1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή"

Transcript

1 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί παράλληλοι µέθοδοι οι οποίες µας δίνουν προσεγγιστικές τιµές των λύσεων. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης των λύσεων. Για παράδειγµα, βρίσκουµε µια άλλη έκφραση του προβλή- µατος που µας δίνει µια λύση η οποία απλά προσεγγίζει την πραγµατική λύση. Με την εξέλιξη των υπολογιστών και µε τη δυνατότητα να γίνονται εκατοµµύρια πράξεις το δευτερόλεπτο αναπτύχθηκε παράλληλα και η επιστήµη της αριθµητικής λύσης πολλών προβληµάτων. Η επιστήµη αυτή καλείται Αριθµητική Ανάλυση. Παρόλη πράγµατι τη µεγάλη ταχύτητα που εκτελούνται οι αριθµητικές πράξεις ακόµα υ- πάρχουν προβλήµατα σε πολλές επιστηµονικές εφαρµογές πoυ περιλαµβάνουν πολύπλοκες και χρονοβόρες αριθµητικές πράξεις. Αρκεί να ειπωθεί, για παράδειγµα, πως για τη λύση ενός γραµµικού συστή- µατος εκατό εξισώσεων µε εκατό αγνώστους, µε τη γνωστή µέθοδο των οριζουσών και για την εκτέλεση των απαραίτητων αριθµητικών πράξεων από έναν υπολογιστή που κάνει δύο εκατοµµύρια πράξεις το δευτερόλεπτο, απαιτούνται 5x αιώνες. Υπάρχουν όµως άλλες µέθοδοι οι οποίες για το ίδιο σύστηµα µε τον ίδιο υπολογιστή χρειάζονται σχεδόν µόνο εκατό περίπου δευτερόλεπτα. Η Αριθµητική ανάλυση είναι το µέρος εκείνο της µαθηµατικής επιστήµης που ασχολείται µε την ανάπτυξη και εκτίµηση µεθόδων που υπολογίζουν αριθµητικά αποτελέσµατα από γνωστά αριθµητικά δεδο- µένα. Δύο είναι τα βασικά κριτήρια µιας αριθµητικής µεθόδου: (α) η ταχύτητα και (β) η ακρίβεια. Με τον όρο ταχύτητα εννοούµε τον υπολογιστικό χρόνο που χρειάζεται η Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας για να µας δώσει τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Η ακρίβεια συνδέεται µε τα σφάλµατα που παράγονται είτε µε τον τρόπο που αποθηκεύονται τα δεδοµένα στον υπολογιστή είτε µε τα σφάλµατα που οφείλονται στην ίδια τη µέθοδο. Η διαδικασία της λύσης ενός προβλήµατος που περιλαµβάνει πολύπλοκες αριθµητικές πράξεις συνίσταται από τέσσερα κύρια στάδια:

2 14 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Διαµόρφωση του προβλήµατος. Κατ' αρχήν το πρόβληµα δια- µορφώνεται ως προς τη µαθηµατική του έκφραση, δηλαδή σαν ένα σύνολο µαθηµατικών σχέσεων. 2. Επιλογή της µεθόδου. Eπιλέγεται µία ή συνδυασµός αριθµητικών µεθόδων, που είναι κατάλληλες για να δώσουν την καλύτερη προσεγγιστική λύση στο συγκεκριµένο πρόβληµα. 3. Προγραµµατισµός και κωδικοποίηση. Κατ' αρχάς καταστρώνουµε βήµα προς βήµα όλη την υπολογιστική διαδικασία σύµφωνα µε την αριθµητική µέθοδο. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή και ως αλγόριθµος. Κατόπιν µεταφράζουµε την όλη υπολογιστική διαδικασία σε ένα σύνολο εντολών ορισµένης "γλώσσας", όπως π.χ. C, FORTRAN, BASIC, PASCAL, C++, PHP, JAVA κ.λ.π. Το σύνολο αυτό των εντολών καλείται πρόγραµµα. 4. Εκτέλεση του προγράµµατος. Tο πρόγραµµα αφού "φορτωθεί" στη µνήµη του υπολογιστή, διέρχεται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (µερικές φορές συνηθίζεται να λέγεται ότι "τρέχουµε" το πρόγραµµα) και µας δίνει τα αντίστοιχα αποτελέσµατα. Στην εποχή µας µε τη µεγάλη εξάπλωση των υπολογιστών είναι πολύ εύκολο να κατανοεί κανείς έννοιες της Αριθµητικής Ανάλυσης µόνος του, χωρίς να εννοούµε µε αυτό πως καταργείται η αλληλεπίδραση µε τον δάσκαλο. Το βιβλίο αυτό στοχεύει ακριβώς σε ένα νέο τρόπο διδασκαλίας που προσδιορίζεται από τη νέα διάσταση των δυνατοτήτων που έχει ένας υπολογιστής. Σε κάθε κεφάλαιο θα περιέχονται πολλά µικρά προγράµµατα για να κατανοούνται καλύτερα οι έννοιες και οι αριθµητικές µέθοδοι που θα αναπτύσσονται. Συνήθως τα περισσότερα βιβλία Αριθµητικής Ανάλυσης αναγράφουν µόνο τους αλγορίθµους των αριθµητικών µεθόδων. Η µετάφραση όµως ενός αλγορίθµου σε πρόγραµµα δεν είναι µια εύκολη διαδικασία και επειδή το βιβλίο αυτό στοχεύει στην καλύτερη κατανόηση των αριθµητικών µεθόδων και όχι σε ασκήσεις προγραµµατισµού θα παραθέτει προγράµµατα γραµµένα στη γλώσσα BASIC. Εύκολα ένας προγραµµατιστής θα µπορούσε να µεταφράσει τον κώδικα της BASIC σε µια άλλη γλώσσα. Εξάλλου η δοµή όλων των προγραµµατιστικών γλωσσών είναι ίδια.

3 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Συστήµατα αρίθµησης Βασικό εργαλείο της Αριθµητικής Ανάλυσης είναι ο υπολογιστής. Είναι δε προφανές πως όποιος ασχολείται µε εφαρµογές αριθµητικών µεθόδων σε διάφορα προβλήµατα θα πρέπει να γνωρίζει α) τον τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται οι αριθµοί στη µνήµη του, β) ποια είναι τα σφάλµατα της αποθήκευσης, γ) πώς εκτελούνται οι αριθµητικές πράξεις και δ) πώς µεταδίδονται τα σφάλµατα κατά την εκτέλεση των αριθµητικών πράξεων και γενικά πώς "σκέπτεται" αριθµητικά ο υπολογιστής. Η γνώση των παραπάνω είναι η στοιχειώδης προϋπόθεση για να κάνει κάποιος τη σωστή επιλογή της αριθµητικής µεθόδου που πρόκειται να χρησιµοποιήσει στο πρόβληµά του. Τα δύο επόµενα κεφάλαια αναφέρονται στην αριθµητική του υπολογιστή και τα διάφορα σφάλµατα που παράγονται. Δεκαδικό σύστηµα Οι αριθµοί που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή βασίζονται στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης το οποίο περιέχει δέκα ψηφία που παρίστανται µε τα σύµβολα 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 και καλούνται δεκαδικά ψηφία. Κάθε ακέραιος αριθµός Α στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης ερµηνεύεται ως ένα άθροισµα πολλαπλασίων ακεραίων δυνάµεων του 10, το οποίο καλείται βάση του συστήµατος. Για παράδειγµα ο ακέραιος α- ριθµός Α=7682 γράφεται 7682=7x x x x10 0 Kάθε πραγµατικός αριθµός x µπορεί να γραφεί µε τη µορφή x=x A+x K όπου x A είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός από τους µικρότερους ή ίσους του x και x K το κλασµατικό µέρος. Το κλασµατικό µέρος ερ- µηνεύεται ως ένα άθροισµα πολλαπλασίων αρνητικών ακεραίων δυνά- µεων του 10. Για παράδειγµα το κλασµατικό µέρος του αριθµού x= γράφεται =6x x x x10-4

4 16 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σύµφωνα µε τα παραπάνω ο αριθµός x µπορεί να γραφεί µε τη µορφή =2x x x x x x x10-4 ή ισοδύναµα ( )x10 3 που καλείται εκθετική παράσταση. O αριθµός που περιέχεται µέσα στην παρένθεση λέγεται κλασµατικό µέρος, το 10 βάση και το 3 εκθέτης. Το πρώτο ψηφίο µετά την υποδιαστολή δεν πρέπει ποτέ να είναι µηδέν. 'Όλα τα ψηφία του κλασµατικού µέρους καλούνται σηµαντικά ψηφία. Θα πρέπει να τονισθεί ιδιαίτερα ότι το 0 ως πρώτο ψηφίο δεν είναι σηµαντικό. Για παράδειγµα η εκθετική παράσταση του αριθµού είναι ( )x10-3 Γενικά θα µπορούσαµε να πούµε ότι κάθε αριθµός x µε βάση οποιονδήποτε αριθµό β γράφεται x = (0. d1 d2 d3... dk... ) β! Όπου 0.d 1 d 2 d 3... d k.. είναι το κλασµατικό µέρος µε d 1 διάφορο του µηδενός, β είναι η βάση του συστήµατος, e ο εκθέτης και τα d 1, d 2, d 3,..., d k, ψηφία του συστήµατος. Αν d 1,=0, τότε και d 2=d 3=... =d k=... =0 Δυαδικό σύστηµα Ο υπολογιστής για καθαρά πρακτικούς λόγους εργάζεται µε το σύστη- µα αρίθµησης µε βάση το δύο, δηλαδή αυτό που καλούµε δυαδικό σύστηµα. Κι αυτό γιατί είναι δυνατόν να αναπαρίσταται γεγονότα εκφρασµένα µε δυαδική έκφραση. Για παράδειγµα,

5 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 17 Στο σχήµα αυτό παρουσιάζονται σε σειρά οκτώ ηλεκτρικοί λαµπτήρες εκ των οποίων ορισµένοι είναι σε λειτουργία και ορισµένοι όχι. Αν παραστήσουµε µε το ψηφίο 1 αυτούς που βρίσκονται σε λειτουργία και µε 0 αυτούς που δε βρίσκονται σε λειτουργία, τότε έχουµε το δυαδικό αριθµό του οποίου αντίστοιχος αριθµός στο δεκαδικό είναι 1x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =172 Βέβαια οι υπολογιστές δε χρησιµοποιούν ηλεκτρικούς λαµπτήρες αλλά καταστάσεις διαφοράς δυναµικού. Για παράδειγµα, µπορεί να χρησιµοποιείται το 1 για διαφορά δυναµικού 5 Volt και 0 για 0 Volt. Είναι προφανές πως η µεγάλη ταχύτητα επεξεργασίας πληροφοριών εξαρτάται από τη ταχύτητα µε την οποία εναλλάσσεται η δυαδική έκφραση. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό Η µετατροπή ενός αριθµού του δυαδικού συστήµατος σε αριθµό του δεκαδικού είναι πολύ εύκολη διαδικασία, ενώ το αντίστροφο είναι πιο πολύπλοκο. Αν για παράδειγµα έχουµε τον αριθµό ακολουθούµε διαφορετική διαδικασία για το ακέραιο και για το κλασµατικό µέρος. Σε ότι αφορά το ακέραιο µέρος, διαιρούµε τον αριθµό δια του 2 και κρατάµε το υπόλοιπο που θα είναι προφανώς ή 0 ή 1. Συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία µε το προκύπτον πηλίκο. Η διαδικασία τερµατίζεται µέχρι που το πηλίκο να γίνει 0. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων µε διάταξη από το τέλος στην αρχή είναι η παράσταση του αριθµού στο δυαδικό σύστηµα. Για το κλασµατικό µέρος ακολουθείται άλλη διαδικασία. Πολλαπλασιάζουµε το κλασµατικό µέρος µε το 2. Κρατάµε το ακέραιο µέρος -που προφανώς θα είναι 1 ή 0 και πολλαπλασιάζουµε το νέο κλασµατικό µέρος. Η ίδια διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου το κλασµατικό µέρος γίνει 0. Αν το κλασµατικό µέρος δεν γίνεται ποτέ 0 η διαδικασία τερµατίζεται µετά από συγκεκριµένο πλήθος ψηφίων.

6 18 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Παράδειγµα Έστω ότι θέλουµε να µετατρέψουµε τον αριθµό σε δυαδικό. Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε παραπάνω θα ακολουθηθεί διαφορετική διαδικασία για το ακέραιο µέρος 183 και διαφορετική για το κλασµατικό Επειδή η διαδικασία είναι πολύπλοκη παραθέτουµε ένα πρόγραµµα που µετατρέπει δεκαδικούς αριθµούς σε α- ντίστοιχους δυαδικούς. Στο πρόγραµµα δίνεται πρώτα το ακέραιο µέρος και µετά το κλασµατικό. Στην περίπτωση που το πλήθος των δυαδικών ψηφίων του κλασµατικού µέρους µαζί µε το πλήθος των ακεραίων υπερβαίνει τον αριθµό 24, η διαδικασία σταµατάει και έχουµε σφάλµα αποκοπής. Ο αριθµός 24 δεν είναι τυχαίος, αλλά η επιλογή του εξηγηθεί στην επόµενη παράγραφο. Για το συγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε Ακέραιο µέρος 183 Κλασµατικό µέρος Δηλαδή ο αριθµός είναι Το αντίστοιχο πρόγραµµα που µετατρέπει δεκαδικούς αριθµούς στο δυαδικό σύστηµα είναι: Ακέραιο µέρος 2) )91 1 2)45 1 2)22 0 2)11 1 2)5 1 2)2 0 2)1 1 Δεκαδικό µέρος

7 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 19 Συµπλήρωµα δυαδικών αριθµών Πριν περιγράψουµε τον τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται οι αριθµοί στη µνήµη του υπολογιστή, θα πρέπει πρώτα να γίνουν κατανοητές ορισµένες έννοιες που είναι γνωστές στη συνήθη αριθµητική. Καλούµε συµπλήρωµα ενός δυαδικού αριθµού Α τον δυαδικό αριθµό που προκύπτει αν αφαιρέσουµε κάθε ψηφίο του Α από το 1. Για παράδειγµα Δυαδικός αριθµός Α Συµπλήρωµα του Α Αν τώρα έχουµε να αφαιρέσουµε δυο δυαδικούς αριθµούς Α και Β, µπορεί η πράξη της αφαίρεσης να µετατραπεί σε πρόσθεση. Π.χ. αν έχουµε Α= και Β= και θέλουµε να υπολογίσουµε τη διαφορά Υ=Α-Β µε τον κλασικό τρόπο, έχουµε A B Y Αν βρούµε το συµπλήρωµα του Β που είναι = και τον προσθέσουµε στον Α, θα έχουµε A Συµπλ. Β και προσθέτοντας το 1 που υπάρχει στην έβδοµη θέση σαν µονάδα θα έχουµε το αποτέλεσµα που είναι Στην περίπτωση που δεν υ- πάρχει 1 στην έβδοµη θέση, τότε σηµαίνει ότι ο Β είναι µεγαλύτερος από τον Α και το αποτέλεσµα είναι αρνητικό. Το δε αποτέλεσµα του Α µε το συµπλήρωµα του Β δεν είναι η διαφορά Α-Β. Για να βρούµε τη διαφορά Α-Β -που είναι αρνητικός αριθµός- βρίσκουµε το συµπλ.(α+συµπλ.β). Για παράδειγµα αν Α= και Β= τότε Α Συµπλ. Β

8 20 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Α-Β Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει ψηφίο στην έβδοµη θέση και κατά συνέπεια η διαφορά Α-Β είναι αρνητικός αριθµός και ισούται µε το συ- µπλήρωµα του δηλαδή Αριθµοί κινητής υποδιαστολής 'Όπως είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο κάθε κλασµατικός πραγµατικός αριθµός x γράφεται µε µοναδικό τρόπο στην εκθετική του µορφή x= ± (0.d 1 d 2 d 3...d n d n+1...)xβ e όπου β η βάση, e ο εκθέτης και α=0. d 1 d 2 d 3...d n d n+1. το κλασµατικό µέρος µε d 1 πάντοτε διάφορο του µηδενός. Το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους θα µπορεί να είναι άπειρο. O αριθµός x=2/3 του οποίου το κλασµατικό µέρος είναι α= όταν αυτός πρόκειται να αποθηκευθεί στη µνήµη ενός υπολογιστή είναι προφανές ότι το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους θα πρέπει να είναι ένας πεπερασµένος αριθµός. 'Έτσι ο α δεν αποθηκεύεται ακριβώς αλλά κατά προσέγγιση. Αν n είναι το πλήθος των ψηφίων που µπορεί να αποθηκευθούν θα πρέπει τα ψηφία d n+1 και πάνω να αποκοπούν. Υπάρχουν δύο είδη αποκοπής α) η κοπή και β) η στρογγύλευση. 1. κατά την κοπή το ψηφίο d n παραµένει όπως έχει ανεξάρτητα από το µέγεθος του d n+1 ενώ 2. κατά τη στρογγύλευση και συγκεκριµένα στο δεκαδικό σύστηµα, ο d n αυξάνεται κατά µία µονάδα αν ο d n+1 είναι 5,6,7,8,9 και παρα- µένει όπως έχει αν ο d n+1 είναι 0,1,2,3,4. Στην περίπτωση του δυαδικού συστήµατος o d n αυξάνεται κατά 1 όταν ο d n+1 είναι 1 και παραµένει όπως έχει αν ο d n+1 είναι 0. Θα καλούµε αριθµό κινητής υποδιαστολής µήκους n την εκθετική παράσταση ενός αριθµού x αλλά µε πλήθος ψηφίων του κλασµατικού µέρους n. Στη γενική του µορφή ένας αριθµός κινητής υποδιαστολής µπορεί να γραφεί ως

9 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 21 x = σaβ! όπου σ=+1 ή -1, α=0. d 1 d 2 d 3...d n d n+1.. το κλασµατικό µέρος ή mantissa, n µήκος, β η βάση και e ένας ακέραιος αριθµός που καλείται εκθέτης. Θα πρέπει d 1 0. Αν d 1,=0, τότε και d 2=d 3=... =d k=... =0 Για τη mantissa α ισχύει 0.1 α 1 στο δεκαδικό σύστηµα και (0.1) 2 α 1 (ή ισοδύναµα σε δεκαδική έκφραση 0.5 α 1) στο δυαδικό σύστηµα. Παράδειγµα Να µετατραπούν οι αριθµοί x=4/3, y=5/9 και z=1/33 σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής µήκους n=7. H αποκοπή των στοιχείων να γίνει α) µε κοπή και β) µε στρογγύλευση Απάντηση: α) Κοπή x*= , y*= και z*= β) Στρογγύλευση x*= , y*= και z*= Κώδικες Το σύνολο των κανόνων που διέπουν τον τρόπο διάταξης των δυαδικών ψηφίων ώστε, να παριστάνουν χαρακτήρες γραµµάτων, ψηφία και σύµβολα καλείται κώδικας. Κάθε τύπος υπολογιστή χρησιµοποιεί έναν ορισµένο τύπο κώδικα όπως για παράδειγµα οι πιο σπουδαίοι σήµερα κώδικες είναι οι EBCDIC (Extended Binary-Coded Decimal Intercgange Code) και ASCII-8 (American Stand- and Code for Information Interchange). Και οι δυο παραπάνω κώδικες χρησιµοποιούν bytes των 8 bits. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια σειρά από οκτώ δυαδικές θέσεις (bits) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

10 22 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κάθε δυαδική θέση (bit) µπορεί να εναλάσσεται µε τα ψηφία του δυαδικού συστήµατος 0 και 1. Είναι προφανές ότι ο µεγαλύτερος φυσικός αριθµός που µπορεί να παρασταθεί είναι αυτός που όλες οι δυαδικές θέσεις θα έχουν το ψηφίο 1. Δηλαδή, που δεν είναι άλλος από τον αριθµό = = 255 µπορεί να δεχθεί ακέραιους αριθµούς από το 0 έως το 255 δηλαδή πλήθος αριθµών 256. Αν κάθε ακέραιος αντιστοιχεί σε ένα σύµβολο - σύµβολο µπορεί να είναι γράµµα του Λατινικού ή ελληνικού αλφαβήτου ή επίσης ψηφίο του δεκαδικού συστήµατος ή οποιοδήποτε άλλο στοιχείο - τότε µπορεί να συµβολισθούν συνολικά 256 σύµβολα. Το σύνολο των οκτώ δυαδικών θέσεων καλείται χαρακτήρας (byte) και αποτελεί τη βασική µονάδα µνήµης στους µικροϋπολογιστές. Στον κώδικα ASCII ένας χαρακτήρας (byte) χωρίζεται σε δυο µέρη των 4 bits το καθένα. Το πρώτο µέρος καλείται ζώνη και το δεύτερο α- ριθµητικό όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα. ζώνη αριθµητικό z z z z Η ζώνη και το αριθµητικό µέρος διαθέτουν το καθένα 4 δυαδικές θέσεις (bits) και κατά συνέπεια µπορεί να πάρει αριθµούς από 0-15 δηλαδή όσα είναι τα ψηφία του δεκαεξαδικού συστήµατος. Μαζί η ζώνη και το δεκαδικό µέρος µπορεί να συµβολίζονται µε διψήφια ψηφία του δεκαεξαδικού συστήµατος µε το πρώτο να συµβολίζει τη ζώνη και το δεύτερο το αριθµητικό. Προκειµένου να συµβολίζονται ψηφία του δεκαδικού συστήµατος και επειδή είναι δέκα σε αριθµό (λιγότερα από 16) χρησιµοποιείται ο ί- διος αριθµός για τη ζώνη και διαφορετικός στο αριθµητικό. Τα γράµ- µατα του Λατινικού αλφαβήτου επειδή υπερβαίνουν τον αριθµό 16 οι πρώτοι 16 χαρακτήρες θα έχουν την ίδια ζώνη και αριθµητικό που θα

11 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 23 αυξάνεται κατά µονάδα και οι υπόλοιποι χαρακτήρες θα έχουν διαφορετική ζώνη. Το ίδιο θα συµβαίνει και για τα σύµβολα. Στους παρακάτω πίνακες φαίνεται πως συµβολίζεται κάθε χαρακτήρας είτε είναι ψηφίο είτε Λατινικό γράµµα. Με παρόµοιο τρόπο συµβολίζεται και τα υπόλοιπα σύµβολα. Στους παρακάτω πίνακες ενδεικτικά αναφέρονται ορισµένοι από τους χαρακτήρες του κώδικα ASCII 8 που αντιστοιχούν στους φυσικούς α- ριθµούς από το 0 έως το 255. Είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς µε τον παραπάνω τρόπο µπορούµε να αποθηκεύσουµε µόνο αλφαριθµητικά στοιχεία και όχι αριθµούς που θα µας επιτρέπουν να εκτελούµε αριθµητικές πράξεις. Πριν όµως προχωρήσουµε στον τρόπο µε τον ο- ποίο µπορούµε να αποθηκεύσουµε αριθµούς θα µιλήσουµε πρώτα για τους όρους δεδοµένα (data) και πληροφορίες (information). Σύµβολο Ζώνη /δικό A A1 B A2 C A3 D A4 E A5 F A6 G A7 H A8 I A9 J AA K AB L AC M AD N AE O AF P B0

12 24 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Q B1 R B2 S B3 T B4 U B5 V B6 W B7 X B8 Y B9 Z BA Σύµβολο Ζώνη /δικό Τύποι δεδοµένων Με πολύ απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε πως υπολογιστής είναι ένας επεξεργαστής πληροφοριών. Τί ενοούµε όµως µε τον όρο πληροφορία στην επιστήµη του υπολογιστή; Ο συνήθης ορισµός της πληροφορίας είναι:

13 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 25 Πληροφορία (information) = Δεδοµένα (data) + Δοµή (structure) Για να γίνει πιο αντιληπτή αυτή η σχέση θα αναφέρουµε το εξής παράδειγµα, Θεωρούµε τους παρακάτω αριθµούς 110, 120, 116, 100, 94 Οι οποίοι αριθµοί είναι ορισµένα δεδοµένα (data) χωρίς συγκεκριµένη σηµασία. Αν όµως ορίσουµε µια δοµή (structure) στα δεδοµένα, για παράδειγµα έστω ότι οι παραπάνω αριθµοί παριστάνουν γωνίες σε µοίρες ενός πενταγώνου τότε οι αριθµοί έχουν δοµή και αποκτούν σηµασία, δηλαδή έγιναν πληροφορίες (information). Ο υπολογιστής µάλιστα βασισµένος στις πληροφορίες αυτές µπορεί να σχεδιάσει ένα τέτοιο πεντάγωνο. Πολλές φορές αντί του όρου επιστήµη του υπολογιστή χρησιµοποιούµε τον όρο επιστήµη της πληροφορικής και ο οποίος όρος προέρχεται από τη λέξη πληροφορία µε τον τρόπο που η έννοια αυτή ορίσθηκε παραπάνω.. Τύποι δεδοµένων µπορεί να είναι αριθµοί, γράµµατα, σύµβολα, ε- νέργειες, γεγονότα κτλ. Σε κάθε γλώσσα υπάρχουν διάφοροι τύποι δεδοµένων. H Quick Basic για παράδειγµα χρησιµοποιεί τρία κύρια είδη τύπων δεδοµένων. 1) Συρµοί ή αλφαριθµητικά δεδοµένα που µπορεί να είναι µεταβλητού ή σταθερού µήκους, 2) ακέραιοι που µπορεί να είναι µικροί ή µεγάλοι ακέραιοι αριθµοί, 3) πραγµατικοί αριθµοί (αριθµοί κινητής υποδιαστολής) που µπορεί να είναι απλής

14 26 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ και διπλής ακρίβειας. Η Quick Basic εκτός από τους παραπάνω τύπους δεδοµένων διαθέτει και τις Δοµές Δεδοµένων η δυνατότητα δηλαδή, µε ένα όνοµα µεταβλητής να αναπαριστάνονται πολλές τιµές δεδοµένων. Στο βιβλίο αυτό µας ενδιαφέρει να αναπτύξουµε µόνο τα δεδοµένα των ακεραίων αριθµών και των πραγµατικών. Η διάκριση σε ακέραιους και πραγµατικούς οφείλεται στο διαφορετικό τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται στον υπολογιστή. 1.5 Αποθήκευση ακεραίων αριθµών 'Έστω ότι εργαζόµαστε σε έναν µικροϋπολογιστή µε χαρακτήρες των 8- bits. Το µεγαλύτερο αριθµό που µπορεί να παραστήσει ένας χαρακτήρας είναι αυτός που σε κάθε δυαδική θέση έχει για ψηφίο το 1 δηλαδή = = 255 δηλαδή ένας χαρακτήρας µπορεί να παραστήσει θετικούς ακεραίους από το 0 έως το 255. Αν θέλουµε όµως µε το ένα χαρακτήρα να παριστάνονται θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί, τότε µια δυαδική θέση πρέπει να διατεθεί για το πρόσηµο. Αν, για παράδειγµα, η πρώτη δυαδική θέση διατεθεί για το πρόσηµο ( µε το 0 συµβολίζεται το (+) και µε το 1 το (-)). τότε ο µεγαλύτερος θετικός ακέραιος αριθµός που µπορεί να αποθηκευθεί θα είναι δηλαδή =127

15 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 27 Ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός είναι ο 127. Η παράσταση του µικρότερου ακέραιου θα είναι το συµπλήρωµα του µεγαλύτερου θετικού ακέραιου δηλαδή του που δεν είναι άλλος από τον 2 8 = -128 Συνήθως στους περισσότερους µικροϋπολογιστές το 1 της πρώτης στήλης εκτός του ότι συµβολίζει το αρνητικό πρόσηµο προστίθεται και σαν µονάδα. 'Έτσι ο µικρότερος αρνητικός ακέραιος είναι Παράδειγµα Θέλουµε να αποθηκεύσουµε το -120 σε έναν χαρακτήρα των 8 bits. Απάντηση Καταρχάς ο αριθµός αυτός µπορεί να αποθηκευθεί γιατί βρίσκεται στο διάστηµα [-128, 127]. Σύµφωνα µε αυτά που είπαµε παραπάνω, επειδή ο αριθµός είναι αρνητικός, θα αποθηκευθεί το συµπλήρωµα του 120. Ο αριθµός 120 σε χαρακτήρα 8- bits γράφεται Το συµπλήρωµά του είναι Από τα παραπάνω φαίνεται ότι το συµπλήρωµα κάθε θετικού ακεραίου αριθµού θα έχει στη πρώτη δυαδική θέση πάντοτε το 1 που θα δηλώνει και το αρνητικό πρόσηµο. Συνήθως για την αποθήκευση των ακεραίων αριθµών χρησιµοποιούνται δύο χαρακτήρες µαζί. Η πρώτη δυαδική θέση διατίθεται για το πρόσηµο. Συνεπώς ο µεγαλύτερος θετικός ακέραιος αριθµός που µπορεί να παρασταθεί θα είναι

16 28 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ δηλαδή =2 15-1=32767 Ο µικρότερος αρνητικός ακέραιος θα είναι το συµπλήρωµα του παραπάνω αριθµού δηλ. οποίος ισούται µε = Ακέραιοι αριθµοί που βρίσκονται εκτός του διαστήµατος [-32768, 32767] δεν είναι δυνατόν να αποθηκευθούν και ο υπολογιστής δίνει µήνυµα "overflow error". 1.6 Αποθήκευση κλασµατικών αριθµών Αν x είναι ένας πραγµατικός κλασµατικός αριθµός, τότε αντιστοιχεί στο x ένας αριθµός x* κινητής υποδιαστολής µήκους n ο οποίος και προσεγγίζει το x στα n πρώτα σηµαντικά ψηφία.. Δηλαδή x*=σα*2 e. Έστω ότι για την αποθήκευση ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής χρησιµοποιούνται συνολικά τέσσερις χαρακτήρες - όπως συνήθως συµβαίνει στις περισσότερες γλώσσες προγραµµατισµού-. Από τους τέσσερις χαρακτήρες ο ένας χρησιµοποιείται για την αποθήκευση του εκθέτη e και οι υπόλοιποι τρεις για τη mantissa α*. Αφού ο e είναι ακέραιος, τότε σύµφωνα µε αυτά που είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο ο e θα µπορεί να παίρνει τιµές -128 e 127 Επειδή επίσης ισχύει 0.1 α*<1 ο µικροϋπολογιστής µπορεί να χειρίζεται αριθµούς που οι τιµές τους βρίσκονται στο διάστηµα x ή ισοδύναµα x Aριθµοί εκτός των παραπάνω ορίων δεν µπορούν να αποθηκευθούν και ο υπολογιστής δίνει το µήνυµα overflow error. ο

17 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 29 Για την αποθήκευση της mantissa α* χρησιµοποιούνται τρεις χαρακτήρες ή ισοδύναµα 24 δυαδικές θέσης µνήµης ή 24 bits. Επειδή το πρώτο ψηφίο της mantissa είναι πάντοτε 1 (σαν σηµαντικό ψηφίο) αυτό θα εννοείται και τη θέση του θα καταλαµβάνει το πρόσηµο. Δηλαδή 0 για (+) και 1 για (-). Παράδειγµα Δίνεται ο αριθµός και ζητούµε να παρασταθεί η αποθήκευσή του σε έναν υπολογιστή που χρησιµοποιεί 4 χαρακτήρες των 8 bits. Απάντηση Χρησιµοποιούµε κατ' αρχάς το πρόγραµµα για να µετατρέψουµε τον αριθµό σε δυαδική έκφραση. Ο αριθµός αυτός είναι ο οποίος σε έκφραση αριθµού κινητής υποδιαστολής είναι x=( ) Στον πρώτο χαρακτήρα θα αποθηκευθεί ο εκθέτης 1001 και στους υπόλοιπους τρεις η mantissa Δηλαδή Το πρώτο στοιχείο της mantissa ενώ είναι 1 βάζουµε το 0 γιατί ο α- ριθµός είναι θετικός. 'Όπως είπαµε για τη mantissa χρησιµοποιούµε τρεις χαρακτήρες. Κάθε χαρακτήρας µπορεί να αποθηκεύσει έναν ακέραιο αριθµό από 0 έως 255. Αν θεωρήσουµε ότι κάθε χαρακτήρας είναι ένα ψηφίο του συστήµατος αρίθµησης µε βάση το 256, τότε η mantissa µπορεί να γραφεί σαν αριθµός του συστήµατος µε βάση το 256. Αν α 1, α 2 και α 3 είναι τα ψηφία που δηλώνουν οι τρεις χαρακτήρες, τότε η mantissa α* γράφεται α*=0.α 1α 2α 3=α α α Αν τώρα χρησιµοποιούµε τη στρογγύλευση σαν είδος αποκοπής, τότε το σφάλµα της στρoγγύλευσης θα είναι το πολύ δηλαδή και ο υπολογιστής µας θα γράφει 7 σηµαντικά δεκαδικά ψηφία προκειµένου να παραστήσει κάποιο αριθµό.

18 30 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Με πιο απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε πως το πλήθος των δυαδικών θέσεων της mantissa είναι 24. Δηλαδή οι θέσεις 25 και πάνω αγνοούνται. Συνεπώς το λάθος στρογγύλευσης θα είναι = Ασκήσεις 1. Για την αποθήκευση ακεραίων αριθµών έστω ότι διατίθενται 4 χαρακτήρες. Να βρεθεί το διάστηµα των ακεραίων αριθµών που µπορεί να αποθηκευθούν χωρίς να έχουµε σφάλµα overflow. 2. 'Έστω ότι για την αποθήκευση ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής διατίθενται 5 χαρακτήρες εκ των οποίων ο ένας χρησιµoποιείται για τον εκθέτη. Να βρεθεί ποιό είναι το σφάλµα στρογγύλευσης και πόσο είναι το µήκος του αριθµού κινητής υποδιαστολής στο δεκαδικό σύστηµα. 3. Για το πρόσηµο του αριθµού κινητής υποδιαστολής διατίθεται µια δυαδική θέση και µάλιστα η πρώτη από αυτές που καταλαµβάνει η mantissa. Να δοθεί µια σχηµατική παράσταση για την αποθήκευση των αριθµών και Για την περίπτωση του αρνητικού αριθµού να αποθηκευθεί το συµπλήρωµά του. 4. Να γραφεί ένα πρόγραµµα που να µετατρέπει πραγµατικούς αριθ- µούς σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής µήκους n=7 στο δεκαδικό σύστηµα. Για την αποκοπή των ψηφίων να εφαρµοσθεί η στρογγύλευση. 5. Nα γραφεί ένα πρόγραµµα το οποίο να µετατρέπει δυαδικούς αριθ- µούς σε αντίστοιχους δεκαδικούς. 6. Να µετατραπεί ο ατέρµων δυαδικός κλασµατικός αριθµός x=( ) 2 σε αντίστοιχο δεκαδικό. (Υπόδειξη: Μετατρέποντας τον x σε δυνάµεις του 2 θα έχουµε x= που είναι το άθροισµα απείρων όρων φθίνουσας γεωµετρικής προόδου)

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Αναπαράσταση δεδομένων 2 Τύποι δεδομένων Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-15 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa. Πληροφορική 1 Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ 2 Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Κεφάλαιο 1 Κατηγορίες Υπολογιστικών Συστηµάτων Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσει την εξέλιξη των υπολογιστικών συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Βασικά Στοιχεία Το αλφάβητο της C Οι βασικοί τύποι της C Δηλώσεις μεταβλητών Είσοδος/Έξοδος Βασικές εντολές της C Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No 05 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C. Χρήστος Αρβανίτης

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C. Χρήστος Αρβανίτης ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C Χρήστος Αρβανίτης 1 Εισαγωγή Στις σηµειώσεις αυτές καταγράφεται το περιεχόµενο των διαλέξεων που δόθηκαν κατα το ακαδ. έτος 2008 στο Πανεπιστήµιο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1 Περιεχόµενα I Βασικές Γνώσεις 1 1 Μοντελοποίηση Προγραµµάτων 3 1.1 Ψευδογλώσσα....................... 6 1.2 Διαγράµµατα Ροής..................... 6 1.3 Παραδείγµατα σε Ψευδογλώσσα και Διαγράµµατα Ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Visual Basic Βασικές Έννοιες

Visual Basic Βασικές Έννοιες Visual Basi Βασικές Έννοιες «Είδα στον ύπνο µου ότι η ζωή είναι χαρά. Ξύπνησα και είδα ότι είναι χρέος. Αγωνίστηκα και είδα ότι τo χρέος είναι χαρά.» Ραµπριτανάθ Ταγκόρ Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013

Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 27 Μαρτίου 2013 Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωσή σας με τις θεμελιώδεις θεωρητικές και πρακτικές πτυχές

Διαβάστε περισσότερα

Τα δεδομένα στη C++ χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: τους αριθμούς (numbers), τους χαρακτήρες (characters) και τις συμβολοσειρές (strings).

Τα δεδομένα στη C++ χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: τους αριθμούς (numbers), τους χαρακτήρες (characters) και τις συμβολοσειρές (strings). Για να λύσουμε ένα πρόβλημα στη C++ χρειαζόμαστε δυο βασικές έννοιες. Η μια είναι οι οδηγίες εντολές, ο αλγόριθμος δηλαδή, που πρέπει να ακολουθήσουμε για να λύσουμε το πρόβλημά μας και η άλλη είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 Στόχοι του Μαθήματος! Ανάπτυξη αναλυτικής

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές γλώσσας μηχανής

Εντολές γλώσσας μηχανής Εντολές γλώσσας μηχανής Στον υπολογιστή MIPS η εντολή πρόσθεσε τα περιεχόμενα των καταχωρητών 17 και 20 και τοποθέτησε το αποτέλεσμα στον καταχωρητή 9 έχει την μορφή: 00000010001101000100100000100000 Πεδία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο 2009

Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ 4 ο ΕΞΑΜΗΝΟ Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Σκοπός Να αναπτύξουν ένα πρόγραμμα όπου θα επαναλάβουν τα βήματα ανάπτυξης μιας παραθυρικής εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Β. Να αναφέρετε τις κυριότερες τυποποιηµένες τεχνικές σχεδίασης αλγορίθµων. ΜΟΝΑ ΕΣ 3

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Β. Να αναφέρετε τις κυριότερες τυποποιηµένες τεχνικές σχεδίασης αλγορίθµων. ΜΟΝΑ ΕΣ 3 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 Ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη λέξη Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού.

7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού. 7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού. ΗΜ01-Θ1Γ Δίνονται οι παρακάτω έννοιες: 1. Λογικός τύπος δεδοµένων 2. Επιλύσιµο 3. Ακέραιος τύπος δεδοµένων 4. Περατότητα 5. Μεταβλητή 6. Ηµιδοµηµένο 7. Πραγµατικός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Tα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα από κυκλώματα

Tα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα από κυκλώματα 2 κεφάλαιο Aριθμητικά συστήματα και κώδικες Tα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα από κυκλώματα τα οποία επεξεργάζονται δυαδικά ψηφία 0 και 1, όμως στην πράξη πολύ λίγα πραγματικά προβλήματα βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική Υγείας

Εισαγωγή στην Πληροφορική Υγείας Εισαγωγή στην Πληροφορική της Υγείας: Περιεχόμενο μαθήματος, Εισαγωγή, Βασικές έννοιες Διδάσκοντες: Πανίκος Μασούρας & Σωτήρης Αυγουστή Σχετικά με το μάθημα Διεξαγωγή μαθήματος: Θεωρία Εργαστήριο Θεωρία:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη)

Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη) Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη) Δείτε αυτό http://access.uoa.gr/nemeth/nemethlyceummath.htm και αυτό http://www.gh-mathspeak.com/examples/nemethbook/ Βασικοί χαρακτήρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα