1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή"

Transcript

1 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί παράλληλοι µέθοδοι οι οποίες µας δίνουν προσεγγιστικές τιµές των λύσεων. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης των λύσεων. Για παράδειγµα, βρίσκουµε µια άλλη έκφραση του προβλή- µατος που µας δίνει µια λύση η οποία απλά προσεγγίζει την πραγµατική λύση. Με την εξέλιξη των υπολογιστών και µε τη δυνατότητα να γίνονται εκατοµµύρια πράξεις το δευτερόλεπτο αναπτύχθηκε παράλληλα και η επιστήµη της αριθµητικής λύσης πολλών προβληµάτων. Η επιστήµη αυτή καλείται Αριθµητική Ανάλυση. Παρόλη πράγµατι τη µεγάλη ταχύτητα που εκτελούνται οι αριθµητικές πράξεις ακόµα υ- πάρχουν προβλήµατα σε πολλές επιστηµονικές εφαρµογές πoυ περιλαµβάνουν πολύπλοκες και χρονοβόρες αριθµητικές πράξεις. Αρκεί να ειπωθεί, για παράδειγµα, πως για τη λύση ενός γραµµικού συστή- µατος εκατό εξισώσεων µε εκατό αγνώστους, µε τη γνωστή µέθοδο των οριζουσών και για την εκτέλεση των απαραίτητων αριθµητικών πράξεων από έναν υπολογιστή που κάνει δύο εκατοµµύρια πράξεις το δευτερόλεπτο, απαιτούνται 5x αιώνες. Υπάρχουν όµως άλλες µέθοδοι οι οποίες για το ίδιο σύστηµα µε τον ίδιο υπολογιστή χρειάζονται σχεδόν µόνο εκατό περίπου δευτερόλεπτα. Η Αριθµητική ανάλυση είναι το µέρος εκείνο της µαθηµατικής επιστήµης που ασχολείται µε την ανάπτυξη και εκτίµηση µεθόδων που υπολογίζουν αριθµητικά αποτελέσµατα από γνωστά αριθµητικά δεδο- µένα. Δύο είναι τα βασικά κριτήρια µιας αριθµητικής µεθόδου: (α) η ταχύτητα και (β) η ακρίβεια. Με τον όρο ταχύτητα εννοούµε τον υπολογιστικό χρόνο που χρειάζεται η Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας για να µας δώσει τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Η ακρίβεια συνδέεται µε τα σφάλµατα που παράγονται είτε µε τον τρόπο που αποθηκεύονται τα δεδοµένα στον υπολογιστή είτε µε τα σφάλµατα που οφείλονται στην ίδια τη µέθοδο. Η διαδικασία της λύσης ενός προβλήµατος που περιλαµβάνει πολύπλοκες αριθµητικές πράξεις συνίσταται από τέσσερα κύρια στάδια:

2 14 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Διαµόρφωση του προβλήµατος. Κατ' αρχήν το πρόβληµα δια- µορφώνεται ως προς τη µαθηµατική του έκφραση, δηλαδή σαν ένα σύνολο µαθηµατικών σχέσεων. 2. Επιλογή της µεθόδου. Eπιλέγεται µία ή συνδυασµός αριθµητικών µεθόδων, που είναι κατάλληλες για να δώσουν την καλύτερη προσεγγιστική λύση στο συγκεκριµένο πρόβληµα. 3. Προγραµµατισµός και κωδικοποίηση. Κατ' αρχάς καταστρώνουµε βήµα προς βήµα όλη την υπολογιστική διαδικασία σύµφωνα µε την αριθµητική µέθοδο. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή και ως αλγόριθµος. Κατόπιν µεταφράζουµε την όλη υπολογιστική διαδικασία σε ένα σύνολο εντολών ορισµένης "γλώσσας", όπως π.χ. C, FORTRAN, BASIC, PASCAL, C++, PHP, JAVA κ.λ.π. Το σύνολο αυτό των εντολών καλείται πρόγραµµα. 4. Εκτέλεση του προγράµµατος. Tο πρόγραµµα αφού "φορτωθεί" στη µνήµη του υπολογιστή, διέρχεται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (µερικές φορές συνηθίζεται να λέγεται ότι "τρέχουµε" το πρόγραµµα) και µας δίνει τα αντίστοιχα αποτελέσµατα. Στην εποχή µας µε τη µεγάλη εξάπλωση των υπολογιστών είναι πολύ εύκολο να κατανοεί κανείς έννοιες της Αριθµητικής Ανάλυσης µόνος του, χωρίς να εννοούµε µε αυτό πως καταργείται η αλληλεπίδραση µε τον δάσκαλο. Το βιβλίο αυτό στοχεύει ακριβώς σε ένα νέο τρόπο διδασκαλίας που προσδιορίζεται από τη νέα διάσταση των δυνατοτήτων που έχει ένας υπολογιστής. Σε κάθε κεφάλαιο θα περιέχονται πολλά µικρά προγράµµατα για να κατανοούνται καλύτερα οι έννοιες και οι αριθµητικές µέθοδοι που θα αναπτύσσονται. Συνήθως τα περισσότερα βιβλία Αριθµητικής Ανάλυσης αναγράφουν µόνο τους αλγορίθµους των αριθµητικών µεθόδων. Η µετάφραση όµως ενός αλγορίθµου σε πρόγραµµα δεν είναι µια εύκολη διαδικασία και επειδή το βιβλίο αυτό στοχεύει στην καλύτερη κατανόηση των αριθµητικών µεθόδων και όχι σε ασκήσεις προγραµµατισµού θα παραθέτει προγράµµατα γραµµένα στη γλώσσα BASIC. Εύκολα ένας προγραµµατιστής θα µπορούσε να µεταφράσει τον κώδικα της BASIC σε µια άλλη γλώσσα. Εξάλλου η δοµή όλων των προγραµµατιστικών γλωσσών είναι ίδια.

3 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Συστήµατα αρίθµησης Βασικό εργαλείο της Αριθµητικής Ανάλυσης είναι ο υπολογιστής. Είναι δε προφανές πως όποιος ασχολείται µε εφαρµογές αριθµητικών µεθόδων σε διάφορα προβλήµατα θα πρέπει να γνωρίζει α) τον τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται οι αριθµοί στη µνήµη του, β) ποια είναι τα σφάλµατα της αποθήκευσης, γ) πώς εκτελούνται οι αριθµητικές πράξεις και δ) πώς µεταδίδονται τα σφάλµατα κατά την εκτέλεση των αριθµητικών πράξεων και γενικά πώς "σκέπτεται" αριθµητικά ο υπολογιστής. Η γνώση των παραπάνω είναι η στοιχειώδης προϋπόθεση για να κάνει κάποιος τη σωστή επιλογή της αριθµητικής µεθόδου που πρόκειται να χρησιµοποιήσει στο πρόβληµά του. Τα δύο επόµενα κεφάλαια αναφέρονται στην αριθµητική του υπολογιστή και τα διάφορα σφάλµατα που παράγονται. Δεκαδικό σύστηµα Οι αριθµοί που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή βασίζονται στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης το οποίο περιέχει δέκα ψηφία που παρίστανται µε τα σύµβολα 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 και καλούνται δεκαδικά ψηφία. Κάθε ακέραιος αριθµός Α στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης ερµηνεύεται ως ένα άθροισµα πολλαπλασίων ακεραίων δυνάµεων του 10, το οποίο καλείται βάση του συστήµατος. Για παράδειγµα ο ακέραιος α- ριθµός Α=7682 γράφεται 7682=7x x x x10 0 Kάθε πραγµατικός αριθµός x µπορεί να γραφεί µε τη µορφή x=x A+x K όπου x A είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός από τους µικρότερους ή ίσους του x και x K το κλασµατικό µέρος. Το κλασµατικό µέρος ερ- µηνεύεται ως ένα άθροισµα πολλαπλασίων αρνητικών ακεραίων δυνά- µεων του 10. Για παράδειγµα το κλασµατικό µέρος του αριθµού x= γράφεται =6x x x x10-4

4 16 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σύµφωνα µε τα παραπάνω ο αριθµός x µπορεί να γραφεί µε τη µορφή =2x x x x x x x10-4 ή ισοδύναµα ( )x10 3 που καλείται εκθετική παράσταση. O αριθµός που περιέχεται µέσα στην παρένθεση λέγεται κλασµατικό µέρος, το 10 βάση και το 3 εκθέτης. Το πρώτο ψηφίο µετά την υποδιαστολή δεν πρέπει ποτέ να είναι µηδέν. 'Όλα τα ψηφία του κλασµατικού µέρους καλούνται σηµαντικά ψηφία. Θα πρέπει να τονισθεί ιδιαίτερα ότι το 0 ως πρώτο ψηφίο δεν είναι σηµαντικό. Για παράδειγµα η εκθετική παράσταση του αριθµού είναι ( )x10-3 Γενικά θα µπορούσαµε να πούµε ότι κάθε αριθµός x µε βάση οποιονδήποτε αριθµό β γράφεται x = (0. d1 d2 d3... dk... ) β! Όπου 0.d 1 d 2 d 3... d k.. είναι το κλασµατικό µέρος µε d 1 διάφορο του µηδενός, β είναι η βάση του συστήµατος, e ο εκθέτης και τα d 1, d 2, d 3,..., d k, ψηφία του συστήµατος. Αν d 1,=0, τότε και d 2=d 3=... =d k=... =0 Δυαδικό σύστηµα Ο υπολογιστής για καθαρά πρακτικούς λόγους εργάζεται µε το σύστη- µα αρίθµησης µε βάση το δύο, δηλαδή αυτό που καλούµε δυαδικό σύστηµα. Κι αυτό γιατί είναι δυνατόν να αναπαρίσταται γεγονότα εκφρασµένα µε δυαδική έκφραση. Για παράδειγµα,

5 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 17 Στο σχήµα αυτό παρουσιάζονται σε σειρά οκτώ ηλεκτρικοί λαµπτήρες εκ των οποίων ορισµένοι είναι σε λειτουργία και ορισµένοι όχι. Αν παραστήσουµε µε το ψηφίο 1 αυτούς που βρίσκονται σε λειτουργία και µε 0 αυτούς που δε βρίσκονται σε λειτουργία, τότε έχουµε το δυαδικό αριθµό του οποίου αντίστοιχος αριθµός στο δεκαδικό είναι 1x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = =172 Βέβαια οι υπολογιστές δε χρησιµοποιούν ηλεκτρικούς λαµπτήρες αλλά καταστάσεις διαφοράς δυναµικού. Για παράδειγµα, µπορεί να χρησιµοποιείται το 1 για διαφορά δυναµικού 5 Volt και 0 για 0 Volt. Είναι προφανές πως η µεγάλη ταχύτητα επεξεργασίας πληροφοριών εξαρτάται από τη ταχύτητα µε την οποία εναλλάσσεται η δυαδική έκφραση. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό Η µετατροπή ενός αριθµού του δυαδικού συστήµατος σε αριθµό του δεκαδικού είναι πολύ εύκολη διαδικασία, ενώ το αντίστροφο είναι πιο πολύπλοκο. Αν για παράδειγµα έχουµε τον αριθµό ακολουθούµε διαφορετική διαδικασία για το ακέραιο και για το κλασµατικό µέρος. Σε ότι αφορά το ακέραιο µέρος, διαιρούµε τον αριθµό δια του 2 και κρατάµε το υπόλοιπο που θα είναι προφανώς ή 0 ή 1. Συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία µε το προκύπτον πηλίκο. Η διαδικασία τερµατίζεται µέχρι που το πηλίκο να γίνει 0. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων µε διάταξη από το τέλος στην αρχή είναι η παράσταση του αριθµού στο δυαδικό σύστηµα. Για το κλασµατικό µέρος ακολουθείται άλλη διαδικασία. Πολλαπλασιάζουµε το κλασµατικό µέρος µε το 2. Κρατάµε το ακέραιο µέρος -που προφανώς θα είναι 1 ή 0 και πολλαπλασιάζουµε το νέο κλασµατικό µέρος. Η ίδια διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου το κλασµατικό µέρος γίνει 0. Αν το κλασµατικό µέρος δεν γίνεται ποτέ 0 η διαδικασία τερµατίζεται µετά από συγκεκριµένο πλήθος ψηφίων.

6 18 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Παράδειγµα Έστω ότι θέλουµε να µετατρέψουµε τον αριθµό σε δυαδικό. Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε παραπάνω θα ακολουθηθεί διαφορετική διαδικασία για το ακέραιο µέρος 183 και διαφορετική για το κλασµατικό Επειδή η διαδικασία είναι πολύπλοκη παραθέτουµε ένα πρόγραµµα που µετατρέπει δεκαδικούς αριθµούς σε α- ντίστοιχους δυαδικούς. Στο πρόγραµµα δίνεται πρώτα το ακέραιο µέρος και µετά το κλασµατικό. Στην περίπτωση που το πλήθος των δυαδικών ψηφίων του κλασµατικού µέρους µαζί µε το πλήθος των ακεραίων υπερβαίνει τον αριθµό 24, η διαδικασία σταµατάει και έχουµε σφάλµα αποκοπής. Ο αριθµός 24 δεν είναι τυχαίος, αλλά η επιλογή του εξηγηθεί στην επόµενη παράγραφο. Για το συγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε Ακέραιο µέρος 183 Κλασµατικό µέρος Δηλαδή ο αριθµός είναι Το αντίστοιχο πρόγραµµα που µετατρέπει δεκαδικούς αριθµούς στο δυαδικό σύστηµα είναι: Ακέραιο µέρος 2) )91 1 2)45 1 2)22 0 2)11 1 2)5 1 2)2 0 2)1 1 Δεκαδικό µέρος

7 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 19 Συµπλήρωµα δυαδικών αριθµών Πριν περιγράψουµε τον τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται οι αριθµοί στη µνήµη του υπολογιστή, θα πρέπει πρώτα να γίνουν κατανοητές ορισµένες έννοιες που είναι γνωστές στη συνήθη αριθµητική. Καλούµε συµπλήρωµα ενός δυαδικού αριθµού Α τον δυαδικό αριθµό που προκύπτει αν αφαιρέσουµε κάθε ψηφίο του Α από το 1. Για παράδειγµα Δυαδικός αριθµός Α Συµπλήρωµα του Α Αν τώρα έχουµε να αφαιρέσουµε δυο δυαδικούς αριθµούς Α και Β, µπορεί η πράξη της αφαίρεσης να µετατραπεί σε πρόσθεση. Π.χ. αν έχουµε Α= και Β= και θέλουµε να υπολογίσουµε τη διαφορά Υ=Α-Β µε τον κλασικό τρόπο, έχουµε A B Y Αν βρούµε το συµπλήρωµα του Β που είναι = και τον προσθέσουµε στον Α, θα έχουµε A Συµπλ. Β και προσθέτοντας το 1 που υπάρχει στην έβδοµη θέση σαν µονάδα θα έχουµε το αποτέλεσµα που είναι Στην περίπτωση που δεν υ- πάρχει 1 στην έβδοµη θέση, τότε σηµαίνει ότι ο Β είναι µεγαλύτερος από τον Α και το αποτέλεσµα είναι αρνητικό. Το δε αποτέλεσµα του Α µε το συµπλήρωµα του Β δεν είναι η διαφορά Α-Β. Για να βρούµε τη διαφορά Α-Β -που είναι αρνητικός αριθµός- βρίσκουµε το συµπλ.(α+συµπλ.β). Για παράδειγµα αν Α= και Β= τότε Α Συµπλ. Β

8 20 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Α-Β Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει ψηφίο στην έβδοµη θέση και κατά συνέπεια η διαφορά Α-Β είναι αρνητικός αριθµός και ισούται µε το συ- µπλήρωµα του δηλαδή Αριθµοί κινητής υποδιαστολής 'Όπως είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο κάθε κλασµατικός πραγµατικός αριθµός x γράφεται µε µοναδικό τρόπο στην εκθετική του µορφή x= ± (0.d 1 d 2 d 3...d n d n+1...)xβ e όπου β η βάση, e ο εκθέτης και α=0. d 1 d 2 d 3...d n d n+1. το κλασµατικό µέρος µε d 1 πάντοτε διάφορο του µηδενός. Το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους θα µπορεί να είναι άπειρο. O αριθµός x=2/3 του οποίου το κλασµατικό µέρος είναι α= όταν αυτός πρόκειται να αποθηκευθεί στη µνήµη ενός υπολογιστή είναι προφανές ότι το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους θα πρέπει να είναι ένας πεπερασµένος αριθµός. 'Έτσι ο α δεν αποθηκεύεται ακριβώς αλλά κατά προσέγγιση. Αν n είναι το πλήθος των ψηφίων που µπορεί να αποθηκευθούν θα πρέπει τα ψηφία d n+1 και πάνω να αποκοπούν. Υπάρχουν δύο είδη αποκοπής α) η κοπή και β) η στρογγύλευση. 1. κατά την κοπή το ψηφίο d n παραµένει όπως έχει ανεξάρτητα από το µέγεθος του d n+1 ενώ 2. κατά τη στρογγύλευση και συγκεκριµένα στο δεκαδικό σύστηµα, ο d n αυξάνεται κατά µία µονάδα αν ο d n+1 είναι 5,6,7,8,9 και παρα- µένει όπως έχει αν ο d n+1 είναι 0,1,2,3,4. Στην περίπτωση του δυαδικού συστήµατος o d n αυξάνεται κατά 1 όταν ο d n+1 είναι 1 και παραµένει όπως έχει αν ο d n+1 είναι 0. Θα καλούµε αριθµό κινητής υποδιαστολής µήκους n την εκθετική παράσταση ενός αριθµού x αλλά µε πλήθος ψηφίων του κλασµατικού µέρους n. Στη γενική του µορφή ένας αριθµός κινητής υποδιαστολής µπορεί να γραφεί ως

9 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 21 x = σaβ! όπου σ=+1 ή -1, α=0. d 1 d 2 d 3...d n d n+1.. το κλασµατικό µέρος ή mantissa, n µήκος, β η βάση και e ένας ακέραιος αριθµός που καλείται εκθέτης. Θα πρέπει d 1 0. Αν d 1,=0, τότε και d 2=d 3=... =d k=... =0 Για τη mantissa α ισχύει 0.1 α 1 στο δεκαδικό σύστηµα και (0.1) 2 α 1 (ή ισοδύναµα σε δεκαδική έκφραση 0.5 α 1) στο δυαδικό σύστηµα. Παράδειγµα Να µετατραπούν οι αριθµοί x=4/3, y=5/9 και z=1/33 σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής µήκους n=7. H αποκοπή των στοιχείων να γίνει α) µε κοπή και β) µε στρογγύλευση Απάντηση: α) Κοπή x*= , y*= και z*= β) Στρογγύλευση x*= , y*= και z*= Κώδικες Το σύνολο των κανόνων που διέπουν τον τρόπο διάταξης των δυαδικών ψηφίων ώστε, να παριστάνουν χαρακτήρες γραµµάτων, ψηφία και σύµβολα καλείται κώδικας. Κάθε τύπος υπολογιστή χρησιµοποιεί έναν ορισµένο τύπο κώδικα όπως για παράδειγµα οι πιο σπουδαίοι σήµερα κώδικες είναι οι EBCDIC (Extended Binary-Coded Decimal Intercgange Code) και ASCII-8 (American Stand- and Code for Information Interchange). Και οι δυο παραπάνω κώδικες χρησιµοποιούν bytes των 8 bits. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια σειρά από οκτώ δυαδικές θέσεις (bits) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

10 22 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κάθε δυαδική θέση (bit) µπορεί να εναλάσσεται µε τα ψηφία του δυαδικού συστήµατος 0 και 1. Είναι προφανές ότι ο µεγαλύτερος φυσικός αριθµός που µπορεί να παρασταθεί είναι αυτός που όλες οι δυαδικές θέσεις θα έχουν το ψηφίο 1. Δηλαδή, που δεν είναι άλλος από τον αριθµό = = 255 µπορεί να δεχθεί ακέραιους αριθµούς από το 0 έως το 255 δηλαδή πλήθος αριθµών 256. Αν κάθε ακέραιος αντιστοιχεί σε ένα σύµβολο - σύµβολο µπορεί να είναι γράµµα του Λατινικού ή ελληνικού αλφαβήτου ή επίσης ψηφίο του δεκαδικού συστήµατος ή οποιοδήποτε άλλο στοιχείο - τότε µπορεί να συµβολισθούν συνολικά 256 σύµβολα. Το σύνολο των οκτώ δυαδικών θέσεων καλείται χαρακτήρας (byte) και αποτελεί τη βασική µονάδα µνήµης στους µικροϋπολογιστές. Στον κώδικα ASCII ένας χαρακτήρας (byte) χωρίζεται σε δυο µέρη των 4 bits το καθένα. Το πρώτο µέρος καλείται ζώνη και το δεύτερο α- ριθµητικό όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα. ζώνη αριθµητικό z z z z Η ζώνη και το αριθµητικό µέρος διαθέτουν το καθένα 4 δυαδικές θέσεις (bits) και κατά συνέπεια µπορεί να πάρει αριθµούς από 0-15 δηλαδή όσα είναι τα ψηφία του δεκαεξαδικού συστήµατος. Μαζί η ζώνη και το δεκαδικό µέρος µπορεί να συµβολίζονται µε διψήφια ψηφία του δεκαεξαδικού συστήµατος µε το πρώτο να συµβολίζει τη ζώνη και το δεύτερο το αριθµητικό. Προκειµένου να συµβολίζονται ψηφία του δεκαδικού συστήµατος και επειδή είναι δέκα σε αριθµό (λιγότερα από 16) χρησιµοποιείται ο ί- διος αριθµός για τη ζώνη και διαφορετικός στο αριθµητικό. Τα γράµ- µατα του Λατινικού αλφαβήτου επειδή υπερβαίνουν τον αριθµό 16 οι πρώτοι 16 χαρακτήρες θα έχουν την ίδια ζώνη και αριθµητικό που θα

11 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 23 αυξάνεται κατά µονάδα και οι υπόλοιποι χαρακτήρες θα έχουν διαφορετική ζώνη. Το ίδιο θα συµβαίνει και για τα σύµβολα. Στους παρακάτω πίνακες φαίνεται πως συµβολίζεται κάθε χαρακτήρας είτε είναι ψηφίο είτε Λατινικό γράµµα. Με παρόµοιο τρόπο συµβολίζεται και τα υπόλοιπα σύµβολα. Στους παρακάτω πίνακες ενδεικτικά αναφέρονται ορισµένοι από τους χαρακτήρες του κώδικα ASCII 8 που αντιστοιχούν στους φυσικούς α- ριθµούς από το 0 έως το 255. Είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς µε τον παραπάνω τρόπο µπορούµε να αποθηκεύσουµε µόνο αλφαριθµητικά στοιχεία και όχι αριθµούς που θα µας επιτρέπουν να εκτελούµε αριθµητικές πράξεις. Πριν όµως προχωρήσουµε στον τρόπο µε τον ο- ποίο µπορούµε να αποθηκεύσουµε αριθµούς θα µιλήσουµε πρώτα για τους όρους δεδοµένα (data) και πληροφορίες (information). Σύµβολο Ζώνη /δικό A A1 B A2 C A3 D A4 E A5 F A6 G A7 H A8 I A9 J AA K AB L AC M AD N AE O AF P B0

12 24 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Q B1 R B2 S B3 T B4 U B5 V B6 W B7 X B8 Y B9 Z BA Σύµβολο Ζώνη /δικό Τύποι δεδοµένων Με πολύ απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε πως υπολογιστής είναι ένας επεξεργαστής πληροφοριών. Τί ενοούµε όµως µε τον όρο πληροφορία στην επιστήµη του υπολογιστή; Ο συνήθης ορισµός της πληροφορίας είναι:

13 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 25 Πληροφορία (information) = Δεδοµένα (data) + Δοµή (structure) Για να γίνει πιο αντιληπτή αυτή η σχέση θα αναφέρουµε το εξής παράδειγµα, Θεωρούµε τους παρακάτω αριθµούς 110, 120, 116, 100, 94 Οι οποίοι αριθµοί είναι ορισµένα δεδοµένα (data) χωρίς συγκεκριµένη σηµασία. Αν όµως ορίσουµε µια δοµή (structure) στα δεδοµένα, για παράδειγµα έστω ότι οι παραπάνω αριθµοί παριστάνουν γωνίες σε µοίρες ενός πενταγώνου τότε οι αριθµοί έχουν δοµή και αποκτούν σηµασία, δηλαδή έγιναν πληροφορίες (information). Ο υπολογιστής µάλιστα βασισµένος στις πληροφορίες αυτές µπορεί να σχεδιάσει ένα τέτοιο πεντάγωνο. Πολλές φορές αντί του όρου επιστήµη του υπολογιστή χρησιµοποιούµε τον όρο επιστήµη της πληροφορικής και ο οποίος όρος προέρχεται από τη λέξη πληροφορία µε τον τρόπο που η έννοια αυτή ορίσθηκε παραπάνω.. Τύποι δεδοµένων µπορεί να είναι αριθµοί, γράµµατα, σύµβολα, ε- νέργειες, γεγονότα κτλ. Σε κάθε γλώσσα υπάρχουν διάφοροι τύποι δεδοµένων. H Quick Basic για παράδειγµα χρησιµοποιεί τρία κύρια είδη τύπων δεδοµένων. 1) Συρµοί ή αλφαριθµητικά δεδοµένα που µπορεί να είναι µεταβλητού ή σταθερού µήκους, 2) ακέραιοι που µπορεί να είναι µικροί ή µεγάλοι ακέραιοι αριθµοί, 3) πραγµατικοί αριθµοί (αριθµοί κινητής υποδιαστολής) που µπορεί να είναι απλής

14 26 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ και διπλής ακρίβειας. Η Quick Basic εκτός από τους παραπάνω τύπους δεδοµένων διαθέτει και τις Δοµές Δεδοµένων η δυνατότητα δηλαδή, µε ένα όνοµα µεταβλητής να αναπαριστάνονται πολλές τιµές δεδοµένων. Στο βιβλίο αυτό µας ενδιαφέρει να αναπτύξουµε µόνο τα δεδοµένα των ακεραίων αριθµών και των πραγµατικών. Η διάκριση σε ακέραιους και πραγµατικούς οφείλεται στο διαφορετικό τρόπο µε τον οποίο αποθηκεύονται στον υπολογιστή. 1.5 Αποθήκευση ακεραίων αριθµών 'Έστω ότι εργαζόµαστε σε έναν µικροϋπολογιστή µε χαρακτήρες των 8- bits. Το µεγαλύτερο αριθµό που µπορεί να παραστήσει ένας χαρακτήρας είναι αυτός που σε κάθε δυαδική θέση έχει για ψηφίο το 1 δηλαδή = = 255 δηλαδή ένας χαρακτήρας µπορεί να παραστήσει θετικούς ακεραίους από το 0 έως το 255. Αν θέλουµε όµως µε το ένα χαρακτήρα να παριστάνονται θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί, τότε µια δυαδική θέση πρέπει να διατεθεί για το πρόσηµο. Αν, για παράδειγµα, η πρώτη δυαδική θέση διατεθεί για το πρόσηµο ( µε το 0 συµβολίζεται το (+) και µε το 1 το (-)). τότε ο µεγαλύτερος θετικός ακέραιος αριθµός που µπορεί να αποθηκευθεί θα είναι δηλαδή =127

15 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 27 Ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός είναι ο 127. Η παράσταση του µικρότερου ακέραιου θα είναι το συµπλήρωµα του µεγαλύτερου θετικού ακέραιου δηλαδή του που δεν είναι άλλος από τον 2 8 = -128 Συνήθως στους περισσότερους µικροϋπολογιστές το 1 της πρώτης στήλης εκτός του ότι συµβολίζει το αρνητικό πρόσηµο προστίθεται και σαν µονάδα. 'Έτσι ο µικρότερος αρνητικός ακέραιος είναι Παράδειγµα Θέλουµε να αποθηκεύσουµε το -120 σε έναν χαρακτήρα των 8 bits. Απάντηση Καταρχάς ο αριθµός αυτός µπορεί να αποθηκευθεί γιατί βρίσκεται στο διάστηµα [-128, 127]. Σύµφωνα µε αυτά που είπαµε παραπάνω, επειδή ο αριθµός είναι αρνητικός, θα αποθηκευθεί το συµπλήρωµα του 120. Ο αριθµός 120 σε χαρακτήρα 8- bits γράφεται Το συµπλήρωµά του είναι Από τα παραπάνω φαίνεται ότι το συµπλήρωµα κάθε θετικού ακεραίου αριθµού θα έχει στη πρώτη δυαδική θέση πάντοτε το 1 που θα δηλώνει και το αρνητικό πρόσηµο. Συνήθως για την αποθήκευση των ακεραίων αριθµών χρησιµοποιούνται δύο χαρακτήρες µαζί. Η πρώτη δυαδική θέση διατίθεται για το πρόσηµο. Συνεπώς ο µεγαλύτερος θετικός ακέραιος αριθµός που µπορεί να παρασταθεί θα είναι

16 28 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ δηλαδή =2 15-1=32767 Ο µικρότερος αρνητικός ακέραιος θα είναι το συµπλήρωµα του παραπάνω αριθµού δηλ. οποίος ισούται µε = Ακέραιοι αριθµοί που βρίσκονται εκτός του διαστήµατος [-32768, 32767] δεν είναι δυνατόν να αποθηκευθούν και ο υπολογιστής δίνει µήνυµα "overflow error". 1.6 Αποθήκευση κλασµατικών αριθµών Αν x είναι ένας πραγµατικός κλασµατικός αριθµός, τότε αντιστοιχεί στο x ένας αριθµός x* κινητής υποδιαστολής µήκους n ο οποίος και προσεγγίζει το x στα n πρώτα σηµαντικά ψηφία.. Δηλαδή x*=σα*2 e. Έστω ότι για την αποθήκευση ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής χρησιµοποιούνται συνολικά τέσσερις χαρακτήρες - όπως συνήθως συµβαίνει στις περισσότερες γλώσσες προγραµµατισµού-. Από τους τέσσερις χαρακτήρες ο ένας χρησιµοποιείται για την αποθήκευση του εκθέτη e και οι υπόλοιποι τρεις για τη mantissa α*. Αφού ο e είναι ακέραιος, τότε σύµφωνα µε αυτά που είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο ο e θα µπορεί να παίρνει τιµές -128 e 127 Επειδή επίσης ισχύει 0.1 α*<1 ο µικροϋπολογιστής µπορεί να χειρίζεται αριθµούς που οι τιµές τους βρίσκονται στο διάστηµα x ή ισοδύναµα x Aριθµοί εκτός των παραπάνω ορίων δεν µπορούν να αποθηκευθούν και ο υπολογιστής δίνει το µήνυµα overflow error. ο

17 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 29 Για την αποθήκευση της mantissa α* χρησιµοποιούνται τρεις χαρακτήρες ή ισοδύναµα 24 δυαδικές θέσης µνήµης ή 24 bits. Επειδή το πρώτο ψηφίο της mantissa είναι πάντοτε 1 (σαν σηµαντικό ψηφίο) αυτό θα εννοείται και τη θέση του θα καταλαµβάνει το πρόσηµο. Δηλαδή 0 για (+) και 1 για (-). Παράδειγµα Δίνεται ο αριθµός και ζητούµε να παρασταθεί η αποθήκευσή του σε έναν υπολογιστή που χρησιµοποιεί 4 χαρακτήρες των 8 bits. Απάντηση Χρησιµοποιούµε κατ' αρχάς το πρόγραµµα για να µετατρέψουµε τον αριθµό σε δυαδική έκφραση. Ο αριθµός αυτός είναι ο οποίος σε έκφραση αριθµού κινητής υποδιαστολής είναι x=( ) Στον πρώτο χαρακτήρα θα αποθηκευθεί ο εκθέτης 1001 και στους υπόλοιπους τρεις η mantissa Δηλαδή Το πρώτο στοιχείο της mantissa ενώ είναι 1 βάζουµε το 0 γιατί ο α- ριθµός είναι θετικός. 'Όπως είπαµε για τη mantissa χρησιµοποιούµε τρεις χαρακτήρες. Κάθε χαρακτήρας µπορεί να αποθηκεύσει έναν ακέραιο αριθµό από 0 έως 255. Αν θεωρήσουµε ότι κάθε χαρακτήρας είναι ένα ψηφίο του συστήµατος αρίθµησης µε βάση το 256, τότε η mantissa µπορεί να γραφεί σαν αριθµός του συστήµατος µε βάση το 256. Αν α 1, α 2 και α 3 είναι τα ψηφία που δηλώνουν οι τρεις χαρακτήρες, τότε η mantissa α* γράφεται α*=0.α 1α 2α 3=α α α Αν τώρα χρησιµοποιούµε τη στρογγύλευση σαν είδος αποκοπής, τότε το σφάλµα της στρoγγύλευσης θα είναι το πολύ δηλαδή και ο υπολογιστής µας θα γράφει 7 σηµαντικά δεκαδικά ψηφία προκειµένου να παραστήσει κάποιο αριθµό.

18 30 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Με πιο απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε πως το πλήθος των δυαδικών θέσεων της mantissa είναι 24. Δηλαδή οι θέσεις 25 και πάνω αγνοούνται. Συνεπώς το λάθος στρογγύλευσης θα είναι = Ασκήσεις 1. Για την αποθήκευση ακεραίων αριθµών έστω ότι διατίθενται 4 χαρακτήρες. Να βρεθεί το διάστηµα των ακεραίων αριθµών που µπορεί να αποθηκευθούν χωρίς να έχουµε σφάλµα overflow. 2. 'Έστω ότι για την αποθήκευση ενός αριθµού κινητής υποδιαστολής διατίθενται 5 χαρακτήρες εκ των οποίων ο ένας χρησιµoποιείται για τον εκθέτη. Να βρεθεί ποιό είναι το σφάλµα στρογγύλευσης και πόσο είναι το µήκος του αριθµού κινητής υποδιαστολής στο δεκαδικό σύστηµα. 3. Για το πρόσηµο του αριθµού κινητής υποδιαστολής διατίθεται µια δυαδική θέση και µάλιστα η πρώτη από αυτές που καταλαµβάνει η mantissa. Να δοθεί µια σχηµατική παράσταση για την αποθήκευση των αριθµών και Για την περίπτωση του αρνητικού αριθµού να αποθηκευθεί το συµπλήρωµά του. 4. Να γραφεί ένα πρόγραµµα που να µετατρέπει πραγµατικούς αριθ- µούς σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής µήκους n=7 στο δεκαδικό σύστηµα. Για την αποκοπή των ψηφίων να εφαρµοσθεί η στρογγύλευση. 5. Nα γραφεί ένα πρόγραµµα το οποίο να µετατρέπει δυαδικούς αριθ- µούς σε αντίστοιχους δεκαδικούς. 6. Να µετατραπεί ο ατέρµων δυαδικός κλασµατικός αριθµός x=( ) 2 σε αντίστοιχο δεκαδικό. (Υπόδειξη: Μετατρέποντας τον x σε δυνάµεις του 2 θα έχουµε x= που είναι το άθροισµα απείρων όρων φθίνουσας γεωµετρικής προόδου)

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων

Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακοί Υπολογιστές

Ψηφιακοί Υπολογιστές 1 η Θεµατική Ενότητα : υαδικά Συστήµατα Ψηφιακοί Υπολογιστές Παλαιότερα οι υπολογιστές χρησιµοποιούνταν για αριθµητικούς υπολογισµούς Ψηφίο (digit) Ψηφιακοί Υπολογιστές Σήµατα (signals) : διακριτά στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Τι θα μάθουμε σήμερα: Να αναφέρουμε τον τρόπο αναπαράστασης των δεδομένων (δυαδικό σύστημα) Να αναγνωρίζουμε πώς γράμματα και σύμβολα από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Υπολογιστών Εξάµηνο 4ο-ΣΗΜΜΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07

Ενότητα 4. Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αναπαράσταση δεδοµένων. Αναπαράσταση πληροφορίας. υαδικοί αριθµοί. Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 Ενότητα 4 Εισαγωγή στην Πληροφορική Κεφάλαιο 4Α: Αναπαράσταση πληροφορίας Κεφάλαιο 4Β: Επεξεργαστές που χρησιµοποιούνται σε PCs Χειµερινό Εξάµηνο 2006-07 ρ. Παναγιώτης Χατζηδούκας (Π..407/80) Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 3 Λειτουργίες σε Bits, Αριθμητικά Συστήματα Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Φύση υπολογιστών Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

6. Εισαγωγή στον προγραµµατισµό

6. Εισαγωγή στον προγραµµατισµό 6. Εισαγωγή στον προγραµµατισµό 6.1 Η έννοια του προγράµµατος. 6.2 Ιστορική αναδροµή. 6.2.1 Γλώσσες µηχανής. ΗΜ04-Θ1Α 1. Ένα πρόγραµµα σε γλώσσα µηχανής είναι µια ακολουθία δυαδικών ψηφίων. 5. Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Εισαγωγή στον προγραµµατισµό Η έννοια του προγράµµατος Ο προγραµµατισµός ασχολείται µε τη δηµιουργία του προγράµµατος, δηλαδή του συνόλου εντολών που πρέπει να δοθούν στον υπολογιστή ώστε να υλοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 2

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Ο κύκλος της πληροφορίας Η σηµασία της πληροφορίας Ο υπολογιστής (επεξεργασία-αποθήκευση) 2 Παράσταση δεδοµένων Αριθµητικά συστήµατα εκαδικό σύστηµα 3 υαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ 1 Πράξεις με μπιτ 2 ΑριθμητικέςΠράξειςσεΑκέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ (σελ. 30-34 στο ΜΥ1011Χ.pdf)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ (σελ. 30-34 στο ΜΥ1011Χ.pdf) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ (σελ. 30-34 στο ΜΥ1011Χ.pdf) Για να λύνετε εύκολα ασκήσεις στα συστήματα αρίθμησης θα πρέπει να απομνημονεύσετε τα πρώτα 17 βάρη του δυαδικού συστήματος από 2 0 μέχρι 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Η δήλωση πού δηµιουργεί αποθήκευση τών δεδοµένων ονοµαζεται ορισµός τής µεταβλητής.

Η δήλωση πού δηµιουργεί αποθήκευση τών δεδοµένων ονοµαζεται ορισµός τής µεταβλητής. Από το βιβλίο C: Βήµα-Πρός-Βήµα, Κεφάλαιο 3ο Συγγραφείς: Οµάδα Waite, Mitchell Waite και Stephen Prata Εκδότης: Μ. Γκιούρδας Ανατύπωση σε ηλεκτρονική µορφή: Αλέξανδρος Στεφανίδης 3.4 Τύποι εδοµένων τής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM).

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM). Μνήμες Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η ευκολία αποθήκευσης μεγάλων ποσοτήτων πληροφοριών, είτε προσωρινά είτε μόνιμα Οι πληροφορίες αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Αριθµών, Πληροφορία, και Ψηφιακή Υπολογιστές

Συστήµατα Αριθµών, Πληροφορία, και Ψηφιακή Υπολογιστές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Συστήµατα Αριθµών, Πληροφορία, και Ψηφιακή Υπολογιστές Σελίδες 3-21, 24-26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Περιεχόµενα 1.1 ΨΗΦΙΑΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1.2 Αναπαράσταση Αριθµών 1.3 Αριθµητικές Λειτουργίες 1.4 εκαδικοί Κώδικες

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ

Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-15 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

! Δεδομένα: ανεξάρτητα από τύπο και προέλευση, στον υπολογιστή υπάρχουν σε μία μορφή: 0 και 1

! Δεδομένα: ανεξάρτητα από τύπο και προέλευση, στον υπολογιστή υπάρχουν σε μία μορφή: 0 και 1 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 5-6 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Αναπαράσταση δεδομένων

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Αναπαράσταση δεδομένων ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Αναπαράσταση δεδομένων Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Τύποι δεδομένων 2 Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Πληροφορική

Εισαγωγή. Πληροφορική Πληροφορική Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Αναπαράσταση δεδομένων 2 Τύποι δεδομένων Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση 1. Γενικά Η εξάσκηση στο Εργαστήριο προϋποθέτει τη γνώση των εντολών (τουλάχιστον) τις οποίες καλείται ο σπουδαστής κάθε φορά να εφαρµόσει. Αυτές παρέχονται µέσω της Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa. Πληροφορική 1 Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ 2 Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Κεφάλαιο 1 Κατηγορίες Υπολογιστικών Συστηµάτων Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσει την εξέλιξη των υπολογιστικών συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσειςασκήσεων εργαστηρίου

Λύσειςασκήσεων εργαστηρίου Λύσειςασκήσεων εργαστηρίου Πράξεις κλασµάτων Στην άσκηση αυτή θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα, τη διαφορά, το γινόµενο και το πηλίκο δύο κλασµάτων. Το σύµβολο της πράξης αποθηκεύεταιστηνµεταβλητή $praxi.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα