ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ"

Ἀθήνη Μακρής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0. Εισαγωγή 3 1. Βασικές έννοιες από τη Γενική Τοπολογία 10 Συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία 15 Η GL(n) σαν ομάδα Lie 18 Cell complexes 20 Πραγματικός προβολικός χώρος 22 Μιγαδικός προβολικός χώρος Ομοτοπία 25 Rectracts-Παραμορφώσεις 28 Ιδιότητα Ομοτοπικής επέκτασης Στοιχεία Ομοτοπικών ομάδων Καλυπτικός χώρος του κύκλου 42 Πρωταρχική ομάδα του κύκλου 49 Θεώρημα Scheifert-Van Kampen 51 Πρωταρχικές ομάδες προσανατολισμένων επιφανειών 55 Ταξινόμηση καλυπτικών χώρων Singular ομολογία 66 Singular αλυσίδες, συνοριακός τελεστής 69 Singular ομολογιακές ομάδες 70 Ελαττωμένη ομολογία 74 Αλυσιδωτή ομοτοπία 77 Ακριβείς ακολουθίες 82 Συνδετικός ομομορφισμός 83 Ακολουθία Meyer-Vietoris 85 Ομομορφισμός Hurewitz Εφαρμογές σταθερού σημείου 90 Θεώρημα Borsuk-Ulam για το επίπεδο 91 Θεώρημα Brower 93 Βαθμός Brower, Hopf 94 Διανυσματικά πεδία 98 Διαιρετικές άλγεβρες 100 Σχετική ομολογία, Εκτομή 102 Κελυφωτή ομολογία 108 Ομολογία πραγματικού και μιγαδικού χώρου 111 2

3 3

4 0. ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 4

5 Σε μια πρώτη επαφή με το αντικείμενο συνήθως μελετάται η πρωταρχική ομάδα (ο συγκεκριμένος συναρτητής σε κάθε τοπολογικό χώρο αντιστοιχεί μια ομάδα) και η

5 5 Σε μια πρώτη επαφή με το αντικείμενο συνήθως μελετάται η πρωταρχική ομάδα (ο συγκεκριμένος συναρτητής σε κάθε τοπολογικό χώρο αντιστοιχεί μια ομάδα) και η simplicial ή singular ομολογία (ο συγκεκριμένος συναρτητής σε κάθε τοπολογικό χώρο αντιστοιχεί μια ακολουθία αβελιανών ομάδων). Αυτή η σειρά θα ακολουθηθεί και εδώ.

6 6 Οι σημειώσεις αυτές έχουν σκοπό να αποτελέσουν ένα «μπούσουλα» για ένα εισαγωγικό μάθημα στην Αλγεβρική Τοπολογία και δεν έχουν ακόμη ολοκληρωθεί. Σε μια δεύτερη φάση θα προσθέσουμε περισσότερα παραδείγματα και εξηγήσεις σχετικά με το «γιατί» γίνεται κάτι ώστε να βοηθηθεί ο αναγνώστης να μπει στο νόημα. Ουσιαστικά αποτελούν την ύλη που καλύψαμε σε προπτυχιακά και μεταπτυχιακά μαθήματα στα Παν/μια Κρήτης και Ιωαννίνων. Ο λόγος που τις «κρεμάμε» στο διαδίκτυο είναι για να μπορεί κάποιος αν θέλει να τις χρησιμοποιήσει. Κατά καιρούς μας ζητήθηκαν φωτοτυπίες, πιστεύουμε ότι με αυτόν τον τρόπο μπορεί κάποιος να διαλέξει ότι του χρειάζεται και αν του χρειάζεται. Θα συμπληρώνονται όταν το επιτρέπει ο χρόνος μας. Ζητάμε συγνώμη που η εμφάνιση δεν είναι η καλύτερη δυνατή. Αν περιμέναμε όμως να τις δακτυλογραφήσουμε δεν θα τελειώναμε ποτέ. Δεν χρειάζεται να πούμε ότι θα είναι χαρά μας να δεχθούμε διορθώσεις και παρατηρήσεις

7 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

17 17 Μια σημαντική εφαρμογή της συμπαγούς ανοικτής τοπολογίας είναι η ομάδα GL(n, R) σαν ομάδα Lie.

18 18

19 Από ολόκληρη την κατηγορία των τοπολογικών χώρων, θα περιοριστούμε σε εκείνη η οποία περιέχει όλους τους σημαντικούς (πολλαπλότητες, αλγεβρικές varieties πάνω από τους πραγματικούς ή μιγαδικούς)

19 19 Από ολόκληρη την κατηγορία των τοπολογικών χώρων, θα περιοριστούμε σε εκείνη η οποία περιέχει όλους τους σημαντικούς (πολλαπλότητες, αλγεβρικές varieties πάνω από τους πραγματικούς ή μιγαδικούς) και δεν περιέχει πχ τους ρητούς ή το σύνολο του Cantor ή άλλους παθολογικούς χώρους. Διαφορετικά η λύση του προηγούμενου προβλήματος θα ήταν αδύνατη. Η πιό κατάλληλη κατηγορία είναι η κατηγορία των CW-χώρων. Προφανώς η κατηγορία αυτή θα πρέπει να είναι κλειστή ως προς συνήθεις τοπολογικές κατασκευές όπως η ανάρτηση ή η θηλιά. Μια ισοδύναμη κατηγορία είναι αυτή των συμπλισιακών συνόλων. Αυτή έχει το πλεονέκτημα της χρήσης συνδυαστικών μεθόδων για υπολογισμούς.

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24 Είναι αναμενόμενο, όπως υπάρχουν ταυτίσεις χώρων ως προς ομοιομορφισμούς, να υπάρχουν ταυτίσεις με απαίτηση μόνο τη συνέχεια. Αφού η συνεχής εικόνα ενός τοπολογικού χώρου είναι μια συνεχής παραμόρφωση (συστολή, διαστολή, μείγμα και των δυο, αλλά όχι απόσχιση), αν μπορεί ο ένας να παραμορφωθεί συνεχώς μέσω του άλλου και ανάποδα, αυτοί θα θεωρούνται ισοδύναμοι, ομοτοπικά ισοδύναμοι. ~ Αυτή η νέα έννοια της ομοτοπίας είναι αυτή που παίζει πρωταρχικό ρόλο στην αλγεβρική τοπολογία και οι συναρτητές που θα μελετήσουμε δεν διαχωρίζουν ομοτοπικά ισοδύναμους χώρους.

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

Σχετικά έγγραφα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ