ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης"

Ξένων Φλέσσας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α.

επίμονων πειραματικών παρατηρήσεων και μετρήσεων που του αποκάλυψαν την αδρανειακή συμπεριφορά της φύσης και τον οδήγησαν σε ρήξη με την επικρατούσα έως τότε αντίληψη.

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης Θέμα Μελέτης 6:η γαλιλαϊκή αναζήτηση των νόμων της κίνησης Σχόλια & Απαντήσεις & Προβληματισμοί Ο Γαλιλαίος θέλοντας να αντιληφθεί τους νόμους της κίνησης *, πραγματοποίησε ένα πλήθος επίμονων πειραματικών παρατηρήσεων και μετρήσεων που του αποκάλυψαν την αδρανειακή συμπεριφορά της φύσης και τον οδήγησαν σε ρήξη με την επικρατούσα έως τότε αντίληψη. Στην πειραματική του διάταξη, που εικονίζεται στο σχήμα, παρατηρεί ότι, όταν το σφαιρίδιο ξεκινά με μηδενική ταχύτητα από κάποιο σημείο της καμπυλόγραμμης διαδρομής, διανύει ένα τμήμα της και φτάνοντας κάπως χαμηλότερα από το απέναντι ισοϋψές σημείο επανακάμπτει εκτελώντας μια παλινδρομική κίνηση. Μετά από αλλεπάλληλες βελτιώσεις της λειότητας του σφαιριδίου και της επιφάνειας κύλισης, συμπεραίνει ότι, αν η επιφάνεια ήταν απόλυτα λεία το σφαιρίδιο θα ανέκαμπτε ακριβώς στην απέναντι ισοϋψή θέση ως προς τη θέση εκκίνησής του. Σταδιακά αποκαμπυλώνει τη μια πλευρά της τοξοειδούς διαδρομής και καταλήγει στο ίδιο συμπέρασμα. Έτσι, εικάζει ότι αν η πλευρά αυτή ευθειοποιηθεί, υπό την προϋπόθεση απόλυτης λειότητας του σφαιριδίου και της επιφάνειας κύλισης, το σφαιρίδιο θα διατηρήσει στο διηνεκές την ευθύγραμμη ομαλή κίνησή του χωρίς να ασκείται επάνω του δύναμη. Πείθεται από τα πειράματά του και διατυπώνει την εικασία του που σήμερα αποκαλούμε Αρχή της αδράνειας ή πρώτο νόμο του Νεύτωνα. * Οι πρώτες σαφείς περιγραφές των κινήσεων δόθηκαν, τον 14 ο αιώνα, στο Meron College της Οξφόρδης, από τον Thomas Bradwardine ( ) που όρισε την ταχύτητα ως λόγο των διανυόμενων χωρικών διαστημάτων προς τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα και από τον William Heyesbury ( ) που όρισε την επιτάχυνση ως ταχύτητα της ταχύτητας. Ο κανόνας του Meron, που απέδειξε ο Nicolas Oresme ( ) στο σύγγραμμά του Περί των διαμορφώσεων των ιδιοτήτων, δίνει τη δυνατότητα θεωρητικής αναγωγής κάθε ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης σε μια αντίστοιχη ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, αναδεικνύοντας έτσι την έννοια της μέσης ταχύτητας.

Θέλουμε το σώμα αυτό να διανύσει την ίδια διαδρομή στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα.

2 Η πειραματική διάταξη του Γαλιλαίου που του αποκάλυψε την αδρανειακή συμπεριφορά της φύσης. Το πρόβλημα του Meron: Ένα σώμα ξεκινά με μηδενική ταχύτητα από ένα σημείο Α προκειμένου να διανύσει με σταθερή επιτάχυνση μια ευθύγραμμη διαδρομή έως ένα σημείο Β. Θέλουμε το σώμα αυτό να διανύσει την ίδια διαδρομή στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα. Ποια πρέπει να είναι αυτή η ταχύτητα; Το ερώτημα αυτό, που σήμερα αποτελεί γυμνασιακή άσκηση, ήταν γνωστό πριν πεντακόσια χρόνια ως πρόβλημα του Meron και από τότε, με ένα απλό γεωμετρικό σκεπτικό, είχε δοθεί η απάντηση: Όταν ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και σε ένα χρονικό διάστημα το μέτρο της ταχύτητάς του μεταβληθεί από 0 σε v, η έως τότε διανυθείσα απόσταση είναι ίδια με εκείνη που θα διένυε στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα μέτρου v/. Η γεωμετρική συλλογιστική στο πρόβλημα του Meron. Ο Γαλιλαίος, που ίσως γνώριζε το πρόβλημα του Meron, προκειμένου να ερμηνεύσει το τι ακριβώς συμβαίνει σε κάθε χρονική στιγμή της κίνησης, χρειαζόταν να αναπτύξει μια συλλογιστική απεριόριστων διαδοχικών διαμερίσεων της χρονικής μονάδας αγγίζοντας έτσι διαισθητικά την έννοια του απειροστού και της στιγμιαίας ταχύτητας. Άλλωστε, εκείνη την εποχή, τα μόνα μαθηματικά εργαλεία που διέθετε ήταν η ευκλείδεια γεωμετρία και οι αρχιμήδειοι υπολογισμοί, πέρα από τις επικρατούσες λανθασμένες αντιλήψεις για τους νόμους της φύσης.

Η γεωμετρική συλλογιστική των απεριόριστων διαμερίσεων της χρονικής μονάδας. Εστίασε τα πειράματά του στην κίνηση των σωμάτων, υπό την επίδραση του βάρους τους, σε ευθύγραμμες κεκλιμένες διαδρομές.

μ., 4 η χ.μ. 7 μ.μ., 5 η χ.μ. 9 μ.μ., κ.ο.κ. Συνολικά το σωματίδιο έχει λοιπόν διανύσει στο τέλος της: 1 ης χ.μ. 1 μ.μ., ης χ.μ. 4 μ.μ., 3 ης χ.μ. 9 μ.μ., 4 ης χ.μ. 16 μ.μ.,, άρα πρόκειται για τετραγωνική αναλογική σχέση της διανυόμενης διαδρομής ως προς το χρόνο: x() = k.

3 Η γεωμετρική συλλογιστική των απεριόριστων διαμερίσεων της χρονικής μονάδας. Εστίασε τα πειράματά του στην κίνηση των σωμάτων, υπό την επίδραση του βάρους τους, σε ευθύγραμμες κεκλιμένες διαδρομές. Επιλέγοντας ως μονάδα μήκους την απόσταση που διανύει το σφαιρίδιο κατά την 1 η χρονική μονάδα *, μετρά τη διανυόμενη απόσταση για κάθε μια από τις επόμενες χρονικές μονάδες: η χ.μ. 3 μ.μ., 3 η χ.μ. 5 μ.μ., 4 η χ.μ. 7 μ.μ., 5 η χ.μ. 9 μ.μ., κ.ο.κ. Συνολικά το σωματίδιο έχει λοιπόν διανύσει στο τέλος της: 1 ης χ.μ. 1 μ.μ., ης χ.μ. 4 μ.μ., 3 ης χ.μ. 9 μ.μ., 4 ης χ.μ. 16 μ.μ.,, άρα πρόκειται για τετραγωνική αναλογική σχέση της διανυόμενης διαδρομής ως προς το χρόνο: x() = k. Επαναλαμβάνοντας τα πείραμά του με άλλα σφαιρίδια, διαπιστώνει την ανεξαρτησία των αριθμητικών αποτελεσμάτων από τη μάζα του σφαιριδίου και τη σταθερότητα της επιτάχυνσης του στη συγκεκριμένη κλίση, για την οποία σήμερα θα γράφαμε: x() = k x() = k x () = k. Επίσης, διαπιστώνει ότι αν αυξηθεί η κλίση της διαδρομής τότε αυξάνει αντίστοιχα το μέτρο της σταθερής επιτάχυνσης, έως ότου λάβει τη μέγιστη τιμή στην κατακόρυφη κλίση, δηλαδή στην ελεύθερη πτώση, για την οποία σήμερα θα γράφαμε: x() 1 = g x() = g x () = g. Η πειραματική διάταξη του Γαλιλαίου που του αποκάλυψε το νόμο της ελεύθερης πτώσης. * Ο Γαλιλαίος δεν είχε στη διάθεσή του όργανα που μετρούσαν με ικανοποιητική ακρίβεια τον παρερχόμενο χρόνο και, όπως σημειώνει, χρησιμοποιούσε ως μονάδα χρόνου το ενδιάμεσο των χτύπων της καρδιάς του.

Δηλώνει λοιπόν ότι: Κάθε σώμα που αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του αποκτά την ίδια σταθερή επιτάχυνση, ανεξάρτητα της μάζας του, και σε κάθε χρονική στιγμή η διανυθείσα απόσταση

Στο βιβλίο του De mou (Περί κινήσεως) εκθέτει τις απόψεις του προκαλώντας σφοδρές αντιδράσεις από το κατεστημένο και εξαναγκάζεται να εγκαταλείψει το Πανεπιστήμιο της Πίζας.

ταχύτητα της πτώσης των σωμάτων δεν εξαρτάται από το βάρος τους.

4 Δηλώνει λοιπόν ότι: Κάθε σώμα που αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του αποκτά την ίδια σταθερή επιτάχυνση, ανεξάρτητα της μάζας του, και σε κάθε χρονική στιγμή η διανυθείσα απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του παρελθόντος χρόνου. Στο βιβλίο του De mou (Περί κινήσεως) εκθέτει τις απόψεις του προκαλώντας σφοδρές αντιδράσεις από το κατεστημένο και εξαναγκάζεται να εγκαταλείψει το Πανεπιστήμιο της Πίζας. Όταν, όπως λένε, πήγε στον πύργο της Πίζας και άφησε δυο σώματα διαφορετικού βάρους να πέσουν από το ίδιο ύψος ήξερε αν κάποιο από τα δυο θα έφτανε πρώτο στο έδαφος, γιατί είχε αντιληφθεί ότι η ταχύτητα της πτώσης των σωμάτων δεν εξαρτάται από το βάρος τους. * Ο Νεύτωνας, λίγα χρόνια αργότερα, βασισμένος στη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης και στη γνώση του για την επιτάχυνση της βαρύτητας, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα. Σήμερα, ένας μαθητής λυκειακού επιπέδου δίνει απευθείας το συμπέρασμά του: mx = B mx = mg x = g x = g+ vo 1 x = g + v + x. () o o Ο πύργος της Πίζας και η ελεύθερη πτώση των σωμάτων. Ο Γαλιλαίος, προχωρώντας στις αναζητήσεις του, προσπαθεί να αντιληφθεί τους νόμους που διέπουν τις βαλλιστικές κινήσεις. Προεκτείνει την κεκλιμένη ευθύγραμμη διαδρομή της πειραματικής του διάταξης έτσι ώστε από κάποιο σημείο και πέρα να οριζοντιώνεται, οπότε το σφαιρίδιο, συνεχίζοντας την επιβαλλόμενη από το βάρος του κίνηση, διανύει ευθύγραμμα την οριζόντια διαδρομή και εκβάλεται προς το έδαφος διαγράφοντας μια καμπυλόγραμμη τροχιά. Η πειραματική διάταξη του Γαλιλαίου που του αποκάλυψε τους νόμους των βαλλιστικών κινήσεων. * Ο Γαλιλαίος σημειώνει ότι τα συμπεράσματά του που αφορούν στην ελεύθερη πτώση των σωμάτων, δηλαδή η σταθερότητα της επιτάχυνσής τους και το ότι η διανυόμενη απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του αντίστοιχου χρόνου, θα ίσχυαν με απόλυτη ακρίβεια αν ανάμεσα στο αρχικό και στο τελικό σημείο της πτώσης υπήρχε κενό. Στο συμπέρασμα αυτό κατέληξε το 1604, αλλά παρουσίασε την πλήρη ανάλυσή του στο τελευταίο του βιβλίο το 1638.

Έως την εποχή εκείνη επικρατούσε η αριστοτελική αντίληψη και όλοι πίστευαν ότι κατά την έναρξή της βαλλιστικής κίνησης προσδίδονταν στο σώμα μια ώθηση που μετά την εξάντλησή της, το σώμα,

Μια κάπως διαφορετική άποψη υποστήριζε ο Nicolo Taraglia (1499-1557) ισχυριζόμενος ότι η φυσική πτωτική κίνηση άρχιζε λίγο πριν εξαντληθεί εξολοκλήρου η ώθηση.

5 Έως την εποχή εκείνη επικρατούσε η αριστοτελική αντίληψη και όλοι πίστευαν ότι κατά την έναρξή της βαλλιστικής κίνησης προσδίδονταν στο σώμα μια ώθηση που μετά την εξάντλησή της, το σώμα, ακολουθώντας τη φυσική πτωτική του κίνηση, έπεφτε κατακόρυφα στο έδαφος. Μια κάπως διαφορετική άποψη υποστήριζε ο Nicolo Taraglia ( ) ισχυριζόμενος ότι η φυσική πτωτική κίνηση άρχιζε λίγο πριν εξαντληθεί εξολοκλήρου η ώθηση. Ποιος θα μπορούσε να φανταστεί εκείνη την εποχή ότι η βαλλιστική κίνηση προκύπτει από τη σύνθεση δυο απλών κινήσεων, μιας οριζόντιας προερχόμενης από την αρχική ταχύτητα και μιας κατακόρυφης προερχόμενης από τη βαρύτητα; Ο Γαλιλαίος θέλει να μάθει αν οι νόμοι που διέπουν την κατακόρυφη κίνηση επηρεάζουν τους νόμους της οριζόντιας κίνησης. Αν όχι, τότε κάθε σώμα, είτε εκτοξευτεί από κάποια θέση οριζόντια με οποιαδήποτε ταχύτητα, είτε αφεθεί να πέσει ελεύθερα από την ίδια θέση, θα χρειαστεί ίδιο χρόνο έως ότου φτάσει στο έδαφος και οι όποιες διαφορές θα οφείλονται στην αντίσταση του αέρα. Αυτό θα σήμαινε ότι η κίνηση απότελεί σύνθεση δυο ανεξάρτητων κινήσεων, μιας οριζόντιας και μιας κατακόρυφης. Πραγματοποιεί μια σειρά πειραματικών μετρήσεων που τις συγκρίνει με τα θεωρητικά του αποτελέσματα και συμπεραίνει την ορθότητα της σκέψης του, την ανεξαρτησία των νόμων που διέπουν την οριζόντια και την κατακόρυφη κίνηση. Έτσι, καταρρίπτεται η λανθασμένη αντίληψη και αποκαλύπτεται η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων. Η αντίληψη της βαλλιστικής κίνησης πριν και μετά τον Γαλιλαίο. Ο Νεύτωνας, λίγα χρόνια αργότερα, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα κάνοντας χρήση της θεμελιώδους εξίσωσής του για την κίνηση και της γνώσης του για τη βαρυτική επιτάχυνση. Σήμερα, ένας μαθητής λυκείου, γνωρίζοντας τη γήϊνη βαρυτική επιτάχυνση g= (0,0, g ), θα έλεγε ότι, αν ένα σώμα μάζας m βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της γης και η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι το βάρος του, τότε η κίνησή του δεν επηρεάζεται από τη μάζα: mx ()= mg x () = g.

6 Χειρόγραφο του Γαλιλαίου με τις παρατηρήσεις του για τη βαλλιστική κίνηση. Πίνακας της εποχής που αναπαριστά την αντίληψη της βαλλιστικής κί

Σχετικά έγγραφα

Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Simplicio: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω. Salviati: Αυτή είναι μια από τις δυσκολίες που και εγώ αρχικά αντιμετώπισα, αλλά την ξεπέρασα και