ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSELTHOMSON 4. ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Η χρονική καθυστέρηση συµβαίνει κατά την µετάδοση σε διάφορα φυσικά µέσα και αποτελεί ένα βασικό στοιχείο στην επεξεργασία σηµάτων. Καθυστέρηση σηµάτων µπορεί να επιτευχθεί και µε την βοήθεια των φίλτρων καθυστέρησης τα οποία θα εξετάσουµε στο κεφάλαιο αυτό. Η καθυστέρηση είναι ένα µέγεθος στο πεδίο του χρόνου. Αντίθετα, η ανάλυση των φίλτρων βασίζεται στην µελέτη της απόκρισης στο πεδίο της συχνότητας. Στο Σχ.4. θεωρούµε ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς καθυστέρηση τ. Έστω ότι το σήµα εισόδου ( ω φ v t ( είναι: T( s, το οποίο εισάγει v ( t kcs t + (4 Το σήµα εξόδου προκύπτει ως εξής: [ ( ] v ( t kcs ω t τ + φ ( kcs ωt + φ ωτ ( + kcs ωt φ φ (4 όπου φ ωτ (43 Από τις Εξ.(4 (4 προκύπτει ότι το πλάτος του σήµατος εξόδου v( t είναι το ίδιο µε αυτό του σήµατος εισόδου, v( t, ενώ η φάση του v( t καθυστερεί της φάσης του v( t κατά γωνία φ. Γι αυτό τον λόγο, η γωνία φ λέγεται καθυστέρηση φάσης. v ( t v ( t T(s Σχ. 4. Εκφράζοντας τα σήµατα v( t, v( t στο πεδίο της συχνότητας, µε τα µιγαδικά διανύσµατα, έχουµε V ( jω kφ (44 V ( jω kφ φ 4

2 V ( jω jωτ Άρα ( φ ( ωτ (45 V ( jω Η συνάρτηση µεταφοράς V ( j ω V ( jω είναι: V ( s T ( s V ( s s τ (46 Τα χαρακτηριστικά πλάτους φάσης και καθυστέρησης της T( s δίνονται στο Σχ.4.. φω ( ω Τ ( jω τ 0 κλιση ( τ 0 (α (β ω (γ ω Σχ. 4. Η T( s είναι η ιδανική µορφή συνάρτησης µεταφοράς η οποία εισάγει καθυστέρηση τ στο σήµα εισόδου, χωρίς να παραµορφώνει το πλάτος του σήµατος εισόδου. Γενικά, αν εισόδου τότε το σήµα εξόδου v ( t προκύπτει ως εξής: sτ { } v ( t V ( s v ( t τ Από την Εξ.(45 συνάγεται ότι κάθε συχνότητα ω i του σήµατος µια φάση v t ( v ( t είναι το σήµα (47 πρέπει να καθυστερεί κατά φ i ω i τ. Αν όλες οι συχνότητες του σήµατος v( t καθυστερούν κατ ανάλογα ποσοστά φάσης τότε όλο το σήµα ενδιαφέρει πρωταρχικά η χρονική καθυστέρηση του σήµατος και όχι η καθυστέρηση φάσης µεταξύ τους εισάγουµε το µέγεθος: τω ( d dω φω ( v( t καθυστερεί κατά τ σε σχέση µε το σήµα v( t. Επειδή µας v (t συνολικά ως προς το σήµα (48 Το µέγεθος τ( ω λέγεται καθυστέρηση σήµατος ή καθυστέρηση οµάδας (sigal dlay ή grup dlay. Στην ιδανική περίπτωση, όπου η φάση της συνάρτησης µεταφοράς είναι γραµµική συνάρτηση της συχνότητας, (Εξ.(45, έχουµε: τω ( d ω ( ωτ d τ (49 v t ( 4

3 Βασικός στόχος των φίλτρων καθυστέρησης είναι να δηµιουργήσουµε συναρτήσεις µεταφοράς µε φάση όσο το δυνατόν γραµµή συνάρτηση της συχνότητας, έτσι ώστε η καθυστέρηση σήµατος να είναι κατά το δυνατόν σταθερή. υστυχώς, η ιδανική συνάρτηση µεταφοράς δεν είναι δυνατόν να υλοποιηθεί µε συγκεντρωµένα στοιχεία. Εποµένως, το µόνο που µπορούµε να κάνουµε είναι να προσεγγίσουµε την συνάρτηση Για s ή s τ sτ µε µια ρητή συνάρτηση µεταφοράς της µορφής: N( s T ( s (40 D( s jω η T( s γίνεται µιγαδική και έχει την µορφή: [ ( ] T ( jω R( ω + jx( ω T ( jωxp j T ( jω (4 [ a( j ω ] T ( j ω xp ω θ( (4 όπου ( a ω l T ( jω (43 X ( ω R ( ω και θω ( ta ( ( ω Η καθυστέρηση σήµατος είναι: T j (44 dθ( ω d τω ( ta dω dω X ( ω R ( ω (45 ή ' X( ω R ( ω R( ω X ( ω τω ( R ( ω + X ( ω ' (46 Από την Εξ.(44 προκύπτει ότι η φάση θ( ω είναι τριγωνοµετρική συνάρτηση του ω και εποµένως, έχει µορφή πολύ ακατάλληλη για προσέγγιση. Αντίθετα, η συνάρτηση καθυστέρησης σήµατος, τ( ω, είναι ρητή συνάρτηση του ω και γι αυτό µπορούµε να την επεξεργασθούµε ευκολότερα. Με δεδοµένο οτι το φίλτρο πρέπει να έχει γραµµική συνάρτηση φάσης, η συνάρτηση καθυστέρησης σήµατος πρέπει να είναι σταθερός αριθµός. Η R ( ω είναι άρτια συνάρτηση του ω, ενώ η X ( ω είναι περιττή συνάρτηση του ω. Επιπλέον, είναι γνωστό ότι το γινόµενο δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Επίσης, η παράγωγος µιας άρτιας συνάρτησης είναι µια περιττή συνάρτηση και το αντίστροφο. Με βάση τα παραπάνω, προκύπτει ότι η συνάρτηση καθυστέρησης 43

4 σήµατος, τ( ω, είναι άρτια συνάρτηση του ω. Επί πλέον, η τ( ω είναι πηλίκο δύο πολυωνύµων του ω. Το ζητούµενο, λοιπόν, στα φίλτρα καθυστέρησης είναι να βρούµε µια συνάρτηση τ( ω που να προσεγγίζει µια σταθερά, σε όλη την περιοχή συχνοτήτων που µας ενδιαφέρει. Το πρόβληµα αυτό είναι ακριβώς παρόµοιο µε αυτό που θεωρήσαµε στα φίλτρα Buttrwrth, Chbyshv κ.λ.π, όπου το µέτρο T ( jω απαιτούνταν να προσεγγίζει κάποια τιµή πλάτους στην ζώνη διόδου. Σε εκείνα τα φίλτρα, η φάση της συνάρτησης µεταφοράς δεν µας ενδιέφερε καθόλου κατά την την φάση σχεδίασης. Αντίθετα, στο φίλτρο καθυστέρησης η φάση είναι το βασικό αντικείµενο σχεδίασης. Όσον αφορά την συνάρτηση πλάτους, αυτή πρέπει απλώς να έχει κατωδιαβατά χαρακτηριστικά συχνότητας. 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ Θεωρούµε µια συνάρτηση µεταφοράς T( s της µορφής: a T ( s a + a s+ a s + + a + s... s (47 Η T( s έχει µόνο πόλους (allpl fucti, ενώ τα µηδενικά της κείνται στο άπειρο. Η µορφή αυτή της συνάρτησης εξασφαλίζει κατωδιαβατά χαρακτηριστικά συχνότητας για την συνάρτηση πλάτους. Οι συντελεστές a i της T( s πρέπει να καθορισθούν έτσι ώστε η συνάρτηση T( s να είναι βέλτιστα επίπεδη στη συχνότητα ω0. Η T( s γράφεται επίσης: αο T ( s D ( s + D ( s (48 όπου D ( s a + a s + a s +... ( και D( s a s+ a s +... ( είναι το άρτιο και το περιττό µέρος του παρονοµαστή του T( s. Η T( s γράφεται ως εξής: αο a( D( s D( s T ( s E( s + O( s D ( s + D ( s D ( s D ( s (4 όπου και ad ( s E( s D ( s D ( s ad ( s O( s D ( s D ( s (4 (43 44

5 E( s και O( s είναι το άρτιο και περιττό µέρος της T( s αντίστοιχα. Εποµένως, έχουµε: και T ( jω ad ( jω R( ω R { T ( jω } D ( jω D ( jω ad ( jω X( ω Im { T ( jω } j D j D j ad ( jω j D ( jω D ( jω a D ( jω D ( jω [ ( ω ( ω ] Αντικαθιστώντας τις Εξ.(44(46 στην Εξ.(46 και θέτοντας όπου ω το (44 (45 (46 s/ j έχουµε: τ( s/ j ' ' D( jω D( jω D ( s D ( s D ( s D ( s (47 Κάνοντας τις πράξεις και µε βάση τις Εξ.(49 (40 προκύπτει οτι : ( 3 ( 5 3 aa + aa 3 aa s + aa 5 aa 4 + aa 3 s +... τ( s/ j 4 a + a a a s + a a aa + a s +... ( ( (48 ή τ( ω ( 3 ω ( 5 3 aa + aa aa + aa aa + aa ω ( ω ( 4 3 a + a aa + aa aa + a ω (49 Για και έχουµε: τ ( ω a a + ω και τ ( ω ( a ω aa + aω + aω Κανονικοποιούµε την Εξ.(4 έτσι ώστε τ( 0. Σ αυτή την περίπτωση: (430 aa τ( : a a 0 a (43 Αρα πρέπει a. Αποδεικνύεται ότι για να είναι η καθυστέρηση σήµατος, τω, βέλτιστα a ( επίπεδη για ω0 πρέπει οι συντελεστές του αριθµητή να είναι ίσοι µε τους συντελεστές της αντίστοιχης δύναµης του παρονοµαστή. Αρα, πρέπει: 45

6 aa 3a a a a a 3 5a a 3aa + a a a a aa + a : : : : (43 Οι συντελεστές του παρονοµαστή του T( s υπολογίζονται επιλύοντας το σύστηµα των µη a i γραµµικών διαφορικών εξισώσεων (43. Για οι Εξ.(43 έχουν τη µορφή: a, a a (433 και a 3a Αρα, a a 3. Η συνάρτηση µεταφοράς T ( s είναι: T ( s s Για 3 οι Εξ.(43 είναι: 3 a a, a 3 + 3s a + a 0 (434 (435 a + a a 0 Από τις Εξ.(435 έχουµε a a 5, a 6. Αρα, T 3( s είνα : T 5 ( s s + 6s + 5s (436 Η διαδικασία προσδιορισµού των συντελεστών από το σύστηµα εξισώσεων (43 είναι πολύπλοκη, ιδιαίτερα για µεγάλες τάξεις φίλτρων. Μιά άλλη, πιό προσιτή µέθοδος είναι να αντιστοιχίσουµε τον παρονοµαστή του T(s σε µιά ειδική κλάση πολυωνύµων, τα πολυώνυµα Bssl. Γι αυτό τον λόγο, τα φίλτρα καθυστέρησης λέγονται και φίλτρα BsslThms. Τα φίλτρα BsslThms τάξης έχουν την µορφή: T B ( s B ( 0 ( s (437 όπου T ( j 0 και B ( s είναι ένα πολυώνυµο Bssl τάξης. Είναι γνωστό ότι τα πολυώνυµα Bssl υπακούουν στην επαναληπτική σχέση: ( ( B( s B s + s B ( s (438 46

7 όπου B ( s s+ και B ( s s + 3s+ 3 (439 Για, παρατηρούµε ότι το πολυώνυµο Επίσης για 3, το Το πολυώνυµο B3( s είναι: B ( s είναι ίδιο µε τον παρονοµαστή της Εξ.(434. B ( s s + 6s + 5s+ 5, B3( 0 5 (440 3 B3( s 3 είναι ίδιο µε αυτό του παρονοµαστή της Εξ.(436. Συµπεραίνυµε, λοιπόν, οτι τα πολυώνυµα Bssl προκύπτουν από την λύση του συστήµατος (43. Εποµένως, τα φίλτρα BsslThms έχουν βέλτιστα επίπεδη συνάρτηση καθυστέρησης σήµατος Η συνάρτηση πλάτους του φίλτρου είναι: τ( ω, για ω 0. B ( 0 T( j ω (44 B ( jω Στα Σχ.4.3 και 4.4 δίνονται οι συναρτήσεις φάσης και χρονικής καθυστέρησης των φίλτρων Bssl Thms για διάφορα. Είναι φανερό ότι όσο το µεγαλώνει, τόσο αυξάνει η περιοχή συχνοτητων όπου η φάση είναι γραµµική και η καθυστέρηση είναι σταθερή. τ( 0 τ Μέχρι τώρα θεωρήσαµε µοναδιαία καθυστέρηση για ω 0, τ( 0. Γενικά, αν έχουµε, τότε κλιµακοποιούµε την συχνότητα, κάνοντας την αντικατάσταση : s τ s k s( rad ή ω τ ω k ω ( rad D D όπου k D τ είναι ο συντελεστής κλιµακοποίησης χρονικής καθυστέρησης 47

8 Σχ.4.3 Σχ ΠΟΛΟΙ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΦΙΛΤΡΩΝ BESSELTHOMSON Θεωρούµε ένα πολυώνυµο Bssl : B ( s a + a s+ a s a s + s (44 48

9 Οι συντελεστές των πολυωνύµων Bssl, που προκύπτουν από την επαναληπτική σχέση (438 δίνονται στον Πιν.4.. υστυχώς, σε αντίθεση µε τις αποκρίσεις Buttrwrth και Chbyshv οι πόλοι της απόκρισης Bssl δεν µπορούν να καθορισθούν ακολουθώντας κάποια απλή διαδικασία. Οι πόλοι αυτοί πρέπει να υπολογισθούν αριθµητικά και δίνονται στον Πιν.4. για,...,8. Για ένα ζεύγος µιγαδικών πόλων p k σ k ± jω k οι παράµετροι σχεδίασης ω k, Q k είναι ω ( k k k k σ + ω, Q k ω σ k (443 Τα ω, Q της T ( s δίνονται στον Πιν.4.3 για,...,8. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο B ( s της T ( s συναρτήσει των πόλων δίνονται στον πιν. 4.4 p k Το B( 0 στους Πιν.(43(44 είναι : B( 0 a k k k ω σ οταν περιττο k ω οταν αρτιο B ( s s + a s + + as+ a 0 a 0 a a a 3 a 4 a 5 a 6 a ,395 0,395 4,75, ,35 35,35 6,370 7,35 3, ,07,05,07,05 945,945 70,70 5,975 6, Πιν

10 B( s ( T ( s BsslThms ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j Πιν ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ BESSELTHOMSON Κατά την σχεδίαση των φίλτρων Buttrwrth, Chbyshv κ.λ.π. η τάξη του φίλτρου καθορίζονταν θεωρώντας τις προδιαγραφές και. Στην περίτωση των φίλτρν Bssl a mi Thms δεν είναι δυνατόν να εφαρµοσθεί µια παρόµοια διαδικασία. Αντίθετα, στην προκειµένη περίτωση ακολουθούµε τους παρακάτω κανόνες οδηγούς: Ορίζουµε την εκατοστιαία απόκλιση καθυστέρησης από την κανονικοποιηµένη καθυστέρηση τ sc, η οποία συµβαίνει για κάποια συχνότητα ω, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.5α Ορίζουµε, επίσης, την απόσβεση πλάτους η οποία εισάγεται από το φίλτρο για κάποια συχνότητα ω, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.5β. a max Πόλοι της T( s συναρτήσει των ( ω 0, Q και σ B ( 0 (. 73,

11 3 (. 54, ( ,. ( , ( ,. ( 4. 6, ( , ( ,. ( 549., 03. 0,395 7 ( ,. ( , ( , ,35 8 ( ,. ( ,. ( 6. 0, 0. 7 ( ,.,07,05 Πιν. 4.3 Πολυώνυµα T ( s σε παραγοντοποιηµένη µορφή B( s B ( 0 ( s + ( s + 3s+ 3 3 ( s s ( s ( s s ( s s ( s s ( s s ( s ( s s ( s s ( s s ,395 Πιν

12 Σχ.4.5 Συχνότητα για συγκεκριµένες αποκλίσεις καθυστέρησης ω για % απόκλ. καθυστέρησης ω για 0% απόκλ. καθυστέρησης ω για 0% απόκλ. καθυστέρησης ω για 50% απόκλ. καθυστέρησης Πιν. 4.5(α 4

13 Συχνότητα για συγκεκριµένες αποσβέσεις πλάτους σε db ω για /50dB ω για /0dB ω για /0dB ω για /5dB ω για /db ω για db ω για 3dB Πιν. 5.4(β Με βάση τους κανόνες οδηγούς ( και ( καθορίζουµε την τάξη του φίλτρου Bssl Thms έτσι ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί. Η διαδικασία επιλογής του, γίνεται µε την βοήθεια του πίνακα 4.5 ο οποίος δίνει τις συχνότητες για τις οποίες συµβαίνουν συγκεκριµένες αποκλίσεις καθυστέρησης και απόσβεσης πλάτους. Αφού προσδιορίσουµε το υλοποιούµε τις κατωδιαβατές µονάδες που προκύπτουν µε ένα από τα κατωδιαβατά κυκλώµατα δεύτερης τάξης που περιγράψαµε στο κεφ. 6 (SallKy κ.λ.π.. Η συνάρτηση µεταφοράς T ( s τίθεται στην µορφή : T ( s T ( s T ( s... T ( s k (444 Οπου i T ( s, i,...,k, είναι συναρτήσεις µεταφοράς δεύτερης τάξης. Συνάρτηση µεταφοράς πρώτης τάξης εµφανίζεται όταν περιττό Η καθυστέρηση τ( ω που εισάγει το φίλτρο της Εξ. (444 είναι: τ( ω τ( ω + τ( ω τ k ( ω (445 όπου τ i ( ω και τ k ( ω δίνονται από τις Εξ. (49. Η συνάρτηση πλάτους του συνολικού φίλτρου 43

14 είναι: A ( ω 0lg T ( jω A ( ω A ( ω (446 k Παράδειγµα 4. Να σχεδιασθεί ένα φίλτρο καθυστέρησης BsslThms που να έχει το πολύ % απόκλιση καθυστέρησης στην συχνότητα ω 500 rad /sc και το πολύ 0.5dB απόσβεση στην συχνότητα ω 000 rad /sc. Το φίλτρο πρέπει να εισάγει καθυστέρηση 000µs. ΛΥΣΗ 500 Κανονικοποιούµε την συχνότητα έτσι ώστε ω και έχουµε ω 5.. Θεωρούµε, επίσης, 000 σ αυτή την φάση, ότι τ τ( 0 sc. Από τον Πιν.4.5 παρατηρούµε ότι για 5 έχουµε απόκλιση καθυστέρησης % στην συχνότητα.7. Επίσης, για 5 έχουµε απόσβεση πλάτους 0.5dB για συχνότητες µέχρι 0. rad /sc. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι για 5 οι προδιαγραφές του φίλτρου πληρούνται. Από τους Πιν.(4.(4.4 προκύπτει ότι η συνάρτηση µεταφοράς T 5 (s είναι : ή T T 945 ( s s + 5s + 05s + 40s + 945s ( s ( s s ( s s ( s (447 (448 T ( s T ( s T ( s T ( s 5 3 Από τον Πιν.(4.3 όπως επίσης και την Εξ. (448 έχουµε: ω , Q (449 ω 46., Q 096. (450 σ Από την Εξ.(445 προκύπτει η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης καθυστέρησης σήµατος: τ( ω τ ( ω + τ ( ω + τ ( ω 3 (45 Με βάση τις Εξ.(430β τ ( ω είναι a 4. 7, a

15 ω τ( ω ω ( ω (45 Οµοίως, ω τ( ω 6. ω ( ω (453 Από την Εξ.(430α έχουµε: a 364. τ ( ω ω Η απόκριση πλάτους της T 5( s είναι: T 5 ( jω ω ω 6ω 85 ω 3 9 ω..... ( / + ( / ( + / (454 (455 Για την υλοποίηση των µονάδων (Ι και (ΙΙ χρησιµοποιούµε το κατωδιαβατό κύκλωµα SallKy στρατηγική (. ΜΟΝΑ Α (Ι Από τις Εξ. (6 (63 έχουµε: R R, ω, C , C ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ Από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε k ( r / f ad sc και k D sc. Για αντιστάσεις 0KΩ έχουµε k m 0 4. Αρα, έχουµε τα πραγµατικά στοιχεία: R R KΩ, 0 k C D pf k k , C 34. p F m f ΜΟΝΑ Α (ΙΙ Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως στην µονάδα ( έχουµε: 6 4 k f , k m 0 4, k D , R R 0KΩ C 49. p F, C 8. p F ΜΟΝΑ Α (ΙΙΙ T p 364. ( s s + p s

16 όπου 364, Αν RC. R, C k m 0 4, k f 000, k D 0 4 R 0KΩ, C p F Από την Εξ. (4.5 έχουµε T ( j 5 0. Αρα το κύκλωµα δεν χρειάζεται ρύθµιση κέρδους. Το συνολικό κύκλωµα που προκύπτει δίνεται στο Σχ. 46. ÃœÕ ƒ III œãœõÿ «ÃœÕ ƒ.98 pf V i 0KΩ.74 pf + 0KΩ 0KΩ.34 pf + ÃœÕ ƒ 4.9 pf 0KΩ 0KΩ 4.8 pf + + V Σχ