ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ"

Transcript

1 ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ όγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ κι Γ ονοµάζετι ο θετικός ριθµός λ γι τον οποίο ΑΒ ισχύει : AB = λ Γ = λ. Γ Μέτρο ενός ευθυγράµµου τµήµτος είνι ο λόγος του προς έν άλλο ευθύγρµµο τµήµ που γ θεωρείτι ως µονάδ µέτρησης. Ανλογί είνι η ισότητ λόγων. Η σχέση = = λ είνι β δ νλογί µε λόγο λ κι όρους τ τµήµτ,β,γ,δ. Στην πιο πάνω νλογί τ τµήµτ κι γ λέγοντι νάλογ των β κι δ. Τ κι δ λέγοντι άκροι όροι ενώ τ β κι γ µέσοι όροι της νλογίς. Ιδιότητες νλογιών γ = δ = βγ, β δ γ β = =, β δ γ δ γ δ γ = = β δ β γ ± β γ ± δ = =, β δ β δ γ γ = = β δ ± β γ ± δ γ κ + γ κ = =... = = β δ λ β + δ λ Θεώρηµ Θλή Αν (τρεις τουλάχιστον) πράλληλες ευθείες τέµνουν δύο άλλες ευθείες,ορίζουν σ υτές τµήµτ νάλογ. ηλδή µε βάση το σχήµ ισχύει η νλογί : A ΑΒ ΒΓ ΑΓ = = Β Ε Ε ΕΖ Ζ Γ Ζ Θεώρηµ εσωτερικής διχοτόµου Η εσωτερική διχοτόµος γωνίς τριγώνου χωρίζει την πένντι πλευρά σε λόγο ίσο µε το ΑΒ Β λόγο των προσκείµενων πλευρών. ηλδή, στο πρκάτω σχήµ ισχύει : =. ΑΓ Γ Η Α είνι η εσωτερική διχοτόµος του ΑΒΓ. 1

2 Θεώρηµ εξωτερικής διχοτόµου Αν η εξωτερική διχοτόµος µις γωνίς τριγώνου τέµνει το φορέ της πένντι πλευράς, τότε χωρίζει εξωτερικά υτήν την πλευρά σε λόγο ίσο µε το λόγο των προσκείµενων ΑΒ ΒΕ πλευρών. ηλδή, στο σχήµ ισχύει : =. Η ΑΕ είνι η εξωτερική διχοτόµος του ΑΓ ΓΕ ΑΒΓ. Α Ε Β Γ Οµοιότητ Όµοι λέγοντι δύο τρίγων που έχουν τις πλευρές τους νάλογες κι τις ντίστοιχες γωνίες ίσες. όγος οµοιότητς δύο όµοιων τριγώνων λέγετι ο λόγος δύο πλευρών που είνι πένντι πό ντίστοιχ ίσες γωνίες. Ισχύουν οι επόµενες προτάσεις : Αν δύο τρίγων είνι όµοι προς τρίτο τότε είνι κι µετξύ τους όµοι. ύο ίσ πολύγων είνι πάντ όµοι µε λόγο οµοιότητς λ = 1. Αν δύο τρίγων είνι όµοι τότε όλ τ δευτερεύοντ στοιχεί τους έχουν λόγο ίσο µε το λόγο οµοιότητς τους. Κριτήρι οµοιότητς τριγώνων Κριτήριο 1 ο : ύο τρίγων είνι όµοι ν έχουν δύο γωνίες τους ίσες µί προς µί. Κριτήριο ο : ύο τρίγων είνι όµοι ν έχουν δύο πλευρές νάλογες κι τις περιεχόµενες των νάλογων πλευρών γωνίες τους ίσες. Κριτήριο 3 ο : ύο τρίγων είνι όµοι ν έχουν τις πλευρές τους νάλογες. <><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>

3 9o ΚΕΦΑΑΙΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονοµάζουµε τις σχέσεις µετξύ των µέτρων των στοιχείων τριγώνων είτε υτά είνι κύρι στοιχεί (πλευρές, γωνίες), είτε είνι δευτερεύοντ ( ύψη, διχοτόµοι, διάµεσοι). Προβολή σηµείου σε ευθεί ίνετι ευθεί ε κι σηµείο Α που δεν νήκει σε υτήν. Ορθή προβολή ή πλά προβολή του σηµείου Α στην ε λέγετι το ίχνος Α, της κθέτου που άγετι πό το Α προς την ε. Αν κάποιο σηµείο, όπως το Β, νήκει στην ευθεί ε, η προβολή του Β είνι το ίδιο το Β. Προβολή ευθύγρµµου τµήµτος σε ευθεί Προβολή ενός τµήµτος Γ πάνω στην ευθεί ε λέµε το τµήµ Γ που έχει άκρ τις προβολές Γ κι των άκρων Γ κι του τµήµτος Γ.Αν ο φορές ενός τµήµτος Κ είνι κάθετος στην ε τότε οι προβολές των Κ κι συµπίπτουν. Έτσι η προβολή του Κ είνι έν σηµείο, δηλδή έχει µέτρο 0. Α Κ. Γ Α Β Γ Κ, ε 3

4 Πίνκς µετρικών σχέσεων γι ορθογώνι τρίγων Β ΑΒ = Β ΒΓ ή γ = Β ΑΓ = Γ ΒΓ ή β = Γ ΒΓ = ΑΓ + ΑΒ ή = β + γ Α = Β Γ ή υ = Β Γ ΑΓ ΑΒ = ΒΓ Α ή β γ = υ Α Γ ΙΑΤΥΠΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ Αν έν τρίγωνο είνι ορθογώνιο, τότε το τετράγωνο µις κάθετης πλευράς του ισούτι µε το γινόµενο της προβολής της στην υποτείνουσ επί την υποτείνουσ πόδειξη Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α ˆ = 90 φέρουµε το ύψος Β Α. Τ τρίγων ΑΒ, ΑΒΓ είνι όµοι, επειδή Α ˆ = ˆ = 90 κι Α ˆ = Γˆ ως γωνίες µε πλευρές κάθετες. 1 Από την οµοιότητ προκύπτει ότι : 1 ΑΒ ΒΓ =, δηλδή ΑΒ =Β ΒΓ // Α Γ Β ΑΒ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνoυσς ισούτι µε το άθροισµ των τετργώνων των κάθετων πλευρών του. πόδειξη Α Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α ˆ = 90 φέρουµε το ύψος Α κι ισχύουν σύµφων µε το προηγούµενο θεώρηµ οι σχέσεις : ΑΒ =Β ΒΓ κι ΑΓ = Γ ΒΓ κι µε πρόσθεση κτά µέλη πίρνουµε Β Γ ΑΒ +ΑΓ =Β ΒΓ+ Γ ΒΓ= = ( Β + Γ) ΒΓ=ΒΓ //

5 <Αντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήµτος> Αν σ έν τρίγωνο το τετράγωνο µις πλευράς ισούτι µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών του τότε το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ορθή τη γωνί που βρίσκετι πένντι πό την πλευρά υτή. πόδειξη Θεωρούµε ορθή γωνί χο ψ κι επί των πλευρών Οχ,Οψ πίρνουµε ντίστοιχ τ τµήµτ Ο =ΑΒ, ΟΕ=ΑΓ. Τότε πό το Πυθγόρειο θεώρηµ στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο Ε θ έχουµε: Ε =Ο +ΟΕ =ΑΒ +ΑΓ =ΒΓ. Άρ Ε=ΒΓ, δηλδή τ τρίγων ΑΒΓ,Ο Ε Α Β Ο έχουν τρείς πλευρές ίσες µι προς µι, άρ είνι ίσ, άρ Ο Α=Ο= 90.// Γ Ε ψ Χ χ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ του ισούτι µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσ. πόδειξη Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α ˆ = 90 φέρουµε το ύψος Β Α. Τ ορθογώνι τρίγων ΑΒ κι Α Γ είνι όµοι γιτί Β ˆ = Αˆ ως συµπληρωµτικές της γωνίς Γˆ. 1 Άρ Α Β = Γ Α ή Α =Β Γ // Α 1 Γ 5

6 ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Το τετράγωνο πλευράς που βρίσκετι πένντι πό οξεί (µβλεί) γωνί ισούτι µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών ελττωµένο (υξηµένο) κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. Α Α γ β β γ Β Γ Γ Β Γ ˆ < 90 τότεγ = β + Γ Γ ˆ > 90 τότεγ = β + + Γ πόδειξη Έστω Γ ˆ < 90. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α +Β (1) Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο Α Γ ισχύει Α = ΑΓ Γ () Όµως Β =ΒΓ- Γ Άρ Β =ΒΓ + Γ ΒΓ Γ (3) όγω των σχέσεων (), (3) η (1) γίνετι : ΑΒ = ΑΓ Γ +ΒΓ + Γ ΒΓ Γ= ΑΓ +ΒΓ ΒΓ Γ Πρόµοι ν Γ > 90 // <κριτήριο γι το είδος γωνίς τριγώνου>: Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές, β, γ συνδέοντι µε µι πό τις πρκάτω σχέσεις τότε µπορούµε ν εξσφλίσουµε το είδος της ντίστοιχης γωνίς. = β + γ < β + γ > β + γ Α= ˆ 90 Α< ˆ 90 Α> ˆ 90 o o o 6

7 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΙΑΜΕΣΩΝ Πρώτο θεώρηµ διµέσων. Το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούτι µε το διπλάσιο τετράγωνο της µετξύ τους διµέσου υξηµένο κτά το µισό τετράγωνο της τρίτης πλευράς. ηλδή β + γ = µ +. εύτερο θεώρηµ διµέσων.η πόλυτη διφορά των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούτι µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της 1 διµέσου πάνω σε υτή. Β Μ Γ ηλδή β γ = Μ // ποδείξεις 1 ο θ.διµέσων Η γωνί ΑΜ ˆ Β είνι οξεί άρ ΑΒ = ΑΜ +ΜΒ ΜΒ Μ (1) Η γωνί ΑΜ ˆ Γ είνι µβλεί άρ ΑΓ = ΑΜ +ΜΓ + ΜΓ Μ () Προσθέτουµε τις δύο σχέσεις κτά µέλη κι επειδή ΜΒ=ΜΓ ΒΓ ΒΓ ΑΒ +ΑΓ = ΑΜ + ΜΒ = ΑΜ + ( ) = ΑΜ + ο θ.διµέσων ΒΓ Αφιρούµε τις δύο σχέσεις (1) κι () κτά µέλη κι επειδή ΜΒ = = ΜΓ ΑΓ ΑΒ = ΜΒ Μ = ΒΓ Μ // Από το Πρώτο Θεώρηµ ιµέσων ν λύσουµε ως προς τη διάµεσο µ προκύπτει ένς πολύ χρήσιµος τύπος ο οποίος µς υπολογίζει την διάµεσο του τριγώνου πό τις πλευρές του. β + γ Ο τύπος είνι: µ = Πρόµοιοι τύποι προκύπτουν κι γι τις διµέσους µ β κι µ γ : γ Α β + γ β µ β =, + β γ µ γ = 7

8 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΟ Θεωρούµε ένν κύκλο (Ο, R) κι έν στθερό σηµείο Σ µε ΣΟ=δ Γι κάθε ευθεί που διέρχετι πό το Σ κι τέµνει τον κύκλο στ Α, Β το ΣΑ ΣΒ είνι στθερό. Ειδικότερ : ΣΑ ΣΒ=δ ρ ΣΑ ΣΒ= ρ δ, ότν το Σ βρίσκετι εκτός κύκλου., ότν το Σ βρίσκετι εντός κύκλου ποδείξεις Β Ο Α Γ Σ Φέρνουµε την τέµνουσ Σ Γ που διέρχετι πό το κέντρο Ο. Στο εγγεγρµµένο τετράπλευρο ΑΒΓ ισχύουν: Β ˆ = Α ˆ Σ κι Γˆ = ΣΑˆ εποµένως τ τρίγων ΒΓΣ κι ΑΣ είνι όµοι! ΣΑ Σ Άρ = δηλδή ΣΑ ΣΒ=ΣΓ Σ είνι όµως: ΣΓ ΣΒ ΣΓ = ΣΟ+ΟΓ = δ + ρ κι Σ = ΣΟ-Ο = δ ρ άρ τελικά ΣΑ ΣΒ = (δ + ρ)( δ ρ)= δ. Γι την δεύτερη περίπτωση έχουµε: Φέρνουµε την διάµετρο Γ που περνά πό το Σ. Β Σ 1 ο Α Γ Τ τρίγων ΣΑ κι ΣΓΒ είνι όµοι διότι: 8

9 Σ ˆ ˆ 1 = Σ (κτκορυφήν), Α ˆ =Γ ˆ, (βίνουν στο ίδιο τόξο) Β ˆ = ˆ (βίνουν στο ίδιο τόξο). Άρ ΣΑ ΣΓ Σ = ΣB ή ΣΑ ΣΒ=ΣΓ Σ. Είνι όµως: ΓΣ = ΓΟ + ΟΣ = ρ + δ κι Σ = Ο - ΟΣ = ρ δ άρ ΣΑ ΣΒ = (ρ + δ)( ρ δ) = ρ δ.// ΟΡΙΣΜΟΣ Αν δοθεί σηµείο Σ στο επίπεδο του κύκλου ( Ο, R ) µε ΣΟ = δ τότε ο στθερός ριθµός δ ρ ονοµάζετι δύνµη σηµείου ως προς τον κύκλο ( Ο, R ) ν δ ρ >0 τότε το Σ βρίσκετι εκτός κύκλου ν δ ρ =0 τότε το Σ είνι σηµείο του κύκλου ν δ ρ <0 τότε το Σ βρίσκετι εντός κύκλου Αν Σ είνι σηµείο εκτός του κύκλου ( Ο, ρ) τότε η δύνµη του Σ ως προς τον κύκλο ( Ο, ρ) ισούτι µε ΣΕ όπου ΣΕ εφπτόµενο ευθύγρµµο τµήµ πό το Σ στον κύκλο. πόδειξη Το ΣΟΕ είνι ορθογώνιο τρίγωνο άρ ΣΕ = ΣΟ ΟΕ =δ ρ, δηλδή ο η δύνµη του Σ ως προς τον κύκλο ( Ο, ρ)! // Σ E 9

10 λ υ µ έ ν ε ς σ κ ή σ ε ι ς... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Ο Στο διπλνό τρίγωνο ΑΒΓ ( < 90 ) ν ποδείξετε ότι: ΑΓ -ΑΒ = Γ - Β ΥΣΗ B Εφρµόζουµε το πυθγόρειο θεώρηµ σε κθέν πό τ ορθογώνι τρίγων Α Γ,Α Β κι έχουµε: ΑΓ -ΑΒ =(Α + Γ )-(Α +Β )=Α + Γ -Α -Β = Γ - Β. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ν βρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου µε περίµετρο 8 κι υποτείνουσ 37. ΥΣΗ Έχουµε +β+γ=8, =37. Άρ β+γ=7. (1) Επίσης πό το πυθγόρειο θεώρηµ ισχύει β +γ = =1369 () Η () λόγω της (1) γίνετι: (7-γ) +γ =1369, κι νπτύσσοντς την τυτότητ προκύπτει το τριώνυµο γ -7γ+0=0 οι ρίζες του οποίου είνι το 1 κι το 35. Οπότε, β=35 κι γ=1 ή β=1 κι γ=35. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Ο Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90 δείξτε ότι γι τις πλευρές ισχύει β+γ.. A ΥΣΗ β+γ (β+γ) ( ) β +γ +βγ β +γ +βγ (β +γ ) β +γ +βγ β +γ β +γ -βγ 0 (β-γ) 0, το οποίο ισχύει. 10

11 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ο Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90 δείξτε ότι µ +µ β +µ γ = 3. ΥΣΗ a Από γνωστό θεώρηµ ισχύει ότι µ =, διότι 90 Ο =. A A Άρ ρκεί ν δείξουµε ότι a +µβ +µ γ = 3 µ β +µ γ = 5a. Όµως πό το πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε µ β =γ β + κι µ γ =β γ +. Άρ µ β +µ γ = β + γ β + γ + = a 5a + =. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Αν οι διγώνιοι τετρπλεύρου ΑΒΓ τέµνοντι κάθετ, ν ποδείξετε ότι ΑΒ +Γ =Α +ΒΓ. ΥΣΗ Έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων ΑΓ κι Β. Από το πυθγόρειο θεώρηµ στ ορθογώνι τρίγων ΟΑΒ κι ΟΓ πίρνουµε: ΑΒ =ΟΑ +ΟΒ κι Γ =ΟΓ +Ο. Με πρόσθεση κτά µέλη υτών των σχέσεων έχουµε: ΑΒ + Γ = ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ +Ο = (ΟΑ +Ο )+( ΟΒ + ΟΓ )=Α +ΒΓ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Ν υπολογίσετε το ύψος κι τις διγώνιες ισοσκελούς τρπεζίου ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ=, Γ =10 κι µήκος µη πράλληλων πλευρών ίσο µε 5. ΥΣΗ Έστω ΑΚ=Β=υ το ύψος του τρπεζίου. Τ τρίγων ΑΚ κι ΒΓ είνι ίσ (εύκολο), οπότε Κ=Γ. Έτσι, Κ+Κ=Γ Γ ΑΒ Κ+ΑΒ=Γ (διότι Κ=ΑΒ), άρ Κ= = 3. Από το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Α Κ έχουµε 11

12 υ =Α - Κ =16 => υ=. Επίσης πό το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Β πίρνουµε Β = +Β =>Β =ΑΓ= = 65. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση γ = +β Ο -β (1), ν δείξετε ότι Γ= 60 κι ντίστροφ. ΥΣΗ 1 ος τρόπος. Με το νόµο συνηµιτόνων: γ = +β -βσυνγ (). Στις σχέσεις (1) κι () τ 1 µέλη είνι ίσ, άρ +β -β= +β -βσυνγ =>συνγ= 1 Ο => Γ= 60. ος τρόπος. Έστω ότι έχουµε τη σχέση γ = +β -β. Επειδή το β<0 προκύπτει ότι γ < +β => Ο Γ< 90, έτσι έχουµε το διπλνά σχήµ. Από το γενικευµένο πυθγόρειο θεώρηµ οξείς γωνίς στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: γ = +β -Γ (3). Στις σχέσεις (1) κι (3) τ 1 µέλη είνι ίσ, άρ +β -β= +β β -Γ, άρ Γ =. Έτσι στο τρίγωνο Α Γ πίρνουµε ότι A Ο Ο 1= 30 άρ Γ= 60. Ο Αντίστροφ, Έστω ότι έχουµε τη σχέση Γ= 60, τότε A Ο β 1= 30 => Γ = κι πό το γενικευµένο πυθγόρειο θεώρηµ οξείς γωνίς στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε γ = +β - Γ = γ = +β -β, που είνι κι η ζητούµενη σχέση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 ο Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ) δίνοντι µ =λ, β=λ 3. Ν υπολογισθούν οι γωνίες Β, Γ κθώς κι το ύψος υ συνρτήσει του λ. ΥΣΗ 1

13 Από γνωστό θεώρηµ ισχύει ότι ΒΓ=µ =λ. Από το πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ότι ΑΒ =(λ) -(λ 3 ) =λ ΒΓ, άρ ΑΒ=λ=, άρ 30 o o Γ= κι B = 60. βγ βγ λ 3 λ λ 3 Επίσης πό τον τύπο υ = πίρνουµε υ = = =. λ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 5γ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει =3γ κι µ γ =, ν δείξετε ότι γ ) β=γ β) Α> 90 o γ) µ β = γ, µ =. ΥΣΗ ) Έχουµε ( γ) + β γ 5γ. 3 + β γ 5γ 18γ + β γ µ γ = = = β = 8γ β = γ. β) Είνι >β>γ κι =9γ, β +γ =(γ) +γ β +γ =5γ, άρ >β +γ Α> 90 o. γ) Έχουµε + γ β 18γ + γ γ µ β = = µ = γ µ = γ β β κι β + γ 8γ + γ 9γ γ γ µ = = = µ =. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 10 Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε A =10 ο. είξτε ότι µ βγ =. ΥΣΗ Εφρµόζουµε το νόµο συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ κι έχουµε =β +γ -βγσυν10 ο => =β +γ 1 -βγ( ) => =β +γ +βγ => β +γ = -βγ (1). Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων κι τον τύπο β + γ µ = έχουµε τώρ: (1) β + γ ( β + γ ) ( a βγ ) a βγ βγ µ = = = = =. 13

14 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 11 Από έν σηµείο Α εκτός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουµε το εφπτόµενο τµήµ ΑΒ. Αν Ν είνι το µέσο του ΑΒ, ν δείξετε ότι ΟΝ =ΟΑ +3ρ. ΥΣΗ Ο Ισχύει ΑΒΟ= 90, διότι ΑΒ εφπτοµένη κι ΟΒ κτίν. Από το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουµε ΑΒ +ΒΟ =ΑΟ =>ΒΝ +ρ =ΟΑ (1) Από το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΝΒΟ έχουµε ΝΒ +ρ =ΝΟ, οπότε λόγω της σχέσης (1) έχουµε ΟΑ ρ + ρ =ΟΝ => ΟΑ -ρ +ρ =ΟΝ => ΟΝ =ΟΑ +3ρ, που είνι κι η ζητούµενη σχέση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Έστω ΑΒΓ κυρτό εγγράψιµο τετράπλευρο ώστε η διγώνιος ΑΓ τέµνει τη διγώνιο Β στο µέσον. είξτε ότι ΑΒ +Α +ΒΓ +Γ =ΑΓ. ΥΣΗ Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο ΑΒ έχουµε: +δ =ΑΜ Β + (1). Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο ΒΓ έχουµε: β +γ =ΓΜ Β + (). Προσθέτοντς τις σχέσεις (1) κι () πίρνουµε: +δ +β +γ =(ΑΜ + ΓΜ )+ Β Β + => +β +γ +δ =(ΑΜ + ΓΜ )+ Β (3). τ έµνουσες κύκλου Όµως ΑΓ =(ΑΜ+ΜΓ) =ΑΜ +ΜΓ +ΑΜ.ΜΓ===== ΑΜ +ΜΓ +ΜΒ.Μ = ΑΜ +ΜΓ Β Β +. = ΑΜ +ΜΓ Β + => ΑΜ +ΜΓ = ΑΓ Β -. Οπότε πό τη σχέση (3) έχουµε +β +γ +δ =(ΑΓ Β - )+ Β =ΑΓ -Β + Β =ΑΓ. 1

15 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 13 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί,ε,ζ που χωρίζουν τη βάση του σε ίσ τµήµτ Β = Ε=ΕΖ=ΖΓ. Ν ποδείξετε ότι ΑΒ +ΑΓ =Α +ΑΖ 3ΒΓ +. 8 ΥΣΗ a Ισχύει Β = Ε=ΕΖ=ΖΓ=, όπου =ΒΓ. Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ πίρνουµε: ΑΒ +ΑΓ =ΑΕ + a. (1). Αρκεί λοιπόν ν βρούµε το ΑΕ. Εφρµόζουµε πάλι το 1 ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο Α Ζ: a Α +ΑΖ =ΑΕ + Α +ΑΖ =ΑΕ Α a + ΑΕ = 8 (1) γίνετι ΑΒ +ΑΓ = Α +ΑΖ a a - + = Α +ΑΖ 3a ΑΖ 8, άρ η σχέση ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε β=3,=8 κι Γ =60 ο. Ν υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ κι τη διάµεσο ΑΜ. ΥΣΗ Από το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: γ = +β -βσυνγ => γ = => γ =9 => γ=7. Άρ ΑΒ=7. Γι τη διάµεσο ΑΜ έχουµε (πό γνωστό τύπο της θεωρίς) ΑΜ = β + γ = µ 6 13 AM 13. = = = = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 15 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε γ=, =3 εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,ρ) κι έστω Β ύψος του κι ΒΜ διάµεσός του. Έστω επίσης Ε το σηµείο τοµής της διµέσου ΒΜ µε τον κύκλο. Αν Μ = 7, ν βρεθούν 8 ) η πλευρά ΑΓ 15

16 β) το µήκος ΜΕ. ΥΣΗ ) Εφρµόζουµε το ο θεώρηµ διµέσων κι έχουµε ΑΒ -ΒΓ =ΑΓ.Μ => ΑΒ ΒΓ ΑΓ= ΑΓ=. Μ ΜΑΜΓ. β) Από τέµνουσες κύκλου έχουµε ΒΜ.ΜΕ=ΜΑ.ΜΓ ΜΕ= = ΒΜ ΒΜ (1). + γ β Ακόµ πό τον γενικό τύπο µ β = έχουµε ΑΒ + ΒΓ ΑΓ ΒΜ = = = (). Από τις σχέσεις (1) κι () προκύπτει ότι ΜΕ= = 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 16 Ν ποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές,β,γ κι διάµεσο µ ισχύει η σχέση > µ βγ. ΥΣΗ Η σχέση β + γ > µ βγ γράφετι > βγ ή >β +γ - -βγ ή >β +γ -βγ >β +γ -βγ >(β-γ) (τριγωνική νισότητ). > β-γ, το οποίο ισχύει ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 17 ίνετι έν ορθογώνιο ΑΒΓ. Γι κάθε σηµείο Ο εντός υτού ν ποδείξετε ότι ΟΑ +ΟΓ =ΟΒ +Ο ΥΣΗ Φέρνουµε τις διγώνιες ΑΓ κι Β κι έστω Κ το σηµείο τοµής τους. Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων έχουµε ΟΑ +ΟΓ =ΟΚ ΑΓ + κι ΟΒ +Ο =ΟΚ B +. Αν λάβουµε υπόψη ότι ΑΓ=Β τότε τ δεύτερ µέλη των πρπάνω ισοτήτων είνι ίσ, άρ κι τ πρώτ, δηλδή ΟΑ +ΟΓ =ΟΒ +Ο. 16

17 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 18 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν δείξετε ότι = βσυνγ + γσυνβ. (1) ΥΣΗ βσυνγ + γσυνβ =β a + β γ β + γ β a + γ = γ + β γ + γ β + a = a. a = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 19 Έστω έν ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς. Ν υπολογίσετε την πόστση της κορυφής Β πό το µέσο της διµέσου ΑΜ. ΥΣΗ Έστω Ν το µέσο της διµέσου ΑΜ. Ανζητούµε το µήκος ΒΝ. Όπως γνωρίζουµε στ ισόπλευρ τρίγων η διάµεσος είνι κι ύψος, οπότε Ο θ ισχύει ΒΜΝ= 90. Έτσι, µε εφρµογή του Πυθγορείου θεωρήµτος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΝ πίρνουµε ΒΝ =ΒΜ +ΜΝ (1) Όµως, ΒΜ ΒΓ = = =. Επίσης, µε εφρµογή του Πυθγορείου θεωρήµτος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΓ έχουµε: ΑΜ a 3a MN = = ΑΜ = ( ΑΓ ΜΓ ) = [ a ] =. 16 Έτσι η σχέση (1) γίνετι ΒΝ a 3a 7a = + =, άρ ΒΝ= 7 a ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 0 είξτε ότι το άθροισµ των τετργώνων των πλευρών ενός πρλληλογράµµου ισούτι µε το άθροισµ των τετργώνων των διγωνίων του. ΥΣΗ Έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων του πρλληλογράµµου. Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων στ τρίγων ΑΒΓ κι ΑΒ έχουµε ντίστοιχ: ΑΒ +ΒΓ =ΒΟ ΑΓ +, Α +ΒΑ =ΑΟ B +. 17

18 Με πρόσθεση κτά µέλη υτών των σχέσεων έχουµε: ΑΒ +ΒΓ + Α +ΒΑ =ΒΟ ΑΓ + +ΑΟ B + =(ΑΟ + ΒΟ ΑΓ +Β )+. Όµως ΑΓ=Β, ΑΓ B ΑΟ= κι ΒΟ=. Άρ τελικά προκύπτει η ζητούµενη σχέση ΑΒ +ΒΓ +Α +Γ =ΑΓ +Β. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ν ποδείξετε ότι: β>γ µ β <µ γ (δηλδή σε µεγλύτερη πλευρά ντιστοιχεί µικρότερη διάµεσος κι ντίστροφ). ΥΣΗ µ β <µ γ µ β <µ + γ β + β γ γ < 3γ < 3 β γ < β, που είνι κι η ζητούµενη σχέση. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΜ είνι διάµεσος, Α ύψος µε ΑΒ=5,ΒΓ= υπολογίστε τ ΑΜ,Μ,Α. 3 κι ΑΓ=7 ΥΣΗ Είνι πό τη θεωρί µ =ΑΜ β + γ = = 5. Άρ ΑΜ=5. Από το ο θεώρηµ διµέσων έχουµε β -γ =Μ => M = 3. Τέλος πό το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Α Μ έχουµε Α = ΑΜ Μ =. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Ο Ο Σε τρπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ κι Γ είνι A< 90, B< 90. Ν ποδείξετε ότι ΑΓ +Β =Α +ΒΓ +ΑΒ.Γ ΥΣΗ Έστω Ε κι Ζ οι προβολές των σηµείων κι Γ στην πλευρά ΑΒ ντίστοιχ. Από το θεώρηµ οξείς γωνίς στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ -ΑΒ.ΒΖ Από το θεώρηµ οξείς γωνίς στο τρίγωνο ΑΒ έχουµε Β =Α +ΑΒ -ΑΒ.ΑΕ 18

19 Με πρόσθεση κτά µέλη πίρνουµε ΑΓ + Β = ΑΒ +ΒΓ + Α -ΑΒ.ΒΖ-ΑΒ.ΑΕ= ΒΓ + Α + ΑΒ(ΑΒ-ΖΒ-ΑΕ)= ΒΓ + Α +ΑΒ.ΕΖ= ΒΓ + Α +ΑΒ.Γ Πρτήρηση: το ίδιο συµπέρσµ µε πρόµοι πόδειξη ισχύει κι στην περίπτωση που A Ο Ο > 90 ή, > 90. B ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε =8,β=6 κι γ=5. Α) ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι µβλυγώνιο Β) ν υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ κι ΒΓ. ΥΣΗ Α) Συγκρίνουµε το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών κι έχουµε =6 κι β +γ Ο =61<6, άρ > 90 οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είνι µβλυγώνιο Β) Ανζητούµε τ µήκη Α κι ΒΕ. Από το θεώρηµ µβλείς γωνίς στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ΒΓ =ΑΒ +ΑΓ +ΑΓ.Α, δηλδή =γ +β +βα => 6=5+36+1Α => Α = 1. Από το θεώρηµ οξείς γωνίς στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ -ΒΓ.ΒΕ => β =γ + -ΒΕ => 36=5+6-16ΒΕ => ΒΕ= ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 A ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ο κύκλος διµέτρου ΒΓ τέµνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στ σηµεί,ε ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι =β.γε+γ.β ΥΣΗ Από το διπλνό σχήµ προκύπτει ότι β.γε+γ.β =β(β-αε)+γ(γ-α )=(β +γ )-( β.αε+γ.α ) (1). Α Όµως β.αε=γ.α = ( c) = AO R, όπου Ο το µέσο του ΒΓ. Επίσης πό το 1 ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ πίρνουµε β +γ =ΑΟ BΓ + =ΑΟ +R. Άρ η σχέση (1) γίνετι β.γε+γ.β =ΑΟ +R -(ΑΟ - R )= R =(R) =. 19

20 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 ύο χορδές ΑΒ,Γ ενός κύκλου τέµνοντι στο σηµείο Μ κι ισχύει ΜΑ+ΜΓ=ΜΒ+Μ. Ν ποδείξετε ότι ΑΒ=Γ. ΥΣΗ Έστω ΜΑ=χ, ΜΒ=z, ΜΓ=ψ κι Μ =ω. Τότε πό το σχήµ προκύπτει ότι χ+ψ=ω+z κι ψω=χz (πό τέµνουσες κύκλου). Πολλπλσιάζουµε τη σχέση χ+ψ=ω+z µε z κι πίρνουµε xz+ψz=ωz+z => ψω+ψz=ωz+z => ψ(ω+z)=z(ω+z) => ψ=z κι άρ χ=ω. Οπότε τελικά ΑΒ=χ+z=ω+ψ=Γ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε γ=, =3 εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,ρ) κι έστω Β ύψος του κι ΒΜ διάµεσός του. Έστω επίσης Ε το σηµείο τοµής της διµέσου ΒΜ µε τον κύκλο. ΑΝ Μ = 7, ν βρεθούν 8 ) η πλευρά ΑΓ β) το µήκος ΜΕ. ΥΣΗ ) Εφρµόζουµε το ο θεώρηµ διµέσων κι έχουµε ΑΒ -ΒΓ =ΑΓ.Μ => ΑΒ ΒΓ ΑΓ= ΑΓ=. Μ ΜΑΜΓ. β) Από τέµνουσες κύκλου έχουµε ΒΜ.ΜΕ=ΜΑ.ΜΓ ΜΕ= = ΒΜ ΒΜ (1). + γ β Ακόµ πό τον γενικό τύπο µ β = έχουµε ΑΒ + ΒΓ ΑΓ ΒΜ = = = (). Από τις σχέσεις (1) κι () προκύπτει ότι ΜΕ= = 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, υ είνι το ύψος που ντιστοιχεί στην πλευρά κι τ η ηµιπερίµετρος του. Αποδείξτε ότι υ τ ( τ ). 0

21 ΥΣΗ Γνωρίζουµε πό τη γενική θεωρί ότι υ = τ ( τ )( τ β )( τ γ ). Άρ, υ τ ( τ ) υ τ ( τ ) τ ( τ )( τ β )( τ γ ) τ ( τ ) a ( τ β )( τ γ ) τ τ ( β+ γ ) + βγ ( + β+ γ ) ( + β+ γ )( β+ γ ) + βγ Εκτελούµε τις πράξεις κι εύκολ κτλήγουµε στο: β -βγ+γ 0 (β-γ) 0, το οποίο ισχύει! Πρτήρηση 1: το = ισχύει ν κι µόνον ν β=γ, δηλ. το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές Πρτήρηση : Πρόµοι µπορούµε ν ποδείξουµε ότι υ τ ( τ β ), υ τ ( τ γ ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Ο ίνετι ρόµβος ΑΒΓ µε = 60 κι τυχίο σηµείο Μ εκτός του ρόµβου. Ν ποδείξετε ότι ΜΒ +Μ =ΜΑ +ΜΓ +ΑΓ. ΥΣΗ Έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων του ρόµβου. Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων στ τρίγων Μ Β κι ΜΑΓ έχουµε ντίστοιχ: ΜΒ +Μ =ΜΟ B +, ΜΑ +ΜΓ =ΜΟ AΓ +. Άρ ρκεί ν δείξουµε ότι: ΜΟ B + =ΜΟ AΓ + + ΑΓ B AΓ = + ΑΓ B 3AΓ = Β = 3. ΑΓ B 3. ΑΓ = O = 3. OΓ. Το τελευτίο όµως προκύπτει πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓ στο οποίο ισχύει ότι: εφ30 ο ΟΓ =, Ο δηλδή 1 ΟΓ =. 3 Ο ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ πίρνουµε επί της πλευράς ΒΓ σηµεί,ε τέτοι, ώστε ν ισχύει Β = Ε=ΕΓ. Αποδείξτε ότι 3γ +6β =9ΑΕ +. ΥΣΗ Προφνώς ισχύει Β = Ε=ΕΓ=. Από το 1 ο θεώρηµ διµέσων στ τρίγων ΑΒΕ κι 3 ΑΓ έχουµε β γ 1

22 a ντίστοιχ: γ +ΑΕ =Α ΒΕ +, δηλδή γ +ΑΕ =Α 3 + γ +ΑΕ =Α a + (1) 9 κι Α +β =ΑΕ Γ + δηλδή Α +β =ΑΕ a + (). 9 Από τις σχέσεις (1) κι () έχουµε: γ +ΑΕ =(ΑΕ a + -β a )+ γ +ΑΕ =ΑΕ a + -β a γ +6β =9ΑΕ +, που είνι κι η ζητούµενη σχέση. => ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 31 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έστω Α το ύψος κι Η a το ορθόκεντρο του ώστε Α.ΑΗ=. είξτε ότι ) =β +γ β) µ 3a =. ΥΣΗ ) Το τετράπλευρο Η ΓΕ είνι εγγράψιµο σε κύκλο (γιτί?), άρ ΑΗ.Α =ΑΕ.ΑΓ a => =ΑΕ.β => ΑΕ= (1). Από το γενικευµένο πυθγόρειο θεώρηµ οξείς γωνίς στο β τρίγωνο ΑΒΓ πίρνουµε: =β +γ β + γ -βαε => ΑΕ= (). β Στις σχέσεις (1),() τ πρώτ µέλη είνι ίσ άρ κι τ δεύτερ, οπότε β = β + γ a = β + γ. β β) Από το 1 ο β + γ θεώρηµ διµέσων κι τον τύπο µ = έχουµε: β + γ ( β + γ ).a a 3a µ = = = =. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγρµµένο σε κύκλο (O,R) µε ΑΒ=γ, ΑΓ=β, ΒΓ=, β = +γ ο +γ (1) κι Γ= 30. Αν η εφπτοµένη του κύκλου στο Α τέµνει τη ΒΓ στο ν δείξετε ότι: ο ) B = 10, β) 90 Ο Α Β=, γ) β 3= + γ.

23 ΥΣΗ ) Από τη σχέση (1) β = +γ +γ> +γ β > +γ ο άρ B 90. Εφρµόζουµε το νόµο συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ κι πίρνουµε (1) + γ β γ 1 συνβ= == = κι επειδή 0 ο < B <180 ο προκύπτει ότι B = ο 10. γ γ β) Η Α είνι εφπτοµένη οπότε ΑΒ= 30 o. Ακόµ η γωνί ο ο ο ΑΒΓ= ΑΒ+Α Β 10 = 30 +Α Β Α Β= 90. > ΑΒ=Γ(γωνί χορδής κι εφπτοµένης), άρ ΑΒΓ είνι εξωτερική του τριγώνου Α Β, άρ β γ) Το τρίγωνο Α Γ είνι ορθογώνιο µε Γ= 30 ο οπότε (πό γνωστό θεώρηµ) Α =. γ Ακόµ το τρίγωνο Β Α είνι ορθογώνιο µε ΑΒ= 30 o οπότε Β=. Εφρµόζουµε το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Α Γ κι πίρνουµε: Α + Γ =ΑΓ β γ γ 3β γ 3β + + = β + = + = γ + = 3 β. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 33 Θεωρούµε δύο οµόκεντρους κύκλους (Ο,ρ), (Ο,r) µε r<ρ. Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί του κύκλου (Ο,r) έχουν την ίδι δύνµη ως προς τον κύκλο (Ο,ρ). ΥΣΗ Θεωρούµε δύο τυχί σηµεί Α,Β του κύκλου (Ο,r). Α Β Αρκεί ν δείξουµε ότι (, ) = (, ), Ο ρ Ο ρ Α όπου (υπενθύµιση) µε (, ) συµβολίζουµε την πράστση ΑΟ -ρ. Ο ρ Α Έχουµε λοιπόν, (, ) = ΑΟ -ρ =r ρ Β κι (, ) = ΒΟ -ρ = r ρ. Ο ρ Τ µέλη στις δύο τελευτίες σχέσεις είνι ίσ, άρ κι τ πρώτ. Ο ρ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 ίνετι κύκλος (O,) κι διάµετρος ΑΒ υτού. Γράφουµε τον κύκλο (Α,ΑΒ), προεκτείνουµε την ΑΒ κτά τµήµ ΒΓ=ΒΑ κι φέρνουµε εφπτοµένη Γ του κύκλου (Ο,) η οποί τέµνει τον (Α,ΑΒ) στ σηµεί Ε κι Ζ. Αποδείξτε ότι 3Γ =3ΓΕ.ΓΖ ΥΣΗ 3

24 Ισχύει (πό τέµνουσες κύκλου) ότι ΓΕ.ΓΖ=ΓΑ -ΑΒ =() -() =1, συνεπώς ΓΕ.ΓΖ= (1). Επίσης Γ =ΓΒ.ΓΑ (διότι Γ εφπτοµένη του κύκλου (Ο,)) άρ Γ =.=8 => 3Γ = (). Από τις σχέσεις (1) κι () προκύπτει ότι 3Γ =3ΓΕ.ΓΖ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 35 Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές,β,γ κι διάµεσο ΑΜ=µ γ β ισχύει µ = κι γ=. Ν ποδείξετε ότι 3 ) =β β) η πλευρά ΑΓ εφάπτετι του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ στο σηµείο Α γ) ν Μ η προβολή της ΑΜ στη ΒΓ= τότε Μ=. 9 ΥΣΗ γ β Έχουµε µ = κι γ=. 3 β + γ ) Χρησιµοποιούµε τον τύπο µ = κι πίρνουµε ότι = = γ = β + γ = β γ β + γ γ β + γ =β. β) ΑΜ διάµεσος άρ ΜΓ=. Από τέµνουσες κύκλου έχουµε ότι β ΓΜ.ΓΒ=. = = β =ΑΓ, δηλδή ΓΜ.ΓΒ=ΓΑ άρ η πλευρά ΑΓ εφάπτετι του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΜΒ στο σηµείο Α. = ( ) γ) Εφρµόζουµε το ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ (είνι β>γ διότι γ= 3 β ) κι έχουµε: 8 = Μ = Μ Μ = 3 = 9 9 = 9 Μ = 9 β 8β β γ β Μ=. 9

25 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 36 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ+ΒΓ=13, Β =60 Ο κι κτίν εγγεγρµµένου κύκλου ρ= 3. ) Ν βρείτε το µήκος της πλευράς ΑΓ β) Ν βρείτε τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ. ΥΣΗ ίνοντι οι σχέσεις +γ=13, ρ= 3, Β =60 Ο κι ζητάµε τις πλευρές,β,γ. ό + β+ γ + γ β 13 Ισχύει ΒΜ=τ-β= υπ θεση β β = =====. Επειδή Β =60 Ο => Β 1= 30 o (διότι η ΒΟ είνι διχοτόµος της Β ) ρ 3 3 Άρ εφβ 1= = ΒΜ= 3. Έτσι 13 β = 3 β = 7. ΒΜ 3 ΒΜ Εφρµόζουµε το νόµο συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ κι έχουµε β = +γ -γσυν60 ο => β =(+γ) -γ-γ 1 => β =(+γ) -3γ => 9=169-3γ => γ=0. Οπότε προκύπτει το σύστηµ ε ρ ω τ ή σ ε ι ς + γ = 13, γ = 0 η λύση του οποίου δίνει = 8 = 5 ή. γ = 5 γ = 8 1) Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι µβλυγώνιο. Ισχύει : + > β γ Σ ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει : 3) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές, β, γ ισχύει είνι πάντοτε οξυγώνιο. Σ β + < γ Σ β + < γ τότε το τρίγωνο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α < 90, ισχύει ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ Σ 5) Αν γ η µεγλύτερη πλευρά τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές,β,γ κι γ > +β, τότε υτό είνι µβλυγώνιο Σ.. 6) Αν γνωρίζουµε τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ τότε συγκρίνοντς το τετράγωνο µις οποισδήποτε πλευράς του,ε το άθροισµ των τετργώνων των άλλων δύο πλευρών, µπορούµε ν διπιστώσουµε ν το τρίγωνο είνι οξυγώνιο, µβλυγώνιο ή ορθογώνιο Σ.. 7) Γι τυχίο τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α ισχύει ΑΒ =ΒΓ.Β Σ.. 8) Αν γνωρίζουµε τις διµέσους ενός τριγώνου µπορούµε ν υπολογίσουµε τις πλευρές του Σ.. 9) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές, β, γ ισχύουν τυτόχρον : + < β γ, β + < γ, γ + < β τότε το τρίγωνο είνι οξυγώνιο. Σ 5

26 10) Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές, β, γ γι το οποίο ν ισχύουν τυτόχρον + > β γ, β + < γ, γ + > β. Σ 11) Το τρίγωνο που έχει µήκη πλευρών 5, 7, 9 είνι οξυγώνιο Σ 1) Αν Α η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές, β, γ κι ισχύουν τυτόχρον : = β + γ βα κι = β + γ + βα τότε το ΑΒΓ είνι ορθογώνιο στο Α. Σ 13) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι : ΑΒ = 6cm, ΑΓ = 8cm κι BΓ = 7cm. Η ΑΜ είνι διάµεσος κι το Α είνι ύψος. Το Μ ισούτι µε cm. Σ 1) Στο τρίγωνο ΑΒΓ, η µ είνι η διάµεσος του. Τότε ισχύει : β + γ = µ + Σ 15) Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είνι διάµεσος κι το Α είνι ύψος. Ισχύει : ΑΒ Μ + ΑΓ = ΑΜ + Σ 16) Στο διπλνό σχήµ Ο είνι το κέντρο του κύκλου, R η κτίν του κι ΣΟ=δ, ΟΑ=R. Ισχύει: ΣΑ.ΑΒ=δ - R Σ.. 17) Το σηµείο Ρ είνι εσωτερικό του κύκλου (Ο,R) κι ΟΡ=δ<R. Αν µι ευθεί διέρχετι πό το Ρ κι τέµνει τον κύκλο στ σηµεί Α,Β τότε ΡΑ.ΡΒ= R - δ Σ.. 18) ίνοντι δύο οµόκεντροι κύκλοι. Σηµείο Ρ κινείτι στον εξωτερικό κύκλο. Η δύνµη του σηµείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είνι στθερή. Σ.. 6

27 OA 19) Στο διπλνό σχήµ είνι ΟΓ=cm, Ο =3cm κι ΟΒ= = x. 3 Η τιµή του χ είνι. Σ.. 0) Τ ευθύγρµµ τµήµτ ΑΒ κι Γ τέµνοντι στο Ο κι είνι ΟΑ=3 cm, ΟΒ=6 cm, ΟΓ= cm κι Ο =8 cm. Τ σηµεί Α,Β,Γ, είνι οµοκυκλικά Σ.. 1) Στο διπλνό σχήµ, ν το Α είνι ύψος, τότε ισχύει ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ -Β. Γ Σ.. ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΑΒ=6cm, ΑΓ=8cm κι ΒΓ=7cm. Η ΑΜ είνι διάµεσος κι το Α ύψος. Τότε το Μ ισούτι µε. Σ.. 3) Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είνι διάµεσος κι το Α ύψος. Ισχύει: ΑΒ +ΑΓ =ΑΜ Μ +. Σ.. ) Στο διπλνό σχήµ ισχύει:. γ =β + +γ β. γ =β - -Β γ. β = +γ +γ δ. β = +γ -γ ε. β =γ +Γ. 5) Στο διπλνό σχήµ είνι ΑΒ=cm, ΒΓ=5cm, ο το Α είνι ύψος κι ΒΑ = 30. Το µήκος της πλευράς ΑΓ ισούτι µε:.3 β. 1 γ. 10 δ. 1 ε. 0. 7

28 6) Στο διπλνό σχήµ είνι ΑΒ=5cm, ΑΓ=7cm, ΒΓ=6cm, η ΑΜ είνι διάµεσος κι το Α ύψος. Το Μ έχει µήκος:.1 β. γ.,5 δ. 3 ε. 7) Στο διπλνό σχήµ είνι ΣΑ=cm, ΒΣ=9cm, Σ =6cm.Γι ν είνι οµοκυκλικά τ σηµεί Α,Β,Γ, το ΓΣ πρέπει ν ισούτι µε:. 6 9 β. 6 9 γ. 6 δ. 15 ε.3 8) Στο διπλνό σχήµ, η σωστή σχέση είνι: Α. ΡΑ ΡΓ= Ρ ΡΒ Β. ΡΑ ΡΒ= Ρ ΡΓ Γ. ΡΑ ΑΒ= Γ ΡΓ. ΡΑ Ρ = ΡΒ ΡΓ Ε. ΡΑ Γ = ΡΓ ΑΒ 9) Στο διπλνό σχήµ, η σωστή σχέση είνι : Α. ΡΑ ΑΒ= Γ ΡΓ. Β. ΡΑ ΡΒ= Ρ ΡΓ Γ. ΡΑ Ρ = ΡΓ ΡΒ. ΡΑ Γ = ΡΓ ΑΒ Ε. ΡΑ ΡΓ= ΑΒ Γ Ο 30) Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε < 90 φέρνουµε τ ύψη Β κι ΓΕ. Από τις πρκάτω ισότητες λνθσµένη είνι η:. =β +γ -βα β. =β +γ -γαε γ. =Β +Γ δ. =β +γ +βα ε. =ΕΒ +ΓΕ. A 8

29 Ο 31) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι = 90, β>γ, το Α ύψος κι η ΑΜ=µ διάµεσος. Από τις πρκάτω ισότητες λνθσµένη είνι η:. β +γ =ΑΜ β. β -γ = Μ γ. β =µ +ΜΓ + Μ δ. β +γ = µ + ε. γ + µ = Α + BM. A 3) Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ<ΑΓ, την ΑΜ διάµεσο κι το Α ύψος. Ισχύει:. ΑΓ -ΑΒ =ΒΓ.Γ β. ΑΒ -ΑΓ =ΒΓ. Μ γ. ΑΒ +ΑΓ =ΒΓ. Μ δ. ΑΒ +ΑΓ =ΑΜ. Μ ε. κνέν πό τ προηγούµεν. 33) Στο διπλνό σχήµ έχουµε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΓ>ΑΒ κι ΑΜ διάµεσος, Α διχοτόµος κι ΑΚ ύψος. Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες δικιολογώντς την πάντησή σς. Α. ΑΒ =ΑΜ +ΒΜ -ΒΜ.... Β. ΚΜ =... -ΑΚ Β... Γ. = Γ.... ΑΓ +ΑΒ ΒΓ = Ε. ΑΓ -ΑΒ =ΒΓ... 9

30 Ο 3) Σε µβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( > 90 ) φέρνουµε τ ύψη ΓΕ κι Β. Τότε ισχύει:. ΒΓ =ΑΒ +ΑΓ -ΑΓ.Α β. ΒΓ =ΑΒ +ΑΓ - Γ.Α γ. ΑΒ.ΑΕ=Α.ΑΓ δ. Β ΓΕ = ΑΓ ΑΒ A ΓΕ ε. =. ΑE Β A 35) ίνετι κύκλος κτίνς ΟΑ=6cm, εφπτόµενο τµήµ του ΡΑ=8cm κι µετβλητή τέµνουσ ΡΒΓ. Ν βρείτε ποιο πό υ πρκάτω ζεύγη δεν τιριάζει:. χ=6 κι ψ= 3 3 β. χ= κι ψ=3 γ. χ= κι ψ=16 δ. χ=5 κι ψ=1,8 ε. χ=7 κι ψ= ) Οι πρκάτω σχέσεις νφέροντι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) όπου Α ύψος. νθσµένη σχέση είνι η : Α. Α =Β Γ Β. Α =Β Γ Γ. ΑΓ =Β Γ. ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ Ε. ΑΒ ΑΓ = Β Γ 37) Αν το µήκος της υποτείνουσς ορθογωνίου τριγώνου είνι 5, τότε τ µήκη των κθέτων πλευρών του είνι: Α. 3, Β., Γ.,., 5 Ε. 3, 38) Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές,β,γ ισχύει =β +γ +βγ. Αν Α είνι η προβολή της πλευράς γ=αβ στην ΑΓ τότε η γωνί ΑΒ είνι:.5 ο β.30 ο γ.60 ο δ.75 ο ε.15 ο 39) Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές,β,γ ισχύει =β +γ -βα, όπου Α η προβολή της γ πάνω στη β. Αν έχουµε β<α τότε: 30

31 .Γ<90 ο β.γ>90 ο γ. Γ=90 ο δ. Α>90 ο ε. Β>90 ο 0) Η διγώνιος τετργώνου είνι cm. Το µήκος της πλευράς του, σε cm, ισούτι µε A. Β. 5 Γ Ε. 1) Το ευθύγρµµο τµήµ που είνι µέση νάλογος των ευθυγράµµων τµηµάτων µε µήκη cm κι cm έχει µήκος σε cm : Α. 8 Β. 3 Γ. 6. Ε. 3 ΑΒ ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) όπου Α ύψος ισχύει = ΑΓ. Ο λόγος Β ισούτι µε : Γ Α. 3 Β. Γ.. 1 Ε. 5 3) Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τ ύψη Β κι ΓΕ. Από τις πρκάτω ισότητες, λνθσµένη είνι : Α. = β + γ βα Β. = β + γ γαε Γ. = Β + Γ. = β + γ + βα Ε. = ΕΒ + ΕΓ ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α = 90, β > γ, το Α ύψος κι η ΑΜ = µ διάµεσος. Από τις πρκάτω σχέσεις, λνθσµένη είνι : Α. β = + γ ΑΜ Β. β γ = Μ Γ. β = µ + ΜΓ + Μ. β + γ = µ + Ε. γ + µ = Α + ΒΜ 5) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α = 90. Ισχύει : Α. β γ = + µ Β. β γ = + µ Γ. β + γ = 3µ. β γ = + µ Ε. β + γ = 5µ 6) Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ < ΑΓ, την ΑΜ διάµεσο κι το Α ύψος. Ισχύει : Α. ΑΓ ΑΒ = ΒΓ Γ Γ. ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ Μ Ε. κνέν πό τ προηγούµεν Β. ΑΒ ΑΓ = ΒΓ Μ. ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ Μ 31

32 7) Αν = 10cm, β = 9cm κι γ = 7cm είνι τ µήκη πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, τότε η προβολή Α της πλευράς γ πάνω στη β (σε cm) είνι : Α Β. 8 Γ Ε.. 8) Αν Κ είνι εσωτερικό σηµείο ορθογωνίου ΑΒΓ κι ΚΑ=χ+, ΚΓ= χ+ 3, ΚΒ=χ+, Κ =χ+3, τότε το χ είνι ίσο µε:. β.1 γ. 5 δ. 1 ε. 3. 9) Το πρόβληµ της χρυσής τοµής είνι : Α. Η διίρεση ευθύγρµµου τµήµτος σε µέσο κι άκρο λόγο Β. Η διίρεση ευθύγρµµου τµήµτος στο µέσο Γ. Η διίρεση κύκλου σε δύο τόξ που το έν είνι διπλάσιο του άλλου. Η διίρεση γωνίς σε τρεις ίσες γωνίες Ε. Κνέν πό τ πρπάνω. 50) Ν ντιστοιχήσετε κάθε είδος τριγώνου κάθε είδος τριγώνου που βρίσκετι στη στήλη (Α) µε την ντίστοιχη τριάδ ριθµών που βρίσκετι στη στήλη (Β) κι µπορεί ν ποτελεί µήκη των πλευρών του. 51) Στη στήλη (Α) έχουµε είδη µις γωνίς τριγώνου ΑΒΓ κι στη στήλη (Β) σχέσεις µετξύ των πλευρών του. Ν κάνετε την ντιστοιχί. 3

33 5) Στο επίπεδο του κύκλου (Ο,R) πίρνουµε σηµείο Σ που πέχει πόστση δ πό το κέντρο Ο του κύκλου. Φέρνουµε πό το Σ ευθεί που τέµνει τον κύκλο στ σηµεί Α κι Β. Ν ντιστοιχήσετε κάθε θέση του σηµείου Σ που περιγράφετι πό τη στήλη (Α) µε την ντίστοιχη τιµή του γινοµένου ΣΑ.ΣΒ που βρίσκετι στη στήλη (Β). 53) Από κάθε σχήµ της στήλης (Α) προκύπτει µι σχέση της στήλης (Β). Ν ντιστοιχήσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε την ντίστοιχ σχέση της στήλης (Β). 5) Κάθε σχέση που βρίσκετι στη στήλη (Α) σς προσδιορίζει έν πό τ στοιχεί της στήλης (Β) µε βάση το διπλνό σχήµ. Ν ντιστοιχήσετε µε µι γρµµή κάθε σχέση της στήλης (Α) µε το 33

34 ντίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). 55) Τ άγνωστ µήκη που βρίσκοντι στ σχήµτ της στήλης (Α) δίνοντι στη στήλη (Β). Ν ντιστοιχήσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε το ντίστοιχο µήκος της στήλης (Β), όπου Α διχοτόµος, ΚΗ ύψος κι ΚΜ διάµεσος. 3

35 56) Ν ντιστοιχίσετε το τµήµ x της στήλης (Α) στο µήκος του της στήλης (Β), δικιολογώντς την πάντησή σς. ά λ υ τ ε ς σ κ ή σ ε ι ς 1. Μι εφπτοµένη ενός κύκλου (Ο, R) στο σηµείο του Α τέµνει δύο άλλες εφπτόµενες ε 1 κι ε του κύκλου,πράλληλες µετξύ τους, στ σηµεί Β κι Γ. Ν ποδείξετε ότι ΑΒ ΑΓ =R.. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς προεκτείνουµε τη ΒΓ κτά ευθύγρµµο τµήµ Γ =. Ν υπολογιστεί το µήκος του Α συνρτήσει του. Ο 3. Υπολογίστε τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Α= 90 ) ν γνωρίζουµε ότι έχουν µήκη =χ+3, β=χ+ κι γ=χ.. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α κι το ύψος του Α. Αν ΑΓ=6 κι ΑΒ=8 υπολογίστε το Α. 5. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α κι το ύψος του Α. Αν Α =6 κι ΒΓ=13 υπολογίστε τ Β κι Γ. 35

36 6. ίνετι κύκλος (Κ,ρ) στον οποίο µι διάµετρος ΑΒ είνι πράλληλη προς µι χορδή Γ. είξτε ότι ΒΓ +Β =ρ. 7. Αν οι µη πράλληλες πλευρές ενός τρπεζίου είνι κάθετες, ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων των διγωνίων του είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των βάσεών του. 8. Θεωρούµε κύκλο (Ο,ρ) κι δύο διµέτρους του ΑΒ κι Γ. Αν Μ είνι τυχίο σηµείο του κύκλου, ν βρεθεί το άθροισµ ΜΑ +ΜΒ +ΜΓ +Μ συνρτήσει του ρ. 9. Σε έν τετράγωνο πλευράς πίρνουµε τ σηµεί Ε,Ζ πάνω στις πλευρές ΒΓ κι Γ ντίστοιχ, έτσι ώστε ΒΕ=/3 κι ΓΖ=/9. Αποδείξτε ότι ΑΕ ΕΖ. 10. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓ µε Α = κι ΑΒ=. Από τις κορυφές κι Β φέρνουµε κάθετες στην ΑΓ που την τέµνουν στ Ε κι Ζ ντίστοιχ. Αποδείξτε ότι ΑΕ=ΕΖ=ΖΓ. ο 11. ίνετι γωνί χο ψ = 5 κι σηµείο Μ εσωτερικό υτής. Από το Μ φέρνουµε κάθετη στην Οχ που την τέµνει στο Α κι την Οψ στο Β. είξτε ότι ΑΒ +ΑΜ =ΟΜ 1. ίνετι έν τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγρµµένο σε κύκλο κέντρου Ο. Το ντιδιµετρικό του σηµείου Α είνι το. Η εφπτοµένη του κύκλου στο σηµείο τέµνει τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ στ σηµεί Ε κι Ζ ντίστοιχ. Αν ΑΒ =, ΒΕ = 8 κι ΑΓ = 6, ν βρεθούν : ) το µήκος του ΓΖ, β) η γωνί Α ˆ Ζ. 13. Τ µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου ΑΒΓ έχουν λόγο. Ν ποδείξετε ότι οι προβολές των κορυφών Α κι Γ στη διγώνιο Β διιρούν τη διγώνιο υτή σε τρί ίσ ευθύγρµµ τµήµτ. 1. Ν βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του ν οι πλευρές του είνι ) =3λ, β=λ κι γ=6λ (λ>0) β) =λ, β=λ/ κι γ=λ/3 (λ>0) 15. Σε έν τετράγωνο ΑΒΓ θεωρούµε στο εσωτερικό του τ ηµικύκλι µε διµέτρους τις πλευρές Α κι ΒΓ. Ένς κύκλος εφάπτετι στ δύο ηµικύκλι κι στην 36

37 πλευρά Γ.Αν η πλευρά του τετργώνου είνι, ν υπολογίσετε την κτίν του κύκλου ως συνάρτηση του. 16. Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει +βγ=(β+γ) κι Α είνι η προβολή της πλευράς γ στην πλευρά β, ν βρεθεί η γωνί ΑΒ Ν βρεθεί κι ν υπολογιστεί η µεγλύτερη γωνί ενός τριγώνου ΑΒΓ µε β= κι γ= Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε =+ 3, β= 15 κι γ=, ν δειχθεί ότι το τρίγωνο είνι οξυγώνιο κι ν υπολογισθεί η γωνί Β. 19. Ν βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ (ως προς τις γωνίες του) του οποίου οι πλευρές γ,β, είνι νάλογες προς τους ριθµούς,5,6 ντίστοιχ. Στην συνέχει, ν Α είνι η προβολή της πλευράς γ του τριγώνου ΑΒΓ πάνω στη πλευρά β, ν δείξετε ότι Α =(+β+γ)/ Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει υ = ( τ β )( τ γ ), ν ποδειχθεί ότι: 3=β+γ. 1. Σε οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρνουµε το ύψος Γ. Ν ποδείξετε ότι ΒΓ =ΑΒ.Β. ίνετι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ=5. Προεκτείνουµε τη ΒΓ προς το Γ κτά τµήµ Γ =ΓΑ. Αν Α = 5, ν υπολογίσετε το µήκος της πλευράς ΒΓ. 3. ίνετι κύκλος (Ο,R) κι δύο κάθετες διάµετροι ΑΒ κι Γ. Αν Μ είνι σηµείο του τόξου ΒΓ ν ποδείξετε ότι ) Α =ΒΓ =ΜΑ +Μ - ΜΑ.Μ =ΜΒ +ΜΓ + ΜΒ.ΜΓ β) η διφορά ΜΑ.Μ -ΜΒ.ΜΓ είνι στθερή. ο. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε B = 10, ώστε ν ισχύει β-=-γ=. ) ν βρείτε τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ 91 β) δείξτε ότι η διάµεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είνι ίση µε. 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει µ β µ γ δείξτε ότι 3 µ = κι β + γ = 5 6. ίνετι κύκλος (Ο,ρ) κι δύο διάµετροι του ΑΒ,Γ. Έστω Μ σηµείο τέτοιο που ΜΑ=15, ΜΒ=0 κι ΜΓ=. Υπολογίστε το Μ. 37

38 7. Έστω ρόµβος ΑΒΓ κι στην προέκτση της µεγλύτερης διγωνίου ΑΓ προς το Α πίρνουµε σηµείο Μ. είξτε ότι ΜΑ ΜΓ =Μ Α 8. Αν σε τρίγωνο ισχύει β µ β = γ µ γ κι είνι ισοσκελές β + γ δείξτε ότι το τρίγωνο 9. Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ=ΑΓ=11 κι ΒΓ=10. Αν εσωτερικό σηµείο της βάσης ΒΓ µε Β =3, ν ποδειχθεί ότι Α = Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει µ =βγ, ν δείξετε ότι = β-γ. 31. Αν σε έν τρίγωνο ισχύει: β=, γ=6 κι µ =, ν υπολογισθεί η προβολή της διµέσου µ πάνω στην πλευρά ΒΓ. 3. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β + γ = 5 7, ν ποδείξετε ότι ντίστροφ. µ + = κι β µ γ 3µ 33. Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει µ β =β +, ν δειχτεί ότι υτό είνι ισοσκελές. Το ίδιο ν ισχύει (µ β +µ γ )=β +5γ. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A =90 ο ) ν δείξετε ότι +β +γ =8µ µ β +µ γ =5µ κι 35. ίνοντι δύο οµόκεντροι κύκλοι (Ο,R), (Ο,ρ) µε R>ρ. Ευθεί (ε) διέρχετι πό το κέντρο Ο κι τέµνει τους κύκλους κτά σειρά στ σηµεί Α,Β,Γ,. Αν Μ είνι σηµείο του (Ο,R) κι Ν σηµείο του (Ο,ρ), τότε ΝΑ +Ν =ΜΒ +ΜΓ. 36. Αφού εξετάσετε ν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές =5, β= κι γ=3 ν βρείτε: ) το είδος της γωνίς Α, β) το µήκος της διµέσου ΑΜ, γ) το µήκος της προβολής Μ της διµέσου ΑΜ πάνω στη ΒΓ, δ) το µήκος του ύψους Α. 37. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ γι το οποίο ισχύει η σχέση µ -βγ=. Ν ποδείξετε ότι =β +γ -βγ κι ν υπολογισθεί η γωνί Α. 38. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση β +γ =, ν ποδείξετε ότι µ β µ γ () το τρίγωνο µε µήκη πλευρών, κι είνι ορθογώνιο µε µ µ υποτείνουσ, 38

39 µ µ µ β γ 3 (β) = = =. γ β ο 39. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) φέρνουµε τη διάµεσο ΒΜ. Αν είνι το µέσο της ΒΜ, ν δείξετε ότι ΒΓ =Α +3ΑΜ. γ 0. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε =, γ β ) ν υπολογίσετε τη διάµεσο ΑΜ, β) ν βρείτε το είδος της γωνίς Β, γ) BE 1 ν φέρουµε κάθετη ΑΕ στην πλευρά ΒΓ, δείξτε ότι =, AB δ) δείξτε ότι B =10 ο. = 1. Αν ΑΒΓ είνι οξυγώνιο τρίγωνο, ΑΜ διάµεσος υτού κι Β ύψος του, ν ποδείξετε ότι: µ = +ΑΓ Α γ. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει µ β =. ) ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι µβλυγώνιο 1 β) ν δείξετε ότι υ = γ Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω Θ το βρύκεντρό του κι ΒΘΓ=60 ο. µ = µ β γ β + γ 5. Ν ποδειχθεί ότι. ) ίνετι κύκλος (Ο,ρ) κι σηµείο Μ γι το οποίο ισχύει ( Ο, ) = 000 Τότε το Μ είνι εκτός του κύκλου (Ο,ρ) Σ.. β) ίνετι κύκλος (Ο,ρ) κι σηµείο Μ γι το οποίο ισχύει ( Ο, ) = 000 Τότε το Μ είνι σίγουρ εντός του κύκλου (Ο,ρ) Σ.. Μ ρ. Μ ρ. 5. Θεωρούµε κύκλο (Ο,R), το εξωτερικό του σηµείο Ρ, την τέµνουσά του ΡΑΒ κι το εφπτόµενο του τµήµ ΡΓ. ) ν R = 3, ΟΡ=0, ΡΑ=16 υπολογίστε το ΑΒ β) ν ΡΑ=, ΑΒ=5 υπολογίστε το ΡΓ γ) ν ΟΡ=5, ΡΑ=36, ΡΒ=50 υπολογίστε την κτίν R δ) ν ΟΡ=8, R = κι ΑΒ=ΡΑ υπολογίστε το ΡΑ 39

40 6. Σε κύκλο κτίνς R=15cm πίρνουµε σηµείο Γ που πέχει πό το κέντρο 10cm. Μι χορδή ΑΒ του κύκλου διέρχετι πό το Γ κι είνι ΑΓ=3ΓΒ. Ν βρεθεί το µήκος της χορδής ΑΒ. 7. Θεωρούµε ορθή γωνί χοψ, σηµεί Α,Β της πλευράς Οχ τέτοι, ώστε ΟΑ= κι ΑΒ=10, κι σηµεί Γ, της πλευράς Οψ τέτοι, ώστε ΟΓ=3 κι Γ =5. ) ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓ Β είνι εγγράψιµο σε κύκλο, β) ν Μ είνι το µέσο του ΑΒ, Ν το µέσο του Γ κι Κ το κέντρο του περιγεγρµµένου κύκλου του ΑΓ Β, ν υπολογίσετε τ τµήµτ ΚΜ κι ΚΝ, γ) ν υπολογισθεί η κτίν του πρπάνω περιγεγρµµένου κύκλου. 8. ίνετι το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ=8 κι έστω Μ το µέσο του. Θεωρούµε τους κύκλους (Κ,) κι (,) που έχουν ντίστοιχ διµέτρους τ τµήµτ ΑΜ κι ΜΒ. ) ν βρείτε τη δύνµη του σηµείου Κ ως προς τον κύκλο (,) β) ν Ν είνι το µέσο του ενός πό τ δύο ηµικύκλι διµέτρου ΜΒ κι Ρ το σηµείο που η ευθεί ΑΝ τέµνει τον κύκλο (Κ,) (εκτός του Α), ν ποδείξετε ότι 6 10 ΑΡ= Έν σηµείο Α πέχει πόστση R/ πό το κέντρο Ο ενός κύκλου (Ο, R). Μι χορδή ΒΓ του κύκλου διέρχετι πό το Α κι διιρείτι πό το Α σε λόγο 1. Ν βρεθεί το µήκος της χορδής υτής. 50. Ν βρεθούν τ x,y στο διπλνό σχήµ. 51. ίνετι κύκλος (Ο,ΟΑ) κι µε διάµετρο την ΟΑ γράφουµε δεύτερο κύκλο. Αν πό έν σηµείο Β του µικρού κύκλου φέρουµε µι χορδή Γ του µεγάλου κύκλου, ν δείξετε ότι ΒΓ.Β =ΑΒ. 5. ίνετι κύκλος (Ο,R), ΑΒ διάµετρος του κι τυχίο σηµείο Γ στην προέκτση της ΑΒ. Φέρνουµε πό το Γ εφπτοµένη Γ του κύκλου στην ηµιευθεί Γχ κάθετη στην ΑΓ. Η Α τέµνει την Γχ στο Ε. Ν ποδείξετε ότι Γ +Α.ΑΕ=ΓΑ 53. Η προέκτση της διµέσου ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγρµµένο κύκλο του στο σηµείο. Ν υπολογίσετε το µήκος του ευθύγρµµου τµήµτος Μ συνρτήσει των πλευρών του τριγώνου. 0

41 5. Θεωρούµε δύο τεµνόµενους κύκλους κι έν σηµείο Α της κοινής τους χορδής ΒΓ. Από το Α φέρνουµε δύο ευθείες, πό τις οποίες η πρώτη τέµνει τον έν κύκλο στ σηµεί,ε κι η δεύτερη τον άλλο κύκλο στ σηµεί Ζ,Η. Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί,ε,ζ,η είνι κορυφές εγγράψιµου σε κύκλο τετρπλεύρου. 55. Τρίγωνο ΑΒΓ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R) κι η διχοτόµος του Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. είξτε ότι Α =ΑΒ.ΑΓ- Β. Γ Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ δίνετι ότι ισχύει η σχέση µ =. ) δείξτε ότι β +γ =3 β) ν τ ύψη Α κι ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ τέµνοντι στο σηµείο Η ν δείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις ΑΗ Α = ΑΕ ΑΓ κι ΑΗ Α =. 57. Από έν σηµείο Α εκτός κύκλου φέρνουµε µι τέµνουσ ΑΒΓ κι το εφπτόµενο τµήµ Α. Στην προέκτση του ΑΓ προς το Γ πίρνουµε σηµείο Ε. Από το Ε φέρνουµε πράλληλη προς τη Β που τέµνει την προέκτση του Α στο Ζ. Ν ποδείξετε ότι ) ΑΒ ΑΖ= Α ΑΕ β) τ σηµεί Ε,Ζ, κι Γ είνι οµοκυκλικά. 58. Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούµε µι διάµετρο ΑΒ κι χορδές ΑΓ κι Β που τέµνοντι στο σηµείο Μ. Αν Ε η προβολή του Μ στην ΑΒ, ν ποδειχθεί ότι: ) τ τετράπλευρ ΜΓΒΕ κι ΜΕΑ είνι εγγράψιµ σε κύκλο, β) MA ΑΓ+ΜΒ Β = R. 1

42 10o ΚΕΦΑΑΙΟ ΕΜΒΑ Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΟΥΓΩΝΩΝ Τετράγωνο Ε = Ορθογώνιο Ε = β β Ορθογώνιο Τρίγωνο 1 Ε = βγ Τρίγωνο = υ = β υ = γ υ E β γ Β γ Α β Γ Α υ Β Γ Πρλληλόγρµµο E = υ = β υβ Α υ Β υ β Γ Τρπέζιο Α β 1 Β 1 E= ( β1+ β) υ Ρόµβος 1 E= δ1 δ β δ δ 1 Γ

43 Το εµβδόν ορθογωνίου πρλληλογράµµου µε πλευρές κι β είνι Ε =β πόδειξη Α Β Ε Το ΑΙΗΕ είνι τετράγωνο κι ΑΕ // ΙΗ κι ΑΙ // ΕΗ. Επίσης ΑΒΓ = ΓΘΗΖ επειδή Γ = ΓΘ =, ΒΓ = ΓΖ = β Γ Ζ Ισχύει (ΑΙΗΕ) = (ΑΒΓ ) + (ΒΓΖΕ) + (ΓΘΗΖ) + (Γ ΙΘ) ή ισοδύνµ ( + β) =(ΑΒΓ ) + β + δηλδή (ΑΒΓ ) = β// Ι Θ Η Το εµβδόν πρλληλογράµµου µε βάση β κι ντίστοιχο ύψος υ είνι Ε =βυ πόδειξη Τ ορθογώνι τρίγων Α Ζ κι ΒΓΗ είνι ίσ (γιτί;)άρ (Α Ζ) = (ΒΗΓ). Θ έχουµε (ΑΒΓ ) = (ΑΒΗΖ) Όµως (ΑΒΗΖ) = βυ άρ (ΑΒΓ ) = βυ.// Α β Β υ Ζ Γ Η Αν η πλευρά ενός τριγώνου κι υ το ντίστοιχο ύψος, τότε το εµβδόν του ισούτι µε Ε = 1 υ πόδειξη Από τις κορυφές Α κι Γ φέρουµε τις πράλληλες Α προς τις ΒΓ κι ΑΒ ντίστοιχ οι οποίες τέµνοντι στο Το ΑΒΓ είνι πρλληλόγρµµο κι ΑΒΓ = Α Γ Επειδή (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) + (Α Γ) έχουµε (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) ή υ = (ΑΒΓ) ή Ε = 1 υ // Β Ε Ζ 3

44 Το εµβδόν τετρπλεύρου µε διγώνιες κάθετες ισούτι µε το ηµιγινόµενο των διγωνίων του. πόδειξη Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓ του οποίου οι διγώνιες τέµνοντι κάθετ στο σηµείο Ο. Στ τρίγων ΑΒΓ κι Α ΑΓ ισχύει (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓ ) = ο Β ΑΓ ΒΟ ΑΓ Ο ( ΒΟ+ Ο) ΑΓ Β + = ΑΓ = // Γ Το εµβδόν ενός τρπεζίου µε βάσεις Β, β κι ύψους υ ισούτι µε Ε =(Β +β) υ πόδειξη Έστω ΕΖΗ τρπέζιο. Προεκτείνουµε το Ε κτά ΕΚ = ΖΗ κι ΗΖ κτά Ζ = Ε. Ε + ΕΚ = ΗΖ + Ζ δηλδή Κ = Η.Το ΚΗ είνι πρλληλόγρµµο Ε Κ κι τ τρπέζι ΕΖΗ κι ΕΚΖ είνι ίσ. Άρ ( ΚΗ) = ( ΕΖΗ) + (ΕΚΖ) = ( ΕΖΗ) Αλλά ( ΕΖΗ) = (Β + β )υ κι εποµένως Η Ζ ( ΕΖΗ) = (Β +β) υ //

45 ΑΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το εµβδό ενός τριγώνου ισούτι µε Ε= τ ( τ )( τ β)( τ γ ), όπου τ είνι η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι,β,γ οι πλευρές υτού. πόδειξη 1 Προκύπτει άµεσ πό τον τύπο Ε= υ κι τον γνωστό (πό το γενικευµένο πυθγόρειο θεώρηµ) τύπο του ύψους υ = τ ( τ )( τ β )( τ γ ).// a Το εµβδόν ενός τριγώνου ισούτι µε Ε = τρ, όπου τ είνι η ηµιπερίµετρος κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου Ισχύει πό το σχήµ: (ΑΒΓ) = (ΑΟΒ) + (ΒΟΓ) + (ΓΟΑ) = πόδειξη Α = ΑΒ ρ + ΒΓ ρ + ΑΓ ρ = Ο = ( ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ ) ρ = τρ.// Β Γ βγ Το εµβδόν ενός τριγώνου ισούτι µε Ε = R όπου, β, γ οι πλευρές του κι R η κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου πόδειξη Φέρνουµε την διάµετρο ΑΕ του κύκλου, τ τρίγων Α ΑΒ κι ΑΕ είνι όµοι γιτί Β ˆ Α = ΑΓˆ Ε = 90 Κι Bˆ = Eˆ επειδή βίνουν στο τόξο ΑΓ Ο Α ΑΒ υ γ βγ 1 βγ Άρ = = υ = άρ Ε = a // ΑΓ ΑΕ β R R R Β Ε Γ 5

46 Γι το εµβδόν Ε ενός τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις Ε = 1 βηµγ = 1 γηµβ = 1 βγηµα πόδειξη Στο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Α = υ Α υ Ισχύει ηµγ = = άρ υ = βηµγ. ΑΓ β Α υ υ 1 Επειδή Ε = προκύπτει ότι Ε = βηµγ Ανάλογ ποδεικνύοντι κι οι άλλες σχέσεις. // Β Γ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΜΒΑ ΩΝ Αν δύο τρίγων είνι όµοι µε λόγο οµοιότητς λ τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε λ πόδειξη Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΕΖ είνι όµοι Έχουµε λοιπόν ΒΓ ΕΖ = ΑΚ = λ Συνεπώς Α ( ΑΒΓ) ( ΕΖ) 1 ΒΓΑΚ = 1 ΕΖ ΒΓ ΑΚ = ΕΖ =λ.// Β Κ Γ Ε Ζ Αν δυο τετράπλευρ είνι όµοι µε λόγο οµοιότητς λ τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε λ. πόδειξη 6

47 Φέρνουµε τις διγώνιες ΑΓ, ΕΗ. Τ τρίγων ΑΒΓ Β ΑΒ ΒΓ κι ΕΖΗ είνι όµοι γιτί = = λ κι ΕΖ ΖΗ Α Β = Ζ Α Γ = = ΕΘ ΘΗ λ κι = Θˆ Ζ τρίγων Α Γ κι ΕΖΗ είνι όµοι µε λόγο λ Άρ (ΑΒΓ) = λ (ΕΖΗ) κι (Α Γ) = λ (ΕΘΗ) δηλδή (ΑΒΓ) + (Α Γ) = λ (ΕΖΗ + ΕΘΗ) τελικά (ΑΒΓ ) = λ (ΕΖΗΘ)// Θ Ε Η Αν µι γωνί ενός τριγώνου είνι ίση ή πρπληρωµτική µε µι γωνί ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το λόγο των γινοµένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες υτές. πόδειξη Τότε κι στις δυο περιπτώσεις θ ισχύει ηµ Α= ηµ Α', οπότε πό τις ισότητες 1 1 Ε βγ. Ε= β. γηµ Α κι Ε' = β '. γ ' ηµ Α' µε διίρεση κτά µέλη προκύπτει ότι =, που Ε' β '. γ ' είνι το ζητούµενο.// 7

48 Γενική Πρτήρηση (χρήσιµη µεθοδολογί γι τις σκήσεις ) Ότν δίνοντι οι πλευρές,β,γ ενός τριγώνου, τότε µπορούµε ν βρούµε: τί τρίγωνο έχουµε ως προς τις γωνίες του, (ορθογώνιο, οξυγώνιο, µβλυγώνιο) κάνοντς χρήση των σχέσεων ˆ o = β + γ Α= 90, ˆ o < β + γ Α< 90, > β + γ Α> ˆ 90 τ ύψη του τριγώνου,κάνοντς χρήση των τύπων υ = τ ( τ )( τ β )( τ γ ), υ β = τ ( τ )( τ β )( τ γ ), υ γ = τ ( τ )( τ β )( τ γ ) a β γ τις διµέσους του τριγώνου,κάνοντς χρήση των τύπων β + γ + γ β + β γ µ =, µ β =, µ γ = το εµβδό του τριγώνου, κάνοντς χρήση του τύπου του Ήρων Ε= τ ( τ )( τ β)( τ γ ), όπου τ =+β+γ την κτίν του εγγεγρµµένου κι του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου, βγ βγ Ε = κι Ε= τ ( τ )( τ β)( τ γ ) άρ R = R τ ( τ )( τ β )( τ γ ) πρόµοι, Ε = τρ κι Ε= τ ( τ )( τ β)( τ γ ) άρ ρ= τ ( τ )( τ β )( τ γ ) τις γωνίες του τριγώνου, κάνοντς χρήση του Νόµου Ηµιτόνων = β = γ = R ηµ Α ηµ Β ηµ Γ π όπου πίρνουµε ηµα= τ ( )( β )( γ ), ηµβ= τ ( )( β )( γ ), ηµγ= τ ( )( β )( γ ) βγ γ β ή του Νόµου Συνηµιτόνων =β +γ -βγσυνα, β = +γ -γσυνβ, γ = +β -βσυνγ π όπου πίρνουµε β + γ + γ β + β γ συνα=, συνβ=, συνγ=. βγ γ β την προβολή µις πλευράς του τριγώνου σε µι άλλη του πλευρά, κάνοντς χρήσης του γενικευµένου Πυθγορείου θεωρήµτος οξείς ή µβλείς γωνίς την προβολή µις διµέσου του τριγώνου στην πλευρά που ντιστοιχεί, κάνοντς χρήση του ου θεωρήµτος διµέσων. τ o 8

49 λ υ µ έ ν ε ς σ κ ή σ ε ι ς... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Αν Κ είνι έν εσωτερικό σηµείο ενός πρλληλογράµµου ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι (ΚΑΒ)+(ΚΓ )=(ΚΑ )+(ΚΒΓ). ΥΣΗ Φέρνουµε πό το σηµείο Κ κάθετη στην ΑΒ, την οποί τέµνει στο σηµείο Ε. Τότε η ΚΕ είνι κάθετη κι στη Γ, φού είνι Γ //ΑΒ κι ΚΕ κάθετη στην ΑΒ. Έχουµε (ΚΑΒ)+(ΚΓ )= ΑΒΚΕ+. Γ ΚΖ=. ΑΒΚΕ+. ΑΒΚΖ=. ΑΒ( ΚΕ+ΚΖ ) = ΑΒΕΖ=. ( ΑΒΓ ). 1 Επίσης, (ΚΒΓ)+(ΚΑ )=(ΑΒΓ )-[ (ΚΑΒ)+(ΚΓ )]=(ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ ) = 1 ( ). ΑΒΓ Οπότε τελικά προκύπτει η ζητούµενη σχέση (ΚΑΒ)+(ΚΓ )=(ΚΑ )+(ΚΒΓ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ πίρνουµε έν σηµείο Κ έτσι ώστε ν είνι ΑΚΒ=ΓΚΑ= 10 ο, ΚΑ=cm, KB=6cm κι ΚΓ=10cm. Ν υπολογισθούν τ εµβδά (ΚΒΓ) κι (ΑΒΓ). ΥΣΗ Κτρχήν θ είνι ΒΚΓ= 10 ο (γιτί?). Στο τρίγωνο ΚΒΓ γνωρίζουµε δύο πλευρές κι την περιεχόµενη γωνί, άρ πό την θεωρί θ έχουµε ότι: (ΚΒΓ)= ο KB KΓ ηµ = = 15 3 τετργ. µονάδες. Πρόµοι βρίσκουµε (ΚΒΑ)= 1 ο 1 3 KΑ. KΒ. ηµ 10 =..6. = 3 3, κι (ΚΑΓ)= 1 ο 1 3 KΑ. KΓ. ηµ 10 =..10. = 5 3 τετργ. µονάδες. Άρ, (ΑΒΓ)=(ΚΒΓ)+(ΚΒΑ)+(ΚΑΓ)=3 3 τετργ. µονάδες. 9

50 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι =10, β=1, γ=1. Ν υπολογίσετε το εµβδόν, τ ύψη κι τις κτίνες του εγγεγρµµένου κι του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. ΥΣΗ Κάνουµε εφρµογή των τύπων της θεωρίς. Συγκεκριµέν: Η ηµιπερίµετρος του τριγώνου + β + γ είνι τ = = 18, άρ (ΑΒΓ)= τ ( τ )( τ β )( τ γ ) = 6 τετργ. µονάδες. Επίσης, υ = ( ΑΒΓ ) 6 =, υβ = ( ΑΒΓ ) = 6, υγ = ( ΑΒΓ ) 6 =. 5 β γ 7 Τέλος, ρ= ( ABΓ ) 6 βγ, 35 6 = R = =. τ 3 ( ΑΒΓ ) 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ν υπολογίσετε το εµβδόν ρόµβου ΑΒΓ ότν ΑΒ=10 κι A =135 ο. ΥΣΗ Τ τρίγων ΑΒ κι ΒΓ είνι ίσ, οπότε είνι κι ισοδύνµ, δηλδή (ΑΒ )=(ΒΓ ). Άρ έχουµε, (ΑΒΓ )=(ΑΒ )= ο ο ΑΒΑ ηµ = ηµ = = 50 τετργ. µονάδες. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Αν Α είνι το ύψος που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι ( ΑΒ ) γ ( ΑΓ ) β ( ΑΒ ) γ Α) = Β) = Γ) =. ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ) ( Α Γ) β ΥΣΗ Α) Τ τρίγων ΑΒ κι ΑΒΓ είνι όµοι (διότι Α= = 90 ο κι η γωνί Γ κοινή) µε λόγο ΑΒ γ ( ΑΒ ) γ γ οµοιότητς λ= =. Άρ = =. ΒΓ ( ΑΒΓ) Β) Τ τρίγων ΑΓ κι ΑΒΓ είνι όµοι 50

51 (διότι ΑΓ β Α= = 90 ο κι η γωνί Β κοινή) µε λόγο οµοιότητς λ= =. ΒΓ Άρ ( ΑΓ ) β =. ( ΑΒΓ) Γ) Από τ ερωτήµτ Α) κι Β) έχουµε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 ( ΑΒ ) γ ( ΑΒ ) ( ΑΒΓ) γ = = =. ( Α Γ) ( ΑΓ ) β β ( ΑΒΓ) ίνετι πρλληλόγρµµο ΑΒΓ. Από την κορυφή Β φέρνουµε µι ευθεί που τέµνει την Γ στο σηµείο Μ κι την προέκτση της Α στο Ν. Ν ποδείξετε ότι (ΓΜΝ)=(Α Μ). ΥΣΗ Ισχύει (Α Μ)=(Β Μ) (1) (= 1. Μ. ύψος πό το Β). Επίσης, ( ΒΓ)=(ΝΒΓ) (1) (= 1. ΒΓ. ύψος πό το Ν). Οπότε, ( ΒΓ)=(ΝΒΓ) ( ΒΜ)+(ΒΜΓ)=(ΝΜΓ)+(ΜΓΒ) ( ΒΜ)=(ΝΜΓ) κι λόγω της σχέσης (1) πίρνουµε τη ζητούµενη σχέση (ΓΜΝ)=(Α Μ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ΑΓ, όπου ΑΓ η µι Έν ορθογώνιο πρλληλόγρµµο ΑΒΓ έχει εµβδόν ίσο µε διγώνιος του. Ν ποδείξετε ότι η οξεί γωνί των διγωνίων του είνι ίση µε 30 ο. ΥΣΗ Έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων του πρλληλογράµµου. Τότε θ έχουµε ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=Ο = ΑΓ =. 1 1 ΑΓ ΑΓ Ισχύει (ΟΑ )=(ΟΒΓ)= ΟΑ. Ο. ηµφ = ηµφ = ηµφ. 8 1 ΑΓ ΑΓ ΑΓ Επίσης, (ΟΑΒ)= ΟΑΟΒ.. ηµ ( π φ) = ηµφ. Άρ (ΑΒΓ )= ηµφ = ηµφ, 8 8 ΑΓ ΑΓ 1 κι µε τη βοήθει της υπόθεσης πίρνουµε = ο ηµφ ηµφ = φ =

52 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Σε µι ευθεί πίρνουµε τρί διδοχικά σηµεί Α,Β,Γ. Με πλευρές τις ΑΒ κι ΒΓ κτσκευάζουµε προς το ίδιο µέρος της ευθείς τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒ κι ΒΓΕ. Αν ΑΒ= κι ΒΓ=β, ν υπολογίσετε το εµβδόν του τετρπλεύρου Α ΕΓ ως συνάρτηση των,β. ΥΣΗ Ο Ο Ο Ο Ζητάµε το εµβδόν του Α ΕΓ. Είνι πό το σχήµ: ΒΓ= = 60. Οπότε, (Α ΕΓ)=(ΑΒ )+( ΒΕ)+(ΕΒΓ)= a βηµ. 60 β ο + = τετργ. µονάδες. a ( ) a a ο β + β+ β + βηµ + = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Αν Μ,Ν είνι τ µέσ των πλευρών ΒΓ,Γ ενός πρλληλογράµµου ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= 3 8 (ΑΒΓ ). ΥΣΗ Ισχύει (ΑΜΝ)=(ΜΑΓ)+(ΝΑΓ)-(ΜΝΓ) (1) Όµως, (ΜΑΓ)= ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ = ) κι (ΝΑΓ)= ( Α Γ) ( ΑΒΓ ) =. Επίσης τ τρίγων Γ Β, ΝΜΓ είνι όµοι µε λόγο οµοιότητς 1. Άρ ( MNΓ ) ( ) ( ΑΒΓ ) = = ( ΜΝΓ ) = ( Β Γ ) =. ( ΑΒΓ ) =. Β Γ 8 Οπότε η σχέση (1) γίνετι (ΑΜΝ)= ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ + ) = 3 ( ΑΒΓ ). 8 8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 10 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β = γ κι Â = 60 ν υπολογισθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ΥΣΗ 5

53 Από το νόµο των συνηµιτόνων έχουµε = β + γ -βγσυνα = γ γ 1 = 3 γ = γ 3 (1). Από το νόµο των ηµιτόνων έχουµε: β γ γ 3 γ γ = = = = ηµ Α ηµ Β ηµ Γ 3 ηµ Β ηµ Γ Γˆ = 180 ( Α ˆ + Β ˆ ) = 30. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 11 Ο Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ) κι το ύψος του Α. Ν ποδείξετε ότι ( Α Β) ( Α Γ) Α + =. ΑΒ ΑΓ A άρ γ = γ ηµβ ηµβ = 1 Βˆ = 90 κι ΥΣΗ Είνι (Α Β)= 1. A B κι (Α Γ)= 1 A Γ., άρ 1 1 Α Β Α Γ ( Α Β) ( Α Γ) + = + (1) Όµως πό γνωστή µετρική σχέση στ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ορθογώνι τρίγων έχουµε ΑΒ =ΒΓ. Β κι ΑΓ =ΒΓ. Γ,οπότε η σχέση (1) γίνετι ( Α Β) ( Α Γ) Α Β Α Γ Α ( Β+ Γ) Α + = + = =. ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Ο ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε = 60. Με διάµετρο τη ΒΓ γράφουµε κύκλο που τέµνει τις ΑΒ κι ΑΓ στ σηµεί κι Ε ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι (Α Ε)= ( ΑΒΓ ). ΥΣΗ A ο Η ΒΓ είνι διάµετρος ΒΕΓ=Β Γ= 90. Το τρίγωνο ΑΕΒ είνι ορθογώνιο κι έχουµε A Ο ο ΑΒ = 60 άρ B1 = 30 ΑΕ= (1) (διότι σε ορθογώνιο τρίγωνο πένντι πό γωνί 30 ο βρίσκετι πλευρά ίση µε το µισό της υποτείνουσς). Γι τους ίδιους λόγους στο ο ΑΓ ορθογώνιο τρίγωνο Α Γ είνι: Γ 1= 30 Α = (). 53

54 Τ τρίγων Α Ε κι ΑΒΓ έχουν την γωνί Α κοινή, οπότε πό το θεώρηµ του λόγου των εµβδών γι τρίγων µε µί γωνί ίση, έχουµε: (1),() ( Α Ε) Α ΑΕ. Α ΑΕ = = ===. =, ( ΑΒΓ) ΑΒΑΓ. ΑΓ ΑΒ (Α Ε)= ( ΑΒΓ ). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 13 άρ προκύπτει η ζητούµενη σχέση Στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ κι ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ πίρνουµε ντίστοιχ τ σηµεί,ε κι Ζ γ β τέτοι ώστε ν ισχύει Α =, ΒΕ=, ΓΖ=. Ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου 3 ΕΖ συνρτήσει των,β,γ. ΥΣΗ Ισχύει ( ΕΖ)=(ΑΒΓ)-[(Α Ζ)+(Β Ε)+(ΖΕΓ)], άρ ( ΕΖ) ( Α Ζ) ( Β Ε) ( ΖΕΓ) = = ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ) Α ΑΖ. Β ΒΕ. ΓΖΓΕ = βγ γ β γ β γ β = 1 ( + + ) =. Άρ βγ γ β ( ΕΖ)= 5 (ΑΒΓ)= 5 ( )( )( ), τ τ τ β τ γ όπου τ η περίµετρος του τριγώνου ΑΒΓ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε την ιδιότητ Β Γ= 90 του κύκλου, ν ποδείξετε ότι β +γ =R. ΥΣΗ Από το νόµο των ηµιτόνων πίρνουµε β = R β = Rηµ Β ηµ β Rηµ ( + ) Β = Β γ γ = Rηµ Γ = R γ = Rηµ Γ ηµ Γ Άρ β +γ =R (ηµ Β+ηµ Γ)= R (ηµ Β+ηµ (90 ο -Β))= R (ηµ Β+συν Β)= R.1=R. Ο. Αν R η κτίν του περιγεγρµµένου 5

55 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 15 Από το µέσο Κ της πλευράς ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε κάθετη στην υποτείνουσ ΒΓ στο σηµείο. Αν ισχύει ( ΑΒΚ ) 13 = ν βρείτε τη γωνί B. ( ΑΒΓ) 16 ΥΣΗ ( ΑΒΚ) 13 ( ΑΒΓ) ( ΚΓ) 13 ( ΚΓ) 13 Ισχύει = = 1 = ( ΑΒΓ) 16 ( ΑΒΓ) 16 ( ΑΒΓ) 16 ( ΚΓ) 3 =. (1) ( ΑΒΓ) 16 β β 1... ( ) Β=ΓΚΚ Γ κοινηγ τυποι ΚΓ ΚΓ Όµως, ==== === === (). ( ΑΒΓ) γ β 1 βγ Από τις σχέσεις (1) κι () => Γ= 3 a 3aγ, Κ= 8 8β κι Γ.Κ= 3 βγ. 16 Άρ β 3 3 Ο Ο = a γ = γ = Γ= 30 Β= 60. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 16 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν δείξετε ότι = βσυνγ + γσυνβ. (1) ΥΣΗ Με νόµο ηµιτόνων. (1) RηµΑ = RηµΒσυνΓ + RηµΓσυνΒ ηµα = ηµβσυνγ + ηµγσυνβ ηµα = ηµ(β + Γ) = ηµ(180 Α) = ηµα, που ισχύει. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν ποδείξετε ότι + + =, όπου,β,γ είνι οι β βγ γ ρr πλευρές του τριγώνου, ρ η κτίνι του εγγεγρµµένου κύκλου του κι R η κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του. ΥΣΗ βγ Από τη γενική θεωρί ισχύουν οι σχέσεις: (ΑΒΓ)= = τρ, άρ R γ β + β+ γ τ = + + = = = =. β βγ γ βγ βγ βγ βγ βγ βγ ρr τ 55

56 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 18 Αν σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση β+γ=, ν ποδείξετε ότι βγ=6ρr. ΥΣΗ Η κτίν του περιγεγρµµένου του τριγώνου ΑΒΓ είνι + β+ γ 3 τ= = R βγ βγ βγ βγ R βγ = = ===== = = βγ= ρ Ε τρ ρ 6ρ R ρ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 19 Ν δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: R τ =, ρ υ υ + υ υ + υυ β β γ γ όπου R,ρ οι κτίνες του περιγεγρµµένου κι του εγγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου κι τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου. ΥΣΗ Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι τύποι: υ = E (1), Ε=τρ () κι RΕ=βγ (3) Άρ, a (1) () τ τ τ τ = = = = υ υβ + υβυγ + υυ Ε Ε Ε Ε Ε Ε γ + β + γ + + Ε ( + + ) ( ρτ ) ( ) β β γ γ β βγ γ βγ (3) τ βγ RE RE R = = = = =. τ ρ τ ρ τ ρ τ ρε ρ βγ ε ρ ω τ ή σ ε ι ς 1) Αν δύο τρίγων έχουν ίσ εµβδά, τότε τ τρίγων υτά είνι ίσ Σ ) Αν έν τρίγωνο χωρίζετι πό µι διχοτόµο του σε δυο ισοδύνµ τρίγων, τότε υτό είνι ισοσκελές. Σ 3) Έν τρίγωνο χωρίζετι πό µι διάµεσο του σε δύο ισοδύνµ τρίγων. Σ ) Ο τύπος του Ήρων Ε τ ( τ - ) ( τ - β) ( τ - γ) σε ορθογώνι τρίγων. Σ = ισχύει µόνο 56

57 5) Ο τύπος Ε δ1 δ =, όπου 1 δ κι δ οι διγώνιοι ενός τετρπλεύρου, ισχύει σε κάθε τετράπλευρο µε κάθετες διγώνιους. Σ 6) υο τετράγων τ οποί έχουν ίσ εµβδά είνι ίσ. Σ 7) Αν οι γωνίες A κι των τριγώνων ΑΒΓ κι ΕΖ είνι συµπληρωµτικές, τότε : ( ΑΒΓ ) ΑΒ ΑΓ ( ΕΖ) Ε Ζ =. Σ 8) ύο ισοδύνµ ορθογώνι είνι κι ίσ Σ.. 9) Ν σηµειώσετε τη σωστή πάντηση Η πλευρά τετργώνου ισοδύνµου µε ορθογώνιο τρίγωνο πλευρών κάθετων κι 8 είνι Σ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει (ΑΒΓ)= 1 µ, τότε το τρίγωνο είνι ισόπλευρο Σ 10) Αν οι πλευρές τετργώνου υξηθούν κτά cm η κάθε µι, τότε το εµβδόν του υξάνετι κτά 16 cm Σ 11) Αν η πλευρά τετργώνου τριπλσιστεί, τότε το εµβδόν του 9 πλσιάζετι. Σ 1) Ορθογώνιο πρλληλόγρµµο µε διστάσεις κι β, είνι ισοδύνµο µε τετράγωνο που έχει πλευρά ίση µε τη διγώνιο του ορθογωνίου πρλληλογράµµου. Σ 13) Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς, είνι ισοδύνµο µε τετράγωνο πλευράς. Σ 1) Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς, είνι ισοδύνµο µε ρόµβο πλευράς κι οξείς γωνίς 60. Σ 15) Ρόµβος µε διγώνιες δ 1,δ είνι ισοδύνµος µε ορθογώνιο πρλληλόγρµµο µε διστάσεις δ 1,δ. Σ.. 16) Ο λόγος των εµβδών δύο ισόπλευρων τριγώνων είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου των υψών τους Σ.. 17) Τετράγωνο πλευράς είνι ισοδύνµο µε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς ίσης µε τη διγώνιο του τετργώνου Σ.. 57

58 18) Το εµβδόν ενός τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο της διµέσου των µη πράλληλων πλευρών επί 19) Αν το έν ύψος ενός πρλληλογράµµου είνι διπλάσιο πό το άλλο του ύψος, τότε η µί πλευρά που ντιστοιχεί σε υτό είνι. 0) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει (ΑΒΓ)= τ ( τ )( τ β )( τ γ ), όπου τ = 1) Αν δ 1,δ είνι οι διγώνιοι ρόµβου, το εµβδόν του ισούτι µε. ) Έν ορθογώνιο πρλληλόγρµµο ΕΖΗΘ κι έν τρίγωνο ΑΒΓ έχουν ίσ εµβδά κι το ύψος Α του τριγώνου είνι ίσο µε την πλευρά ΕΖ.Από τις πρκάτω σχέσεις σωστή είνι : Α. ΒΓ = ΕΘ Β. Α = ΕΘ Γ. ΕΘ = ΒΓ. ΕΘ = ΑΓ Ε. 3) Ο τύπος εµβδόν : ΒΓ ΗΖ= δ δ Ε= 1 ( δ 1 κι δ οι διγώνιοι ενός τετρπλεύρου) εκφράζει το Α. Ενός τετρπλεύρου µε δυο πό τις πλευρές του ίσες. Β. Ενός τετρπλεύρου µε τις πλευρές του κάθετες νά δύο. Γ. Ενός τετρπλεύρου µε κάθετες διγώνιους.. Ενός ορθογωνίου µε διγώνιες που έχουν σχέση δ 1 = δ. Ε. Ενός ισοσκελούς τρπεζίου. ) Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς γ, το εµβδόν του Ε δίνετι πό των τύπο : Α. 3 γ Β. u γ Γ. 3 γ Ε. γ u. 16 γ 3 5) Η διάµεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύνµ τρίγων : Α. Μόνο ότν το τρίγωνο είνι ισοσκελές. Β. Μόνο ότν το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. Γ. Μόνο ότν το τρίγωνο είνι µβλυγώνιο.. Πάντ. Ε. Μόνο ότν το τρίγωνο είνι ισόπλευρο. 6) ύο τρίγων τ οποί έχουν δύο πλευρές ίσες µί προς µί κι ίσ εµβδά, έχουν ντίστοιχ ίσ: Α.όλ τ ύψη τους Β.όλες τις διµέσους τους Γ.τις διµέσους που ντιστοιχούν στις ίσες πλευρές 58

59 .τ ύψη που ντιστοιχούν στις ίσες πλευρές Ε.τις διχοτόµους που ντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. 7) Το εµβδόν τετργώνου µε διγώνιο δ= γ 8 είνι. 8γ β.γ γ.γ δ.6γ ε.16γ 8) Αν έν τετράπλευρο έχει κάθετες τις διγώνιές του δ 1,δ τότε το εµβδόν του ισούτι µε δ1+ δ δ Α. Β. 1. δ δ Γ. 1. δ.δ 1.δ Ε. δ 1.δ 9) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A =90 ο ) το εµβδόν του δίνετι πό τη σχέση Α. 1 βηµα Β. 1 γβ Γ. 1 γηµα. 1 βγσυνα Ε. 1. βγ 30) Έν τρπέζιο µε βάσεις β 1,β κι ύψος είνι ισοδύνµο µε έν ορθογώνιο του οποίου οι διστάσεις είνι: β1+ β υ β β1+ β Α.β 1 +β κι υ Β. κι Γ. β 1 +υ κι. κι υ β1+ β Ε. υ κι. 31) το εµβδόν τετργώνου µε διγώνιο δ δίνετι πό τον τύπο: δ δ Α. Β. Γ.δ δ. δ Ε. 3) Το ύψος Α ενός τριγώνου ΑΒΓ το χωρίζει σε δύο ισοδύνµ τρίγων ότν: Ο Α. Α= 90 Β. Α= B Γ. Α= B= 60 O. ΒΓ=ΑΓ Ε. ΒΓ=ΑΒ 33) Ο λόγος των περιµέτρων δύο όµοιων πολυγώνων είνι 1/3. Ο λόγος των εµβδών τους είνι: Α. 1/3 Β.1/9 Γ.1/6.1/7 Ε.1/ 3 3) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διάµεσο Β κι έστω Ε το µέσο της Β. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις δεν είνι η σωστή;. (ΑΒΓ)=(ΑΒ ) β.(αβε)=(αβ )/ γ.(α Ε)=(ΑΒΓ)/ δ.(αβε)=(αβγ)/3 ε.(α Ε)=(ΑΒΕ). 35) Σε δύο τρίγων ΑΒΓ κι Α 1Β 1Γ 1, ο τύπος Α. Γ = Γ 1 Β. Β = Β 1 Γ. ( ΑΒΓ) ΑΒ ΑΓ ( Α1Β 1Γ 1) Α1Β 1 Α1Γ 1 = ισχύει ότν: Α = 180 Β 1 Γ1. Α = 90 + A1 Ε. Α = A 1 ή Α + A 1 =

60 36) Ο τύπος Ε τ ( τ - ) ( τ - β) ( τ - γ) = δίνει το εµβδόν ενός τριγώνου µε πλευρές, β, γ, ν : Α. τ = +β + γ Β. = (τ β) Γ. β γ. τ = + + Ε. τ = βηµγ β+ γ = 37) Αν E 1, E τ εµβδά δυο οµοίων πολυγώνων κι λ ο λόγος οµοιότητς τους, τότε ισχύει : Α. λ = E1 E Β. E E 1 λ = Γ. E λ= 1 E E1. λ = Ε. E1 E = λ E 38) Αν ΑΒΓ τρπέζιο κι Σ το σηµείο τοµής των διγωνίων του, τότε ισχύει : Α. ( ΣΑ ) = ( ΣΒΓ) Β. ( ΣΑΒ ) = ( Σ Γ) Γ. ( ΣΒΓ ) = ( ΣΑ ) + ( Σ Γ). ( ΑΒΓ ) = ( Α Γ) Ε. ( ΣΑ ) = ( ΣΒΓ) 39) Το εµβδόν ισόπλευρου τριγώνου είνι 3 cm E=. Η πλευρά του, είνι : Α. 3 cm Β. 8 3 cm Γ. 3 cm 1. cm Ε. cm 3 0) O τύπος που εκφράζει το εµβδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ είνι ο : Α γηµα Β. βσυνγ Γ. βγσυν( 90 A ). Ε τ ( τ+ ) ( τ+ β) ( τ+ γ) = Ε. 1 γσυνβ 1) Αν το εµβδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι Ε = µεγλύτερη γωνί του είνι η. κι είνι ίση µε. ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η γωνί του κι γ είνι. β (όπου κι β πλευρές), τότε η Β είνι 30. Το εµβδόν του, συνρτήσει των πλευρών 60

61 3) Υπολογίστε κι συµπληρώστε στη στήλη Β τ εµβδά των τριγώνων, των οποίων τ στοιχεί βρίσκοντι στη στήλη Α. Στήλη Α Στοιχεί τριγώνου ΑΒΓ Στήλη Β εµβδόν τριγώνου ΑΒΓ =, γ = 3, Β = 60 = 3, β= 3, γ = = β = γ, υ = 5 3 = β = γ = Ε =. Ε =. Ε =. Ε =. ) Οι ισότητες στη στήλη (Α) εκφράζουν εµβδά κι περιέχουν στοιχεί του διπλνού σχήµτος. Οι προτάσεις στη στήλη (Β) προσδιορίζουν τ στοιχεί του διπλνού σχήµτος, όπως υτά χρησιµοποιούντι στις ισότητες της στήλης (Α). Ν ντιστοιχίσετε τις ισότητες της στήλης (Α) µε τις προτάσεις της στήλης (Β). 61

62 5) Υπολογίστε κι συµπληρώστε στη στήλη (Β) τ εµβδά των σχηµάτων που βρίσκοντι στη στήλη (Α). 6) Ν ντιστοιχίσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε το εµβδόν του στη στήλη (Β). 6

63 7) Ν ντιστοιχίσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε το εµβδόν του στη στήλη (Β). 8) Ν ντιστοιχίσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε το εµβδόν του στη στήλη (Β). 63

64 9) Ν ντιστοιχίσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε το εµβδόν του στη στήλη (Β). 50) Ν ντιστοιχίσετε κάθε σχήµ της στήλης (Α) µε το εµβδόν του στη στήλη (Β). 6

65 51) Υπολογίστε κι συµπληρώστε στη στήλη (Β) τ εµβδά των σχηµάτων που βρίσκοντι στη στήλη (Α). ά λ υ τ ε ς σ κ ή σ ε ι ς 1. Ν υπολογιστεί το εµβδόν τρπεζίου ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) στις πρκάτω περιπτώσεις: Α, Β ο ο ) = = 90 = 10 κι ΒΓ=Γ =, β) ΑΒ=, Γ =10 κι Α =ΒΓ=5.. Αν η πλευρά ενός τετργώνου υξηθεί κτά µονάδες το εµβδόν του υξάνετι κτά 136 τετργωνικές µονάδες. Ν βρεθεί το εµβδό του τετργώνου υτού. 3. Ν δείξετε ότι, ν έν τετράγωνο πλευράς κι έν ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς β έχουν την ίδι περίµετρο, τότε το εµβδόν του τετργώνου ισούτι µε 9β. 16. ύο προσκείµενες πλευρές ενός πρλληλογράµµου έχουν µήκη 6 κι κι σχηµτίζουν γωνί 60 ο. Ν υπολογισθούν: ) τ ύψη του, β) το εµβδόν του. 5. Οι διγώνιες ενός ρόµβου είνι 16 cm κι 1 cm. Ν υπολογισθούν: ) το εµβδόν του, β) το µήκος της πλευράς του, γ) η πόστση δύο πένντι πλευρών του. 65

66 6. Θεωρούµε τρεις ίσες διδοχικές γωνίες χοψ ψο z, zοχ, κι επί των πλευρών Οχ,Οψ,Οz τ σηµεί Α,Β,Γ ντίστοιχ τέτοι, ώστε ΟΑ=1, ΟΒ=, ΟΓ=8. είξτε ότι (ΑΒΓ)= Προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ, ντιστοίχως κτά τµήµτ Β = ΒΑ, ΓΕ = ΓΒ κι ΑΖ = ΑΓ. Ν δείξετε ότι : ) ( ΖΓΕ ) = ( ΑΒΓ), ΕΖ = 7 ΑΒΓ. β) ( ) ( ) 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνετι η πλευρά ΑΒ=5, η γωνί του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ Ν βρείτε: ) τις πλευρές ΒΓ κι ΑΓ, β) το εµβδόν Ε του τριγώνου. ο Α 7 3 = 60 κι η κτίν R= 3 9. Ενός κυρτού τετρπλεύρου ΑΒΓ οι διγώνιοι ΑΓ κι Β τέµνοντι στο σηµείο Ρ. Αν τ εµβδά των τριγώνων ΑΒΡ, ΒΓΡ κι Γ Ρ είνι ντίστοιχ 1, 9 κι 15 ν δείξετε ότι το εµβδόν του τριγώνου ΑΡ είνι ίσο µε ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνί Α = 60 κι ΑΒ=6 κι ΑΓ=10. Θεωρούµε εκτός του τριγώνου ΑΒΓ τ τετράγων ΑΓΚ κι ΑΒΝΜ. ) ν βρείτε το εµβδόν του τριγώνου ΑΒΓ, β) ν βρείτε το εµβδόν του εξγώνου ΒΝΜΚΓ, γ) ν βρείτε την κτίν ρ του εγγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΜ. 11. Έν τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές = 17cm, β = 8cm κι γ = 15cm. ) Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο, ΑΒ. β) Αν Α είνι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, ν υπολογίσετε το λόγο ( ) ( ΑΓ ) 1. Στις βάσεις ΑΒ κι Γ ενός τρπεζίου ΑΒΓ θεωρούµε ντίστοιχ τ σηµεί Μ κι Ν. ίνετι ότι τ εµβδά των τριγώνων ΑΝΒ κι ΓΜ είνι 8 κι 1 ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι (ΑΒΓ )= Έστω τρίγωνο ΑΒΓ κι έστω, Ε, Ζ τ µέσ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ κι ΓΑ 1 ΕΖ =. ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι : ) ( ΕΖ ) = ( ΖΓΕ) β) ( ) ( ΑΒΓ) 1. Τρπεζίου ΑΒΓ, οι µη πράλληλες πλευρές Α κι ΒΓ τέµνοντι στο Κ. Ν δείξετε ότι τ τρίγων ΚΑΓ κι ΚΒ είνι ισοδύνµ. 66

67 15. Σ έν πρλληλόγρµµο ΑΒΓ, συνδέουµε την κορυφή Α µε τ µέσ Κ κι 1 των πλευρών Γ κι ΒΓ ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι.( ΑΚΓ ) = ( ΑΒΓ ) 16. Σε τρπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) είνι Α =ΒΓ. Φέρνουµε το ύψος ΑΕ. Ν δειχθεί ότι (ΑΒΓ )=(ΕΑΓ). 17. ίνετι έν πρλληλόγρµµο ΑΒΓ κι έστω Ο σηµείο της διγωνίου του ΑΓ. Ν ποδείξετε ότι τ τρίγων ΟΑΒ κι ΟΑ είνι ισοδύνµ. 18. ίνετι ισοσκελές τρπέζιο ΑΒΓ, µε βάσεις ΑΒ κι Γ κι ύψος ΓΖ. είξτε ότι το εµβδόν του τρπεζίου υτού είνι διπλάσιο του εµβδού του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΖ. 19. Έν τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβδόν 90 cm. Από έν σηµείο Μ του ύψους του Α, που το διιρεί σε δυο τµήµτ ΑΜ, Μ µε λόγο, φέρνουµε πράλληλη προς την ΒΓ που 1 τέµνει τις ΑΒ κι ΑΓ στ σηµεί Ε κι Ζ ντίστοιχ. Ν υπολογιστεί το εµβδόν του τριγώνου ΑΕΖ. 0. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ κι σηµείο της ΑΒ τέτοιο ώστε Α =ΑΒ/3. Φέρνουµε ευθεί Ε//ΒΓ ( Ε σηµείο της ΑΓ).Αν Ζ σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε ΓΖ= ΒΓ 6, ν ποδείξετε ότι (Α Ε)=(ΓΕΖ). 1. Αν η γωνί ενός ρόµβου είνι 60 ο, δείξτε ότι το εµβδόν του είνι ίσο µε το ηµιγινόµενο µις διγωνίου επί την πλευρά του.. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A =90 ο ) πίρνουµε Μ το µέσο της ΑΒ κι Ν σηµείο της ΑΓ ώστε ΓΑ=3ΓΝ. είξτε ότι (ΜΝΒ)= ( ΑΒΓ ) Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε B =60 ο, Γ =5 ο κι ΒΓ=10. Ν βρείτε το εµβδόν του.. Σε πρλληλόγρµµο ΑΒΓ συνδέουµε την κορυφή Α µε τ µέσ Κ κι των πλευρών Γ κι ΒΓ ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι (ΑΚΓ)= ( ABΓ ). 5. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε B =60 ο, Γ =5 ο κι ΒΓ=10. Ν βρείτε το εµβδόν του ορθογώνιο ΑΒΓ µε διστάσεις ΒΓ=3,ΑΒ=. Φέρνουµε την ΟΜ, όπου Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων του κι Μ το µέσο της πλευράς Γ. ) ν υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου ΟΜΒ β) δείξτε ότι τ τρίγων ΟΜΒ κι ΟΜΓ είνι ισοδύνµ γ) δείξτε ότι (ΟΜΒ)=6. 67

68 6. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ µε ΒΓ=6, η διάµεσος ΑΜ είνι κάθετη στην πλευρά ΑΒ κι ίση µε υτή. είξτε ότι (ΑΒΓ)=9/. 7. ίνετι έν τρπέζιο ΑΒΓ που έχει βάσεις ΑΒ=70, Γ =0 κι µη πράλληλες πλευρές ΒΓ=0 κι Α =30. Α) ν ποδειχθεί ότι οι ΒΓ κι Α είνι κάθετες, Β) ν υπολογισθεί το εµβδόν του τρπεζίου ΑΒΓ. [Υπόδ.: υπολογίζουµε τ Ο,ΟΓ µε δεδοµένο ότι τ τρίγων Ο Γ κι ΟΑΒ είνι όµοι β) (ΑΒΓ )=(ΟΑΒ)-(Ο Γ)= ]. ο 8. ίνετι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) µε ΑΒ=6 κι Β AΓ= 10. Α) ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου ΑΒΓ Β) ν Ε σηµείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ν ισχύει ΑΕ= 1 ΕΓ κι Α το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου ΕΓ. 9. ίνετι κύκλος (Ο,R) κι το εγγεγρµµένο τετράγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ κι πάνω στην προέκτση πίρνουµε τµήµ ΒΕ=ΒΑ. Α) ν ποδείξετε ότι ΑΓ=ΓΕ Β) ν ποδείξετε ότι το ευθύγρµµο τµήµ ΕΓ είνι εφπτόµενο του κύκλου στο σηµείο Γ Γ) ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου ΑΓΕ συνρτήσει του R. ο 30. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ = 30 κι =υ ισχύει ότι (ΑΒΓ)=9. Ν υπολογισθούν τ µήκη των πλευρών κι των υψών του. ο 31. Έν τρίγωνο ΑΒΓ έχει γωνί Γ = 60 κι πλευρές β=1cm, =3cm κι είνι ισοδύνµο µε ισόπλευρο τρίγωνο. Ν υπολογισθεί η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου. 3. Ν υπολογίσετε τις πλευρές ενός πρλληλογράµµου ν η περίµετρός του είνι κι το έν ύψος του είνι διπλάσιο πό το άλλο. 33. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι η διάµεσός του Α. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ προς το µέρος του Α κτά τµήµ ΑΕ=ΑΒ. Ν ποδείξετε ότι (Β Ε)=3(Α Γ). 3. Αν το άθροισµ των διγωνίων ρόµβου είνι 1 κι η περίµετρος του 0, ν βρεθούν το εµβδόν του κι το ύψος του πό την κορυφή Α. 68

69 35. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ= 3, B =60 ο, πλευρές του τριγώνου, το εµβδόν του κι τ ύψη του υ β,υ γ. Γ =5 0. Ν υπολογίσετε τις 36.Υπολογίστε τις πλευρές ισοσκελούς τρπεζίου, ν γνωρίζετε ότι η περίµετρος του είνι 60m, το εµβδόν του 160 m κι το ύψος του 8m. 37. Σε τρπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) είνι Α =ΒΓ=Γ κι η βάση ΑΒ είνι κτά µικρότερη πό το άθροισµ των τριών άλλων πλευρών. Αν το ύψος του τρπεζίου είνι 5 ν υπολογίσετε το εµβδόν του. 38. είξτε ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε διµέσους µ,µ β,µ γ κι εµβδόν Ε, ισχύει η σχέση: µ +µ β +µ γ =3Ε ίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ= κι φέρνουµε τη διχοτόµο Γχ της εξωτερικής γωνίς (ΒΜΓ)=(ΑΓΜ)= 3 8. Γ κι την ΑΜ Γχ. Ν υπολογισθεί η ΒΜ κι ν δειχθεί ότι ο 0. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ). Κτσκευάζουµε επί των τριών πλευρών του κι εκτός υτού τετράγων ΒΓ Ε,ΓΑΘΙ,ΑΒΚ. Ν υπολογισθούν συνρτήσει των πλευρών,β,γ του τριγώνου ΑΒΓ ) τ εµβδά (ΚΒΕ),( ΓΙ),(ΑΘ), β) το εµβδόν ( ΕΚΘΙ). 1. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ. Από έν σηµείο Ο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε κάθετες στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ κι πάνω σε υτές πίρνουµε τµήµτ Ο =ΑΒ,ΟΕ=ΒΓ,ΟΖ=ΓΑ ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι: ) ( ΟΕ)=(ΑΒΓ), β) ( ΕΖ)=3(ΑΒΓ).. Θεωρούµε τρπέζιο ΑΒΓ (ΒΓ//Α ) κι έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων του. Ν ποδειχθεί ότι (ΟΓ ) =(ΟΑ )(ΟΒΓ). 3. Αν τ σηµεί Μ κι Ν χωρίζουν τη διγώνιο Β πρλληλογράµµου ΑΒΓ σε τρί ίσ µέρη (Μ =ΜΝ=ΝΒ), ν ποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΜΓΝ είνι πρλληλόγρµµο µε εµβδόν το 1/3 του εµβδού του ΑΒΓ.. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι Ε το µέσο της πλευράς ΑΒ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ προς το µέρος του Β κτά ευθύγρµµο τµήµ Β =ΒΓ/ κι φέρνουµε την Α. 69

70 1 ) ν ποδείξετε ότι ( ΕΒ ) = ( Α Β), ( ΕΒ) ( ΑΒΓ ) β) ν βρείτε τους λόγους,, ( ΑΒΓ) ( Α Γ) γ) ν ΑΜ είνι η διάµεσος του τριγώνου ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι (Β Ε)=(ΑΜΕ). 5. ίνετι το πρλληλόγρµµο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = 1m, ΒΓ = 10m, διγώνιο ΑΓ = 1m κι εµβδόν 8 6 m. Στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ, Γ κι Α θεωρούµε σηµεί Ε, Ζ, Η κι Θ ντίστοιχ έτσι ώστε ΑΕ = m, ΒΖ = ΓΗ = m κι Θ = m ) Ν υπολογίσετε το (Α Β), (ΑΕΘ), (ΓΖΗ) κι (ΕΒΖΗ Θ), β) Ν ποδείξετε ότι ( BEZ ) 1 =, ( ΑΘΕ) γ) Ν υπολογίσετε τ ύψη του πρλληλογράµµου, δ) Ν ποδείξετε ότι B = 73 m. 6. Αν Ε είνι το εµβδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ κι ισχύει η σχέση Ε = 3( β + γ ), ν δείξετε ότι ο Α = Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά = κι µε εµβδόν Ε, ώστε ν ισχύει η σχέση Ε=β +γ -. ) ν βρείτε τη γωνί Α, β) ν υπολογίσετε την κτίν R του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. 8. Ν δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές,β,γ ισχύει η σχέση βγ R ρ =, όπου R,ρ οι κτίνες του περιγεγρµµένου κι του εγγεγρµµένου ( + β + γ ) κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. 9. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε β + γ =. Αν η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγρµµένο κύκλο στο δείξτε ότι Μ = a 3 6 κι ότι (ΑΒΓ) = 3(Β Γ). 50. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε Α = 15 ο. Mε διάµετρο τη ΒΓ γράφουµε κύκλο που τέµνει τις πλευρές του ΑΒ στο κι ΑΓ στο Ε. Ν βρεθεί ο λόγος ( A Ε ) ΑΒΓ ( ) 51. Έν τρίγωνο ΑΒΓ µε = 6λ, β = 5λ κι γ = λ έχει περίµετρο 60 (λ>0). ) Ν ποδειχθεί ότι Α < 90 o β) Αν Α είνι η προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ ν υπολογιστεί το Α 70

71 γ) Ν βρεθεί το εµβδόν του ΑΒΓ δ) Ν ποδειχθεί ότι ( ABΓ ) 10 = ( ΒΓ ) 9 ε) Ν υπολογιστεί η κτίν R του περιγεγρµµένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ. 5. Ν δείξετε ότι ν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε εµβδόν Ε κι µε ηµιπερίµετρο τ ισχύει η σχέση τ(τ-)(τ-β)(τ-γ)=(βγ), τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο. 53. Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς 1. Αν A =θ, ν δειχθεί ότι (ΑΒΓ)=(1+συνθ)ηµθ. Ε 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει + β=γ, ν ποδείξετε ότι β=6rρ= κι ηµ Γ =, µε R, ρ τις κτίνες του περιγεγρµµένου κι του εγγεγρµµένου κύκλου υ υ υ β γ του τριγώνου. βγ 55. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές β=1+, γ= κι εµβδόν Ε=. Αποδείξτε ότι = τριγώνου ΑΒΓ. 3 κι ν βρείτε την κτίν R του περιγεγρµµένου κύκλου του 71

72 11o ΚΕΦΑΑΙΟ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Η γωνί ενός κνονικού ν-γωνου δίνετι πό τη σχέση 360 φˆ ν =180 - ν πόδειξη Το άθροισµ των γωνιών ενός ν-γωνου είνι ν- ορθές Κάθε γωνί λοιπόν είνι ίση µε 1/ν(ν-)=(- ) ν ορθές. Άρ φˆ ν =(- ) ν 90 = // ν υο κνονικά πολύγων µε τον ίδιο ριθµό πλευρών είνι όµοι. πόδειξη Αν λ ν, λ ν είνι οι πλευρές κι φˆ ν, φˆ ν οι γωνίες των δύο 360 πολυγώνων τότε φˆ ν =180 - = φˆ ν κι ο λόγος δύο πλευρών ν είνι ίσος µε το στθερό λόγο λν λν πλευρές τους νάλογες άρ είνι όµοι.// λ () ν + Εποµένως έχουν τις ντίστοιχεςγωνίες τους ίσες κι τις Σε κάθε κνονικό ν-γωνο εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R ισχύουν : ν = R (β) πόδειξη 1 P ν = νλν (γ) Εν = Ρνν () Από το ορθογώνιο ΟΓΚ έχουµε λ δηλδή ν + ν = R ΓΚ +ΟΚ =ΟΓ (β) Η περίµετρος του κνονικού ν-γώνου είνι P ν = λ ν λν = νλ ν Ο (γ) Το κνονικό ν-γωνο χωρίζετι σε ν ίσ ισοσκελή Γ Κ τρίγων Άρ Ε ν = ν (ΟΓ ) = ν( λνν ) = νλνν = Ρ ν ν // 7

73 Εγγρφή κνονικών πολυγώνων σε κύκλο ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Γι ν εγγράψουµε έν τετράγωνο σε κύκλο κέντρου Ο κτίνς R φέρνουµε δύο κάθετες διµέτρους ΑΓ κι Β Το τετράπλευρο ΑΒΓ είνι τότε έν τετράγωνο. Η πλευρά κι το πόστηµ του δίνοντι πό τους τύπους R λ λ = R κι = R ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΓΩΝΟ Έστω ΑΒΓ ΕΖ κνονικό εξάγωνο εγγεγρµµένο 360 στον κύκλο ( Ο, R ). Τότε η ˆ ω ν = = 60.Άρ 6 Α Β το τρίγωνο ΑΟΒ είνι ισόπλευρο εποµένως λ 6 = R Οπότε ορίζουµε στον κύκλο ( Ο, R ) έξι διδοχικά τόξ Ο κάθε έν πό τ οποί έχει χορδή ίση µε R. 6 λ 6 Η πλευρά κι το πόστηµ του δίνοντι πό τους τύπους λ 6 = R κι 6 = R 3 ΙΣΟΠΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ Χωρίζουµε πρώτ τον κύκλο σε έξι ίσ τόξ κι έπειτ ενώνουµε τις κορυφές νά δύο. Η πλευρά κι το πόστηµ του δίνοντι πό τους τύπους R λ 3 = R 3 κι 3 = Μήκος κύκλου κι τόξων Το µήκος ενός κύκλου κτίνς R είνι L = πr µ Το µήκος ενός τόξου που έχει µέτρο µ είνι S = πr 180 Αν είνι το µέτρο του τόξου σε κτίνι κι µ το µέτρο του σε µοίρες τότε ισχύει µ. µ = π 180 Α Ο Β 73

74 Εµβδόν κυκλικού δίσκου τοµέ τµήµτος Το εµβδόν ενός κυκλικού δίσκου κτίνς R είνι Ε = πr Το εµβδόν κυκλικού τοµέ µε τόξο µ ενός κυκλικού δίσκου ( Ο, R ) είνι Ε τ = πr µ 360 Ότν το τόξο του κυκλικού τοµέ έχει µέτρο κτίνι τότε Ε τ = 1 R µ. Ο To εµβδόν του κυκλικού τµήµτος ΑΡΒ στο διπλνό σχήµ Α Β υπολογίζετι ν πό το εµβδόν του κυκλικού τοµέ ΟΑΡΒΟ Ρ φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου ΟΑΒ. ΠΡΟΣΟΧΗ! Γι έν τόξο ενός κύκλου, άλλο είνι το µήκος του τόξου κι άλλο το µέτρο υτού. Πρόκειτι δηλδή γι δύο διφορετικά µεγέθη! Μονάδες µέτρησης του µήκους ενός τόξου είνι το εκτοστό, το δεκτόµετρο, ενώ µονάδες µέτρησης του µέτρου ενός τόξου είνι οι µοίρες κι το rad! λ υ µ έ ν ε ς σ κ ή σ ε ι ς... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Ν υπολογίσετε το εµβδόν των κυκλικών τµηµάτων στ οποί χωρίζετι ένς κύκλος κτίνς R πό µί χορδή του ΑΒ=R. ΥΣΗ Το εµβδόν Ε 1 του γρµµοσκισµένου κυκλικού τµήµτος δίνετι πό τον τύπο: π R 60 R 3 π R R 3 Ε 1 = ( ΟΑΒ) ( ΟΑΒ ) = = τετργ. µονάδες. Το εµβδόν Ε του µεγάλου κυκλικού τµήµτος δίνετι πό τον τύπο: Ε =εµβ.κύκλου-ε 1 =πr π R R 3 5π R R 3 -[ ] = + τετργ. µονάδες

75 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούµε µι χορδή ΑΒ=R. Στην προέκτσή της πίρνουµε τµήµ ΒΓ=ΑΒ κι πό το Γ φέρνουµε την εφπτοµένη Γ στον κύκλο. Ν δείξετε ότι Γ =λ κι ΟΓ=λ 3, όπου λ, λ 3 είνι πλευρές τετργώνου κι ισόπλευρου τριγώνου ντίστοιχ κτίνς R. ΥΣΗ Από το θεώρηµ της δύνµης σηµείου ως προς κύκλο πίρνουµε ότι ΓΑ.ΓΒ=ΟΓ -R.R.R= ΟΓ -R OΓ =3R OΓ= R 3 = λ3. Από το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Ο Γ έχουµε: ΟΓ -R =Γ (R 3 ) -R =Γ Γ =R =λ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Έστω χορδή ΑΒ=R κάθετη στη διάµετρο Γ κύκλου µε κέντρο Ο κι κτίν R. Ν υπολογίσετε Α) το εµβδόν του τετρπλεύρου ΑΟΒΓ Β) το εµβδόν του κυκλικού τοµέ ( ΟΑΓΒ ) Γ) το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό το τόξο κι τις χορδές ΑΓ κι ΓΒ. ΥΣΗ ΑΓΒ 1 1 R Α) έχουµε ΑΒ ΟΓ οπότε (ΑΟΒΓ)=. ΑΒΟΓ=.. R.. R= τετργ. µονάδες. Ο Β) 90 ΑΟΒ= γιτί ΑΒ= R λ Γ) Έστω Ε 1 κι Ε τ ζητούµεν εµβδά. =. Άρ ( ΟΑΓΒ ) = ο π. R.90 π R = τετργ. µονάδες. ο 360 π R Ε 1 +Ε = ( ΟΑΓΒ) - (ΑΟΒΓ)= ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ R R π = ( ) τετργ. µονάδες. ίνετι κύκλος διµέτρου ΑΒ=ρ κι έν σηµείο Γ υτής τέτοιο, ώστε ΒΓ=ΑΓ. Με διµέτρους τ ΑΓ κι ΒΓ Γράφουµε ηµικύκλι εκτέρωθεν της ΑΒ. Ν βρεθεί ο λόγος των εµβδών των δύο χωρίων που ορίζοντι πό τον κύκλο (Ο,ρ) κι τ δύο ηµικύκλι. 75

76 ΥΣΗ ΑΓ= 1 1 ΓΒ= 3 ΑΒ= 3 ρ κι ΓΒ=. 3 ρ 1 1 ΑΓ 1 ΓΒ Ε 1 =Ε ηµικυκλίου ΑΒ - Ε ηµικυκλίου ΑΓ - Ε ηµικυκλίου ΓΒ = πρ π + π = πρ. 3 1 E1 Άρ Ε = E κ ύ κλου Ε 1= πρ πρ = πρ. Τελικά. 3 3 E = 1 = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R). Αν το εµβδόν του µη κοινού µέρους του κύκλου (Ο,R) κι του τριγώνου ΑΒΓ είνι Ε=π-3 3 τετργ. µονάδες, ν ποδείξετε ότι = ΥΣΗ Είνι =λ 3 = R 3 κι R=. 3. Το γρµµοσκισµένο εµβδόν Ε του σχήµτος είνι Ε=Ε κύκλου -(ΑΒΓ)=π R a = π R R = π R. Επίσης πό την υπόθεση ισχύει ότι Ε=π-3 3, οπότε π 3 3 R = π-3 3 => R= κι άρ = 3. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 ίνετι πεντάγωνο ΑΒΓ Ε εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R) µε ΑΒ=R, ΒΓ= R 3, Γ = Ε=R. Ν βρεθεί το εµβδόν του πεντγώνου. ΥΣΗ Ο Έχουµε: ΑΒ=R =λ Ο 1= ω = 90. Ο ΒΓ= R 3 =λ 3 Ο = ω3 = 10. Ο Γ = Ε=R= λ 6 Ο 3 = O = 6 = 60. ω ο ο Επίσης, Ο 5 = 360 Ο1 Ο Ο3 Ο = 30. Υπολογίζουµε τ εµβδά των τριγώνων ΑΟΒ,ΒΟΓ,ΓΟ, ΟΕ κι ΕΟΑ µε τη βοήθει του τύπου Ε= 1... R β R ηµω ν. Το ζητούµενο εµβδόν του ΑΒΓ Ε θ είνι το άθροισµ των εµβδών υτών των τριγώνων. Έχουµε λοιπόν, 1 R ο ( ΑΟΒ ) = Rηµ 90 =, 1 ο R 3 ( ΒΟΓ ) = Rηµ 10 =, 76

77 (ΓΟ )=( ΟΕ)= 1 ο R 3 Rηµ 60 =, (ΕΟΑ)= 1 ο R Rηµ 30 =. Τελικά προκύπτει ότι, (ΑΒΓ Ε)= (ΑΟΒ)+(ΒΟΓ)+(ΓΟ )+( ΟΕ)+(ΕΟΑ)= R R R 3 + R 3(1+ 3) R = τετργ. µονάδες. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές =, β= 3 κι γ=1. Ο εγγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου εφάπτετι στις πλευρές ΑΒ κι ΒΓ, στ σηµεί κι Ε ντίστοιχ. ) Ν βρεθεί το είδος του τριγώνου κι η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου του β) Ν βρεθεί η περίµετρος κι το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου Β Ε. ΥΣΗ ) Είνι = κι β +γ =, άρ το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ορθή τη γωνί Α. (λόγω του ντίστροφου του Πυθγορείου θεωρήµτος) ΒΓ Επειδή τώρ ΑΒ=, έπετι ότι 30 Ο 60 Ο Γ= Β=. Το εµβδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είνι (ΑΒΓ)= 1. ΑΒΑΓ= = 3 τετργ. µονάδες. Όµως πό τη γενική θεωρί ισχύει ο 3 ( ΑΒΓ) τύπος: (ΑΒΓ)=τ.ρ ρ= = = =. τ Ο β) Φέρνουµε την ΒΟ. Ισχύει ΒΕ=Β (ως εφπτόµεν τµήµτ) κι Β 1=Β = 30. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΕ έχω: εφ30 ο ΟΕ 3 ρ 3ρ = = ΒΕ= = ΒΕ 3 ΒΕ 3 Ο Ο Ο Επίσης, Β= 60 κι =Ε= 90. Άρ ΟΕ= 10. Έτσι η περίµετρος του µικτόγρµµου τριγώνου Β Ε είνι: ο π. ρ.10 L= l + ΒΕ= + ρ 3. Το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου Β Ε είνι: ο Ε 180 ο 1 πρ 10 πρ ε=(οβε)- ( Ο Ε ) =.. ΒΕΟΕ. = ρ. 3. ρ τετργ. µονάδες. ο ρ 77

78 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 ύο κύκλοι µε κτίνες R,3R εφάπτοντι εξωτερικά στο σηµείο Α. Αν ΒΓ είνι µι κοινή εξωτερική εφπτοµένη των δύο κύκλων, ν υπολογίσετε την περίµετρο του κµπυλόγρµµου τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση της κτίνς R. ΥΣΗ Φέρνουµε την Ο κάθετη στην ΓΟ. Τότε το τετράπλευρο ΒΓ Ο 1 είνι ορθογώνιο, διότι έχει τρεις ορθές γωνίες. Άρ ΒΓ=Ο 1, Γ = 3R- R =R. Από το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Ο 1 Ο πίρνουµε: Ο = ΟΟ Ο = = 1 1 ( R) ( R) R 3. Άρ ΒΓ= R 3. Ο 1 Επίσης, Ο1Ο = 30, διότι το τρίγωνο Ο 1 Ο είνι ορθογώνιο κι Ο = 1. O O Άρ AB= 90 O + 30 O = 10 O, AΓ= 60 O. Έτσι, Η ζητούµενη περίµετρος είνι L= l ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 ΑΒ π. R.10. π. R π.3 R.60 l = =, l = = π R. ΑΒ ΑΓ l +ΒΓ=. π. R + π R+ R 3.. ΑΓ 3 Ο Ο ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90 µε ΒΓ= κι Γ= 60. Με κέντρο το Α κι κτίν το ΑΓ γράφουµε κύκλο που τέµνει την ΒΓ στο κι την ΑΒ στο Ε. Ν υπολογισθεί το εµβδόν κι η περίµετρος του µικτόγρµµου τριγώνου Β Ε. A ΥΣΗ Ο Αφού Γ= 60 => B Ο BΓ = 30 άρ ΑΓ= = (διότι σε ορθογώνιο τρίγωνο πένντι πό γωνί 30 ο βρίσκετι πλευρά ίση µε το µισό της υποτείνουσς). Ο Ο Το τρίγωνο Α Γ είνι ισοσκελές άρ 1= 60, Β Α= 10 κι Γ =. Το ζητούµενο A εµβδόν ε ισούτι µε τη διφορά των εµβδών του τριγώνου ΑΒ κι του κυκλικού τοµέ Α Ε, δηλδή ε= (ΑΒ )- Α Ε = ο ο π π B A ηµ = τετρ. ο µονάδες. 78

79 Από το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: ΑΒ =ΒΓ -ΑΓ =1 => ΑΒ= 3 κι ΒΕ=ΑΒ-ΑΕ= 3 -. Η ζητούµενη περίµετρος είνι Β +ΒΕ+ l = +( 3 -)+ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 10 Ε π..30 ο 180 ο π = Έστω κνονικό πολύγωνο εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,6) µε επίκεντρη γωνί ω ν µβλεί. Α) ν βρείτε το πλήθος των πλευρών του ν-γώνου Β) ν βρείτε την πλευρά λ ν κι το πόστηµ ν του ν-γώνου Γ) ν βρείτε το εµβδόν του εγγεγρµµένου κύκλου στο κυκλικό τµήµ που περιέχετι µετξύ µις πλευράς του ν-γώνου κι του ντίστοιχου κυρτογώνιου τόξου. ΥΣΗ Α) Έχουµε ω ν >90 ο 360 > 90 ν <, άρ ν=3. ν Β) Το κνονικό πολύγωνο είνι ισόπλευρο τρίγωνο συνεπώς R λ 3 =R 3 δηλδή λ 3 =6 3, 3 = = 3. Γ) Η κτίν του ζητούµενου κύκλου είνι χ=κμ=κρ. Όµως ΟΡ=ΟΜ+ΜΡ => R= 3 +χ => 6=3+χ => χ= 3. Έστω ε το εµβδόν του κύκλου (Κ,χ). Θ έχουµε ε=πχ 3 9π =π. = τετργ. µονάδες. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 11 Ο ίνετι ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90 κι ΑΓ=ΑΒ=8. Με κέντρο το Α κι κτίν ίση µε τη διάµεσο ΑΜ γράφουµε κύκλο που τέµνει την ΑΒ στο κι την ΑΓ στο Ε. Ν υπολογισθεί το άθροισµ των εµβδών των µικτόγρµµων τριγώνων Β Μ κι ΓΜΕ. A ΥΣΗ Είνι ΒΓ =ΑΒ +ΑΓ => ΒΓ=8. ΒΓ 8 Όµως ΑΜ= = =. Το ζητούµενο άθροισµ ισούτι µε τη διφορά των 79

80 εµβδών του τοµέ Α Ε πό το τρίγωνο ΑΒΓ. Ο 1 π. ΑΜ.90 Έτσι, Ε=(ΑΒΓ)- ( Α Ε )=. ΑΒ. AΓ = 3 8π τετργ. µονάδες. Ο 360 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ίνετι κύκλος (Ο,ρ) κι οι εφπτόµενές του ΑΒ κι ΑΓ πό σηµείο Α τέτοιο ώστε ΟΑ=ρ. Ν βρεθεί το εµβδόν του κοινού τµήµτος των κυκλικών δίσκων (Ο,ρ) κι (Α,ΑΒ). ΥΣΗ Το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ορθογώνιο κι OA ο ο ΟΒ= A1 = 30, Ο 1= 60 κι ΑΒ=ρ 3. Το ζητούµενο εµβδόν είνι το άθροισµ των εµβδών των γρµµοσκισµένων χωρίων, δηλδή Ε=Ε 1 +Ε = ( ΒΓ) ( ΟΒΓ ) + ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ ) = O ο = ( ) ο ο ο 5π πρ ρ ηµ 10 π ρ 3 3ρ ηµ 60 + = 3 ρ ο ο τετργ. µονάδες. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 13 Ο Ο ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α= 90, Β= 60 κι ΒΓ=cm. Με κέντρο Β κι κτίν ΑΒ γράφουµε τόξο που τέµνει τη ΒΓ στο σηµείο Μ. Με κέντρο Γ κι κτίν ΓΜ γράφουµε τόξο που τέµνει τη ΑΓ στο σηµείο Ν. Ν υπολογισθεί η περίµετρος κι το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου που σχηµτίζετι πό το τµήµ ΑΝ κι τ τόξ AM, MN. ΥΣΗ Ο ο ΒΓ=, ΑΒ= κι ΑΓ= 3.( Β= 60 Γ= 30 ΑΒ= = ) l AM o o 60 π 30 π = π.. =, l.. o = π = κι ΑΝ= 3. o ΝM Η περίµετρος του µικτόγρµµου τριγώνου είνι L= π π = π + ( 3 1), ενώ το εµβδόν του είνι 3 3 π π Ε=(ΑΒΓ)- ( ΒΑΜ) ( ΓΜΝ ) = 3 = 3 π τετργ. µονάδες

81 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ίνετι τετρτοκύκλιο ΟΑΒ κτίνς R. Με κέντρο το Α κι κτίν R γράφουµε τόξο που τέµνει το τόξο ΑΒ στο Γ. Ν βρεθεί η περίµετρος κι το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου ΟΒΓ. ΥΣΗ Το µικτόγρµµο τρίγωνο ΟΒΓ ποτελείτι πό την κτίν ΟΒ=R, το τόξο ΒΓ που νήκει στο τετρτοκύκλιο κι το τόξο ΟΓ που νήκει στον κύκλο (Α,R). Άρ η περίµετρος του µικτόγρµµου τριγώνου ΟΒΓ είνι L= l + l +ΟΒ. Γι ν βρω τ µέτρ των τόξων ΒΓ ΟΓ κι ΟΓ φέρνω τ ευθύγρµµ τµήµτ ΟΓ κι ΑΓ, που είνι ίσ µε R. Τότε το τρίγωνο ΒΓ ΟΑΓ είνι ισόπλευρο άρ 0 Ο 1=Α 1= 60 κι 0 Ο = 30. Οπότε, ο ο π. R.60 π. R.30 π R ( π + ) R l + l +ΟΒ= + + R= R+ =. ο ο ΟΓ ΒΓ Το ζητούµενο εµβδόν ε είνι: E= ( ΟΒΓ) E κυκλικού τµήµτος ΟΓ o o o π = R π [( ) ( )] R π ΑΟΓ ΑΟΓ = [ R ΟΑΟΓ.. ηµ 60 ο ] = o o o π R π 3 (3 3 ) [ R R ] R π = = τετργ. µονάδες ε ρ ω τ ή σ ε ι ς 1) ύο κνονικά οκτάγων είνι όµοι Σ ) ύο κνονικά πολύγων, µε τον ίδιο ριθµό πλευρών, είνι όµοι Σ 3) Έν κυρτό πολύγωνο, που έχει όλες τις πλευρές του ίσες, είνι κνονικό. Σ ) Η γωνί ενός κνονικού ν γωνου κι η κεντρική του γωνί, είνι συµπληρωµτικές. Σ 5) ύο κυκλικοί τοµείς του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων που ντιστοιχούν σε ίσ τόξ, έχουν ίσ εµβδά Σ 6) Ο λόγος των µηκών δύο κύκλων, είνι ίσος µε τον λόγο των κτινών τους Σ 81

82 7) Η κεντρική γωνί ενός κνονικού ν γωνου δίνετι πό τον τύπο ω ν 360 = ν Σ 8) Ο περιγεγρµµένος κι εγγεγρµµένος κύκλος κάθε κνονικού πολυγώνου, είνι οµόκεντροι κύκλοι. Σ 9) Η πλευρά ενός τετργώνου εγγεγρµµένου σε κύκλου, ισούτι µε την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου. Σ 10) Σε δύο όµοι κνονικά πολύγων, ο λόγος οµοιότητς τους ισούτι µε το τετράγωνο του λόγου των κτινών τους. Σ 11) ύο κυκλικοί τοµείς του ίδιου κύκλου, έχουν ίσ εµβδά Σ 1) Ο λόγος του µήκους κύκλου προς το µήκος της διµέτρου του ισούτι µε π Σ 13) Έν περιγεγρµµένο σε κύκλο πολύγωνο, µε όλες τις πλευρές του ίσες, είνι κνονικό Σ 1) Το πόστηµ ενός ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο, ισούτι µε το µισό της κτίνς του περιγεγρµµένου κύκλου Σ 15) Έν κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες είνι κνονικό Σ.. 16) Η γωνί ενός κνονικού ν-γώνου κι η κεντρική του γωνί είνι ίσες µετξύ τους Σ. 17) Ο λόγος των εµβδών δύο κύκλων είνι ίσος µε το λόγο των κτίνων τους Σ. 18) Το πόστηµ ενός κνονικού εξγώνου εγγεγρµµένο σε κύκλο ισούτι µε την πλευρά του εξγώνου Σ. 19) Ακτίν ενός κνονικού πολυγώνου λέγετι κάθε κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου του Σ. 0) ύο κυκλικοί τοµείς του ίδιου κύκλου έχουν ίσ εµβδά. Σ. 1) Ο τύπος ν =R -λ ν συνδέει την πλευρά λ ν, το πόστηµ ν κι την κτίν R του περιγεγρµµένου κύκλου κνονικού ν-γώνου. Σ.. 8

83 ) Ο λόγος του µήκους κύκλου προς το µήκος της διµέτρου του ισούτι µε π. Σ.. 3) Το µήκος κύκλου κτίνς 1 είνι π. Σ.. ) Εάν το πόστηµ κνονικού πολυγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, είνι R, η πλευρά του είνι : Α. R Β. R Γ. R. R Ε. R 5) Εάν η πλευρά κνονικού πολυγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, είνι R 3, το πόστηµ του είνι : Α. R Β. R 3 Γ. R. R 3 Ε. 3R 6) Εάν το πόστηµ κνονικού πολυγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, είνι R 3, η πλευρά του είνι: Α. R R Β. R Γ. R. R Ε. 7) Το κνονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνί είνι ορθή, είνι : Α. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. κνονικό πεντάγωνο. κνονικό εξάγωνο Ε. κνονικό δεκάγωνο 8) Εάν η κεντρική γωνί κνονικού πολυγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, Α. R είνι 60, τότε η πλευρά του (συνρτήσει του R ) είνι : Β. R 3 Γ. R. R Ε. R 9) Αν φ ν είνι µι πό τις ίσες γωνίες ενός κνονικού ν γώνου, τότε η φ ν ισούτι µε Α Β. 180 Γ ν ν ν ν 360 Ε. ν 30) Αν Ρ ν είνι η περίµετρος ενός κνονικού ν γώνου, τότε το εµβδόν του Ε είνι 1 Α. λ 1 ν ν Β. ν Ρ 1 ν Γ. ν Ρ λ 1 ν. Ρ λ ν ν 1 Ε. νρ λ ν ν 83

84 31) Η πλευρά λ 6 κνονικού εξγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, είνι : Α. R 3 R Β. R Γ. R. Ε. 3 R 3) Η πλευρά λ τετργώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, είνι : Α. R Β. R Γ. R. R Ε. R 3 33) Η πλευρά λ 3 ισοπλεύρου τριγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R, είνι : Α. R 3 1 Β. R Γ. R 3. R Ε. R ) Το εµβδόν κυκλικού δίσκου (Ο,R) είνι.πr β.πr γ.π R δ.π ε.π. 35) Η κεντρική γωνί ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο είνι.30 ο β.5 ο γ.60 ο δ.90 ο ε.10 ο 36) Το πόστηµ 3 ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R είνι. 1 3 R β R γ. R δ. R 3 ε. 1 3 R. 37) Το πόστηµ τετργώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο κτίνς R είνι. 1 R β. 1 3 R γ. R δ. R 3 ε. 1 R 38) Αν έν κνονικό πολύγωνο είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R) κι το πόστηµά του ν ισούτι µε R, τότε το πολύγωνο είνι Α.Ισόπλευρο τρίγωνο Β.Τετράγωνο Γ.Κνονικό εξάγωνο.κνονικό οκτάγωνο Ε.Κνονικό δεκάγωνο. 8

85 39) Το κνονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνί είνι µβλεί, είνι: Α.Ισόπλευρο τρίγωνο Β.Τετράγωνο Γ.Κνονικό πεντάγωνο.κνονικό εξάγωνο Ε.Κνονικό οκτάγωνο. 0) Το κνονικό πολύγωνο, του οποίου η πλευρά λ ν ισούτι µε την κτίν R του περιγεγρµµένου κύκλου, είνι : Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνο. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο 1) Το κνονικό πολύγωνο, του οποίου το πόστηµ ν ισούτι µε το µισό της πλευράς λ ν, είνι : Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνο. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο ) Το µήκος S τόξου µ µοιρών, που νήκει σε κύκλο κτίνς R, είνι : Α. π µ R 180 Β. πr µ πrµ Γ πrµ. 180 Ε. πr µ 360 3) Η κεντρική γωνί κνονικού εξγώνου, εγγεγρµµένου σε κύκλο, είνι : Α. 30 Β. 5 Γ Ε. 10 ) Η γωνί κνονικού πεντγώνου, είνι : Α. 30 Β. 5 Γ Ε. 10 5) Το κνονικό πολύγωνο, µε γωνί 108, είνι : Α. τετράγωνο Β. πεντάγωνο Γ. εξάγωνο. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο 6) Το κνονικό πολύγωνο εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R, µε κεντρική γωνί είνι : Α. εξάγωνο Β. οκτάγωνο Γ. δεκάγωνο. δωδεκάγωνο Ε. 15γωνο 85

86 7) Το εµβδόν Ε µ ενός κυκλικού τοµέ µ µοιρών, είνι : πrµ Α. 180 Β. πr µ πr µ πrµ Γ Ε. πrµ ) Το άθροισµ των εµβδών των τεσσάρων µηνίσκων του σχήµτος είνι ίσο µε:.r β. R γ. R δ. πr ε. (π-1) R 9) υο πολύγων είνι όµοι, ότν : Α. Έχουν το ίδιο ριθµό πλευρών Β. Είνι εγγεγρµµέν στον ίδιο κύκλο Γ. Είνι κνονικά κι έχουν τον ίδιο ριθµό πλευρών. Είνι περιγεγρµµέν σε οµόκεντρους κύκλους Ε. Έχουν τον ίδιο ριθµό γωνιών. 50) Εάν το πόστηµ ν ενός κνονικού πολυγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο (Ο,R) ισούτι µε R, τότε η πλευρά λν ισούτι µε..κι το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είνι.. 51) Εάν το πόστηµ ν ενός κνονικού πολυγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο (Ο,R) R 3 ισούτι µε, τότε η πλευρά λ ν ισούτι µε..κι το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είνι.. 5) Εάν το πόστηµ ν ενός κνονικού πολυγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο (Ο,R) R ισούτι µε, τότε η πλευρά λ ν ισούτι µε..κι το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είνι.. 53) Εάν η πλευρά λ ν ενός κνονικού πολυγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο (Ο,R) ισούτι µε R, τότε το πόστηµ ν ισούτι µε..κι το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είνι.. 5) Ν ντιστοιχίσετε κάθε έν κνονικό πολύγωνο της στήλης Α µε το εµβδόν του Ε στη στήλη Β. 86

87 Στήλη Α κνονικά πολύγων εγγεγρµµέν σε κύκλο κτίνς R Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. εξάγωνο Στήλη Β Εµβδά κνονικών πολυγώνων, συνρτήσει του R 1. R 3R R 3. R 5. 3R 3 55) Ν συµπληρωθεί ο πίνκς : Ακτίν R κύκλου Μήκος L κύκλου Εµβδόν Ε κύκλου 30π 3 0π 3 15π 7π 56) Ν συµπληρωθεί ο πίνκς : Ακτίν R κύκλου Γωνί µ µοιρών κυκλικού τοµέ Μήκος τόξου S Εµβδόν Ε κυκλικού τοµέ 8 16π 3 9 9π π

88 57) Ν συµπληρωθεί ο πίνκς 58) Ν συµπληρωθεί ο πίνκς 59) Ν συµπληρωθεί ο πίνκς 60) Ν συµπληρωθεί ο πίνκς 88

89 61) Ν ντιστοιχίσετε κάθε πλευρά κνονικού πολυγώνου της στήλης Α µε το ντίστοιχο πόστηµά του της στήλης Β. 6) Ν κάνετε την πρκάτω ντιστοιχί κάθε στοιχείου της στήλης Α µε το ντίστοιχο της στήλης Β 63) Ν κάνετε την πρκάτω ντιστοιχί κάθε στοιχείου της στήλης Α µε το ντίστοιχο της στήλης Β 89

90 6) Στη στήλη Α νγράφετι το µέτρο µ µοιρών τόξου κι η κτίν του κύκλου του R. Στη στήλη Β νγράφετι το µήκος του S. Ν κάνετε την ντιστοιχί ά λ υ τ ε ς σ κ ή σ ε ι ς 1. Σε κάθε κνονικό ν-γωνο ν δειχτεί ότι κάθε µι πό τις εξωτερικές του γωνίες είνι ίση µε την κεντρική γωνί του.. Ν βρεθεί το εµβδό ενός κύκλου ν το µήκος του είνι 8π. 3. Ν υπολογισθεί το µήκος του εγγεγρµµένου κι του περιγεγρµµένου κύκλου ) ορθογωνίου τριγώνου µε κάθετες πλευρές 3cm κι cm, β) ισόπλευρου τριγώνου πλευράς.. Σε κύκλο µε κτίν R = 3 cm, είνι περιγεγρµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Ν υπολογίσετε :) Την πλευρά του β) Το εµβδόν του. 5. Υπάρχει κνονικό πολύγωνο εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R, του οποίου η κεντρική γωνί είνι 16 ; ικιολογήστε την πάντηση σς. 6. Τετράγωνο ΑΒΓ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R) κι η ηµιπερίµετρος του είνι 80 cm. Ν υπολογιστούν : ) Η κτίν R του κύκλου β) Ο λόγος λ = εµβδόν τετργώνου. εµβδόν κύκλου 7. Τετράγωνο ΑΒΓ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R). Γνωρίζοντς ότι ΑΓ ΑΒ = 1 cm, ν υπολογιστούν :) Η κτίν του κύκλου β) Το εµβδόν του κύκλου. 8. Κνονικού πολυγώνου, η κτίν R είνι 8 cm κι το πόστηµ του είνι 3. Ν υπολογιστούν : ) Η πλευρά του λ β) Η κεντρική του γωνί σε µοίρες γ) Το πλήθος ν των πλευρών του. 90

91 9. ίνετι ορθογώνιο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ= κι ΒΓ=. Με κέντρ τις κορυφές Α κι Β γράφουµε τετρτοκύκλι κτίνς στο εσωτερικό του ορθογωνίου που τέµνοντι σε σηµείο Μ. Ν υπολογίσετε το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου ΜΓ. 10. Έν κνονικό εξάγωνο είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R. Έξω πό το εξάγωνο κτσκευάζουµε τετράγων µε πλευρές τις πλευρές του εξγώνου. ) ποδείξτε ότι οι κορυφές των τετργώνων, που δεν είνι κορυφές του εξγώνου, σχηµτίζουν κνονικό 1-γωνο κι β) ν βρεθεί το εµβδόν του πρπάνω 1-γώνου συνρτήσει του R. 11. Έν κνονικό ν-γωνο είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς 10. Το πόστηµ του ν-γωνου έχει µήκος 75. Ν βρεθεί: ) το µήκος της πλευράς του ν-γωνου, β) το είδος του ν-γωνου, γ) το εµβδόν κι την περίµετρο του ν-γωνου. 1. Έν κνονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R Αν οι προεκτάσεις των ΑΒ κι Γ τέµνοντι στο σηµείο Μ, ν βρεθούν συνρτήσει του R τ εµβδά των τριγώνων ΜΒΓ κι ΜΕΖ. 13. Σε έν κνονικό ν-γωνο Α 1 Α Α ν, ν Α 1 είνι η διχοτόµος της γωνίς A3 A 1 A κι ισχύει A ν A1 =135 Ο, ν δειχτεί ότι ν= Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε πλευρά ΒΓ=λ 3 κι διάµεσο ΑΜ= 6. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο. (υπόδ. χρησιµοποιήστε το 1 ο θεώρηµ διµέσων) 15. Ρόµβος έχει περίµετρο 1 κι οι διγώνιοί του έχουν µήκη ίσ µε τις πλευρές ισόπλευρου τριγώνου κι κνονικού εξγώνου που είνι εγγεγρµµέν σε κύκλο κτίνς R. Ν βρεθούν ) το µήκος της κτίνς R, β) το εµβδόν του ρόµβου. 16. ίνετι κύκλος (Ο,R) κι δύο πράλληλες χορδές του ΑΒ=λ 3 κι Γ =λ 6 ώστε το Ο ν µην είνι µετξύ υτών. Ν βρεθεί η περίµετρος του µεικτόγρµµου τρπεζίου που έχει κορυφές τ σηµεί Α,Β,Γ κι. 17. ίνετι κύκλος (Ο,R) κι δύο κάθετες διάµετροι υτού ΑΒ κι Γ. Γράφουµε το τόξο του κύκλου (Α,ΑΓ) που έχει άκρ τ Γ, κι τέµνει την ΑΒ στο σηµείο Ε. Ν δειχθεί ότι το εµβδόν του µηνίσκου ΓΕ ΒΓ είνι ίσο µε R. 91

92 18. ίνετι κύκλος (Ο,R) κι σηµείο Α µε ΟΑ=R. Αν ΑΒ,ΑΓ είνι τ εφπτόµεν τµήµτ στον κύκλο, ν βρεθεί το εµβδόν του µεικτόγρµµου τριγώνου ΑΒΓ. (όπου ^ ΒΓ το µικρότερο τόξο). 19. ύο χορδές ΑΒ κι Γ ενός κύκλου (Ο,R) τέµνοντι σε έν εσωτερικό σηµείο Σ του κύκλου. Αν ΣΑ = λ κι Σ = λ 6, ν ποδείξετε ότι (ΣΑΓ) =(ΣΒ ). 0. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R, του οποίου η πλευρά ΑΒ είνι ίση µε την πλευρά τετργώνου εγγεγρµµένου στον ίδιο κύκλο, ενώ η πλευρά ΑΓ είνι ίση µε την πλευρά ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου στον ίδιο κύκλο. ) Ν υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ R β) Αν ΑΗ είνι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι ΒΓ = ( + 6) 3 γ) Ν ποδείξετε ότι µ γ = R + ^ 1. ίνετι τετρτοκύκλιο ΟΒΓ κτίνς R. είξτε ότι η χορδή ΒΓ δεν χωρίζει το τετρτοκύκλιο σε δύο ισοδύνµ χωρί.. Κνονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R).Αν Μ µέσο ΑΒ 1 κι η ΓΜ τέµνει τον κύκλο στο Η, δείξτε ότι : (HAB) = (ABGDEZ) 3. ίνετι τετρτοκύκλιο ΑΟΒ, µε ΟΑ=ΟΒ=R. Αν ο κύκλος κέντρου Α κι κτίνς R τέµνει το τετρτοκύκλιο στο σηµείο Γ, ν βρεθεί η περίµετρος κι το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου ΟΑΓ.. Σε κύκλο (Κ,R) πίρνουµε τ τόξο ΑΒ=60 Ο, ΒΓ=10 Ο,Γ =10 Ο. Οι διγώνιες ΑΓ κι Β του τετρπλεύρου ΑΒΓ τέµνοντι στο σηµείο Η. ) ν βρεθούν οι πλευρές του ΑΒΓ, β) ν βρεθούν τ τµήµτ ΒΗ, ΑΗ κι ΓΗ ως συνάρτηση του R, γ) ν βρεθεί το εµβδόν του χωρίου που βρίσκετι νάµεσ στον κύκλο κι στο τετράπλευρο ΑΒΓ. 5. ίνετι τετράγωνο ΑΒΓ, πλευράς.θεωρούµε τ ηµικύκλι µε διµέτρους τις πλευρές του ΑΒ κι ΒΓ που τέµνοντι στο Σ, στο εσωτερικό του τετργώνου. Εάν ΜΝ η κοινή εφπτοµένη των δύο ηµικυκλίων ν βρείτε το εµβδόν του µεικτόγρµµου τριγώνου ΣΜΝ. 6. Σε κύκλο (Ο,R) είνι εγγεγρµµένο κνονικό ν-γωνο µε εµβδόν Ε κι E 3 περιγεγρµµένο κνονικό ν-γωνο µε εµβδόν Ε έτσι, ώστε ν ισχύει =. E Ν δείξετε ότι ν=6. 9

93 7. Σε κύκλο (Ο,R) πίρνουµε τ διδοχικά σηµεί Α,Β,Γ ώστε ΑΒ=λ 3 κι ΒΓ=λ 6. Αν η διάµεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο, τότε: ) το εµβδόν του τριγώνου ΑΜΓ, β) ν υπολογίσετε το Μ ως συνάρτηση της κτίνς R, γ) ν βρείτε το εµβδόν του τριγώνου ΒΜ. 8. Σε κύκλο (Ο,R) πίρνουµε χορδή ΑΒ=λ 3. Αν Μ είνι σηµείο του κυρτογώνιου τόξου AB κι ισχύει ΑΒ= κι ΜΒ=5, ν βρείτε: ) την κτίν R, β) το άθροισµ των εµβδών των κυκλικών τµηµάτων που ορίζοντι πό τις χορδές ΑΜ κι ΜΒ. 9. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές =1, β= κι γ= 3. ) είξτε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. β)αν ο εγγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου εφάπτετι στις πλευρές ΓΑ κι ΓΒ στ σηµεί Κ, ντίστοιχ, ν δειχθεί ότι το µήκος του µικρού τόξου Κ είνι 3 1 ίσο µε π Ν δειχθεί ότι ο λόγος των εµβδών των δύο κυκλικών τµηµάτων στ οποί διιρείτι ένς κύκλος (Ο,R) πό µι πλευρά εγγεγρµµένου σ υτόν τετργώνου είνι π ίσος µε. 3π Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι γ = + β β. Ν βρείτε το λόγο των εµβδών των δύο κυκλικών τµηµάτων στ οποί χωρίζετι ο περιγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ πό τη χορδή ΑΒ. 3. Στο διπλνό σχήµ το τρίγωνο ΑΒΓ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο διµέτρου ΒΓ. Ν δειχτεί ότι το εµβδόν του γρµµοσκισµένου τµήµτος είνι ίσο µε το εµβδόν του τριγώνου ΑΒΓ. [Πρόβληµ των µηνίσκων του Ιπποκράτη] γ β 33. Ν δείξετε ότι το εµβδόν του ηµικυκλίου που έχει διάµετρο την υποτείνουσ ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, στο διπλνό σχήµ, είνι ίσο µε το άθροισµ των εµβδών των ηµικυκλίων που έχουν διµέτρους τις κάθετες πλευρές του. γ β 3. Στο διπλνό σχήµ δίνετι έν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (µε Αˆ ορθή γωνί) µε πλευρές ΑΓ=15cm κι ΒΓ=5cm. Ν υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ, το εµβδόν του τριγώνου ΑΒΓ, το ύψος Α κι το εµβδόν του γρµµοσκισµένου µέρους. 93

94 35. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά cm ν γράψετε κύκλο µε κέντρο την κορυφή Α κι κτίν το ύψος ΑΜ. Ν υπολογίσετε το εµβδόν του γρµµοσκισµένου µέρους 36. Στο διπλνό σχήµ η κτίν του κύκλου είνι ρ=6cm κι το εγγεγρµµένο εξάγωνο είνι κνονικό. Ν υπολογίσετε το εµβδόν του γρµµοσκισµένου µέρους (δίνοντι: ηµ 30 = συν 60 =, ηµ 60 = συν 30 = ). 37. Ν δειχθεί ότι το εµβδόν ενός κύκλου που είνι εγγεγρµµένος σε τετρτοκύκλιο κτίνς R είνι ίσο µε πr (3- ). (Υπόδ.: υπολογίστε πρώτ την κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου) 38. ίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R). Έστω το µέσο της χορδής ΒΓ κι Ε το µέσο του τόξου ΑΓ. Αν η Ε τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Η, 3R 7 ποδείξτε ότι Η= ίνετι κύκλος (Ο,R) στον οποίο θεωρούµε δύο κάθετες κτίνες ΟΑ κι ΟΒ. Με διάµετρο την ΑΒ γράφουµε εκτός του κύκλου ηµικύκλιο. Ν υπολογισθούν: Α) Το εµβδόν του τριγώνου ΟΑΒ Β) το εµβδόν του γρµµοσκισµένου µηνίσκου ΟΑΒ. [Υπόδ.: Βγίνει (ΑΟΒ)=R / κι Ε µηνίσκου = R /]. 0. Από έν εξωτερικό σηµείο Α κύκλου (Ο,R) φέρνουµε µι τέµνουσ ΑΒΓ έτσι ώστε ΑΒ = ΒΓ. Αν είνι ΟΑ = R 7, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι i) ΑΒ = ΒΓ = λ 3, όπου το λ 3 πριστάνει το µήκος της πλευράς ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου σε κύκλο (Ο,R), ii) η γωνί ΑΟΓ είνι µβλεί, iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στη ΟΑ είνι ίση µε 7 ΟΑ. β) Ν ποδείξετε ότι ( BOΓ ) 1 = ( ΑΟΓ) κι στη συνέχει ν βρείτε το (ΑΟΓ) γ) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του κυκλικού τµήµτος που ορίζετι πό τη χορδή ΒΓ κι το µικρό τόξο ΒΓ. 1. Τρεις κύκλοι (Ο 1,ρ 1 ), (Ο,ρ ) κι (Ο 3,ρ 3 ) εφάπτοντι νά δύο εξωτερικά στ σηµεί Α,Β κι Γ. Αν ρ 1 =ρ = κι ρ 3 =, τότε: ) ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο Ο 1 Ο Ο 3 είνι ορθογώνιο, β) ν υπολογίσετε την περίµετρο του κµπυλόγρµµου τριγώνου ΑΒΓ, γ) ν υπολογίσετε το εµβδόν του κµπυλόγρµµου τριγώνου ΑΒΓ. 9

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων 8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών,

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε 0 ΓΕΝΙΚΕΣ Θέµ ο Τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Ν δειχθεί ότι: ΒΕ = ΕΓ Ε Θέµ ο Στη διγώνιο Β τετργώνου ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ο. Ν δειχθεί ότι: Γ - ΓΟ = Ο Ο Θέµ ο

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ νλογιες Ομοιοτητ Μετρικες Σχεσεις Εμβδ Μετρηση Κυκλου Με πολυ μερκι ι τους κλους

Διαβάστε περισσότερα

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ.

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ. 1 9.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 03 0 ρωτήσεις κτνόησης 1. Στ πρκάτω σχήµτ ν υπολογιστούν οι τιµές των x κι ψ. () O x Ρ 3 Θ x 6 Κ Τ Ν Σ O 1 ψ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήµ () Στο σχήµ (β) Στο σχήµ (γ) Ρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται: Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Μονάδες 10 Α. Ν χρκτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο 5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 76 Κεφάλιο 3ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Απντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Σ 0. Σ 39. Λ 58. Σ. Σ. Λ 40. Σ 59. Σ 3. Σ. Σ 4. Σ 60. Λ 4. Λ 3. Λ 4. Σ 6. Λ 5. Σ 4.

Διαβάστε περισσότερα

µ =. µονάδες 12+13=25

µ =. µονάδες 12+13=25 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχεδίση µε τη χρήση Η/Υ Κ Ε Φ Λ Ι 1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Κ Τ Σ Κ Ε Υ Ε Σ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Σ Ν Θ Π Υ Λ Σ, Ε Π Ι Κ Υ Ρ Σ Κ Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Ι Ι Κ Η Σ Η Σ Κ Ι Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Ρ Ι Σ Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 3 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εσωτερικό γινόµενο Ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων, τον πργµτικό ριθµό Έστω = ( x,y ) κι ( x,y ) συν,, ν 0 κι 0 = 0, ν = 0 ή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. γ < ΟΑ + ΟΒ ΜΓ< ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < ΟΑ + ΟΒ + ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < (ΟΑ + ΟΓ) + (ΟΜ + ΟΒ) γ + ΜΓ < ΑΓ + ΜΒ γ + ΜΓ < β + ΜΒ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. γ < ΟΑ + ΟΒ ΜΓ< ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < ΟΑ + ΟΒ + ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < (ΟΑ + ΟΓ) + (ΟΜ + ΟΒ) γ + ΜΓ < ΑΓ + ΜΒ γ + ΜΓ < β + ΜΒ 3.0 3. ΘΕΩΡΙ. νισοτικές σχέσεις σε τρίωνο Κάθε εξωτερική ωνί τριώνου είνι µελύτερη πό τις πένντι εσωτερικές. πένντι πό άνισες πλευρές βρίσκοντι άνισες ωνίες κι ντίστροφ. Τριωνική νισότητ : β < < β + (υποτίθετι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

(1). ΒΓ ˆ, οπότε Γ ˆ ˆ

(1). ΒΓ ˆ, οπότε Γ ˆ ˆ 4 ο φυλλάδιο νισοτικές σχέσεις (τριωνική νισότητ) (Version 10-7-016) 3.1 Θεώρημ Κάθε πλευρά τριώνου είνι μικρότερη πό το άθροισμ των δύο άλλων κι μελύτερη πό τη διφορά τους. Απόδειξη: Έστω τρίωνο ΑΒΓ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β 17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 19 Ιανουαρίου 2019 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 19 Ιανουαρίου 2019 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πνεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε.

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. * Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α (1, -) κι Β (7, ), έχει συντετγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1 2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α.2 β.4 γ. 16 δ.

Αν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α.2 β.4 γ. 16 δ. 1 9.1 9. σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 185-186 ρωτήσεις κτνόησης 1. Έν ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ ο 90 ) έχει 6 κι 8. Ποιο είνι το µήκος της διµέσου Μ ; + 6 + 6 100 10 κι Μ 5. ν ο λόος των κθέτων πλευρών ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από

Διαβάστε περισσότερα