Logică și structuri discrete. Marius Minea marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016
|
|
- Ευτυχός Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016
2 Logica stă la baza informaticii circuite logice: descrise în algebra booleană calculabilitate: ce se poate calcula algoritmic? metode formale: demonstrarea corectitudinii programelor inteligența artificială: cum reprezentăm și deducem cunoștințe? baze de date relaționale etc.
3 Exemple de specificații RFC822: Standard for ARPA Internet Text Messages ( ) If the Reply-To field exists, then the reply should go to the addresses indicated in that field and not to the address(es) indicated in the From field. Contracte pentru funcții în limbaje de programare Bertrand Meyer, Eiffel, 1986; acum în mai toate limbajele incl. pentru C în anul 1, int log(int x) //@requires x >= 1; //@ensures \result >= 0; //@ensures (1 << \result) <= x;
4 Din istoria logicii Aristotel (sec.4 î.e.n.): primul sistem de logică formală (riguroasă) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ): logică computațională raționamentele logice pot fi reduse la calcul matematic George Boole ( ): The Laws of Thought: logica modernă, algebră booleană (logică și mulțimi) Gottlob Frege ( ): logica simbolică clasică Begriffsschift: formalizare a logicii ca fundament al matematicii Bertrand Russell ( ): Principia Mathematica (cu A. N. Whitehead) formalizare încercând să elimine paradoxurile anterioare Kurt Gödel ( ): teoremele de incompletitudine (1931): nu există axiomatizare consistentă și completă a aritmeticii
5 Logică și gândire computațională Computational logic folosirea logicii pentru a efectua sau raționa despre calcule programare logică: descrie declarativ ce, rezultă automat cum logica ne permite să verificăm programele scrise Algorithm = Logic + Control R. Kowalski, 1979 componenta logică: cunoștințele folosite (înțelesul algoritmului) + componenta de control: strategiile de execuție eficiența Computational thinking Computational thinking is the thought processes involved in formulating a problem and expressing its solution(s) in such a way that a computer human or machine can effectively carry out.... computational thinking will be a fundamental skill [...] used by everyone by the middle of the 21st Century. J. Wing,
6 Operatori logici uzuali Știm deja: operatorii logici NU ( ), SAU ( ), ȘI ( ) let bisect an = an mod 400 = 0 an mod 4 = 0 && not (an mod 100 = 0) Tabele de adevăr: p p F T T F negație NU C:! ML: not p q p q F T F F T T T T disjuncție SAU C/ML: p q p q F T F F F T F T conjuncție ȘI C/ML: &&
7 Logica propozițională Unul din cele mai simple limbaje (limbaj putem exprima ceva) așa cum codificăm numere, etc. în biți putem exprima probleme prin formule în logică Discutăm: Cum definim o formulă logică: forma ei (sintaxa) vs. înțelesul ei (semantica) Cum reprezentăm o formulă? pentru a opera eficient cu ea Cum folosim logica pentru a lucra cu alte noțiuni din informatică? (mulțimi, relații, automate) Ce sunt demonstrațiile și raționamentul logic? cum putem demonstra? se poate demonstra (sau nega) orice?
8 Propoziții logice O propoziție (logică) e o afirmație care e fie adevărată, fie falsă, dar nu ambele simultan. Sunt sau nu propoziții? = 5 x + 2 = 4 Toate numerele prime mai mari ca 2 sunt impare. x n + y n = z n nu are soluții întregi nenule pentru niciun n > 2 Dacă x < 2, atunci x 2 < 4 Logica matematică ne permite să raționăm precis. trebuie să definim precis ce e logica propozițională sintaxa (cum arată/e formată) și semantica (ce înseamnă)
9 Sintaxa logicii propoziționale Un limbaj e definit prin simbolurile sale și prin regulile după care le combinăm corect. Simbolurile logicii propoziționale: propoziții: notate deobicei cu litere p, q, r, etc. operatori (conectori logici): negație, implicație, paranteze ( ) Formulele logicii propoziționale: definite prin inducție structurală, o formulă complexă e construită din formule mai simple: orice propoziție (numită și formulă atomică) ( α) dacă α este o formulă (α, β numite subformule) (α β) dacă α și β sunt formule Omitem parantezele redundante, considerând mai prioritar ca Operatorii cunoscuți pot fi definiți folosind și : α β def = (α β) (ȘI) α β def = α β (SAU) α β def = (α β) (β α) (echivalență)
10 Sintaxa (concretă și abstractă) vs. semantică Sintaxa: o mulțime de reguli care definește construcțiile unui limbaj aici: formulele logicii propoziționale NU spune ce înseamnă o formulă Semantica: definește înțelesul unei construcții (unui limbaj) Sintaxa concretă precizează modul exact de scriere. O formulă e: prop formulă formulă formulă sau formulă formulă Sintaxa abstractă: interesează structura formulei din subformule: propoziție, negația unei formule, conjuncția/disjuncția a 2 formule În ML, putem definim un tip recursiv urmărind sintaxa abstractă: type boolform = V of string Neg of boolform And of boolform * boolform Or of boolform * boolform Numele de constructori And, Or, etc. sunt alese de noi. Tipul reprezintă structura formulelor, nu simboluri concrete (, ), nici scrierea infix sau prefix, etc.
11 Implicația logică p q numită și condițional(ă) p: antecedent (sau ipoteză) q: consecvent (sau concluzie) Semnificație: dacă p e adevărat, atunci q e adevărat (if-then) dacă p nu e adevărat, nu știm nimic despre q (poate fi oricum) Deci, p q e fals doar dacă p e adevărat și q e fals (dacă p, atunci q ar trebui să fie adevărat) q p q F T p F T T Tabelul de adevăr: T F T Exprimat cu alți conectori: p q = p q
12 Implicația în vorbirea curentă și în logică În limbajul natural, dacă... atunci denotă adesea cauzalitate dacă plouă, iau umbrela În logica matematică, NU înseamnă cauzalitate 3 e impar 2 e număr prim implicație adevărată, T T În demonstrații, vom folosi ipoteze relevante (legate de concluzie) Vorbind, spunem adesea dacă gândind dacă și numai dacă (echivalență, o noțiune mai puternică!) Exemplu: Dacă depășesc viteza, iau amendă. ATENȚIE: fals implică orice! (vezi tabelul de adevăr) un raționament cu o verigă falsă poate duce la orice concluzie un paradox (p p) distruge încrederea într-un sistem logic
13 Despre implicație Fiind dată o implicație p q, definim: reciproca: q p inversa: p q contrapozitiva: q p Contrapozitiva e echivalentă cu formula inițială (directa). Inversa e echivalentă cu reciproca. p q NU e echivalent cu q p (reciproca)
14 Calculul în logică: funcții de adevăr Formula e o noțiune sintactică. Valoarea de adevăr e o noțiune semantică. Definim riguros cum calculăm valoarea de adevăr a unei formule. O funcție de adevăr v atribuie la orice formulă o valoare de adevăr {T, F} astfel încăt: v(p) e definită { pentru fiecare propoziție atomică p. T dacă v(α) = F v( α) = F dacă v(α) = T { F dacă v(α) = T și v(β) = F v(α β) = T în caz contrar Exemplu: fie v(a) = T, v(b) = F, v(c) = T putem calcula v pentru orice formulă cu propoziții din {a, b, c} v((a b) c): avem v(a b) = F pentru că v(a) = T și v(b) = F (cazul 1) și atunci v((a b) c) = T (cazul 2: v(a b) = F)
15 Interpretări ale unei formule O interpretare a unei formule = o evaluare pentru propozițiile ei O intrepretare satisface o formulă dacă o evaluează la T. Spunem că interpretarea e un model pentru formula respectivă. Exemplu: pentru formula a ( b c) ( a c) interpretarea v(a) = T, v(b) = F, v(c) = T o satisface interpretarea v(a) = T, v(b) = T, v(c) = T nu o satisface. O formulă poate fi: tautologie (validă): adevărată în toate interpretările realizabilă (en. satisfiable): adevărată în cel puțin o interpretare contradicție (nerealizabilă): nu e adevărată în nicio interpretare contingență: adevărată în unele interpretări, falsă în altele (nici tautologie, nici contradicție)
16 Tabela de adevăr Tabela de adevăr prezintă valoarea de adevăr a unei formule în toate interpretările posibile 2 n interpretări dacă formula are n propoziții a b c a (b c) F F F T F F T T F T F T F T T T T F F T T F T T T T F F T T T T a b c (a b) c F F F F F F T T F T F F F T T T T F F T T F T T T T F F T T T T Două formule sunt echivalente dacă au același tabel de adevăr Două formula φ și ψ sunt echivalente dacă φ ψ e o tautologie
17 Exemple de tautologii a a a a (a b) a b (a b) a b (a b) ( a c) (a b) ( a c) a (b c) (a b) c (p q) p q (p q) q p p q p (p q) q (p q) p q (p q) (q r) (p r) regulile lui de Morgan
18 Algebra Booleană Pe mulțimi,, și complementul formează o algebră booleană. Tot o algebră booleană formează în logică și, și : Comutativitate: A B = B A A B = B A Asociativitate: (A B) C = A (B C) și (A B) C = A (B C) Distributivitate: A (B C) = (A B) (A C) și A (B C) = (A B) (A C) Identitate: există două valori (aici F și T) astfel ca: A F = A A T = A Complement: A A = T A A = F Alte proprietăți (pot fi deduse din cele de mai sus): Idempotență: A A = A A A = A Absorbție: A (A B) = A A (A B) = A A (A B) = A B (din distributivitate și complement)
19 Reprezentarea formulelor boolene E bine ca o reprezentare să fie: canonică (un obiect să fie reprezentat într-un singur fel) avem egalitate dacă și numai dacă au aceeași reprezentare simplă și compactă (ușor de implementat / stocat) ușor de prelucrat (algoritmi simpli / eficienți) O astfel de reprezentare: diagrame de decizie binare (Bryant, 1986)
20 Descompunerea după o variabilă Fixând valoarea unei variabile într-o formulă, aceasta se simplifică: Fie f = (a b) (a c) ( a b c). f a=t = T T ( b c) = b c f a=f = b c T = b c Pentru orice formulă, putem scrie f = a f a=t a f a=f =descompunerea Shannon, exprimă f în funcție de valoarea lui a. În program (ML), am scrie let f = if a then not b c else b && not c Continuând pentru cele două subformule, obținem în final un arbore de decizie: dând valori la variabile (a =T, b =F, c =T ) și urmând ramurile respective, frunza la care ajungem (T sau F ) dă valoarea funcției E o reprezentare echivalentă mai compactă decât tabelul de adevăr, ceea ce e util în practică Simplificând arborele de decizie obținem o diagramă de decizie (graf)
21 Arbori de decizie binari x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x f (x 1, x 2, x 3 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) de ex. f (T, F, T ) = T, f (F, T, F ) = F, etc. noduri terminale: valoarea funcției (0 sau 1, adică F sau T) noduri neterminale: variabile x i (de care depinde funcția) ramuri: low(nod) / high(nod) : atribuire F/T a variabilei din nod Fixând ordinea variabilelor, arborele e unic (canonic), dar ineficient: 2 n combinații posibile, la fel ca tabela de adevăr
22 Reducerea nr. 1: Comasarea nodurilor terminale păstrăm o singură copie pentru nodurile 0 și 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 0 1
23 Reducerea nr. 2: Comasarea nodurilor izomorfe Dacă low(n 1 ) = low(n 2 ) și high(n 1 ) = high(n 2 ), comasăm n 1 și n 2 (dacă nodurile au același rezultat pe ramura fals, și același rezultat pe ramura adevărat, ele se comportă la fel și le comasăm) x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x
24 Reducerea nr. 3: Eliminarea testelor inutile Dacă un nod dă același rezultat pe ramurile fals și adevărat, nodul poate fi eliminat x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x
25 De la arbore la diagramă de decizie binară x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x x arbore de decizie binar diagramă de decizie binară
26 Diagrame de decizie binare Rezultatul obținut: binary decision diagram (BDD) (reprezentare introdusă de R. Bryant în 1986) Putem s-o construim recursiv, descompunând după o variabilă: x 1 f = x 1 f x1 =T x 1 f x1 =F f x1 =F f x1 =T construind f x1 =T și f x1 =F apoi comasând eventuale noduri comune între cele două părți A devenit standard în industria circuitelor integrate digitale toate companiile și programele de proiectare o folosesc Pentru a verifica egalitatea a două funcții se construiesc BDD-uri pentru cele două funcții dacă funcțiile sunt egale, se obține același obiect BDD se verifică direct și eficient egalitatea funcțiilor
27 Construim mai simplu o BDD pentru o funcție f (x 1, x 2, x 3 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) Alegem o variabilă: x 1. Calculăm f x1 =F și f x1 =T Construim BDD-urile pentru cele două funcții (direct, dacă sunt simple, altfel continuăm recursiv, alegând următoarea variabilă) x 2 x 3 x f x1 =F = x 2 x 3 f x1 =T = x 3 x 1 x 2 Adăugăm nodul cu x 1 deasupra. Remarcăm că diagrama cu x 3 e comună și păstrăm o singură copie x 3 0 1
28 Forma normală conjunctivă (conjunctive normal form) formula = conjuncție de clauze clauză = disjuncție de literali literal = propoziție sau negația ei (a b d) ( a b) ( a c d) ( a b c) Similar: forma normală disjunctivă (disjuncție de conjuncții) Transformarea unei formule în formă normală conjunctivă ducem (repetat) negația înăuntru (regulile lui de Morgan) (A B) = A B (A B) = A B ducem (repetat) disjuncția înăuntru (distributivitate) (A B) C = (A C) (B C) Abordarea naivă poate crește exponențial dimensiunea formulei: (p 1 p 2 p 3 ) (q 1 q 2 q 3 ) = (p 1 (q 1 q 2 q 3 )) (p 2 (q 1 q 2 q 3 )) (p 3 (q 1 q 2 q 3 )) = (p 1 q 1 ) (p 1 q 2 ) (p 1 q 3 ) (p 2 q 1 ) (p 2 q 2 ) (p 2 q 3 ) (p 3 q 1 ) (p 3 q 2 ) (p 3 q 3 )
29 Transformarea Tseitin Dă o formulă realizabilă dacă și numai dacă cea inițială e realizabilă echirealizabilă (en. equisatisfiable) Dimensiunea formulei rezultante e liniară în cea a formulei inițiale Pentru fiecare operator introducem o nouă propoziție reprezintă subformula calculată de acel operator Scriem (în CNF) că noua propoziție e echivalentă cu subformula (implicație în ambele sensuri) Obținem regulile de transformare pentru cei trei operatori formula p formula rescriere in CNF A ( A p) (p A) (A p) ( A p) A B (A B p) (p A B) ( A B p) (A p) (B p) A B (p A B) (A B p) (A B p) ( A p) ( B p) Rezultă o formulă cu mai multe propoziții nu e echivalentă dar e realizabilă dacă și numai dacă formula inițială e realizabilă deci o putem folosi în verificarea realizabilității
30 Transformarea Tseitin: exemplu Numerotăm operatorii din formulă: (a 1 b) (c 2 d) pentru simplitate, nu e nevoie să numerotăm negațiile și nici conectorii la nivelul final (...) (...) Introducem propozițiile: p 1 a 1 b, p 2 c 2 d. Scriem relațiile intrare-ieșire pentru fiecare operator în parte și adăugăm formula pentru operatorul care dă rezultatul. Legăm toate acest relații prin conjuncție: ( a b p 1 ) (a p 1 ) ( b p 1 ) p 1 reprezintă a b ( c d p 2 ) (c p 2 ) (d p 2 ) p 2 reprezintă c d (p 1 p 2 ) vrem ca toată formula să fie adevărată Putem transforma direct conjuncții/disjuncții multiple ȘI ( A 1 A 2 A 3 p) (A 1 p) (A 2 p) (A 3 p) ȘAU (A 1 A 2 A 3 p) ( A 1 p) ( A 2 p) ( A 3 p)
31 Transformarea Tseitin: formula ca circuit logic (a b) (c 1 d) intrarea fiecărei porți: propoziție nouă nu trebuie numerotat sub și nici operatorul final Avem un singur operator de exprimat: (a b) p 1 formula (p 1 c d) ce înseamnă p 1 c d a b p 1 p 1 Scriem fiecare echivalență în CNF, sau direct după regulile dinainte; punem conjuncție între ele (a b) p 1 (nivelul final cu rezultatul) (c d p 1 ) ( c p 1 ) ( d p 1 )
32 Realizabilitatea unei formule propoziționale (satisfiability) Se dă o formulă în logică propozițională. Există vreo atribuire de valori de adevăr care o face adevărată? = e realizabilă (engl. satisfiable) formula? (a b d) ( a b) ( a c d) ( a b c) Găsiți o atribuire care satisface formula? Formula e în formă normală conjunctivă (conjunctive normal form) = conjuncție de disjuncții de literali (pozitive sau negate) Fiecare conjunct (linie de mai sus) se numește clauză
33 Cum stabilim dacă o formulă e realizabilă? Reguli de simplificare: R1) Un literal singur într-o clauză are o singură valoare fezabilă: în a ( a b c) ( a b c) a trebuie să fie T în (a b) b ( a b c) b trebuie să fie F R2a) Dacă un literal e T, pot fi șterse clauzele în care apare (ele sunt adevărate, și nu mai influențează formula) R2b) Dacă un literal e F, el poate fi șters din clauzele în care apare (nu ajută în a face clauza adevărată) Exemplele de mai sus se simplifică: a ( a b c) ( a b c) b=f a=t (a b) b ( a b c) a (și de aici a = T, deci formula e realizabilă) (b c) ( b c)
34 Cum stabilim dacă o formulă e realizabilă? R3) Dacă nu mai sunt clauze, am terminat (și avem o atribuire) Dacă se ajunge la o clauză vidă, formula nu e realizabilă a ( a b) ( b c) ( a b c) a=t b ( b c) ( b c) b=t c c c=t ( c devine clauza vidă nerealizabilă) Dacă nu mai putem face reduceri după aceste reguli? a=t a ( a b c) ( b c) (b c) ( b c)?? R4) Alegem o variabilă și încercăm (despărțim pe cazuri) cu valoarea F cu valoarea T O soluție pentru oricare caz e bună (nu căutăm o soluție anume). Dacă nici un caz nu are soluție, formula nu e realizabilă.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραElemente de logicǎ matematicǎ
Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
56 3.4. Minimizarea funcţiilor booleene Minimizarea constă în obţinerea formei celei mai simple de exprimare a funcţiilor booleene în scopul reducerii numărului de circuite şi a numărului de intrări ale
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
56 sau: F = ABC + ABC + ABC Complementând din nou, se obţine funcţia iniţială: F = ABC + ABC + ABC = ABC ABC ABC = ( A + B + C)( A + B + C)( A + B + C) sau F = S 4 S5 S6 3.4. Minimizarea funcţiilor booleene
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραArhitectura Calculatoarelor. Fizică - Informatică an II. 2. Circuite logice. Copyright Paul GASNER 1
Arhitectura Calculatoarelor Fizică - Informatică an II gasner@uaic.ro 2. Circuite logice Copyright Paul GASNER 1 Funcţii booleene Porţi logice Circuite combinaţionale codoare şi decodoare Cuprins multiplexoare
Διαβάστε περισσότεραReprezentare si rationament folosind clauze precise. Capitolul 2
Reprezentare si rationament folosind clauze precise Capitolul 2 Agenti bazati pe cunostinte Una dintre abordarile clasice ale IA porneste de la premisa ca inteligenta umana este rezultatul realizarii de
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα1. ELEMENTE DE ALGEBRĂ BOOLEANĂ
. ELEMENTE DE ALGEBRĂ BOOLEANĂ În teoria circuitelor numerice şi în electronica digitală în general, semnalele electrice pot lua numai valori discrete, în majoritatea cazurilor aceste valori fiind asociate
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραLogică și structuri discrete. Logica predicatelor. Marius Minea 10 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logica predicatelor Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 10 noiembrie 2014 Logică: recapitulare Folosim logica pentru a formaliza raționamente
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραLimbaje de Programare Curs 3 Iteraţia. Reprezentare internă. Operatori pe biţi
Limbaje de Programare Curs 3 Iteraţia. Reprezentare internă. Operatori pe biţi Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Iteraţia 2 Reprezentare internă 3 Operaţii
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραGeorge Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra
Logică matematică George Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatică Economică October
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραComplexitate și calculabilitate. Recapitulare
Logică și structuri discrete Complexitate și calculabilitate. Recapitulare Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 8 ianuarie 2018 Revenim la traversarea grafurilor Traversarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Διαβάστε περισσότεραMetode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -
Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότερα