Historický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ideálneho plynu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Historický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ideálneho plynu"

Transcript

1 Historický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ideálneho plynu PEER HORVÁH Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, Bratislava Gymnázium Alberta Einsteina, Bratislava, Slovensko Poďakovanie Ďakujem Univerzite Komenského v Bratislave za poskytnutie Grantu Univerzity Komenského, z ktorého bola hradená moja účasť na Veletrhu nápadů učitelů fyziky v Olomouci. Úvod U nás najrozšírenejšia učebnica fyziky pre druhý ročník gymnázia sa k stavovej rovnici ideálneho plynu dopracúva teoretickou metódou (E. Svoboda a kol. 1985, s ). Využíva a spája poznatky z mechaniky, aplikovať treba poznatky z molekulovej a štatistickej fyziky. Odvodenie je pekné, naozaj treba využiť množstvo dovtedy nadobudnutých poznatkov a schopností. Odvodenie je pre však žiakov náročné a vyžaduje značnú schopnosť myslieť abstraktne. Vyžaduje taktiež matematické zručnosti. Veľká väčšina žiakov tento spôsob výkladu nezvláda. Po zavedení stavovej rovnice sa v učebnici zo stavovej rovnice odvodzujú zákony pre izotermický dej, izochorický dej a izobarický dej. V historickej poznámke sa potom uvádza, že zákony pre izotermický, izochorický a izobarický dej boli najskôr objavené experimentálne. eoretický prístup môže viesť u žiakov k pocitu, že fyzika je odtrhnutá od života. Potvrdzovali to odpovede viacerých žiakov v ankete, najmä v kontrolných triedach. Ako príklad teoretického poznatku, bez súvislosti s bežným životom, žiak kontrolnej triedy uviedol práve stavovú rovnicu. Pre žiakov jednoduchší a aj príťažlivejší spôsob zavedenia stavovej rovnice predstavuje empirický prístup. ento prístup som ako študent prvýkrát videl na seminári z didaktiky fyziky, ktorý viedol V. Koubek (1999, s ). Empirický prístup navyše sleduje aj historický vývoj, akým sa k stavovej rovnici naozaj prišlo. V článku je uvedená najprv história stavovej rovnice a potom postup na vyučovacej hodine. Na našich hodinách postupujeme opačne, najprv zavedieme pomocou empirického prístupu stavovú rovnicu a o histórii sa so žiakmi porozprávame buď počas realizácie niektorého z experimentov, alebo si ju necháme na neskôr. Ak by sme najprv žiakom hovorili o histórii, prezradili by sme im výsledky, ktoré majú sami objaviť z meraní. Postup je zvolený tak, že žiakom stačia poznatky o plynoch, ktoré 189

2 majú už z prvého ročníka, čiže ide o prvé hodiny o štruktúre a vlastnostiach plynov v druhom ročníku. História stavovej rovnice Ako už bolo spomenuté, zákony pre izotermický, izobarický a izochorický dej boli najprv objavené empiricky a z nich bola potom odvodená stavová rovnica. Jej teoretické odvodenie na základe kinetickej teórie plynov bolo prijaté neskôr. História stavovej rovnice sa zrejme začína u Roberta Boyla. Na základe experimentov, ktoré Boyle uverejnil roku 1660, vyslovil jeho žiak Richard owneley roku 1662 hypotézu, podľa ktorej tlak vzduchu je nepriamo úmerný jeho objemu (pri danej teplote). Roku 1679 uverejnil podobné výsledky aj Edme Mariotte. Zákon pre izotermický dej dnes nazývame Boylov-Mariottov zákon. Pojem izotermický dej zaviedol až roku 1859 William John Macquorn Rankine. eplotnú rozťažnosť vzduchu využíval už Galilei pri konštrukcii svojho teplomeru z roku Po ňom sa teplotnou rozťažnosťou vzduchu zaoberal Guillaume Amontons, ktorý koncom 17. storočia skonštruoval prvý tlakový plynový teplomer. Prvýkrát určil teplotnú rozťažnosť vzduchu už roku 1787 Jacques Alexandre César Charles, ale o jeho práci sa svet dozvedel až od Gay- Lussaca. Joseph Louis Gay-Lussac a John Dalton publikovali roku 1802 nezávisle od seba presné merania koeficientu teplotnej rozťažnosti vzduchu. Pri meraní teploty využíval Gay-Lussac Celsiovu stupnicu. Zaujímavosťou Celsiovej stupnice je, že Celsius ju najprv zaviedol otočenú, 0 C zodpovedala teplota varu vody a 100 C zodpovedala teplota tuhnutia vody. Dnešné ciachovanie Celziovej stupnice pochádza od Celsiovho žiaka Martina Strömera. Gay-Lussac ukázal, že rovnaký koeficient teplotnej rozťažnosti ako vzduch majú kyslík, dusík, oxid uhličitý a iné plyny. Podľa Gay-Lussaca pre objem (ideálneho) plynu V pri teplote t v C platí: V V 1 t 0, kde V 0 je objem plynu pri 0 C a γ je koeficient tepelnej rozťažnosti plynu. Daná rovnica predstavuje jednu z možných matematických formulácií Gay- 1 Lussacovho zákona pre izobarický dej. Pri teplote t sa objem plynu podľa Gay-Lussaca rovná nule. áto teplota predstavuje absolútnu teplotnú nulu. Na základe svojich meraní určil Gay-Lussac absolútnu nulu pri teplote 267 C. 190

3 Obr. 1 Závislosť objemu plynu od teploty Ďalšie závery z Gay-Lussacových výskumov publikoval roku 1811 Amadeo Avogadro, ktorý okrem iného zaviedol pojem molekula a vyslovil vetu, podľa ktorej je v rovnakých objemoch plynných látok pri danom tlaku a objeme rovnaký počet molekúl. Stavovú rovnicu ideálneho plynu odvodil kombináciou Boylovho- Mariottovho zákona a Gay-Lussacovho zákona roku 1824 Sadi Nicolas Léonard Carnot. Jeho zápis spresnil roku 1834 Clapeyron, Clapeyronov zápis bol pv R( 267 t), kde p je tlak V je objem plynu, R je molárna plynová konštanta a t je teplota v C. Presnejšie merania absolútnej nuly urobil v r Fredrik Rudberg a v roku 1840 Gustav Heinrich Magnus. Ďalšie merania uskutočnil v rokoch 1840 až 1842 Henri Victor Regnault, ktorý určil absolútnu nulu na 272,75 C a prišiel k záveru, že plynové teplomery s rôznymi plynmi neposkytujú rovnaké hodnoty pri meraní teploty a že stavová rovnica platí pre reálne plyny iba približne. Neexistujúci plyn, pre ktorý táto rovnica platí presne, nazval dokonalým plynom. Roku 1848 navrhol Wiliam homson (Lord Kelvin) absolútnu termodynamickú teplotnú stupnicu, ktorá nezávisí od použitej teplomernej látky. Úpravami tejto stupnice v roku 1854, ktorú vykonali homson a James Prescott Joule, a definitívnou úpravou až v roku 1954 bola zavedená dnes používaná termodynamická teplotná stupnica, kde teplotu meriame v kelvinoch. Čo sa týka teoretického odvodenia, roku 1738 Daniel Bernoulli odvodil vzťah pre tlak plynu zo zmeny hybnosti častíc narážajúcich na steny nádoby. Svojím odvodením predbehol dobu o vyše 100 rokov. ú istú úvahu ako D. 191

4 Bernoulli použil roku 1857 Rudolf Clausius. Roku 1862 zaviedol Clausius pojem ideálny plyn a stavovú rovnicu molu ideálneho plynu napísal v tvare pv R, kde p je tlak, V je objem, R je molárna plynová konštanta a je teplota meraná na termodynamickej stupnici, ktorú zaviedol Kelvin. Informácie o histórii stavovej rovnice a histórii Kelvinovej stupnice sú spracované z práce R. Zajaca a J. Šebestu (1990) a z práce R. Zajaca a J. Chrapana (1986, s ). Priebeh hodiny V súlade s historickým kontextom budeme uskutočňovať so žiakmi sériu experimentov. Učivo je v súčasných osnovách zaradené na gymnáziu do druhého ročníka. Už v prvom ročníku pri rozvíjaní pojmu tlak predvádzame pokusy demonštrujúce atmosférický tlak. Veľmi populárne sú napríklad demonštrácie pomocou vývevy, ako nafúknutie balónika pod zvonom vývevy, žiakom sa páčia Magdeburské pologule. Pred odvodením stavovej rovnice si tieto pokusy v druhom ročníku zopakujeme. Pohráme sa aj s jednoduchým teplomerom, ktorý využíva teplotnú rozťažnosť plynu (obr. 2) a PE fľašou s uzavretým vzduchom, ktorú umiestnime do chladničky, alebo ak je vonku zima, tak von. Fľaša sa v chladnom prostredí stiahne. Obr. 2 Slečna drží v ruke jednoduchý teplomer využívajúci teplotnú rozťažnosť vzduchu 192

5 Aj pri samotnom odvodzovaní stavovej rovnice postupujeme na základe experimentov, v súlade s historickým kontextom. Podobne ako v histórii, začneme aj my izotermickým dejom. Pri meraniach môžeme využiť počítač. Plyn, v našom prípade vzduch, uzavrieme do striekačky a na jej koniec pripojíme tlakový snímač. Na obrazovke necháme zobrazovať tlak v striekačke. Striekačka má stupnicu s hodnotami objemu. Pri stlačení plynu v striekačke narastie tlak, pri zväčšení objemu plynu v striekačke tlak klesá. Hodnoty si zaznamenávame do počítača a hneď si ich aj nechávame vykresľovať do grafu (obr. 3). Po skončení merania vyzveme žiakov: Skúste zistiť zákonitosť, vzťah medzi nameranými hodnotami. Z grafu žiaci poľahky určia, že medzi tlakom a objemom uzavretého plynu v striekačke bola nepriama úmernosť. akto sme odvodili Boylov-Mariottov zákon: 1 p, resp. V konšt. 1 p, p. V konšt. 1, V kde p je tlak plynu, V je jeho objem a konšt 1 je konštanta. Platnosť tohto vzťahu si žiaci overia tak, že príslušné dvojice číselných hodnôt tlaku a objemu navzájom vynásobia. Pre každú z vynásobených dvojíc dostanú (takmer) rovnaké čísla. Pre dva stavy uzavretého plynu, ktorého teplota sa nemení, ale mení sa objem, a tým aj tlak, teda platí: p. V 1 V1 p2. 2 Obr. 3 Obrazovka počítača po skončení merania izotermického deja 193

6 eraz pristúpime k izochorickému deju. Izochorický dej budeme skúmať so vzduchom uzavretým v sklenenej banke, ku ktorej opäť pripojíme pomocou hadičky tlakový snímač. Banku umiestnime do rýchlovarnej kanvice so studenou vodou. Do vody v rýchlovarnej kanvici umiestnime ešte teplotný snímač, taktiež pripojený k počítaču (obr. 4). Experiment nastavíme tak, aby sa nám na obrazovke zobrazoval graf závislosti tlaku od teploty, prípadne spolu s ním aj okamžité hodnoty tlaku v banke a teploty vody v kanvici. Predpokladáme, že teplota vzduchu v banke sa rovná teplote vody v kanvici. Pri meraní teploty používame, rovnako ako Gay-Lussac, z bežného života známu Celsiovu stupnicu. Obr. 4 Nádobku a teplotný snímač umiestnime do rýchlovarnej kanvice Začneme meranie, zapneme kanvicu. Na obrazovke sa začne vykresľovať graf závislosti tlaku a teploty vzduchu v banke (obr. 5). Kým sa nám zohrieva voda v kanvici, môžeme využiť čas na žiacke otázky, alebo môžeme žiakom porozprávať o vzniku Celsiovej a Kelvinovej stupnice. Meranie skončíme pri teplote 80 až 90 C a vypneme kanvicu. Z nameraného grafu jasne vidno, že závislosť medzi tlakom a teplotou uzavretého plynu je lineárna. Náš graf však sa nezačína v bode 0. Čo keby sme plyn nezohrievali, ale ochladzovali. eplota by zrejme klesala. Dokedy by klesala? o už sa dopracúvame k absolútnej teplotnej nule, podobne ako Gay- Lussac (len na grafe s tlakom, nie s objemom), čo je podľa môjho názoru najkrajšia časť tohto merania (obr. 6). 194

7 Obr. 5 Závislosť medzi tlakom a teplotou uzavretého plynu, spracovaná pomocou programu Coach 5 Obr. 6 Lineárnou aproximáciou sa pri tlaku 0 kpa dostaneme k absolútnej teplotnej nule V mieste, kde predĺženie grafu pretne teplotnú os, krásne vychádza približná hodnota absolútnej teplotnej nuly. Aby sme závislosť medzi tlakom a teplotou zapísali čo najkrajšie a matematicky čo najjednoduchšie, oplatí sa nám nahradiť Celsiovu stupnicu inou, takou, ktorá sa začína v absolútnej teplotnej nule. Preto je vhodné zaviesť Kelvinovu stupnicu. Z nášho grafu (približne) vidno, kde sa začína Kelvinova stupnica. eraz už môžeme napísať Charlesov zákon v tvare: p, alebo 195

8 alebo p konšt. 2., p konšt. 2. V týchto vzťahoch je p tlak, termodynamická teplota a žiakom treba dobre zdôrazniť, že tu vystupuje iná konštanta ako pri izotermickom deji, preto označujeme konštantu indexom 2. Pre dva stavy toho istého plynu, ak sa nemení objem plynu, môžeme napísať: p1 p K stavovej rovnici sa možno dopracovať jednoduchými úvahami. Pre izotermický dej sme našli vzťah: p. V konšt. 1. eplota sa nemení. Čiže môžeme napísať aj:. V konšt., p 1 a pretože na pravej strane vystupujú dve konštanty, konšt. 1 a teplota, možno napísať: pv. konšt.. Podobne sme pre izochorický dej našli vzťah p konšt. 2. V tomto prípade sa nemenil objem, teda možno napísať: pv. konšt.. V, a pretože na pravej strane vystupujú dve konštanty, konšt 2 a objem V, možno napísať: pv. konšt

9 pv. Vidíme, že pre oba deje platilo konšt., čo je matematická formulácia stavovej rovnice ideálneho plynu. áto platí pre akékoľvek prechody plynu z jedného stavu do druhého za predpokladu, že nám plyn neuniká, alebo sa jeho hmotnosť nezväčšuje. Ostáva ešte prediskutovať, od čoho ešte závisí tlak, ak fixujeme objem a teplotu? Napríklad hustíme koleso alebo basketbalovú loptu. Ich teplota sa výrazne nemení, ani ich objem, ale tlak narastá. eda tlak plynu závisí ešte aj od množstva plynu v uzavretej nádobe. p N, kde N je počet častíc plynu. Preto môžeme stavovú rovnicu spresniť: kde k je Boltzmannova konštanta. pv. N. k, 4 Organizačné poznámky a didaktický komentár Ešte pred hodinou venovanou zavedeniu stavovej rovnice sa naozaj oplatí zopakovať si so žiakmi pokusy demonštrujúce atmosférický tlak a pokusy na teplotnú rozťažnosť vzduchu. akisto treba pred odvodením stavovej rovnice zaviesť príslušné stavové veličiny, ale nie je nutné pripomínať termodynamickú Kelvinovu stupnicu. á sa nám pri analýze pokusu krásne ponúkne sama. Ako sme spomínali v úvode, najprv zavedieme pomocou empirického prístupu stavovú rovnicu a o histórii sa so žiakmi porozprávame buď počas realizácie niektorého z experimentov, alebo si ju necháme na neskôr, aby sme neprišli o možnosť samostatného žiackeho objavovania závislostí. Meranie izochorického deja je možné aj zrýchliť, a to tak, že si dopredu pripravíme niekoľko nádob, asi 8, s vodou s teplotami od C do C. Banku so vzduchom potom postupne ponárame do pripravených nádob s vodou, pričom meriame teplotu vody a tlak v nádobe. Zo získaných príslušných dvojíc vyhotovíme tabuľku a graf. Meranie izotermického a izochorického deja pripravíme na delenú hodinu, kde je polovica žiakov z triedy. Samotné merania izotermického a izochorického deje sa dajú stihnúť na jednej hodine. Počítač s príslušenstvom a pomôcky si treba dopredu pripraviť a vyskúšať, aby na hodine nevznikli časové straty kvôli technickým problémom. Pri samotnom meraní treba dať pozor, aby banka bola celá ponorená vo vode a zároveň, aby sa nedotýkala výhrevného telesa. Banku 197

10 zvykneme zaťažovať kovovou obrúčkou, aby nestúpala nahor, a cez hadičku, ku ktorej je pripojený senzor, ju vrchnákom kanvice pridržiavame, aby neklesla úplne dolu k výhrevnému telesu. Podobne ani teplotný snímač sa nemá dotýkať výhrevného telesa. Ak všetko dobre vychádza, dá sa na hodine stihnúť aj odvodenie stavovej rovnice. Je to však pre žiakov veľa informácií naraz. Preto sa zvykneme na nasledujúcej hodine k výsledkom merania a ich dôsledkom vrátiť a pozrieť sa na ne ešte raz pomaly. Namiesto počítačových snímačov môžu žiaci použiť obyčajný teplomer a lekársky tlakomer. Lekársky tlakomer dostať kúpiť v zdravotníckych potrebách, slúži na meranie tlaku krvi (obr. 7, 8). Nemusíme kupovať celú súpravu na meranie krvného tlaku (cca 900 Sk), stačí nám náhradný diel z tejto súpravy, samotný tlakomer (cca 250 Sk). Obr 7 Súprava zapojená na meranie izochorického deja s lekárskym tlakomerom Obr. 8 Súprava zapojená na meranie izotermického deja s lekárskym tlakomerom 198

11 Pri meraní lekárskym tlakomerom sa žiaci naučia rozpoznávať jednotku tlaku, používanú v medicíne. Ide o milimeter ortuťového stĺpca (mmhg, 1 mmhg = 133,322 Pa, čo je 1 torr). Pri meraní potom treba túto jednotku premeniť do sústavy SI, kde je jednotkou tlaku pascal. Uvedomiť si treba aj to, že nulu ukazuje tento tlakomer pri atmosférickom tlaku, čiže meria vlastne pretlak oproti atmosférickému tlaku. eda k odmeranému tlaku po premene na pascaly (alebo kilopascaly) treba ešte pripočítať atmosférický tlak, približne 100 kpa. Pri meraní izotermického deja treba dať pozor, aby sme príliš silno nestláčali striekačku a nepoškodili si tak tlakomer prekročením jeho rozsahu. Ak máme teplomerov a tlakomerov viac, meranie môžu uskutočňovať sami žiaci v skupinkách a výsledky si navzájom porovnať, prípadne spojiť. akto môžeme rozvíjať kompetencie realizovať experiment, napísať o ňom zápis, zapísať výsledky meraní graficky. Z grafov získavať nové informácie, navrhovať hypotézy, hľadať a matematicky formulovať funkčné závislosti medzi veličinami. V praxi sa nám potvrdzuje, že pre žiakov je historicko-empirický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ľahší ako teoretické odvodenie z kinetickej teórie. Ak má niekto zo žiakov záujem, môže si teoretický prístup pozrieť doma. Dobrú známku si vyslúži žiak, ktorý si sám naštuduje odvodenie z učebnice a vysvetlí ho spolužiakom na hodine. Po odvodení stavovej rovnice je vhodné žiakov upozorniť na poznávací postup vo fyzike. Na začiatku je experiment a meranie. Z nich bol empiricky odvodený zákon. Neskôr bol zákon vysvetlený na základe hypotézy o mechanizme deja (teoretické odvodenie). Hypotéza bola overená pomocou odvodenia dôsledkov z nej vyplývajúcich (väčšie množstvo plynu v uzavretej nádobe spôsobí zvýšenie tlaku). Literatúra KOUBEK V: Fyzikálne experimenty a modely v školskom mikropočítačom podporovanom laboratóriu. Bratislava : Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského, ISBN SVOBODA, E. a i.: Fyzika pre 2. ročník gymnázia. 1. vyd. Bratislava : SPN, ZAJAC, R., CHRAPAN, J.: Dejiny fyziky. Vysokoškolské skriptá. Bratislava : Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského, ZAJAC, R. ŠEBESA, J.: Historické pramene súčasnej fyziky 1, Od Aristotela po Boltzmanna. Bratislava : Alfa, ISBN

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Dodatočné materiály k učebnici Fyzika pre 2. ročník gymnázií

Dodatočné materiály k učebnici Fyzika pre 2. ročník gymnázií Názov projektu: CIV Centrum Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 2005/1-046 ITMS: 11230100112 J. Pišút, P. Horváth, M. Lazúr Dodatočné materiály k učebnici Fyzika pre 2. ročník gymnázií

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

11 Základy termiky a termodynamika

11 Základy termiky a termodynamika 171 11 Základy termiky a termodynamika 11.1 Tepelný pohyb v látkach Pohyb častíc v látke sa dá popísať tromi experimentálne overenými poznatkami: Látky ktoréhokoľvek skupenstva sa skladajú z častíc. Častice

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Laboratórna úloha č. 8. Koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu

Laboratórna úloha č. 8. Koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu Laboratórna úloha č. 8 Úloha: Koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu Určiť koeficient teplotnej rozpínavosti vzduchu meraním teplotnej závislosti tlaku vzduchu uzavretého v banke. Teoretický úvod Závislosť

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

8 VLASTNOSTI VZDUCHU CIEĽ LABORATÓRNEHO CVIČENIA ÚLOHY LABORATÓRNEHO CVIČENIA TEORETICKÝ ÚVOD LABORATÓRNE CVIČENIA Z VLASTNOSTÍ LÁTOK

8 VLASTNOSTI VZDUCHU CIEĽ LABORATÓRNEHO CVIČENIA ÚLOHY LABORATÓRNEHO CVIČENIA TEORETICKÝ ÚVOD LABORATÓRNE CVIČENIA Z VLASTNOSTÍ LÁTOK 8 VLASTNOSTI VZDUCHU CIEĽ LABORATÓRNEHO CVIČENIA Cieľom laboratórneho cvičenia je oboznámiť sa so základnými problémami spojenými s meraním vlhkosti vzduchu, s fyzikálnymi veličinami súvisiacimi s vlhkosťou

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1.

Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1. Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1. Peter Bokes, leto 2010 1 Termodynamika Doposial sme si budovali predstavu popisu látky pomocou mechanických stupňov vol nosti, ako boli súradnice hmotného

Διαβάστε περισσότερα

3 VLASTNOSTI PLYNOV, IDEÁLNY PLYN. 3.1 Žijeme na dne vzdušného oceánu

3 VLASTNOSTI PLYNOV, IDEÁLNY PLYN. 3.1 Žijeme na dne vzdušného oceánu 3 VLASNOSI PLYNOV, IDEÁLNY PLYN Pri konštrukcii tepelných strojov vynaliezavos ich konštruktérov predbehla teóriu. udia postupne pozbierali a vytriedili staršie poznatky, zbavili sa predsudkov a omylov,

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

7. Meranie teploty. Teoretický úvod

7. Meranie teploty. Teoretický úvod 7. Meranie teploty Autor pôvodného textu: Drahoslav Barančok Úloha: Pomocou platinového odporového teplomeru okalibrujte termistorový teplomer a termočlánkový teplomer. Nakreslite kalibračné krivky teplomerov.

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Meno: Teória Tabuľka Výpočet Zaokrúhľovanie Záver Graf Meranie

Meno: Teória Tabuľka Výpočet Zaokrúhľovanie Záver Graf Meranie Katedra chemickej fyziky Dátum cvičenia: Ročník: Krúžok: Dvojica: Priezvisko: Meno: Úloha č. 5 MERANIE POMERNÉHO KOEFICIENTU ROZPÍNAVOSTI VZDUCHU Známka: Teória Tabuľka Výpočet Zaokrúhľovanie Záver Graf

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013) Termodynamika Teelný ohyb Teelná rozťažnosť látok Stavová rovnica ideálneho lynu nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003 Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium

Διαβάστε περισσότερα

Model redistribúcie krvi

Model redistribúcie krvi .xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika kruhovych tepelnych strojov

Termodynamika kruhovych tepelnych strojov Termodynamika kruhovych tepelnych strojov Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Poznamky k prednaske o tom, ako po teoretickej stranke funguje tepelne stroje ako zo termodynamiky vyplyvaju ich obmedzenia

Διαβάστε περισσότερα

Fyzika (Fyzika pre geológov)

Fyzika (Fyzika pre geológov) Fyzika (Fyzika pre geológov) Úvodný kurz pre poslucháčov prvého ročníka bakalárskych programov v rámci odboru geológie 4. prednáška základy termodynamiky, stavové veličiny, prenos tepla, plyny Obsah prednášky:

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Termodynamika. Aba Teleki Boris Lacsny N I T R A

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Termodynamika. Aba Teleki Boris Lacsny N I T R A UNIVERZIA KONŠANÍNA FILOZOFA V NIRE FAKULA PRÍRODNÝCH VIED ermodynamika Aba eleki Boris Lacsny N I R A 2010 Aba eleki Boris Lacsný ERMODYNAMIKA KEGA 03/6472/08 Nitra, 2010 Obsah 1 Základné pojmy a prvotné

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

8 TERMIKA A TEPELNÝ POHYB

8 TERMIKA A TEPELNÝ POHYB Posledná aktualizácia: 11. mája 2012. Čo bolo aktualizované (oproti predošlej verzii zo 14. apríla 2012): Pomerne rozsiahle zmeny, napr. niekoľko nových príkladov a oprava nekorektnej formulácie pr. 8.20

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

priemer d a vložíme ho do mosadzného kalorimetra s vodou. Hmotnosť vnútornej nádoby s miešačkou je m a začiatočná teplota vody t3 17 C

priemer d a vložíme ho do mosadzného kalorimetra s vodou. Hmotnosť vnútornej nádoby s miešačkou je m a začiatočná teplota vody t3 17 C 6 Náuka o teple Teplotná rozťažnosť Úloha 6. Mosadzná a hliníková tyč majú pri teplote 0 C rovnakú dĺžku jeden meter. Aký bude rozdiel ich dĺžok, keď obidve zohrejeme na teplotu 00 C. [ l 0,04 cm Úloha

Διαβάστε περισσότερα

Strana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie

Strana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie Strana 1/5 Rozsah akreditácie Názov akreditovaného subjektu: CHIRANALAB, s.r.o., Kalibračné laboratórium Nám. Dr. A. Schweitzera 194, 916 01 Stará Turá IČO: 36 331864 Kalibračné laboratórium s fixným rozsahom

Διαβάστε περισσότερα

Z FYZIKÁLNEJ KUCHYNE GYMNÁZIA PÚCHOV

Z FYZIKÁLNEJ KUCHYNE GYMNÁZIA PÚCHOV Z FYZIKÁLNEJ KUCHYNE GYMNÁZIA PÚCHOV Mária Pastorková Gymnázium Púchov Abstrakt: Príspevok obsahuje experimenty, ilustrujúce teplotnú dĺžkovú rozťažnosť pevných látok a izochorický dej s ideálnym plynom,

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno - vzdelávací plán

Tematický výchovno - vzdelávací plán Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2016/2017 Trieda: VI.A, VI.B Spracovala : RNDr. Réka Kosztyuová Učebný materiál:

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIA 3 ČASŤ

RIEŠENIA 3 ČASŤ RIEŠENIA 3 ČASŤ - 2009-10 1. PRÁCA RAKETY Raketa s hmotnosťou 1000 kg vystúpila do výšky 2000 m nad povrch Zeme. Vypočítajte prácu, ktorú vykonali raketové motory, keď predpokladáme pohyb rakety v homogénnom

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA

URČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA 54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.

Διαβάστε περισσότερα

Počítačom podporované prírodovedné laboratórium

Počítačom podporované prírodovedné laboratórium Počítačom podporované prírodovedné laboratórium Učebný text vznikol s podporou Európskeho sociálneho fondu, projekt Inovácia profesijných spôsobilostí učiteľov prírodovedných predmetov, kód projektu 11230220245

Διαβάστε περισσότερα

KAGEDA AUTORIZOVANÝ DISTRIBÚTOR PRE SLOVENSKÚ REPUBLIKU

KAGEDA AUTORIZOVANÝ DISTRIBÚTOR PRE SLOVENSKÚ REPUBLIKU DVOJEXCENTRICKÁ KLAPKA je uzatváracia alebo regulačná armatúra pre rozvody vody, horúcej vody, plynov a pary. Všetky klapky vyhovujú smernici PED 97/ 23/EY a sú tiež vyrábané pre výbušné prostredie podľa

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika a molekulová fyzika

Termodynamika a molekulová fyzika Termodynamika a molekulová fyzika 1. Teplota telesa sa zvýšila zo začiatočnej hodnoty 25,8 C na konečnú hodnotu 64,8 C. Aká bude začiatočná a konečná teplota v kelvinoch? Aký je rozdiel konečnej a začiatočnej

Διαβάστε περισσότερα

Diferenciálne rovnice. Základný jazyk fyziky

Diferenciálne rovnice. Základný jazyk fyziky Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa padajúceho v gravitačnom poli.

Διαβάστε περισσότερα

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Úloha č.:...xviii... Název: Prechodové javy v RLC obvode Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F.. dne... 6.. 005

Διαβάστε περισσότερα

VYUČOVANIE FYZIKY NA GYMNÁZIU PAVLA HOROVA MICHALOVCE

VYUČOVANIE FYZIKY NA GYMNÁZIU PAVLA HOROVA MICHALOVCE VYUČOVANIE FYZIKY NA GYMNÁZIU PAVLA HOROVA MICHALOVCE Mária Spišáková, Peter Spišák Gymnázium P. Horova, Michalovce Abstrakt: Predstavenie kabinetu fyziky na škole, modernizácia pomôcok, demonštračné pokusy

Διαβάστε περισσότερα

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA ÚSTAV FYZIKÁLNYCH VIED MICHAL JAŠČUR MICHAL HNATIČ ÚVOD DO TERMODYNAMIKY Vysokoškolské učebné texty Košice 2013 ÚVOD DO TERMODYNAMIKY

Διαβάστε περισσότερα

Učebné osnovy FYZIKA. FYZIKA Vzdelávacia oblasť. Názov predmetu

Učebné osnovy FYZIKA. FYZIKA Vzdelávacia oblasť. Názov predmetu Učebné osnovy FYZIKA Názov predmetu FYZIKA Vzdelávacia oblasť Človek a príroda Stupeň vzdelania ISCED 2 Dátum poslednej zmeny 4. 9. 2017 UO vypracovala RNDr. Janka Schreiberová Časová dotácia Ročník piaty

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno - vzdelávací plán

Tematický výchovno - vzdelávací plán Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2017/2018 Trieda: VII.A,B Spracoval : Mgr. Ivor Bauer Učebný materiál: V.,

Διαβάστε περισσότερα

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA:

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA: 1.ÚLOHA: MOSTÍKOVÁ METÓDA a, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Wheastonovho mostíka. b, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Mostíka ICOMET. c, Odmerajte odpory predložených

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH) Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Štatistická fyzika a termodynamika.

Štatistická fyzika a termodynamika. Štatistická fyzika a termodynamika. 1.1. Odhadnite na akú plochu sa rozleje 5ml oleja, ktorý sa po vodnej hladine dokonale rozteká. 1.2. Odhadnite rozmer molekuly vody ak viete, že koeficient povrchového

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK

ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK Kód ITMS projektu: 26110130519 Gymnázium Pavla Jozefa Šafárika moderná škola tretieho tisícročia ZBIERKA ÚLOH Z FYZIKY PRE 3. ROČNÍK (zbierka úloh) Vzdelávacia oblasť: Predmet: Ročník: Vypracoval: Človek

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.5 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

TEPLA S AKUMULACÍ DO VODY

TEPLA S AKUMULACÍ DO VODY V čísle prinášame : Odborný článok ZEMNÉ VÝMENNÍKY TEPLA Odborný článok ZÁSOBNÍK TEPLA S AKUMULACÍ DO VODY Odborný článok Ekonomika racionalizačných energetických opatrení v bytovom dome s následným využitím

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα