PREDAREA ŞI ÎNVĂŢAREA MATEMATICII - STUDIUL OBSTACOLELOR ŞI AL ERORILOR

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PREDAREA ŞI ÎNVĂŢAREA MATEMATICII - STUDIUL OBSTACOLELOR ŞI AL ERORILOR"

Transcript

1 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 1 DANIELA CĂPRIOARĂ PREDAREA ŞI ÎNVĂŢAREA MATEMATICIII - STUDIUL OBSTACOLELOR ŞI AL ERORILOR - EDITURA UNIVERSITARĂ Bucureşti

2 2 Daniela Căprioară Colecţia... este coordonată de... Referenţi ştiinţifici: Prof. univ. dr. Ioan Neacşu Redactor: Gheorghe Iovan Tehnoredactor: Ameluţa Vişan Coperta: Angelica Mălăescu Editură recunoscută de Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice (C.N.C.S.) Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României CĂPRIOARĂ, DANIELA Predarea şi învăţarea matematicii : studiul obstacolelor şi al erorilor / Daniela Căprioară. - Bucureşti : Editura Universitară, 2011 Bibliogr. ISBN :51 DOI (Digital Object Identifier): / Toate drepturile asupra acestei lucrări sunt rezervate, nicio parte din această lucrare nu poate fi copiată fără acordul Editurii Universitare Copyright 2011 Editura Universitară Director: Vasile Muscalu B-dul. N. Bălcescu nr , Sector 1, Bucureşti Tel.: / redactia@editurauniversitara.ro Distribuţie: tel.: / / 0744 EDITOR / CARTE comenzi@editurauniversitara.ro O.P. 15, C.P. 35, Bucureşti

3 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 3 Fiicei mele, Diana, cu toată dragostea şi recunoştinţa

4 4 Daniela Căprioară

5 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 5 CUPRINS Lista tabelelor 7 Lista figurilor PREFAŢĂ INTRODUCERE 21 I. DIDACTICA ŞTIINŢELOR. SUCCINTĂ ANALIZĂ TEORETICĂ 26 I.1. Didactica generală între tradiţional şi modern. De la didactica generală la didactica ştiinţelor 26 I.2. Orientări şi tendinţe actuale în didactica matematicii 29 II. PROBLEMATICA OBSTACOLELOR ŞI A ERORILOR ÎN DIDACTICA MATEMATICII 33 II.1. Stadiul actual al cercetărilor în câmpul problematicii obstacolelor şi a erorilor în didactica matematicii 33 II.2. Raportul dintre obstacole şi erori în abordările didactice 35 II.3. Obstacole şi tipologia obstacolelor specifice contextului didactic matematic 36 II.4. Erori. Perspectiva didacticii asupra erorii. Taxonomii specifice 40 II.5. Tratarea didactică a obstacolelor şi a erorilor 48 II.6. Riscuri ale non-intervenţiei didactice în identificarea şi tratarea pedagogică a erorilor 52 III. METODOLOGIA CERCETĂRII EMPIRICE 56 III.1. Scopul şi obiectivele cercetării 56 III.2. Variabilele cercetării statut şi operaţionalizare 58 III.3. Ipotezele cercetării axa în jurul căreia se articulează componentele demersului investigativ 60 III.4. Spectrul metodelor de cercetare 61

6 6 Daniela Căprioară III.4.1. Observaţia 62 III.4.2. Analiza documentelor curriculare 63 III.4.3. Cercetarea produselor elevilor. Studiu de caz 67 III.4.4. Focus-grupul 77 III.4.5. Experimentul didactic 78 III.4.6. Ancheta pe bază de chestionar 81 III.5. Eşantionul de cercetare 82 III.6. Graficul desfăşurării activităţilor de cercetare 87 III.7. Limitele şi dificultăţile demersului de cercetare 88 IV. REZULTATE ŞI INTERPRETĂRI 90 IV.1. Analiza curriculară: gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor în practică pentru matematica de gimnaziu 90 IV.2. Continuitate şi discontinuitate la nivelul curriculumului matematic 121 IV.3. Motivaţia elevilor pentru învăţarea matematicii de gimnaziu 133 IV.4. Strategii de predare a matematicii în gimnaziu 152 IV.5. Strategii de învăţare a matematicii în gimnaziu 169 IV.6. Strategii de evaluare a învăţării matematicii în gimnaziu 189 IV.7. Performanţele elevilor în învăţarea matematicii 197 IV.8. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia elevilor 214 IV.9. Statutul erorilor în învăţare, în concepţia cadrelor didactice 221 IV.10. Obstacole şi erori întâlnite în învăţarea matematicii în gimnaziu 235 CONCLUZII FINALE ŞI RECOMANDĂRI 257 BIBLIOGRAFIE 265

7 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 7 Lista tabelelor III.1. Fişa de observaţie şi înregistrare a erorilor/greşelilor 63 III.2. Grila de cercetare a manualelor şcolare 67 III.3. Alcătuirea eşantionului cuprins în studiul de caz 68 III.4. Diagrama Gantt a desfăşurării activităţilor de cercetare 87 III.5. Corespondenţa dintre variabile şi metodele de cercetare 88 IV.1. Analiza curriculară: Manual de matematică pentru clasa a V-a 91 IV.2. Analiza curriculară: Manual de matematică pentru clasa a VI-a 96 IV.3. Analiza curriculară: Manual de matematică pentru clasa a VII-a 103 IV.4. Analiza curriculară: Manual de matematică pentru clasa a VIII-a 110 IV.5. Gradele de reprezentativitate pentru aplicaţiile practice pe 115 domenii ale matematicii şi pe clase IV.6. Indicii statistici pentru aplicarea practică a cunoştinţelor de 119 matematică IV.7. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru aplicarea practică a 120 cunoştinţelor matematice IV.8. Cunoştinţe de bază pentru formarea noţiunii de interval de 125 numere reale IV.9. Indicii statistici pentru continuitate şi discontinuitate la nivelul 127 curriculum-ului matematic IV.10. Corelaţia între rezultatele elevilor la matematică şi realizarea conexiunilor între cunoştinţe 129 IV.11. Corelaţia între rezultatele elevilor la matematică şi 130 evidenţierea legăturilor între cunoştinţe IV.12. Indicii statistici privind motivele pentru care elevii învaţă 135 matematica IV.13. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru motivele pentru care elevii 136 învaţă matematica IV.14. Indicii statistici privind credinţele elevilor despre învăţarea 138 matematicii IV.15. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru credinţele elevilor despre învăţarea matematicii 139 IV.16. Corelaţia între rezultatele elevilor la matematică şi implicarea elevilor în activitatea din clasă 141 IV.17. Corelaţia între rezultatele elevilor la matematică şi implicarea elevilor în rezolvarea temei pentru acasă 143 IV.18. Corelaţia între percepţiile elevilor asupra propriilor capacităţi de a învăţa matematica şi rezultatele elevilor la matematică 145 IV.19. Corelaţia între atenţia acordată matematicii şi rezultatele elevilor la matematică 148 IV.20. Corelaţia între încrederea în propriile capacităţi şi atenţia acordată matematicii 148

8 8 Daniela Căprioară IV.21. Indicii statistici pentru metodele didactice 156 IV.22. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru metodele didactice 157 IV.23. Indicii statistici pentru formele de organizare a activităţii la matematică 158 IV.24. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru formele de organizare a activităţii la matematică 160 IV.25. Indicii statistici pentru mijloace didactice folosite în ora de matematică 160 IV.26. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru mijloace didactice folosite în ora de matematică 161 IV.27. Distribuţia de frecvenţe pentru tratarea diferenţiată în orele de matematică 163 IV.28. Indicii statistici pentru tratarea diferenţiată în orele de matematică 163 IV.29. Tabelul frecvenţelor pentru metode folosite în rezolvarea problemelor de aritmetică 165 IV.30. Indicii statistici pentru natura conţinuturilor învăţate la matematică 165 IV.31. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru natura conţinuturilor învăţate la matematică 166 IV.32. Indicii statistici pentru exigenţele privind modul de exprimare 167 IV.33. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru exigenţele privind modul de exprimare 167 IV.34. Indicii statistici pentru strategii de învăţare a matematicii 171 IV.35. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru strategii de învăţare a matematicii 174 IV.36. Indicii statistici pentru puncte de sprijin în învăţarea matematicii 176 IV.37. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru puncte de sprijin în învăţarea matematicii 176 IV.38. Indicii statistici pentru modalităţile de lucru preferate în ora de matematică 179 IV.39. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru modalităţile de lucru preferate în ora de matematică 180 IV.40. Indicii statistici pentru intenţiile elevilor de gimnaziu privind învăţarea matematicii 180 IV.41. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru intenţiile elevilor de gimnaziu privind învăţarea matematicii 181 IV.42. Indicii statistici pentru conexiuni între matematică şi alte domenii 182 IV.43. Indicii statistici pentru aplicaţii matematice preferate de elevi 184 IV.44. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru aplicaţii matematice preferate de elevi 185

9 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 9 IV.45. Indicii statistici pentru preferinţa privind domeniile matematicii 185 IV.46. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru preferinţele privind domeniile matematice 186 IV.47. Indicii statistici pentru metode şi instrumente de evaluare 190 IV.48. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru forme şi instrumente de evaluare 192 IV.49. Indicii statistici pentru tipologia itemilor de evaluare 193 IV.50. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru tipologia itemilor de evaluare 194 IV.51. Performanţele elevilor în rezolvarea subiectului II.1, subpunctul a) 199 IV.52. Performanţele elevilor în rezolvarea subiectului II.1, subpunctul b) 200 IV.53. Performanţele elevilor în rezolvarea subiectului II.2, subpunctul a) 201 IV.54. Performanţele elevilor în rezolvarea subiectului II.2, subpunctul b) 204 IV.55. Performanţele elevilor în rezolvarea subiectului II.2, subpunctul c) 207 IV.56. Indicii statistici pentru indicatorii succesului la matematică 210 IV.57. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru indicatorii succesului la matematică 211 IV.58. Distribuţia frecvenţelor pentru media la matematică în clasele V-VII 211 IV.59. Distribuţia frecvenţelor pentru autoaprecierea rezultatelor la matematică 212 IV.60. Indicii statistici pentru comportamentul elevilor în faţa unui obstacol 215 IV.61. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru comportamentul elevilor în faţa obstacolelor 217 IV.62. Indicii statistici pentru percepţia elevilor asupra obstacolelor şi a erorilor în învăţarea matematicii 219 IV.63. Indicii statistici pentru aspecte ale climatului socio-afectiv 225 IV.64. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru aspecte ale climatului socioafectiv 228 IV.65. Indicii statistici pentru dimensiuni afective ale relaţiei profesorelev în contextul didactic 229 IV.66. Indicii statistici pentru percepţiile elevilor asupra factorilor cu efect destabilizator 240 IV.67. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru percepţiile elevilor asupra factorilor cu efect destabilizator 241

10 10 Daniela Căprioară IV.68. Corelaţii între percepţia factorilor destabilizatori/anxiogeni şi 242 rezultatele elevilor la matematică IV.69. Indicii statistici pentru factori anxiogeni pentru elevi 243 IV.70. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru factori anxiogeni pentru elevi 243 IV.71. Indicii statistici pentru dificultăţi în înţelegerea limbajului matematic 244 IV.72. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru aspecte ale climatului socioafectiv 245 IV.73. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru percepţiile elevilor privind dificultatea diciplinelor matematice 246 IV.74. Indicii statistici pentru percepţiile elevilor privind dificultatea conţinuturilor matematice 247 IV.75. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru percepţiile elevilor privind dificultatea conţinuturilor matematice 247 IV.76. Indicii statistici pentru atribuirea cauzală a greşelilor/erorilor în învăţare 248 IV.77. Wilcoxon Signed Ranks Test pentru atribuirea cauzală a greşelilor/erorilor în învăţare 249 IV.78. Indicii statistici pentru evaluarea iniţială, respectiv evaluarea finală 253 IV.79. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea iniţială 253 IV.80. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea finală 253 IV.81. Testul Kolmogorov-Smirnov pentru evaluarea iniţială 254 IV.82. Testul Kolmogorov-Smirnov pentru evaluarea finală 254 IV.83. Corelaţie între evaluarea iniţială şi evaluarea finală 255 IV.84. Testul t pentru evaluarea iniţială şi evaluarea finală 255

11 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 11 Lista figurilor I.1. Orientări actuale în didactica matematicii româneşti 32 II.1. Tipologia obstacolelor (după J.-P. Astolfi, 1997) 37 II.2. Procese specifice triunghiului pedagogic (după J. Houssaye,1998) 38 II.3. Construcţia eronată a unei înălţimi într-un triunghi 39 II. 4. Modelul de analiză didactică a erorilor (după S. de la Torre de la Torre,1993) 48 II. 5. Valoarea didactică a erorilor 54 III.1. Componenţa eşantionului cuprins în studiul de caz 68 III.2. Reprezentarea grafică a funcţiilor (studiul de caz) 76 III.3. Componenţa lotului experimental 80 III.4. Distribuţia subiecţilor după tipul şcolii 83 III.5. Componenţa eşantionului după genul subiecţilor 83 III.6. Componenţa eşantionului după mediul de locaţie al şcolii 83 III.7. Distribuţia eşantionului după mediul şcolii şi genul subiecţilor 84 III.8. Alcătuirea eşantionului după media obţinută la matematică în clasele V-VII 84 III.9. Distribuţia eşantionului după genul subiecţilor şi media la matematică în clasele V-VII 84 IV.1. Nivelul de reprezentativitate pentru aplicaţiile practice în manualul de clasa a V-a 95 IV.2. Nivelul de reprezentativitate pentru aplicaţiile practice în manualul de clasa a VI-a 101 IV.3. Nivelul de reprezentativitate pentru aplicaţiile practice în manualul de clasa a VII-a 108 IV.4. Nivelul de reprezentativitate pentru aplicaţiile practice în manualul de clasa a VIII-a 114 IV.5. Studiu comparativ între clase, privind gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor practice 116 IV.6. Studiu comparativ între domeniile matematicii, la nivel de gimnaziu, privind gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor practice 117 IV.7. Evoluţia principalelor concepte matematice în curriculum-ul pentru gimnaziu. Conexiuni cu ciclul primar, respectiv liceal 123 IV.8. Histograma pentru realizarea conexiunilor între cunoştinţe 128 IV.9. Histograma pentru evidenţierea legăturilor între cunoştinţe 129 IV.10. Histograma pentru continuitatea cunoştinţelor între ciclul primar şi gimnaziu 131 IV.11. Distribuţia procentelor pentru credinţele elevilor privind capacitatea de a învăţa matematica 139

12 12 Daniela Căprioară IV.12. Distribuţia procentelor pentru credinţele elevilor privind efortul necesar pentru a învăţa matematica 140 IV.13. Distribuţia frecvenţelor privind implicarea elevilor în rezolvarea sarcinilor în clasă 141 IV.14. Distribuţia frecvenţelor privind implicarea elevilor în rezolvarea temei pentru acasă 142 IV.15. Comparaţie între implicarea elevilor în activitatea din clasă şi implicarea elevilor în rezolvarea temei pentru acasă 143 IV.16. Distribuţia frecvenţelor pentru percepţiile elevilor asupra propriilor capacităţi de a învăţa matematica 144 IV.17. Distribuţia frecvenţelor pentru percepţia elevilor asupra dificultăţii matematicii 146 IV.18. Distribuţia frecvenţelor pentru atenţia acordată matematicii 147 IV.19. Distribuţia frecvenţelor pentru perseverenţa în realizarea sarcinilor 149 IV.20. Distribuţia frecvenţelor pentru capacitatea elevilor de a rezolva singuri sarcinile matematice 150 IV.21. Histograma pentru utilizarea metodei explicaţiei 156 IV.22. Histograma pentru lucrul individual, pe caiet 159 IV.23. Histograma pentru lucrul individual, pe fişe de lucru 159 IV.24. Histograma pentru lucrul în echipe 159 IV.25. Histograma pentru lucrul frontal, odată cu cel de la tablă 159 IV.26. Ierarhizarea mijloacelor didactice folosite în ora de matematică 162 IV.27. Distribuţia frecvenţelor pentru tratarea diferenţiată în orele de matematică 164 IV.28. Distribuţia frecvenţelor pentru aplicarea unei strategii de învăţare la matematică 172 IV.29. Distribuţia frecvenţelor pentru organizarea şi respectarea unui program de studiu 172 IV.30. Comparaţie între strategiile de învăţare a matematicii, în funcţie de media statistică 173 IV.31. Distribuţia frecvenţelor pentru construcţia imaginilor mentale 174 IV.32. Distribuţia frecvenţelor pentru studiu suplimentar 175 IV.33. Comparaţie între punctele de sprijin în învăţarea matematicii 177 IV.34. Comparaţie multicriterială între punctele de sprijin în învăţarea matematicii 178 IV.35. Comparaţie privind intenţiile elevilor de gimnaziu privind învăţarea matematicii 181 IV.36. Distribuţia frecvenţelor pentru conexiuni între matematică şi alte materii 183 IV.37. Distribuţia frecvenţelor pentru conexiuni între matematică şi practică 183

13 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 13 IV.38. Comparaţie multicriterială între preferinţele privind domeniile matematicii 186 IV.39. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea orală 190 IV.40. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea scrisă 190 IV.41. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea practică 191 IV.42. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea prin portofolii 191 IV.43. Distribuţia frecvenţelor pentru evaluarea prin referate 191 IV.44. Distribuţia frecvenţelor pentru subiectivitatea profesorului 195 IV.45. Distribuţia frecvenţelor pentru fraudarea evaluării 195 IV.46. Histograma pentru media la matematică în clasele V-VII 212 IV.47. Histograma pentru autoaprecierea rezultatelor la matematică 213 IV.48. Distribuţia frecvenţelor pentru depăşirea obstacolului prin efort propriu 216 IV.49. Distribuţia frecvenţelor pentru depăşirea obstacolelor cu ajutorul altei persoane 216 IV.50. Distribuţia frecvenţelor pentru abandonarea sarcinii de lucru în faţa obstacolului 217 IV.51. Comparaţie între comportamentele elevilor în faţa obstacolelor, în funcţie de performanţa şcolară 218 IV.52. Comparaţie între comportamentele elevilor în faţa obstacolelor, în funcţie de mediul de provenienţă 219 IV.53. Distribuţia frecvenţelor pentru percepţia elevilor asupra erorilor în învăţarea matematicii 220 IV.54. Distribuţia frecvenţelor pentru percepţia elevilor asupra obstacolelor în învăţarea matematicii 220 IV.55. Distribuţia frecvenţelor pentru încurajarea întrebărilor şi oferirea de explicaţii 226 IV.56. Distribuţia frecvenţelor pentru încurajare şi laudă 226 IV.57. Distribuţia frecvenţelor pentru permisivitatea exprimării 227 IV.58. Distribuţia frecvenţelor pentru sancţionarea indisciplinei 227 IV.59. Distribuţia frecvenţelor pentru solicitările preferenţiale din partea profesorului 229 IV.60. Distribuţia frecvenţelor pentru atenţia acordată elevilor 230 IV.61. Distribuţia frecvenţelor pentru acordarea ajutorului solicitat 230 IV.62. Distribuţia frecvenţelor pentru scoaterea nepreferenţială a elevilor la tablă 231 IV.63. Distribuţia frecvenţelor pentru ironizarea elevilor care fac greşeli/erori 231 IV.64. Distribuţia frecvenţelor pentru explicitarea greşelilor făcute de elevi 232 IV.65. Distribuţia frecvenţelor pentru sancţionarea prin notă a greşelilor 232

14 14 Daniela Căprioară IV.66. Comparaţii între dimensiunile afective ale contextului de învăţare 233 IV.67. Comparaţie între percepţiile elevilor asupra factorilor cu efect destabilizator 240 IV.68. Comparaţie între percepţiile elevilor privind dificultatea diciplinelor matematice 245 IV.69. Comparaţii privind atribuirea cauzală a greşelilor/erorilor în învăţare 250 IV.70. Comparaţii privind atribuirea cauzală a greşelilor/erorilor în învăţare în funcţie de rezultatele elevilor la matematică 250 IV.71. Distribuţia procentelor pentru investiţia de efort în învăţare 251 IV. 72. Distribuţia procentelor pentru nevoia de atenţie/sprijin din partea profesorului 252 IV.73. Histograma pentru evaluarea iniţială 254 IV.74. Histograma pentru evaluarea finală 254

15 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 15 PREFAŢĂ Studiul obstacolelor şi al erorilor în predarea şi învăţarea matematicii din gimnaziu - o realizare didactică şi ştiinţifică valoroasă Supunerea la proba adevărului, cu întemeiere didactică asociată examinării conţinutului ştiinţific, teoretico-metodologic şi al repertoriului contribuţiilor inovatoare realizate de autoare, lector universitar Daniela Căprioară, Universitatea Ovidius din Constanţa, distins metodolog în Didactica domeniului matematică, doctor în Ştiinţele Educaţiei, reprezintă, neîndoielnic, o provocare legitimă pentru orice specialist, profesor sau evaluator avizat. Avem în vedere pătrunderea prin investigare empirică, sistematică în mecanismele utile demantelării fenomenologiei obstacolelor şi a erorilor în studiul matematicii şcolare. Părtaş direct, în calitate de coordonator ştiinţific, la temeinicul, rigurosul, dar şi nuanţatul drum parcurs de autoare în stagiul de doctorantură, am sedimentat în timp câteva dintre valorile adăugate la acest complicat subiect, puţin cercetat în literatura română de specialitate, matematică şi ştiinţele educaţiei. Câteva argumente generale şi particulare de susţinere sunt utile prezentei introduceri în universul lucrării. Tema obstacolelor şi a erorilor în predarea-învăţarea matematicii în gimnaziu este interesantă şi provocatoare pentru orice expert în ştiinţele matematicii, disciplină din corpul comun prezent în zona şcolarităţii obligatorii. Să recunoaştem fără rezerve că autoarea, doamna Daniela Căprioară, a dovedit mult curaj, constantă tenacitate şi fineţe a nuanţelor analitice devenind model de abordare şi competenţă de înalt nivel în dinamica acestei legitime probleme. În sprijinul afirmaţiei noastre aducem câteva elemente de sprijin. Invocăm, în acest plan, complexitatea problematicii studiate şi abordarea ei dintr-o perspectivă interdisciplinară, evidente fiind întâlnirile dintre epistemologie, gnoseologie şi didactica novatoare aplicată, pe care le apreciem ca fiind valori ştiinţifice, devenite priorităţi. Evidenţiem pentru început planul doi al investigaţiei, explicit valoarea distinctă pe care o oferă problematica obstacolelor şi a erorilor în

16 16 Daniela Căprioară didactica matematicii. Startul, deşi pare unul tentant, nu a fost deloc unul comod, cel puţin semantic şi pragmatic-funcţional, unde nu găsim elemente referenţiale de orientare a discursului. Ne este destul de clară, astfel, motivaţia intrinsecă ce domină fundamentele eforturilor autoarei. Pe cale de consecinţă, autoarea înregistrează o primă tentativă reuşită pe deplin, anume distincţia dintre eroare şi greşeală. Este prezent şi un alt accent: importanţa valorificării didactice a obstacolelor şi a erorilor în învăţarea şcolară, cu sublinierea riscurilor pe care atitudinea de non-intervenţie profesionaldidactică a multor cadre didactice le presupune, logica identificării şi tratării pedagogice a erorilor devenind astfel o necesară abordare de tip fiabilitate psihopedagogică. Studiind cu atenţie literatura de specialitate cu referire la aceste probleme, autoarea forţează economia cunoaşterii utile şi prezintă, cu exemple ilustrative şi interesante comentarii specifice domeniului matematicii de gimnaziu, tipologia obstacolelor, realizată de Jean-Pierre Astolfi. * * * Reţine atenţia credibilitatea pedagogică acordată de autoare modelului triangular al sistemului didactic: obstacole epistemologice, specifice conţinutului noţional, obstacole psihologice, caracteristice elevului, şi obstacole didactice, referitoare la strategiile didactice. Valorizat contextual este şi un alt reper, anume taxonomia erorilor, pornind de la triada: a) tipologia obstacolelor; b) procesele specifice triunghiului pedagogic - predare, învăţare, formare (evidenţiate de Jean Houssaye) şi c) modelul de analiză didactică a erorilor, categorial inventariate ca erori de intrare, erori de organizare şi erori de execuţie (elaborat de pedagogul spaniol Saturnino de la Torre de la Torre). Aceste repere teoretice structurează, în bună măsură, câmpul de investigare empirică a problematicii, în special selectarea variabilelor, formularea ipotezelor, enunţul obiectivelor şi, mai apoi, interpretarea rezultatelor. Considerăm oportună evidenţierea, în acest context, a exerciţiului privind focalizarea/baleiajul analizelor asupra matematicii de gimnaziu. Explicaţia oferită, după cum reiese şi din conţinutul lucrării, constă în aceea că asistăm de ceva vreme la orientarea instruirii la matematică îndeosebi spre învăţământul de elită, o centrare mai ales implicită pe identificarea şi valorificarea elevilor cu aptitudini deosebite

17 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 17 pentru matematică. Sesizăm, în acelaşi timp, şi manifestarea unui fenomen de degradare a învăţământului matematic de masă, fapt demonstrat de rezultatele înregistrate la diferite evaluări locale, naţionale şi internaţionale. Ori, după cum se ştie, matematica de gimnaziu reprezintă partea cea mai substanţială a culturii matematice a unui elev, tânăr ca viitori cetăţeni. Prin urmare, suntem de acord cu opinia autoarei că se impune o regândire, pe baze unei concepţii clare, a unor date didactico-metodologice a întregului proces de instruire la matematică în gimnaziu. Lucrarea doamnei Daniela Căprioară ne convinge de necesitatea unui asemenea demers de durată şi încărcat de adâncă responsabilitate socială. Complexitatea variabilelor ce definesc analiza calitativă a fenomenului educaţional prin referinţele studiului matematicii devine un alt centru de greutate al lucrării de faţă. Selectarea şi analiza acelor variabile cu un grad sporit de semnificaţie pentru tema cercetată constituie o serioasă piatră de încercare pentru un cercetător. Un criteriu pe care autoarea l-a urmărit în selectarea variabilelor de cercetare a fost surprinderea celor mai importanţi factori ai subsistemului didactic, asumându-şi riscul pe care îl presupune o astfel de selecţie: acela de a omite alte aspecte relevante pentru problematica studiată. De altfel, aşa cum reiese şi din conţinutul lucrării, autoarea nu are pretenţia de a face o prezentare exhaustivă a problemei abordate ci, mai degrabă, de a induce o sensibilizare a actorilor educaţiei, o conştientizare a celor interesaţi de didactica matematicii, printre care menţionăm conceptorii de curriculum, profesorii practicieni şi elevii, faţă de problematica erorilor şi a greşelilor în predarea învăţarea matematicii în gimnaziu. Astfel, în ceea ce priveşte elevul, lucrarea conţine rezultate interesante referitoare la motivaţia elevilor pentru învăţarea matematicii de gimnaziu, strategiile de învăţare a matematicii, concepţia elevilor privind statutul erorilor în învăţare şi corelarea acestora cu performanţele elevilor la matematică. Pentru a obţine informaţii referitoare la conduita profesorilor de specialitate, au fost colectate, analizate şi interpretate opinii, valori şi rezultate privind strategiile de predare a matematicii în gimnaziu, strategiile de evaluare a rezultatelor învăţării matematicii în gimnaziu şi concepţia profesorilor privind statutul erorilor în învăţare. În domeniul curriculum-ului matematic, atenţia autoarei a fost focalizată pe gradul de reprezentativitate al aplicaţiilor matematicii în practică şi pe identificarea elementelor de continuitate şi de discontinuitate la nivelul curriculum-ului

18 18 Daniela Căprioară matematic. Un efort apreciabil a fost depus pentru a surprinde, la nivelul fiecărei variabile, factorii ce constituie obstacol pentru învăţarea eficace a matematicii. Natura şi specificul setului de competenţe pe care trebuie să le probeze cercetătorul pentru a reuşi analiza profundă a problematicii studiate a reprezentat un alt criteriu de analiză pe care îl propunem cititorului. Din acest punct de vedere, pregătirea teoretică (psiho-pedagogică şi de specialitate) a doamnei Daniela Căprioară şi experienţa sa didactică în activitatea nemijlocită cu elevii, ca profesor de matematică, s-au îmbinat într-un mod fericit cu spiritul său analitic şi întemeiata curiozitate ştiinţifică orientată spre a surprinde esenţa fenomenelor abordate. Cercetarea realizată de autoare este predominant diagnostică, dar sunt prezente şi unele aspecte prognostice ale procesului educativ. Metodologia de cercetare este una complexă, autoarea manifestând imaginaţie mentală în combinatorica instrumentelor utilizate. O probă evidentă a acestei calităţi o reprezintă faptul că fiecare dintre cele 10 variabile ale cercetării este cercetată prin cel puţin două metode. Menţionăm, de asemenea, ca pozitivă şi bine stăpânită competenţa de eşantionare, aceasta având un nivel ridicat de reprezentativitate. Eşantioanele pe care s-a investigat/cercetat au fost selectate cu multă abilitate. Menţionăm că pentru studiul de caz (cercetarea produselor elevilor) au fost analizate 300 de lucrări din 12 unităţi şcolare (licee şi şcoli generale) din judeţul Constanţa. Chestionarele au cuprins un număr de 176 de itemi cercetând fiecare dintre cele 10 variabile, eşantionul fiind alcătuit din 350 de elevi provenind din 22 de clase şi reprezentând 19 localităţi din 4 judeţe situate în zona de sud-est a României - Constanţa, Tulcea, Brăila, Călăraşi şi Municipiul Bucureşti. Spectrul valorilor şi semnificativul potenţial persuasiv prezente în lucrare dau calitate rezultatelor şi interpretărilor generate ca urmare a aplicării aparatului statistic. Spectrul metodelor de cercetare este definit de observaţie, analiza documentelor curriculare, studiul de caz (cercetarea produselor elevilor), focus-grupul, experimentul didactic şi ancheta pe bază de chestionar. Datele obţinute au fost prelucrate statistic (cu ajutorul programului SPSS 14.), realizarea operaţiilor statistice de bază fiind reprezentate de tabelele de frecvenţă, calcularea indicatorilor tendinţei centrale (media, mediana, modul, abaterea standard), reprezentarea grafică

19 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 19 a distribuţiilor de frecvenţe, testarea ipotezelor statistice (prin aplicarea testului neparametric Wilcoxon, pentru eşantioane perechi) şi analiza corelaţională (prin aplicarea coeficientului de corelaţie ρ Spearman). Calităţile autoarei, profesor metodician cunoscut ca fin observator al conduitei şi comportamentului elevului, respectiv ale profesorului de matematică, precum şi cunoaşterea profundă a particularităţilor transinformaţiei (concept introdus de noi) sau de transpoziţie didactică (utilizat de literatura franceză), prin care matematica-ştiinţă devine matematică-disciplină şcolară, i-au facilitat o interpretare cu ridicată validitate ecologică a datelor obţinute în urma cercetării. Concluziile formulate în partea finală a lucrării constituie puncte de reflecţie pentru toţi actorii educaţionali, cu o perspectivă specială pentru cei cu putere de decizie în domeniul curriculum-ului şi al didacticii matematicii. Reliefăm câteva dintre acestea: - curriculum-ul matematic pentru gimnaziu nu evidenţiază într-o măsură suficientă caracterul practic-aplicativ al cunoştinţelor matematice, raportarea la practicile sociale de referinţă fiind foarte redusă în raport cu specificul disciplinei şi nevoile specifice vârstei elevilor de gimnaziu; - există multe elemente de discontinuitate la nivelul curriculum-ului matematic, între nivelurile de învăţământ, în ceea ce priveşte natura conţinuturilor, strategiile de predare şi scopurile urmărite prin învăţarea şcolară; - strategiile didactice folosite în desfăşurarea procesului de instruire la matematică în gimnaziu (predare-învăţare-evaluare) sunt foarte puţin adecvate unei învăţări active, au un caracter slab motivant pentru elevi, predominând metodele tradiţionale, aplicate frontal; - elevii nu au obişnuinţa reprezentării mentale a conţinuturilor învăţării şi nu verbalizează într-o măsură suficientă situaţiile matematice; - strategiile didactice utilizate nu sunt orientate spre a asigura formarea unei competenţe matematice, tradusă prin capacitatea de a stăpâni conceptele, de a interpreta matematic o situaţie dată şi de a o modela corespunzător nivelului de vârstă; - tratarea corespunzătoare din punct de vedere didactic a obstacolelor şi a erorilor cu care se confruntă elevii în învăţarea matematicii nu se poate realiza decât printr-un efort de cunoaştere sistematică a logicii pedagogice, focalizată pe o ierarhie a gradelor de

20 20 Daniela Căprioară înţelegere a matematicii şi printr-un real proces de individualizare a procesului de instruire; - motivaţia elevilor este mai puţin intrinsecă şi orientată spre dobândirea unor cunoştinţe de calitate, şi mai mult spre obţinerea de note cât mai mari, care să le asigure accesul la un nivel superior de învăţământ. Apreciem că publicarea lucrării de faţă de către prestigioasa Editura Universitară din Bucureşti vine într-un moment în care, de la didactica generală la didactica matematicii, în mod special, se simte nevoia de mai multă aplecare spre cercetarea şi înţelegerea nevoilor exprimate de elevi în confruntarea lor cu provocările educaţiei moderne, de elaborarea şi publicarea unor lucrări de didactica ştiinţelor, cu un referenţial pedagogic substanţial, bazat pe cercetări autentice. Semnalăm pozitiv, totodată, valoarea aparatului bibliografic, cu acoperire referenţială la zone de interes ştiinţific în Europa şi, firesc, în Romania. I se asociază, fericit, un stil ales, stimulativ pentru lectura reiterativă. Valorile ştiinţifice probate, utilitatea certă a lucrării, spiritul de înţelegere adâncă a temei, modernitatea întregului demers explorativ, conferă prezentei lucrări vocaţia deschiderii la acceptanţa unor noi experienţe investigative, lansând invitaţia la lectură atentă, la reflecţie asupra destinului studiului matematicii integrate culturii generale, asimilării şi gestionării inteligente a unor noi modele şi instrumentaţii mentale. Sintetic vorbind, avem în vedere şi şansa unui nou orizont pedagogic. Bucureşti, 2012 Prof. univ. dr. Ioan Neacşu Facultatea de Psihologie şi Ştiinţe ale Educaţiei Universitatea din Bucureşti

21 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 21 INTRODUCERE Didactica ştiinţelor se fundamentează pe o logică specifică ce reprezintă rezultanta a cel puţin trei direcţii prioritare de acţiune ale acesteia: logica internă a conţinutului prelucrat în procesul de predare-învăţare, logica proprie gândirii cadrului didactic şi, nu în ultimul rând, logica elevului aflat în situaţia de învăţare. Practica didactică a demonstrat că favorizarea uneia sau alteia dintre acestea, în detrimentul celorlalte, se răsfrânge negativ asupra calităţii procesului de instruire, iar măiestria didactică constă tocmai în îmbinarea optimă a acestor coordonate şi aflarea stării de echilibru dintre ele. Referitor la logica internă a conţinuturilor ce trebuie predate-învăţate, elaborată în procesul transinformaţiei, aceasta trebuie să asigure coerenţa şi consistenţa corpusului informaţional ce se urmăreşte a fi însuşit de către elev, dar, în egală măsură, trebuie să urmeze, prin formă şi conţinut, legităţile construcţiei psihogenetice a conceptelor. Ajungem, astfel, la cheia de boltă a procesului de învăţare: construirea cunoaşterii la nivelul elevilor (cu referire, în mod special, la cunoaşterea de tip şcolar, dar şi la integrarea acesteia în universul de cunoaştere al elevului). Din acest punct de vedere, considerăm că matematica este una dintre materiile de studiu care ridică destul de multe probleme elevilor (fapt confirmat cel puţin de rezultatele obţinute în ultimii ani la probele de matematică din cadrul evaluărilor naţionale sau internaţionale precum TIMSS - Trend in International Mathematics and Science Study ori PISA - Programme for International Student Assessement). Se spune că matematica este un brand pentru România. Aceasta este o realitate dacă analizăm situaţia din cel puţin două perspective. În primul rând se situează rezultatele absolut remarcabile obţinute de participanţii români la diferite competiţii internaţionale de matematică: o scurtă retrospectivă a rezultatelor obţinute de Lotul Olimpic Român la OIM - Olimpiada Internaţională de Matematică 1, în perioada , ne arată 1 Sursa informaţiilor: Primele două etape ale OIM s-au desfășurat în România în 1959, respectiv De atunci a avut loc în fiecare an cu excepția anului 1980, România fiind gazdă de 5 ori (1959, 1960,

22 22 Daniela Căprioară că România a fost pe podium de 18 ori: de 5 ori locul I (1959, 1978, 1985, 1987, 1996), de 5 ori locul al II-lea (1960, 1979, 1988, 1989, 1995) şi de 8 ori locul al III-lea (1961, 1962, 1963, 1965, 1965, 1984, 1991, 1992), iar în anul 2012, la cea de-a 53-a etapă a OIM, olimpicii români au obţinut 6 medalii (2 de aur, 3 de argint şi 1 de bronz), situându-se pe primul loc în Europa şi pe locul 10 în lume. În al doilea rând, menţionăm rezultatele obţinute de şcoala românească de matematică, mai exact de cercetarea matematică din ţara noastră, rezultate recunoscute şi apreciate pe plan internaţional. Aceste aspecte capătă o valoare aparte dacă luăm în calcul faptul că putem vorbi de învăţământ matematic în România doar de aproximativ un secol şi jumătate. Şi totuşi... dacă la olimpiade ne situăm pe locurile fruntaşe, nu putem fi prea optimişti când avem în vedere învăţământul matematic de masă din ţara noastră. Pentru a ilustra situaţia acestuia prezentăm câteva rezultate: la testul internaţional TIMSS-R de evaluare a elevilor de nivelul clasei a VIII-a, aplicat în anul 2003, elevii români s-au plasat pe locul 23 din 45 de ţări participante (cu 466 de puncte, faţă de 475 punctajul mediu), iar în anul 2011, rezultatele obţinute au plasat România tot pe la jumătatea clasamentului (cu 465 de puncte, faţă de 500 punctajul mediu). Faţă de anul 1995, când elevii români au participat pentru prima dată la acest test, rezultatul obţinut în anul 2011 a scăzut cu 6 puncte 2. Tot în acest context, menţionăm rezultatele obţinute de elevii români de gimnaziu, participanţi la Programul pentru evaluarea internaţională a elevilor-pisa 3 : în anul 2006, România s-a situat pe locul 47 din 57 de ţări participante (cu 418 puncte, mult sub punctajul mediu de 500 de puncte de la nivelul Uniunii Europene), iar în 2009 s-a clasat pe locul 47 din 74 de ţări şi sisteme educaţionale participante (cu 427 de puncte, media fiind de 499 de puncte). Pe de altă parte, rezultatele obţinute de elevi la probele de matematică din cadrul Evaluărilor Naţionale şi de la Bacalaureat sunt, în ultima vreme, din ce în ce mai slabe. Deci, se pune în mod firesc întrebarea: care este, de fapt, situaţia învăţământului matematic în ţara noastră? 1969, 1978, 1999). Numărul de țări participante a crescut treptat, de la șapte țări din Europa de Est (Bulgaria, Cehoslovacia, Polonia, RDG, România, Ungaria și URSS) în 1959 (52 de concurenţi), la 100 de ţări din 5 continente în 2012 (548 de concurenţi). 2 Informaţii obţinute de pe site-ul NCES-The National Center for Education Statistics: 3

23 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 23 Din unele studii menţionate mai sus reiese faptul că mai mult de jumătate dintre elevii români de ciclu gimnazial au o atitudine pozitivă faţă de studiul matematicii, deşi raportul dintre efortul investit în studiul acestei discipline şi beneficiul obţinut (pe termen scurt, în activitatea curentă la clasă, pe termen mediu, în evoluţia şcolară ulterioară, şi pe termen lung, în valorificarea cunoştinţelor şi exersarea competenţelor dobândite la cursurile de matematică) este în defavoarea elevului, fiind mult peste unitate. În aceste condiţii, putem formula concluzia că elevii (dar nu numai ei!) întâmpină dificultăţi în studiul matematicii şcolare. Din multitudinea perspectivelor din care poate fi abordată această problemă, ne-am concentrat atenţia asupra uneia pe care o considerăm centrală: cea a obstacolelor şi a erorilor în predarea şi învăţarea matematicii în gimnaziu. Aşadar, prin lucrarea de faţă ne-am propus, pe de o parte, să identificăm o parte dintre obstacolele cu care se confruntă elevii de gimnaziu, şi, implicit, profesorii, în procesul instruirii la matematică, iar pe de altă parte, am urmărit evidenţierea unora dintre erorile întâlnite în mod frecvent în învăţarea matematicii. Pentru atingerea acestor obiective, demersul nostru a avut două coordonate: cercetarea bibliografică, respectiv cercetarea empirică. Prin urmare, lucrarea este structurată în două părţi esenţiale: fundamentarea teoretică a problematicii obstacolelor şi a erorilor (capitolele I şi II), respectiv prezentarea cercetării acestor probleme şi examinarea comentată a rezultatelor înregistrate (capitolele III şi IV). Aşadar, în primul capitol este realizată o introducere sintetică în câmpul problematic al didacticii, prin analiza polarităţilor didactica tradiţională-didactica modernă, respectiv didactica generală-didactica ştiinţelor. În cel de-al doilea capitol, ne-am propus o analiză teoretică generală a obstacolelor cu care se confruntă elevii în învăţarea matematicii, precum şi a erorilor specifice acestei activităţi. Ideile promovate în această parte a lucrării au la bază o abordare constructivistă a procesului de învăţare şi, prin urmare, conturează o altă perspectivă asupra statutului erorilor în procesul de învăţare: valorificarea erorilor, ca strategie didactică pentru eficientizarea învăţării. Capitolul al treilea este dedicat prezentării elementelor de metodologie care au structurat, orientat şi susţinut cercetarea pedagogică

24 24 Daniela Căprioară realizată în scopul culegerii şi prelucrării datelor necesare formulării unor concluzii referitoare la problema studiată. În capitolul al patrulea sunt prezentate şi interpretate rezultatele obţinute în urma demersului de cercetare a problematicii obstacolelor şi a erorilor în învăţarea matematicii în gimnaziu. Mai trebuie să subliniem faptul că, pe tot parcursul lucrării, demersul investigativ a fost dirijat de două aspecte fundamentale ale învăţării matematicii la nivel de gimnaziu: centrarea actului didactic pe formarea conceptelor matematice şi operaţionalizarea acestor concepte prin utilizarea lor în abordarea şi rezolvarea problemelor teoretice şi practice de natură matematică. Însă, fondul pe care se construiesc aceste deziderate este constituit de dialogul dintre mentalul cadrului didactic (expertul) şi mentalul elevului (novicele): posibilităţile elevului de a se angrena şi de a se menţine în demersul cognitiv iniţiat şi monitorizat de profesor sunt cu atât mai mari, cu cât logica profesorului în construirea cunoaşterii de tip şcolar este mai apropiată de cea a elevului căruia i se adresează. De ce am ales ciclul gimnazial? Pentru că studiul matematicii în gimnaziu are o importanţă deosebită (prin implicaţiile sale) şi, în consecinţă, trebuie să-şi câştige atenţia pe care o merită. Susţinem această afirmaţie prin câteva argumente. În primul rând, în ciclul gimnazial elevii se confruntă cu adevărata matematică (atât prin diversificarea domeniilor de studiu specifice: aritmetică, algebră, geometrie, cât şi prin introducerea în studiu a majorităţii conceptelor ce reprezintă o componentă de bază a culturii matematice a fiecărui om). În al doilea rând, este întâlnită destul de des opinia potrivit căreia e mult mai uşor să fii profesor de matematică la gimnaziu decât la liceu. Poate că, din punctul de vedere al complexităţii conţinuturilor de specialitate ce trebuie prelucrate didactic, la clasă, adevărul este pe aproape. Însă, dacă reflectăm asupra faptului că matematica din liceu operează, pe de o parte, cu concepte ale căror baze s-au pus în gimnaziu (lărgirea conceptului de număr, formarea câmpului conceptual al ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii, al celui de funcţie, de figură geometrică etc.), iar pe de altă parte, cu un mod de gândire educat în cadrul orelor de matematică din gimnaziu, atunci lucrurile nu mai stau chiar aşa. Gimnaziul este perioada în care elevul îşi formează şi îşi dezvoltă gândirea abstractă (logico-formală) prin operaţiile specifice acesteia; acum elevii pătrund în domeniul modelării

25 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 25 şi al formalizării matematice, iar natura performanţelor cognitive aşteptate de la ei se modifică radical faţă de ciclul primar. Mai putem adăuga faptul că în această etapă se dobândesc cunoştinţe utile în practică şi care nu se mai studiază în liceu (cum ar fi, spre exemplu, cunoştinţele de geometrie euclidiană). Considerăm, aşadar, că, aşa cum evoluţia şcolară a copilului depinde de modul în care învăţătorul îl iniţiază în meseria de elev şi îi prezintă contractul pedagogic, tot aşa evoluţia ulterioară a elevului în studiul matematicii este în mod decisiv marcată de modul în care profesorul de matematică din gimnaziu şi-a făcut meseria de profesor. Prin urmare, procesul de instruire la matematică în perioada gimnaziului trebuie privit cu mai multă responsabilitate din partea tuturor factorilor implicaţi, în mod direct sau indirect, în desfăşurarea acestuia. Lucrarea de faţă se înscrie în rândul preocupărilor matematicienilor şi didacticienilor din ţara noastră pentru o educaţie matematică de calitate. Ţinem să adresăm călduroase mulţumiri tuturor celor ce au contribuit la realizarea cercetării: elevilor, care au depus efortul de a răspunde cu seriozitate la întrebările din chestionare, studenţilor-practicanţi implicaţi în activitatea de cercetare, conducerilor unităţilor de învăţământ implicate în diferite componente ale cercetării, colegilor, profesori de matematică, pentru contribuţiile aduse în cadrul focus-grupurilor desfăşurate. Elaborarea lucrării mi-a oferit privilegiul de a colabora cu doi dascăli de excepţie: prof. univ. dr. Mirela Ştefănescu, care mi-a deschis drumul în didactica matematicii, şi prof. univ. dr. Ioan Neacşu, care m-a îndrumat cu deosebită delicateţe şi profesionalism desăvârşit pentru depăşirea obstacolelor specifice realizării unui astfel de studiu. Pentru toate acestea, profunde sentimente de recunoştinţă şi calde mulţumiri!

26 26 Daniela Căprioară I. DIDACTICA ŞTIINŢELOR. SUCCINTĂ ANALIZĂ TEORETICĂ I. 1. Didactica generală între tradiţional şi modern. De la didactica generală la didactica ştiinţelor Fiinţa umană a fost preocupată dintotdeauna de transmiterea către generaţiile următoare a cunoaşterii dobândite în diverse domenii, prin găsirea căilor şi a metodelor celor mai eficiente pentru a realiza acest transfer de cunoaştere. De-a lungul timpului, aceste preocupări s-au constituit într-un domeniu teoretico-aplicativ, care, mai târziu, s-a numit didactică. Apariţia şcolii, ca instituţie de instruire şi educare a tinerilor, a dat o altă dimensiune acestui domeniu de cunoaştere şi activitate. Deşi termenul didactică a fost utilizat sub diverse forme şi înţelesuri: didactic adjectiv sau adverb, didactică, didacticism, didaxologie (Astolfi & Develay, 2002, pp. 3-6), originile lui fiind în grecescul didactikos, el este consacrat prin opera lui Jan Amos Comenius ( ), Didactica magna, apărută în limba cehă şi tradusă la scurtă vreme în limba latină, fapt ce i-a permis o largă răspândire în diverse culturi. Această apariţie a fost considerată o autentică revoluţie în teoria şi practica învăţământului (Ionescu & Radu, coord., 2004, p. 13), iar secolul al XVII-lea a fost numit şi secolul didacticii. Însă, constituirea didacticii ca domeniu bine individualizat de preocupări în domeniul educaţiei este datorată lui Johann Friedrich Herbart ( ), filozof şi matematician cu activitate şi contribuţii valoroase în domeniul pedagogiei, acesta fiind considerat părintele didacticii (Ionescu & Radu, op. cit, p. 19). În evoluţia didacticii se pot distinge două etape, diferenţiate atât din punct de vedere cronologic, cât şi al ariei de preocupări. O primă etapă, cea a didacticii tradiţionale (clasice), preponderent normativă, a fost caracterizată prin dezvoltarea doctrinei pedagogice a lui Comenius, în care didactica era considerată arta de a-i învăţa pe toţi totul. Ca ramură a

27 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 27 ştiinţelor educaţiei, această didactică studiază şi fundamentează pe baze ştiinţifice analiza, proiectarea, desfăşurarea şi evaluarea procesului de instruire şi educare. Ea vizează aspectele instituţionale ale instruirii, având ca zonă de interes şi obiect de studiu esenţa procesului de învăţământ, cu scopul şi sarcinile sale; procesul de învăţământ şi factorii acestuia; conţinutul învăţământului; principiile, metodele şi formele organizatorice ale activităţii instructiv-educative; organizarea învăţământului: clasa, şcoala şi sistemul educaţional; profesorul (Ionescu & Radu, op. cit., p. 23). Cea de-a doua etapă este caracterizată atât de extinderea ariei problematicii, cât şi de modificarea naturii aspectelor educaţionale abordate. Aceasta corespunde didacticii moderne, psihologice, care este explicativă şi normativă (Ionescu & Radu, op. cit, p. 23). Astfel, interesul manifestat de didactica modernă depăşeşte cadrul instituţional al educaţiei şi instruirii, vizând şi educaţia continuă (prin formele ei cele mai răspândite autoinstruirea şi didactica adulţilor), ca răspuns la provocările cunoaşterii oferite de societatea contemporană. În ceea ce priveşte natura problemelor abordate de didactica modernă, aceasta este definită de studiul componentelor fundamentale ale sistemului didactic (cunoaşterea de tip şcolar-profesorul-elevul), sintetizate prin modelul triunghiului didactic, precum şi de relaţiile ce se stabilesc între acestea în contextul didactic (de predare-învăţare-formare). M. Ionescu (2004, pp.28-30) identifică şi elaborează o listă de direcţii de studiu şi acţiune în didactica modernă, sintetizate prin trei perspective asupra didacticii propuse de J.-P. Astolfi şi M. Develay (2002, pp ), în scopul perceperii mai clare a funcţiilor acesteia: didactica-cercetare, didactica-formare şi didactica-acţiune. Perspectiva teoretică defineşte didactica-cercetare, a cărei arie ocupaţională vizează delimitarea şi dezvoltarea câmpului conceptual specific acestui domeniu de cunoaştere, identificarea şi explorarea problemelor specifice, abordarea şi valorificarea unor fenomene educaţionale nesesizate până în prezent, dar cu efecte pozitive asupra finalităţilor procesului instructiv-educativ. Perspectiva complementară, anume cea aplicativă, promovează didactica-acţiune, care ghidează şi susţine practica utilizatorului cadrul didactic în activitatea curentă şi nemijlocită cu elevii, în condiţiile concrete de la clasă, fiind centrată pe aplicarea metodologiei didactice necesare derulării optime a actului instructiv-educativ.

28 28 Daniela Căprioară Perspectiva bipolară, dialectic unitară, cea teoretico-aplicativă, evidenţiază didactica-formare, definită prin prisma formării tinerelor generaţii (prin elaborarea modelului uman de referinţă pentru educarea şi instruirea acestora), furnizând instrumente utile desfăşurării actului educaţional, precum şi explicaţii pertinente pentru dificultăţile cu care se confruntă elevii în învăţare. Perspectiva didacticii asupra acestor dificultăţi este una optimistă, ea înlăturând cauzele externe asupra cărora profesorul nu poate acţiona şi centrându-se pe factori pe care profesorul, printr-o mai bună pregătire profesională, îi poate controla (spre exemplu, conţinutul predat). Didactica, definită în mod clasic ca ştiinţă şi artă a predării, este puternic determinată atât de evoluţia cunoaşterii ştiinţifice, cât şi de schimbările sociale şi culturale majore pe care societatea, în ansamblul ei, le înregistrează. Pe de-o parte, ritmul tot mai alert cunoscut de dezvoltarea ştiinţei în ultimele decenii, iar pe de alta, modificările de paradigmă înregistrate la nivel socio-economic, politico-ideologic şi cultural au reprezentat o provocare extrem de serioasă pentru sistemul de învăţământ. Fiind nevoită să prelucreze şi să transmită informaţii din ce în ce mai multe şi mai variate şi, în acelaşi timp, să contureze un nou profil al omului contemporan, capabil să se integreze în societatea actuală, şcoala este supusă unui efort continuu de a găsi soluţii noi pentru aceste probleme. Prin urmare, didactica este şi trebuie să rămână unul dintre cele mai dinamice domenii ale Ştiinţelor educaţiei. Aşa cum am arătat mai sus, didactica modernă este interesată, printre altele, de identificarea şi tratarea dificultăţilor pe care le întâmpină elevii în învăţare. În acest scop, ea se orientează, în primul rând, spre conţinuturile înseşi ale predării-învăţării, dintr-o perspectivă epistemologică. Didactica generală nu poate răspunde acestui imperativ, fiind necesară conturarea şi dezvoltarea didacticilor specifice fiecărei discipline. Atât prin natura conţinuturilor specifice ce trebuie prelucrate didactic, cât şi prin specificul competenţelor ce trebuie formate, ştiinţele s-au detaşat în cadrul disciplinelor şcolare, constituindu-şi şi dezvoltându-şi o didactică aparte, cu o terminologie specifică şi cu un câmp de cercetare şi acţiune propriu. Referindu-se la cauzele care au determinat apariţia şi dezvoltarea cercetărilor în didactica ştiinţelor, J.-P. Astolfi şi M. Develay (2002, p. 5), citează: următoarele două decenii vor fi capitale în ceea ce priveşte educaţia ştiinţifică (...). Cercetarea în didactică este un prim studiu critic

29 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 29 teoretic pentru a încerca fundamentarea practicilor pedagogice, nu pe tradiţie sau pe empirism, ci pe o abordare raţională a acestor probleme (...). De fapt, însuşirea cunoaşterii a fost abordată întotdeauna, de către pedagogii care s-au interesat de ea, într-un mod doctrinar. Pentru a depăşi această etapă, este necesară, fără îndoială, o abordare bazată pe un corpus de ipoteze pedagogice, susţinute din perspective epistemologice şi psihologice (Giordan, Astolfi, Develay & alii, 1983). S-au conturat, astfel, priorităţile şi direcţiile de acţiune în etapa actuală pentru didactica generală şi, în mod special, pentru didactica ştiinţelor. I.2. Orientări şi tendinţe actuale în didactica matematicii În prefaţa lucrării Enseignement et apprentissage des mathématiques (Predarea şi învăţarea matematicii, trad. n.), M. Fayol afirmă: Societăţile noastre tehnologice se confruntă cu o problemă extrem de delicată: pe de o parte, dezvoltarea tehnologiilor necesită formarea şi angajarea unui număr tot mai mare de tehnicieni, de ingineri şi de cercetători în domeniile matematicii şi ale ştiinţelor, iar pe de altă parte, toate cercetările internaţionale pun în evidenţă o scădere generală a preocupărilor tinerelor generaţii pentru aceste discipline ştiinţifice sau altele ce le sunt asociate. Mai mult, comparările internaţionale au pus în evidenţă nivele de performanţă relativ modeste în ştiinţe şi matematică în ţările latine (Crahay & alii, coord., 2005, p. 5). Cercetările privind predarea şi învăţarea matematicii au luat o amploare considerabilă în ultimele două decenii, constituindu-se într-un domeniu autonom de cercetare în cadrul didacticii generale. Echipele de cercetători în didactica matematicii, ce reunesc specialişti din diverse domenii (psihologi, pedagogi, matematicieni, filosofi etc.), au ca direcţii principale de cercetare (Crahay & alii, loc. cit.): a. analiza specificului învăţării matematicii în scopul identificării strategiilor celor mai eficiente de învăţare, precum şi a obstacolelor cu care elevii se confruntă în desfăşurarea acestui proces;

30 30 Daniela Căprioară b. dezvoltarea de modele conceptuale ale demersurilor cognitive pe care le realizează elevii în învăţarea matematicii, pe baza rezultatelor psihologiei în domeniul cunoaşterii şi al învăţării; c. conceperea de dispozitive pedagogice pentru eficientizarea procesului formativ, ce urmează a fi experimentate la clasă; d. furnizarea unei baze ştiinţifice solide pentru învăţarea matematicii şi promovarea unei formări de calitate în acest domeniu. Aceste obiective de cercetare au fost determinate, în principal, de două argumente. Într-un prim rând îl putem menţiona pe cel referitor la obiectul învăţării matematica şcolară, din perspectiva necesităţii restructurării şi reorganizării informaţiilor ştiinţifice, ca urmare a exploziei informaţionale caracteristică ultimelor decenii. Problemele esenţiale care se pun în acest cadru sunt: a) Ce este cu adevărat important şi util pentru elev în acest câmp de cunoaştere? b) Care este şi în ce mod poate fi transmis necesarul minim de informaţie către elevi, astfel încât să devină bază pentru o dezvoltare continuă a cunoaşterii matematice şi, mai ales, care să fie operaţional în diferite contexte? Un al doilea argument vizează subiectul învăţării elevul. În acest context, problemele cele mai importante care se pun se centrază pe: a) Cum este percepută matematica disciplină şcolară de către elevi şi, în consecinţă, cât investesc aceştia în însuşirea cunoaşterii specifice? b) Care sunt şi cum acţionează pârghiile prin care poate fi mărită eficienţa acestui tip de învăţare? O lucrare deosebit de interesantă, ce tratează această problematică, este cea a lui R. Charnay (1999), în care autorul abordează 10 întrebări esenţiale relative la necesitatea învăţării matematicii de-a lungul şcolarităţii obligatorii şi ilustrează ceea ce ar putea constitui o cultură matematică integrată unei culturi ştiinţifice. Referitor la învăţarea matematicii, E. De Corte şi L. Verschaffel (Crahay & alii, coord., 2005, p.33), consideră aceasta ca fiind o construcţie socială de semnificaţii şi înţelegeri, ce se realizează printr-un proces constructiv ce vizează dezvoltarea unei disposition à mathématiser le réel (dispoziţie de a matematiza realul, trad. n.). Din perspectiva acestor autori, învăţarea matematicii trebuie să fie dinamică, ceea ce se traduce prin trei atribute: autoreglată, contextualizată şi colaborativă. Autoreglarea, componentă esenţială a învăţământului constructiv, se referă la gradul în

31 Predarea şi învăţarea matematicii. Studiul obstacolelor şi al erorilor 31 care indivizii se implică într-un mod activ, metacognitiv, motivaţional şi comportamental în procesul lor personal de învăţare (Zimmerman, apud. Crahay & alii, op. cit., p. 36). Contextualizarea învăţării matematicii presupune realizarea acesteia în context: în relaţie cu mediul social, contextual şi cultural (Crahay & alii, loc. cit.) ca un mijloc de realizare a sensului matematicii. Caracterul colaborativ al învăţării matematicii derivă din curentul socio-constructivist asupra învăţării, conform căruia interacţiunile sociale sunt esenţiale învăţării matematicii, construcţia individuală a cunoştinţelor apărând ca rezultat al procesului de interacţiune, de negociere şi de cooperare (Crahay & alii, op. cit., p. 38). Aceste caracteristici ale învăţării, descrise succint mai sus, vin să întregească lista condiţiilor unei învăţări eficiente, care trebuie să fie participativă, activă şi creativă (Neacşu, 1999, p.12). În didactica matematicii din ţara noastră, în prezent se conturează trei direcţii de manifestare a preocupărilor specialiştilor în domeniu 4 (în acord cu Astolfi & Develay, 2002, pp ). Există, în primul rând, o direcţie ce corespunde didacticii-acţiune, promovată preponderent de matematicieni şi de profesorii de matematică şi este centrată pe conţinuturile matematice ce trebuie prelucrate şi transmise în cadrul orelor de matematică, mai exact pe transinformaţia didactică a cunoaşterii ştiinţifice matematice. În acest context, matematicienii cu preocupări în didactica matematicii sunt interesaţi de prima fază a transinformaţiei didactice (în special de alcătuirea programelor de matematică), în timp ce practicienii, profesorii de matematică, sunt, în mod firesc, interesaţi de cea de-a doua fază a acestui proces (construcţia cunoaşterii matematice la nivelul elevului). O a doua direcţie a preocupărilor în didactica matematicii româneşti ar corespunde didacticii-formare, promovată de formatorii de viitori profesori de matematică (metodicienii din universităţi). Această didactică este derivată din didactica generală (tradiţională), reprezentând o particularizare şi o adaptare a acesteia la specificul disciplinei (studiază principiile didacticii matematicii, proiectarea activităţii didactice, obiectivele matematicii şcolare, metodologia didactică, evaluarea instruirii etc.). 4 Pe baza concluziilor Workshop-ului naţional de didactica matematicii, desfăşurat la Universitatea Ovidius din Constanţa, în perioada nov

32 32 Daniela Căprioară Cea de-a treia direcţie conturată în câmpul didacticii matematicii din ţara noastră este cea a didacticii-cercetare, promovată de cercetătorii în domeniu. Eforturile acestora sunt orientate spre identificarea caracteristicilor învăţării matematicii, preocupări ce se înscriu în orientările actuale la nivel internaţional. În schema de mai jos redăm sintetic orientările actuale în didactica matematicii româneşti:. Figura I.1. Orientări actuale în didactica matematicii româneşti

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

IMPACTUL METODELOR COMPLEMENTARE DE EVALUARE ASUPRA NIVELULUI PERFORMANŢELOR ŞCOLARE ALE ELEVILOR DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR

IMPACTUL METODELOR COMPLEMENTARE DE EVALUARE ASUPRA NIVELULUI PERFORMANŢELOR ŞCOLARE ALE ELEVILOR DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR IMPACTUL METODELOR COMPLEMENTARE DE EVALUARE ASUPRA NIVELULUI PERFORMANŢELOR ŞCOLARE ALE ELEVILOR DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR - STUDIU DE CERCETARE - AIDA STOIAN IMPACTUL METODELOR COMPLEMENTARE DE

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT DIDACTIC. Clasa a VIII-a Matematică

PROIECT DIDACTIC. Clasa a VIII-a Matematică PROIECT DIDACTIC Clasa a VIII-a Matematică Proiect didactic realizat de Simona Rosu, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 1 STUDIUL SURSELOR DE CURENT

LUCRAREA NR. 1 STUDIUL SURSELOR DE CURENT LUCAEA N STUDUL SUSELO DE CUENT Scopul lucrării În această lucrare se studiază prin simulare o serie de surse de curent utilizate în cadrul circuitelor integrate analogice: sursa de curent standard, sursa

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Estimări ale dimensiunii abandonului şcolar şi ale factorilor de influenţă 1

Estimări ale dimensiunii abandonului şcolar şi ale factorilor de influenţă 1 Estimări ale dimensiunii abandonului şcolar şi ale factorilor de influenţă 1 Prof. univ. dr. Tudorel ANDREI Conf. univ. dr. Alina PROFIROIU Prof. univ. dr. Andreea Iluzia IACOB Asistent univ. drd. Bogdan-Vasile

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

Regulamentul INCDFT- IFT Iaşi pentru ocuparea funcţiei şi acordarea gradului profesional de Cercetător ştiinţific - CS

Regulamentul INCDFT- IFT Iaşi pentru ocuparea funcţiei şi acordarea gradului profesional de Cercetător ştiinţific - CS Regulamentul INCDFT- IFT Iaşi pentru ocuparea funcţiei şi acordarea gradului profesional de Cercetător ştiinţific - CS Regulamentul concursului pentru ocuparea funcţiei şi acordarea gradului profesional

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

Str. N. Bălcescu nr , Galaţi, Cod , România (+40) (+40) valentin

Str. N. Bălcescu nr , Galaţi, Cod , România (+40) (+40) valentin INFORMAŢII PERSONALE ANTOHI VALENTIN MARIAN Str. N. Bălcescu nr. 59-61, Galaţi, Cod 800001, România (+40) 336 13 02 42 (+40) 731 221 001 valentin _antohi@yahoo.com Sexul: Bărbătesc Data naşterii : 01.06.1976

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ - PROGRAMA 2

MATEMATICĂ - PROGRAMA 2 Programa şcolară a fost aprobată prin ordinul ministrului nr. 3252/ 13.02.2006 (Anexa 2) MATEMATICĂ - PROGRAMA 2 Filiera teoretică, profil real, specializarea ştiinţe ale naturii: 3 ore / săpt. (TC + CD)

Διαβάστε περισσότερα

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα