ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.

Transcript

1 ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική ταλάντωση η απμάκρυνση x και η επιτάχυνση α συνδένται με τη σχέση α = ω x, γεγνός πυ μας δείχνει ότι όταν x > 0 τότε α < 0 και όταν x < 0 τότε α > Σωστή απάντηση είναι η β. 4. Σωστή απάντηση είναι η γ. Σχόλι: Η περίδς των ηλεκτρικών ταλαντώσεων ενός ιδανικύ κυκλώματς LC δίνεται από τη σχέση T= π L C. Αρχικά για τν πυκνωτή χωρητικότητας C 1 η περίδς είναι T = π L C1. Μετά την αντικατάστασή τυ από πυκνωτή χωρητικότητας C = 4C 1 η νέα περίδς της ταλάντωσης τυ νέυ κυκλώματς είναι: T = π L C = π L 4C = π L C = Τ α. Λάθς. Σχόλι: Τ φαινόμεν της λικής ανάκλασης μπρεί να παρατηρηθεί μόν κατά τη διέλευση μνχρωματικής ακτίνας φωτός από μέσ (α) σε μέσ (b) με δείκτες διάθλασης n A και n B αντίστιχα για τυς πίυς ισχύει n A > n B. Στην περίπτωση πυ μας δίνεται τ μέσ (α) είναι τ αέρας με δείκτη διάθλασης n A = 1 και τ μέσ (b) είναι τ νερό με δείκτη διάθλασης n B > 1. Επμένως δεν μπρεί να ισχύει η σχέση n A > n B και κατά συνέπεια δεν μπρεί να παρατηρηθεί τ φαινόμεν της λικής ανάκλασης. β. Λάθς. Σχόλι: Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει με ταχύτητα υ Α πρς μια ακίνητη ηχητική πηγή, τότε ήχς f A πυ αντιλαμβάνεται παρατηρητής δίνεται από υ+υ τη σχέση: f A = Α f s. Από τη σχέση αυτή πρκύπτει ότι f A > f s δηλαδή υ παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχ μεγαλύτερης συχνότητας. γ. Σωστό. δ. Σωστό. ε. Λάθς. Σχόλι: Όταν άξνας περιστρφής τυ στερεύ σώματς διέρχεται από τ κέντρ μάζας τυ, τότε η ρπή αδράνειας τυ στερεύ σώματς ισύται με Ι cm ενώ όταν άξνας περιστρφής δε διέρχεται από τ κέντρ μάζας αλλά είναι 1

2 παράλληλς με τν άξνα πυ διέρχεται από τ κέντρ μάζας και απέχει από αυτόν απόσταση d, τότε η ρπή αδράνειας τυ στερεύ έχει διαφρετική τιμή ισύται με I και υπλγίζεται με την εφαρμγή τυ θεωρήματς των παραλλήλων αξόνων (Ι = Ι cm + Md ). ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η β. Δικαιλόγηση Η κίνηση τυ δίσκυ μπρεί να θεωρηθεί ως τ απτέλεσμα της επαλληλίας δύ κινήσεων, μιας μεταφρικής και μιας περιστρφικής κίνησης. Η ταχύτητα κάθε σημείυ τυ δίσκυ, και επμένως και τυ σημείυ Α, είναι η συνισταμένη της ταχύτητας υ r μετ. λόγω της μεταφρικής κίνησης και της ταχύτητας υ r περ. λόγω της περιστρφικής κίνησης. Εξαιτίας της μεταφρικής κίνησης όλα τα σημεία τυ δίσκυ έχυν την ίδια ταχύτητα και η πία είναι ίση με την ταχύτητα υ r πυ έχει τ κέντρ μάζας Ο τυ δίσκυ. Επμένως στ σημεί Α η ταχύτητα λόγω της μεταφρικής κίνησης έχει μέτρ ίσ με υ. =υ (1). Εξαιτίας της περιστρφικής κίνησης η ταχύτητα τυ σημεί Α έχει μέτρ ίσ με υ περ. =ω R () και κατεύθυνση όπως φαίνεται στ σχήμα. Επειδή όμως δίσκς κυλίεται χωρίς να λισθαίνει, για την ταχύτητα υ cm τυ κέντρυ μάζας τυ δίσκυ (υ cm = υ ) και τη γωνιακή ταχύτητα ω τυ δίσκυ ισχύει: υ cm =ω R (3). Από τις σχέσεις () και (3) για την ταχύτητα τυ σημείυ Α λόγω της περιστρφικής κίνησης πρκύπτει: υ περ. =υ cm =υ (4). Επμένως για την ταχύτητα υ r r r r A τυ σημείυ Α ισχύει υ A =υ μετ. +υπερ.. Για τν υπλγισμό τυ μέτρυ της ταχύτητας τυ σημείυ Α εφαρμόζυμε τ πυθαγόρει θεώρημα. Είναι: υ = υ +υ (5). Α μετ. περ. Λαμβάνντας υπόψη τις σχέσεις (1) και (4) πρκύπτει τελικά: υ = υ +υ υ = υ +υ υ = υ Α μετ. περ. Α o o Α o μετ. Σωστή απάντηση είναι η β. Δικαιλόγηση Η μεταβλή της κινητικής ενέργειας τυ συστήματς των δύ σωμάτων πυ

3 παρατηρήθηκε λόγω της κρύσης είναι: 1 1 Δ K = Kλ, τελ Kλ, αρχ Δ K = ( ma + mb) V m A υ Α (1) Χρειάζεται να πρσδιρίσυμε την ταχύτητα V με την πία κινείται τ συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρύση. Για τ λόγ αυτό για την πλαστική κρύση των δύ σωμάτων εφαρμόζυμε την αρχή διατήρησης της ρμής. Είναι: r r ma υα pλ, αρχ = pλ, τελ ma υ Α = ( ma + mb) V V = () ma + mb Λαμβάνντας υπόψη ότι: m B = m A πρκύπτει για τη σχέση (): ma υα ma υα υα V= V= V = (3) ma + mb ma + ma 3 Με αντικατάσταση της σχέσης (3) στη σχέση (1) πρκύπτει τ ζητύμεν: υα A B A Α A A A Α Δ K = ( m + m ) V m υ Δ K = ( m + m ) m υ 3 1 υα 1 1 υα Δ K = 3mA ma υα Δ K = ma ma υα Δ K = ma υα ma υα Δ K = 3 3. Σωστή απάντηση είναι η γ. Δικαιλόγηση Α τρόπς Οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με τ χρόν για τ υλικό σημεί Σ πυ εκτελεί απλή αρμνική ταλάντωση πλάτυς Α και κυκλικής συχνότητας ω είναι: υ=υ συν( ω t +φ ) και α = α ημ( ω t +φ ) όπυ υ η μέγιστη τιμή τυ μέτρυ της ταχύτητας τυ και α η μέγιστη τιμή τυ μέτρυ της επιτάχυνσής τυ. Λαμβάνντας υπόψη ότι συν φ + ημ φ = 1, και χρησιμπιώντας τις δύ παραπάνω εξισώσεις έχυμε ότι: υ υ = υ συν ω t+ φ υ = υ συν ω t+ φ συν ω t+ φ = (1) υ α α= α ημ ω +φ α =α ημ ω +φ ημ ω +φ = () α ( t ) ( t ) ( t ) ρσθέτντας κατά μέλη τις σχέσεις (1) και () πρκύπτει: υ α υ α α υ συν ( ω t+φ ) +ημ ( ω t+φ ) = + 1= + = 1 υ α υ α α υ υ υ υ α =α 1 (3) α =α υ υ 3

4 Λαμβάνντας υπόψη ότι για τις μέγιστες τιμές των μέτρων της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ισχύυν υ =ω Ακαι α =ω Α, τότε για τη σχέση (3) πρκύπτει: υ υ υ υ α =α α = ( ω Α) υ ω Α 4 υ υ α =ω Α α =ω ( υ υ ) ω Α Β τρόπς Για την απλή αρμνική ταλάντωση πλάτυς Α και κυκλικής συχνότητας ω τυ υλικύ σημεί Σ ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας σύμφωνα με την 1 πία σε κάθε θέση τ άθρισμα της κινητικής τυ ενέργειας K = mυ και 1 της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης U= Dx είναι σταθερό και ίσ 1 με την ενέργεια ταλάντωσης E= DΑ, όπυ D= m ω η σταθερά επαναφράς της ταλάντωσης. Επμένως: E= K+ U DA = mυ + Dx mω A = mυ + mω x ω A =υ +ω x (1) Λαμβάνντας υπόψη ότι: Για τη μέγιστη τιμή τυ μέτρυ της ταχύτητας ισχύει υ =ω Α. Για την επιτάχυνση α τυ υλικύ σημείυ Σ σε κάθε θέση της ταλάντωσης ισχύει 4 α α= ω x α = ( ω x) α =ω x x = ω 4 και αντικαθιστώντας στη σχέση (1) πρκύπτει τ ζητύμεν: α α α ω A =υ +ω x ( ω Α ) =υ +ω 4 υ =υ + υ υ = ω ω ω α =ω υ υ ( ) ΘΕΜΑ 3 α. Η γενική εξίσωση ενός γραμμικύ αρμνικύ κύματς πυ διαδίδεται κατά t x τη θετική κατεύθυνση ενός άξνα x x είναι: y=αημπ T λ. Συγκρίνντάς την με την εξίσωση τυ κύματς πυ μας δίνεται y= 0,4ημπ( t 0,5x), πρκύπτυν: Τ πλάτς τυ κύματς: Α = 0,4 m. Η περίδς τυ κύματς: 1 = T= 1 s T= 0,5s. T 4

5 Τ μήκς κύματς: 1 = 0,5 λ= 1 m λ= m. λ 0,5 Η ταχύτητα διάδσης τυ κύματς υ πρκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. Είναι: λ m υ= = υ= 4m/s Τ 0,5 s β. Η μέγιστη ταχύτητα υ max ταλάντωσης των σημείων τυ ελαστικύ μέσυ π π είναι ίση με υ max =ω Α, όπυ ω= = rad / s = 4π rad / s.επμένως: T 0,5 υ max =ω Α= 4π 0,4 m/s υ max = 1,6π m/s γ. Έστω δύ σημεία Κ και Λ τυ ελαστικύ μέσυ τα πία απέχυν απστάσεις x K και x Λ αντίστιχα από την πηγή Ο τυ κύματς, όπως φαίνεται στ διπλανό σχήμα. Τα δύ αυτά σημεία απέχυν μεταξύ τυς απόσταση Δx = x Λ x K. Για τη φάση των δύ σημείων την ίδια χρνική στιγμή ισχύει: t1 xκ φ κ = π T λ και t x 1 Λ φ Λ = π T λ. Επειδή φ Λ > φ Κ για τη διαφρά φάσης των δύ σημείων ισχύει: t1 xλ t1 xκ xk xλ Δx Δφ=φΛ φ Κ = π π Δφ= π Δφ= π T λ T λ λ λ Αντικαθιστώντας Δx = 1,5 m και λ = m πρκύπτει: Δx 1,5 Δφ= π Δφ= π rad Δφ= 1,5πrad λ 11 δ. Αντικαθιστώντας τη χρνική στιγμή t 1 = s στην εξίσωση τυ κύματς 8 πυ μας δίνεται πρκύπτει: y = 0, 4ημπ( t 0,5x ) y = 0, 4ημπ 0,5x y = 0, 4ημπ 0,5x (S.I.) 8 4 Για να φτιάξυμε τ στιγμιότυπ τυ κύματς δυλεύυμε ως εξής: Βρίσκυμε αρχικά μέχρι πι σημεί έχει διαδθεί τ κύμα τη χρνική στιγμή πυ μας δίνεται. Αυτό βρίσκεται μηδενίζντας τη φάση. Είναι: φ= 0 π 0,5x = 0 0,5x = 0 0,5x = x = 5,5 m Ο αριθμός των μηκών κύματς Ν πυ αντιστιχεί μέχρι την απόσταση x = 5,5 m πυ διαδόθηκε τ κύμα είναι: x 5,5m 3 x = N λ Ν = = N=,75μήκη κύματς, δηλαδή x = λ+ λ. λ m 4 5

6 11 Τη χρνική στιγμή t 1 = s η απμάκρυνση τυ σημείυ πυ βρίσκεται στη 8 θέση x = 0 είναι: π y= 0,4ημπ 0,5x = 0,4ημπ 0,5 0 = 0,4ημπ = 0,4ημ = = 0,4 ( 1) m = 0,4 m 11 Τη χρνική στιγμή t 1 = s η απμάκρυνση τυ σημείυ πυ βρίσκεται στη 8 λ m θέση x1 = = = 0,5m είναι: y= 0,4ημπ 0,5x = 0,4ημπ 0,5 0,5 = 0,4ημπ 0,5 = 0,4ημπ = = 0,4ημ5π= 0,4 0 m = 0 m Επμένως τ στιγμιότυπ τυ κύματς είναι: ΘΕΜΑ 4 α. Οι δυνάμεις πυ ασκύνται στ σύστημα στερεό σώμα Σ φαίννται στ διπλανό σχήμα και είναι: Η δύναμη F r o πυ ασκείται στ ελεύθερ άκρ Α τυ νήματς, η τάση T ur τυ νήματς πυ ασκείται στ στερεό (ισχύει F o = T ), τ βάρς w uur τυ σώματς Σ, και ι τάσεις T ur ur και T τυ νήματς πυ συνδέυν τ στερεό και τ σώμα Σ και ι πίες έχυν ίδι μέτρ, αφύ τ νήμα πυ συνδέει τ στερεό με τ σώμα Σ είναι αβαρές. Για την ισρρπίας τυ σώματς Σ ισχύει: Σ F= 0 T = w T= mg= 0 10 N T= 00N 6

7 Επμένως Τ = Τ = 00 Ν. Για την ισρρπίας τυ στερεύ εφαρμόζυμε τη συνθήκη ισρρπίας για τις ρπές. Είναι: Στ ( Ο) = 0 τ Τ + τ T = 0 T R + F o R = 0 T 00 N Fo = = Fo = 100N β. Ασκώντας δύναμη μέτρυ F = 115 N τ σώμα Σ αρχίζει να ανεβαίνει εκτελώντας μεταφρική κίνηση με σταθερή επιτάχυνση α και τ στερεό αρχίζει να περιστρέφεται εκτελώντας στρφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων. (Οι τάσεις των νημάτων πυ ασκύνται μεταξύ στερεύ και σώματς Σ έχυν τώρα διαφρετικές τιμές). Για τη μεταφρική κίνηση τυ σώματς Σ ισχύει: Σ F= m α T1 w = m α T1 = m α+ m g(1) Επειδή τ νήμα είναι αβαρές ισχύει: T 1 = Τ 1. Για την στρφική κίνηση τυ στερεύ ισχύει: Στ=Ι αγων F R T 1 R =ΜR α γων () Για την επιτάχυνση α τυ σώματς Σ και τη γωνιακή επιτάχυνση α γων τυ στερεύ ισχύει: α α=αγων R α γων = (3) R Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση () πρκύπτει: α F R T 1 R =ΜR αγων F R T 1 R =Μ R T 1 = F M α (4) R Τέλς με αντικατάσταση της σχέσης (4) στη σχέση (1) πρκύπτει: T1 = m α+ m g F M α= m α+ m g F m g= ( m+ M) α F m g m/s 1m/s α= = α= m+ M γ. Η στρφρμή τυ στερεύ πρσδιρίζεται από τη σχέση: L= I ω όπυ: Ι=Μ R = 10 0, kg m I= 0,4kg m η ρπή αδράνειας τυ στερεύ και ω η γωνιακή ταχύτητα τυ στερεύ τη στιγμή πυ τ σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h = m. Α τρόπς πρσδιρισμύ της γωνιακής ταχύτητας ω τυ στερεύ. 7

8 Επειδή τ σώμα Σ εκτελεί ευθύγραμμη μαλά επιταχυνόμενη κίνηση, χρόνς πυ απαιτείται για να ανέλθει τ σώμα Σ κατά h = m θα 1 πρσδιριστεί από τη σχέση: x = α t. Είναι: 1 1 h x = αt h = αt1 t1 = = s t1 = s α 1 Τ στερεό εκτελεί ευθύγραμμη μαλά επιταχυνόμενη στρφική κίνηση, πότε η γωνιακή τυ ταχύτητα τη χρνική στιγμή t 1 = s θα πρσδιριστεί α 1 από τη σχέση ω=αγων t, όπυ α γων = = rad / s = 5 rad / s η γωνιακή R 0, επιτάχυνση με την πία κινείται. Επμένως: ω=αγων t ω= 5 rad/s ω= 10rad/s B τρόπς πρσδιρισμύ της γωνιακής ταχύτητας ω τυ στερεύ. Εφαρμόζυμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για τ σύστημα στερεό και σώμα Σ για τις θέσεις (Ι) και (ΙΙ). Είναι: E + E Ε = E (5) λ, αρχ. πρσφ. απωλ. λ, τελ Για τ σκπό αυτό θεωρύμε ως επίπεδ μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας την αρχική θέση (Ι) τυ σώματς Σ. Για την αρχική ενέργεια τυ συστήματς ισχύει: Eλ, αρχ. = Uβαρ, Σ + Uβαρ, +Κ Σ +Κ Όμως η αρχική ενέργεια τυ συστήματς ισύται μόν με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια τυ στερεύ ( Uβαρ, = Μ g H), καθώς τ σώμα Σ βρίσκεται στην επιφάνεια μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ενώ αρχικά ύτε τ σώμα Σ κινείται ύτε τ στερεό περιστρέφεται. Επμένως: E = Μ λ, αρχ. g H 8

9 Στ σύστημα πρσφέρεται ενέργεια μέσω τυ έργυ της σταθερής δύναμης F, για τ πί ισχύει: E = W = πρσφ F F d Η επιτάχυνση τυ σημείυ Α είναι ίση με την επιτρόχια (εφαπτμενική) επιτάχυνση τυ σημείυ Δ (δείτε τ σχήμα της πρηγύμενης σελίδας). Επμένως για την επιτάχυνση τυ σημείυ α Α ισχύει: α Α =α ε, Δ =αγων R Η επιτάχυνση τυ σώματς Σ είναι ίση με α =αγων R. Επμένως συμπεραίνυμε ότι εφόσν τ σημεί Α κινείται με διπλάσια επιτάχυνση από τ σώμα Σ, τότε στν ίδι χρόν πυ τ σώμα Σ ανέρχεται κατά ύψς h, τ σημεί Α θα μετακινείται κατά διπλάσια απόσταση. Επμένως d = h. Επμένως η πρσφερόμενη ενέργεια στ σύστημα είναι: E = W = F F πρσφ d = F h Κατά τη διάρκεια της κίνησης τυ συστήματς δεν υπάρχυν απώλειες ενέργειας, επμένως: E = απωλ. 0 Για την τελική ενέργεια τυ συστήματς ισχύει: Eλ, τελ. = Uβαρ, Σ + Uβαρ, +Κ Σ +Κ Η τελική ενέργεια τυ συστήματς ισύται με την κινητική ενέργεια τυ 1 σώματς Σ λόγω της μεταφρικής τυ κίνησης Κ Σ = m υ, την κινητική 1 ενέργεια τυ στερεύ λόγω της περιστρφικής τυ κίνησης Κ = Ιω, τη βαρυτική δυναμική ενέργεια τυ στερεύ ( Uβαρ, = Μ g H) καθώς και τη βαρυτική δυναμική ενέργεια τυ σώματς Σ ( U, m g h) =. βαρ Σ Επμένως: 1 1 Eλ, τελ = Μ g H+ m g h+ mυ + Ιω Αντικαθιστώντας λιπόν όλα τα παραπάνω στη σχέση (5) πρκύπτει: 1 1 E E E g H F h 0 g H m g h m 1 1 F h = m g h+ mυ + Ιω Όμως για τη ταχύτητα υ τυ σώματς Σ ισχύει υ =ω R, πότε αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση πρκύπτει τελικά: F h = m g h+ mυ + Ιω F h = m g h+ m( ω R) + Ιω 1 1 F h m g h = mω R + Ιω ( F h m g h ) =ω (mr + I) ( F h m g h) ( ) ω= = rad / s ω= 10 rad / s mr + I 0 0, + 0, 4 λ, αρχ. + πρσφ. Ε απωλ. = λ, τελ Μ + =Μ + + υ + Ιω 9

10 Επμένως για τη στρφρμή τυ στερεύ θα ισχύει: L= I ω= ( 0,4 10) kg m /s L= 4kg m /s δ. Α τρόπς Τ σημεί Α εκτελεί ευθύγραμμη μαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση α Α. Η μετατόπισή τυ στ χρόν των s θα υπλγιστεί από τη σχέση: 1 x = α t. Η επιτάχυνση τυ σημείυ Α είναι ίση με την επιτρόχια (εφαπτμενική) επιτάχυνση τυ σημείυ Δ (δείτε τ σχήμα της πρηγύμενης σελίδας). Επμένως για την επιτάχυνση τυ σημείυ α Α ισχύει: α Α =α ε, Δ =αγων R = ( 5 0,) m /s = m /s Επμένως η ζητύμενη μετατόπιση τυ σημείυ A είναι: 1 1 xa = α At = m xa = 4m B τρόπς Στ χρόν των s, τ στερεό, πυ εκτελεί μαλά επιταχυνόμενη στρφική κίνηση, θα έχει διαγράψει γωνία θ για την πία ισχύει: 1 1 θ= α γωνt = 5 rad θ= 10rad Επμένως για την απόσταση x A πυ θα έχει διαγράψει τ σημεί Α στν ίδι χρόν θα ισχύει: ε. Τ ζητύμεν πσστό είναι: A x =θ R = 10 0, m x = 4m Κ α % = 100% WF όπυ: W F τ έργ της δύναμης F για τη μετατόπιση τυ σώματς Σ κατά h και για τ πί ισχύει: WF = F d= F h = 115 J= 460J Κ η κινητική ενέργεια πυ έχει τ στερεύ τη χρνική στιγμή πυ τ σώμα Σ έχει μετατπιστεί κατά h και για την πία ισχύει: 1 1 K = Ι ω = 0,4 10 J= 0J Επμένως τ ζητύμεν πσστό είναι: Κ 0 J 100 α % = 100% = 100% α= % ή α= 4,347% W 460J 3 F A 10