ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Αριθµητικός Υπολογισµός των Κρίσιµων Εκθετών στο µαγνητικό µοντέλο 2D-Ising µε χρήση µεθόδου Monte Carlo

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αριθητικός Υπολογισός των Κρίσιων Εκθετών στο αγνητικό οντέλο D-Iing ε χρήση εθόδου Monte Carlo ηήτρης Ευαγγέλου Α.Μ.: 934 Επιβλέπων Καθηγητής Κωνσταντίνος Ν. Αναγνωστόπουλος Αθήνα Απρίλιος 7

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στοιχεία θεροδυναικής συστήατος σε επαφή ε δεξαενή θερότητας σε κατάσταση ισορροπίας Το οντέλο Iing Οι ιδιότητες του οντέλου Iing Μικροσκοπική ελέτη της εταβάσεως φάσης.... ΜΕΘΟ ΟΣ MONTE CARLO ιαδικασία Markov Λόγοι αποδοχής Ο αλγόριθος Wolff Τύπος πλέγατος ΛΗΨΗ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΓΕΘΩΝ Ισορροπία Αυτοσυσχετισός Μέθοδος Jackknife Χωρικός συσχετισός σε D Υπολογισός εγεθών Μέθοδοι υπολογισού του ήκους συσχετισού ξ ΙΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ-ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ Γενική διερεύνηση Προσδιορισός Κρίσιης Θεροκρασίας Υπολογισός Κρίσιων Εκθετών στο πρότυπο D-Iing Μέθοδος Απ ευθείας Προσαρογής Καπύλης Μέθοδος Κλιάκωσης Μεγέθους Συστήατος (FSS) Σύγκριση εθόδων Απ Ευθείας Προσαρογής και FSS...6

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το οντέλο D-Iing αποτελεί το πρώτο από τα αγνητικά οντέλα ε ετάβαση φάσεως που επιλύθηκε ποτέ αναλυτικά (Lar Onager 944). Παρά την απλότητά του, έχει συβάλλει τα έγιστα στην κατανόηση των συνεχών εταβάσεων φάσης, και αποτελεί δοικό λίθο για άλλα, περισσότερο ρεαλιστικά οντέλα. Το γεγονός αυτό ας ωθεί να ελετήσουε κάποιες από τις ιδιότητές του χρησιοποιώντας ορισένες υπολογιστικές εθόδους. Στην αρχή, διενεργούε προσοοιώσεις σε διαφορετικά D-Iing συστήατα, συλλέγουε δεδοένα και υπολογίζουε τα βασικά θεροδυναικά εγέθη (Μαγνήτιση, Μαγνητική Επιδεκτικότητα, Ενέργεια, Ειδική Θερότητα) καθώς και το Μήκος Συσχετισού και τη Συνάρτηση Συσχετισού. Έπειτα προσδιορίζουε την Κρίσιη Θεροκρασία του οντέλου, και τους Κρίσιους Εκθέτες ( β, γ, ν, η ) του ε χρήση των υπολογιστικών εθόδων Direct Fitting και της πιο πολύπλοκης Finite Size Scaling. Να υπενθυίσουε εδώ ότι οι αναφορές για τον υπολογιστικό προσδιορισό του εκθέτη η είναι ιδιαίτερα δυσεύρετες, (σε αντίθεση ε τις αντίστοιχες των υπολοίπων Κρίσιων Εκθετών). Τα αποτελέσατα εξετάζονται ως προς τη συφωνία τους ε τα αντίστοιχα της αναλυτικής προσέγγισης όπως και εταξύ τους, οπότε και αναδεικνύεται η υπεροχή της FSS σαν πρακτικότερη έθοδος, συπέρασα που επαληθεύεται και από το πολύ ικρότερο υπολογιστικό φόρτο που απαιτεί. Η εκτέλεση της παραπάνω διαδικασίας χρήζει ιδιαίτερης προσοχής σε ορισένα τεχνικά σηεία προς αποφυγή πιθανών λαθών είτε περιττής κατανάλωσης υπολογιστικών πόρων, και γι αυτό τα τονίζουε. Για να κατανοήσω και να αναπτύξω το παραπάνω θέα εργάστηκε ε υποονή ο επιβλέπων, Επίκουρος καθηγητής Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος τον οποίο και ευχαριστώ, τόσο για την ανάπτυξη του θεωρητικού φοραλισού σε ορισένα κοβικά σηεία της εργασίας, για την εκπαίδευση και τεχνική στήριξη που ου παρείχε πάνω στην αποδοτικότερη χρήση του H/Y, και τη γενικότερα εποικοδοητική για εένα συνεργασία. Τέλος, ευχαριστώ συνολικά το E.M.Π. που ε κατέστησε ικανό να πραγατεύοαι τόσο απαιτητικά πνευατικώς ζητήατα. ηήτρης Ευαγγέλου Αθήνα 6-4-7

4 . ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ.. Στοιχεία θεροδυναικής συστήατος σε επαφή ε δεξαενή θερότητας σε κατάσταση ισορροπίας Θεωρούε σύστηα σταθερής θεροκρασίας Τ και βαθών ελευθερίας N. Ένα τέτοιο σύστηα πορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε κατάσταση από το διακριτό σύνολο καταστάσεων { }, κάθε ια των οποίων καταλαβάνει κάποια ενέργεια E που ανήκει στο διακριτό φάσα ενεργειών { E, E,..., E,...}. Το σύστηα εταβαίνει τυχαία από τη ια κατάσταση στην άλλη ε τρόπο που καθορίζει η δυναική του συπεριφορά. Όταν βρεθεί σε ισορροπία, η (διακριτή) κατανοή πιθανότητας κατάληψης των καταστάσεων είναι η κατανοή Boltzmann: p β E = e, όπου β E Z = e () Z Η Ζ ή συνάρτηση επιερισού πέρα από σταθερά κανονικοποίησης των πιθανοτήτων, περιέχει όλη τη φυσική πληροφορία του συστήατος. Η έση τιή ιας ποσότητας Q ε τιή Q στην κατάσταση, θα δίδεται από τον τύπο: Q = Οπότε για την εσωτερική ενέργεια έχουε: Q p = Z βe < E >= E e = Z Z β Για το τετράγωνο της ενέργειας: e βe Q βe e = Z βe β E >= E e = e = Z Z β Z < E Και για την τυπική της απόκλιση: Z log Z = β β Z β Z Z log =< > < E > = = Z ( Ε) E β β (5) Z Z β Ασχολούαστε τώρα ε την ειδική θερότητα. Από τη θεροδυναική E γνωρίζουε ότι C =. Οπότε: T Όως E β Z C = = ( kβ (6) β T β β ln Z log )( ) = kβ E ( 6) (5) C = = kβ ( < E > < E > ) (7) T () (3) (4) 3

5 δηλαδή συνδέεται ένα ικροσκοπικό έγεθος (στατιστική διακύανση ενέργειας) ε ένα θεροδυναικό (ειδική θερότητα) γεφυρώνοντας τις δύο προσεγγίσεις. Από τα παραπάνω βγαίνει ένα ακόη πολύ σηαντικό συπέρασα που διαπιστώνεται και στο εκτελεστικό κοάτι της εργασίας. Τα εγέθη E, C είναι εκτατά (ανάλογα του N ), όποτε έσω της (7) έχουε: C E < E > < E > kβ N / = = ~ ~ (8) E < E > < E > N N δηλαδή αυξάνοντας τους βαθούς ελευθερίας, ειώνεται η στατιστική σχετική διακύανση της ενέργειας. Ορίζεται επιδεκτικότητα χ του εγέθους X στο συζυγές του πεδίοπαράετρο του συστήατος Y, το έγεθος: < X > χ = (9) Y Η σύζευξη των X,Y εκφράζεται ως επιπλέον όρος XY στην Hamiltonian του συστήατος. Τότε () ( Q = X ) <X>= Z β (... X...) X e Y + log Z = () β Y < X > log Z και ( ) χ = = =... = β ( < X > < X > ) () Y β Y Η γραική αυτή σχέση είναι γνωστή ως θεώρηα γραικής απόκρισης. Η επιδεκτικότητα ορίζεται και τοπικά, για ζεύγος ( Y i, xi ), ιας πλεγατικής θέσης i ε τοπικό πεδίο Y i και εταβλητή απόκρισης x i ως: < x > i χ i = () Yi Μπορεί να γενικευθεί ακόη περισσότερο, ορίζοντας την επιδεκτικότητα της εταβλητής x i της πλεγατικής θέσης i, στο πεδίο Y j της θέσης j: Αντικαθιστώντας < x > i log Z χ ij = = (3) Y j β Yi Y j β (... x Y i +...) i Z = e προκύπτει: χ ij = β βe βe ν βeν x i x j e β x i e x j e = Z Z Z ν () β ( < x x > < x >< x > ) = βg ( i, j ) (4) i j i j C 4

6 Η συνάρτηση (4) ονοάζεται connected correlation (ccf), και δείχνει το βαθό συσχετισού των εταβλητών x i, x j. Όταν διακυαίνονται στην ίδια κατεύθυνση λαβάνει θετική τιή (συσχετισένες), όταν διακυαίνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις λαβάνει αρνητική τιή (αντισυσχετισένες) και όταν λαβάνει ηδενική τιή τότε οι τιές των x, είναι εταξύ τους ανεξάρτητες. i x j Αφού παρουσιάσαε τις γενικές ιδιότητες των συστηάτων ε σταθερά T, N, ήρθε η ώρα να εξειδικεύσουε την συζήτηση στην περίπτωση που ας ενδιαφέρει... Το οντέλο Iing Θεωρούε πλέγα (διακριτό χώρο) {i}, κάθε σηείο του οποίου καταλαβάνεται από ένα pin (αγνητικό δίπολο) { i }, το οποίο πορεί να λαβαίνει ια εκ των τιών {-,+}. Τα pin αλληλεπιδρούν: εταξύ τους επιπλέον όρος -J ij i j στη Hamiltonian του συστήατος, J η δύναη της αλληλεπίδρασης ij ε εξωτερικό αγνητικό πεδίο επιπλέον όρος Hamiltonian, B i η ένταση του πεδίου στη θέση i Εποένως η γενική ορφή της Iing Hamiltonian είναι: J iji j B i i στην H in = B (5) I g Στην εργασία αυτή ελετούε την απλουστευένη περίπτωση: ε i, j γειτονικές πλεγατικές θέσεις και B i = B = : ij i i i J ij = J > H = J B (6) i j < ij> i N Κατάσταση του συστήατος, είναι ια εκ των διαφορετικών δυνατών κατανοών τιών στα pin του πλέγατος. Άρα η συνάρτηση επιερισού: Z = = ± = ± = ± β J i i i j B < ij > i L e (7) N Η αγνήτιση M του συστήατος υπολογίζεται ε αντικατάσταση της Z από την (7) στην () για Y=B, όως βρίσκεται και ευκολότερα υπολογίζοντας τη έση τιή της σε πολλές καταστάσεις του συστήατος: <M>= i (8) Η αγνητική επιδεκτικότητα χ πορεί να υπολογιστεί ε αντικατάσταση της Z από τη (7) στην (), αλλά πιο εύκολα δια του υπολογισού της έσης τιής των διακυάνσεων της αγνήτισης σε πολλές καταστάσεις: i 5

7 χ = β( < M > < M > ) (9) Με παρόοιο σκεπτικό θα υπολογιστούν και τα εγέθη <E>,C. Αν αντικαταστήσουε την γενική H I in g από την (5) στη (3), προκύπτει η pin-pin connected correlation function (ccf): () G C ( i, j) =< i j > < i >< j.3. Οι ιδιότητες του οντέλου Iing > () Το απλουστευένο οντέλο Iing έχει επιλυθεί αναλυτικά σε πλέγατα D και D, ενώ σε 3D πλέγα δεν είναι επιλύσιο. Από τις διαθέσιες λύσεις και τις υπολογιστικές προσοοιώσεις που έχουν γίνει, έχει συναχθεί το συπέρασα ότι κινούενοι στο φάσα των θεροκρασιών, στα πλέγατα D και 3D συντελείται ετάβαση φάσης ενώ αντιθέτως σε D δεν έχουε ετάβαση φάσης. Η ετάβαση είναι από την παρααγνητική φάση όπου m = (υψηλές θεροκρασίες), στη σιδηροαγνητική φάση όπου m (χαηλές θεροκρασίες), και πραγατοποιείται στην περιοχή γύρω από κάποια κρίσιη θεροκρασία T C χαρακτηριστική του αριθού των διαστάσεων και της γεωετρίας του πλέγατος. Η ετάβαση είναι ης τάξεως, διότι η παράετρος τάξης m είναι συνεχής συνάρτηση της θεροκρασίας. Τη λέε παράετρο τάξης διότι η τιή της εκφράζει το κατά πόσο το σύστηα είναι εύτακτο, λαβάνοντας έγιστη τιή (οόρροπα pin φερροαγνητική φάση) και ελάχιστη τιή (τυχαίως προσανατολισένα pin παρααγνητική φάση). Η περιοχή θεροκρασιών γύρω από την T C, ονοάζεται κρίσιη περιοχή. Τα φαινόενα που λαβάνουν χώρα σε αυτήν ονοάζονται κρίσια φαινόενα και αποτελούν το επίκεντρο της ελέτης όσων ασχολούνται ε το οντέλο αυτό. Το ίδιο ισχύει και για εάς. Στο D-πλέγα, τα αποτελέσατα της αναλυτικής λύσης ας αποκαλύπτουν ότι η αγνήτιση m είναι συνεχής συνάρτηση που λαβάνει τιή σε θεροκρασίες κάτω από β και σε όλη σχεδόν την + περιοχή πάνω από β C. Στην περιοχή β C συπεριφέρεται ως: όπου t β β β C C β m ~ t () C = η ανηγένη θεροκρασία (reduced temperature) που εκφράζει τη σχετική απόσταση από το κρίσιο σηείο, και β ο επονοαζόενος κρίσιος εκθέτης της αγνήτισης. Η ενέργεια e επίσης είναι συνεχής συνάρτηση της θεροκρασίας. Η αγνητική επιδεκτικότητα χ αποκλίνει εκθετικά ως εξής: γ χ ~ t () 6

8 όπου γ ο κρίσιος εκθέτη της αγνητικής επιδεκτικότητας, άρα σηειώνει απειρισό για β = β. Η ειδική θερότητα c αποκλίνει λογαριθικά ως: εποένως απειρίζεται στο C β = βc. c ~ lnt (3) e β C β Σχήα.. Τυπική συπεριφορά της Ενέργειας του συστήατος στο φάσα των θεροκρασιών. m β C β Σχήα.. Τυπική συπεριφορά της Μαγνήτισης στο φάσα των θεροκρασιών. 7

9 c β C β Σχήα.3. Τυπική συπεριφορά της Ειδικής Θερότητας στο φάσα των θεροκρασιών. χ β C β Σχήα.4. Τυπική συπεριφορά της Μαγνητικής Επιδεκτικότητας στο φάσα των θεροκρασιών. Η συνάρτηση ccf παρουσιάζει κρίσιη συπεριφορά: r ξ e ( r) ~ d + η G, t <<, r >> (4) r όπου d ο αριθός των διαστάσεων του πλέγατος, η κρίσιος εκθέτης και ξ το ήκος συσχετισού που εκφράζει ένα έτρο του ήκους εντός του οποίου δύο pin θα έχουν έντονα συσχετισένες τιές. Το ήκος συσχετισού ξ, επίσης αποκλίνει στην κρίσιη περιοχή: 8

10 t v ξ ~ (5) ε ν τον αντίστοιχο κρίσιο εκθέτη. Παρατηρούε ότι για t = β = β C, ξ που έχει επίπτωση στην ccf: G, r>> (6) r ( 4) ( r) ~ d +η ξ β C β Σχήα.5. Τυπική συπεριφορά του Μήκους Συσχετισού στο φάσα των θεροκρασιών. G r Σχήα.6. Τυπική ορφή της Συνάρτησης Συσχετισού (ccf). 9

11 log G G( r ) ~ η r G( r ) ~ e r ξ ξ log r Σχήα.7. ιάκριση περιοχών τιών για την ccf ε βάση την υπερισχύουσα συναρτησιακή της συπεριφορά. Οι τιές όλων των κρίσιων εκθετών έχουν υπολογισθεί αναλυτικά για το D-Iing. Επίσης, έχει υποτεθεί ότι και το 3D-Iing οντέλο συπεριφέρεται κατά τον τρόπο που υποδηλώνουν οι σχέσεις ()-(), (4)-(6) στην κρίσιη περιοχή, έτσι έχουν προσδιοριστεί και σε αυτό οι κρίσιοι εκθέτες προσεγγιστικά. Συγκεντρώνουε κάποια αποτελέσατα στον επόενο πίνακα: Φυσική Ποσότητα Κρίσιος Εκθέτης d= (αναλυτικά) Τιή εκθέτη d=3 (προσεγγιστικά) Ειδική Θερότητα Μαγνητική Επιδεκτικότητα α -.4 ±.3 γ 7/4.385 ±.5 Μαγνήτιση β /8.35 Μήκος συσχετισού Συνάρτηση Συσχετισού ν.63 ±. ±.5 η /4.39 ±.4 Πίνακας.. Κρίσιοι εκθέτες σε συστήατα D και 3D Iing (πηγή [6]). Η κρίσιη περιοχή στο θεροκρασιακό φάσα έχει ια πολύ σηαντική ιδιότητα. ιατηρεί ανεξάρτητους τους κρίσιους εκθέτες της από πλήθος χαρακτηριστικών παραέτρων του συστήατος, όπως η γεωετρία του πλέγατος ή η δύναη της αλληλεπίδρασης J. Με άλλα λόγια, ια ολόκληρη οάδα από διαφορετικά οντέλα υπακούει τις ίδιες εξισώσεις () έως (6). Ο όρος που συνοψίζει τα παραπάνω λέγεται παγκοσιότητα (univerality), και η οάδα των συστηάτων ε κοινή κρίσιη συπεριφορά, οάδα παγκοσιότητας (univerality cla).

12 Από αυτό πορούε να ωφεληθούε ως εξής: να εξάγουε αποτελέσατα στο απλούστερο δυνατό από τα οντέλα ιας οάδας, και αυτοάτως θα έχουε χαρακτηρίσει και την υπόλοιπη οάδα στην οποία ενδέχεται να ανήκει και κάποιο πραγατικό φυσικό σύστηα. Για να κατανοήσουε γιατί συβαίνει η παγκοσιότητα, πρέπει να εξετάσουε τα κρίσια φαινόενα ικροσκοπικά..4. Μικροσκοπική ελέτη της εταβάσεως φάσης Η δυναική εξέλιξη του συστήατος χαρακτηρίζεται από δύο τάσεις. Η ία είναι να προσπαθούν τα pin να επηρεάζουν το ένα το άλλο, και οικοδοείται στη στοιχειώδη αλληλεπίδραση ανάεσα σε γείτονες-pin. Η δεύτερη είναι να ην επικοινωνούν εταξύ τους που απορρέει από την απορρόφηση ποσών ενέργειας από την δεξαενή θερότητας ε αποτέλεσα τη διέγερση τους σε καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας από τη δέσια ε τους γείτονές τους. Ας δούε ένα παράδειγα: Θεωρούε D-πλέγα τετραγωνικής συετρίας ε J = και αρχική θεροκρασία T = (ή β = ). Κάθε pin δέχεται όνο την επίδραση των γειτονικών του, που το καθηλώνουν σε οόρροπη ε αυτά κατεύθυνση. Το σύστηα παρουσιάζει πλήρη τάξη που εκδηλώνεται ακροσκοπικά ε εφάνιση έγιστης δυνατής αγνήτισης. Σχήα.8. Το σύστηα για θεροκρασία T=. Όλα τα pin οόρροπα. Αυξάνουε τη θεροκρασία σε T =. (ή β =.476). Για κάθε pin υπάρχει ια ικρή πιθανότητα να αντιτεθεί στην κατεύθυνση που ορίζουν τα γειτονικά του, προκαλώντας αύξηση στην ενέργεια. Αν το επιτύχει, αυτοάτως δηιουργεί ευνοϊκότερες προϋποθέσεις γι αυτά ώστε να το ακολουθήσουν, ε ικρότερο ενεργειακό κόστος, ια και θα έχουν ένα λιγότερο γείτονα-δεσώτη. Η διαδικασία πορεί να συνεχιστεί και σε πιο εξωτερικά στρώατα ως προς το αρχικό pin (ή πυρήνα) δηιουργώντας ια ολόκληρη γειτονιά από ανεστραένα pin που ονοάζουε σήνος (cluter).

13 Σχήα.9 T=.. Τα πρώτα ικρά σήνη σχηατίζονται. Με άλλα λόγια, σήνος είναι ια οάδα pin έσα σε ένα εύτακτο περιβάλλον, που αλλάζει κατεύθυνση προκαλώντας διακύανση στην τιή της ενέργειας και της αγνήτισης του συστήατος. Αυξάνοντας κλιακωτά τη θεροκρασία, το έγεθος των σηνών ολοένα αυξάνεται. Οοίως οι διακυάνσεις στην ενέργεια (εγαλύτερο σήνος εγαλύτερη επιφάνεια-σύνορο ανάεσα στα pin σήνους και τα εξωτερικά γειτονικά περισσότεροι σπασένοι δεσοί), και τη αγνήτιση (εγαλύτερο σήνος περισσότερα αγνητάκια αλλάζουν φορά). Η αύξηση αυτή συνεχίζεται έχρι την κρίσιη θεροκρασία T T =.69 (ή β =.447). = c Σχήα.. T=T C =.69. ε διακρίνεται η φορά της αγνήτισης του συστήατος όταν ήταν παγωένο. Τώρα οι δύο ανταγωνιζόενες τάσεις έχουν ισοδύναη ισχύ: η ια έχει διατηρήσει την τάξη τοπικά όως, στις γειτονίες των pin που δεν άλλαξαν κατεύθυνση όσο και στα σήνη, αλλά η δεύτερη έχει καταφέρει

14 να δηιουργήσει τόσο πολλά και εγάλα σήνη ώστε δε διακρίνεται ποια ήταν η φορά της αγνήτισης όταν επικρατούσε απόλυτη τάξη. Εποένως δεν έχει νόηα να διακρίνουε τις γειτονιές, είναι όλες σήνη. Αυξάνουε και άλλο τη θεροκρασία σε T = 3. (ή β =.36). Τα έγιστου δυνατού εγέθους σχηατισένα σήνη απειλούνται να διαλυθούν από την ίδια τάση που τα δηιούργησε: στο εσωτερικό τους υπάρχει εγάλη πια πιθανότητα κάποιο pin να αναστραφεί συπαρασύροντας και κάποια που το περιβάλλουν, δηιουργώντας ένα νέο ικρότερο σήνος υποβαθίζοντας έτσι το ητρικό. Σχήα.. T=3.. Υπερίσχυση της τάσεως αυτονοίας των pin ε συνέπεια την κατάτηση των εγάλων σηνών σε ικρότερα. Αυξάνοντας κλιακωτά τη θεροκρασία, όλο και περισσότερα pin θα γίνονται πυρήνες σηνών, τα εγέθη των σηνών θα ειώνονται και στο όριο T = (ή β = ) θα έχουε τόσα σήνη όσα και pin ε το ελάχιστο δυνατό έγεθος του ενός pin. Θα επικρατεί απόλυτη αταξία που εκδηλώνεται ακροσκοπικά ε ηδενική αγνήτιση. 3

15 Σχήα.. T=. Κάθε pin λαβάνει τυχαία φορά. εν αλληλεπιδρά ε κανένα άλλο pin. ξ. Το έγεθος των σηνών ποσοτικοποιείται από το ήκος συσχετισού 4

16 . ΜΕΘΟ ΟΣ MONTE CARLO.. ιαδικασία Markov Θεωρούε σύστηα σταθερής θεροκρασίας Τ και βαθών ελευθερίας N. Η πιθανότητα να βρίσκεται τη χρονική στιγή t σε κάποια κατάσταση από το διακριτό σύνολο καταστάσεων { }, είναι w (t). Μπορεί να εταβαίνει από αρχική κατάσταση σε τελική ν ε πιθανότητα P ( ν ) που ονοάζεται πιθανότητα εταβάσεως από την στην ν. Η θεελιώδης παραδοχή που κάνουε είναι ότι το σύστηά ας είναι Μαρκοβιανό που σηαίνει: Οι P ( ν ) είναι σταθερές στο χρόνο Μια P ( ν ) εξαρτάται ονάχα από τα χαρακτηριστικά των καταστάσεων, ν, και όχι από την έως τώρα τροχιά του συστήατος στο χώρο των καταστάσεων. Το σύστηα θα ικανοποιεί τη συνθήκη εργοδικότητας (condition of ergodicity): όταν βρίσκεται σε κάποια κατάσταση, οποιαδήποτε άλλη κατάσταση ν είναι προσβάσιη από αυτό ετά από πεπερασένο αριθό εταβάσεων. Ακόη θα ισχύει: dw dt = [ wν ( t) P( ν ) w ( t) P( ν )] v ή ότι σε χρονική στιγή t, ο ρυθός άφιξης του συστήατος στην κατάσταση είον το ρυθό αναχώρησής του από την κατάσταση σε κάποια άλλη, ισούται ε το ρυθό εταβολής της πιθανότητάς του να βρίσκεται στην κατάσταση τη χρονική στιγή t. Οποιαδήποτε χρονική στιγή, το σύστηα πρέπει να είναι σε κάποια από τις καταστάσεις { }: () w ( ) = () και να πραγατοποιεί νέα ετάβαση σε κατάσταση ν, χωρίς να αποκλείεται η τρέχουσα κατάσταση : P ( ν ) = (3) ν Η εξίσωση () είναι ης τάξεως ε πραγατικές παραέτρους P ( ν ), οι w (t) λαβάνουν τιή ανάεσα σε και σύφωνα ε τη () και όπως πορεί να αποδειχθεί, στο όριο t : t [ p P( ν ) p P( )] = ν ν (4) v p = (5) 5

17 Οι εξισώσεις (4),(5) υποδηλώνουν ότι το σύστηα έχει περιέλθει σε δυναική ισορροπία, δηλαδή καταλαβάνει καταστάσεις σύφωνα ε την κατανοή πιθανότητας p ανά σταθερή χρονική περίοδο, και όχι για κάθε t (limit cycle). Ως συνέπεια, δεν είναι δυνατό να αναπαράγει την κατανοή πιθανοτήτων Boltzmann όταν η περίοδος αυτή είναι διάφορη του. Θέτουε την επιπλέον ικανή (όχι αναγκαία) συνθήκη λεπτοερούς ισοζύγισης (detailed balance condition): p P( ν ) = p P( ν ) (6) ν ή ισοδύναα ότι το σύστηα είναι συετρικό στο ετασχηατισό t t. Πλέον το σύστηα βρίσκεται σε ισορροπία και υπόκειται στη στατιστική Boltzmann: p β E = e, όπου β Z = e (7) Z E Τότε έχουε: (6) 7) P( ν ) = e ν ( P( ) β ( Eν E ) (8) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν θέλουε να φτιάξουε ια Μαρκοβιανή διαδικασίααλγόριθο, η οποία σε σύστηα θεροκρασίας T, βαθών ελευθερίας N, ε δυνατές καταστάσεις { }, να ενεργοποιεί ια κατάσταση ν δοθείσης καταστάσεως κατά τρόπο ώστε για άπειρες τέτοιες εταβάσεις η συχνότητα εφάνισης κάθε κατάστασης να συγκλίνει στην προβλεπόενη από τη στατιστική Boltzmann, αρκεί να επιλέξουε πιθανότητες ετάβασης P ( ν ) που να υπόκεινται στις σχέσεις (3), (8) και να ικανοποιούν τη συνθήκη εργοδικότητας.... Λόγοι αποδοχής Συνηθίζεται να αναλύουε τις πιθανότητες ετάβασης: P ( ν ) = g( ν ) A( ν ) (9) όπου: g ( ν ) η πιθανότητα επιλογής της ετάβασης (Selection Probability) ή, δεδοένης αρχικής κατάστασης, η πιθανότητα να επιλεγεί από τη διαδικασία ως υποψήφια τελική κατάσταση η ν, και A ( ν ) ο λόγος αποδοχής της ετάβασης (Acceptance Ratio) ή, δεδοένου ότι επιλέχθηκε η ετάβαση ν, η διαδικασία θα την πραγατοποιήσει ε πιθανότητα A ( ν ). Συνεπώς: (8) 9) g( ν ) A( ν ) g ν A ν ( β ( Eν E ) e = ( ) ( ) () A( ν ) Παρατηρούε ότι ο λόγος πορεί να λάβει οποιαδήποτε τιή A( ν ) από έως, που σηαίνει ότι είαστε σε θέση να επιλέξουε όποιο ζεύγος g ( ν ), g ( ν ) επιθυούε. Αφότου το κάνουε, πρέπει να 6

18 εγιστοποιήσουε και τις αντίστοιχες πιθανότητες A ( ν ), A ( ν ) ώστε το σύστηα να κάνει εταβάσεις συχνότερα, άρα να εξελίσσεται ταχύτερα. Γνωρίζουε ότι λαβάνουν τιή από έως, οπότε συφέρει να θέσουε τη εγαλύτερη από τις δύο ίση ε και την ικρότερη όσο πρέπει ώστε να ικανοποιείται η (). Τα παραπάνω είναι ένας εύκολος τρόπος να δηιουργήσουε αλγόριθο ε τις επιθυητές πιθανότητες ετάβασης. Η απ ευθείας εύρεσή του είναι γενικώς δύσκολη διαδικασία. Το τίηα που πληρώνουε είναι η ενδεχόενη καθυστέρηση στην εξέλιξη του συστήατος λόγω απόρριψης κάποιων από τις εταβάσεις.... Ο αλγόριθος Wolff Είναι ο αλγόριθος που χρησιοποιούε στην εργασία ας. Τα βήατά του είναι τα εξής: I. ιάλεξε τυχαία ένα pin από το πλέγα Το pin αυτό είναι ο πυρήνας ενός νέου σήνους. II. Για κάθε γειτονικό pin, έλεγξε αν είναι οόρροπο και πρόσθεσε το στο σήνος ε πιθανότητα P add. III. Για κάθε pin που προστέθηκε, επανάλαβε το προηγούενο βήα και στα γειτονικά του έως ότου να έχουν εξετασθεί για συπερίληψη όλα τα γειτονικά στο σήνος pin, αντιετωπίζοντας ως εξής δύο ιδιαίτερες περιπτώσεις: Spin που απερρίφηθη σε προηγούενη επανάληψη, πορεί να επανεξεταστεί σε επόενη αν αυτό προκύψει. Spin που συπεριλήφθηκε σε προηγούενη επανάληψη, δεν θα το επανεξετάσουε σε επόενη αν αυτό προκύψει. IV. Ανάστρεψε το σήνος. Πρέπει να προσδιοριστεί η φαίνονται στο σχήα: P add. Έστω οι δύο καταστάσεις, ν που 7

19 Σχήα.. Καταστάσεις (αριστερά), ν (δεξιά) και ένα σήνος για αναστροφή. Το σύστηα θα κάνει τη ετάβαση ν αν αναστρέψουε το σήνος που περικλείει η συνεχής γραή. Αντίστοιχα και για τη ετάβαση ν. Έστω πραγατοποιούε τις δύο εταβάσεις ε τρόπο ώστε το αρχικό pin-πυρήνας και η πορεία ε την οποία προστίθενται τα pin στο σήνος να είναι κοινά. Τότε αν m το πλήθος των δεσών που σπάνε κατά την ν και n το πλήθος των δεσών που σπάνε κατά την ν, θα ισχύει g ( = ) m ν ) A( P add και g ( = ) n ν ) A( P add όπου A εξαρτάται από την πορεία δηιουργίας του σήνους και πιθανότητα να ην προστεθεί κάποιο pin σε αυτό. Τότε: Padd η m n A( ν ) β ( Eν E ) ( ) ( Padd ) = e () A( ν ) Επίσης ισχύει E ν E = J ( m n) () διότι κατά την ν, για κάθε δεσό που σπάει η ενέργεια αυξάνεται κατά + J και για κάθε έναν που δηιουργείται ειώνεται κατά J οπότε: ( ) ) ( A( ν ) A( ν ) βj =[ e P ] n ( ) m add (3) βj Θέτουε P add e ώστε το δεξιό έλος να είναι σταθερό (ίσο ε ) ανεξάρτητο από τις παραέτρους της ετάβασης, και επιλέγουε A ( ν ) =, ν ως βέλτιστη επιλογή. Ο αλγόριθος ικανοποιεί τη συνθήκη της εργοδικότητας, διότι, δεδοένης της πιθανότητας για κάθε pin να επιλεγεί ως πυρήνας σήνους ενός έλους ε σκοπό την αλλαγή της φοράς του, θα υπάρχει και η δυνατότητα κατάλληλης διαδοχής τέτοιων εταβάσεων που θα οδηγήσουν το σύστηα στην επιθυητή κατάσταση σε πεπερασένο πλήθος βηάτων. 8

20 .. Τύπος πλέγατος Έχοντας αποφασίσει σε πόσες διαστάσεις εκτείνεται το οντέλο ας, πρέπει να επιλέξουε τα γεωετρικά του χαρακτηριστικά και τις συνοριακές του συνθήκες. Ενδεικτικές περιπτώσεις συετρίας πλέγατος σε D είναι η τετραγωνική (quare), η τριγωνική (triangular), η εξαγωνική (honeycomb) κλπ, ενώ σε 3D η κυβική (cubic), η πλεύροκεντρωένη κυβική (fcc), η βάση-κεντρωένη κυβική (bcc) κλπ. Η τελική ας επιλογή δεν θα επηρεάσει καθόλου τα εξαγόενα φυσικά αποτελέσατα διότι, όπως έχουε αναφέρει η παγκοσιότητα ως ιδιότητα του οντέλου οδηγεί σε κοινή κρίσιη συπεριφορά για συστήατα διαφορετικής γεωετρίας ε ίδια διάσταση πλέγατος. Επίσης περιορισοί στη νήη και τον χρόνο εκτέλεσης δε ας επιτρέπουν να προσοοιώσουε συστήατα ε πολύ εγάλο πλήθος βαθών ελευθερίας, εποένως το πλέγα ας θα έχει πεπερασένο πλήθος πλεγατικών σηείων. Μπορούε όως να προσεγγίσουε τη συπεριφορά του απείρου συστήατος από ένα πεπερασένο, εφαρόζοντας περιοδικές συνοριακές συνθήκες, καθιστώντας έτσι όλα τα πλεγατικά σηεία ισοδύναα. Οι δηοφιλέστερες περιπτώσεις περιοδικών σ.σ. είναι τοροϊδείς σ.σ. και ελικοειδείς σ.σ. Τις αποτυπώνουε σε τετραγωνικά πλέγατα 6 πλεγατικών θέσεων: 9

21 Σχήα.. Τοροϊδείς συνοριακές συνθήκες (πάνω) και ελικοειδείς συνοριακές συνθήκες (κάτω), σε τετραγωνικό πλέγα γραικής διάστασης L=5. Σε τοροϊδείς σ.σ. κινούενοι οριζόντια η κάθετα, συναντούε ανά σταθερή περίοδο βηάτων ίση ε N την πλεγατική θέση από την οποία ξεκινήσαε. Σε ελικοειδείς σ.σ. κινούενοι κάθετα συναντούε την αρχική ας θέση ανά σταθερή περίοδο βηάτων N, όως οριζόντια θα πρέπει να κάνουε N βήατα συν προς τα πάνω αλλοιώνοντας ελαφρά την περιοδικότητα. Με το τρικ αυτό επιτυγχάνεται η γρηγορότερη προσπέλαση στις τιές των pin από τον υπολογιστή, όως εισάγεται

22 και ένα ικρό συστηατικό σφάλα ε βασικότερη επίπτωση στον υπολογισό της ccf. Πιο συγκεκριένα, έστω θέλουε να προσδιορίσουε την G () δια του συσχετισού στα ζεύγη 9, σε οριζόντια διεύθυνση και 9,4 σε κάθετη. Πρέπει να ισχύει G () = < 9 > < 9 >< >= < 94 > < 9 >< 4 > αθροίζοντας σε όλες τις δυνατές καταστάσεις. Ταυτόχρονα όως έχουε > < >< > = G (3) και > < >< >= G ( ) άρα < < 9 9 G ( 3) = G( ) που δεν ισχύει. Βέβαια, το σφάλα αυτό είναι ανεπαίσθητο, ιδιαίτερα για εγάλα πλέγατα ώστε υπερκαλύπτεται από το στατιστικό, ια και τα διαθέσια δείγατα είναι πολύ ικρότερα από N τις καταστάσεις, τόσο ικρά που πρακτικά G( r, hor ) G( r, ver ) πάντοτε. ικαιολογείται έτσι η ευρεία χρήση των ελικοειδών σ.σ. Στην εργασία ας επιλέξαε D τετραγωνικό πλέγα ε τοροϊδείς σ.σ.

23 3. ΛΗΨΗ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 3.. Ισορροπία Έχουε αναφέρει ότι ένα σύστηα θα βρεθεί σε ισορροπία αφότου εξελιχθεί για εγάλο χρονικό διάστηα ώστε οι πιθανότητες w (t) να συγκλίνουν σε σταθερές τιές p, που είναι οι πιθανότητες Boltzmann. Έκτοτε, θα βρίσκεται τον περισσότερο καιρό σε ένα ικρό υποσύνολο καταστάσεων των οποίων η ενέργεια, η αγνήτιση και η ccf θα λαβάνουν τιές γύρω από ια σταθερή-έση τιή και ε ικρή διασπορά. Η τελευταία πρόταση αποτελεί κριτήριο για να αποφανθούε αν το σύστηα έχει ισορροπήσει. Παραδείγατος χάρη, για πλέγα γραικής διάστασης L = ( N = ), αρχική κατάσταση παγωένη (όλα τα pin οόρροπα) και σε θεροκρασία β =. 3, ια δυνατή εξέλιξη των εγεθών m, e, G (), G ( L /4 + ), G ( L / + ) είναι:.8 e m G() G(L/4+) G(L/+).6 Fuiko Megeqo Wolff cluter weep ιάγραα 3.. Εξισορρόπιση συστήατος ε L=, β=.3 και παγωένη αρχική κατάσταση. Ως ονάδα χρόνου χρησιοποιούε ια πλήρη επανάληψη του αλγορίθου Wolff, που συνεπάγεται τη δηιουργία ενός σήνους (κατά Wolff) και την αναστροφή του. Παρατηρούε ότι για t = 5 και άνω, όλα τα εγέθη διακυαίνονται γύρω από ια σταθερή τιή. Άρα, από τη στιγή αυτή κι έπειτα (για άπειρο χρόνο), το σύστηα βρίσκεται σε ισορροπία.

24 3.. Αυτοσυσχετισός Έστω, θέλουε να λάβουε ετρήσεις ενός εγέθους του συστήατος σε συγκεκριένες χρονικές στιγές. Η ποσότητα της συνολικής πληροφορίας που θα αποκοίσουε θα εξαρτηθεί από το βαθό ανεξαρτησίας εταξύ των λαβανόενων τιών, η οποία απορρέει από το βαθό ανεξαρτησίας εταξύ των αντίστοιχών τους καταστάσεων. Οι καταστάσεις τείνουν να ην συσχετίζονται όταν εσολαβεί εγάλος αριθός ενδιάεσων εταβάσεων οπότε η τελική κατάσταση δεν θυίζει την αρχική. Εποένως συφέρει η λήψη κάθε έτρησης να γίνεται ανά χρονική περίοδο αρκετή ώστε το σύστηα να προλαβαίνει να αποαυτοσυσχετίζεται. Η περίοδος αυτή προσδιορίζεται από τη συνάρτηση αυτοσυσχετισού (time diplaced autocorrelation function) της υπό ελέτη ποσότητας, η διακριτή ορφή της οποίας είναι: χ ( t) = t max t tmax t a( t') a( t' + t) t' = tmax t tmax t t' = a( t') tmax t tmax t t' = a( t' + t) () όπου a (t) η τιή του εγέθους τη χρονική στιγή t ε t tmax και t max η τελευταία στιγή όπου λάβαε έτρηση. Η εκτίηση της χ (t) βελτιώνεται όταν t max διότι η ολοκλήρωση γίνεται σε εγαλύτερο διάστηα. Συνήθως αποδεικνύεται ότι: χ( t) ~ e t / τ για t >> () όπου τ ό χρόνος συσχετισού, ή έτρο του χρονικού ήκους εντός του οποίου δύο ετρούενες τιές θα είναι έντονα συσχετισένες. Για παράδειγα, ο αυτοσυσχετισός των εγεθών m, G (), G ( L / 4 + ), G ( L / + ) σε σύστηα ε L = και β =. 365 (ε χρήση αλγορίθου Wolff) αποτυπώνεται στο διάγραα: 3

25 m G() G(L/4+) G(L/+).8.6 c Wolff cluter weep ιάγραα 3.. Αυτοσυσχετισός βασικών εγεθών σε σύστηα ε L=, β=.365. Παρατηρούε ότι οι καπύλες ξεκινούν από έγιστη τιή, βαίνουν φθίνουσες, και τείνούν ασυπτωτικά στον οριζόντιο άξονα για εγάλα t t /τ όπως η e. Ο χρόνος συσχετισού χαρακτηρίζει εκτός από τη φυσική του συστήατος και τη δυναική του συπεριφορά. Απλός τρόπος να υπολογιστεί, είναι προσδιορίζοντας την τετηένη του σηείου στο οποίο η καπύλη έχει πέσει στο e της αρχικής της τιής. Ο συσχετισός σβήνει για χρόνους εγαλύτερους από τ, που σηαίνει ότι αν επιλεγεί ως η περίοδος λήψης των ετρήσεων, το τελικό σετ θα περιλαβάνει ασυσχέτιστες τιές. Όως δεν είναι πάντοτε γνωστός ο χρόνος αυτός, εποένως καλό θα ήταν να είχαε κάποιο τρόπο να προσδιορίσουε την αβεβαιότητα της έσης τιής του δείγατός ας, η οποία θα περιείχε την επιπλέον συνιστώσα του αυτοσυσχετισού των τιών του. Την δουλεία αυτή πορεί να υλοποιήσει η έθοδος υπολογισού σφαλάτων jackknife Μέθοδος Jackknife Έστω { a i } το σύνολο n ετρήσεων που ελήφθησαν ε περίοδο t (σε βήατα του αλγορίθου Wolff). Υπολογίζουε τη έση τιή a, του συνόλου { a i } i. Ακόλουθα υπολογίζουε τη έση τιή a του συνόλου { a i }, και συνεχίζοντας καταλήγουε ε ένα σύνολο { a i } n έσων όρων. i Υπολογίζουε και το έσο όρο όλων των ετρήσεων a, και το σφάλα jackknife υπολογίζεται ως: n δα = ( a i a ) (3) i = 4

26 3.3. Χωρικός συσχετισός σε D Έχουε αναφέρει ότι στο σύστηα δηιουργούνται σήνη ε τυπική ακτίνα ξ που εξαρτάται από τη θεροκρασία. Έτσι, σε περιοχή ακτίνας ξ γύρω από κάποιο κεντρικό pin, η πιθανότητα ταύτισης της τιής κάθε άλλου pin ανήκοντος στην περιοχή αυτή ε την τιή του κεντρικού pin είναι εγάλη. Αυτή η τοπική οοιογένεια στο pin οδηγεί σε οοιογένεια κι άλλων εγεθών παράγωγών του pin, όπως του i j. Ας δούε ένα παράδειγα. Έστω δύο pin, A A που απέχουν εταξύ τους r >ξ όπως δείχνει το σχήα: ξ A A B B A r Σχήα 3.. Ο συσχετισός των ζευγών συσχετισό ανάεσα στα γινόενα και, A B και A A, A B. B B, οδηγεί σε Λαβάνουε την πρώτη έτρηση a = A A. Έστω δύο ακόα pin, B B που απέχουν επίσης r εταξύ τους και βρίσκονται κοντά στα, A A αντίστοιχα. Η πιθανότητα να ισχύει B = A είναι εγάλη (πυκνές καπύλες ίσης πιθανότητας στο σηείο του B ) όπως και για το ζεύγος B, A. Εποένως η έτρηση a = B B είναι πολύ πιθανό να ταυτίζεται ε την a, δηλαδή a, a συσχετισένες. Ανάλογα συπεράσατα ισχύουν και όταν r < ξ οπότε οι καπύλες ίσης πιθανότητας αλληλεπιδρούν. Έστω τώρα τα, B B βρίσκονται ακριά ως προς τα, A A : 5

27 ξ A A A B B Σχήα 3.. Ο η-συσχετισός των ζευγών r ανεξάρτητες τιές A A και, A B και. B B, A B, οδηγεί σε Ο συσχετισός εντός των ζευγών, A B και, A B είναι ηδενικός, άρα, ε βάση τα παραπάνω, οι ετρήσεις a = A A και a = B B είναι ανεξάρτητες εταξύ τους. Τέλος, στην περίπτωση του σχήατος: ξ A B A A r r B Σχήα 3.3. Ο η-συσχετισός του ζεύγους τιές A A και, A B B B., οδηγεί σε ανεξάρτητες B συσχετισένο ε A, αλλά B η-συσχετισένο ε A δηλαδή διακυαίνεται ανεξάρτητα από το A (και από το A φυσικά). Άρα το γινόενο B διακυαίνεται ανεξάρτητα από το B A A, δηλαδή a,a ανεξάρτητες. 6

28 Εποένως για να λάβουε όσο το δυνατό πιο ανεξάρτητες ετρήσεις i j, ε r την εταξύ τους απόσταση: Επιλέγουε pin k οοιόορφα στην έκταση του πλέγατος ε ελάχιστη απόσταση ξ εταξύ τους, Για κάθε pin k ετράε: k k οριζόντια διεύθυνση από το k, και σε κάθετη διεύθυνση από το k., hor ε k hor k k ver, να απέχει r σε, ε k, ver να απέχει r Υπολογίζουε το έσο όρο και το σφάλα ε τη jackknife. Το σχήα απεικονίζει τα παραπάνω: r k k, hor l l, hor k, ver l, ver ξ Σχήα 3.4. Ενδεδειγένος τρόπος λήψης ετρήσεων ( i j ) r από κατάσταση του συστήατος, ε σκοπό τη εγιστοποίηση της ανεξαρτησίας τους. Κατά τον τρόπο αυτό υπολογίσαε την ccf υπό τη διαφορά ότι χωρίζαε το πλέγα σε περιοχές τυπικής διάστασης ικρότερης από ξ σε ορισένες θεροκρασίες, κρίνοντας ότι θα αποκοίσουε περισσότερη πληροφορία ε αρκετές συσχετισένες ετρήσεις απ ότι ε λιγότερες ανεξάρτητες Υπολογισός εγεθών Για να υπολογίσουε ια σειρά από εγέθη σε σύστηα D τετραγωνικού πλέγατος γραικής διάστασης L και θεροκρασίας β : I. Oρίζουε αυθαίρετα στο σύστηα ια αρχική κατάσταση και το αφήνουε για αρκετό χρόνο να εξελιχθεί έχρι να ισορροπήσει. II. Aνά τακτά χρονικά διαστήατα παίρνουε ετρήσεις των εγεθών που επιθυούε. Αναφέρουε τα εγέθη αυτά: Ενέργεια/δεσό: e = N < i, j > i j (4) 7

29 όπου <i,j> αναφέρεται σε γειτονικά pin που θα συνεισφέρουν ένα όρο στο άθροισα, και N = L οι βαθοί ελευθερίας. Συνολικά οι δεσοί είναι N, εξ ου και ο παρανοαστής. Μαγνήτιση/pin: m = i (5) N i Αποσυνδεδεένη συνάρτηση συσχετισού (dcf): i j ( r ) = kl (6) N of _ couple ( k, l ) r όπου ( k, l) r αναφέρεται σε πολλά διαφορετικά ζεύγη pin ε εταξύ τους απόσταση r και N _ το πλήθος τους. of couple III. Υπολογίζουε τους έσους όρους που θα αποτελέσουν και τις τελικές ας εκτιήσεις. Ο έσος όρος της dcf, είναι η ποσότητα < i j >. Αφαιρώντας της < m > ( =< i >< j > ), παίρνουε τη ccf. IV. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσατα, υπολογίζουε τα παράγωγα εγέθη: Ειδική θερότητα/pin: [ < e > < ] Μαγνητική επιδεκτικότητα/pin: c = 4 β e > (7) [ < m > < > ] χ = β m (8) Μήκος συσχετισού: ιαθέτουε τρεις τρόπους υπολογισού του, στους οποίους αφιερώνουε την επόενη παράγραφο Μέθοδοι υπολογισού του ήκους συσχετισού ξ Το ξ εξάγεται από τη ccf στην εκάστοτε θεροκρασία. Από την ακριβή λύση του οντέλου γνωρίζουε ότι συνδέονται εταξύ τους ως: κοντά στη β C, ενώ επί της β C : διότι lim ξ =. β βc r ξ e ( r) ~ d + η G, t <<, r >> (9) r G ( r) ~, r>> () d +η r Όπως φαίνεται, δεν είναι δυνατόν να έχουε ξ σε πεπερασένων διαστάσεων σύστηα, αλλά ξ L. Εποένως ο τύπος (9) θα εφαρόζεται σε όλη τη κρίσιη περιοχή. Ο παραπάνω περιορισός στην τιή του ξ, είναι ια από τις πολλές συνέπειες που αντιετωπίζουε όταν 8

30 δουλεύουε σε πεπερασένα συστήατα, που τις ονοάζουε finite ize effect (fe). Η ccf όπως τη ετρήσαε για L = 4, β = είναι: G ιάγραα 3.3. Συνάρτηση συσχετισού συστήατος ε L=4, β=.4373 και περιοδικές συνοριακές συνθήκες. r Παρατηρούε ότι φθίνει ασυπτωτικά στο διάστηα [, L ], αλλά ετά ανέρχεται ε τροχιά κατοπτρικώς συετρική στην προηγούενη στο L διάστηα [, L], που δεν το προβλέπει η (9). Η αιτία είναι ότι αν L τοποθετήσουε δύο σηεία του πλέγατος σε απόσταση d >, λόγω τοροϊδών σ.σ. θα έχουν πλησιάσει σε απόσταση L d < L. Έτσι, κάθε έτρηση i j (d) θα ταυτίζεται ε τη i j ( L d), που συνεπάγεται ότι G( d) = G( L d) *. Αυτή είναι ια από τις συνέπειες όταν εργαζόαστε σε περιοδικά πλέγατα, που τις ονοάζουε periodic boundary effect (pbe). Στο εξής λέγοντας fe, θα συπεριλαβάνουε αζί τα fe και τα pbe. Ας υπολογίσουε τώρα το ξ. Οι τρόποι που θα εξετάσουε είναι τρείς: * Η ισότητα ισχύει αν αθροίσουε σε όλες τις καταστάσεις του συστήατος, ειδάλλως τα έλη θα είναι περίπου ίσα. 9

31 I. Απ ευθείας προσαρογή καπύλης (direct fitting): Προσαρόζουε τη r / ξ ( L r )/ ξ e e βέλτιστη καπύλη f ( x) = c + + correction r L r τριών η η ( ) παραέτρων ξ,η, c και ιας παραέτρου-διόρθωσης correction, σε όλα τα σηεία της ccf πλην του πρώτου ( r =, G() = ± ) (σταθερό σε όλες τις θεροκρασίες), διότι δεν ανταποκρίνεται στην οριακή σχέση (9) lim + G( r ) =. Η προσθήκη της correction παραβαίνει τον r θεωρητικό φοραλισό αλλά βελτιώνει την προσαρογή εξαλείφοντας ορισένες συστηατικές επιδράσεις (που δεν λαβάνει υπ όψη η (9)). Π.χ. για τα σηεία ας υπολογίζουε ξ fit = ±.3. Το σφάλα προέκυψε από τη εταβολή της ξ fit για ικρές παραλλαγές του διαστήατος προσαρογής. ~ L G II. ξ ~ () = (πηγή [4]): () π G() ~ όπου G ( k ), k =,..., L ο ετασχηατισός Fourier της G (r ). Στηρίζεται στην υπόθεση r ξ G( r ) ~ e, t <<, r >> () για το άπειρο σύστηα, οπότε στο πεπερασένο ε περιοδικές σ.σ. προστίθεται ακόα ένας όρος που εκφράζει την αλληλεπίδραση των pin από απόσταση L-r : G( r ) ~ e r ξ + e L r ξ = e r ξ e + L / ξ e e L / ξ r ξ r L / ξ e L / ξ r L / ξ e + e = r L / G ( r ) ~ coh (3) ξ Το σφάλα υπολογίζεται: L ~ L G = ~ () πri δξ ~ δg i co (4) 8π ξ G() G() L Για το παράδειγά ας ξ = ± III. L / ri Gi / 3 = [ ] L / ξ (πηγή [5]): (5) G i Επίσης στηρίζεται στην υπόθεση σφάλα δίνεται: G( r ) ~ e r /ξ, t <<, r >>. Το 3

32 Στο παράδειγά ας ξ = [ r ξ ] L / δξ 3 = / δg L i i 3 (6) ξ G 3 3 ± i 3

33 4. ΙΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ- ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 4.. Γενική διερεύνηση Σε πλέγατα διαφόρων εγεθών, για διάφορες θεροκρασίες 5 υπολογίσαε τα εγέθη e, m, c, χ (από η-ανεξάρτητες ετρήσεις των απαιτούενων εγεθών). Τα αποτελέσατα παριστάνονται στα αντίστοιχα διαγράατα: L= L= L=4 L= e ιάγραα 4.. Ενέργεια/δεσό συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. b 3

34 .9 L= L= L=4 L= m ιάγραα 4.. Μαγνήτιση/pin συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. b L= L= L=4 L= c ιάγραα 4.3. Ειδική θερότητα/pin συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. b 33

35 8 7 L= L= L=4 L=8 6 5 x ιάγραα 4.4. Μαγνητική Επιδεκτικότητα/pin συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. Τα συναγόενα συπεράσατα είναι πολλά: b Οι καπύλες όλων των διαγραάτων τείνουν να αποκτήσουν τη ορφή της αντίστοιχης γι αυτές ιδανικής καπύλης του απείρου συστήατος, καθώς αυξάνουε το έγεθός του (Σχήα.-Σχήα.4). Στην περιοχή θεροκρασιών (.4,.47), η e και η παράετρος τάξης m, κλίνουν όλο και πιο πολύ προσεγγίζοντας την άπειρη κλίση της αντίστοιχης τους ιδανικής καπύλης. Οι χ, c στενεύουν σχηατίζοντας περισσότερο οξείες κορυφές που τείνουν να αποκλίνουν στο άπειρο. Οι θέσεις των κορυφών των χ, c εξαρτώνται από το έγεθος του συστήατος, ετατοπιζόενες προς τα δεξιά για ολοένα εγαλύτερο έγεθος, τείνοντας να σταθεροποιηθούν σε ια συγκεκριένη θεροκρασία στην περιοχή (.44,.44). Οι θέσεις των κορυφών των χ, c τείνουν να συπέσουν για ολοένα εγαλύτερο έγεθος του συστήατος, κάτι που συβαίνει στο άπειρο σύστηα όπου οι αντίστοιχες καπύλες αποκλίνουν στην ίδια θεροκρασία. Για κάθε διάγραα, ακριά από την περιοχή θεροκρασιών (.3,.5), οι καπύλες για όλα τα εγέθη συστήατος συπίπτουν. Συβαίνει διότι τότε η εβέλεια των συσχετισών είναι πολύ ικρότερη από τη διάσταση του πλέγατος ώστε να εξαλείφεται η συστηατική επίδραση από το πεπερασένο του εγέθους του. Εποένως κάθε pin θα λαβάνει τιές απείρου συστήατος όπως και οι τιές των ετρούενων εγεθών. 34

36 Η αβεβαιότητα στην υπολογισθείσα τιή κάθε εγέθους σε δεδοένη θεροκρασία, φθίνει για αυξανόενο έγεθος συστήατος όπως περιέναε από τη θεροδυναική ανάλυση (κεφ.. τύπος (8)). Σε πλέγατα διαφόρων εγεθών, σε διάφορες θεροκρασίες ετρήσαε το ήκος συσχετισού ε τους διαφορετικούς τρόπους 5 ξ fit, ξ, ξ3 (από η-ανεξάρτητες ετρήσεις).. Τα αποτελέσατα παριστάνονται στα αντίστοιχα διαγράατα: 8 6 L= L= L=4 L=8 4 x fit ιάγραα 4.5. Μήκος Συσχετισού ξ fit συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. b 35

37 L= L= L=4 L=8 8 6 x ιάγραα 4.6. Μήκος Συσχετισού ξ συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. b 4 L= L= L=4 L=8 8 x ιάγραα 4.7. Μήκος Συσχετισού ξ 3 συναρτήσει της θεροκρασίας, για διάφορα εγέθη συστήατος. Μπορούε να συνάγουε συπεράσατα τόσο για τη συπεριφορά του συστήατός όσο και για τη λειτουργικότητα των ορισών του ξ : b Για κάθε διάγραα, αυξανοένου του εγέθους συστήατος, οι καπύλες τείνουν να στενεύουν σχηατίζοντας περισσότερο οξείες 36

38 κορυφές που τείνουν να αποκλίνουν. Οι θέσεις των κορυφών εξαρτώνται από το έγεθος του συστήατος, ετατοπιζόενες προς τα δεξιά για ολοένα εγαλύτερο έγεθος, τείνοντας να σταθεροποιηθούν σε ια συγκεκριένη θεροκρασία στην περιοχή (.438,.44). Μακριά από την περιοχή (.438,.44), οι καπύλες για όλα τα εγέθη συστήατος ταυτίζονται στο διάγραα ( ξ fit v β ). Το αναέναε διότι όπως περιγράψαε πιο πάνω, στις περιοχές ακριά από την κεντρική τα fe σβήνουν και τα pin συπεριφέρονται σα να βρίσκονταν σε άπειρο σύστηα. Κατ επέκταση τα σχηατιζόενα σήνη θα διαορφώνονται όπως στο άπειρο σύστηα, οοίως και η (ικρή) τιή της τυπικής τους ακτίνας ξ. Όως στα ( ξ v β ) και ( ξ 3 v β ), ταύτιση έχουε όνο στην άνω της (.438,.44) περιοχή. Στην περιοχή κάτω από την (.438,.44) το ξ φθίνει ε διαφορετική τροχιά για κάθε έγεθος συστήατος. Οι θέσεις των κορυφών στα διαγράατα ( ξ fit v β ) και ( χ v β ) για δεδοένο L, σχεδόν ταυτίζονται. Αυτό αναέναε, διότι η αγνητική επιδεκτικότητα είναι ανάλογη των διακυάνσεων στη αγνήτιση, οι οποίες συναρτώνται θετικά ε το έγεθος των σηνών. εν συβαίνει το ίδιο και για τα ήκη ξ,ξ3, που παρά ταύτα έχουν εταξύ τους κοινές θέσεις εγίστων (πίνακας Ι). L β ( ξ ) β ) β ) β ( ) fit ( ξ ( ξ ± ± ± ± ± ± ± ± ±.3.44 ±..443 ± ± ±..444 ±..444 ±..44 ± ±..446 ±..446 ±..444 ±. Πίνακας 4.: Θεροκρασίες εγιστοποίησης των ξ fit, ξ, ξ3, χ για διαφορετικά εγέθη συστήατος. Βλέπουε ότι ο ορισός ξ = ξ fit του ήκους συσχετισού, είναι συνεπής ε τη γενική θεωρητική του εικόνα σε όλο το εύρος θεροκρασιών. Οι ορισοί ξ,ξ3 παρουσιάζουν παρόοια συπεριφορά που είναι συνεπής για θεροκρασίες ακριά-πάνω από την κεντρική περιοχή, ακριά-κάτω είναι η αποδεκτή, ενώ στην κεντρική περιοχή δείχνει να βελτιώνεται για αυξανόενο έγεθος συστήατος L Προσδιορισός Κρίσιης Θεροκρασίας Αναφέραε ότι η κορυφή της χ ετατοπίζεται δεξιά αυξανοένου εγέθους συστήατος, και σταθεροποιείται σε συγκεκριένη θέση που την αναγνωρίζουε ως την κρίσιη θεροκρασία β C. Με βάση τη συπεριφορά αυτή πορούε να εκτιήσουε τη β C. χ 37

39 εδοένου ότι στην κρίσιη περιοχή ισχύει: β β C v C ξ ~ () και κάνοντας την εύλογη υπόθεση: ξ ~ L για β = β () όπου β ( L) η θεροκρασία για την οποία χ max( L ) = χ( L, β = β ), καταλήγουε στην εξής σχέση: β β αl ν = + β C (3) ανειζόενοι την τιή ν = από την ακριβή λύση του οντέλου η προηγούενη γίνεται: β = αl + β C (4) Από το ιάγραα 4.4, εντοπίζουε τις θεροκρασίες β ( ) και παριστάνουε τα αποτελέσατα σε διάγραα β v L : L b ιάγραα 4.8. Θεροκρασίες εγίστων Μαγνητικής Επιδεκτικότητας συναρτήσει αντιστρόφου Μεγέθους Συστήατος. Εφαρόζουε γραική προσαρογή που ας δίνει: lim = β =.447 ±.. Η τιή αυτή ταυτίζεται ε την β L C προβλεπόενη από την αναλυτική λύση του οντέλου (D-Iing τετραγωνικής συετρίας): /L 38

40 ln( + β C = = J (5) J ) Αναλόγως θα πορούσαε να εργαστούε και ε την ειδική θερότητα c η το ήκος συσχετισού ξ. Οι προσεγγιστικές έθοδοι υπολογισού της β C ποικίλουν, ε δηοφιλέστερη εκείνη που χρησιοποιεί τον όρο Binder (Binder Cumulant) (πηγή [5]). 39

41 4.. Υπολογισός Κρίσιων Εκθετών στο πρότυπο D- Iing Έχουε αναφέρει ότι στην κρίσιη περιοχή τα διάφορα εγέθη συπεριφέρονται ως: β m ~ t, C r ξ e ( r ) ~ d + η β > β (6) γ χ ~ t (7) c ~ lnt (8) ξ ~ (9) t v G, t <<, r >> () r β β όπου t βc β, γ, ν, η οι κρίσιοι εκθέτες, που έχουν τιές για το D-Iing: C = η ανηγένη θεροκρασία (reduced temperature) και Φυσική Ποσότητα Κρίσιος Εκθέτης d= (αναλυτικά) Τιή εκθέτη d=3 (προσεγγιστικά) Ειδική Θερότητα α -.4 ±.3 Μαγνητική Επιδεκτικότητα γ 7/4.385 ±.5 Μαγνήτιση β /8.35 Μήκος συσχετισού ν.63 ±. ±.5 Συνάρτηση Συσχετισού η /4.39 ±.4 Πίνακας 4.. Κρίσιοι εκθέτες σε συστήατα D και 3D Iing (πηγή [6]). Για να αναπαράγει κανείς τα αποτελέσατα αυτά, η να εξάγει αντίστοιχα σε κάποιο άγνωστο οντέλο, οι βασικές υποψήφιοι υπολογιστικές έθοδοι που θα χρησιοποιήσει είναι τρεις: απ ευθείας προσαρογή καπύλης, κλιάκωση του εγέθους συστήατος (finite ize caling ή FSE) και επανακανονικοποίηση οάδας (renormalization group). Η σειρά που αναφέρθηκαν είναι κατ αύξουσα αποτελεσατικότητα σε υλοποίηση, και πολυπλοκότητα σε συλλογιστική βάση. Εείς χρησιοποιούε τις πρώτες δύο εθόδους Μέθοδος Απ ευθείας Προσαρογής Καπύλης Είναι η πιο αυτονόητη: ετρούε τα εγέθη σε διάφορες θεροκρασίες, συγκεντρώνουε τα αποτελέσατα για κάθε έγεθος σε διάγραα και πραγατοποιούε προσαρογή καπύλης εκεί που διακρίνουε εκθετική συπεριφορά, η καλύτερα, ετατρέπουε σε 4

42 λογαριθικούς τους άξονες και κάνουε γραική προσαρογή όπου παρατηρούε γραική συπεριφορά. a. Εκθέτης Μαγνήτισης β : Ορίζεται για β > βc όπου το σύστηα φέρει η-ηδενική αγνήτιση. Στο πεπερασένο σύστηα η β C υποκαθίσταται από τη β ( L) (τη θεροκρασία εγιστοποίησης του χ (ή ξ )), διότι σε αυτήν ιείται πιστότερα τη συπεριφορά του απείρου συστήατος επί τη κρίσιη θεροκρασία. Παράγουε το διάγραα: L=8 L=4 L= L= m.. ιάγραα 4.9. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη β της Μαγνήτισης. t Παρατηρούε πως για αυξανόενο L, στην περιοχή ln t <. οι καπύλες ειώνουν την κυρτότητά τους τείνοντας να διατάξουν τα σηεία τους σε ια ευθεία. Η ευθεία αυτή αναδύεται ανάεσα στην περιοχή όπου τα fe σταδιακά εξαλείφονται (αριστερά), και τη ηγραική περιοχή (δεξιά) όπου το άπειρο σύστηα απλώς δεν έχει εκθετική συπεριφορά, και επεκτείνεται εις βάρος της πρώτης. Για να την οριοθετήσουε: o παίρνουε την περιοχή σύπτωσης τουλάχιστο δύο καπυλών, o προσδιορίζουε τη γραική της υποπεριοχή ε το άτι, είτε ε διαδοχικές προσαρογές έως ότου εντοπίσουε περιοχή σταθερής κλίσης, o ετρούε την κλίση της γραικής (υπό)περιοχής ε προσαρογή, o από την καπύλη ε το εγαλύτερο L, λαβάνουε το επόενο σηείο όλις έξω από τη γραική περιοχή και ετρούε πάλι την κλίση ε προσαρογή 4

43 o αν οι δύο κλίσεις έχουν ικρή διαφορά εξετάζουε το επόενο σηείο για συπερίληψη ειδάλλως σταατάε και κατοχυρώνουε την προτελευταία κλίση. o Προσδιορίζουε το σφάλα εξετάζοντας τη εταβολή την κλίσης ας για ικρές παραλλαγές στο διάστηα προσαρογής. Υπολογίσαε β dir _ fit =.8 ±. 45 που απέχει 3.4% από τη θεωρητική τιή β =. 5. b. Εκθέτης Μαγνητικής επιδεκτικότητας γ : Θα υπολογιστεί δύο φορές, για τις περιοχές άνω και κάτω από τη β ( ). L Για β > β ( L) : L=8 L=4 L= L= c.. e-4... t ιάγραα 4.. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη γ της Μαγνητικής Επιδεκτικότητας, στην περιοχή β > β ( L). Υπολογίσαε γ = που απέχει 3.% από τη dir _ fit ± θεωρητική τιή γ =

44 Για β < β ( L) : e+6 L=8 L=4 L= L= c.. e-4... t ιάγραα 4.. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη γ της Μαγνητικής Επιδεκτικότητας, στην περιοχή β < β ( L ). Υπολογίσαε γ dir _ fit =.85 ±. 49 που απέχει 3.% από τη θεωρητική τιή. c. Εκθέτης Μήκους Συσχετισού v : Θα υπολογιστεί ε βάση τους τρεις τρόπους: o ξ = ξ fit : 43

45 Για β > β ( L) : L=8 L=4 L= L= x fit. e-4... t ιάγραα 4.. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισού ξ, στην περιοχή β > β ( L). fit Υπολογίσαε v =.89 ±. που αποκλίνει.% της θεωρητικής τιής v =. fit 44

46 Για β < β ( L) : L=8 L=4 L= L= x fit e-4... t ιάγραα 4.3. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισού ξ, στην περιοχή β < β ( L ). fit Υπολογίσαε v fit =.935 ±. 7 που αποκλίνει 6.5% της θεωρητικής τιής. o ξ = ξ : 45

47 Για β > β ( L) : L=8 L=4 L= L= x e-4... t ιάγραα 4.4. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισού ξ, στην περιοχή β > β ( L ). Παρατηρούε ότι για κάθε καπύλη, κατευθυνόενοι επί της γραικής περιοχής προς εγαλύτερο t (δηλαδή ικρότερο ξ ), τα σηεία τείνουν να αποκλίνουν από την ευθύγραη διάταξή ε ταυτόχρονη αύξηση του σφάλατος τους. Οφείλεται στην αυξανόενη ευαισθησία των αντίστοιχων τύπων σε ικρές αποκλίσεις της ccf από την πραγατική της τιή, που είναι οιραίο να υπάρχουν από το περιορισένο στατιστικό δείγα ας. Αυτός είναι και ο λόγος που απορρίψαε ετρήσεις για εγάλα t. Υπολογίσαε την κλίση για κάθε καπύλη, και ια ακόα από την υπέρθεση των τριών καπυλών για L = 8,4, (η τελευταία απεικονίζεται στο σχήα ως ευθεία γραή). Τα αποτελέσατα συγκεντρώθηκαν στον επόενο πίνακα: Απόκλιση από θεωρητική L v ± δv τιή v =.398 ± %.57 ±.7 5.7% 4.63 ± % 8. ±.8.% & 4 & 8.99 ±.4.9% Πίνακας 4.3. Εκτιήσεις για τον κρίσιο εκθέτη v από προσαρογές στα δεδοένα lnξ v ln t. 46

48 Στην τελευταία προσαρογή δεν συπεριλάβαε την L =, διότι δε συνεχίζει οαλά την ευθύγραη τροχιά των σηείων (φαίνεται και από τη διαφοροποίηση της κλίσης της (Πίνακας 4.3)). Ίσως ο συγκεκριένος ορισός ξ = ξ, να είναι ιδιαίτερα ευαίσθητος στα fe τα οποία εντείνονται σε ικρότερα συστήατα. Για β < β ( L) : L=8 L=4 L= L= x. e-4... ιάγραα 4.5. Απουσία κατάλληλης περιοχής για προσαρογή στα δεδοένα lnξ v ln t στην περιοχή β < β ( L). t ε διακρίνεται σύπτωση καπυλών, ούτε γραική συπεριφορά. Ενδεχοένως να ευθύνονται τα fe, αν όχι ο ίδιος ο ορισός ξ = ξ. 47

49 o ξ = ξ 3 : Για β > β ( L) : L=8 L=4 L= L= x 3. e-4... t ιάγραα 4.6. Γραική προσαρογή για τον προσδιορισό του εκθέτη v του Μήκους Συσχετισού ξ 3, στην περιοχή β > β ( L ). Όπως και πριν, όσο κατευθυνόαστε σε ικρότερα ξ (στη γραική περιοχή), τόσο χαλάει η γραικότητα και το σφάλα αυξάνεται. Σε σύγκριση ε τον προηγούενο ορισό ( ξ = ξ ), τα ανεπιθύητα φαινόενα είναι εντονότερα εδώ, γι αυτό και θεωρούε τον παρόντα ορισό λιγότερο λειτουργικό. Τα αποτελέσατα για κάθε σειρά ετρήσεων, και την υπέρθεσή τους περιέχονται στον πίνακα: Απόκλιση από θεωρητική L v ± δv τιή v =.48 ± %.93 ±.3 7.4% ±.6.4% 8.9 ±.9 9.9% & & 4 & 8.94 ±. 7.6% Πίνακας 4.4. Εκτιήσεις για τον κρίσιο εκθέτη v από προσαρογές στα δεδοένα lnξ 3 v ln t. 48

50 Για β < β ( L) : L=8 L=4 L= L= x 3 e-4... ιάγραα 4.7. Απουσία κατάλληλης περιοχής για προσαρογή στα δεδοένα lnξ v ln t στην περιοχή β < β ( L). 3 Όπως και προηγουένως δε διακρίνεται σύπτωση καπυλών ούτε γραική συπεριφορά. Ενδεχοένως να ευθύνονται τα fe, αν όχι ο ίδιος ο ορισός. d. Εκθέτης συνάρτησης συσχετισού η : Αναφέραε ότι ορίζεται στην εξίσωση: r ξ e ( r ) ~ d + η G, t <<, r >> () r Λαβάνοντας υπ όψη και την περιοδικότητα του πλέγατος, προσαρόζουε στην ccf σε θεροκρασία β ( ) την καπύλη: r / ξ ( L r )/ ξ e e f ( x) = c + + correction r L r () η η ( ) Η βέλτιστη τιή της παραέτρου η, θα είναι και η εκτίησή ας για τον εκθέτη. Χρησιοποιούε την ccf για L = 6, β = β (6) = Συπεριλαβάνουε όλα τα σηεία στο διάστηα προσαρογής (πλην του r =, G = ) διότι δεν ανταποκρίνεται στην ( ± t L 49

51 πραγατική συπεριφορά). Υπολογίζουε η =.3 ±. που αποκλίνει κατά.4% από την πραγατική τιή. Υπενθυίζουε πως για το άπειρο σύστηα, η () ισχύει υπό την προϋπόθεση r >>. Για ας θα σήαινε να η συπεριλάβουε σηεία ε ικρό r. Έχοντας το κατά νου πραγατοποιήσαε πολλαπλές προσαρογές σε διαφορετικά διαστήατα. Τα αποτελέσατα δείχνονται στο γράφηα: nop=53 nop=57 nop=6 nop=65 nop=69 nop=73.34 h fit ιάγραα 4.8. Εκτιήσεις του εκθέτη η από πολλαπλές προσαρογές στην ccf για σύστηα ε L=6, β=.444. Πως διαβάζεται: Έστω σηείο ιας από τις καπύλες. Η τετηένη του είναι κοινή ε του πρώτου (ε το ικρότερο r ) από τα σηεία της ccf στα οποία εφαρόζουε την προσαρογή. Η φέρουσα καπύλη αντιστοιχεί σε σταθερό αριθό διαδοχικών σηείων προσαρογής, όσων αναγράφει η ταπέλα της. Εποένως αν βρισκόαστε στην καπύλη N = N στο σηείο ε τετηένη r, η προσαρογή of _ po int γίνεται στο διάστηα [ x ] x, + N of _ po int της ccf και έχει αποτέλεσα, την τεταγένη του σηείου *. Παρατηρούε, όχι όνο δε βελτιώνεται η υπολογισένη τιή του η, αλλά αποκλίνει περεταίρω από την αντίστοιχη θεωρητική, για ια ευρεία περιοχή ισχύος του συναρτησιακού παράγοντα πτώσης εκθετικής δύναης. Από την αδυναία να προσδιορίσουε το η ε σχετική ακρίβεια, θα ας απαλλάξει σε λίγο η έθοδος FSS. * στην πραγατικότητα τα διαστήατα προσαρογής είναι δύο, τα [, x + N of _ po int ] [ L x + N ), L x] (8) ) ( of po int r x, _ στα οποία η ccf είναι κατοπτρικά συετρική (εξίσωση 5

52 4... Μέθοδος Κλιάκωσης Μεγέθους Συστήατος (FSS) Σε αντίθεση ε τη έθοδο απευθείας προσαρογής, η FSS επικεντρώνεται στα φαινόενα της κρίσιης περιοχής όπου δρουν έντονα τα fe. Έστω έγεθος a που συπεριφέρεται στην κρίσιη περιοχή ως: όπου b ο κρίσιος εκθέτης του. εδοένου ότι: έχουε: b a ~ t (3) ξ ~ (4) t v b ( 9) ( ) v a ~ ξ (5) Σε πεπερασένο σύστηα όως το ξ δεν αποκλίνει στο άπειρο, συπεριφέρεται αναλυτικά αποκτώντας έγιστη τιή σε θεροκρασία β ( L) < β C διαορφώνοντας ανάλογα και τη συπεριφορά του a. Η FSS εκφράζει τη συπεριφορά αυτή ως: a finite b v L = ξ a ( ) (6) ξ όπου a ( ) αδιάστατη συνάρτηση ε την ιδιότητα: δηλαδή: x b v a ( x) ~ x για x (7) b v a finite ~ L για L / ξ (όταν β βc ) (8) που βασίζεται στη θεελιώδη παραδοχή της FSS: ξ ~ L για β = βc (9) Η (6) δεν είναι εύχρηστη διότι δε γνωρίζουε το ξ (β ). Την τροποποιούε ως εξής: b v b b L L v a finite = L a ( ) ~ L L ( ) ξ v a () ξ ξ Η συνάρτηση a ~ ( x) ονοάζεται συνάρτηση κλιάκωσης (caling function). Οι σχέσεις (8) και () θα αξιοποιηθούν για τον υπολογισό κρίσιων εκθετών. 5