H 2 = H 1 H 1 H 3 = H 2 H 1 = H 1 H 1 H 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H 2 = H 1 H 1 H 3 = H 2 H 1 = H 1 H 1 H 1"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Επαναλαμβανόμενα παίγνια 4.1 Εισαγωγή Πολλά οικονομικά, ή και άλλα, φαινόμενα επαναλαμβάνονται στον χρόνο. Για παράδειγμα, οι επιχειρήσεις σε μία αγορά ανταγωνίζονται μεταξύ τους σε πολλές χρονικές περιόδους, οι πωλητές και αγοραστές αλληλεπιδρούν σε επαναλαμβανόμενη βάση, οι χώρες ανταγωνίζονται στον στίβο του διεθνούς εμπορίου διαχρονικά, διάφοροι πληθυσμοί ζώων ανταγωνίζονται για κάποιον πόρο σε καθημερινή βάση, κλπ. Οι αλληλεπιδράσεις που λαμβάνουν χώρα διαχρονικά υποδειγματοποιούνται μέσω των λεγόμενων επαναλαμβανόμενων παιγνίων, τα οποία είναι μία κατηγορία δυναμικών παιγνίων. Η βάση ενός επαναλαμβανόμενου παιγνίου είναι ένα στατικό παίγνιο, το οποίο επαναλαμβάνεται έναν πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό φορών. Το στρατηγικό αυτό παίγνιο ονομάζεται παίγνιο σταδίου. Σε κάθε επανάληψη του παιγνίου σταδίου οι παίκτες επιλέγουν ενέργειες και αποκομίζουν αποδόσεις. Σημειώνουμε ότι σε κάθε περίοδο επαναλαμβάνεται το ίδιο ακριβώς παίγνιο σταδίου. 1 Η δε συνολική απόδοση κάθε παίκτη είναι το άθροισμα των (προεξοφλημένων) αποδόσεων που αποκομίζει σε κάθε χρονική περίοδο. Μεταξύ άλλων, τα επαναλαμβανόμενα παίγνια βοηθούν να αναλυθεί ένα βασικό ερώτημα των οικονομικών, κοινωνικών και άλλων επιστημών. Ενα ζήτημα που απασχολεί αυτούς τους κλάδους είναι η εξήγηση των συνεργατικών συμπεριφορών που παρατηρούνται σε οικονομικούς, βιολογικούς και λοιπούς πληθυσμούς. Τα στατικά παίγνια συχνά αδυνατούν να δώσουν συμπεράσματα συνεπή με τις (παρατηρηθείσες στον πραγματικό κόσμο) συνεργατικές συμπεριφορές. Σε ένα στατικό πλαίσιο, οι παίκτες έχουν συχνά κίνητρο να παραβιάσουν τυχόν συμφωνίες συνεργατικού χαρακτήρα, καθότι δεν υπάρχει η χρονική δυνατότητα να τιμωρηθεί η παραβίαση. Το σημείο αυτό έρχονται να καλύψουν 1 Αυτή η υπόθεση δεν ισχύει πάντα. Υπάρχει μία κατηγορία δυναμικών παιγνίων στα οποία οι αποδόσεις του παιγνίου σταδίου μεταβάλλονται από περίοδο σε περίοδο με βάση μία στοχαστική διαδικασία. Τα παίγνια αυτά ονομάζονται στοχαστικά (η ανάλυση τους ξεφεύγει από το πλαίσιο του παρόντος βιβλίου και δεν θα μας απασχολήσει). 1

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ τα επαναλαμβανόμενα παίγνια, και συγκεκριμένα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει καθορισμένο χρονικό σημείο τερματισμού. Η παραβίαση μίας συνεργατικής συμφωνίας συχνά αποφεύγεται καθώς στο πλαίσιο αυτό υπάρχει η δυνατότητα μελλοντικής τιμωρίας του παραβάτη. Η δομή του κεφαλαίου έχει ως εξής. Αρχικά, παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία των επαναλαμβανόμενων παιγνίων. Η παρουσίαση διακρίνεται σε δύο μέρη: το πρώτο αφορά σε παίγνια με πεπερασμένη διάρκεια και το δεύτερο αφορά σε παίγνια με άπειρη διάρκεια. Κατόπιν, μελετάται ο τρόπος επίτευξης ισορροπιών σε επαναλαμβανόμενα παίγνια. Εμφαση δίνεται στο λεγόμενο Δημώδες Θεώρημα, το οποίο εξηγεί ποιες ισορροπίες προκύπτουν σε ένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο άπειρης διάρκειας. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με ορισμένες οικονομικές εφαρμογές. 4.2 Βασικό πλαίσιο Το σημείο εκκίνησης μας είναι ένα στατικό παίγνιο, Γ = {N, (X i, u i ) i N }, όπου N = {1, 2,..., n} είναι το σύνολο παικτών, X i είναι το σύνολο των καθαρών στρατηγικών του παίκτη i και u i είναι η συνάρτηση απόδοσης του. Υποθέτουμε ότι το παίγνιο αυτό, το οποίο ονομάζεται παίγνιο σταδίου, επαναλαμβάνεται T φορές, όπου το T είναι είτε πεπερασμένο, είτε άπειρο. Κάθε επανάληψη λαμβάνει χώρα σε μία χρονική περίοδο. Μία τυπική χρονική περίοδος (ή στάδιο) συμβολίζεται με t, όπου t = 1, 2,..., T. Η αλληλεπίδραση εξελίσσεται στον χρόνο ως εξής: Την περίοδο 1, οι παίκτες επιλέγουν ταυτόχρονα ενέργειες, τις οποίες συμβολίζουμε ως x 1 = (x 1 1, x1 2,..., x1 n), όπου ο δείκτης συμβολίζει τον παίκτη και ο εκθέτης συμβολίζει το στάδιο (χρονική περίοδο). Η ενέργεια x 1 i ανήκει στο σύνολο X i, i N. Κάθε παίκτης πληροφορείται εκ των υστέρων τις επιλογές των άλλων παικτών. Η απόδοση του παίκτη i στην περίοδο αυτή είναι u i (x 1 ), i N Την περίοδο 2, οι παίκτες επιλέγουν, και πάλι ταυτόχρονα, ενέργειες x 2 = (x 2 1, x2 2,..., x2 n). Κάθε παίκτης πληροφορείται εκ των υστέρων τις επιλογές των άλλων παικτών. Η απόδοση του παίκτη i είναι u i (x 2 ),. i N Την περίοδο T, οι παίκτες επιλέγουν ενέργειες x T = (x T 1, xt 2,..., xt n ). Η απόδοση του παίκτη i είναι u i (x T ), i N

3 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 3 Εάν το T είναι πεπερασμένο, η αλληλεπίδραση ολοκληρώνεται (με τη λήξη της περίοδου T ). Σε διαφορετική περίπτωση, το παίγνιο συνεχίζει στο διηνεκές Ιστορίες και τερματικές ιστορίες Οπως είπαμε προηγουμένως, οι επιλογές των παικτών την περίοδο t περιγράφονται από ένα διάνυσμα x t = (x t 1, xt 2,..., xt n), όπου x t i X i για i = 1, 2,..., n και t = 1, 2,..., T. Με βάση αυτά τα διανύσματα προκύπτουν οι έννοιες της m-ιστορίας και της τερματικής ιστορίας. Ως m-ιστορία ορίζουμε μία συλλογή διανυσμάτων ενεργειών που αντιστοιχούν στις περιόδους από t = 1 μέχρι και t = m. Δηλαδή, μία m-ιστορία είναι μία συλλογή διανυσμάτων h m = (x 1, x 2,..., x m ). Το σύνολο όλων των m-ιστοριών συμβολίζεται ως H m. Ως τερματική ιστορία για την περίπτωση του πεπερασμένου T ορίζουμε μία ακολουθία διανυσμάτων ενεργειών που αντιστοιχούν στις περιόδους από t = 1 μέχρι και t = T. Δηλαδή, μία τερματική ιστορία για την περίπτωση του πεπερασμένου T είναι μία ακολουθία της μορφής h T = (x 1, x 2,..., x T ). Ως τερματική ιστορία για την περίπτωση του άπειρου T ορίζουμε μία ακολουθία διανυσμάτων ενεργειών που αντιστοιχούν στα στάδια t = 1, 2,... Δηλαδή, μία τερματική ιστορία για την περίπτωση του άπειρου T είναι μία ακολουθία της μορφής h = (x 1, x 2,...). Μία m-ιστορία είναι συνεπώς μία υποακολουθία κάποιας τερματικής ι- στορίας. Το παράδειγμα που ακολουθεί θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα τις παραπάνω έννοιες. Παράδειγμα 1 Εστω ότι το παίγνιο σταδίου δίνεται από το γνωστό μας Δίλημμα των Φυλακισμένων: 2 Σ O Σ 5, 5 0, 6 O 6, 0 1, 1 Σχήμα 4.1: Το παίγνιο σταδίου 2 Οι αποδόσεις των παικτών είναι ανάλογες αυτών του αντίστοιχου παραδείγματος στο κεφάλαιο 2.

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ Οι διαθέσιμες ενέργειες των παικτών στο παίγνιο σταδίου είναι οι Σ (συνεργασία) και O (ομολογία). Υποθέτουμε ότι το παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται 3 φορές, δηλαδή T = 3. Παρακάτω καταγράφουμε τις διάφορες ιστορίες για το επαναλαμβανόμενο παίγνιο. Μία 1-ιστορία είναι απλώς ένα ζεύγος ενεργειών των παικτών στην πρώτη επανάληψη του παιγνίου σταδίου. Για παράδειγμα, μία τέτοια ιστορία είναι η h 1 = (x 1 1, x1 2 ) = (Σ, O). Το σύνολο όλων αυτών των ιστοριών δίνεται από το σύνολο: H 1 = {(Σ, Σ), (Σ, O), (O, Σ), (O, O)} (4.1) Ας δούμε τώρα τις 2-ιστορίες. Κάθε τέτοια ιστορία αποτελείται από ένα ζεύγος ενεργειών του πρώτου σταδίου και από ένα ζεύγος ενεργειών του δεύτερου σταδίου. Αν για παράδειγμα οι ενέργειες του πρώτου σταδίου είναι οι (x 1 1, x1 2 ) = (Σ, O) και οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου είναι οι (x 2 1, x2 2 ) = (O, O) τότε η αντίστοιχη 2-ιστορία δίνεται από το διάνυσμα: h 2 = ( (Σ, O), (O, O) ) Το σύνολο όλων των 2-ιστοριών δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο του συνόλου όλων των 1-ιστοριών επί του εαυτού του. Δηλαδή, H 2 = H 1 H 1 όπου το σύνολο H 1 δίνεται από την (4.1). Ας δούμε τέλος τις τερματικές ιστορίες. Κάθε τερματική ιστορία είναι μία τριάδα ζευγών ενεργειών, όπου κάθε ζεύγος αντιστοιχεί σε ένα στάδιο. Αν για παράδειγμα, οι ενέργειες του πρώτου σταδίου είναι οι (x 1 1, x1 2 ) = (Σ, O), οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου είναι οι (x 2 1, x2 2 ) = (O, O) και οι ενέργειες του τρίτου σταδίου είναι οι (x 3 1, x3 2 ) = (O, Σ) τότε η αντίστοιχη τερματική ιστορία δίνεται από το διάνυσμα: h 3 = ( (Σ, O), (O, O), (O, Σ) ) Το σύνολο όλων των τερματικών ιστοριών είναι το: H 3 = H 2 H 1 = H 1 H 1 H Διαχρονικές προτιμήσεις Σε ένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο κάθε παίκτης αποκομίζει μία ακολουθία α- ποδόσεων (μία απόδοση για κάθε μία χρονική περίοδο). Θα υποθέσουμε ότι η αποτίμηση αυτής της ακολουθίας αποδόσεων γίνεται με βάση το προεξοφλούμενο άθροισμα των όρων της ακολουθίας. Ο όρος προεξόφληση εισάγεται για

5 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 5 να σχηματοποιήσει την υπόθεση ότι ένα άτομο δεν αποτιμά σημερινές και μελλοντικές αποδόσεις με τον ίδιο τρόπο: ένα ευρώ λαμβανόμενο αύριο δεν είναι ισοδύναμο με ένα ευρώ λαμβανόμενο σήμερα. Αντιθέτως, ένα ευρώ λαμβανόμενο αύριο είναι ισοδύναμο με δ ευρώ λαμβανόμενα σήμερα, όπου δ (0, 1). Η παράμετρος δ είναι ο συντελεστής προεξόφλησης ενός ατόμου. Οσο πιο κοντά είναι το δ στο 0, τόσο λιγότερο αποτιμά το άτομο μία μελλοντική έναντι μίας σημερινής απόδοσης. Με άλλα λόγια, όσο πιο μικρό είναι το δ, τόσο λιγότερο ενδιαφέρεται το άτομο για το μέλλον ή τόσο περισσότερο ανυπόμονο είναι. Και αντίστροφα, όσο πιο μεγάλο είναι το δ (όσο πλησιάζει το 1), τόσο περισσότερο αποτιμά το άτομο μία μελλοντική απόδοση, ή, με άλλα λόγια, τόσο περισσότερο υπομονετικό είναι το εν λόγω άτομο. Εστω μία πεπερασμένη τερματική ιστορία h T = (x 1, x 2,..., x T ). Αν ο συντελεστής προεξόφλησης του παίκτη i δίνεται από την παράμετρο δ i (0, 1) τότε το προεξοφλημένο άθροισμα των αποδόσεων του παίκτη i είναι: 3 V i u i (x 1 ) + δ i u i (x 2 ) + δ 2 i u i (x 3 ) δ T 1 i u i (x T ) = T t=1 δ t 1 i u i (x t ) (4.2) Εστω τώρα μία άπειρη τερματική ιστορία h = (x 1, x 2,...). Σε αυτή την περίπτωση, το προεξοφλημένο άθροισμα των αποδόσεων του παίκτη i είναι: V i u i (x 1 ) + δ i u i (x 2 ) + δ 2 i u i (x 3 ) +... = t=1 δ t 1 i u i (x t ) (4.3) Ας εστιάσουμε για λίγο στην περίπτωση του άπειρου T. Αντί του προεξοφλημένου αθροίσματος των αποδόσεων (σχέση 4.3), πολλές φορές είναι χρήσιμο να χρησιμοποιήσουμε ως συνάρτηση αποτίμησης τον προεξοφλημένο μέσο όρο των αποδόσεων του παίκτη. Πως θα γίνει αυτό; Ας ορίσουμε, για ευκολία, τους όρους: u t i = u i (x t ), t = 1, 2,... (4.4) Με βάση τη σχέση (4.4) ο παίκτης i αποκομίζει την ακολουθία αποδόσεων (u 1 i, u2 i,...). Ας ορίσουμε έναν αριθμό c τέτοιο ώστε ο i να είναι αδιάφορος μεταξύ της ακολουθίας αποδόσεων (u 1 i, u2 i,...) και της ακολουθίας (c, c,...). Δηλαδή ισχύει η εξής σχέση: V i = t=1 δ t 1 i u t i = t=1 δi t 1 c 3 Ο εκθέτης της παραμέτρου δ t i υποδηλώνει την δύναμη στην οποία είναι υψωμένη η παράμετρος δ i (σε αντίθεση με τον εκθέτη του όρου x t i).

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ Ομως ισχύει ότι: t=1 δ t 1 i c = c 1 δ i Κατά συνέπεια έχουμε: V i = t=1 δ t 1 i u t i = c 1 δ i ή αλλιώς: (1 δ i )V i = (1 δ i ) t=1 δi t 1 u t i = c Ο όρος (1 δ i )V i είναι ο προεξοφλημένος μέσος όρος της ακολουθίας αποδόσεων (u 1 i, u2 i,...). Προφανώς οι συναρτήσεις V i και (1 δ i )V i εκφράζουν τις ίδιες προτιμήσεις (αφού η μία είναι θετικός μονοτονικός μετασχηματισμός της άλλης). Μπορούμε, συνεπώς, να χρησιμοποιούμε είτε τη μία, είτε την άλλη κατά το δοκούν Τα παίγνια G T (δ) και G (δ) Μπορούμε τώρα να δώσουμε τους ορισμούς για ένα πεπερασμένως επαναλαμβανόμενο παίγνιο και για ένα απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο. Για ευκολία στην παρουσίαση, θα υποθέσουμε ότι όλοι οι παίκτες έχουν τον ίδιο συντελεστή προεξόφλησης, δηλαδή δ i = δ, για i = 1, 2,..., n. Ξεκινούμε με τον ορισμό του πεπερασμένως επαναλαμβανόμενου παιγνίου (παίγνιο με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα). Ορισμός 1 Εστω ένα στατικό παίγνιο Γ = {N, (X i, u i ) i N }, όπου N = {1, 2,..., n} το σύνολο παικτών, X i το σύνολο των στρατηγικών του i και u i η συνάρτηση απόδοσης του i. Ως πεπερασμένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο με παρατηρήσιμες ενέργειες ορίζουμε το δυναμικό παίγνιο T σταδίων, όπου T <, στο οποίο: το σύνολο των παικτών είναι το N το σύνολο των ενεργειών του παίκτη i σε κάθε στάδιο είναι το X i το διάνυσμα των ενεργειών που επιλέγουν (ταυτόχρονα) οι παίκτες στο στάδιο t είναι το x t = (x t 1, xt 2,..., xt n), όπου t = 1, 2,..., T οι ενέργειες του σταδίου t παρατηρούνται εκ των υστέρων από όλους τους παίκτες, όπου t = 1, 2,..., T

7 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 7 το σύνολο όλων των τερματικών ιστοριών είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών h T = (x 1, x 2,..., x T ) ο παίκτης i αποτιμά την τερματική ιστορία h T = (x 1, x 2,..., x T ) βάσει της συνάρτησης V i = T δ t 1 u i (x t ), όπου δ (0, 1) t=1 Το παραπάνω επαναλαμβανόμενο παίγνιο συμβολίζεται ως G T (δ). Το δε Γ ονομάζεται παίγνιο σταδίου του G T (δ). Ακολουθεί ο ορισμός του απείρως επαναλαμβανόμενου παιγνίου (παίγνιο με άπειρο χρονικό ορίζοντα). Ορισμός 2 Εστω ένα στρατηγικό παίγνιο Γ = {N, (X i, u i ) i N }, όπου N = {1, 2,..., n} το σύνολο παικτών, X i το σύνολο των στρατηγικών του i και u i η συνάρτηση απόδοσης του i. Ως απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο με παρατηρήσιμες ενέργειες ορίζουμε το δυναμικό παίγνιο στο οποίο: το σύνολο των παικτών είναι το N το σύνολο των ενεργειών του παίκτη i σε κάθε στάδιο είναι το X i το διάνυσμα των ενεργειών που επιλέγουν (ταυτόχρονα) οι παίκτες στο στάδιο t είναι το x t = (x t 1, xt 2,..., xt n), όπου t = 1, 2,... οι ενέργειες του σταδίου t παρατηρούνται εκ των υστέρων από όλους τους παίκτες, όπου t = 1, 2,... το σύνολο όλων των τερματικών ιστοριών είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών h = (x 1, x 2,...) ο παίκτης i αποτιμά την τερματική ιστορία h = (x 1, x 2,...) βάσει της συνάρτησης V i = δ t 1 u i (x t ) ή βάσει της (1 δ)v i = (1 t=1 δ) δ t 1 u i (x t ), όπου δ (0, 1) t=1 Το παραπάνω επαναλαμβανόμενο παίγνιο συμβολίζεται ως G (δ). ονομάζεται παίγνιο σταδίου του G (δ). Το δε Γ Στρατηγικές Οπως σημειώσαμε και στο κεφάλαιο των δυναμικών παιγνίων, μία στρατηγική ενός παίκτη σε ένα δυναμικό παίγνιο είναι ένας κανόνας ο οποίος προσδιορίζει τις ενέργειες του σε κάθε δυνατό ενδεχόμενο. Ετσι, και σε ένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο με παρατηρήσιμες ενέργειες, μία στρατηγική ενός παίκτη είναι ένας κανόνας επιλογής ενεργειών σε κάθε στάδιο (επανάληψη) του παιγνίου

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ σταδίου ως συνάρτηση των επιλογών του παρελθόντος. Πιο συγκεκριμένα, μία στρατηγική ενός παίκτη σε ένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο προσδιορίζει την ε- νέργεια που θα επιλέξει ο παίκτης στο στάδιο t για κάθε (t 1) ιστορία, και για κάθε t. Προφανώς, η ενέργεια θα πρέπει να είναι εφικτή, να ανήκει δηλαδή στο σύνολο των διαθέσιμων ενεργειών του παιγνίου σταδίου. Ορισμός 3 Μία στρατηγική του παίκτη i σε ένα επαναλαμβανόμενο παίγνιο είναι μία ακολουθία συναρτήσεων της μορφής s t i : H t 1 X i, όπου t = 1, 2,..., T (πεπερασμένος χρονικός ορίζοντας) ή t = 1, 2,... (άπειρος χρονικός ορίζοντας). Δηλαδή, στο στάδιο t η συνάρτηση s t i (ht 1 ) επιλέγει κάποια ενέργεια για τον παίκτη i ως συνάρτηση της ιστορίας h t 1. Παράδειγμα 2 Ας δούμε ξανά το παίγνιο του Παραδείγματος 1 (όπου το παίγνιο σταδίου ε- παναλαμβάνεται τρεις φορές). Μία στρατηγική του παίκτη i είναι ένα πλάνο επιλογής ενεργειών στα στάδια (επαναλήψεις) 1, 2 και 3. Ενα τέτοιο πλάνο είναι το εξής: στάδιο 1 - ο i επιλέγει την ενέργεια Σ στάδιο 2 - ο i επιλέγει την ενέργεια Σ, εάν το αποτέλεσμα του πρώτου σταδίου είναι (Σ, Σ) - ο i επιλέγει την ενέργεια O, εάν το αποτέλεσμα του πρώτου σταδίου είναι ο,τιδήποτε πλην του (Σ, Σ) στάδιο 3 - ο i επιλέγει την ενέργεια Σ, εάν το αποτέλεσμα των δύο πρώτων σταδίων είναι ( (Σ, Σ), (Σ, Σ) ) - ο i επιλέγει την ενέργεια O, εάν το αποτέλεσμα των δύο πρώτων σταδίων είναι ο,τιδήποτε πλην του ( (Σ, Σ), (Σ, Σ) ) Με απλά λόγια, η παραπάνω στρατηγική ορίζει το εξής για τον παίκτη i: να ξεκινήσει το παιχνίδι επιλέγοντας την συνεργατική ενέργεια (στάδιο 1) και να συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο, όσο παρατηρεί ότι η συνεργασία τηρείται (στάδια 2 και 3). Αν όμως παρατηρήσει έστω και μία μη συνεργατική ενέργεια, τότε να επιλέξει τη μη συνεργατική ενέργεια. Μπορούμε να συνοψίσουμε την περιγραφή της παραπάνω στρατηγικής του παίκτη i με τον εξής τρόπο: 4 4 Η ιστορία h 0 είναι το κενό σύνολο και ορίζεται για λόγους ομοιομορφίας του συμβολισμού.

9 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 9 s 1 i (h 0 ) = Σ, και s 2 i (h 1 ) = s i (h 2 ) = { Σ, αν h 1 = (Σ, Σ) O, αν h 1 (Σ, Σ) { Σ, αν h 2 = ( (Σ, Σ), (Σ, Σ) ) O, αν h 2 ( (Σ, Σ), (Σ, Σ) ) Ισορροπίες για πεπερασμένως επαναλαμβανόμενα παίγνια Υπενθυμίζουμε ότι εξετάζουμε δυναμικά παίγνια στα οποία μετά από κάθε ε- πανάληψη του παιγνίου σταδίου κάθε παίκτης παρατηρεί τις επιλογές όλων των άλλων παικτών. Αν δούμε το επαναλαμβανόμενο παίγνιο ως παίγνιο σε εκτεταμένη μορφή, η παραπάνω υπόθεση σημαίνει ότι μετά από κάθε επανάληψη του παιγνίου σταδίου, οι παίκτες γνωρίζουν σε ποιον κόμβο αποφάσεων βρίσκονται. Ας υποθέσουμε λοιπόν, ότι το παίγνιο σταδίου έχει επαναληφθεί t φορές. Εστω ότι οι επιλογές των παικτών στα t αυτά στάδια συνοψίζονται από την t- ιστορία h t. Τότε, η ιστορία αυτή ορίζει ένα υποπαίγνιο που ξεκινά από το στάδιο t + 1 και περιλαμβάνει το στάδιο αυτό και όλα όσα έπονται αυτού (παραπέμπουμε στον ορισμό του υποπαιγνίου που δόθηκε στο κεφάλαιο των δυναμικών παιγνίων). Δεδομένων των παραπάνω, κατά την ανάλυση ενός επαναλαμβανόμενου παιγνίου θα εστιάσουμε σε εκείνες τις ισορροπίες Nash οι οποίες είναι τέλειες κατά υποπαίγνιο. Ως ισορροπία Nash θα εννοούμε, κατά τα γνωστά, κάθε διάνυσμα στρατηγικών για το οποίο ουδείς παίκτης έχει κίνητρο να μεταβάλλει μονομερώς τη στρατηγική του. Εμείς θα εστιάσουμε σε εκείνες τις ισορροπίες που ικανοποιούν επιπλέον τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός 4 Μία ισορροπία Nash ενός επαναλαμβανόμενου παιγνίου είναι τέλεια κατά υποπαίγνιο εάν είναι ισορροπία Nash μετά από κάθε t-ιστορία του παιγνίου. Ας δούμε τα παραπάνω σε σχέση με το Παράδειγμα 1. Η μοναδική ισορροπία κατά Nash του παιγνίου αυτού, όταν λάβει χώρα μία φορά, είναι η (O, O), δηλαδή το μη συνεργατικό αποτέλεσμα. Σ O Σ 5, 5 0, 6 O 6, 0 1, 1 Σχήμα 4.2: Το παίγνιο σταδίου

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ Θα υποθέσουμε ότι το παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται T φορές, όπου T <, και θα προσδιορίσουμε την τέλεια κατά υποπαίγνιο ισορροπία (ή τις τέλειες ισορροπίες, σε περίπτωση που υπάρχουν παραπάνω από μία). Η ανάλυση θα στηριχτεί στην οπισθογενή επαγωγή. Ξεκινούμε από το στάδιο T. Το πρώτο σημείο που παρατηρούμε είναι ότι οι επιλογές των παικτών στο στάδιο αυτό ουδεμία επίδραση έχουν στο μέλλον, διότι δεν υπάρχει επόμενη περίοδος. Αυτή η παρατήρηση ισχύει ανεξαρτήτως των επιλογών των παικτών στα πρώτα T 1 στάδια, ή αλλιώς ανεξαρτήτως της ιστορίας h T 1. Το στάδιο T λοιπόν, δεν επηρεάζεται από το παρελθόν και δεν επηρεάζει το μέλλον. Κατά συνέπεια, στο στάδιο αυτό οι παίκτες συμπεριφέρονται σαν να βρίσκονται σε ένα ανεξάρτητο παίγνιο ενός σταδίου. Κατά συνέπεια το αποτέλεσμα του σταδίου αυτού είναι το (O, O) (δηλαδή, η ισορροπία Nash του παιγνίου σταδίου). Ας δούμε τώρα το στάδιο T 1. Οι παίκτες γνωρίζουν (από την οπισθογενή επαγωγή) ότι ανεξαρτήτως της ιστορίας, στο επόμενο στάδιο T το αποτέλεσμα θα είναι το (O, O). Συνεπώς, οι ενέργειες τους στο στάδιο T 1 δεν επηρεάζουν τις ενέργειες τους στο επόμενο στάδιο. Άρα, στο στάδιο T 1 θα συμπεριφερθούν σαν να μην υπάρχει επόμενη περίοδος. Επομένως, οι επιλογές τους θα δίνονται και και πάλι από το (O, O). Με την ίδια λογική αναλύουμε όλα τα υπόλοιπα στάδια, δηλαδή τα στάδια T 2, T 3,..., 2, 1. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι σε κάθε στάδιο θα επαναλαμβάνεται η ισορροπία κατά Nash του παιγνίου σταδίου. Δηλαδή το αποτέλεσμα σε κάθε στάδιο θα είναι το (O, O). Το μοναδικό τέλειο κατά υποπαίγνιο αποτέλεσμα ισορροπίας συνεπώς είναι το: ( (O, O), (O, O),..., (O, O) ) Η παραπάνω ανάλυση και το συμπέρασμα της (ότι δηλαδή στην τέλεια ισορροπία ενός πεπερασμένα επαναλαμβανόμενου παιγνίου απλώς επαναλαμβάνεται η μοναδική ισορροπία Nash του παιγνίου σταδίου) ισχύει για κάθε πεπερασμένο επαναλαμβανόμενο παίγνιο. Πρόταση 1 Εστω ότι το παίγνιο σταδίου Γ έχει μία μόνο ισορροπία κατά Nash. Τότε το παίγνιο G T (δ) έχει μία τέλεια κατά υποπαίγνιο ισορροπία. Με βάση αυτήν, σε κάθε στάδιο επαναλαμβάνεται η ισορροπία Nash του παιγνίου σταδίου Γ. Απόδειξη Η λογική της απόδειξης ακολουθεί τα βήματα του προηγούμενου παραδείγματος. Οπως σημειώσαμε στην εισαγωγή του παρόντος Κεφαλαίου, τα επαναλαμβανόμενα παίγνια προσπαθούν, μεταξύ άλλων, να εξηγήσουν συνεργατικές συμπεριφορές. Η ανάλυση μέχρι τώρα δείχνει ότι, αν η συνεργατική συμπεριφορά δεν εξηγείται από ένα στατικό παίγνιο (δηλαδή δεν προκύπτει ως ισορροπία του

11 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 11 στατικού παιγνίου) τότε ενδεχομένως δεν θα εξηγείται και από το αντίστοιχο πεπερασμένως επαναλαμβανόμενο παίγνιο. Θα μπορούσε να σκεφτεί κάποιος ότι η επιλογή ενός συνεργατικού αποτελέσματος, π.χ. του αποτελέσματος (Σ, Σ) στο επαναλαμβανόμενο Δίλημμα των Φυλακισμένων, θα μπορούσε να επιτευχθεί μέσω στρατηγικών οι οποίες τιμωρούν στο μέλλον μία σημερινή παραβίαση της συνεργασίας. Οταν η αλληλεπίδραση επαναληφθεί έναν πεπερασμένο αριθμό φορών, τα κίνητρα των παικτών καθιστούν κάθε τιμωρία μη αξιόπιστη: οι παίκτες σε κάθε περίοδο συμπεριφέρονται σαν να μην υπάρχει επόμενη περίοδος. Η ενότητα που ακολουθεί δείχνει ότι η χρήση ενός απείρως επαναλαμβανόμενου παιγνίου αλλάζει κατά πολύ το συμπέρασμα αυτό Ισορροπίες για απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε τέλειες κατά υποπαίγνιο ισορροπίες για απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Οπως θα δούμε, τα συμπεράσματα της ανάλυσης διαφέρουν από αυτά των πεπερασμένων παιγνίων. Μεταξύ άλλων, στόχος είναι να αναλυθεί η δυνατότητα επίτευξης συνεργατικών αποτελεσμάτων. Για το σκοπό αυτό, θα αναλύσουμε στρατηγικές στο άπειρο παίγνιο οι οποίες έχουν δύο βασικά συστατικά: το ένα συστατικό προσδιορίζει τις ενέργειες που αντιστοιχούν σε κάποιο επιθυμητό αποτέλεσμα (π.χ., συνεργασία) και το άλλο συστατικό προσδιορίζει τις ενέργειες που αντιστοιχούν στην τιμωρία των παικτών εκείνων που δεν ενεργούν βάσει του επιθυμητού αποτελέσματος. Θα δούμε ένα σχετικό παράδειγμα εστιάζοντας και πάλι στο παίγνιο του Διλήμματος των Φυλακισμένων (παραπέμπουμε στο Παράδειγμα 1 και στην προηγούμενη ενότητα για τις λεπτομέρειες του παιγνίου σταδίου). Υποθέτουμε ότι το παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται άπειρες φορές και ότι ο συντελεστής προεξόφλησης δίνεται από την παράμετρο δ και για τους δύο παίκτες. Εστω η εξής στρατηγική του παίκτη i (όπου i = 1, 2) στο άπειρο παίγνιο: στάδιο t = 1 - ο i επιλέγει την ενέργεια Σ στάδιο t > 1 - εάν το αποτέλεσμα σε κάθε ένα από τα προηγούμενα στάδια 1, 2,..., t 1 είναι (Σ, Σ), ο i επιλέγει την ενέργεια Σ - σε κάθε άλλη περίπτωση, ο i επιλέγει την ενέργεια O Η παραπάνω στρατηγική ονομάζεται στρατηγική πυροδότησης: εάν παρατηρηθεί παραβίαση της συνεργασίας, η στρατηγική αυτή πυροδοτεί την τιμωρία του παραβάτη στο διηνεκές. Τα ερωτήματα που τίθενται είναι τα εξής:

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ θα υιοθετήσουν οι παίκτες τη στρατηγική πυροδότησης; συνιστά το ζεύγος στρατηγικών πυροδότησης τέλεια κατά υποπαίγνιο ισορροπία; Ξεκινούμε με το πρώτο ερώτημα. Θα εξετάσουμε τα κίνητρα των παικτών για υιοθέτηση ή μη της παραπάνω στρατηγικής. Δεδομένου ότι οι παίκτες είναι συμμετρικοί (έχουν ταυτόσημα χαρακτηριστικά), αρκεί να εξετάσουμε έναν παίκτη μόνο, π.χ., τον παίκτη 1. Κατά τα γνωστά, θα υποθέσουμε ότι ο παίκτης 2 υιοθετεί τη στρατηγική πυροδότησης και θα εξετάσουμε αν η βέλτιστη αντίδραση του 1 είναι να την υιοθετήσει και αυτός. Θα πρέπει να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη ενέργεια του 1 σε δύο ενδεχόμενα: όταν παρατηρεί αποτελέσματα τύπου (Σ, Σ) και όταν παρατηρεί ο,τιδήποτε άλλο. Ας δούμε πρώτα τι θα κάνει ο 1 αν παρατηρήσει στο τέλος κάποιας περιόδου ένα αποτέλεσμα διαφορετικό του (Σ, Σ). Ο παίκτης 1 ξέρει ότι ο 2, έχοντας και αυτός παρατηρήσει την παραβίαση της συνεργασίας, θα αρχίσει να επιλέγει O (διότι ο 2, εξ υποθέσεως, ακολουθεί τη στρατηγική πυροδότησης). Ποια η βέλτιστη αντίδραση του 1 έναντι αυτής της συμπεριφοράς του 2; Προφανώς να επιλέγει και αυτός O στο διηνεκές (όπως προβλέπει η στρατηγική πυροδότησης). Μένει να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη αντίδραση του παίκτη 1 την περίοδο 1 καθώς και σε εκείνες τις περιόδους οι οποίες έπονται ιστοριών που περιλαμβάνουν μόνο (Σ, Σ). Εστω ότι σε κάποια από αυτές ο 1 επιλέγει O. Η απόδοση του την περίοδο αυτή θα είναι 6 (διότι ο 2 συνεχίζει να επιλέγει Σ). Από την επόμενη περίοδο όμως ο 2, παρατηρώντας παραβίαση, θα αρχίσει να τιμωρεί τον 1 επιλέγοντας O για πάντα. Άρα από την επόμενη αυτή περίοδο και στο διηνεκές ο 1 θα αποκομίζει 1 ανά περίοδο. Η προεξοφλημένη μέση απόδοση του 1 από την παραβίαση είναι συνεπώς: (1 δ) ( 6 + δ + δ ) = (1 δ) ( 6 + δ ) 1 δ Αν, αντιθέτως, ο 1 μετά από ιστορία που περιλαμβάνει μόνο (Σ, Σ) επιλέξει την ενέργεια Σ, η απόδοση του θα είναι 5 (διότι μετά από μία τέτοια ιστορία ο 2 παίζει Σ). Για κάθε μία από τις επόμενες περιόδους, το ίδιο αποτέλεσμα θα επαναλαμβάνεται και ο 1 θα κερδίζει συνεχώς 5 ανά περίοδο. Η προεξοφλημένη μέση απόδοση του 1 σε αυτή την περίπτωση είναι: (1 δ) ( 5 + 5δ + 5δ ) 5 = (1 δ) 1 δ = 5 Συνεπώς, ο παίκτης 1 θα επιλέγει Σ μετά από κάθε ιστορία που περιλαμβάνει μόνο (Σ, Σ) εάν 5 (1 δ) ( 6 + δ ) 1 δ 1 δ 5 (4.5)

13 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 13 Η σχέση (4.5) μας λέει ότι, αν ο παίκτης 1 (και λόγω συμμετρίας και ο 2) ενδιαφέρεται αρκετά για το μέλλον ή αλλιώς αν είναι αρκετά υπομονετικός, τότε υιοθετεί τη στρατηγική πυροδότησης. Υπό αυτή την υπόθεση, σε κάθε περίοδο του απείρως επαναλαμβανόμενου παιγνίου του Διλήμματος των Φυλακισμένων το αποτέλεσμα θα δίνεται από το διάνυσμα ενεργειών (Σ, Σ). Ας δούμε τώρα για ποιο λόγο το παραπάνω αποτέλεσμα συνιστά τέλεια κατά υποπαίγνιο ισορροπία. Ξεκινούμε με την παρατήρηση ότι κάθε υποπαίγνιο ενός απείρως επαναλαμβανόμενου παιγνίου G (δ) είναι ουσιαστικά ταυτόσημο με το G (δ) (διότι και τα δύο είναι απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια με τα ίδια δεδομένα). Παραπάνω δείξαμε ότι η υιοθέτηση της στρατηγικής πυροδότησης συνιστά ισορροπία κατά Nash για το παίγνιο συνολικά. Αυτή η στρατηγική πυροδότησης δημιουργεί δύο τύπους υποπαιγνίων: αυτά που ξεκινούν μετά α- πό ιστορίες που περιλαμβάνουν μόνο συνεργατικά αποτελέσματα και αυτά που ξεκινούν μετά από ιστορίες που περιλαμβάνουν έναν τουλάχιστον διαφορετικό αποτέλεσμα. Για το πρώτο τύπο υποπαιγνίων οι παίκτες επιλέγουν σε κάθε στάδιο τις ενέργειες (Σ, Σ). Το αποτέλεσμα αυτό συνιστά ισορροπία κατά Nash του όλου παιγνίου όταν δ 1/5. Άρα, συνιστούν ισορροπία κατά Nash και για το εν λόγω υποπαίγνιο (λόγω της ταύτισης του όλου παιγνίου με κάθε υποπαίγνιο). Σε ένα υποπαίγνιο του δεύτερο τύπου, οι παίκτες επιλέγουν σε κάθε στάδιο τις ενέργειες (O, O). Οι ενέργειες αυτές προφανώς αποτελούν ζεύγος αμοιβαία βέλτιστων ενεργειών για το όλο παίγνιο και άρα συνιστούν ισορροπία και για το εν λόγω υποπαίγνιο. Η παραπάνω ισορροπία προέκυψε βάσει της υπόθεσης ότι η παραβίαση της συνεργασίας τιμωρείται επ άπειρον. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να σκεφτούμε στρατηγικές σύμφωνα με τις οποίες η τιμωρία διαρκεί έναν περιορισμένο αριθμό περιόδων, π.χ., διαρκεί για k περιόδους. Προφανώς θα υπάρχει μία αντίστροφη σχέση μεταξύ του k και της ελάχιστης τιμής του συντελεστή προεξόφλησης που εξασφαλίζει την υιοθέτηση της εν λόγω στρατηγικής. Οσο πιο μικρή είναι η διάρκεια της τιμωρίας, τόσο ποιο ελκυστική γίνεται η παραβίαση της συνεργασίας, και άρα τόσο περισσότερο θα πρέπει να ενδιαφέρονται για το μέλλον οι παίκτες, ώστε να μην παραβιάσουν τη συνεργασία (η παραβίαση της συνεργασίας επιφέρει οφέλη τα οποία είναι μεγάλα βραχυχρονίως και μικρότερα μακροχρονίως). Η τελευταία παρατήρηση δημιουργεί το εξής ερώτημα: Ποια ζεύγη αποδόσεων μπορούν να προκύψουν ως αποδόσεις ισορροπίας σε ένα απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο (είτε αυτό είναι το Δίλημμα των Φυλακισμένων είτε κάποιο άλλο); Οπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, οι άπειρες επαναλήψεις ενός παγνίου σταδίου επιτρέπουν την ύπαρξη ενός πολύ μεγάλου αριθμού τέλειων κατά υποπαίγνιο ισορροπιών Nash Το Δημώδες Θεώρημα (Folk theorem) Εστω ότι ένα παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται άπειρες φορές (και ότι μετά από κάθε επανάληψη όλοι πληροφορούνται τις επιλογές όλων). Ποιες από τις

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ αποδόσεις του παιγνίου σταδίου μπορούν να προκύψουν ως αποδόσεις ισορροπίας στο απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο; Η απάντηση είναι πάρα πολλές, αρκεί οι παίκτες να είναι αρκετά υπομονετικοί. Οπως δείχνει το λεγόμενο Δημώδες Θεώρημα, για ένα μεγάλο αριθμό διανυσμάτων εφικτών αποδόσεων του παιγνίου σταδίου μπορούμε να βρούμε στρατηγικές ισορροπίας στο απείρως ε- παναλαμβανόμενο παίγνιο οι οποίες εξασφαλίζουν στους παίκτες τις αποδόσεις αυτές. Ας δούμε κατ αρχάς τι σημαίνει ο όρος εφικτές αποδόσεις σε ένα παίγνιο σταδίου. Ας δούμε, για παράδειγμα, τον πίνακα αποδόσεων του Παραδείγματος 1. Προφανώς τα ζεύγη αποδόσεων που αντιστοιχούν στα τέσσερα ζεύγη καθαρών στρατηγικών είναι εφικτές (υπό την έννοια ότι για κάθε ένα από αυτά τα ζεύγη αποδόσεων υπάρχουν στρατηγικές οι οποίες δημιουργούν τις συγκεκριμένες αποδόσεις). Τα ζεύγη αποδόσεων αυτών περιγράφονται από το σύνολο {(5, 5), (0, 6), (6, 0), (1, 1)} και απεικονίζονται στο Σχήμα 4.3. Επίσης, όλοι οι κυρτοί συνδυασμοί δύο ή περισσοτέρων ζευγών αποδόσεων των καθαρών στρατηγικών συνιστούν εφικτές αποδόσεις (μέσω της χρήσης μικτών στρατηγικών). Εν γένει, το σύνολο εφικτών αποδόσεων του παιγνίου σταδίου του Παραδείγματος 1 δίνεται από το τετράπλευρο του επόμενου σχήματος, το οποίο ως κορυφές έχει τα τέσσερα ζεύγη αποδόσεων που αντιστοιχούν στις καθαρές στρατηγικές. Ας δώσουμε τώρα τον ορισμό των εφικτών αποδόσεων για ένα γενικό παίγνιο σταδίου, το Γ = {N, (X i, u i ) i N }. Ορισμός 5 Οι αποδόσεις (v 1, v 2,..., v n ) είναι εφικτές στο παίγνιο σταδίου Γ εάν προκύπτουν από κάποιον κυρτό συνδιασμό των αποδόσεων που αντιστοιχούν στις καθαρές στρατηγικές του Γ. Το σύνολο των εφικτών αποδόσεων συμβολίζεται με V. Εστω ότι το διάνυσμα x = (x 1, x 2,..., x n) συνιστά ισορροπία κατά Nash του παιγνίου σταδίου Γ. Ας θεωρήσουμε εκείνες τις εφικτές αποδόσεις οι οποίες υπερβαίνουν τις αποδόσεις που αντιστοιχούν στη ισορροπία Nash. Δηλαδή, ας θεωρήσουμε όλα τα διανύσματα (v 1, v 2,..., v n ) για τα οποία ισχύει ότι v i > u i (x ), για κάθε i N. Συμβολίζουμε το σύνολο αυτών των διανυσμάτων ως V. Ας δούμε και πάλι το Παράδειγμα 1. Η ισορροπία κατά Nash του παιγνίου σταδίου, δηλαδή το ζεύγος στρατηγικών (O, O), δημιουργεί τις αποδόσεις ισορροπίας (1,1). Το σύνολο V για το παίγνιο αυτό δίνεται από το Σχήμα 4.4. Το Δημώδες Θεώρημα μας λέει ότι όλες οι εφικτές αποδόσεις του Γ που α- νήκουν στο σύνολο V μπορούν να προκύψουν ως αποδόσεις ισορροπίας στο απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο, αρκεί οι παίκτες να είναι αρκετά υπομονετικοί. Οπως θα δούμε, η απόδειξη του θεωρήματος κάνει χρήση της έννοιας της στρατηγικής πυροδότησης.

15 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 15 u 2 (0,6) (5,5) V (1,1) 0 (6,0) u 1 Σχήμα 4.3: Εφικτές αποδόσεις για το Παράδειγμα 1 Δημώδες Θεώρημα Θεωρούμε ένα στατικό παίγνιο Γ. Εστω ότι: (u 1, u 2,..., u n) είναι το διάνυσμα αποδόσεων μίας ισορροπίας Nash του Γ ( v 1, v 2,..., v n ) είναι ένα διάνυσμα εφικτών αποδόσεων του Γ τέτοιο ώστε v i > u i για κάθε i ο συντελεστής προεξόφλησης δ είναι αρκετά μεγάλος Τότε υπάρχει τέλεια κατά υποπαίγνιο ισορροπία για το παίγνιο G (δ) με μέσες αποδόσεις ( v 1, v 2,..., v n ). Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι το διάνυσμα (û 1, û 2,..., û n ) V μπορεί να επιτευχθεί μέσω ενός διανύσματος καθαρών στρατηγικών x = ( x 1, x 2,..., x n ). Δηλαδή, u i ( x) = û i, i N. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε την υπόθεση περί καθαρών στρατηγικών. Αν δεν ισχύει η υπόθεση αυτή, τότε το διάνυσμα v επιτυγχάνεται μέσω μικτών στρατηγικών. Σε αυτή την περίπτωση όμως, η ανάλυση που ακολουθεί θα γίνει λίγο πιο πολύπλοκη. Εστω επίσης, ότι οι αποδόσεις ισορροπίας (u 1, u 2,..., u n) του Γ προκύπτουν από το διάνυσμα στρατηγικών (x 1, x 2,..., x n). Θεωρούμε την εξής στρατηγική πυροδότησης: στάδιο t = 1

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ u 2 (0,6) (5,5) V (1,1) 0 (6,0) u 1 Σχήμα 4.4: Εφικτές αποδόσεις που υπερβαίνουν τις αποδόσεις Nash - ο παίκτης i επιλέγει την ενέργεια x i στάδιο t > 1 - εάν το αποτέλεσμα σε κάθε ένα από τα προηγούμενα στάδια 1, 2,..., t 1 είναι x, ο παίκτης i επιλέγει την ενέργεια x i - σε κάθε άλλη περίπτωση, ο παίκτης i επιλέγει την ενέργεια x i Θα εξετάσουμε τα κίνητρα των παικτών για υιοθέτηση ή μη της παραπάνω στρατηγικής. Κατά τα γνωστά, ας δούμε τον παίκτη i θεωρώντας ότι όλοι οι άλλοι παίκτες υιοθετούν τη στρατηγική πυροδότησης. Θα πρέπει να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη αντίδραση του i σε κάθε περίοδο όπου έχει παρατηρήσει αποτέλεσμα x και τη βέλτιστη αντίδραση του σε κάθε περίοδο όπου έχει παρατηρήσει αποτέλεσμα διαφορετικό του x. Τι θα κάνει ο i αν παρατηρήσει σε κάποια περίοδο t ότι την προηγούμενη περίοδο t 1 προέκυψε αποτέλεσμα διαφορετικό του x; Ο i ξέρει ότι την περίοδο t οι υπόλοιποι παίκτες θα επιλέξουν τις ενέργειες x i, και ότι αυτό θα γίνεται στο διηνεκές (διότι ακολουθούν τη στρατηγική πυροδότησης). Συνεπώς, η βέλτιστη αντίδραση του 1 είναι να επιλέγει και αυτός x i στο διηνεκές. Ας δούμε τώρα τι θα κάνει ο i σε εκείνες τις περιόδους για τις οποίες η ιστορία περιλαμβάνει μόνο το αποτέλεσμα x. Εστω ότι σε κάποια από αυτές ο i επιλέγει να αποκλίνει από την ενέργεια x i. Η βέλτιστη απόκλιση, την οποία

17 4.2. ΒΑΣΙΚ Ο ΠΛΑ ΙΣΙΟ 17 συμβολίζουμε με x d i, είναι αυτή που λύνει το πρόβλημα: max x i u i (x i, x i ) Η απόδοση του i κατά την περίοδο απόκλισης είναι: όπου προφανώς ισχύει ότι: u d i u i (x d i, x i ) u d i û i (4.6) Από την επόμενη περίοδο οι άλλοι παίκτες θα αρχίσουν να επιλέγουν x i, αφού θα παρατηρήσουν την επιλογή x d i του i. Θα αρχίσει συνεπώς η περίοδος τιμωρίας του i. Δεδομένου αυτού, η βέλτιστη αντίδραση του i είναι η επιλογή της ενέργειας x i. Άρα, από την περίοδο που έπεται της απόκλισης και στο διηνεκές, ο i θα αποκομίζει απόδοση u i ανά περίοδο. Η μέση προεξοφλημένη απόδοση του από την παραβίαση είναι συνεπώς: (1 δ) ( u d i + δu i + δ 2 u i +... ) = (1 δ)u d i + δu i Αν, αντιθέτως, ο i μετά από κάθε ιστορία που περιλαμβάνει μόνο x επιλέξει την ενέργεια x i, η απόδοση του θα είναι û i (διότι μετά από μία τέτοια ιστορία οι άλλοι παίκτες επιλέγουν x i ). Για κάθε μία από τις επόμενες περιόδους, το ίδιο αποτέλεσμα θα επαναλαμβάνεται και ο i θα κερδίζει συνεχώς û i ανά περίοδο. Η μέση προεξοφλημένη απόδοση του i σε αυτή την περίπτωση είναι: (1 δ) ( û i + δû i + δ 2 û i +... ) 1 = (1 δ) 1 δ ûi = û i Συνεπώς, ο παίκτης i θα επιλέγει x i μετά από κάθε ιστορία που περιλαμβάνει μόνο x εάν û i (1 δ)u d i + δu i δ(u d i u i ) u d i û i (4.7) Υπενθυμίζουμε ότι ισχύουν οι ανισότητες Άρα η (4.7) ισχύει εάν u d i û i > u i (4.8) δ ud i û i u d i u i (4.9) όπου λόγω της (4.8) ισχύει η ανισότητα u d i û i u d i 1 u i

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ Για να ολοκληρωθεί το παραπάνω βήμα της απόδειξης, αρκεί να τονίσουμε η σχέση (4.9) θα πρέπει να ισχύει για κάθε παίκτη i. Τέλος, για να δείξουμε ότι το παραπάνω διάνυσμα στρατηγικών αποτελεί τέλεια κατά υποπαίγνιο ισορροπία, αρκεί να θυμηθούμε (και να εφαρμόσουμε) το επιχείρημα που παρουσιάστηκε κατά την ανάλυση του απείρως επαναλαμβανόμενου παιγνίου του Παραδείγματος Εφαρμογές Συμπαιγνία στο ολιγοπώλιο Ενα από τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι ολιγοπωλιακές επιχειρήσεις είναι ότι ο ανταγωνισμός μεταξύ τους δεν επιτρέπει την εξάντληση των περιθωρίων κέρδους που δίνει η αγορά. Ενας τρόπος αποφυγής του ανταγωνισμού είναι η σύμπραξη μεταξύ των επιχειρήσεων, δηλαδή ο από κοινού καθορισμός των τιμών ή των ποσοτήτων των προϊόντων που προσφέρουν στους καταναλωτές. Μέσω της σύμπραξης, οι επιχειρήσεις καθορίζουν τιμές ή ποσότητες που μεγιστοποιούν τα συνολικά κέρδη τους, τα οποία κατόπιν διανέμουν μεταξύ τους. Το ερώτημα που θα θέσουμε είναι κατά πόσο η σύμπραξη είναι βιώσιμη στρατηγική. Ας θεωρήσουμε μία αγορά με το σύνολο των επιχειρήσεων N = {1, 2}. Οι επιχειρήσεις παράγουν το ίδιο προϊόν και ανταγωνίζονται στην αγορά μέσω τιμών (ανταγωνισμός Bertrand). Δηλαδή, κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιλέγοντας την τιμή στη οποία θα πωλήσει το προϊόν της. Η τιμή της επιχείρησης i συμβολίζεται με p i. Η συνάρτηση αγοραίας ζήτησης δίνεται από τη συνάρτηση Q(p), όπου p είναι κάποια τιμή. Κάθε επιχείρηση παράγει με σταθερό μέσο κόστος, το οποίο ισούται με c (σταθερές αποδόσεις κλίμακας στην παραγωγή). Δεδομένων των παραπάνω, η συνάρτηση ζήτησης της επιχείρησης 1 δίνεται από τη συνάρτηση q 1 (p 1, p 2 ) όπου: 0, εάν p 1 > p 2 q 1 (p 1, p 2 ) = Q(p 1 )/2, εάν p 1 = p 2 Q(p 1 ), εάν p 1 < p 2 Αντίστοιχη συνάρτηση, q 2 (p 1, p 2 ), ισχύει για την επιχείρηση 2. Οι συναρτήσεις κέρδους των δύο επιχειρήσεων είναι οι: π 1 (p) = (p 1 c)q 1 (p) π 2 (p) = (p 2 c)q 2 (p) Ας δούμε αρχικά το πρόβλημα της σύμπραξης στη στατική του μορφή. Αν οι επιχειρήσεις προβούν σε σύμπραξη, η μεγιστοποίηση των αθροιστικών κερδών

19 4.3. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 19 τους επιτυγάνεται εάν κάθε μία πωλήσει το προϊόν της στην μονοπωλιακή τιμή, την οποία συμβολίζουμε με p m. Σε αυτή την περίπτωση, οι δύο επιχειρήσεις μοιράζονται την μονοπωλιακή ζήτηση καθώς και το μονοπωλιακό κέρδος. Τα κέρδη τους είναι: π 1m (p m c) Q(p m) 2 π 2m (p m c) Q(p m) 2 Είναι το παραπάνω αποτέλεσμα βιώσιμο; Η απάντηση είναι όχι. Ας δούμε την κατάσταση από την πλευρά της επιχείρησης 1. Αν η 1 παραβιάσει μονομερώς την (άτυπη) συμφωνία και θέσει τιμή p m ε, όπου ε ένας θετικός μικρός αριθμός, τότε κερδίζει όλη την αγοραία ζήτηση που αντιστοιχεί στην τιμή αυτή (υπενθυμίζουμε ότι αναλύουμε ένα υπόδειγμα με ομοιογενή προϊόντα). Το κέρδος της επιχείρησης 1 στην περίπτωση αυτή θα είναι: π 1ε (p m ε c)q(p m ε) Εάν το ε είναι αρκετά μικρό τότε θα ισχύει η ανισότητα π 1ε > π 1m και επομένως η σύμπραξη δεν θα είναι βιώσιμη. Το ίδιο θα συμβεί αν το παίγνιο επαναληφθεί T φορές, όπου T <. Σε αυτή την περίπτωση, απλά εφαρμόζουμε την Πρόταση 1 για να διαπιστώσουμε ότι το αποτέλεσμα σε κάθε μία από τις επαναλήψεις θα είναι το αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στην ισορροπία του παιγνίου σταδίου, δηλαδή το (c, c). Ας δούμε τώρα την περίπτωση του άπειρου αριθμού επαναλήψεων, T =. Θα εξετάσουμε την εξής στρατηγική πυροδότησης: Την περίοδο t = 1 η επιχείρηση i ορίζει την τιμή p m. Σε κάθε άλλη περίοδο t > 1 η επιχείρηση i ορίζει την τιμή p m, εάν μέχρι και τη περίοδο t 1 παρατηρεί μόνο (p m, p m ). Αλλιώς ορίζει την τιμή p = c. Θα εξετάσουμε αν οι επιχειρήσεις υιοθετήσουν την παραπάνω στρατηγική. Θα πρέπει να προσδιορίσουμε τις βέλτιστες ενέργειες των επιχειρήσεων σε περιόδους οι οποίες έπονται αποτελεσμάτων (p m, p m ) και σε περιόδους που έπονται οιονδήποτε άλλων αποτελεσμάτων. Ας πάρουμε την τελευταία περίπτωση και ας εστιάσουμε στην επιχείρηση 1, υποθέτοντας ότι η 2 υιοθετεί τη στρατηγική πυροδότησης. Εστω ότι σε κάποια περίοδο (έστω t) η 1 παρατηρεί ότι την προηγούμενη περίοδο (δηλαδή, την περίοδο t 1) προέκυψε αποτέλεσμα διαφορετικό του (p m, p m ). Η 1 γνωρίζει ότι από την περίοδο αυτή (δηλαδή την περίοδο t) και έπειτα, η 2 θα επιλέγει c. Μία βέλτιστη αντίδραση της 1 είναι να επιλέγει και αυτή c, τόσο στην περίοδο t, όσο και σε όλες τις επόμενες, όπως προβλέπει η στρατηγική πυροδότησης.

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ Ας δούμε τώρα την περίπτωση όπου η 1 παρατηρεί μόνο το αποτέλεσμα (p m, p m ). Εάν σε κάποια περίοδο, έστω t, επιλέξει μία τιμή διαφορετική της p m, και συγκεκριμένα την τιμή p m ε, τότε την περίοδο αυτή θα έχει κέρδος π 1ε. Από την επόμενη όμως περίοδο, t + 1, και για όλες όσες έπονται, η επιχείρηση 2 θα επιλέγει την τιμή c, αφού θα παρατηρήσει παραβίαση της συμφωνίας. Η βέλτιστη αντίδραση της επιχείρησης 1 στις περιόδους αυτές (t + 1 και όλες τις επόμενες) είναι να ορίσει και αυτή τιμή ίση με c. Οπότε το κέρδος της για κάθε μία από αυτές τις περιόδους θα είναι ίσο με το κέρδος που αντιστοιχεί στην ισορροπία κατά Nash του υποδείγματος Bertrand, το οποίο είναι π 1 (c, c) = 0. Άρα, ο μέσος όρος της ακολουθίας κερδών της 1 από την μη υιοθέτηση είναι: (1 δ) ( π 1ε + 0 δ + 0 δ ) = (1 δ) π 1ε Ας δούμε τώρα την περίπτωση όπου μετά από αποτελέσματα (p m, p m ), η επιχείρηση 1 επιλέγει p m. Σε αυτή την περίπτωση η 1 θα κερδίσει π 1m (διότι η 2 παραμένει στην επιλογή p m.). Για κάθε μία από τις επόμενες περιόδους, το ίδιο σενάριο θα επαναλαμβάνεται και η επιχείρηση 1 θα κερδίζει π 1m ανά περίοδο. Ο μέσος όρος της ακολουθίας κερδών της είναι: (1 δ) ( π 1m + δπ 1m + δ 2 π 1m +... ) = (1 δ) π 1m 1 δ = π 1m Η επιχείρηση 1 θα υιοθετήσει τη στρατηγική πυροδότησης εάν: Η παραπάνω ανισότητα ισχύει εάν: π 1m (1 δ) π 1ε δ 1 π 1m π 1ε δ Συμπεραίνουμε ότι σε μία δυοπωλιακή αγορά τύπου Bertrand, υπάρχει τέλεια ισορροπία κατά την οποία οι επιχειρήσεις συμπράττουν στη μονοπωλιακή τιμή, υπό την υπόθεση ότι ο συντελεστής προεξόφλησης είναι μεγαλύτερος από δ Επιλογή ποιότητας Θα αναλύσουμε μία απλή μακροχρόνια σχέση μεταξύ μίας επιχείρησης και ενός καταναλωτή (εναλλακτικά, ο καταναλωτής μπορεί να αντιπροσωπεύει ένα σύνολο καταναλωτών). Η επιχείρηση παράγει και προσφέρει ένα προϊόν το οποίο μπορεί να είναι είτε υψηλής είτε χαμηλής ποιότητας. Η επιλογή της ποιότητας είναι στρατηγική επιλογή της επιχείρησης. Ο καταναλωτής έχει δύο επιλογές: να αγοράσει ή να μην αγοράσει το προϊόν της επιχείρησης. Ο καταναλωτής αγοράζει το προϊόν, μόνο εάν είναι υψηλής ποιότητας. Αλλιώς απέχει από την

21 4.3. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 21 αγορά. Η επιχείρηση προτιμά ο καταναλωτής να αγοράσει το προϊόν της παρά να απέχει. Το κέρδος της όμως είναι μεγαλύτερο όταν πωλεί το χαμηλής ποιότητας προϊόν. Τα παραπάνω ορίζουν ένα παίγνιο σταδίου στο οποίο: η επιχείρηση επιλέγει την ποιότητα του προϊόντος της (υψηλή H ή χαμηλή L ) ο καταναλωτής επιλέγει αν θα αγοράσει (επιλογή P ) ή όχι (επιλογή NP ) το προϊόν Ο πίνακας αποδόσεων του παγνίου σταδίου έχει τη μορφή: Επιχείρηση H L P a Καταναλωτής c, a f b c,b f NP 0, 0 0, 0 Σχήμα 4.5: Παίγνιο σταδίου Με βάση τα παραπάνω, οι αποδόσεις ικανοποιούν τις ανισότητες: a c > 0, 0 > b c, b f > a f > 0 Οπως εύκολα διαπιστώνουμε, η μόνη ισορροπία σε καθαρές στρατηγικές στο παίγνιο σταδίου δίνεται από το διάνυσμα (N P, L). Οι αποδόσεις ισορροπίας των παικτών είναι (0,0). Οι αποδόσεις αυτές κυριαρχούνται κατά Pareto από τις αποδόσεις (a c, a f ) που αντιστοιχούν στο διάνυσμα στρατηγικών (P, H). Θα υποθέσουμε λοιπόν, ότι το παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται άπειρες φορές και θα βρούμε συνθήκες υπό τις οποίες ο καταναλωτής και η επιχείρηση αποκομίζουν απόδοση a c και a f αντίστοιχα ανά περίοδο. Υποθέτουμε ότι ο συντελεστής προξόφλησης είναι κοινός για τους δύο παίκτες και δίνεται από την παράμετρο δ. Θα μελετήσουμε στρατηγικές πυροδότησης για το απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο οι οποίες προβλέπουν τα εξής για κάθε παίκτη: Επιχείρηση Την περίοδο t = 1 η επιχείρηση προσφέρει το υψηλής ποιότητας προϊον (επιλογή H). Σε κάθε άλλη περίοδο t > 1 η επιχείρηση προσφέρει το υψηλής ποιότητας προϊόν εάν μέχρι και τη περίοδο t 1 παρατηρεί μόνο (P, H). Αλλιώς, προσφέρει το χαμηλής ποιότητας προϊόν (επιλογή L). Καταναλωτής Την περίοδο t = 1 ο καταναλωτής αγοράζει το προϊόν (επιλογή P ).

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ Σε κάθε άλλη περίοδο t > 1 ο καταναλωτής αγοράζει το προϊόν εάν μέχρι και τη περίοδο t 1 παρατηρεί μόνο (P, H). Αλλιώς επιλέγει να μην αγοράσει (επιλογή NP ). Ας μελετήσουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η επιχείρηση υιοθετεί τη στρατηγική πυροδότησης (υπό την υπόθεση ότι ο καταναλωτής την υιοθετεί). Κατ αρχάς, εάν η επιχείρηση παρατηρήσει σε κάποια περίοδο αποτέλεσμα διαφορετικό από (P, H), τότε ξέρει ότι ο καταναλωτής θα απέχει στο διηνεκές από αγορές. Σε αυτή την περίπτωση, η επιλογή L είναι (τετριμμένα) βέλτιστη για την επιχείρηση (όπως προβλέπει η στρατηγική πυροδότησης). Εστω τώρα ότι η επιχείρηση παρατηρεί μέχρι και την περίοδο t 1 μόνο το αποτέλεσμα (P, H). Αν κατά την περίοδο t επιλέξει την ενέργεια H, θα έχει όφελος a f (δεδομένου ότι ο καταναλωτής υιοθετεί τη στρατηγική πυροδότησης). Η ίδια απόδοση θα επαναλαμβάνεται για κάθε επόμενη περίοδο (βάσει του σεναρίου που μελετούμε). Ο μέσος όρος αυτών των αποδόσεων είναι: (1 δ)(a f + δa f + δ 2 a f +...) = (1 δ) a f 1 δ = a f (4.10) Αν μετά από αποτελέσματα (P, H) η επιχείρηση προσφέρει κατά την περίοδο t το χαμηλής ποιότητας προϊόν, το κέρδος της την περίοδο t θα είναι b f αλλά για κάθε μία από τις επόμενες περιόδους θα είναι 0 (διότι από την περίοδο t και μετά ο καταναλωτής θα σταματήσει να αγοράζει). Ο προεξοφλημένος μέσος όρος αυτών των αποδόσεων είναι: (1 δ)(b f ) = (1 δ)b f (4.11) Δεδομένων των (4.10) και (4.11), η επιλογή του υψηλής ποιότητας προϊόντος είναι η βέλτιστη ενέργεια για την επιχείρηση εάν: δ 1 a f b f (4.12) Θα εξετάσουμε τώρα τον καταναλωτή (υπό την υπόθεση ότι η επιχείρηση υιοθετεί τη στρατηγική). Ξεκινούμε με την περίπτωση κατά την οποία ο καταναλωτής παρατηρεί σε κάποια περίοδο t αποτέλεσμα διαφορετικό από (P, H). Σε αυτή την περίπτωση η επιχείρηση θα αρχίσει να επιλέγει L (στο διηνεκές). Η βέλτιστη ενέργεια του καταναλωτή είναι να μην αγοράζει πλέον από την επιχείρηση, δηλαδή θα επιλέγει NP σε κάθε μία από τις περιόδους αυτές (όπως προβλέπει η στρατηγική πυροδότησης). Εστω τώρα ότι ο καταναλωτής παρατηρεί μέχρι και την περίοδο t 1 μόνο το αποτέλεσμα (P, H). Αν επιλέξει την περίοδο t την ενέργεια P, θα έχει όφελος a c. Η ίδια απόδοση θα επαναλαμβάνεται για κάθε επόμενη περίοδο. Ο προεξοφλημένος μέσος όρος αυτών των αποδόσεων (κερδών) είναι:

23 4.4. ΙΣΤΟΡΙΚ Η ΑΝΑΔΡΟΜ Η 23 (1 δ)(a c δa c + δ 2 a c +...) = (1 δ) a c 1 δ = a c Αν μετά από αποτελέσματα (P, H) ο καταναλωτής επιλέξει να μην αγοράσει, NP, το κέρδος της την περίοδο t θα είναι 0. Από την επόμενη περίοδο η επιχείρηση θα προσφέρει το χαμηλής ποιότητας προϊόν, γεγονός που σημαίνει ότι ο καταναλωτής δεν θα έχει κίνητρο να αγοράζει. Οπότε η απόδοση του θα παραμείνει στο επίπεδο 0. Κατά συνέπεια, μετά από αποτελέσματα (P, H) ο καταναλωτής πάντοτε θα αγοράζει καθώς a c > 0. Το συμπέρασμα της ανάλυσης είναι ότι, εάν ισχύει η σχέση (4.12), δηλαδή εάν η επιχείρηση είναι αρκετά υπομονετική, υπάρχει τέλεια ισορροπία τέτοια ώστε η επιχείρηση επιλέγει σε κάθε περίοδο το υψηλής ποιότητας προϊόν, το οποίο ο καταναλωτής αγοράζει πάντοτε. Οι αποδόσεις ανά περίοδο δίνονται από το διάνυσμα (a c, a f ). 4.4 Ιστορική αναδρομή Η ανάλυση επαναλαμβανόμενων παιγνίων πάει πίσω στους Luce και Raiffa (1957). Η δε βασική ιδέα του Δημώδους Θεωρήματος ήταν γνωστή, στη μία ή την άλλη μορφή, στους ερευνητές αρκετά πριν δημοσιευτεί από τον Friedman (1971). Υπό αυτή την έννοια, αποτελούσε μέρος της παράδοσης, ή αλλιώς του φολκλόρ, της θεωρίας παιγνίων (για αυτό το λόγο ονομάστηκε Folk Theorem). Το παρόν κεφάλαιο περιορίστηκε σε επαναλαμβανόμενα παίγνια πλήρους πληροφόρησης, όπου κάθε παίκτης παρατηρεί εκ των υστέρων τις επιλογές των υπολοίπων παικτών σε κάθε επανάληψη του σταδίου παιγνίου. Η βιβλιογραφία έχει επίσης αναπτύξει τα λεγόμενα επαναλαμβανόμενα παίγνια με ελλιπή πληροφόρηση, τα οποία εισήχθησαν από τους Aumann και Maschler (1966), καθώς και επαναλαμβανόμενα παίγνια στα οποία κάθε παίκτης δεν παρατηρεί πλήρως τις επιλογές των άλλων παικτών. Δύο από τις πρώτες σημαντικές εργασίες στο θέμα αυτό είναι των Green και Porter (1984) και των Abreu, Pearce και Staccheti (1990). Τέλος, μία κοντινή κατηγορία παιγνίων συνιστούν τα στοχαστικά παίγνια. Σε αυτή την περίπτωση, οι αποδόσεις του παιγνίου σταδίου δεν είναι ίδιες κάθε περίοδο, αλλά υπόκεινται σε στοχαστικές διαφοροποιήσεις. Πρωτοπόρος στη μελέτη των στοχαστικών παιγνίων είναι ο Shapley (1953). 4.5 Ασκήσεις 1. Θεωρούμε μία οικονομία το συνολικό προϊόν της οποίας, y, δίνεται από τη σχέση (καμπύλη Phillips): y = y n + (x x e )

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝ ΟΜΕΝΑ ΠΑ ΙΓΝΙΑ όπου y n το δυνητικό προϊόν της οικονομίας, x ο ρυθμός πληθωρισμού και x e ο προσδοκώμενος (εκ μέρους του ιδιωτικού τομέα) ρυθμός πληθωρισμού. Η κυβέρνηση επιθυμεί υψηλό προϊόν χωρίς πληθωρισμό. Συγκεκριμένα, η συνάρτηση χρησιμότητας (απόδοσης) της κυβέρνησης είναι: v g (x, y) = 1 2 ax2 + b(y y n ) Ο ιδιωτικός τομέας της οικονομίας επιθυμεί την ελαχιστοποίηση της απόκλισης μεταξύ πραγματικού και προσδοκώμενου ρυθμού πληθωρισμού. Η συνάρτηση χρησιμότητας του ιδιωτικού τομέα είναι: u p (x, x e ) = (x x e ) 2 (a) Να βρεθεί η ισορροπία του παιγνίου σταδίου όπου η κυβέρνηση επιλέγει τον ρυθμό πληθωρισμού x και ο ιδιωτικός τομέας επιλέγει τον προσδοκώμενο πληθωρισμό x e. (b) Εστω ότι το παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται άπειρες φορές, και έστω ότι οι παίκτες προεξοφλούν μελλοντικές αποδόσεις με βάση τον συντελεστή δ. Να κατασκευαστούν στρατηγικές για το απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο οι οποίες οδηγούν σε επιλογές μηδενικού πραγματικού και προσδοκώμενου πληθωρισμού σε κάθε περίοδο. Για ποιες τιμές του δ ισχύει το αποτέλεσμα; 2. Θεωρούμε ένα τριοπώλιο τύπου Cournot στην οποία οι επιχειρήσεις (1, 2 και 3) παράγουν ομοιογενή προϊόντα με σταθερό οριακό κόστος c, ενώ αντιμετωπίζουν μία γραμμική συνάρτηση ζήτησης. Εστω ότι οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε άπειρο χρονικό ορίζοντα, προεξοφλώντας μελλοντικά κέρδη με βάση τον συντελεστή δ. Να βρεθεί για ποιες τιμές του δ η επιχείρηση i θα υιοθετήσει στο απείρως επαναλαμβανόμενο παίγνιο την παρακάτω στρατηγική: Την περίοδο t = 1, η i επιλέγει την ποσότητα, y m /3, όπου y m η μονοπωλιακή πσοότητα. Σε κάθε άλλη περίοδο t > 1, η i εξακολουθεί να επιλέγει y m /3 εάν μέχρι και τη περίοδο t 1 παρατηρεί ότι όλες οι επιχειρήσεις επιλέγουν y m /3. Αλλιώς επιλέγει την ποσότητα που αντιστοιχεί στην ισορροπία Cournot. 3. Θεωρούμε και πάλι την προηγούμενη άσκηση, αλλά τώρα υποθέτουμε ότι μία μονομερής απόκλιση από την ποσότητα y m /3 γίνεται αντιληπτή μετά από k > 1 περιόδους. Πως θα αλλάξει η απάντηση σχετικά με τις τιμές του δ;

25 4.5. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Θεωρούμε μία αγορά τύπου Bertrand με n 2 επιχειρήσεις. Οι επιχειρήσεις παράγουν ομοιογενή προϊόντα με οριακό κόστος 0. Η αγοραία ζήτηση δίνεται από τη συνάρτηση Y = 1 p, όπου Y η αγοραία ποσότητα και p η τιμή που θα επικρατήσει στην αγορά. Εστω ότι οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται με άπειρο χρονικό ορίζοντα, προεξοφλώντας μελλοντικά κέρδη με βάση τον συντελεστή δ. (a) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του δ που εξασφαλίζει ότι η μονοπωλιακή τιμή θα επιβάλλεται από τις επιχειρήσεις σε κάθε χρονική περίοδο. Ποιος συνδυασμός στρατηγικών υποστηρίζει αυτό το αποτέλεσμα; (b) Πως εξαρτάται η παραπάνω ελάχιστη τιμή από τον αριθμό των επιχειρήσεων n; 5. Εστω το εξής παίγνιο σταδίου: Σ O Σ 4, 4 1, 5 O 5, 1 0, 0 Υποθέτουμε ότι το παίγνιο σταδίου επαναλαμβάνεται άπειρες φορές και ότι ο συντελεστής προεξόφλησης είναι δ = Αποτελεί τέλεια ισορροπία ο συνδυσμός στρατηγικών όπου κάθε παίκτης επιλέγει πάντοτε Σ; 6. Στο παρακάτω παίγνιο η κυβέρνηση επιλέγει φορολογικούς συντελεστές (t L ή t H ) και ο μέσος καταναλωτής επιλέγει (ταυτόχρονα με τη κυβέρνηση) το ποσοστό του εισοδήματος που θα αποταμιεύσει (s H ή s L ): s H s L t L 5, 5 2, 2 t H 7, 2 3, 3 Υποθέτουμε ότι το παίγνιο επαναλαμβάνεται άπειρες φορές και ότι ο συντελεστής προεξόφλησης είναι δ και για τους δύο παίκτες. Ποια η ελάχιστη τιμή του δ ούτως ώστε οι αποδόσεις (5,5) να αποτελέσουν αποδόσεις μίας τέλειας ισορροπίας στο άπειρο παίγνιο; Να προσδιοριστεί ένας συνδυασμός στρατηγικών που υποστηρίζει αυτή την ισορροπία. 7. Δύο επιχειρήσεις (οι 1 και 2) ανταγωνίζονται ως προς τις ποσότητες (ανταγωνισμός Cournot) των διαφοροποιημένων προϊόντων τους. Η αντίστροφη συνάρτηση της επιχείρησης i δίνεται από τη σχέση p i = a y i γy j, όπου p i η τιμή, q i, q j οι ποσότητες, και i, j = 1, 2, i j. Εστω ότι οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε άπειρο χρονικό ορίζοντα και ότι ο συντελεστής προεξόφλησης είναι δ και για τις δύο επιχειρήσεις. (a) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του δ που εξασφαλίζει ότι οι επιχειρήσεις σε κάθε χρονική περίοδο θα επιλέγουν ποσότητες που μεγιστοποιούν

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5

B 1 A 1 B 2 A 2. t 1. t 3 w. t 2 A 3 B 3. t 4. t 5 Κεφάλαιο 3 Δυναμικά παίγνια 3.1 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε αναλύσει παίγνια στα οποία όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Αυτή η υπόθεση όμως δεν είναι πάντα κατάλληλη. Σε πολλές

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση

10/3/17. Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο. Μικροοικονομική. Ολιγοπώλιο. Ολιγοπώλιο. Ανταγωνισµός ποσότητας. Μια σύγχρονη προσέγγιση 0/3/7 HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 8 Ολιγοπώλιο Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι ένας κλάδος που αποτελείται από μία μόνο εταιρεία. Ένα δυοπώλιο είναι ένας κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο

Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 28.1 έως και 28.9 Κεφάλαιο 28 Ολιγοπώλιο Cournot Stackelberg Bertrand

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand

3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα Bertrand 3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

Rubinstein. (x 2, 1 x 2 ) = (0, 1).

Rubinstein. (x 2, 1 x 2 ) = (0, 1). Κεφάλαιο 8 Διαπραγματεύσεις: μη συνεργατική προσέγγιση 8.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε τη μη συνεργατική προσέγγιση στη θεωρία διαπραγμάτευσης. Θα στηριχτούμε στην υπόθεση ότι οι συμμετέχοντες

Διαβάστε περισσότερα

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot

Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot -To υπόδειγμα Cournot έχει υποστεί τρία είδη κριτικής: () Το υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

A 2 B 2 Γ 2. u 1 (A 1, A 2 ) = 3 > 1 = u 1 (B 1, A 2 ) u 1 (A 1, Γ 2 ) = 1 > 0 = u 1 (B 1, Γ 2 ) A 2 B 2

A 2 B 2 Γ 2. u 1 (A 1, A 2 ) = 3 > 1 = u 1 (B 1, A 2 ) u 1 (A 1, Γ 2 ) = 1 > 0 = u 1 (B 1, Γ 2 ) A 2 B 2 Κεφάλαιο 2 Στατικά παίγνια με πλήρη πληροφόρηση 2.1 Εισαγωγή Η πιο απλή, αλλά και θεμελιώδης, κατηγορία παιγνίων είναι αυτή των στατικών παιγνίων με πλήρη πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά οι συμμετέχοντες

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1

Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1 Ολιγοπώλιο Με ιαφοροποιηµένο Προϊόν 1 Βασική ιάκριση: Προϊόντα κάθετα διαφοροποιηµένα (κοινός δείκτης ποιότητας) Προϊόντα οριζόντια διαφοροποιηµένα (δεν υπάρχει κοινός δείκτης ποιότητας) Προϊόντα Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής. Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας

Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής. Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας Πληθωρισμός, Ανεργία και Αξιοπιστία της Νομισματικής Πολιτικής Το Πρόβλημα του Πληθωρισμού σε ένα Υπόδειγμα με Υψηλή Ανεργία Ισορροπίας Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Πληθωρισμός,

Διαβάστε περισσότερα

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις . Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις Α. Ενημερωτική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακά Ανταγωνιστική Αγορά (Butters, Gerard 977, Equilibrium Distribution of Prices and Advertising) -To υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης (ilgrom, Paul and John Roberts 98, imit Pricing and Entry under Incomplete Information) - Μια επιχείρηση ακολουθεί πολιτική οριακής τιμολόγησης (limit pricing) όταν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος

1. Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος . Επιλογή Ποιότητας στην Ολιγοπωλιακή Αγορά: Κάθετη Διαφοροποίηση Προϊόντος - Ορισμός. Αν η αύξηση του επιπέδου ενός χαρακτηριστικού που διαφοροποιεί τα προϊόντα των επιχειρήσεων ωφελεί κάποιους καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται

(γ) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται Βασικές Έννοιες Οικονομικών των Επιχειρήσεων - Τα οικονομικά των επιχειρήσεων μελετούν: (α) Τον τρόπο με τον οποίο λαμβάνουν τις αποφάσεις τους οι επιχειρήσεις. (β) Τις μορφές στρατηγικής αλληλεπίδρασης

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11

Ολιγοπώλιο. Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι. Αρ. Διάλεξης: 11 Ολιγοπώλιο Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη Ι Αρ. Διάλεξης: 11 Μορφές Αγορών μεταξύ Μονοπωλίου και Τέλειου Ανταγωνισμού Ο Ατελής Ανταγωνισμός αναφέρεται στην διάρθρωση της αγοράς εκείνης η οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος () Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος - Στα χωροθετικά υποδείγματα διαφοροποιημένου προϊόντος, οι καταναλωτές είναι ετερογενείς (δηλαδή έχουν διαφορετικές προτιμήσεις μεταξύ τους ή βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία

Ολιγοπωλιακή Ισορροπία Ολιγοπωλιακή Ισορροπία - Χρησιμοποιούμε τις βασικές αρχές της θεωρίας παιγνίων για να εξετάσουμε τη στρατηγική αλληλεπίδραση των επιχειρήσεων σε ατελώς ανταγωνιστικές αγορές, εστιάζοντας την προσοχή μας

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος 2016-17 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) 1 ιάλεξη2 Ανταγωνισμός, οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop (2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p

Διαβάστε περισσότερα

A 1 B 1 B 2 A 2 A 2 B 2

A 1 B 1 B 2 A 2 A 2 B 2 Κεφάλαιο 9 Δυναμικά παίγνια με ελλιπή πληροφόρηση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο 5 εξέτασε παίγνια με ελλιπή πληροφόρηση, δηλαδή παίγνια στα ο- ποία κάποιοι από τους παίκτες δεν γνωρίζουν κάποια από τα χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά].

Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: A (Apricot), B (Banana) [ ιαρκή Αγαθά]. 2.2. ΥΟΠΩΛΙΟ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΜΕ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ Έστω ότι έχουµε 2 µάρκες υπολογιστών: (pricot), (anana) [ ιαρκή Αγαθά]. Υποθέτουµε µηδενικό κόστος παραγωγής και P, P, οι τιµές για το Α, αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας. Οικονομικά της ευημερίας 3/9/2017. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης Συνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto Συνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 8. Ολιγοπώλιο VA 27

Διάλεξη 8. Ολιγοπώλιο VA 27 Διάλεξη 8 Ολιγοπώλιο VA 27 Ολιγοπώλιο Ένα μονοπώλιο είναι μια αγορά που αποτελείται από μια και μόνο επιχείρηση. Ένα δυοπώλιο είναι μια αγορά που αποτελείται από δυο επιχειρήσεις. Ένα ολιγοπώλιο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας 2/26/2016. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto: ορισμός. ορισμός.

Διάλεξη 3. Οικονομικά της ευημερίας 2/26/2016. Περίγραμμα. Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto: ορισμός. ορισμός. Περίγραμμα Διάλεξη Εργαλεία δεοντολογικής ανάλυσης υνθήκες για αποτελεσματικότητα κατά areto υνθήκες για ισορροπία σε ανταγωνιστικές αγορές Το πρώτο θεώρημα των οικονομικών της ευημερίας Το δεύτερο θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση. Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ. 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ. 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται τέσσερις βασικές μορφές οργάνωσης της αγοράς: ο πλήρης ανταγωνισμός, το μονοπώλιο, το ολιγοπώλιο και ο μονοπωλιακός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ. Ολιγοπώλιο Κλωνάρης Στάθης

ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ. Ολιγοπώλιο Κλωνάρης Στάθης ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ Ονομάζεται η δομή της αγοράς που χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη σχετικά μικρού αριθμού επιχειρήσεων αλλά μεγάλες σε μέγεθος σχετικά με την αγορά που εξυπηρετούν. Οι ολιγοπωλιακές επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας

To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας o 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας - Το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας (FW) εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto αλλά δεν εξασφαλίζει μια ίση διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Οµοιογενή Προϊόντα Ισορροπία Courot-Nash Έστω δυοπώλιο µε συνάρτηση ζήτησης: ( ) a b a, b > 0 () Βέβαια ισχύει ότι: + () Ακόµα υποθέτουµε ότι η τεχνολογία παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά

Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά Ζήτηση, Προσφορά και Ισορροπία στην Ανταγωνιστική Αγορά - Ορισμός: Η αγορά ενός αγαθού είναι η διαδικασία (θεσμικό πλαίσιο) μέσω της οποίας έρχονται σε επικοινωνία οι αγοραστές και οι πωλητές του συγκεκριμένου

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto. 1. ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ (επεξεργασία σημειώσεων Β. Ράπανου)

Εισαγωγή. Αποτελεσματικότητα κατά Pareto. 1. ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ (επεξεργασία σημειώσεων Β. Ράπανου) 1. ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ (επεξεργασία σημειώσεων Β. Ράπανου) Εισαγωγή Μια από τις πιο βασικές διακρίσεις στην οικονομική θεωρία είναι μεταξύ των εννοιών της οικονομικής αποτελεσματικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7: Τέλεια ισορροπία Nash για υποπαίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Εργαλεία Κανονιστικής Ανάλυσης Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έννοια και Στόχοι της Μικροοικονομικής Θεωρίας 1. Γενικά...27 2. Το Πρόβλημα της Επιλογής...29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1 Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική 2 η έκδοση Chapter 1 Κεφάλαιο 1 Χωροθέτηση δραστηριοτήτων Περιεχόμενα διάλεξης Υπόδειγμα για τη χωροθέτηση της παραγωγής Weber και Moses Ανάλυση της περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της

Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της Πλεόνασμα του Καταναλωτή, Πλεόνασμα του Παραγωγού και η Αποτελεσματικότητα της Ανταγωνιστικής Αγοράς - Η αλληλεπίδραση της συνολικής ζήτησης και της προσφοράς προσδιορίζει την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Ένθετο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Μικροοικονομική Ε. Σαρτζετάκης 1 Καταναλωτική συμπεριφορά Σκοπός αυτής της διάλεξης είναι να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

(1β) Μη Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος με Ενδογενές Πλήθος Επιχειρήσεων

(1β) Μη Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος με Ενδογενές Πλήθος Επιχειρήσεων (β) Μη Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος με Ενδογενές Πλήθος Επιχειρήσεων Ελεύθερη Είσοδος και Ισορροπία Μηδενικών Κερδών - Η δυνατότητα νέων επιχειρήσεων να εισέρχονται ελεύθερα στην αγορά

Διαβάστε περισσότερα

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή Διάκριση Τιμών ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) -H διάκριση τιμών 1 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή επιχείρηση γνωρίζει τις ατομικές συναρτήσεις ζήτησης όλων των καταναλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού

Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Το Υπόδειγμα του Αντιπροσωπευτικού Νοικοκυριού Ramsey-Cass-Koopmans 1 Το Υπόδειγμα του Ramsey To υπόδειγμα αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού oφείλεται στον Ramsey (1928), ο οποίος είχε πρώτος αναλύσει τη βέλτιστη

Διαβάστε περισσότερα

Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών. Διεθνής Οικονομική Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης

Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών. Διεθνής Οικονομική Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης Η Διαχρονική Προσέγγιση στο Ισοζύγιο Πληρωμών Διεθνής Οικονομική Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης 1 Η Διαχρονική Προσέγγιση Η διαχρονική προσέγγιση έχει ως σημείο εκκίνησης τις τεχνολογικές και αγοραίες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15.3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Το τουριστικό ολιγοπώλιο

ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15.3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Το τουριστικό ολιγοπώλιο ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15.3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Το τουριστικό ολιγοπώλιο Το τουριστικό ολιγοπώλιο ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΑΙΟΥ Ορισμός του τουριστικού ολιγοπωλίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Επιλογή Διαφημιστικής Δαπάνης στη Μονοπωλιακή Αγορά

1. Επιλογή Διαφημιστικής Δαπάνης στη Μονοπωλιακή Αγορά 1. Επιλογή Διαφημιστικής Δαπάνης στη Μονοπωλιακή Αγορά 1Α. Δελεαστική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακή Αγορά - Έστω ότι η αγορά ενός αγαθού είναι μονοπωλιακή και η διαφήμιση του προϊόντος είναι δελεαστική δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Οικονομικές Διακυμάνσεις Οι οικονομίες ανέκαθεν υπόκειντο σε κυκλικές διακυμάνσεις. Σε ορισμένες περιόδους η παραγωγή και η απασχόληση αυξάνονται με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπωλιακή Ισορροπία - Αν η αγορά του αγαθού Α είναι πλήρως ανταγωνιστική, τότε η ατομική επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) και, επομένως,

Μονοπωλιακή Ισορροπία - Αν η αγορά του αγαθού Α είναι πλήρως ανταγωνιστική, τότε η ατομική επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) και, επομένως, Μονοπωλιακή Ισορροπία - Αν η αγορά του αγαθού Α είναι πλήρως ανταγωνιστική, τότε η ατομική επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) και, επομένως, αντιμετωπίζει μια πλήρως ελαστική (οριζόντια) καμπύλη ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εδώ εξετάζουμε αγορές, που έχουν: Κάποια χαρακτηριστικά ανταγωνισμού και Κάποια χαρακτηριστικά μονοπωλίου. Αυτή η δομή αγοράς ονομάζεται μονοπωλιακός ανταγωνισμός, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΜΠΤΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενα Μαθήµατα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαµβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α. Με ολοκληρωμένη λύση ΘΕΜΑ 1 ο Επιχείρηση χρησιμοποιεί την εργασία ως μοναδικό μεταβλητό παραγωγικό συντελεστή. Τα στοιχεία κόστους της επιχείρησης δίνονται στον επόμενο πίνακα:

Διαβάστε περισσότερα

6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών κινήσεων και η αξία του περιορισμού των επιλογών κάποιου ατόμου

6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών κινήσεων και η αξία του περιορισμού των επιλογών κάποιου ατόμου Θεωρία παιγνίων 1 1. Παρακίνηση: Honda και Toyota 2. Ισορροπία κατά Nash 3. Το δίλημμα του φυλακισμένου 4. Ισορροπία με κυρίαρχη στρατηγική 5. Μειονεκτήματα της ισορροπίας κατά Nash 6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών

Διαβάστε περισσότερα