Φάση Αρχική φάση Διαφορά φάσης στην ταλάντωση

Transcript

1 Φάση Αρχική φάση Διαφορά φάσης στην ταλάντση Α. Προκαταρκτικά ) Οι κινήσεις στις οποίες θα αναφερθούµε είναι εθύγραµµες και άρα µονοδιάστατες. Πραγµατοποιούνται στον άξονα x και για την περιγραφή τος επιλέγοµε ς µέγεθος την αποµάκρνση x(t) (ή πιο απλά x) το κινητού από τη θέση x=. ) Σε όλες τις κινήσεις τις οποίες αφορά ατό το κείµενο, ΑΑΤ, φθίνοσα, εξαναγκασµένη, πάν στο κινητό ενεργεί δύναµη επαναφοράς F= x, η οποία στη θέση x= προφανώς µηδενίζεται. Τούτο θα αναγκάσει τις κινήσεις να εξελίσσονται γύρ από τη θέση x= καθιστώντας τη, θέση αναφοράς ή όπς αλλιώς λέµε, ελκτικό κέντρο. Η επιλογή λοιπόν της θέσης x= ς θέση αναφοράς δεν οφείλεται στο ότι είναι απαραίτητα θέση ισορροπίας το κινητού, αλλά στο γεγονός ότι στη x= η δύναµη επαναφοράς F= x µηδενίζεται. 3) Επειδή σνήθς ασχολούµαστε ή µε ένα µόνο κινητό ή µε κινητά πο αρχίζον την κίνησή τος τατόχρονα, ς αρχική χρονική στιγµή θερούµε την t=. Άρα σε όλα τα παρακάτ πονοείται ότι ισχύει ο περιορισµός t. 4) Για εκολία στο σµβολισµό, τα διανσµατικά µεγέθη π.χ. x,, F κ.λ.π. θα αναγράφονται ς x,, F κ.λ.π. και θα λογίζονται µε τις αλγεβρικές τος τιµές. 5) Ανάλογα µε τις τιµές τν παραµέτρν πο πεισέρχονται στο σύστηµα πο εξετάζοµε, το κινητό µπορεί να εκτελεί όχι µόνο ταλάντση, αλλά και άλλες κινήσεις πο δεν είναι καν ταλαντώσεις και σνεπώς δεν έχον νόηµα έννοιες όπς πλάτος και φάση. 6) Η περίοδος τν ταλαντώσεν πο εξετάζοµε παρακάτ, δεν εξαρτάται από τις αρχικές σνθήκες το προβλήµατος (αρχική θέση και αρχική ταχύτητα το κινητού), αλλά από τις παραµέτρος το σγκεκριµένο σστήµατος, δηλαδή τη µάζα το ταλανττή και τα χαρακτηριστικά τν δνάµεν πο δρον πάν το (σταθερά επαναφοράς, σταθερά απόσβεσης, σχνότητα διεγείροσας δύναµης κ.λ.π.). Η ιδιότητα ατή τν ταλαντώσεν πο εξετάζοµε, οφείλεται κατά κύριο λόγο στο γεγονός ότι η δναµική ενέργεια το κινητού είναι σνάρτηση ο βαθµού ς προς τη σντεταγµένη θέσης x και άρα στο ότι η µόνη σντηρητική δύναµη, η δύναµη επαναφοράς, έχει τη µορφή F= x. Β. Η απλή αρµονική ταλάντση εξελίσσεται γύρ από τη θέση x= καθιστώντας τη θέση αναφοράς Αν η δύναµη επαναφοράς δεν µηδενιζόταν στη θέση x= αλλά, π.χ. στη x=5, τότε δε θα είχε τη µορφή F= x, αλλά τη µορφή F= (x 5), µε αποτέλεσµα ο ος νόµος το Νεύτνα να οδηγεί στη διαφορική εξίσση : d x x dt ( 5) =

2 Κατά σνέπεια η εξίσση κίνησης το ταλανττή δε θα ήταν η x(t)=α ηµ( tφ), αλλά η x(t)=5α ηµ( tφ) γεγονός πο θα είχε ς αποτέλεσµα η κίνηση να εξελίσσεται γύρ από τη θέση x=5 και όχι γύρ από την x=. Με άλλα λόγια, αν η δύναµη επαναφοράς είχε π.χ. τη µορφή F= (x 5), αναφοράς ή αλλιώς ελκτικό κέντρο θα ήταν η θέση x=5 και όχι η x=. θέση Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για τις κινήσεις ΑΑΤ, φθίνοσα, εξαναγκασµένη. Οι κινήσεις εξελίσσονται γύρ από τη x=, λόγ το ότι στη θέση x= µηδενίζεται η δύναµη επαναφοράς και όχι γιατί η θέση x= είναι απαραίτητα θέση ισορροπίας. Γ. Ισοδύναµες µορφές της εξίσσης κίνησης το απλού αρµονικού ταλανττή Αν x η αρχική θέση το κινητού στον άξονα x και η αρχική ταχύτητά το κατά τη διεύθνση το άξονα x, τότε η εξίσση κίνησης x(t) το απλού αρµονικού ταλανττή µπορεί να δοθεί µε τις παρακάτ µορφές, όπο φαίνονται οι τιµές και οι περιορισµοί τν διαφόρν σταθερών, οι οποίες έχον πολογιστεί σναρτήσει τν αρχικών σνθηκών: η µορφή: x(t)=α ηµ( tφ) t, =, A = x > και φ<π () x ηµϕ =, σνϕ = και άρα A A εϕϕ = x η µορφή: x(t)=a σν( tθ) t, =, A = x > και θ<π () ηµθ =, A x σνθ = και άρα εϕθ = A x

3 3η µορφή: t, x(t)=c σν tc ηµ t =, C και C πραγµατικοί αριθµοί (3) µε C = x και C = Αξίζει να σηµειώσοµε ότι ) Οι εξισώσεις κίνησης (), (), (3) είναι ισοδύναµες. Εποµένς για δεδοµένες αρχικές σνθήκες, όποια από τις τρεις και να επιλέξοµε θα περιγράψει την κίνηση µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Ατό φαίνεται «πρακτικά» και από το γεγονός ότι για τις ίδιες αρχικές σνθήκες οι εξισώσεις κίνησης έχον την ίδια ακριβώς γραφική παράσταση. (Σχήµα.) Σχ. : Οι ισοδύναµες µορφές της εξίσσης κίνησης το α.α.τ. 3

4 ) Ο περιορισµός Α> δεν αποδεικνύεται αλλά επιλέγεται. Το γεγονός δηλαδή ότι η ποσότητα A πάρθηκε ς θετικό ριζικό και όχι ς αρνητικό, είναι καθαρά επιλογή µας και όχι απαίτηση κάποιν ιδιαίτερν µαθηµατικών περιορισµών (αναγκών). Ο λόγος είναι ότι ατή η επιλογή διεκολύνει πάρα πολύ την παροσίαση της απλής αρµονικής ταλάντσης, κάνοντάς τη πιο ανάγλφη, αφού αν το Α παρθεί θετικό τατίζεται µε τη µέγιστη απόσταση το κινητού από τη θέση x=. Οριοθετεί έτσι το χώρο µέσα στον οποίο κινείται ο ταλανττής, δίνοντας εύκολα τις αποστάσεις το (θετικά νούµερα) από τη θέση x=. Τέλος οι εξισώσεις έχον µπροστά τος θετικό πρόσηµο κάτι πο έχοµε σνηθίσει. 3) Η κκλική ιδιοσχνότητα = επιλέγεται θετική, αν και θα µπορούσε να εκληφθεί αρνητική. Δηλαδή θα µπορούσαµε να ορίσοµε = Οι λόγοι της «θετικής» µας ατής επιλογής είναι αρκετοί και νοµίζ προφανείς. Πρτίστς σνδέονται µε τη σνήθεια και την εκολία µας όταν έχοµε θετικές ποσότητες. 4) Ο περιορισµός τν γνιών φ και θ µέσα σε ένα τριγνοµετρικό κύκλο αποδεικνύεται. Εκείνα όµς πο επιλέγοµε όσον αφορά τις αρχικές φάσεις είναι: Να ακολοθήσοµε τη βασική φιλοσοφία πο διέπει όλη τη Φσική και πο απαιτεί να την παροσιάζοµε µε τον πιο οικονοµικό τρόπο. Έτσι περιορίσαµε τις τιµές τν φ και θ µέσα σε ένα τριγνοµετρικό κύκλο και όχι σε περισσότερος, µια και η επέκταση σε περισσότερος κύκλος δεν προσφέρει τίποτε περισσότερο στη φσική τν φαινοµένν πο εξετάζοµε. Να πάροµε για την κάλψη το ενός τριγνοµετρικού κύκλο πο χρειαζόµαστε και άρα ς πεδίο ορισµού τν αρχικών φάσεν, το διάστηµα [,π). Δηλαδή επιλέξαµε φ<π και θ<π. Θα µπορούσαµε για παράδειγµα να δεχτούµε ς διάστηµα το [-π,π) κ.λ.π. 5) Ο προσδιορισµός τν αρχικών φάσεν φ και θ πο πεισέρχονται στις σχέσεις () και () πρέπει να γίνεται ή από την εξίσση κίνησης και την αντίστοιχή της εξίσση της ταχύτητας, θέτοντας όπο t= και παίρνοντας π όψη τις αρχικές σνθήκες ή απεθείας από τον πολογισµό τν τιµών το ηµιτόνο και το σνηµιτόνο σγχρόνς. 4

5 Η χρησιµοποίηση µόνης της εφαπτοµένης οδηγεί σε δύο τιµές το φ (ή το θ). Και θα πρέπει να καταφύγοµε σε επί πλέον επιχειρήµατα για να επιλέξοµε Δ. Η φράση «πλάτος ταλάντσης» έχει και νόηµα και αξία... Έστ x και η αρχική αποµάκρνση και η αρχική ταχύτητα αντίστοιχα το απλού αρµονικού ταλανττή. Με βάση την προηγούµενη παρατήρηση Αν χρησιµοποιηθεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=α ηµ( tφ) τότε η µέγιστη αποµάκρνση από τη θέση x= είναι η σταθερά A = x Αν χρησιµοποιηθεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=a σν( tθ) τότε η µέγιστη αποµάκρνση από τη θέση x= είναι πάλι η σταθερά A = x Αν χρησιµοποιηθεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=c σν tc ηµ t όπο C = x και C = αποδεικνύεται ότι η µέγιστη αποµάκρνση το κινητού από τη θέση x= είναι Κατά σνέπεια: C C = x (4) Η µέγιστη αποµάκρνση (µέγιστη απόσταση) το απλού αρµονικού ταλανττή από τη θέση αναφοράς x= ανεξάρτητα από την εξίσση κίνησης πο θα χρησιµοποιήσοµε είναι Α= x = x (5) Η ποσότητα ατή την οποία εµείς επιλέξαµε θετική ονοµάζεται πλάτος της απλής αρµονικής ταλάντσης. Αν µετασχηµατίσοµε την παραπάν σχέση (5) πο δίνει την τιµή το πλάτος θα έχοµε Α= x A = x A = x 5

6 Στην τελεταία όµς σχέση το δεύτερο µέλος είναι το άθροισµα της δναµικής και της κινητικής ενέργειας το κινητού δηλαδή η ολική το ενέργεια. Άρα και το πρώτο µέλος είναι η ολική το ενέργεια Ε. E = A (6) Για σγκεκριµένο λοιπόν απλό αρµονικό ταλανττή, η τιµή της αρχικής το ενέργειας και µόνο ατή καθορίζει την τιµή το πλάτος το. Για το πλάτος της ταλάντσης, έχοµε λοιπόν να παρατηρήσοµε τα εξής: Το πλάτος σνολικά καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά και της ταλάντσης και από τις αρχικές σνθήκες x και το προβλήµατος. Για σγκεκριµένο όµς ταλανττή εξαρτάται αποκλειστικά από τις αρχικές σνθήκες και πιο σγκεκριµένα από ένα ορισµένο σνδασµό τος, την αρχική ενέργεια. Εκφράζει τη µέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας στην οποία µπορεί να βρεθεί ο απλός αρµονικός ταλανττής. Αν χρησιµοποιηθεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=α ηµ( tφ) ή x(t)=α σν( tθ) το πλάτος βρίσκεται άµεσα από τη θετική ποσότητα Α πο πάρχει µπροστά από τον τριγνοµετρικό αριθµό. Αν όµς χρησιµοποιηθεί η x(t)=c σν tc ηµ t τότε πολογίζεται έµµεσα από τη σχέση C C Το τετράγνό το σνδέεται άµεσα µε την ενέργεια Ε της ταλάντσης δίνοντας ένα µέτρο της ενέργειας το κινητού E = A = σταθερή Η τιµή το δίνεται από τη σχέση () και δεν εξαρτάται από την εξίσση κίνησης πο θα επιλέξοµε για να περιγράψοµε την ταλάντση. Αφορά σνεπώς την ταλάντση ατή καθεατή. Το αποτέλεσµα είναι αναµενόµενο, αφού η µέγιστη απόσταση από τη x= στην οποία µπορεί να βρεθεί ο ταλανττής είναι κάτι το αντικειµενικό. Εξαρτάται αποκλειστικά από την αρχική ενέργεια το και δεν είναι δνατό να εξαρτάται από την επιλογή εξίσσης κίνησης πο κάνοµε για να περιγράψοµε το φαινόµενο. Ε. Οι φράσεις φάση ταλάντσης και αρχική φάση ταλάντσης δεν έχον νόηµα Στις διάφορες µορφές πο µπορεί να πάρει η εξίσση κίνησης το απλού αρµονικού ταλανττή παρατηρούµε ότι, όχι µόνο ο χρησιµοποιούµενος τριγνοµετρικός αριθµός είναι διαφορετικός, αλλά και η ποσότητα πο πεισέρχεται σ ατούς τος τριγνοµετρικούς αριθµούς είναι κάθε φορά τελείς διαφορετική: Αν επιλεγεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=α ηµ( tφ) ο τριγνοµετρικός αριθµός είναι ηµίτονο και πεισέρχεται η ποσότητα tφ 6

7 µε x ηµϕ = και σνϕ = A A Αν επιλεγεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=α σν( tθ) ο τριγνοµετρικός αριθµός είναι σνηµίτονο και πεισέρχεται η ποσότητα tθ µε ηµθ A = και σνθ = Αν επιλεγεί η x(t)=c σν tc ηµ t πεισέρχεται η ποσότητα t. Κατά σνέπεια η ποσότητα πο πεισέρχεται στος τριγνοµετρικούς αριθµούς δεν είναι κάτι πο αφορά την ταλάντση, αλλά τη σγκεκριµένη εξίσση κίνησης πο χρησιµοποιείται για να περιγράψει την ταλάντση. x A Ονόµατα λοιπόν το τύπο φάση ταλάντσης για ποσότητες της µορφής tφ και αρχική φάση ταλάντσης για το φ, δεν είναι αποδεκτές. Μόνο σγχύσεις µπορούν να δηµιοργήσον. Ίσς γι ατό δεν πάρχει κοινά αποδεκτό όνοµα για τις παραπάν ποσότητες ούτε στην ελληνική ούτε στην ξένη βιβλιογραφία. Για παράδειγµα η ποσότητα tφ είναι λάθος να ονοµάζεται φάση της ταλάντσης. Όµοια η φ είναι λάθος να ονοµάζεται αρχική φάση της ταλάντσης. Οι παραπάν ποσότητες είναι η φάση και η αρχική φάση αντίστοιχα της αποµάκρνσης, όταν χρησιµοποιηθεί ς εξίσση κίνησης η x(t)=α ηµ( tφ). Καλό λοιπόν είναι, αν δεν µπορούµε να αποφύγοµε τα ονόµατα, να χρησιµοποιούµε φράσεις το τύπο στην εξίσση κίνησης x(t)=α ηµ( tφ) η φάση της αποµάκρνσης είναι tφ, ενώ η αρχική φάση της αποµάκρνσης είναι φ Στ. Η αρχική φάση Μιλώντας καθαρά φορµαλιστικά, η αρχική φάση φ της αποµάκρνσης στην εξίσση x(t)=α ηµ( tφ), δείχνει τη διαφορά φάσης µεταξύ τν εξισώσεν x(t)=α ηµ( tφ) και x(t)=α ηµ t. ηλαδή δείχνει κατά πόσο προηγείται χρονικά η σγκεκριµένη απλή αρµονική ταλάντση από την ταλάντση πο θα εκτελούσε ο εν λόγ ταλανττής αν για t= βρισκόταν στη θέση ισορροπίας x= και κινιόταν προς τα θετικά. Έτσι λοιπόν η αρχική φάση φ της αποµάκρνσης στην εξίσση x(t)=α ηµ( tφ) έχει σχέση µε τη θέση στην οποία βρισκόταν το κινητό και τη φορά προς την οποία κινιόταν όταν αρχίσαµε να το εξετάζοµε, όταν δηλαδή αρχίσαµε να µετράµε το χρόνο. ηλαδή η αρχική φάση φ της αποµάκρνσης στην εξίσση x(t)=α ηµ( tφ) έχει να κάνει και µε τη στιγµή πο επιλέξαµε για αρχή το χρόνο και µε τη φορά το άξονα x πο επιλέξαµε ς θετική. 7

8 Το ίδιο σµβαίνει και µε την αρχική φάση θ της αποµάκρνσης στην εξίσση x(t)=α σν( tθ). είχνει τη διαφορά φάσης µεταξύ τν εξισώσεν x(t)=α σν( tθ) και x(t)=α σν t. ηλαδή δείχνει κατά πόσο προηγείται χρονικά η σγκεκριµένη απλή αρµονική ταλάντση από την ταλάντση πο θα εκτελούσε ο εν λόγ ταλανττής αν για t= βρισκόταν στη θέση x=α χρίς ταχύτητα. ηλαδή η αρχική φάση θ της αποµάκρνσης στην εξίσση x(t)=α σν( tθ) έχει να κάνει και µε τη στιγµή πο επιλέξαµε για αρχή το χρόνο και µε τη φορά το άξονα x πο επιλέξαµε ς θετική. Ζ. Πλάτος, αρχική φάση και διαφορική εξίσση Το πλάτος της α.α.τ. και η αρχική φάση της αποµάκρνσης στην εξίσση κίνησης πο θα χρησιµοποιηθεί, δεν αφορούν τις ιδιότητες το σγκεκριµένο ταλαντούµενο σστήµατος και άρα δεν είναι δνατό να προσδιοριστούν από τη διαφορική εξίσση. Καθορίζονται αποκλειστικά από τις αρχικές σνθήκες το προβλήµατος δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα το κινητού. Εποµένς ο ίδιος απλός αρµονικός ταλανττής (ίδια και ) µπορεί να έχει διάφορα πλάτη ταλάντσης και διάφορες αρχικές φάσεις ανάλογα µε τις αρχικές σνθήκες. Μιλώντας µε περισσότερη Φσική θα λέγαµε ότι: Το πλάτος της ταλάντσης το καθορίζει αποκλειστικά η αρχική ενέργεια µε την οποία τροφοδοτήσαµε τον ταλανττή. Δηλαδή το καθορίζει µια τελείς φσική πραγµατικότητα. Άρα είναι κάτι οσιαστικό. Κάτι πο αφορά την ίδια την δοµή της σγκεκριµένης ταλάντσης. Η αρχική φάση της αποµάκρνσης είναι καθαρά θέµα επιλογής αφού εξαρτάται από την εξίσση κίνησης πο επιλέξαµε από τη στιγµή πο επιλέξαµε για αρχή χρόνο από τη φορά πο επιλέξαµε ς θετική και ς αρνητική από το πεδίο ορισµού της αρχικής φάσης πο επιλέξαµε. Αν δηλαδή επιλέξαµε [,π) ή [-π,π) κ.λ.π. Ακολοθεί: Ποιο µέγεθος προηγείται ανάµεσα σε δο µεγέθη πο παροσιάζον διαφορά φάσης µεταξύ τος Επιµέλεια κειµένο: Θοδρής Παπασγορίδης papasgou@gail.co 8