Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Α

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Α Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Αντικείμενο της ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ με τη λέξη ΑΠΟΦΑΣΗ εννοούμε την επιλογή κάποιας/κάποιων από τις εναλλακτικές πρά-ξε που είναι στη διάθεσή μας για την αντιμετώπιση ενός (επιχειρηματικού) προβλήματος. πεδίο εφαρμογής της Θεωρίας Αποφάσεων είναι οι σημαντικές αποφάσεις για τις οποίες δεν είναι προφανές τι πρέπει να γίνει Με τη Θεωρία Αποφάσεων μπορούμε να δομήσουμε και να κατανοήσουμε προβλήματα όταν υπάρχουν συνθήκες αβεβαιότητας. Η Επιχειρησιακή Έρευνα ασχολείται και με τέτοια προβλήματα. ΟΜΩΣ η αβεβαιότητα έχει το στοιχείο της αντικειμενικότητας κι άρα μπορεί να αντιμετωπιστεί με μεθόδους των πιθανοτήτων. Η Θεωρία Αποφάσεων ασχολείται με προβλήματα όπου η αβεβαιότητα έχει το στοιχείο της υποκειμενικότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 1

2 Μεθοδολογία της ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Απαρίθμηση των εναλλακτικών αποφάσεων (από τις οποίες θα επιλεγεί η βέλτιστη). Απαρίθμηση των εναλλακτικών εκβάσεων που ενδέχεται να έχουν αβέβαια γεγονότα που επηρεάζουν την απόφασή μας. Εκτίμηση του πόσο πιθανή είναι η κάθε μία έκβαση των παραπάνω εναλλακτικών αβέβαιων γεγονότων (? αντικειμενική ή υποκειμενική εκτίμηση). Εκτίμηση και σύγκριση το πόσο ελκυστικές είναι στον αποφασίζοντα οι εναλλακτικές τελικές εκβάσεις του προβλήματος απόφασης. Αποφ Ενδεχόμενες εξωτερ. καταστ. S 1 S 2 S m D 1 V 11 V 12 V 1m D 2 V 21 V 22 V 2m D n V n1 V n2 V nm ΔΕΝ γνωρίζουμε το μέλλον Δομή των προβλημάτων ΑΠΟΦΑΣΗΣ Βιομηχανία μεταποίησης χημικών μεταφέρει την πρώτη ύλη στο εργοστάσιό της μέσα σε ειδικά φορτηγά αυτοκίνητα. Η εργατική ένωση στην οποία ανήκουν οι οδηγοί των φορτηγών είναι πολύ πιθανόν να κηρύξει απεργία. Ο επιχειρηματίας, ενόψει αυτού του ενδεχομένου προσανατολίζεται να προμηθευτεί απόθεμα πρώτων υλών. Επειδή όμως δεν μπορεί να προβλέψει τη χρονική διάρκεια της απεργίας (καταστάσεις της φύσης) αναπτύσσει πέντε εναλλακτικές λύσεις που αντιστοιχούν σε προμήθεια αποθέματος για 0, 1, 2, 3 και 4 επιπλέον εβδομάδες. Στη συνέχεια εμφανίζει τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής (εναλλακτικής λύσης), σε συνδυασμό με την πιθανή διάρκεια της απεργίας εκφρασμένα σε χρηματικές μονάδες κόστους: Επιπλέον Απόθεμα Διάρκεια Απεργίας (σε εβδομάδες) (σε εβδομάδες) Φ1 = 0 Φ2 = 1 Φ3 = 2 Φ4 = 3 Φ5 = 4 Σ1 = Σ2 = Σ3 = Σ4 = Σ5 = ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 2

3 Δομή των προβλημάτων ΑΠΟΦΑΣΗΣ Αρχικά, ο «αποφασίζων» προσαρμόζει το πρόβλημά του στην προκαθορισμένη δομή ενός προβλήματος απόφασης: Ζητούμενος (αντικειμενικός) στόχος. Εναλλακτικές αποφάσεις/στρατηγικές. (Εξωτερικές) καταστάσεις της φύσης και οι πιθανότητες εμφάνισής τους. Απόδοση/αποτέλεσμα των (ανωτέρω) στρατηγικών ως προς εκάστη εκ των καταστάσεων της φύσης. (Μαθηματικό) κριτήριο επιλογής της στρατηγικής. Τα δεδομένα ενός προβλήματος απόφασης παρουσιάζονται με τη μορφή ενός πίνακα απόδοσης (payoff table) ο οποίος συνήθως μετεξελίσσεται σ ένα δέντρο απόφασης (decision tree). Δομή των προβλημάτων ΑΠΟΦΑΣΗΣ Σε γενικές γραμμές (συμβολισμοί): d i είναι οι εναλλακτικές στρατηγικές/αποφάσεις/λύσεις. s j είναι οι καταστάσεις της φύσης. V ij είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει, εάν εφαρμοστεί η στρατηγική d i και διαμορφωθεί η κατάσταση s j εκφραζόμενο σε χρήμα (κέρδος ή κόστος), χρόνο, απόσταση, κλπ. P j είναι η πιθανότητα εμφάνισης της s j κατάστασης της φύσης (οδηγούν σε συνθήκες βεβαιότητας, αβεβαιότητας ή κινδύνου). Πίνακας απόδοσης είναι ένας πίνακας που καταγράφει τις αποδόσεις για όλους τους συνδυασμούς «εναλλακτικών στρατηγικών» και «καταστάσεων φύσης». ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 3

4 Δομή των προβλημάτων ΑΠΟΦΑΣΗΣ Κατασκευαστική εταιρεία ετοιμάζει ένα νέο συγκρότημα παραθεριστικών κατοικιών. Εξετάζονται τρεις εναλλακτικές προτάσεις που αφορούν την δημιουργία ενός μικρού συγκροτήματος 30 κατοικιών, ενός μεσαίου 60 ή ενός μεγάλου 90 κατοικιών. Σημείο τριβής της απόφασης είναι η ζήτηση που θα έχουν οι κατοικίες. Αποφασίστηκε η επεξεργασία δύο σεναρίων, υψηλής και χαμηλής ζήτησης: Στη συνέχεια εμφανίζει τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής (εναλλακτικής λύσης), σε συνδυασμό με την πιθανή ζήτηση εκφρασμένα σε χρηματικές μονάδες κέρδους ($ εκατομμύρια): ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ (ΑΝΕΞΕΛΕΓΚΤΟΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ) ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Μεγάλο συγκρότημα 20-9 payoff table Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Στις περιπτώσεις κατά τις οποίες η απόφαση θα ληφθεί ενώ ο «αποφασίζων» γνωρίζει εκ των προτέρων ποια κατάσταση της φύσης θα εμφανιστεί καθώς και τα αποτελέσματα της κάθε εναλλακτικής λύσης (συνθήκες βεβαιότητας, ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Best Μεγάλο συγκρότημα 20-9 decision 20 7 Best decision ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 4

5 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Στις περιπτώσεις κατά τις οποίες η απόφαση θα ληφθεί ενώ ο «αποφασίζων» δεν έχει καθόλου πληροφορίες για τις καταστάσεις της φύσης που είναι δυνατόν να εμφανιστούν (συνθήκες αβεβαιότητας, ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ). χρησιμοποιούνται (συνήθως) οι εξής τρεις προσεγγίσεις -κριτήρια λήψης απόφασης-: αισιόδοξη (: κριτήριο maximax ή minimin), συντηρητική (: κριτήριο maximin ή minimax του Wald), διαφυγόντος κέρδους (: κριτήριο minimax regret του Savage). Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ αισιόδοξη προσέγγιση -κριτήριο maximax (ή minimin)-: Εδώ ο «αποφασίζων» είναι αισιόδοξος και περιμένει την καλύτερη εξέλιξη των καταστάσεων που δεν ελέγχει (της φύσης). Πρακτικά αναζητά στον πίνακα απόδοσης τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Μεγάλο συγκρότημα 20-9 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΑΠΟΔΟΣΗ Μικρό συγκρότημα 8 Maximax decision Μεσαίο συγκρότημα 14 Maximax payoff Μεγάλο συγκρότημα 20 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 5

6 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ συντηρητική προσέγγιση -κριτήριο maximin (ή minimax)-. Εδώ ο «αποφασίζων» είναι απαισιόδοξος και περιμένει τη χειρότερη εξέλιξη των καταστάσεων που δεν ελέγχει (της φύσης). Αρχικά, προσδιορίζεται το πιο δυσμενές αποτέλεσμα για την κάθε στρατηγική και στη συνέχεια επιλέγεται η λιγότερο δυσμενής στρατηγική. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Μεγάλο συγκρότημα 20-9 Maximin decision ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Μικρό συγκρότημα 7 Μεσαίο συγκρότημα 5 Μεγάλο συγκρότημα -9 Maximin ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΔΟΣΗ payoff Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ διαφυγόντος κέρδους -κριτήριο minimax regret-. Εδώ επιλέγεται η στρατηγική η οποία ελαχιστοποιεί τη θλίψη του «αποφασίζοντος». Ο όρος θλίψη αφορά την απόσταση που προκύπτει μεταξύ της αξίας του αποτελέσματος που πραγματοποιείται και της αξίας αυτού που θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί, εάν ο «αποφασίζων» γνώριζε εκ των προτέρων την κατάσταση της φύσης που θα εμφανιστεί στο μέλλον. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Μεγάλο συγκρότημα 20-9 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 20-8 = = 0 Μεσαίο συγκρότημα = = 2 Μεγάλο συγκρότημα = = 16 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 6

7 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Μεγάλο συγκρότημα 20-9 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 12 0 Μεσαίο συγκρότημα 6 2 Μεγάλο συγκρότημα 0 16 Minimax decision ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΘΛΙΨΗ Μικρό συγκρότημα 12 Μεσαίο συγκρότημα 6 Μεγάλο συγκρότημα 16 Minimax regret Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Which one should be chosen? Depends on the decision maker! Κατά συνέπεια Η Θεωρία Αποφάσεων προτείνει έναν ορθολογιστικό τρόπο σκέψης για την αντιμετώπιση των προβλημάτων απόφασης λαμβάνοντας υπόψη την κοσμοθεωρία του αποφασίζοντος Υπάρχουν κι άλλες προσεγγίσεις -κριτήρια λήψης απόφασης-: Laplace: η αβεβαιότητα σχετικά με τις εξωτερικές καταστάσεις, ερμηνεύεται ως ίση πιθανότητα για οποιαδήποτε από αυτές. Hurwicz (Nobel prize 7): αρχικά καταγράφεται το ύψος της αισιοδοξίας. Υπεροχής: εδώ θεωρείται ότι μία στρατηγική υπερέχει μιας άλλης όταν η χειρότερη πιθανή απόδοση της πρώτης υπερέχει της καλύτερης δυνατής της δεύτερης (ή έστω όταν η απόδοση της πρώτης στρατηγικής για κάθε εκδοχή εξωτερικής κατάστασης είναι ανώτερη της αντίστοιχης απόδοσης της δεύτερης για την ίδια εξωτερική κατάσταση. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 7

8 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Με τον όρο κίνδυνο εννοούμε ότι ο «αποφασίζων» είναι σε θέση να καταγράψει τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης, π.χ. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ P 1 = 0,80 P 2 = 0,20 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Ζήτηση Ζήτηση Μικρό συγκρότημα 8 7 Μεσαίο συγκρότημα 14 5 Μεγάλο συγκρότημα 20-9 Σε τέτοιες συνθήκες η εύρεση της καλύτερης στρατηγικής προσεγγίζεται με το κριτήριο της μέγιστης αναμενόμενης (προσδοκώμενης) απόδοσης (expected value): EV d EV(d 1 ) = 0,80(8) + 0,20(7) = 7.8, EV(d 2 ) = 0,80(14) + 0,20(5) = 12.2, EV(d 3 ) = 0,80(20) + 0,20(-9) = N ( ) Prob( ) s V i j ij j 1 Best decision ΠΡΟΣΟΧΗ: απαιτούνται οι πιθανότητες Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Δέντρο Απόφασης είναι μια γραφική απεικόνιση των δεδομένων ενός προβλήματος απόφασης λαμβάνοντας υπόψη τον παράγοντα του χρόνου. Ένα δέντρο απόφασης παριστά μια ακολουθία αποφάσεων (ενεργειών) που παίρνονται σε διαδοχικά χρονικά σημεία. Το δέντρο αποτελείται από κόμβους (nodes) και ακμές/κλαδιά (branches): Κόμβος Απόφασης Καταστάσεις Φύσης P(s 2 ) Χρησιμοποιούμε τετράγωνους κόμβους για να αναπαραστήσουμε σημεία απόφασης, από τα οποία ξεκινούν ευθείες-κλαδιά, μια ευθεία για κάθε εναλλακτική απόφαση που αντιμετωπίζουμε στο συγκεκριμένο κόμβο. P(s 2 ) Χρησιμοποιούμε κυκλικούς κόμβους για να αναπαραστήσουμε καταστάσεις της φύσης, από τα οποία ξεκινούν ευθείες-κλαδιά που εκφράζουν τις ενδεχόμενες καταστάσεις της φύσης που μπορεί να προκύψουν. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 8

9 Αποφάσεις σε ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Το πρόβλημα της κατασκευαστικής εταιρείας που επεξεργαζόμαστε, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε και με ένα δέντρο απόφασης: Στόχος Κόμβος απόφασης Εναλλακτικές Μικρό Επιλογή Μεγέθους Συγκροτήματος Μεσαίο Μεγάλο Κατασκευή Δέντρου Απόφασης Εδώ d1, d2, d3 είναι οι εναλλακτικές αποφάσεις για την κατασκευή «μικρού», «μεσαίου» ή «μεγάλου συγκροτήματος», και s1, s2 οι τυχαίες καταστάσεις «υψηλής» και «χαμηλής ζήτησης». s 1.8 Payoffs 8 1 d 1 d 2 d s 2 s 1 s 2 s 1 s ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 9

10 Επίλυση Δέντρου Απόφασης Σε κάθε κόμβο τύχης ξεκινώντας από το τέλος και πηγαίνοντας προς την αρχή, υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοση του κόμβου, πολλαπλασιάζοντας την απόδοση κάθε ενδεχόμενη κατάστασης που προκύπτει από τον κόμβο με την αντίστοιχη πιθανότητα, και αθροίζοντας τα επί μέρους γινόμενα. Αναμενόμενη Απόδοση Στρατηγικής (EV) = Απόδοση αν ζήτηση Πιθανότητα Ζήτηση + + Απόδοση αν Ζήτηση Πιθανότητα Ζήτηση EV(μικρού συγκροτήματος) = 8 0, ,2 = 7,8 EV(μεσαίου συγκροτήματος) = 14 0, ,2 = 12,2 EV(μεγάλου συγκροτήματος) = 20 0,8-9 0,2 = 14,2 Επίλυση Δέντρου Απόφασης 80% 8 7,8 20% 7 Επιλογή Μεγέθους Συγκροτήματος Μεσαίο 12,2 80% 20% ,2 80% 20 20% -9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 10

11 Επίλυση Δέντρου Απόφασης Αφαιρούμε (ή προσθέτουμε) τα τυχόν κόστη (ή οφέλη) κατά μήκος ενός κλαδιού απόφασης και επιλέγουμε την άριστη απόφαση για τον συγκεκριμένο κόμβο απόφασης. Επίλυση Δέντρου Απόφασης 80% 8 7,8 20% 7 Επιλογή Μεγέθους Συγκροτήματος Μεσαίο (12.2) 12,2 80% 20% % 20 14,2 20% -9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 11

12 Επίλυση Δέντρου Απόφασης Εάν υπάρχουν προηγούμενα κλαδιά, συνεχίζουμε επαναλαμβάνοντας τα προηγούμενα βήματα μέχρις ότου να φθάσουμε στον κόμβο αφετηρίας. Άριστος είναι ο κόμβος με την μέγιστη απόδοση (ή το ελάχιστο κόστος). Απόφαση με τη βοήθεια του Δέντρου Απόφασης Θα πρέπει να κατασκευαστεί συγκρότημα μεγάλου μεγέθους. Τότε προκύπτει η μεγαλύτερη (Καθαρή) Αναμενόμενη Απόδοση. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 12

13 Το τμήμα Μάρκετινγκ της επιχείρησης έχει ομαδοποιήσει τη ζήτηση που θα εμφανισθεί για τη νέα γραμμή προϊόντων σε δύο κατηγορίες και βασιζόμενο σε αντίστοιχες εισαγωγές προϊόντων έχει προσδιορίσει και συγκεκριμένες πιθανότητες εμφάνισης της κάθε μορφής ζήτησης:, με πιθανότητα εμφάνισης, με πιθανότητα εμφάνισης Τα ετήσια έσοδα με βάση το ύψος της ζήτησης και της στρατηγική που ακολουθεί η επιχείρηση και το κόστος κάθε στρατηγικής δίνονται στο παρακάτω πίνακα: Στρατηγική Ζήτηση Ζήτηση Κόστος Επιθετική Μέση Συντηρητική ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΙΣΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ?? Κατασκευή Δέντρου Απόφασης Κι αυτό το πρόβλημα μπορούμε να το αναπαραστήσουμε με ένα δέντρο απόφασης. Στόχος Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ Κόμβος απόφασης Κόστος Επιθετική Μέση Συντηρητική Εναλλακτικές ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 13

14 Κατασκευή Δέντρου Απόφασης 580 Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ Μέση (με τρίγωνο αναπαριστάνουμε τελικές καταστάσεις) Επίλυση Δέντρου Απόφασης Σε κάθε κόμβο τύχης ξεκινώντας από το τέλος και πηγαίνοντας προς την αρχή, υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοση του κόμβου, πολλαπλασιάζοντας την απόδοση κάθε ενδεχόμενη κατάστασης που προκύπτει από τον κόμβο με την αντίστοιχη πιθανότητα, και αθροίζοντας τα επί μέρους γινόμενα. Αναμενόμενη Απόδοση Στρατηγικής = (Έσοδα αν ζήτηση Πιθανότητα Ζήτηση ) + + (Έσοδα αν Ζήτηση Πιθανότητα Ζήτηση ) EV(Ε) = 580 0,4 + 0,6 = 352 EV(Μ) = 330 0,4 + 0,6 = 252 EV(Σ) = 100 0,4 + 0,6 = 160 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 14

15 Επίλυση Δέντρου Απόφασης Επιθετική Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ Μέση Συντηρητική Επίλυση Δέντρου Απόφασης Αφαιρούμε (ή προσθέτουμε) τα τυχόν κόστη (ή οφέλη) κατά μήκος ενός κλαδιού απόφασης και επιλέγουμε την άριστη απόφαση για τον συγκεκριμένο κόμβο απόφασης. Άριστος είναι ο κόμβος με την μέγιστη απόδοση (ή το ελάχιστο κόστος). Αναμενόμενη (Καθαρή) Απόδοση Στρατηγικής = Αναμενόμενη Απόδοση Στρατηγικής Κόστος Στρατηγικής EV(Ε) = = 72 EV(Μ) = = 122 EV(Σ) = = 110 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 15

16 Επίλυση Δέντρου Απόφασης 72 Επιθετική Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ 122 Μέση Συντηρητική Επίλυση Δέντρου Απόφασης (580) 300 Επιλογή Στρατηγικής Μάρκετινγκ Επιθετική (-280) 72 (= (-80)) 122 Μέση (-130) () (330) () (-50) Συντηρητική (100) () ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 16

17 Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) Στο παράδειγμά μας θεωρήσαμε ότι οι πιθανότητες η ζήτηση να είναι ή είναι γνωστές με βεβαιότητα. Ρrob(Υ) = 0,4 Ρrob(Χ) = 0,6 Τι επίπτωση θα είχε στην στρατηγική της επιχείρησης και στην αναμενόμενη απόδοση μία αλλαγή των πιθανοτήτων για το μέγεθος της αγοράς; Δηλαδή, πόσο ευαίσθητη είναι η ακολουθητέα στρατηγική σε διαφορετικές εκτιμήσεις των πιθανοτήτων; Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος η Αναμενόμενη Καθαρή Απόδοση της Επιθετικής Στρατηγικής είναι: EV(Ε) = 300 Ρrob() - 80 Ρrob() Εφόσον Ρrob(Υ) + Ρrob(Χ) = 1 θα είναι Ρrob(Χ) = 1-Ρrob(Υ) EV(Ε) = 300 Ρrob(Υ) -80 [1-Ρrob(Υ)] = Ρrob(Υ) Παρόμοια υπολογίζουμε EV(Μ) & EV(Σ) EV(Μ) = Ρrob(Υ) και EV(Σ) = Ρrob(Υ) ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 17

18 Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) Ανάλυση Ευαισθησίας της αναμενόμενης απόδοσης από την επιθετική στρατηγική σε σχέση με την πιθανότητα υψηλής ζήτησης. EV(Ε) EV(Ε)= Ρrob(Υ) Ρrob(Υ) 0 1 Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) Ανάλυση Ευαισθησίας όλων των στρατηγικών σε σχέση με την πιθανότητα υψηλής ζήτησης EV EV(Σ) EV(Μ) 0,348 0,6 EV(Ε) Ρrob(Υ) Πως προκύπτουν οι υποδεικνυόμενες πιθανότητες; 0,348 είναι το σημείο τομής των ευθειών ( Ρrob(Υ)) και ( Ρrob(Υ)). ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 18

19 Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) Εάν Ρrob(Υ)<0,348 η άριστη στρατηγική είναι η Συντηρητική. Εάν 0,348<Ρrob(Υ)<0,6 η άριστη στρατηγική είναι η Μέση. Εάν Ρrob(Υ)>0,6 η άριστη στρατηγική είναι η Επιθετική. Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) Δεύτερη καλύτερη στρατηγική η «Συντηρητική» με EV = 110. Επομένως, η «Μέση» είναι η καλύτερη στρατηγική όσο θα είναι EV(M) 110. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 19

20 Ανάλυση Ευαισθησίας (σε Δέντρα Αποφάσεων) EV(Μ) = (Έσοδα αν ζήτηση ) 0,4 + (Έσοδα αν Ζήτηση ) 0, EV(Μ) = (Έσοδα αν ζήτηση ) 0,4 + () 0, Καλύτερη η Μέση όσο (Έσοδα αν ζήτηση ) 300 -εδώ 330- EV(Μ) = (Έσοδα αν ζήτηση ) 0,4 + (Έσοδα αν Ζήτηση ) 0, EV(Μ) = (330) 0,4 + (Έσοδα αν Ζήτηση ) 0, Καλύτερη η Μέση όσο (Έσοδα αν ζήτηση ) εδώ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Α' 20