1 Úvod Úvod Sylaby a literatúra Označenia a pomocné tvrdenia... 4
|
|
- Βερενίκη Αναγνωστάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Obsah 1 Úvod Úvod Sylaby a literatúra Označenia a omocné tvrdenia Prvočísla 6.1 Deliteľnosť Prvočísla Základné vlastnosti rvočísel Základná veta aritmetiky, kanonický rozklad Rozloženie rvočísel Medzery v množine rvočísel Rad revrátených hodnôt rvočísel Prvočíselná funkcia Čebyševove nerovnosti Bertrandov ostulát Prvočísla šeciálneho tvaru Prvočísla v aritmetických ostunostiach Ďalšie tyy rvočísel a niektoré známe otvorené roblémy Aritmetické funkcie Kongruencie Definícia a základné vlastnosti Lineárne kongruencie Čínska veta o zvyškoch Aritmetické funkcie, multilikatívne funkcie Eulerova funkcia Eulerova funkcia, Malá Fermatova veta Wilsonova a Lagrangeova veta Asymtotické srávanie Eulerovej funkcie Möbiova funkcia Kvadratické kongruencie Kvadratické zvyšky Legendrov symbol Zákon kvadratickej recirocity Jacobiho symbol Kvadratické kongruencie modulo zložené čísla
2 5 Hustoty odmnožín rirodzených čísel Asymtotická hustota Schnireľmannova hustota Logaritmická hustota Ďalšie zovšeobecnenia Štatistická konvergencia I-konvergencia Diofantické rovnice Lineárne diofantické rovnice Pytagorovské trojuholníky Diofantická rovnica x 4 + y 4 = z Diofantické rovnice a deliteľnosť Gaussovské a eisensteinovské celé čísla Diofantická rovnica x 3 + y 3 = z Aditívne vlastnosti rirodzených čísel Bázy množiny N Súčty druhých mocnín rirodzených čísel Súčty dvoch štvorcov Súčty štyroch štvorcov Súčet troch štvorcov Goldbachova hyotéza, aditívne vlastnosti rvočísel Minkowského veta a súčty štvorcov A Euklidov algoritmus 15 B Rady 17 B.1 Harmonický rad B. Rad revrátených hodnôt druhých mocnín B.3 Nekonečný súčin C Zložitosť niektorých teoreticko-číselných algoritmov 131 C.1 Základné oerácie C. Euklidov algoritmus C.3 Výočet Jacobiho symbolu D Objem n-rozmernej gule 133 D.1 4-rozmerná guľa D. Všeobecné odvodenie omocou funkcie Γ Register 140 Zoznam symbolov 14
3 Kaitola 1 Úvod Verzia: 16. setembra 01 You teach best what you most need to learn. Patrick Bach, Illusions Die Zahlentheorie ist nützlich, weil man mit ihr romovieren kann. Edmund Landau 1.1 Úvod Teória čísel je v súčasnosti matematická discilína, ktorá obsahuje veľa hlbokých a zaujímavých výsledkov ale aj otvorených roblémov a hyotéz. Teória čísel využíva metódy najrôznejších matematických odvetví, v súvislosti s tým hovoríme o algebraickej, analytickej, ravdeodobnostnej, kombinatorickej či geometrickej teórii čísel. (Fakt, že oznatky z algebry často nachádzajú ulatnenie v teórii čísel, si je možné všimnúť aj na niektorých miestach v týchto oznámkach re viaceré vety sme odali algebraický aj čisto teoreticko-číselný dôkaz.) Samozrejme teóriu čísel ovlyvňuje aj súčasný rozvoj výočtovej techniky, ako nové odvetvie vznikla algoritmická teória čísel (comutational number theory). V súvislosti s nasadením očítačov vystuujú do oredia naríklad otázky výočtovej zložitosti teoreticko-číselných algoritmov. Mnohé teoreticko-číselné hyotézy sa dajú vďaka očítačom overiť re omerne veľké čísla. Môžeme somenúť aj známy rojekt hľadania veľkých rvočísel omocou distribuovaných výočtov. Alikácie teórie čísel v oblasti comuter science môžeme nájsť hlavne v krytografii. Samozrejme, nie je možné okryť v riebehu semestrov takú obrovskú oblasť. V skutočnosti tieto rednášky neobsahujú ani zďaleka všetko, čo by sa dalo zaradiť do základného kurzu. O tom, že sa zaoberáme skutočne len najzákladnejšími vecami svedčí naríklad aj to, že viaceré výsledky, ktoré ukážeme, sú omerne staré (niekoľko storočí až niekoľko tisícročí). Nariek tomu verím, že v tomto texte nájdete viacero zaujímavých vecí a oskytne Vám dobrý základ k ríadnému ďalšiemu štúdiu teórie čísel. 1. Sylaby a literatúra Sylaby redmetu: Zima: Deliteľnosť v obore Z, rvočísla. Prvočíselná veta. Základné aritmetické funkcie. Dokonalé čísla. Kongruencie. Eulerova veta. Kvadratické kongruencie a zákony recirocity. 3
4 Leto: Cantorove rozvoje reálnych čísel. Kritériá iracionálnosti. Iracionálnosť čísel e a. Pojem hustoty vteórii čísel. Základné tyy hustôt; Schnireľmannova, asymtotická a logaritmická hustota. Pytagorovské trojuholníky. Zvyčajne v zime stihnem rebrať veci o kaitolu 4 (vrátane), ostatné kaitoly atria do letného semestra. Literatúra: Na tomto mieste by som rád uviedol jednak odorúčanú literatúru, ktorej rečítaním získate určite viac ako z týchto rednášok alebo z oznámok k ním, a dvak, ako káže človeku slušnosť, aj literatúru, ktorú som oužil ri rírave tohoto textu. V odstate všetko, čo bude obsahom tejto rednášky, môžete nájsť v učebniciach [ŠHHK] a [KLŠZ]. Z kníh v slovenskom jazyku je výborná aj kniha [Zn]. V češtine vyšla kniha [PS]. Ďalšie zdroje oužité ri rírave týchto oznámok sú [AW], [An], [A], [AZ], [B], [BD], [C], [Č], [CP], [DSV], [DD], [DMR], [ES], [HW], [HS], [IR], [JJ], [KPW], [KLS], [Kos], [Lem], [Lem1], [Lev1], [Lo], [MSC], [ME], [Nat], [NZM], [Po], [Pr], [Ri], [Ros], [Rot], [Sie3], [Sie1], [Š3], [VR] a v neoslednom rade aj internetové zdroje [WIK] a [PLA]. Súčasne by som rád oďakoval Milošovi Zimanovi, ktorý rednášal tú istú rednášku v redchádzajúcich rokoch viaceré témy som zaradil do rednášky na jeho odnet. Každoádne však na tomto mieste nemožno neriomenúť rofesora Tibora Šaláta, ktorý tento redmet rednášal dlhé roky a vlastne on dal tejto rednáške súčasnú odobu (témy z tejto rednášky sracoval v ríslušných kaitolách kníh [ŠHHK] a [KLŠZ]). Za viaceré riomienky k obsahu rednášky ďakujem Pavlovi Zlatošovi, Ladislavovi Kvaszovi, Martinovi Mačajovi a Martinovi Nieelovi. Bohužiaľ väčšinu z nich sa mi neodarilo do tejto rednášky zaradiť aj to svedčí o tom, že ak Vás teória čísel zaujme, ľahko môžete nájsť veľa ďalších fascinujúcich tém, o ktorých sa tu nezmienime. Takisto sa chcem oďakovať svojim študentom za mnohé zaujímavé oznámky na rednáškach, ako aj za uozornenie na viaceré rekley aj vecné chyby. Menovite someniem asoň (sorry, ako som na niekoho zabudol) R. Brídu, O. Budáča, M. Burgera, F. Ďuriša, J. Holosa, P. Koscelanského, M. Prusáka a M. Višňovskú. Samozrejme, ako každý iný text, aj tu nájde množstvo chýb, neresností a rekleov. Za akékoľvek návrhy a oravy budem vďačný. Budem sa snažiť tieto oznámky riebežne oravovať a doĺňať, aktuálnu verziu nájdete na htt://thales.doa.fmh.uniba.sk/sleziak/ vyuka/. Zrejme každý, kto si ozeral knihu [KLŠZ] určite získal dojem, že niektoré časti sú týchto oznámok takmer okoírované z ríslušných kaitol somenutej knihy. Preto sa môže zdať otázne, či nebolo zbytočné takéto racné reisovanie. Myslím si, že nie a to z dvoch dôvodov. Jednak takto majú študenti celý text okoe a nemusia kombinovať štúdium vo viacerých knihách niektoré kaitoly študovať odtiaľto, iné z [KLŠZ] a ďalšie možno z celkom inej knihy. Ďalší dôvod je, že v takejto forme sa text ľahšie uravuje a snáď keď to budem rednášať v ďalších rokoch, vždy nájdem niečo nové a zaujímavé, čo by sa tam dalo dolniť. Každoádne som ovažoval za moju ovinnosť somenúť, že niektoré kaitoly a rezentácia niektorých tém ochádza z [KLŠZ] aby som nevyvolal dojem, že si chcem rivlastňovať cudziu rácu. 1.3 Označenia a omocné tvrdenia Pre číselné obory budeme oužívať nasledujúce označenia: Z = množina celých čísel N = {1,,...} = množina rirodzených čísel (Nulu neovažujeme za rirodzené číslo.) N 0 = N {0}. R=reálne čísla, C=komlexné čísla 4
5 Označenie logaritmov: ln x označuje rirodzený logaritmus, log x je logaritmus so základom 10 a lg x je logaritmus so základom. Landauova notácia Definícia Nech f a g sú funkcie s oborom N alebo R a s hodnotami v R. Budeme oužívať symbol f(x) g(x) na vyjadrenie faktu, že Ak je odiel f(x) g(x) Ak íšeme f(x) = o(g(x)). Dolná a horná celá časť f(x) lim x g(x) = 1. ohraničený, zaíšeme to označením f(x) = O(g(x)). f(x) lim x g(x) = 0, Definícia Ak x R, tak dolná celá časť x je jediné celé číslo z také, že z x < z + 1. Označujeme ju x. Podobne horná celá časť čísla x je celé číslo z také, že z 1 < x z. Hornú celú časť označujeme x. Zlomkovou časťou čísla x nazývame číslo {x} = x x. Naríklad π = 3, π = 4, {π} = Lema Pre ľubovoľné x R latí x x {0, 1}. Presnejšie, { 0, ak 0 {x} < 1 x x = ; 1, ak 1 {x}. Dôkaz. Číslo x môžeme zaísať v tvare x = x + {x}, ričom 0 {x} < 1. Chceme vyjadriť dolnú celú časť čísla x = x + {x} Ak 0 {x} < 1, tak {x} < 1 a x = x. V tomto ríade teda máme x x. Ak 1 {x} < 1, tak 1 {x} < 1, z čoho dostaneme x = x + 1 a x x = 1. 5
6 Kaitola Prvočísla Tematika rvočísel atrí k najfascinujúcejším oblastiam nielen teórie čísel ale aj matematiky vôbec. Je známe množstvo dodnes nerozriešených hyotéz a roblémov súvisiacich s rvočíslami. Príťažlivosť tejto oblasti re amatérskych matematikov je v tom, že na formulovanie týchto roblémov často stačia vedomosti so základnej školy to latí aj o mnohých iných roblémoch v teórii čísel, veľa nematematikov sa naríklad okúšalo dokázať známu Veľkú Fermatovu vetu. Pre skutočných matematikov by čaro tejto roblematiky mohlo byť skôr v tom, že rvočísla sa objavujú v najrôznejších oblastiach a najnečakanejších súvislostiach..1 Deliteľnosť Mnohé veci z tejto časti už oznáte (zo strednej školy, z iných rednášok), reto niektoré somenieme iba stručnejšie. S odobnými výsledkami, aké uvedieme tu re celé čísla, ste sa stretli aj na rednáškach o olynómoch (ozri [KGGS, Kaitola 5]). Mnohé z nich sa dajú zovšeobecniť na tzv. okruhy s jednoznačným rozkladom a Euklidovské okruhy (ozri [KGGS, Kaitola 7]). Nasledujúca omerne jednoduchá veta bude mať dôležité dôsledky. Veta.1.1 (Veta o delení so zvyškom). Nech, q sú celé čísla, q > 0. Potom existujú celé čísla n a r také, že = n.q + r a 0 r < q. Navyše, n a r sú týmito odmienkami jednoznačne určené. Číslo r z redchádzajúcej vety sa nazýva zvyšok o delení číslom q a označuje sa mod q. Dôkaz. Existencia: Množina {k Z; kq } je nerázdna a zhora ohraničená. Preto existuje n := max{k; kq }. Položme r = nq. Očividne r 0. Tvrdíme, že r < q. Nech by to tak nebolo. Z nerovnosti r q dostaneme (n + 1)q, čo je sor s definíciou čísla n. Jednoznačnosť: Predokladajme, že = n.q + r = n.q + r, kde 0 r, r < q. Potom (n n ).q = r r. Predokladajme, že by n n > 0. Potom r r q, čo je sor s tým, že 0 r, r < q. Preto latí (n n ).q = r r = 0, 6
7 a n = n, r = r. Definícia.1.. Ak a, b sú celé čísla, tak hovoríme, že a delí b ak existuje také c Z, že b = a.c. Označujeme a b. Ak a nedelí b, oužijeme označenie a b. Naríklad 3 9, ale 3 7. Ľahko sa overia nasledujúce vlastnosti relácie. Veta.1.3. Nech a, b, c, m, n Z. (i) a 0, 1 a, a a. (ii) Ak a 0, tak 0 a. (iii) Ak a b a b c, tak a c. (iv) Ak a b a a c, tak a m.b + n.c. (v) Ak a b a b a, tak a = ±b. (vi) a b ráve vtedy, keď a b. (vii) Ak a, b N a a b, tak a b. (viii) Ak a, b N sú také, že a b a b a, tak a = b. (ix) Ak ab ac a a 0, tak b c. Uvedené tvrdenia budeme v ďalšom oužívať bez exlicitnej odvolávky. Časť (viii) budeme veľmi často oužívať na dôkaz, že sa dve rirodzené čísla rovnajú. Definícia.1.4. Nech a, b Z. Prirodzené číslo d sa nazýva najväčší soločný deliteľ čísel a a b, ak (i) d a, d b, (ii) re všetky čísla c Z také, že c a, c b latí c d. Najväčší soločný deliteľ čísel a a b označujeme (a, b). Používame síce rovnaké označenie re n.s.d. ako re usoriadané dvojice, z kontextu by vždy malo byť zrejmé, o ktorý z týchto ojmov ide (n.s.d. sa bude v týchto oznámkach vyskytovať oveľa častejšie ako usoriadaná dvojica). Ak (a, b) = 1, čísla a a b voláme nesúdeliteľné, v oačnom ríade hovoríme, že sú súdeliteľné. Lema.1.5. Ak a 0 alebo b 0, tak existuje najväčší soločný deliteľ čísel a a b. Dôkaz. Bez ujmy na všeobecnosti nech a 0. Uvažujme množinu S všetkých soločných deliteľov a a b. Keďže 1 S, táto množina je nerázdna. Pre každé s S latí s a. Teda množina S je zhora ohraničená a má maximálny rvok d. Tento rvok je najväčším soločným deliteľom a a b. Všimnite si, že n.s.d. (0, 0) neexistuje (retože každé rirodzené číslo je deliteľom nuly). Priamo z definície.1.4 je zrejmé, že ak n.s.d. (a, b) existuje, tak je určený jednoznačne. 7
8 Príklad.1.6. Počítajme hodnoty olynómu f(n) = n 4 + n + 1 re n N: f(1) = 3 f() = 1 = 3.7 f(3) = 91 = 7.13 f(4) = 73 = f(5) = 651 = Z rvých vyočítaných hodnôt sa zdá, že o sebe idúce čísla majú vždy soločného deliteľa väčšieho ako 1, teda, že sú súdeliteľné. Ľahko sa môžeme resvedčiť o tom, že to tak bude skutočne re ľubovoľné n. Platí totiž f(n) = n 4 + n + 1 = (n n + 1)(n + n + 1), f(n + 1) = [(n + 1) (n + 1) + 1][(n + 1) + (n + 1) + 1] = (n + n + 1)(n + 3n + 3). Preto n + n je soločným deliteľom čísel f(n) a f(n + 1). Nasledujúca charakteristika n.s.d. bude dôležitá vo viacerých dôkazoch. Nazýva sa odľa francúzskeho matematika Étienne Bézouta, ktorý dokázal odobné tvrdenie re olynómy. Pre rirodzené čísla však možno toto tvrdenie nájsť už v ráci iného francúzskeho matematika, Claude Gasard Bachet de Méziriaca, ublikovanej v rvej olovici 17-teho storočia. Tento istý matematik je autorom rekladu Diofantovej Aritmetiky z Gréčtiny do Latinčiny ráve v tomto reklade sa nachádza známa Fermatova oznámka o tom, že našiel veľmi ekný dôkaz Veľkej Fermatovej vety, ale je naň na okraji knihy rimálo miesta. Veta.1.7 (Bézoutova identita). Nech a, b Z, asoň jedno z nich je nenulové. Nech d = (a, b). Potom existujú čísla u, v Z také, že d = au + bv. Navyše d je najmenšie rirodzené číslo, ktoré možno zaísať v takomto tvare. Dôkaz. V ríade, že niektoré z čísel a, b je nulové, tvrdenie očividne latí. Budeme reto redokladať, že a, b 0. Označme M := {ax + by; x, y Z} N. Nech m = min M. Zrejme m = au + bv re nejaké u, v Z. Chceme ukázať, že m = d. Pretože d a, b, latí aj d ax + by re ľubovoľné celé čísla x, y. Šeciálne latí d m. Keďže d aj m sú kladné, vylýva z toho d m. Na overenie oačnej nerovnosti stačí ukázať, že m a a m b. Podľa vety.1.1 existujú q a r také, že a = mq + r, 0 r < m. Ak by latilo r > 0, tak dostaneme r = a mq = a(1 mu) bv M, čo je v sore s tým, že m je najmenší rvok množiny M. Preto musí latiť r = 0, z čoho dostaneme a = mq a m a. Podobne sa overí m b. Všimnime si, že množina {ax + by; x, y Z} tvorí ideál v okruhu (Z, +, ). Vieme, že (Z, +, ) je okruh hlavných ideálov. Podľa redchádzajúcej vety je tento ideál generovaný číslom (a, b). Dôsledok.1.8. Nech a, b, c Z a asoň jedno z čísel je nenulové. Ak c a a c b, tak c (a, b). Dôkaz. Podľa vety.1.7 sa dá najväčší soločný deliteľ čísel a a b vyjadriť v tvare (a, b) = ua + vb, kde u, v Z. Z toho, že c a a c b dostaneme c ua + vb = (a, b). Definícia najväčšieho soločného deliteľa hovorí, že (a, b) je najväčší rvok množiny soločných deliteľov a a b vzhľadom na usoriadanie. Všimnite si, že veta.1.3 nám okrem 8
9 iného hovorí, že relácia na množine rirodzených čísel je čiastočné usoriadanie. Podľa redchádzajúceho dôsledku je (a, b) najväčší rvok množiny (kladných) soločných deliteľov a a b aj vzhľadom na toto čiastočné usoriadanie. Lema.1.9 (Euklidova lema). Ak a, b, c Z, a bc a (a, b) = 1, tak a c. Dôkaz. Podľa vety.1.7 existujú u, v Z také, že au + bv = 1. Z toho dostaneme c = (au + bv)c = a.uc + bc.v. Číslo a delí oba sčítance, a teda a c. Uvedieme ešte jednu lemu, ktorá hovorí o deliteľnosti v súvislosti s nesúdeliteľnými číslami. Lema Ak a, b, c Z, (a, b) = 1, a c a b c, tak ab c. Dôkaz. Máme c = ka re nejaké k Z. Pretože b ka a (a, b) = 1, oužitím Euklidovej lemy dostaneme b k, z čoho už ľahko vylýva ab ka = c. Lema.1.11 (Základné vlastnosti n.s.d.). Vo všetkých častiach redokladáme, že čísla vystuujúce v jednotlivých rovnostiach sú také, že obe strany rovnosti sú definované. (i) Ak c = k.b + a, tak (a, b) = (b, c). (ii) Ak (a, b) = 1 a (a, c) = 1, tak (a, bc) = 1. (iii) Ak (a, b i ) = 1 re každé i = 1,..., k, tak (a, b 1... b k ) = 1. (iv) Ak (a, c) = 1, tak (a, bc) = (a, b). (v) Ak d = (a, b), tak ( a d, b d ) = 1. (vi) (ka, kb) = k(a, b) Dôkaz. (i) Pre čísla x, y označme M x,y množinu ich soločných deliteľov. N.s.d. čísel je najväčší rvok tejto množiny. Zrejme d a d b d c = kb + a. Obrátene d c = kb + a d b d a = c kb. Dokázali sme M a,b = M c,b, z čoho vylýva (a, b) = (b, c) (ii) Označme d = (a, bc). Podľa vety.1.7 existujú x, y, x, y Z také, že ax + by = ax +cy = 1. Z toho dostaneme ax+by = ax+by.1 = ax+by.(ax +cy ) = a.(x+byx )+bc.yy. Získali sme vyjadrenie 1 = au + bcv, kde u a v sú celé čísla. Z toho vylýva, že d 1 a, keďže d je rirodzené číslo, d = 1. (iii) Vylýva z (ii) matematickou indukciou vzhľadom na k. (iv) Stačí nám ukázať, že každý soločný deliteľ d čísel a a bc musí deliť b. Z toho, že d a a (a, c) = 1 máme (d, c) = 1. Potom odľa Euklidovej lemy d bc imlikuje d b. (v) Podľa vety.1.7 latí ax + by = d re nejaké x, y Z. Z toho dostaneme a d x + b d y = 1. Pretože 1 je najmenšie rirodzené číslo a ( a d, b d ) je najmenšie rirodzené číslo, ktoré možno získať celočíselnou kombináciou čísel a d a b d, musí latiť ( a d, b d ) = 1. (vi) Stačí si uvedomiť, že ak a, b vynásobíme rovnakým číslom k, zväčšia sa všetky rvky množiny M a,b ráve k-krát. Teda aj najmenší rvok tejto množiny bude k-krát väčší. Vlastnosť (i) je základom Euklidovho algoritmu na výočet najväčšieho soločného deliteľa. (Euklidovým algoritmom súčasne vyočítame aj koeficienty u a v z vety.1.7.) Tento algoritmus oznáte re ríad olynómov, re celé čísla funguje analogicky (ozri naríklad Dodatok A, [KGGS, Veta 5.3.], [Č, Veta 1.1.7], [C, Theorem 1C]). Pomocou uvedených vlastností môžeme ukázať, že n.s.d. čísel z ríkladu.1.6 je buď n + n + 1 alebo 7(n + n + 1). 9
10 Príklad.1.1. V ríklade.1.6 sme zistili, že f(n) = n 4 +n +1 = (n n+1)(n +n+1) a f(n + 1) = [(n + 1) (n + 1) + 1][(n + 1) + (n + 1) + 1] = (n + n + 1)(n + 3n + 3), teda n + n + 1 je soločným deliteľom čísel f(n) a f(n + 1). Na zistenie ich n.s.d. nám stačí určiť n.s.d. čísel a(n) = n n + 1 a b(n) = n + 3n + 3. Dostávame (a(n), b(n)) = (a(n), b(n) a(n)) = (n n + 1, 4n + ) (1) = (n n + 1, n + 1) = (n n + 1 (n + 1), n + 1) = (n 3n, n + 1) = (n(n 3), n + 1) () = (n 3, n + 1) = (n 3, (n + 1) (n 3)) = (n 3, 7) V rovnosti (1) sme využili, že n n + 1 je neárne (a lemu.1.11(iv)). V rovnosti () sme využili fakt, že (n, n + 1) = 1 a tú istú lemu. Takisto sme (vo väčšine rovností) oužívali lemu.1.11(i)). Zistili sme, že (a(n), b(n)) 7 a teda (f(n), f(n + 1)) 7(n + n + 1). Dokonca vieme, že (a(n), b(n)) = 7 iba{ v ríade, že 7 n 3, čiže n = 7k + 3. To znamená, že 7(n + n + 1), ak n = 7k + 3, (f(n), f(n + 1)) = n + n + 1, inak. Ešte uvedieme niektoré vlastnosti n.s.d., ktoré budeme otrebovať neskôr. Lema Nech m, n N. Ak (m, n) = 1 a d mn, tak existujú jednoznačne určené čísla u, v N také, že d = uv, u m a v n. (Konkrétne sú to čísla u = (d, m) a v = (d, n).) Dôkaz. Existencia: Ukážeme, že čísla u := (d, m) a v := (d, n) sĺňajú uvedené odmienky. Pretože latí u m a v n, ričom m a n sú nesúdeliteľné, latí aj (u, v) = 1. Súčasne u, v d a odľa lemy.1.10 dostaneme uv d. Podľa vety.1.7 existujú celé čísla x 1, x, y 1, y také, že Preto u = dx 1 + my 1, v = dx + ny. u.v = d x 1 x + d(nx 1 y + mx y 1 ) + mny 1 y. Z toho, že d mn vidíme, že d uv. Ukázali sme, že d uv aj uv d. Pretože ide o rirodzené čísla, máme d = uv. Jednoznačnosť: Je zrejmé, že re čísla u, v, ktoré sĺňajú odmienky z tvrdenia lemy latí u (d, m) a v (d, n). Preokladajme, že by nelatilo u = (d, m). Potom u < (d, m) a uv < (d, m)(d, n) = d (oslednú rovnosť sme ukázali v rvej časti dôkazu), čo je sor. Dôsledok Ak a, b, c N a (a, b) = 1, tak (ab, c) = (a, c)(b, c). Dôkaz. Označme d := (ab, c). Pretože d ab, na základe redchádzajúcej lemy d = (d, a)(d, b). Teraz si stačí všimnúť, že (d, a) = ((ab, c), a) = (a, c), a takisto (d, b) = ((ab, c), b) = (b, c). Preto (ab, c) = d = (a, c)(b, c). Duálny ojem k najväčšiemu soločnému deliteľu je najmenší soločný násobok. Definícia Nech a, b Z. Prirodzené číslo n sa nazýva najmenší soločný násobok čísel a a b, ak (i) a n, b n, 10
11 (ii) re všetky čísla c N také, že a c, b c latí n c. Najmenší soločný násobok čísel a a b označujeme [a, b]. Veta Ak a, b sú ľubovoľné rirodzené čísla rôzne od 0, tak [a, b] = ab (a, b). Dôkaz. Označme d := (a, b) n := ab d. Pretože d a, n je celé číslo. Overíme, že n sĺňa odmienky z definície n.s.n. Číslo n je celočíselným násobkom a, retože n = a b d. To znamená, že a n. Podobne sa ukáže b n. Zostáva nám overiť druhú odmienku z definície nsn. Nech teda c je rirodzené číslo také, že a c, b c. Potom zrejme latí aj a d c d a b d c d. Pretože ( a d, b d ) = 1 (Lema.1.11(v)) dostaneme odľa Euklidovej lemy, že aj ab d c d, z čoho už vylýva (o vynásobení číslom d), že n = ab d c. Najmenší soločný násobok a najväčší soločný deliteľ môžeme definovať indukciou aj re viacero čísel. Budeme oužívať označenie (a 1,..., a n ) a [a 1,..., a n ]. Cvičenia 1. Je relácia čiastočné usoriadanie na niektorej z množín Z, N, N 0? Ak áno, čo sú v jednotlivých ríadoch maximálne a minimálne rvky? Existujú v tejto usoriadanej množine suréma a infima konečného očtu čísel?. Kde sme oužili v dôkaze vety.1.1 fakt, že množina rirodzených čísel je dobre usoriadaná (každá nerázdna odmnožina má najmenší rvok)? 3. Dokážte, že ak a, b a 1 a + 1 b N, tak a = b a a = 1 alebo a =. 4. Fibonacciho ostunosť je určená redisom F 1 = 1, F = 1, F n = F n 1 + F n. Dokážte, že re každé n N latí (F n, F n+1 ) = Dokážte, že (F n, F n+3 ) {1, } re každé n N. 6. Ak n N, dokážte (14n + 3, 1n + 4) = Dokážte, že súčin 3 o sebe idúcich rirodzených čísel je deliteľný Dokážte, že súčin n o sebe idúcich rirodzených čísel je deliteľný n!. 9. Dokážte, že ak (a, b) = 1, tak a) (a+b, a b) je 1 alebo ; b) (a+b, a+b) je 1 alebo 3; c) (a + b, a ab + b ) je 1 alebo 3; d) re ľubovoľné m, n N latí (a m b m, a n b n ) = a (m,n) b (m,n). 10. Dokážte, že (a, (ab, c)) = (a, c) (redokladáme, že čísla a, b, c sú také, že všetky n.s.d. vystuujúce v tomto vzťahu existujú). 11. Nájdite všetky rirodzené čísla, re ktoré číslo a) n 1, b) n + 1 je mocninou dvojky. 1. Ako N n označme číslo, ktorého záis v desiatkovej sústave ozostáva z n jednotiek, (teda N n = n 1 ). Dokážte, že N n N m ráve vtedy, keď n m. 11
12 13. Dokážte: Neárne rirodzené číslo N 3 je zložené ráve vtedy, keď existujú nezáorné celé čísla n, m N {0} také, že n m > 1 a N = n m. Nájdite čísla, m a n re zložené čísla N = 39, 161, Dokážte, že re každé n N latí 9 (n 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3.. Prvočísla V tejto časti si ovieme definíciu a základné vlastnosti rvočísel a dokážeme základnú vetu aritmetiky, ktorá hovorí, že každé číslo sa dá jednoznačne zaísať ako súčin rvočísel. Definícia..1. Nech n > 1 je rirodzené číslo. Ak n = m.k re nejaké celé čísla 1 < m, k < n, tak hovoríme, že n je zložené číslo. V oačnom ríade hovoríme, že je rvočíslo. Množinu všetkých rvočísel budeme označovať P. Inými slovami, n > 1 je rvočíslo ak nemá v N iných deliteľov ako 1 a n. Podľa obvyklej konvencie rirodzené číslo 1 neovažujeme za zložené číslo ani za rvočíslo. Prvočíslami sú naríklad, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, Základné vlastnosti rvočísel Lema... Pre každé rirodzené číslo n > 1 existuje rvočíslo také, že n. Dôkaz. Indukciou vzhľadom na n. Pre n = tvrdenie zrejme latí. Predokladajme, že tvrdenie lemy latí re všetky čísla menšie ako n, ukážeme, že latí aj re n. Ak n je rvočíslo, tak stačí oložiť = n. Ak n je zložené, tak n = mk re nejaké rirodzené čísla 1 < m, k < n. Podľa indukčného redokladu existuje rvočíslo také, že m. Zrejme otom aj n. Ľahko sa dá overiť, že ak n je zložené číslo, tak musí existovať rvočíslo, ktoré delí n také, že n (ozri cvičenie 8). To znamená, že na určenie, či n je zložené, stačí vyskúšať či je deliteľné niektorým z rvočísel veľkosti najviac n. Toto ozorovanie je základom najjednoduchšieho algoritmu na testovanie rvočíselnosti, ktorý sa nazýva Eratostenovo sito. V súčasnosti sa oužívajú na testovanie rvočíselnosti hlavne rôzne ravdeodobnostné algoritmy. Pomerne nedávno sa odarilo trom indickým matematikom [AKS] objaviť rvý deterministický algoritmus na testovanie rvočíselnosti, ktorý beží v olynomiálnom čase. (Pod olynomiálnou časovou zložitosťou tu rozumieme časovú zložitosť vzhľadom na dĺžku vstuu. Dĺžka vstuu je vlastne očet cifier zadaného čísla, t.j. lg n.) Dôkaz nasledujúcej vety možno nájsť už v Euklidových Základoch. Veta..3 (Euklides). Množina P je nekonečná. Dôkaz. Sorom. Nech by 1,..., n boli všetky rvočísla. Nech n = 1... n +1. Pre žiadne z čísel 1,..., n nelatí k n, čo je sor s lemou... Lema..4. Nech je rvočíslo. (i) Nech a Z. Potom (a, ) = 1 alebo (a, ) =. (ii) Nech a, b Z. Ak ab, tak a alebo b. (iii) Nech a 1,..., a n Z. Ak a 1... a n, tak a k re niektoré k = 1,..., n. 1
13 Dôkaz. (i): Nech d = (a, ). Pretože d a je rvočíslo, môže to byť iba 1 alebo. (ii): Ak (a, ) =, tak máme a. V oačnom ríade dostaneme z Euklidovej lemy (lema.1.9) b. (iii): Vylýva z (ii) omocou indukcie... Základná veta aritmetiky, kanonický rozklad Veta..5 (Základná veta aritmetiky). Každé rirodzené číslo n > 1 je možné zaísať ako súčin rvočísel n = 1... k. Tento záis je jednoznačný až na oradie. Dôkaz. Existencia: Indukciou. Pre n = tvrdenie latí. Ak n > tak odľa lemy.. existuje rvočíslo také, že n. Ak = n, tak záis čísla n v tvare súčinu rvočísel ozostáva z tohto jediného rvočísla. V oačnom ríade je n > 1 a môžeme oužiť indukčný redoklad. Z neho dostaneme, že n = 1... k 1 a n = k 1. Jednoznačnosť: Nech n = 1... k = q 1... q m sú rozklady toho istého čísla n. Chceme ukázať, že rvočísla 1,..., k, q 1,..., q m sa líšia nanajvýš usoriadaním (z toho súčasne vylýva, že m = k.) Oäť budeme ostuovať indukciou. Pre n = je to ravda. Predokladajme, že tvrdenie latí re všetky rirodzené čísla menšie ako n a väčšie ako 1. Pretože 1 q 1... q m, existuje odľa lemy..4 q i, kde i {1,,..., m}, také, že 1 q i. Pretože q i je rvočíslo, latí otom 1 = q i. Položme s =... k = q 1... q i 1.q i+1... q m. Ak s = 1, tak tvrdenie vety latí. Ak s > 1, tak odľa indukčného redokladu rvočísla q 1,..., q i 1, q i+1,..., q m sú len reusoriadaním rvočísel,..., k, a teda to iste latí aj re 1,..., k a q 1,..., q m. Z redchádzajúcej vety vylýva, že každé rirodzené číslo n > 1 možno jednoznačne zaísať v tvare n = α α k k, kde 1,..., k sú navzájom rôzne rvočísla a α 1,..., α k N. (Tento záis je jednoznačný až na reusoriadanie rvočísel 1,..., k.) Definícia..6. Jednoznačný záis čísla n v tvare n = α α k k, kde 1,..., k sú navzájom rôzne rvočísla a α 1,..., α k N, nazývame kanonický rozklad čísla n. Príklady kanonického rozkladu: 115 = 5.7, 5! = 10 = 3.3.5, 1400 = Pri hľadaní kanonického rozkladu je tiež často užitočné už somenuté ozorovanie, že ak n je zložené, tak má rvočíselného deliteľa veľkosti nanajvýš n (cvičenie 8). Cvičenia 1. Nech a, b N a 1,..., n sú všetky rvočísla, ktoré delia a alebo b. Potom máme jednoznačné vyjadrenie a = α αn n, b = β βn n. Dokážte, že a b ráve vtedy, keď α i β i re všetky i = 1,..., n.. Nech m, n N a 1,..., n sú všetky rvočísla, ktoré delia m alebo n. Potom máme jednoznačné vyjadrenie m = α αn n, n = β βn n, kde α, β N 0. Dokážte, že (m, n) = min(α1,β1) 1... min(αn,βn) n [m, n] = max(α1,β1) 1... max(αn,βn) n. 13
14 3. Nájdite všetky čísla také, že, + aj + 4 sú rvočísla. 4. Dokážte, že re všetky rirodzené čísla n > 1 je číslo n zložené. 5. Dokážte, že re všetky rirodzené čísla n > 1 je číslo n 4 + n + 1 zložené. 6. Dokážte, že ak n 1 je rvočíslo, tak n je rvočíslo. 7. Dokážte, že ak n + 1 je rvočíslo, tak n je mocnina. Pre aké n sú n 1 aj n + 1 rvočísla? 8. Dokážte, že ak n N je zložené číslo, tak existuje rvočíslo také, že n a n. Nech n N a je najmenšie rvočíslo, ktoré delí n. Dokážte, že ak > 3 n, tak n je rvočíslo alebo Dokážte, že ak aj + sú rvočísla, tak aj 3 + je rvočíslo. Koľko takých trojíc existuje? 10. Dokážte, že re n > 1 súčet n k=1 1 k.3 Rozloženie rvočísel nie je celé číslo. Už vieme, že rvočísel je nekonečne veľa. Môžeme si však oložiť otázku, akých čísel je viac zložených čísel alebo rvočísel. Z hľadiska kardinality ich je rovnako veľa obe množiny sú nekonečné sočítateľné. Zrejme teda kardinalita nebude vhodné kritérium na orovnávanie veľkosti odmnožín množiny N s výnimkou konečných množín majú všetky odmnožiny N rovnakú mohutnosť. Mohli by sme sa okúsiť nájsť iné kritériá na osúdenie toho, či odmnožina N je veľká alebo malá..3.1 Medzery v množine rvočísel Veta.3.1. Existuje ľubovoľne dlhá ostunosť o sebe idúcich zložených čísel. Dôkaz. Nech n N, n. Uvažujme čísla n! +, n! + 3,..., n! + n. Pre každé z týchto čísel latí k n! + k, čiže každé z nich má vlastného deliteľa. Uvedené čísla tvoria teda ostunosť n 1 o sebe idúcich zložených čísel..3. Rad revrátených hodnôt rvočísel Ako sme už somenuli, existuje množstvo kritérií na to, ktoré odmnožiny rirodzených čísel môžeme ovažovať za veľké a ktoré za malé, ričom v rôznych situáciach môžu byť vhodné rôzne kritériá. Jednou z možností je zistiť, či rad zostavený z revrátených hodnôt danej množiny konverguje alebo diverguje. Je naríklad známe, že harmonický rad 1 n diverguje, čo zodovedá tomu, že množina všetkých rirodzených čísel je veľká. Naoak, rad 1 n! = e konverguje, čo zodovedá tomu, že množina {n!; n N} je omerne riedka. Ukážeme, že množina všetkých rvočísel je v tomto zmysle veľká. Hoci rad 1 n diverguje, jeho divergencia je extrémne omalá. Aj o harmonickom rade vieme, že diverguje veľmi omaly rastie zhruba ako logaritmická funkcia, ozri rovnosť (B.). Je známe, že re rad revrátených hodnôt rvočísel latí x 1 ln ln x. Uvedieme niekoľko rôznych dôkazov. V rvom z nich budeme otrebovať ojem čísla bez kvadratických deliteľov. 14
15 Definícia.3.. Hovoríme, že číslo n N je číslo bez kvadratických deliteľov, ak neexistuje rirodzené číslo k > 1 také, že k n. O tom, či dané číslo je bez kvadratických deliteľov sa možno ľahko resvedčiť na základe jeho kanonického rozkladu. Číslo nemá kvadratických deliteľov ráve vtedy, keď jeho kanonický rozklad obsahuje iba rvé mocniny rvočísel, t.j. n = 1... k. Z toho tiež vidno, že každé číslo možno jednoznačne naísať v tvare n = j.k, kde j nemá kvadratických deliteľov. Ak totiž n = α α k k je kanonický rozklad čísla n a q 1,..., q m sú tie rvočísla, ktoré sa vyskytujú v kanonickom rozklade čísla n v neárnej mocnine, tak latí n = j.k, kde j = q 1... q m a k = α αk k. Naríklad re n = máme rozklad n = (.5.7).( ). V ďalšom budeme ako n označovať n-té rvočíslo, t.j. množinu všetkých rvočísel možno zaísať v tvare P = { 1 < <...}. Budeme tiež oužívať nerovnosť e x > 1 + x. (Sú to rvé členy Taylorovho rozvoja funkcie e x v bode 0.) Veta.3.3. Rad revrátených hodnôt rvočísel diverguje, t.j. P 1 =. Uvedenú vetu ako rvý dokázal L. Euler. Nasledujúci dôkaz je z článku [Ni], dá sa tiež nájsť v knihách [KLŠZ] a [DD]. Prehľad viacerých ďalších dôkazov odáva článok [E]. Dôkaz. Pre n N označme S n čiastočný súčet kde k označuje k-té rvočíslo. Platí e Sn = n k=1 S n = e 1 k > n k=1 1 k, n k=1 (1 + 1 k ). Po roznásobení ravej strany dostaneme revrátené hodnoty všetkých čísel tvaru q 1... q k, kde q 1,..., q k sú navzájom rôzne rvočísla veľkosti nanajvýš n. To znamená, že uvedený výraz je súčet revrátených hodnôt všetkých čísel bez kvadratických deliteľov, ktoré obsahujú vo svojom rozklade len rvočísla 1,..., n. Označme B množinu všetkých čísel bez kvadratických deliteľov. Z redchádzajúceho odhadu teda vylýva, že e Sn > k n k B (Čísla veľkosti najviac n určite neobsahujú vo svojom rozklade väčšie rvočísla, než je n.) Predokladajme, že by existovala limita lim S n = S < + (rastúca ostunosť musí n mať limitu, ak je ohraničená). Keďže ostunosť S n je rastúca a e x je rastúca funkcia, re všetky n N latí e S > e Sn. 1 k. 15
16 Pretože každé rirodzené číslo možno zaísať v tvare t = j k, kde k B, dostaneme nerovnosť 1 n 1 n 1 k j t. k n k B j=1 (Nerovnosť latí, retože každé t na ravej strane sa vyskytne ako menovateľ v niektorom zo zlomkov, ktoré vzniknú roznásobením ľavej strany.) Je známe, že (ozri dodatok B). Dostávame teda n=1 1 j = π 6 π 6 es > čo je sor s tým, že rad na ravej strane nerovnosti diverguje. Iný dôkaz vety.3.3, ktorého autorom je P. Erdös, je uvedený v knihe [AZ]. Prvá kaitola tejto knihy je venovaná šiestim zaujímavým dôkazom, že množina P je nekonečná. Nasledujúci dôkaz je ráve jeden z nich aj keď samozrejme tvrdenie, že rad revrátených hodnôt rvočísel diverguje je odstatne silnejšie tvrdenie. Dôkaz vety.3.3. Predokladajme, že rad i k+1 n=1 t=1 1 k 1 t, 1 i < 1. Pre každé rirodzené číslo N máme otom nerovnosť i k+1 N i < N. t=1 konverguje. Potom existuje k N také, že Nazvime rvočísla 1,..., k malými rvočíslami, ostatné rvočísla budeme volať veľké. Pre N N označme N b očet tých čísel z 1,,..., N, ktoré obsahujú vo svojom kanonickom rozklade asoň jedno veľké rvočíslo. Ako N s označíme očet tých čísel, ktoré obsahujú len malé rvočinitele (sem rátame aj číslo 1). (Indexy b a s sú z anglického big a small.) Týmto sme rozložili množinu {1,,..., N} na dve disjunktné časti, reto latí N = N s + N b. Pokúsime sa teraz odhadnúť čísla N b a N s. Počet čísel neresahujúcich N, ktoré sú deliteľné rvočíslom i, je N i. Preto N b i k+1 N i i k+1 N i < N. Na odhad čísla N s oäť oužijeme fakt, že každé n N môžeme naísať ako n = a n b n, kde a n je číslo bez kvadratických deliteľov. Pretože a n vo svojom rvočíselnom rozklade obsahuje len malé rvočinitele a všetky sú v rvej mocnine, máme k možností re číslo a n. Z toho, že b n n N máme odhad b n N, reto máme najviac N možností re číslo b n. Celkovo teda máme N s k N. Ak zvolíme dostatočne veľké N, tak N s k N < N a N b + N s < N, čo je sor. 16
17 Ako ďalšiu možnosť dôkazu vety.3.3 somenieme nasledujúce tvrdenie z článku [Mo]. 1 Tvrdenie.3.4. Ak rad P 1 konverguje, tak lim n označuje očet rvočísel nerevyšujúcich n. Dôkaz. Označme R n = 1. Všimnime si, že latí n, P π(n) n = 0, kde π(n) = { P; n} π(n) = R 1 R 0 + (R R 1 ) n(r n R n 1 ) = nr n (R 0 + R R n 1 ). Z toho dostaneme π(n) n = R n R 0 + R R n 1. n Je známe, že ak nejaká ostunosť konverguje, tak aj ostunosť ozostávajúca z jej aritmetických riemerov konverguje k tomu istému číslu (cvičenie 6). Preto lim R R 0 + R R n 1 n = lim n n n π(n) a z redchádzajúcej rovnosti ľahko vylýva lim n n = 0. Teraz si ukážeme, ako sa dá omocou redchádzajúceho tvrdenia odvodiť veta.3.3. Toto tvrdenie však súčasne slúži ako rvý ríklad oužitia funkcie π(n), ktorou sa budeme odrobne zaoberať v nasledujúcej časti. Tvrdenie.3.4 ukazuje súvis medzi touto funkciou a divergenciou revráteného radu rvočísel. Prevrátený rad rvočísel ako aj funkcia π slúžia ako rostriedky na ois rozloženia rvočísel. Dôkaz vety.3.3. Predokladajme, že rad P že P,>n 1 konverguje. V takom ríade existuje n také, 1 < 1. Podľa tvrdenia.3.4 k tomuto n existuje m N také, že π(n!m) n!m < 1 n!, čiže π(n!m) m < 1. Uvažujme teraz čísla T i = n!i 1 re i = 1,..., m. Je zrejmé, že tieto čísla nie sú deliteľné žiadnym z čísel, 3,..., n. Teda ak rvočíslo delí T i, tak > n. Ďalej si uvedomme, že ak súčasne latí T i a T j re nejaké i j, tak máme T i T j = n!(i j), z čoho dostaneme (retože > n), že i j. Teda ak evne zvolíme rvočíslo, toto rvočíslo môže byť deliteľom najviac 1 + m čísel somedzi čísel T 1,..., T m. Pretože každé z čísel T i je deliteľné nejakým rvočíslom sĺňajúcim nerovnosť n!m > > n, dostávame z toho ( ) m + 1 m, n!m>>n >n 1 + π(n!m) m 1, 1 Možno sa Vám zdá neobvyklé uvádzať takéto tvrdenie, ktoré má tvar imlikácie, ričom redoklad imlikácie (ako už vieme), nie je slnený. Táto námietka je úlne orávnená; sformuloval som ho v takejto odobe, že v ďalšom semestri využijeme to, že odobné tvrdenie latí re ľubovoľnú množinu môžete skontrolvať, že v nasledujúcom dôkaze naozaj nikde nevyužívame, že ide o množinu P. Na tomto mieste som však ovažoval rozumnejšie ho zatiaľ formulovať iba re rvočísla, aby som nezávadzal označenia, ktoré budeme otrebovať až oveľa neskôr. 17
18 čo je v sore s odhadmi uvedenými v rvej časti dôkazu. V súvislosti s vetou.3.3 možno somenúť hyotézu, ktorú vyslovil P. Erdös. Táto hyotéza tvrdí, že každá množina A = {n 1 < n <...} taká, že rad diverguje obsahuje ľubovoľne dlhé konečné aritmetické ostunosti. (T.j. re každé n existujú a a d tak, že {a, a + d,..., a + nd} A.) Táto hyotéza je dodnes nerozriešená. Veta.3.3 hovorí, že množina P sĺňa redoklady Erdösovej hyotézy. Ale aj roblém, či rvočísla obsahujú ľubovoľne dlhé konečné aritmetické ostunosti bol veľmi dlho otvorený, omerne nedávno na túto otázku kladne odovedali B. Green a T. Tao [GT]. Viac sa o ich dôkaze možno dozvedieť naríklad v rehľadovom článku [Kl]..3.3 Prvočíselná funkcia Definícia.3.5. Počet rvočísel neresahujúcich reálne číslo x označujeme π(x). Funkcia π sa nazýva rvočíselná funkcia. π(x) = { x; P} Funkcia π teda oisuje rozloženie rvočísel medzi rirodzenými číslami. Jedným z najhlbších výsledkov teórie čísel je rvočíselná veta, ktorá vlastne dáva odhad re rád funkcie π(x). Táto veta hovorí, že x ln x. π(x) lim x x = 1, ln x t.j. π(x) Prvočíselnú vetu dokázali nezávisle od seba J. Hadamard a Ch. de la Valleé Poussin koncom 19-teho storočia. P. Erdös a A. Selberg v 50-tych rokoch našli dôkaz tejto vety, ktorý nevyužíval komlexnú analýzu. (Viac o tomto dôkaze sa môžete dozvedieť naríklad v [Lev].) Túto vetu nebudeme dokazovať (dôkaz je omerne zložitý nariek tomu, že viacerí matematici zostrojili jednoduchšie dôkazy než bol ôvodný dôkaz tejto vety, ozri naríklad články [Ne], [Za] alebo dilomovú rácu [VR]), v nasledujúcej časti však dokážeme asoň o niečo slabšie tvrdenia. Prvočíselná veta vlastne hovorí, že π(x). Poznamenajme, takisto bez dôkazu, že re n-té rvočíslo latí asymtotický odhad n n ln n (dôkaz tohto tvrdenia z rvočíselnej vety možno nájsť naríklad v [GKP]). Z rvočíselnej vety môžeme odvodiť naríklad tento zaujímavý fakt: x ln x Tvrdenie.3.6. Množina { q ;, q P} je hustá v 0, + ). Priomeňme, že odmnožina M 0, + ) je hustá v 0, + ), ak v každom otvorenom intervale (a, b), kde 0 a < b, sa nachádza nejaký rvok množiny M. Naríklad Q 0, + ) je hustá odmnožina 0, + ). Lema.3.7. Nech 0 < a < b sú reálne čísla. Potom lim (π(bn) π(an)) = +. n Dôkaz. Najrv vyočítame limitu odielu π(bn) π(an). Z rvočíselnej vety máme π(bn) lim n π(an) = lim n bn ln(bn) an ln(an) k=1 1 n k b ln a + ln n = lim n a ln b + ln n = b a. Terence Tao dostal v roku 006 Fieldsovu medailu. Je zlatý medailista z IMO
19 ( ) Pretože π(bn) π(an) = π(an) π(bn) π(an) 1 π(an)) = +. a lim π(an) = +, máme lim n (π(bn) n Dôkaz tvrdenia.3.6. Nech 0 < a < b sú reálne čísla. Ukážeme, že existujú, q P také, že a < q b. Podľa lemy.3.7 lim n (π(bn) π(an)) = +. Preto existuje také n 0, že re všetky n > n 0 latí π(bn) π(an) > 1. Nech q je ľubovoľné rvočíslo väčšie ako n 0. Potom π(bq) π(aq) > 1, teda existuje rvočíslo také, že aq < bq a a < q b. Prvočíselná veta sa často zvykne uvádzať aj vo formulácii, kde namiesto niektorá z funkcií x dt x li(x) = ln t, Li(x) = dt = li(x) li(). ln t 0 x ln x vystuuje (S integrálom v definícii funkcii li(x) je trochu roblém ak chceme byť úlne resní, táto funkcia sa definuje re x 1 ako 1 ε li(x) = lim ε dt x ln t + 1+ε dt ln t. ) Zaujímavé je somenúť, že funkcia li(x) dáva re malé hodnoty x skutočne veľmi resné odhady re π(x). Je zrejmé, že li(x) Li(x) Li(x) 1. Ak ukážeme, že x/ ln x 1, tak z toho vylynie, že ekvivalentné formulácie rvočíselnej vety sú Tvrdenie.3.8. Dôkaz. Obe funkcie, Li(x) aj a dostaneme π(x) lim x li(x) = 1 a lim π(x) x Li(x) = 1. lim x Li(x) x/ ln x = 1 x ln x rastú do +. Preto môžeme oužiť L Hositalove ravidlo Li(x) lim x x = lim x ln x Li (x) ( x ln x ) = lim x 1 ln x ln x 1 ln x = 1. Dlho sa verilo (na základe numerických výočtov), že latí nerovnosť li(x) < π(x). Až v roku 1914 dokázal J. E. Littlewood, že funkcia π(x) li(x) má nekonečne veľa znamienkových zmien. Neskôr E. Skewes dokázal, že rvá znamienková zmena sa vyskytne najneskôr ri čísle Postune sa odarilo nájsť aj odstatne menšie ohraničenia, stále však ide o obrovské čísla. Zaujímavý je fakt, že aj takéto obrovské čísla sa môžu vyskytnúť s určitým matematickým významom. 19
20 .3.4 Čebyševove nerovnosti Cieľom tejto časti je dokázať Čebyševovu vetu, ktorá je o niečo slabší výsledok, než rvočíselná veta. Veta.3.9 (Čebyševove nerovnosti). Existujú také reálne kladné konštanty c 1, c, že re všetky x latí x c 1 ln x π(x) c x ln x. V tejto časti bude latiť dohoda, že vždy keď vytvárame sumu alebo súčin a sčitujeme alebo násobíme všetky z daného rozsahu, tak redstavuje iba rvočísla. (Čiže ide o sumu alebo súčin len cez rvočísla atriace do tohto rozsahu.) Lema Pre každé reálne číslo x latí < 4 x, ričom uvedený súčin berieme cez všetky rvočísla neresahujúce x. x Dôkaz. Najrv si všimnime, že stačí dokazovať lemu re rirodzené čísla n. Ak totiž lema latí re každé rirodzené číslo, tak re reálne číslo x dostaneme = < 4 x 4 x. x x Pre rirodzené čísla n dokážeme tvrdenie lemy matematickou indukciou, ričom budeme rozlišovať dva ríady - keď n je árne a keď n je neárne. Pre n = tvrdenie latí. Predokladajme teraz, že latí re všetky čísla menšie ako n. Ak n = k re nejaké rirodzené číslo k > 1, tak n nie je rvočíslo, čiže latí = < 4 k 1 < 4 k. Ak n = k + 1, tak latí = k+1 k k+1 k 1 k+1< k+1 < 4 k+1 k< k+1 Kombinačné číslo ( ) k + 1 (k + 1) (k) (k + ) = k k je deliteľné každým rvočíslom, re ktoré k + 1 < k + 1. (Takéto rvočísla delia čitateľ ale nedelia menovateľ uvedeného zlomku.) Preto latí ( ) k+1 k+1. Tento. k+1< k+1 binomický koeficient môžeme ľahko odhadnúť na základe nerovnosti ( ) ( ) ( ) k + 1 k + 1 k + 1 k+1 > + =, k + 1 k k + 1 z ktorej dostaneme Celkovo teda dostávame, že k+1< k+1 k+1 ( ) k + 1 < k = 4 k. k + 1 < 4 k+1 4 k = 4 k+1. 0
21 Veta Pre každé dostatočne veľké číslo n latí π(n) 5n lg n. Dôkaz. V dôkaze odhadneme zhora aj zdola výraz lg. lg lg n< n n n lg n = (π(n) π( n)) lg n = (π(n) π( n)) lg n n< n Z lemy.3.10 dostaneme lg = lg < n. n n Sojením týchto dvoch nerovností dostaneme π(n) dostatočne veľké n latí n n lg n, z čoho vylýva 4n lg n + π( n) 4n lg n + n. Pre π(n) 5n lg n. Pre ľubovoľné kladné číslo n označme d n = [1,,..., n] najmenší soločný násobok rvých n rirodzených čísel. Nasledujúci dôkaz dolného odhadu re π(n) je z článku [Nai]. Lema.3.1. Pre každé kladné číslo n latí d n n. Dôkaz. Označme I := 1 0 xm (1 x) m dx. Pre každé x (0, 1) latí 0 < x(1 x) = 1 4 (x 1 ) 1 1 4, z čoho vylýva 0 < I 4. m Súčasne latí 1 m ( ) m m ( m 1 m ( ) m I = x m+k ( 1) k dx = )( 1) k x m+k dx = ( 1) k 1 0 k k k=0 k=0 0 k m + k + 1. k=0 Po úrave na soločného menovateľ dostaneme zlomok, ktorého menovateľ je najviac d m+1, retože d m+1 je soločným násobkom menovateľov všetkých zlomkov, ktoré vystuujú v súčte. Môžeme teda uvedený integrál vyjadriť v tvare I = A d m+1, kde A > 0 je rirodzené číslo. Potom latí re n = m + 1 Ak n je árne, tak latí d n d n 1 n. Veta Pre každé kladné číslo n latí d n = d m+1 4 m = n 1. π(n) n lg n. Dôkaz. Nech 1,..., k sú všetky rvočísla, ktoré sú menšie alebo rovné n. Každé číslo m = 1,..., n má rozklad tvaru k m = sm i i, i=1 1
22 kde s mi 0 re všetky i = 1,..., k. Potom najmenší soločný násobok d n čísel 1,,..., n má tvar k d n = i=1 max{s1 i,...,sn i } i (cvičenie 9 v časti.1). Zrejme latí max{s1 i,...,sn i } i n re každé i = 1,..., k. Z toho vylýva, že d n n k = n π(n). Z toho dostaneme odľa lemy.3.1 π(n) lg dn lg n n lg n. Z viet.3.11 a.3.13 už vylývajú obe Čebyševove nerovnosti. Dôsledok Nech n označuje n-té rvočíslo. Potom existujú reálne čísla 0 < a < b také, že an ln n < n < bn ln n re každé n. Dôkaz. Podľa vety.3.9 existujú reálne kladné konštanty c 1, c, že c 1 ln x π(x) c Položme x = n. Potom π(x) = n a máme re a = 1 c teda latí ľavá nerovnosť. Súčasne n = π( n ) > c n 1 n ln n < n ln n c n, ln n. Pretože lim x ln n n < c 1. ln x x = 0, re dostatočne veľké n máme x x ln x. Pre dosť veľké n teda latí n < n, z čoho vylýva n < n a ln n < ln n, a teda n < 1 c 1 n ln n < c 1 n ln n. Vhodnou voľbou konštanty b vieme dosiahnuť, aby táto nerovnosť latila re každé n. Poznamenajme, že je známe, že dokonca latí resnejší odhad n ln n + n ln ln n n < n < n ln n + n ln ln n re všetky n 6. Ďalšou dôležitou funkciou v teórii čísel je Čebyševova funkcia ϑ(x), ktorá je definovaná ako ϑ(x) = ln. x Podľa dohody na začiatku tejto časti uvedenú sumu berieme len cez rvočísla z daného rozsahu. (Všimnite si, že odobnú funkciu sme oužili v dôkaze vety.3.11). Nasledujúca veta zachytáva vzťah medzi funkciami π(x) a ϑ(x). Veta π(x) ϑ(x) ln x
23 Dôkaz. Zrejme ϑ(x) = ln ln x = π(x) ln x. Z toho dostaneme, že x x ϑ(x) π(x) ln x 1. Majme teraz x a 0 < ε < 1. Potom latí ϑ(x) ln (1 ε) ln x(π(x) π(x 1 ε )) (1 ε) ln x(π(x) x 1 ε ). x 1 ε < x Z toho dostaneme (odľa vety.3.9) ) ϑ(x) (1 ε) (1 x1 ε π(x) ln x π(x) Ak urobíme limitu re x idúce do nekonečna, tak máme lim inf x ( ) (1 ε) 1 x1 ε ln x. c x ϑ(x) π(x) ln x 1 ε. Pretože ε môžeme zvoliť ľubovoľne malé, latí otom lim x ϑ(x) π(x) ln x = 1. Dôsledok Existujú také reálne konštanty A, B > 0, že re všetky x latí Ax ϑ(x) = x ln Bx. Súčasne nám veta.3.15 dáva ekvivalentnú formuláciu rvočíselnej vety:.3.5 Bertrandov ostulát V tejto časti ukážeme nasledujúcu vetu ϑ(x) x. Veta.3.17 (Bertrandov ostulát). Pre každé n N existuje rvočíslo také, že n < n. Túto vetu dokázal P. Čebyšev, nazýva sa však na očet J. Bertranda, ktorý ju overil re n < a vyslovil ju ako hyotézu. Dôkaz, ktorý tu uvádzame, je oäť z knihy [AZ]. Pochádza od P. Erdösa z jeho rvého ublikovaného článku. (Erdös mal vtedy 19 rokov.) Pred dôkazom Bertrandovho ostulátu uvedieme jednu omocnú vetu. Veta.3.18 (Legendre). Prvočíslo sa v kanonickom rozklade čísla n! vyskytuje v mocnine rovnej n k. k=1 3
24 Dôkaz. Z čísel 1,,..., n sa vyskytne ako faktor v n číslach, v asoň druhej mocnine sa vyskytne ráve v n číslach, atď. Celkove teda dostávame k=1 n výskytov rvočísla k. Uvedená suma je v skutočnosti konečná od istého k budú členy n nulové. k Naríklad číslo n = 10! môžeme zaísať v tvare 10! = α1 3 α 5 α3 7 α4, kde α 1 = = = 8, α = = = 4, α 3 = 10 5 = a α 4 = 10 7 =1. Dôkaz vety Dôkaz sočíva v tom, že z redokladu, že medzi n a n nie sú rvočísla, dostaneme odhad hodnoty kombinačného čísla ( ) n n. Ukážeme, že od určitého n tento odhad nelatí. Pre menšie n tvrdenie vety overíme riamo. Predokladajme teda, že n je také rirodzené číslo, že neexistuje rvočíslo, n < n. Označme ako r(, n) mocninu v akej sa vyskytuje rvočíslo v kanonickom rozklade čísla ( n ) n = (n)! n!n!. Pretože redokladáme, že medzi n a n nie sú žiadne rvočísla, dostávame rovnosť ( ) n = r(,n). (.1) {rozloz:eqbinom} n n Podľa redchádzajúcej vety je r(, n) = j=1 ( ) n n j j. (.) {rozloz:eqprn} Sčítance vystuujúce v tomto súčte môžu nadobúdať iba hodnoty 0 a 1 (lema 1.3.3) a re j > n sú nulové. Z toho vylýva, že re > n máme r(, n) = n n. Ďalej ak n > 3 n, čiže 3 > n 1, tak n n = 0. Pre n > 9 máme 3 n > n. Vidíme teda, že re > 3n je r(, n) = 0. Pre rvočísla také, že n < 3n je r(, n) 1. Podľa lemy.3.10 otom dostaneme r(,n) < 4 3 n. < 3 n n<< 3 n Ďalej si uvedomme, že re všetky rvočísla vystuujúce v kanonickom rozklade ( ) n n musí latiť r(,n) n. (Stačí si všimnúť, že sčítance v (.) sú nulové re všetky j také, že j > n, čiže r(, n) max{j; j n}.) Čiže rvočísla veľkosti najviac n nerisejú k súčinu (.1) väčšou hodnotou než (n) n. Z (.1) dostaneme otom horný odhad ( ) n (n) n 4 3 n. n ( n n Teraz sa okúsime ( ) n n odhadnúť zdola. Všimnime si, že v binomickom rozvoji (1+1) n je ) ( najväčší koeficient. Pretože tento rozvoj má n+1 koeficientov, dostaneme n ) n 4 n n+1. 4
25 Ak si všimneme, že ( ) ( n n je re n 1 asoň tak veľký ako súčet n 0 najmenších koeficientov, môžeme tento odhad o kúsok vylešiť: ( ) n 4n n n. Dostávame teda nerovnosti (n) n 4 3 n 4n n ) + ( n) = dvoch (n) n+1 4 n 3 (.3) {rozloz:ineqbert} Posledná nerovnosť je ekvivalentná s nerovnosťou ( n + 1)(lg n + 1) n 3. Pretože odiel ľavej a ravej strany konverguje k 0, od istého n táto nerovnosť nelatí. My však otrebujeme ešte nájsť nejaké dostatočne veľké n také, že re väčšie n už táto nerovnosť nelatí (a re ne teda dostávame želaný sor) a overiť, že re menšie n je tiež Bertrandov ostulát slnený. To môžeme urobiť nasledovným sôsobom. Použitím nerovnosti a + 1 < a (ktorá latí re a ) dostaneme Z nerovností (.3) a (.4) dostaneme n = ( 6 n) 6 < ( 6 n + 1) n. (.4) {rozloz:ineqbert} n (n) 3( n+1) < 6 n (18 n+18). Pre n 50 máme n 10, čiže 18 n + 18 < 0 n. n < 0 6 n n = 0(n) 3 Táto nerovnosť môže byť slnená iba ak (n) 1 3 < 0, n < 8000, n < Aby sme overili Bertrandov ostulát re n < 4000, stačí overiť, 3, 5, 7, 13, 3, 43, 83, 163, 317, 631, 159, 503, 4001 sú rvočísla také, že nasledujúce je vždy menšie než dvojnásobok redchádzajúceho. Cvičenia 1. Existuje v každej aritmetickej ostunosti ľubovoľný očet o sebe idúcich zložených čísel?. Aká je najväčšia možná dĺžka ostunosti o sebe idúcich čísel bez kvadratických deliteľov? Nájdite ríklad takej ostunosti. Riešte odobnú úlohu re ríad tretích mocnín. 3. Konverguje rad P 1? 4. Zistite, či rad ) P (e 1 1 konverguje alebo diverguje. 5. Dokážte, že lim k i=1 k ) (1 1i = 0. 5
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραPrvočísla a zložené čísla. a, b N: a b k N: b = a. k. Kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave:
Prvočísla a zložené čísla Číslo a je deliteľom čísla b (číslo b je deliteľné číslom a alebo číslo b je násobkom čísla a ) ráve vtedy, ak existuje také rirodzené číslo k, že b = a. k (ak o delení čísla
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραNumerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότερα