1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί

Transcript

1

2

3 Τριγωνµετρικί αριθµί Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Τριγωνµετρικί αριθµί υ συνδένται µε τις ξείες γωνίες ρθγωνίυ τριγώνυ Έστω ΑΒΓ ( A= 90 o ) ρθγώνι τρίγων µε λευρές α, β, γ. Γνωρίζυµε ότι: µήκς αέναντι λευράς β ηµβ = = µήκς υτείνυσας α µήκς ρσκείµενης λευράς γ συνβ = = µήκς υτείνυσας α µήκς αέναντι κάθετης β εφβ = = µήκς ρσκείµενης κάθετης γ µήκς ρσκείµενης κάθετης γ σφβ = = µήκς αέναντι κάθετης β Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 60. Έστω ω η γωνία υ αράγεται αό τν ηµιάξνα Ox όταν εριστραφεί αριστερόστρφα (δηλαδή αντίθετα µε τυς δείκτες τυ ρλγιύ). Η ηµιευθεία Ox λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω και η ηµιευθεία Οz τελική λευρά αυτής. Για την γωνία ω ρίζυµε: y x y ηµω x συνω ηµω =, συνω =, εφω= = x 0, σφω= = y 0 ρ ρ x συνω y ηµω ( ) ( ) όυ M( x,y ) ιδήτε σηµεί της τελικής λευράς διαφρετικό αό τ σηµεί Ο και ρ= x + y.

4 4. Τριγωνµετρικί αριθµί Γωνίες µεγαλύτερες των 60 Αρνητικές γωνίες Αν φανταστύµε ότι ηµιάξνας Οx εριστραφεί αριστερόστρφα (θετική φρά) κατά 0 λέµε ότι έχει διαγράψει θετική γωνία 0. Αν εριστραφεί δεξιόστρφα κατά γωνία 0, λέµε ότι έχει διαγράψει αρνητική γωνία 0 δηλαδή γωνία: 0 Αν ηµιάξνας Οx εριστραφεί αριστερόστρφα και αφύ συµληρώσει µια λήρη εριστρφή (60 ) διαγράψει ειλέν γωνία 60, τότε λέµε ότι έχει διαγράψει γωνία ω = = 40 Αν συµληρώσει δύ λήρεις εριστρφές και ειλέν γωνία 60 λέµε ότι έχει διαγράψει γωνία: ω= = 780 Γενικότερα, αν ηµιάξνας Οx συµληρώσει κ λήρεις εριστρφές κινύµενς αριστερόστρφα ή δεξιόστρφα και ειλέν διαγράψει γωνία ω τότε λέµε ότι έχει διαγράψει γωνία: κ 60 + ω, όυ κ Ζ () (αν κ > 0 έχει διαγράψει θετική γωνία, αν κ < 0 έχει διαγράψει αρνητική γωνία) Οι γωνίες υ δίννται αό τν τύ () έχυν τυς ίδιυς τριγωνµετρικύς αριθµύς, αφύ όλες έχυν την ίδια τελική λευρά δηλαδή: ( ηµ κ 60 + ω) = ηµω ( συν κ 60 + ω) = συνω ( εφ κ 60 + ω) = εφω ( σφ κ 60 + ω) = σφω

5 Τριγωνµετρικί αριθµί 5. Τριγωνµετρικός κύκλς Ο κύκλς µε κέντρ την αρχή ενός ρθκαννικύ συστήµατς αξόνων και ακτίνα ρ =, λέγεται τριγωνµετρικός κύκλς. Αν η τελική λευρά µιας γωνίας ω τέµνει τν τριγωνµετρικό κύκλ στ σηµεί M( x,y ), τότε: Φανερό είναι ότι: συνω = x και ηµω = y συνω και ηµω αφύ άντα ι ρβλές τυ Μ θα ανήκυν στα ευθύγραµµα τµήµατα Α Α και Β Β. Είσης τα ρόσηµα των τριγωνµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω φαίννται στν εόµεν ίνακα και είναι ανάλγα µε τ τεταρτηµόρι υ βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ω. Πρόσηµ τριγωνµετρικών αριθµών γωνίας ω Τεταρτηµόρια ηµω συνω εφω σφω Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙV

6 6. Τριγωνµετρικί αριθµί Άξνες των εφατµένων και συνεφατµένων Στ σχήµα της ρηγύµενης σελίδας, υ φαίνεται τριγωνµετρικός κύκλς φέρυµε την εφατµένη τυ κύκλυ στ σηµεί Α,0 ( ) και την εφατµένη στ σηµεί Β(0,). Η εφατµένη στ Α λέγεται ευθεία των εφατµένων και η εφατµένη στ Β λέγεται ευθεία των συνεφατµένων. Είναι: εφω = yε και σφω = xσ Στ διλανό σχήµα φαίννται ι τριγωνµετρικί αριθµί µιας γωνίας ω µε τελική λευρά στ τεταρτηµόρι. Τ ακτίνι ως µνάδα µέτρησης γωνιών Γνωρίζυµε τ ακτίνι ως µνάδα µέτρησης τόξων και συγκεκριµένα: Αν ένα κυκλικό τόξ έχει µήκς ίσ µε τ µήκς της ακτίνας τυ κύκλυ υ ανήκει, τότε αυτό χαρακτηρίζεται ως τόξ ενός ακτινίυ ( rad). Εειδή τ µήκς ενός κύκλυ ακτίνας ρ ισύται µε ρ (όυ,4) είναι φανερό ότι κάθε κύκλς µρεί να χαρακτηρίζεται και ως κυκλικό τόξ ακτινίων ( rad) Φανερό είναι είσης ότι κάθε ηµικύκλι µρεί να δηλωθεί και ως τόξ (,4) ακτινίων και κάθε τεταρτηµόρι (κύκλυ), ως τόξ (, 57 ) ακτινίων. Πρσδιρίζυµε την τιµή (έκφραση) ενός τόξυ µ (µιρών) σε ακτίνια αό τν τύ: o µ α = o 80

7 Τριγωνµετρικί αριθµί 7. αφύ αριθµός δηλώνει τ µέρς της ακτίνας υ καλύτει τόξ µιας µίρας, 80 δηλαδή κάθε κυκλικό τόξ ίσ ρς τ τυ κύκλυ υ ανήκει. 60 Ορίζυµε τ ακτίνι ( rad) ως τη γωνία υ όταν γίνει είκεντρη ενός κύκλυ (Ο,ρ), βαίνει σε τόξ υ έχει µήκς ίσ µε την ακτίνα ρ τυ κύκλυ αυτύ..χ. 60 αντιστιχύν σε rad αντιστιχεί σε rad αντιστιχεί σε α rad αντιστιχεί σε µ αντιστιχύν σε = rad µίρες α = α µίρες µrad 80 Πίνακας τριγωνµετρικών αριθµών βασικών γωνιών ω (µίρες) ω (rad) ηµω συνω εφω σφω o o o o o o Βασικές τριγωνµετρικές ταυτότητες. Αό τ ρθγώνι τρίγων ΟΑΜ αίρνυµε: ( AM) ( ΟΑ) ( ΟΜ) ηµω + συνω = + = δηλαδή ( ) ( ) Συνήθως γράφυµε: ηµ ω+ συν ω= ()

8 8. Τριγωνµετρικί αριθµί ηµω συνω. Είναι : εφω = και σφω = () συνω ηµω εφόσν συνω 0 και ηµω 0 αντίστιχα. Με λλαλασιασµό κατά µέλη των αραάνω αίρνυµε: εφω σφω = (). Αό την ταυτότητα (), αν συνω 0 έχυµε: ηµ ω συν ω εφ ω συν ω + = + = = συν ω συν ω συν ω συν ω + εφ ω (4) Οµίως, αν διαιρέσυµε την () µε ηµω 0, αίρνυµε: ηµ εφ ω ω εφ ω = + (5) Συγκεντρώσαµε τις αραάνω ταυτότητες στν εόµεν ίνακα: Ταυτότητα Με την ρϋόθεση ηµ ω+ συν ω= ω R ηµω εφω = ω R, συνω 0 συνω συνω σφω = ω R, ηµω 0 ηµω εφω σφω = ω R, ηµω συνω 0 ηµ εφ ω ω εφ ω = ω R, συνω 0 + = ω R, συνω 0 + συν ω εφ ω Παρατηρήσεις. Οι αριθµί ηµω, συνω, εφω και σφω (όταν υάρχυν) καλύνται (βασικί) τριγων- µετρικί αριθµί τυ τόξυ ω ή της αντίστιχης είκεντρης γωνίαςω.. Ο τύς () ισχύει, όως εύκλα διαιστώνυµε, και όταν τ έρας Μ τυ τόξυ ταυτίζεται µε ένα αό τα σηµεία Α,0 ( ), Β0,, ( ) Α' (,0), Β' ( 0, ), όταν δηλαδή ω= κ ή κ + ή κ + ή κ + µε κ Ζ.

9 Τριγωνµετρικί αριθµί 9.. Για κάθε τόξ µε έρας τα σηµεία Β0, ( ) ή Β' ( 0, ) (ή κάθε γωνία µε τελική λευρά τυ ηµιάξνα Οy ή Oy αντίστιχα) δεν ρίζεται εφατµένη, µια και όλα αυτά τα τόξα έχυν συνηµίτν ίσ µε µηδέν. Άρα, τα τόξα µε ρσηµασµένα µέτρα: ω= κ +, κ Ζ δεν έχυν εφατµένη. Κάθε τόξ µε έρας τ σηµεί Α,0 ( ) ή Α' (,0) δεν έχει συνεφατµένη, µια και όλα αυτά τα τόξα έχυν ηµίτν ίσ µε µηδέν. Οότε, τα τόξα µε ρσηµασµένα µέτρα : ω= κ, κ Ζ δεν έχυν συνεφατµένη. Αναγωγή στ τεταρτηµόρι. Αντίθετα τόξα (αντίθετες γωνίες) ύ αντίθετα τόξα ω και ω µε κινή αρχή τ Α,0 ( ) (ή αντίθετες γωνίες µε κινή αρχική λευρά την ΟΑ) έχυν ρφανώς ερατα Μ και Μ (τελικές λευρές) συµµετρικά (συµµετρικές) ως ρς τν άξνα x x, ότε: ηµ ( ω) = ηµω, συν( ω) = συνω, εφ( ω) = εφω, σφ( ω) = σφω. Τόξα (γωνίες) µε διαφρά 80 ή Είναι φ = + ω τότε: ηµφ = ηµ ( + ω) = ηµω συνφ = συν( + ω) = συνω εφφ = εφ( + ω) = εφω σφφ = σφ( + ω) = σφω

10 0. Τριγωνµετρικί αριθµί. Τόξα (γωνίες) µε άθρισµα (διαφρά) 90 ή Αν φ+ ω=, τότε: ηµφ = ηµ ω = συνω συνφ = συν ω = ηµω εφφ = εφ ω = σφω Αν σφφ = σφ ω = εφω φ = + ω, τότε: ηµφ = ηµ ω συνω + = συνφ = συν + ω = ηµω εφφ = εφ + ω = σφω σφφ = σφ + ω = εφω 4. Τόξα (γωνίες) µε άθρισµα 80 ή Είναι φ = ω, τότε: ηµφ = ηµ ( ω) = ηµω συνφ = συν( ω) = συνω εφφ = εφ( ω) = εφω σφφ = σφ( ω) = σφω ηµ συν εφ σφ x ηµx συνx εφx σφx x 90 x συνx ηµx σφx εφx + x 90 + x συνx ηµx σφx εφx x 80 x ηµx συνx εφx σφx + x 80 + x ηµx συνx εφx σφx x 70 x συνx ηµx σφx εφx + x 70 + x συνx ηµx σφx εφx x 60 x ηµx συνx εφx σφx + x 60 + x ηµx συνx εφx σφx

11 Τριγωνµετρικί αριθµί. Παράδειγµα Να εκφράσετε τα ηµφ, συνφ συναρτήσει των ηµω, συνω στις αρακάτω εριτώσεις: i. φ+ ω= ii. Σύµφωνα µε τα αραάνω έχυµε: φ+ ω= iii. φ ω= i. ηµφ= ηµ ( ω) = ηµ ( + ( ω) ) = ηµ ( ω) = ηµω και συνφ = συν( ω) = συν( + ( ω) ) = συν( ω) = συνω ii. ηµφ = ηµ ω = ηµ + ω = ηµ ω = συνω και συνφ = συν ω = συν + ω = συν ω = ηµω iii. ηµφ = ηµ + ω = ηµ + + ω = ηµ + ω = συνω και συνφ = συν + ω = συν + + ω = συν + ω = ηµω B. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγρία Μέθδς Σε ασκήσεις µετατρής µιρών σε rad και αντίστρφα χρησιµιύµε: α. τν τύ α = µ β. rad =,4rad αντιστιχύν σε Παράδειγµα Να µετατρέψετε σε µίρες τη γωνία 0 rad Ισχύει: Παράδειγµα α µ 0 µ 800 = =,4 µ = 0 80 µ = 57 80,4 80,4 Να µετατρέψετε σε µίρες τη γωνία rad 0 Εειδή (rad) αντιστιχύν σε 80 έχυµε rad 0. αντιστιχύν σε 80 0 o = 7o.

12 . Τριγωνµετρικί αριθµί Παράδειγµα Να µετατρέψετε τη γωνία τις 90 σε rad. : α µ α 90 α,4 Ισχύει: = = = 6α = α = rad = rad = 6,8rad Κατηγρία Μέθδς Σε ασκήσεις υ µας ζητείται να υλγίσυµε τριγωνµετρικύς αριθµύς µιας γωνίας, έστω α, θα ελέγχυµε:. Αν 0 α 60 και θα χρησιµιύµε τυς τύυς της αναγωγής στ 0 τεταρτηµόρι. Αν α > 60 και θα διαιρύµε τ α µε τ 60 φέρνντας τ α στην µρφή α = 60κ+ ω ή α = κ+ ω. Παράδειγµα 4 Να υλγίσετε τυς αρακάτω τριγωνµετρικύς αριθµύς: α. ηµ0 β. συν0 γ. εφ0 δ. συν0 ε. ηµ ( 00 ) στ. συν540 ζ. σφ( 4440) θ. εφ00 α. είναι ( ) ηµ0 = ηµ = συν0 = β. είναι ( ) συν0 = συν = συν0 = γ. είναι ( ) εφ0 = εφ = σφ60 = δ. είναι ( ) συν0 = συν 60 0 = συν0 = ε. είναι ηµ ( 00 ) ηµ00 ηµ ( 70 0 ) ( συν0 ) = = + = = η. ηµ00 στ. Α την διαίρεση 540:60 έχυµε: 540 = Άρα συν540 συν( ) συν00 συν( 70 0 ) = + = = + = ηµ0 = ζ. Α την διαίρεση 4440:60 έχυµε: 4440 =

13 Τριγωνµετρικί αριθµί. Άρα σφ( 4440 ) = σφ4440 = σφ( ) ( ) ( ) = σφ0 = σφ = εφ0 = η. ηµ00 = ηµ ( ) = ηµ ( ) = ηµ = 0 θ. εφ00 = εφ( 00 ) = εφ0 = 0 Κατηγρία Μέθδς εν χρειάζεται να αµνηµνεύσυµε τν ίνακα της σελ 0 αρκεί να γνωρίζυµε ότι: Αν η γωνία x είναι της µρφής ( κ+ ) ± α ή κ± α ή α, κ Ζ τότε τριγωνµετρικός αριθµός αραµένει ίδις µε ρόσηµ + ή ανάλγα µε τ τεταρτηµόρι υ βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας (θεωρύµε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι 0 < α < ).χ. ηµ ( α) = ηµ ( α) = ηµα Αν η γωνία x είναι της µρφής ( κ+ ) ± α, κ Ζ τότε καταλήγυµε σε µρφή: α ± ή ± α κάνντας την διαίρεση ( κ+ ): και τριγωνµετρικός αριθµός αλλάζει αό ηµ σε συν, αό εφ σε σφ και αντίστρφα. Τ ρόσηµ υ θέτυµε εξαρτάται άλι αό τ τεταρτηµόρι στ ί βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας..χ. συν θ = συν θ = ηµθ, συν + θ = συν + θ = ηµθ Παράδειγµα 5 Να υλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς: 45 i. συν + θ ii. εφ θ iii. ηµ ( 00 + θ) i. συν + θ = συν θ = συν + θ = ηµθ 45 ii. εφ θ = εφ + θ = εφ θ = σφθ iii. ηµ ( 00 + θ) = ηµ ( θ) = ηµ ( + θ) = ηµθ

14 4. Τριγωνµετρικί αριθµί Κατηγρία Μέθδς 4 Όταν µας δίνεται τριγωνµετρικός αριθµός µιας γωνίας και ζητείται να υλγίσυµε τυς άλλυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας χρησιµιύµε τις γνωστές τριγωνµετρικές ταυτότητες λαµβάνντας υόψιν τ διάστηµα µεταβλής της γωνίας. Παράδειγµα 6 ίνεται ότι: ηµx = 5 () και < x < ( ) Να υλγιστύν ι άλλι τριγωνµετρικί αριθµί της γωνίας x. Αό την ταυτότητα ηµ x+ συν x =, αίρνυµε συν x = ηµ x. Αντικαθιστύµε τ ηµx µε 5 και έχυµε: συν x = = = 9 9 Εειδή < x <, είναι συνx < 0 και συνεώς: 4 συνx = = 9 ηµx συνx Αό τις ταυτότητες εφx = και σφx = έχυµε: συνx ηµx 5 ηµx 5 εφx = = =. ηλαδή συνx εφx = 5 συνx 5 σφx = = = =. ηλαδή ηµx σφx = 5 5 (ή αλλιώς: : σφx = = = = εφx 5 5 5

15 Τριγωνµετρικί αριθµί 5. Κατηγρία Μέθδς 5 Για να αδείξυµε µια τριγωνµετρική ταυτότητα εργαζόµαστε µε τυς εξής τρόυς: ς τρός Αρχίζυµε αό τ ι σύνθετ µέλς και χρησιµιώντας τις κατάλληλες τριγωνµετρικές ταυτότητες και ράξεις ρσαθύµε να καταλήξυµε στ άλλ µέλς. ς τρός Ξεκινάµε και αό τα δύ µέλη συγχρόνως και κάνντας ράξεις χρησιµιώντας κατάλληλες τριγωνµετρικές ταυτότητες ρσαθύµε µε ισδυναµίες να καταλήξυµε σε µία σχέση υ ισχύει. Παράδειγµα 7 εφx σφy + ηµα συνα Ν αδείξετε ότι: α. = συν x β. = εφx + σφy συνα ηµα α. Αό τ 0 µέλς (τ ι σύνθετ) θα φθάσυµε στ 0 µέλς. ηµx συνx ηµ x συν x ηµ x συν x εφx σφy συνx ηµx ηµx συνx ηµx συνx ηµ συν x Είναι = = = = = εφx + σφy ηµx συνx ηµ x + συν x + συνx ηµx ηµx συνx ηµx συνx ( ) ηµ x συν x συν x συν x συν x = == = β. Κάνυµε ράξεις στα δύ µέλη συγχρόνως: + ηµα συνα έχυµε: = ( + ηµα)( ηµα) = συν α συνα ηµα ηµ α = συν α = ηµ α+ συν α =, υ ισχύει. Κατηγρία Μέθδς 6 Όταν ζητείται ν αδείξυµε ότι µια τριγωνµετρική αράσταση είναι σταθερή (δηλαδή ανεξάρτητη α τ τόξ υ υάρχει στην αράσταση) χρησιµιύµε γνωστές ταυτότητες όως: α + β = ( α+ β) αβ, α β ( α β) αβ( α β) ( )( ) α β α β α β + = + +, = +, καθώς και γνωστές τριγωνµετρικές ταυτότητες. Είσης µρύµε, αν στην αράσταση µετέχυν ηµx και συνx,να θέσυµε ηµ x = α ότε συν x = α και ρσαθύµε ν αδείξυµε ότι η αράσταση είναι ανεξάρτητη τυ α.

16 6. Τριγωνµετρικί αριθµί Παράδειγµα 8 Ν αδείξετε ότι η αράσταση Α ( ηµ x συν x) ( ηµ x συν x) τυ x (ή σταθερή). ς τρός ( ) = + Α ηµ x συν x ηµ x συν x ( ) ( ) ηµ x + συν x ηµ xσυν x ηµ x + συν x = ( ) ( ) = + + είναι ανεξάρτητη = ηµ xσυν x ηµ xσυν x = 6ηµ xσυν x + 6ηµ xσυν x =. ς τρός Θέτυµε ηµ x = α ότε: συν x = ηµ x = α. Έχυµε: ( ) ( ) = ( α + α + α ) ( α + α + α α ) A = α + α α + α ( ) ( ) α α α α 6α 6α 6α 6α = + + = + + = Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθς (Λ) τα εόµενα: α. ηµ x συν x = β. εφx σφx = ηµ α+ συν α γ. εφω συνω = ηµω δ. ηµ x = + εφ x α. Λ (διότι ηµ x+ συν x = ) β. Σ (διότι εφx σφx = και ηµ α+ συν α = ) ηµω γ. Σ (διότι εφω = εφω συνω = ηµω ) συνω εφ x δ. Λ (διότι ηµ x = ) + εφ x

17 Τριγωνµετρικί αριθµί 7. Άσκηση Να ειλέξετε τ σωστό στα αρακάτω: α. ηµ + ω είναι ίσ µε :. ηµω,. συνω,. συνω β. εφ( - ω ) είναι ίση µε:. εφω,. εφω,. σφω γ. συν ( 00 - ω) είναι ίσ µε:. συνω,. συνω,. ηµω α. β. γ. Άσκηση εφ40 - ηµ50 - ηµ (-750 ) Να υλγίσετε την αράσταση: εφ40 εφ εφ60 = + = = Είναι ( ) Κ= ηµ 00 + συν 80 + εφ60 σφ0 ( ) ( ) ηµ50 = ηµ = ηµ50 = ηµ = συν60 = ( ) ( ) ηµ 750 = ηµ750 = ηµ = ηµ0 = ( ) ηµ 00 = ηµ = ηµ 80 ( ) εφ60 = εφ 80 0 = εφ0 Έτσι έχυµε: Κ = = = = ηµ 80 συν εφ0 σφ0 ( ) Άσκηση 4 ηµ συν + εφ συν Ν αλιήσετε την αράσταση Π = 9 συν + ηµ 4 Ισχύει ηµ ηµ = + = ηµ = και συν = ηµ =

18 8. Τριγωνµετρικί αριθµί Είσης εφ = εφ 6 = εφ = και συν + = συν = Είναι συν = ηµ = 4 4 και 9 ηµ ηµ = 6 + = ηµ = + ( ) Έτσι η αράσταση Π γίνεται: Π = = 4 4 = = = = = + Άσκηση 5 Ν αδείξετε ότι η αράσταση ( )( ) σφ α ηµ α Κ = ηµ α ηµ α ( ) είναι ανεξάρτητη τυ α. + συν( α) + ηµ ( + α) + συν α σφ α = εφα, ηµ ( α) = ηµα, συν( α) = συνα, ( ) ηµ α = συνα, ηµ α = ηµ α = ηµ α = συνα, ηµ + α = ηµα, συν α = συν α = συν α = ηµα. ( ) εφα συνα Έτσι η αράσταση Κ γίνεται: Κ = ( συνα) + ( συνα) + ( ηµα) + ηµα ηµα ηµα συνα = συνα + συνα συνα ηµα+ ηµα = (ανεξάρτητη τυ α) ηµα

19 Τριγωνµετρικί αριθµί 9. Άσκηση 6 Ν αδείξετε ότι: ηµ x εφx+ συν x σφx+ ηµx συνx = εφx+ σφx. Είναι ηµ x εφx + συν x σφx + ηµx συνx = ηµx συνx συνx + ηµx + = ηµ x συν x ηµx συνx ηµ x συν x + + ηµx συνx συνx ηµx ( + ) 4 4 ηµ x + συν x + ηµ x συν x ηµ x συν x = = ηµx συνx ηµx συνx ηµ x+ συν x ηµ x συν x = = + ηµx συνx ηµx συνx ηµx συνx ηµx συνx = ηµx συνx + = εφx + σφx συνx ηµx Άσκηση 7 Αν σφx = και ( o o x 80,70 ) να υλγίσετε τυς άλλυς τριγωνµετρικύς αριθµύς. o o x 80,70 η τελική λευρά της γωνίας x είναι στ ΙΙΙ τεταρτηµόρι. Αφύ ( ) ηµx < 0 Άρα (). Τότε: εφx = = =. ηλαδή εφx = και συνx < 0 σφx συν x = = = = + εφ x = = συνx = ± 4 4 και λόγω της () έχυµε συνx = ηµx Είναι εφx = ηµx = εφx συνx = = =. ηλαδή συνx ηµx = 6 Άσκηση 8. Σε κάθε τρίγων ΑΒΓ ν αδείξετε ότι: Α Β+ Γ α. συνβ = συν( Α + Γ) β. εφ = σφ. Σε κάθε τετράλευρ ΑΒΓ ν αδείξετε ότι: α. ηµ ( Α+ Γ) = ηµ ( Β+ ) β. Α+ Β Γ+ συν + συν = 0

20 0. Τριγωνµετρικί αριθµί Α+ Β Γ+ γ. συν ηµ = α. Ισχύει, Α + Β + Γ = 80 Β = 80 ( Α + Γ) Άρα συνβ = συν 80 ( Α + Γ) = συν( Α + Γ) Α Β Γ Α Β+ Γ β. Είναι + + = 90 = 90. Α Β+ Γ Β+ Γ Άρα εφ = εφ 90 σφ = α. Είναι Α + Β + Γ + = 60 Α + Γ = 60 ( Β + ) Άρα ηµ ( Α+ Γ) = ηµ 60 ( Β + ) = ηµ ( Β+ ) Α Β Γ Α+ Β Γ+ β. Ισχύει, = 80 = 80 Α+ Β Γ+ Άρα συν = συν 80 Α+ Β Γ+ Α+ Β Γ+ συν = συν συν + συν = 0 Α Β Γ Α+ Β Γ+ γ. Είναι = 90 = Α+ Β Γ Άρα + συν = συν Α+ Β Γ+ Α+ Β Γ+ συν = ηµ συν ηµ = Άσκηση 9 Να αδειχθεί η ισότητα: ( ) 4 6εφ + x + σφ x 4εφ( x) = 5εφx Είναι εφ( + x) = εφx. 4 σφ x = σφ + x = σφ x = εφx

21 Τριγωνµετρικί αριθµί. εφ( x) = εφ( 0 + x) = εφ( x) = εφx Οότε: 6εφx + εφx 4( εφx) = 5εφx Άσκηση 0 Α Β+ Γ Σε κάθε τρίγων ΑΒΓ να αδείξετε ότι: συν + συν = Εειδή Α+ Β+ Γ= είναι Β + Γ Α Β+ Γ Α Α = ότε συν = συν = ηµ. Α Β+ Γ Α Α Τότε: συν + συν = συν + ηµ =. Άσκηση Να υλγίσετε την τιµή της αράστασης: Α = εφ5 εφ95 εφ7 εφ97. Είναι ( ) εφ95 = εφ = σφ5 και εφ97 = εφ( ) = σφ7 0 Οότε: ( ) ( ) ( )( ) Α = εφ5 εφ95 εφ7 εφ97 = εφ5 σφ5 εφ7 σφ7 = = Άσκηση Να αδειχθεί ότι: συν x εφ( x) 4 5ηµ x + + +, x 0,. Είναι συν x = ηµx, ( ) εφ + x = εφx, ηµ + x = συνx Οότε: συν x εφ( + x) 4 + 5ηµ + x ηµ x ηµxεφx 4 + 5συνx 4 5συνx ηµ x 4συνx 5συν x συνx (η φρά της ανίσωσης αρέµεινε διότι συνx > 0 όταν 5συν x + συν x 4συνx 0 x 0, ) 4συν x 4συνx + 0 ( συνx ) 0, υ ισχύει.

22 . Τριγωνµετρικί αριθµί. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι και ισσκελές µε κάθετες λευρές β cm. Να υλγίσετε: α. Την υτείνυσά τυ β. Τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας των 45 και να συ- µληρώσετε τν ίνακα.. Στ διλανό σχήµα να εντίσετε τις γωνίες: α. 60 και β. 0. Στη συνέχεια να υλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς των 0 και 60 και να συµληρώσετε τν ίνακα.. Να µετατρέψετε τις µίρες σε rad και αντίστρφα. α. 690 β. 0 rad γ. 5 rad 4. Να υλγίσετε: ηµ090 β. συν( 640 ) α. 85 γ. εφ 6 δ. 85 σφ 4 5. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( A= 90 o ): α. ίνεται συνβ = 0,6. Υλγίστε: i. ηµβ, ii. εφβ β. ίνεται ηµβ =. Υλγίστε: i. συνβ, ii. εφβ 4 6. ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ) στ ί BΓ= 6 cm και ABΓ = 47 o. Υλγίστε: α. Την λευρά ΑΒ, β. Τ ύψς υ αντιστιχεί στην λευρά ΑΓ.

23 Τριγωνµετρικί αριθµί. 7. ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ) όυ ˆΑ = 84 και ΑΒ = 50 cm. Υλγίστε: α. Την λευρά ΑΒ, β. τ ύψς ΑΗ. 8. Συµληρώστε στν αρακάτω ίνακα τ τεταρτηµόρι στ ί βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας θ. 9. Αν o 0< x < 90 βρείτε τ ρόσηµ της αράστασης: ( ) ( ) ( A = συν 80 x + σφ 90 x ηµ 70 x) 0.Υλγίστε την τιµή της αράστασης: συν 0 + συν + συν + συν + συν 6 4. Χρησιµιώντας τις αρακάτω βασικές ταυτότητες (α)-(στ) ααντήστε στα εόµενα ερωτήµατα i. έως και iv.. ηµω συνω α. εφω = β. σφω = γ. εφω σφω = συνω ηµω δ. συνω =± + εφ ω ε. ηµω =± εφω + εφ ω στ. ηµ ω+ συν ω= i. α. συνθ = 0,4 όυ 0 < θ < 90. Υλγίστε τ ηµθ και την εφθ. β. συνθ = όυ 80 < θ < 70. Υλγίστε τ ηµθ και την εφθ. 4

24 4. Τριγωνµετρικί αριθµί ii. Εάν ηµy = και 90 < y < 80, υλγίστε τ συνy και την εφy. 8 iii. Εάν εφθ = και 80 < θ < 70, υλγίστε τυς άλλυς τριγωνµετρικύς αριθ- 5 µύς της γωνίας θ. iv. Να βρείτε τη γωνία θ, αν γνωρίζετε ότι ηµθ = και θ.. Αν εφθ = 0 και ηµθ < 0, να βρεθεί τ συνθ.. Αδείξτε ότι για ιεσδήτε γωνίες x, α, β ισχύυν: α. ( ) ηµx συνx ηµx συνx = 4 4 β. ηµ x συν x = ηµ x συν x = συν x = ηµ x γ. ( + ηµx+ συνx) = ( + συνx)( + ηµx) εφ x δ. = ηµ x + εφ x 4. Βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των αραστάσεων: α. y= + συνx β. y = 5+ ηµ x γ. y = ηµx 5. Αν συνx ηµx = ηµx, τότε και συνx + ηµx = συνx. 6. Αν ηµθ 5συνθ 5 + =, τότε να δείξετε ότι: ( ) ηµθ 5συνθ = Να υλγισθεί η αράσταση Π = + 4 εφ0 συν690 εφ 6 εφ405 4ηµ Να αδείξετε ότι: συν x ηµ ( x ) + συν ( + x) A = + = 8 ηµx σφ + x εφ x συν ( 4 + x) συν x

25 Τριγωνµετρικί αριθµί Να υλγίσετε τυς υόλιυς τριγωνµετρικύς αριθµύς όταν δίννται: 4 α. συνx = και x 5 < < β. 5 ηµx = και 0< x < γ. σφx = και < x < δ. εφx = και 00< x < 0. Να αδείξετε ότι: σφ x α. συν x = σφ x + ηµ x γ. = συνx + συνx συν α + εφ α + ηµ α+ σφα = β. ( ) ( ) ηµx δ. + σφx = + συνx ηµx. Να εξετάσετε αν υάρχει x για τ ί: α. να ισχύει συγχρόνως ηµx = και συνx = 5 5 β. να ισχύει συγχρόνως 4 ηµ x = και 6 συν x = Ν αδείξετε ότι η αράσταση:. ίννται ι αραστάσεις: ( ) ( ) ( ) Α ηµ x 80 συν00 συν 80 x συν 60 x = + + ( ) ηµ590 8ηµ y ηµ 90 y 6συν y είναι σταθερή. ηµ x εφ 5 x συν x σφ x A = 5 5 συν( x) εφ + x ηµ x ( ) ( + ) + ( ) ηµ ( x) συν( + x) σφ x B = 5 εφ + x συν + x ηµ ( + x) Ν αδείξετε ότι Α = Β.

26 6. Τριγωνµετρικί αριθµί 4. Να αλιηθεί τ κλάσµα: ηµ ( + α) σφ( 7 + α) συνα συν( + α) σφ( 4 + α) ηµα 5. Να εκφράσετε συναρτήσει τυ συνx και τυ ηµx την αράσταση: Α = συν( x) + ηµ ( x) + ηµ ( + x) + συν( x) o o 6. Να αδείξετε ότι: συν560 ηµ40 ηµ680 συν80 = 0 7. ίνεται ότι: 5+ συν =. 5 4 α. Να υλγίσετε : i. β. Αό τα i. ηµ 5 και ii. εφ 5 ηµ και συν, να υλγισθύν: ηµ 5 και 4 συν 5, ii. 6 ηµ 5 και 6 συν Να βρεθεί η αριθµητική τιµή της αράστασης: Α = ηµ ( x y) συν( y x) + ηµ ( y x) συν( x y) 9. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγων ΑΒΓ έχυµε: α. ηµα = ηµ ( Β+ Γ) β. ηµ Β+ συν ( Α+ Γ) = 0. Αδείξτε ότι: ( ηµx+ συνx) = + ηµx συνx. Αλιήστε τις αραστάσεις: α. εφx συνx β. ηµx συν x+ ηµ x γ. ηµx + ηµx. Αλιήστε τις κλασµατικές αραστάσεις: α. 4 συν x συν x 4 ηµ x ηµ x β. ηµ x ηµy συν x συν y. ίνεται τρίγων ΑΒΓ. Αδείξτε ότι: Α Β+ Γ Α Β+ Γ α. i. ηµ = συν ii. εφ = σφ

27 Τριγωνµετρικί αριθµί 7. Α+ Β Γ Α+ Β Γ iii. ηµ = συν iv. εφ = σφ β. Χρησιµιώντας τα συµεράσµατα τυ α ερωτήµατς, να βρείτε την αριθµητική τιµή των αραστάσεων: Α Β+ Γ Α Β+ Γ Α Β+ Γ i. ηµ συν ii. εφ εφ iii. ηµ ηµ 4. Ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ = α) η γωνία της κρυφής Α έχει σε ακτίνια µέτρ θ θ. Αδείξτε ότι η βάση ΒΓ = αηµ. 5. Στ διλανό σχήµα είναι: ΒΗ = m και ΓΗ = m. Πια είναι η ακριβής τιµή της εριµέτρυ τυ τριγώνυ ΑΒΓ; 6. Στ διλανό σχήµα είναι OA = ΑΒ = ΟΓ = m και ΒΟΓ = / 4 rad. α. Υλγίστε την ΟΗ και την ΑΗ και στη συνέχεια δείξτε ότι: + συν ΒΑΓ = ΑΓ ( ˆ ) () ˆ ΑΓ συν ΒΑΓ = β. Βρείτε τ είδς τυ τριγώνυ ΑΓΒ και στη συνέχεια δείξτε ότι: ( ) ( ) γ. Αδείξτε ότι: i. ˆ ΒΑΓ = rad και ii. 8 + συν = 8 7. N αδείξετε ότι εφx + = + εφx µε x 0, συν x 8. Αν συνx-ηµx = ηµx ν αδείξετε τι συνx + ηµx = συνx 9. Αν ηµx + 4συνx = 5 και 0< x < ν αδείξετε τι εφx = 4 (Υ: Λύνυµε ως ρς ηµx και ηµ x+ ηµ x = )

28 8. Τριγωνµετρικί αριθµί 40. Αν ηµx + 5 συνx = 5 ν αδείξετε τι (συνx 5ηµx) = 9 (Υ: (ηµx+ 5συνx) = 5 κ.τ.λ) 4. Αν ν N* ν αδείξετε τι ν ( ) συνx (v + ) α = ηµα Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ ίνεται τρίγων ΑΒΓ ρθγώνι στ Α και τέτι ώστε ΒΓ = α και Β= rad. 8 α. Εάν Ο τ µέσ της ΒΓ και ΑΗ τ ύψς υ αντιστιχεί στην υτείνυσα ΒΓ: i. Αδείξτε ότι AOH ˆ = rad. 4 ii. Χρησιµιώντας τ ρηγύµεν συµέρασµα δικαιλγήστε γιατί α AH = OH =. iii. Στη συνέχεια δείξτε ότι: ΑΒ = α +. β. Με τη βήθεια τυ τριγώνυ ΑΗΒ υλγίστε: τ συν 8 και τ ηµ 8.