ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
|
|
- Μυρίνα Ελευθερόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M ìðë óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ R = {< m 1 ; : : : ; m n > N n N = ö(m 1 ; : : : ; m n )}. Äåßîôå üôé êüèå áíáäñïìéêþ ó Ýóç åßíáé áñéèìçôéêþ. Ëýóç. óôù R N n ìéá áíáäñïìéêþ ó Ýóç. Áðü ôçí Ðñüôáóç 4.3.6, ç R åßíáé åêöñüóéìç óôï P, äçëáäþ õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã èá 1 ôýôïéïò ðïõ 1. áí < m 1 ; : : : ; m n > R, ôüôå P ö(m 1 ; : : : ; m n ), 2. áí < m 1 ; : : : ; m n > R, ôüôå P ö(m 1 ; : : : ; m n ). Óýìöùíá ìå ôçí ðáñáôþñçóç ìåôü ôïí ïñéóìü 4.3.1, áöïý ç R åßíáé åêöñüóéìç óôï Ñ êáé N = P, ç R åßíáé ïñßóéìç óôç N áðü ôïí ö. ÄçëáäÞ éó ýåé åðïìýíùò ç R åßíáé áñéèìçôéêþ. < m 1 ; : : : ; m n > R N = ö(m 1 ; : : : ; m n ), óêçóç 2. Äåßîôå üôé P 1 P 6 + ÁÐÅ P 7, üðïõ P 1 P 7 åßíáé ôá áîéþìáôá Peano êáé ÁÐÅ ôï áîéùìáôéêü ó Þìá "ðëþñïõò åðáãùãþò". Ëýóç. Ãéá åõêïëßá èåùñïýìå ôçí ìïñöþ ôçò ÁÐÅ ùñßò ðáñáìýôñïõò, äçëáäþ ôçí x( y(y < x ö(y)) ö(x)) xö(x) êáé èá äåßîïõìå üôé éó ýåé ôï Ñ7 ðüëé ùñßò ðáñáìýôñïõò, äçëáäþ ö(0) x(ö(x) ö(x )) xö(x). óôù ö(x) ôõ áßïò ôýðïò ôçò Ã1 èá êáé A äïìþ ôýôïéá ðïõ éó ýïõí ôá ðáñáêüôù: A = P 1 P 6 + ÁÐÅ, A = ö(0) êáé A = x(ö(x) ö(x )) (1). Èá äåßîïõìå üôé éó ýåé 1
2 A = x( y(y < x ö(y)) ö(x)), äçëáäþ üôé éó ýåé äçëáäþ ãéá êüèå á A: A = y(y < á ö(y)) ö(á), ãéá êüèå á A: áí A = y(y < á ö(y)), ôüôå A = ö(á). óôù ôõ áßï á A êáé éó ýåé A = y(y < á ö(y)) (2). ÈÝëïõìå íá äåßîïõìå üôé éó ýåé A = ö(á). ÅîåôÜæïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò Á. á = 0. Ôüôå ëüãù ôçò õðüèåóçò (1), éó ýåé üôé A = ö(0), åðïìýíùò éó ýåé êáé ç óõíåðáãùãþ áí A = y(y < 0 ö(y)), ôüôå A = ö(0). Â. á 0. Ôüôå õðüñ åé b A ôýôïéï ðïõ A = b < á á = b. Áðü ôçí õðüèåóç (2) éó ýåé üôé A = b < á ö(b), åðïìýíùò áöïý A = b < á, èá éó ýåé üôé A = ö(b). Áðü ôçí õðüèåóç (1) ðáßñíïõìå üôé A = ö(b) ö(b ). Áðü ôéò äõï ôåëåõôáßåò ó Ýóåéò Ýðåôáé üôé éó ýåé A = ö(b ) êáé áöïý A = á = b, Ý ïõìå üôé A = ö(á), äçëáäþ ôï æçôïýìåíï. ôóé Ý ïõìå äåßîåé üôé éó ýåé A = x( y(y < x ö(y)) ö(x)) êáé ñçóéìïðïéþíôáò ôçí õðüèåóç üôé A = ÁÐ Å, ðáßñíïõìå ôï æçôïýìåíï A = xö(x). ÔåëéêÜ äåßîáìå üôé áí A = P 1 P 6+ÁÐÅ êáé A = ö(0) x(ö(x) ö(x )), ôüôå A = xö(x) äçëáäþ üôé áí A = P 1 P 6 + ÁÐÅ, ôüôå A = ö(0) x(ö(x) ö(x )) xö(x), äçëáäþ üôé P 1 P 6 + ÁÐÅ P 7. 2
3 óêçóç 3. Äåßîôå áíáëõôéêü (äçëáäþ âñßóêïíôáò êáôüëëçëç áêïëïõèßá óõíáñôþóåùí) üôé ç óõíüñôçóç åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. [ n ] = ôï áêýñáéï ìýñïò ôïõ áñéèìïý n Ëýóç. Ç óõíüñôçóç [ n ] = ïñßæåôáé áíáäñïìéêü ùò åîþò: [ 0 ] = 0 [ { [ n ] + 1; áí ([ n ] + 1) 2 = n + 1; n + 1 ] = [, n ]; áëëéùò: äçëáäþ [ 0 ] = 0 [ n + 1 ] = h(n; [ n], üðïõ h(x; y) = S(P 2 2 (x; y)) C =( S(P 2 2 (x; y)) S(P 2 2 (x; y)); S(P 2 1 (x; y))) + P 2 2 (x; y) [1 C = ( S(P 2 2 (x; y)) S(P 2 2 (x; y)); S(P 2 1 (x; y))) ] Ïé óõíáñôþóåéò P 2 1 ; P 2 2 ; C =; S; +; ; åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò, åðïìýíùò ç h åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ïñßæåôáé áðü ôéò óõíáñôþóåéò áõôýò ìå áíôéêáôüóôáóç. ÔÝëïò ç [ n] åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ïñßæåôáé ìå áíáäñïìþ áðü ôéò Æ; h. óêçóç 4. óôù Q ôï óýíïëï áîéùìüôùí ôïõ R. Robinson, äçëáäþ ôï óýíïëï P 1 P 6 + R, üðïõ R åßíáé ôï áîßùìá x 1 [x 1 0 x 2 (x 2 x 1)]. ÄéêáéïëïãÞóôå áíáëõôéêü ãéáôß êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q. Ëýóç. Ãéá íá ìðïñýóïõìå íá áðïäåßîïõìå üôé êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q ðñýðåé íá éó ýïõí ôá ðáñáêüôù: 1. Ïé âáóéêýò óõíáñôþóåéò Æ; S; P n i íá åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò óôï Q, 2. ÊÜèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ìå áíáäñïìþ áðü áíáðáñáóôüóéìåò óõíáñôþóåéò óôï Q, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q, 3. ÊÜèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ìýóù ôïõ ì ôåëåóôþ áðü áíáðáñáóôüóéìç óõíüñôçóç óôï Q, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q. 4. ÊÜèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ìå áíôéêáôüóôáóç áðü áíáðáñáóôüóéìåò óõíáñôþóåéò óôï Q, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q. 3
4 Áíáëõôéêüôåñá: Ãéá ôï (1), Ý ïõìå äåßîåé üôé ïé óõíáñôþóåéò Æ; S; P n i åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò (ìå ñþóç ôïõ ïñéóìïý 3 ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò) óå êüèå óýíïëï ðñïôüóåùí Ô, åðïìýíùò êáé óôï Q, áðü ôïõò ôýðïõò x 1 x 1 x 2 0, x 2 x 1 êáé x 1 x 1 x n x n x n+1 x i áíôßóôïé á. Ãéá ôï (4) åðßóçò Ý ïõìå äåßîåé üôé êüèå óõíüñôçóç f(x 1 ; : : : ; x n ) = g(h 1 (x 1 ; : : : ; x n ); : : : ; h k (x 1 ; : : : ; x n )), üðïõ ïé g; h i åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò óôï ôõ áßï Ô, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç (ìå ñþóç ôïõ ïñéóìïý 3 ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò) óôï Ô. Ãéá ôï (3) Ý ïõìå äåßîåé üôé êüèå óõíüñôçóç f(x 1 ; : : : ; x n ) = ìy ( g(x 1 ; : : : ; x n ; y) = 0 ), üðïõ ç g åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Ñ, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç (ìå ñþóç ôïõ ïñéóìïý 2 ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò) óôï Ñ. Óôçí óõãêåêñéìýíç áðüäåéîç ñçóéìïðïéþèçêáí ç ðñüôáóç 4.2.4(â) êáé ç ðñüôáóç 4.2.3(6) üðïõ y = k, k N. Ãéá ôï (2) Ý ïõìå äåßîåé üôé êüèå óõíüñôçóç f ðïõ ïñßæåôáé ùò: f(x 1 ; : : : ; x n ; 0) = g(x 1 ; : : : ; x n ) f(x 1 ; : : : ; x n ; y + 1) = h(x 1 ; : : : ; x n ; y; f(x 1 ; : : : ; x n ; y)), üðïõ ïé g; h åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò (ìå ôçí Ýííïéá 2) óôï P, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç (ìå ôçí Ýííïéá 2) óôï P. Óôçí áðüäåéîç áõôþ ñçóéìïðïéþèçêáí ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá óôï Ñ ôçò óõíüñôçóçò â êáé ç ðñüôáóç 4.2.4(â). Ðñïöáíþò óôï Q ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ôá øçößá áëëü êáé ôï óýìâïëï <. Áðü ôá ðáñáðüíù ðñïêýðôåé üôé ãéá íá éó ýåé ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá ôùí áíáäñïìéêþí óõíáñôþóåùí óôï Q ðñýðåé íá áðïäåéêíýïíôáé áðü áõôü ç éóïäõíáìßá ôùí ïñéóìþí áíáðáñáóôáóéìüôçôáò (1),(2) êáé (3), ç ðñüôáóç 4.2.4, ç ðñüôáóç 4.2.3(6) êáé ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá ôçò óõíüñôçóçò â. Ç éóïäõíáìßá ôùí ïñéóìþí (2),(3) ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò éó ýåé (ëüãù ôçò ðáñáôþñçóçò ìåôü ôçí ðñüôáóç 4.3.1) ãéá êüèå óýíïëï ðñïôüóåùí Ô, åðïìýíùò êáé ãéá ôï Q. Ãéá ôéò õðüëïéðåò éóïäõíáìßåò ñçóéìïðïéþèçêáí ç ðñüôáóç êáé ç ðñüôáóç 4.2.2(á). Ç ðñüôáóç 4.2.2(á) üìùò éó ýåé êáé óôï Q áöïý óôçí áðüäåéîç ôçò äåí ñçóéìïðïéþèçêå ôï Ñ7. Ç áðüäåéîç ôçò ðñüôáóçò áðü ôï Ñ ãßíåôáé ìå åðáãùãþ óôçí ìåôáãëþóóá êáé ñþóç ôùí ðñïôüóåùí x (x < 0) êáé x y(x < y x y). ôóé ãéá íá áðïäåéêíýåôáé ç ðñüôáóç áõôþ óôï Q áñêåß íá áðïäåéêíýïíôáé áðü áõôü ïé ðáñáðüíù ðñïôüóåéò. ÔåëéêÜ ãéá íá åßíáé êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç áíáðáñáóôüóéìç óôï Q ðñýðåé íá éó ýïõí ôá åîþò: (i) ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá ôçò óõíüñôçóçò â, (ii) Q x (x < 0), 4
5 (iii) Q x y(x < y x y) êáé (iv) ãéá êüèå k N éó ýåé: Q x(x < k x k k < x). Ôï (i) éó ýåé ãéáôß ç óõíüñôçóç â åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q áðü ôïí ßäéï ôýðï ðïõ ôçí áíáðáñéóôü óôï P. Ãéá ôï (ii) èá äåßîïõìå üôé Q x (x < 0), éóïäýíáìá üôé Q x z(z 0 x z 0), éóïäýíáìá üôé Q x z (z 0 x z 0), éóïäýíáìá üôé Q x z(z 0 x z 0), éóïäýíáìá üôé Q x z(x z 0 z 0). Áðü ôï èåþñçìá Ãåíßêåõóçò áñêåß íá äåßîïõìå üôé Q (x z 0 z 0), áðü ôï èåþñçìá áðáãùãþò áñêåß íá äåßîïõìå üôé Q {x z 0} z 0 êáé áðü ôï èåþñçìá óå Üôïðï áðáãùãþò, áñêåß íá äåßîïõìå üôé ôï óýíïëï Q {x z 0; z 0} åßíáé áíôéöáôéêü. Áõôü ðñïêýðôåé åýêïëá áöïý áðü ôçí õðüèåóç üôé z 0 êáé ôï áîßùìá R, ðáßñíïõìå üôé õðüñ åé k ôýôïéï ðïõ k z, åðïìýíùò áðü ôçí õðüèåóç x z 0 Ý ïõìå üôé éó ýåé x k 0, äçëáäþ (ëüãù ôïõ Ñ4) éó ýåé (x k) 0, ôï ïðïßï åßíáé Üôïðï ãéáôß áðü ôï P 1 (êáé ôï ÁÓ2) éó ýåé üôé (x k) 0. Ãéá ôï (iii) áðü ôá èåùñþìáôá Ãåíßêåõóçò êáé ÁðáãùãÞò áñêåß íá äåßîïõìå üôé Q {x < y } x y êáé Q {x y} x < y Þ éóïäýíáìá üôé (áöïý x y z(x z y)) Q { z(z 0 x z y )} z(x z y) (A) êáé Q {x < y x y)} z(z 0 x z y ) (B). Èá äþóïõìå ìéá ðåñéãñáöþ ôçò áðüäåéîçò ùñßò üëåò ôéò ëåðôïìýñåéåò. Ãéá ôï (Á), áðü ôçí õðüèåóç êáé ôï R Ýðåôáé üôé õðüñ åé k ôýôïéï ðïõ k z. Ôüôå áðü ôçí x z y Ý ïõìå üôé x k y êáé áðü ôï Ñ4 ðáßñíïõìå üôé (x k) y. Áðü ôï Ñ2 ôüôå Ýðåôáé üôé x k y, äçëáäþ éó ýåé üôé x y. Ãéá ôï (Â), Ýóôù üôé éó ýåé x < y. Ôüôå õðüñ åé z 0 ôýôïéï ðïõ x z y, åðïìýíùò èá éó ýåé (x z) y, Üñá ëüãù ôïõ Ñ4 êáé ôçò áíôéìåôáèåôéêüôçôáò ôçò ) éó ýåé üôé x z y êáé áöïý ëüãù ôïõ Ñ1 z 0, Ý ïõìå üôé x < y. óôù üôé éó ýåé x y. Ôüôå ëüãù ôïõ Ñ3 éó ýåé x 0 y Üñá (x 0) y, äçëáäþ (ëüãù ôïõ Ñ4) x 0 y, äçëáäþ (áöïý 0 0) x < y. Ãéá ôï (iv) Ýóôù A = Q êáé á A. Èá äåßîïõìå ìå åðáãùãþ óôç ìåôáãëþóóá üôé ãéá êüèå k N éó ýåé: A = (á < k á k k < á). Ãéá k = 0 Ý ïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: 5
6 á = 0 A, ôüôå ðñïöáíþò éó ýåé ôï æçôïýìåíï. á 0 A, ôüôå áðü ôçí Q x(0 x x) ðáßñíïõìå ôçí A = x(0 x x), åðïìýíùò A = 0 á á, äçëáäþ éó ýåé A = 0 < á. óôù üôé éó ýåé ôï æçôïýìåíï ãéá k, äçëáäþ A = (á < k á k k < á). Èá äåßîïõìå üôé éó ýåé ãéá k + 1. ïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: (1) A = á < k, ôüôå õðüñ åé b A ; b 0 A, ôýôïéï ðïõ A = á b k, åðïìýíùò éó ýåé A = (á b) k, äçëáäþ (ëüãù ôïõ Ñ4) A = á b k, äçëáäþ A = á b k + 1, äçëáäþ A = á < k + 1. (2) A = á k, ôüôå A = á k, äçëáäþ A = á k + 1. (3) A = k < á, ôüôå õðüñ åé b A ; b 0 A ôýôïéï ðïõ A = k b á. Áðü ôï áîßùìá R, áöïý b 0 A, Ýðåôáé üôé õðüñ åé c A ôýôïéï ðïõ c b. ôóé Ý ïõìå üôé A = k c á, åðïìýíùò A = (k c) á, åðïìýíùò A = k c á äçëáäþ A = k + 1 < á Þ A = k + 1 á áíüëïãá ìå ôï áí c = 0 A Þ c 0 A. 6
7 óêçóç 5. Äåßîôå üôé ãéá êüèå áíïéêôþ ðñüôáóç (äçëáäþ ðñüôáóç ùñßò ðïóïäåßêôåò) è ôçò Ã1 èá éó ýåé: P è Þ P è. Ëýóç. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå åðáãùãþ óôçí ðïëõðëïêüôçôá ôçò áíïéêôþò ðñüôáóçò è. Ðáñáôçñïýìå üôé Ýíáò ôýðïò åßíáé ðñüôáóç áí äåí Ý åé êáèüëïõ ìåôáâëçôýò Þ áí üëåò ïé ìåôáâëçôýò ðïõ åìöáíßæïíôáé óå áõôüí, äåóìåýïíôáé áðü êüðïéïí ðïóïäåßêôç. ÅðïìÝíùò, áöïý ìéá áíïéêôþ ðñüôáóç ôçò Ã1 èá äåí ìðïñåß íá ðåñéý åé ðïóïäåßêôåò, äåí ìðïñåß íá ðåñéý åé êáé ìåôáâëçôýò. ÄçëáäÞ êüèå áíïéêôþ ðñüôáóç 'êáôáóêåõüæåôáé' áðü êëåéóôïýò üñïõò ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò óõíäýóìïõò ;. Ïé êëåéóôïß üñïé ôçò Ã1 èá åßíáé áêñéâþò ôá øçößá êáé ïé üñïé ðïõ 'êáôáóêåõüæïíôáé' áðü áõôü. Èá äåßîïõìå üôé ôåëéêü êüèå êëåéóôüò üñïò ôçò Ã1 èá åßíáé ßóïò ìå Ýíá øçößï áöïý ìðïñïýìå íá ôïí èåùñþóïõìå ùò Ýíá 'ðïëõþíõìï' óôï ïðïßï üëåò ïé ìåôáâëçôýò Ý ïõí áíôéêáôáóôáèåß ìå óõãêåêñéìýíåò ôéìýò (øçößá). ÄçëáäÞ èá äåßîïõìå ìå åðáãùãþ óôçí ðïëõðëïêüôçôá ôïõ t, üôé ãéá êüèå êëåéóôü üñï t, õðüñ åé öõóéêüò m N ôýôïéïò ðïõ P t m. óôù t = 0. Ôüôå P 0 0, ëüãù ôùí éäéïôþôùí ôùí øçößùí. óôù t = s 1 s 2, üðïõ ãéá ôïõò s 1 ; s 2 éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç: õðüñ ïõí m 1 ; m 2 N ôýôïéá ðïõ: P s 1 m 1 êáé P s 2 m 2 (ÅÕ). ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç áðü ôï Ñ (óôçí ïðïßá ðáñáëåßðïõìå êüðïéá ðñïöáíþ âþìáôá): 1. y 1 y 2 z 1 z 2 (y 1 z 1 ( y 2 z 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ) ) ôõðéêü èåþñçìá 2. y 1 y 2 z 1 z 2 (y 1 z 1 ( ) ) y 2 z 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ( s 1 m 1 ( ) ) s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 ÁÓ2 3. s 1 m 1 ( ) s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 1,2,ÌÑ 4. s 1 m 1 EY 5. s 2 m 2 EY 6. s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 3,4,ÌÑ 7. s 1 s 2 m 1 m 2 5,6,ÌÑ 8. m 1 m 2 m 1 + m 2 ôõðéêü èåþñçìá 9. s 1 s 2 m 1 + m 2 7,8,ìåôáâáôéêüôçôá ôçò óôù t = s 1 s 2, üðïõ ãéá ôïõò s 1 ; s 2 éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç: õðüñ ïõí m 1 ; m 2 N ôýôïéá ðïõ: P s 1 m 1 êáé P s 2 m 2 (ÅÕ). 7
8 Ïìïßùò ìå ðñéí, ñçóéìïðïéþíôáò ôçí ÅÕ êáé ôá ôõðéêü èùñþìáôá s 1 m 1 ( ) s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 êáé m 1 m 2 m 1 m 2, äåß íïõìå üôé t = m 1 m 2. óôù t = s, üðïõ ãéá ôïí s éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç: õðüñ åé n N ôýôïéï ðïõ: P s n (ÅÕ). ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç áðü ôï Ñ (óôçí ïðïßá ðáñáëåßðïõìå êüðïéá ðñïöáíþ âþìáôá): 1. s n (EY) 2. x y ( x y x y ) ôõðéêü èåþñçìá 3. x y ( x y x y ) ( s n s n ) ÁÓ2 4. s n s n 2,3,MP 5. s n 1,4,MP 6. x ( x x 1 ) ôõðéêü èåþñçìá 7. x ( x x 1 ) ( n n 1 ) ÁÓ2 8. n n 1 6,7,ÌÑ 9. s n 1 5,8, ìåôáâáôéêüôçôá ôçò 10. n 1 n + 1 ôõðéêü èåþñçìá 11. s n + 1 9,10,ìåôáâáôéêüôçôá ôçò Èá äåßîïõìå ôþñá ìå åðáãùãþ óôçí ðïëõðëïêüôçôá ôçò áíïéêôþò ðñüôáóçò è ôçò à èá 1 üôé éó ýåé: P è Þ P è. óôù è ôçò ìïñöþò t s, üðïõ s; t êëåéóôïß üñïé. ¼ðùò äåßîáìå ðñéí, ãéá ôïõò üñïõò áõôïýò õðüñ ïõí m; n öõóéêoß ôýôïéïé ðïõ P t m êáé P s n. (*) Ãéá ôïõò öõóéêïýò m; n éó ýåé m = n Þ m n. Áí m = n, ôüôå áðü ôïí ïñéóìü ôùí øçößùí éó ýåé P m n. ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç áðü ôï Ñ ðïõ äåß íåé üôé P t s. 1. m n õðüèåóç 2. t m ëüãù ôùí (*) 3. s n ëüãù ôùí (*) 4. x y z(x y (y z x z)) ôõðéêü èåþñçìá 5. x y z(x y (y z x z)) (t m (m n t n)) ÁÓ2 6. t n 4,5,2,1,ÌÑ 7. n s 3, áíôéìåôáèåôéêüôçôá ôïõ 8. x y z(x y (y z x z)) (t n (n s t s)) ÁÓ2 9. t s 8,4,6,7,MP 8
9 Áí m n, ôüôå áðü ôçí ðñüôáóç éó ýåé P m n. ÅðïìÝíùò èá éó ýåé êáé üôé P {t s} m n. ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç ðïõ äåß íåé üôé P {t s} m n. Áõôü óçìáßíåé üôé ôï P {t s} åßíáé áíôéöáôéêü, åðïìýíùò áðü ôï èåþñçìá óå Üôïðï áðáãùãþò, Ýðåôáé üôé P t s. 1. t s õðüèåóç 2. t m ëüãù ôùí (*) 3. m t 2,áíôéìåôáèåôéêüôçôá ôïõ 4. s n ëüãù ôùí (*) 5. x y z(x y (y z x z)) ôõðéêü èåþñçìá 6. x y z(x y (y z x z)) (m t (t s m s)) ÁÓ2 7. m s 6,5,3,1,ÌÑ 8. x y z(x y (y z x z)) (m s (s n m n)) ÁÓ2 9. m n 8,5,7,4,MP óôù è ôçò ìïñöþò ö, üðïõ ãéá ôïí ö éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç Ñ ö Þ Ñ ö (ÅÕ). óôù üôé Ñ ö. Ôüôå èá äåßîïõìå üôé Ñ è, äçëáäþ üôé Ñ ö. ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç ðïõ äåß íåé ôï æçôïýìåíï: 1. ö õðüèåóç (áöïý Ñ ö) 2. ö ö ôõðéêü èåþñçìá 3. ö 1,2,ÌÑ. óôù üôé Ñ ö, ôüôå ðñïöáíþò ëüãù ôïõ ïñéóìïý ôïõ è, éó ýåé Ñ è. óôù è ôçò ìïñöþò ö ø, üðïõ ãéá ôïõò ö; ø éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç Ñ ö Þ Ñ ö êáé Ñ ø Þ Ñ ø (EY) ïõìå ôéò ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò, óå êüèå ìéá áðü ôéò ïðïßåò äåß íïõìå ôï æçôïýìåíï: 1. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö (ø (ö ø)), Ýðåôáé üôé Ñ ö ø. 2. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö ( ø (ö ø)), Ýðåôáé üôé Ñ (ö ø). 3. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö (ö ø)), Ýðåôáé üôé Ñ ö ø. 4. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö (ö ø), Ýðåôáé üôé Ñ ö ø. ÅðïìÝíùò óå êüèå ðåñßðôùóç éó ýåé Ñ è Þ Ñ è. 9
10 óêçóç 6. Èåùñïýìå ôç ó Ýóç LNP = { n N n åßíáé ï áñéèìüò Goedel ðñüôáóçò ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí "áñ Þ åëá ßóôïõ áñéèìïý" ( ùñßò ðáñáìýôñïõò)}. Äåßîôå üôé ó Ýóç LNP åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. Ëýóç. Ç áñ Þ ôïõ åëü éóôïõ áñéèìïý ùñßò ðáñáìýôñïõò åßíáé xö(x) x ( ö(x) y(y < x ö(y)) ). Ãéá íá ìðïñýóïõìå íá êùäéêïðïéþóïõìå ôïí ôýðï áõôü ðñýðåé íá ôïí ãñüøïõìå ùò åîþò: ( x ö(x) x ö(x) y ( z (z 0 y z = x) ö(y) )), Þ éóïäýíáìá x ö(x) x (ö(x) y ( z ( (z = 0) ( y z = x) ) ö(y) )) Ôþñá Ý ïõìå: LNP (n) [ u < n k < n m < n z < n F M(u) V B(k) V B(m) V B(z) F REE(u; k) n = 2 5 _ 2 11 _ k _ 2 5 _ u _ 2 7 _ 2 5 _ 2 11 _ k _ 2 13 _ u _ 2 7 _ 2 5 _ 2 11 _ m _ 2 13 _ 2 5 _ 2 11 _ z _ 2 13 _ 2 5 _ 2 13 _ z _ 2 17 _ 2 25 _ 2 15 _ 2 7 _ 2 5 _ 2 13 _ 2 21 _ m _ z _ 2 17 _ k _ 2 15 _ 2 15 _ 2 7 _ 2 5 _ SU(u; k; m) _ 2 15 _ 2 15 ]. Ïé ó Ýóåéò V B(x); F M(x) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò, ïé óõíáñôþóåéò SU(x; y; z); _ åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò êáé ç ó Ýóç F REE(x; y) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ üðùò äåß íïõìå óôçí åðüìåíç Üóêçóç. ôóé ç ó Ýóç LN P åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. óêçóç 7. Èåùñïýìå ôç ó Ýóç S = {< m; n; k > N 3 : ï m åßíáé áñéèìüò Goedel ìåôáâëçôþò, ï n åßíáé áñéèìüò Goedel ôýðïõ, ï k åßíáé áñéèìüò Goedel üñïõ êáé ç ìåôáâëçôþ m åßíáé áíôéêáôáóôüóéìç áðü ôïí üñï k óôïí ôýðï n }. Äåßîôå üôé ó Ýóç S åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. Ëýóç. Éó ýåé üôé S(m; n; k) V B(m) T E(k) F M(n) ANT (m; k; n). 10
11 Ïé ó Ýóåéò V B(m); T E(k); F M(n) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò. Ç ó Ýóç ÁÍ Ô(m; k; n) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ANT (m; k; n) ÁF (n) u < n v < n [ n = 2 13 _ u _ 2 7 _ v _ 2 15 F M(u) F M(v) ANT (m; k; u) ANT (m; k; v) ] u < n [ F M(u) n = 2 5 _ u ANT (m; k; u) ] [ u < n v < n V B(u) F M(v) n = 2 11 _ u _ v [ ( )] ] F REE(n; m) NOC(u; k) ANT (m; k; v), üðïõ ç ó Ýóç F REE(x; y) :"ç ìåôáâëçôþ ìå áñéèìü Goedel y, åìöáíßæåôáé åëåýèåñç óôïí ôýðï ìå áñéèìü Goedel x", åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß F REE(x; y) F M(x) V B(y) { [AF (x) u < x v < x ( EX(u) EX(v) x = u _ y _ v ) ] [ u < qx(f M(u) ( x = 2 5 _ u F REE(u; y))] [ u < x v < x F M(u) F M(v) x = u _ 2 7 _ v ( F REE(u; y) F REE(v; y) )) ] [ u < x z < x ( F M(u) V B(z) y z x = 2 11 _ z _ u F REE(u; z) ) ] êáé ç ó Ýóç NOC(x; y):"ç ìåôáâëçôþ ìå áñéèìü Goedel x äåí åìöáíßæåôáé óôïí üñï ìå áñéèìü Goedel y", åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß NOC(x; y) V B(x) T E(y) z lh(y)[(y) z (x) 0 ]. ôóé ç ó Ýóç S åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ïñßæåôáé áðü ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò ó Ýóåéò ìýóù ôïõ óõíäýóìïõ. }, óêçóç 8. óôù üôé ôï P åßíáé óõíåðýò êáé Ýóôù ô GR ç áíáðïêñßóéìç ðñüôáóç ôïõ èåùñþìáôïò Goedel - Rosser. Äåßîôå üôé õðüñ åé ðñüôáóç ó ôçò Ã1 èá ôýôïéá ðïõ P + ô GR ó êáé P + ô GR ó. Ëýóç. Áðü ôï èåþñçìá (Rosser), Ýðåôáé üôé ôï P + ô GR åßíáé óõíåðýò. ÐñÜãìáôé, áöïý õðïèýóáìå üôé ôï Ñ åßíáé óõíåðýò, áí ôï P + ô GR Þôáí áíôéöáôéêü, ôüôå áðü ôï èåþñçìá åéò Üôïðï áðáãùãþò èá Ýðñåðå P ô GR, ôï ïðïßï üìùò åßíáé Üôïðï áöïý áðü ôï èåþñçìá Rosser éó ýåé P ô GR. óôù T = P + ô GR. Åöüóïí Ñ T, Ýðåôáé üôé áí êüôé áðïäåéêíýåôáé áðü 11
12 ôï Ñ, áðïäåéêíýåôáé êáé áðü ôï Ô. Åðßóçò ðáñáôçñïýìå üôé ôï óýíïëï ðñïôüóåùí Ô éêáíïðïéåß ôéò ðñïõðïèýóåéò ôïõ èåùñþìáôïò 4.5.4: 1. ôï óýíïëï R T = {n N n T } åßíáé áíáäñïìéêü áöïý åßíáé ðåðåñáóìýíï (Þ áëëéþò áöïý ôï R Ñ = {n N n Ñ} åßíáé áíáäñïìéêü êáé ç ó Ýóç T GR = {n N n = ô GR } åßíáé áíáäñïìéêþ êáé R T = R Ñ T GR ). 2. Ô 0 1, ãéáôß áðü ôï Ñ1 ðñïêýðôåé üôé 0 0 êáé áöïý 0 = 1, Ý ïõìå ôï æçôïýìåíï. 3. êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Ô áöïý åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Ñ. 4. ãéá êüèå öõóéêü áñéèìü k: T x(x k x 0 : : : x k), áöïý ëüãù ôçò ðñüôáóçò êáé ôï èåþñçìá ãåíßêåõóçò, ç ðáñáðüíù ðñüôáóç áðïäåéêíýåôáé áðü ôï Ñ. 5. ãéá êüèå öõóéêü áñéèìü k: T x(x k k x), áöïý ç ðáñáðüíù ðñüôáóç áðïäåéêíýåôáé áðü ôï Ñ üðùò öáßíåôáé óôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç: 1. x y(x < y x y y < x) ðñüôáóç 4.2.3(6) 2. x y(x < y x y y < x) (x < k x k k < x) AÓ2 3. x < k x k k < x 1,2,ÌÑ 4. (x < k x k k < x) (x < k x k k < x) (k x) ôõðéêü èåþñçìá 5. (x < k x k k < x) (k x) 3,4,MP ÅðïìÝíùò õðüñ åé ðñüôáóç ó ôçò à èá 1 ôýôïéá ðïõ Ô ó êáé Ô ó. 12
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότερα10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική. Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò íá ãñüöçìá ùñßò êýêëïõò
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò êáé
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ
ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ëãåâñá (M 0 Åáñéíü ÅîÜìçíï 2009, ÅîÝôáóç Éïõíßïõ ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ ï Èåùñïýìå ôï óýíïëï ÈÝôïíôáò S := ( np λ j j λ,...,λ
Διαβάστε περισσότερα245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Διαβάστε περισσότεραÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò
ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Διαβάστε περισσότεραÁíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ
ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅà ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 1 ÅËÅÃ ÏÓ ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÙÍ ÕÐÏÈÅÓÅÙÍ 1.1 ÓÔÁÔÉÓÔÉÊÁ ÔÅÓÔ - ÐÑÙÔÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ Óêïðüò ôïõ ðáñüíôïò êåöáëáßïõ åßíáé íá ðáñïõóéüóåé ãåíéêýò éäýåò ãéá ôïí Ýëåã ï õðïèýóåùí. ôóé ð.. èá ìéëþóïõìå ãéá ôï ðùò
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότερα