Hardware In The Loop (HIL) Έλεγχος Ενός Φυσικού Συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Hardware In The Loop (HIL) Έλεγχος Ενός Φυσικού Συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική Εργασία Hardware In The Loop (HIL) Έλεγχος Ενός Φυσικού Συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης Πεντερίδης Λάζαρος AEM: 6728 Επιβλέπουσα: Καθ. Ζωή Δουλγέρη Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2014

2

3 Ευχαριστίες Εφόσον μου δίνεται η ευκαιρία, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα άτομα που χωρίς την άμεση και έμμεση βοήθεια τους δε θα μπορούσα να ολοκληρώσω αυτή τη διπλωματική εργασία. Την επιβλέπουσα καθηγήτρια μου κ. Ζωή Δουλγέρη για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε αναθέτοντας μου την παρούσα εργασία, για την καθοδήγηση της όλο αυτό το διάστημα και για όλα όσα διδάχθηκα από τα μαθήματά της και από τις συμβουλές της κατά τη διάρκεια της διπλωματικής. Τους επιβλέποντες μηχανικούς της Continental, Christian Trösch και Alexander Wiener, καθώς και τον Τηλέμαχο Ματιάκη για την βοήθεια και την καθοδήγηση που μου πρόσφεραν στο κομμάτι που αφορά το HiL και για τη θερμή υποδοχή στις επισκέψεις μου στην εταιρεία. Το διδακτορικό προσωπικό του εργαστηρίου για τη βοήθεια και την παρέα και ιδιαίτερα τον υποψήφιο διδάκτορα Δημήτρη Παπαγεωργίου για το ενδιαφέρον του και την πολύτιμη βοήθεια και καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Την οικογένεια μου, στην οποία αφιερώνω αυτή την εργασία, που όλα αυτά τα χρόνια είναι πάντα δίπλα μου και στηρίζει με κάθε δυνατό τρόπο τις επιλογές μου. 1

4 2

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διπλωματική εργασία, διερευνάται ο έλεγχος, σε πραγματικό χρόνο, ενός συστήματος μαγνητικής αιώρησης. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται το σύστημα Μαγνητικής Αιώρησης (Maglev) της Feedback, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα απλό μοντέλο, μίας κατηγορίας συσκευών, που γίνονται όλο και πιο δημοφιλής τα τελευταία χρόνια, π.χ. τρένα μαγνητικής αιώρησης και μαγνητικά ρουλεμάν. Το βασικό πρόβλημα ελέγχου στην μαγνητική αιώρηση είναι η εύρωστη επίτευξη μίας επιθυμητής ανυψωτικής δύναμης, ικανής να υπερνικήσει τη βαρύτητα. Ένας τέτοιος στόχος ελέγχου δεν μπορεί να επιτευχθεί σε ανοιχτό βρόχο, καθότι το σύστημα είναι open-loop ασταθές. Ο σκοπός της εργασίας είναι η γραμμικοποίηση του μη γραμμικού μοντέλου του συστήματος γύρω από το ονομαστικό σημείο λειτουργίας, η σχεδίαση ενός γραμμικού ελεγκτή για το φυσικό σύστημα που ικανοποιεί ένα σετ από προκαθορισμένες απαιτήσεις και η υλοποίηση του σε HiL (Hardware in the Loop) διάταξη με βάση το σύστημα EtherLab Bechoff. Προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα, καταδεικνύουν την απόδοση του συστήματος ελέγχου και για τις δυο περιπτώσεις της ρύθμισης και της παρακολούθησης τροχιάς. 3

6 ABSTRACT Hardware In The Loop (HIL) Control Of A Physical Magnetic Levitation System In this diploma thesis, the real time control of a magnetic levitation system is considered. Specifically, the Magnetic Levitation System (Maglev) from Feedback is utilized which can be viewed as a simple model of devices, which are becoming more and more popular in recent years i.e. Maglev trains and magnetic bearings. The main control problem in magnetic levitation is the robust achievement of a desired lifting force sufficient to counteract gravity. Such a control objective cannot be achieved in open loop since the system is open-loop unstable. The aim of this thesis is to linearize the nonlinear plant's model around the nominal operating point, design a linear controller for the physical plant which satisfies a set of prespecified requirements and implement the controller in a HiL (hardware in the loop) configuration based on the EtherLab - BEchoff system. Simulation and experimental results demonstrate the control system 's performance for both cases of regulation and tracking. 4

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Περιγραφή της πειραματικής διάταξης και του συστήματος προς έλεγχο - Εισαγωγή μαθηματικών μοντέλων για την ανάλυση του Περιγραφή του συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης Περιγραφή της πειραματικής διάταξης (set up) που χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο Εισαγωγή μαθηματικών μοντέλων για το Maglev Σχεδίαση σχημάτων ελέγχου Προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα Σχεδίαση γραμμικών ελεγκτών Προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα Εκ νέου μοντελοποίηση Σχεδίαση σχημάτων ελέγχου και προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα Εκ νέου μοντελοποίηση Αναγνώριση των παραμέτρων του συστήματος Σχεδίαση γραμμικών ελεγκτών για το νέο μοντέλο - προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα Συμπεράσματα Μελλοντική Εργασία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ/APPENDIX 83 A) Beckhoff Etherlab Installation Manual B) Beckhoff Etherlab User s Manual.. 95 C) C) Beckhoff EtherLab Performance Analysis ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

8 6

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μαγνητική αιώρηση (Magnetic Levitation/Maglev) είναι η μέθοδος αιώρησης ενός αντικειμένου με τη χρήση μαγνητικού πεδίου, χωρίς καμία άλλη υποστήριξη. Χρησιμοποιείται δηλαδή μαγνητική δύναμη προς αντιστάθμιση των συνεπειών της βαρύτητας και οποιωνδήποτε άλλων επιταχύνσεων. Οι εφαρμογές της μαγνητικής αιώρησης είναι πολλές, και γίνονται όλο και πιο δημοφιλείς τα τελευταία χρόνια. Ενδεικτικά θα αναφερθούμε σε δύο βασικές: Συστήματα μεταφοράς, με πιο αντιπροσωπευτική εφαρμογή τα τρένα μαγνητικής αιώρησης και Μαγνητικά ρουλεμάν. Τα Maglev τρένα χρησιμοποιούν μαγνητική αιώρηση σε συνδυασμό με τις υπεραγώγιμες ιδιότητες συγκεκριμένων υλικών σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες. Συγκεκριμένα τα μαγνητικά τρένα δεν λειτουργούν ερχόμενα σε επαφή με κάποιες ράγες όπως γίνεται με τα συμβατικά τρένα, αλλά αιωρούνται πάνω από αυτές σε απόσταση ενός εκατοστού ή λιγότερο. Τα τρένα αυτά μπορούν να κινηθούν πιο ομαλά και πιο αθόρυβα από ότι τα τροχοφόρα μέσα μεταφοράς. Η μη εξάρτησή τους από την πρόσφυση και την τριβή σημαίνει ότι η επιτάχυνση και η επιβράδυνση τους μπορεί να ξεπεράσει εκείνη των τροχοφόρων μεταφορών, και ότι δεν επηρεάζονται από τις καιρικές συνθήκες. Η δύναμη που απαιτείται για την αιώρηση συνήθως δεν είναι ένα μεγάλο ποσοστό της συνολικής κατανάλωσης ενέργειας, ενώ το μεγαλύτερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιείται για να ξεπεράσει την αντίσταση του αέρα, όπως και με κάθε άλλη μορφή μεταφοράς, υψηλής ταχύτητας. Παρά το γεγονός ότι τα συμβατικά τροχοφόρα μεταφοράς μπορούν να ταξιδεύουν πολύ γρήγορα, ένα σύστημα maglev επιτρέπει τη χρήση ρουτίνας, υψηλότερων τελικών ταχυτήτων, από ό, τι τα συμβατικά σιδηροδρομικά, και είναι ο τύπος τρένου που κατέχει το ρεκόρ ταχύτητας για τις σιδηροδρομικές μεταφορές. Ενδεικτικά θα αναφέρουμε ότι ενώ τα συμβατικά τρένα δεν ξεπερνούν σε ταχύτητα τα 300 km/h, τα maglev τρένα κινούνται σε υψηλότερες ταχύτητες, για παράδειγμα το Ιαπωνικό MLX-01, που μπορεί να φτάσει σε ταχύτητα 581 km/h, είναι εντελώς αθόρυβο και αιωρείται σε απόσταση ενός εκατοστού από τις ράγες. Όπως και στα Maglev τρένα, έτσι και στα μαγνητικά ρουλεμάν το πλεονέκτημα που οδήγησε σε πολλές περιπτώσεις, στην αντικατάσταση των απλών συμβατικών με αυτά, είναι εξάλειψη τις τριβής μέσα στο ίδιο το ρουλεμάν. Τα μαγνητικά ρουλεμάν χρησιμοποιούνται στους περιστροφικούς κινητήρες εκμηδενίζοντας την τριβή μεταξύ του άξονα του κινητήρα και των σφαιρών του ρουλεμάν, καθότι εξαναγκάζουν τον άξονα του κινητήρα να στρέφεται πλέον στον αέρα. Άλλες εφαρμογές μαγνητικών ρουλεμάν περιλαμβάνουν τρόμπες, ανεμιστήρες και γενικότερα περιστροφικές μηχανές. Ένα δεύτερο σημαντικό πλεονέκτημα, που καθιστά τα συστήματα μαγνητικής αιώρησης ελκυστικά είναι η ενεργός απόσβεση κραδασμών. Αυτή μπορεί να επιτευχθεί με διάφορες υλοποιήσεις αλγορίθμων ελέγχου, χωρίς καμία μεταβολή στο μηχανικό κομμάτι του συστήματος. 7

10 Σχήμα Ε1: Το τρένο JR Maglev MLX01-1 στο SCMaglev and Railway Park στη Nagoya, της Ιαπωνίας τον Απρίλιο του 2013 Σχήμα Ε2: Μαγνητικό ρουλεμάν 8

11 Στην παρούσα διπλωματική χρησιμοποιείται ένα σύστημα μαγνητικής αιώρησης της Feedback, το Magnetic Levitation System , το οποίο εξυπηρετεί ως ένα απλό μοντέλο της παραπάνω κατηγορίας συσκευών, για εργαστηριακή μελέτη της μαγνητικής αιώρησης και κυρίως του προβλήματος ελέγχου. Η προσομοίωση Hardware in the Loop (HiL) περιλαμβάνει την αλληλεπίδραση μεταξύ ενός μοντέλου προσομοίωσης για το σύστημα (plant) ή τον ελεγκτή, και του hardware που αποτελεί τον ελεγκτή ή το φυσικό σύστημα (physical plant) αντίστοιχα. Η μέθοδος αναγνωρίζεται όλο και περισσότερο ως ένα πολύτιμο εργαλείο κατά τη διαδικασία ανάπτυξης συστημάτων και χρησιμοποιείται κατά κόρον, στη βιομηχανία και στην έρευνα για testing και για έλεγχο. Στην πρώτη περίπτωση αντί να χρησιμοποιούμε κάποια ακριβή και δύσχρηστη πειραματική διάταξη, μπορούμε να μοντελοποιήσουμε το φυσικό σύστημα µε τη βοήθεια ενός υπολογιστή, ο οποίος θα παρέχει σε πραγματικό χρόνο όλα τα απαραίτητα σήματα, όπως ακριβώς θα γινόταν στο φυσικό κόσμο. Στη δεύτερη περίπτωση μας προσφέρει ευελιξία στην μεταβολή σχήματος ελέγχου ανά πάσα στιγμή χωρίς έξτρα κόστος και ακόμα και on the fly (την ώρα που λαμβάνει χώρα ο έλεγχος) μεταβολή των κερδών του ελεγκτή, ισχυρά πλεονεκτήματα έναντι των παραδοσιακών ελεγκτών υλοποιημένων από ηλεκτρονικά (hardware). Αυτή η ευελιξία θα φανεί και στην παρούσα διπλωματική, όπου κάνουμε χρήση αυτής της δεύτερης δυνατότητας του HiL, εκτελώντας πειράματα ελέγχου του φυσικού συστήματος, Maglev (Hardware part), με διαφορετικά σχήματα ελέγχου, τα οποία υλοποιούμε σαν software, σε περιβάλλον προσομοίωσης (Simulink). Τα δύο βασικά προβλήματα που σχετίζονται με την μαγνητική αιώρηση, είναι η δύναμη ανύψωσης: παροχή μίας δύναμης με φορά προς τα πάνω, ικανής να υπερνικήσει τη βαρύτητα, και η ευστάθεια: διασφάλιση ότι το σύστημα δεν θα εισέλθει αυθόρμητα ή θα ριχτεί εξωτερικά σε μία κατάσταση, όπου η ανύψωση έχει εξουδετερωθεί. Με το προαναφερθέν σύστημα μαγνητικής αιώρησης της Feedback, δεν μπορεί να επιτευχθεί αιώρηση (ισορροπία) χωρίς την εφαρμογή ελέγχου, είναι δηλαδή open-loop ασταθές. Ο στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η σχεδίαση ελέγχου που να καθιστά το σύστημα κλειστού βρόχου (ΣΚΒ) με το Maglev, ευσταθές σε μεγάλο εύρος της περιοχής επίδρασης του ηλεκτρομαγνήτη και να καθιστά δυνατή την απόκριση με συγκεκριμένες προδιαγραφές, σε προδιαγεγραμμένες εισόδους ελέγχου, μέσα σε αυτό, και η υλοποίηση αυτού του σχήματος ελέγχου με αξιοποίηση των δυνατοτήτων που προσφέρει το HiL περιβάλλον, του οποίου η μελέτη αποτέλεσε το τεχνικό κομμάτι αυτής της εργασίας. 9

12 Οργάνωση Διπλωματικής Εργασίας Στο 1 ο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή του συστήματος προς έλεγχο καθώς και της διάταξης που χρησιμοποιείται κατά τα πειράματα ελέγχου. Στη συνέχεια γίνεται εισαγωγή ενός μη γραμμικού μαθηματικού μοντέλου για το σύστημα, που παρέχεται από την Feedback, το οποίο εκτιμάται αρχικά, ότι περιγράφει το σύστημα στο μεγαλύτερο μέρος της περιοχής λειτουργίας του και το οποίο γραμματικοποιούμε για μία υποπεριοχή λειτουργίας, με σκοπό τη σχεδίαση γραμμικού ελεγκτή γι αυτή. Στο 2 ο κεφάλαιο γίνεται σχεδίαση ελέγχου με βάση το γραμμικοποιημένο μοντέλο που προέκυψε στο κεφάλαιο 1. Στη συνέχεια γίνονται προσομοιώσεις ελέγχου για τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν εισαχθεί ως εκείνο το σημείο και πειράματα (HiL προσομοιώσεις με το physical plant), και συγκρίνονται τα αποτελέσματα. Καθότι εντοπίζονται μεγάλες διαφορές μεταξύ προσομοιακών και πειραματικών αποτελεσμάτων, προκύπτει η ανάγκη για εύρεση καλύτερου μοντέλου για το σύστημα, πράγμα που γίνεται στο κεφάλαιο 3. Σε αυτό το κεφάλαιο (3 ο ), το νέο μοντέλο προκύπτει με τη βοήθεια των πειραματικών αποτελεσμάτων και γίνεται σχεδίαση γραμμικών ελεγκτών, με βάση πλέον το νέο μοντέλο. Και εδώ τη σχεδίαση ακολουθεί, η παρουσίαση και η σύγκριση μεταξύ τους των προσομοιακών και των πειραματικών αποτελεσμάτων. Στα παραρτήματα της εργασίας, βρίσκεται το κομμάτι που αφορά το περιβάλλον για HiL Simulation, που χρησιμοποιήθηκε, που συνθέτουν χοντρικά τερματικά EtherCAT της Beckhoff και ένας υπολογιστής με real time Linux OS και το open source λογισμικό EtherLab. Το παράρτημα Α, αποτελεί ένα εγχειρίδιο εγκατάστασης του όλου συστήματος, το Β εγχειρίδιο χρήσης ενώ το Γ αποτελεί μία μελέτη για τις δυνατότητες και τις επιδόσεις του. Το κομμάτι αυτό της διπλωματικής αποτελεί ταυτόχρονα προϊόν εργασίας για την Continental, όπου έγινε διερεύνηση του ως ενδεχόμενο HiL testing setup για Controllers που παράγει η εταιρεία, έρευνα που ανέδειξε την καταλληλότητα του και άνοιξε το δρόμο για την χρήση του για έλεγχο στο υπόλοιπο της διπλωματικής. 10

13 1. Περιγραφή της πειραματικής διάταξης και του συστήματος προς έλεγχο Εισαγωγή μαθηματικών μοντέλων για την ανάλυση του 1.1 Περιγραφή του συστήματος Μαγνητικής Αιώρησης Σχήμα 1.1: Μηχανική μονάδα του Maglev 11

14 Στο σχήμα 1.1 βλέπουμε το σύστημα Μαγνητικής Αιώρησης (Magnetic Levitation Maglev) που αποτελεί το σύστημα που θα ελέγξουμε στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής εργασίας. Όπως βλέπουμε αποτελείται από ένα πάνελ συνδέσεων και διεπαφών στο κάτω μέρος του, καθώς και μια μηχανική μονάδα στην οποία είναι τοποθετημένος ένας ηλεκτρομαγνήτης (πηνίο). Ένας αισθητήρας υπερύθρων είναι συνδεδεμένος στη μηχανική μονάδα, ο οποίος μετατρέπει τη θέση της μπάλας σε τάση την οποία μπορούμε να μετρήσουμε από τη σύνδεση Measured Value. Η σύνδεση Drive Input είναι η είσοδος της τάσης ελέγχου που είναι υπεύθυνη για το ρεύμα που διαρρέει τον ηλεκτρομαγνήτη. Σύμφωνα με τις προδιαγραφές του κατασκευαστή τα όρια για την τάση ελέγχου V c είναι [-5V.. +5V], ενώ για την μετρούμενη τιμή της θέσης το εύρος μέτρησης του αισθητήρα υπερύθρων είναι [-2.76V V]. Η ακτίνα της μπάλας μετρήθηκε προσεγγιστικά ότι είναι περίπου 13mm. Μέτρηση θέσης -2.76V, παίρνουμε όταν η μπάλα είναι κολλημένη στον πάτο του ηλεκτρομαγνήτη (στην υψηλότερη δυνατή θέση) δηλαδή το κέντρο της βρίσκεται στη θέση 13mm, αν θεωρήσουμε έναν άξονα κάθετο στην επιφάνεια του πάτου του ηλεκτρομαγνήτη, με το σημείο 0 να βρίσκεται πάνω σε αυτόν. Η κατώτερη θέση, ξεκινώντας από την οποία και κατεβαίνοντας ο αισθητήρας δίνει μέτρηση θέσης +1.74V, είναι σε απόσταση 37mm από τον ηλεκτρομαγνήτη. Αν λάβουμε υπόψη, ότι ο αισθητήρας μετράει πάντα τη θέση του υψηλότερου σημείου της μπάλας, το άνω όριο του εύρους μέτρησης αντιστοιχεί σε 37+13=40 mm απόσταση του κέντρου της μπάλας από το σημείο 0. Δηλαδή διαφορά 1V στη μέτρηση του αισθητήρα αντιστοιχεί σε μετακίνηση περίπου. Το γεγονός ότι δεν δίνεται από τη Feedback κάποια σχέση που να συνδέει τη μέτρηση του αισθητήρα σε volt, με την απόσταση της μπάλας από τον ηλεκτρομαγνήτη και η μη χρησιμοποίηση, μετρητικής διάταξης ακριβείας για τον υπολογισμό της θέσης σε mm στον παραπάνω υπολογισμό του εύρους μέτρησης, οδηγεί από εδώ και πέρα στην μη μετατροπή της μετρούμενης τιμής της θέσης από Volt σε μονάδες μέτρησης θέσης (mm), αλλά την αναφορά, επεξεργασία και αναπαράσταση σε διαγράμματα της θέσης με την τιμή σε Volt που προέκυψε από τη μέτρηση της. Επίσης στο σχήμα 1.1 διακρίνονται η σύνδεση Disturbance input, για εισαγωγή διαταραχών, καθώς και κάποια κυκλωματικά στοιχεία που συνιστούν έναν αναλογικό PD ελεγκτή, οι συνδέσεις του και δύο διεπαφές για τη ρύθμιση του κέρδους του και της επιθυμητής θέσης της μπάλας. Ο λόγος που επιχειρούμε νέα σχεδίαση ελέγχου με διακριτό ελεγκτή, υλοποιημένο με software και δεν χρησιμοποιούμε τον ήδη υπάρχον, είναι ότι δεν μας δίνεται η δυνατότητα να παρέμβουμε στο σχήμα ελέγχου του ενσωματωμένου αναλογικού (υλοποιημένου με αναλογικά ηλεκτρονικά) ούτε καν στην τιμή του κάθε κέρδους μεμονωμένα (η διεπαφή για ρύθμιση του κέρδους που φαίνεται μεταβάλλει ταυτόχρονα και τα δύο κέρδη του PD ελεγκτή). 12

15 1.2 Περιγραφή της πειραματικής διάταξης (set up) που χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο Όλα τα πειράματα ελέγχου της παρούσας εργασίας, τα πραγματοποιήσαμε με τη χρήση ενός Hardware in the Loop set up, που αποτελούνταν από τον ελεγκτή υλοποιημένο ως μοντέλο Simulink (software part of the loop) που τρέχει σε έναν υπολογιστή που ονομάζουμε control pc και το σύστημα προς έλεγχο-plant Maglev (hardware part of the loop). Συγκεκριμένα το set up που χρησιμοποιήθηκε περιλάμβανε τα εξής: Real Time Control PC Controller implemented as a Simulink model HMI / Data Logging PC Maglev Plant Hardware in the Loop Maglev Control Application Σχήμα 1.2: Hardware in the Loop εφαρμογή ελέγχου του Maglev 2 EtherCAT Analog I/O τερματικά της Beckhoff, συγκεκριμένα τα EL3064 (4-channel analog input terminal 0 10 V, single-ended, 12 bit, minimum sampling time 250us) που φαίνεται στο σχήμα 1.4 και EL4004 (4-channel analog output terminal 0 10 V, 12 bit, minimum sampling time 250us) που φαίνεται στο σχήμα 1.5, καθώς και τον EtherCAT Coupler Beckhoff EK1100, σχήμα 1.3. Τα πρώτα συνδέονται σε σειρά στον δεύτερο, ο οποίος με τη σειρά του επικοινωνεί με το Control pc (βλέπε επόμενο dot) μέσω EtherCAT, μίας ειδικής τεχνολογίας που χρησιμοποιεί Ethernet για τη σύνδεση, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.6. Τροφοδοσία για τον Coupler, σύμφωνα με τα specifications που δίνει η Beckhoff για τον Coupler και τα τερματικά. Στα σχήματα 1.6 και 1.4 φαίνεται η τροφοδοσία που απαιτεί το hardware της Beckhoff που χρησιμοποιήθηκε στα πειράματα της διπλωματικής και είναι 24V τόσο για τον Coupler, όσο και για τα δύο analog I/O τερματικά. Το Control pc, που είναι ένας υπολογιστής (όχι ιδιαίτερων προδιαγραφών, στην περίπτωση μας χρησιμοποιήθηκε ένας σταθερός, με επεξεργαστή Intel Pentium 4 και κάρτα δικτύου Ιntel PCI- 13

16 express) με εγκατεστημένο λειτουργικό σύστημα Linux, στα οποία έχουμε παρέμβει εγκαθιστώντας νέο πυρήνα (kernel), ο οποίος μετά την εφαρμογή ενός patch, υποστηρίζει τεχνολογία real time επικοινωνίας. Συγκεκριμένα ο πυρήνας που εγκαταστήσαμε, είναι ο linux και το patch που εφαρμόσαμε σε αυτόν το patch rt85. Σε αυτόν τον υπολογιστή εγκαθίσταται το software Etherlab, που χειρίζεται την low level επικοινωνία μέσω EtherCAT και ενσωματώνει στο περιβάλλον Simulink μία νέα βιβλιοθήκη, που παρέχει blocks τα οποία μοντελοποιούν EtherCAT τερματικά. Έτσι επιτυγχάνεται η υλοποίηση των ελεγκτών ως μοντέλα Simulink, τα οποία αφού γίνουν Build δημιουργούν ένα εκτελέσιμο, που τρέχει ως module του real time πυρήνα. Μέσω των καναλιών εισόδου και εξόδου των Simulink blocks, που αντιστοιχούν στα εκάστοτε κανάλια των beckhoff τερματικών, που έχουμε συνδέσει με το pc, γίνεται η ανταλλαγή των σημάτων (input/output) με το σύστημα προς έλεγχο, Maglev. Σχήμα 1.3: Beckhoff EK1100 Coupler Σχήμα 1.4: Beckhoff EL3064 Analog Input Σχήμα 1.5: Beckhoff EL4004 Analog Output (ίδια contacts με EL3064, όπου Input εδώ έχουμε Output) 14

17 Power Supply 24V + - PC Ethernet Net Card Σχήμα 1.6: Set up του Hardware έλεγχου Ένα laptop (στην περίπτωσή μας γενικά θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε υπολογιστής χωρίς συγκεκριμένες απαιτήσεις σε hardware) που κατά προτίμηση θα έχει εγκατάσταση των Windows ή έχει το WINdows Emulator σε περίπτωση που έχει εγκατεστημένο Linux, το οποίο επικοινωνεί κατά τη διεξαγωγή των πειραμάτων με το Control pc, μέσω TCP/IP (τις περισσότερες φορές με Wifi, αλλά ορισμένες και ενσύρματα μέσω Ethernet). Στο laptop αυτό κατά τη διεξαγωγή των πειραμάτων, τρέχει το λογισμικό, της Igh (εταιρία του Etherlab), για Human Machine Interface που ονομάζεται Test Manager. Αυτό το software εξυπηρετεί την ανάγκη μας για αλλαγή παραμέτρων του μοντέλου Simulink, όπως τιμών των κερδών του εκάστοτε ελεγκτή ή της επιθυμητής θέσης του μπάλας, on the fly - την ώρα που στο Control pc τρέχει το μοντέλο που πραγματοποιεί τον έλεγχο, καθώς και τη διεξαγωγή μετρήσεων από τα κανάλια των τερματικών εισόδου, logging των μετρούμενων σημάτων αλλά και οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων. Τέλος ο Test Manager παρέχει τη δυνατότητα αποθήκευσης των δεδομένων που έχουν καταγραφεί σε μορφή συμβατή με το MATLAB, όπου εισάγονται κατόπιν τα δεδομένα για περαιτέρω επεξεργασία και οπτικοποίηση. Περισσότερες πληροφορίες για την εγκατάσταση, τη χρήση και τις επιδόσεις του συστήματος που συντίθεται από όλα τα παραπάνω components, μπορούν να βρεθούν στο Παράρτημα A) Beckhoff Etherlab Installation Manual, B) Beckhoff EtherLab Users Manual και C) Beckhoff EtherLab Performance Analysis αντίστοιχα. Το Maglev σε συνδυασμό με δύο κυκλώματα μετατροπής τάσης, η χρήση των οποίων υπαγορεύτηκε από το γεγονός ότι τα σήματα ελέγχου (Drive i/p τάση στα άκρα του ηλεκτομαγνήτη) και της μετρούμενης τιμής για τη θέση της μπάλας (Measured Value), που είναι η τάση εξόδου του αισθητήρα υπερύρθρων, παίρνουν και θετικές και αρνητικές τιμές, ενώ τα I/O 15

18 τερματικά Beckhoff που χρησιμοποιούμε δουλεύουν σε τάσεις 0-10V. Όπως είδαμε στην περιγραφή του Maglev τα όρια για την τάση ελέγχου είναι [-5V.. +5V], ενώ για την μετρούμενη τιμή της θέσης το εύρος μέτρησης του αισθητήρα υπερύθρων είναι [-2,76V.. +1,74V]. Έτσι στο channel 1 του EL3064 συνδέουμε το σήμα Measured Value του Maglev μέσω ενός κυκλώματος μετατροπής τάσης, που εκτελεί την πράξη της πρόσθεσης 5V (σχήμα 1.7), στο σήμα που συνδέεται στην είσοδο του. Επομένως παίρνουμε στο κανάλι την Measured Value επαυξημένη κατά 5V, δηλαδή εντός του εύρους [0.. 10V], την οποία ανατροφοδοτούμε σαν feedback στον ελεγκτή μας, όπως φαίνεται στα μοντέλα του Simulink (σχήματα 2.17 και 3.27), αφού τα 5 επιπλέον Volt αφαιρούνται από το Simulink, ορίζοντας στα block parameters του EL3064 (σχήμα 2.18 αριστερά), output offset -5. Ένα αντίστροφο κύκλωμα μετατροπής τάσης, που εκτελεί πράξη αφαίρεσης 5V από το σήμα στην είσοδό του (σχήμα 1.8), συνδέουμε μεταξύ του καναλιού εξόδου 1 του EL4004 και του drive i/p port του Maglev. Όπως βλέπουμε στα μοντέλα Simulink (σχήματα 2.17 και 3.27), έχει ληφθεί μέριμνα ώστε τα 5V, να προστεθούν προηγουμένως στο σήμα ελέγχου πριν αυτό οδηγηθεί στο κανάλι 1 του block που αναπαριστά το τερματικό EL4004 (δεν παρέχεται δυνατότητα ρύθμισης κάποιας παραμέτρου για input offset σε αυτό το block). -15V 10k Offset Calibration 2/3-10k k + 1/3 15V -15V 10k 15V -15V Out V In V 10k 10k/10k Gain Calibration Σχήμα 1.7: Κύκλωμα offset 5V 16

19 15V 10k Offset Calibration 2/3-10k k + 1/3 15V -15V 10k 15V -15V Out V In V 10k 10k/10k Gain Calibration Σχήμα 1.8: Κύκλωμα offset -5V 17

20 1.3 Εισαγωγή μαθηματικών μοντέλων για το Maglev Μη γραμμικό μοντέλο Το Maglev ακολουθείται από ένα Manual που δίνει ο κατασκευαστής (Feedback), με τίτλο Magnetic Levitation Control Experiments S. Στο manual αυτό αναφέρεται, και θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση στην παρούσα εργασία, ότι το πιο απλό μη γραμμικό μοντέλο για το Maglev, που να συσχετίζει τη θέση της μπάλας x με το ρεύμα του πηνίου i, είναι το ακόλουθο: (1.1) Όπου το k είναι σταθερά που εξαρτάται από τις ηλεκτρομαγνητικές παραμέτρους του πηνίου. Για να παρουσιάσουμε ένα πλήρες φαινομενολογικό μοντέλο, πρέπει να εισαχθεί μια σχέση μεταξύ της τάσης ελέγχου και του ρεύματος του πηνίου. Το Maglev είναι εξοπλισμένο με έναν εσωτερικό βρόχο ελέγχου, ώστε να παρέχει ρεύμα ανάλογο της τάσης ελέγχου:. (1.2) Τα όρια της τάσης ελέγχου u, είναι από τον κατασκευαστή ορισμένα στο διάστημα [-5V.. +5V]. Τα σημεία ισορροπίας του συστήματος είναι όλα εκείνα τα ζεύγη (i, x) για τα οποία. To Maglev είναι σύστημα Single Input Single Output (SISO). H θέση της μπάλας x είναι η έξοδος και η τάση u είναι το σήμα ελέγχου. u Maglev X Σχήμα 1.9: Maglev: Σύστημα Single Input Single Output (SISO) Η εισαγωγή του μοντέλου αυτού στο Simulink, για τις ανάγκες των προσομοιώσεων, έγινε με την παρακάτω μορφή: 18

21 Σχήμα 1.10: Maglev non-linear Simulink model Οι αρχικές συνθήκες των ολοκληρωτών (1/s) ορίστηκαν 0 του πρώτου, που αντιστοιχεί σε και του δεύτερου που αντιστοιχεί σε. Οι τιμές αυτές αντιστοιχούν σε τοποθέτηση της μπάλας με μηδενική ταχύτητα στο εκάστοτε σημείο ισορροπίας, γύρω από το οποίο θέλουμε να ελέγξουμε το σύστημα. Υπολογισμός των σταθερών Η εκτίμηση της τιμής των σταθερών που εμπλέκονται στο μοντέλο γίνεται με διάφορους τρόπους, ανάλογα τη φυσική σημασία της σταθεράς, με υπολογισμούς (θεωρητικά) ή με μετρήσεις (πειραματικά). Μετά από ζύγιση της μεταλλικής μπάλας προκύπτει. Tο g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, επομένως για την επιφάνεια της γης έχουμε. Η εκτίμηση της τιμής του k, γίνεται αξιοποιώντας πληροφορία που μας δίνει το Manual της feedback ότι το σημείο (x 0 =-1.5[V],i 0 =0.8[A]) είναι σημείο ισορροπίας (σ.ι.) του συστήματος για το παραπάνω μοντέλο. Επομένως στο παραπάνω σημείο η επιτάχυνση της μπάλας θα είναι (μηδενισμός των παραγώγων των μεταβλητών κατάστασης στο σ.ι.) έτσι μπορούμε να βρούμε το k από την (1.1) αντικαθιστώντας τις τιμές για το παραπάνω σ.ι. και τα m και g όπως θεωρήθηκαν παραπάνω. Έτσι έχουμε: (1). (1.3) 19

22 Για την εύρεση του k1 της εξίσωσης (1.2), πραγματοποιήσαμε το εξής πείραμα: Στο control pc, τρέχει μοντέλο Simulink που περιλαμβάνει μόνο τα τερματικά Bechoff εισόδου και εξόδου που συνδέονται με το Maglev, σε ανοιχτό βρόχο ώστε μέσω του Testmanager να καθορίζεται η τιμή της τάσης ελέγχου και να διαβάζεται η τιμή της τάσης εξόδου του αισθητήρα υπερύθρων. Κρατούμε σταθερή με το χέρι μας την μπάλα στη θέση x 0 =-1.5[V], σύμφωνα με τη μέτρηση του αισθητήρα και δίνουμε διάφορες τιμές στην τάση ελέγχου. Ψάχνουμε να βρούμε την τάση εισόδου που αντιστοιχεί σε ρεύμα i 0 =0.8[A], επομένως την τάση εισόδου που πρέπει να εφαρμοστεί για να ισορροπήσει η μπάλα στο x 0 =-1.5[V]. Επειδή για καμία τιμή της τάσης εισόδου δεν πρόκειται να επιτευχθεί αιώρηση της μπάλας στο πραγματικό σύστημα (χρειάζεται έλεγχος για να γίνει αυτό), ψάχνουμε να βρούμε γύρω από ποια τιμή της τάσης εισόδου αλλάζει η κατεύθυνση προς την οποία τείνει να κινηθεί η μπάλα, αν δεν την κρατούσαμε με το χέρι. Διαπιστώνουμε ότι για τιμές τάσης μεγαλύτερες μιας περιοχής γύρω από το 0.8 V, αυτή έχει την τάση να πέσει ενώ για τιμές μικρότερες, έχει την τάση να ακολουθήσει την έλξη του ηλεκτρομαγνήτη προς τα πάνω. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η τάση εισόδου στο σ.ι. -1.5V, που οδηγεί σε ρεύμα 0.8 Α είναι. Άρα (1.2). Γραμμικοποίηση Η διαφορική εξίσωση του συστήματος γίνεται: (1) (1.4) Για να πραγματοποιήσουμε ανάλυση της δυναμικής του μοντέλου και τη σχεδίαση ελεγχού γι αυτό, με τεχνικές ανάλυσης και σχεδίασης γραμμικών συστημάτων, πρέπει το σύστημα να γραμμικοποιηθεί. Για τη γραμμικοποίηση θα θεωρήσουμε σαν είσοδο το ρεύμα, και αφού βρεθεί το γραμμικό σύστημα, μέσω της (1.2), θα εισάγουμε στο γραμμικό μοντέλο την προσβάσιμη στην πραγματικότητα στον χρήστη, τάση, σαν είσοδο. Η γραμμικοποίηση γίνεται στο σημείο ισορροπίας(σ.ι.) x 0 = -1.5[V] (η θέση εκφρασμένη σε Volts), i 0 = 0.8[A]. Οι καταστάσεις του συστήματος δεύτερης τάξης είναι η θέση και η ταχύτητα της μπάλας, και η είσοδος το ρεύμα του ηλεκτρομαγνήτη i. Το άνυσμα κατάστασης είναι το: [ ] [ ] (1.5) Παραγωγίζοντας: 20

23 (1.6) Για την γραμμικοποίηση θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις Ιακωβιανές του συστήματος ως προς τις καταστάσεις και ως προς την είσοδο, για το παραπάνω σ.ι. [ ] [ ] & [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Το γραμμικοποιημένο σύστημα γύρω από το σ.ι. ( δίνεται από τις εξισώσεις κατάστασης: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (1.7) Λύνοντας ως προς g στην (1.3) έχουμε. Έτσι αντικαθιστώντας στην (1.7) όπου το έχουμε: 21

24 Άρα (1.8) είναι τελικά οι εξισώσεις κατάστασης του γραμμικοποιημένου συστήματος. Επομένως η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το γραμμικό σύστημα είναι (1.9) Στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής θα πραγματοποιήσουμε έλεγχο του συστήματος σε περιοχές αρνητικών x. Άρα θα έχουμε και. Γι αυτό το λόγο απλοποιούμε την παραπάνω εξίσωση, γράφοντάς την συναρτήσει θετικών, για, σταθερών και. (1.9) (1.10) (1.11) Η (1.11) αφού εφαρμόσουμε μετασχηματισμό Laplace γίνεται: (1.12) Όπου και Άρα η συνάρτηση μεταφοράς του γραμμικοποιημένου συστήματος με είσοδο το ρεύμα του πηνίου και έξοδο τη θέση x είναι η (1.12), ενώ θεωρώντας σαν είσοδο την τάση ελέγχου u που εφαρμόζεται στο πηνίο, που είναι και η παράμετρος στην οποία έχουμε απευθείας πρόσβαση στο πραγματικό σύστημα, έχουμε την παρακάτω συνάρτηση μεταφοράς: (1.13) Και η διαφορική εξίσωση του συστήματος γίνεται (1.14) 22

25 Επομένως το γραμμικοποιημένο σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι ένα σύστημα δεύτερης τάξης με 2 συζυγείς πόλους πάνω στο φανταστικό άξονα (ζ=0),. Η φυσική κυκλική συχνότητα είναι. Από την (1.14) φαίνεται ότι εκτός από το (, και το σημείο (0,0) δίνει. Απορρίπτουμε όμως την περίπτωση να θεωρήσουμε το (0,0) σ.ι. του συστήματος καθώς είναι αδύνατο για το μη γραμμικό σύστημα (1.1) & (1.2) να λειτουργήσει σε αυτό, λόγω μηδενισμού του παρονομαστή στην (1.1). Παρατηρούμε στις συναρτήσεις μεταφοράς (1.12) και (1.13), την ύπαρξη αρνητικού πρόσημου, η φυσική σημασία του οποίου είναι ότι για θετική είσοδο (ρεύμα i και τάση ελέγχου u αντίστοιχα), παίρνουμε αρνητική τιμή της τάσης εξόδου x. Από δω και στο εξής, σε όλα τα διαγράμματα λειτουργίας σε αυτή τη διπλωματική, θα υπάρχει ένα μπλοκ κέρδους -1, μπροστά από το σύστημα μας, αντί αυτό το πρόσημο να ενσωματώνεται στον εκάστοτε ελεγκτή. Αυτό γίνεται με σκοπό την βελτίωση της αναγνωσιμότητας της εργασίας, ώστε να μην δίνεται λανθασμένα η εντύπωση σχήματος ελέγχου θετικής ανάδρασης, καθότι ο λόγος που υπάρχει το -1 οφείλεται εξαρχής στην φύση του συστήματος. Η εισαγωγή του μοντέλου αυτού στο Simulink, για τις ανάγκες των προσομοιώσεων, έγινε με την παρακάτω μορφή: Σχήμα 1.11: Maglev linearized Simulink model Οι αρχικές συνθήκες των ολοκληρωτών (1/s), ορίστηκαν, 0 του πρώτου, που αντιστοιχεί σε και του δεύτερου, που αντιστοιχεί σε. Οι τιμές αυτές αντιστοιχούν σε τοποθέτηση της μπάλας με μηδενική ταχύτητα στο εκάστοτε σημείο ισορροπίας, γύρω από το οποίο επιθυμούμε να ελέγξουμε το σύστημα. Για την επιφάνεια της Γης όπου, προφανώς, εκτελείται το σύνολο των πειραμάτων αν θεωρήσουμε και για το σ.ι. (x 0,i 0 )=(-1.5[V],0.8[A]) έχουμε K i = και K x =

26 24

27 2. Σχεδίαση σχημάτων ελέγχου Προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα 2.1 Σχεδίαση γραμμικών ελεγκτών Θα ακολουθήσει σχεδίαση ελεγκτών για το γραμμικό μοντέλο (1.10) του συστήματος, οι οποίοι: θα χρησιμοποιηθούν αρχικά σε προσομοίωση του συστήματος ελέγχου, με το γραμμικό μοντέλο (1.14) με σκοπό την επιβεβαίωση των θεωρητικών πορισμάτων ως προς την απόδοση. θα αξιολογηθούν σε προσομοίωση του συστήματος ελέγχου, με το μη γραμμικό μοντέλο (1.1) & (1.2) του συστήματος σε μία περιοχή που το πρώτο προσεγγίζει ικανοποιητικά το δεύτερο. στη συνέχεια οι ελεγκτές που είχαν ικανοποιητική απόδοση στην προσομοίωση, θα δοκιμαστούν στην Hardware in the Loop (HiL) υλοποίηση του συστήματος ελέγχου που περιγράφηκε στο 1 ο κεφάλαιο και τέλος θα γίνει σύγκριση των πειραματικών αποτελεσμάτων με αυτά των προσομοιώσεων. Σχεδίαση με αναλογικό όρο (Proportional ελεγκτής) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο Γεωμετρικός Τόπος των Ριζών (ΓΤΡ) του συστήματος: Σχήμα 2.1: ΓΤΡ για αναλογικό ελεγκτή 25

28 Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι για οποιαδήποτε τιμή του κέρδους kp, ενός τέτοιου ελεγκτή οι πόλοι θα βρίσκονται στον φανταστικό άξονα, καθιστώντας το γραμμικό σύστημα οριακά ευσταθές, χωρίς να υπάρχει τιμή του κέρδους που να το οδηγεί στην ευστάθεια. Επομένως απορρίπτουμε την περίπτωση αυτού του σχήματος ελέγχου. Σχεδίαση με αναλογικό και διαφορικό όρο Προδιαγραφές σχεδίασης 1. Μόνιμο σφάλμα θέσης μικρότερο από το 12% του πλάτους της βηματικής εισόδου (e ss <0.12) 2. Μηδενική υπερύψωση για απόκριση σε βηματική είσοδο. 3. Κατά το δυνατόν μικρούς χρόνους αποκατάστασης και ανόδου. Περιορισμός: Όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο 1.1 η είσοδος του ελεγχόμενου συστήματος πρέπει να ανήκει στο διάστημα [-5, 5]V. Δηλαδή η τάση ελέγχου έχει τον περιορισμό [ ] (2.1) Ο περιορισμός αυτός συνεπάγεται ότι τα κέρδη του ελεγκτή πρέπει γενικά να διατηρούνται χαμηλά έτσι ώστε η είσοδος ελέγχου V c να παραμένει εντός των επιτρεπτών ορίων για το εύρος των διαστημάτων (σε V) στα οποία επιθυμούμε να κινείται (για όλες τις τροχιές κίνησης που εξετάζονται) η έξοδος του συστήματος κλειστού βρόχου, δηλαδή η θέση της μπάλας. Τύποι PD ελεγκτών Θα εξετάσουμε δύο διαφορετικές δομές ελέγχου που υλοποιούν έναν τέτοιο ελεγκτή. Εν σειρά αναλογικός διαφορικός (PD) ελεγκτής u kp kd ( s ) kd + - e 1-1 V c G(s) X Σχήμα 2.2: ΣΚΒ με εν σειρά PD ελεγκτή Με συνάρτηση μεταφοράς για το σύστημα κλειστού βρόχου: 26

29 ( ) ( ) (2.2) Αναλογικός ελεγκτής με ανάδραση ταχύτητας (proportional controller with velocity feedback) u e kp V c G(s) X kd s Σχήμα 2.3: ΣΚΒ με αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας Με συνάρτηση μεταφοράς για το σύστημα κλειστού βρόχου: ( ) (2.3) Στο συγκεκριμένο σχήμα ελέγχου, η ανάδραση της ταχύτητας θα μπορούσε να γίνει απευθείας αν υπήρχε μέτρηση του μεγέθους (χρήση ταχομέτρου). Στην περίπτωση του Maglev, που έχουμε μόνο τον αισθητήρα υπερύθρων για μέτρηση της θέσης της μπάλας, θα πρέπει να γίνει διαφόρισή της. Παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις μεταφοράς (2.2) και (2.3) έχουν τον ίδιο παρονομαστή επομένως και χαρακτηριστική εξίσωση ( ( ) ), καθώς και το ίδιο DC κέρδος. Διαφέρουν ωστόσο στο ότι στην πρώτη υπάρχει ένα μηδενικό στον αριθμητή, στη θέση. Ένα πρώτο μειονέκτημα του πρώτου σχήματος σε σχέση με το δεύτερο είναι, για την περίπτωση της ρύθμισης, όπου η είσοδος είναι βηματική, το ότι η διαφόριση του σφάλματος μπορεί να προκαλέσει προβλήματα διότι το σφάλμα παρουσιάζει έντονες μεταβολές με αποτέλεσμα να δίνει άπειρο αποτέλεσμα. 27

30 Σχεδίαση με Γεωμετρικό τόπο των ριζών (ΓΤΡ) Από την κοινή χαρακτηριστική τους εξίσωση έχουμε: ( ) ( ), όπου (2.4) η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου, οπότε η εξίσωση έρχεται στη μορφή: Σε αυτή τη μορφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης η A(s), είναι η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου των δύο δομών ελέγχου και η εξίσωση δίνει τον κοινό ΓΤΡ τους ως προς το μεταβαλλόμενο κέρδος kd. Επίσης από την μορφή της A(s) στην εξίσωση (2.4), βλέπουμε ότι η προσθήκη ενός τέτοιου ελεγκτή, με τη μορφή οποιασδήποτε εκ των δύο δομών, αντιστοιχεί σε προσθήκη ενός πραγματικού μηδενικού, στο ΓΤΡ στη θέση. Για το σφάλμα, στο πεδίο του Laplace, έχουμε από τα σχήματα: ( ) ( ) Το μόνιμο σφάλμα θέσης είναι και στις δύο περιπτώσεις το ίδιο (2.5) όπου Α το πλάτος της βηματικής εισόδου. Βλέπουμε ότι εξαρτάται αποκλειστικά από το kp, και μάλιστα μειώνεται όσο μεγαλώνει το kp. Γίνεται ξεκάθαρο από αυτή τη σχέση ότι με αυτό το σχήμα ελέγχου δεν μπορούμε να πετύχουμε μηδενικό μόνιμο σφάλμα θέσης, γιατί κάτι τέτοιο θα σήμαινε άπειρο kp. Για να ικανοποιήσουμε την προδιαγραφή 2 παίρνουμε. Αυτό σημαίνει ότι οι πόλοι του συστήματος θα κείνται επάνω στον πραγματικό άξονα. Παρόλα αυτά στο σχήμα ελέγχου με τον εν σειρά PD ελεγκτή, η θεώρηση δεν εγγυάται ότι θα απαλλαγούμε από την υπερύψωση, για βηματική είσοδο, καθότι η ύπαρξη του μηδενικού στον αριθμητή μπορεί να την προκαλέσει. Γι αυτό σε αυτό το σημείο θα επιλέξουμε το σχήμα ελέγχου με ανάδραση ταχύτητας, σε συνδυασμό με 28

31 για να ικανοποιήσουμε την προδιαγραφή 2. Με βάση τα παραπάνω ακολουθούν ο ΓΤΡ και η αντίστοιχη σχεδίαση για το γραμμικοποιημένο σύστημα που προκύπτει από το συγκεκριμένο σ.ι. που επιλέχθηκε: (x 0,i 0 )=(-1.5[V],0.8[A]) K i = και K x = Σχήμα 2.4: ΓΤΡ του συστήματος με τον ελεγκτή με αναλογικό και διαφορικό όρο που επιλέχθηκε Για αυτές τις τιμές των K i και K x για να είναι e ss < 0.12 από την (2.4) πρέπει: (2.6) Μετά από επιλογή συγκεκριμένης θέσης για το μηδενικό, θα τοποθετήσουμε τους πόλους αρκετά κοντά, δεξιά και αριστερά του σημείου θλάσης (ζ ελαφρώς μεγαλύτερο του 1), ώστε να έχουμε τις μικρότερες δυνατές τιμές των κερδών, που οδηγούν σε πραγματικούς πόλους με αυτήν την επιλογή μηδενικού. Οι μικρές τιμές κερδών είναι επιθυμητές γενικά. Για παράδειγμα μικρή τιμή kd στην περίπτωση μας είναι επιθυμητή ώστε να μην ενισχύεται πολύ μαζί με την παράγωγο της εξόδου και η παράγωγος του θορύβου που υπάρχει στο πραγματικό σύστημα, πράγμα που πιθανόν να το οδηγήσει σε αστάθεια. Επίσης μεγάλες τιμές του κέρδους kd πιθανόν να οδηγήσουν σε παραβίαση του περιορισμού (2.1) για την τάση ελέγχου. Τέλος μεγαλύτερο κέρδος οδηγεί τον ένα πόλο δεξιότερα στον πραγματικό άξονα καθιστώντας το σύστημα πιο αργό. Επίσης με μία τέτοια τοποθέτηση των πόλων οδηγούμαστε στο γρηγορότερο σύστημα (αργός πόλος αριστερότερα) για συγκεκριμένη επιλογή μηδενικού. Επιλέγουμε να τοποθετήσουμε το μηδενικό στη θέση στον πραγματικό άξονα, καθότι 29

32 βλέπουμε ότι, έτσι το σημείο θλάσης του τόπου είναι περίπου και αυτό με μία τοποθέτηση των πόλων πολύ κοντά δεξιά και αριστερά του, όπως περιγράφηκε παραπάνω, οδηγεί σε πόλους αρκετά αριστερά στον πραγματικό άξονα (γρήγορους πόλους). Έτσι τοποθετήσαμε τους πόλους στα σημεία και -10.7, όπως φαίνεται στο σχήμα, και το σύστημα που σχεδιάστηκε έχει κέρδη, kp=4 (ικανοποιείται η (2.6) δηλαδή η προδιαγραφή 1) και kd=0.86. Το σφάλμα θέσης μόνιμης κατάστασης για το σύστημα κλειστού βρόχου που σχεδιάστηκε αντικαθιστώντας τις τιμές των K i K x και k1 και τις τιμές των κερδών kp και kd του ελεγκτή που υπολογίσαμε, στην (2.5), είναι, δηλαδή 11,76% του πλάτους της βηματικής εισόδου. Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου (2.2), για τις παραπάνω τιμές κερδών γίνεται: Η φυσική κυκλική συχνότητα και η φυσική συχνότητα του συστήματος κλειστού βρόχου είναι και. Ο λόγος απόσβεσης (damping ratio) ζ= (2.7) 30

33 2.2 Προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα Έχοντας ολοκληρώσει τη θεωρητική σχεδίαση και υπολογίσει τα κέρδη του αναλογικού ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας, υλοποιούμε αυτό το σχήμα ελέγχου στο Simulink και στη συνέχεια τρέχουμε προσομοιώσεις, για 2 διαφορετικά μαθηματικά μοντέλα για το Maglev. Τα μοντέλα διαφέρουν ως προς την πολυπλοκότητα άλλα και ως προς τον βαθμό που προσεγγίζουν την πραγματικότητα. Κατά σειρά αυξανόμενης πολυπλοκότητας και ποιότητας προσέγγισης δοκιμάζουμε το γραμμικό μοντέλο με τη συνάρτηση μεταφοράς της εξίσωσης (1.7) όπως φαίνεται στο σχήμα 1.11, και το μη γραμμικό μοντέλο των εξισώσεων (1.1) & (1.2), που φαίνεται στο σχήμα Αρχικά τρέχουμε τις προσομοιώσεις για τα μοντέλα σε συνεχή χρόνο (όπως φαίνεται στο σχήμα 2.6) ώστε να εξετάσουμε την ποιότητα της προσέγγισης με το γραμμικό σύστημα ανάλογα με το εύρος της περιοχής ελέγχου. Στη συνέχεια αφού αποφασιστεί η κατάλληλη περιοχή ελέγχου, καθότι στα πειράματα με το φυσικό σύστημα (plant), η χρήση των τερματικών της Βeckhoff σε συνδυασμό με το real-time σύστημα, θα εισάγει διακριτοποίηση του χρόνου με δειγματοληψία ίση με αυτήν που θα οριστεί στα μοντέλα των τερματικών στο Simulink (0.0005s), αλλά και της τάσης (κβαντισμό), θα εισάγουμε διακριτοποίηση του χρόνου και κβαντισμό στις προσομοιώσεις με το γραμμικοποιημένο σύστημα, οι οποίες θα συγκριθούν με τα πειραματικά αποτελέσματα. Από τα χαρακτηριστικά των τερματικών που χρησιμοποιούνται, τα σήματα τάσης και στα δύο τερματικά (εισόδου και εξόδου), θα κβαντιστούν σε διαστήματα πλάτους 10/(2 12 ) V, καθώς τα τερματικά είναι για σήματα σε εύρος 10V και έχουν ανάλυση 12bit. Μπορούμε να πετύχουμε τη μοντελοποίηση και των δύο παραπάνω φαινομένων, εισάγοντας στην είσοδο και την έξοδο των μοντέλων από ένα Simulink block Quantizer, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.16, με τον προαναφερθέντα χρόνο δειγματοληψίας και στάθμες κβαντισμού. Τέλος τα σήματα διακριτού χρόνου υπαγορεύουν τις διακριτές παραγωγίσεις και ολοκληρώσεις εντός των ελεγκτών, που βλέπουμε στα Simulink models τους. Κατά την υλοποίηση του ελεγκτή, από την έξοδο του, που τροφοδοτείται σαν είσοδος ελέγχου Vc στο σύστημα, αφαιρείται η τάση, που αντιστοιχεί στο εκάστοτε σημείο ισορροπίας (, ), γύρω από το οποίο επιθυμούμε να ελέγξουμε το σύστημα. Αυτό αντιστοιχεί σε αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων, με μεταφορά της αρχής των αξόνων στο σημείο ισορροπίας (, ). Αυτό γίνεται, γιατί έτσι παίρνουμε τα μικρότερα δυνατά σφάλματα στην περιοχή γύρω από το σημείο ισορροπίας, που είναι αυτή στην οποία μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε το σύστημα κάθε φορά. Για το κέντρο της περιοχής συγκεκριμένα, σ.ι., δίνοντας σαν επιθυμητή τιμή στην είσοδο του ελεγκτή την (αρχική κατάσταση του συστήματος θέση στην οποία τοποθετείται αρχικά η μπάλα), με την προσθήκη του στη μηδενική έξοδο του ελεγκτή (εφόσον τη στιγμή t=0 θα είναι ), το γραμμικοποιημένο μοντέλο του συστήματος ισορροπεί σύμφωνα με την (1.14) στο (, ). Αντίστοιχα σε άλλες επιθυμητές τιμές στην γύρω περιοχή με αυτήν τη μεταφορά της αρχής των αξόνων, το σφάλμα θέσης, μόνιμης κατάστασης, θα είναι ίσο με το ποσοστό του σφάλματος για μοναδιαία βηματική είσοδο του εκάστοτε ελεγκτή επί την απόσταση του από το. Ζητούμε να πάρουμε την απόκριση κλειστού βρόχου, κάθε ενός από τα παραπάνω μοντέλα, 31

34 δίνοντας σαν είσοδο αναφοράς : βηματική είσοδο με αρχική τιμή το σημείο ισορροπίας -1,5V και πλάτος 0,3V, με κατεύθυνση τόσο προς τα πάνω όσο και κάτω από το σ.ι. (Σχήμα 2.5 δεξιά) ημιτονοειδή είσοδο με κέντρο το -1,5V, πλάτος 0,4V και περίοδο 4s (Σχήμα 2.5 αριστερά). Σχήμα 2.5: Configuration των εισόδων αναφοράς στο Simulink 32

35 Αναλογικός ελεγκτής με ανάδραση ταχύτητας Αποτελέσματα προσομοιώσεων Στο μοντέλο Simulink της εικόνας που ακολουθεί, φαίνεται η σε συνεχή χρόνο υλοποίηση του ελεγκτή με αναλογικό και διαφορικό όρο σε σχήμα ανάδρασης ταχύτητας, που σχεδιάστηκε, με τις 3 διαφορετικές επιλογές εισόδου που αναφέραμε παραπάνω. Σχήμα 2.6: Μοντέλο Simulink για προσομοίωση με αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας Εκτελώντας τις προσομοιώσεις παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Έχουμε κατά σειρά την απόκριση, κλειστού βρόχου, στις εισόδους αναφοράς Step1, Step2, και Sine Wave. 33

36 Απόκριση σε βηματική είσοδο (Position Regulation) Step1 Καθοδική βηματική απόκριση Θέση της μπάλας (α) Τάση ελέγχου (β) Σχήμα 2.7 Step2 Ανοδική βηματική απόκριση Θέση της μπάλας (α) Σχήμα 2.8 Τάση ελέγχου (β) Με σύγκριση των παραπάνω προσομοιακών αποτελεσμάτων για το γραμμικό σύστημα (πράσινο χρώμα στα σχήματα 2.7 και 2.8), με την αναμενόμενη από τη θεωρία απόδοση του ελεγκτή 34

37 που σχεδιάσαμε, σε βηματικές αποκρίσεις, προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: Η τελική θέση της καθοδικής βηματικής συνάρτησης (Step1) είναι ενώ για την ανοδική (Step2) είναι Δηλαδή το σφάλμα θέσης μόνιμης κατάστασης είναι το αναμενόμενο από τη θεωρία. Υπερύψωση δεν υπάρχει όπως αναμενόταν. Ο χρόνος ανόδου (10%-90%, που προτιμάται σε υπεραποσβεννύμενα συστήματα χωρίς υπερύψωση), είναι t r =0.32s. Για το χρόνο αποκατάστασης για βηματική είσοδο βλέπουμε ότι φτάνουμε στο 95% των τελικών τιμών ( για την καθοδική και για την ανοδική) τη χρονική στιγμή 2.655s, δηλαδή t s =0.655s. Πρόκειται για χρόνους που είναι ικανοποιητικοί συγκριτικά με τις απαιτήσεις της εφαρμογής μας. Τέλος βλέπουμε από τα διαγράμματα για την τάση ελέγχου ότι ο περιορισμός (2.1), ικανοποιείται και για τις δύο περιπτώσεις βηματικής εισόδου, καθ όλη τη διάρκεια των προσομοιώσεων. Για το μη γραμμικό σύστημα βλέπουμε ότι η απόκριση του είναι πολύ κοντά με αυτήν του γραμμικού, για την περιοχή γύρω από το σημείο ισορροπίας εντός της οποίας κινείται η μπάλα, για τις εισόδους αναφοράς step1 και step2. Συγκεκριμένα η διαφορά τους σε κάθε χρονική στιγμή δίνεται στα παρακάτω διαγράμματα: Σφάλμα για την καθοδική βηματική είσοδο Step1 Σφάλμα για την ανοδική βηματική είσοδο Step2 Σχήμα 2.9: Σφάλμα προσέγγισης του μη γραμμικού συστήματος από το γραμμικοποιημένο Η τάση ελέγχου του μη γραμμικού συστήματος, για τις Step1 και Step2, καθότι και αυτή προσεγγίζεται πολύ καλά από την τάση ελέγχου του γραμμικού, παραμένει καθ όλη τη διάρκεια εντός του εύρους που ορίζει ο περιορισμός (2.1) (βλέπε σχήμα 2.7 (β) και 2.8(β)). Βλέπουμε ότι για βηματική απόκριση με το ίδιο βήμα (0,3V), προς τα κάτω το γραμμικό σύστημα προσεγγίζει καλύτερα τη συμπεριφορά του μη γραμμικού, από ότι στην προς τα πάνω 35

38 βηματική απόκριση. Παρ όλα αυτά σε αυτό το πλάτος βήματος και στις δύο περιπτώσεις η προσέγγιση είναι ικανοποιητική. Δεν συμβαίνει το ίδιο αν αυξήσουμε το βήμα, όπου το μη γραμμικό σύστημα οδηγείται πλέον έξω από την περιοχή για την οποία η γραμμικοποίηση αποτελεί ικανοποιητική προσέγγιση. Το αποτέλεσμα είναι, στη βηματική απόκριση κλειστού βρόχου του μη γραμμικού συστήματος με τον ελεγκτή που σχεδιάστηκε με βάση τη γραμμικοποίηση, να παρατηρείται καθυστερημένη απόκριση για την ανοδική είσοδο (σχήμα 2.10) και υπερύψωση για την καθοδική απόκριση (σχήμα 2.11), σε αντίθεση με την προδιαγραφή που έχει τεθεί (την οποία φυσικά εξακολουθεί να πληρεί η απόκριση του γραμμικού συστήματος). Με περαιτέρω αύξηση του βήματος, και στις δύο περιπτώσεις το σύστημα οδηγείται στην αστάθεια (σχήμα 2.12). Σχήμα 2.10: Αποκρίσεις μετά από εφαρμογή βηματικής εισόδου με κατεύθυνση προς τα πάνω και βήμα 0,39V Σχήμα 2.11: Αποκρίσεις μετά από εφαρμογή βηματικής εισόδου με κατεύθυνση προς τα κάτω και βήμα 0,45V (αριστερά) και 1,1V (δεξιά) 36

39 Σχήμα 2.12: Αποκρίσεις μετά από εφαρμογή βηματικών εισόδων με κατεύθυνση προς τα πάνω και βήμα 0,4V (δεξιά) και προς τα κάτω με βήμα 1,2V (αριστερά). Και στις δύο περιπτώσεις το βήμα που δόθηκε είναι ελαφρώς μεγαλύτερο του οριακού βήματος που καθιστά το σύστημα ασταθές. 37

40 Απόκριση σε ημιτονοειδή είσοδο (Trajectory Tracking) Ημιτονοειδής Απόκριση (α) Τάση ελέγχου (β) Error γραμμικού συστήματος (γ) Σχήμα 2.13 Από τα προσομοιακά αποτελέσματα για την ημιτονοειδή απόκριση του γραμμικού συστήματος παρατηρούμε ότι η έξοδος είναι και αυτή ένα ημίτονο το οποίο: Έπεται της εισόδου αναφοράς, έχοντας διαφορά φάσης σε σχέση με αυτήν. Κάτι τέτοιο αναμενόταν από τη θεωρία, καθώς όπως φαίνεται στο διάγραμμα Bode φάσης στο σχήμα 2.14, για την κυκλική συχνότητα του ημιτόνου που δώσαμε ως είσοδο στο σύστημα 38

41 ( ) η διαφορά φάσης είναι με το αρνητικό πρόσημο να σημαίνει ότι η έξοδος έπεται της εισόδου. Έχει μία απόσβεση σε σχέση με το πλάτος της εισόδου η οποία επίσης επιβεβαιώνεται από το διάγραμμα Bode κέρδους, όπου για γωνιακή συχνότητα οδηγούμαστε σε κέρδος Δηλαδή το πλάτος του ημιτόνου εξόδου θα είναι, όπου =0.4 V είναι το πλάτος της εισόδου. Επομένως, που είναι το πλάτος του ημιτόνου που βλέπουμε με πράσινο χρώμα στο σχήμα 2.13(α). Για τους παραπάνω λόγους το σφάλμα (διαφορά της απόκρισης του γραμμικού συστήματος από την είσοδο αναφοράς), είναι και αυτό ένα ημίτονο με την ίδια περίοδο 4s, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.13(γ),. Σχήμα 2.14: Διαγράμματα Bode του ΣΚΒ με τον αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας 39

42 Η απόκριση του μη γραμμικού στην είσοδο Sine Wave, δίνεται και αυτή στο σχήμα 2.13(α), με κόκκινο χρώμα, όπου γίνεται φανερό ότι η απόκριση του γραμμικού την προσεγγίζει πολύ καλά. Ποσοτικά το πόσο καλή είναι αυτή η προσέγγιση φαίνεται στο σχήμα 2.15 όπου δίνεται η διαφορά των δύο σε συνάρτηση με τον χρόνο. Σχήμα 2.15: Σφάλμα προσέγγισης του μη γραμμικού συστήματος από το γραμμικοποιημένο Τέλος βλέπουμε από το διάγραμμα για την τάση ελέγχου, σχήμα 2.13 (β), ότι ο περιορισμός (2.1), ικανοποιείται και για τα δύο συστήματα, καθ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης. Σύγκριση προσομοιακών-πειραματικών αποτελεσμάτων Στο σχήμα 2.16 φαίνεται το μοντέλο Simulink, του ΣΚΒ του ελεγκτή με αναλογικό και διαφορικό όρο, και του γραμμικοποιημένου μοντέλου του Maglev, όπου ο ελεγκτής έχει υλοποιηθεί για διακριτό χρόνο και έχει μοντελοποιηθεί η διακριτοποίηση του χρόνου και ο 12bit κβαντισμός που προσθέτουν τα Beckhoff τερματικά. Με την πειραματική διάταξη που περιγράφηκε στην παράγραφο 1.2 εκτελούμε το πείραμα ελέγχου της θέσης της μπάλας (ρύθμισης και απόκρισης σε ημιτονοειδή είσοδο), με τον ίδιο αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας που σχεδιάστηκε και για τις ίδιες εισόδους που δοκιμάστηκαν και έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα στις προσομοιώσεις. Στο σχήμα 2.17 φαίνεται το μοντέλο το οποίο αφού γίνει build, παράγει το real-time εκτελέσιμο που τρέχει κατά τη διάρκεια του πειράματος και υλοποιεί τον έλεγχο με τον προαναφερθέντα ελεγκτή για την περίπτωση της ρύθμισης. Μέσω του HMI software TestManager της IgH, δίνονται οι είσοδοι (τελικές τιμές των βημάτων) και γίνεται το logging της μετρούμενης τιμής με τη χρήση scope component. Στη 40

43 συνέχεια οι μετρήσεις αποθηκεύονταν σε μορφή συμβατή με το MATLAB, το οποίο χρησιμοποιήθηκε σαν εργαλείο οπτικοποίησης. Σχήμα 2.16: Μοντέλο Simulink για προσομοίωση με διακριτό αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας Σχήμα 2.17: Μοντέλο Simulink που υλοποιεί HiL real time εφαρμογή, ελέγχου με αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας Στο σχήμα 2.18 βλέπουμε τα παράθυρα για ρύθμιση των παραμέτρων των Simulink blocks που μοντελοποιούν τα I/O τερματικά EL3064 και EL4004 της Beckhoff. Η τιμή για το χρόνο δειγματοληψίας καθορίστηκε ta=0.0005s. Τα input και output scales, έχουν τις τιμές που φαίνονται παραπάνω, καθώς τα block των τερματικών που παρέχει η Etherlab library ανάγουν το εύρος των τάσεων που υποστηρίζουν τα I/O κανάλια τους, στο εύρος [0.. 1]. Τέλος οι λόγοι που επιβάλλουν τη χρήση Output Offset -5 στην EL3064 και την πρόσθεση 5 πριν την τροφοδότηση του σήματος στην αναλογική έξοδο EL4004, εξηγούνται και αυτοί στο τέλος της παραγράφου

44 Σχήμα 2.18: Παράθυρα Simulink για ρύθμιση παραμέτρων των τερματικών Ι/Ο που περιλαμβάνονται στο μοντέλο Για τις βηματικές εισόδους Step1 και Step2 η απόκριση του πραγματικού συστήματος φαίνεται στο σχήμα 2.19 με γαλάζιο χρώμα, σε κοινά διαγράμματα με τις προσομοιακές αποκρίσεις, για λόγους σύγκρισης. 42

45 Σύγκριση της απόκρισης στην είσοδο Step1 (θέση της μπάλας) (α) Σχήμα 2.19 Σύγκριση βηματικών αποκρίσεων Σύγκριση της απόκρισης στην είσοδο Step2 (θέση της μπάλας) (β) Τάση ελέγχου στην προσομοίωση με το γραμμικοποιημένο σύστημα (α) 43

46 Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (γ) Σχήμα 2.20: Τάση ελέγχου για βηματική είσοδο προς τα πάνω Από τα διαγράμματα μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα: Το πραγματικό σύστημα παρουσιάζει κάποια ταλάντωση στην μόνιμη κατάσταση, μικρού, σχετικά με το αυτό των βηματικών αποκρίσεων, πλάτους, που οφείλεται στην ύπαρξη θορύβου στην πραγματικότητα (πιθανόν στο μετρητικό ή εξαιτίας των κυκλωμάτων μετατροπής τάσης), που απουσιάζει από την μοντελοποίηση. Τα πραγματικά αποτελέσματα διαφέρουν πολύ από αυτά των προσομοιώσεων, με ορισμένες από τις διαφορές να είναι ζωτικής σημασίας όπως το σφάλμα που στην προσομοίωση είναι θετικό (βήμα εξόδου μικρότερο από βήμα εισόδου αναφοράς) ενώ το πραγματικό σύστημα φαίνεται να εμφανίζει αρνητικό σφάλμα (βήμα εξόδου μεγαλύτερο από βήμα εισόδου αναφοράς). Όμως αυτό μπορεί να συμβεί μόνο σε συστήματα που έχουν ασταθή συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου (πόλο ανοιχτού βρόχου στο δεξί ημιεπίπεδο) τα οποία με την εφαρμογή ελεγκτή στο σύστημα κλειστού βρόχου γίνονται ευσταθή παρουσιάζοντας όμως αρνητικό σφάλμα. Συνειδητοποιούμε ότι υπάρχει σφάλμα στη μοντελοποίηση που θεωρήσαμε, το οποίο έγκειται τόσο στις τιμές των k1, Ki και Kx όσο και σε θεώρηση αντίθετου πρόσημου για το Kx. Η τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος ξεπερνάει σε μεγάλο βαθμό τα όρια του Saturation (σχήμα 2.20 (β)) πράγμα που δεν συνέβαινε κατά τις προσομοιώσεις, όπου όπως φαίνεται στο σχήμα 2.20(α), καθ όλη τη διάρκεια τους, ικανοποιούνταν ο περιορισμός [ ]. Άλλη μία ένδειξη για την ανακρίβεια της μοντελοποίησης. 44

47 3. Εκ νέου μοντελοποίηση Σχεδίαση σχημάτων ελέγχου και προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα 3.1 Εκ νέου μοντελοποίηση Αναγνώριση των παραμέτρων του συστήματος Έτσι οδηγούμαστε σε εκ νέου μοντελοποίηση του συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα ίδιας (2 ης ) τάξης και μορφής με το γραμμικοποιημένο σύστημα της εξίσωσης (1.13) με τη διαφορά της ύπαρξης αρνητικού πρόσημου στον παρονομαστή και διαφορετικών τιμών στα κέρδη Kx, k1, Ki. Στη συνέχεια προχωρούμε σε αναγνώριση των τιμών των παραμέτρων του από χαρακτηριστικά της απόκρισης του πραγματικού συστήματος. Αρχικά προσπαθούμε με μικρή μεταβολή (tuning) των κερδών του ήδη υπάρχοντος ελεγκτή να οδηγηθούμε σε κέρδη που επιτυγχάνουν έλεγχο του συστήματος, κατά τη διάρκεια του οποίου όμως η τάση ελέγχου δεν υπερβαίνει τα επιτρεπτά όρια. Παρατηρούμε ότι το εύρος των τιμών της τάσης ελέγχου εξαρτάται αποκλειστικά από το διαφορικό κέρδος kd. Αυτό δεν μας εκπλήσσει, καθώς η ταλάντωση αυτή γύρω από μία τιμή της τάσης ελέγχου, η οποία φαίνεται μετά από φιλτράρισμα στο σχήμα 2.20 (γ), οφείλεται στο θόρυβο, την παράγωγο του οποίου ενισχύει το kd. Μειώνοντας το kd βλέπουμε ότι η μπάλα συνεχίζει να αιωρείται αλλά και να αποκρίνεται στις συνήθεις βηματικές εισόδους με πλάτος 0.3V, με το εύρος της ταλάντωσης της Vc να μικραίνει. Εξασφαλίζεται ότι κινείται εντός των ορίων (ακόμα και κατά την εφαρμογή βηματικών εισόδων) για τιμές. Καθ όλη τη διάρκεια του παραπάνω πειράματος η τιμή του kp διατηρείται σταθερή και ίση με 4. Για μείωση του kd μέχρι περίπου την τιμή 0.2 και για kp=4, κατά τις βηματικές αποκρίσεις δεν παρατηρείται υπερύψωση. Επομένως θεωρούμε κατά τη μοντελοποίηση του συστήματος με ένα γραμμικό δευτεροβάθμιο σύστημα, με τη μορφή που περιγράψαμε παραπάνω, ότι η περίπτωση του ελεγκτή με kp=4 και kd=0.2 είναι η οριακή περίπτωση, για την οποία έχουμε στη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου, ζ=1. Από την (16) έχουμε: και. (3.1) Για kp=4 και kd=0.2 έχουμε ζ=1, και θέτοντας από τις (21) προκύπτει: (3.2) Το ποσοστό του σφάλματος σε σχέση με την είσοδο αναφοράς είναι το ίδιο για όλα τα πειράματα με kp=4 (ανεξάρτητο από kd πράγμα που επιβεβαιώνει τη διατήρηση της γενικής μορφής του μοντέλου ως έχει), για μία περιοχή βημάτων γύρω από το, και είναι ίσο με. 45

48 Από την (18) για την παραπάνω τιμή ως ποσοστό της βηματικής εισόδου, έχουμε: (3.3) Από τις (3.2) και (3.3) προκύπτει ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τα και. Από την επίλυσή του προκύπτει και. Άρα το σύστημα που προκύπτει μετά από την παραπάνω αναγνώριση παραμέτρων, αντικαθιστώντας τις στην (1.13), είναι το εξής: Όπως παρατηρήθηκε προηγουμένως το σύστημα είναι ίδιας μορφής με αυτό της (1.13) με αντίθετο πρόσημο στον παρονομαστή, δηλαδή είναι ασταθές με πόλους στα. Η διαφορική του εξίσωση: (3.5) Η οποία όμως ενώ αντιπροσωπεύει ένα σύστημα, που στον κλειστό βρόχο έχει τα παραπάνω χαρακτηριστικά όσον αφορά το σφάλμα και το ζ, είναι κεντραρισμένη στο (0,0), δηλαδή για το σημείο ισορροπίας (x 0,u 0 )=(-1.5[V],0.8[V]) γύρω από το οποίο γίνεται ο έλεγχος, η παραπάνω εξίσωση δεν επαληθεύεται (δεν μηδενίζεται η επιτάχυνση της μπάλας, που θα σήμαινε σ.ι.). Επομένως για να έχουμε ένα σύστημα, όπως το πραγματικό με σ.ι. (x 0,u 0 )=(-1.5[V],0.8[V]), θεωρούμε ότι τα και της εξίσωσης (3.5) είναι μεταβλητές ενός μετατοπισμένου συστήματος συντεταγμένων σε σχέση με την είσοδο και έξοδο του πραγματικού συστήματος, καθώς και αυτών του προηγούμενου μοντέλου, τις οποίες αν τις θεωρήσουμε και αντίστοιχα, η σχέση τους με τα τωρινά και είναι και. (3.6) Η εισαγωγή του νέου μοντέλου στο Simulink, έγινε με την παρακάτω μορφή: (3.4) Σχήμα

49 3.2 Σχεδίαση γραμμικών ελεγκτών για το νέο μοντέλο - προσομοιακά και πειραματικά αποτελέσματα Σε αυτήν την παράγραφο θα επιχειρήσουμε τη σχεδίαση νέων ελεγκτών για το MagLev για το καινούριο μοντέλο της (3.4) ή των (3.5) & (3.6). Σχεδίαση με αναλογικό και διαφορικό όρο 1. Κατά το δυνατόν μικρότερο σφάλμα θέσης. Προδιαγραφές σχεδίασης 2. Μηδενική υπερύψωση για απόκριση σε βηματική είσοδο. 3. Κατά το δυνατόν μικρούς χρόνους αποκατάστασης και ανόδου. Περιορισμός: Όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο 1.1 η είσοδος του ελεγχόμενου συστήματος πρέπει να ανήκει στο διάστημα [-5, 5]V. Δηλαδή η τάση ελέγχου έχει τον περιορισμό [ ] Είδαμε πειραματικά ότι για να ισχύει αυτός ο περιορισμός για το εύρος των διαστημάτων (σε V) στα οποία επιθυμούμε να κινείται (για όλες τις τροχιές κίνησης που εξετάζονται) η έξοδος του συστήματος κλειστού βρόχου, πρέπει το διαφορικό κέρδος: 4.. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει στην παράγραφο 2.1, εξαιτίας της προδιαγραφής 2, για μηδενική υπερύψωση, επιβάλλεται η χρήση αναλογικού ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας, καθ ότι απ τον αριθμητή της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος εκλείπει το μηδενικό που θα την προκαλούσε. Αναλογικός ελεγκτής με ανάδραση ταχύτητας (proportional controller with velocity feedback). u e + + kp V c G 1 (s) X kd s Σχήμα 3.2: ΣΚΒ με αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας 47

50 Με συνάρτηση μεταφοράς για το σύστημα κλειστού βρόχου: ( ) (3.7) Σχεδίαση με Γεωμετρικό τόπο των ριζών (ΓΤΡ) Από την (2.4) για την εξίσωση του ΓΤΡ σε αυτό το σχήμα ελέγχου έχουμε: ( ), όπου (3.8) η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου, οπότε η εξίσωση έρχεται στη μορφή: Σε αυτή τη μορφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης η, είναι η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου των δύο δομών ελέγχου και η εξίσωση δίνει τον ΓΤΡ ως προς το μεταβαλλόμενο κέρδος kd. Επίσης από την μορφή της στην εξίσωση (2.4), αυτός ο ελεγκτής αντιστοιχεί σε προσθήκη ενός πραγματικού μηδενικού, στο ΓΤΡ στη θέση. (3.9) Το μόνιμο σφάλμα θέσης δίνεται από την (2.5), δηλαδή εξακολουθεί να εξαρτάται αποκλειστικά από το kp, και μάλιστα μειώνεται όσο μεγαλώνει το kp. Επομένως, προς ικανοποίηση της προδιαγραφής 1, επιδίωξη μας είναι να αυξήσουμε το kp κατά το δυνατόν περισσότερο, μέχρι του σημείου που περαιτέρω αύξηση του παραβιάζει περιορισμούς που προκύπτουν από τις υπόλοιπες προδιαγραφές. Για τοποθέτηση του μηδενικού αριστερότερα, στον πραγματικό άξονα, από τον αρνητικό πόλο του συστήματος ανοιχτού βρόχου, δηλαδή για, o ΓΤΡ έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.3. Για να ικανοποιήσουμε την προδιαγραφή 2 παίρνουμε. Αυτό σημαίνει ότι οι πόλοι του συστήματος θα κείνται επάνω στον πραγματικό άξονα. Για δεδομένη θέση του μηδενικού και για πραγματικούς πόλους, θα πάρουμε το γρηγορότερο σύστημα κλειστού βρόχου, για διπλό πόλο ακριβώς επάνω στο σημείο θλάσης, δηλαδή για ζ=1. Επομένως τοποθετούμε τους πόλους κατά αυτόν τον τρόπο στο ΓΤΡ, παρ όλο που αύξηση του ζ (μετακίνηση των πόλων αριστερότερα και δεξιότερα του σημείου θλάσης), θα αύξανε το kp, είναι προτιμότερο να πετύχουμε μια τέτοια αύξηση μέσω της μετακίνησης του μηδενικού αριστερότερα. Με μία τέτοια μετακίνηση αφενός δεν αυξάνουμε παράλληλα και το kd (που μπορεί να οδηγήσει σε παραβίαση του περιορισμού (2.1)), αλλά μπορεί να παραμείνει σταθερό μέσω της αύξησης του λόγου των δύο κερδών και αφετέρου για δεδομένη τιμή του kp (και ), αυτή η μορφή μας δίνει το γρηγορότερο σύστημα. Η παραπάνω μορφή ΓΤΡ, με διπλό πόλο στο σημείο θλάσης, οδηγεί σε χαρακτηριστική εξίσωση (3.10) Επομένως ξεκινάμε επιλέγοντας τη μέγιστη δυνατή τιμή για το kd, που να υπακούει στην προδιαγραφή 4: kd=0.2. Έτσι θα έχουμε το μέγιστο kp (άρα ελάχιστο σφάλμα) για την τιμή του 48

51 μηδενικού που θα επιλέξουμε, χωρίς να παραβιάζεται ο περιορισμός για την τάση ελέγχου. Εξισώνοντας τον συντελεστή του όρου s της (3.10) με αυτόν του παρανομαστή της (3.7) έχουμε για το διπλό πόλο: Για τοποθέτηση του μηδενικού στη θέση, έχουμε σημείο θλάσης στον ΓΤΡ το -30, όπου τοποθετούμε το διπλό πόλο και έτσι οδηγούμαστε στον ΓΤΡ του σχήματος 3.3. Σχήμα 3.3: ΓΤΡ του συστήματος με τον ελεγκτή με αναλογικό και διαφορικό όρο που επιλέχθηκε Για το kp έχουμε από τη (3.9) Το σφάλμα θέσης μόνιμης κατάστασης για το σύστημα κλειστού βρόχου που σχεδιάστηκε αντικαθιστώντας τις τιμές των και και τις τιμές των κερδών kp και kd του ελεγκτή που υπολογίσαμε, στη (2.5), είναι, δηλαδή 33.33% του πλάτους της βηματικής εισόδου. Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου (3.7), για τις παραπάνω τιμές κερδών γίνεται: (3.11) Η φυσική κυκλική συχνότητα και η φυσική συχνότητα του συστήματος κλειστού βρόχου είναι και. Ο λόγος απόσβεσης (damping ratio), όπως λήφθηκε υπόψη και στη σχεδίαση είναι ζ=1. 49

52 Αποτελέσματα προσομοιώσεων Οι προσομοιώσεις γίνονται κι εδώ με το μοντέλο του σχήματος 2.16, με τα κέρδη να έχουν λάβει τις νέες τιμές (kp=4 και kd=0.2) και στη θέση του MagLev Model, βρίσκεται το μοντέλο του σχήματος 3.1. Εκτελώντας τις προσομοιώσεις παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Έχουμε κατά σειρά την απόκριση, κλειστού βρόχου, στις εισόδους αναφοράς Step1, Step2, και Sine Wave. Απόκριση σε βηματική είσοδο (Position Regulation) Step1 Βηματική Απόκριση Θέση της μπάλας (α) Τάση ελέγχου (β) 50

53 Τάση ελέγχου, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Σχήμα 3.4 Τάση ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Step2 Βηματική Απόκριση Θέση της μπάλας (α) Τάση ελέγχου (β) 51

54 Τάση ελέγχου, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Τάση ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα 3.5 Με σύγκριση των παραπάνω προσομοιακών αποτελεσμάτων, με την αναμενόμενη από τη θεωρία απόδοση του ελεγκτή που σχεδιάστηκε, προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: Η τελική θέση της καθοδικής βηματικής συνάρτησης (Step1) ταλαντώνεται (λόγω κβαντισμού) μεταξύ και και μεταξύ και για την ανοδική (Step2). Δηλαδή το σφάλμα θέσης μόνιμης κατάστασης είναι το αναμενόμενο από τη θεωρία. Υπερύψωση δεν υπάρχει, όπως αναμενόταν σύμφωνα με την προδιαγραφή της μηδενικής υπερύψωσης. Ο χρόνος ανόδου, 10%-90%, (που προτιμάται σε υπεραποσβεννύμενα συστήματα χωρίς υπερύψωση), είναι t r =0.11s. Για το χρόνο αποκατάστασης, σύμφωνα με το κριτήριο του 5%, για βηματική είσοδο βλέπουμε ότι φτάνουμε στο 95% των τελικών τιμών (-1.88 για την καθοδική και για την ανοδική) τη χρονική στιγμή 2.156s, δηλαδή t s =0.156s. Πρόκειται για χρόνους που είναι ικανοποιητικοί συγκριτικά με τις απαιτήσεις της εφαρμογής μας. Τέλος βλέπουμε από τα διαγράμματα για την τάση ελέγχου ότι ο περιορισμός (2.1), ικανοποιείται και για τις δύο περιπτώσεις βηματικής εισόδου, καθ όλη τη διάρκεια των προσομοιώσεων. 52

55 Απόκριση σε ημιτονοειδή είσοδο (Trajectory Tracking) Ημιτονοειδής Απόκριση Θέση της μπάλλας (α) Ημιτονοειδής Απόκριση Σφάλμα (β) Ημιτονοειδής Απόκριση - Τάση ελέγχου (γ) Τάση ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα 3.6 Από τα προσομοιακά αποτελέσματα για την ημιτονοειδή απόκριση του γραμμικού συστήματος παρατηρούμε ότι η έξοδος είναι και αυτή ένα ημίτονο το οποίο: 53

56 Έπεται της εισόδου αναφοράς, έχοντας διαφορά φάσης σε σχέση με αυτήν. Κάτι τέτοιο αναμενόταν από τη θεωρία, καθώς όπως φαίνεται στο διάγραμμα Bode φάσης (σχήμα 3.7) για την κυκλική συχνότητα του ημιτόνου που δώσαμε ως είσοδο στο σύστημα ( ) η διαφορά φάσης είναι με το αρνητικό πρόσημο να σημαίνει ότι η έξοδος έπεται της εισόδου. Έχει μία ενίσχυση σε σχέση με το πλάτος της εισόδου η οποία επίσης επιβεβαιώνεται από το διάγραμμα Bode κέρδους, όπου για γωνιακή συχνότητα οδηγούμαστε σε κέρδος Δηλαδή το πλάτος του ημιτόνου εξόδου θα είναι, όπου =0.4 V είναι το πλάτος της εισόδου. Επομένως, που είναι το πλάτος του ημιτόνου που βλέπουμε με πράσινο χρώμα στο σχήμα 3.6 (α). Για τους παραπάνω λόγους το σφάλμα (διαφορά της απόκρισης του γραμμικού συστήματος από την είσοδο αναφοράς), είναι και αυτό ένα ημίτονο με την ίδια περίοδο 4s, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.6 (β). Τέλος βλέπουμε από το διάγραμμα για την τάση ελέγχου (σχήμα 3.6 (γ)) ότι ο περιορισμός (2.1), ικανοποιείται, καθ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης. Σχήμα 3.7: Διαγράμματα Bode του ΣΚΒ με τον αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας 54

57 Σύγκριση προσομοιακών-πειραματικών αποτελεσμάτων Οι ίδιες τιμές κερδών του νέου ελεγκτή που υπολογίστηκαν και χρησιμοποιήθηκαν στις προηγούμενες προσομοιώσεις, δίνονται στις παραμέτρους του μοντέλου real time εφαρμογής του σχήματος 2.17, το οποίο τρέχει κατά την διεξαγωγή των πειραμάτων με τα παρακάτω αποτελέσματα. Κατά τα άλλα για τα πειράματα αυτής της παραγράφου ισχύουν τα ίδια δεδομένα (είσοδοι αναφοράς, χρόνος δειγματοληψίας, logging και visualization των αποτελεσμάτων κλπ) που ίσχυαν κατά τη διεξαγωγή των πειραμάτων της παραγράφου 2.2 και αναλύονται εκεί. Απόκριση σε βηματική είσοδο (Position Regulation) Step1 Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) (α) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) 55

58 Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Σχήμα 3.8 Σύγκριση της τάσης ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Step2 Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) (α) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) 56

59 Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Σύγκριση της τάσης ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα 3.9 Αποκρίσεις σε βηματικές εισόδους με μεγαλύτερο πλάτος Σύγκριση της απόκρισης σε βηματική είσοδο πλάτους 0.5 προς τα κάτω (α) Σύγκριση της απόκρισης σε βηματική είσοδο πλάτους 0.5 προς τα πάνω (β) Σχήμα

60 Απόκριση σε ημιτονοειδή είσοδο (Trajectory Tracking) Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) (α) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) Σύγκριση της τάσης ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (γ) Σχήμα 3.11 Από τα διαγράμματα μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα: Το πραγματικό σύστημα παρουσιάζει κάποια ταλάντωση στην μόνιμη κατάσταση, μικρού όμως πλάτους που οφείλεται στην ύπαρξη θορύβου στην πραγματικότητα (πιθανόν στο μετρητικό ή εξαιτίας των κυκλωμάτων μετατροπής τάσης), που απουσιάζει από την 58

61 μοντελοποίηση. Η ταλάντωση αυτή είναι μικρότερη από αυτήν που υπήρχε για τον προηγούμενο αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας, πράγμα που δείχνει την εξάρτηση της από το kd (καθώς είναι το μόνο κέρδος που άλλαξε), πράγμα αναμενόμενο καθώς το kd είναι το κέρδος που ενισχύει την παράγωγο του θορύβου στην οποία οφείλεται η ταλάντωση. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων προσεγγίζουν πολύ καλά τα πειραματικά, για όλες τις εισόδους που εφαρμόστηκαν. Βλέπουμε δηλαδή ότι ιδίως στις αποκρίσεις σε βήματα πλάτους 0,3V (σχήματα 3.8(α) και 3.9(α)), η συμπεριφορά του συστήματος είναι πολύ κοντά σε αυτή του γραμμικού δευτεροβάθμιου της (24), ενώ σε αυτές του σχήματος 3.10 η μη γραμμικότητα του πραγματικού συστήματος γίνεται περισσότερο φανερή από χαρακτηριστικά όπως η ταλάντωση κατά την ανοδική βηματική απόκριση και η γρηγορότερη της δευτεροβάθμιας καμπύλη για την καθοδική. Η τάση ελέγχου κινείται εντός των ορίων του περιορισμού (2.1), ως αποτέλεσμα του περιορισμού (προδιαγραφή 4) για το kd που χρησιμοποιήσαμε κατά τη σχεδίαση. Συμπεραίνουμε ότι ο περιορισμός αυτός θα πρέπει να αξιοποιηθεί και σε μελλοντικές σχεδιάσεις ελεγκτών σε περίπτωση που περιλαμβάνουν διαφορικό όρο. Με τέτοιο σχήμα ελέγχου (με αναλογικό και διαφορικό όρο), δεν μπορούμε να απαλλαγούμε από το σφάλμα. Γι αυτό στη συνέχεια θα εξετάσουμε την απόδοση ενός ελεγκτή που έχει και ολοκληρωτικό όρο. Σχεδίαση με αναλογικό, ολοκληρωτικό και διαφορικό όρο (ελεγκτής τριών όρων) Προδιαγραφές σχεδίασης 1. Μηδενικό σφάλμα θέσης. 2. Μηδενική υπερύψωση. 3. Κατά το δυνατόν μικρό χρόνο αποκατάστασης και ανόδου. Περιορισμός: Όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο 1.1 η είσοδος του ελεγχόμενου συστήματος πρέπει να ανήκει στο διάστημα [-5, 5]V. Δηλαδή η τάση ελέγχου έχει τον περιορισμό [ ] Είδαμε πειραματικά ότι για να ισχύει αυτός ο περιορισμός για το εύρος των διαστημάτων (σε V) στα οποία επιθυμούμε να κινείται (για όλες τις τροχιές κίνησης που εξετάζονται) η έξοδος του συστήματος κλειστού βρόχου, πρέπει το διαφορικό κέρδος: 4. 59

62 «Παράλληλος» Ελεγκτής PID Τύποι ελεγκτών τριών όρων Αρχικά, έχουμε την υλοποίηση του παράλληλου PID ελεγκτή όπως φαίνεται στο σχήμα 3.12, με νόμο ελέγχου: (2.19) PID controller kp u + e + kds V c V c G 1 (s) x ki s Σχήμα 3.12: Σύστημα κλειστού βρόχου με παράλληλο PID ελεγκτή Η απόκριση του συστήματος επηρεάζεται εκτός από τους πόλους και από τα μηδενικά κλειστού βρόχου, τα οποία καθορίζονται από τα μηδενικά του ευθύ και τους πόλους του βρόχου ανάδρασης. Άρα, από το σχήμα 3.12 φαίνεται ότι το σχήμα ελέγχου του παράλληλου PID εισάγει στον κλειστό βρόχο 2 μηδενικά, τα οποία είναι ρίζες της εξίσωσης. Τα μηδενικά αυτά επιδρούν στην απόκριση και την ευστάθεια του συστήματος. Ένα μειονέκτημα του σχήματος είναι, για την περίπτωση της ρύθμισης, όπου η είσοδος είναι βηματική, το ότι η διαφόριση του σφάλματος μπορεί να προκαλέσει προβλήματα διότι το σφάλμα παρουσιάζει έντονες μεταβολές με αποτέλεσμα να δίνει άπειρο αποτέλεσμα, όπως και με τον εν σειρά PD ελεγκτή που μελετήσαμε προηγούμενα. Αναλογικός και ολοκληρωτικός (PI) ελεγκτής με ανάδραση ταχύτητας Λόγω του μειονεκτήματος που αναφέρθηκε, έχει προταθεί ο αναλογικός και ολοκληρωτικός έλεγχος με ανάδραση ταχύτητας, ο οποίος φαίνεται στο σχήμα 3.13, με νόμο ελέγχου: (3.13) 60

63 Για τη ρύθμιση ισχύει η σχέση, έτσι ο νόμος ελέγχου (2.20) γίνεται τελικά: (3.14) PI controller k p u + e V c V c G 1 (s) x k I s k d s Σχήμα 3.13: Σύστημα κλειστού βρόχου με αναλογικό και ολοκληρωτικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας Από τις εξισώσεις (3.12) και (3.14), συμπεραίνουμε ότι ο ελεγκτής του σχήματος 3.13 και ο παράλληλος PID ελεγκτής έχουν τον ίδιο νόμο ελέγχου. Μετασχηματίζοντας το σχήμα 3.13 προκύπτει το σχήμα 3.14, στο οποίο φαίνεται ότι οι δύο ελεγκτές διαφοροποιούνται στα μηδενικά κλειστού βρόχου, καθώς με χρήση του PI με ανάδραση ταχύτητας, ο ελεγκτής εισάγει στον κλειστό βρόχο 1 μηδενικό στο. PI controller k p u + e + V c V c G 1 (s) x k I s k d s 2 k k p p s k s I k I Σχήμα 3.14: Ισοδύναμο λειτουργικό διάγραμμα - αναλογικός και ολοκληρωτικός ελεγκτής με ανάδραση ταχύτητας Όπως και στον αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας που εξετάσαμε στην παράγραφο 61

64 2.1, καθώς έχουμε μόνο τον αισθητήρα υπερύθρων για μέτρηση της θέσης της μπάλας, και όχι κάποιον αισθητήρα μέτρησης της ταχύτητας, θα πρέπει να γίνει διαφόρισή της θέσης. Το πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής έναντι της υλοποίησης του παράλληλου PID, είναι ότι το σήμα που διαφορίζεται με τον διαφορικό όρο είναι η έξοδος x του συστήματος, η οποία σε αντίθεση με το σφάλμα e δεν παρουσιάζει ασυνέχειες. Ελεγκτής PID με εσωτερικό βρόχο ανάδρασης ταχύτητας (PIP) Τέλος στη βιβλιογραφία προτείνεται συχνά, ένας τρίτος τρόπος υλοποίησης ελέγχου τριών όρων (PID), ο οποίος φαίνεται στο σχήμα Επειδή στο συγκεκριμένο σχήμα ελέγχου χρησιμοποιούνται ένας P (για τη θέση) και ένας PI ελεγκτής (για την ταχύτητα), για λόγους ευκολίας θα το ονομάζουμε στο εξής Ελεγκτής PIP. Ο νόμος ελέγχου είναι: Αντικαθιστώντας στην (2.22) τις σχέσεις: προκύπτει: (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) Στην ειδική περίπτωση της ρύθμισης, όπως και προηγούμενα θα ισχύει, έτσι ο νόμος ελέγχου (3.18) γίνεται τελικά: ( ) (3.19) 62

65 PI controller P controller kvtv u V c -1 ωd e 1 e + kp V c G 1 (s) x kv s x s Σχήμα 3.15: Σύστημα κλειστού βρόχου Ελεγκτής PIP Μετασχηματίζοντας το λειτουργικό διάγραμμα του σχήματος 3.15, προκύπτει το σχήμα 3.16, από το οποίο συμπεραίνουμε ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει 1 μηδενικό, του οποίου η θέση είναι στο. Αυτό καθίστα το πρώτο πλεονέκτημα του PIP σχήματος έναντι του παράλληλου PID που έχει δύο μηδενικά στον αριθμητή. PI controller kvtv u e + + kp V c V c G 1 (s) x kv s s kp kp Σχήμα 3.16: Σύστημα κλειστού βρόχου Ισοδύναμο λειτουργικό διάγραμμα - Ελεγκτής PIP με απλοποιημένο βρόχο ανάδρασης ταχύτητας Συμπερασματικά, ο PIP ελεγκτής διαφορίζει την έξοδο και δημιουργεί σύστημα κλειστού 63

66 βρόχου με ένα μηδενικό, όπως και ο PI με ανάδραση ταχύτητας. Ένα ακόμα θετικό χαρακτηριστικό του είναι η ευκολότερη ρύθμιση των κερδών κατά τη σχεδίαση με ΓΤΡ, σε σχέση με τις υπόλοιπες υλοποιήσεις, καθώς στην προκειμένη υλοποίηση υπάρχει απευθείας αντιστοιχία μεταξύ των κερδών και των μηδενικών του ΓΤΡ (βλέπε σχέσεις (3.22) και (3.24), (3.25)) πράγμα που δεν συμβαίνει στις άλλες δύο περιπτώσεις. Τα πλεονεκτήματα αυτά, θα οδηγήσουν στην επιλογή αυτής της δομής ελέγχου για τη σχεδίαση με ελεγκτή τριών όρων. Από το νόμο ελέγχου (3.19) βλέπουμε ότι γι αυτή τη δομή ελέγχου το διαφορικό κέρδος είναι. Άρα η προδιαγραφή 4 γίνεται. (3.20) Σχεδίαση με Γεωμετρικό τόπο των ριζών (ΓΤΡ) Όπως βλέπουμε από τη (3.4), οι πόλοι του συστήματος είναι, με τον να καθιστά το σύστημα ασταθές. Με βάση τις προδιαγραφές, σκοπός της σχεδίασης μας είναι το σύστημα κλειστού βρόχου (ΣΚΒ) που θα προκύψει να δίνει πραγματικούς πόλους (, λόγω της προδιαγραφής για μηδενική υπερύψωση), οι οποίοι να βρίσκονται σαφώς αριστερά του φανταστικού άξονα κάνοντας το ΣΚΒ ευσταθές, και συγκεκριμένα κατά το δυνατόν αριστερότερα σε αυτόν ώστε να έχουμε κατά το δυνατόν γρηγορότερο σύστημα. Για να εξετάσουμε τη μεταβολή των πόλων κλειστού βρόχου χρησιμοποιούμε την τεχνική του ΓΤΡ, ο οποίος, περιγράφεται γενικά από την εξίσωση: (3.21) όπου ένα μεταβαλλόμενο κέρδος και η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου του συστήματος με τον ελεγκτή. Με βάση το σχήμα 3.16, η εξίσωση του ΓΤΡ είναι: (3.22) όπου και και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: ( ) (3.23) Για τη σχεδίαση με ΓΤΡ με μεταβαλλόμενο το κέρδος πρέπει αρχικά να καθορίσουμε τα μηδενικά που εμφανίζονται στην (3.22). Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο μηδενικά στις θέσεις: (3.24) 64

67 (3.25) ένας πόλος στο 0 (ολοκληρωτής) και οι πόλοι λόγω του ελεγχόμενου συστήματος. Η μορφή του ΓΤΡ εξαρτάται από τη θέση των μηδενικών και ως προς τους πόλους του ελεγχόμενου συστήματος. Κατ αρχήν και τα δύο μηδενικά πρέπει να τοποθετηθούν στο αριστερό ημιεπίπεδο για να προκύψουν μόνο ευσταθής πόλοι ΣΚΒ. Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος με τον ελεγκτή PIP, είναι: ( ) (3.26) Όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει, υπάρχει στον αριθμητή το μηδενικό. Αυτό παρόλη την μέριμνα για τοποθέτηση των πόλων του ΣΚΒ στον πραγματικό άξονα, θα προκαλέσει κάποια υπερύψωση. Για να την αποφύγουμε υπάρχουν δύο λύσεις: Τοποθέτηση του μηδενικού μηδενικού να είναι αμελητέα. μακριά από το φανταστικό άξονα ώστε η επίδραση του Απαλοιφή του ευσταθούς πόλου του ελεγχόμενου συστήματος, με το μηδενικό εξαλειφθεί η επίδραση των δύο., ώστε να Με βάση τα προηγούμενα, έχουμε τις εξής περιπτώσεις για τη μορφή του ΓΤΡ: Α) Η περίπτωση όπου,, κατά την οποία ο ΓΤΡ έχει τη μορφή του σχήματος Σε αυτήν την περίπτωση, για τοποθέτηση των πόλων πάνω στον πραγματικό άξονα και στο ευσταθές ημιεπίπεδο, οδηγούμαστε σε τιμές για το διαφορικό κέρδος που παραβιάζουν τον περιορισμό (3.20), γι αυτό και δε θα συζητηθεί περεταίρω. 65

68 Σχήμα 3.17: ΓΤΡ για, Β) Η περίπτωση τοποθέτησης ενός μηδενικού αριστερά και ενός δεξιά του πόλου, κατά την οποία ο ΓΤΡ έχει τη μορφή του σχήματος Σε αυτήν την περίπτωση, ακόμα και αν απαλλαχθούμε από το πρόβλημα της υπερύψωσης, δίνοντας στο μηδενικό που εμφανίζεται στον αριθμητή της (3.26), αρκούντως μεγάλη τιμή, υπάρχει το μειονέκτημα ότι ο κύριος πόλος του ΣΚΒ θα βρίσκεται πάνω στον μπλε κλάδο του ΓΤΡ, δηλαδή δεξιά του. Όπως θα δούμε με άλλη μορφή του ΓΤΡ, μπορούμε να οδηγηθούμε σε πόλους ΣΚΒ αριστερότερα του, και επομένως γρηγορότερο σύστημα. Ένας εναλλακτικός τρόπος προσέγγισης, οριακή υποπερίπτωση αυτής της μορφής ΓΤΡ του σχήματος 3.18, είναι να απαλλαγούμε από τον μπλε κλάδο, ο οποίος δίνει τον αργό πόλο, τοποθετώντας το ένα μηδενικό επάνω στον πόλο. Το μηδενικό απαλείφει την επίδραση του πόλου του ελεγχόμενου συστήματος και καθιστά κύριους πόλους εκείνους που κινούνται στους κλάδους που απομένουν. Και εδώ όμως, οδηγούμαστε σε τιμές διαφορικού κέρδους που παραβιάζουν τον περιορισμό (3.20), για τοποθέτηση των πόλων πάνω στον πραγματικό άξονα και στο ευσταθές ημιεπίπεδο, όποια θέση και να επιλέξουμε για το δεύτερο μηδενικό αριστερά του. 66

69 Σχήμα 3.18: ΓΤΡ για τοποθέτηση των μηδενικών εναλλάξ δεξιά και αριστερά του πόλου Γ) Η περίπτωση όπου,, κατά την οποία ο ΓΤΡ έχει τη μορφή του σχήματος Σε αυτήν την περίπτωση εκτός από το πρόβλημα της υπερύψωσης που μπορεί να παρουσιαστεί όσο μικρότερη γίνεται η τιμή του μηδενικού, οδηγούμαστε σε ένα αργό ΣΚΒ, αφού οι κύριοι πόλοι του ΣΚΒ θα κείνται πάνω στον πράσινο και τον κόκκινο κλάδο, αριστερότερα και οι δύο του. Σχήμα 3.19: ΓΤΡ για, 67

70 Δ) Η περίπτωση όπου,, με το ένα μηδενικό να βρίσκεται πολύ κοντά στον πόλο του ελεγχόμενου συστήματος, κατά την οποία ο ΓΤΡ έχει τη μορφή του σχήματος Η οριακή υποπερίπτωση αυτής της μορφής, με το μηδενικό να τοποθετείται ακριβώς επάνω στον, απαλείφει εντελώς τον αργότερο κλάδο του ΓΤΡ, επομένως είναι η βέλτιστη όσον αφορά την ταχύτητα του συστήματος. Επίσης αν η απαλοιφή αυτή γίνει από το μηδενικό, απαλλασσόμαστε ταυτόχρονα και από την επίδραση του μηδενικού (υπερύψωση). Αφού πραγματοποιήσουμε λοιπόν αυτήν την απαλοιφή μένει να τοποθετηθεί το άλλο μηδενικό. Για δεδομένη θέση του δεύτερου μηδενικού και για πραγματικούς πόλους, θα πάρουμε το γρηγορότερο σύστημα κλειστού βρόχου και τη μικρότερη τιμή διαφορικού κέρδους, για διπλό πόλο ακριβώς επάνω στο σημείο θλάσης, δηλαδή για ζ=1. Επομένως τοποθετούμε το μηδενικό στην αριστερότερη δυνατή θέση, για την οποία, με τοποθέτηση των πόλων ΣΚΒ επάνω στο σημείο θλάσης, το διαφορικό κέρδος δεν ξεφεύγει από τα όρια της (3.20). Αυτό συμβαίνει για τοποθέτηση του δεύτερου μηδενικού στη θέση στον πραγματικό άξονα, με το σημείο θλάσης και το διπλό πόλο ΣΚΒ στο , και είναι ο ΓΤΡ του σχήματος Όπως είπαμε το πρέπει να είναι το μηδενικό που θα απαλείψει τον πόλο, γιατί τοποθέτηση του στη θέση , δεν του δίνει τιμή αρκετά μεγάλη, κατά μέτρο, καθιστώντας την επίδραση του μη αμελητέα (πρόκληση υπερύψωση κατά τις βηματικές αποκρίσεις του ΣΚΒ). Έτσι με αυτήν τη σχεδίαση έχουμε για τα κέρδη, και του ελεγκτή: 68

71 Σχήμα 3.20: ΓΤΡ για,, με το ένα μηδενικό να βρίσκεται πολύ κοντά στον Σχήμα 3.21: ΓΤΡ του συστήματος με τον ελεγκτή με τον ελεγκτή τριών όρων που επιλέχθηκε Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου (3.26), μετά την απαλοιφή πόλου μηδενικού και για τις παραπάνω τιμές κερδών γίνεται: (3.27) 69

72 Η φυσική κυκλική συχνότητα και η φυσική συχνότητα του συστήματος κλειστού βρόχου είναι και. Ο λόγος απόσβεσης (damping ratio), όπως λήφθηκε υπόψη και στη σχεδίαση είναι ζ=1. Αποτελέσματα προσομοιώσεων Στο μοντέλο Simulink του σχήματος 3.22, φαίνεται η υλοποίηση του ελεγκτή PIP, που σχεδιάστηκε, με τις 3 διαφορετικές επιλογές εισόδου (καθοδική και ανοδική βηματική και ημιτονοειδής είσοδος). Σχήμα 3.22: Μοντέλο Simulink για προσομοίωση με διακριτό PIP ελεγκτή Λόγω της διαφοράς, όσον αφορά το σφάλμα, των δύο τύπων ελεγκτών που εξετάζονται στην παρούσα εργασία, το σύστημα φεύγει από την περιοχή που ισχύει ικανοποιητικά η μοντελοποίηση του από το γραμμικό σύστημα (3.4), για διαφορετικά πλάτη για τους τύπους εισόδων που εξετάζονται. Αυτό μας επιτρέπει να αυξήσουμε τα πλάτη των εισόδων αναφοράς που θα εφαρμοστούν στο σύστημα στο παρόν κεφάλαιο: βηματική είσοδος με αρχική τιμή το σημείο ισορροπίας -1,5V πλάτος 0,7V, με κατεύθυνση προς τα πάνω όσο και κάτω από το σ.ι. ημιτονοειδής είσοδος με κέντρο το -1,5V, πλάτος 0,8V και περίοδο 4s. 70

73 Απόκριση σε βηματική είσοδο (Position Regulation) Step1 Βηματική Απόκριση Θέση της μπάλας (α) Τάση ελέγχου (β) Τάση ελέγχου, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Τάση ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα

74 Step2 Βηματική Απόκριση Θέση της μπάλας (α) Τάση ελέγχου (β) Τάση ελέγχου, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Τάση ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα 3.24 Με σύγκριση των παραπάνω προσομοιακών αποτελεσμάτων, με την αναμενόμενη από τη θεωρία απόδοση του ελεγκτή που σχεδιάστηκε, προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: 72 Με τον ελεγκτή τριών όρων πετυχαίνουμε μηδενικό σφάλμα θέσης. Με την συγκεκριμένη σχεδίαση επετεύχθη επίσης μηδενική υπερύψωση για βηματική είσοδο.

75 Ο χρόνος ανόδου (10%-90%, που προτιμάται σε υπεραποσβεννύμενα συστήματα χωρίς υπερύψωση), είναι t r =0.158s. Για το χρόνο αποκατάστασης, σύμφωνα με το κριτήριο του 5%, για βηματική είσοδο βλέπουμε ότι φτάνουμε στο 95% των τελικών τιμών ( για την καθοδική και για την ανοδική) τη χρονική στιγμή s, δηλαδή t s =0.2215s. Βλέπουμε, ότι συγκριτικά με τον ελεγκτή της προηγούμενης ενότητας χωρίς ολοκληρωτικό όρο, η απόδοση του ΣΚΒ όσον αφορά την ταχύτητα απόκρισης έχει πέσει ελαφρώς. Παρ όλα αυτά οι χρόνοι που επιτυγχάνονται παραμένουν ικανοποιητικοί συγκριτικά με τις απαιτήσεις της εφαρμογής μας, και λαμβάνοντας υπόψη την βελτίωση που επέφερε η χρήση του PID στις άλλες πτυχές τις απόκρισης του συστήματος, διαπιστώνουμε ότι αξίζει τον κόπο αυτή η θυσία κάποιων δεκάδων ms στους χρόνους t r και t s. Τέλος βλέπουμε από τα διαγράμματα για την τάση ελέγχου ότι ο περιορισμός (2.1), ικανοποιείται και για τις δύο περιπτώσεις βηματικής εισόδου, καθ όλη τη διάρκεια των προσομοιώσεων. Απόκριση σε ημιτονοειδή είσοδο (Trajectory Tracking) Ημιτονοειδής Απόκριση Θέση της μπάλλας (α) Ημιτονοειδής Απόκριση Σφάλμα (β) 73

76 Ημιτονοειδής Απόκριση - Τάση ελέγχου (γ) Σχήμα 3.25 Τάση ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Από τα προσομοιακά αποτελέσματα για την ημιτονοειδή απόκριση του γραμμικού συστήματος παρατηρούμε ότι η έξοδος είναι και αυτή ένα ημίτονο το οποίο: Έπεται της εισόδου αναφοράς, έχοντας διαφορά φάσης σε σχέση με αυτήν. Κάτι τέτοιο αναμενόταν από τη θεωρία, καθώς όπως φαίνεται στο διάγραμμα Bode φάσης (σχήμα 3.26) για την κυκλική συχνότητα του ημιτόνου που δώσαμε ως είσοδο στο σύστημα ( ) η διαφορά φάσης είναι με το αρνητικό πρόσημο να σημαίνει ότι η έξοδος έπεται της εισόδου. Έχει μία ενίσχυση σε σχέση με το πλάτος της εισόδου η οποία επίσης επιβεβαιώνεται από το διάγραμμα Bode κέρδους, όπου για γωνιακή συχνότητα οδηγούμαστε σε κέρδος Δηλαδή το πλάτος του ημιτόνου εξόδου θα είναι, όπου =0.8 V είναι το πλάτος της εισόδου. Επομένως, που είναι το πλάτος του ημιτόνου που βλέπουμε με πράσινο χρώμα στο σχήμα 3.25 (α). Για τους παραπάνω λόγους το σφάλμα (διαφορά της απόκρισης του γραμμικού συστήματος από την είσοδο αναφοράς), είναι και αυτό ένα ημίτονο με την ίδια περίοδο 4s, όπως φαίνεται σχτο σχήμα 3.25 (β). Τέλος βλέπουμε από το διάγραμμα για την τάση ελέγχου (σχήμα 3.25 (β)) ότι ο περιορισμός (2.1), ικανοποιείται, καθ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης. 74

77 Σχήμα 3.26: Διαγράμματα Bode του ΣΚΒ με τον PIP ελεγκτή Σύγκριση προσομοιακών-πειραματικών αποτελεσμάτων Οι ίδιες τιμές κερδών του ελεγκτή PIP που υπολογίστηκαν και χρησιμοποιήθηκαν στις προηγούμενες προσομοιώσεις, δίνονται στις παραμέτρους του μοντέλου real time εφαρμογής 3.27, το οποίο τρέχει κατά την διεξαγωγή των πειραμάτων δίνοντας τα αποτελέσματα που φαίνονται παρακάτω. Κατά τα άλλα για τα πειράματα αυτής της παραγράφου ισχύουν τα ίδια δεδομένα (χρόνος δειγματοληψίας, logging και visualization των αποτελεσμάτων κλπ) που ίσχυαν κατά τη διεξαγωγή των πειραμάτων της παραγράφου 2.2 και αναλύονται εκεί, εκτός από τις εισόδους αναφοράς όπου χρησιμοποιούνται οι νέες, αυξημένου πλάτους είσοδοι που χρησιμοποιήθηκαν στις προσομοιώσεις με τον PIP ελεγκτή. 75

78 Σχήμα 3.27: Μοντέλο Simulink που υλοποιεί HiL real time εφαρμογή, ελέγχου με ελεγκτή PIP Απόκριση σε βηματική είσοδο (Position Regulation) Step1 Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) (α) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) 76

79 Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Σχήμα 3.28 Σύγκριση της τάσης ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Step2 Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) (α) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) 77

80 Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος, zoom στην περιοχή που δόθηκε το step (γ) Σύγκριση της τάσης ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα 3.29 Αποκρίσεις σε βηματικές εισόδους με μεγαλύτερο πλάτος Σύγκριση της απόκρισης σε βηματική είσοδο πλάτους 0.9 προς τα κάτω (α) Σύγκριση της απόκρισης σε βηματική είσοδο πλάτους 0.9 προς τα πάνω (β) Σχήμα

81 Απόκριση σε ημιτονοειδή είσοδο (Trajectory Tracking) Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) (α) Τάση ελέγχου του πραγματικού συστήματος - Μέτρηση του σήματος πριν το Saturation (β) Σύγκριση της βηματικής απόκρισης (θέσης της μπάλας) zoom σε μία περίοδο (γ) Σύγκριση της τάσης ελέγχου μετά από φιλτράρισμα των υψηλών συχνοτήτων (δ) Σχήμα 3.31 Από τα διαγράμματα μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα: Το πραγματικό σύστημα παρουσιάζει κάποια ταλάντωση στην μόνιμη κατάσταση, μικρού όμως πλάτους που οφείλεται στην ύπαρξη θορύβου στην πραγματικότητα (πιθανόν στο 79

82 μετρητικό ή εξαιτίας των κυκλωμάτων μετατροπής τάσης), που απουσιάζει από την μοντελοποίηση. Η ταλάντωση αυτή είναι ίδιου μεγέθους με αυτήν που υπήρχε για τον τελευταίο αναλογικό ελεγκτή με ανάδραση ταχύτητας (με kd=0.2), πράγμα που επιβεβαιώνει την εξάρτηση της από το kd (καθώς είναι αυτό που έχει παραμείνει σταθερό), πράγμα αναμενόμενο καθώς το kd είναι το κέρδος που ενισχύει την παράγωγο του θορύβου στην οποία οφείλεται η ταλάντωση. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων προσεγγίζουν πολύ καλά τα πειραματικά, για όλες τις εισόδους που εφαρμόστηκαν. Η τάση ελέγχου κινείται εντός των ορίων του περιορισμού (2.1), ως αποτέλεσμα του περιορισμού (προδιαγραφή 4) για το kd που χρησιμοποιήσαμε κατά τη σχεδίαση. Ο νέος ελεγκτής τριών όρων σε δομή ελέγχου PIP, έχει πολύ καλύτερη απόδοση γενικά σε σχέση με τον ελεγκτή με αναλογικό και διαφορικό όρο μόνο (όπως έχουμε ήδη άλλωστε επισημάνει από τις προσομοιώσεις, η ακρίβεια των οποίων απλά επαληθεύεται εδώ), και μπορεί να ελέγξει αποτελεσματικά το σύστημα σε μία πιο εκτεταμένη περιοχή γύρω από το σημείο ισορροπίας x 0, με το μειονέκτημα του (ελαφρώς μικρότεροι χρόνοι ανόδου και αποκατάστασης) να είναι αμελητέο συγκρινόμενο με τα πλεονεκτήματα του (μηδενικό σφάλμα) και με την αύξηση της περιοχής που διαπιστώσαμε. 80

83 4. Συμπεράσματα Μελλοντική Εργασία Στην παρούσα διπλωματική εργασία αναπτύχθηκε μία πειραματική διάταξη, για HiL έλεγχο της θέσης της μεταλλικής μπάλας, του φυσικού συστήματος μαγνητικής αιώρησης Maglev. Αρχικά χρονολογικά, τελικά με βάση τη θέση τους στο παράρτημα της παρούσας εργασίας, στήθηκε το HiL set up, και έγινε η εγκατάσταση των δομικών συστατικών (software components), που επέτρεψαν την real time HiL υλοποίηση του ελέγχου, με τη λογική ελέγχου, να αποτελεί ένα μοντέλο Simulink, προσφέροντας έτσι μεγάλη ευελιξία στην εναλλαγή μεταξύ των διαφορετικών σχημάτων ελέγχου που σχεδιάστηκαν. Ο σχεδιασμός και η δοκιμή διαφορετικών σχημάτων ελέγχου, επιβλήθηκε αφενός από την αναθεώρηση της εμπιστοσύνης στην αρχική, προτεινόμενη από την Feedback, μοντελοποίηση του συστήματος, μετά την διαπίστωση ασυμφωνίας μεταξύ των αποτελεσμάτων των προσομοιώσεων και των πειραματικών, που οδήγησε στην αναζήτηση και θεώρηση νέου μοντέλου, με παρόμοια μορφή, πλην ενός προσήμου, με αυτήν του αρχικού, αλλά μεγάλη απόκλιση στις τιμές των παραμέτρων, αναγνώριση των οποίων έγινε με την αξιοποίηση πειραματικών αποτελεσμάτων. Αφετέρου, κατά τη σχεδίαση ελεγκτών για το νέο μοντέλο, από την αναθεώρηση των προδιαγραφών για την επιθυμητή απόκριση του συστήματος, όπου η προσθήκη της προδιαγραφής μηδενικού σφάλματος, οδήγησε στη σχεδίαση με ελεγκτή τριών όρων. Η προσθήκη της προδιαγραφής αυτής είχε υποτεθεί και όπως διαπιστώθηκε τελικώς επέφερε, πέρα από το προφανές όφελος του μηδενικού σφάλματος θέσης στη μόνιμη κατάσταση, αύξηση του πλάτους των εισόδων αναφοράς που μπορούσαν να ακολουθηθούν από το σύστημα, λόγω του ότι ελλείψει του σφάλματος, το σύστημα οδηγούνταν έξω από την περιοχή καλής λειτουργίας (ευστάθεια και τάση ελέγχου εντός του επιτρεπόμενου εύρους τιμών), για μεγαλύτερα πλάτη. Καταλήξαμε, λοιπόν στο ότι ο έλεγχος τριών όρων, σε σχήμα PIP, με τις τιμές κερδών που επιλέχθηκαν, είναι αυτός που δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα για το σύστημα μας, όπως προέκυψε από τη θεωρητική ανάλυση και αργότερα επαληθεύθηκε από τα πειράματα ελέγχου που έλαβαν χώρα και παρουσιάστηκαν σε αυτή τη διπλωματική. Μία πιθανή μελλοντική μελέτη περιλαμβάνει την επανάληψη των διαδικασιών εύρεσης μοντέλου και σχεδίασης γραμμικών ελεγκτών για περιοχές λειτουργίας του συστήματος, στις οποίες λόγω της μη γραμμικότητας του γενικού μοντέλου του συστήματος, ο ελεγκτής που σχεδιάστηκε για την περιοχή που μελετήσαμε, δεν δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα και η υλοποίηση gain scheduling για τον αποτελεσματικό έλεγχο σε όλο το εύρος λειτουργίας του Maglev. Επίσης μπορεί να υπάρξει βελτίωση της επίδοσης του συστήματος με τη χρήση: Αισθητήρα ταχύτητας (ταχόμετρο), ο οποίος δίνει ακριβέστερη μέτρηση και απαλλάσει τον σχεδιαστή από τη διαφόριση της ταχύτητας της μπάλας που προκαλεί ενίσχυση του θορύβου. Των ανάλυσης 16 bit τερματικών EL3102 (2x Analog Input, Differential +/- 10V) και 81

84 82 EL4132 (2x Analog Output, V) της Beckhoff, που πρόσφατα έγιναν διαθέσιμα στο εργαστήριο, των οποίων η υψηλότερη ανάλυση και η απαλλαγή από τα κυκλώματα offset, λόγω της υποστήριξης αρνητικών τιμών τάσης, υπόσχεται καλύτερα αποτελέσματα.

85 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ/APPENDIX A) Beckhoff Etherlab Installation Manual 1. Introduction This manual is written under the experience of installing the EtherLAB Beckhoff real-time system in two different PCs, a Lenovo Think-Pad T500 laptop (with Intel PCI-express Ethernet network card and Intel Core 2 Duo CPU 2.26GHz) and a desktop PC (with intel PCI-express Ethernet network card and Intel Pentium 4 processor). During the installation process we have consulted the following documents: etherlab-technology pdf ( etherlab-bundle-2.1/ folder) ethercat pdf ( etherlab-bundle-2.1/3_ethercat folder) etherlab pdf ( etherlab-bundle-2.1/5_etherlab folder) m-getting-started.pdf ( etherlab-bundle-2.1/6_testmanager folder) dls-1.2-doc-en pdf ( etherlab-bundle-2.1/7_dls folder) The manual includes all required steps and clarifications to achieve a successful and fast system installation without necessarily resorting to the documents above. The consecutive steps that should be followed are briefly the following: 1. Hardware installation 2. Linux installation (e.g. Ubuntu) 3. Download of files 4. Linux Kernel installation 5. EtheLab software installation a. EtherCAT master installation b. EtherLab installation c. Test Manager installation d. Data Logging Service 2. Hardware setup The system we are about to install is a combination of Beckhoff I/O Hardware and Etherlab, free software. First of all the hardware parts have to be assembled. The hardware setup consists of the power source, the Beckhoff coupler and the Beckhoff terminals. The Beckhoff coupler has to be connected via Ethernet cable to the control-measurement PC, which should, clearly have an Ethernet network card. Terminals have to be connected as given on Beckhoff manuals. 83

86 Figure 1 Beckhoff EK1100 Coupler Power supply should be provided according to the Beckhoff coupler and/or terminal instructions. For example, figure 2 illustrates the power supply connections for the EK1100 Coupler and the terminal EL3064 (analog Input) both requiring 24V. Power Supply 24V + - PC Ethernet Net Card 3. Software Setup Figure 2 Measurement hardware. Single AI terminal In order to proceed to the real-time system setup, a Linux Distribution (e.g. Ubuntu) has to be installed on the control-measurement PC. Ubuntu distribution is one of the most known and used. You can download the latest version from this link: Choose the one that s suitable for your system (32/64 bit). 84

87 3.1 Download EtherLab Software Files needed for the software setup can be downloaded from the link below: You can extract the files of the package using the tar command as shown: $ tar xvf etherlab-bundle-2.1.tar.bz2 3.2 Installing the Linux Kernel Directory: etherlab-bundle-2.1/2_kernel The source files of Linux Kernel linux and the real-time patch patch rt85 is included in the above package. In order to install the Kernel and patch, firstly you need to install the following required software packages: $ sudo apt-get install kernel-package fakeroot build-essential libncurses5- dev doxygen cmake Then patch the Kernel using the RT patch: While in: etherlab-bundle-2.1/2_kernel directory. Run as root. # tar xjvf linux tar.bz2 # cd linux # patch p1 < <(bunzip2 c../patch rt85.patch.bz2) Once the patch has been applied you are able to configure the kernel. At this point it is proposed that you use the file example.config as a configuration file for the kernel, which is provided by EtherLab developers. To copy the example.config file and load it you have to enter the configuration widnow (GUI) using the commands below: $ sudo cp../example.config.config $ sudo make menuconfig At this point go to Load an alternate configuration file option and choose.config. [CAUTION] Be sure to select your pc processor and the real-time full preemption option for real time kernel. To change the pc processor option with menuconfig, go to the Processor type and features -> Processor Family option and choose the one that is suitable for your system. To 85

88 change the real-time option, go to the Processor type and features -> Preemption model option and choose Fully Preemptible Kernel (RT). After configuring the kernel, build the kernel with: Run as root. # sed rie s/echo \+ /#echo \+ / scripts/setlocalversion # make-kpkg clean # CONCURRENCY_LEVEL=$(getconf _NPROCESSORS_ONLN) fakeroot make-kpkg initrd revision=0 kernel_image kernel_headers And finally install your new kernel with: $ sudo dpkg i../linux-{headers,image} rt85_0_*.deb By using the command below, you can update the GRUB, to be able to start the Kernel from the bootloader. $ sudo update-grub 3.3 EtherCAT Installation Directory: etherlab-bundle-2.1/3_ethercat An EtherCAT version is included in the above folder. Firstly, you have to unpack the files, by executing the commands below: While in: etherlab-bundle-2.1/3_ethercat directory. $ tar xjf ethercat tar.bz2 $ cd ethercat-1.5.2/ This installation requires a patch, also. The patch is included in the folder and can be applied using these commands: While in: ethercat directory. $ patch p1 <../ethercat-2eff7c993a63-298ce9f9050f.patch Now, the building process has to be configured. Important parameters of configuration are: The installation directory The driver of Ethernet Network Card 86

89 The proposed directory for EtherCAT installation is /vol/opt/etherlab/. In general you can install it in a different directory of your choice, but this involves a series of changes in the remaining installation steps and for this reason it is not recommended. The type of Network Ethernet Card and its driver must be identified. You can search for the type of the card using this command: $ lspci v For the driver option, the possible values are: --enable-generic :Build the generic Ethernet driver (default) --enable-8139too :Build the 8139too driver --enable-e100 :Build the e100 driver --enable-e1000 :Enable e1000 driver --enable-e1000e :Enable e1000e driver --enable-r8169 :Enable r8169 driver If none of the available drivers matches your hardware don t choose to enable any of them and just use the generic that is enabled by default. The building process can be configured with the./configure command having these parameters as arguments. For example, if we have an Ethernet PCI-Express Network Card running with e1000e driver, we configure the installation with: $./configure prefix=/vol/opt/etherlab enable-e1000e The next step is to build the source files and the modules by executing the commands below: $ make $ make modules At this point a number of compiler errors may occur. These errors occur because the installation of the distribution does not guarantee the installation of all the libraries required for EtherCAT software. That means that each of the missing libraries have to be installed individually. Next, after the building process has succeeded, installation process can begin, using: $ sudo make install $ sudo make modules_install At this point, if the target kernel s modules directory is not under /lib/modules, a different destination directory can be specified with the DESTDIR make variable. For example: 87

90 make DESTDIR=/vol/nfs/root modules install Finally, to make EtheCAT run as a service a number of files have to be copied to the appropriate locations, with: $ cd /vol/opt/etherlab $ sudo cp etc/sysconfig/ethercat /etc/sysconfig/ $ sudo cp etc/init.d/ethercat /etc/init.d/ $ sudo cp etc/ethercat.conf /etc/ $ sudo insserv ethercat [CAUTION] If /etc/sysconfig folder does not exist, you have to create it. Now the sysconfig file /etc/sysconfig/ethercat and the configuration file /etc/ethercat.conf has to be customized. The customization means to set the MASTER0_DEVICE variable to the MAC address of the Ethernet device to be used and select the Ethernet card driver to load via the DEVICE_MODULES variable. (Comments explaining the options for the variables are included in the /etc/sysconfig/ethercat file). You can check the MAC address of your Ethernet card using the ifconfig command. After the installation is complete, the EtherCAT master can be started with the command below: $ sudo /etc/init.d/ethercat start To stop the master service use: $ sudo /etc/init.d/ethercat stop Also you can get a list of the terminals (slaves) attached to the coupler, using: $ sudo /vol/opt/etherlab/bin/ethercat slaves The above commands are frequently used and it is proposed to make aliases for /etc/init.d/ethercat and /vol/opt/etherlab/bin/ethercat. 88

91 3.4 EtherLab Installation Directory: etherlab-bundle-2.1/5_etherlab The installation procedure contains installations required for the development environment and for the runtime environment as shown in Figure 3. (Different PC systems may be used for each EtherLAb environment, as well as for visualization) Figure 3 EtherLab Architecture (taken from etherlab pdf manual) 89

92 At this point you have to provide rights to the group users for /vol/opt/etherlab directory: $ sudo chown root:users /vol/opt/etherlab $ sudo chmod 775 /vol/opt/etherlab Installation required for Development Environment Prerequisites for the installation of EtherLAB for the development environment are the following programs/libraries to have been installed: MATLAB 2009b (or newer) Simulink Simulink Coder (former Realtime Workshop) GNU C Compiler Collection (GCC) cmake The first step is to create a directory for the source files, and extract those files to the directory, with: While in: etherlab-bundle-2.1/5_etherlab. Run as root. # mkdir /vol/opt/etherlab/src # cp etherlab tar.bz2 /vol/opt/etherlab/src # cd /vol/opt/etherlab/src # tar xjf etherlab tar.bz2 Next step is to create a directory for the built objects, build the source code and install the library, using: Run as root. # mkdir etherlab build # cd etherlab build/ # cmake DPREFIX=/vol/opt/etherlab../etherlab # make # make install At this point a number of compiler errors may occur. These errors occur because the installation of the distribution does not guarantee the installation of all the libraries required for EtherLAB software. That means that each of the missing libraries have to be installed individually. As a prerequisite for the MATLAB library setup command to succeed, the file toolbox/local/pathdef.m inside the MATLAB installation directory must be writable for the user running MATLAB. Enter the commands below (as root) to make it writable for all users in the group users (substitute the variable $MATLABDIR with the correct path first): $ sudo chown :users $MATLABDIR/toolbox/local/pathdef.m 90

93 $ sudo chmod 664 $MATLABDIR/toolbox/local/pathdef.m To setup the EtherLab library etherlab_lib for use in MATLAB, the commands below must be entered in MATLAB command window: >> cd /vol/opt/etherlab/rtw >> setup etherlab Now you can open the Etherlab library by typing, inside MATLAB, the command below: >> ethelab_lib Installation required for Runtime Environment (PdServ) Prerequisites for the installation of EtherLAB Runtime environment are the following libraries to have been installed: Linux-Kernel 2.6 (RT-Preemption recommended) log4cplus (liblog4cplus-dev, liblog4cplus packages) Common C++ ( libcommoncpp2-dbg, libcommoncpp2-dev packages) YAML (libyaml-0-2, libyaml-dev, libyaml-cpp0.3, libyaml-cpp-dev packages) GNU C Compiler Collection (gcc) The above libraries are quite common and usually available as packages for Linux distributions. To build and compile PdServ, the commands below can be used: While in: etherlab-bundle-2.1/5_etherlab. Run as root. # cp pdserv tar.bz2 /vol/opt/etherlab/src # cd /vol/opt/etherlab/src # tar xjf pdserv tar.bz2 # mkdir pdserv build # cd pdserv build/ # cmake DCMAKE INSTALL PREFIX=/vol/opt/etherlab../pdserv # make # make install 3.5 Test Manager Directory: etherlab-bundle-2.1/6_testmanager Test Manager is a program where the user can create an HMI (Human Machine Interface) to visualize parameters and measured values from a control-measurement PC. This should be in general 91

94 installed in another PC (running Windows or Linux) which will be connected via network to the control-measurement PC, but it is also possible to use the same PC for both control and data logging. In order to acquire data and control variables with this HMI the control-measurement PC must have been in use. The IP address of control PC must be known for the network connection between the two PCs Execute Test manager from Windows The executable file testmanager exe (or msr_testmanager.exe ) can be copied to any directory of the hard disk. The program is executable on every windows operating system Execute Test manager from Linux You can run this program on a Linux operating system, using the Wine program. After installing wine just run the executable with: $ wine testmanager exe 3.6 Data Logging Service Directory: etherlab-bundle-2.1/7_dls The Data Logging Service (DLS) is a data logging system capable of collecting high-frequency data over a long period and storing them in a highly compressed fashion. Its objective is to grant the user unrestricted, high-performance access to the acquired data at all times. Prerequisites for the installation of Data Logging Service are the following programs/libraries to have been installed: The syslogd, which is usually delivered with every Linux distribution, is used for the recording of the messages being produced during runtime. For the compilation of the graphical user interfaces DLS Manager and DLS View it is additionally necessary to have the GUI library FLTK in version 1.1 available, which can be downloaded from the FLTK website The library must have been compiled with support for multithreading (configure switch enable-threads). To successfully run the configuration script for this installation you need x11 package. If it is not already installed, install it with: $ sudo apt-get install libghc-x11-dev 92

95 The Zlib is required for the compression. This is included in almost every Linux distribution. In case of need it can be downloaded from and installed. The FFTW3 library is also required for the compression. This enables the DLS to compute the Fourier transforms required for the MDCT compression. The source of supply for the library is For the DLS Manager and for FLTK you will need the pthreads library. After installation of libraries above, you can unpack the DLS archive, with: While in: etherlab-bundle-2.1/7_dls directory. $ tar xjf dls tar.bz2 $ cd dls-1.3.0/ The building process can be configured with the./configure command having as an argument the parameter of prefixed installation path. To configure and set /vol/opt/etherlab as prefixed path for installation, execute: While in: etherlab-bundle-2.1/7_dls/dls directory. $./configure prefix=/vol/opt/etherlab The next step is to build the source files with: $ make At this point a number of compiler errors may occur. These errors occur because the installation of the distribution does not guarantee the installation of all the libraries required for DLS software. That means that each of the missing libraries have to be installed individually. Next, after the building process has succeeded, installation process can begin, using: $ sudo make install Finally, to make DLS run as a service, a number of files have to be copied to the appropriate locations, with: $ cd /vol/opt/etherlab $ sudo cp etc/init.d/dls /etc/init.d/dls $ sudo cp etc/sysconfig/dls /etc/sysconfig/dls $ sudo insserv dls 93

96 [CAUTION] The commands above: dlsd : starts DLS daemon dls_ctl : opens the DLS control window dls_view : opens the DLS visualization window can be found inside the /vol/opt/etherlab/bin directory. These three commands are frequently used and it is proposed to make aliases for /vol/opt/etherlab/bin/dlsd, /vol/opt/etherlab/bin/dls_ctl and /vol/opt/etherlab/bin/dls_view. 94

97 B) Beckhoff Etherlab User s Manual Introduction This manual is written under the experience of using the EtherLAB Beckhoff real-time system in two different PCs, a Lenovo Think-Pad T500 laptop (with Intel PCI-express Ethernet network card and Intel Core 2 Duo CPU 2.26GHz) and a desktop PC (with intel PCI-express Ethernet network card and Intel Pentium 4 processor). The purpose of this document is to clarify some critical points of system s use and highlight some parts of the existing manuals: etherlab-technology pdf ( etherlab-bundle-2.1/ folder) ethercat pdf ( etherlab-bundle-2.1/3_ethercat folder) etherlab pdf ( etherlab-bundle-2.1/5_etherlab folder) m-getting-started.pdf ( etherlab-bundle-2.1/6_testmanager folder) dls-1.2-doc-en pdf ( etherlab-bundle-2.1/7_dls folder) A list of the points considered are: 6. How to start/stop EtherCAT master 7. How to configure the general parameters of your Simulink model a. Setting the Code generation parameters b. Setting the Solver s parameters 8. How to open and use EtherLAB library inside MATLAB a. Selecting the right terminal part b. Setting slave index c. Setting the sampling time d. Setting the scale e. Synchronization of terminals 9. How to build and execute the model s code 95

98 1. How to start/stop EtherCAT master After the EtherCAT master installation is successfully completed and the proper configuration is done, according to the installation manual, you can connect and communicate via your computer s 96thernet port with the EtherCAT terminals. You can start the master with: $ sudo /etc/init.d/ethercat start To stop the master service use: $ sudo /etc/init.d/ethercat stop Also you can get a list of the terminals (slaves) attached to the coupler, using: $ sudo /vol/opt/etherlab/bin/ethercat slaves The above commands are frequently used and it is proposed to make aliases for /etc/init.d/ethercat and /vol/opt/etherlab/bin/ethercat. 2. How to configure general parameters of Simulink model The most important settings of model s general parameters that have to be done (before you try to build your model) are: While on the Simulink model window, select the configuration parameters option under the tab Simulation. a. The input field Code Generation System target file must be set at etherlab.tlc. It can be selected using the Browse... button, as shown in Figure 1. 96

99 Figure 4 Code Generation > system target file b. Make sure that the check-box Code Generation Interface Classic call interface is checked, as shown in Figure 2. Figure 5 Code Generation > Interface > Classic call interface [CAUTION] If the settings above are not done, errors will occur during the building process. 97

100 c. The input field Solver Fixed-step size must contain the period of the real-time cycle in seconds. For example 0.01 (0.01 seconds, meaning 100 Hz), as shown in Figure 3. Figure 6 Solver > Fixed-step size (fundamental sample time) 2. How to open and use Etherlab library inside MATLAB After you have installed Etherlab development environment, you can start creating Simulink models which contain EtherCAT slave blocks. To open the library, execute the command below, inside MATLAB: >> ethelab_lib Using the window that pops out (Figure 4), you can navigate to the slave blocks that you want to use for your application. Blocks can be added inside your model using the drag and drop method. You can use them as normal Simulink blocks. 98

101 Figure 7 Etherlab Library. The main parameters that should be defined are the ones mentioned below and can be modified inside the property window of each block (Figure 5 and 6): a. Selecting the right terminal part: To define the specific hardware terminal that each block represents choose a specific model name from the device model (Figure 5) drop-down menu, since every Simulink block represents a group of hardware blocks (not a single one). b. Setting slave index: For all the slaves included in your model you have to define the slave index, relevant to the position the respective terminals have in your hardware setup (the slave index for the coupler is 0). To find information about the index of the terminals execute the command below (inside the linux terminal): $ sudo /vol/opt/etherlab/bin/ethercat slaves 99

102 c. Setting the sampling time: Another important parameter is the sampling time in seconds. This parameter affects the sampling frequency of every input and output and has to be set for each terminal individually, having taken into consideration the hardware properties of each terminal. [CAUTION] Sampling time has to be an integer multiple of the fixed-step parameter of the Solver (Chapter 2 c). d. Setting the scale: This parameter has to be set only for Analog terminals. You can set this value using the Input Scale / Output Scale field. To apply the right value, you should take into consideration the specific terminal s input/output voltage range. For example, for an EL3062 terminal, that has two input channels with range 0 to 30V, the Input Scale parameter of the block should be 30 (if the measured value should be returned in Volts). If this parameter is set to 1, then the range of returned signal will be from 0 to 1. [CAUTION] This field should not have the value : [] and should not be empty. If this parameter is not set, the returned signal will be zero. a b d c Figure 8 Source block Parameters of terminal e. Synchronization of terminals: This parameter has to be set only for the terminals that support synchronization. Two of the synchronization types used by the Beckhoff terminals are: i. DC(distributed clocks) sync: This choice lies under the Distributed Clocks tab in blocks that support this feature. 100

103 ii. Sync Manager: In some blocks though(for example in 12bit analog inputs) it can be found under the filter tab in the drop-down menu Synchronization Mode, as shown in Figure 6. [CAUTION] For the Analog Input terminals this parameter must be set (terminals have to be synchronized). If this parameter is not set, problems of duplicated values will occur. For the Analog Input terminals used for the testing setup (EL3062 and EL3064) the parameter had to be set to FrameTriggered SM2 (Synchronization Manager 2), to work properly. e Figure 9 Synchronization of Analog Input Terminal More information, about the synchronization types and parameters, can be found inside the EtherCAT manual mentioned above. 3. How to build and execute the model After the model is designed using Simulink, you can build it using the ctrl + B key combination. If the model has no errors, you will get a message that an executable was created, which has the same name with the model. Finally, you can run the executable from the linux terminal, with: $ sudo./model_name Replace model_name with the name of your model. 101

104 C) Beckhoff EtherLab Performance Analysis Introduction The purpose of this document is to analyze the performance of the EtherLab Beckhoff real-time system. Information about the installation of this system can be found on the Installation Manual and some useful information about critical points, regarding the use of the system, is included in the User s Manual. In order to evaluate the system, a set of tests were performed for each analog and digital input and output terminal, for a short and a long term period, as well as for the Continental TCU. The I/O (Input / Output) terminals used for the tests are: EL1124: 4-channel Digital Input, 0 5V EL2124: 4-channel Digital Output, 0 5V EL3064: 4-channel Analog Input, 0 10V EL3062: 2-channel Analog Input, 0 30V EL4004: 4-channel Analog Output, 0 10V For every test the communication between the control PC and the terminal is achieved via the EtherCAT protocol, utilizing an EK1100 coupler. The logging of measurement data is done using two different programs: the Test Manager and the DLS (Data Logging Service). Test Manager is user-friendly but as it does not support data compression was utilized only for the short term measurement data logging (chapters 2-4 and 7). DLS supports data compression and is used in case of large number of channels and for the long term data logging (chapters 5 6). 1. Performance Criterion The main objective of the tests is to specify the maximum sampling frequency that can be achieved for each terminal without any errors. Hence the performance criterion is the error free minimum sampling time of each terminal tested in various setups (alone or with other terminals) and time periods. Error detection was focused on the following types: Duplicated values. Missing values and / or measurement interruptions. The strategy to detect errors was the following: 1. Compare consecutive data values to detect duplications. 2. Compare the time period between two consecutive data values with the predefined sampling period to detect missing values and / or measurement interruptions. 102

105 2. Performance Analysis of the Analog Inputs The analog input terminals Beckhoff EL3062 and EL3064 are tested for their performance. Terminals technical characteristics are listed below: Table 2-1: EL3062 and EL3064 technical specifications EL3062 EL3064 Number of channels 2 4 Signal Voltage 0-30 V 0-10 V Distributed clocks - - Resolution 12 bits 12 bits Conversion time ~625μs ~625μs These terminals, as shown in Table 2-1, don t support the Distributed Clock synchronization method. Nevertheless, the Synchronization Manager can be selected for the synchronization of the terminals. Beckhoff analog input models EL3162 and EL3164, which support Distributed Clock are reported with much lower conversion times (~50μs and ~100μs). 2.1 Test description The testing setup for the analog input terminals (EL3062 and EL3064) consists of three main parts, as shown in Figure 2-1: The Frequency Generator The analog Input Terminal The control PC running the EtherLab system, which runs: o A Simulink model. o Test Manager. A Simulink model, which is created using the EtherLab library is running on the control PC. The model for each case (EL3062 and EL3064) includes only the block of the appropriate analog Input, to declare the terminal type, the address, the scale factor and the synchronization method. The Test Manager is used for the logging of the measured signal. Signal characteristics are listed below: Frequency: 250Hz Amplitude: 4 V Bias: 5 V Waveform: Sinusoid An important parameter of the setup is the synchronization method, which, for both cases, is set to Synchronization Manager ( see: User s Manual). 103

106 250H Figure 2-1: Analog Input test setup For this test the measured input signal is recorded for different sampling time values. The characteristics of the resulted measured signal are, then, compared with these of the expected signal. The test s methodology is to decrease the sampling time starting from a value near the conversion time, until the faultless lower limit is reached. The following values for the sampling time are tested: 100μs, 200μs, 250μs and 650μs for EL3062 and 200μs, 250μs and 650μs for EL Results and Discussion Estimated sampling period of the recorded signal in the two analog input terminals for different sampling time values are shown in Table 2-2, indicating the occurrence of duplications. Simulink Model Sampling period (Expected) Table 2-2: Estimated Sampling period of the recorded signal Estimated Sampling period of the recorded signal for EL3062 Estimated Sampling period of the recorded signal for EL μs ~200μs (duplications) - 200μs 200μs ~400μs (duplications) 250μs 250μs 250μs 650μs 650μs 650μs As shown in Table 2-2, the use of sampling time of 100μs for EL3062 and 200μs for EL3064 results in a down-sampled signal (half the set sampling frequency), indicated as duplications in the table above. Notice that the minimum faultless sampling time is 200μs (f=5khz) for the EL3062 and 250μs (f=4khz) for the EL3064, which is much lower from the respective conversion times of 625μs (Table 2-1). It is our conjecture that the manufacturer quotes the conversion time for the worst use case scenario. 104

107 A time interval of the recorded signals is shown in Figures 2-2 to 2-8 for the various tested sampling time values, utilizing the EL3062 and EL3064 analog input. Figure 2-2: [EL3062] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 100μs, Measured sampling time: ~200μs. Red circles indicate the duplication of a value. 105

108 Figure 2-3: [EL3062] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 200μs, Measured sampling time: 200μs. Figure 2-4: [EL3062] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 250μs, Measured sampling time: 250μs. 106

109 Figure 2-5: [EL3062] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 650μs (near conversion time), Measured sampling time: 650μs. Figure 2-6: [EL3064] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 200μs, Measured sampling time: ~400μs. Red circles indicate the duplication of a value. Figure 2-7: [EL3064] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 250μs, Measured sampling time: 250μs. 107

110 Figure 2-8: [EL3064] A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 650μs (near conversion time), Measured sampling time: 650μs. 2.3 Troubleshooting The main source of errors observed during the performance evaluation of the Ethernet terminal system is the lack of synchronization and is manifested by the existence of duplication errors (down-sampling) in the free-run mode (not synchronized using the Synchronization Manager method) even for sampling times higher than the terminal conversion time. Table 2-3 for both terminals summarizes test results for an input signal of 40ms period (f=25hz). The sampling time shown in the first column is increased, from values close to the conversion time (700 μs) to the minimum value that there are no duplications (1100μs) with an increasing step of 100μs. The mean duplication occurrence period (MDOP) in each run calculated from the measured signal is shown in Table 2-3 for each of the two analog input terminals. Table 2-3: Free-run mode (25Hz sine wave): Duplications observed Set Sampling time MDOP (EL3062) MDOP (EL3064) 700μs s s 800μs s s 900μs s s 1000μs s s 1100μs No duplications [20s window] No duplications [20s window] 108

111 Figure 2-9 graphically demonstrates the relationship of the set sampling time and the mean duplication occurrence period. Notice that there are no duplications observed in higher than 1100 μs sampling times within the measurement time window of 20 s. Figure 2-9: Relation between the set sampling time and MDOP. As shown above, the minimum sampling time, when on free-run mode, is 1100μs, which is much larger than the terminal conversion time. 109

112 A time interval of the recorded signals from EL3062 results is shown in Figures 2-10, 2-11 and 2-12 with sampling time values of 700μs, 900μs and 1100μs respectively. Figure 2-10: A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 700μs. MDOP: 2.38ms. Figure 2-11: A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 900μs. MDOP: 8.62ms. 110

113 Figure 2-12: A time interval of the recorded signal. Set sampling time: 1100μs. No duplication occurrence. 2.4 Conclusions The performance analysis of the analog input terminals EL3062 and EL3064 highlights the need of synchronization. Faultless measurements are expected in sampling times greater or equal to the conversion time of the terminal given by the manufacturer. However, as shown in the troubleshooting section (section 2-3) the minimum sampling time, when on free-run mode, is found to be 1100μs, which is much larger than the terminal conversion time. On the other hand, when synchronized ( Synchronization Manager ), the minimum faultless sampling time is found to be 200μs (f=5khz) for the EL3062 and 250μs (f=4khz) for the EL3064 (section 2-2), which is much lower than the respective conversion times of 625μs (Table 2-1). 111

114 3. Performance Analysis of the Analog Output The analog output terminal Beckhoff EL4004 is tested for its performance. Terminal s technical characteristics are listed below: Table 3-3: EL4004 technical specifications Number of channels 4 Power supply 24 V DC via power contacts Signal voltage 0 10 V Distributed clocks yes Resolution 12 bit Conversion time ~250 µs 3.1 Test description The testing setup consists of four main parts, as shown in Figure 3-1: The Control PC running the EtherLab system, which runs the Simulink model. The Analog Output Terminal An oscilloscope A measurement PC A Simulink model, which is created using the EtherLab library and a common sampled based sinusoidal wave generator, is running on the control PC. The software assembly of the model consists of a simple connection between the source and the output block. Signal characteristics are listed below: Period: 25 samples Amplitude: 4 V Bias: 5 V Waveform: Sinusoid To measure the produced output signal an HM407 Hameg Oscilloscope is used which records the signal in a digital file. The sampling frequency of the recorded signal depends on the selected Time/Division option of the oscilloscope. The oscilloscope is connected to a Measurement PC used to store and display the data via a MATLAB function special for HM

115 Figure 3-2: Analog Output test setup For this test, the sampling period of the oscilloscope is selected at 5μs and 10μs, which are less than half the set sampling period of the terminal for each tested case. The measured output signal is recorded for different sampling time values. The characteristics of the recorded signal are, then, compared with these of the signal produced by the frequency generator. The sampling time values utilized are of 200μs and 250μs; the first is lower than the conversion time of terminal (given by the manufacturer) and the second is the conversion time. 3.2 Results and Discussion The estimated Sampling period of the measured signal for the Analog Output are shown in Table 3-2. The recorded signals from the measurement PC via the oscilloscope are shown in Figures 3-2 and 3-3 for sampling times of 200μs and 250μs respectively. As shown in Table 3-2, and figure 3-2 using the sampling time of 200μs resulted in a down-sampled signal as compared to the expected one. Therefore, the minimum sampling time of the terminal is the hardware conversion time (250μs) corresponding to a maximum sampling frequency of 4kHz. Time intervals of the recorded signals from oscilloscope are shown in Figures 3-2 and 3-3 with sampling time values of 200μs and 250μs respectively. Table 3-4: Estimated Sampling period of measured signal for the Analog Output. Simulink Model Sampling period 200μs 250μs Estimated Sampling period of measured signal ~400μs 250μs 113

116 Figure 3-2: Measurement from Oscilloscope. Set sampling time: 200μs, Measured sampling time: ~400μs. Figure 3-3: Measurement from Oscilloscope. Set sampling time: 250μs, Measured sampling time: 250μs. 114

117 4. Performance analysis of the Digital Input / Output Beckhoff EL1124 digital input and the EL2114 digital output terminals are tested for their performance. The respective technical characteristics are listed below: Table 4-5: EL1124 and EL2124 technical specifications EL1124 (Input) EL2114 (Output) Number of channels 4 4 Nominal Voltage 5 V DC 5 V DC 0 signal Voltage <0.8 V 0 V 1 signal Voltage >2.4 V 5 V Distributed clock Test description Digital Input: The testing setup for the input (EL1124) consists of three main parts, as shown in Figure 4-1: The Frequency Generator The Digital Input Terminal The control PC running the EtherLab system, which runs: o A Simulink model. o Test Manager. A Simulink model, which is created using the EtherLab library, is running on the control PC (Fig 4-1). The model includes only the block of the Input, to declare the terminal type and slave ID (see User s Manual). The Test Manager is used for the logging of the measured signal. Signal characteristics are listed below: Frequency: 5KHz Range: 0 5 V Duty Cycle: 50% Waveform: Square 115

118 Figure 4-3: Digital Input test setup For this test the measured input signal is recorded for different sampling time values. The characteristics of the resulted measured signal are, then, compared with these of the expected signal. The values selected for sampling time are 20μs and 10μs; as there is no conversion time related to digital I/Os, these values characterize the border line of our set up regarding the minimum faultless sampling time as it will become clear below. Digital Output: The testing setup for the output (EL2124) consists of four main parts, as shown in Figure 4-2: The Control PC running the EtherLab system, which runs the Simulink model. The Digital Output Terminal An oscilloscope A measurement PC A Simulink model, which is created using the EtherLab library and a common square ware generator, is running on the control PC (Fig 4-2), similarly to the analog output test. The software assembly of the model consists of a simple connection between the source and the output block. Signal characteristics are listed below: Period: 2 samples Range: 0 5 V Duty Cycle: 50% Waveform: Square 116

119 To measure the produced output signal the HM407 Hameg Oscilloscope is used which records the signal in a digital file which is connected to a Measurement PC used to store and display the data, similarly to the analog output test. Figure 4-2: Digital Output test setup The sampling period of the oscilloscope is 100ns. The measured output signal is recorded for different sampling time values. The characteristics of the resulted measured signal are, then, compared with these of the expected signal. The values set for sampling the time are 10μs, 20μs and 50μs; as there is no conversion time related to digital I/Os, these values characterize the border line of our set up regarding the minimum faultless sampling time as it will become clear below. Notice that the oscilloscope sampling time remains lower than the half of the set sampling period in all cases. 4.2 Results and Discussion Digital Input: Results for the Estimated Sampling period of the measured signal are shown in Table 4-2, and a time interval of the recorded signal for the case of the 20μs sampling time is shown in Figure 4-4. As indicated in Table 4-2, the sampling time of 10μs results in a non-functional PC state; in fact, the whole real-time 117

120 operational system was not responsive in this case. It should be remarked however, that the above findings possibly depend on the PC utilized. In our case, a Lenovo Think-Pad T500 laptop with Intel PCI-express Ethernet network card and Intel Core 2 Duo CPU 2.26GHz is used. Therefore, the minimum sampling time of the terminal, using this specific PC, is 20μs corresponding to the maximum sampling frequency of 50kHz. Table 4-6: Estimated Sampling period of measured signal for Digital Input. Simulink Model Sampling period 10μs 20μs Estimated Sampling period of measured signal PC: RT Operational System is not responding 20μs Figure 4-4: Measurement from control PC. Set sampling time: 20μs, Measured sampling time: 20μs. Digital Output: Results for the Estimated Sampling period of the measured signal are shown in Table 4-3, and time intervals of the recorded signals for 20μs and 50μs sampling times are shown in Figures 4-5 and 4-6 respectively. As indicated in Table 4-3, the sampling time of 10μs results in a non-functional PC state, similar to the case of 118

121 digital input. Therefore, the minimum sampling time of the terminal, using the specific PC, is 20μs corresponding to the maximum sampling frequency of 50kHz. Table 4-3: Estimated Sampling period of measured signal for Digital Output. Simulink Model Sampling period 10μs 20μs 50μs Estimated Sampling period of measured signal PC: RT Operational System is not responding 20μs 50μs Figure 4-5: Measurement from Oscilloscope. Set sampling time: 20μs, Measured sampling time: ~20μs. 119

122 Figure 4-6: Measurement from Oscilloscope. Set sampling time: 50μs, Measured sampling time: ~50μs. Figure 4-7 shows details of the transient response in a step change, indicating the initial and final value. Our aim is to reveal the transient behavior of the terminal regarding speed of response (switching time) and overshoot. According to the manufacturer the switching time is lower than 1μs. As shown in Fig 4-7 there is an overshoot of approximately 20% (also observed in Fig 4-5 and 4-6) during the transition between the two different states of the output ( 0 and 1 ) while switching times confirm the specifications given. Figure 4-7: Step response. Set sampling time: 20μs, Measured sampling time: ~20μs. 120

123 5. Performance analysis with Long Term measurements The EtherLab / Beckhoff system is tested for a long term measurement period of one day (24 hours) for the Beckhoff terminals analyzed in the previous chapters of the report (Section 1-4). The aim is examine the effect of the measurement period on the measurement quality. For this analysis three tests are performed, as listed below: 1. Test for the Digital Input Output. Sampling time: 50μs 2. Test for the Analog Input Output. Sampling time: 650μs 3. Test for the Analog Input. Sampling time: 250μs 5.1 Long Term Digital I/O: Test Description, Results and Discussion The setup of the first test, shown in Figure 5-1, consists of 3 main parts: The control PC running the EtherLab system, which runs: o A Simulink model. o DLS (Data Logging Service). The digital output terminal (EL2124) The digital input terminal (EL1124) For this test, one channel of the digital output is connected with one channel of the digital input. A Simulink model shown in Figure 5-2, which is created using the EtherLab library, is running on the control PC alongside with the DLS. The model includes the block of the Input where we declare the specific terminal model and the slave ID (see User s Manual), the block of the output and a common Simulink pulse generator. The software assembly of the model consists of connection between the generator and the output block (Fig5-2).The following signal characteristics are selected : Period: 2 samples Range: 0 5 V Duty Cycle: 50% Waveform: Square The DLS is used for the logging of the long-term measured signal as it supports data compression. The compression parameters are used with their default values. Although the size of the compressed files is small (in the order of MB), uncompressed parts of the signal may be very large (for example appr. 70GB for measurements of one day for the Digital Input and sampling time of 50μs) and hence, although they are easily displayed in DLS, they can be difficult to manage in some other data analysis tool. 121

124 Long Term Digital I/O Control PC Simulink Model Pulse Generator Testing signal: Period: 2 samples Range: 0...5V Duty Cycle: 50% Beckhoff Digital Output (EL2124) Switching times: TON: < 1 us TOFF: < 1 us No Filter No conversion EtherLab Data Logging Service Beckhoff Digital Input (EL1124) Measured Signal (Data Acquisition) Input Filter: typ us No conversion Figure 5-4: Long Term Digital Input Output test setup Figure 5-2: Long-term digital I/O Simulink model The characteristics of the recorded signal are compared with these of the expected signal given by the pulse generator. For sampling time values lower than 50μs the Control PC s operational system response becomes very slow. Thus, the sampling time is set to 50μs. Ten (10) datasets of 10min were randomly taken from the one-day measurement, according to a uniform distribution generator (starting timestamps of datasets are listed on Table 5-1). 122

125 Boolean Value [True / False] Table 5-1: Timestamps resulted from the uniform distribution generator. Hours : Minutes from the start 1 02 : : : : : : : : : : 52 Results Figure 5-3 depicts a time interval of the recorded signal. Analysis of all the data sets (Table 5-1) showed no duplicated values and / or measurement interruptions. Therefore, the performance of the digital I/O is not affected by the measurement period. 1 Long Term Digital I/O, Ts=50us time [μs] x 10 8 Figure 5-3: Long Term Digital Input Output logged signal 123

126 5.2 Long Term Analog I/O: Test Description, Results and Discussion The setup of the second long term test, shown in Figure 5-4, consists, also, of 4 main parts: The control PC running the EtherLab system, which runs: o A Simulink model. o DLS (Data Logging Service). The analog output terminal The analog input terminal EL3062 The analog input terminal EL3064 Similarly to the digital long term test, the Simulink model is running on the control PC alongside with the DLS. The model shown in Figure 5-5 includes the blocks of the Inputs (EL3062 and EL3064), where we declare the specific terminal model, the slave ID, the scale factor and the synchronization method (see User s Manual), as well as the block of the output and a common Simulink wave generator. The software assembly of the model consists of a connection between the generator and the output block (Fig 5-5). The following signal characteristics are selected: Period: 16 ms Amplitude: 4 V Bias: 5 V Waveform: Sinusoid The characteristics of the recorded signal are compared with these of the expected signal given by the frequency generator. The sampling time is set to 650μs, which is close to the conversion time of the analog input. Regarding the synchronization method analog Output terminal EL4004 does not support Synchronization Manager, but the Distributed Clock synchronization (see - User s Manual). If both terminals are not synchronized (free-run mode) many duplications occur, as it is expected. Also, setting each one on a different synchronization method has the same result. For this reason the analog output is set on free-run mode and the analog input is set on Synchronization Manager. The sampling time allows the analysis of performance covering the whole of the 24 hours logging; thus, twelve datasets of 2 hours were exported to perform the analysis of the one-day measurement. 124

127 Long Term Analog I/O Control PC Simulink Model Frequency Generator Testing signal: Period: 16 ms Amplitude: 4V Bias: 5V Waveform: Sinus Beckhoff Analog Output (EL4004) Conversion time: ~250us EtherLab Data Logging Service Beckhoff Analog Input (EL3062) Measured Signal (Data Acquisition) Beckhoff Analog Input (EL3064) Input filter Freq: 1KHz Conversion time: ~625us Figure 5-4: Long Term Analog Input Output test setup Figure 5-5: Long-term analog I/O Simulink model Results Figure 5-6 depicts a time interval of the recorded signal. Analysis of all the data sets (Table 5-2) showed duplicated values with number of occurrences listed in the table. This is contributed to the difference between the two terminal synchronization methods. Notice that in this case the minimum sampling time (250μs) if utilized results in more duplication errors. 125

128 Voltage [V] Table 5-2: [Long Term Analog I/O analysis] Duplications for each part of the signal. Signal part No. of Duplications No. of Duplications (duration of 2 hours) EL3064 EL (00:00 02:00) (02:00 04:00) (04:00 06:00) (06:00 08:00) (08:00 10:00) (10:00 12:00) (12:00 14:00) (14:00 16:00) (16:00 18:00) (18:00 20:00) (20:00 22:00) (22:00 24:00) Long Term Analog I/O, Ts=650us time [μs] x 10 9 Figure 5-6: Long Term Analog Input Output logged signal. Red circle indicates the duplication of a value. 126

129 The effect of the measurement period to the Analog I/O performance may not be safely concluded with the current setup as terminals do not support the same synchronization method. Hence the analysis is inconclusive and this is why we proceed to the next test utilizing only the Analog Input. 5.3 Long Term Analog Input: Test Description, Results and Discussion For this test, the analog input is tested for its performance utilizing an external frequency generator. The test s setup is the same as the one shown in Figure 2-1. The synchronization method of the input is the Synchronization Manager. The following signal characteristics are selected: Frequency: 250Hz Amplitude: 4 V Bias: 5 V Waveform: Sinusoid The characteristics of the recorded signal are compared with these of the expected signal given by the frequency generator. The sampling time is set to 250μs, which is the minimum sampling time of the analog input (as found in the analog input performance analysis, Chapter 2). To analyze performance, twelve datasets of 2 hours were exported from the one-day measurement, covering the whole 24 hours logging. Results Figure 5-7 depicts a time interval of the recorded signal. Analysis of all the datasets showed no duplicated values and / or measurement interruptions. Therefore, the performance of the Analog input is not affected by the measurement period. 127

130 Voltage [V] [V] Long Term Analog Input, Ts=250us time [μs] x 10 8 Figure 5-7: Long Term Analog Input logged signal. 5.4 Conclusion The long-term measurement tests were designed to reveal the effect of the measurement duration on the quality of the measurements. The tests performed have shown that by the, the performance of the digital I/O and the Analog Input is not affected by the measurement period. We believe that this conclusion can be safely extended to the Analog I/O given the same synchronization of the two terminal is chosen. 128

131 4. Performance analysis for multiple terminals operation In this Chapter the system is tested for its performance when all the available terminals, which have been separately tested, are used simultaneously. The aim is to examine the effect of multiple terminals operation on the quality of the measurements. Beckhoff guarantees full functionality up to a huge number of terminals (http://www.beckhoff.com/english/ethercat/highlights.htm?id= ). 6.1 Tests description The test s setup shown in Figure 6-1, consists of 2 main parts: The control PC running the EtherLab system, which runs: o A Simulink model. o DLS (Data Logging Service). The Beckhoff terminals: o 2 Digital Inputs (EL1124) o Digital Output (EL2124) o Analog Input (EL3062) o Analog Input (EL3064) o Analog Outputs (EL4004) Testing signal: Period: 2 samples Range: 0...5V Duty Cycle: 50% Testing signal: Period: 10 ms Amplitude: 4 V Bias: 5 V Waveform: Sinusoid 2 x Beckhoff Digital Input EL1124 Input Filter: typ us No conversion Beckhoff Digital Output EL2124 Switching times: TON: < 1 us TOFF: < 1 us No Filter No conversion Beckhoff Analog Input EL3062 Input filter Freq: 1KHz Conversion time: ~625us Beckhoff Analog Input EL3064 Input filter Freq: 1KHz Conversion time: ~625us Beckhoff Analog Output EL4004 Conversion time: ~250us Sampling Time: 50us Sampling Time: 650us Control PC Simulink Model Data Logging Service Figure 6-5: All terminals measurement test setup 129

132 The hardware connection between the inputs and the outputs is shown on Table 6-1 and the Simulink model is shown in Figure 6-2. Table 6-1: Hardware connection of outputs and inputs. Output : channel (Source of signal) Input : channel (measurement of signal) 1 EL2124 : 0 2 nd EL1124 : 0 2 EL2124 : 1 2 nd EL1124 : 1 3 EL4004 : 0 EL3062 : 0 4 EL4004 : 1 EL3062 : 1 5 EL4004 : 0 EL3064 : 0 6 EL4004 : 1 EL3064 : 1 7 EL2124 : 2 2 nd EL1124 : 2 8 EL2124 : 3 2 nd EL1124 : 3 9 EL2124 : 1 1 st EL1124 : 1 10 EL2124 : 2 1 st EL1124 : 2 11 EL2124 : 3 1 st EL1124 : 3 12 EL2124 : 0 1 st EL1124 : 0 13 EL4004 : 2 EL3064 : 2 14 EL4004 : 3 EL3064 : 3 Figure 6-2: Multiple Terminals Simulink model The following analog signal characteristics are selected: 5. Period: 10ms 6. Amplitude: 4 V 7. Bias: 5 V 8. Waveform: Sinusoid 130

133 The following digital signal characteristics are selected: 9. Period: 2 samples 10. Range: 0 5 V 11. Duty Cycle: 50% 12. Waveform: Square For this test the measured input signals are recorded simultaneously, utilizing the Data Logging Service. The characteristics of the resulted measured signals are, then, compared with these of the expected signals. For the digital I/O the sampling time of 50us is used and for the analog I/O the sampling time used was set to the conversion time of the input (650us). 6.2 Results and Discussion The multiple terminal measurement test was designed to reveal the effect of the number of terminals on the quality of the measurements. The tests performed were not exceeding a ~10 sec period and hence it can be characterized as short-term. Despite the free run mode used in the Analog output no duplication or missing values were found. Nevertheless, during measurements a slow operational system response to other user tasks (e.g. mouse tracking) has been observed. This is possibly due to the priority given to the measurements by EtherLab combined with the utilized PC computing power. For this test a Lenovo Think-Pad T500 laptop with Intel PCI-express Ethernet network card and Intel Core 2 Duo CPU 2.26GHz is used. 7. Measuring the TCU signals The Continental TCU signals are measured using the EtherLab / Beckhoff system with a setup shown in Figure 7-1. The main parts of the setup are listed below: The Continental TCU The Beckhoff terminals: o Digital Inputs (EL1124) o Digital Output (EL2124) o Analog Input (EL3062) o Analog Input (EL3064) The control PC running the EtherLab system, which runs: o A Simulink model. o Test Manager. One channel of the analog output EL2124 is used to trigger the controller emulating the ignition signal. 131

134 TCU testing setup TCU Ignition Analog Outputs Digital Outputs Data Acquisition & Set:Ignition Control PC Simulink Model Beckhoff Digital Output EL2124 Switching times: TON: < 1 us TOFF: < 1 us No Filter No conversion Beckhoff Analog Input EL3064 / EL3062 Input filter Freq: 1KHz Conversion time: ~625us Beckhoff Digital Input EL1124 Input Filter: typ us No conversion Measured Signals Figure 7-6: Measuring of the TCU signals. Measurement setup. The connection of terminals with the TCU is shown in Table 7-1 and the Simulink model in Figure 7-2. Table 7-1: Hardware connection of TCU signals and EtherLab / Beckhoff system. TCU signal Terminal : Channel used VGP_LS 1 st EL1124 : 0 VSS_LS 1 st EL1124 : 1 VKP1_LS 2 nd EL1124 : 0 VKP2_LS 2 nd EL1124 : 1 PK1_UB EL3064 : 0 PK2_UB EL3064 : 1 PRND_UB EL3064 : 2 POWER SUPPLY EL3062 : 0 KL15 EL3062 : 1 132

135 Digital Value Voltage (V) Voltage (V) Figure 7-2: TCU measurement Simulink model Digital terminals sampling time is set to 50μs for each measurement. For the analog input terminals the sampling time is set to 650μs (1 st measurement) and 250μs (2 st measurement). Digital and analog signals are shown in Figure 7-3 from the 2 nd measurement). 5 4 Ignition (KL15) X: Y: time s Power supply (KL30) PRND_UB PK1_UB PK2_UB time s VGP_LS VKP1_LS VKP2_LS VSS_LS time s Figure 7-3: Digital and analog logging of the TCU signals. (Including ignition for synchronization). Sampling time is 50μs for the digital and 250μs for the analog terminals. 133

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΘΜΗΣ ΥΓΡΟΥ ΕΞΑΜΕΝΗΣ 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ Τα βασικά µέρη της εργαστηριακής διάταξης είναι κατασκευασµένα από την εταιρεία LUCAS-NULLE.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Χρήση του Simulation Interface Toolkit για την Εξομοίωση και Πειραματισμό Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Γ. Νικολακόπουλος, Μ. Κουνδουράκης, Α. Τζες και Γ. Γεωργούλας Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Αντικείμενο της εργασίας είναι η σχεδίαση και κατασκευή του ηλεκτρονικού τμήματος της διάταξης μέτρησης των θερμοκρασιών σε διάφορα σημεία ενός κινητήρα Ο στόχος είναι η ανάκτηση του

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σκοπός της Άσκησης: Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι α) η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των μηχανών συνεχούς ρεύματος, β) η ανάλυση της κατασκευαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Εισαγωγή Μελέτη συστήµατος αιώρησης µαγνητικού τρένου. Τις προηγούµενες δύο δεκαετίες, κατασκευάστηκαν πρωτότυπα µαγνητικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο

Διαβάστε περισσότερα

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS Αρχή λειτουργίας των Αναλογικών και ψηφιακών Παλμομετατροπεων Ο παλμός οδήγησης ενός παλμομετατροπέα, με αναλογική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΩΜΟΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΤΗ ΤΑΣΗΣ DC

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΩΜΟΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΤΗ ΤΑΣΗΣ DC ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΩΜΟΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΤΗ ΤΑΣΗΣ DC ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ Α.Μ. ΤΜΗΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ:.... /..../ 20.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:.... /..../ 20.. ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙΙ

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές Βιομηχανικοί Ελεγκτές Σημειώσεις Εργαστηρίου Έλεγχος Στάθμης Δοχείου με P.I.D. Ελεγκτή Περιεχόμενα 1. Τρόπος Εισαγωγής στο πρόγραμμα εξομοίωσης. 2. Τρόπος λειτουργίας εξομοιωτή. 3. Αναγνώριση ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Ι Ο ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ

ΒΑΣΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Ι Ο ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικού & Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών ΒΑΣΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Ι Ο ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ 1.1 Τελεστικοί ενισχυτές 1.1.1 Εισαγωγή: Αντικείµενο της εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Α. Θεωρητικό Μέρος MM205 ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Εργαστήριο 1 ο Όργανα μέτρησης ηλεκτρικών μεγεθών Μετρήσεις στο συνεχές ρεύμα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 8 Κυκλώματα RLC και Σταθερή Ημιτονοειδής Κατάσταση Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 8

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Βιομηχανικής Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών, ΤΕΙ Σερρών

Εργαστήριο Βιομηχανικής Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών, ΤΕΙ Σερρών ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένας εργοστασιακός φούρνος. Το αν οι αντιστάσεις του φούρνου λειτουργούν ή όχι, εξαρτάται από μια μεταβλητή C η οποία παίρνει τιμές από 0 μέχρι και 10. Με μηδέν σημαίνει ότι δεν περνάει καθόλου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΞΕΝΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΞΕΝΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΞΕΝΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Σκοπός της Άσκησης: Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι α) η κατανόηση της λειτουργίας της γεννήτριας συνεχούς ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

- Εισαγωγή - Επίπεδα μνήμης - Ολοκληρωμένα κυκλώματα μνήμης - Συσκευασίες μνήμης προσωπικών υπολογιστών

- Εισαγωγή - Επίπεδα μνήμης - Ολοκληρωμένα κυκλώματα μνήμης - Συσκευασίες μνήμης προσωπικών υπολογιστών Μάθημα 4.5 Η Μνήμη - Εισαγωγή - Επίπεδα μνήμης - Ολοκληρωμένα κυκλώματα μνήμης - Συσκευασίες μνήμης προσωπικών υπολογιστών Όταν ολοκληρώσεις το μάθημα αυτό θα μπορείς: Να αναφέρεις τα κυριότερα είδη μνήμης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 4.2 Η μητρική πλακέτα

Μάθημα 4.2 Η μητρική πλακέτα Μάθημα 4.2 Η μητρική πλακέτα - Εισαγωγή - Οι βάσεις του επεξεργαστή και της μνήμης - Οι υποδοχές της μητρικής πλακέτας - Άλλα μέρη της μητρική πλακέτας - Τυποποιήσεις στην κατασκευή μητρικών πλακετών Όταν

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Αποτελέσματα Δοκιμαστικής Λειτουργίας, Αξιολόγηση και Προτάσεις Βελτίωσης και Έρευνας

6.3 Αποτελέσματα Δοκιμαστικής Λειτουργίας, Αξιολόγηση και Προτάσεις Βελτίωσης και Έρευνας 25SMEs2009 ΠΑΡΑΔΟΤΕΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 6: ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ 6.3 Αποτελέσματα Δοκιμαστικής Λειτουργίας, Αξιολόγηση και Προτάσεις Βελτίωσης και Έρευνας Σελίδα 1 REVISION HISTORY

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΙΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΙΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΜΑΘ.. 12 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΙΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Οι μετατροπείς συνεχούς ρεύματος επιτελούν τη μετατροπή μιας τάσης συνεχούς μορφής, σε συνεχή τάση με ρυθμιζόμενο σταθερό πλάτος ή και πολικότητα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής ver. 0.2 10/2012 Εισαγωγή στο Simulink Το SIMULINK είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη µοντελοποίηση, προσοµοίωση οίωση

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COACH 5 ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΩΝ Τ.Ε.Ε.

Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COACH 5 ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΩΝ Τ.Ε.Ε. 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 485 Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COACH 5 ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΩΝ Τ.Ε.Ε. Μπουλταδάκης Στέλιος Εκπαιδευτικός

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ

Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ Αυτό έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.0. Ονοματεπώνυμο: Μητρόπουλος Σπύρος Α.Ε.Μ.: 3215 Εξάμηνο: Β' Σκοπός της εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ένα προκατασκευασμένο κύκλωμα μικρών διαστάσεων που συμπεριφέρεται ως ενισχυτής τάσης, και έχει πολύ μεγάλο κέρδος, πολλές φορές της τάξης του 10 4 και 10 6. Ο τελεστικός

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την:

ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την: Σκοπός της Άσκησης: ΑΣΚΗΣΗ η ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την: α. Κατασκευή μετασχηματιστών. β. Αρχή λειτουργίας μετασχηματιστών.

Διαβάστε περισσότερα

Κινητήρες μιας νέας εποχής

Κινητήρες μιας νέας εποχής Κινητήρες μιας νέας εποχής H ABB παρουσιάζει μια νέα γενιά κινητήρων υψηλής απόδοσης βασισμένη στην τεχνολογία σύγχρονης μαγνητικής αντίστασης. Η ΑΒΒ στρέφεται στην τεχνολογία κινητήρων σύγχρονης μαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 1 Πίνακας 1. Μοντέλα Inverters IP20 380-480V ±10% - 3 Phase Input Αριθμός Μοντέλου με φίλτρο KW Έξοδος Ρεύματος (Α) Frame Size ODL-2-24400-3KF42 4 9.5 2 ODL-2-34055-3KF42

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε. Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε. Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Παράρτημα Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Σκοπός του παραρτήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τη χρήση και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ. B κύματος. Γνωρίζουμε ότι το σημείο Α έχει μικρότερη φάση από το x x σημείο Β. Συνεπώς το σημείο Γ του

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ. B κύματος. Γνωρίζουμε ότι το σημείο Α έχει μικρότερη φάση από το x x σημείο Β. Συνεπώς το σημείο Γ του ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ Προτεινόμενο Τελικό Διαγώνισμα Στη Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυσης Γ Λυκείου Διάρκεια: 3ώρες ΘΕΜΑ A Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

UTECO ABEE ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΣ & ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΣ

UTECO ABEE ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΣ & ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΣ IMAGO F3000 Συνοπτική περιγραφή Αυτοί οι ελεγκτές διαδικασίας χτίζονται σε ένα σχεδιασμό επεκτάσιμης μονάδας, και είναι κατάλληλοι για τον έλεγχο ρύθμιση λειτουργίας, ψησίματος, καπνίσματος και ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα DAQ. 6.1 Εισαγωγή

Συστήµατα DAQ. 6.1 Εισαγωγή 6 Συστήµατα DAQ 6.1 Εισαγωγή Με τον όρο Acquisition (Απόκτηση) περιγράφουµε τον τρόπο µε τον οποίο µεγέθη όπως η πίεση, η θερµοκρασία, το ρεύµα µετατρέπονται σε ψηφιακά δεδοµένα και απεικονίζονται στην

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ D.C. ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ D.C. ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. ΓΕΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ D.C. ΚΙΝΗΤΗΡΑ Σε ένα ανοιχτό σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G η έξοδος Υ και είσοδος Χ συνδέονται με τη σχέση: Y=G*Χ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής 15/3/9 Από το προηγούμενο μάθημα... Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 3 η : «Επεξεργαστές Ε ξ έ Δυναμικής Περιοχής» Φλώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η κατασκευή απλών ηλεκτρικών κυκλωμάτων με πηνίο, τροφοδοτικό, διακόπτη, ροοστάτη, λαμπάκια, γαλβανόμετρο,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 9 Ανάλυση και σχεδιασμός εναλλασσόμενων κυκλωμάτων Εξάσκηση στην Κασσιτεροκόλληση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Εργαστηριακή Άσκηση 2 ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ΔΥΝΑΜΗ Ονοματεπώνυμο: Παριανού Θεοδώρα Όνομα Πατρός: Απόστολος Αριθμός μητρώου: 1000107 Ημερομηνία Διεξαγωγής: 05/12/11 Ημερομηνία Παράδοσης:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 1: Βασικές έννοιες Μπλόκ διαγράμματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Όπως θα δούμε και παρακάτω το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων, δηλαδή «κόβουν» κάποιες ανεπιθύμητες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ 1 ο Γενικό Λύκειο Ηρακλείου Αττικής Σχ έτος 2011-2012 Εργαστήριο Φυσικής Υπεύθυνος : χ τζόκας 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ Η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα αποτελείται από: Πηγή ενέργειας (τάσης ή ρεύματος) Αγωγούς Μονωτές

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Educational Laboratory of Multi Instruments (ELMI) for LabVIEW TM and MultiSIM TM

Educational Laboratory of Multi Instruments (ELMI) for LabVIEW TM and MultiSIM TM Educational Laboratory of Multi Instruments (ELMI) for LabVIEW TM and MultiSIM TM I Εκπαιδευτική Μονάδα Εργαστηριακών Ασκήσεων για προγραμματισμό LabVIEW TM και MultiSIM TM της National Instruments (Portable

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για την προσομοίωση

Λίγα λόγια για την προσομοίωση Λίγα λόγια για την προσομοίωση Η συγκεκριμένη προσομοίωση με εικονικό εργαστήριο είναι μια ενδιαφέρουσα και αρκετά ελκυστική προσομοίωση για τους μαθητές. Γίνεται αναπαράσταση της κίνησης των φορτίων σε

Διαβάστε περισσότερα

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing).

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Κεφάλαιο 4 Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Οι ενδείξεις (τάσεις εξόδου) των θερμοζευγών τύπου Κ είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ;

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ; Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Κινητά τηλέφωνα Τηλεπικοινωνίες Δίκτυα Ο κόσμος της Ηλεκτρονικής Ιατρική Ενέργεια Βιομηχανία Διασκέδαση ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Τι περιέχουν οι ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ. Ηλεκτρική τάση - Ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Αντιστάτης Αντίσταση Ισοδύναμη ή ολική αντίσταση

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ. Ηλεκτρική τάση - Ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Αντιστάτης Αντίσταση Ισοδύναμη ή ολική αντίσταση ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ (Παλλήνη) υπ. Κ. Παπαμιχάλης ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ Έννοιες και φυσικά μεγέθη Ηλεκτρική τάση - Ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Αντιστάτης Αντίσταση Ισοδύναμη ή ολική αντίσταση Στόχοι.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα