Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές των G(s) και F(s) στο διάγραμμα του συστήματος του σχήματος 2 ώστε το σύστημα αυτό να είναι ισοδύναμο με εκείνο του σχήματος και να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος. β. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ροής σημάτων του δομικού διαγράμματος του σχήματος και να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason. - s 5 s 0 Σχήμα G(s) Σχήμα 2 F(s) Λύση α. - G (s) G (s) s 5 s 0 / - G (s) /G (s) G (s) G (s) G (s) G (s) G (s) G(s) G (s) F(s) G (s) G (s)

2 G(s) G(s)F(s) G (s) G (s) [ G (s) G (s) ] G (s) G (s) ( s 5 ) ( s 0 ) ( s 5 ) ( s 0 ) (s 5)(s 0) (s 5)(s 0) (s 0) (s 5) (s 5)(s 0) (s 5)(s 0) (s 5) (s 0) s 2 5s 0s 50 s 5 s 0 s 2 7s 65 β. E (s) G (s) - E 2 (s) - E 2 (s) E 2 (s) E (s)g (s) E (s) E 2 (s) Υπάρχει μόνο ένας () απευθείας δρόμος, E (s) E 2 (s), άρα Ν. Q(s) G (s) Δ(s) ΣL ΣL 2 ΣL G (s) ΣL 2 0 Δ(s) G (s) και Δ(s) Q(s) G (s) G (s) s 2 7s 65 ΘΕΜΑ 2 Ο (4,0 μονάδες) Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: y (t) 7y (t) 2y(t) x(t) όπου x(t) η είσοδος και y(t) η έξοδος του συστήματος. Να προσδιοριστούν: α. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος (,0 μον.). β. Η κρουστική απόκριση του συστήματος (,5 μον.). γ. Η βηματική απόκριση του συστήματος με αρχικές συνθήκες y(0) 0 και y (0) (,5 μον.). Λύση: α. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: s 2 7s 2

3 ή [s 2 7s 2] Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: s 2 7s 2 και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: P(s) s 2 7s 2 β. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: s 2 7s 2 0 Επιλύοντας το τριώνυμο, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: π 3 και π 2 4 Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: (s π )(s π 2 ) (s 3)(s 4) Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: c (s 3) c 2 (s 4) c (s 4) c 2 (s 3) (s 3)(s 4) Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: (s 4)c (s 3)c 2 sc 4c sc 2 3c 2 s(c c 2 ) 4c 3c 2 (c c 2 ) 0 και 4c 3c 2 c c 2 και 4c 2 3c 2 c και c 2 Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε τα c, c 2 ως εξής: c [(s 3)] s 3 c 2 [(s 4)] s 4 (s 3) (s 4) (s 3) (s 4) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): h(t) L [H(s)] L [ (s 3) (s 4) ] L [ (s 3) ] L [ (s 4) ] Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: h(t) e 3t e 4t γ. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος για βηματική είσοδο είναι η εξής: y (t) 7y (t) 2y(t) u(t) και οι αρχικές συνθήκες που δίνονται είναι:

4 y (0) και y(0) 0 Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: s 2 sy(0) y (0) 7s 7y(0) 2 s και αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές: ή s 2 7s 2 s [s 2 7s 2] s s s Άρα η θα είναι: s s(s 2 7s 72) s s(s 3)(s 4) Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: K 3 K 4 K 0 s (s 3) (s 4) K 0 [s] s0 2 K 3 [(s 3)] s K 4 [(s 4)] s s 2 3(s 3) 3 4(s 4) και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματική απόκριση είναι: y(t) e 3t 3 4 e 4t ΘΕΜΑ 3 Ο (4,0 μονάδες) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s) /[(s )(s 3)], μοναδιαία αρνητική ανάδραση και ελεγκτή G C (s) /s. α. Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος, να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και να γραφεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου. β. Να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. γ. Να υπολογιστούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα. δ. Εάν η είσοδος του συστήματος είναι μια συνάρτηση ράμπας της μορφής x(t) Atu(t), να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του Α ώστε το σφάλμα ταχύτητας να είναι μικρότερο του 5%. Λύση: α. Το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος είναι το ακόλουθο: - G c (s) G(s) και ισοδύναμα:

5 - G c (s)g(s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι: G c(s)g(s) G c (s)g(s) s(s )(s 2) s(s )(s 2) s 3 3s 2 2s s(s )(s 2) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι: P(s) s 3 3s 2 2s β. Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 3 2 s 2 3 s s 0 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα 6 - > 0 και > 0. Άρα το εύρος τιμών του για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < < 6 γ. Υπολογισμός σταθερών σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: p lim G c (s)g(s) lim s 0 s 0 s(s )(s 2) 0 v lim sg c (s)g(s) lim s 0 s 0 (s )(s 2) 2 a lim s 2 s G c (s)g(s) lim s 0 s 0 (s )(s 2) Υπολογισμός σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: δ. Για να έχουμε e v < 5% θα πρέπει: e p A p 0 e v A v 2A e a 2A a e v 2A < 5 00 ή A < Βρήκαμε ότι για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει 0 < < 6. Οι οριακές τιμές για το A υπολογίζονται με βάση τις οριακές τιμές του, δηλ. για 0 (οπότε Α0) και για 6 (οπότε A0,5). Άρα το κατάλληλο εύρος τιμών του Α είναι: 0 < Α < 0,5.