ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ Μ.Π.Σ. ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ Μ.Π.Σ. ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ Causaliy: Definiions, Tess and Emirical Evidence ΚΟΥΚΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΜΧΑΝ/092 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ: ΕΠΙΚΟΥΡΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ Χ. ΧΡΙΣΤΟΥ ΜΕΛΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ: ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ν. ΚΟΥΡΟΓΕΝΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Π. ΣΤΑΪΚΟΥΡΑΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 20

2 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 2 Summary This rojec involves he resenaion of various definiions ha have been roosed for he conce of causaliy, wih an emhasis in he field of Finance and Economerics, and various saisical ess which have been used or used in recen years checking he exisence of causal relaionshis. The las iece of work is devoed o an emirical sudy beween indusrial roducion of Germany and USA and sock indices DAX30 and S&P500 resecively, in order o check wheher here is any causal relaionshi. Secifically, he firs chaer begins wih a hisorical overview showing he main "insigaors" of he conce of causaliy and coninues giving he recise definiions ha have been given. The second secion deals wih he various saisical ess have been used or used in recen years, while in he hird secion we resen he emirical sudy, which based on he conce of causaliy develoed by Granger. Keywords: Causaliy, causaliy, Granger Causaliy, Long-Shor run Causaliy, VAR model, coinegraion

3 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 3 Περίληψη Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείµενο την παρουσίαση διαφόρων ορισµών που έχουν κατά καιρούς προταθεί για την έννοια της αιτιότητας (Causaliy), µε έµφαση στον κλάδο των Χρηµατοοικονοµικών και την Οικονοµετρία, καθώς και των διαφόρων στατιστικών τεστ τα οποία έχουν χρησιµοποιηθεί ή χρησιµοποιούνται τα τελευταία χρόνια για τον έλεγχο ύπαρξης της. Το τελευταίο κοµµάτι της εργασίας, είναι αφιερωµένο σε µια εµπειρική µελέτη ανάµεσα στη βιοµηχανική παραγωγή της Γερµανίας και των ΗΠΑ και τις αποδόσεις των δεικτών DAX30 και S&P500 αντίστοιχα, προκειµένου να ελέγξουµε αν υφίσταται κάποια αιτιώδης σχέση. Συγκεκριµένα, το πρώτο κεφάλαιο ξεκινάει µε µια ιστορική αναδροµή παρουσιάζοντας τους κυριότερους εµπνευστές της έννοιας της αιτιότητας και συνεχίζει παραθέτοντας τους ακριβείς ορισµούς που έχουν δοθεί. Στο δεύτερο κεφάλαιο πραγµατεύονται οι διάφοροι στατιστικοί έλεγχοι που έχουν χρησιµοποιηθεί ή χρησιµοποιούνται τα τελευταία χρόνια, ενώ στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση της εµπειρικής µελέτης, η οποία βασίζεται στην έννοια της αιτιότητας που ανέπτυξε ο Granger. Λέξεις-Κλειδιά: Causaliy, αιτιότητα, Granger Causaliy, Long-Shor run Causaliy, VAR model, συνολοκλήρωση

4 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Ιστορική Αναδροµή. Εισαγωγή...σελ. 6.2 Μελέτη του Simon.σελ. 8.3 Μελέτη των Basmann-Sroz-Wold σελ. 9.4 Αιτιότητα κατά Wiener-Granger..σελ. 0 Κεφάλαιο 2: Ορισµοί Αιτιότητας 2. Ορισµοί αιτιότητας κατά Granger...σελ Ορισµοί µη-αιτιότητας κατά Hsiao..σελ Ορισµοί µη-αιτιότητας κατά Dufour-Renaul.....σελ Υπόδειγµα Αυτοπαλίνδροµου ιανύσµατος (Vecor AuoRegressive (VAR) Model)...σελ Η έννοια της συνολοκλήρωσης (coinegraion).σελ Υπόδειγµα ιόρθωσης Λαθών (Vecor Error Correcion Model [VEC])..σελ. 24 Κεφάλαιο 3: Τεστ Αιτιότητας 3. Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Granger...σελ Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Sims.σελ Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Feige and Pearce...σελ Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Pierce and Haugh...σελ Εναλλακτικά τεστ για την ύπαρξη αιτιότητας...σελ Έλεγχοι µη αιτιότητας κατά Dufour-Pelleier-Renaul.σελ Εκτίµηση ενός (,h)-αυτοπαλίνδροµου µοντέλου σελ Τεστ αιτιότητας βασιζόµενοι σε στάσιµη (,h)- αυτοπαλινδρόµιση σελ. 38

5 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence Τεστ Αιτιότητας βασιζόµενοι σε µη-στάσιµη (,h)- αυτοπαλινδρόµιση σελ Μέτρα αιτιότητας κατά Dufour-Taamoui..σελ. 46 Κεφάλαιο 4: Εµπειρική Μελέτη 4. Έλεγχος µοναδιαίας ρίζας σελ Επιλογή κατάλληλου VAR µοντέλου..σελ Έλεγχος για συνολοκλήρωση..σελ. 62 Βιβλιογραφία..σελ. 6

6 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ιστορική Αναδροµή. Εισαγωγή Η έννοια της αιτιότητας (Causaliy) δεν είναι καινούρια. Ήδη από την αρχαιότητα είχε κυρίαρχο ρόλο στην επιστηµονική σκέψη, αφού ο άνθρωπος πάντα προσπαθούσε να βρει την αιτία πίσω από τα γεγονότα. Άλλωστε, το πρώτο βήµα για την εξήγηση ενός γεγονότος είναι ο εντοπισµός των αιτίων που το προκαλούν. Ο µεγάλος Έλληνας φιλόσοφος Αριστοτέλης µε την θεωρία των τεσσάρων αιτίων (ύλη, µορφή, ενέργεια, σκοπός) που ανέπτυξε, αναλύει την άποψή του ότι η αιτιότητα αποτελεί τη βάση για την επιστηµονική εξήγηση. Σε µία απ τις πρώτες σελίδες του εγχειριδίου του Sigler περί θεωρίας τιµών (Price Theory) το 949 αναφέρει ότι «Ο σηµαντικός σκοπός ενός επιστηµονικού νόµου είναι το να επιτρέψει να γίνει πρόβλεψη, και η πρόβλεψη είναι σηµαντική µε τη σειρά της γιατί µας επιτρέπει να ελέγξουµε τα φαινόµενα. Το γιατί ένας τέτοιος έλεγχος χρειάζεται την πρόβλεψη, είναι αυταπόδεικτο. Αν κάποιος δεν γνωρίζει τι προκαλεί ένα συγκεκριµένο φαινόµενο, δεν µπορεί και να επηρεάσει ή να εµποδίσει την εµφάνισή του.». Στη µελέτη των Koomans και Hood [Sudies in Economeric Mehod, 953] υπάρχει ένα άρθρο του Simon για τη φύση των αιτιωδών ταξινοµήσεων. Ο Feigl (953) σ ένα άρθρο του ορίζει την αιτιότητα σε όρους πρόβλεψης µε βάσει κάποιον νόµο. Το σηµαντικό σ αυτόν τον ορισµό είναι το γεγονός ότι συνδέει την αιτιότητα µε την δυνατότητα πρόβλεψης στηριζόµενοι όµως σε κάποιο νόµο ή σύνολο νόµων. Σε αυτό ακριβώς στηρίζονται πολλά τεστ για τον έλεγχο της ύπαρξης αιτιώδους σχέσεως. Ο Wiener o 956 [The heory of redicion, In: E.F. Beckenback, ed., McGraw-Hill, New York (Chaer 8)] αναφέρθηκε στην αιτιότητα, αλλά ο Granger το 969 ήταν αυτός που συνέδεσε το νόηµα της αιτιότητας µε την δυνατότητα υπολογισµών.η αιτιότητα (Causaliy) σύµφωνα µε τον Granger, που στη συνέχεια θα τη χρησιµοποιούµε ως «Αιτιότητα κατά Granger», αναφέρεται στην ικανότητα πρόβλεψης µια µεταβλητής Χ(), όπου ένας ακέραιος, χρησιµοποιώντας το «παρελθόν» της ίδιας µεταβλητής Χ(), µία άλλη

7 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 7 µεταβλητή Υ() και πιθανόν ένα διάνυσµα βοηθητικών µεταβλητών Ζ() µία περίοδο µπροστά. Με άλλα λόγια, λέµε ότι η Υ προκαλεί την Χ κατά Granger αν η παρατήρηση της Υ µέχρι τον χρόνο (Y(τ) : τ ) µπορεί να µας βοηθήσει στο να προβλέψουµε την τιµή της Χ µια περίοδο µετά (Χ(+)) µε δεδοµένο ότι είναι διαθέσιµες οι παρατηρήσεις των µεταβλητών Χ, Ζ (Χ(τ), Ζ(τ) : τ ). Πιο επίσηµα, λέµε ότι η Υ αιτιάται (causes) την Χ αν η διακύµανση του σφάλµατος πρόβλεψης της Χ χρησιµοποιώντας παρελθούσες παρατηρήσεις της Υ είναι µικρότερη από το σφάλµα πρόβλεψης της Χ χωρίς να χρησιµοποιήσουµε την Υ. Ωστόσο, µε το πέρασµα των χρόνων, άρχισε να δηµιουργείται µία ευρύτερη έννοια για τον όρο «Causaliy». Ενώ δηλαδή ο Granger αναφερόταν σε µια επίδραση η οποία θα εµφανιζόταν την αµέσως επόµενη χρονική περίοδο στην µεταβλητή ενδιαφέροντος, µε αποτέλεσµα να µπορούµε σε µεγάλο βαθµό να προβλέψουµε την τιµή της, κάποιοι επιστήµονες (Sims 980, Hsiao 982, Lukeohl 993, Dufour and Renaul 998) σκέφτηκαν ότι αυτή η επίδραση µπορεί να µην είναι εµφανής την αµέσως επόµενη χρονική περίοδο, αλλά κάποιες περιόδους αργότερα σε έναν ορίζοντα χρόνου h, όπου h είναι ακέραιος και µπορεί να είναι άπειρος ( h ). Για παράδειγµα, οι παρατηρήσεις της µεταβλητής Υ(τ) µέχρι τον χρόνο µπορεί να µη µας βοηθούν καθόλου στο να προβλέψουµε την τιµή της µεταβλητής Χ(τ) την χρονική στιγµή + (Χ + ) αλλά να µας βοηθούν στην πρόβλεψη µια άλλης µεταβλητής Ζ(τ) στο + η οποία µε τη σειρά της να επιδρά µε κάποιο τρόπο στην Χ(τ) σε κάποια επόµενη περίοδο και έτσι έµµεσα να µπορούµε να προβλέψουµε την τιµή της.

8 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 8.2 Μελέτη του Simon Αιτιώδεις Ταξινοµήσεις και Αναγνωρισιµότητα O Simon στο άρθρο του Causal Ordering and Idenifiabiliy (953) χρησιµοποιεί µια πιο στενή έννοια για την αιτιότητα λέγοντας ότι «οι αιτιώδεις ταξινοµήσεις είναι απλά χαρακτηριστικά που δίνει ο κάθε επιστήµονας στο µοντέλο που κατασκευάζει και µπορεί να µεταβάλλονται προκειµένου να ταιριάζει καλύτερα το µοντέλο στα νέα δεδοµένα.». Η έννοια αυτή της αιτιότητας ταιριάζει και σε πιθανοθεωρητικά αλλά και σε ντετερµινιστικά µοντέλα. Ο Simon προσπαθεί να εντοπίσει αν υπάρχουν αιτιώδεις σχέσεις µεταξύ δύο µεταβλητών ή µιας οµάδας µεταβλητών σε ένα µοντέλο και όχι στον πραγµατικό κόσµο. Έτσι η στενότερη αυτή έννοια διαφέρει από αυτήν του Feigl που αναφέρεται σε δυνατότητα πρόβλεψης αποτελεσµάτων που παρατηρούνται στον πραγµατικό κόσµο. Παρόλο που η έννοια της αιτιότητας του Simon µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να περιγράψει λογικά τους νόµους που αναφέρει ο Feigl δεν προϋποθέτει κάποια σχέση µε τις συνέπειες που εµφανίζονται στον πραγµατικό κόσµο. Επίσης, τονίζεται στην ανάλυσή του ότι δεν είναι απαραίτητη η χρονική υστέρηση µεταξύ της µεταβλητής που αιτιάται και αυτής που δέχεται την επίδραση. Προκειµένου να καταλάβουµε λίγο καλύτερα την ανάλυση του Simon, παρουσιάζουµε ένα απλό παράδειγµα που χρησιµοποίησε. Θεωρεί το παρακάτω σύστηµα γραµµικών ντετερµινιστικών εξισώσεων ax= a0 () a 2x+ a 22x = 2 a 20 (2) a32x+ 2 a33x = 3 a30 (3) όπου x είναι ένας δείκτης που µετρά κατά πόσο ο καιρός ευνοεί την ανάπτυξη του σιταριού, x είναι το µέγεθος της σοδειάς του σιταριού, 2 x 3 είναι η τιµή του και τα a, i=,2,3 είναι παράµετροι. Στη συνέχεια, γράφει ο Simon, i0 Υποθέτουµε ότι ο καιρός εξαρτάται µόνο από µία παράµετρο. Τότε το µέγεθος

9 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 9 της σοδειάς ως προς τον καιρό (αγνοώντας τυχόν εξάρτηση απ την τιµή) (σελ.58) Αφού η τιµή της x µπορεί να προσδιοριστεί απ την () µόνο, αντικαθιστούµε αυτήν την τιµή στις (2) και (3) και παίρνουµε ένα µειωµένο σύστηµα που περιλαµβάνει τις x, 2 x. Η αντικατάσταση της () στη (2) µια 3 δίνει µια σχέση µε την οποία προσδιορίζουµε την x 2 και στη συνέχεια αντικαθιστούµε αυτή µε τη σειρά της στην (3) και προκύπτει η τιµή της x. Ο 3 Simon ερµηνεύει την παραπάνω διαδικασία ως πρωτοπορία της () ως προς την (2) και η (2) έναντι της (3) και πιο συγκεκριµένα η () έχει ευθεία επίδραση στην (2) και αντίστοιχα η (2) στην (3)..3 Η µελέτη των Basmann-Sroz-Wold για την αιτιότητα Σύµφωνα µε την άποψη των Sroz-Wold που εξέδωσαν τρία άρθρα το 960 µε τίτλο A riych on causal chain sysems, «η z είναι µία αιτία της y, βάσει υπόθεσης, αν είναι ή θα µπορούσε να είναι δυνατόν, ελέγχοντας την z έµµεσα να µπορούµε να ελέγξουµε και την y έστω στοχαστικά. Αλλά, µπορεί να µην είναι δυνατόν ελέγχοντας µε κάποιον τρόπο την y να ελέγξουµε έµµεσα την z. Τότε, η αιτιώδης σχέση είναι ασύµµετρη και συνεπώς σε κάθε πραγµατοποίηση θα υπάρχει ασυµµετρία. Μόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις µπορεί να είναι αναστρέψιµη και συµµετρική η παραπάνω αιτιώδης σχέση. Αυτές είναι οι περιπτώσεις που µια ελεγχόµενη µεταβολή στη z µπορεί να προκαλέσει µια αλλαγή στην y και µια άλλη χρονική στιγµή µια ελεγχόµενη µεταβολή στη y µπορεί να προκαλέσει µια µεταβολή στη z, αλλά οι y και z δεν µπορούν να υποστούν ταυτόχρονα µια ελεγχόµενη µεταβολή ανεξάρτητη η µία απ την άλλη χωρίς να παραβιαστεί η µεταξύ τους αιτιώδης σχέση.. Όπως παρατηρούµε στον παραπάνω ορισµό, αυτός διαφέρει απ τον ορισµό του Feigl καθώς προστίθεται η ιδέα των ελεγχόµενων αλλαγών στις µεταβλητές. Έτσι, η αιτιότητα του Feigl µπορεί να εφαρµοστεί σε τοµείς της επιστήµης στους οποίους δεν υπάρχουν ελεγχόµενες µεταβλητές, αλλά και σε περιπτώσεις όπου

10 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 0 κάποιοι νόµοι ή µοντέλα περιέχουν µεταβλητές οι οποίες είναι δυνατόν να ελεγχθούν µε κάποιον τρόπο. Στο σχόλιό του ο Basmann (963) στο πιο πάνω άρθρο δίνει έναν δικό του ορισµό για την αιτιότητα. Υποθέτουµε ότι ο µηχανισµός τον οποίο προσπαθούµε να ερευνήσουµε µπορεί να αποµονωθεί από όλες τις συστηµατικές, µη-τυχαίες εξωτερικές επιδράσεις. Υποθέτουµε ότι ο µηχανισµός µπορεί να ξεκινήσει επανειληµµένα υπό οποιαδήποτε αρχική συνθήκη. Αν κάθε φορά ο µηχανισµός ξεκινά από κατά προσέγγιση την ίδια αρχική συνθήκη και αυτό οδηγεί στο να παρατηρείται κατά προσέγγιση η ίδια ακολουθία γεγονότων, τότε ο µηχανισµός λέγεται ότι διακατέχεται από αιτιώδεις σχέσεις. Τον ορισµό αυτό ακολουθεί η παρακάτω άποψη : Κάθε µοντέλο που α) απεικονίζει έναν αποµονωµένο µηχανισµό από µη-τυχαίες εξωτερικές επιδράσεις και 2) επιβεβαιώνει ότι όταν ξεκινάµε από κατά προσέγγιση τις ίδιες αρχικές συνθήκες ο µηχανισµός πάντα τείνει να δίνει κατά προσέγγιση την ίδια ακολουθία γεγονότων, είναι ένα µοντέλο αιτιότητας το οποίο εκφράζει µια υπόθεση αιτιότητας σχετικά µε τον µηχανισµό που θέλουµε να ερευνήσουµε. (σελ.442). Αν συγκρίνουµε την ιδέα του Feigl περί νόµου ή σύνολο νόµων βάσει των οποίων µπορούµε να προχωρήσουµε σε προβλέψεις, µε αυτήν του Basmann που αναφέρεται σε κάποιο µοντέλο το οποίο αναπαριστά έναν µηχανισµό καθώς και στην έννοια της προβλεψιµότητας του Feigl µε την ίδια ακολουθία γεγονότων που επικαλείται ο Basmann, παρατηρούµε ότι δεν απέχουν πολύ..4 Αιτιότητα κατά Wiener-Granger O Granger το 969 εισήγαγε µια έννοια για την αιτιότητα όπου κυρίαρχο ρόλο έπαιζαν, η στοχαστική φύση των µεταβλητών και η κατεύθυνση της κίνησης του χρόνου. Αναφερόταν λοιπόν σε µη-ντετερµινιστικές µεταβλητές µε την βασική υπόθεση ότι το µέλλον δεν µπορεί να επηρεάσει το παρελθόν. Εδώ έγκειται και η πρώτη διαφορά µεταξύ της έννοιας που προσπάθησε να αναπτύξει ο Granger και των θεωριών που ήδη υπήρχαν. Πουθενά στις προηγούµενες αναλύσεις δεν υπήρχε διαχωρισµός µεταξύ στοχαστικών ή µη µεταβλητών, αφήνοντας να εννοηθεί ότι όσα γραφόντουσαν ίσχυαν και για τις δύο κατηγορίες. Επίσης, η έννοια της χρονικής ασυµµετρίας εισήχθη απ τον

11 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence Granger στην θεωρία της αιτιότητας. Πιο συγκεκριµένα, οι Granger και Newbold το 977 γράφουν: a) Το µέλλον δεν µπορεί να αιτιάται το παρελθόν. Κατά την αυστηρή έννοια της αιτιότητας, µόνο το παρελθόν µπορεί να αιτιάται το παρόν ή το µέλλον. b) Είναι λογικό να εξετάζεται η αιτιότητα µόνο σε µια οµάδα στοχαστικών διαδικασιών και όχι µεταξύ δύο ντετερµινιστικών. (σελ ) Ο Granger θεώρησε µια στάσιµη στοχαστική διαδικασία X και συµβολίζει µε ' X της ιστορικές τιµές της και µε '' X το σύνολο των ιστορικών και τρεχουσών τιµών. Επιπλέον, θέτει ' X ( k ) το σύνολο { X j, j k, k,..., } = +. Ακόµα, προσπαθεί να εκτιµήσει τον βέλτιστο αµερόληπτο εκτιµητή ελαχίστων τετραγώνων της X χρησιµοποιώντας τις τιµές της Y µέσω της δεσµευµένης πιθανότητας P ( X / Y ) και το αναµενόµενο σφάλµα ως E ( X Y) = X P( X Y) καθώς και την διακύµανση του ( ) σ 2 ( Χ Υ ). Εποµένως, o Granger γράφει: Συµβολίζουµε µε E X Y µε U όλη την διαθέσιµη πληροφορία µέχρι τη χρονική στιγµή και συµβολίζουµε µε U Z όλη την παραπάνω πληροφορία εκτός απ την σειρά τις ακόλουθους ορισµούς: Z. Έχουµε τότε Ορισµός : Αιτιότητα. Αν σ ( X U) < σ ( X U Z ') (4) 2 2 λέµε ότι η Y αιτιάται την X και συµβολίζουµε Z X. Λέµε ότι η Z αιτιάται την χρησιµοποιώντας όλη την διαθέσιµη πληροφορία X εάν η πρόβλεψη που κάνουµε U είναι καλύτερη από αυτή που θα κάναµε αν χρησιµοποιούσαµε την διαθέσιµη πληροφορία εξαιρώντας την Z.

12 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 2 Ορισµός 2: Ανάδραση (feedback). Εάν ισχύει σ σ ( X U ) < σ ( X U Z ') (5) 2 2 ( Z U ) < σ ( X U X ) (6) 2 2 τότε λέµε ότι έχουµε αµφίδροµη αιτιότητα και συµβολίζεται µε Z X δηλαδή η Z αιτιάται την X, αλλά και η X αιτιάται την Z. Ορισµός 3: Στιγµιαία αιτιότητα (Insananeous Causaliy). Αν σ ( X U, Z) < σ ( X U ) (7) 2 2 λέµε ότι έχουµε στιγµιαία αιτιότητα Z X X. ηλαδή, η τρέχουσα τιµή της µπορεί να προβλεφθεί καλύτερα αν η παρούσα τιµή της συµπεριληφθεί στην πρόβλεψη παρά αν δεν την συµπεριλάβουµε. Z Ορισµός 4: Αιτιότητα µε υστέρηση (Causaliy Lag). Αν Z X, ορίζουµε την αιτιότητα µε υστέρηση m περιόδων, όπου m ακέραιος, να είναι ελάχιστη τιµή του k ώστε να ισχύει σ ( X U Z( k)) < σ ( X U Z( k+ )) (8) 2 2 Έτσι, γνωρίζοντας τις τιµές της Z, j = 0,,..., m δεν θα µας βοηθήσει στο j να κάνουµε καλύτερη πρόβλεψη για το X. Σύµφωνα λοιπόν µε τον πρώτο ορισµό, αν η διακύµανση του σφάλµατος πρόβλεψης, στηριζόµενοι σ έναν αµερόληπτο εκτιµητή ελαχίστων τετραγώνων, µια στάσιµης στοχαστικής διαδικασίας η οποία βασίζεται σε όλες τις διαθέσιµες πληροφορίες µέχρι τη στιγµή είναι µικρότερη από τη διακύµανση του

13 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 3 σφάλµατος πρόβλεψης αν χρησιµοποιήσουµε όλη τη διαθέσιµη πληροφορία εκτός απ τις ιστορικές τιµές της Z, τότε η Ζ αιτιάται την Χ. Το µεγαλύτερο πρόβληµα στους παραπάνω ορισµούς είναι το ότι δεν υπάρχει συγκεκριµένος τρόπος για να µπορέσουµε να προσδιορίσουµε επακριβώς το σύνολο της διαθέσιµης πληροφορίας. Γι αυτόν τον λόγο ο Granger άλλαξε λίγο αργότερα την διατύπωση αυτή και αναφέρθηκε σε κάθε σχετική πληροφορία προσπαθώντας να κάνει τον ορισµό του πιο εύκολο να εξεταστεί στην πράξη. Παρόλα αυτά οι Granger και Newbold δεν κατάφεραν να εξηγήσουν και να αναφέρουν µε σαφήνεια πώς οι οικονοµικοί νόµοι και θεωρίες διαδραµατίζουν σηµαντικό ρόλο στο προσδιορισµό της κάθε σχετικής πληροφορίας. Μια άλλη αδυναµία του ορισµού του Granger είναι ότι χρησιµοποιείται ως κριτήριο επιβεβαίωσης της ύπαρξης αιτιώδους σχέσεως, η διακύµανση του σφάλµατος πρόβλεψης, γιατί σε διαδικασίες που δεν έχουν πεπερασµένες ροπές δεν µπορεί να εφαρµοστεί. Επίσης, δεν είναι πάντα δυνατό να βρίσκουµε τον βέλτιστο εκτιµητή ελαχίστων τετραγώνων και έτσι ο Granger συµπλήρωσε ότι οι χρησιµοποιούµενες σειρές θα πρέπει να κατανέµονται κανονικά ώστε να µπορούµε να έχουµε γραµµικούς εκτιµητές.

14 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ορισµοί αιτιότητας 2. Ορισµοί αιτιότητας κατά Granger Ο Granger το 980 (Tesing for Causaliy [Journal of Economic Dynamics and Conrol 2] προσπάθησε να δώσει συγκεκριµένους και ίσως καταλληλότερους για στατιστικό έλεγχο ορισµούς για την αιτιότητα και έτσι πρότεινε τα παρακάτω. Έστω ότι ενδιαφερόµαστε να ελέγξουµε αν η µεταβλητή Υ προκαλεί την Χ. Την χρονική στιγµή η τιµή Χ + θα είναι γενικά µια τυχαία µεταβλητή και κατά συνέπεια µπορούµε να γράψουµε Prob(X + A), όπου Α είναι ένα διάστηµα. Γενικός Ορισµός: Λέµε ότι η Υ αιτιάται (cause) την Χ + αν για κάποιο Α P( X A F ) P( X A F Y ) (9) + + Προκειµένου να πραγµατοποιηθεί αυτή η επίδραση θα πρέπει η Υ() να περιέχει κάποια ιδιαίτερη πληροφορία για το ποια τιµή θα λάβει η Χ(+) στο κοντινό µέλλον. Ο παραπάνω ορισµός είναι γενικός και γι αυτόν τον λόγο δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιµος στην πράξη, όταν δηλαδή έχουµε πραγµατικά δεδοµένα. Έτσι θα δώσουµε έναν νέο ορισµό πιο λειτουργικό απ τον προηγούµενο. Υποθέτουµε ότι ενδιαφερόµαστε για την πιθανότητα ότι ένα διάνυσµα τυχαίων µεταβλητών Υ αιτιάται ένα άλλο διάνυσµα τυχαίων µεταβλητών Χ. Έστω J n ένα σύνολο πληροφοριών που είναι διαθέσιµο τη χρονική στιγµή n το οποίο αποτελείται από όρους του διανύσµατος Ζ. To J : Z n n-j, j 0 J n θεωρείται ότι είναι το κατάλληλο σύνολο πληροφοριών όσον αφορά την Χ, αν η Χ περιλαµβάνεται στη Ζ. Επιπλέον, θεωρούµε ότι η Ζ δεν

15 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 5 περιλαµβάνει κανένα στοιχείο της Υ και κατά συνέπεια η τοµή των Ζ, Υ είναι το µηδενικό σύνολο. Ακόµα, ορίζουµε ' J : Ζ n n-j, Y n-j, j 0 ' ηλαδή, J παρελθόν µέχρι σήµερα. n είναι το σύνολο των πληροφοριών n F( X J ) J συν τις τιµές της Υ απ το Συµβολίζουµε µε n+ n τη δεσµευµένη συνάρτηση κατανοµής της X + δοθέντος της n E[ X J ] J µε µέσο n n + n. Ορισµός : Η Y n δεν αιτιάται την n X + ως προς ' J εάν n F X J F X J ' ( n+ n ) ( n+ n ) = (0) ηλαδή η επιπλέον πληροφορία που περιέχεται στην J ' n δεν επηρεάζει την δεσµευµένη κατανοµή. Η αναγκαία συνθήκη που θα πρέπει να ισχύει είναι: E X J E X J ' [ n+ n] [ n+ n] = () Ορισµός 2: Εάν ' J n Ω n είναι το πλήρες σύνολο πληροφοριών και αν F( X Ω ) F( X Ω Y ) (2) n+ n n+ n n τότε, λέµε ότι η Y n αιτιάται (cause) την X n + Ορισµός 3 : Εάν F ( X J ) F ( X J ) (3) ' n+ n n+ n λέµε ότι η Y n αιτιάται (cause) κατ αρχήν (rima facie) την n X + ως προς το ' σύνολο πληροφοριών J. n

16 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 6 Ορισµός 4: Λέµε ότι η Y n δεν αιτιάται την n ' J αν n ' ' δ ( ) [ ] [ ] n J E E n n+ J n n+ J n πληροφορία X X + = 0 X + στο µέσο ως προς την = (4) Ο ορισµός 2 είναι ισοδύναµος µε τον γενικό ορισµό που παρουσιάσαµε παραπάνω και έχει παρουσιαστεί από τους Granger και Newbold το Ορισµοί µη-αιτιότητας κατά Hsiao Έστω { Y, I } είναι n x πολυµεταβλητή στοχαστική διαδικασία στους ακεραίους I µε πεπερασµένες δεύτερες ροπές. Y ( Y,..., Y ) ' ' ' i, i, in, i Y ( Y, Y, Y )' = όπου ' ' ', 2, 3, =, i=, 2, 3. Επιπλέον, H ( ) είναι ο χώρος του Hilber που προέρχεται από τις συνιστώσες της Y τ για τ, Hy\ y ( ) είναι ο κλειστός 3 ' ' υποχώρος του Hv( ) που προέρχεται απ τις συνιστώσες ( Y, τ, Y2, τ ) '. Οµοίως, ορίζει H y\ y και έστω H 2 y \ y ( ) 2 y είναι κλειστός υποχώρος του H ( ) 3 y που προέρχονται απ τις συνιστώσες της Y, τ για Μ, της H y ( ) και για i n της Y i, + k στο Μ και y τ. Για κάθε κλειστό υποχώρο,, συµβολίζει ( Y i, + k M ) την ορθογώνια προβολή ( Y M) [( Y M),...,( Y M)]' = (5), + k, + k n, + k Οµοίως για ( Y2, k M ) +. H y Ορισµός : Το διάνυσµα Y 3 δεν αιτιάται κατά Granger την Y ως προς ( ) αν ( Y H ( )) = ( Y H ) I. (6), + y, + y\ y ( ) 3 Παρατηρείται ότι η παραπάνω συνθήκη δεν είναι αρκετή για να αποκλείσει κάθε σχέση αιτιότητας απ την Y 3 στην Y. Η συγκεκριµένη συνθήκη µπορεί να ικανοποιείται και η πληροφορία απ το παρελθόν και το παρόν ίσως είναι ακόµα χρήσιµη στην πρόβλεψη της Y περισσότερο από µια περίοδο µπροστά.

17 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 7 ιαισθητικά, αυτό µπορεί να συµβαίνει επειδή η Y 3 έχει µια επίδραση στην Y 2 η οποία µε τη σειρά της ίσως επηρεάζει την Y (indirec causaliy). H y Ορισµός 2: Το διάνυσµα Y 3 δεν αιτιάται κατά Hsiao την Y ως προς το ( ) όταν συµβαίνει ένα απ τα παρακάτω ( Y, H y ( )) = ( Y, H y\ y y ( ) ) I (7) ή ii) ( Y, + H y ( )) = ( Y, + H y\ y ( ) ) 3 (8) και ( Y2, + H y ( )) = ( Y2, + H y\ y ( ) ) I (9) i) Ορισµοί µη-αιτιότητας κατά Dufour-Renaul Σύµφωνα µε τους Dufour-Renaul (998) η µη-αιτιότητα ορίζεται σε όρους ορθογώνιων συνθηκών µεταξύ υποχώρων του χώρου Hilber τυχαίων µεταβλητών. Συµβολίζουµε L 2 = L 2 (Ω, A, Q) τον χώρο του Hilber που αποτελείται από πραγµατικές τυχαίες µεταβλητές µε πεπερασµένες δεύτερες ροπές ορισµένο στο χώρο πιθανότητας (Ω, Α, Q). Αν Ε και F είναι δύο υποχώροι του Hilber απ το L 2, συµβολίζουν µε Ε+F τον µικρότερο υποχώρο του L 2 ο οποίος περιέχει το Ε αλλά και το F, ενώ το Ε\F αντιπροσωπεύει τον µικρότερο υποχώρο του Hilber απ το L 2 το οποίο περιέχει τη διαφορά E F = EI F ' = { x: x E, x F} Η πληροφορία που είναι διαθέσιµη τη χρονική στιγµή που ορίζεται από έναν υποχώρο του L 2 και την συµβολίζουµε µε I( ), όπου είναι ακέραιος. Θεωρούµε µια ακολουθία I από τους παραπάνω υποχώρους I = { I ( ) : Z, > ω } και < ' I ( ) Ι ( ') >ω, όπου I( ) είναι υποχώρος του Hilber του L 2, ω Ζ {- } αποτελεί το σηµείο έναρξης και το Ζ

18 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 8 είναι το σύνολο των ακεραίων. Θεωρούν επίσης, τρεις πολυµεταβλητές στοχαστικές διαδικασίες X = { X ( ) : Z, > ω} Y = { Y ( ) : Z, > ω} Z = { Z ( ) : Z, > ω } όπου X ( ) = ( x ( ),..., xm ( ))', Y ( ) = ( y ( ),..., ym ( ))', Z( ) = ( z ( ),..., z ( )) ', m, m 2, m 3 0 και L, y ( ) L, zi ( ) m 3 xi ( ) 2 L για όλα τα i. Επιπλέον, το H είναι (πιθανόν άδειος) υποχώρος L 2 του Hilber του, του οποίου τα στοιχεία αντιπροσωπεύουν την διαθέσιµη πληροφορία κάθε στιγµή ως ανεξάρτητες µεταβλητές του χρόνου και ντετερµινιστικές διαδικασίες (ντετερµινιστικές τάσεις). Συµβολίζουν µε X ( ω, ] i=,..., m του Xτ ( ) µε τον χώρο του Hilber χωρισµένο απ τα στοιχεία i( ) ω < τ και οµοίως για Y( ω, ] και Z (, ] xτ, ω. Τα X ( ω, ], Y( ω, ], Z ( ω, ] αντιπροσωπεύουν την πληροφορία που περιέχεται στην ιστορία των µεταβλητών X, Y, Z αντίστοιχα µέχρι τον χρόνο. Τέλος, τα σύνολα της πληροφορίας που παρατηρείται προσθέτοντας το X ( ω, ] στο I( ) και το Y( ω, ] στο I ( ) ορίζονται ως X I ( ) = I( ) + X ( ω, ], I ( ) = I ( ) + Y( ω, ] X XY και οµοίως για IY ( ), IZ ( ), I XZ ( ) κτλ. Σε αρκετές περιπτώσεις το σύνολο πληροφοριών I( ) περιλαµβάνει το Z ( ω, ], αλλά µπορεί να µην περιέχει το X ( ω, ] ή το Y ( ω, ]. Για κάθε σύνολο πληροφοριών B (υποχώρος του Hilber) και θετικό ακέραιο h, συµβολίζουν P[ xi ( + h) B ] την καλύτερη γραµµική πρόβλεψη του x ( + h) βασιζόµενοι στο σύνολο πληροφοριών B, i u[ xi ( + h) B ] = xi ( + h) P[ xi ( + h) B ] (20) είναι το αντίστοιχο σφάλµα πρόβλεψης και X { } σ [ x ( + h) B ] = E u[ x ( + h) B ] (2) 2 2 i i Τότε, η καλύτερη γραµµική πρόβλεψη του X ( + h) είναι i P[ X ( + h) B ] = ( P[ x ( + h) B ],..., P[ x ( + h) B ]) ' (22) m και το αντίστοιχο διάνυσµα των σφαλµάτων πρόβλεψης

19 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 9 U[ X ( + h) B ] = ( u[ x ( + h) B ],..., u[ x ( + h) B ]) ' (23) m Ορισµός: Μη-αιτιότητας σε χρονικό ορίζοντα h (Non-causaliy a Horizon h): Έστω h. i) Η Υ δεν αιτιάται την Χ σε ορίζοντα h δοθέντος του I ( Y X I ) h αν P[ X ( + h) I ( )] = P[ X ( + h) I ( )] (24) X XY για > ω, όπου I ( ) = I( ) + X ( ω, ] και I ( ) = I ( ) + Y ( ω, ] X XY X ii) Η Υ δεν αιτιάται την Χ µέχρι τον ορίζοντα h δοθέντος του I ( Y X I ) ( h) αν Y X I k για k=, 2,..., h αν iii) H Y δεν αιτιάται την Χ σε κάθε ορίζοντα δοθέντος του I (Y X I ) ( ) Y X I k για όλα τα k=, 2,... Ορισµός: Μη-αιτιότητα σε διαφορετικούς χρονικούς ορίζοντες: Για h N λέµε ότι: α) η Υ δεν αιτιάται την Χ στον ορίζοντα h δοθέντος της πληροφορίας I και το συµβολίζουµε Υ Χ I αν h P[ X + h I ] = P[ X + h I+ Y( ω, ]], >ω (25) β) η Υ δεν αιτιάται την Χ µέχρι τον ορίζοντα h δοθέντος της I και το συµβολίζουµε Y X I ( h) αν Y X I k για k =,2,,h

20 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 20 γ) η Υ δεν αιτιάται την Χ σε κάθε ορίζοντα δοθέντος της I και το Y συµβολίζουµε ( ) X I αν Y X I k για όλα τα k N Ορισµός: Αδέσµευτη µη-αιτιότητα σε ορίζοντα h (Uncondiional Non-causaliy a Horizon h) Έστω h. i) Η Υ δεν αιτιάται την Χ στον ορίζοντα h δοθέντος της πληροφορίας I, χωρίς δέσµευση ως προς το Ζ ( Y X I ( Z ) ) εάν h P[ X ( + h) I ( )] = P[ X ( + h) I ( )], > ω (26) όπου ( ) ( Z ) ( Z ) X ( Z ) XY I Ζ Χ ( ) = I ( ) + X ( ω, ], I( Ζ) Χ Y ( ) = I( Z ) X ( ) + Y ( ω, ] και I ( ) ( ) \ (, ] ( Z ) = I Z ω ii) H Υ δεν αιτιάται την Χ µέχρι τον ορίζοντα h δοθέντος του I, χωρίς δέσµευση ως προς το Ζ αν Y X I ( Z ) για k=, 2,..., h k iii) H Y δεν αιτιάται την Χ σε κάθε ορίζοντα δοθέντος του I, χωρίς δέσµευση ως προς το Ζ [Y I F ( ) ( Z ) ] αν Y X I k για όλα τα k=, 2,... Αν το Ζ είναι κενό ( m= 3 0) δεν υπάρχει αποτελεσµατική συνθήκη και χρησιµοποιείται I( ) ( ) = I ( ) και I( ) ( ) = I ( ). Z X X Z XY XY

21 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 2 Βάσει των παραπάνω ορισµών, µπορούν να γίνουν οι ακόλουθες παρατηρήσεις: α) Η µελέτη των Dufour-Renaul (998) µπορεί να θεωρηθεί ως µια προέκταση της µελέτης του Hsiao (982), καθώς αυτός ήταν ο πρώτος που έκανε λόγο για έµµεσες αιτιώδεις σχέσεις και επιδράσεις µεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών χρησιµοποιώντας µια τρίτη βοηθητική µεταβλητή. β) Στην περίπτωση που εξετάζουµε αν υπάρχει αιτιώδης σχέση στον ορίζοντα ένα ( h= ), ουσιαστικά ελέγχουµε αν παρατηρείται αιτιότητα κατά Granger. γ) Αναφέρονται σε shor-run αιτιότητα όταν το h είναι σχετικά µικρό και σε long-run αιτιότητα όταν το h είναι σχετικά µεγάλο. Ο χρονικός ορίζοντας h προσδιορίζει το πόσο µακριά µπορεί κανείς να πραγµατοποιήσει µια πρόβλεψη. δ) εν υπάρχει περιορισµός για την ετεροσκεδαστικότητα των διαταρακτικών όρων. ε) Αν αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger ( h= ), αυτό δεν σηµαίνει ότι δεν παρατηρείται αιτιότητα σε κάποιο µεγαλύτερο h. στ) Παρότι η έννοια της µη-αιτιότητας σε όλους τους ορίζοντες οµοιάζει µε αυτή που ανέπτυξε ο Lukeohl && (993), δεν είναι ακριβώς ίδια, επειδή αυτή βασίζεται στην απουσία των επιδράσεων των διαταρακτικών όρων της µιας µεταβλητής στην άλλη (µηδενικοί συντελεστές στους όρους του κινητού µέσου ΜΑ) αντί της απουσίας των παρελθοντικών τιµών της µιας µεταβλητής στην βέλτιστη πρόβλεψη µιας άλλης. ζ) Η µη στασιµότητα δεν αποτελεί πρόβληµα. 2.4 Υπόδειγµα Αυτοπαλίνδροµου ιανύσµατος (Vecor AuoRegressive (VAR) Model) Σε αυτό το σηµείο, κρίνεται σκόπιµο να παρουσιαστεί ένα υπόδειγµα Αυτοπαλίνδροµου ιανύσµατος (VAR), καθώς θα χρησιµοποιηθεί αρκετά στη συνέχεια. Τα VAR µοντέλα, χρησιµοποιούνται ευρέως στην ανάλυση χρονοσειρών και προσπαθούν να εξηγήσουν τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των

22 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 22 µεταβλητών λαµβάνοντας υπόψη και την ενδογένεια. Πρέπει να σηµειωθεί πως για να εφαρµοστεί ένα VAR µοντέλο, θα πρέπει οι σειρές να είναι στάσιµες. Η συνήθης εµφάνιση ενός διανυσµατικού αυτοπαλίνδροµου µοντέλου τάξης είναι y= A y A y + BI+ ε, (27) όπου y : διάνυσµα ενδογενών µεταβλητών I :διάνυσµα εξωγενών µεταβλητών A,..., A και B :µήτρες συντελεστών ε :το διάνυσµα των σφαλµάτων ή διαταρακτικών όρων Η εκτίµηση των παραµέτρων, εφόσον εµφανίζονται µόνο ενδογενείς µεταβλητές µε χρονική υστέρηση στο δεξί µέλος των εξισώσεων, γίνεται µε τη µέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων (Ordinary Leas Squares (OLS)). Στην περίπτωση που έχουµε δύο µεταβλητές, το VAR µοντέλο παίρνει την µορφή y= c+ δ y + γ x + u, i i, j j, i= j= (28) x= c+ δ y + γ x + u 2 2, i i 2, j j 2, i= j= (29) µε 2 u, 0 σ σ 2 ~ N, 2 u 2, 0 σ 2 σ

23 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence Η έννοια της συνολοκλήρωσης (coinegraion) Η έννοια της συνολοκλήρωσης αναπτύχθηκε απ τους Granger και Engle το 987 και αναφέρεται στην ύπαρξη µιας σταθερής σχέσης ανάµεσα σε δύο ή περισσότερες µεταβλητές µακροχρόνια. Αυτό βέβαια, δεν αποκλείει βραχυχρόνια να παρατηρείται ανισορροπία η οποία απεικονίζεται µέσω των σφαλµάτων (διαταρακτικών όρων). Έστω ότι έχουµε, δύο ή περισσότερες µη στάσιµες σειρές του ίδιου βαθµού ολοκληρωσιµότητας d (inegraed, I(d)). Τότε, ονοµάζονται συνολοκληρωµένες (coinegraed), αν υπάρχει γραµµικός συνδυασµός ή διάνυσµα γραµµικών τους συνδυασµών που να είναι βαθµού ολοκλήρωσης c, µικρότερου απ τον d που έχουν από µόνες τους οι µεταβλητές ενδιαφέροντος. Σύµφωνα µε τον αυστηρότερο ορισµό που δόθηκε απ τους Granger και Engle, οι µεταβλητές x, x2,..., x n χαρακτηρίζονται συνολοκληρωµένες τάξεως d,b και συµβολίζεται 2 x, x,..., x CI( d, b) n όταν ισχύουν τα παρακάτω: ) Όλες οι µεταβλητές είναι ολοκληρωµένες τάξεως d 2) Υπάρχει ένα διάνυσµα β= ( β, β 2,..., β n ) τέτοιο ώστε ο γραµµικός συνδυασµός β β x + x + + β x να είναι ολοκληρωµένος τάξεως n n d-b, b>0. Το διάνυσµα β ονοµάζεται διάνυσµα συνολοκλήρωσης και πρέπει να σηµειωθεί ότι δεν είναι µοναδικό. Αν υπάρχουν κ µεταβλητές, τότε µπορεί να υπάρχουν το πολύ κ- γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα συνολοκλήρωσης. Ο αριθµός αυτών των διανυσµάτων, καλείται τάξη συνολοκλήρωσης των σειρών. Επίσης, αν δεχθούµε ότι υπάρχει µια µακροχρόνια σχέση ισορροπίας, θα πρέπει τα σφάλµατα ισορροπίας (κατάλοιπα παλινδρόµησης) να σχηµατίζουν µια στάσιµη σειρά και αυτό αποτελεί έναν έλεγχο για την ύπαρξη συνολοκλήρωσης.

24 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence Υπόδειγµα ιόρθωσης Λαθών (Vecor Error Correcion Model [VEC]) Στην περίπτωση που δύο σειρές βρεθεί ότι είναι συνολοκληρωµένες, τότε χρησιµοποιείται το Υπόδειγµα ιόρθωσης Λαθών (VEC). Το υπόδειγµα VEC, ουσιαστικά αποτελεί µια προέκταση του VAR (Vecor AuoRegressive) µοντέλου στο οποίο προσθέτουµε σαν επεξηγηµατική µεταβλητή τον µηχανισµό διόρθωσης σφαλµάτων που προκύπτει απ την συνολοκλήρωση των σειρών. Αν λοιπόν, δύο µεταβλητές x, y είναι συνολοκληρωµένες το µοντέλο VEC(), έχει την µορφή y = c + ρ ( y a β x ) + δ y + γ x + u, i i, j j, i= j= (30) x = c + ρ ( y a β x ) + δ y + γ x + u 2 2 2, i i 2, j j 2, i= j= (3) όπου β είναι η παράµετρος του διανύσµατος συνολοκλήρωσης, τα διανύσµατα, 2, u, u είναι λευκοί θόρυβοι (whie noise) και τα 2 2, i 2, i, j 2, j c, c, ρ, ρ, δ, δ, γ, γ είναι παράµετροι.

25 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τεστ για τον έλεγχο αιτιότητας 3. Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Granger Ο πρώτος τρόπος που χρησιµοποιήθηκε για να εντοπιστεί µια σχέση αιτιότητας µεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών ήταν η µέθοδος των Box-Jenkins. Η µέθοδος αυτή βασιζόταν στον προσδιορισµό του κατάλληλου µοντέλου ARMA (AuoRegressive Moving Average) που µπορούσε να περιγράψει καλύτερα τις κινήσεις της κάθε µεταβλητής και στη συνέχεια γινόταν έλεγχος για την ανεξαρτησία των καταλοίπων των παλινδροµήσεων. Αργότερα όµως, αυτή η µέθοδος δέχτηκε επικρίσεις καθώς πολλές φορές οδηγούσε σε λανθασµένα συµπεράσµατα για την µονόδροµη αιτιότητα ενώ και η στατιστική του ισχύς δεν ήταν δεδοµένη. Έτσι, χρησιµοποιείται το κριτήριο του Granger για τον εντοπισµό αιτιώδους σχέσεως ανάµεσα σε δυο µεταβλητές, η παρουσίαση του οποίου ακολουθεί. Έστω ότι έχουµε την διπλή παλινδρόµηση Y X i i j j i= j= c δ y γ x u (32) = i i 2 j j 2 i= j= c δ y γ x u (33) = όπου είναι το πλήθος των υστερήσεων, ενώ τα σφάλµατα ικανοποιούν τις υποθέσεις της παλινδρόµησης Ε(u )=E(u 2 )=0 και Cov(u s,u ) =Cov(u 2s,u 2 ) = 0, µε s Από τις δύο παραπάνω παλινδροµήσεις, διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: ) Εάν στην πρώτη παλινδρόµηση (32) οι συντελεστές γ δεν είναι j στατιστικά σηµαντικοί (δηλαδή δεν µπορούµε να απορρίψουµε την µηδενική υπόθεση ότι είναι µηδέν) για όλα τα j=,2,, ενώ στη δεύτερη (33) οι συντελεστές δ 2i είναι στατιστικά σηµαντικοί (δηλαδή έχουµε ενδείξεις για

26 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 26 παραβίαση της µηδενικής υπόθεσης ότι είναι µηδέν) για i=,2,, λέµε ότι η Υ αιτιάται κατά Granger την Χ. 2) Αν οι συντελεστές γ στην πρώτη παλινδρόµηση είναι στατιστικά j σηµαντικοί για j=,2,, ενώ οι δ 2i στη δεύτερη παλινδρόµηση δεν είναι στατιστικά σηµαντικοί, λέµε ότι η Χ αιτιάται κατά Granger την Υ. 3) Αν οι συντελεστές γ στην πρώτη παλινδρόµηση είναι στατιστικά j σηµαντικοί και το ίδιο ισχύει για τους συντελεστές δ 2i στη δεύτερη παλινδρόµηση, υπάρχει αµφίδροµη αιτιότητα κατά Granger 4) Aν οι συντελεστές γ στην πρώτη παλινδρόµηση δεν είναι στατιστικά j σηµαντικοί και το ίδιο ισχύει για τους συντελεστές µεταβλητές Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. δ 2i στη δεύτερη, οι Ο έλεγχος των παραπάνω υποθέσεων πραγµατοποιείται µε τη χρήση της στατιστικής συνάρτησης F που ορίζεται F = ( SSE * SSE) / SSE / ( n k) (34) όπου, SSE*: το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων (residuals) στην παλινδρόµηση µε περιορισµό, όταν δηλαδή δεν περιλαµβάνονται οι όροι Χ -j Y -i SSE: το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων χωρίς περιορισµό n: το µέγεθος του δείγµατος k: ο αριθµός των παραµέτρων στην παλινδρόµηση ελευθερίας Η στατιστική συνάρτηση F ακολουθεί F-κατανοµή µε και (n-k) βαθµούς F ~ F(, n k)

27 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Sims Ο Sims το 972 θεώρησε τις µεταβλητές X, Y για τα χρήµατα και το εισόδηµα αντίστοιχα, και επειδή δεν ήταν στάσιµες αυτές οι σειρές, χρησιµοποίησε τους λογαρίθµους τους µε αποτέλεσµα να έχει τις νέες µεταβλητές x, y οι οποίες βέβαια, είναι στάσιµες. Στη συνέχεια θεώρησε το παρακάτω αυτοπαλίνδροµο των x, y. b ( L) b2 ( L) x u = b ( L) b ( L) y v 2 22 (35) b είναι ένα πολυώνυµο του γεννήτορα υστερήσεων L, i,j=,2 και όπου ( L) u, v ij είναι ασυσχέτιστα σφάλµατα λευκού θορύβου (whie noise errors). Όπως σηµειώνει ο Sims (972, σελ. 544), o Granger είχε δείξει ότι αν υπάρχει µια µορφή αυτοπαλινδρόµησης σαν την παραπάνω, η απουσία αιτιότητας, κατά Granger, είναι ισοδύναµη µε την συνθήκη ότι b ( L) 0, οπότε έχουµε 2 b ( ) L x= u (36) b ( L) y+ b ( L) x= v (37) 22 2 Οι διαταρακτικοί παράγοντες u και v είναι αµοιβαία ασυσχέτιστοι και δεν έχουν αυτοσυσχέτιση. Έχουµε την δυναµική παλινδρόµηση για το b ( L) y= x+ v= V( L) x+ v (38) 2 b22 ( L) b22 ( L) b22 ( L) b2( L) µε V ( L) b ( L). 22 Παρατηρούµε ότι ο διαταρακτικός παράγοντας είναι στη µορφή ενός moving average b ( ) 22 L v και έτσι µπορεί γενικά να έχει αυτοσυσχέτιση. Στην ειδική περίπτωση που δεν έχουµε χρονικές υστερήσεις για τον όρο b ( L ) 22, δεν y παρουσιάζεται αυτοσυσχέτιση στον v. Απ την άλλη, αν οι µη-στάσιµες σειρές

28 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 28 X, Y είναι σχετιζόµενες µε µια σχέση Y ( ) V L X w = + και ένα φίλτρο C( L ) εφαρµόζεται και στα δύο µέλη, έχουµε C( L) Y= C( L) V ( L) X+ C( L) w ή y= V ( L) x+ C( L) w. Τότε, αν w v =, y ( ) C ( L = V L x+ v ) Ο διαταρακτικός παράγοντας v στην τελευταία εξίσωση διαφέρει από το b ( ) 22 L v x που είχαµε βρει παραπάνω. Έτσι, σε όρους του συστήµατος (37) µε = C( L) Y και y= C( L) Y, το αποτέλεσµα στην (38) µας δείχνει ότι οι διαταρακτικοί όροι, στην γενική περίπτωση, θα έχουν αυτοσυσχέτιση. Αν λοιπόν η σχέση Y= V ( L) X + w θεωρηθεί το σηµείο εκκίνησης, σίγουρα δεν προέρχεται απ το σύστηµα (37) και αν πολλαπλασιαστούν και τα δύο µέλη µε C( L ) θα χει αυτοσυσχετιζόµενα κατάλοιπα. Ο ίδιος ο Sims είχε παραδεχτεί (972 σελ. 549) πως υπήρχαν αµφιβολίες ως προς την εγκυρότητα των αποτελεσµάτων µέσω της παλινδρόµησης. F κατανοµής, για τους συντελεστές της Επίσης, σκεπτόµενος το συµπέρασµα της συνθήκης e( L ) = 0 για την προβολή του γράφει y σε σχέση µε τις τρέχουσες και παρελθοντικές τιµές της x y= f ( L) x+ u= f x + u s s s= 0 cov( u, x ) = 0, 0 s (39) s (40) και για την προβολή του y στο µέλλον σε σχέση µε τις τρέχουσες και παρελθοντικές τιµές της x y= f ( L) x+ v= f x + v 2 2s s s= cov( v, x ) = 0, s (4) s (42)

29 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 29 Έδειξε ότι e( L ) = 0, π.χ. η y δεν αιτιάται την x, αν και µόνο αν στον δεύτερο τύπο έχουµε µόνο τρέχουσες και παρελθοντικές τιµές, δηλαδή f ( L) f ( L) 2 =. Έτσι, ουσιαστικά, το τεστ του Sims έγκειται ακριβώς στο να ελέγξουµε την υπόθεση f( L) = f2( L) αν ενδιαφερόµαστε για την υπόθεση ότι η y δεν αιτιάται την ισοδύναµο u= v. x. Ο περιορισµός f( L) = f2( L) στηρίζεται στο Εάν κάτω απ την παραπάνω υπόθεση το f ( L ) 2 είναι πολυώνυµο µε όρους q L,..., L,0, L,... L τότε το τεστ µπορεί να βασιστεί στις παλινδροµήσεις y= F ( L) x+ U = F x + U (43) s s s= 0 2 2s s s= q q y= F ( L) x+ V= F x + V (44) Όταν χρησιµοποιείται απ την αρχή ένα φίλτρο για να µπορούµε ν ανταπεξέλθουµε στην σειριακή συσχέτιση (serial correlaion), τα y και x αντικαθίστανται από y * R( L) y = και x * = R( L) x αντίστοιχα. Οι παλινδροµήσεις τότε, µπορούν να εκτιµηθούν µε την κλασσική µέθοδος F L F L ελαχίστων τετραγώνων (OLS) και το τεστ ( ) = 2( ) διεξάγεται χρησιµοποιώντας ένα συµβατό στατιστικό τεστ Wald. Σε έναν τυπικό, δύο βηµάτων εκτιµητή, η δεύτερη παλινδρόµηση εκτιµάται µε την κλασσική µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Υποθέτουµε ότι Ω = var( V,..., V ) = Ω ( a ) ν v n n n v v όπου η συνάρτηση Ω ( ) είναι γνωστή αλλά το άγνωστο. Ο εκτιµητής µεγίστης πιθανοφάνειας m v χ διάνυσµα $ v a της a v είναι a v υπολογίζεται αγνοώντας τις διαφορές µεταξύ των καταλοίπων που προήλθαν απ την παλινδρόµηση (µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων) και της V. Το διάνυσµα

30 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 30 των συντελεστών ^ F 2 εκτιµάται µέσω της γενικευµένης µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων (Generalized Leas Squares), αντικαθιστώντας v Ω n µε ( $ ) Ω το v n av οποίο µας δίνει ένα διάνυσµα καταλοίπων V. Για να σχηµατίσουµε το Wald es, εκτιµάµε την πρώτη παλινδρόµηση µέσω της γενικευµένης µεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, αντικαθιστώντας το u Ω n µε διάνυσµα καταλοίπων U. Το στατιστικό τεστ είναι ^ ' ^ ^ ^ ^ ^ ( SW ) v v v( n( v)) v '( n( v)) T = U Ω a U V Ω a V (45) ( $ ) Ω παίρνοντας ένα u n av Το στατιστικό τεστ µέσω του πολλαπλασιαστή LaGrange σχηµατίζεται αντικαθιστώντας την (44) µε την (43) µε σκοπό να παρατηρήσουµε µια δοµή σειριακής συσχέτισης (serial correlaion) των διαταραχών. Έτσι, η στατιστική συνάρτηση θα έχει τη µορφή ^ ^ ^ ^ ^ ^ ( SL) ' u ' u ( n( u )) u ( n( u )) u T = U Ω a U V Ω a V (46) Κάτω απ την µηδενική υπόθεση οι κατανοµές των (45),(46) συγκλίνουν στην χ 2 () 3.3 Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Feige and Pearce Αντίθετα απ τον Sims, οι Feige and Pearce (976) και Pierce (977) δεν εκτιµούν απευθείας µια δυναµική παλινδρόµηση. Η διαδικασία που ακολουθούν είναι η εξής: α) χρησιµοποιούν πρώτες ή δεύτερες διαφορές ώστε να γίνουν οι σειρές τους στάσιµες, β) σχηµατίζουν αυτοπαλίνδροµα κινητού µέσου (AuoRegressive Moving Average (ARMA)) µοντέλα για τις νέες στάσιµες σειρές, όπου Y= c+ y y + θ u θ u + u (47) ARMA(,q): q q και γ) υπολογίζουν τις σταυροειδείς συσχετίσεις τόσο µε χρονική υστέρηση όσο και χωρίς υστέρηση, των εκτιµωµένων καταλοίπων απ τα ARMA µοντέλα, για να ελέγξουν την ύπαρξη συσχέτισης. Επίσης, στο (γ) ένας µεγάλος αριθµός

31 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 3 δοκιµαστικών χ 2 -τεστ εφαρµόζονται για να ελέγξουν την υπόθεση ότι οι σταυροειδείς συσχετίσεις του πληθυσµού είναι όλες µηδέν. Το τελευταίο βήµα, σύµφωνα µε τον Pierce (977) σχετίζεται στενά, αλλά δεν είναι ακριβώς το ίδιο µε την ανάλυση ενός δυναµικού µοντέλου παλινδρόµησης που εφάρµοσε ο Sims (972). 3.4 Έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας κατά Pierce and Haugh Οι Pierce και Haugh το 977 πρότειναν µια διαδικασία για τον έλεγχο αιτιότητας στον οποίο η κάθε µεταβλητή είναι µετασχηµατισµένη είτε παίρνοντας πρώτες διαφορές είτε παίρνοντας λογαριθµικές µορφές ώστε ν αποκτήσουν οι σειρές µας σταθερό µέσο και διακύµανση και στη συνέχεια υπολογίζονται ARMA (AuoRegressive-Moving Average) µοντέλα για κάθε µία απ τις µετασχηµατισµένες µεταβλητές. Για παράδειγµα, ένα µοντέλο ARIMA για την µεταβλητή Χ είναι ϕ όπου X ϕ ( L) L = a+ ( L), (48) ( ) d ϕ και q u ϕ είναι αυτοπαλίνδροµα και κινητού µέσου (moving average) q πολυώνυµα µε χρονικές υστερήσεις και q, d είναι το πόσες φορές παίρνουµε πρώτες διαφορές, ενώ α είναι ένας σταθερός όρος. Οι Pierce και Haugh το 977 πρότειναν και µια διαφορετική λύση για τον έλεγχο unidirecional αιτιότητας µέσω µιας τεχνικής που είναι γνωστή ως Box- Jenkins δυναµικά µοντέλα παλινδρόµησης (Dynamic Regression Models (DRM)) της µορφής Y όπου ( ) ( L) = V L X + θ b ϕ( L) e (49) ( ) δ Lω L V L = ( ) ( ) είναι παράµετροι του µοντέλου µε την µετασχηµατισµένη µεταβλητή, θ(l) και φ(l) είναι κινητού µέσου και αυτοπαλίνδροµα πολυώνυµα αντίστοιχα, ενώ το L συµβολίζει τις χρονικές υστερήσεις. Το e υστέρησης για το Χ. είναι λευκός θόρυβος (whie noise) και το b παράµετρος

32 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 32 Η µέθοδος ξεκινάει προσδιορίζοντας το µοντέλο DRM είτε µέσω της διαδικασίας που προτείνουν οι Haugh-Box (977) είτε µέσω των µεθόδων των Box και Jenkins (970 σελ ). Στην τελευταία µέθοδο εφαρµόζονται δύο διαγνωστικοί έλεγχοι. Στον πρώτο, γίνεται έλεγχος για το αν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα ( e ) του µοντέλου που έχουµε χρησιµοποιήσει, και στον δεύτερο ελέγχεται αν υπάρχει σταυροειδής συσχέτιση µεταξύ των καταλοίπων και κάποιας ή κάποιων εκ των µεταβλητών εισόδου. Αν επιλεχθεί ένα λάθος µοντέλο, τότε θα παρατηρείται αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα αλλά και σταυροειδής συσχέτιση µε τη µεταβλητή εισόδου. Οι αυτοσυσχετίσεις r 2 ( e$, e$ ; k) για χρονικές υστερήσεις k και σταυροειδείς συσχετίσεις r 2 ( a, e$ ; k) για τις ίδιες υστερήσεις, µπορούν να ελεγχθούν για τη σηµαντικότητά τους µέσω των στατιστικών τεστ = ( $, $ ; ) (50) m 2 Q n r e e k και k= = $ m 2 S n r a e k k= 0 (, ; ) (5) όπου n είναι ο αριθµός των παρατηρήσεων, m είναι ο αριθµός των χρονικών υστερήσεων που θεωρούµε, τα οποία ακολουθούν χ 2 κατανοµή µε k--q βαθµούς ελευθερίας για την Q και k-r-s βαθµούς ελευθερίας για την S και τα οποία ελέγχουν την µηδενική υπόθεση απουσίας όλων των αυτοσυσχετίσεων και σταυροειδών συσχετίσεων αντίστοιχα. Σηµειώνεται, ότι σε περιπτώσεις που διαθέτουµε µικρά δείγµατα, χρησιµοποιούνται τα Modified Q (Ljung and Box (978)) και Modified S (Pierce (972)) m 2 2 ( 2) ( ) [ (, ; )] ( ) MQ= n n+ n k r e$ e$ k x k q k= (52) m MS= n ( n k) [ r ( a, e$ ; k)] x ( k r s) k= 0 To τεστ για µονόδροµη αιτιότητα που προτάθηκε απ τους Pierce and Haugh (977) στηρίχτηκε σε αυτή την ανάλυση. Πρότειναν ότι ένα ασυµπτωτικό έγκυρο τεστ για την µηδενική υπόθεση της µονόδροµης αιτιότητας έναντι της (53)

33 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 33 εναλλακτικής της ανάδρασης (feedback) (ή πιο συγκεκριµένα ένα τεστ για την µηδενική υπόθεση ότι η Υ δεν αιτιάται την Χ έστω και αν στιγµιαία φαίνεται X Y ) µπορεί να στηριχτεί στην χ 2 σχηµατισµένη για σταυροειδείς συσχετίσεις και αρνητικές χρονικές υστερήσεις. Η βασική υπόθεση πίσω από αυτό το τεστ είναι ότι τα παρελθοντικά κατάλοιπα δεν περιέχουν καµία πληροφορία που µπορεί να επηρεάσει την µεταβλητή εισόδου α. Αν περιέχει κάποια σηµαντική πληροφορία (χ 2 στατιστικά σηµαντικό), τότε µια ανάδραση (feedback) απ το Υ στο Χ είναι πιθανόν να ισχύει. Σύµφωνα µε τον Gua (Tesing Causaliy, Inernaional Journal of Forecasing 3 (987)), υπάρχουν αρκετά προβλήµατα στο κατά πόσο τα αποτελέσµατα απ τα παραπάνω τεστ µπορούν να θεωρηθούν αξιόπιστα. Πρώτον, απ τη στιγµή που εφαρµόζουµε δυναµικά µοντέλα παλινδρόµησης έχουµε ήδη κάνει µια θεωρητική κρίση, ξεχωρίζοντας την αιτία απ το αποτέλεσµα. εύτερον, το να προσδιορίσουµε το κατάλληλο µοντέλο ARIMA είναι περισσότερο τέχνη, καθώς δεν υπάρχει βέλτιστο κριτήριο ούτε για την επιλογή του µοντέλου, αλλά ούτε και για της µεταβλητές εισόδου. Τρίτον, ακόµα και αν, έστω τυχαία, έχουµε επιλέξει το καταλληλότερο µοντέλο και µεταβλητές εισόδου, το αποτέλεσµα του τεστ που περιγράφηκε είναι πολύ ευαίσθητο στα δεδοµένα και στην επιλογή των χρονικών υστερήσεων που χρησιµοποιούµε στις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης και σταυροειδών συσχετίσεων. Είναι συχνό φαινόµενο ν απορρίπτουµε την µηδενική υπόθεση για κάποιον αριθµό υστερήσεων, αλλά όχι για κάποιον άλλον. 3.5 Εναλλακτικά τεστ για την ύπαρξη αιτιότητας Οι Geweke, Meese, Den (Journal of Economerics 2 (983)) πρότειναν κάποια εναλλακτικά τεστ για τον έλεγχο της απουσίας αιτιότητας, τα οποία θα παρουσιάσουµε παρακάτω.

34 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 34 Αναφέρουν, ότι στα ακόλουθα υποθέτουν πως οι σειρές x και y είναι στάσιµες σειρές (Gaussian) και έχουν µέσο µηδέν. Τότε, ο περιορισµός ότι οι ιστορικές τιµές των x, y είναι γραµµικές, δεν έχει µεγάλη σηµασία, το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (mean square error) γίνεται χρήσιµο εργαλείο για την σύγκριση των προβλέψεων και η συνάρτηση πιθανότητας είναι γνωστή. Ένα τεστ του Granger για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι η y δεν αιτιάται την x είναι ένας έλεγχος του e( L ) = 0 στο σύστηµα x d( L) e( L) x ε = + y a( L) b( L) y δ (54) Αν γραφεί το x σε µονοπαραγοντική αυτοπαλινδρόµιση θα έχουµε x= c( L) x+ ζ (55) και τότε το e( L ) = 0 θα είναι ισοδύναµο µε { ε } = { ζ } και c( L) d( L) =. Αν υποθέσουµε ότι το d( L ) είναι πολυώνυµο τάξης l και e( L ) είναι πολυώνυµο τάξης k, τότε ο έλεγχος του e( L ) = 0 µπορεί να στηριχτεί στο άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων από µια εκτίµηση βάσει ελαχίστων τετραγώνων των παλινδροµήσεων x= C( L) x+ F= C x + F s s s= l (56) x= D( L) x+ E( L) y+ ε= D x + E y + ε s s s s s= s= l k (57) Αν ^ 2 F σ είναι ο εκτιµητής µέγιστης πιθανοφάνειας της Var( F ) στην (56) και ^ 2 ε σ είναι ο εκτιµητής µέγιστης πιθανοφάνειας της Var( ε ) στην (57), τότε κάτω απ την µηδενική υπόθεση, η κατανοµή της κάθε στατιστικής συνάρτησης ^ ^ 2 2 F ε ^ 2 σ ε GW n( σ σ ) Τ n = (58)

35 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 35 ^ 2 ε ^ 2 GR nlog( σ F ) Τ n = (59) σ ^ ^ 2 2 F ε ^ 2 σ F GL n( σ σ ) Τ n = (60) συγκλίνουν οµοιόµορφα στην x 2 ( k) η οποία διαφέρει καθώς το µέγεθος του δείγµατος n µεγαλώνει. Σύµφωνα µε την ορολογία του Silvey (959), ένα τεστ που βασίζεται στο GW Τ n ονοµάζεται Wald es, ενώ τα τεστ που βασίζονται στα GR Τ n και es αντίστοιχα. G L Τ n ονοµάζονται Likelihood raio es και LaGrange mulilier Στην πραγµατικότητα, τα k,l δεν είναι γνωστά ούτε γνωρίζουµε αν είναι πεπερασµένα. Επιπλέον, τονίζεται, ότι δεν υπάρχουν γνωστές σχέσεις µεταξύ των l και n που να εγγυώνται την οµοιόµορφη σύγκλιση στην x 2 ( k) των (56), (57), (58) κάτω απ την µηδενική υπόθεση, εποµένως η επιλογή τους είναι κάπως αυθαίρετη. 3.6 Έλεγχοι µη αιτιότητας κατά Dufour-Pelleier-Renaul Αρκετά πρόσφατα, οι Dufour, Pelleier, Renaul (Journal of Economerics 32 (2006)) προτείνουν για τον έλεγχο της µη-αιτιότητας σε ποικίλους ορίζοντες ανεξάρτητα απ το αν είναι στάσιµες οι σειρές ή όχι, την παρακάτω µεθοδολογία στηριζόµενοι σε γραµµικές παλινδροµήσεις. Κατ αρχήν, θεωρούνε µία διαδικασία VAR() της µορφής =,2,,T (6) W ( ) = µ ( ) + π W ( k ) + a ( ) k k= όπου W() = (w, w 2,,w m ) είναι ένα τυχαίο διάνυσµα m-όρων, µ() είναι ντετερµινιστικός όρος που δηλώνει την τάση και ισχύει Ε[α(s) α() ] = Ω αν s=, = 0 αν s, de(ω) 0

36 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 36 Έτσι, η () µπορεί να θεωρηθεί µία αυτοπαλινδρόµηση σε ορίζοντα. Εποµένως για τη χρονική στιγµή +h έχουµε: h ( h) ( h) µ ( ) ψ π, (62) W( + h) = + W( + k) + a( + h j) = 0,..., T h όπου ψ = και h<t ενώ m 0 Ι k k= j= 0 h ( h+ ) ( l) ( h) ( h) (63) π = π + π π = π + π π k k+ h h + l k k+ k l= (0) π = m I h µ ( ) π ψ () π = k π k ( ) h ( k) = µ ( + h k) (64) k= 0 = ( h) h π h 0 Ο πίνακας j ψ είναι το imulse resonse των συντελεστών της h διαδικασίας που υπολογίζονται από z z I k m ψ z k k = ψ ( ) = π ( ) = + (65) z I k m π z k k = π ( ) = (66) Άρα η (62) µπορεί να γραφεί ( h) ( h)' ( h) µ π W( + h)' = ( )' + W( + k)' + ( + h)' k= µ π u ( h) ( h) ( h) = ( )' + W(, )' + ( + h)', =0,,T-h (67) k u όπου W(,) = [W(), W(-),,W(-+) ], ( h) ( h) ( h) π = π π [,..., ]' h ( h) ( h) ( h) ' u ( + h)' = [ u ( + h),..., ( h)] a( h j)' u + = m + ψ (68) j j= 0 Καλούν την (67) αυτοπαλιδρόµηση τάξης στον ορίζοντα h ή ένα (,h)- αυτοπαλίνδροµο µοντέλο. Θεωρούν ότι ο ντετερµινιστικός παράγοντας σε κάθε

37 Causaliy: Definiions,Tess, and Emirical Evidence 37 αυτοπαλινδρόµηση είναι µια γραµµική συνάρτηση ενός διανύσµατος πεπερασµένων παραµέτρων, δηλαδή ( h) ( h) µ ( ) = γ ( h) ( ), (69) D όπου γ(h) είναι µία m x n µήτρα παραµέτρων και D (h) () είναι ένα n x διάνυσµα ντετερµινιστικών ερµηνευτικών µεταβλητών. Αν το µ() είναι σταθερό το συµβολίζουµε απλά µ ή πιθανόν να εξαρτάται απ το h, οπότε ( h) µ ( ) = µ h 3.6. Εκτίµηση ενός (,h)-αυτοπαλίνδροµου µοντέλου Θεωρούν µια αυτοπαλινδρόµιση τάξης στο χρονικό ορίζοντα h της µορφής w h = W h Π + U h h,..., ( h) h( ) ( ) h( ) = H (70) H παραπάνω αυτοπαλινδρόµιση, µπορεί να εκτιµηθεί µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (OLS), απ την οποία προέρχεται ο εκτιµητής ^ ( h) ( h) h H = [ W ( h)' W ( h)] W ( h)' w ( h) =Π + [ W ( h)' W ( h)] W ( h)' U ( h) (7) εποµένως, h ^ ( h) ( h) T [ Π Π ] = W ( h)' W ( h) W ( h) ' U h( h) T T όπου T h W ( h)' W ( h) = W ( ) W ( )' (73) T T = 0 (72) W h U h W u h (74) T T h ( ) ' h ( ) = ( h) ( ) ( T = 0 + )' Υποθέτουν τώρα ότι T T h = 0 W ( ) W ( )' T Γ και de( Γ ) 0 Αυτό θα ισχύει στην περίπτωση που η διαδικασία W ( ) είναι στάσιµη δευτέρου βαθµού, µη-ντετερµινιστική και θα έχουµε