1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο"

Αρμονία Κούνδουρος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς Ερωτήσεις Κτόησης. Υπάρχου κοικά πολύγω τω οποίω οι εξωτερικές γωίες είι βλείες ; Απάτηση Νι. Είι το ισόπλευρο τρίγωο. Ποιο είι το πόστη κοικού πολυγώου περιγεγρέου σε κύκλο; Απάτηση Είι η κτί του περιγεγρέου κύκλου. 3. Έ κυρτό πολύγωο είι κοικό ότ Α. έχει όο ίσες πλευρές Β. έχει όο τις γωίες του ίσες Απάτηση είι εγγράψιο σε κύκλο κι έχει τις πλευρές του ίσες Σωστή πάτηση είι η διότι οι πλευρές του πολυγώου είι ίσες χορδές του περιγεγρέου του κύκλου συεπώς οι γωίες του πολυγώου θ είι κι υτές ίσες σ εγγεγρέες σε ίσ τόξ οπότε το πολύγωο θ είι κοικό. Μετξύ τω λ, κι R ισχύει Α. λ + = R Β. λ + = R λ = (R ). R λ + = λ Το σωστό είι το διότι : + = R λ = R λ = (R )

2 . Μετξύ τω ω, φ ισχύει Α. ω + φ = Β ω + φ =. ω + φ =7 ο. ω + φ =3 ω + φ = ο 36 ο ο = 8 ο Ασκήσεις Επέδωσης. Ν βρεθού η γωί κι η κετρική γωί εός κοικού: πετγώου, εξγώου, δεκγώου κι δωδεκγώου. 36 ϕ = 8 = 8 7 = 8 κι 36 ϕ = 8 = 8 6 = 6 6 κι 36 ω = = 7 36 ω = = ϕ = 8 = 8 36 = κι 36 ϕ = 8 = 8 3 = κι 36 ω = = ω = = 3. Α η γωί εός κοικού πολυγώου είι 8 ο, τότε το πλήθος τω πλευρώ του είι. β. γ. δ. ε = = 36 7 = 7 = 36 =

3 3 3. Σε δύο κοικά πετάγω ο λόγος τω πλευρώ τους είι λ =. Ποιος είι ο λόγος τω ποστηάτω, τω κτίω τους, τω περιέτρω τους κι τω εβδώ τους. = λ λ = R R = λ λ = P P λ λ = λ λ = Ε Ε = = =. Τ πλήθη, τω πλευρώ δύο κοικώ πολυγώω είι τίστοιχ ρίζες τω εξισώσεω: =, 9=. Ν ποδείξετε ότι τ πολύγω είι όοι. Η εξίσωση =, ε σχή Horner, γίετι ( ) ( ) = = ή =. Επειδή ο είι φυσικός ριθός, έχουε Άρ = >. Ελέγχουε η τιή = επληθεύει τη εξίσωση 9=. 9= = που ισχύει. Έτσι, οι δύο εξισώσεις έχου κοιή ρίζ όο το, άρ τ πολύγω είι κοικά πετάγω, άρ είι όοι.. Ν ποδείξετε ότι το όο κοικό πολύγωο ε γωί οξεί είι το ισόπλευρο τρίγωο < < 36 9 < 9 < 36 < άρ = 3.

4 6. Α έ κοικό γωο κι έ κοικό -γωο ( > ) είι εγγεγρέ στο ίδιο κύκλο, ποδείξετε ότι i) λ λ = ( ) ii) λ > λ < i) Είι ii) λ + = λ > λ R κι λ > λ λ + = λ ( > R λ > ) > > λ λ + = + + λ = + λ λ (i) λ = < λ λ = ( )

5 7. Θεωρούε έ κοικό πετάγωο ΑΒ Ε εγγεγρέο σε κύκλο (Ο,R). Ν ποδείξετε ότι : i) Κάθε διγώιος χωρίζει το πετάγωο σε έ ισοσκελές τρπέζιο κι σε έ Ε ισοσκελές τρίγωο, ii) Η διχοτόος της γωίς Α Ο H Β M ˆ ΒΑ είι κάθετη στη πλευρά ΑΕ, iii) ύο διγώιοι που δε έχου κοιό άκρο σχητίζου ε δύο πλευρές του πετγώου ρόβο κι iv) Α Η είι το σηείο τοής της Α ε τη Β, τότε i) Φέρουε τη διγώιο Α. ΒΑ = Β τρίγωο ΒΑ ισοσκελές. ΑΕ= Ε Α ii) ΑΗ = Α. Η Α Ε τρπέζιο ε ΑΕ =, άρ ισοσκελές. ΑΜ η διχοτόος 36 Β= = 7 = = Ε ΒΑ ˆ Β = = 36 Ε 7 Α ˆ = 8 Α ˆ = = = 7 ˆ ˆ ˆ ΕΑΜ=Α +Α = = 9 ΑΜ ΑΕ iii) Όπως είι Ε Α, έτσι είι κι ΕΑ Β, άρ ΑΕ Η πρλληλόγρο κι επειδή ΕΑ = Ε, είι ρόβος πλευράς λ. iv) Αρκεί δείξουε ότι λ Η λ = Α Η = Α λ ΑΒ Η = Α Β Αρκεί δείξουε ότι το τρίγωο ΑΒ είι όοιο ε το ΗΒ, το οποίο ισχύει διότι ˆ κοιή κι ΒΑ ˆ = Β ˆ.

6 6 Αποδεικτικές Ασκήσεις. Το δάπεδο εός δωτίου στρώθηκε ε πλκίδι σχήτος κοικώ πολυγώω ε πλήθος πλευρώ λ,,, όπου λ λ. Ν ποδείξετε ότι λ + + = Θ υπάρχει σηείο του δπέδου που θ είι κοιή κορυφή τω τριώ πολυγώω. Άρ ϕ +ϕ +ϕ = 36 λ λ = 36 8 = 36 λ 8 36 = + λ + + = λ Α έ πολύγωο είι εγγράψιο κι περιγράψιο σε δύο οόκετρους κύκλους, ποδείξετε ότι είι κοικό. Τ ποστήτ τω χορδώ-πλευρώ είι ίσ σ κτίες του ικρού κύκλου. Άρ χορδές-πλευρές του πολυγώου ίσες. σ Κάθε γωί του πολυγώου είι εγγεγρέη κι βίει σε τόξο ( )σ. Άρ γωίες του πολυγώου ίσες.

7 7 3. Α Α, Β,, είι διδοχικές κορυφές εός κοικού γώου ( ), ποδείξετε ότι Α ΑΒ = ΑΒ. Α. ο Θ. ιέσω στο τρίγωο ΑΒ: Α ΑΒ = Β. ΗΜ.= ΑΒ.ΗΜ Α Ο Αρκεί ποδείξουε ότι Α = ΗΜ Φέρουε κι Θ Β. Η Β Μ Θ Είι τρ.αβη = τρ. Θ, φού ) ορθογώι ) ΑΒ = κι 3) ˆ ˆ Β= (πρπληρωτικές της ϕ ) Άρ ΗΒ = Θ, άρ κι ΗΜ = ΜΘ. ΑΗΘ ορθογώιο Α = ΗΘ = ΗΜ. Α Α Ε είι το εβδό εός κοικού -γώου ( ), εγγεγρέου σε κύκλο (Ο,R), ποδείξετε ότι κοικού -γώου κτίς R Ο Κ Ε = P R, όπου P η περίετρος του Θεωρούε ΑΒ = Β = Φέρουε τις κτίες ΟΑ, ΟΒ, Ο οπότε ΟΚ πόστη του -γώου. λ οπότε Α = λ. Ε = P R (ΟΑΒ) = Α. R ΟΒ. ΑΚ = ΑΚ R Β που ισχύει.

8 8. Α λ είι πλευρά κοικού -γώου περιγεγρέου σε κύκλο κι η πλευρά κι το πόστη τίστοιχ κοικού -γώου εγγεγρέου στο ίδιο κύκλο, ποδείξετε ότι R. λ =. λ. Τ δύο πολύγω είι όοι, φού έχου ίδιο πλήθος πλευρώ λ λ = = (φού λ λ R = R) R. λ =. λ. λ, 6. Α E, Ε, β Ε είι τ εβδά κοικώ -γώω που έχου πλευρές ίσες γ τίστοιχ ε τις πλευρές, β, γ ορθογωίου τριγώου ΑΒ ( ˆΑ = ), ποδείξετε ότι Ε + β Ε = E γ. Τ τρί πολύγω είι όοι, φού έχου ίδιο πλήθος πλευρώ. Εβ β () πολύγωο όοιο του (β) = Ε () πολύγωο όοιο του (γ) Άρ Ε β Ε + Ε γ Ε = β Εγ γ = Ε + γ = β +γ = πό το Πυθγόρειο.

9 9 Σύθετ Θέτ. Οι Πυθγόρειοι ισχυρίζοτ ότι υπάρχου τρί όο κοικά πολύγω τω οποίω οι γωίες πορού κλύψου το επίπεδο γύρω πό έ σηείο. Τ κοικά υτά πολύγω είι τ ισόπλευρ τρίγω, τ τετράγω κι τ κοικά εξάγω. Ν ποδείξετε τη λήθει του ισχυρισού υτού τω Πυθγορείω. Θεωρούε το τύπο 36 ϕ = 8 σε οίρες. Έστω ότι πιτούτι κ το πλήθος κοικά -γω. Τότε 36 κ ϕ = 36 κ ( 8 ) = 36 κ ( ) = κ ( ) = + ( ) + κ = = = = + κ φυσικός φυσικός ο διιρεί το = ή ή = 3 ή ή 6

10 . Έστω κοικό -γωο κι σηείο Σ στο εσωτερικό του. Α d, d,..., d είι οι ποστάσεις του Σ πό τις πλευρές του -γώου, ποδείξετε ότι d + d d =., όπου το πόστη του -γώου. Ο Σ Α Α 3 Κ Κ Α Α Κ Α ) + (ΣΑ 3 Είι (ΣΑ λ d + Έστω ΑΑ... Α το κοικό γωο, ΣΚ, ΣΚ,..., ΣΚ οι ποστάσεις d, d,..., d κι Ο το κέτρο. Φέρουε τις ΣΑ, ΣΑ,..., ΣΑ κι τις ΟΑ, ΟΑ. Α ) (ΣΑ Α ) = ( ΑΑ... Α ) λ d λ d λ ( d + d d ) = d + d d = λ = (ΟΑ Α ) 3. Σε κοικό οκτάγωο ΑΒ... Κ η πλευρά ΑΒ προεκτειόεη τέει τη προέκτση της κτίς Ο στο σηείο Μ. Ν ποδείξετε ότι ΑΜ = Α. Θ Η Ζ Τ σηεί, Θ είι πέτι κορυφές του δεκγώου, άρ η Θ είι διάετρος.. Ι Κ Ο σ Ε Α = 3σ = ΑΘ Α = ΑΘ, οπότε ρκεί ποδείξουε ότι ΑΜ = ΑΘ ή ότι ˆΜ = ˆΘ. Α Β Μ ΑΘ Β ˆΜ = 3σ σ = =σ= 36 Α ˆΘ = σ = =σ= 36

Σχετικά έγγραφα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε