Zadanie projektov z Optimálneho riadenia 1, r. 2016/17

Transcript

1 Zadanie projektov z Optimálneho riadenia 1, r. 2016/17 Výber témy: Každá dvojica si vyberie ľubovoľnú tému z poskytnutých piatich tém. Zvolenú tému zapíše na hárok zavesený na stene medzi M267 a M268 do štvrtka 10.novembra 2016 do 15:00. Po tomto termíne bude dvojiciam, ktoré takýmto spôsobom nenahlásili želanú tému, priradená téma podľa uváženia vyučujúcich. Pozn.: Vzhľadom na relatívne hodnotenie projektov v rámci jednej témy v časti modifikácie a tvorivosť, môže byť výhodnejšie riešiť tému, ktorú bude riešiť menej dvojíc. Spôsob odovzdania: Písomne vypracované a vytlačené riešenia projektov treba odovzdať dňa 8. decembra 2016 priamo (a iba) na cvičeniach z Optimálneho riadenia. Prvou stranou projektu je vyplnená strana so zadaním vašej témy. V prípade potreby môžete byť vyzvaní na doručenie a prezentovanie vášho matlabovského kódu (vo verzii Matlabu nainštalovanej na M208). Samostatnosť: Každá dvojica pracuje na svojom projekte samostatne. V prípade nápadnej podobnosti riešení rôznych dvojíc tej istej témy môžu byť tieto, vzhľadom na relatívne hodnotenie projektov, penalizované. Zásady hodnotenia: Za projekt je možné získať najviac 20 bodov. Z toho za správne vyriešenie a spracovanie základného zadania úlohy je možné získať najviac 10 bodov; ďalších 10 bodov bude za prípadnú analýzu citlivosti, či modifikácie úlohy, pričom sa popri zmysluplnosti a správnosti hodnotí aj originalita, nápad a tvorivosť odlišujúca daný projekt od ostatných v rovnakej téme.

2 Téma A Optimalizácia hotovosti. Prvá východoslovenská banka, a.s. s centrálou v Prešove chce zabezpečiť dostatok hotovosti vo svojej pobočke v Snine. Pobočka je otvorená každý deň. Na nasledujúcich 10 dní má dohodnuté objemy výberov (v tis. eur) uvedené v Tabuľke. Deň Výber Hotovosť sa dováža z centrály skoro ráno. Jeden dovoz hotovosti stojí 100 eur bez ohľadu na množstvo dovezených peňazí. S ohľadom na bezpečnosť však nie je možné prepravovať naraz viac ako eur. Držanie prebytočnej hotovosti v pobočke z jedného dňa na druhý vedie k strate, pretože ju nemožno uložiť na medzibankovom trhu. Predpokladajme, že daná strata predstavuje 0,02% za deň. Sformulujte v tvare diskrétnej úlohy optimálneho riadenia. Urobte rozbor úlohy (t.j. typ účelovej funkcie, rozmery stavu a riadenia, voľný/pevný koniec, diskrétne versus spojité U, X,...). Riešenie naprogramujte v prostredí Matlab; v prípade potreby diskretizácie uveďte použitý spôsob. Nájdite optimálnu stratégiu dovozu peňazí pre pobočku na obdobie daných 10 dní a výsledky vhodne a prehľadne prezentujte, napr. pomocou tabuliek alebo grafov (ako by ste ich prezentovali manažmentu pobočky). Uveďte optimálne riadenie a jeho odozvu pre počiatočný stav x 0 = (sto tisíc). Uveďte tiež optimálnu hodnotu účelovej funkcie. Preveďte numerické experimenty alebo modifikácie úlohy. Námety na modifikácie a experimenty: môžete urobiť analýzu citlivosti výsledkov na parametre úlohy ako napr. poplatok za dovoz, strata za prebytočnú hotovosť,... Môžete tiež preformulovať úlohu na stochastickú, pričom zaveďte penaltu za nedostatok hotovosti.

3 Téma B Optimálna výmena auta. Živnostník má auto staré x 0 rokov a po dobu 10 rokov chce vždy vlastniť práve jedno auto tej istej značky najviac 5 rokov staré. Nech ψ(x) je hodnota tohto typu auta starého x rokov a nech ϕ(x) sú ročné náklady na údržbu auta x rokov starého. Za predpokladu, že cena áut a náklady na ich údržbu sa nebudú s časom meniť, treba určiť, kedy má staré auto predať a kúpiť úplne nové, aby celkové náklady za 10 rokov boli minimálne. Ďalej predpokladáme, že prípadná výmena auta sa uskutočňuje vždy na začiatku roku, a že na konci desiateho roku auto predá. x ψ(x) ϕ(x) Sformulujte v tvare diskrétnej úlohy optimálneho riadenia. Urobte rozbor úlohy (t.j. typ účelovej funkcie, rozmery stavu a riadenia, voľný/pevný koniec, diskrétne versus spojité U, X,...). Riešenie naprogramujte v prostredí Matlab tak, aby ste získali všetky optimálne riešenia. Určte optimálnu stratégiu výmeny auta. Výsledky vhodne a prehľadne prezentujte, napr. pomocou tabuliek alebo grafov. Určte optimálne riadenia, ich odozvy a optimálne hodnoty účelových funkcií prepočiatočné stavy (i) x 0 = 0, (ii) x 0 = 1, (iii) x 0 = 2. Navrhnite zmysluplnú modifikáciu úlohy a vyriešte ju. Námety na modifikácie: meňte funkcie ψ a ϕ, prípadne na neautonómne, dovoľte vymeniť auto za nie úplne nové. Skúmajte vplyv modifikácií na riešenie.

4 Téma C Zdravé stravovanie. Široký by rád schudol čo najviac počas nasledujúcich 30 dní. Nakoľko však nedokáže krotiť svoj apetít, plánuje sa i naďalej stravovať vo svojej obľúbenej reštaurácii. Reštaurácia varí jedlá podľa vopred vypracovaného jedálneho lístku. V i-ty deň mesiaca je kalorická hodnota ponúkaného jedla e i. Ak Široký zje toto jedlo, priberie e i /30000 kg. Aby schudol, rozhodol sa začať s cvičením. Osobný tréner mu vypracoval plán, podľa ktorého ak bude denne cvičiť h hodín, schudne m h/25 kg, kde m je hmotnosť Širokého pred cvičením. Široký si zakúpil permanentku do fitness centra na 60 hodín, ktorú plánuje presne využiť počas nasledujúceho mesiaca (ďalšiu neplánuje zakúpiť). Vzhľadom na jeho pracovné zaťaženie a telesnú konštrukciu nie je schopný cvičiť viac ako 3 hodiny denne. Súčasná hmotnosť Širokého je 200kg. Sformulujte v tvare diskrétnej úlohy optimálneho riadenia.urobte rozbor úlohy (t.j. typ účelovej funkcie, rozmery stavu a riadenia, voľný/pevný koniec, diskrétne versus spojité U, X,...). Riešenie naprogramujte v prostredí Matlab; v prípade potreby diskretizácie uveďte použitý spôsob. Nájdite optimálnu stratégiu pre Širokého pre e i Výsledky vhodne a prehľadne prezentujte, napr. pomocou tabuliek alebo grafov. Uveďte optimálne riadenie a jeho odozvu pre daný počiatočný stav. Uveďte tiež optimálnu hodnotu účelovej funkcie. Preveďte numerické experimenty a/alebo modifikácie úlohy. Námety na modifikácie: môžete meniť kalorické hodnoty v jednotlivé dni, zmeniť funkciu chudnutia a skúmať, ako závisí riešenie od takýchto zmien

5 Téma D Problém majiteľa baní. Majiteľ má k dispozícii 7 baní a 35 baníkov. V každej bani môže pracovať naraz najviac 7 baníkov. Nech g i (u i ) predstavuje denný zisk z i-tej bane, ak v i-tej bani pracuje u i baníkov. Vzhľadom na obmedzený počet zamestnaných baníkov sa majiteľ baní musí rozhodnúť, koľko baníkov poslať do ktorej bane, aby bol počas jedného dňa cekový zisk zo všetkých baní maximálny. Parametre úlohy sú uvedené v Tabuľke. u i g 1 (u i ) g 2 (u i ) g 3 (u i ) g 4 (u i ) g 5 (u i ) g 6 (u i ) g 7 (u i ) Sformulujte v tvare úlohy optimálneho riadenia. Urobte rozbor úlohy (t.j. typ účelovej funkcie, rozmery stavu a riadenia, voľný/pevný koniec, diskrétne versus spojité U, X,...). Riešenie naprogramujte v prostredí Matlab tak, aby ste získali všetky optimálne riešenia. Nájdite všetky optimálne stratégie, ako prideliť baníkov do baní, aby bol zisk majiteľa maximálny. Výsledky vhodne a prehľadne prezentujte, napr. pomocou tabuliek alebo grafov. Uveďte optimálne riadenia a ich odozvy. Uveďte tiež optimálnu hodnotu účelovej funkcie. Preveďte numerické experimenty alebo modifikácie úlohy. Námety na modifikácie: môžete napr. skúmať riešenia pre rôzne počty baní, baníkov a rôzne tabuľky ziskov a testovať ich vplyv na riešenie, atď.

6 Téma E Výber fondu. Uvažujte nasledujúcu formuláciu úlohy o voľbe fondu pre optimálne zhodnocovanie finančných prostriedkov: max E(ln x k ) x i+1 = 1.05x i u i + r i x i (1 u i ), i = 1,..., k, u i [0, 1], i = 1,..., k, x 0 = a > 0, { r i = 1.15 s pravdepodobnosťou 1/2, 1.00 s pravdepodobnosťou 1/2 i = 1,..., k, Zmysluplne interpretujte úlohu v kontexte rozhodovania medzi uložením finančných prostriedkov v konzervatívnom a v rastovom fonde. Premenným pridajte interpretáciu a odôvodnite účelovú funkciu. Urobte rozbor úlohy (t.j. typ účelovej funkcie, rozmery stavu a riadenia, voľný/pevný koniec, diskrétne versus spojité U, X,...). Riešenie naprogramujte v prostredí Matlab; v prípade potreby diskretizácie uveďte použitý spôsob. Nájdite optimálnu stratégiu výberu fondu pre počet rokov k = 10. Výsledky vhodne a prehľadne prezentujte, napr. pomocou tabuliek alebo grafov. Uveďte optimálnu hodnotu účelovej funkcie pre počiatočný stav x 0 = 100. Vykreslite jednu trajektóriu riadenia a jej odozvy pre nejakú simuláciu náhodnej premennej. Preveďte numerické experimenty alebo modifikácie úlohy. Námety na modifikácie: môžete zmyspluplne zmeniť typ náhodnej premennej, účelovú funkciu (napr. v súvislosti s averziou k riziku) a skúmať, ako sa mení riešenie, atď.