλαιοὶ πολλοῖς αἰνίγμασιν ἐχρῶντο καὶ μάλιστα πρὸς τοὺς ἱερεῖς, Plutarchus, Αίτια Ρωμαϊκά και Ελληνικά, 281, Α10-Β1. Οἱ γὰρ παλαιοὶ τὰ ποιήματα αὐτῶν πρῶτον ἐν προοιμίοις καὶ αἰνίγμασιν γεγράφασιν. ὕστερον δὲ καὶ καθόλου φανερῷ ἐχρῶντο τῷ λόγῳ. Σχόλια εις τον Προμηθέα Δεσμώτην του Αισχύλου, 610, 3. 2 Ανάλογον του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου ήτο το κατά πολύ παλαιότερον πρόβλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου, το οδηγούν εις το άρρητον μέγεθος 2, δια του οποίου το διαπασών διχοτομείται.

2 Σχήμα 1: Ο διπλασιασμός του κύβου ή το «Δήλιον πρόβλημα» Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου ήτο γνωστόν κατά την αρχαιότητα και εις τους Αιγυπτίους και τους Ινδούς. Κατά τον διπλασιασμόν του κύβου, δοθέντος ενός κύβου, ζητείται να κατασκευασθεί έτερος κύβος διπλασίου όγκου. Κατά τους υπάρχοντες μύθους περί του διπλασιασμού του κύβου λέγεται ότι ο Ερατοσθένης εκ της Κυρήνης, τον 3 ον π.χ. αι., απέστειλεν επιστολήν εις τον βασιλέα της Αιγύπτου Πτολεμαίον αναφέρων έναν θρύλον εκ μιας τραγωδίας. Κατά τον θρύλον ο Γλαύκος, ο μικρός υιός του Μίνωος και της Πασιφάης, διέλαθεν της προσοχής των ιδικών του και πεσών εις ένα πιθάρι με μέλι επνίγη. Ο Μίνως, ο βασιλεύς της Κρήτης, παρήγγειλεν κυβικού σχήματος τάφον για τον αποθανόντα υιόν του. Ιδών τον ολοκληρωθέντα τάφον, του εφάνη μικρός και διέταξεν τον διπλασιασμόν του όγκου του άνευ μεταβολής του σχήματός του. Σημειωτέον ότι κατά μίαν εκδοχήν τον Κρήτα πρίγκιπα με βότανα ανέστησεν ο Αργείος μάντις Πολύϊδας και κατ άλλην ο θεός Ασκληπιός. Ετέρα πλοκή του μύθου μας δίδεται υπό του Θέωνος του Σμυρναίου, επί τῇ βάσει ενός απολεσθέντος διαλόγου υπό τον τίτλον Πλατωνικός, όστις αναφέρει ότι οι Δήλιοι κατά την διάρκειαν λοιμού περί το έτος 430 π.χ. ηρώτησαν το Μαντείον των Δελφών περί του πρακτέου για την σωτηρίαν των. Ο χρησμός της Πυθίας έλεγεν ότι έπρεπε να διπλασιάσουν του όγκον του κυβικού σχήματος ναού του Απόλλωνος άνευ μεταβολής του σχήματός του εξ οὗ και «Δήλιον πρόβλημα». Θεωρήσαντες ως εύκολον λύσιν τον διπλασιασμόν του μήκους της ακμής του κυβικού ναού, ωδηγήθησαν εις λάθος αποτέλεσμα και απέλπιδες απηυθύνθησαν εις επαΐοντες, ζητούντες να τους υποδειχθεί η σωστή λύσις του προβλήματος. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνεύς (6 ος μ.χ. αι.), ο σχολιαστής των έργων του Αρχιμήδους, μας διασώζει δώδεκα λύσεις του «Δηλίου προβλήματος», ήτοι του Ιπποκράτους του Χίου ( π.χ.), του Αρχύτου του Ταραντίνου ( π.χ.), του Πλάτωνος ( π.χ.), του

3 Μεναίχμου ( π.χ.), του Ευλείδου (Πρότασις ΙΙ.6 των Στοιχείων, 3 ος π.χ. αι.), του Αρχιμήδους ( π.χ.), του Ερατοσθένους ( π.χ.), του Απολλωνίου ( π.χ.), του Νικομήδους (2 ος π.χ. αι.), του Ήρωνος του Αλεξανδρέως (1 ος -2 ος μ.χ. αι.), του Διοκλέους (1 ος π.χ. αι.) και του Πάππου του Αλεξανδρέως (3 ος μ.χ. αι.). Πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος εσκέφθη να εύρει δύο μέσες αναλόγους β και γ εις συνεχήν αναλογίαν μεταξύ δύο ευθυγράμμων τμημάτων, των οποίων τα μήκη είχον σχέσιν 2:1, ήτοι α = β = γ. β γ 2α 3 Εξ αυτής της τριπλής συνημμένης αναλογίας προκύπτει ότι β = 2 α 3 και γ = 2 2 α, οπότε ο κύβος ακμής β έχει διπλάσιον όγκον του κύβου ακμής α, ήτοι β 3 = 2α 3. Επομένως, πρέπει να κατασκευασθεί ακμή μήκους εκφραζομένου δια του αρρήτου κατά τους Πυθαγορείους αριθμού -υπό την έννοιαν του μη επιτρεπτέου να λέγεται (α στερητικόν + 3 ρητός)- 2 α. Ο Μέναιχμος έλυσεν το Δήλιον πρόβλημα δια δύο παραβολών, ο Νικόδημος επενόησεν μίαν λίαν πολύπλοκον λύσιν δια της λεγομένης κογχοειδούς του Νικοδήμου και ο Διοκλής δια του ομωνύμου κισσοειδούς. Ο Πλάτων επενόησεν μίαν διάταξιν, τον κυβιστήν, δια της οποίας ηδύνατο αμέσως να παρεμβάλλει μεταξύ των μηκών α και 2α τις μέσες αναλόγους β και γ. Σχήμα 2: Ο Πλατωνικός κυβιστής. Ομοίως, ο Ερατοσθένης κατεσκεύασεν όργανον, το μεσολάβιον, δια του οποίου παρενέβαλλεν τις δύο μέσες αναλόγους β και γ μεταξύ των μηκών α και 2α.

4 3. Η αλληγορία του προβλήματος Σχήμα 3: Το μεσολάβιον του Ερατοσθένους. Το εκτεθέν φαινομενικώς στερεομετρικόν μόνον «Δήλιον πρόβλημα» ή πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου έχει αλληγορικόν φιλοσοφικόν νόημα, αντανακλών 1. εις τον ετήσιον κύκλον της φύσεως, 2. εις την θεωρητικήν και την πρακτικήν μουσικήν, 3. εις την αστρονομίαν και την κοσμολογίαν σχετικώς με την διάταξιν των θείων ουρανίων γενητών, των επί σταθερών κυκλικών τροχιών περιφερομένων Ετήσιος κύκλος της φύσεως Η ανάστασις και επαναφορά εις την ζωήν του νεαρού Κρητός πρίγκιπος, του Γλαύκου, είτε τῇ μεσολαβήσει του Αργείου μάντεως Πολυΐδου, του κατέχοντος την γνώσιν της θεραπευτικής δράσεως των βοτάνων, είτε τῇ θεϊκῇ δυνάμει του Ασκληπιού, το «Δήλιον πρόβλημα» ή το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου αλληγορικώς θεολογεί και θεοποιεί την ανακύκλησιν των εποχών και την αναγέννησιν της βλαστανούσης φύσεως κατά τον ετήσιον αυτής κύκλον Μουσική αλληγορία Θεωρητική μουσική αλληγορία Η έννοια μουσικόν «διάστημα» εις την Πυθαγόρειον θεωρίαν της Μουσικής ωρίζετο ως ο λόγος δύο αριθμών και εις την μουσικήν πράξιν ως ο λόγος των μηκών δύο ταλαντουμένων τμημάτων χορδής του μονοχόρδου ή του κανόνος.

5 Λόγω αυτού του ορισμού του μουσικού διαστήματος η Πυθαγόρειος θεωρία των μουσικών διαστημάτων εμφανίζει λογαριθμικόν χαρακτήρα και δια τούτο τα πυθαγόρεια μουσικά διαστήματα προστίθενται δια πολλαπλασιασμού των αριθμητικών των σχέσεων δ 1 δ 2 = (f 2 /f 1 ) f2 g2 (g 2 /g 1 ) = =(f 2 g 2 /f 1 g 1 ) f1 g1 αφαιρούνται δια διαιρέσεως των αριθμητικών των σχέσεων f 2 δ 1 δ 2 = (f 2 /f 1 ) (g 2 /g 1 ) = 2 g : =(f 2 g 1 /f 1 g 2 ), όπου f 2 g 1 > f 1 g 2 f1 g 1 ο πολλαπλασιασμός των επί αριθμόν λ προκύπτει δι υψώσεως της αριθμητικής των σχέσεως εις την λ δύναμιν f 2 λδ = (f 2 /f 1 ) (f 2 /f 1 ) (f 2 /f 1 )= =(f λ 2 /f λ 1 ) f1 η διαίρεσίς των εις λ ίσα μεταξύ των μουσικά διαστήματα δίδεται υπό της λ τάξεως ρίζης της αριθμητικής των σχέσεως f2 f 2 f1 f1 (1/λ)δ =. Κατά τα ανωτέρω, εις το «Δήλιον πρόβλημα» αφενός ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο Πλάτων και ο Ερατοσθένης εβασίσθησαν επί δύο ευθυγράμμων τμημάτων, των οποίων τα μήκη είχον σχέσιν 2:1, ήτοι εβασίσθησαν επί της σχέσεως της αρμονίας κατά τον Πυθαγόραν και τον Φιλόλαον ή διαπασών ή οκτάβας, αφετέρου η έκφρασις «ακμή μήκους 2 =» ορίζει μουσικόν διάστημα ίσον προς το 1/3 της αρμονίας ή του διαπασών ή της οκτάβας. Αυτό, όμως, άμεσα υπονοεί «ίσον συγκερασμόν εις τρία», ήτοι την τριχοτόμησιν της αρμονίας. Εν άλλοις λόγοις σημαίνει την διαίρεσιν της οκτάβας εις τρία ίσα μεταξύ των μουσικά διαστήματα με διτονιαίον μέγεθος εκάστου εξ οὗ και τριχοτόμησις της αρμονίας. Τούτο είναι πρωτοφανές εις τα μουσικά χρονικά της πυθαγορείου μουσικής, δεδομένου ότι διδασκόμεθα ως εισηγητήν του ίσου συγκερασμού τον Αριστόξενον τον Ταραντίνον ( π.χ.), τον μαθητήν του Αριστοτέλους ( π.χ.), όστις διετέλεσεν μαθητής του Πλάτωνος. Ο αριθμός 2 είναι άρρητος, υπό την Πυθαγόρειον έννοιαν του όρου, ήτοι δεν επετρέπετο να κοινολογηθεί υπό των Πυθαγορείων επί ποινῇ θανάτου. Ο Πλάτων, ως Πυθαγόρειος, δεν ομιλεί περί αυτού εις ανοικτήν γλώσσαν, παρά μόνον «μύθῳ φιλοσοφών». Σελίς 5

6 Δι αυτού του διτονιαίου μουσικού διαστήματος επέρχεται αναστάτωσις εις την συμπλήρωσιν των μέχρι στιγμής υπαρχουσών κατατομών κανόνος, διότι απαιτείται ο ακριβής προσδιορισμός των αρρήτων θέσεων νέων τάστων εις το μάνικον των εγχόρδων μουσικών οργάνων της εποχής. Πράγματι, μέχρι τότε ήσαν γνωστά δύο έτερα διτονιαία μουσικά διαστήματα, ήτοι η Πυθαγόρειος τρίτη = με μέγεθος 4,0782 δωδέκατα της οκτάβας και το Αρχύτειον δίτονον, η μετέπειτα φυσική (just) τρίτη (5:4). Το Αρχύτειον δίτονον είναι κατά ένα κόμμα (81:80) μικρότερον της Πυθαγορείου τρίτης και έχει μέγεθος 3,8631 δωδέκατα της οκτάβας. Τώρα μεταξύ αυτών εγκαθίσταται το συγκερασμένον δίτονον 2 με μέγεθος 4 δωδέκατα της οκτάβας και περί αυτού ομιλεί ο Πλάτων εις το 10 ον Βιβλίον της Πολιτείας του (617) δια του μύθου των Μοιρών Πρακτική μουσική αλληγορία Το νέον διτονιαίον μουσικόν διάστημα 2 οδηγεί εις μίαν νέαν Κατατομήν του Κανόνος, ήτοι εις μίαν νέαν χάραξιν (σημείωσιν) κατά μήκος του κανόνος των πρεπόντων μηκών των δονουμένων τμημάτων χορδής, ώστε ακουστικώς να δύναται να υλοποιηθεί. Ο Πλάτων θα επαναλάμβανε την έκφρασιν «ὁ δὲ ἀριθμὸς οὗτος γεωμετρικός ἐστι» παρακινών εμάς να επιτύχωμεν την ζητουμένην κατατομήν του κανόνος γεωμετρικῷ τῷ τρόπῳ -κατ εμέ- ως ακολούθως: Έστωσαν α και 2α τα μήκη των δύο ευθυγράμμων τμημάτων, των οριζόντων την σχέσιν 2:1 της αρμονίας (διαπασών ή οκτάβας). Έστω, επίσης, ο Πλατωνικός κυβιστής, αντιμετωπιζόμενος ως ένα black box με μίαν είσοδον και με μίαν έξοδον, το μέγεθος της οποίας εξόδου είναι 2 φορές το μέγεθος της εισόδου. Βήμα 1 ον : Με είσοδον μεγέθους α εκ του Πλατωνικού κυβιστού λαμβάνομεν έξοδον μεγέθους 2α. Βήμα 2 ον : Με είσοδον μεγέθους 2 α εκ του Πλατωνικού κυβιστού λαμβάνομεν έξοδον μεγέθους 2 2α= 2 α.

7 Βήμα 3 ον : Με είσοδον μεγέθους 2 α εκ του Πλατωνικού κυβιστού λαμβάνομεν έξοδον μεγέθους 2 2 α = 2 α = 2α. Δια της ανωτέρω διαδικασίας ετριχοτομήθη μουσικώς το διάστημα της αρμονίας (2:1) μεταξύ δύο ευθυγράμμων τμημάτων με μήκη α και 2α. Βάσει αυτής της μουσικής τριχοτομήσεως θα πρέπει κατ αναλογίαν να τριχοτομήσωμεν γεωμετρικώς το μήκος L της χορδής ή του μάνικου εγχόρδου μουσικού οργάνου (κατατομή κανόνος) χρησιμοποιούντες το θεώρημα του Θαλού. Δια του γεωμετρικού αυτού τρόπου επροσδιορίσθησαν επακριβώς τα μήκη των ζητουμένων αποψαλμάτων. Σχήμα 5: Η κατατομή του κανόνος εις συγκερασμένα τρίτα της αρμονίας (διαπασών, οκτάβας).

8 3.3 Θεία γενητά Αστρονομική αλληγορία Ο προαναφερθείς ίσος συγκερασμός εις τρία πρέπει να απαντάται και εις κάποιαν μουσικήν κλίμακα διατονικού χαρακτήρος, ώστε να δύναται να διαιρείται και εις συγκερασμένους τόνους, ήτοι κατά τον ίσον συγκερασμόν εις έξι 2 και εις συγκερασμένα ημίτονα, ήτοι κατά τον ίσον συγκερασμόν εις δώδεκα 2. Προκειμένου τα συγκερασμένα ημίτονα και οι συγκερασμένοι τόνοι να δύνανται δια συνθέσεως να δομούν μουσικά συγκερασμένα διτονιαία διαστήματα υπάρχει μία και μοναδική δομή της υπό συζήτησιν μουσικής κλίμακος, ήτις συνίσταται εκ δύο διεζευγμένων εναντιομόρφων τετραχόρδων, ήτοι τετραχόρδων κατοπτρικής δομής. Τοιαύτα τετράχορδα είναι το Δώριον (τ-τ-η) και το Λύδιον (η-τ-τ) αμφότερα κατά την κατιούσα διαδοχήν. Εκ πρώτης όψεως μία τοιαύτη δομή οκταχόρδου κλίμακος εκ δύο ανομοίων τετραχόρδων εν διαζεύξει είναι ανήκουστη για τα Πλατωνικά δεδομένα. Και όμως ο Πλάτων αναφέρει αλληγορικώς την ύπαρξίν της εις τον Πολιτικόν 270 d, e λέγων: ὃταν ἡ τῆς νῦν καθεστηκυίας έναντία γίγνηται τροπή Ἣν ἡλικίαν ἓκαστον εἶχε τῶν ζῴων, αὓτη πρῶτον μὲν ἔστη πάντων, καὶ ἐπαύσατο πᾶν ὅσον ἦν θνητὸν ἐπὶ τὸ γεραίτερον ἰδεῖν πορευόμενον, μεταβάλλον δὲ πάλιν ἐπὶ τοὐναντίον οἷον νεώτερον καὶ ἁπαλώτερον ἐφύετο [ όταν η κίνησις του σύμπαντος που επικρατεί σήμερον αντιστρέφεται Κατά πρώτον σταματά την πορεία της η ηλικία, την οποίαν είχεν έκαστον των ζώων και οιονδήποτε θνητόν παύει να εμφανίζει εξέλιξιν προς τα γηρατειά, ενώ, όταν η κατάστασις αντιστρέφεται, παρουσιάζεται νεότερον και τρυφερότερον ]. Τις ανάστροφες δομές του χρόνου κατά τις δύο περιόδους Κρόνου και Διός (Πολιτικός 272 b) εκλαμβάνω ως ανάστροφες δομές των δύο τετραχόρδων Δωρίου και Λυδίου εις την προαναφερθείσαν οκτάχορδον κλίμακα. Σελίς 8

9 Η υπό συζήτησιν μουσική κλίμαξ θα είναι κατά μεν την κατιούσα διαδοχήν 3 Δώριον τετράχορδον, διαζευκτικός τόνος, Λύδιον τετράχορδον A G F E D C$ B A, κατά δε την ανιούσαν διαδοχήν 4 Λύδιον τετράχορδον, διαζευκτικός τόνος, Δώριον τετράχορδον A B C$ D E F G A. Επί των φθόγγων αυτής της μουσικής κλίμακος ο Πλάτων τοποθετεί τα περιφερόμενα περί την ακίνητον Γην θεία γενητά Σελήνη, Ερμής, Αφροδίτη, Ήλιος, Άρης, Ζεύς, Κρόνος, Απλανείς αστέρες. Αυτήν την μουσικήν κλίμακα ο Πλάτων την συσχετίζει με την κοσμικήν μουσικήν του μύθου του Ηρός (Πολιτεία, 617b ff). Ο μύθος αυτός ομιλεί περί του αναστάντος Ηρός του Αρμενίου, η ψυχή του οποίου κατά την διάρκειαν του ταξιδίου του εντός των ουρανών είδεν μίαν τεραστίαν στήλην φωτός, διερχομένη δια του κέντρου του κόσμου. Τμήμα αυτού του κοσμικού άξονος απετελείτο εξ ενός αδραχτιού μετ οκτώ σφονδυλίων, συνδεδεμένων μετ αυτού. Το συγκεκριμένον αδράχτι συμβολίζει το κοσμικόν σύστημα των απλανών αστέρων και των πλανητών, οίτινες περιφέρονται περιστρεφόμενοι περί τον άξονα του σύμπαντος (Σχήματα 6 και 7). Ο Ηρ, επίσης, παρατήρησεν οκτώ Σειρήνες καθήμενες εις το χείλος των σφονδυλίων του αδραχτιού, εκάστη άδουσα έναν συγκεκριμένον φθόγγον (αρμονία των ουρανίων σφαιρών). 3 Αυτή η φορά αναφέρεται εις την μη πραγματικήν κίνησιν των θείων γενητών, ότι δηλαδή τα πλησιέστερα ουράνια σώματα περιφέρονται με μεγαλυτέραν ταχύτητα των απωτέρων ως προς την Γην και, συνεπώς, παράγουν οξυτέρους ήχους. 4 Αυτή η φορά αναφέρεται εις την πραγματικήν κίνησιν των θείων γενητών, ότι δηλαδή τα απώτερα ουράνια σώματα περιφέρονται με μεγαλυτέραν ταχύτητα των πλησιεστέρων ως προς την Γην και, συνεπώς, παράγουν οξυτέρους ήχους. Σελίς 9

10 Σχήμα 6: Δομή αδραχτιού. Σχήμα 7: Τα οκτώ σφονδύλια του Ηρείου αδραχτιού Κοσμολογική αλληγορία Η ιδέα του αδραχτιού προέρχεται εκ των μυθολογικών υφαντών της μοίρας των ανθρώπων, ήτοι των μοιρών (Πλάτων, Πολιτεία, 617 b-d) (Εικών 1). Εικών 1: Οι μοίρες, οι μυθολογικοί υφαντές της μοίρας των ανθρώπων. Τρεις λευκοφορεμένες γυναίκες, οι Μοίρες, οι θυγατέρες της Ανάγκης, φέρουσες τα ονόματα Λάχεσις, Κλωθώ και Άτροπος «κύκλω καθήμεναι» εις ίσες μεταξύ των αποστάσεις επί των τριών θρόνων των, άδουν εις τις

11 μελωδίες των σειρήνων η Λάχεσις τα παρελθόντα, η Κλωθώ τα παρόντα και η Άτροπος τα μέλλοντα να συμβούν. Η Κλωθώ, εγγίζουσα το αδράχτι με την δεξιάν της χείρα κατά διαστήματα, εβοήθει την περιστροφήν των εξωτερικών του μερών. Η Άτροπος, εγγίζουσα το αδράχτι με την αριστεράν της χείρα κατά διαστήματα, εβοήθει την περιστροφήν των εσωτερικών του μερών. Η Λάχεσις, εγγίζουσα το αδράχτι πότε με την δεξιάν και πότε με την αριστεράν της χείρα κατά διαστήματα, εβοήθει την περιστροφήν των εξωτερικών και των εσωτερικών του μερών. Ως προελέχθη, επί των φθόγγων της μνημονευθείσης μουσικής κλίμακος των δύο διεζευγμένων εναντιομόρφων τετραχόρδων ο Πλάτων τοποθετεί τα περιφερόμενα θεία γενητά Σελήνη, Ερμής, Αφροδίτη, Ήλιος, Άρης, Ζεύς, Κρόνος, Απλανείς αστέρες. Τα τέσσερα πρώτα επί των φθόγγων του κατιόντος Δωρίου ή ανιόντος Λυδίου τετραχόρδου και τα υπόλοιπα τέσσερα επί των φθόγγων του ανιόντος Δωρίου ή κατιόντος Λυδίου τετραχόρδου αντιστοίχως. Πλησίον κάποιων φθόγγων αυτής της κλίμακος κάθηνται οι μοίρες, διότι άδουν την ιδίαν μελωδίαν μετά κάποιων σειρήνων. Κάθηνται ισαπέχουσες μεταξύ των κατά μουσικά συγκερασμένα διτονιαία διαστήματα (Σχήμα 8). Επί τῇ βάσει των πληροφοριών της πραγματικής κινήσεως των θείων γενητών, ο θρὀνος της Λαχέσεως προκειμένου να δύναται αυτή να επηρεάζει την περιφοράν και των εσωτερικών και των εξωτερικών πλανητών- τοποθετείται επί της Υπάτης και της Νήτης 5 ένθα ο φθόγγος Α, αντιδιαμετρικώς προς το μέσον της κλίμακος 2, ήτοι το μέσον Μέσης και Παραμέσης. Ο θρόνος της Ατρόπου τοποθετείται εις το Λύδιον ανιόν τετράχορδον των εσωτερικών πλανητών και εις απόστασιν ενός συγκερασμένου διτονιαίου μουσικού διαστήματος εκ της Λαχέσεως, ήτοι εγγύτατα του φθόγγου C$, τον λιχανόν της κλίμακος. Ο θρόνος της Κλωθούς τοποθετείται εις το Δώριον ανιόν τετράχορδον των εξωτερικών πλανητών και εις απόστασιν ενός συγκερασμένου διτονιαίου μουσικού διαστήματος εκ της Λαχέσεως, ήτοι εγγύτατα του φθόγγου F, την τρίτην της κλίμακος. 5 Λόγω της κυκλικής τοποθετήσεως των τριών θρόνων. Σελίς 11

12 Σχήμα 8: Οι θέσεις των θρόνων των τριών μοιρών «κύκλῳ ίσαπέχουσαι». Ο λιχανός C$ απέχει εκ της υπάτης κατά 4,0782 συγκερασμένα ημίτονα, ενώ ο θρόνος της Ατρόπου απέχει εκ της υπάτης ακριβώς 4 συγκερασμένα ημίτονα. Τουτέστιν, λόγω του ίσου συγκερασμού εις τρία, έχομεν μίαν εκτροπήν προς τα αριστερά της τροχιάς της Αφροδίτης, την οποίαν δια της αριστεράς της χειρός διορθώνει η Άτροπος. Η τρίτη F απέχει κανονικώς εκ της νήτης κατά 4,0782 συγκερασμένα ημίτονα, ενώ ο θρόνος της Κλωθούς απέχει εκ της νήτης ακριβώς 4 συγκερασμένα ημίτονα. Τουτέστιν, λόγω του ίσου συγκερασμού εις τρία, έχομεν μίαν εκτροπήν προς τα δεξιά της τροχιάς του Διός, την οποίαν δια της δεξιάς της χειρός διορθώνει η Κλωθώ. Ως προελέχθη, ο θρὀνος της Λαχέσεως τοποθετείται αντιδιαμετρικώς προς το κέντρον της κλίμακος 2, ήτοι του μέσου Μέσης και Παραμέσης, ένθα το κέντρον συμμετρίας της μελετουμένης μουσικής κλίμακος. Τον άρρητον αριθμόν 2, τον διχοτομούντα την αρμονίαν, κατά καιρούς αριθμητικώς τον προσήγγισαν ποικιλοτρόπως. Οι Ινδοί την εποχήν των Βεδών ( π.χ.) τον προσήγγισαν δια του λόγου. Επί τῇ βάσει αυτής της αριθμητικής τιμής το μέσον της αρμονίας τοποθετείται εις απόστασιν 5,82512 συγκερασμένων ημιτόνων εκ της υπάτης αντί 6. Εμφανίζεται δηλαδή μία εκτροπή του προς τα αριστερά. Οι Πυθαγόρειοι τον προσήγγισαν δια του λόγου (ο Πλάτων αλληγορικώς αναφέρεται εις τον αριθμόν 729 εις το ΙΧ βιβλίον της Πολιτείας). Επί τῇ βάσει αυτής της αριθμητικής τιμής το μέσον της αρμονίας τοποθετείται εις απόστασιν 6,11730 συγκερασμένων ημιτόνων

13 εκ της υπάτης αντί 6. Εμφανίζεται δηλαδή μία εκτροπή του προς τα δεξιά. Οι θεωρητικοί του Φυσικού χορδίσματος (just tuning) τον προσήγγισαν δια των λόγων και. Επί τῇ βάσει αυτών των αριθμητικών = τιμών το μέσον της αρμονίας τοποθετείται εις απόστασιν 5,90224 και 5,98331 συγκερασμένων ημιτόνων εκ της υπάτης, αντιστοίχως, αντί 6. Εμφανίζονται δηλαδή εκτροπές προς τα αριστερά. Τις προς αμφότερες τις κατευθύνσεις εκτροπές των ουρανίων γενητών, οι οποίες αντανακλούν εις την θέσιν του θρόνου της Λαχέσεως, διορθώνει η Λάχεσις χρησιμοποιούσα εκάστοτε την πρέπουσα χείρα της (Σχήμα 9). Σχήμα 9:Οι επιπτώσεις του Πλατωνικού ίσου συγκερασμού εις τρία επί της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών. Κατακληίς Η λύσις του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου ή του «Δηλίου προβλήματος» υποδηλοί την λύσιν της μουσικής τριχοτομήσεως της αρμονίας (διαπασών ή οκτάβας), ήτοι κατ ουσίαν τον ίσον συγκερασμόν, την κλείδα επιλύσεως δια των εναρμονίων φθόγγων παντός μελωδικού και αρμονικού προβλήματος εις μουσικούς πολιτισμούς ωσάν τον σύγχρονον ευρωπαϊκόν. Ο μέγιστος Πλάτων εις τον διάλογόν του Πολιτεία ή περὶ δικαίου μύθῳ φιλοσοφῶν (ο μύθος των τριών μοιρών) εισάγει μεταξύ πλείστων άλλων μοναδικών μουσικών θεμάτων και τον ίσον συγκερασμόν εις τρία, η

14 εφαρμογή του οποίου εις την θεωρίαν της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών επιφέρει αρμονικές διορθώσεις εις τις μεταξύ των συνηχήσεις και μέσω αυτών εις τις παρατηρούμενες εκτροπές εκ των κυκλικών των τροχιών των κινήσεων των θείων γενητών. Κυρίες και κύριοι σύνεδροι, εισηγούμαι εις το Συνέδριόν μας, περαίνων την εισήγησίν μου, ως εμπνευστήν του ίσου συγκερασμού να αποδεχθώμεν τον μέγιστον Πλάτωνα. Σελίς 14

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Κλεονίδης, Εισαγωγή Αρμονική. Αρμονική εστίν επιστήμη θεωρητική και πρακτική. μέρη δε αυτής επτά. Περί φθόγγων Περί διαστημάτων Περί γενών Περί συστήματος Περί τόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων

Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Διευθυντής Τομέως Τεχνολογίας Ήχου, Μουσικοπαιδαγωγικής & Βυζαντινής Μουσικολογίας, Διευθυντής

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863)

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863) Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1 B ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 1863)

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Κυρίες και κύριοι Σύνεδροι, στην Τετράβιβλο του Γεωργίου Παχυμέρη και συγκεκριμένα στο κεφάλαιο Ε μπορεί να διαβάσει κανείς για τα γένη των τετραχόρδων και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής)

Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 1 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 10 Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Επανάληψη της Διάλεξης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Μουσική Πληροφορική Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Άδεια Χρήσης 2 Άδεια Χρήσης 3 Άδεια Χρήσης 4 Ήχος Κλίμακες Β & Γ Δ. Πολίτης 2 ο Μάθημα Περιεχόμενα Μέρος Α : Ανατομία και φυσιολογία του αυτιού

Διαβάστε περισσότερα

Κουρδίσµατα (περίληψη)

Κουρδίσµατα (περίληψη) Κουρδίσµατα (περίληψη) Ι. Αρµονική στήλη Κάθε νότα που παράγεται µε φυσικά µέσα είναι ένα πολύ σύνθετο φαινόµενο. Ως προς το τονικό ύψος, συνιστώσες του ("αρµονικοί") είναι η συχνότητα που ακούµε ("θεµελιώδης")

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός»

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» «Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφική Σχολή, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική.

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. «Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. Του καθηγητή µουσικής µουσικολόγου Δηµήτρη Γρίβα Web-site: http://users.sch.gr/dgrivas E-mail: dgrivas@sch.gr Τα µαθηµατικά και η µουσική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ. Λεονάρδος Γκουβέλης. Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου

ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ. Λεονάρδος Γκουβέλης. Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ Λεονάρδος Γκουβέλης Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου Συνοπτικά: Κοσμολογικές θεωρίες ανά τους αιώνες Σύγχρονη κοσμολογική άποψη Αστρονομικές αποδείξεις της θεωρίας του Big Bang Μεγάλα

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 του Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου panayiotis@analogion.net, α έκδοση: 4 Οκτωβρίου 2005 Το Οικουµενικό Πατριαρχείο στα 1881 συγκρότησε

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ιωσήφ Βαλέτ. Σημειώσεις Αρμονίας 2012-13. Οι ξένοι φθόγγοι. Ι. Βαλέτ, Σημειώσεις Αρμονίας 2012-13

Ιωσήφ Βαλέτ. Σημειώσεις Αρμονίας 2012-13. Οι ξένοι φθόγγοι. Ι. Βαλέτ, Σημειώσεις Αρμονίας 2012-13 1 2 Ιωσήφ Βαλέτ Σημειώσεις Αρμονίας 2012-13 Οι ξένοι φθόγγοι 3 4 4δμητη ή 5δμητη αρμονία (συνηχήσεις από διαδοχικές 4 ες ή 5 ες ) καθώς δεν ανήκει στο στυλ που εξετάζουμε. 1. Καθυστερήσεις 1.1 Καθυστερήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Α. Προτεινόμενες θεματικές ενότητες Τίτλοι από το Ι.Ε.Π. ΑΛΓΕΒΡΑ 5ο 5.1: Ακολουθίες Η ακολουθία Fibonacci στην Φύση και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Αστρονομία τι θα κάνουμε δηλαδή??? Ήλιος, 8 πλανήτες και πάνω από 100 δορυφόροι τους. Το πλανητικό μας σύστημα Οι πλανήτες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

H μουσική διαχωρίσθηκε από το λόγο, τη γλώσσα και έγινε αυτόνομη τέχνης η οποία ωστόσο συνέχισε να είναι ενταγμένη μέσα στον λόγο.

H μουσική διαχωρίσθηκε από το λόγο, τη γλώσσα και έγινε αυτόνομη τέχνης η οποία ωστόσο συνέχισε να είναι ενταγμένη μέσα στον λόγο. Μωυσιάδου Μαριέλπη Παπαπανάγου-Χρόνη Μυρτώ Εργασία Ιστορίας 2013-2014 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Ετυμολογία της λέξης «Μουσική» Η λέξη μουσική, σύμφωνα με τα γραπτά των αρχαίων Ελλήνων ποιητών και φιλοσόφων

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Institutional Repository - Library & Information Centre - University of Thessaly 12/01/2016 21:56:54 EET - 148.251.235.206

Institutional Repository - Library & Information Centre - University of Thessaly 12/01/2016 21:56:54 EET - 148.251.235.206 3. ΜΥΚΗΝΑΪΚΟΙ ΤΑΦΟΙ ΑΛΥΚΗΣ ΓΛΥΦΑΔΟΣ Την νέαν ταύτην άνασκαφήν παρά την 'Αλυκήν Γλυφάδος, οπού κατά τά έ'τη 1954 και 1955 ειχον άνασκαφή πολλοί μυκηναϊκών χρόνων θαλαμοειδείς τάφοι, κατέστησεν άναγκαίαν

Διαβάστε περισσότερα

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά»

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» «Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήματος Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφικής Σχολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 1 Οι ήχοι που χρησιμοποιούμε στη μουσική λέγονται νότες ή φθόγγοι και έχουν επτά ονόματα : ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι. Η σειρά αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1. Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

= 2, s! 8,23yr. Απαντήσεις Γυμνασίου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016

= 2, s! 8,23yr. Απαντήσεις Γυμνασίου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016 Απαντήσεις Γυμνασίου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016 1. Αστρική μέρα ονομάζουμε: (α) τον χρόνο από την ανατολή μέχρι τη δύση ενός αστέρα (β) τον χρόνο περιστροφής ενός αστέρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΑΛΑΤΣΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ Msc

ΓΙΩΡΓΟΣ ΒΑΛΑΤΣΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ Msc ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις επόμενες προτάσεις: α. Το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο πραγματοποιείται μία πλήρης ταλάντωση ονομάζεται.. και το πηλίκο του αριθμού των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το πυθαγόρειο θεώρημα: απόδειξη με ένα απλό πείραμα

Το πυθαγόρειο θεώρημα: απόδειξη με ένα απλό πείραμα Το πυθαγόρειο θεώρημα: απόδειξη με ένα απλό πείραμα Γιατί να μαθαίνουμε Μαθηματικά; Ένας καθηγητής Μαθηματικών ανεξάρτητα από το πόσο αγαπά τη δουλειά του και κατά πόσο η επικοινωνία του με τους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

18 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 Φάση 3 η : «ΙΠΠΑΡΧΟΣ»

18 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 Φάση 3 η : «ΙΠΠΑΡΧΟΣ» Θέμα 1 ο (Σύντομης ανάπτυξης): 18 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 Φάση 3 η : «ΙΠΠΑΡΧΟΣ» Θέματα του Γυμνασίου (Α) Ποιοι πλανήτες ονομάζονται Δίιοι; (Β) Αναφέρατε και

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η τριχοτόμηση της γωνίας με τη βοήθεια συναρτησιακών

Η τριχοτόμηση της γωνίας με τη βοήθεια συναρτησιακών Η τριχοτόμηση της γωνίας με τη βοήθεια συναρτησιακών σχέσεων του Αντώνιου Α. Αντωνίου Περίληψη: Δύο από τα διάσημα μαθηματικά προβλήματα είναι η με κανόνα και διαβήτη, τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ

Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ Μεθοδική παρουσίαση των θέσεων των φθογγοσήμων στο ούτι, το πολίτικο λαούτο και τον ταμπουρά σε σχέση με τις τονικές αλλαγές. AΘΗΝΑ 1999 2 3 Iούνιος 2001 Χρωστάω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ Οι οίκοι είναι ένα από τα κυριότερα ερμηνευτικά μέσα που χρησιμοποιεί η αστρολογία. Μαζί με τους πλανήτες, τα ζώδια και τις όψεις αποτελούν τις βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του.

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 Εκφώνηση άσκησης 6. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα