ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΑΣΒΕΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡΥΣΑ 5235 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΠΑΤΡΟΚΛΟΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2016

2

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σπάνια περνά μια μέρα στη ζωή του ανθρώπου, κατά τη διάρκεια της οποίας να μη χρειάζεται να περιμένει σε κάποια ουρά. Πολλές από αυτές τις ουρές δε γίνονται αντιληπτές, γιατί δε χρειάζεται η φυσική του παρουσία και αναμονή. Ακόμη και στην απλή καθημερινή λειτουργία ενός τηλεφωνήματος, η επιλογή του συνδρομητή, με τον οποίο θα γίνει η σύνδεση, πραγματοποιείται μέσω μιας σειράς από ουρές στα ενδιάμεσα τηλεφωνικά κέντρα. Η θεωρία ουρών αναμονής αναπτύχθηκε βρίσκοντας εφαρμογή σε όλο και περισσότερα προβλήματα. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερο τομέα της επιστήμης με ποικίλες εφαρμογές, από την απλή ουρά μιας τράπεζας στις πολύπλοκες αλυσίδες ουρών ενός δικτύου υπολογιστών. Η μελέτη των συστημάτων αναμονής κρίνεται αναγκαία, λόγω της σπουδαιότητας των συστημάτων και της εφαρμογής τους στην καθημερινότητα. Ο απώτερος στόχος της ανάλυσης των συστημάτων αναμονής είναι η κατανόηση της συμπεριφοράς τους, ώστε να επιτυγχάνεται η ορθή διαχείρισή τους. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία αναπτύχθηκαν δυναμικά πρότυπα για τη μελέτη των συστημάτων αναμονής. Τα πρότυπα αποτυπώνουν όσο το δυνατό με μεγαλύτερη ακρίβεια τα πραγματικά συστήματα. Στόχος της ανάπτυξης των προτύπων ήταν η κατανόηση και αξιολόγηση της δυναμικής συμπεριφοράς των συστημάτων αναμονής, καθώς και η εξέταση εναλλακτικών σεναρίων ως προς τη δομή τους. Κατά τη διαδικασία συγγραφής της διπλωματικής εργασία είχα ουσιαστική καθοδήγηση από τον καθηγητή κ. Πάτροκλο Γεωργιάδη, τον οποίο θέλω να ευχαριστήσω θερμά. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου και τους φίλους μου για τη συμπαράσταση και την κατανόηση που μου έδειξαν. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2016 iii

4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικά Σκοπός της διπλωματικής εργασίας Δομή της διπλωματικής εργασίας...4 ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Συστήματα αναμονής Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Το σύστημα Μ/Μ/ Το σύστημα Μ/Μ/θ Το σύστημα Μ/Μ/1/k: περιορισμένος χώρος αναμονής Μη Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Το σύστημα M/G/ Το σύστημα M/D/ Το σύστημα D/D/ Δίκτυα συστημάτων αναμονής Δυναμική συστημάτων Συστήματα αναμονής και Δυναμική Συστημάτων...16 ΜΕΡΟΣ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Γενικά Μεθοδολογική προσέγγιση Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Το σύστημα Μ/Μ/ Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο...25 v

6 Δυναμική ανάλυση Αξιοπιστία προτύπου Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Το σύστημα Μ/Μ/θ Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Αξιοπιστία προτύπου Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Το σύστημα Μ/Μ/1/k: περιορισμένος χώρος αναμονής Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Αξιοπιστία προτύπου Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Συμπεράσματα ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΜΗ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Γενικά Μεθοδολογική προσέγγιση Μη Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Το σύστημα Μ/G/ Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Το σύστημα Μ/D/ Διάγραμμα ροής προτύπου...57 vi

7 Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Το σύστημα D/D/ Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Συμπεράσματα ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Γενικά Μεθοδολογική προσέγγιση Γραμμή παραγωγής Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Γραμμή παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας Διάγραμμα ροής προτύπου Μαθηματικό πρότυπο Δυναμική ανάλυση Συμπεράσματα ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ vii

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1.: Αποτελέσματα σύγκρισης για το σύστημα Μ/Μ/ Πίνακας 3.2.: Αποτελέσματα σύγκρισης για το σύστημα Μ/Μ/ Πίνακας 3.3.: Αποτελέσματα σύγκρισης για το σύστημα Μ/Μ/1/ viii

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑ 1.1.: Κόστος συστήματος αναμονής (Παππής,2008)....4 ΣΧΗΜΑ 3.1.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/ ΣΧΗΜΑ 3.2.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1 σε Powersim ΣΧΗΜΑ 3.3.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (πελάτες) ΣΧΗΜΑ 3.4.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των πελατών στην ουρά ΣΧΗΜΑ 3.5.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων ΣΧΗΜΑ 3.6.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/θ...31 ΣΧΗΜΑ 3.7.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/θ σε Powersim ΣΧΗΜΑ 3.8.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (πελάτες) ΣΧΗΜΑ 3.9.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των πελατών στην ουρά ΣΧΗΜΑ 3.10.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων ΣΧΗΜΑ 3.11.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για διαφορετικό αριθμό θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα ΣΧΗΜΑ 3.12.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1/k ΣΧΗΜΑ 3.13.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1/k σε Powersim ΣΧΗΜΑ 3.14.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (οχήματα)...44 ΣΧΗΜΑ 3.15.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των οχημάτων στην ουρά ΣΧΗΜΑ 3.16.: Το ποσοστό αποχωρήσεων των οχημάτων από το σύστημα για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων ΣΧΗΜΑ 4.1.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/G/ ΣΧΗΜΑ 4.2.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/G/1 σε Powersim...54 ΣΧΗΜΑ 4.3.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (πελάτες) ix

10 ΣΧΗΜΑ 4.4.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των πελατών στην ουρά ΣΧΗΜΑ 4.5.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων ΣΧΗΜΑ 4.6.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/D/ ΣΧΗΜΑ 4.7.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος M/D/1 σε Powersim ΣΧΗΜΑ 4.8.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (παραγγελίες)..61 ΣΧΗΜΑ 4.9.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (ημέρες) των παραγγελιών στην ουρά ΣΧΗΜΑ 4.10.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων ΣΧΗΜΑ 4.11.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος D/D/ ΣΧΗΜΑ 4.12.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος D/D/1 σε Powersim ΣΧΗΜΑ 4.13.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα)...66 ΣΧΗΜΑ 4.14.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των προϊόντων στην ουρά ΣΧΗΜΑ 4.15.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων ΣΧΗΜΑ 5.1.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής ΣΧΗΜΑ 5.2.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής σε Powersim ΣΧΗΜΑ 5.3.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του πρώτου σταθμού εργασίας ΣΧΗΜΑ 5.4.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του δεύτερου σταθμού εργασίας ΣΧΗΜΑ 5.5.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του τρίτου σταθμού εργασίας ΣΧΗΜΑ 5.6.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του τέταρτου σταθμού εργασίας ΣΧΗΜΑ 5.7.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας x

11 ΣΧΗΜΑ 5.8.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας σε Powersim ΣΧΗΜΑ 5.9.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του πρώτου σταθμού εργασίας ΣΧΗΜΑ 5.10.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας ΣΧΗΜΑ 5.11.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του τρίτου σταθμού εργασίας xi

12

13

14

15 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Γενικά Η Θεωρία Αναμονής αποτελεί μια απ τις πιο γόνιμες περιοχές της επιχειρησιακής έρευνας και παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον (Allen, 1990). Η δημιουργία γραμμών αναμονής (ουρών) αποτελεί συνηθισμένο φαινόμενο, που εμφανίζεται, όταν η ζήτηση για μια υπηρεσία είναι μεγαλύτερη απ την αντίστοιχη δυναμικότητα σε συγκεκριμένη χρονική περίοδο (Ταγαράς, 2014). Υπάρχουν όμως περιπτώσεις, στις οποίες παρόλο που η ζήτηση είναι μικρότερη απ τη δυναμικότητα, η τυχαιότητα των αφίξεων και της διάρκειας εξυπηρέτησης έχει ως συνέπεια το σχηματισμό ουρών αναμονής (Παππής, 2008). Συνεπώς, σύστημα αναμονής θεωρείται οποιοδήποτε σύστημα παραγωγής προϊόντων ή παροχής υπηρεσιών, στο οποίο εμφανίζονται αντίστοιχα φαινόμενα (Ταγαράς, 2014). Η μελέτη των συστημάτων αναμονής ξεκίνησε από την τηλεφωνία. Ο Α.Κ. Erlang, ο οποίος εργαζόταν στα Bell Labs, ανέπτυξε τις βασικές αρχές της θεωρίας ουράς ήδη από τις αρχές του 20ού αιώνα. Η δεκαετία του 1920, ουσιαστικά αφιερώθηκε στην εφαρμογή των αποτελεσμάτων του, ενώ κατά το δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο η θεωρία ουράς έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη του νέου πεδίου της επιχειρησιακής έρευνας (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015). Το κεντρικό χαρακτηριστικό ενός συστήματος αναμονής είναι το επίπεδο των υπηρεσιών, που παρέχονται, από την άποψη του χρόνου απόκρισης. Ανεπαρκής ικανότητα εξυπηρέτησης έχει σαν αποτέλεσμα μεγάλες ουρές και χρόνους αναμονής (άρα και μεγάλο κόστος αναμονής, είτε άμεσο είτε έμμεσο), ενώ αντίθετα υπερεπαρκής ικανότητα εξυπηρέτησης σημαίνει υποαπασχόληση των θέσεων εξυπηρέτησης και αυξημένο κόστος εξυπηρέτησης (Ταγαράς, 2014). Όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1., τελικός στόχος της ανάλυσης είναι ο σχεδιασμός της οργανωτικής εκείνης λύσης, που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος αναμονής και εξυπηρέτησης, κατόπιν εξέτασης εναλλακτικών υποθέσεων για το σύστημα αναμονής (Allen, 1990). Για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός και η ανάλυση των βασικών χαρακτηριστικών λειτουργίας του συστήματος αναμονής (Ταγαράς, 2014). 3

16 ΣΧΗΜΑ 1.1.: Κόστος συστήματος αναμονής (Παππής,2008) Σκοπός της διπλωματικής εργασίας Στη συγκεκριμένη εργασία πραγματοποιείται η μελέτη συστημάτων αναμονής με τη χρήση της Δυναμικής Συστημάτων. Πρόκειται για τα βασικότερα είδη συστημάτων, τα οποία συναντώνται κατά κανόνα στην πράξη. Η μελέτη συμπεριλαμβάνει την ανάπτυξη δυναμικών προτύπων για τα συστήματα αναμονής μέσω της προσομοιωτικής γλώσσας Powersim 2.5c. Τα πρότυπα έχουν γενικευμένη μορφή, με σκοπό τη χρησιμοποίησή τους για τη μελέτη διάφορων περιπτώσεων. Αρχικά, σχεδιάζονται τα δυναμικά πρότυπα απλών συστημάτων αναμονής και στη συνέχεια σύνθετων και πιο πολύπλοκων συστημάτων Δομή της διπλωματικής εργασίας Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελείται από δυο ενότητες. Στο δεύτερο κεφάλαιο, το οποίο ανήκει στη θεωρητική ενότητα, παρουσιάζεται η έννοια του συστήματος αναμονής και αναλύονται τα χαρακτηριστικά των βασικότερων και πιο συχνά χρησιμοποιούμενων συστημάτων. Περιγράφεται ο τρόπος λειτουργίας των συστημάτων, τα χαρακτηριστικά διαφοροποίησης τους, καθώς και τα λειτουργικά χαρακτηριστικά, που προκαλούν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και είναι απαραίτητα για την αξιολόγησή τους. Επίσης, παρουσιάζεται η έννοια των δικτύων αναμονής. Στη συνέχεια αναφέρονται οι βασικές αρχές της θεωρίας της Δυναμικής Συστημάτων και αιτιολογείται η επιλογή της μελέτης των συστημάτων αναμονής με τη χρήση της Δυναμικής Συστημάτων. Ακόμη, αναφέρονται τα πλεονεκτήματα, καθώς και 4

17 η χρησιμότητά της. Η δεύτερη ενότητα αποτελείται από το τρίτο, τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο. Στο τρίτο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα δυναμικά πρότυπα Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τα πρότυπα των συστημάτων Μ/Μ/1, Μ/Μ/θ και Μ/Μ/1/k και χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση πραγματικών συστημάτων. Γι αυτά τα συστήματα, πραγματοποιείται η σύγκριση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης. Όσο μικρότερη είναι η απόκλιση, τόσο πιο αξιόπιστο είναι το δυναμικό πρότυπο. Επιπλέον, παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων για μεταβολές των χαρακτηριστικών τους. Το τέταρτο κεφάλαιο εμπεριέχει τη μελέτη μη Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής. Συγκεκριμένα, αναπτύσσονται τα δυναμικά πρότυπα των συστημάτων Μ/G/1, M/D/1 και D/D/1 και χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση πραγματικών συστημάτων. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων για μεταβολές των χαρακτηριστικών τους. Στο πέμπτο κεφάλαιο πραγματοποιείται η ανάπτυξη των δυναμικών προτύπων δυο πραγματικών δικτύων αναμονής και η διερεύνηση της συμπεριφοράς τους. Συμπερασματικά, σχολιάζονται τα αποτελέσματα και η συμβολή της Δυναμικής Συστημάτων στη μελέτη των συστημάτων αναμονής. 5

18

19 ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 7

20

21 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ 2.1. Συστήματα αναμονής Ένα σύστημα αναμονής δέχεται πελάτες από μια πηγή εισόδου (πληθυσμός), η οποία αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό του συστήματος. Ο αριθμός των πελατών, που εισέρχονται στο σύστημα, μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος. Επιπλέον, υπάρχει πιθανότητα ανυπομονησίας των πελατών, οι οποίοι μπορεί να αποφασίσουν να μην εισέλθουν στο σύστημα, αν η γραμμή αναμονής είναι ήδη πολύ μεγάλη. Έτσι, οι αφίξεις σε ένα σύστημα αναμονής δε μετατρέπονται απαραίτητα όλες σε εισόδους στο σύστημα (Ταγαράς, 2014). Το σύστημα αναμονής περιλαμβάνει μια γραμμή αναμονής (ουρά), η οποία αποτελείται από πελάτες, που περιμένουν, αν όλες οι θέσεις εξυπηρέτησης είναι απασχολημένες. Αν υπάρχουν περισσότερες παράλληλες και ανεξάρτητες γραμμές αναμονής, τότε αυτές εξετάζονται ως διαφορετικά και ανεξάρτητα συστήματα (Ταγαράς, 2014). Χαρακτηριστικά στοιχεία της γραμμής αναμονής είναι το μέγιστο επιτρεπόμενο μήκος και η πειθαρχία της (Ταγαράς, 2014). Αν και στις περισσότερες των περιπτώσεων θεωρείται, ότι η ουρά μπορεί να έχει άπειρο μήκος, υπάρχουν συστήματα, στα οποία ο χώρος, που διατίθεται για την ουρά, είναι προκαθορισμένος και χωρά ορισμένο αριθμό πελατών. Η πειθαρχία της ουράς καθορίζει τη σειρά προτεραιότητας για την εξυπηρέτηση του επόμενου πελάτη. Η πιο συνηθισμένη ονομάζεται FCFS (First Come First Served). Παρόλα αυτά υπάρχουν και άλλες πειθαρχίες όπως η LCFS (Last Come First Served), η τυχαία επιλογή του πελάτη προς εξυπηρέτηση (SIRO, Service In Random Order), καθώς αυτή, στην οποία υπάρχουν διαφορετικές προτεραιότητες για κάθε πελάτη και ο καθένας εξυπηρετείται ανάλογα με την προτεραιότητά του (PRI, priority service) (Allen, 1990). Τέλος, ο μηχανισμός εξυπηρέτησης χαρακτηρίζεται κυρίως από τον αριθμό των παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα και την κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης των πελατών, από την έναρξη μέχρι την ολοκλήρωσή της (Ταγαράς, 2014). Μετά την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης οι πελάτες αποχωρούν από το σύστημα. Σύμφωνα με τα παραπάνω γίνεται κατανοητό, ότι οι δυνατοί συνδυασμοί των χαρακτηριστικών στοιχείων των συστημάτων αναμονής είναι πάρα πολλοί. Επομένως χρησιμοποιείται μια συντομογραφία, που αποτελείται από έξι σύμβολα Α/Β/c/k/m/z, για την περιγραφή του κάθε συστήματος. Στη συντομογραφία αυτή, το c χαρακτηρίζει τον αριθμό των εξυπηρετητών, ενώ τα Α και Β καθορίζουν την κατανομή των χρόνων άφιξης και εξυπηρέτησης αντίστοιχα. Το σύμβολο k αντιπροσωπεύει το μέγιστο αριθμό πελατών, που 9

22 μπορούν να βρίσκονται στο σύστημα λόγω της περιορισμένης χωρητικότητάς του. Τέλος, το σύμβολο m χαρακτηρίζει το μέγεθος του πληθυσμού, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις και το z την πειθαρχία της ουράς. Συχνά χρησιμοποιείται ο απλούστερος συμβολισμός A/B/c. Όταν παραλείπεται κάποιος από τους τρεις υπόλοιπους όρους k/m/z, σημαίνει αντίστοιχα, ότι το μήκος της γραμμής αναμονής είναι απεριόριστο, ο πληθυσμός άπειρος και η πειθαρχία της ουράς είναι FCFS (Allen, 1990). Στις παραγράφους που ακολουθούν, αναφέρονται κάποιες από τις βασικότερες και πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κατηγορίες συστημάτων αναμονής και αναλύονται τα κύρια χαρακτηριστικά τους Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Υπάρχουν περιπτώσεις, όπου ενδιαφέρει η πιθανότητα παρουσίασης συγκεκριμένου αριθμού συμβάντων σ ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Η κατανομή αυτής της πιθανότητας ονομάζεται κατανομή Poisson. Μια επίσης σημαντική κατανομή είναι η εκθετική, η οποία εφαρμόζεται συνήθως σε καταστάσεις με χρόνο αναμονής μεταξύ δυο διαδοχικών γεγονότων (Μπακούρος, 2009). Ως απλά Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής νοούνται εκείνα τα συστήματα αναμονής, στα οποία η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson, οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν εκθετική κατανομή και δεν είναι δυνατές ταυτόχρονες αφίξεις ή αναχωρήσεις πελατών. Ένα τέτοιο σύστημα μεταβάλλεται από μια κατάσταση σε μια άλλη, ανάμεσα σε ένα πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Είναι μια τυχαία διαδικασία, που δε διατηρεί μνήμη για τις προηγούμενες μεταβολές. Η επόμενη κατάσταση εξαρτάται μόνο από την τωρινή κατάσταση και σε καμία περίπτωση από αυτές που προηγήθηκαν. Αυτό το συγκεκριμένο είδος έλλειψης μνήμης ονομάζεται μαρκοβιανή ιδιότητα (Ταγαράς, 2014) Το σύστημα Μ/Μ/1 Το σύστημα Μ/Μ/1 αποτελεί το απλούστερο και βασικότερο Μαρκοβιανό σύστημα αναμονής. Η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson με μέσο ρυθμό αφίξεων λ, ανεξάρτητο από την κατάσταση του συστήματος, δηλαδή από τον αριθμό των μονάδων στο σύστημα. Ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης είναι τυχαία μεταβλητή, που ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/μ, ανεξάρτητα και πάλι από την κατάσταση του συστήματος. Στο σύστημα υπάρχει μια θέση εξυπηρέτησης. Τέλος, ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις, είναι πρακτικά άπειρος και το μήκος της γραμμής αναμονής είναι απεριόριστο (Ταγαράς, 2014). 10

23 Για να είναι σε θέση το σύστημα να ανταποκριθεί στη ζήτηση και να μην αυξάνεται συνεχώς η ουρά, είναι αναγκαίο να ισχύει λ/μ<1, δηλαδή η δυναμικότητα εξυπηρέτησης θα πρέπει να υπερβαίνει το ρυθμό αφίξεων. Σε αντίθετη περίπτωση το σύστημα δε φτάνει ποτέ σε μόνιμη κατάσταση, αλλά βρίσκεται πάντοτε σε μεταβατική κατάσταση με τάση συνεχούς αύξησης του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα (Ταγαράς, 2014). Η μόνιμη κατάσταση είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες και αποκαθίσταται μετά το πέρας της μεταβατικής κατάστασης. Τα χαρακτηριστικά, που ενδιαφέρουν κατά κύριο λόγο μελετώντας ένα σύστημα αναμονής, είναι ο μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά αναμονής (L q ) και ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά αναμονής (W q ). Ακολουθούν οι σχέσεις υπολογισμού των δύο χαρακτηριστικών λειτουργίας του συστήματος, όταν αυτό βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση (Bhat, 2008). L q W q 2 ( ) ( ) Το σύστημα Μ/Μ/θ Στο σύστημα Μ/Μ/θ οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό λ, ανεξάρτητο από την κατάσταση του συστήματος. Ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης είναι τυχαία μεταβλητή, που ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/μ, ανεξάρτητα και πάλι από την κατάσταση του συστήματος. Αποτελείται από θ όμοιες θέσεις εξυπηρέτησης με ενιαία γραμμή αναμονής. Κάθε μονάδα εξυπηρετείται από οποιαδήποτε θέση ελευθερώνεται. Αν κατά την άφιξη μιας μονάδας στο σύστημα υπάρχουν περισσότερες από μια θέσεις εξυπηρέτησης, που δεν είναι απασχολημένες, η θέση εξυπηρέτησης επιλέγεται τυχαία. Ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις, είναι πρακτικά άπειρος και το μήκος της γραμμής αναμονής είναι απεριόριστο (Ταγαράς, 2014). Για να είναι σε θέση το σύστημα να ανταποκριθεί στη ζήτηση και να μην αυξάνεται συνεχώς η ουρά, είναι αναγκαίο να ισχύει λ/θμ<1, δηλαδή η μέγιστη δυναμικότητα εξυπηρέτησης θα πρέπει να υπερβαίνει το ρυθμό αφίξεων. Σε αντίθετη περίπτωση το σύστημα δε φτάνει ποτέ σε μόνιμη κατάσταση, αλλά βρίσκεται πάντοτε σε μεταβατική κατάσταση με τάση συνεχούς αύξησης του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα (Ταγαράς, 2014). 11

24 Παρακάτω αναγράφονται οι σχέσεις υπολογισμού του μέσου αριθμού μονάδων στην ουρά αναμονής (L q ) και του μέσου χρόνου αναμονής ενός πελάτη στην ουρά (W q ), όταν το σύστημα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση (Bhat, 2008). L q ( / ) ( 1)!( ) 2 p 0 W q ( / ) ( 1)!( ) 2 p 0 Στις παραπάνω σχέσεις, p 0 είναι η πιθανότητα να είναι άδειο το σύστημα και υπολογίζεται από τον τύπο, που ακολουθεί (Bhat, 2008). p n ( / ) ( / ) n0 n!! 1 1 ( / ) Το σύστημα Μ/Μ/1/k: περιορισμένος χώρος αναμονής Το σύστημα Μ/Μ/1/k χαρακτηρίζεται από τον περιορισμένο χώρο αναμονής. Επομένως, το μήκος της ουράς στα συστήματα αυτά δε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015). Πιο συγκεκριμένα, ο μέγιστος επιτρεπόμενος αριθμός μονάδων στο σύστημα είναι k και το μέγιστο μέγεθος της γραμμής αναμονής είναι k-1 μονάδες. Οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό λ, αλλά όταν ο χώρος αναμονής είναι πλήρης, ο μέσος ρυθμός εισόδου στο σύστημα μηδενίζεται. Ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης είναι τυχαία μεταβλητή, που ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/μ, ανεξάρτητα από την κατάσταση του συστήματος. Το τελευταίο αποτελείται από μια θέση εξυπηρέτησης με μια γραμμή αναμονής και ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις, θεωρείται άπειρος (Ταγαράς, 2014). Είναι βέβαιο, ότι η ουρά αναμονής δε θα αυξάνει απεριόριστα και το σύστημα θα φτάσει σε μόνιμη κατάσταση. Λόγω του πεπερασμένου χώρου αναμονής, οι αφίξεις των πελατών δε μετατρέπονται σε εισόδους στο σύστημα, όταν η ουρά είναι πλήρης. Επομένως, η μόνιμη κατάσταση επέρχεται ακόμα και αν η μέγιστη δυναμικότητα εξυπηρέτησης δεν υπερβαίνει το ρυθμό αφίξεων (Ταγαράς, 2014). Όταν το σύστημα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση, ο μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά αναμονής (L q ) και ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά (W q ) υπολογίζονται ως εξής (Ταγαράς, 2014): 12

25 13 ) 1 ( 0 p L L q q q L W Στις παραπάνω σχέσεις, p 0 είναι η πιθανότητα να είναι άδειο το σύστημα και υπολογίζεται από τον τύπο (Bhat, 2008): 1 0 ) / ( 1 ) / ( 1 k p, L είναι ο μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα και υπολογίζεται από τον τύπο (Ταγαράς, 2014): 1 1 ) / ( 1 ) / 1)( ( ) / ( 1 ) / ( k k k L και είναι ο μέσος ρυθμός εισόδου στο σύστημα και υπολογίζεται από τον τύπο (Ταγαράς, 2014): 1 ) / ( 1 ) / ( 1 k k Λόγω του περιορισμένου χώρου αναμονής, υπάρχουν περιπτώσεις, στις οποίες οι αφίξεις των πελατών δεν μετατρέπονται σε εισόδους στο σύστημα. Το ποσοστό των πελατών που αναχωρούν από το σύστημα, χωρίς να εξυπηρετηθούν, ταυτίζεται με το ποσοστό των πελατών, που βρίσκουν το σύστημα πλήρες και υπολογίζεται από τη σχέση (Bhat, 2008): k k k p ) / ( ) / ( 1 ) / ( Μη Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Στις περιπτώσεις, όπου είτε οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων, είτε οι χρόνοι εξυπηρέτησης (ή και οι δυο κατηγορίες χρόνων) δε μπορεί ρεαλιστικά να θεωρηθεί, ότι ακολουθούν εκθετική κατανομή, το σύστημα αναμονής δεν έχει τη Μαρκοβιανή ιδιότητα και ονομάζεται μη Μαρκοβιανό.

26 Το σύστημα M/G/1 Στο σύστημα Μ/G/1 οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisson με σταθερό μέσο ρυθμό λ, ανεξάρτητο από την κατάσταση του συστήματος, όπως ακριβώς στο σύστημα Μ/Μ/1. Όμως οι χρόνοι εξυπηρέτησης δεν ακολουθούν εκθετική κατανομή αλλά μια οποιαδήποτε κατανομή, η οποία πάντως είναι ίδια για όλους τους χρόνους εξυπηρέτησης. Η μέση τιμή του χρόνου εξυπηρέτησης συμβολίζεται με 1/μ, ενώ η μεταβλητότητα του χρόνου εξυπηρέτησης συμβολίζεται με σ 2. Το σύστημα διαθέτει μια θέση εξυπηρέτησης και μια γραμμή αναμονής. Ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις, είναι πρακτικά άπειρος και το μήκος της γραμμής αναμονής είναι απεριόριστο (Ταγαράς, 2014). Για να είναι σε θέση το σύστημα να ανταποκριθεί στη ζήτηση και να μην αυξάνεται συνεχώς η ουρά (μόνιμη κατάσταση), είναι αναγκαίο να ισχύει λ/μ<1. Δηλαδή, η δυναμικότητα εξυπηρέτησης θα πρέπει να υπερβαίνει το ρυθμό αφίξεων (Ταγαράς, 2014) Το σύστημα M/D/1 Το σύστημα Μ/D/1 αποτελεί μια ειδική περίπτωση του συστήματος M/G/1. Ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι πρακτικά σταθερός για όλους τους πελάτες και ίσος πάντοτε προς 1/μ, με μηδενική μεταβλητότητα. Οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisson με σταθερό μέσο ρυθμό λ, ανεξάρτητο από την κατάσταση του συστήματος. Το σύστημα διαθέτει μια θέση εξυπηρέτησης και μια γραμμή αναμονής. Ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις, είναι πρακτικά άπειρος και το μήκος της γραμμής αναμονής είναι απεριόριστο (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015). Προκειμένου να επιτευχθεί η μόνιμη κατάσταση του συστήματος, θα πρέπει η δυναμικότητα εξυπηρέτησης να υπερβαίνει το ρυθμό αφίξεων (λ/μ<1) Το σύστημα D/D/1 Στο σύστημα D/D/1 ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι σταθερός για όλους τους πελάτες και ίσος πάντοτε προς 1/μ. Ο χρόνος μεταξύ αφίξεων είναι και αυτός σταθερός και ίσος προς λ. Το σύστημα διαθέτει μια θέση εξυπηρέτησης και μια γραμμή αναμονής. Ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις, είναι πρακτικά άπειρος και το μήκος της γραμμής αναμονής είναι απεριόριστο (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015). 14

27 Όταν τόσο ο χρόνος ανάμεσα στις αφίξεις, όσο και ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι σταθεροί, δεν υπάρχει στην πραγματικότητα ουρά με τη στενή έννοια του όρου. Οι πελάτες έρχονται σε τακτά (ίσα) χρονικά διαστήματα και εξυπηρετούνται σε συγκεκριμένο χρόνο. Ο βαθμός χρήσης του συστήματος θα πρέπει να είναι μικρότερος της μονάδας, γιατί διαφορετικά θα συσσωρεύονται συνεχώς πελάτες στο σύστημα, με αποτέλεσμα το μήκος της ουράς να φτάνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, επομένως, ο χρόνος παραμονής στο σύστημα είναι ακριβώς ίσος με το χρόνο εξυπηρέτησης (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015) Δίκτυα συστημάτων αναμονής Σε σύνθετα συστήματα, είτε παραγωγής είτε παροχής υπηρεσιών με την ευρεία έννοια, εμφανίζονται κατά κανόνα πολλαπλά φαινόμενα αναμονής, καθώς οι πελάτες πρέπει να εξυπηρετηθούν σε περισσότερα από ένα σημεία (κέντρα εξυπηρέτησης). Τα φαινόμενα αναμονής, που δημιουργούνται στα επιμέρους σημεία εξυπηρέτησης, συνδέονται σε ένα δίκτυο με διάφορους κόμβους, είτε σε σειρά είτε σε πιο σύνθετη μορφή (Ταγαράς, 2014) Δυναμική συστημάτων Με τον όρο σύστημα εννοείται ένα σύνολο από στοιχεία, έμψυχα ή άψυχα, με ορισμένες ανάμεσά τους σχέσεις, που έχει συγκεκριμένο σκοπό ύπαρξης. Κατά τη λειτουργία των πραγματικών συστημάτων κατά κανόνα ενδιαφέρει η βελτίωση της συνολικής συμπεριφοράς τους. Επομένως, κάθε πραγματικό σύστημα δέχεται μεταβολές στη λειτουργία του, μέχρι να βελτιστοποιηθεί και να επιτευχθεί ο σκοπός της ύπαρξής του (Γεωργιάδης, 2006). Κάθε φορά που χρειάζεται να μεταβληθεί η δομή ενός πραγματικού συστήματος ή να γίνει επιλογή ανάμεσα σε εναλλακτικές υποθέσεις ως προς τους κανόνες λειτουργίας του, απαιτείται η πρόβλεψη της συμπεριφοράς του, δηλαδή της κατάστασής του σε συνάρτηση με το χρόνο. Κι αυτό γιατί μόνο έτσι είναι δυνατή η εκ των προτέρων αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας των σχετικών αποφάσεων. Όμως κάτι τέτοιο στα πραγματικά συστήματα δεν είναι πολλές φορές εφικτό. Στις περιπτώσεις, που δεν είναι δυνατή η πρόβλεψη της συμπεριφοράς του συστήματος, θα πρέπει να λειτουργεί για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα κάτω από πιθανές εναλλακτικές υποθέσεις ως προς τη δομή και τους κανόνες λειτουργίας του (Γεωργιάδης, 2006). Επειδή οι προσεγγίσεις αυτές δεν είναι πολλές φορές αξιόπιστες και το κόστος πειραματισμού είναι πολύ μεγάλο, η αξιολόγηση του συστήματος πραγματοποιείται μέσω μοντελοποίησης (Lazowska, 1984). Δηλαδή θα πρέπει 15

28 να δημιουργηθεί το πρότυπό του συστήματος και να διεξαχθούν πειράματα πάνω σ αυτό. Αυτό ακριβώς κάνει η Δυναμική Συστημάτων, της οποίας το θεωρητικό υπόβαθρο βασίζεται στη Θεωρία Μη Γραμμικότητας (Γεωργιάδης, 2006). Ο πρώτος που εισήγαγε τις αρχές και τη μεθοδολογική προσέγγιση της Θεωρίας της Δυναμικής Συστημάτων ήταν ο J. W. Forrester το 1958 με το σύγγραμμά του Industrial Dynamics. Από τότε μέχρι σήμερα και με τη διεύρυνση του πλήθους και της ποικιλίας των προβλημάτων που αντιμετωπίζει η Δυναμική Συστημάτων έχει εδραιωθεί ως μια επιστημονική περιοχή, που παρέχει τη δυνατότητα ανάλυσης και σύνθεσης σύνθετων προβλημάτων (Γεωργιάδης, 2006). Η μεθοδολογική προσέγγιση της Δυναμικής Συστημάτων προϋποθέτει τη διαμόρφωση δυναμικών προτύπων. Τα πρότυπα αυτά είναι απλοποιημένες αναπαραστάσεις του πραγματικού συστήματος. Σε ένα μαθηματικό πρότυπο περιέχονται όλα τα δεδομένα του συστήματος, τα στοιχεία του περιβάλλοντος, που το επηρεάζουν, οι σχέσεις μεταβολής των επιμέρους στοιχείων κόστους ως συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης, οι διάφορες μεταβλητές, που περιγράφουν την κατάσταση του συστήματος σε κάθε περίοδο, όπως και οι μαθηματικές σχέσεις, που καθοδηγούν τη μετάβαση του συστήματος στη διάρκεια του ορίζοντα σχεδιασμού (Δημητριάδης & Μιχιώτης, 2007). Αρχικά πραγματοποιείται αναγνώριση του προβλήματος και οριοθετείται το σύστημα, ώστε να συμπεριλαμβάνει όλα εκείνα τα στοιχεία, που σχετίζονται με τη λειτουργία του και το εξεταζόμενο πρόβλημα. Στη συνέχεια, αποτυπώνεται η υφιστάμενη κατάσταση με τη χρήση συγκεκριμένων εργαλείων, όπως τα διαγράμματα επιρροής και τα διαγράμματα ροής και δημιουργείται ο κώδικας (μαθηματικές σχέσεις) του προτύπου χρησιμοποιώντας ειδικές προσομοιωτικές γλώσσες προγραμματισμού (Powersim 2.5c, κλπ.). Αφού αξιολογηθεί το πρότυπο ως προς την αξιοπιστία του, σχεδιάζονται και αξιολογούνται οι διάφορες εναλλακτικές πολιτικές, με τις οποίες αναμένεται να βελτιωθεί η προβληματική υφιστάμενη συμπεριφορά του συστήματος. Η σκοπιμότητα της χρήσης της Δυναμικής Συστημάτων βρίσκεται στη διευκόλυνση της κατανόησης της σχέσης μεταξύ της διαχρονικής συμπεριφοράς των συστημάτων και της δομής και των κανόνων λειτουργίας τους (Γεωργιάδης, 2006) Συστήματα αναμονής και Δυναμική Συστημάτων Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η μαθηματική ανάλυση των απλών Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής πραγματοποιείται μέσω μιας γενικής μεθοδολογίας, που είναι εύκολα εφαρμόσιμη. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις συστημάτων, όπως τα μη Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής και τα δίκτυα συστημάτων αναμονής, των οποίων η ανάλυση 16

29 παρουσιάζει ανυπέρβλητες μαθηματικές δυσκολίες, διότι απαιτείται αφενός η πλήρη γνώση του συστήματος και αφετέρου η δυνατότητα αναπαράστασης του συστήματος με μαθηματικά μοντέλα (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015). Στα σύνθετα προβλήματα, η μαθηματική ανάλυση οδηγεί σε απλοποιήσεις και παραδοχές, με αποτέλεσμα πολλές φορές το πρότυπο να μην αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά το πραγματικό σύστημα (Γεωργιάδης, 2006). Ως εκ τούτου αναπτύχθηκαν άλλες μεθοδολογίες μελέτης και ανάλυσης συστημάτων, οι οποίες αν και δεν είναι τόσο ακριβείς όσο οι μαθηματικές μέθοδοι, προσφέρουν σημαντικά πλεονεκτήματα. Μια από αυτές τις μεθόδους είναι η προσομοίωση, η οποία γνώρισε μεγάλη εξέλιξη κυρίως λόγο της ανάπτυξης των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Ρουμελιώτης & Σουραβλάς, 2015). Η πολυπλοκότητα σύνθετων συστημάτων αναμονής καθιστά δύσκολη την κατανόηση της λειτουργίας τους και την αξιολόγησή τους, επομένως κρίνεται απαραίτητη η χρήση της προσομοίωσης. Χωρίς την προσομοίωση, ο μόνος τρόπος βελτίωσης της συμπεριφοράς τέτοιων συστημάτων, ώστε να επιτυγχάνονται μικροί χρόνοι αναμονής και ταυτόχρονα μικρό κόστος εξυπηρέτησης, πραγματοποιείται μέσω άμεσων παρατηρήσεων και μεταβολών του τρόπου λειτουργίας τους. Όμως οι παρατηρήσεις αυτές γίνονται στην πράξη με πολύ αργό ρυθμό. Για τους δυο παραπάνω λόγους, η συμβολή της Δυναμικής Συστημάτων στην επίλυση πολύπλοκων συστημάτων αναμονής είναι πολύ σημαντική (Γεωργιάδης, 2006). Για τη μελέτη συστημάτων αναμονής με τη χρήση της Δυναμικής Συστημάτων αναπτύσσονται μαθηματικά πρότυπα. Για την επίλυση των μαθηματικών προτύπων χρησιμοποιούνται ειδικές προσομοιωτικές γλώσσες προγραμματισμού (Powersim, κλπ.), που διευκολύνουν τη σχετική διαδικασία (Γεωργιάδης, 2006). 17

30

31 ΜΕΡΟΣ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 19

32

33 3. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 3.1. Γενικά Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο πραγματοποιείται η μελέτη των κυριότερων Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής. Η μελέτη των συστημάτων συμπεριλαμβάνει την ανάπτυξη των δυναμικών τους προτύπων μέσω της προσομοιωτικής γλώσσας Powersim 2.5c. Ειδικότερα, αναπτύσσονται τα δυναμικά πρότυπα των συστημάτων Μ/Μ/1, Μ/Μ/θ και Μ/Μ/1/k, τα οποία συναντώνται κατά κανόνα στην πράξη Μεθοδολογική προσέγγιση Αφού αναπτυχθούν τα δυναμικά πρότυπα των Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής, πραγματοποιείται η αξιολόγησή τους. Για την αξιολόγηση των προτύπων χρησιμοποιούνται παραδείγματα πραγματικών συστημάτων. Τα δυναμικά πρότυπα προσομοιώνουν τη λειτουργία των πραγματικών συστημάτων. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης και συγκρίνονται με τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, τα οποία προκύπτουν από τη μαθηματική ανάλυση των συστημάτων σε μόνιμη κατάσταση. Όσο μικρότερη είναι η απόκλιση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης από τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, τόσο πιο αξιόπιστο είναι το δυναμικό πρότυπο Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Το σύστημα Μ/Μ/1 Στον τομέα παροχής υπηρεσιών, το ταμείο μιας τράπεζας, το ταμείο έκδοσης εισιτηρίων σε ένα σιδηροδρομικό σταθμό και ένας τηλεφωνικός θάλαμος, αποτελούν κλασικά παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/Μ/1. Στον τομέα παραγωγής, ένα μηχανουργείο, στο οποίο παράγονται προϊόντα μεγάλης ποικιλίας κατά παραγγελία και μια 21

34 αποθήκη, στην οποία φτάνουν προϊόντα για αποθήκευση, αποτελούν αντίστοιχα παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/Μ/1 (Γεωργιάδης, 2014) Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα 3.1. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου για το σύστημα Μ/Μ/1. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής ορίζονται στους ρυθμούς enter και gotoemployee. Η καταστατική μεταβλητή sumworkinline περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα, αυξάνεται με το ρυθμό enter, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotoemployee. Η καταστατική μεταβλητή workleft περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης. Η τιμή του επιπέδου workleft αυξάνεται με το ρυθμό gotoemployee και μειώνεται με το ρυθμό serve. Κάθε φορά, που ελευθερώνεται η θέση εξυπηρέτησης, η βοηθητική μεταβλητή ready δίνει εντολή στο ρυθμό gotoemployee, ώστε να ελευθερώσει τον πρώτο πελάτη, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να μεταφερθεί στη θέση εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός enter εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα και ορίζεται σύμφωνα με την κατανομή των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός gotoemployee δίνει ως αποτελέσματα τα qlen και qwait, τα οποία περιγράφουν σε κάθε χρονική στιγμή το μέγεθος της ουράς αναμονής και το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, ο πελάτης εξυπηρετείται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου εξυπηρέτησής του, το μέγιστο. Πάντως, ένας πελάτης δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το χαρακτηριστικό ορισμό του ρυθμού serve. Η καταστατική μεταβλητή sumenter περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το σύνολο των πελατών, που έχουν εισέλθει στο σύστημα. Η μεταβλητή αυτή αυξάνεται με το ρυθμό rythenter, ο οποίος επηρεάζεται από το ρυθμό enter. Η καταστατική μεταβλητή sumqwait περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των χρόνων αναμονής των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά, για να εξυπηρετηθούν. Η μεταβλητή αυτή αυξάνεται με το ρυθμό rythqwait, ο οποίος επηρεάζεται από την παράμετρο qlen. Η καταστατική μεταβλητή sumqlen περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα του αριθμού των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν. Τελικά, ο ρυθμός rythqlen, ο οποίος επηρεάζεται από την παράμετρο qlen αυξάνει την τιμή του επιπέδου sumqlen. Η τιμή της 22

35 βοηθητικής μεταβλητής avgqlen δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα παρά μόνο μετά το τέλος της προσομοίωσης και εκφράζει το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δυο αρνητικές αναδράσεις και μια θετική. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleft ready gotoemployee workleft. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleft serve workleft. Ανάδραση Α3 (θετική): workleft ready gotoemployee serve workleft. ΣΧΗΜΑ 3.1.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1. Στο Σχήμα 3.2. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkinline: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. workleft: Εκφράζει το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. sumenter: Εκφράζει το σύνολο των πελατών που έχουν μπει στο σύστημα [πελάτες]. 23

36 sumqlen: Εκφράζει το άθροισμα παρατηρήσεων, όπου οι παρατηρήσεις αποτελούν τον αριθμό των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [πελάτες]. sumqwait: Εκφράζει το άθροισμα των χρόνων αναμονής των πελατών [χρόνος αναμονής (χρονική μονάδα)]. Ρυθμοί enter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotoemployee: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στη θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve: Εκφράζει το ρυθμό εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythenter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών στο σύστημα [πελάτες/χρονικό βήμα]. rythqlen: Εκφράζει τον αριθμό των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, κάθε χρονικό βήμα [πελάτες/χρονικό βήμα]. rythqwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής των πελατών, που περιμένουν στην ουρά, κάθε χρονικό βήμα [χρόνος αναμονής (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. Βοηθητικές μεταβλητές ready: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα της θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή αν είναι ελεύθερη ή κατειλημμένη [αδιάστατο]. avgqlen: Η τιμή της συγκεκριμένης μεταβλητής δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα παρά μόνο μετά το τέλος της προσομοίωσης και εκφράζει το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. Σταθερές qlen: Εκφράζει το μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. qwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά [χρονική μονάδα]. 24

37 ΣΧΗΜΑ 3.2.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1 σε Powersim Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkinline= 0 flow sumworkinline= -dt*gotoemployee+dt*enter init workleft= 0 flow workleft= -dt*serve+dt*gotoemployee init sumenter= 0 flow sumenter= dt*rythenter init sumqlen= 0 25

38 flow sumqlen= dt*rythqlen init sumqwait= 0 flow sumqwait= dt*rythqwait b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter= POISSON(λ*TIMESTEP)/TIMESTEP*EXPRND(1/μ) aux gotoemployee=queue(enter,infinity,0,ready,qlen, qwait) aux serve= MIN(workleft/TIMESTEP+gotoemployee,1) aux rythenter= IF(enter<>0,1/TIMESTEP,0) aux rythqlen= qlen/timestep aux rythqwait= qlen c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux ready= workleft<=timestep aux avgqlen= sumqlen/((stoptime/timestep)+1) d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen= 0 const qwait= Δυναμική ανάλυση Για τη μελέτη του συστήματος Μ/Μ/1, παρουσιάζεται η περίπτωση ενός ταχυδρομείου με μια θέση εξυπηρέτησης. Οι αφίξεις των πελατών ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 0,2 πελάτες το λεπτό, ενώ ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 4 λεπτά. Η εξυπηρέτηση των πελατών γίνεται σύμφωνα με τη σειρά αφίξεων (FCFS). Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι πελάτες, άπειρος. Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία του ταχυδρομείου και παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του. Κατά την αξιολόγηση του συστήματος κυρίαρχο ρόλο έχουν το μέγεθος της ουράς αναμονής και ο χρόνος αναμονής. Στο Σχήμα 3.3. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των πελατών, οι οποίοι 26

39 περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν, ενώ στο Σχήμα 3.4. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των χρόνων αναμονής των πελατών στην ουρά. ΣΧΗΜΑ 3.3.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (πελάτες). ΣΧΗΜΑ 3.4.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των πελατών στην ουρά. 27

40 Αξιοπιστία προτύπου A. Συνθήκες βελτιστοποίησης Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, τα οποία προκύπτουν από τη μαθηματική ανάλυση του συστήματος. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση με λ=0,2 πελάτες ανά λεπτό και 1/μ=4 λεπτά, ο μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά αναμονής (L q ) και ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά (W q ) υπολογίζονται ως εξής: 2 2 0,2 L q 3,2 πελάτες. ( ) 0,25(0,25 0,2) 0,2 W q 16 λεπτά. ( ) 0,25(0,25 0,2) B. Αποτελέσματα σύγκρισης Στον Πίνακα 3.1. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, καθώς και αυτά της προσομοίωσης. Επιπλέον, πραγματοποιείται η σύγκριση των αποτελεσμάτων, για να παρατηρηθεί η απόκλιση του δυναμικού προτύπου από το πραγματικό σύστημα. Όσο μικρότερη είναι η απόκλιση, τόσο πιο ικανοποιητική είναι η προσέγγιση του προτύπου στα πραγματικά δεδομένα. Πίνακας 3.1.: Αποτελέσματα σύγκρισης για το σύστημα Μ/Μ/1. Μέσο μέγεθος ουράς αναμονής [πελάτες] Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά [λεπτά] Βελτιστοποίηση Προσομοίωση Απόκλιση [%] 3,2 2, ,11 0,7 Σύμφωνα με τη μαθηματική ανάλυση, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής στο σύστημα ανέρχεται στους 3,2 πελάτες, ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά είναι 16 λεπτά. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης προκύπτουν από ένα δείγμα είκοσι επαναλήψεων. Ο μέσος αριθμός πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, είναι 2,91, ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά προκύπτει από το άθροισμα των χρόνων αναμονής όλων των πελατών προς το σύνολο των πελατών, που μπήκαν στο 28

41 σύστημα και ανέρχεται στα 16,11 λεπτά. Η απόκλιση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης ως προς τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης είναι 9% για το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής και 0,7% για το μέσο χρόνο αναμονής Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η συμπεριφορά του συστήματος αναμονής σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του, προκειμένου να βρεθεί η αποτελεσματικότερη δομή του. Όταν οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με ρυθμό 0,2 πελάτες ανά λεπτό, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής ανέρχεται στους 2,91 πελάτες. Στο Σχήμα 3.5. παρουσιάζονται οι τιμές του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής για ορισμένες μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων των πελατών στο σύστημα. Παρόλα αυτά, οι αφίξεις συνεχίζουν να αποτελούν διαδικασία Poisson. Ειδικότερα, δίνονται τα αποτελέσματα του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, κατόπιν μείωσης του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 20% και 40%, καθώς και αύξησής του κατά 20% και 40%. Πιο συγκεκριμένα, η μείωση του μέσου ρυθμού αφίξεων των πελατών κατά 40%, οδηγεί σε σχεδόν μηδενικό μέσο μέγεθος ουράς αναμονής (0,42 πελάτες). Από την άλλη, η αύξηση του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 40%, αυξάνει σε μεγάλο βαθμό το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Αυτό συμβαίνει, διότι ο ρυθμός αφίξεων (0,28 πελάτες ανά λεπτό) υπερβαίνει τη δυναμικότητα εξυπηρέτησης (0,25 πελάτες ανά λεπτό). Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των πελατών στην ουρά αναμονής αυξάνεται συνεχώς. ΣΧΗΜΑ 3.5.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων. 29

42 Το σύστημα Μ/Μ/θ Στον τομέα παροχής υπηρεσιών, ένα τηλεφωνικό κέντρο με πολλές γραμμές εξυπηρέτησης, ένα κατάστημα ή ένα supermarket με πολλά ταμεία και ένα νοσοκομείο, αποτελούν κλασικά παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/Μ/θ. Στον τομέα παραγωγής ένα αντίστοιχο σύστημα θεωρείται μια επιχείρηση που αναλαμβάνει την κατασκευή έργων. Λόγω του αριθμού των ατόμων, που απασχολεί η επιχείρηση, είναι δυνατή η ταυτόχρονη κατασκευή περισσότερων του ενός έργων Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα 3.6. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου για το σύστημα Μ/Μ/θ. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής ορίζονται στους ρυθμούς enter και gototeller. Η καταστατική μεταβλητή sumworkinline περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά αναμονής. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα, αυξάνεται με το ρυθμό enter, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gototeller. Η καταστατική μεταβλητή workleft περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθούν οι θέσεις εξυπηρέτησης. Η τιμή του επιπέδου workleft αυξάνεται με το ρυθμό gototeller και μειώνεται με το ρυθμό serve. Κάθε φορά, που ελευθερώνεται μια θέση εξυπηρέτησης, η βοηθητική μεταβλητή ready δίνει εντολή στο ρυθμό gototeller, ώστε να ελευθερώσει τον πρώτο πελάτη, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να μεταφερθεί στην ελεύθερη θέση εξυπηρέτησης. Αν υπάρχουν περισσότερες από μια ελεύθερες θέσεις εξυπηρέτησης, η επιλογή γίνεται τυχαία. Ο ρυθμός enter εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα και ορίζεται σύμφωνα με την κατανομή των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός gototeller δίνει ως αποτελέσματα τα qlen και qwait, τα οποία περιγράφουν σε κάθε χρονική στιγμή το μέγεθος της ουράς αναμονής και το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, ο πελάτης εξυπηρετείται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου εξυπηρέτησής του, το μέγιστο. Πάντως, ένας πελάτης δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το χαρακτηριστικό ορισμό του ρυθμού serveclient. Η καταστατική μεταβλητή sumenter περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το σύνολο των πελατών, που έχουν εισέλθει στο σύστημα. Η μεταβλητή αυτή αυξάνεται με το ρυθμό rythenter, ο οποίος επηρεάζεται από το ρυθμό enter. Η καταστατική μεταβλητή sumqwait 30

43 περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των χρόνων αναμονής των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά. Η μεταβλητή αυτή αυξάνεται με το ρυθμό rythqwait, ο οποίος επηρεάζεται από την παράμετρο qlen. Η καταστατική μεταβλητή sumqlen περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα του αριθμού των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν. Τελικά, ο ρυθμός rythqlen, ο οποίος επηρεάζεται από την παράμετρο qlen, αυξάνει την τιμή του επιπέδου sumqlen. Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής avgqlen δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα παρά μόνο μετά το τέλος της προσομοίωσης και εκφράζει το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δυο αρνητικές αναδράσεις και μια θετική. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleft ready gototeller workleft. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleft serve workleft. Ανάδραση Α3 (θετική): workleft ready gototeller serve workleft. ΣΧΗΜΑ 3.6.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/θ. Στο Σχήμα 3.7. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα 31

44 sumworkinline: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. workleft: Είναι διάνυσμα και εκφράζει για κάθε θέση το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η συγκεκριμένη θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. sumenter: Εκφράζει το σύνολο των πελατών που έχουν μπει στο σύστημα [πελάτες]. sumqlen: Εκφράζει το άθροισμα παρατηρήσεων, όπου οι παρατηρήσεις αποτελούν τον αριθμό των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [πελάτες]. sumqwait: Εκφράζει το άθροισμα των χρόνων αναμονής των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος αναμονής (χρονική μονάδα)]. Ρυθμοί enter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gototeller: Είναι διάνυσμα και εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) σε κάθε θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve: Είναι διάνυσμα και εκφράζει το ρυθμό εξυπηρέτησης σε κάθε θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythenter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών στο σύστημα [πελάτες/χρονικό βήμα]. rythqlen: Εκφράζει τον αριθμό των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, κάθε χρονικό βήμα [πελάτες/χρονικό βήμα]. rythqwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, κάθε χρονικό βήμα [χρόνος αναμονής (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. Βοηθητικές μεταβλητές ready: Είναι διάνυσμα και εκφράζει τη διαθεσιμότητα της κάθε θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή αν είναι ελεύθερη ή κατειλημμένη [αδιάστατο]. avgqlen: Η τιμή της συγκεκριμένης μεταβλητής δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα παρά μόνο μετά το τέλος της προσομοίωσης και εκφράζει το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. Σταθερές qlen: Εκφράζει το μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. 32

45 qwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά [χρονική μονάδα]. ΣΧΗΜΑ 3.7.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/θ σε Powersim Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: range rservers= 1..3 a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkinline= 0 flow sumworkinline= -dt*arrsum(gototeller)+dt*enter dim workleft= rservers init workleft= 0 33

46 flow workleft= -dt*serve+dt*gototeller init sumenter= 0 flow sumenter= dt*rythenter init sumqlen= 0 flow sumqlen= dt*rythqlen init sumqwait= 0 flow sumqwait= dt*rythqwait b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter= POISSON(λ*TIMESTEP)/TIMESTEP*EXPRND(1/μ) dim gototeller= rservers aux gototeller= QUEUE(enter,INFINITY,0,ready,qlen,qwait) dim serve= rservers aux serve= MIN(workleft/TIMESTEP+gototeller,1) aux rythenter= IF(enter<>0,1/TIMESTEP,0) aux rythqlen= qlen/timestep aux rythqwait= qlen c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: dim ready=rservers aux ready= workleft<=timestep aux avgqlen= sumqlen/((stoptime/timestep)+1) d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen= 0 const qwait= Δυναμική ανάλυση Για τη μελέτη του συστήματος Μ/Μ/θ, παρουσιάζεται η περίπτωση μιας τράπεζας με τρεις όμοιες θέσεις εξυπηρέτησης και μια κοινή ουρά αναμονής. Οι αφίξεις των πελατών 34

47 ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 0,1 πελάτες το λεπτό, ενώ ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 20 λεπτά. Η εξυπηρέτηση των πελατών γίνεται σύμφωνα με τη σειρά αφίξεων (FCFS). Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι πελάτες, άπειρος. Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία της τράπεζας και παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά της. Κατά την αξιολόγηση του συστήματος κυρίαρχο ρόλο έχουν το μέγεθος της ουράς αναμονής και ο χρόνος αναμονής. Στο Σχήμα 3.8. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν, ενώ στο Σχήμα 3.9. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των χρόνων αναμονής των πελατών στην ουρά. ΣΧΗΜΑ 3.8.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (πελάτες). ΣΧΗΜΑ 3.9.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των πελατών στην ουρά. 35

48 Αξιοπιστία προτύπου A. Συνθήκες βελτιστοποίησης Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, τα οποία προκύπτουν από τη μαθηματική ανάλυση του συστήματος. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση με λ=0,1 πελάτες ανά λεπτό και 1/μ=20 λεπτά, ο μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά αναμονής (L q ) και ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά (W q ) υπολογίζονται ως εξής: L q ( / ) ( 1)!( ) 2 p 0 W q L q 0,1 Η τιμή του όρου είναι 2. 0,05 0,1 Επίσης, η τιμή του συντελεστή χρησιμοποίησης είναι 0, 67 3*0,05 και η πιθανότητα να είναι άδειο το σύστημα υπολογίζεται από τη σχέση 1 p0 1 n 31 n0 ( / ) n! ( / )! 1 1 ( / ) *0,1*0,05*0,11 Επομένως, L q 0, 88 2 πελάτες (31)!(3*0,05 0,1) 0,88 και W q 8, 8 λεπτά. 0,1 n0 n n! 3! 1 0,67 0,11 B. Αποτελέσματα σύγκρισης Στον Πίνακα 3.2. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, καθώς και αυτά της προσομοίωσης. Επιπλέον, πραγματοποιείται η σύγκριση των αποτελεσμάτων, για να παρατηρηθεί η απόκλιση του δυναμικού προτύπου από το πραγματικό σύστημα. Όσο μικρότερη είναι η απόκλιση, τόσο πιο ικανοποιητική είναι η προσέγγιση του προτύπου στα δεδομένα του πραγματικού συστήματος. 36

49 Πίνακας 3.2.: Αποτελέσματα σύγκρισης για το σύστημα Μ/Μ/3. Μέσο μέγεθος ουράς αναμονής [πελάτες] Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά [λεπτά] Βελτιστοποίηση Προσομοίωση Απόκλιση [%] 0,88 0,8 9 8,8 8,39 4,7 Σύμφωνα με τη μαθηματική ανάλυση, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής στο σύστημα ανέρχεται στους 0,88 πελάτες, ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά είναι 8,8 λεπτά. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης προκύπτουν από ένα δείγμα είκοσι επαναλήψεων. Ο μέσος αριθμός πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, είναι 0,8, ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά προκύπτει από το άθροισμα των χρόνων αναμονής όλων των πελατών προς το σύνολο των πελατών, που μπήκαν στο σύστημα και ανέρχεται στα 8,39 λεπτά. Η απόκλιση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης ως προς τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης είναι 9% για το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής και 4,7% για το μέσο χρόνο αναμονής Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η συμπεριφορά του συστήματος αναμονής σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του, προκειμένου να βρεθεί η αποτελεσματικότερη δομή του. Όταν οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με ρυθμό 0,1 πελάτες ανά λεπτό, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής ανέρχεται στους 0,8 πελάτες. Στο Σχήμα παρουσιάζονται οι τιμές του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής για ορισμένες μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων των πελατών στο σύστημα. Παρόλα αυτά, οι αφίξεις συνεχίζουν να αποτελούν διαδικασία Poisson. Ειδικότερα, δίνονται τα αποτελέσματα του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, κατόπιν μείωσης του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 30%, καθώς και αύξησής του κατά 30% και 60%. Πιο συγκεκριμένα, η μείωση του μέσου ρυθμού αφίξεων των πελατών κατά 30%, οδηγεί σε σχεδόν μηδενικό μέσο μέγεθος ουράς αναμονής (0,15 πελάτες). Από την άλλη, η αύξηση του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 60%, αυξάνει σε μεγάλο βαθμό το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Αυτό συμβαίνει, διότι ο ρυθμός αφίξεων (0,16 πελάτες ανά λεπτό) υπερβαίνει τη μέγιστη δυναμικότητα εξυπηρέτησης (0,15 πελάτες ανά λεπτό). Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των πελατών στην ουρά αναμονής αυξάνεται συνεχώς. 37

50 ΣΧΗΜΑ 3.10.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων. Όταν οι πελάτες, που εισέρχονται στο σύστημα, εξυπηρετούνται από τρεις θέσεις εξυπηρέτησης, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής ανέρχεται στους 0,8 πελάτες. Στο Σχήμα παρουσιάζονται οι τιμές του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, για διαφορετικό αριθμό θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα. Αν οι πελάτες εξυπηρετούνται από τέσσερις θέσεις εξυπηρέτησης, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής μειώνεται στους 0,15 πελάτες. Επίσης, αν οι θέσεις εξυπηρέτησης μειωθούν σε δυο, ο μέσος αριθμός πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, είναι 12,04. Παρατηρείται, λοιπόν, μια αύξηση του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, καθώς μειώνεται ο αριθμός των θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα. 38

51 ΣΧΗΜΑ 3.11.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για διαφορετικό αριθμό θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστημα Το σύστημα Μ/Μ/1/k: περιορισμένος χώρος αναμονής Στον τομέα παροχής υπηρεσιών, ένα κομμωτήριο, μια καφετέρια και ένα εστιατόριο, αποτελούν κλασικά παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/Μ/1/k. Στον τομέα παραγωγής, ένα χημικό εργαστήριο, στο οποίο αναλύεται συγκεκριμένος αριθμός δειγμάτων και ένα συνεργείο αυτοκινήτων, επίσης αποτελούν παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/Μ/1/k Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου για το σύστημα Μ/Μ/1/k. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής ορίζονται στους ρυθμούς enter και gotoemployee. Η καταστατική μεταβλητή sumworkinline περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά αναμονής. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα, αυξάνεται με το ρυθμό enter, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotoemployee. Η καταστατική μεταβλητή workleft περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης. Η τιμή του επιπέδου workleft αυξάνεται με το ρυθμό gotoemployee και μειώνεται με το ρυθμό serve. Κάθε φορά, που ελευθερώνεται η θέση 39

52 εξυπηρέτησης, η βοηθητική μεταβλητή ready δίνει εντολή στο ρυθμό gotoemployee, ώστε να ελευθερώσει τον πρώτο πελάτη, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να μεταφερθεί στη θέση εξυπηρέτησης. Στην περίπτωση, που περιμένουν k-1 πελάτες στην ουρά αναμονής, δεν μπορεί να εισέλθει κάποιος άλλος πελάτης στο σύστημα και αυτό εξασφαλίζεται από το ρυθμό gotoemployee. Ο ρυθμός enter εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στο σύστημα και ορίζεται σύμφωνα με την κατανομή των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός gotoemployee δίνει ως αποτελέσματα τα qlen και qwait, τα οποία περιγράφουν σε κάθε χρονική στιγμή το μέγεθος της ουράς αναμονής και το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, ο πελάτης εξυπηρετείται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου εξυπηρέτησής του, το μέγιστο. Πάντως, ένας πελάτης δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το χαρακτηριστικό ορισμό του ρυθμού serve. Η καταστατική μεταβλητή sumenter περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το σύνολο των πελατών, που έχουν εισέλθει στο σύστημα. Η μεταβλητή αυτή αυξάνεται με το ρυθμό rythenter, ο οποίος επηρεάζεται από το ρυθμό enter. Η καταστατική μεταβλητή sumqwait περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των χρόνων αναμονής των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά. Η μεταβλητή αυτή αυξάνεται με το ρυθμό rythqwait, ο οποίος επηρεάζεται από την παράμετρο qlen. Η καταστατική μεταβλητή sumqlen περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα του αριθμού των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν. Τελικά, ο ρυθμός rythqlen, ο οποίος επηρεάζεται από την παράμετρο qlen, αυξάνει την τιμή του επιπέδου sumqlen. Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής avgqlen δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα παρά μόνο μετά το τέλος της προσομοίωσης και εκφράζει το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δυο αρνητικές αναδράσεις και μια θετική. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleft ready gotoemployee workleft. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleft serve workleft. Ανάδραση Α3 (θετική): workleft ready gotoemployee serve workleft. 40

53 ΣΧΗΜΑ 3.12.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1/k. Στο Σχήμα παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkinline: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. workleft: Εκφράζει το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. sumenter: Εκφράζει το σύνολο των πελατών που έχουν μπει στο σύστημα [πελάτες]. sumqlen: Εκφράζει το άθροισμα παρατηρήσεων, όπου οι παρατηρήσεις αποτελούν τον αριθμό των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [πελάτες]. sumqwait: Εκφράζει το άθροισμα των χρόνων αναμονής των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος αναμονής (χρονική μονάδα)]. Ρυθμοί enter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotoemployee: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στη θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. 41

54 serve: Εκφράζει το ρυθμό εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythenter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών στο σύστημα [πελάτες/χρονικό βήμα]. rythqlen: Εκφράζει τον αριθμό των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, κάθε χρονικό βήμα [πελάτες/χρονικό βήμα]. rythqwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, κάθε χρονικό βήμα [χρόνος αναμονής (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. Βοηθητικές μεταβλητές ready: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα της θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή αν είναι ελεύθερη ή κατειλημμένη [αδιάστατο]. avgqlen: Η τιμή της συγκεκριμένης μεταβλητής δεν έχει κανένα ουσιαστικό νόημα παρά μόνο μετά το τέλος της προσομοίωσης και εκφράζει το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. Σταθερές qlen: Εκφράζει το μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. qwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά [χρονική μονάδα]. ΣΧΗΜΑ 3.13.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/Μ/1/k σε Powersim. 42

55 Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkinline= 0 flow sumworkinline= -dt*gotoemployee+dt*enter init workleft= 0 flow workleft= -dt*serve+dt*gotoemployee init sumenter= 0 flow sumenter= dt*rythenter init sumqlen= 0 flow sumqlen= dt*rythqlen init sumqwait= 0 flow sumqwait= dt*rythqwait b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter= POISSON(λ*TIMESTEP)/TIMESTEP*EXPRND(1/μ) aux gotoemployee= QUEUE(enter,k,0,ready,qlen,qwait) aux serve= MIN(workleft/TIMESTEP+gotoemployee,1) aux rythenter= IF((enter<>0)AND(qlen<>(k-1)),1/TIMESTEP,0) aux rythqlen= qlen/timestep aux rythqwait= qlen c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux ready= workleft<=timestep aux avgqlen= sumqlen/((stoptime/timestep)+1) d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: 43

56 const qlen= 0 const qwait= Δυναμική ανάλυση Για τη μελέτη του συστήματος Μ/Μ/1/k παρουσιάζεται η περίπτωση ενός πρατηρίου καυσίμων με μια θέση εξυπηρέτησης. Οι αφίξεις των οχημάτων ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 0,3 οχήματα το λεπτό, ενώ ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 5 λεπτά. Η εξυπηρέτηση των οχημάτων γίνεται σύμφωνα με τη σειρά αφίξεων (FCFS). Ο μέγιστος επιτρεπόμενος αριθμός οχημάτων στο σύστημα είναι τέσσερα και το μέγιστο μέγεθος της γραμμής αναμονής είναι τρία οχήματα. Ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται τα οχήματα, είναι άπειρος. Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία του πρατηρίου καυσίμων και παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του. Κατά την αξιολόγηση του συστήματος κυρίαρχο ρόλο έχουν το μέγεθος της ουράς αναμονής και ο χρόνος αναμονής. Στο Σχήμα παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των οχημάτων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής, ενώ στο Σχήμα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των χρόνων αναμονής των οχημάτων στην ουρά. Ο μέγιστος αριθμός οχημάτων, που μπορούν να βρίσκονται στο σύστημα, είναι τέσσερα, το οποίο δικαιολογεί τη μορφή του διαγράμματος του Σχήματος Στο σχήμα φαίνεται δικαιολογημένα, ότι το μέγεθος της ουράς αναμονής δε μπορεί να αυξηθεί πάνω από τρία οχήματα. ΣΧΗΜΑ 3.14.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (οχήματα). 44

57 ΣΧΗΜΑ 3.15.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των οχημάτων στην ουρά Αξιοπιστία προτύπου A. Συνθήκες βελτιστοποίησης Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, τα οποία προκύπτουν από τη μαθηματική ανάλυση του συστήματος. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση με λ=0,3 οχήματα ανά λεπτό και 1/μ=5 λεπτά, ο μέσος αριθμός μονάδων στην ουρά αναμονής (L q ) και ο μέσος χρόνος αναμονής ενός οχήματος στην ουρά (W q ) υπολογίζονται ως εξής: L q L ( 1 p0) W q L q 1 ( / ) 1 (0,3 / 0,2) Η πιθανότητα να είναι άδειο το σύστημα είναι p0 0, 08. k ( / ) 1 (0,3 / 0,2) Ο μέσος αριθμός μονάδων στο σύστημα είναι ( / ) ( k 1)( / ) L k 1 ( / ) 1 ( / ) k 1 1 0,3/ 0,2 (4 1)(0,3/ 0,2) 4 1 (0,3/ 0,2) 1 (0,3/ 0,2) ,76 οχήματα και ο μέσος ρυθμός εισόδου στο σύστημα είναι 1 ( / ) k 1 ( / ) k 1 (0,3 / 0,2) 0,3 4 1 (0,3 / 0,2) ,18 οχήματα/λεπτό. 45

58 Επομένως, L ( 1 p0 ) 2,76 (1 0,08) 1, 83 οχήματα L q Lq 1,83 και Wq 9, 92 λεπτά. 0,18 Τέλος, το ποσοστό των οχημάτων που αναχωρούν από το σύστημα, χωρίς να εξυπηρετηθούν, ταυτίζεται με το ποσοστό των οχημάτων, που βρίσκουν το σύστημα πλήρες και υπολογίζεται από τη σχέση: pk 1 ( / ) k 1 (0,3/ 0,2) 4 ( / ) (0,3/ 0,2) 0,3839 k ( / ) 1 (0,3/ 0,2) ή [38,39%]. B. Αποτελέσματα σύγκρισης Στον Πίνακα 3.3. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, καθώς και αυτά της προσομοίωσης. Επιπλέον, πραγματοποιείται η σύγκριση των αποτελεσμάτων, για να παρατηρηθεί η απόκλιση του δυναμικού προτύπου από το πραγματικό σύστημα. Όσο μικρότερη είναι η απόκλιση, τόσο πιο ικανοποιητική είναι η προσέγγιση. Πίνακας 3.3.: Αποτελέσματα σύγκρισης για το σύστημα Μ/Μ/1/4. Μέσο μέγεθος ουράς αναμονής [οχήματα] Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά [λεπτά] Ποσοστό αποχωρήσεων [%] Βελτιστοποίηση Προσομοίωση Απόκλιση [%] 1,83 1,82 0,5 9,92 11, ,39 38,5 0,28 Σύμφωνα με τη μαθηματική ανάλυση, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής στο σύστημα ανέρχεται στα 1,83 οχήματα, ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής ενός οχήματος στην ουρά είναι 9,92 λεπτά. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης προκύπτουν από ένα δείγμα είκοσι επαναλήψεων. Ο μέσος αριθμός οχημάτων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής, είναι 1,82, ενώ ο μέσος χρόνος αναμονής ενός οχήματος στην ουρά προκύπτει από το άθροισμα των χρόνων αναμονής όλων των οχημάτων προς το σύνολο των οχημάτων, που μπήκαν στο σύστημα και ανέρχεται στα 11,21 λεπτά. Επίσης, η μαθηματική ανάλυση έδειξε, ότι το ποσοστό αναχωρήσεων των οχημάτων είναι 38,39%. Αντίστοιχα, τα αποτελέσματα της προσομοίωσης δηλώνουν το 38,5% των οχημάτων, ως ποσοστό αναχωρήσεων. 46

59 Η απόκλιση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης ως προς τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης είναι 0,5% για το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής και 13% για το μέσο χρόνο αναμονής. Όσων αφορά το ποσοστό των οχημάτων, που φεύγουν από το σύστημα χωρίς να εξυπηρετηθούν, η σύγκριση των δυο μεθόδων δηλώνει 0,28% απόκλιση Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η συμπεριφορά του συστήματος αναμονής σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του, προκειμένου να βρεθεί η αποτελεσματικότερη δομή του. Ο χώρος αναμονής του συστήματος είναι περιορισμένος, επομένως υπάρχουν περιπτώσεις, στις οποίες οι αφίξεις των οχημάτων δεν μετατρέπονται σε εισόδους στο σύστημα. Σε αυτό το σημείο κρίνεται σκόπιμο να μελετηθεί το ποσοστό των οχημάτων, που δεν εξυπηρετείται. Όταν οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με ρυθμό 0,3 οχήματα ανά λεπτό, το ποσοστό των οχημάτων, που φεύγουν από το σύστημα χωρίς να εξυπηρετηθούν, λόγω περιορισμένης χωρητικότητας της ουράς αναμονής, είναι 38,5%. Στο Σχήμα παρουσιάζεται το ποσοστό αποχωρήσεων των οχημάτων, τα οποία δεν εξυπηρετούνται, για ορισμένες μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων στο σύστημα. Παρόλα αυτά, οι αφίξεις συνεχίζουν να αποτελούν διαδικασία Poisson. Ειδικότερα, δίνονται τα αποτελέσματα των αποχωρήσεων χωρίς εξυπηρέτηση κατόπιν μείωσης του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 30% και 60%, καθώς και αύξησής του κατά 30%. Πιο συγκεκριμένα, η μείωση του μέσου ρυθμού αφίξεων των οχημάτων κατά 60%, οδηγεί σε ποσοστό αποχωρήσεων 5,1%. Από την άλλη, η αύξηση του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 30%, αυξάνει σε μεγάλο βαθμό το ποσοστό αποχωρήσεων των οχημάτων (49,9%). Αυτό συμβαίνει, διότι ο ρυθμός αφίξεων (0,39 οχήματα ανά λεπτό) υπερβαίνει τη δυναμικότητα εξυπηρέτησης (0,2 οχήματα ανά λεπτό) και το μέγεθος της ουράς αναμονής είναι περιορισμένο. 47

60 ΣΧΗΜΑ 3.16.: Το ποσοστό αποχωρήσεων των οχημάτων από το σύστημα για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων Συμπεράσματα Οι δυνατότητες των δυναμικών προτύπων για τα Μαρκοβιανα συστήματα αναμονής παρουσιάστηκαν μέσω της εφαρμογής τους σε πραγματικά παραδείγματα. Η προσέγγιση των προσομοιωτικών μοντέλων στα πραγματικά δεδομένα κρίνεται ανάλογα με το μέγεθος των αποκλίσεων των αποτελεσμάτων τους από τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης. Όσο μικρότερη είναι η απόκλιση, τόσο πιο ικανοποιητικά αντιπροσωπεύει το δυναμικό πρότυπο τη λειτουργία του πραγματικού συστήματος. Η απόκλιση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης ως προς τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης του συστήματος Μ/Μ/1 είναι 9% για το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής και 0,7% για το μέσο χρόνο αναμονής. Το ποσοστό απόκλισης για το μέσο χρόνο αναμονής βρίσκεται σε αποδεκτό επίπεδο, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής είναι αρκετά ικανοποιητικό. Η αξιοπιστία του δυναμικού προτύπου για το σύστημα Μ/Μ/θ είναι αρκετά ικανοποιητική αλλά όχι απόλυτα, διότι η απόκλιση των αποτελεσμάτων είναι 9% για το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής και 4,7% για το μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά. Τέλος, η αξιολόγηση του δυναμικού προτύπου για το σύστημα Μ/Μ/1/k έδειξε, ότι η απόκλιση από το πραγματικό σύστημα του μέσου χρόνου αναμονής στην ουρά είναι 13%. Αντίθετα, η συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής και το ποσοστό αποχωρήσεων 48

61 προσεγγίζουν με ακρίβεια τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά του πραγματικού συστήματος και οι αποκλίσεις τους είναι 0,5% και 0,28% αντίστοιχα. Συνεπώς, τα δυναμικά πρότυπα των Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής αντιπροσωπεύουν αρκετά ικανοποιητικά τη λειτουργία των πραγματικών συστημάτων και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη τους, λαμβάνοντας υπόψη την ύπαρξη μικρών αποκλίσεων στα αποτελέσματα. 49

62

63 4. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΜΗ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 4.1. Γενικά Στο παρόν κεφάλαιο πραγματοποιείται η μελέτη των βασικότερων μη Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής. Η μελέτη των συστημάτων συμπεριλαμβάνει την ανάπτυξη των δυναμικών τους προτύπων μέσω της προσομοιωτικής γλώσσας Powersim 2.5c. Ειδικότερα, αναπτύσσονται τα δυναμικά πρότυπα των συστημάτων Μ/G/1, Μ/D/1 και D/D/1, τα οποία συναντώνται κατά κανόνα στην πράξη Μεθοδολογική προσέγγιση Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα δυναμικά πρότυπα των βασικότερων μη Μαρκοβιανών συστημάτων αναμονής. Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων, που αποδίδουν τα δυναμικά πρότυπα, χρησιμοποιούνται παραδείγματα πραγματικών συστημάτων. Τα πρότυπα προσομοιώνουν τη λειτουργία των πραγματικών συστημάτων αναμονής και στη συνέχεια παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά τους Μη Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Το σύστημα Μ/G/1 Στον τομέα παροχής υπηρεσιών, το γραφείο ελέγχου αποσκευών σε ένα αεροδρόμιο και η πραγματοποίηση παραγγελιών σε μια πιτσαρία, αποτελούν κλασικά παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/G/1. Στον τομέα παραγωγής, ένα ανυψωτικό όχημα, που μεταφέρει τα προϊόντα στο χώρο αποθήκευσης, επίσης αποτελεί παράδειγμα εφαρμογής του συστήματος Μ/G/1 (Thomopoulos, 2012). 51

64 Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα 4.1. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου για το σύστημα Μ/G/1. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής ορίζονται στους ρυθμούς arrivals και gotomachine. Η καταστατική μεταβλητή sumworkinline περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά αναμονής. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα, αυξάνεται με το ρυθμό arrivals, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotomachine. Η καταστατική μεταβλητή workleft περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης. Η τιμή του επιπέδου workleft αυξάνεται με το ρυθμό gotomachine και μειώνεται με το ρυθμό serve. Κάθε φορά, που ελευθερώνεται η θέση εξυπηρέτησης, η βοηθητική μεταβλητή ready δίνει εντολή στο ρυθμό gotomachine, ώστε να ελευθερώσει τον πρώτο πελάτη, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να μεταφερθεί στη θέση εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός arrivals εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα και ορίζεται σύμφωνα με την κατανομή των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός gotomachine δίνει ως αποτελέσματα τα qlen και qwait, τα οποία περιγράφουν σε κάθε χρονική στιγμή το μέγεθος της ουράς αναμονής και το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, ο πελάτης εξυπηρετείται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου εξυπηρέτησής του, το μέγιστο. Πάντως, ένας πελάτης δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το χαρακτηριστικό ορισμό του ρυθμού serve. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δυο αρνητικές αναδράσεις και μια θετική. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleft ready gotomachine workleft. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleft serve workleft. Ανάδραση Α3 (θετική): workleft ready gotomachine serve workleft. 52

65 ΣΧΗΜΑ 4.1.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/G/1. Στο Σχήμα 4.2. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkinline: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. workleft: Εκφράζει το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. Ρυθμοί arrivals: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στο σύστημα [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotomachine: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των πελατών (ή των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης) στη θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve: Εκφράζει το ρυθμό εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. Βοηθητικές μεταβλητές ready: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα της θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή αν είναι ελεύθερη ή κατειλημμένη [αδιάστατο]. Σταθερές qlen: Εκφράζει το μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. qwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά [χρονική μονάδα]. 53

66 ΣΧΗΜΑ 4.2.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/G/1 σε Powersim Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkinline= 0 flow sumworkinline= -dt*gotomachine+dt*arrivals init workleft= 0 flow workleft= -dt*serve+dt*gotomachine b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux arrivals= POISSON(λ*TIMESTEP)/TIMESTEP*NORMAL(1/μ,σ) aux gotomachine= QUEUE(arrivals,INFINITY,0,ready,qlen,qwait) aux serve= MIN(workleft/TIMESTEP+gotomachine,1) c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux ready= workleft<=timestep d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen= 0 54

67 const qwait= Δυναμική ανάλυση Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων του δυναμικού προτύπου του συστήματος Μ/G/1, παρουσιάζεται η περίπτωση μιας Αυτόματης Ταμειολογιστικής Μηχανής (ATM Automated Teller Machine) με μια θέση εξυπηρέτησης. Οι αφίξεις των πελατών ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 0,16 πελάτες το λεπτό, ενώ ο χρόνος κάθε εξυπηρέτησης ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 5 λεπτά και τυπική απόκλιση 1 λεπτό. Η εξυπηρέτηση των πελατών γίνεται σύμφωνα με τη σειρά αφίξεων (FCFS). Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι πελάτες, είναι άπειρος. Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία του ATM και παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του. Κατά την αξιολόγηση του συστήματος κυρίαρχο ρόλο έχουν το μέγεθος της ουράς αναμονής και ο χρόνος αναμονής. Στο Σχήμα 4.3. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των πελατών, οι οποίοι περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να εξυπηρετηθούν, ενώ στο Σχήμα 4.4. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των χρόνων αναμονής των πελατών στην ουρά. ΣΧΗΜΑ 4.3.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (πελάτες). 55

68 ΣΧΗΜΑ 4.4.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των πελατών στην ουρά Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η συμπεριφορά του συστήματος αναμονής σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του, προκειμένου να βρεθεί η αποτελεσματικότερη δομή του. Όταν οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με ρυθμό 0,16 πελάτες ανά λεπτό, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής ανέρχεται στους 1,42 πελάτες. Στο Σχήμα 4.5. παρουσιάζονται οι τιμές του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής για ορισμένες μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων των πελατών στο σύστημα. Παρόλα αυτά, οι αφίξεις συνεχίζουν να αποτελούν διαδικασία Poisson. Ειδικότερα, δίνονται τα αποτελέσματα του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, κατόπιν μείωσης του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 20%, καθώς και αύξησής του κατά 20% και 40%. Πιο συγκεκριμένα, η μείωση του μέσου ρυθμού αφίξεων των πελατών κατά 20%, οδηγεί σε σχεδόν μηδενικό μέσο μέγεθος ουράς αναμονής (0,48 πελάτες). Από την άλλη, η αύξηση του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 40%, αυξάνει σε μεγάλο βαθμό το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Αυτό συμβαίνει, διότι ο ρυθμός αφίξεων (0,22 πελάτες ανά λεπτό) υπερβαίνει τη δυναμικότητα εξυπηρέτησης (μ=1/5 πελάτες ανά λεπτό). Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των πελατών στην ουρά αναμονής αυξάνεται συνεχώς. 56

69 ΣΧΗΜΑ 4.5.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων Το σύστημα Μ/D/1 Στον τομέα παροχής υπηρεσιών, ένα πλυντήριο αυτοκινήτων και ένας αυτόματος πωλητής αποτελούν κλασικά παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/D/1 (Thomopoulos, 2012). Στον τομέα παραγωγής, η επισκευή συγκεκριμένου τύπου μηχανήματος και η παραγωγή συγκεκριμένου προϊόντος, επίσης αποτελούν παραδείγματα εφαρμογής του συστήματος Μ/D/ Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα 4.6. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου για το σύστημα Μ/D/1. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής ορίζονται στους ρυθμούς enter και start. Η καταστατική μεταβλητή sumworkinline περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα, αυξάνεται με το ρυθμό enter, ενώ μειώνεται με το ρυθμό start. Η καταστατική μεταβλητή workleft περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης. Η τιμή του επιπέδου workleft αυξάνεται με το ρυθμό start και μειώνεται με το ρυθμό serve. Κάθε φορά, που ελευθερώνεται η θέση εξυπηρέτησης, η βοηθητική μεταβλητή ready δίνει εντολή στο 57

70 ρυθμό start, ώστε να ελευθερώσει τον πρώτο πελάτη, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να ξεκινήσει η εξυπηρέτησή του. Ο ρυθμός enter εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στο σύστημα και ορίζεται σύμφωνα με την κατανομή των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός start δίνει ως αποτελέσματα τα qlen και qwait, τα οποία περιγράφουν σε κάθε χρονική στιγμή το μέγεθος της ουράς αναμονής και το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, ο πελάτης εξυπηρετείται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου εξυπηρέτησής του, το μέγιστο. Πάντως, ένας πελάτης δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα από το απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το χαρακτηριστικό ορισμό του ρυθμού serve. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δυο αρνητικές αναδράσεις και μια θετική. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleft ready start workleft. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleft serve workleft. Ανάδραση Α3 (θετική): workleft ready start serve workleft. ΣΧΗΜΑ 4.6.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος Μ/D/1. Στο Σχήμα 4.7. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkinline: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. workleft: Εκφράζει το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. 58

71 Ρυθμοί enter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στο σύστημα [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. start: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στη θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve: Εκφράζει το ρυθμό εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. Βοηθητικές μεταβλητές ready: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα της θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή αν είναι ελεύθερη ή κατειλημμένη [αδιάστατο]. Σταθερές qlen: Εκφράζει το μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. qwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά [χρονική μονάδα]. ΣΧΗΜΑ 4.7.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος M/D/1 σε Powersim Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: μέρες Βήμα προσομοίωσης: 1 μέρα Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: 59

72 init sumworkinline= 0 flow sumworkinline= -dt*start+dt*enter init workleft= 0 flow workleft= -dt*serve+dt*start b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter= POISSON(λ*TIMESTEP)/TIMESTEP*(1/μ) aux start= QUEUE(enter,INFINITY,0,ready,qlen,qwait) aux serve= MIN(workleft/TIMESTEP+start,1) c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux ready= workleft<=timestep d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen= 0 const qwait= Δυναμική ανάλυση Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων του δυναμικού προτύπου του συστήματος Μ/D/1, παρουσιάζεται η περίπτωση ενός συστήματος παραγωγής κατά παραγγελία με ένα σταθμό εργασίας. Οι αφίξεις των παραγγελιών ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 0,4 προϊόντα την ημέρα, ενώ ο χρόνος παραγωγής είναι σταθερός και ίσος με 2 ημέρες. Η παραγωγή των προϊόντων γίνεται σύμφωνα με τη σειρά αφίξεων των παραγγελιών (FCFS). Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται οι παραγγελίες, είναι άπειρος. Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία του συστήματος παραγωγής και παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του. Κατά την αξιολόγηση του συστήματος κυρίαρχο ρόλο έχουν το μέγεθος της ουράς αναμονής και ο χρόνος αναμονής. Στο Σχήμα 4.8. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των παραγγελιών, οι οποίες περιμένουν στην ουρά αναμονής, μέχρι να δοθεί εντολή για την έναρξη της παραγωγής των προϊόντων, ενώ στο Σχήμα 4.9. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των χρόνων αναμονής των παραγγελιών στην ουρά. 60

73 ΣΧΗΜΑ 4.8.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (παραγγελίες). ΣΧΗΜΑ 4.9.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (ημέρες) των παραγγελιών στην ουρά Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η συμπεριφορά του συστήματος αναμονής σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του, προκειμένου να βρεθεί η αποτελεσματικότερη δομή του. Όταν οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με ρυθμό 0,4 παραγγελίες ανά ημέρα, το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής ανέρχεται στις 0,94 παραγγελίες. Στο Σχήμα παρουσιάζονται οι τιμές του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής για ορισμένες μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων των παραγγελιών στο σύστημα. Παρόλα αυτά, οι αφίξεις συνεχίζουν να αποτελούν διαδικασία Poisson. Ειδικότερα, δίνονται τα αποτελέσματα του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, κατόπιν μείωσης του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 20%, καθώς και αύξησής του κατά 20% και 40%. Πιο συγκεκριμένα, η μείωση του μέσου ρυθμού αφίξεων των παραγγελιών κατά 20%, οδηγεί σε σχεδόν μηδενικό μέσο μέγεθος 61

74 ουράς αναμονής (0,25 παραγγελίες). Από την άλλη, η αύξηση του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 40%, αυξάνει σε μεγάλο βαθμό το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Αυτό συμβαίνει, διότι ο ρυθμός αφίξεων (0,56 παραγγελίες ανά ημέρα) υπερβαίνει τη δυναμικότητα εξυπηρέτησης (μ=1/2 παραγγελίες ανά ημέρα). Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των παραγγελιών στην ουρά αναμονής αυξάνεται συνεχώς. Για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, που διήρκησε η προσομοίωση, η μέση τιμή του μεγέθους της ουράς αναμονής είναι 115,4 παραγγελίες. ΣΧΗΜΑ 4.10.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων Το σύστημα D/D/1 Το σύστημα D/D/1 δεν εμφανίζεται συνήθως στον τομέα παροχής υπηρεσιών, αλλά αποτελεί κλασικό παράδειγμα σε αυτοματοποιημένα συστήματα. Τέτοια συστήματα εμφανίζονται κυρίως στον τομέα παραγωγής. Κλασικό παράδειγμα αποτελεί ένα σύστημα γραμμής συναρμολόγησης με ένα σταθμό εργασίας (Γεωργιάδης, 2014). Αυτά τα συστήματα χρησιμοποιούνται για την παραγωγή σχετικά μικρής ποικιλίας προϊόντων σε μεγάλους όγκους και μπορούν να διαθέτουν τόσο αυτοματοποιημένη όσο και χειρονακτική παραγωγική διαδικασία (Δημητριάδης & Μηχιώτης, 2007). 62

75 Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου για το σύστημα D/D/1. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής ορίζονται στους ρυθμούς enter και gotomachine. Η καταστατική μεταβλητή sumworkinline περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα, αυξάνεται με το ρυθμό enter, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotomachine. Η καταστατική μεταβλητή workleft περιγράφει σε κάθε χρονική στιγμή το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης. Η τιμή του επιπέδου workleft αυξάνεται με το ρυθμό gotomachine και μειώνεται με το ρυθμό serve. Κάθε φορά, που ελευθερώνεται η θέση εξυπηρέτησης, η βοηθητική μεταβλητή ready δίνει εντολή στο ρυθμό gotomachine, ώστε να ελευθερώσει τον πρώτο πελάτη, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να ξεκινήσει η εξυπηρέτησή του. Ο ρυθμός enter εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στο σύστημα και ορίζεται σύμφωνα με την κατανομή των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός gotomachine δίνει ως αποτελέσματα τα qlen και qwait, τα οποία περιγράφουν σε κάθε χρονική στιγμή το μέγεθος της ουράς αναμονής και το χρόνο αναμονής του κάθε πελάτη στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, ο πελάτης εξυπηρετείται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου εξυπηρέτησής του, το μέγιστο. Πάντως, ένας πελάτης δεν πρόκειται να εξυπηρετηθεί σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα από το απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το χαρακτηριστικό ορισμό του ρυθμού serve. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δυο αρνητικές αναδράσεις και μια θετική. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleft ready gotomachine workleft. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleft serve workleft. Ανάδραση Α3 (θετική): workleft ready gotomachine serve workleft. 63

76 ΣΧΗΜΑ 4.11.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος D/D/1. Στο Σχήμα παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkinline: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης των πελατών, που περιμένουν στην ουρά αναμονής [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. workleft: Εκφράζει το χρόνο εξυπηρέτησης, που απομένει, μέχρι να ελευθερωθεί η θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)]. Ρυθμοί enter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στο σύστημα [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotomachine: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των απαιτούμενων χρόνων εξυπηρέτησης στη θέση εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve: Εκφράζει το ρυθμό εξυπηρέτησης [χρόνος εξυπηρέτησης (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. Βοηθητικές μεταβλητές ready: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα της θέσης εξυπηρέτησης, δηλαδή αν είναι ελεύθερη ή κατειλημμένη [αδιάστατο]. Σταθερές qlen: Εκφράζει το μέγεθος της ουράς αναμονής [πελάτες]. qwait: Εκφράζει το χρόνο αναμονής στην ουρά [χρονική μονάδα]. 64

77 ΣΧΗΜΑ 4.12.: Το διάγραμμα ροής του συστήματος D/D/1 σε Powersim Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkinline= 0 flow sumworkinline= -dt*gotomachine+dt*enter init workleft= 0 flow workleft= -dt*serve+dt*gotomachine b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter= λ*timestep/timestep*(1/μ) aux gotomachine= QUEUE(enter,INFINITY,0,ready,qlen,qwait) aux serve= MIN(workleft/TIMESTEP+gotomachine,1) c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux ready= workleft<=timestep d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen= 0 65

78 const qwait= Δυναμική ανάλυση Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων του δυναμικού προτύπου του συστήματος D/D/1, παρουσιάζεται η περίπτωση μιας αυτοματοποιημένης γραμμής παραγωγής με ένα σταθμό εργασίας. Ο ρυθμός αφίξεων των προϊόντων προς κατεργασία, στο σταθμό εργασίας, είναι σταθερός και ίσος με 0,18 προϊόντα το λεπτό, ενώ ο χρόνος κατεργασίας είναι σταθερός και ίσος με 5 λεπτά. Η κατεργασία των προϊόντων γίνεται σύμφωνα με τη σειρά αφίξεων των προϊόντων (FCFS). Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και ο πληθυσμός, από τον οποίο προέρχονται τα προϊόντα, είναι άπειρος. Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία του συστήματος παραγωγής και παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του. Κατά την αξιολόγηση του συστήματος κυρίαρχο ρόλο έχουν το μέγεθος της ουράς αναμονής και ο χρόνος αναμονής. Στο Σχήμα παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής, για να κατεργαστούν, ενώ στο Σχήμα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των χρόνων αναμονής των προϊόντων στην ουρά. Παρατηρείται, ότι τα προϊόντα βρίσκουν άδειο το σταθμό εργασίας και η κατεργασία τους ξεκινά αμέσως, χωρίς να χρειαστεί να περιμένουν στην ουρά αναμονής. Αυτό προκύπτει από το γεγονός, ότι οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων των προϊόντων είναι σταθεροί και ρυθμισμένοι, ώστε να υπερβαίνουν τον χρόνο κατεργασίας τους, με αποτέλεσμα το μέγεθος της ουράς αναμονής να μην αυξάνεται απεριόριστα. ΣΧΗΜΑ 4.13.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα). 66

79 ΣΧΗΜΑ 4.14.: Η δυναμική συμπεριφορά του χρόνου αναμονής (λεπτά) των προϊόντων στην ουρά Διερεύνηση δυναμικής συμπεριφοράς Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η συμπεριφορά του συστήματος αναμονής σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του, προκειμένου να βρεθεί η αποτελεσματικότερη δομή του. Όταν οι αφίξεις στο σύστημα γίνονται με ρυθμό 0,18 προϊόντα ανά λεπτό, στην ουσία δε δημιουργείται ουρά αναμονής. Το ίδιο συμβαίνει και για οποιαδήποτε άλλη τιμή του μέσου ρυθμού αφίξεων, που είναι μικρότερη ή ίση από τη δυναμικότητα του σταθμού εργασίας. Αντίθετα, αν ο χρόνος μεταξύ αφίξεων των προϊόντων προς κατεργασία είναι μικρότερος από το χρόνο κατεργασίας, το μέγεθος της ουράς αναμονής αυξάνεται συνεχώς. Τα παραπάνω δικαιολογούν τη μορφή του Σχήματος Στο σχήμα δίνονται τα αποτελέσματα του μέσου μεγέθους της ουράς αναμονής, κατόπιν μείωσης του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 10%, καθώς και αύξησής του κατά 10% και 20%. Η αύξηση του μέσου ρυθμού αφίξεων κατά 20%, αυξάνει σε μεγάλο βαθμό το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής. Για το χρονικό διάστημα των λεπτών, περιμένουν στην ουρά αναμονής 185 προϊόντα κατά μέσο όρο. 67

80 ΣΧΗΜΑ 4.15.: Το μέσο μέγεθος της ουράς αναμονής για μεταβολές του μέσου ρυθμού αφίξεων Συμπεράσματα Οι δυνατότητες των δυναμικών προτύπων για τα μη Μαρκοβιανα συστήματα αναμονής παρουσιάστηκαν μέσω της εφαρμογής τους σε πραγματικά παραδείγματα. Χρησιμοποιώντας τα δυναμικά πρότυπα, αναλύθηκε η δυναμική συμπεριφορά κάθε συστήματος και διερευνήθηκε η συμπεριφορά του σε μεταβολές των χαρακτηριστικών του. Αναλύοντας τα χαρακτηριστικά του συστήματος και παρατηρώντας τις μεταβολές του, επιτυγχάνεται η πλήρη κατανόηση της λειτουργίας του. 68

81 5. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 5.1. Γενικά Στο παρόν κεφάλαιο πραγματοποιείται η ανάπτυξη δυναμικών προτύπων για δίκτυα συστημάτων αναμονής μέσω της προσομοιωτικής γλώσσας Powersim 2.5c. Πρόκειται για τη μελέτη σύνθετων και πιο πολύπλοκων συστημάτων. Ειδικότερα, αναπτύσσονται τα δυναμικά πρότυπα δυο συστημάτων παραγωγής. Το πρώτο σύστημα αποτελείται από μια γραμμή παραγωγής και οι σταθμοί εργασίας του βρίσκονται σε σειρά. Στο δεύτερο σύστημα η γραμμή παραγωγής αποτελείται από παράλληλους σταθμούς εργασίας Μεθοδολογική προσέγγιση Η ανάπτυξη των δυναμικών προτύπων αυτού του κεφαλαίου πραγματοποιείται για τη μελέτη συγκεκριμένων παραδειγμάτων δικτύων αναμονής. Επομένως, τα πρότυπα, που ακολουθούν, δε μπορούν να θεωρηθούν γενικευμένα για να χρησιμοποιηθούν σε άλλες περιπτώσεις. Αφού αναπτυχθούν τα πρότυπα των δικτύων αναμονής, πραγματοποιείται η ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του και παρουσιάζονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα Γραμμή παραγωγής Στη συγκεκριμένη ενότητα παρουσιάζεται η μελέτη μιας γραμμής παραγωγής με σταθμούς εργασίας, οι οποίοι είναι σε σειρά. Ειδικότερα, ένα παραγωγικό σύστημα αποτελείται από τέσσερις σταθμούς εργασίας σε σειρά. Οι χρόνοι επεξεργασίας σε κάθε σταθμό είναι σταθεροί και ίσοι με 11, 10, 11 και 12 λεπτά. Οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων προϊόντων προς επεξεργασία ακολουθούν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 14 λεπτά. Πριν από κάθε σταθμό υπάρχει δυνατότητα αποθήκευσης απεριόριστου αριθμού προϊόντων, ενώ ο χρόνος μεταφοράς μεταξύ των σταθμών είναι αμελητέος. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μετά το τέλος της επεξεργασίας κάποιου προϊόντος στους σταθμούς 1 έως 4 το προϊόν πρέπει να επιστρέψει στο σταθμό και να υποστεί επεξεργασία για δεύτερη φορά. Η πιθανότητα να απαιτηθεί επανακατεργασία είναι ίδια σε όλους τους σταθμούς και είναι ανεξάρτητη από το 69

82 γεγονός ότι κάποιο προϊόν χρειάστηκε ήδη να υποστεί επανακατεργασία. Η πιθανότητα αυτή εκτιμάται, ότι είναι 5% (Βλάχος, 2015). Στη συνέχεια παρουσιάζεται το δυναμικό πρότυπο του συστήματος και αναλύεται η δυναμική συμπεριφορά του Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα 5.1. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος, όσων αφορά τη διαδικασία αφίξεων και τους χρόνους επεξεργασίας των προϊόντων σε κάθε σταθμό εργασίας, ορίζονται στις βοηθητικές μεταβλητές enter, nextstation2, nextstation3 και nextstation4. Η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline1 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter1, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation1. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct1 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct1 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation1 και μειώνεται με το ρυθμό serve1. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready1 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation1, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας και να ξεκινήσει η επεξεργασία του. Ο ρυθμός gotostation1 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen1 και qwait1, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve1. Μετά το τέλος της επεξεργασίας ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, υπάρχει πιθανότητα να επιστρέψει στον ίδιο σταθμό, για να υποστεί επανακατεργασία ή να μεταφερθεί στο δεύτερο σταθμό εργασίας. Τελικά, ο ρυθμός enter1 προκύπτει από το σύνολο των προϊόντων, που εισέρχονται στο σύστημα και αυτών, που επιστρέφουν στον πρώτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν. Η καταστατική μεταβλητή sit1 δηλώνει, σε κάθε χρονική στιγμή, αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας. Η τιμή του επιπέδου sit1 70

83 αυξάνεται με το ρυθμό rythm11 και μειώνεται με το ρυθμό rythm12, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας. Επομένως, η τιμή του συγκεκριμένου επιπέδου επηρεάζει τη μεταφορά ενός προϊόντος στον προηγούμενο ή στον επόμενο σταθμό εργασίας. Στη συνέχεια, η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline2 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του δεύτερου σταθμού εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter2, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation2. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct2 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct2 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation2 και μειώνεται με το ρυθμό serve2. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready2 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation2, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής του δεύτερου σταθμού εργασίας και να ξεκινήσει η επεξεργασία του. Ο ρυθμός gotostation2 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen2 και qwait2, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του δεύτερου σταθμού εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve2. Μετά το τέλος της επεξεργασίας ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας, υπάρχει πιθανότητα να επιστρέψει στον ίδιο σταθμό, για να υποστεί επανακατεργασία ή να μεταφερθεί στον τρίτο σταθμό εργασίας. Τελικά, ο ρυθμός enter2 προκύπτει από το σύνολο των προϊόντων, που μεταφέρονται από τον πρώτο σταθμό εργασίας και αυτών, που επιστρέφουν στο δεύτερο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν. Η καταστατική μεταβλητή sit2 δηλώνει, σε κάθε χρονική στιγμή, αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας. Η τιμή του επιπέδου sit2 αυξάνεται με το ρυθμό rythm21 και μειώνεται με το ρυθμό rythm22, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας. Επομένως, η τιμή του συγκεκριμένου επιπέδου επηρεάζει τη μεταφορά ενός προϊόντος στον προηγούμενο ή στον επόμενο σταθμό εργασίας. 71

84 Ακολουθεί η επεξεργασία στον τρίτο σταθμό εργασίας. Η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline3 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter3, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation3. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct3 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct3 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation3 και μειώνεται με το ρυθμό serve3. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready3 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation3, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας και να ξεκινήσει η επεξεργασία του. Ο ρυθμός gotostation3 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen3 και qwait3, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve3. Μετά το τέλος της επεξεργασίας ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας, υπάρχει πιθανότητα να επιστρέψει στον ίδιο σταθμό, για να υποστεί επανακατεργασία ή να μεταφερθεί στον τέταρτο σταθμό εργασίας. Τελικά, ο ρυθμός enter3 προκύπτει από το σύνολο των προϊόντων, που μεταφέρονται από το δεύτερο σταθμό εργασίας και αυτών, που επιστρέφουν στον τρίτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν. Η καταστατική μεταβλητή sit3 δηλώνει, σε κάθε χρονική στιγμή, αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας. Η τιμή του επιπέδου sit3 αυξάνεται με το ρυθμό rythm31 και μειώνεται με το ρυθμό rythm32, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας. Επομένως, η τιμή του συγκεκριμένου επιπέδου επηρεάζει τη μεταφορά ενός προϊόντος στον προηγούμενο ή στον επόμενο σταθμό εργασίας. Κάθε προϊόν, πριν την έξοδό του από το σύστημα, επεξεργάζεται και στον τέταρτο σταθμό εργασίας. Η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline4 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του τέταρτου σταθμού εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter4, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation4. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct4 περιγράφει, σε κάθε χρονική 72

85 στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct4 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation4 και μειώνεται με το ρυθμό serve4. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready4 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation4, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής του τέταρτου σταθμού εργασίας και να ξεκινήσει η επεξεργασία του. Ο ρυθμός gotostation4 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen4 και qwait4, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τέταρτου σταθμού εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve4. Μετά το τέλος της επεξεργασίας ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας, υπάρχει πιθανότητα να επιστρέψει στον ίδιο σταθμό, για να υποστεί επανακατεργασία ή να εξέλθει από το σύστημα. Τελικά, ο ρυθμός enter4 προκύπτει από το σύνολο των προϊόντων, που μεταφέρονται από τον τρίτο σταθμό εργασίας και αυτών, που επιστρέφουν στον τέταρτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν. Η καταστατική μεταβλητή sit4 δηλώνει, σε κάθε χρονική στιγμή, αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας. Η τιμή του επιπέδου sit4 αυξάνεται με το ρυθμό rythm41 και μειώνεται με το ρυθμό rythm42, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας. Επομένως, η τιμή του συγκεκριμένου επιπέδου επηρεάζει τη μεταφορά ενός προϊόντος στον προηγούμενο ή στον επόμενο σταθμό εργασίας. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δεκαέξι αρνητικές αναδράσεις και οχτώ θετικές. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleftthisproduct1 stationready1 gotostation1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleftthisproduct1 serve1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α3 (θετική): workleftthisproduct1 stationready1 gotostation1 serve1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α4 (αρνητική): workleftthisproduct1 rythm11 sit1 probabilityofreturn1 returntostation1 enter1 gotostation1 workleftthisproduct1. 73

86 Ανάδραση Α5 (θετική): workleftthisproduct1 rythm11 sit1 probabilityofreturn1 returntostation1 enter1 gotostation1 serve1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α6 (αρνητική): sit1 rythm12 sit1. Ανάδραση Α7 (αρνητική): workleftthisproduct2 stationready2 gotostation2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α8 (αρνητική): workleftthisproduct2 serve2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α9 (θετική): workleftthisproduct2 stationready2 gotostation2 serve2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α10 (αρνητική): workleftthisproduct2 rythm21 sit2 probabilityofreturn2 returntostation2 enter2 gotostation2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α11 (θετική): workleftthisproduct2 rythm21 sit2 probabilityofreturn2 returntostation2 enter2 gotostation2 serve2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α12 (αρνητική): sit2 rythm22 sit2. Ανάδραση Α13 (αρνητική): workleftthisproduct3 stationready3 gotostation3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α14 (αρνητική): workleftthisproduct3 serve3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α15 (θετική): workleftthisproduct3 stationready3 gotostation3 serve3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α16 (αρνητική): workleftthisproduct3 rythm31 sit3 probabilityofreturn3 returntostation3 enter3 gotostation3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α17 (θετική): workleftthisproduct3 rythm31 sit3 probabilityofreturn3 returntostation3 enter3 gotostation3 serve3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α18 (αρνητική): sit3 rythm32 sit3. Ανάδραση Α19 (αρνητική): workleftthisproduct4 stationready4 gotostation4 workleftthisproduct4. Ανάδραση Α20 (αρνητική): workleftthisproduct4 serve4 workleftthisproduct4. 74

87 Ανάδραση Α21 (θετική): workleftthisproduct4 stationready4 gotostation4 serve4 workleftthisproduct4. Ανάδραση Α22 (αρνητική): workleftthisproduct4 rythm41 sit4 probabilityofreturn4 returntostation4 enter4 gotostation4 workleftthisproduct4. Ανάδραση Α23 (θετική): workleftthisproduct4 rythm41 sit4 probabilityofreturn4 returntostation4 enter4 gotostation4 serve4 workleftthisproduct4. Ανάδραση Α24 (αρνητική): sit4 rythm42 sit4. 75

88 ΣΧΗΜΑ 5.1.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής. 76

89 Στο Σχήμα 5.2. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkproductsinline1: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. workleftthisproduct1: Εκφράζει το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. sit1: Δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας [προϊόντα]. sumworkproductsinline2: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του δεύτερου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. workleftthisproduct2: Εκφράζει το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. sit2: Δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας [προϊόντα]. sumworkproductsinline3: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. workleftthisproduct3: Εκφράζει το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. sit3: Δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας [προϊόντα]. sumworkproductsinline4: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τέταρτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. 77

90 workleftthisproduct4: Εκφράζει το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. sit4: Δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας [προϊόντα]. Ρυθμοί enter1: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation1: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον πρώτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve1: Εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων στον πρώτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythm11: Εκφράζει το ρυθμό, που αυξάνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. rythm12: Εκφράζει το ρυθμό, που μειώνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. enter2: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στην ουρά αναμονής του δεύτερου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation2: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στο δεύτερο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve2: Εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων στο δεύτερο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythm21: Εκφράζει το ρυθμό, που αυξάνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. 78

91 rythm22: Εκφράζει το ρυθμό, που μειώνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στο δεύτερο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. enter3: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation3: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τρίτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve3: Εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων στον τρίτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythm31: Εκφράζει το ρυθμό, που αυξάνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. rythm32: Εκφράζει το ρυθμό, που μειώνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. enter4: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στην ουρά αναμονής του τέταρτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation4: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τέταρτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve4: Εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων στον τέταρτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythm41: Εκφράζει το ρυθμό, που αυξάνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. rythm42: Εκφράζει το ρυθμό, που μειώνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τέταρτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. 79

92 Βοηθητικές μεταβλητές enter: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στο σύστημα [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. returntostation1: Εκφράζει το ρυθμό επιστροφής των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον πρώτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. probabilityofreturn1: Εκφράζει την πιθανότητα επιστροφής των προϊόντων στον πρώτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [αδιάστατο]. stationready1: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα του πρώτου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. nextstation2: Εκφράζει το ρυθμό άφιξης των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στο δεύτερο σταθμό εργασίας, μετά την ολοκλήρωση της επεξεργασίας τους στον πρώτο σταθμό [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. returntostation2: Εκφράζει το ρυθμό επιστροφής των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στο δεύτερο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. probabilityofreturn2: Εκφράζει την πιθανότητα επιστροφής των προϊόντων στο δεύτερο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [αδιάστατο]. stationready2: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα του δεύτερου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. nextstation3: Εκφράζει το ρυθμό άφιξης των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τρίτο σταθμό εργασίας, μετά την ολοκλήρωση της επεξεργασίας τους στο δεύτερο σταθμό [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. returntostation3: Εκφράζει το ρυθμό επιστροφής των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τρίτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. probabilityofreturn3: Εκφράζει την πιθανότητα επιστροφής των προϊόντων στον τρίτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [αδιάστατο]. stationready3: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα του τρίτου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. nextstation4: Εκφράζει το ρυθμό άφιξης των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τέταρτο σταθμό εργασίας, μετά την ολοκλήρωση της επεξεργασίας τους στον τρίτο σταθμό [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. 80

93 returntostation4: Εκφράζει το ρυθμό επιστροφής των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τέταρτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. probabilityofreturn4: Εκφράζει την πιθανότητα επιστροφής των προϊόντων στον τέταρτο σταθμό εργασίας, για να επανακατεργαστούν [αδιάστατο]. stationready4: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα του τέταρτου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. Σταθερές qlen1: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας [προϊόντα]. qwait1: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά του πρώτου σταθμού εργασίας [χρονική μονάδα]. qlen2: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του δεύτερου σταθμού εργασίας [προϊόντα]. qwait2: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά του δεύτερου σταθμού εργασίας [χρονική μονάδα]. qlen3: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας [προϊόντα]. qwait3: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά του τρίτου σταθμού εργασίας [χρονική μονάδα]. qlen4: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τέταρτου σταθμού εργασίας [προϊόντα]. qwait4: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά του τέταρτου σταθμού εργασίας [χρονική μονάδα]. 81

94 ΣΧΗΜΑ 5.2.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής σε Powersim. 82

95 Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkproductsinline1= 0 flow sumworkproductsinline1= -dt*gotostation1+dt*enter1 init workleftthisproduct1= 0 flow workleftthisproduct1= -dt*serve1+dt*gotostation1 init sit1= 0 flow sit1= -dt*rythm12+dt*rythm11 init sumworkproductsinline2= 0 flow sumworkproductsinline2= -dt*gotostation2+dt*enter2 init workleftthisproduct2= 0 flow workleftthisproduct2= -dt*serve2+dt*gotostation2 init sit2= 0 flow sit2= -dt*rythm22+dt*rythm21 init sumworkproductsinline3= 0 flow sumworkproductsinline3= -dt*gotostation3+dt*enter3 init workleftthisproduct3= 0 flow workleftthisproduct3= -dt*serve3+dt*gotostation3 init sit3= 0 flow sit3= -dt*rythm32+dt*rythm31 init sumworkproductsinline4= 0 flow sumworkproductsinline4= -dt*gotostation4+dt*enter4 init workleftthisproduct4= 0 83

96 flow workleftthisproduct4= -dt*serve4+dt*gotostation4 init sit4= 0 flow sit4= -dt*rythm42+dt*rythm41 b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter1= enter+returntostation1 aux gotostation1= QUEUE(enter1,INFINITY,0,stationready1,qlen1,qwait1) aux serve1= MIN(workleftthisproduct1/TIMESTEP+gotostation1,1) aux rythm11= IF(workleftthisproduct1=1,1/TIMESTEP,0) aux rythm12= IF(sit1=1,1/TIMESTEP,0) aux enter2= nextstation2+returntostation2 aux gotostation2= QUEUE(enter2,INFINITY,0,stationready2,qlen2,qwait2) aux serve2= MIN(workleftthisproduct2/TIMESTEP+gotostation2,1) aux rythm21= IF(workleftthisproduct2=1,1/TIMESTEP,0) aux rythm22= IF(sit2=1,1/TIMESTEP,0) aux enter3= nextstation3+returntostation3 aux gotostation3= QUEUE(enter3,INFINITY,0,stationready3,qlen3,qwait3) aux serve3= MIN(workleftthisproduct3/TIMESTEP+gotostation3,1) aux rythm31= IF(workleftthisproduct3=1,1/TIMESTEP,0) aux rythm32= IF(sit3=1,1/TIMESTEP,0) aux enter4= nextstation4+returntostation4 aux gotostation4= QUEUE(enter4,INFINITY,0,stationready4,qlen4,qwait4) aux serve4= MIN(workleftthisproduct4/TIMESTEP+gotostation4,1) aux rythm41= IF(workleftthisproduct4=1,1/TIMESTEP,0) aux rythm42= IF(sit4=1,1/TIMESTEP,0) c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux enter= POISSON(0.07*TIMESTEP)/TIMESTEP*11 aux returntostation1= IF(probabilityofreturn1=1,11/TIMESTEP,0) aux probabilityofreturn1= IF(((sit1=1)AND(INT(RANDOM(1,100))<=5)),1,0) 84

97 aux stationready1= workleftthisproduct1=0 aux nextstation2= IF((probabilityofreturn1=0)AND(sit1=1),10/TIMESTEP,0) aux returntostation2= IF(probabilityofreturn2=1,10/TIMESTEP,0) aux probabilityofreturn2= IF(((sit2=1)AND(INT(RANDOM(1,100))<=5)),1,0) aux stationready2= workleftthisproduct2=0 aux nextstation3= IF((probabilityofreturn2=0)AND(sit2=1),11/TIMESTEP,0) aux returntostation3= IF(probabilityofreturn3=1,11/TIMESTEP,0) aux probabilityofreturn3= IF(((sit3=1)AND(INT(RANDOM(1,100))<=5)),1,0) aux stationready3= workleftthisproduct3=0 aux nextstation4= IF((probabilityofreturn3=0)AND(sit3=1),12/TIMESTEP,0) aux returntostation4= IF(probabilityofreturn4=1,12/TIMESTEP,0) aux probabilityofreturn4= IF(((sit4=1)AND(INT(RANDOM(1,100))<=5)),1,0) aux stationready4= workleftthisproduct4=0 d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen1= 0 const qwait1= 0 const qlen2= 0 const qwait2= 0 const qlen3= 0 const qwait3= 0 const qlen4= 0 const qwait4= Δυναμική ανάλυση Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία της γραμμής παραγωγής και αξιολογείται η συμπεριφορά της. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η συμπεριφορά του δικτύου αναμονής σε συνάρτηση με το χρόνο. 85

98 Κατά την αξιολόγηση του δικτύου αναμονής, λαμβάνεται υπόψη η συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής, που δημιουργείται σε κάθε σταθμό εργασίας. Στο Σχήμα 5.3. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας, μέχρι να ξεκινήσει η επεξεργασία τους. Στο Σχήμα 5.4. φαίνονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα για το δεύτερο σταθμό εργασίας. Αντίστοιχα, στο Σχήμα 5.5. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής, που δημιουργείται στον τρίτο σταθμό εργασίας, ενώ στο Σχήμα 5.6. του τέταρτου σταθμού εργασίας. ΣΧΗΜΑ 5.3.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του πρώτου σταθμού εργασίας. ΣΧΗΜΑ 5.4.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του δεύτερου σταθμού εργασίας. 86

99 ΣΧΗΜΑ 5.5.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του τρίτου σταθμού εργασίας. ΣΧΗΜΑ 5.6.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του τέταρτου σταθμού εργασίας. Παρατηρείται, ότι το μέγεθος της ουράς αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας αυξάνεται περισσότερο συγκριτικά με αυτά των υπόλοιπων σταθμών. Επίσης, ο χρόνος επεξεργασίας σε κάθε σταθμό εργασίας είναι ρυθμισμένος, ώστε να μην ξεπερνά το χρονικό διάστημα μεταξύ αφίξεων των προϊόντων και το μέγεθος των ουρών αναμονής να μην αυξάνεται απεριόριστα Γραμμή παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας Στη συγκεκριμένη ενότητα παρουσιάζεται η μελέτη μιας γραμμής παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας. Ειδικότερα, ένα παραγωγικό σύστημα αποτελείται από δυο σταθμούς και δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας. Ο χρόνος κατεργασίας σε κάθε σταθμό είναι σταθερός. Ο χρόνος επεξεργασίας στον πρώτο σταθμό είναι ίσος με 10 λεπτά. 87

100 Οι εργασίες, που εκτελούνται στους δυο παράλληλους σταθμούς, είναι ακριβώς οι ίδιες και ο χρόνος επεξεργασίας ισούται με 20 λεπτά (Γεωργιάδης, 2014). Στον τελευταίο σταθμό ο χρόνος κατεργασίας είναι ίσος με 11 λεπτά. Οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων των προϊόντων προς επεξεργασία ακολουθούν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 14 λεπτά. Πριν από κάθε σταθμό υπάρχει δυνατότητα αποθήκευσης απεριόριστου αριθμού προϊόντων, ενώ ο χρόνος μεταφοράς μεταξύ των σταθμών είναι αμελητέος. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το δυναμικό πρότυπο του συστήματος και αναλύεται η δυναμική συμπεριφορά του Διάγραμμα ροής προτύπου Στο Σχήμα 5.7. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος, όσων αφορά τη διαδικασία αφίξεων και τους χρόνους επεξεργασίας των προϊόντων σε κάθε σταθμό εργασίας, ορίζονται στους ρυθμούς enter1, enter2 και enter3. Η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline1 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter1, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation1. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct1 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct1 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation1 και μειώνεται με το ρυθμό serve1. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready1 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation1, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας και να ξεκινήσει η επεξεργασία του. Ο ρυθμός gotostation1 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen1 και qwait1, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve1. Μετά το τέλος της επεξεργασίας στον πρώτο σταθμό εργασίας, το προϊόν μεταφέρεται σε έναν από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας, για να συνεχιστεί η επεξεργασία του. 88

101 Η καταστατική μεταβλητή sit1 δηλώνει, σε κάθε χρονική στιγμή, αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας. Η τιμή του επιπέδου sit1 αυξάνεται με το ρυθμό rythm11 και μειώνεται με το ρυθμό rythm12, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας. Επομένως, η τιμή του συγκεκριμένου επιπέδου επηρεάζει τη μεταφορά ενός προϊόντος στον επόμενο σταθμό εργασίας. Στη συνέχεια, η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline2 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter2, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation2. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct2 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία των προϊόντων στους παράλληλους σταθμούς εργασίας και να ελευθερωθεί κάποιος σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct2 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation2 και μειώνεται με το ρυθμό serve2. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready2 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation2, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής και να ξεκινήσει η επεξεργασία του στον ελεύθερο σταθμό εργασίας. Ο ρυθμός gotostation2 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen2 και qwait2, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve2. Μετά το τέλος της επεξεργασίας σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας, το προϊόν μεταφέρεται στον τρίτο σταθμό εργασίας, για να συνεχιστεί η επεξεργασία του. Η καταστατική μεταβλητή sit2 δηλώνει, σε κάθε χρονική στιγμή, αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας. Η τιμή του επιπέδου sit2 αυξάνεται με το ρυθμό rythm21 και μειώνεται με το ρυθμό rythm22, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας. Επομένως, η τιμή του συγκεκριμένου επιπέδου επηρεάζει τη μεταφορά ενός προϊόντος στον επόμενο σταθμό εργασίας. Ακολουθεί η επεξεργασία στον τρίτο σταθμό εργασίας. Η καταστατική μεταβλητή sumworkproductsinline3 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των 89

102 απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας. Η μεταβλητή αυτή επηρεάζεται και συγκεκριμένα αυξάνεται με το ρυθμό enter3, ενώ μειώνεται με το ρυθμό gotostation3. Η καταστατική μεταβλητή workleftthisproduct3 περιγράφει, σε κάθε χρονική στιγμή, το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός. Η τιμή του επιπέδου workleftthisproduct3 αυξάνεται με το ρυθμό gotostation3 και μειώνεται με το ρυθμό serve3. Κάθε φορά, που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας, η βοηθητική μεταβλητή stationready3 δίνει εντολή στο ρυθμό gotostation3, ώστε να ελευθερώσει το πρώτο προϊόν, που περιμένει στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας και να ξεκινήσει η επεξεργασία του. Ο ρυθμός gotostation3 δίνει ως αποτελέσματα τα qlen3 και qwait3, τα οποία περιγράφουν, σε κάθε χρονική στιγμή, τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας και το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά, αντίστοιχα. Σε κάθε χρονικό βήμα, κάθε προϊόν επεξεργάζεται κατά μια μονάδα του απαιτούμενου χρόνου επεξεργασίας του, το μέγιστο. Πάντως, ένα προϊόν δεν πρόκειται να επεξεργαστεί για περισσότερο χρόνο από τον απαιτούμενο και αυτό επιτυγχάνεται με το ρυθμό serve3. Μετά το τέλος της επεξεργασίας στον τρίτο σταθμό εργασίας, το προϊόν εξέρχεται από το σύστημα. Στο πρότυπο αναγνωρίζονται δώδεκα αρνητικές αναδράσεις και τέσσερις θετικές. Η ανάλυση των αναδράσεων παρουσιάζεται παρακάτω. Ανάδραση Α1 (αρνητική): workleftthisproduct1 stationready1 gotostation1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α2 (αρνητική): workleftthisproduct1 serve1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α3 (θετική): workleftthisproduct1 stationready1 gotostation1 serve1 workleftthisproduct1. Ανάδραση Α4 (αρνητική): sit1 rythm12 sit1. Ανάδραση Α5 (αρνητική): workleftthisproduct2 stationready2 gotostation2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α6 (αρνητική): workleftthisproduct2 serve2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α7 (θετική): workleftthisproduct2 stationready2 gotostation2 serve2 workleftthisproduct2. Ανάδραση Α8 (αρνητική): sit2 rythm22 sit2. 90

103 Ανάδραση Α9 (αρνητική): workleftthisproduct3 stationready3 gotostation3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α10 (αρνητική): workleftthisproduct3 serve3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α11 (θετική): workleftthisproduct3 stationready3 gotostation3 serve3 workleftthisproduct3. Ανάδραση Α12 (αρνητική): sit3 rythm32 sit3. 91

104 ΣΧΗΜΑ 5.7.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας. 92

105 Στο Σχήμα 5.8. παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του προτύπου διαμορφωμένο σύμφωνα με τις αρχές της Powersim 2.5c. Οι μεταβλητές, που χρησιμοποιούνται, καθώς και οι μονάδες μέτρησής τους είναι οι εξής: Επίπεδα sumworkproductsinline1: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. workleftthisproduct1: Εκφράζει το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. sit1: Δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας [προϊόντα]. sumworkproductsinline2: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. workleftthisproduct2: Είναι διάνυσμα και εκφράζει για κάθε έναν από τους παράλληλους σταθμούς εργασίας το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. sit2: Δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας [προϊόντα]. sumworkproductsinline3: Εκφράζει το άθροισμα των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. workleftthisproduct3: Εκφράζει το χρόνο επεξεργασίας, που απομένει, μέχρι να τελειώσει η επεξεργασία ενός προϊόντος στον τρίτο σταθμό εργασίας και να ελευθερωθεί ο σταθμός [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)]. Ρυθμοί enter1: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στο σύστημα [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation1: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον πρώτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. 93

106 serve1: Εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων στον πρώτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythm11: Εκφράζει το ρυθμό, που αυξάνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. rythm12: Εκφράζει το ρυθμό, που μειώνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος στον πρώτο σταθμό εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος στο συγκεκριμένο σταθμό [προϊόντα/χρονικό βήμα]. enter2: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στην ουρά αναμονής των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation2: Είναι διάνυσμα και εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) σε κάθε έναν από τους παράλληλους σταθμούς εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve2: Είναι διάνυσμα και εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων για κάθε έναν από τους παράλληλους σταθμούς εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. rythm21: Είναι διάνυσμα και εκφράζει το ρυθμό, που αυξάνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος [προϊόντα/χρονικό βήμα]. rythm22: Εκφράζει το ρυθμό, που μειώνει την τιμή του επιπέδου, το οποίο δηλώνει αν έχει τελειώσει ή όχι η επεξεργασία ενός προϊόντος σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας, κάθε φορά που τελειώνει η επεξεργασία ενός προϊόντος [προϊόντα/χρονικό βήμα]. enter3: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. gotostation3: Εκφράζει το ρυθμό αφίξεων των προϊόντων (ή των απαιτούμενων χρόνων επεξεργασίας) στον τρίτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. serve3: Εκφράζει το ρυθμό επεξεργασίας των προϊόντων στον τρίτο σταθμό εργασίας [χρόνος επεξεργασίας (χρονική μονάδα)/χρονικό βήμα]. 94

107 Βοηθητικές μεταβλητές stationready1: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα του πρώτου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. stationready2: Είναι διάνυσμα και εκφράζει τη διαθεσιμότητα του κάθε παράλληλου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. stationready3: Εκφράζει τη διαθεσιμότητα του τρίτου σταθμού εργασίας, δηλαδή αν είναι ελεύθερος ή κατειλημμένος [αδιάστατο]. Σταθερές qlen1: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας [προϊόντα]. qwait1: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά του πρώτου σταθμού εργασίας [χρονική μονάδα]. qlen2: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας [προϊόντα]. qwait2: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας [χρονική μονάδα]. qlen3: Εκφράζει τον αριθμό των προϊόντων, που περιμένουν στην ουρά αναμονής του τρίτου σταθμού εργασίας [προϊόντα]. qwait3: Εκφράζει το χρόνο αναμονής του κάθε προϊόντος στην ουρά του τρίτου σταθμού εργασίας [χρονική μονάδα]. 95

108 ΣΧΗΜΑ 5.8.: Το διάγραμμα ροής της γραμμής παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας σε Powersim. 96

109 Μαθηματικό πρότυπο Οι εντολές ελέγχου της διαδικασίας προσομοίωσης του προτύπου είναι οι εξής: Διάρκεια προσομοίωσης: λεπτά Βήμα προσομοίωσης: 1 λεπτό Το πλήρες μαθηματικό πρότυπο είναι το εξής: range rservers= 1..2 a. Καταστατικές εξισώσεις. Οι καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: init sumworkproductsinline1= 0 flow sumworkproductsinline1= -dt*gotostation1+dt*enter1 init workleftthisproduct1= 0 flow workleftthisproduct1= -dt*serve1+dt*gotostation1 init sit1= 0 flow sit1= -dt*rythm12+dt*rythm11 init sumworkproductsinline2= 0 flow sumworkproductsinline2= -dt*arrsum(gotostation2)+dt*enter2 dim workleftthisproduct2= rservers init workleftthisproduct2= 0 flow workleftthisproduct2= -dt*serve2+dt*gotostation2 init sit2= 0 flow sit2= -dt*rythm22+dt*arrsum(rythm21) init sumworkproductsinline3= 0 flow sumworkproductsinline3= -dt*gotostation3+dt*enter3 init workleftthisproduct3= 0 flow workleftthisproduct3= -dt*serve3+dt*gotostation3 b. Εξισώσεις ρυθμών. Οι εξισώσεις ρυθμών είναι οι παρακάτω: aux enter1= POISSON(0.07*TIMESTEP)/TIMESTEP*10 aux gotostation1= QUEUE(enter1,INFINITY,0,stationready1,qlen1,qwait1) 97

110 aux serve1= MIN(workleftthisproduct1/TIMESTEP+gotostation1,1) aux rythm11= IF(workleftthisproduct1=1,1/TIMESTEP,0) aux rythm12= IF(sit1=1,1/TIMESTEP,0) aux enter2= IF(sit1=1,20/TIMESTEP,0) dim gotostation2= rservers aux gotostation2= QUEUE(enter2,INFINITY,0,stationready2,qlen2,qwait2) dim serve2= rservers aux serve2= MIN(workleftthisproduct2/TIMESTEP+gotostation2,1) dim rythm21= rservers aux rythm21= IF(workleftthisproduct2=1,1/TIMESTEP,0) aux rythm22= IF(sit2=1,1/TIMESTEP,0) aux enter3= IF(sit2=1,11/TIMESTEP,0) aux gotostation3= QUEUE(enter3,INFINITY,0,stationready3,qlen3,qwait3) aux serve3= MIN(workleftthisproduct3/TIMESTEP+gotostation3,1) c. Βοηθητικές μεταβλητές. Οι βοηθητικές μεταβλητές ορίζονται ως εξής: aux stationready1= workleftthisproduct1=0 dim stationready2= rservers aux stationready2= workleftthisproduct2=0 aux stationready3= workleftthisproduct3=0 d. Παράμετροι. Οι παράμετροι του προτύπου είναι οι παρακάτω: const qlen1= 0 const qwait1= 0 const qlen2= 0 const qwait2= 0 const qlen3= 0 const qwait3= 0 98

111 Δυναμική ανάλυση Στη συγκεκριμένη παράγραφο προσομοιώνεται η λειτουργία της γραμμής παραγωγής με παράλληλους σταθμούς εργασίας και αξιολογείται η συμπεριφορά της. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η συμπεριφορά του δικτύου αναμονής σε συνάρτηση με το χρόνο. Κατά την αξιολόγηση του δικτύου αναμονής, λαμβάνεται υπόψη η συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής, που δημιουργείται σε κάθε σταθμό εργασίας. Στο Σχήμα 5.9. παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του αριθμού των προϊόντων, τα οποία περιμένουν στην ουρά αναμονής του πρώτου σταθμού εργασίας, μέχρι να ξεκινήσει η επεξεργασία τους. Στο Σχήμα φαίνονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα για τους δυο παράλληλους σταθμούς εργασίας. Αντίστοιχα, στο Σχήμα παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής, που δημιουργείται στον τρίτο σταθμό εργασίας. ΣΧΗΜΑ 5.9.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του πρώτου σταθμού εργασίας. ΣΧΗΜΑ 5.10.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας. 99

112 ΣΧΗΜΑ 5.11.: Η δυναμική συμπεριφορά του μεγέθους της ουράς αναμονής (προϊόντα) του τρίτου σταθμού εργασίας. Παρατηρείται, ότι το μέγεθος της ουράς αναμονής των δυο παράλληλων σταθμών εργασίας είναι μηδενικό, δηλαδή δε δημιουργείται ουρά αναμονής. Αμέσως μετά την ολοκλήρωση της επεξεργασίας των προϊόντων στον πρώτο σταθμό εργασίας, ξεκινά η επεξεργασία τους σε κάποιον από τους δυο παράλληλους σταθμούς. Επίσης, ο χρόνος επεξεργασίας σε κάθε σταθμό είναι ρυθμισμένος, ώστε να μην ξεπερνά το χρονικό διάστημα μεταξύ αφίξεων των προϊόντων και το μέγεθος των ουρών αναμονής να μην αυξάνεται απεριόριστα Συμπεράσματα Τα δυναμικά πρότυπα, που αναπτύχθηκαν στο παρόν κεφάλαιο, προσομοιώνουν τη λειτουργία γραμμών παραγωγής με σταθμούς εργασίας, που είναι παράλληλοι είτε σε σειρά. Βασικός στόχος του κεφαλαίου ήταν η παρουσίαση του τρόπου σχεδίασης σύνθετων και πιο πολύπλοκων συστημάτων. Αφού αναπτυχθούν τα πρότυπα και προσομοιωθεί η λειτουργία των πραγματικών δικτύων αναμονής, παρουσιάζεται η δυναμική συμπεριφορά τους με τη χρήση ανάλογων διαγραμμάτων. 100