1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή"

Transcript

1 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί παράλληλοι µέθοδοι οι οποίες µας δίνουν προσεγγιστικές τιµές των λύσεων. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης των λύσεων. Για παράδειγµα, βρίσκουµε µια άλλη έκφραση του προβλή- µατος που µας δίνει µια λύση η οποία απλά προσεγγίζει την πραγµατική λύση. Με την εξέλιξη των υπολογιστών και µε τη δυνατότητα να γίνονται εκατοµµύρια πράξεις το δευτερόλεπτο αναπτύχθηκε παράλληλα και η επιστήµη της αριθµητικής λύσης πολλών προβληµάτων. Η επιστήµη αυτή καλείται Αριθµητική Ανάλυση. Παρόλη πράγµατι τη µεγάλη ταχύτητα που εκτελούνται οι αριθµητικές πράξεις ακόµα υ- πάρχουν προβλήµατα σε πολλές επιστηµονικές εφαρµογές πoυ περιλαµβάνουν πολύπλοκες και χρονοβόρες αριθµητικές πράξεις. Αρκεί να ειπωθεί, για παράδειγµα, πως για τη λύση ενός γραµµικού συστή- µατος εκατό εξισώσεων µε εκατό αγνώστους, µε τη γνωστή µέθοδο των οριζουσών και για την εκτέλεση των απαραίτητων αριθµητικών πράξεων από έναν υπολογιστή που κάνει δύο εκατοµµύρια πράξεις το δευτερόλεπτο, απαιτούνται 5x αιώνες. Υπάρχουν όµως άλλες µέθοδοι οι οποίες για το ίδιο σύστηµα µε τον ίδιο υπολογιστή χρειάζονται σχεδόν µόνο εκατό περίπου δευτερόλεπτα. Η Αριθµητική ανάλυση είναι το µέρος εκείνο της µαθηµατικής επιστήµης που ασχολείται µε την ανάπτυξη και εκτίµηση µεθόδων που υπολογίζουν αριθµητικά αποτελέσµατα από γνωστά αριθµητικά δεδο- µένα. Δύο είναι τα βασικά κριτήρια µιας αριθµητικής µεθόδου: (α) η ταχύτητα και (β) η ακρίβεια. Με τον όρο ταχύτητα εννοούµε τον υπολογιστικό χρόνο που χρειάζεται η Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας για να µας δώσει τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Η ακρίβεια συνδέεται µε τα σφάλµατα που παράγονται είτε µε τον τρόπο που αποθηκεύονται τα δεδοµένα στον υπολογιστή είτε µε τα σφάλµατα που οφείλονται στην ίδια τη µέθοδο. Η διαδικασία της λύσης ενός προβλήµατος που περιλαµβάνει πολύπλοκες αριθµητικές πράξεις συνίσταται από τέσσερα κύρια στάδια:

2 14 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Διαµόρφωση του προβλήµατος. Κατ' αρχήν το πρόβληµα δια- µορφώνεται ως προς τη µαθηµατική του έκφραση, δηλαδή σαν ένα σύνολο µαθηµατικών σχέσεων. 2. Επιλογή της µεθόδου. Eπιλέγεται µία ή συνδυασµός αριθµητικών µεθόδων, που είναι κατάλληλες για να δώσουν την καλύτερη προσεγγιστική λύση στο συγκεκριµένο πρόβληµα. 3. Προγραµµατισµός και κωδικοποίηση. Κατ' αρχάς καταστρώνουµε βήµα προς βήµα όλη την υπολογιστική διαδικασία σύµφωνα µε την αριθµητική µέθοδο. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή και ως αλγόριθµος. Κατόπιν µεταφράζουµε την όλη υπολογιστική διαδικασία σε ένα σύνολο εντολών ορισµένης "γλώσσας", όπως π.χ. C, FORTRAN, BASIC, PASCAL, C++, PHP, JAVA κ.λ.π. Το σύνολο αυτό των εντολών καλείται πρόγραµµα. 4. Εκτέλεση του προγράµµατος. Tο πρόγραµµα αφού "φορτωθεί" στη µνήµη του υπολογιστή, διέρχεται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (µερικές φορές συνηθίζεται να λέγεται ότι "τρέχουµε" το πρόγραµµα) και µας δίνει τα αντίστοιχα αποτελέσµατα. Στην εποχή µας µε τη µεγάλη εξάπλωση των υπολογιστών είναι πολύ εύκολο να κατανοεί κανείς έννοιες της Αριθµητικής Ανάλυσης µόνος του, χωρίς να εννοούµε µε αυτό πως καταργείται η αλληλεπίδραση µε τον δάσκαλο. Το βιβλίο αυτό στοχεύει ακριβώς σε ένα νέο τρόπο διδασκαλίας που προσδιορίζεται από τη νέα διάσταση των δυνατοτήτων που έχει ένας υπολογιστής. Σε κάθε κεφάλαιο θα περιέχονται πολλά µικρά προγράµµατα για να κατανοούνται καλύτερα οι έννοιες και οι αριθµητικές µέθοδοι που θα αναπτύσσονται. Συνήθως τα περισσότερα βιβλία Αριθµητικής Ανάλυσης αναγράφουν µόνο τους αλγορίθµους των αριθµητικών µεθόδων. Η µετάφραση όµως ενός αλγορίθµου σε πρόγραµµα δεν είναι µια εύκολη διαδικασία και επειδή το βιβλίο αυτό στοχεύει στην καλύτερη κατανόηση των αριθµητικών µεθόδων και όχι σε ασκήσεις προγραµµατισµού θα παραθέτει προγράµµατα γραµµένα στη γλώσσα BASIC. Εύκολα ένας προγραµµατιστής θα µπορούσε να µεταφράσει τον κώδικα της BASIC σε µια άλλη γλώσσα. Εξάλλου η δοµή όλων των προγραµµατιστικών γλωσσών είναι ίδια.

3 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Συστήµατα αρίθµησης Βασικό εργαλείο της Αριθµητικής Ανάλυσης είναι ο υπολογιστής. Είναι δε προφανές πως όποιος ασχολείται µε εφαρµογές αριθµητικών µεθόδων σε διάφορα προβλήµατα θα πρέπει να γνωρίζει α) τον τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται οι αριθµοί στη µνήµη του, β) ποια είναι τα σφάλµατα της αποθήκευσης, γ) πώς εκτελούνται οι αριθµητικές πράξεις και δ) πώς µεταδίδονται τα σφάλµατα κατά την εκτέλεση των αριθµητικών πράξεων και γενικά πώς "σκέπτεται" αριθµητικά ο υπολογιστής. Η γνώση των παραπάνω είναι η στοιχειώδης προϋπόθεση για να κάνει κάποιος τη σωστή επιλογή της αριθµητικής µεθόδου που πρόκειται να χρησιµοποιήσει στο πρόβληµά του. Τα δύο επόµενα κεφάλαια αναφέρονται στην αριθµητική του υπολογιστή και τα διάφορα σφάλµατα που παράγονται. Δεκαδικό σύστηµα Οι αριθµοί που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή βασίζονται στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης το οποίο περιέχει δέκα ψηφία που παρίστανται µε τα σύµβολα 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 και καλούνται δεκαδικά ψηφία. Κάθε ακέραιος αριθµός Α στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης ερµηνεύεται ως ένα άθροισµα πολλαπλασίων ακεραίων δυνάµεων του 10, το οποίο καλείται βάση του συστήµατος. Για παράδειγµα ο ακέραιος α- ριθµός Α=7682 γράφεται 7682=7x x x x10 0 Kάθε πραγµατικός αριθµός x µπορεί να γραφεί µε τη µορφή x=x A+x K όπου x A είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός από τους µικρότερους ή ίσους του x και x K το κλασµατικό µέρος. Το κλασµατικό µέρος ερ- µηνεύεται ως ένα άθροισµα πολλαπλασίων αρνητικών ακεραίων δυνά- µεων του 10. Για παράδειγµα το κλασµατικό µέρος του αριθµού x= γράφεται =6x x x x10-4

4 16 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σύµφωνα µε τα παραπάνω ο αριθµός x µπορεί να γραφεί µε τη µορφή =2x x x x x x x10-4 ή ισοδύναµα ( )x10 3 που καλείται εκθετική παράσταση. O αριθµός που περιέχεται µέσα στην παρένθεση λέγεται κλασµατικό µέρος, το 10 βάση και το 3 εκθέτης. Το πρώτο ψηφίο µετά την υποδιαστολή δεν πρέπει ποτέ να είναι µηδέν. 'Όλα τα ψηφία του κλασµατικού µέρους καλούνται σηµαντικά ψηφία. Θα πρέπει να τονισθεί ιδιαίτερα ότι το 0 ως πρώτο ψηφίο δεν είναι σηµαντικό. Για παράδειγµα η εκθετική παράσταση του αριθµού είναι ( )x10-3 Γενικά θα µπορούσαµε να πούµε ότι κάθε αριθµός x µε βάση οποιονδήποτε αριθµό β γράφεται x = (0. d1 d2 d3... dk... ) β! Όπου 0.d 1 d 2 d 3... d k.. είναι το κλασµατικό µέρος µε d 1 διάφορο του µηδενός, β είναι η βάση του συστήµατος, e ο εκθέτης και τα d 1, d 2, d 3,..., d k, ψηφία του συστήµατος. Αν d 1,=0, τότε και d 2=d 3=... =d k=... =0 Δυαδικό σύστηµα Ο υπολογιστής για καθαρά πρακτικούς λόγους εργάζεται µε το σύστη- µα αρίθµησης µε βάση το δύο, δηλαδή αυτό που καλούµε δυαδικό σύστηµα. Κι αυτό γιατί είναι δυνατόν να αναπαρίσταται γεγονότα εκφρασµένα µε δυαδική έκφραση. Για παράδειγµα,

5 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 17 Στο σχήµα αυτό παρουσιάζονται σε σειρά οκτώ ηλεκτρικοί λαµπτήρες εκ των οποίων ορισµένοι είναι σε λειτουργία και ορισµένοι όχι. Αν παραστήσουµε µε το ψηφίο 1 αυτούς που βρίσκονται σε λειτουργία και µε 0 αυτούς που δε βρίσκονται σε λειτουργία, τότε έχουµε το δυαδικό αριθµό του οποίου αντίστοιχος αριθµός στο δεκαδικό είναι 1x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =172 Βέβαια οι υπολογιστές δε χρησιµοποιούν ηλεκτρικούς λαµπτήρες αλλά καταστάσεις διαφοράς δυναµικού. Για παράδειγµα, µπορεί να χρησιµοποιείται το 1 για διαφορά δυναµικού 5 Volt και 0 για 0 Volt. Είναι προφανές πως η µεγάλη ταχύτητα επεξεργασίας πληροφοριών εξαρτάται από τη ταχύτητα µε την οποία εναλλάσσεται η δυαδική έκφραση. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό Η µετατροπή ενός αριθµού του δυαδικού συστήµατος σε αριθµό του δεκαδικού είναι πολύ εύκολη διαδικασία, ενώ το αντίστροφο είναι πιο πολύπλοκο. Αν για παράδειγµα έχουµε τον αριθµό ακολουθούµε διαφορετική διαδικασία για το ακέραιο και για το κλασµατικό µέρος. Σε ότι αφορά το ακέραιο µέρος, διαιρούµε τον αριθµό δια του 2 και κρατάµε το υπόλοιπο που θα είναι προφανώς ή 0 ή 1. Συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία µε το προκύπτον πηλίκο. Η διαδικασία τερµατίζεται µέχρι που το πηλίκο να γίνει 0. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων µε διάταξη από το τέλος στην αρχή είναι η παράσταση του αριθµού στο δυαδικό σύστηµα. Για το κλασµατικό µέρος ακολουθείται άλλη διαδικασία. Πολλαπλασιάζουµε το κλασµατικό µέρος µε το 2. Κρατάµε το ακέραιο µέρος -που προφανώς θα είναι 1 ή 0 και πολλαπλασιάζουµε το νέο κλασµατικό µέρος. Η ίδια διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου το κλασµατικό µέρος γίνει 0. Αν το κλασµατικό µέρος δεν γίνεται ποτέ 0 η διαδικασία τερµατίζεται µετά από συγκεκριµένο πλήθος ψηφίων.

6 18 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Παράδειγµα Έστω ότι θέλουµε να µετατρέψουµε τον αριθµό σε δυαδικό. Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε παραπάνω θα ακολουθηθεί διαφορετική διαδικασία για το ακέραιο µέρος 183 και διαφορετική για το κλασµατικό Επειδή η διαδικασία είναι πολύπλοκη παραθέτουµε ένα πρόγραµµα που µετατρέπει δεκαδικούς αριθµούς σε α- ντίστοιχους δυαδικούς. Στο πρόγραµµα δίνεται πρώτα το ακέραιο µέρος και µετά το κλασµατικό. Στην περίπτωση που το πλήθος των δυαδικών ψηφίων του κλασµατικού µέρους µαζί µε το πλήθος των ακεραίων υπερβαίνει τον αριθµό 24, η διαδικασία σταµατάει και έχουµε σφάλµα αποκοπής. Ο αριθµός 24 δεν είναι τυχαίος, αλλά η επιλογή του εξηγηθεί στην επόµενη παράγραφο. Για το συγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε Ακέραιο µέρος 183 Κλασµατικό µέρος Δηλαδή ο αριθµός είναι Το αντίστοιχο πρόγραµµα που µετατρέπει δεκαδικούς αριθµούς στο δυαδικό σύστηµα είναι: Ακέραιο µέρος 2) )91 1 2)45 1 2)22 0 2)11 1 2)5 1 2)2 0 2)1 1 Δεκαδικό µέρος

7 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 19 Συµπλήρωµα δυαδικών αριθµών Πριν περιγράψουµε τον τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται οι αριθµοί στη µνήµη του υπολογιστή, θα πρέπει πρώτα να γίνουν κατανοητές ορισµένες έννοιες που είναι γνωστές στη συνήθη αριθµητική. Καλούµε συµπλήρωµα ενός δυαδικού αριθµού Α τον δυαδικό αριθµό που προκύπτει αν αφαιρέσουµε κάθε ψηφίο του Α από το 1. Για παράδειγµα Δυαδικός αριθµός Α Συµπλήρωµα του Α Αν τώρα έχουµε να αφαιρέσουµε δυο δυαδικούς αριθµούς Α και Β, µπορεί η πράξη της αφαίρεσης να µετατραπεί σε πρόσθεση. Π.χ. αν έχουµε Α= και Β= και θέλουµε να υπολογίσουµε τη διαφορά Υ=Α-Β µε τον κλασικό τρόπο, έχουµε A B Y Αν βρούµε το συµπλήρωµα του Β που είναι = και τον προσθέσουµε στον Α, θα έχουµε A Συµπλ. Β και προσθέτοντας το 1 που υπάρχει στην έβδοµη θέση σαν µονάδα θα έχουµε το αποτέλεσµα που είναι Στην περίπτωση που δεν υ- πάρχει 1 στην έβδοµη θέση, τότε σηµαίνει ότι ο Β είναι µεγαλύτερος από τον Α και το αποτέλεσµα είναι αρνητικό. Το δε αποτέλεσµα του Α µε το συµπλήρωµα του Β δεν είναι η διαφορά Α-Β. Για να βρούµε τη διαφορά Α-Β -που είναι αρνητικός αριθµός- βρίσκουµε το συµπλ.(α+συµπλ.β). Για παράδειγµα αν Α= και Β= τότε Α Συµπλ. Β

8 20 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Α-Β Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει ψηφίο στην έβδοµη θέση και κατά συνέπεια η διαφορά Α-Β είναι αρνητικός αριθµός και ισούται µε το συ- µπλήρωµα του δηλαδή Αριθµοί κινητής υποδιαστολής 'Όπως είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο κάθε κλασµατικός πραγµατικός αριθµός x γράφεται µε µοναδικό τρόπο στην εκθετική του µορφή x= ± (0.d 1 d 2 d 3...d n d n+1...)xβ e όπου β η βάση, e ο εκθέτης και α=0. d 1 d 2 d 3...d n d n+1. το κλασµατικό µέρος µε d 1 πάντοτε διάφορο του µηδενός. Το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους θα µπορεί να είναι άπειρο. O αριθµός x=2/3 του οποίου το κλασµατικό µέρος είναι α= όταν αυτός πρόκειται να αποθηκευθεί στη µνήµη ενός υπολογιστή είναι προφανές ότι το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους θα πρέπει να είναι ένας πεπερασµένος αριθµός. 'Έτσι ο α δεν αποθηκεύεται ακριβώς αλλά κατά προσέγγιση. Αν n είναι το πλήθος των ψηφίων που µπορεί να αποθηκευθούν θα πρέπει τα ψηφία d n+1 και πάνω να αποκοπούν. Υπάρχουν δύο είδη αποκοπής α) η κοπή και β) η στρογγύλευση. 1. κατά την κοπή το ψηφίο d n παραµένει όπως έχει ανεξάρτητα από το µέγεθος του d n+1 ενώ 2. κατά τη στρογγύλευση και συγκεκριµένα στο δεκαδικό σύστηµα, ο d n αυξάνεται κατά µία µονάδα αν ο d n+1 είναι 5,6,7,8,9 και παρα- µένει όπως έχει αν ο d n+1 είναι 0,1,2,3,4. Στην περίπτωση του δυαδικού συστήµατος o d n αυξάνεται κατά 1 όταν ο d n+1 είναι 1 και παραµένει όπως έχει αν ο d n+1 είναι 0. Θα καλούµε αριθµό κινητής υποδιαστολής µήκους n την εκθετική παράσταση ενός αριθµού x αλλά µε πλήθος ψηφίων του κλασµατικού µέρους n. Στη γενική του µορφή ένας αριθµός κινητής υποδιαστολής µπορεί να γραφεί ως

9 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 21 x = σaβ! όπου σ=+1 ή -1, α=0. d 1 d 2 d 3...d n d n+1.. το κλασµατικό µέρος ή mantissa, n µήκος, β η βάση και e ένας ακέραιος αριθµός που καλείται εκθέτης. Θα πρέπει d 1 0. Αν d 1,=0, τότε και d 2=d 3=... =d k=... =0 Για τη mantissa α ισχύει 0.1 α 1 στο δεκαδικό σύστηµα και (0.1) 2 α 1 (ή ισοδύναµα σε δεκαδική έκφραση 0.5 α 1) στο δυαδικό σύστηµα. Παράδειγµα Να µετατραπούν οι αριθµοί x=4/3, y=5/9 και z=1/33 σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής µήκους n=7. H αποκοπή των στοιχείων να γίνει α) µε κοπή και β) µε στρογγύλευση Απάντηση: α) Κοπή x*= , y*= και z*= β) Στρογγύλευση x*= , y*= και z*= Κώδικες Το σύνολο των κανόνων που διέπουν τον τρόπο διάταξης των δυαδικών ψηφίων ώστε, να παριστάνουν χαρακτήρες γραµµάτων, ψηφία και σύµβολα καλείται κώδικας. Κάθε τύπος υπολογιστή χρησιµοποιεί έναν ορισµένο τύπο κώδικα όπως για παράδειγµα οι πιο σπουδαίοι σήµερα κώδικες είναι οι EBCDIC (Extended Binary-Coded Decimal Intercgange Code) και ASCII-8 (American Stand- and Code for Information Interchange). Και οι δυο παραπάνω κώδικες χρησιµοποιούν bytes των 8 bits. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια σειρά από οκτώ δυαδικές θέσεις (bits) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

10 22 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κάθε δυαδική θέση (bit) µπορεί να εναλάσσεται µε τα ψηφία του δυαδικού συστήµατος 0 και 1. Είναι προφανές ότι ο µεγαλύτερος φυσικός αριθµός που µπορεί να παρασταθεί είναι αυτός που όλες οι δυαδικές θέσεις θα έχουν το ψηφίο 1. Δηλαδή, που δεν είναι άλλος από τον αριθµό = = 255 µπορεί να δεχθεί ακέραιους αριθµούς από το 0 έως το 255 δηλαδή πλήθος αριθµών 256. Αν κάθε ακέραιος αντιστοιχεί σε ένα σύµβολο - σύµβολο µπορεί να είναι γράµµα του Λατινικού ή ελληνικού αλφαβήτου ή επίσης ψηφίο του δεκαδικού συστήµατος ή οποιοδήποτε άλλο στοιχείο - τότε µπορεί να συµβολισθούν συνολικά 256 σύµβολα. Το σύνολο των οκτώ δυαδικών θέσεων καλείται χαρακτήρας (byte) και αποτελεί τη βασική µονάδα µνήµης στους µικροϋπολογιστές. Στον κώδικα ASCII ένας χαρακτήρας (byte) χωρίζεται σε δυο µέρη των 4 bits το καθένα. Το πρώτο µέρος καλείται ζώνη και το δεύτερο α- ριθµητικό όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα. ζώνη αριθµητικό z z z z Η ζώνη και το αριθµητικό µέρος διαθέτουν το καθένα 4 δυαδικές θέσεις (bits) και κατά συνέπεια µπορεί να πάρει αριθµούς από 0-15 δηλαδή όσα είναι τα ψηφία του δεκαεξαδικού συστήµατος. Μαζί η ζώνη και το δεκαδικό µέρος µπορεί να συµβολίζονται µε διψήφια ψηφία του δεκαεξαδικού συστήµατος µε το πρώτο να συµβολίζει τη ζώνη και το δεύτερο το αριθµητικό. Προκειµένου να συµβολίζονται ψηφία του δεκαδικού συστήµατος και επειδή είναι δέκα σε αριθµό (λιγότερα από 16) χρησιµοποιείται ο ί- διος αριθµός για τη ζώνη και διαφορετικός στο αριθµητικό. Τα γράµ- µατα του Λατινικού αλφαβήτου επειδή υπερβαίνουν τον αριθµό 16 οι πρώτοι 16 χαρακτήρες θα έχουν την ίδια ζώνη και αριθµητικό που θα

11 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 23 αυξάνεται κατά µονάδα και οι υπόλοιποι χαρακτήρες θα έχουν διαφορετική ζώνη. Το ίδιο θα συµβαίνει και για τα σύµβολα. Στους παρακάτω πίνακες φαίνεται πως συµβολίζεται κάθε χαρακτήρας είτε είναι ψηφίο είτε Λατινικό γράµµα. Με παρόµοιο τρόπο συµβολίζεται και τα υπόλοιπα σύµβολα. Στους παρακάτω πίνακες ενδεικτικά αναφέρονται ορισµένοι από τους χαρακτήρες του κώδικα ASCII 8 που αντιστοιχούν στους φυσικούς α- ριθµούς από το 0 έως το 255. Είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς µε τον παραπάνω τρόπο µπορούµε να αποθηκεύσουµε µόνο αλφαριθµητικά στοιχεία και όχι αριθµούς που θα µας επιτρέπουν να εκτελούµε αριθµητικές πράξεις. Πριν όµως προχωρήσουµε στον τρόπο µε τον ο- ποίο µπορούµε να αποθηκεύσουµε αριθµούς θα µιλήσουµε πρώτα για τους όρους δεδοµένα (data) και πληροφορίες (information). Σύµβολο Ζώνη /δικό A A1 B A2 C A3 D A4 E A5 F A6 G A7 H A8 I A9 J AA K AB L AC M AD N AE O AF P B0

12 24 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Q B1 R B2 S B3 T B4 U B5 V B6 W B7 X B8 Y B9 Z BA Σύµβολο Ζώνη /δικό Τύποι δεδοµένων Με πολύ απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε πως υπολογιστής είναι ένας επεξεργαστής πληροφοριών. Τί ενοούµε όµως µε τον όρο πληροφορία στην επιστήµη του υπολογιστή; Ο συνήθης ορισµός της πληροφορίας είναι:

13 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 25 Πληροφορία (information) = Δεδοµένα (data) + Δοµή (structure) Για να γίνει πιο αντιληπτή αυτή η σχέση θα αναφέρουµε το εξής παράδειγµα, Θεωρούµε τους παρακάτω αριθµούς 110, 120, 116, 100, 94 Οι οποίοι αριθµοί είναι ορισµένα δεδοµένα (data) χωρίς συγκεκριµένη σηµασία. Αν όµως ορίσουµε µια δοµή (structure) στα δεδοµένα, για παράδειγµα έστω ότι οι παραπάνω αριθµοί παριστάνουν γωνίες σε µοίρες ενός πενταγώνου τότε οι αριθµοί έχουν δοµή και αποκτούν σηµασία, δηλαδή έγιναν πληροφορίες (information). Ο υπολογιστής µάλιστα βασισµένος στις πληροφορίες αυτές µπορεί να σχεδιάσει ένα τέτοιο πεντάγωνο. Πολλές φορές αντί του όρου επιστήµη του υπολογιστή χρησιµοποιούµε τον όρο επιστήµη της πληροφορικής και ο οποίος όρος προέρχεται από τη λέξη πληροφορία µε τον τρόπο που η έννοια αυτή ορίσθηκε παραπάνω.. Τύποι δεδοµένων µπορεί να είναι αριθµοί, γράµµατα, σύµβολα, ε- νέργειες, γεγονότα κτλ. Σε κάθε γλώσσα υπάρχουν διάφοροι τύποι δεδοµένων. H Quick Basic για παράδειγµα χρησιµοποιεί τρία κύρια είδη τύπων δεδοµένων. 1) Συρµοί ή αλφαριθµητικά δεδοµένα που µπορεί να είναι µεταβλητού ή σταθερού µήκους, 2) ακέραιοι που µπορεί να είναι µικροί ή µεγάλοι ακέραιοι αριθµοί, 3) πραγµατικοί αριθµοί (αριθµοί κινητής υποδιαστολής) που µπορεί να είναι απλής

14 26 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ και διπλής ακρίβειας. Η Quick Basic εκτός από τους παραπάνω τύπους δεδοµένων διαθέτει και τις Δοµές Δεδοµένων η δυνατότητα δηλαδή, µε ένα όνοµα µεταβλητής να αναπαριστάνονται πολλές τιµές δεδοµένων. Στο βιβλίο αυτό µας ενδιαφέρει να αναπτύξουµε µόνο τα δεδοµένα των ακεραίων αριθµών και των πραγµατικών. Η διάκριση σε ακέραιους και πραγµατικούς οφείλεται στο διαφορετικό τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται στον υπολογιστή. 1.5 Αποθήκευση ακεραίων αριθµών 'Έστω ότι εργαζόµαστε σε έναν µικροϋπολογιστή µε χαρακτήρες των 8- bits. Το µεγαλύτερο αριθµό που µπορεί να παραστήσει ένας χαρακτήρας είναι αυτός που σε κάθε δυαδική θέση έχει για ψηφίο το 1 δηλαδή = = 255 δηλαδή ένας χαρακτήρας µπορεί να παραστήσει θετικούς ακεραίους από το 0 έως το 255. Αν θέλουµε όµως µε το ένα χαρακτήρα να παριστάνονται θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί, τότε µια δυαδική θέση πρέπει να διατεθεί για το πρόσηµο. Αν, για παράδειγµα, η πρώτη δυαδική θέση διατεθεί για το πρόσηµο ( µε το 0 συµβολίζεται το (+) και µε το 1 το (-)). τότε ο µεγαλύτερος θετικός ακέραιος αριθµός που µπορεί να αποθηκευθεί θα είναι δηλαδή =127

15 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 27 Ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός είναι ο 127. Η παράσταση του µικρότερου ακέραιου θα είναι το συµπλήρωµα του µεγαλύτερου θετικού ακέραιου δηλαδή του που δεν είναι άλλος από τον 2 8 = -128 Συνήθως στους περισσότερους µικροϋπολογιστές το 1 της πρώτης στήλης εκτός του ότι συµβολίζει το αρνητικό πρόσηµο προστίθεται και σαν µονάδα. 'Έτσι ο µικρότερος αρνητικός ακέραιος είναι Παράδειγµα Θέλουµε να αποθηκεύσουµε το -120 σε έναν χαρακτήρα των 8 bits. Απάντηση Καταρχάς ο αριθµός αυτός µπορεί να αποθηκευθεί γιατί βρίσκεται στο διάστηµα [-128, 127]. Σύµφωνα µε αυτά που είπαµε παραπάνω, επειδή ο αριθµός είναι αρνητικός, θα αποθηκευθεί το συµπλήρωµα του 120. Ο αριθµός 120 σε χαρακτήρα 8- bits γράφεται Το συµπλήρωµά του είναι Από τα παραπάνω φαίνεται ότι το συµπλήρωµα κάθε θετικού ακεραίου αριθµού θα έχει στη πρώτη δυαδική θέση πάντοτε το 1 που θα δηλώνει και το αρνητικό πρόσηµο. Συνήθως για την αποθήκευση των ακεραίων αριθµών χρησιµοποιούνται δύο χαρακτήρες µαζί. Η πρώτη δυαδική θέση διατίθεται για το πρόσηµο. Συνεπώς ο µεγαλύτερος θετικός ακέραιος αριθµός που µπορεί να παρασταθεί θα είναι

16 28 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ δηλαδή =2 15-1=32767 Ο µικρότερος αρνητικός ακέραιος θα είναι το συµπλήρωµα του παραπάνω αριθµού δηλ. οποίος ισούται µε = Ακέραιοι αριθµοί που βρίσκονται εκτός του διαστήµατος [-32768, 32767] δεν είναι δυνατόν να αποθηκευθούν και ο υπολογιστής δίνει µήνυµα "overflow error". 1.6 Αποθήκευση κλασµατικών αριθµών Αν x είναι ένας πραγµατικός κλασµατικός αριθµός, τότε αντιστοιχεί στο x ένας αριθµός x* κινητής υποδιαστολής µήκους n ο οποίος και προσεγγίζει το x στα n πρώτα σηµαντικά ψηφία.. Δηλαδή x*=σα*2 e. Έστω ότι για την αποθήκευση ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής χρησιµοποιούνται συνολικά τέσσερις χαρακτήρες - όπως συνήθως συµβαίνει στις περισσότερες γλώσσες προγραµµατισµού-. Από τους τέσσερις χαρακτήρες ο ένας χρησιµοποιείται για την αποθήκευση του εκθέτη e και οι υπόλοιποι τρεις για τη mantissa α*. Αφού ο e είναι ακέραιος, τότε σύµφωνα µε αυτά που είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο ο e θα µπορεί να παίρνει τιµές -128 e 127 Επειδή επίσης ισχύει 0.1 α*<1 ο µικροϋπολογιστής µπορεί να χειρίζεται αριθµούς που οι τιµές τους βρίσκονται στο διάστηµα x ή ισοδύναµα x Aριθµοί εκτός των παραπάνω ορίων δεν µπορούν να αποθηκευθούν και ο υπολογιστής δίνει το µήνυµα overflow error. ο

17 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 29 Για την αποθήκευση της mantissa α* χρησιµοποιούνται τρεις χαρακτήρες ή ισοδύναµα 24 δυαδικές θέσης µνήµης ή 24 bits. Επειδή το πρώτο ψηφίο της mantissa είναι πάντοτε 1 (σαν σηµαντικό ψηφίο) αυτό θα εννοείται και τη θέση του θα καταλαµβάνει το πρόσηµο. Δηλαδή 0 για (+) και 1 για (-). Παράδειγµα Δίνεται ο αριθµός και ζητούµε να παρασταθεί η αποθήκευσή του σε έναν υπολογιστή που χρησιµοποιεί 4 χαρακτήρες των 8 bits. Απάντηση Χρησιµοποιούµε κατ' αρχάς το πρόγραµµα για να µετατρέψουµε τον αριθµό σε δυαδική έκφραση. Ο αριθµός αυτός είναι ο οποίος σε έκφραση αριθµού κινητής υποδιαστολής είναι x=( ) Στον πρώτο χαρακτήρα θα αποθηκευθεί ο εκθέτης 1001 και στους υπόλοιπους τρεις η mantissa Δηλαδή Το πρώτο στοιχείο της mantissa ενώ είναι 1 βάζουµε το 0 γιατί ο α- ριθµός είναι θετικός. 'Όπως είπαµε για τη mantissa χρησιµοποιούµε τρεις χαρακτήρες. Κάθε χαρακτήρας µπορεί να αποθηκεύσει έναν ακέραιο αριθµό από 0 έως 255. Αν θεωρήσουµε ότι κάθε χαρακτήρας είναι ένα ψηφίο του συστήµατος αρίθµησης µε βάση το 256, τότε η mantissa µπορεί να γραφεί σαν αριθµός του συστήµατος µε βάση το 256. Αν α 1, α 2 και α 3 είναι τα ψηφία που δηλώνουν οι τρεις χαρακτήρες, τότε η mantissa α* γράφεται α*=0.α 1α 2α 3=α α α Αν τώρα χρησιµοποιούµε τη στρογγύλευση σαν είδος αποκοπής, τότε το σφάλµα της στρoγγύλευσης θα είναι το πολύ δηλαδή και ο υπολογιστής µας θα γράφει 7 σηµαντικά δεκαδικά ψηφία προκειµένου να παραστήσει κάποιο αριθµό.

18 30 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Με πιο απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε πως το πλήθος των δυαδικών θέσεων της mantissa είναι 24. Δηλαδή οι θέσεις 25 και πάνω αγνοούνται. Συνεπώς το λάθος στρογγύλευσης θα είναι = Ασκήσεις 1. Για την αποθήκευση ακεραίων αριθµών έστω ότι διατίθενται 4 χαρακτήρες. Να βρεθεί το διάστηµα των ακεραίων αριθµών που µπορεί να αποθηκευθούν χωρίς να έχουµε σφάλµα overflow. 2. 'Έστω ότι για την αποθήκευση ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής διατίθενται 5 χαρακτήρες εκ των οποίων ο ένας χρησιµoποιείται για τον εκθέτη. Να βρεθεί ποιό είναι το σφάλµα στρογγύλευσης και πόσο είναι το µήκος του αριθµού κινητής υποδιαστολής στο δεκαδικό σύστηµα. 3. Για το πρόσηµο του αριθµού κινητής υποδιαστολής διατίθεται µια δυαδική θέση και µάλιστα η πρώτη από αυτές που καταλαµβάνει η mantissa. Να δοθεί µια σχηµατική παράσταση για την αποθήκευση των αριθµών και Για την περίπτωση του αρνητικού αριθµού να αποθηκευθεί το συµπλήρωµά του. 4. Να γραφεί ένα πρόγραµµα που να µετατρέπει πραγµατικούς αριθ- µούς σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής µήκους n=7 στο δεκαδικό σύστηµα. Για την αποκοπή των ψηφίων να εφαρµοσθεί η στρογγύλευση. 5. Nα γραφεί ένα πρόγραµµα το οποίο να µετατρέπει δυαδικούς αριθ- µούς σε αντίστοιχους δεκαδικούς. 6. Να µετατραπεί ο ατέρµων δυαδικός κλασµατικός αριθµός x=( ) 2 σε αντίστοιχο δεκαδικό. (Υπόδειξη: Μετατρέποντας τον x σε δυνάµεις του 2 θα έχουµε x= που είναι το άθροισµα απείρων όρων φθίνουσας γεωµετρικής προόδου)

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ Εισαγωγή στην Πληροφορική 1 Περιεχόµενα - Κωδικοποιήσεις - Αριθµητικά Συστήµατα 2 Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Είπαµε ότι είναι, µία Ηλεκτρονική Μηχανή, που δουλεύει κάτω από τον έλεγχο εντολών αποθηκευµένων

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Η έννοια και η παράσταση της πληροφορίας στον ΗΥ. Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 2 Καραμαούνας Πολύκαρπος 1

Κεφάλαιο 2 Η έννοια και η παράσταση της πληροφορίας στον ΗΥ. Εφ. Πληροφορικής Κεφ. 2 Καραμαούνας Πολύκαρπος 1 Κεφάλαιο 2 Η έννοια και η παράσταση της πληροφορίας στον ΗΥ Καραμαούνας Πολύκαρπος 1 2.1Η έννοια της πληροφορίας Δεδομένα Πληροφορία Καραμαούνας Πολύκαρπος 2 2.2 ΗΥ Το βασικό εργαλείο επεξεργασίας και

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης

Ψηφιακά Κυκλώματα Ι. Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες. Λευτέρης Καπετανάκης ΤΛ2002 Ψηφιακά Κυκλώματα Ι Μάθημα 1: Δυαδικά συστήματα - Κώδικες Λευτέρης Καπετανάκης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Άνοιξη 2011 ΤΛ-2002: L1 Slide 1 Ψηφιακά Συστήματα ΤΛ-2002:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα

Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα 1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I. 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I 4 η ΔΙΑΛΕΞΗ Αριθμητικά Συστήματα ΧΑΣΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Συστήματα αρίθμησης Δυαδικό αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Πράξεις με δυαδικούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Οργάνωση Δεδομένων (1/2) Bits: Η μικρότερη αριθμητική μονάδα ενός υπολογιστικού συστήματος, η οποία δείχνει δύο καταστάσεις, 0 ή 1 (αληθές η ψευδές). Nibbles: Μονάδα 4 bit που παριστά

Διαβάστε περισσότερα

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση

Κεφάλαιο 2 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση Κεφάλαιο 2 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση Αριθµών & Χαρακτήρων Αποκωδικοποίηση Κωδικοποίηση Συστήµατα Αρίθµησης το υαδικό Μετατροπή από το ένα σύστηµα στο άλλο Η πρόσθεση & η αφαίρεση στο υαδικό H αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ακαδημαϊκό Έτος 2010-2011 Επιμέλεια Ξενοφών Βασιλάκος Περιεχόμενα Φροντιστηρίου 1. Κωδικοποίηση και Δυαδική Αναπαράσταση 2. Κωδικοποίηση ASCII Κωδικοποίηση Unicode Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Αρχιτεκτονική-Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Αρχιτεκτονική-Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Αρχιτεκτονική -Ι Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Τι θα μάθουμε σήμερα: Να αναφέρουμε τον τρόπο αναπαράστασης των δεδομένων (δυαδικό σύστημα) Να αναγνωρίζουμε πώς γράμματα και σύμβολα από

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 2 η Τύποι Δεδομένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδομένων Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων. ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση δεδομένων Κατάλληλη συμβολική αναπαράσταση δεδομένων, για απλοποίηση βασικών πράξεων, όπως πρόσθεση Πόσο εύκολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Αναπαράσταση Δεδομένων (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική «Λογικές» πράξεις, μάσκες Πώς βρίσκουμε το υπόλοιπο μιας διαίρεσης με το 4; διαίρεση με 4 = δεξιά ολίσθηση 2 bits Το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Εισαγωγή. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Εισαγωγή. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Εισαγωγή Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 Ενότητα 4 Εισαγωγή στην Πληροφορική Κεφάλαιο 4Α: Αναπαράσταση πληροφορίας Κεφάλαιο 4Β: Επεξεργαστές που χρησιµοποιούνται σε PCs Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 ρ. Παναγιώτης Χατζηδούκας (Π..407/80) Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο 1. Επιλογή της κατάλληλης γλώσσας προγραµµατισµού Εκατοντάδες γλώσσες προγραµµατισµού χρησιµοποιούνται όπως αναφέρθηκε σήµερα για την επίλυση των προβληµάτων µε τον υπολογιστή, τη δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL 8.1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PACAL Πως προέκυψε η γλώσσα προγραμματισμού Pascal και ποια είναι τα γενικά της χαρακτηριστικά; Σχεδιάστηκε από τον Ελβετό επιστήμονα της Πληροφορικής Nicklaus Wirth to

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 1 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 1 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ FORTRAN 77 Ένα πρόγραµµα σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραµµατισµού δεν τίποτα άλλο από µια σειρά εντολών που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 3 Λειτουργίες σε Bits, Αριθμητικά Συστήματα Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Φύση υπολογιστών Η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. οµή Η/Υ: Αναπαράσταση εδοµένων. υαδικό σύστηµα. Συστήµατα Αρίθµησης υαδικό Οκταδικό εκαεξαδικό Παραδείγµατα

Περιεχόµενα. οµή Η/Υ: Αναπαράσταση εδοµένων. υαδικό σύστηµα. Συστήµατα Αρίθµησης υαδικό Οκταδικό εκαεξαδικό Παραδείγµατα οµή Η/Υ: Αναπαράσταση εδοµένων Συστήµατα Αρίθµησης υαδικό Οκταδικό εκαεξαδικό Παραδείγµατα Περιεχόµενα Κωδικοποίηση δεδοµένων Κώδικας ASCII Άλλοι κώδικες Παραδείγµατα Συστήµατα Αρίθµησης Τα συνηθέστερα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

4.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές http://courseware.mech.ntua.gr/ml23021/ 3 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E-mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo 1 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε αρχικά στην επινόηση των αριθμών Κατόπιν, στην επινόηση συμβόλων για τη παράσταση τους Τέλος, στη δημιουργία των αριθμητικών συστημάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Αριθµοί Διαφόρων Βάσεων Δυαδικά Συστήµατα 2 Υπολογιστική Ακρίβεια Ο αριθµός των δυαδικών ψηφίων αναπαράστασης αριθµών καθορίζει την ακρίβεια των αριθµών σε

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών

Προγραμματισμός Υπολογιστών Προγραμματισμός Υπολογιστών Αναπαράσταση Πληροφορίας Κ. Βασιλάκης, ΣΤΕΦ, ΤΕΙ Κρήτης Δεδομένα και πληροφορία Δεδομένα είναι ένα σύνολο διακριτών στοιχείων σχετικά με ένα συμβάν ή μια διαδικασία χωρίς κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση στα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ανασκόπηση στα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1: Ονοματεπώνυμο: Εξάμηνο: Ανασκόπηση στα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α.Μ: Έτος: 1. Το δεκαδικό σύστημα Είναι φανερό ότι οι χιλιάδες, εκατοντάδες, δεκάδες, μονάδες και τα δεκαδικά ψηφία είναι δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 25/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 25/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 25/10/07 Αριθμητική στο δυαδικό σύστημα (γενικά) Συμπληρωματικά για δυαδικό σύστημα Η πρόσθεση στηρίζεται στους κανόνες: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Αναπαράσταση εδοµένων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unipi.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Aναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 1 εδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

6. Εισαγωγή στον προγραµµατισµό

6. Εισαγωγή στον προγραµµατισµό 6. Εισαγωγή στον προγραµµατισµό 6.1 Η έννοια του προγράµµατος. 6.2 Ιστορική αναδροµή. 6.2.1 Γλώσσες µηχανής. ΗΜ04-Θ1Α 1. Ένα πρόγραµµα σε γλώσσα µηχανής είναι µια ακολουθία δυαδικών ψηφίων. 5. Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα