Το «Δήλιον πρόβλημα» ή ο διπλασιασμός του κύβου ή η τριχοτόμησις της αρμονίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το «Δήλιον πρόβλημα» ή ο διπλασιασμός του κύβου ή η τριχοτόμησις της αρμονίας"

Transcript

1 Το «Δήλιον πρόβλημα» ή ο διπλασιασμός του κύβου ή η τριχοτόμησις της αρμονίας 1. Προλεγόμενα Κυρίες και κύριοι σύνεδροι, ως καθηγητής της Ακουστικής ησχολήθην με τον Πυθαγορισμόν στοχεύων εις την κατανόησιν του τρόπου μελέτης υπό των πυθαγορείων των ακουστικών φαινομένων, τα οποία ακολουθούν νόμους αρμονικούς και φθάνουν επί σειράν αιώνων κατ αυτόν ή τον άλλον τρόπον εις την ανθρωπίνην αίσθησιν. Καθ οδόν εντυπωσιάσθην τα μάλα υπό του μυστικισμού, ο οποίος διέκρινεν την μετάδοσιν της επιστημονικής γνώσεως μεταξύ των μεμυημένων οπαδών του Πυθαγορισμού, αλλά συντόμως διεπίστωσα ότι ανέκαθεν οι κοσμοθεωρίες των κατ έθνη ιερατείων εβασίζοντο εις τον συμβολισμόν. Η επιστημονική γνώσις παρέμενεν κρυφή και αρρήκτως συνδεδεμένη μετά σημείων, συμβόλων, αριθμών και αστερισμών, προκειμένου να προστατευθούν αλήθειες και ιδανικά, τα οποία, εν εναντίᾳ περιπτώσει, παρερχομένου του χρόνου, θα υφίσταντο διαστρέβλωσιν. Ιδού γιατί οι «παλαιοὶ» 1 Έλληνες φιλόσοφοι, τραγικοί και ποιητές εδίδασκον κρυφίως «μύθῳ φιλοσοφοῦντες» κάποιες απόκρυφες διδασκαλίες, κεκαλυμμένες δι αριστοτεχνικού φιλοσοφικού τρόπου. 2. Η Γεωμετρική εκδοχή του διπλασιασμού του κύβου Ο διπλασιασμός του κύβου 2 ή το «Δήλιον πρόβλημα» κατελέγετο μεταξύ των τριών αλύτων προβλημάτων της Ελληνικής αρχαιότητος μετά κανόνος και διαβήτου μόνον. Τα έτερα δύο άλυτα προβλήματα ήσαν η τριχοτόμησις δοθείσης γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου. 1 οἱ παλαιοὶ πολλοῖς αἰνίγμασιν ἐχρῶντο καὶ μάλιστα πρὸς τοὺς ἱερεῖς, Plutarchus, Αίτια Ρωμαϊκά και Ελληνικά, 281, Α10-Β1. Οἱ γὰρ παλαιοὶ τὰ ποιήματα αὐτῶν πρῶτον ἐν προοιμίοις καὶ αἰνίγμασιν γεγράφασιν. ὕστερον δὲ καὶ καθόλου φανερῷ ἐχρῶντο τῷ λόγῳ. Σχόλια εις τον Προμηθέα Δεσμώτην του Αισχύλου, 610, 3. 2 Ανάλογον του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου ήτο το κατά πολύ παλαιότερον πρόβλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου, το οδηγούν εις το άρρητον μέγεθος 2, δια του οποίου το διαπασών διχοτομείται.

2 Σχήμα 1: Ο διπλασιασμός του κύβου ή το «Δήλιον πρόβλημα» Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου ήτο γνωστόν κατά την αρχαιότητα και εις τους Αιγυπτίους και τους Ινδούς. Κατά τον διπλασιασμόν του κύβου, δοθέντος ενός κύβου, ζητείται να κατασκευασθεί έτερος κύβος διπλασίου όγκου. Κατά τους υπάρχοντες μύθους περί του διπλασιασμού του κύβου λέγεται ότι ο Ερατοσθένης εκ της Κυρήνης, τον 3 ον π.χ. αι., απέστειλεν επιστολήν εις τον βασιλέα της Αιγύπτου Πτολεμαίον αναφέρων έναν θρύλον εκ μιας τραγωδίας. Κατά τον θρύλον ο Γλαύκος, ο μικρός υιός του Μίνωος και της Πασιφάης, διέλαθεν της προσοχής των ιδικών του και πεσών εις ένα πιθάρι με μέλι επνίγη. Ο Μίνως, ο βασιλεύς της Κρήτης, παρήγγειλεν κυβικού σχήματος τάφον για τον αποθανόντα υιόν του. Ιδών τον ολοκληρωθέντα τάφον, του εφάνη μικρός και διέταξεν τον διπλασιασμόν του όγκου του άνευ μεταβολής του σχήματός του. Σημειωτέον ότι κατά μίαν εκδοχήν τον Κρήτα πρίγκιπα με βότανα ανέστησεν ο Αργείος μάντις Πολύϊδας και κατ άλλην ο θεός Ασκληπιός. Ετέρα πλοκή του μύθου μας δίδεται υπό του Θέωνος του Σμυρναίου, επί τῇ βάσει ενός απολεσθέντος διαλόγου υπό τον τίτλον Πλατωνικός, όστις αναφέρει ότι οι Δήλιοι κατά την διάρκειαν λοιμού περί το έτος 430 π.χ. ηρώτησαν το Μαντείον των Δελφών περί του πρακτέου για την σωτηρίαν των. Ο χρησμός της Πυθίας έλεγεν ότι έπρεπε να διπλασιάσουν του όγκον του κυβικού σχήματος ναού του Απόλλωνος άνευ μεταβολής του σχήματός του εξ οὗ και «Δήλιον πρόβλημα». Θεωρήσαντες ως εύκολον λύσιν τον διπλασιασμόν του μήκους της ακμής του κυβικού ναού, ωδηγήθησαν εις λάθος αποτέλεσμα και απέλπιδες απηυθύνθησαν εις επαΐοντες, ζητούντες να τους υποδειχθεί η σωστή λύσις του προβλήματος. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνεύς (6 ος μ.χ. αι.), ο σχολιαστής των έργων του Αρχιμήδους, μας διασώζει δώδεκα λύσεις του «Δηλίου προβλήματος», ήτοι του Ιπποκράτους του Χίου ( π.χ.), του Αρχύτου του Ταραντίνου ( π.χ.), του Πλάτωνος ( π.χ.), του

3 Μεναίχμου ( π.χ.), του Ευλείδου (Πρότασις ΙΙ.6 των Στοιχείων, 3 ος π.χ. αι.), του Αρχιμήδους ( π.χ.), του Ερατοσθένους ( π.χ.), του Απολλωνίου ( π.χ.), του Νικομήδους (2 ος π.χ. αι.), του Ήρωνος του Αλεξανδρέως (1 ος -2 ος μ.χ. αι.), του Διοκλέους (1 ος π.χ. αι.) και του Πάππου του Αλεξανδρέως (3 ος μ.χ. αι.). Πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος εσκέφθη να εύρει δύο μέσες αναλόγους β και γ εις συνεχήν αναλογίαν μεταξύ δύο ευθυγράμμων τμημάτων, των οποίων τα μήκη είχον σχέσιν 2:1, ήτοι α = β = γ. β γ 2α 3 Εξ αυτής της τριπλής συνημμένης αναλογίας προκύπτει ότι β = 2 α 3 και γ = 2 2 α, οπότε ο κύβος ακμής β έχει διπλάσιον όγκον του κύβου ακμής α, ήτοι β 3 = 2α 3. Επομένως, πρέπει να κατασκευασθεί ακμή μήκους εκφραζομένου δια του αρρήτου κατά τους Πυθαγορείους αριθμού -υπό την έννοιαν του μη επιτρεπτέου να λέγεται (α στερητικόν + 3 ρητός)- 2 α. Ο Μέναιχμος έλυσεν το Δήλιον πρόβλημα δια δύο παραβολών, ο Νικόδημος επενόησεν μίαν λίαν πολύπλοκον λύσιν δια της λεγομένης κογχοειδούς του Νικοδήμου και ο Διοκλής δια του ομωνύμου κισσοειδούς. Ο Πλάτων επενόησεν μίαν διάταξιν, τον κυβιστήν, δια της οποίας ηδύνατο αμέσως να παρεμβάλλει μεταξύ των μηκών α και 2α τις μέσες αναλόγους β και γ. Σχήμα 2: Ο Πλατωνικός κυβιστής. Ομοίως, ο Ερατοσθένης κατεσκεύασεν όργανον, το μεσολάβιον, δια του οποίου παρενέβαλλεν τις δύο μέσες αναλόγους β και γ μεταξύ των μηκών α και 2α.

4 3. Η αλληγορία του προβλήματος Σχήμα 3: Το μεσολάβιον του Ερατοσθένους. Το εκτεθέν φαινομενικώς στερεομετρικόν μόνον «Δήλιον πρόβλημα» ή πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου έχει αλληγορικόν φιλοσοφικόν νόημα, αντανακλών 1. εις τον ετήσιον κύκλον της φύσεως, 2. εις την θεωρητικήν και την πρακτικήν μουσικήν, 3. εις την αστρονομίαν και την κοσμολογίαν σχετικώς με την διάταξιν των θείων ουρανίων γενητών, των επί σταθερών κυκλικών τροχιών περιφερομένων Ετήσιος κύκλος της φύσεως Η ανάστασις και επαναφορά εις την ζωήν του νεαρού Κρητός πρίγκιπος, του Γλαύκου, είτε τῇ μεσολαβήσει του Αργείου μάντεως Πολυΐδου, του κατέχοντος την γνώσιν της θεραπευτικής δράσεως των βοτάνων, είτε τῇ θεϊκῇ δυνάμει του Ασκληπιού, το «Δήλιον πρόβλημα» ή το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου αλληγορικώς θεολογεί και θεοποιεί την ανακύκλησιν των εποχών και την αναγέννησιν της βλαστανούσης φύσεως κατά τον ετήσιον αυτής κύκλον Μουσική αλληγορία Θεωρητική μουσική αλληγορία Η έννοια μουσικόν «διάστημα» εις την Πυθαγόρειον θεωρίαν της Μουσικής ωρίζετο ως ο λόγος δύο αριθμών και εις την μουσικήν πράξιν ως ο λόγος των μηκών δύο ταλαντουμένων τμημάτων χορδής του μονοχόρδου ή του κανόνος.

5 Λόγω αυτού του ορισμού του μουσικού διαστήματος η Πυθαγόρειος θεωρία των μουσικών διαστημάτων εμφανίζει λογαριθμικόν χαρακτήρα και δια τούτο τα πυθαγόρεια μουσικά διαστήματα προστίθενται δια πολλαπλασιασμού των αριθμητικών των σχέσεων δ 1 δ 2 = (f 2 /f 1 ) f2 g2 (g 2 /g 1 ) = =(f 2 g 2 /f 1 g 1 ) f1 g1 αφαιρούνται δια διαιρέσεως των αριθμητικών των σχέσεων f 2 δ 1 δ 2 = (f 2 /f 1 ) (g 2 /g 1 ) = 2 g : =(f 2 g 1 /f 1 g 2 ), όπου f 2 g 1 > f 1 g 2 f1 g 1 ο πολλαπλασιασμός των επί αριθμόν λ προκύπτει δι υψώσεως της αριθμητικής των σχέσεως εις την λ δύναμιν f 2 λδ = (f 2 /f 1 ) (f 2 /f 1 ) (f 2 /f 1 )= =(f λ 2 /f λ 1 ) f1 η διαίρεσίς των εις λ ίσα μεταξύ των μουσικά διαστήματα δίδεται υπό της λ τάξεως ρίζης της αριθμητικής των σχέσεως f2 f 2 f1 f1 (1/λ)δ =. Κατά τα ανωτέρω, εις το «Δήλιον πρόβλημα» αφενός ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο Πλάτων και ο Ερατοσθένης εβασίσθησαν επί δύο ευθυγράμμων τμημάτων, των οποίων τα μήκη είχον σχέσιν 2:1, ήτοι εβασίσθησαν επί της σχέσεως της αρμονίας κατά τον Πυθαγόραν και τον Φιλόλαον ή διαπασών ή οκτάβας, αφετέρου η έκφρασις «ακμή μήκους 2 =» ορίζει μουσικόν διάστημα ίσον προς το 1/3 της αρμονίας ή του διαπασών ή της οκτάβας. Αυτό, όμως, άμεσα υπονοεί «ίσον συγκερασμόν εις τρία», ήτοι την τριχοτόμησιν της αρμονίας. Εν άλλοις λόγοις σημαίνει την διαίρεσιν της οκτάβας εις τρία ίσα μεταξύ των μουσικά διαστήματα με διτονιαίον μέγεθος εκάστου εξ οὗ και τριχοτόμησις της αρμονίας. Τούτο είναι πρωτοφανές εις τα μουσικά χρονικά της πυθαγορείου μουσικής, δεδομένου ότι διδασκόμεθα ως εισηγητήν του ίσου συγκερασμού τον Αριστόξενον τον Ταραντίνον ( π.χ.), τον μαθητήν του Αριστοτέλους ( π.χ.), όστις διετέλεσεν μαθητής του Πλάτωνος. Ο αριθμός 2 είναι άρρητος, υπό την Πυθαγόρειον έννοιαν του όρου, ήτοι δεν επετρέπετο να κοινολογηθεί υπό των Πυθαγορείων επί ποινῇ θανάτου. Ο Πλάτων, ως Πυθαγόρειος, δεν ομιλεί περί αυτού εις ανοικτήν γλώσσαν, παρά μόνον «μύθῳ φιλοσοφών». Σελίς 5

6 Δι αυτού του διτονιαίου μουσικού διαστήματος επέρχεται αναστάτωσις εις την συμπλήρωσιν των μέχρι στιγμής υπαρχουσών κατατομών κανόνος, διότι απαιτείται ο ακριβής προσδιορισμός των αρρήτων θέσεων νέων τάστων εις το μάνικον των εγχόρδων μουσικών οργάνων της εποχής. Πράγματι, μέχρι τότε ήσαν γνωστά δύο έτερα διτονιαία μουσικά διαστήματα, ήτοι η Πυθαγόρειος τρίτη = με μέγεθος 4,0782 δωδέκατα της οκτάβας και το Αρχύτειον δίτονον, η μετέπειτα φυσική (just) τρίτη (5:4). Το Αρχύτειον δίτονον είναι κατά ένα κόμμα (81:80) μικρότερον της Πυθαγορείου τρίτης και έχει μέγεθος 3,8631 δωδέκατα της οκτάβας. Τώρα μεταξύ αυτών εγκαθίσταται το συγκερασμένον δίτονον 2 με μέγεθος 4 δωδέκατα της οκτάβας και περί αυτού ομιλεί ο Πλάτων εις το 10 ον Βιβλίον της Πολιτείας του (617) δια του μύθου των Μοιρών Πρακτική μουσική αλληγορία Το νέον διτονιαίον μουσικόν διάστημα 2 οδηγεί εις μίαν νέαν Κατατομήν του Κανόνος, ήτοι εις μίαν νέαν χάραξιν (σημείωσιν) κατά μήκος του κανόνος των πρεπόντων μηκών των δονουμένων τμημάτων χορδής, ώστε ακουστικώς να δύναται να υλοποιηθεί. Ο Πλάτων θα επαναλάμβανε την έκφρασιν «ὁ δὲ ἀριθμὸς οὗτος γεωμετρικός ἐστι» παρακινών εμάς να επιτύχωμεν την ζητουμένην κατατομήν του κανόνος γεωμετρικῷ τῷ τρόπῳ -κατ εμέ- ως ακολούθως: Έστωσαν α και 2α τα μήκη των δύο ευθυγράμμων τμημάτων, των οριζόντων την σχέσιν 2:1 της αρμονίας (διαπασών ή οκτάβας). Έστω, επίσης, ο Πλατωνικός κυβιστής, αντιμετωπιζόμενος ως ένα black box με μίαν είσοδον και με μίαν έξοδον, το μέγεθος της οποίας εξόδου είναι 2 φορές το μέγεθος της εισόδου. Βήμα 1 ον : Με είσοδον μεγέθους α εκ του Πλατωνικού κυβιστού λαμβάνομεν έξοδον μεγέθους 2α. Βήμα 2 ον : Με είσοδον μεγέθους 2 α εκ του Πλατωνικού κυβιστού λαμβάνομεν έξοδον μεγέθους 2 2α= 2 α.

7 Βήμα 3 ον : Με είσοδον μεγέθους 2 α εκ του Πλατωνικού κυβιστού λαμβάνομεν έξοδον μεγέθους 2 2 α = 2 α = 2α. Δια της ανωτέρω διαδικασίας ετριχοτομήθη μουσικώς το διάστημα της αρμονίας (2:1) μεταξύ δύο ευθυγράμμων τμημάτων με μήκη α και 2α. Βάσει αυτής της μουσικής τριχοτομήσεως θα πρέπει κατ αναλογίαν να τριχοτομήσωμεν γεωμετρικώς το μήκος L της χορδής ή του μάνικου εγχόρδου μουσικού οργάνου (κατατομή κανόνος) χρησιμοποιούντες το θεώρημα του Θαλού. Δια του γεωμετρικού αυτού τρόπου επροσδιορίσθησαν επακριβώς τα μήκη των ζητουμένων αποψαλμάτων. Σχήμα 5: Η κατατομή του κανόνος εις συγκερασμένα τρίτα της αρμονίας (διαπασών, οκτάβας).

8 3.3 Θεία γενητά Αστρονομική αλληγορία Ο προαναφερθείς ίσος συγκερασμός εις τρία πρέπει να απαντάται και εις κάποιαν μουσικήν κλίμακα διατονικού χαρακτήρος, ώστε να δύναται να διαιρείται και εις συγκερασμένους τόνους, ήτοι κατά τον ίσον συγκερασμόν εις έξι 2 και εις συγκερασμένα ημίτονα, ήτοι κατά τον ίσον συγκερασμόν εις δώδεκα 2. Προκειμένου τα συγκερασμένα ημίτονα και οι συγκερασμένοι τόνοι να δύνανται δια συνθέσεως να δομούν μουσικά συγκερασμένα διτονιαία διαστήματα υπάρχει μία και μοναδική δομή της υπό συζήτησιν μουσικής κλίμακος, ήτις συνίσταται εκ δύο διεζευγμένων εναντιομόρφων τετραχόρδων, ήτοι τετραχόρδων κατοπτρικής δομής. Τοιαύτα τετράχορδα είναι το Δώριον (τ-τ-η) και το Λύδιον (η-τ-τ) αμφότερα κατά την κατιούσα διαδοχήν. Εκ πρώτης όψεως μία τοιαύτη δομή οκταχόρδου κλίμακος εκ δύο ανομοίων τετραχόρδων εν διαζεύξει είναι ανήκουστη για τα Πλατωνικά δεδομένα. Και όμως ο Πλάτων αναφέρει αλληγορικώς την ύπαρξίν της εις τον Πολιτικόν 270 d, e λέγων: ὃταν ἡ τῆς νῦν καθεστηκυίας έναντία γίγνηται τροπή Ἣν ἡλικίαν ἓκαστον εἶχε τῶν ζῴων, αὓτη πρῶτον μὲν ἔστη πάντων, καὶ ἐπαύσατο πᾶν ὅσον ἦν θνητὸν ἐπὶ τὸ γεραίτερον ἰδεῖν πορευόμενον, μεταβάλλον δὲ πάλιν ἐπὶ τοὐναντίον οἷον νεώτερον καὶ ἁπαλώτερον ἐφύετο [ όταν η κίνησις του σύμπαντος που επικρατεί σήμερον αντιστρέφεται Κατά πρώτον σταματά την πορεία της η ηλικία, την οποίαν είχεν έκαστον των ζώων και οιονδήποτε θνητόν παύει να εμφανίζει εξέλιξιν προς τα γηρατειά, ενώ, όταν η κατάστασις αντιστρέφεται, παρουσιάζεται νεότερον και τρυφερότερον ]. Τις ανάστροφες δομές του χρόνου κατά τις δύο περιόδους Κρόνου και Διός (Πολιτικός 272 b) εκλαμβάνω ως ανάστροφες δομές των δύο τετραχόρδων Δωρίου και Λυδίου εις την προαναφερθείσαν οκτάχορδον κλίμακα. Σελίς 8

9 Η υπό συζήτησιν μουσική κλίμαξ θα είναι κατά μεν την κατιούσα διαδοχήν 3 Δώριον τετράχορδον, διαζευκτικός τόνος, Λύδιον τετράχορδον A G F E D C$ B A, κατά δε την ανιούσαν διαδοχήν 4 Λύδιον τετράχορδον, διαζευκτικός τόνος, Δώριον τετράχορδον A B C$ D E F G A. Επί των φθόγγων αυτής της μουσικής κλίμακος ο Πλάτων τοποθετεί τα περιφερόμενα περί την ακίνητον Γην θεία γενητά Σελήνη, Ερμής, Αφροδίτη, Ήλιος, Άρης, Ζεύς, Κρόνος, Απλανείς αστέρες. Αυτήν την μουσικήν κλίμακα ο Πλάτων την συσχετίζει με την κοσμικήν μουσικήν του μύθου του Ηρός (Πολιτεία, 617b ff). Ο μύθος αυτός ομιλεί περί του αναστάντος Ηρός του Αρμενίου, η ψυχή του οποίου κατά την διάρκειαν του ταξιδίου του εντός των ουρανών είδεν μίαν τεραστίαν στήλην φωτός, διερχομένη δια του κέντρου του κόσμου. Τμήμα αυτού του κοσμικού άξονος απετελείτο εξ ενός αδραχτιού μετ οκτώ σφονδυλίων, συνδεδεμένων μετ αυτού. Το συγκεκριμένον αδράχτι συμβολίζει το κοσμικόν σύστημα των απλανών αστέρων και των πλανητών, οίτινες περιφέρονται περιστρεφόμενοι περί τον άξονα του σύμπαντος (Σχήματα 6 και 7). Ο Ηρ, επίσης, παρατήρησεν οκτώ Σειρήνες καθήμενες εις το χείλος των σφονδυλίων του αδραχτιού, εκάστη άδουσα έναν συγκεκριμένον φθόγγον (αρμονία των ουρανίων σφαιρών). 3 Αυτή η φορά αναφέρεται εις την μη πραγματικήν κίνησιν των θείων γενητών, ότι δηλαδή τα πλησιέστερα ουράνια σώματα περιφέρονται με μεγαλυτέραν ταχύτητα των απωτέρων ως προς την Γην και, συνεπώς, παράγουν οξυτέρους ήχους. 4 Αυτή η φορά αναφέρεται εις την πραγματικήν κίνησιν των θείων γενητών, ότι δηλαδή τα απώτερα ουράνια σώματα περιφέρονται με μεγαλυτέραν ταχύτητα των πλησιεστέρων ως προς την Γην και, συνεπώς, παράγουν οξυτέρους ήχους. Σελίς 9

10 Σχήμα 6: Δομή αδραχτιού. Σχήμα 7: Τα οκτώ σφονδύλια του Ηρείου αδραχτιού Κοσμολογική αλληγορία Η ιδέα του αδραχτιού προέρχεται εκ των μυθολογικών υφαντών της μοίρας των ανθρώπων, ήτοι των μοιρών (Πλάτων, Πολιτεία, 617 b-d) (Εικών 1). Εικών 1: Οι μοίρες, οι μυθολογικοί υφαντές της μοίρας των ανθρώπων. Τρεις λευκοφορεμένες γυναίκες, οι Μοίρες, οι θυγατέρες της Ανάγκης, φέρουσες τα ονόματα Λάχεσις, Κλωθώ και Άτροπος «κύκλω καθήμεναι» εις ίσες μεταξύ των αποστάσεις επί των τριών θρόνων των, άδουν εις τις

11 μελωδίες των σειρήνων η Λάχεσις τα παρελθόντα, η Κλωθώ τα παρόντα και η Άτροπος τα μέλλοντα να συμβούν. Η Κλωθώ, εγγίζουσα το αδράχτι με την δεξιάν της χείρα κατά διαστήματα, εβοήθει την περιστροφήν των εξωτερικών του μερών. Η Άτροπος, εγγίζουσα το αδράχτι με την αριστεράν της χείρα κατά διαστήματα, εβοήθει την περιστροφήν των εσωτερικών του μερών. Η Λάχεσις, εγγίζουσα το αδράχτι πότε με την δεξιάν και πότε με την αριστεράν της χείρα κατά διαστήματα, εβοήθει την περιστροφήν των εξωτερικών και των εσωτερικών του μερών. Ως προελέχθη, επί των φθόγγων της μνημονευθείσης μουσικής κλίμακος των δύο διεζευγμένων εναντιομόρφων τετραχόρδων ο Πλάτων τοποθετεί τα περιφερόμενα θεία γενητά Σελήνη, Ερμής, Αφροδίτη, Ήλιος, Άρης, Ζεύς, Κρόνος, Απλανείς αστέρες. Τα τέσσερα πρώτα επί των φθόγγων του κατιόντος Δωρίου ή ανιόντος Λυδίου τετραχόρδου και τα υπόλοιπα τέσσερα επί των φθόγγων του ανιόντος Δωρίου ή κατιόντος Λυδίου τετραχόρδου αντιστοίχως. Πλησίον κάποιων φθόγγων αυτής της κλίμακος κάθηνται οι μοίρες, διότι άδουν την ιδίαν μελωδίαν μετά κάποιων σειρήνων. Κάθηνται ισαπέχουσες μεταξύ των κατά μουσικά συγκερασμένα διτονιαία διαστήματα (Σχήμα 8). Επί τῇ βάσει των πληροφοριών της πραγματικής κινήσεως των θείων γενητών, ο θρὀνος της Λαχέσεως προκειμένου να δύναται αυτή να επηρεάζει την περιφοράν και των εσωτερικών και των εξωτερικών πλανητών- τοποθετείται επί της Υπάτης και της Νήτης 5 ένθα ο φθόγγος Α, αντιδιαμετρικώς προς το μέσον της κλίμακος 2, ήτοι το μέσον Μέσης και Παραμέσης. Ο θρόνος της Ατρόπου τοποθετείται εις το Λύδιον ανιόν τετράχορδον των εσωτερικών πλανητών και εις απόστασιν ενός συγκερασμένου διτονιαίου μουσικού διαστήματος εκ της Λαχέσεως, ήτοι εγγύτατα του φθόγγου C$, τον λιχανόν της κλίμακος. Ο θρόνος της Κλωθούς τοποθετείται εις το Δώριον ανιόν τετράχορδον των εξωτερικών πλανητών και εις απόστασιν ενός συγκερασμένου διτονιαίου μουσικού διαστήματος εκ της Λαχέσεως, ήτοι εγγύτατα του φθόγγου F, την τρίτην της κλίμακος. 5 Λόγω της κυκλικής τοποθετήσεως των τριών θρόνων. Σελίς 11

12 Σχήμα 8: Οι θέσεις των θρόνων των τριών μοιρών «κύκλῳ ίσαπέχουσαι». Ο λιχανός C$ απέχει εκ της υπάτης κατά 4,0782 συγκερασμένα ημίτονα, ενώ ο θρόνος της Ατρόπου απέχει εκ της υπάτης ακριβώς 4 συγκερασμένα ημίτονα. Τουτέστιν, λόγω του ίσου συγκερασμού εις τρία, έχομεν μίαν εκτροπήν προς τα αριστερά της τροχιάς της Αφροδίτης, την οποίαν δια της αριστεράς της χειρός διορθώνει η Άτροπος. Η τρίτη F απέχει κανονικώς εκ της νήτης κατά 4,0782 συγκερασμένα ημίτονα, ενώ ο θρόνος της Κλωθούς απέχει εκ της νήτης ακριβώς 4 συγκερασμένα ημίτονα. Τουτέστιν, λόγω του ίσου συγκερασμού εις τρία, έχομεν μίαν εκτροπήν προς τα δεξιά της τροχιάς του Διός, την οποίαν δια της δεξιάς της χειρός διορθώνει η Κλωθώ. Ως προελέχθη, ο θρὀνος της Λαχέσεως τοποθετείται αντιδιαμετρικώς προς το κέντρον της κλίμακος 2, ήτοι του μέσου Μέσης και Παραμέσης, ένθα το κέντρον συμμετρίας της μελετουμένης μουσικής κλίμακος. Τον άρρητον αριθμόν 2, τον διχοτομούντα την αρμονίαν, κατά καιρούς αριθμητικώς τον προσήγγισαν ποικιλοτρόπως. Οι Ινδοί την εποχήν των Βεδών ( π.χ.) τον προσήγγισαν δια του λόγου. Επί τῇ βάσει αυτής της αριθμητικής τιμής το μέσον της αρμονίας τοποθετείται εις απόστασιν 5,82512 συγκερασμένων ημιτόνων εκ της υπάτης αντί 6. Εμφανίζεται δηλαδή μία εκτροπή του προς τα αριστερά. Οι Πυθαγόρειοι τον προσήγγισαν δια του λόγου (ο Πλάτων αλληγορικώς αναφέρεται εις τον αριθμόν 729 εις το ΙΧ βιβλίον της Πολιτείας). Επί τῇ βάσει αυτής της αριθμητικής τιμής το μέσον της αρμονίας τοποθετείται εις απόστασιν 6,11730 συγκερασμένων ημιτόνων

13 εκ της υπάτης αντί 6. Εμφανίζεται δηλαδή μία εκτροπή του προς τα δεξιά. Οι θεωρητικοί του Φυσικού χορδίσματος (just tuning) τον προσήγγισαν δια των λόγων και. Επί τῇ βάσει αυτών των αριθμητικών = τιμών το μέσον της αρμονίας τοποθετείται εις απόστασιν 5,90224 και 5,98331 συγκερασμένων ημιτόνων εκ της υπάτης, αντιστοίχως, αντί 6. Εμφανίζονται δηλαδή εκτροπές προς τα αριστερά. Τις προς αμφότερες τις κατευθύνσεις εκτροπές των ουρανίων γενητών, οι οποίες αντανακλούν εις την θέσιν του θρόνου της Λαχέσεως, διορθώνει η Λάχεσις χρησιμοποιούσα εκάστοτε την πρέπουσα χείρα της (Σχήμα 9). Σχήμα 9:Οι επιπτώσεις του Πλατωνικού ίσου συγκερασμού εις τρία επί της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών. Κατακληίς Η λύσις του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου ή του «Δηλίου προβλήματος» υποδηλοί την λύσιν της μουσικής τριχοτομήσεως της αρμονίας (διαπασών ή οκτάβας), ήτοι κατ ουσίαν τον ίσον συγκερασμόν, την κλείδα επιλύσεως δια των εναρμονίων φθόγγων παντός μελωδικού και αρμονικού προβλήματος εις μουσικούς πολιτισμούς ωσάν τον σύγχρονον ευρωπαϊκόν. Ο μέγιστος Πλάτων εις τον διάλογόν του Πολιτεία ή περὶ δικαίου μύθῳ φιλοσοφῶν (ο μύθος των τριών μοιρών) εισάγει μεταξύ πλείστων άλλων μοναδικών μουσικών θεμάτων και τον ίσον συγκερασμόν εις τρία, η

14 εφαρμογή του οποίου εις την θεωρίαν της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών επιφέρει αρμονικές διορθώσεις εις τις μεταξύ των συνηχήσεις και μέσω αυτών εις τις παρατηρούμενες εκτροπές εκ των κυκλικών των τροχιών των κινήσεων των θείων γενητών. Κυρίες και κύριοι σύνεδροι, εισηγούμαι εις το Συνέδριόν μας, περαίνων την εισήγησίν μου, ως εμπνευστήν του ίσου συγκερασμού να αποδεχθώμεν τον μέγιστον Πλάτωνα. Σελίς 14

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863)

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863) Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1 B ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 1863)

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική.

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. «Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. Του καθηγητή µουσικής µουσικολόγου Δηµήτρη Γρίβα Web-site: http://users.sch.gr/dgrivas E-mail: dgrivas@sch.gr Τα µαθηµατικά και η µουσική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 του Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου panayiotis@analogion.net, α έκδοση: 4 Οκτωβρίου 2005 Το Οικουµενικό Πατριαρχείο στα 1881 συγκρότησε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ Οι οίκοι είναι ένα από τα κυριότερα ερμηνευτικά μέσα που χρησιμοποιεί η αστρολογία. Μαζί με τους πλανήτες, τα ζώδια και τις όψεις αποτελούν τις βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ε θα πρωτοτυπήσουµε βέβαια διαβεβαιώνοντας για µια ακόµη φορά τη τεράστια συνδροµή της αρχαίας ελληνικής σκέψης στην εδραίωση του δυτικού πολιτισµού, τις θεωρητικές και πρακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το ηλιακό μας σύστημα απαρτίζεται από τον ήλιο (κεντρικός αστέρας) τους 8 πλανήτες, (4 εσωτερικούς ή πετρώδεις: Ερμής, Αφροδίτη, Γη και Άρης, και 4 εξωτερικούς: Δίας,

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική παιδεία και μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα

Μουσική παιδεία και μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα Μουσική παιδεία και μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα Νικόλαος Μπρας Κατασκευαστής μουσικών οργάνων την Αρχαία Ελλάδα η μουσική μεσουράνησε νωρίτερα από τις άλλες καλές τέχνες, στην αποκαλούμενη αρχαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση Β Λυκείου Ιστορία Αρχαία Ελληνική Μουσική

Κατεύθυνση Β Λυκείου Ιστορία Αρχαία Ελληνική Μουσική Σχολική Χρονιά2007-08 Κατεύθυνση Β Λυκείου Ιστορία Αρχαία Ελληνική Μουσική Καθηγήτρια: Αντωνία Φοράρη Αντωνία Φοράρη 1 I. Η Μουσική στην Αρχαιότητα A. Έχουν διασωθεί μόνο ιστορικά ευρήματα που σχετίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ LypCh1:Layout 1 copy 11/13/08 8:53 PM Page 3 ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΛΥΠΟΥΡΛΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΜΗΡΟ ΣΤΟΝ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΕΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 LypCh1:Layout 1 copy 11/13/08 8:53 PM Page

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΘΕΟΣ ΗΛΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΥΘΟΛΟΓΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΣ ΑΖΤΕΚΟΙ ΙΝΚΑΣ

Ο ΘΕΟΣ ΗΛΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΥΘΟΛΟΓΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΣ ΑΖΤΕΚΟΙ ΙΝΚΑΣ Ο ΘΕΟΣ ΗΛΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΥΘΟΛΟΓΙΑ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΣ ΑΖΤΕΚΟΙ ΙΝΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΡΜΑΚΟΛΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΣΤΑΝΙΩΤΗΣ 14/3/2014 1 Ο ΗΛΙΟΣ ΜΑΣ Ο Ήλιος είναι ένα άστρο, όμοιο με τα υπόλοιπα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ Αν υποθέσουμε ότι ο Ήλιος αναπαριστάται με σφαίρα (μεγέθους) διαμέτρου 10 cm, τότε η Γη τοποθετείται περίπου 11 μέτρα μακριά και έχει μέγεθος μόλις 1 mm (χιλιοστό). Ο Ερμής και η Αφροδίτη

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ ΤΙΜΗΝ ΤΟΥ ΜΙΚΗ ΘΕΟ ΩΡΑΚΗ

ΠΡΟΣ ΤΙΜΗΝ ΤΟΥ ΜΙΚΗ ΘΕΟ ΩΡΑΚΗ 1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ Πανεπιστηµιούπολη, 74100 Ρέθυµνο, Κρήτη ΙΕΘΝΕΣ ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝΤΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΑ 10-11 ΜΑΡΤΙΟΥ 2006 ΣΥΝΕ

Διαβάστε περισσότερα

Η ερώτηση είχε ως εξής: «Θα αγοράσω το σπίτι που είδα σήµερα στη εξοχή; Θα είναι προς όφελός

Η ερώτηση είχε ως εξής: «Θα αγοράσω το σπίτι που είδα σήµερα στη εξοχή; Θα είναι προς όφελός Η κυρία που διατύπωσε την ερώτηση είναι προσωπική φίλη και έψαχνε πολύ καιρό για ένα σπίτι µεγαλύτερο και µε περισσότερες ανέσεις, δίχως να µένει ικανοποιηµένη µε τις διάφορες προτάσεις που της έκαναν.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΟ: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

ΚΕΙΜΕΝΟ: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΓΝΩΣΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ) ΚΕΙΜΕΝΟ: Α) Μαρτυρεῖ δὲ καὶ τὸ γινόμενον ἐν ταῖς πόλεσιν οἱ γὰρ νομοθέται τοὺς πολίτας ἐθίζοντες ποιοῦσιν ἀγαθούς, καὶ τὸ μὲν

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωδαισία σήμερα. Μια σύντομη εισαγωγή για το γήινο πεδίο βαρύτητας. Διδάσκων Δημήτρης Δεληκαράογλου

Η Γεωδαισία σήμερα. Μια σύντομη εισαγωγή για το γήινο πεδίο βαρύτητας. Διδάσκων Δημήτρης Δεληκαράογλου ΤΕΠΑΚ, Γεωδαισία IV Μια σύντομη εισαγωγή για το γήινο πεδίο βαρύτητας Διδάσκων Δημήτρης Δεληκαράογλου Η Γεωδαισία σήμερα νοείται ως η επιστήμη με αντικείμενο τρεις βασικούς τομείς: Tον προσδιορισμό της

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Έγχορδων Μουσικών Οργάνων

Φυσική Έγχορδων Μουσικών Οργάνων Φυσική Έγχορδων Μουσικών Οργάνων Από τον Μεταβαρόνο Isnogood. 1) Γενικά για τα κύματα. Ένα ορισμός που περιγράφει το κύμα είναι αυτός που λέει ότι κύμα είναι μια διαταραχή με κύριο χαρακτηριστικό τη μεταφορά

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής.

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής. ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ H ιστορία των μουσικών οργάνων είναι τόσο παλιά, όσο ο πολιτισμός του ανθρώπου. Το ενδιαφέρον των «επιστημόνων» για τα μουσικά όργανα χρονολογείται από την εποχή του Πυθαγόρα (τουλάχιστον)

Διαβάστε περισσότερα

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες.

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Γαλιλαίος (1581-1643) Γεννήθηκε στην Πίζα το 1581 Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Ως δευτεροετής φοιτητής ανακάλυψε: 1. Τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Ωριαία ερώτηση: ΘΑ ΞΑΝΑΒΡΩ ΤΟ ΧΑΜΕΝΟ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΑ;

Ωριαία ερώτηση: ΘΑ ΞΑΝΑΒΡΩ ΤΟ ΧΑΜΕΝΟ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΑ; Ωριαία ερώτηση: ΘΑ ΞΑΝΑΒΡΩ ΤΟ ΧΑΜΕΝΟ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΑ; HORARY CHART 31/7/2007 03:09:11 μ.μ. 23Ε43, 37Ν58 (ΕΕD -3) Κυριαρχία +5 Έξαρση +4 Τριπλότητα +3 Όρια +2 εκανός +1 Αδυναμία -5 Πτώση -4 Περιπλανώμενος -5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου.

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. Διακρίνουμε τα εξής σχήματα - Οβάλ - Οβάλ μακρύ - Ορθογωνικό - Στρογγυλό - Τετραγωνικό - Τριγωνικό - Εξαγωνικό - Τραπεζοειδές

Διαβάστε περισσότερα

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης.

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ, 25 ΜΑΪΟΥ 2015

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ, 25 ΜΑΪΟΥ 2015 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ, 25 ΜΑΪΟΥ 2015 Α. Έτσι λοιπόν εφοδιασμένοι οι άνθρωποι αρχικά κατοικούσαν σκόρπια, ενώ δεν υπήρχαν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΤΕΧΝΕΣ ΙΙ:ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΟΡΟΥ 1 η Γραπτή Εργασία Ακαδημ. Έτους 2008-2009 ΘΕΜΑ: «Ο ρόλος και η σημασία της μουσικής στην αρχαία Ελλάδα όπως αντλούνται

Διαβάστε περισσότερα

Νέο Πολιτισμικό Ρεύμα και Αρχαία Ελληνική Γραμματεία

Νέο Πολιτισμικό Ρεύμα και Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Νέο Πολιτισμικό Ρεύμα και Αρχαία Ελληνική Γραμματεία Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Ασττροφυσικής Τμ ημα Φυσικής ΕΚΠΑ Όπως πλέον διαφαίνεται, το μηχανιστικό και υλιστικό κοσμοείδωλο, που θεμελιώθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΙΝΑ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ 8-12 ΕΤΩΝ. MathemArtics Camp

ΘΕΡΙΝΑ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ 8-12 ΕΤΩΝ. MathemArtics Camp ΘΕΡΙΝΑ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ 8-12 ΕΤΩΝ MathemArtics Camp Τα Θερινά Ολοήμερα Εργαστήρια του Μουσείου Ηρακλειδών MathemArtics Camp πραγματοποιούνται σε κύκλους των δύο εβδομάδων. Για το καλοκαίρι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΜΕ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ KEPLER

ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΜΕ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ KEPLER Ερασιτεχνικής Αστρονομίας ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΜΕ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ KEPLER Πολυχρόνης Καραγκιοζίδης χημικός info@polkarag.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα καταστατικά των ερασιτεχνικών σωματείων αστρονομίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΟΥΚΥΔΙΔΗ ΠΕΡΙΚΛΕΟΥΣ ΕΠΙΤΑΦΙΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 35

ΘΟΥΚΥΔΙΔΗ ΠΕΡΙΚΛΕΟΥΣ ΕΠΙΤΑΦΙΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 35 ΘΟΥΚΥΔΙΔΗ ΠΕΡΙΚΛΕΟΥΣ ΕΠΙΤΑΦΙΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 35 «Οἱ μὲν πολλοὶ ἐπαινοῦσι τὸν προσθέντα Ο Περικλής, όμως, διαφωνεί. τῷ νόμῳ τὸν λόγον τόνδε» Γιατί; 1. «ἐμοὶ δὲ ἀρκοῦν ἂν ἐδόκει εἶναι ἀνδρῶν ἀγαθῶν ἔργῳ γενομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ A : ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΩΝ KATA ΘΕΜΑ

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ A : ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΩΝ KATA ΘΕΜΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ A : ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΩΝ KATA ΘΕΜΑ ΘΕΟΙ - ΛΑΤΡΕΙΑ: Αφροδίτη: Πεζογραφία, Β3, σ. 100. Πεζογραφία, Β16, σ. 116. Λατρεία Αφροδίτη : Κύπρια έπη, σ. 37. Κινύρα, Α12, σ. 42. ΔΙΑΤΡΟΦΗ: Αλάτι: Διατροφή

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήµατος: Πολυκάναλη Ηχογράφηση στο Audacity

Σχέδιο Μαθήµατος: Πολυκάναλη Ηχογράφηση στο Audacity Σχέδιο Μαθήµατος: Πολυκάναλη Ηχογράφηση στο Audacity Θεµατική Ενότητα: Μουσική Τεχνολογία Τάξη: Β Γυµνασίου Διάρκεια: 2 περίοδοι Καθηγητής: Σκοπός Με το συγκεκριµένο µάθηµα οι µαθητές θα γνωρίσουν την

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Το Δήλιο πρόβλημα ή το πρόβλημα του Διπλασιασμού του Κύβου

Το Δήλιο πρόβλημα ή το πρόβλημα του Διπλασιασμού του Κύβου Το Δήλιο πρόβλημα ή το πρόβλημα του Διπλασιασμού του Κύβου Το Δήλιο πρόβλημα απασχόλησε πολλούς Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας, λόγω της πολυπλοκότητας που είχε στην επίλυσή του. Αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Πυθαγόρας ο Σάμιος. Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Τμήμα Φυσικής ΕΚΠΑ

Πυθαγόρας ο Σάμιος. Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Τμήμα Φυσικής ΕΚΠΑ Πυθαγόρας ο Σάμιος Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Τμήμα Φυσικής ΕΚΠΑ Όπως επισημαίνουν οι ιστορικοί Χιού Κέρνυ (Hugh Kearney), Μπακμίνστερ Φούλετ (Βuckminster Fullet), Τζον Στροχμάιμερ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

[ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ]

[ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ] 2013 Μουσικό Γυμνάσιο / Λύκειο Ιλίου Ευαγγελία Λουκάκη [ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ] Σημειώσεις για τις ανάγκες διδασκαλίας του μαθήματος της Αρμονίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑ Στην Αρµονία συναντώνται συνηχήσεις-συγχορδίες

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12)

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Διδαγμένο κείμενο Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Ἐπειδὴ πᾶσαν πόλιν ὁρῶμεν κοινωνίαν τινὰ οὖσαν καὶ πᾶσαν κοινωνίαν ἀγαθοῦ τινος ἕνεκεν συνεστηκυῖαν (τοῦ γὰρ εἶναι δοκοῦντος ἀγαθοῦ χάριν

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Αρμονική απεικόνιση του θέματος στον

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ιδαγμένο κείμενο Πλάτωνος Πρωταγόρας 322b6-323a3

ιδαγμένο κείμενο Πλάτωνος Πρωταγόρας 322b6-323a3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ιδαγμένο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΙΣ 13 14 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015

ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΙΣ 13 14 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΤΙΣ 13 14 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΕΠΙΚΑΛΟΥΜΑΣΤΕ ΕΣΕΝΑ ΔΙΑ ΚΡΑΤΙΣΤΕ ΑΡΧΟΝΤΑ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΜΟΝΑΔΙΚΕ ΑΜΕΘΕΚΤΕ ΣΥΜΠΑΝΤΙΚΕ ΝΟΥ ΓΙΑ ΔΙΑΝΟΗΣΗ ΚΑΙ ΥΠΕΡ ΝΟΗΣΗ ΚΑΙ ΝΑ ΜΕΤΟΥΣΙΩΣΕΙΣ ΣΕ ΝΟΗΣΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα