ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Απλός αρμνικός ταλανττής με απόσβεση Έστ απλός αρμνικός ταλανττής τυ Σχήματς 3., πυ απτελείται από μάζα συνδεδεμένη με ελατήρι σταθεράς k, έτσι ώστε η δύναμη επαναφράς να είναι και επιπρσθέτς υπάρχει απόσβεση, δηλαδή μια δύναμη τριβής, η πία θερείται ανάλγη της ταχύτητας bυ bx, όπυ b μια θετική σταθερά πυ νμάζεται σταθερά Σχήμα 3. απόσβεσης. Η παρυσία αντίστασης στην κίνηση πρκαλεί απώλεια ενέργειας κι επμένς μείση τυ πλάτυς τν ταλαντώσεν με τ χρόν. Γι αυτό τ λόγ ι ταλαντώσεις αυτές λέγνται φθίνυσες. k b x F Σύμφνα με τ νόμ τυ Newtn η εξίσση κίνησης τυ συστήματς αυτύ είναι: kx F kx bx x x b x k x Θέτντας και είναι η φυσική συχνότητα τν αμείτν ταλαντώσεν, η παραπάν σχέση γράφεται: b / k/ x x x (3-) η πία είναι μια διαφρική εξίσση δεύτερης τάξης, με σταθερύς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσση της διαφρικής εξίσσης (3-), είναι: λ γλ = Επμένς διακρίννται ι ακόλυθες περιπτώσεις: α) Αν 4 4, δηλαδή για γ>, πυ αντιστιχεί στην περίπτση μεγάλης απόσβεσης, τ τριώνυμ έχει πραγματικές αρνητικές ρίζες, πυ είναι: Οπότε η γενική λύση της (3-), είναι: 4 4,, x(t) e e t t (3-) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ όπυ Α, Β σταθερές πυ εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή στην περίπτση αυτή δεν παρατηρείται ταλάντση και χαρακτηρίζεται ς υπεραπόσβεση. Τ ακόλυθ σχήμα, απεικνίζει τη συμπεριφρά ενός συστήματς με υπεραπόσβεση, όταν ι αρχικές συνθήκες είναι x(t ) και x(t ). x A γ> t Σχήμα 3. β) Αν 4γ 4, δηλαδή για γ=, τ τριώνυμ έχει διπλή ρίζα, πυ είναι /, πότε η γενική λύση της (3-), είναι: x(t) ( t)e t (3-3) όπυ Α, Β σταθερές καθριζόμενες από τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή και πάλι δεν παρατηρείται ταλάντση τυ συστήματς και μάλιστα ταλανττής επιστρέφει στη θέση ισρρπίας τυ γρηγρότερα απ ότι στην περίπτση της υπεραπόσβεσης. Η περίπτση της απόσβεσης αυτής χαρακτηρίζεται ς κρίσιμη απόσβεση. Τ ακόλυθ σχήμα, απεικνίζει τη συμπεριφρά ενός συστήματς με κρίσιμη απόσβεση, όταν ι αρχικές συνθήκες είναι x(t ) και x(t ). x A γ= t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σχήμα 3.3 γ) Αν 4 4, δηλαδή για, πυ αντιστιχεί στην περίπτση μικρής απόσβεσης, τ τριώνυμ έχει μιγαδικές ρίζες, πυ είναι: i 4 4,, i πότε η γενική λύση της (3-) είναι: x(t) -γt Ae cs( t φ) (3-4) όπυ Α και φ σταθερές, ι πίες πρσδιρίζνται από τις αρχικές συνθήκες και. Δηλαδή στην περίπτση αυτή, τ σύστημα εκτελεί ταλάντση με κυκλική συχνότητα, διαφρετική από την και πλάτς ελαττύμεν εκθετικά με τ χρόν. Η περίπτση αυτή χαρακτηρίζεται ς υπαπόσβεση ή ασθενής απόσβεση. Τ ακόλυθ σχήμα, παριστάνει τη συμπεριφρά ενός συστήματς με ασθενή απόσβεση, όταν ι αρχικές συνθήκες, είναι: x(t ) και x(t ). x A γ< e -γt t cs(t+φ) -A Σχήμα 3.4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατηρήσεις: ) Η ταχύτητα τυ ταλανττή στην περίπτση ασθενύς απόσβεσης σύμφνα με την (3-4), είναι: υ dx dt γt Ae [ γcs(t φ) sin(t φ)] (3-5) Συνεπώς η λική ενέργεια τυ ταλανττή σε κάθε χρνική στιγμή θα είναι ίση με τ άθρισμα της κινητικής και της δυναμικής τυ ενέργειας, δηλαδή: V x (34),(35) γt e [( γcs(t φ) sin(t φ)) cs A ( t φ)] γt e [ sin ( t φ) ( γ cs ) A ( t φ) γcs(t φ) sin(t φ)] -γt Α e [ sin ( t φ) ( γ ) cs ( t φ) γsin(t φ)] όπυ sin(t φ) cs(t φ) sin(t φ) και επειδή γίνεται: γ, η τελευταία γt e A [ γ ( cs ( t φ) - sin ( t φ)) γsin(t φ)] (3-6) Στη διάρκεια μιας περιόδυ της ταλάντσης, εκθετικός παράγντας ελάχιστα μεταβάλλεται (αφύ στην περίπτση ασθενύς απόσβεσης είναι ) κι επμένς μπρεί να υπλγιστεί η μέση τιμή της ενέργειας στη διάρκεια μιας περιόδυ της ταλάντσης θερώντας τν εκθετικό παράγντα σταθερό. Αλλά ι μέσες τιμές τν cs ( t φ), sin ( t φ) και sin ( t φ) στη διάρκεια μιας περιόδυ της ταλάντσης, είναι: cs ( ( t φ) Τ cs ( t φ)dt cs t φ) dt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ t sin ( t φ) 4 π / sin(4π φ) - sinφ 4 cs ( t φ) Ομίς: sin ( t φ) Τ sin ( t φ)dt cs ( t φ) dt και sin ( t φ) Τ cs ( t φ) sin(t φ)dt π / - cs(4π φ) csφ sin(t φ) Άρα η (3-6), δίνει: γt γt ( t) A e ( t) E e (3-7) όπυ είναι η αρχική λική ενέργεια τυ ταλανττή. Δηλαδή σύμφνα με τη σχέση (3-7) πυ περιγράφει την απδιέγερση τυ ταλανττή, η ενέργεια φθίνει εκθετικά με τ χρόν. Ο χρόνς πυ απαιτείται για να μειθεί η ενέργεια στην τιμή Ε/e, είναι: e - E e γt γt t /γ τ και νμάζεται χρόνς απδιέγερσης ή απκατάστασης τυ ταλανττή. Ενώ χρόνς πυ απαιτείται για να μειθεί τ πλάτς στην τιμή Α/e, είναι: e - e γt γt t /γ Θερητικά βέβαια χρόνς πυ απαιτείται σε μια φυσική διεργασία εξασθένησης για να φτάσει ένα μέγεθς την τιμή τυ μηδενός, είναι άπειρς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ) Ο αριθμός τν ακτινίν κατά τν πί χρειάζεται να ταλαντθεί ένα σύστημα με απόσβεση για να μειθεί η ενέργειά τυ στην τιμή ρίζει τ συντελεστή πιότητας Q ενός απλύ αρμνικύ ταλανττή με απόσβεση και είναι: απθηκευμένη ενέργεια στ σύστημα Q π (3-8) γ b απώλεια ενέργειας ανά περίδ e Γενικά συντελεστής πιότητας Q εκφράζει τ ρυθμό με τν πί φθίνει η ενέργεια. 3) Σύμφνα με τα πρηγύμενα, η παρυσία δύναμης τριβής σε μια ταλάντση πρκαλεί μείση τυ πλάτυς της ταλάντσης με τ χρόν καθώς χάνεται ενέργεια. Η λική ενέργεια όμς παραμένει ίση με τ άθρισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας. Δηλαδή: V x Όμς στην περίπτση αυτή ρυθμός μεταβλής της ενέργειας δεν είναι ίσς με μηδέν, αλλά αρνητικός γιατί χάνεται ενέργεια. Δηλαδή: kx de d x kx dt dt xx kxx x ( x kx) Επειδή όμς x bx kx x kx bx, πότε τελικά είναι: de dt de x ( bx ) bx (3-9) dt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εξαναγκασμένη ταλάντση απλύ αρμνικύ ταλανττή k b x Σχήμα 3.5 F(t)=F cst F(t) F cs t Στην παράγραφ αυτή θα εξεταστεί η φυσική συμπεριφρά ενός εξαναγκασμένυ μηχανικύ ταλανττή με μάζα, σταθερά ελατηρίυ k και σταθερά απόσβεσης b, πίς διεγείρεται από μια εξτερική περιδική δύναμη: όπυ F είναι τ πλάτς της δύναμης και η συχνότητα αυτής. Σύμφνα με τ νόμ τυ Newtn, η εξίσση κίνησης τυ ταλανττή αυτύ, είναι: F α F cs t - kx - bx x x b x k F x cs t Θέτντας b / και k/ η παραπάν σχέση, γράφεται: F x γx x cs t (3-) Η εξίσση (3-) πυ περιγράφει την εξαναγκασμένη ταλάντση τυ ταλανττή αυτύ, είναι μια διαφρική εξίσση ης τάξης μη μγενής. Στη διερεύνηση πυ επακλυθεί, θα χρησιμπιηθεί για απλπίηση τν αλγεβρικών πράξεν, μιγαδικός λγισμός. Έτσι i t σύμφνα με τν τύπ τυ Euler e cs t isin t, η εξτερική δύναμη F(t)=Fcst i t μπρεί να παρασταθεί σαν τ πραγματικό μέρς της μιγαδικής συνάρτησης F(t) F e, αφύ F(t) F (cs t i sin t) και επμένς: Re F(t) F cs t Συνεπώς η μεταβλητή x θα απτελεί τ πραγματικό μέρς μιας μιγαδικής μεταβλητής z=x+iy (δηλαδή Re{z}=x) και η εξίσση (3-) μπρεί να γραφεί ς: F it z γz z e (3-) Ο ταλανττής, μετά από μια μεταβατική περίδ πρσαρμγής, εξαναγκάζεται στη μόνιμη κατάσταση να εκτελεί αρμνική ταλάντση με συχνότητα ίση ακριβώς με τη συχνότητα της εξτερικής δύναμης, με πλάτς και φάση όμς πυ μεταβάλλνται όταν μεταβληθεί η ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ συχνότητα της εξτερικής διεγείρυσας δύναμης. Δηλαδή τ πλάτς και η φάση στην περίπτση αυτή δεν υπλγίζνται από τις αρχικές συνθήκες αλλά θα καθριστύν από τη συχνότητα της εξτερικής δύναμης. Επμένς θερείται ότι στη μόνιμη κατάσταση ταλανττής εκτελεί αρμνική κίνηση πυ περιγράφεται από τη σχέση: x(t)=acs(t+φ) (3-) η πία απτελεί τη γενική λύση της (3-) στη μόνιμη κατάσταση και είναι τ i(tφ) πραγματικό μέρς της συνάρτησης z(t) Ae, δηλαδή: Re{z(t)} Acs(t φ) x(t) Επίσης είναι: i(tφ) z ie και z i e i(tφ) e i(tφ) Αντικαθιστώντας τα z, z και z στην (3-), πρκύπτει: e i(tφ) γiαe i(tφ) e i( tφ) F e it e iφ iγαe iφ e iφ F A[( F ) iγ] e iφ F (cs φ isinφ) Άρα εξισώνντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη στα δυ μέλη της τελευταίας σχέσης, πρκύπτυν ι ακόλυθες σχέσεις: F F ( ) cs φ και γ sin φ Υψώνντας τις δυ αυτές σχέσεις στ τετράγν και πρσθέτντας κατά μέλη, πρκύπτει τ πλάτς Α ς: F ( ) (3-3) ( ) 4γ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ενώ διαιρώντας κατά μέλη τις δυ αυτές σχέσεις, πρκύπτει η εφαπτμένη της φάσης, ς: - γ tαnφ() (3-4) Παρατηρείται ότι τόσ τ πλάτς Α, όσ και η φάση φ είναι συναρτήσεις της συχνότητας της εξτερικής δύναμης. Επίσης από την (3-3), συμπεραίνεται ότι όταν τ τείνει στ μηδέν, τ πλάτς Α() τείνει στ λόγ F/k, ενώ μετά καθώς τ μεγαλώνει, τ πλάτς αυξάνεται και μεγιστπιείται όταν d / d, δηλαδή εκτελώντας τις πράξεις εύκλα βρίσκεται ότι τ πλάτς μεγιστπιείται στη συχνότητα: γ (3-5) Έπειτα τ πλάτς μειώνεται και τελικά τείνει στ μηδέν όταν τ τείνει στ άπειρ. Η χαρακτηριστική αυτή τιμή της εξτερικής συχνότητας (3-5) στην πία τ πλάτς ταλαντώσες γίνεται μέγιστ, λέγεται συχνότητα συντνισμύ και η κατάσταση αυτή τυ συστήματς, λέγεται συντνισμός. Γενικά όσ μικρότερη είναι η απόσβεση τυ συστήματς (γ φυσική συχνότητα είναι η συχνότητα συντνισμύ ( δίννται ι γραφικές παραστάσεις τν μεγεθών Α() και φ(). ), τόσ πι κντά στη ). Στ ακόλυθ σχήμα, A γ φ -π F /k (α) (β) Σχήμα 3.6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ισχύς παρεχόμενη στν ταλανττή από τη διεγείρυσα δύναμη Για να διατηρηθύν ι ταλαντώσεις της μόνιμης κατάστασης στ σύστημα η διεγείρυσα εξτερική δύναμη θα πρέπει να αναπληρώνει την ενέργεια πυ χάνεται σε κάθε κύκλ εξαιτίας της παρυσίας της τριβής. Η στιγμιαία ισχύς εισόδυ της διεγείρυσας δύναμης, είναι: dw dx P(t) F( t) dt dt όπυ F( x) F cs t και x A cs( t φ) dx/dt -Αsin(t φ), πότε: P(t) -ΑF cs tsin(t φ) sin(, πότε τελικά πρκύπτει: Αλλά είναι: sin(t φ)cst t φ) sinφ P(t) - F sin( t φ) sinφ Δηλαδή παρατηρείται ότι η στιγμιαία ισχύς εισόδυ μεταβάλλεται με συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα της εξτερικής δύναμης. Επμένς η μέση ισχύς εισόδυ στ σύστημα, είναι: Αλλά: <sin(t+φ)>= P() P(t) - AF sin( t φ) sinφ και sin φ φdt φ tαnφ csφ sin sin tαnφ tαn φ αφύ cs φ csφ και λόγ της (3-4) τελικά tαn φ tαn φ είναι: sinφ ( - γ ) 4γ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρα η μέση ισχύς εισόδυ P() λαμβάνντας υπόψη και τη σχέση (3-3) για τ πλάτς Α() θα δίνεται από τη σχέση: F P() ( γ ) 4γ (3-6) Από τη σχέση (3-6), εύκλα φαίνεται ότι η μέγιστη τιμή της μέσης ισχύς εισόδυ, παρατηρείται στη συχνότητα = και είναι ίση με: P F P( ) (3-7) 4γ Η συχνότητα = στην πία μεγιστπιείται η μέση ισχύς εισόδυ, νμάζεται συχνότητα συντνισμύ τυ συστήματς. Παρατηρείται ότι η συχνότητα συντνισμύ ενός εξαναγκασμένυ ταλανττή με απόσβεση γ είναι ίση με τη συχνότητα τν ελεύθερν ταλαντώσεν τυ ίδιυ ταλανττή, αλλά χρίς απόσβεση (δηλαδή για γ=). Η σπυδαιότητα τυ απτελέσματς αυτύ, είναι ότι επιτρέπει τν πρσδιρισμό τν συχντήτν συντνισμύ ενός συστήματς όταν είναι γνστές ι συχνότητες τν καννικών τρόπν ταλάντσής τυ. Η στιγμιαία ισχύς τώρα πυ καταναλώνεται από τη δύναμη της τριβής: bdx/dt γdx/dt (επειδή b / ), είναι: dx dx P ( t) γ γ sin ( t φ) dt dt Συνεπώς η μέση ισχύς της τριβής, είναι: ( P ( ) P ( t) γ sin t φ) Αλλά: sin ( t φ) sin ( t φ)dt Τ πότε η παραπάν αν ληφθεί υπόψη και η έκφραση (3-3) για τ πλάτς, ( ) δίνει: F γ P ( ) γ P ( ) (3-8) ( ) 4γ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συγκρίνντας τις σχέσεις (3-6) και (3-8), παρατηρείται ότι η μέση ισχύς πυ καταναλώνεται σε τριβές είναι ίση με τη μέση ισχύ εισόδυ τυ συστήματς. Δηλαδή στη μόνιμη κατάσταση η ισχύς πυ παρέχει η εξτερική δύναμη F(t) αντισταθμίζει την ισχύ πυ καταναλώνεται στις τριβές τυ συστήματς. Η καμπύλη της μέσης ισχύς ( ) εισόδυ ή ισδύναμα τν τριβών συναρτήσει της γνιακής συχνότητας της διεγείρυσας δύναμης, απεικνίζεται στ ακόλυθ σχήμα: P P F 4γ P F 8γ Σχήμα 3.7 Όπς και η καμπύλη τυ πλάτυς μετατόπισης Α() συναρτήσει της (Σχήμα 3.6(α)) έτσι και αυτή η καμπύλη της μέσης ισχύς P() δίνει ένα μέτρ της απόκρισης τυ ταλανττή, ενώ η ξύτητα της κρυφής συντνισμύ καθρίζεται και σε αυτή την περίπτση από τη σταθερά απόσβεσης ( b / ). Η κρυφή εμφανίζεται στη συχνότητα συντνισμύ όταν η ισχύς πυ απρρφά τ σύστημα από τη διεγείρυσα δύναμη είναι μέγιστη και η καμπύλη αυτή λέγεται και καμπύλη απρρόφησης τυ ταλανττή. Οι συχνότητες στις πίες η ισχύς εισόδυ τυ συστήματς είναι η μισή από την ισχύ εισόδυ πυ αντιστιχεί στη συχνότητα συντνισμύ, δηλαδή για P=P/ είναι σύμφνα με τη σχέση (3-6): P P ( 4γ ) 4γ ( ) 4γ 8γ ( ) 4γ ( γ)( γ) Έτσι ι απδεκτές μη αρνητικές λύσεις της τελευταίας, είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ γ και γ γ Άρα η διαφρά τν δυ αυτών συχντήτν, είναι: γ (3-9) και νμάζεται πλήρες εύρς συχντήτν συντνισμύ. Παρατηρείται ότι τ μέγεθς αυτό είναι τ αντίστρφ τυ χρόνυ απδιέγερσης τ = /γ ενός ταλανττή πυ εκτελεί ελεύθερες ταλαντώσεις με απόσβεση. Επμένς δυ μεγέθη πυ χαρακτηρίζυν διαφρετικά μεταξύ τυς φαινόμενα, τυ ίδιυ όμς συστήματς, δηλαδή τ εύρς συχντήτν συντνισμύ Δ πυ αναφέρεται στην εξαναγκασμένη ταλάντση και χρόνς απδιέγερσης τ πυ αναφέρεται στην φθίνυσα ταλάντση, συνδένται μεταξύ τυς με τη σχέση: τ (3-) Η φυσική σημασία της τελευταίας σχέσης είναι ότι δίνει τη δυνατότητα υπλγισμύ τυ ενός μεγέθυς από τ άλλ. Τέλς η ξύτητα της καμπύλης συντνισμύ καθρίζεται επακριβώς από τ συντελεστή πιότητας Q τυ ταλαντύμενυ συστήματς, πυ αναφέρεται στην απώλεια ενέργειας και ρίζεται ς: Q (3-) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συντνισμί συστήματς με δυ βαθμύς ελευθερίας k b F(t)=F cst b k k x x Σχήμα 3.8 Έστ τ σύστημα με δυ βαθμύς ελευθερίας τυ Σχήματς 3.8, πυ απτελείται από δυ ίσες μάζες συζευγμένες από τρία ελατήρια ίδιας σταθεράς k και συντελεστής απόσβεσης b είναι κινός και για τις δυ μάζες, ενώ διεγείρεται σε ταλάντση από μια εξτερική αρμνική δύναμη F(t) F cs t, η πία εφαρμόζεται σε μια από τις δυ μάζες τυ. Θερώντας ότι σε κάπια χρνική στιγμή ι μετατπίσεις τν μαζών από τη θέση ισρρπίας τυς (όπυ τα ελατήρια έχυν τ φυσικό τυς μήκς) είναι x και x (<x<x) τότε ι εξισώσεις κίνησης τν δυ μαζών σύμφνα με τ νόμ τυ Newtn, είναι: F α kx k( x x) bx F cs t x k k F x γx x x cs t (3 α) και: F α kx k( x x) bx x k k x γx x x (3 β) όπυ γ=b/ και α x, α x ι επιταχύνσεις τν δυ μαζών. Πρσθέτντας και αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (3-α,β), όπς ακριβώς έγινε στην παράγραφ.3 αναπτύσσντας τη μέθδ τν καννικών συντεταγμένν για την αναζήτηση τν καννικών τρόπν ταλάντσης, πρκύπτυν ι ασύζευκτες εξισώσεις: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ x x x x γ( x γ( x x x ) ) k ( x 3k ( x x x F ) cs t F ) cs t (3-3) Οπότε ρίζντας τις καννικές συντεταγμένες τυ συστήματς: y x x και y x x (3-4) και αντικαθιστώντας τις στις (3-3), πρκύπτει τ ισδύναμ σύστημα: y y γy γy y y F cs t F cs t (3-5) όπυ k/ και 3k/ είναι ι συχνότητες τν καννικών τρόπν ταλάντσης τυ ίδιυ συστήματς όταν εκτελεί ελεύθερες ταλαντώσεις χρίς τριβές. Συνεπώς κάθε μια από τις εξισώσεις (3-5) περιγράφει έναν από τυς δυ καννικύς τρόπυς ταλάντσης τυ συστήματς, όπς δείχνει η παρυσία τν συντελεστών και τν και αντίστιχα και έχυν ακριβώς την ίδια μρφή με την εξίσση (3-) της εξαναγκασμένης ταλάντσης ενός ταλανττή με ένα βαθμό ελευθερίας, εκτός από τν παράγντα / στα δεύτερα μέλη τυς (δηλαδή τ πλάτς της εξτερικής δύναμης είναι F/). Άρα κάθε τρόπς συμπεριφέρεται σαν ένας ταλανττής πυ διεγείρεται σε εξαναγκασμένη ταλάντση από μια εξτερική περιδική δύναμη με πλάτς F/. Τότε στη μόνιμη κατάσταση σύμφνα με τη σχέση (3-) τα πλάτη τν ταλαντώσεν δίννται από τις σχέσεις: y y y t) A cs( t ) και y t) A cs( t ) (3-6) ( φ ( φ όπυ η συχνότητα της εξτερικής δύναμης και τα πλάτη, Α και ι φάσεις φ, φ σε αναλγία με τις σχέσεις (3-3) και (3-4) θα είναι αντίστιχα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ F ( ) F ( ) ( ( ) ) 4γ 4γ (3-7) και tαnφ γ ( ), tαnφ γ ( ) (3-8) Επίσης από τις σχέσεις (3-4) και με τη βήθεια τν (3-6) μπρύν να εκφραστύν ι στιγμιαίες μετατπίσεις x και x τν δυ μαζών ς: x x y y y y x ( t) A x ( t) A cs( t φ cs( t φ ) ) cs(t φ cs(t φ ) ) (3-9) όπυ τα, Α και φ, φ δίννται από τις σχέσεις (3-7) και (3-8) αντίστιχα. Συμπεραίνεται από τις σχέσεις (3-9) ότι τα σχήματα τν καννικών τρόπν ταλάντσης τυ συστήματς, διατηρύνται και στην περίπτση της εξαναγκασμένης ταλάντσης. Πράγματι αν η συχνότητα της εξτερικής δύναμης είναι ίση με τη συχνότητα τυ πρώτυ καννικύ τρόπυ ταλάντσης, μόν τ πλάτς Α είναι σημαντικό σύμφνα με τις σχέσεις (3-7) και επμένς θα είναι x(t) = x(t), ενώ αν η συχνότητα της εξτερικής δύναμης είναι ίση με τη συχνότητα τυ δεύτερυ καννικύ τρόπυ ταλάντσης, σημαντική τιμή θα έχει μόν τ πλάτς Α και θα είναι x(t) = -x(t), όπς ακριβώς και στην περίπτση τν ελεύθερν ταλαντώσεν τυ συστήματς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ισχύς συστήματς με δυ βαθμύς ελευθερίας Σύμφνα με όσα αναπτύχθηκαν στην παράγραφ η ισχύς πυ καταναλώνει τ σύστημα μέσ τν τριβών θα αντισταθμίζεται από την ισχύ πυ παρέχει στ σύστημα η εφαρμζόμενη εξτερική δύναμη F(t). Στ σύστημα τυ Σχήματς 3.8 ασκύνται τριβές και στις δυ μάζες τυ, πότε η συνλική στιγμιαία ισχύς πυ καταναλώνεται, είναι: P ( t) P ( t) P ( t) x x P ( t) γ( x x ) Αλλά σύμφνα με τις σχέσεις (3-9) ι ταχύτητες τν δυ μαζών, είναι: x sin(t φ ) sin(t φ ) x sin(t φ ) sin(t φ ) Άρα η στιγμιαία ισχύς πυ καταναλώνεται στ σύστημα, είναι: P ( t) 4γ [ sin ( t φ) sin ( t φ )] Ενώ η μέση ισχύς πυ καταναλώνεται σε μια περίδ της ταλάντσης, είναι: P() P ( t) 4γ [ sin ( t φ) sin ( t φ ) ] γ ( ) όπυ sin ( t φ) sin ( t φ ) / και αντικαθιστώντας τα πλάτη, από τις σχέσεις (3-7) πρκύπτει τελικά: F P() ( γ ) 4γ ( γ ) 4γ (3-3) Παρατηρείται ότι τ σύστημα αυτό με δυ βαθμύς ελευθερίας χαρακτηρίζεται από δυ συντνισμύς (μεγιστπιήσεις της μέσης ισχύς), ι πίι αντιστιχύν στις συχνότητες και τν καννικών τρόπν ελεύθερης ταλάντσης χρίς τριβές. Η καμπύλη της μέσης ισχύς P() τν τριβών (ή ισδύναμα της εξτερικής δύναμης) συναρτήσει της γνιακής συχνότητας της διεγείρυσας δύναμης, όπς δίνεται από τη σχέση (3-3) απεικνίζεται στ ακόλυθ σχήμα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ P P Σχήμα 3.9 Σημείση: Γενικά για σύστημα με Ν βαθμύς ελευθερίας ι συχνότητες συντνισμύ είναι ι συχνότητες τν Ν καννικών τρόπν ταλάντσης τυ συστήματς για ελεύθερες ταλαντώσεις χρίς τριβές. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ