Μέρος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη. Ευκλείδης (~300 π.χ.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη Ευκλείδης (~300 π.χ.) 79

2 Η Επιπεδοµετρία του Ευκλείδη Από τα στοιχεία το Α /Oroi (ορισµοί) Σηµεῖόν ἐστιν, οὗ µέρος οὐθέν. Γραµµὴ δὲ µῆκος ἀπλατές. Γραµµῆς δὲ πέρατα σηµεῖα. Εὐθεῖα γραµµή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σηµείοις κεῖται. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ µῆκος καὶ πλάτος µόνον ἔχει. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραµµαί. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραµµῶν ἁπτοµένων ἀλλήλων καὶ µὴ ἐπ' εὐθείας κειµένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραµµῶν κλίσις. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραµµαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραµµος καλεῖται ἡ γωνία. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γω νιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν. Ἀµβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ µείζων ὀρθῆς. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας. Σχῆµά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων Σηµείο είναι αυτό που δεν έχει µέρη Γραµµή δε µήκος χωρίς πλάτος Πέρατα δε της γραµµής είναι τα σηµεία Ευθεία γραµµή είναι αυτή που κείται εξίσου από τα σηµεία της Επιφάνεια είναι αυτό που έχει µόνο µήκος και πλάτος Πέρατα δε της επιφάνειας είναι οι γραµµές Επίπεδος επιφάνεια είναι αυτή που κείται εξίσου από τις ευθείες της Επίπεδος γωνία είναι η κλίση µεταξύ δύο γραµµών που άπτονται µεταξύ τους και δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Όταν δε οι γραµµές που περιέχουν την γωνία είναι ευθείες, η γωνία ονοµάζεται ευθύγραµµος. Όταν µια ευθεία στηθεί πάνω σε µια άλλη ευθεία και σχηµατίσει τις εφεξής γωνίες ίσες, κάθε µια από τις γωνίες είναι ορθή και η ευθεία που έχει στηθεί πάνω στην άλλη λέγεται κάθετος πάνω σ αυτήν. Αµβλεία γωνία είναι η µεγαλύτερη της ορθής Οξεία γωνία είναι η µικρότερη της ορθής Όρος είναι αυτό που είναι πέρας κάποιου. Σχήµα είναι αυτό που περιέχεται από κάποιους όρους 80

3 περιεχόµενον. Κύκλος ἐστὶ σχῆµα ἐπίπεδον ὑπὸ µιᾶς γραµµῆς περιεχόµενον [ ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σηµείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήµατος κειµένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σηµεῖον καλεῖται. ιάµετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγµένη καὶ περατουµένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ µέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέµνει τὸν κύκλον. Ἡµικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόµενον σχῆµα ὑπό τε τῆς διαµέτρου καὶ τῆς ἀπολαµβανοµένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡµικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν. Σχήµατα εὐθύγραµµά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόµενα, τρίπλευρα µὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόµενα. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχηµάτων ἰσόπλευρον µὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο µόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχηµάτων ὀρθογώνιον µὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀµβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀµβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχηµάτων τετράγωνον µέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόµηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον µέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόµβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον µέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥοµβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν Κύκλος είναι ένα σχήµα επίπεδο που περιέχεται από µια γραµµή [η οποία καλείται περιφέρεια] προς την οποία, όλες οι προσπίπτουσες γραµµές που ξεκινούν από ένα εσωτερικό της γραµµής σηµείο, είναι ίσες µεταξύ τους. Κέντρο δε του κύκλου ονοµάζεται το σηµείο. ιάµετρος του κύκλου είναι µια ευθεία η οποία περνά από το κέντρο, περατούµενη και από τις δύο µεριές πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, και η οποία διχοτοµεί τον κύκλο. Ηµικύκλιο είναι το σχήµα το περιεχόµενο από τη διάµετρο και το τµήµα την περιφέρειας που αποκόπτει, κέντρο δε του ηµικυκλίου είναι το αυτό µε του κύκλου. Ευθύγραµµα σχήµατα είναι αυτά που περιέχονται από ευθύγραµµα τµήµατα. Τρίπλευρα όσο περιέχονται από τρία, τετράπλευρα όσα περιέχονται υπό τεσσάρων, και πολύπλευρα όσα περιέχονται από περισσότερα από τέσσερα ευθύγραµµα τµήµατα. Από τα τρίπλευρα δε σχήµατα, ισόπλευρο τρίγωνο είναι εκείνο που έχει και τις τρεις πλευρές ίσες, ισοσκελές δε αυτό που έχει µόνο δύο ίσες, και σκαληνό εκείνο που έχει και τις τρεις πλευρές άνισες Επίσης από τα τρίπλευρα σχήµατα ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό που έχει ορθή γωνία, αµβλυγώνιο αυτό που έχει αµβλεία γωνία και οξυγώνιο αυτό που έχει και τις τρεις γωνίες οξείες. Από τα τετράπλευρα σχήµατα τετράγωνο είναι αυτό που είναι ισόπλευρο και ορθογώνιο, ετεροµήκες αυτό που είναι ορθογώνιο αλλά όχι ισόπλευρο, ρόµβος είναι αυτό που είναι ισόπλευρο αλλά όχι ορθογώνιο, ροµβοειδές αυτό που έχει τις απέναντι γωνίες και πλευρές ίσες το οποίο δεν είναι ούτε ισόπλευρο ούτε ορθογώνιο. Όλα δε τα υπόλοιπα ας ονοµάζονται 81

4 οὔτε ὀρθογώνιον τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι πέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόµεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ µέρη ἐπὶ µηδέτερα συµπίπτουσιν ἀλλήλαις. τραπέζια Παράλληλες είναι οι ευθείες οι οποίες ενώ είναι στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόµενες επ άπειρο και από τα δύο µέρη δεν συµπίπτουν σε κανένα σηµείο. Αιτήµατα 'Hit»sqw 1. põ pantõj shme ou pˆ p n shme on eùqe an gramm¾n gage n. 2. Kaˆ peperasmšnhn eùqe an kat tõ sunecj p' eùqe aj kbale n. 3. Kaˆ pantˆ kšntrj kaˆ diast»mati kúklon gr fesqai. 4. Kaˆ p saj t j Ñrq j gwn aj saj ll»laij enai. 5. Kaˆ n e j dúo eùqe aj eùqe a mp ptousa t j ntõj kaˆ pˆ t aùt mšrh gwn aj dúo Ñrqîn l ssonaj poií, kballomšnaj t j dúo eùqe aj p' peiron sump ptein, f' mšrh e sˆn aƒ tîn dúo Ñrqîn l ssonej. Ας έχει απαιτηθεί Από οποιοδήποτε σηµείο προς κάθε σηµείο να είναι δυνατόν να άγεται µια γραµµή. Και κάθε πεπερασµένη ευθεία να µπορεί να προεκτείνεται συνεχώς Και µε κάθε κέντρο και κάθε ακτίνα να µπορεί να γράφεται ένας κύκλος. Και όλες οι ορθές γωνίες να είναι ίσες. Και εάν δύο ευθείες τεµνόµενες από µια άλλη σχηµατίζουν τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες µικρότερες από δύο ορθές, εάν προεκταθούν επ άπειρον να τέµνονται προς τα µέρη των γωνιών που έχουν άθροισµα µικρότερο από δύο ορθές, Κοινές έννοιες 1. T tù aùtù sa kaˆ ll»loij stˆn Αυτά (τα µεγέθη) που είναι ίσα µε ένα τρίτο είναι sa. και µεταξύ τους ίσα. 2. Kaˆ n soij sa prosteqí, t Óla Και εάν σε ίσα προστεθούν ίσα τα όλα είναι ίσα stˆn sa. 3. Kaˆ n põ swn sa faireqí, t kataleipòmen stin sa. Και εάν από ίσα αφαιρεθούν ίσα τα υπόλοιπα είναι ίσα. 4. [Kaˆ n n soij sa prosteqí, t Óla stˆn nisa. Και εάν σε άνισα προστεθούν ίσα τα όλα είναι (οµοίως) άνισα. 5. Kaˆ t toà aùtoà dipl sia sa ll»loij st n. Και τα διπλάσια του ίδιου είναι ίσα µεταξύ τους. 6. Kaˆ t toà aùtoà ¹m sh sa ll»loij Και τα µισά του ίδιου είναι ίσα µεταξύ τους st n.] 7. Kaˆ t farmòzonta p' llhla sa Και αυτά που εφαρµόζουν το ένα πάνω στο άλλο, ll»loij st n. είναι ίσα µεταξύ τους 8. Kaˆ tõ Ólon toà mšrouj me zon [ stin]. Και το όλο είναι µικρότερο του µέρους. 82

5 9. Kaˆ dúo eùqe ai cwr on où perišcousin. Και δύο ευθείες δεν οριοθετούν κάποιο χωρίο. Πρόταση Ι.1 (πρόβληµα) 'Epˆ táj doqe shj eùqe aj peperasmšnhj tr gwnon sòpleuron sust»sasqai. Estw ¹ doqe sa eùqe a peperasmšnh ¹ AB. De d¾ pˆ táj AB eùqe aj tr gwnon sòpleuron sust»sasqai. Πάνω σε δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω το δοθέν ευθύγραµµο τµήµα το ΑΒ. Πρέπει λοιπόν πάνω στο ΑΒ να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο. KšntrJ mn tù A diast»mati d tù AB kúkloj gegr fqw Ð BGD, kaˆ p lin kšntrj mn tù B diast»mati d tù BA kúkloj gegr fqw Ð AGE, kaˆ põ toà G shme ou, kaq' Ö tšmnousin ll»louj oƒ kúkloi, pˆ t A, B shme a pezeúcqwsan eùqe ai aƒ GA, GB. Kaˆ peˆ tõ A shme on kšntron stˆ toà GDB kúklou, sh stˆn ¹ AG tí AB p lin, peˆ tõ B shme on kšntron stˆ toà GAE kúklou, sh stˆn ¹ BG tí BA. de cqh d kaˆ ¹ GA tí AB sh katšra ra tîn GA, GB tí AB stˆn sh. t d tù aùtù sa kaˆ ll»loij stˆn sa kaˆ ¹ GA ra tí GB stˆn sh aƒ tre j ra aƒ GA, AB, BG sai ll»laij e s n. 'IsÒpleuron ra stˆ tõ ABG tr gwnon, kaˆ sunšstatai pˆ táj doqe shj eùqe aj peperasmšnhj táj AB. ['Epˆ táj doqe shj ra eùqe aj peperasmšnhj tr gwnon sòpleuron sunšstatai] Óper œdei poiásai. Με κέντρο το Α και ακτίνα το ΑΒ ας έχει γραφεί ένας κύκλος, ο ΒΓ. Και πάλι µε κέντρο το Β και ακτίνα το ΒΑ ας έχει γραφεί ένας κύκλος ο ΑΓΕ. Και από το σηµείο Γ, στο οποίο τέµνονται µεταξύ τους οι κύκλοι, ας έχουν ας έχουν τραβηχτεί ευθύγραµµα τµήµατα προς τα Α και Β τα ΓΑ και ΓΒ. Επειδή το σηµείο Α είναι κέντρο του Γ Α κύκλου, το ΑΓ είναι ίσο µε το ΑΒ. Επίσης, επειδή το Β είναι κέντρο του κύκλου ΓΑΕ, το ΒΓ είναι ίσο µε το ΑΒ. Απεδείχθει δε ότι και το ΓΑ είναι ίσο µε το ΒΑ, καθένα λοιπόν από τα ΓΑ και ΓΒ είναι ίσο µε το ΑΒ. Αυτά όµως που είναι ίσα µε ένα τρίτο είναι και µεταξύ τους ίσα, άρα και το ΓΑ είναι ίσο µε το ΓΒ. Τα τρία άρα τα ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ, είναι ίσα µεταξύ τους. Οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και έχει κατασκευαστεί πάνω στο δοθέν ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Πάνω στο δοσµένο άρα ευθύγραµµο τµήµα έχει κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο. Το οποίο έπρεπε να γίνει. 83

6 Πρόταση Ι.2 (πρόβληµα) PrÕj tù doqšnti shme J tí doqe sv eùqe v shn eùqe an qšsqai. Estw tõ mn doqn shme on tõ A, ¹ d doqe sa eùqe a ¹ BG de d¾ prõj tù A shme J tí doqe sv eùqe v tí BG shn eùqe an qšsqai. Από δοθέν σηµείο να κατασκευαστεί ευθύγραµµο τµήµα ίσο προς δοθέν Έστω το δοθέν σηµείο Α, το δε δοθέν ευθύγραµµο τµήµα το ΒΓ. Πρέπει λοιπόν να κατασκευαστεί ευθύγραµµο τµήµα από το Α ίσο προς το δοθέν. 'EpezeÚcqw g r põ toà A shme ou pˆ tõ B shme on eùqe a ¹ AB, kaˆ sunest tw p' aùtáj tr gwnon sòpleuron tõ DAB, kaˆ kbebl»sqwsan p' eùqe aj ta j DA, DB eùqe ai aƒ AE, BZ, kaˆ kšntrj mn tù B diast»mati d tù BG kúkloj gegr fqw Ð GHQ, kaˆ p lin kšntrj tù D kaˆ diast»mati tù DH kúkloj gegr fqw Ð HKL. 'Epeˆ oân tõ B shme on kšntron stˆ toà GHQ kúklou, sh stˆn ¹ BG tí BH. p lin, peˆ tõ D shme on kšntron stˆ toà KLH kúklou, sh stˆn ¹ DL tí DH, ïn ¹ DA tí DB sh st n. loip¾ ra ¹ AL loipí tí BH stˆn sh. de cqh d kaˆ ¹ BG tí BH sh katšra ra tîn AL, BG tí BH stˆn sh. t d tù aùtù sa kaˆ ll»loij stˆn sa kaˆ ¹ AL ra tí BG stˆn sh. PrÕj ra tù doqšnti shme J tù A tí doqe sv eùqe v tí BG sh eùqe a ke tai ¹ AL Óper œdei poiásai. Ας έχει αχθεί από το σηµείο Α προς το Β ευθύγραµµο τµήµα το ΑΒ, και ας έχει κατασκευαστεί πάνω σ αυτό ισόπλευρο τρίγωνο το ΑΒ, και ας έχουν προεκταθεί το Α και Β στις ευθείες ΑΕ και ΒΖ. Με κέντρο το Β και ακτίνα το ΒΓ ας έχει γραφεί ένας κύκλος ο ΓΗΘ, και πάλι µε κέντρο το και ακτίνα το Η ας έχει γραφεί κύκλος ο ΗΚΛ. Επειδή λοιπόν το σηµείο Β είναι κέντρο του κύκλου ΓΗΘ, είναι ίσο το τµήµα ΒΓ µε το ΒΗ. Πάλι επειδή το σηµείο είναι κέντρο του κύκλου ΚΛΗ, το Λ είναι ίσο µε το Η και το Α είναι ίσο µε το Β. Άρα το υπόλοιπο το ΑΛ είναι ίσο µε το ΒΗ. Έχει δε αποδειχθεί ότι το ΒΓ είναι ίσο µε το ΒΗ. Καθένα λοιπόν από τα ΑΛ και ΒΓ είναι ίσο µε το ΒΗ. Όµως, αυτά που είναι ίσα µε ένα τρίτο είναι και µεταξύ τους ίσα, οπότε και το ΑΛ είναι ίσο µε το ΒΓ. Άρα, προς το δοθέν σηµείο το Α, έχει τεθεί ευθύγραµµο τµήµα το ΑΛ ίσο προς το δοθέν το ΒΓ. Η πρόταση αυτή αποτελεί το θεµέλιο των γεωµετρικών κατασκαυών. Η κατασκευή ενός ευθυγράµµου τµήµατος που να αρχίζει από ένα δεδοµένο σηµείο και να είναι ίσο µε κάποιο 84

7 δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα γίνεται µε αυτόν τον «σχολάστικό» τρόπο. Ο αρχαίος δηλαδή γεωµέτρης θεωρούσε ότι ο διαβήτης διατηρεί σταθερό άνοιγµα µόνο κατά τη διάρκεια της χάραξης του κύκλου. Σαν να κλείνει µόλις το έργο του τελειώσει. Έτσι η διαδικασία που χρησιµοποιείται σήµερα τη µεταφοράς ενός ευθυγράµου τµήµατος µε τη βοήθεια του ανοίγµατος του διαβήτη δεν ισχύει για τον Ευκλείδη. Πρόταση Ι.3 (πρόβληµα) DÚo doqeisîn eùqeiîn n swn põ táj me zonoj tí l ssoni shn eùqe an fele n. Estwsan aƒ doqe sai dúo eùqe ai nisoi aƒ AB, G, ïn me zwn œstw ¹ AB de d¾ põ táj me zonoj táj AB tí l ssoni tí G shn eùqe an fele n. Ke sqw prõj tù A shme J tí G eùqe v sh ¹ AD kaˆ kšntrj mn tù A diast»mati d tù AD kúkloj gegr fqw Ð DEZ. Kaˆ peˆ tõ A shme on kšntron stˆ toà DEZ kúklou, sh stˆn ¹ AE tí AD ll kaˆ ¹ G tí AD stin sh. katšra ra tîn AE, G tí AD stin sh éste kaˆ ¹ AE tí G stin sh. DÚo ra doqeisîn eùqeiîn n swn tîn AB, G põ táj me zonoj táj AB tí l ssoni tí G sh fçrhtai ¹ AE Óper œdei poiásai. οθέντων δύο άνισων ευθυγράµµων τµηµάτων είναι δυνατόν να αφαιρεθεί από το µεγαλύτερο ένα τµήµα ίσο µε το µικρότερο. Έστω τα δύο δοθέντα ευθείγραµµα τµήµατα τα ΑΒ, Γ από τα οποία το µεγαλύτερο ας είναι το ΑΒ. Πρέπει λοιπόν από το µεγαλύτερο το ΑΒ να αφαιρεθεί ένα ίσο µε το µικρότερο το Γ. Ας έχει χαραχθεί από το σηµείο Α το Α (ίσο µε το Γ). Με κέντρο το Α και ακτίνα το Α ας έχει χαραχθεί κύκλος ο ΕΖ. Και επιδή το σηµείο Α είναι κέντρο του κύκλου ΕΖ, το ΑΕ είναι ίσο µε το Α. Αλλά και το Γ είναι ίσο µε το Α. Καθένα λοιπόν από τα ΑΕ, Γ είναι ίσα µε την Α, οπότε και το Ε είναι ίσο µε το Γ. οθέντων άρα δύο άνισων ευθυγράµµων τµηµάτων των ΑΒ και Γ είναι δυνατόν να αφαιρεθεί από το µεγαλύτερο το ΑΒ ένα τµήµα το ΑΕ ίσο µε το µικρότερο το Γ. ό.έ.π. Πρόταση Ι.4 (Θεώρηµα) 'E n dúo tr gwna t j dúo pleur j [ta j] dusˆ pleura j saj œcv katšran katšrv kaˆ t¾n gwn an tí gwn v shn œcv t¾n ØpÕ tîn swn eùqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b sin tí b sei shn xei, kaˆ tõ tr gwnon tù trigènj son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn ai ta j loipa j gwn aij sai œsontai katšra katšrv, Øf' j aƒ sai pleuraˆ Øpote nousin. Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες, µια προς µία, και την περιεχόµενη γωνία ίση, θα έχουν ίσες και τις βάσεις, και το ένα τρίγωνο θα είναι ίσο µε το άλλο, και οι υπόλοιπες γωνίες, που είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές, θα είναι µία προς µία ίσες. 85

8 Το πρώτο αυτό θεώρηµα ισότητας τριγώνων δεν γίνεται µε µεταφορά, δηλαδή µε µετακίµηση του ΑΒΓ ώστε να συµπέσει µε το ΕΖ. Ο Ευκλείδης κάνει κατασκευή ενός τριγώνου µε στοιχεία ίσα µε αυτά του ΑΒΓ, δηλαδή πλευρές ίσες µε την ΑΒ και την ΑΓ και µε περιεχόµενη γωνία ίση µε την ΑΒΓ, πάνω στο ΕΖ: Κατασκευάζει ένα ευθύγραµµο τµήµα που να αρχίζει από το Ε να είναι ίσο µε το ΑΒ και να τοποθετείται πάνω στην Ε (προτάσεις Ι.2 και Ι.3). Όµοια και µε το ΑΓ, πάνω στο Ζ. ιαπιστώνει τη σύµτωση των δύο τριγώνων αφού και οι γωνίεα ΑΒΓ και ΕΖ είναι ίσες, και από την 7 η κοινή έννοια συνάγει την ισότητα των τριγώνων. Πρόταση Ι.5 (Θεώρηµα) Tîn soskelîn trigènwn aƒ prõj tí b sei gwn ai sai ll»laij e s n, kaˆ prosekblhqeisîn tîn swn eùqeiîn aƒ ØpÕ t¾n b sin gwn ai sai ll»laij œsontai. Στα ισοσκελή τρίγωνα οι παρά τη βάση γωνίες είναι ίσες µεταξύ τους, και εάν προεκταθούν οι ίσες πλευρές οι γωνίες που σχηµατίζονται κάτω από τη βάση (οι εξωτερικές) είναι ίσες. Πρόταση Ι.6 (Θεώρηµα) 'E n trigènou aƒ dúo gwn ai sai ll»laij ðsin, kaˆ aƒ ØpÕ t j saj gwn aij Øpote nousai pleuraˆ sai ll»laij œsontai. Εάν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, και οι απέναντι από τις ίσες γωνίες πλευρές θα είναι ίσες µεταξύ τους. Πρόταση Ι.7 (Θεώρηµα) 'Epˆ táj aùtáj eùqe aj dúo ta j aùta j eùqe aij llai dúo eùqe ai sai katšra katšrv où sustaq»sontai prõj llj kaˆ llj shme J pˆ t aùt mšrh t aùt pšrata œcousai ta j x rcáj eùqe aij. Πάνω στο ίδιο ευθύγραµµο τµήµα, στο οποίο δύο άλλα ευθύγραµµα τµήµατα αρχόµενα από τα άκρα του συναντιόνται σένα τρίτο σηµείο, δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστούν δυο άλλα τµήµατα ίσα ένα προς ένα µε τα άλλα που να συναντιόνται προς το ίδιο µέρος αλλά σε διαφορετικό σηµείο Πρόταση Ι.8 (Θεώρηµα) 'E n dúo tr gwna t j dúo pleur j [ta j] dúo pleura j saj œcv katšran katšra, œcv d kaˆ t¾n b sin tí b sei shn, kaˆ t¾n Εάν δύο τρίγωνα έχουν τις βάσεις ίσες και τις δύο άλλες πλευρές µία προς µία ίσες, θα έχουν ίση και την περιεχόµενη από τις ίσες πλευρές 86

9 gwn an tí gwn v shn xei t¾n ØpÕ tîn swn eùqeiîn periecomšnhn. γωνία αντίστοιχα ίση. Πρόταση Ι.9 (πρόβληµα) T¾n doqe san gwn an eùqúgrammon d ca teme n. Estw ¹ doqe sa gwn a eùqúgrammoj ¹ ØpÕ BAG. de d¾ aùt¾n d ca teme n. E l»fqw pˆ táj AB tucõn shme on tõ D, kaˆ fvr»sqw põ táj AG tí AD sh ¹ AE, kaˆ pezeúcqw ¹ DE, kaˆ sunest tw pˆ táj DE tr gwnon sòpleuron tõ DEZ, kaˆ pezeúcqw ¹ AZ lšgw, Óti ¹ ØpÕ BAG gwn a d ca tštmhtai ØpÕ táj AZ eùqe aj. 'Epeˆ g r sh stˆn ¹ AD tí AE, koin¾ d ¹ AZ, dúo d¾ aƒ DA, AZ dusˆ ta j EA, AZ sai e sˆn katšra katšrv. kaˆ b sij ¹ DZ b sei tí EZ sh st n gwn a ra ¹ ØpÕ DAZ gwn v tí ØpÕ EAZ sh st n. `H ra doqe sa gwn a eùqúgrammoj ¹ ØpÕ BAG d ca tštmhtai ØpÕ táj AZ eùqe aj Óper œdei poiásai. Να διχοτοµηθεί δοθείσα ευθύγραµµος γωνία Έστω η ευθύγραµµος γωνία η ΒΑΓ. Πρέπει λοιπόν αυτή να διχοτοµηθεί. Ας έχει ληφθεί πάνω στην ΑΒ ένα τυχόν σηµείο το, και ας έχει αφαιρεθεί από την ΑΓ µια ίση µε την Α, η ΑΕ, και ας έχει αχθεί η Ε, και ας έχει κατασκευαστεί πάνω στη Ε ισόπλευρο τρίγωνο το ΕΖ, και ας έχει γραφεί η ΑΖ. Λέγω ότι η γωνία ΒΑΓ έχει διχοτοµηθεί από την ευθεία ΑΖ. Επειδή η Α είναι ίση µε την ΑΕ, η δε ΑΖ κοινή οπότε δύο οι Α, ΑΖ προς δύο τις ΕΑ, ΑΖ είναι ίσες µία προς µία και οι βάσεις η Ζ είναι ίση προς τη βάση την ΕΖ. Η γωνία λοιπόν η ΑΖ είναι ίση µε την ΕΑΖ. Η δοθείσα γωνία λοιπόν η ΒΑΓ διχοτο- µείται από τη ευθεία ΑΖ. Το οποίο έπρεπε να γίνει. Πρόταση Ι.10 (πρόβληµα) T¾n doqe san eùqe an peperasmšnhn d ca Να διχοτοµηθεί δοθέν ευθύγραµµο τµήµα teme n. Η διχοτόµηση δεν γίνεται µε τον τρόπο που είναι γνωστός από τη σχολική γεωµετρία, αλλά κατασκευάζει ένα ισόπλευρο τρίγωνο (πρόταση Ι.1) και στη συνέχεια διχοτοµεί την απέναντι στη βάση γωνία (πρόταση Ι.9) Πρόταση Ι.11 (πρόβληµα) TÍ doqe sv eùqe v põ toà prõj aùtí doqšntoj shme ou prõj Ñrq j gwn aj eùqe an gramm¾n gage n. Προς τη δοθείσα ευθεία και από δοθέν σηµείο αυτής να αχθεί κάθετος ευθεία. Πρόταση Ι.12 (πρόβληµα) 87

10 'Epˆ t¾n doqe san eùqe an peiron põ toà doqšntoj shme ou, Ö m» stin p' aùtáj, k qeton eùqe an gramm¾n gage n. Πάνω στη δοθείσα ευθεία από ένα σηµείο εκτός αυτής, να αχθεί κάθετος ευθεία. Πρόταση Ι.13 (Θεώρηµα) 'E n eùqe a p' eùqe an staqe sa gwn aj poií, ½toi dúo Ñrq j À dusˆn Ñrqa j saj poi»sei. Εάν µια ευθεία στηθεί πάνω σε µια άλλη, θα σχηµατίσει ή δύο ορθές γωνίες ή δύο γωνίες µε άθροισµα δύο ορθές. Πρόταση Ι.14 (Θεώρηµα) 'E n pròj tini eùqe v kaˆ tù prõj aùtí shme J dúo eùqe ai m¾ pˆ t aùt mšrh ke menai t j fexáj gwn aj dusˆn Ñrqa j saj poiîsin, p' eùqe aj œsontai ll»laij aƒ eùqe ai. Εάν προς ένα σηµείο κάποιας ευθείας προσπίπτουν δύο ευθείες, που δεν βρίσκονται προς το ίδιο µέρος, και σχηµατίζουν τις διαδοχικές γωνίες ίσες µε δύο ορθές, οι δύο αυτές ευθείες θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία Πρόταση Ι.15 (Θεώρηµα) 'E n dúo eùqe ai tšmnwsin ll»laj, t j kat koruf¾n gwn aj saj ll»laij poioàsin. [PÒrisma 'Ek d¾ toútou fanerõn Óti, n dúo eùqe ai tšmnwsin ll»laj, t j prõj tí tomí gwn aj tštrasin Ñrqa j saj poi»sousin.] Εάν δύο ευθείες τέµνονται µεταξύ τους, θα σχηµατίζουν τις κατακορυφήν γωνίες ίσες. Πόρισµα: Από αυτό είναι φανερό ότι: εάν δύο ευθείες τέµνονται µεταξύ τους, οι γωνίες που σχηµατίζονται στην τοµή έχουν άθροισµα τεσσάρων ορθών. Πρόταση Ι.16 (Θεώρηµα) PantÕj trigènou mi j tîn pleurîn prosekblhqe shj ¹ ktõj gwn a katšraj tîn ntõj kaˆ penant on gwniîn me zwn st n. Σε κάθε τρίγωνο, εάν προεκταθεί µία από τις πλευρές του, η εξωτερική γωνία είναι µεγαλύτερη καθεµιάς από τις εσωτερικές και απέναντι. Πρόταση Ι.17 (Θεώρηµα) PantÕj trigènou aƒ dúo gwn ai dúo Ñrqîn Σε κάθε τρίγωνο, οι δύο γωνίες του είναι 88

11 l ssonšj e si p ntv metalambanòmenai. µικρότερες από δύο ορθές, µε όποιο τρόπο και αν ληφθούν. Πρόταση Ι.18 (Θεώρηµα) PantÕj trigènou ¹ me zwn pleur t¾n me zona gwn an Øpote nei. Σε κάθε τρίγωνο η µεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη µεγαλύτερη γωνία. Πρόταση Ι.19 (Θεώρηµα) PantÕj trigènou ØpÕ t¾n me zona gwn an ¹ me zwn pleur Øpote nei. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από τη µεγαλύτερη γωνία βρίσκεται µεγαλύτερη πλευρά. Πρόταση Ι.20 (Θεώρηµα) PantÕj trigènou aƒ dúo pleuraˆ táj loipáj me zonšj e si p ntv metalambanòmenai. Σε κάθε τρίγωνο, οι δύο πλευρές έχουν άθροισµα µεγαλύτερο από την τρίτη µε οποιοδήποτε τρόπο και αν ληφθούν Πρόταση Ι.21 (Θεώρηµα) 'E n trigènou pˆ mi j tîn pleurîn põ tîn per twn dúo eùqe ai ntõj sustaqîsin, aƒ sustaqe sai tîn loipîn toà trigènou dúo pleurîn l ttonej mn œsontai, me zona d gwn an perišxousin. Εάν από τα άκρα µίας των πλευρών ενός τριγώνου κατασκευαστούν δύο ευθύγραµµα τµήµατα που να συναντηθούν εντός του τριγώνου, τα δύο αυτά τµήµατα θα έχουν άθροισµα µικρότερο από τις δύο άλλες πλευρές του τριγώνου και η γωνία που θα σχηµατίσουν θα είναι µεγαλύτερη (από την αντίστοιχη του αρχικού τριγώνου) Πρόταση Ι.22 (πρόβληµα) 'Ek triîn eùqeiîn, a e sin sai trisˆ ta j doqe saij [eùqe aij], tr gwnon sust»sasqai de d t j dúo táj loipáj me zonaj enai p ntv metalambanomšnaj. Να κατασκευασθεί τρίγωνο από τρία ευθύγραµµα τµήµατα που να είναι ίσα µε τρία δοθέντα. Πρέπει δε τα δύο να είναι µεγαλύτερα από το τρίτο, µε όποιο τρόπο και αν ληφθούν. Πρόταση Ι.23 (πρόβληµα) PrÕj tí doqe sv eùqe v kaˆ tù prõj aùtí shme J tí doqe sv gwn v eùqugr mmj shn gwn an eùqúgrammon sust»sasqai. οθείσης ευθείας και σηµείου πάνω σ αυτήν να κατασκευασθεί ευθύγραµµος γωνία (µε κορυφή το σηµείο) ίση µε δοθείσα. Πρόταση Ι.24 (Θεώρηµα) 89

12 'E n dúo tr gwna t j dúo pleur j [ta j] dúo pleura j saj œcv katšran katšrv, t¾n d gwn an táj gwn aj me zona œcv t¾n ØpÕ tîn swn eùqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b sin táj b sewj me zona xei. Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία, το ένα δε έχει τη σχηµατιζόµενη από τις ίσες πλευρές γωνία µεγαλύτερη αυτής του άλλου, τότε θα έχει και τη βάση µεγαλύτερη της βάσης του άλλου. Πρόταση Ι.25 (Θεώρηµα) 'E n dúo tr gwna t j dúo pleur j dusˆ pleura j saj œcv katšran katšrv, t¾n d b sin táj b sewj me zona œcv, kaˆ t¾n gwn an táj gwn aj me zona xei t¾n ØpÕ tîn swn eùqeiîn periecomšnhn. Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία, το ένα δε έχει τη βάση µεγαλύτερη, τότε θα έχει και τη σχηµατιζόµενη από τις ίσες πλευρές γωνία µεγαλύτερη. Πρόταση Ι.26 (Θεώρηµα) 'E n dúo tr gwna t j dúo gwn aj dusˆ gwn aij saj œcv katšran katšrv kaˆ m an pleur n mi pleur shn ½toi t¾n prõj ta j saij gwn aij À t¾n Øpote nousan ØpÕ m an tîn swn gwniîn, kaˆ t j loip j pleur j ta j loipa j pleura j saj xei [ katšran katšrv] kaˆ t¾n loip¾n gwn an tí loipí gwn v. Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες µία προς µία, και µία πλευρά του ενός ίση µε µια πλευρά του άλλου, ή αυτήν που πρόσκεινται οι ίσες γωνίες ή µία που είναι απέναντι από µια από τις ίσες γωνίες, τότε και τις άλλες πλευρές θα έχει ίσες µία προς µία και την αλλά γωνία προς τη γωνία. Πρόταση Ι.27 (Θεώρηµα) 'E n e j dúo eùqe aj eùqe a mp ptousa t j nall x gwn aj saj ll»laij poií, par llhloi œsontai ll»laij aƒ eùqe ai. Εάν δύο ευθείες τεµνόµενες από µια τρίτη σχηµατίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες, παράλληλες θα είναι οι ευθείες. Πρόταση Ι.28 (Θεώρηµα) 'E n e j dúo eùqe aj eùqe a mp ptousa t¾n ktõj gwn an tí ntõj kaˆ penant on kaˆ pˆ t aùt mšrh shn poií À t j ntõj kaˆ pˆ t aùt mšrh dusˆn Ñrqa j saj, par llhloi œsontai ll»laij aƒ eùqe ai. Εάν δύο ευθείες τεµνόµενες από µια τρίτη σχηµατίζει την εκτός γωνία ίση µε την εντός και απέναντι και επί τα αυτά µέρη, ή τις εντός και επί τα αυτά µέρη ίσες µε δύο ορθές, οι ευθείες είναι παράλληλες µεταξύ τους. Πρόταση Ι.29 (Θεώρηµα) `H e j t j parall»louj eùqe aj eùqe a mp ptousa t j te nall x gwn aj saj ll»laij poie kaˆ t¾n ktõj tí ntõj kaˆ penant on shn kaˆ t j ntõj kaˆ pˆ t aùt mšrh dusˆn Ñrqa j saj. Η ευθεία που τέµνει δύο παράλληλες σχηµατίζει τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, την εντός ίση µε την εκτός και απέναντι, και τις εντός και επί τα αυτά µέρη ίσες µε δύο ορθές. 90

13 Πρόταση Ι.30 (Θεώρηµα) Aƒ tí aùtí eùqe v par llhloi kaˆ ll»laij e sˆ par llhloi. Οι ευθείες που είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία είναι και µεταξύ τους παράλληλες. Πρόταση Ι.31 (Θεώρηµα) Di toà doqšntoj shme ou tí doqe sv eùqe v par llhlon eùqe an gramm¾n gage n. ια του δοθέντος σηµείου να αχθεί παράλληλος προς την δοθείσα ευθεία. Πρόταση Ι.32 (Θεώρηµα) PantÕj trigènou mi j tîn pleurîn prosekblhqe shj ¹ ktõj gwn a dusˆ ta j ntõj kaˆ penant on sh st n, kaˆ aƒ ntõj toà trigènou tre j gwn ai dusˆn Ñrqa j sai e s n. Σε κάθε τρίγωνο, αφού προεκταθεί µία των πλευρών, η εξωτερική γωνία είναι ίση µε το άθροισµα των δύο εντός και απέναντι. Και οι τρεις εσωτερικές γωνίες του τριγώνου έχουν άθροισµα δύο ορθές. Πρόταση Ι.33 (Θεώρηµα) Aƒ t j saj te kaˆ parall»louj pˆ t aùt mšrh pizeugnúousai eùqe ai kaˆ aùtaˆ sai te kaˆ par llhlo e sin. Τα ευθύγραµµα τµήµατα που ενώνουν (τα άκρα) δύο ίσων και παραλλήλων ευθυγράµµων τµηµάτων, είναι ίσα και παράλληλα. Πρόταση Ι.34 (Θεώρηµα) Tîn parallhlogr mmwn cwr wn aƒ penant on pleura te kaˆ gwn ai sai ll»laij e s n, kaˆ ¹ di metroj aùt d ca tšmnei. Σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες µεταξύ τους και η διαγώνιος τα διχοτοµεί. Πρόταση Ι.35 (Θεώρηµα) T parallhlògramma t pˆ táj aùtáj b sewj Ônta kaˆ n ta j aùta j parall»loij sa ll»loij st n. Τα παραλληλόγραµµα που έχουν την ίδια βάση και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα µεταξύ τους. Πρόταση Ι.36 (Θεώρηµα) T parallhlògramma t pˆ swn b sewn Ônta kaˆ n ta j aùta j parall»loij sa ll»loij st n. Τα παραλληλόγραµµα που έχουν ίσες βάσεις και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα µεταξύ τους. 91

14 Πρόταση Ι.37 (Θεώρηµα) T tr gwna t pˆ táj aùtáj b sewj Ônta kaˆ n ta j aùta j parall»loij sa ll»loij st n. Τα τρίγωνα που έχουν την ίδια βάση και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα µεταξύ τους. Πρόταση Ι.38 (Θεώρηµα) T tr gwna t pˆ swn b sewn Ônta kaˆ n ta j aùta j parall»loij sa ll»loij st n. Τα τρίγωνα που έχουν ίσες βάσεις και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα µεταξύ τους. Πρόταση Ι.39 (Θεώρηµα) T sa tr gwna t pˆ táj aùtáj b sewj Ônta kaˆ pˆ t aùt mšrh kaˆ n ta j aùta j parall»loij st n. Τα ίσα τρίγωνα που έχουν την ίδια βάση και είναι επί τα αυτά µέρη (της βάσης), βρίσκονται µεταξύ ίδιων παραλλήλων. Πρόταση Ι.40 (Θεώρηµα) T sa tr gwna t pˆ swn b sewn Ônta kaˆ pˆ t aùt mšrh kaˆ n ta j aùta j parall»loij st n. Τα ίσα τρίγωνα που έχουν ίσες βάσεις και είναι επί τα αυτά µέρη (της βάσης), βρίσκονται µεταξύ ίδιων παραλλήλων. Πρόταση Ι.41 (Θεώρηµα) 'E n parallhlògrammon trigènj b sin te œcv t¾n aùt¾n kaˆ n ta j aùta j parall»loij Ï, dipl siòn sti tõ parallhlògrammon toà trigènou. Εάν ένα παραλληλόγραµµο και ένα τρίγωνο έχουν την ίδια βάση και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων, το παραλληλόγραµµο είναι διπλάσιο του τριγώνου. Πρόταση Ι.42 (πρόβληµα) Tù doqšnti trigènj son parallhlògrammon sust»sasqai n tí doqe sv gwn v eùqugr mmj. Estw tõ mn doqn tr gwnon tõ ABG, ¹ d doqe sa gwn a eùqúgrammoj ¹ D de d¾ tù ABG trigènj son parallhlògrammon sust»sasqai n tí D gwn v eùqugr mmj. Να κατασκευαστεί παραλληλόγραµµο ίσο µε το δοθέν τρίγωνο και εντός δοθείσης ευθυγράµµου γωνίας. Έστω το µεν δοθέν τρίγωνο το ΑΒΓ, η δε δοθείσα γωνία η. Πρέπει λοιπόν να κατασκευασθεί παραλληλόγραµµο ίσο µε το τρίγωνο ΑΒΓ και µε γωνία ίση µε τη. 92

15 Tetm»sqw ¹ BG d ca kat tõ E, kaˆ pezeúcqw ¹ AE, kaˆ sunest tw prõj tí EG eùqe v kaˆ tù prõj aùtí shme J tù E tí D gwn v sh ¹ ØpÕ GEZ, kaˆ di mn toà A tí EG par llhloj ½cqw ¹ AH, di d toà G tí EZ par llhloj ½cqw ¹ GH parallhlògrammon ra stˆ tõ ZEGH. kaˆ peˆ sh stˆn ¹ BE tí EG, son stˆ kaˆ tõ ABE tr gwnon tù AEG trigènj p te g r swn b seèn e si tîn BE, EG kaˆ n ta j aùta j parall»loij ta j BG, AH dipl sion ra stˆ tõ ABG tr gwnon toà AEG trigènou. œsti d kaˆ tõ ZEGH parallhlògrammon dipl sion toà AEG trigènou b sin te g r aùtù t¾n aùt¾n œcei kaˆ n ta j aùta j stin aùtù parall»loij son ra stˆ tõ ZEGH parallhlògrammon tù ABG trigènj. kaˆ œcei t¾n ØpÕ GEZ gwn an shn tí doqe sv tí D. Tù ra doqšnti trigènj tù ABG son parallhlògrammon sunšstatai tõ ZEGH n gwn v tí ØpÕ GEZ, ¼tij stˆn sh tí D Óper œdei poiásai. Ας έχει διχοτοµηθεί η ΒΓ στο σηµείο Ε και ας έχει αχθεί η ΑΕ, και ας έχει κατασκευασθεί µε πλευρά την ΕΓ και κορυφή το Ε, µια γωνία ίση µε τη, η ΓΕΖ. Και ας έχουν αχθεί από το Α παράλληλος προς τη ΕΓ η ΑΗ, και από το Γ προς την ΕΖ, η ΓΗ. Άρα το ΖΕΓΗ είναι παραλληλόγραµµο. Και επειδή η ΒΕ είναι ίση µε την ΕΓ, ίσο είναι και το τρίγωνο ΑΒΕ µε το ΑΕΓ. Και αφού βρίσκονται επί ίσων βάσεων των ΒΕ, ΕΓ και µεταξύ των ίδιων παραλλήλων των ΒΓ, ΑΗ, άρα το ΑΒΓ είναι διπλάσιο από το ΑΕΓ. Είναι δε και το παραλληλόγραµµο ΖΕΓΗ διπλάσιο του τριγώνου ΑΕΓ καθότι έχουν την ίδια βάση και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Κατά συνέπεια το παραλληλόγραµµο ΖΕΓΗ είναι ίσο µε το τρίγωνο ΑΒΓ, και έχει τη γωνία ΓΕΖ ίση µε τη δοθείσα. Προς το δοθέν άρα τρίγωνο το ΑΒΓ κατασκευάστηκε ίσο παραλληλόγραµµο το ΖΕΓΗ µε γωνία την ΓΕΖ που είναι ίση µε τη. Το οποίο έπρεπε να γίνει. Πρόταση Ι.43 (Θεώρηµα) PantÕj parallhlogr mmou tîn perˆ t¾n di metron parallhlogr mmwn t paraplhrèmata sa ll»loij st n. Estw parallhlògrammon tõ ABGD, di metroj d aùtoà ¹ AG, perˆ d t¾n AG parallhlògramma mn œstw t EQ, ZH, t d legòmena paraplhrèmata t BK, KD lšgw, Óti son stˆ tõ BK parapl»rwma tù KD paraplhrèmati. Σε κάθε παραλληλόγραµµο, τα παραπληρώµατα των γύρω από τη διαγώνιο παραλληλογράµµων είναι ίσα µεταξύ τους. Έστω ένα παραλληλόγραµµο το ΑΒΓ, διάµετρος δε αυτού η ΑΓ. Έστω τα παραλληλόγραµµα ΕΘ και ΖΗ γύρω από τη διάµετρο ΑΓ, τα λεγόµενα δε παραπληρώµατά τους έστω τ ΒΚ και Κ. Λέγω ότι, το παραπλήρωµα ΒΚ είναι ίσο µε το παραπλήρωµα Κ. Epeˆ g r parallhlògrammòn sti το ABGD, di metroj d aùtoà ¹ AG, son stˆ tõ ABG tr gwnon tù AGD trigènj. p lin, peˆ parallhlògrammòn sti tõ EQ, di metroj d Επειδή το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο και η ΑΓ είναι διαγώνιός του, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο µε το τρίγωνο ΑΓ. Επίσης αφού το ΕΘ είναι παραλληλόγραµµο και η ΑΚ διαγώνιός 93

16 aùtoà stin ¹ AK, son stˆ tõ AEK tr gwnon tù AQK trigènj. di t aùt d¾ kaˆ tõ KZG tr gwnon tù KHG stin son. peˆ oân tõ mn AEK tr gwnon tù AQK trigènj stˆn son, tõ d KZG tù KHG, tõ AEK tr gwnon met toà KHG son stˆ tù AQK trigènj met toà KZG œsti d kaˆ Ólon tõ ABG tr gwnon ÓlJ tù ADG son loipõn ra tõ BK parapl»rwma loipù tù KD paraplhrèmat stin son. PantÕj ra parallhlogr mmou cwr ou tîn perˆ t¾n di metron parallhlogr mmwn t paraplhrèmata sa ll»loij st n Óper œdei de xai. του, το τρίγωνο ΑΕΚ θα είναι ίσο µε το τρίγωνο ΑΘΚ. Για τους ίδιους λόγους και το τρίγωνο ΚΖΓ είναι ίσο µε το τρίγωνο ΚΗΓ. Επειδή λοιπόν το µεν ΑΕΚ τρίγωνο είναι ίσο µε το ΑΘΚ, το δε ΚΖΓ µε το ΚΗΓ, οπότε το ΑΕκ µαζί µε το ΚΗΓ είναι ίσο µε το ΑΘΚ µαζί µε το ΚΖΓ. Είναι δε και όλο το ΑΒΓ τρίγωνο ίσο µε όλο το Α Γ. Άρα το υπόλοιπο παραπλήρωµα ΒΚ είναι ίσο µε το υπόλοιπο παραπλήρωµα το Κ. Σε κάθε άρα παραλληλόγραµµο τα παραπλήρωµα των γύρω από τη διαγώνιο παραλληλογράµµων είναι ίσα µεταξύ τους. Ο.Ε.. Πρόταση Ι.44 (πρόβληµα) Par t¾n doqe san eùqe an tù doqšnti trigènj son parallhlògrammon parabale n n tí doqe sv gwn v eùqugr mmj. Πάνω σε δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα και υπό δοθείσα γωνία να κατασκευασθεί ένα παραλληλόγραµµο ίσο προς δοθέν τρίγωνο. Πρόταση Ι.45 (πρόβληµα) Tù doqšnti eùqugr mmj son parallhlògrammon sust»sasqai n tí doqe sv gwn v eùqugr mmj. Να κατασκευασθεί παραλληλόγραµµο ίσο µε δοθέν ευθύγραµµο σχήµα και υπό δοθείσα γωνία. Πρόταση Ι.46 (πρόβληµα) 'ApÕ táj doqe shj eùqe aj tetr gwnon nagr yai. οθέντος ευθυγράµµου τµήµατος να κατασκευασθεί τετράγωνο. Μέχρι τώρα το τετράγωνο δεν έχει εµφανιστεί παρά µόνο στον ορισµό. Ο ορισµός όµως δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη του τετραγώνου. Το πρόβληµα λοιπόν 46 αποτελεί απόδειξη ότι υπάρχει ένα τετράγωνο για κάθε δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα. Οπότε τώρα το έδαφος είναι έτοιµο για την απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήµατος: Πρόταση Ι.47 (Πυθαγόρειο Θεώρηµα) 'En to j Ñrqogwn oij trigènoij tõ põ táj t¾n Ñrq¾n gwn an ØpoteinoÚshj pleur j tetr gwnon son stˆ to j põ tîn t¾n Ñrq¾n gwn an periecousîn pleurîn tetragènoij. Estw tr gwnon Ñrqogènion tõ ABG Ñrq¾n œcon Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο µε πλευρά την υποτείνουσα είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων µε πλευρές τις περιέχουσες την ορθή γωνία. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο το ΑΒΓ που έχει ορθή την 94

17 t¾n ØpÕ BAG gwn an ΒΑΓ γωνία. lšgw, Óti tõ põ táj BG tetr gwnon son stˆ to j põ tîn BA, AG tetragènoij. 'Anagegr fqw g r põ mn táj BG tetr gwnon tõ BDEG, põ d tîn BA, AG t HB, QG, kaˆ di toà A Ðpotšrv tîn BD, GE par llhloj ½cqw ¹ AL kaˆ pezeúcqwsan aƒ AD, ZG. kaˆ peˆ Ñrq» stin katšra tîn ØpÕ BAG, BAH gwniîn, prõj d» tini eùqe v tí BA kaˆ tù prõj aùtí shme J tù A dúo eùqe ai aƒ AG, AH m¾ pˆ t aùt mšrh ke menai t j fexáj gwn aj dusˆn Ñrqa j saj poioàsin p' eùqe aj ra stˆn ¹ GA tí AH. di t aùt d¾ kaˆ ¹ BA tí AQ stin p' eùqe aj. kaˆ peˆ sh stˆn ¹ ØpÕ DBG gwn a tí ØpÕ ZBA Ñrq¾ g r katšra koin¾ proske sqw ¹ ØpÕ ABG Ólh ra ¹ ØpÕ DBA ÓlV tí ØpÕ ZBG stin sh. kaˆ peˆ sh stˆn ¹ mn DB tí BG, ¹ d ZB tí BA, dúo d¾ aƒ DB, BA dúo ta j ZB, BG sai e sˆn katšra katšrv kaˆ gwn a ¹ ØpÕ DBA gwn v tí ØpÕ ZBG sh b sij ra ¹ AD b sei tí ZG [ stin] sh, kaˆ tõ ABD tr gwnon tù ZBG trigènj stˆn son kaˆ [ stˆ] toà mn ABD trigènou dipl sion tõ BL parallhlògrammon b sin te g r t¾n aùt¾n œcousi t¾n BD kaˆ n ta j aùta j e si parall»loij ta j BD, AL toà d ZBG trigènou dipl sion tõ HB tetr gwnon b sin te g r p lin t¾n aùt¾n œcousi t¾n ZB kaˆ n ta j aùta j e si parall»loij ta j ZB, HG. [t d tîn swn dipl sia sa ll»loij st n ] son ra stˆ kaˆ tõ BL parallhlògrammon tù HB tetragènj. Ðmo wj d¾ pizeugnumšnwn tîn AE, BK deicq»setai kaˆ tõ GL parallhlògrammon son tù QG tetragènj Ólon ra tõ BDEG tetr gwnon dusˆ to j HB, QG tetragènoij son st n. ka sti tõ mn BDEG tetr gwnon põ táj BG nagrafšn, t d HB, QG põ tîn BA, AG. tõ ra põ táj BG pleur j Λέγω ότι το τετράγωνο µε πλευρά ΒΓ είναι ίσο (µε το άθροισµα των) µε τα τετράγωνα µε πλευρές τα ΒΑ και ΑΓ. Ας έχει γραφτεί µε πλευρά µεν τη ΒΓ τετράγωνο το Β ΕΓ, µε πλευρές δε τα ΒΑ και ΑΓ τα τετράγωνα ΗΒ και ΘΓ. Και από το Α ας έχει αχθεί παράλληλος προς τις Β και ΓΕ, η ΑΛ, και ας έχουν αχθεί τα Α και ΑΕ. Και επειδή καθεµιά από τις ΒΑΓ και ΒΑΗ, προς την ευθεία ΒΑ και από το σηµείο αυτής το Α δύο ευθείες οι ΑΓ και ΑΗ, χωρίς να κείνται προς τα αυτά µέρη (της ΒΑ), σχηµατίζουν τις εφεξής γωνίες ίσες µε δύο ορθές. Πάνω στην ίδια ευθεία λοιπόν βρίσκονται οι ΓΑ και ΑΗ. Για τους ίδιους λόγους και η ΒΑ µε την ΑΘ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Και επειδή είναι ίση η Β Γ γωνία µε την ΖΒΑ, καθότι και οι δύο ορθές, ας έχει προστεθεί και στις δύο η ΑΒΓ. Οπότε όλη, η ΒΑ, είναι ίση µε την όλη ΖΒΓ. Και αφού η Β είναι ίση µε τη ΒΓ, η δε ΖΒ ίση µε τη ΒΑ, οι δύο δηλαδή οι Β και ΒΑ είναι µία προς µία ίσες µε τις ΖΒ, ΒΓ. Και η γωνία ΒΑ είναι ίση µε τη ΖΒΓ, άρα και η βάση η Α είναι ίση µε τη ΖΓ και το τρίγωνο το Α Β είναι ίσο µε το ΖΒΓ. Και του µεν τριγώνου ΑΒ είναι διπλάσιο το παραλληλόγραµµο ΒΛ, καθότι έχουν την ίδια βάση τη Β και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων των Β και ΑΛ. Το τετράγωνο δε το ΗΒ είναι διπλάσιο του ΖΒΓ, καθότι και πάλι έχουν την ίδια βάση την ΖΒ και βρίσκονται µεταξύ των ίδιων παραλλήλων των ΖΒ, ΗΓ. [αυτά δε που είναι διπλάσια από κάποια που είναι ίσα είναι µεταξύ τους ίσα], το παραλληλόγραµµο λοιπόν ΒΛ είναι ίσο µε το τετράγωνο το ΗΒ. Αν έχουν γραφτεί οι ΑΕ και ΒΚ αποδεικνύεται µε το ίδιο τρόπο ότι και το παραλληλόγραµµο το ΓΛ είναι ίσο µε το ΘΓ τετράγωνο. Όλο άρα το Β ΕΓ τετράγωνο είναι ίσο µε τα δύο τετράγωνα τα ΗΒ και ΘΓ. Και το µεν τετράγωνο Β ΕΓ έχει κατασκευαστεί µε πλευρά την ΒΓ τα δε ΗΒ και ΘΓ µε πλευρές τις ΒΑ και ΑΓ. Άρα το τετράγωνο µε πλευρά τη ΒΓ είναι ίσο µε τα 95

18 tetr gwnon son stˆ to j põ tîn BA, AG pleurîn tetragènoij. 'En ra to j Ñrqogwn oij trigènoij tõ põ táj t¾n Ñrq¾n gwn an ØpoteinoÚshj pleur j tetr gwnon son stˆ to j põ tîn t¾n Ñrq¾n [gwn an] periecousîn pleurîn tetragènoij Óper œdei de xai. τετράγωνα που έχουν φτιαχτεί µε πλευρές τις ΒΑ και ΑΓ. Άρα σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο µε πλευρά την υποτείνουσα είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων µε πλευρές τις περιέχουσες την ορθή γωνία. Όπερ Έδει είξε. Πρόταση Ι.48 (Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεώρηµα) 'E n trigènou tõ põ mi j tîn pleurîn tetr gwnon son Ï to j põ tîn loipîn toà trigènou dúo pleurîn tetragènoij, ¹ periecomšnh gwn a ØpÕ tîn loipîn toà trigènou dúo pleurîn Ñrq» stin. Εάν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο µε πλευρά µία από τις πλευρές, είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων µε πλευρές τις δύο άλλες πλευρές του τριγώνου. Τότε η γωνία η περιεχόµενη από τις δύο αυτές πλευρές είναι ορθή. 96

19 Η αριθµοθεωρία του Ευκλείδη Οι ορισµοί µε τους οποίους αρχίζει το 7 ο (VII) βιβλίο. 1. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. 2. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος. 3. Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα. Μονάδα είναι αυτή κατά την οποία καθένα από τα όντα λέµε πως είναι ένα. Αριθµός είναι ένα πλήθος πεπερασµένο από µονάδες. Ένας αριθµός είναι µέρος αριθµού, ο µικρότερος του µεγαλύτερου, όταν καταµετρά 1 τον µεγαλύτερο. 4. Μέρη δέ, ὅταν μὴ καταμετρῇ. Μέρη είναι όταν δεν τον καταµετρά. 5. Πολλαπλάσιος δὲ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος. 6. Ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος. 7. Περισσὸς δὲ ὁ μὴ διαιρούμενος δίχα ἢ [ὁ] μονάδι διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ. 8. Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. 9. Ἀρτιάκις δὲ περισσός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν. 10. [Περισσάκις ἀρτιός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν]. 11. Περισσάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν. Ενας αριθµός είναι πολλαπλάσιος ενός άλλου, ο µεγαλυτερος του µικρότερου, όταν καταµετρείται από τον µικρότερο. Αρτιος αριθµός είναι αυτός που διαιρείται σε δύο ίσα µέρη. Περιττός δε είναι αυτός που δεν διαιρείται σε δύο ίσα µέρη, ή αυτός που διαφέρει κατά µια µονάδα από ένα άρτιο. Αρτιάκις άρτιος είναι ο αριθµός που διαιρείται από έναν άρτιο κατά αρτιο αριθµό Αρτιάκις περιττός είναι ο αριθµός που διαιρείται από έναν άρτιο κατά περιτό αριθµό. Περισσάκις άρτιος είναι ο αριθµός που διαιρείται από έναν περιτό κατά άρτιο αριθµό. Περισσάκις περιττός είναι ο αριθµός που διαιρείται από έναν περιττό κατά περιττό αριθµό. 1 Καταμετρεί= χωρά ακαίρεο αριθμό από φορές. 97

20 12. Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος. 13. Πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ. 14. Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρούμενος. 15. Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ τινι μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ. 16. Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος, καὶ γένηταί τις. 17. Ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί. 18. Ὅταν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί. 19. Τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ [ὁ] ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος. 20. Κύβος δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἢ [ὁ] ὑπὸ τριῶν ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος. 21. Ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρτου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιος ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν. 22. Ὅμοιοι ἐπίπεδοι καὶ στερεοὶ ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς. 23. Τέλειος ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν. Πρώτος αριθµός είναι αυτός που διαιρείται µόνο από τη µονάδα. Πρώτοι προς αλλήλους (ή µεταξύ τους) είναι οι αριθµοί οι οποίοι ως µοναδικό κοινό διαιρέτη έχουν τη µονάδα. Σύνθετος αριθµός είναι ο αριθµός που διαιρείται από κάποιον Σύνθετοι προς αλλήλους (ή µεταξύ τους) είναι οι αριθµοί που έχουν κοινό διαιρέτη. Λέµε πως ένας αριθµός πολλαπλασιάζει έναν άλλο, όταν όσες µονάδες έχει ο αριθµός αυτός τόσες φορές να προστεθεί στον εαυτό του ο πολλαπλασιαζόµενος και παράγεται κάποιος. Όταν δύο αριθµοί αφού πολλαπλασιαστούν µεταξύ τους παράγουν κάποιον, ο παραγόµενος καλείται επίπεδος και πλευρές αυτού καλούνται αυτοί που πολλαπλασιάστηκαν µεταξύ τους. Όταν τρείς αριθµοί αφού πολλαπλασιαστούν µεταξύ τους παράγουν κάποιον, ο παραγόµενος είναι στεραιός και πλευρές αυτού καλούνται αυτοί που πολλαπλασιάστηκαν µεταξύ τους. Τετράγωνος αριθµός είναι αυτός που είναι ισες φορές ισος, ή ο περιεχόµενος από δύο ίσους αριθµούς. Κύβος αριθµός είναι αυτός που είναι ίσες φορές ίσος, ή ο περιεχόµενος από τρείς ίσους αριθµούς. Ανάλογοι αριθµοί λέγονται αυτοί που ο πρώτος του δευτέρου και ο τρίτος του τετάρτου είναι ισοπολλαπλάσιοι, ή του αυτό µέρος, ή τα αυτά µέρη. Όµοιοι επίπεδοι και σταιρεοί αριθµοί είναι αυτοί που έχουν τις πλευρές ανάλογες. Τέλειος αριθµός είναι αυτός που ισούται µε το άθροισµα των µερών (γνήσιων διαιρετών) του 98

21 Πρόταση VIΙ.1 (θεώρηµα) Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. Δοθέντων δύο αριθμών, εάν ο μικρότερος αφαιρείται συνεχώς από τον μεγαλύτερο και εάν αυτός που απομένει δεν διαιρεί ποτέ τον προηγούμενο μέχρι να βρεθεί μονάδα, οι αρχικοί αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους Πρόταση VIΙ.2 (πρόβληµα) Δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Δοθέτνων δύο αριθμών μη πρώτων προς αλλήλους, να βρεθεί ο μεγιστος κοινός διαιρέτης 99

22 Η στερεοµετρία του Ευκλείδη

23 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη 1. StereÒn sti tõ mákoj kaˆ pl toj kaˆ b qoj œcon. Στερεό είναι αυτό που έχει µήκος πλάτος και βάθος. 2. Stereoà d pšraj pif neia. Πέρατα του στερεού είναι η επιφάνεια 3. EÙqe a prõj p pedon Ñrq» stin, Ótan prõj p saj t j ptomšnaj aùtáj eùqe aj kaˆ oüsaj n tù [ØpokeimšnJ] pipšdj Ñrq j poií gwn aj. 4. 'Ep pedon prõj p pedon ÑrqÒn stin, Ótan aƒ tí koiní tomí tîn pipšdwn prõj Ñrq j gòmenai eùqe ai n nˆ tîn pipšdwn tù loipù pipšdj prõj Ñrq j ðsin. 5. EÙqe aj prõj p pedon kl sij st n, Ótan põ toà meteèrou pšratoj táj eùqe aj pˆ tõ p pedon k qetoj cqí, kaˆ põ toà genomšnou shme ou pˆ tõ n tù pipšdj pšraj táj eùqe aj eùqe a pizeucqí, ¹ periecomšnh gwn a ØpÕ táj cqe shj kaˆ táj festèshj. 6. 'Epipšdou prõj p pedon kl sij stˆn ¹ periecomšnh Ñxe a gwn a ØpÕ tîn prõj Ñrq j tí koiní tomí gomšnwn prõj tù aùtù shme J n katšrj tîn pipšdwn. 7. 'Ep pedon prõj p pedon Ðmo wj kekl sqai lšgetai kaˆ teron prõj teron, Ótan aƒ e rhmšnai tîn kl sewn gwn ai sai ll»laij ðsin. 8. Par llhla p ped sti t súmptwta. 9. Omoia stere sc»mat sti t ØpÕ Ðmo wn pipšdwn periecòmena swn tõ pláqoj. 10. Isa d kaˆ Ómoia stere sc»mat sti t ØpÕ Ðmo wn pipšdwn periecòmena swn tù pl»qei kaˆ tù megšqei. 11. Stere gwn a stˆn ¹ ØpÕ pleiònwn À dúo grammîn ptomšnwn ll»lwn kaˆ m¾ n tí aùtí pifane v oùsîn prõj p saij ta j gramma j kl sij. Allwj stere gwn a stˆn ¹ ØpÕ pleiònwn À dúo gwniîn pipšdwn periecomšnh m¾ oùsîn n tù aùtù pipšdj prõj nˆ shme J sunistamšnwn. Ευθεία κάθετη σένα επίπεδο είναι αυτή που είναι κάθετη προς όλες τις ευθείες του επιπέδου που άπτονται αυτής. Επίπεδο κάθετο σε επίπεδο είναι άλλο όταν όλες οι ευθείες του ενός επιπέδου που είναι κάθετες στην τοµή των δύο αυτών επιπέδων είναι κάθετες και στο άλλο επίπεδο. Κλίση ευθυγράµµου τµήµατος και επιπέδου είναι η γωνία η περιεχόµενη µεταξύ του ευθυγράµµου τµήµατος αυτού και αυτού που διέρχεται από το κοινό σηµείο του επιπέδου και του ευθυγράµµου τµήµατος και του ίχνους της καθέτου από το άκρο του ευθυγράµµου τµήµατος προς το επίπεδο. Κλίση επιπέδου προς επίπεδο είναι η οξεία γωνία περιεχόµενες από δύο ευθείες µε κοινή κορυφή ένα σηµείο της τοµής των δύο επιπέδων που είναι κάθετες στην τοµή αυτή και βρίσκονται σε καθένα από τα επίπεδα. Ένα επίπεδο είναι οµοιόκλιτο µε ένα άλλο όταν οι γωνίες των κλίσεων είναι ίσες µεταξύ τους. Παράλληλα επίπεδα είναι αυτά που δεν συναντιόνται. Όµοια στερεά σχήµατα είναι αυτά που περιέχονται από ίσα σε πλήθος όµοια επίπεδα σχήµατα. Ίσα και όµοια στερεά σχήµατα είναι αυτά που περιέχονται από ίσα σε πλήθος και σε µέγεθος όµοια επίπεδα σχήµατα. Στερεά γωνία είναι η σχηµατιζόµενη, από περισσότερες από δύο γραµµές που δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια επιφάνεια, προς όλες τις γραµµές κλίση. Άλλως: Στερεά γωνία είναι η γωνία που περιέχεται από περισσότερες από δύο επίπεδες γωνίες που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και συναντιόνται σε ένα σηµείο. 12. Puram j sti scáma stereõn pipšdoij Πυραµίδα λέγεται ένα στερεό σχήµα που 100

24 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη periecòmenon põ nõj pipšdou prõj nˆ shme J sunestèj. 13. Pr sma stˆ scáma stereõn pipšdoij periecòmenon, ïn dúo t penant on sa te kaˆ Ómoi sti kaˆ par llhla, t d loip parallhlògramma. 14. Sfa r stin, Ótan ¹mikukl ou menoúshj táj diamštrou perienecqn tõ ¹mikÚklion e j tõ aùtõ p lin pokatastaqí, Óqen ½rxato fšresqai, tõ perilhfqn scáma. 15. Axwn d táj sfa raj stˆn ¹ mšnousa eùqe a, perˆ n tõ ¹mikÚklion stršfetai. 16. Kšntron d táj sfa raj stˆ tõ aùtò, Ö kaˆ toà ¹mikukl ou. 17. Di metroj d táj sfa raj stˆn eùqe tij di toà kšntrou ºgmšnh kaˆ peratoumšnh f' k tera t mšrh ØpÕ táj pifane aj táj sfa raj. 18. KînÒj stin, Ótan Ñrqogwn ou trigènou menoúshj mi j pleur j tîn perˆ t¾n Ñrq¾n gwn an perienecqn tõ tr gwnon e j tõ aùtõ p lin pokatastaqí, Óqen ½rxato fšresqai, tõ perilhfqn scáma. k n mn ¹ mšnousa eùqe a sh Ï tí loipí [tí] perˆ t¾n Ñrq¾n periferomšnv, Ñrqogènioj œstai Ð kînoj, n d l ttwn, mblugènioj, n d me zwn, Ñxugènioj. 19. Axwn d toà kènou stˆn ¹ mšnousa eùqe a, perˆ n tõ tr gwnon stršfetai. 20. B sij d Ð kúkloj Ð ØpÕ táj periferomšnhj eùqe aj grafòmenoj. 21. KÚlindrÒj stin, Ótan Ñrqogwn ou parallhlogr mmou menoúshj mi j pleur j tîn perˆ t¾n Ñrq¾n gwn an perienecqn tõ parallhlògrammon e j tõ aùtõ p lin pokatastaqí, Óqen ½rxato fšresqai, tõ perilhfqn scáma. 22. Axwn d toà kul ndrou stˆn ¹ mšnousa eùqe a, perˆ n tõ arallhlògrammon stršfetai. περιέχεται από επίπεδα τα οποία άγονται από το ίδιο επίπεδο και διέρχονται από το ίδιο σηµείο Πρίσµα είναι ένα στερεό σχήµα περιεχόµενο από επίπεδα δύο από τα οποία είναι απέναντι ίσα και παράλληλα, τα υπόλοιπα δε είναι παραλληλόγραµµα. Σφαίρα είναι το σχήµα που περιλαµβάνεται όταν ένα ηµικύκλιο περιστραφεί γύρο από µια διάµετρό του που µένει σταθερή και επανέλθει στη θέση από την οποία άρχισε να κινείται. Άξονας της σφαίρας η σταθερή διάµετρος γύρω από την οποία περιεστράφει το ηµικύκλιο. Κέντρο της σφαίρα είναι το ίδιο µε αυτό του ηµικυκλίου. ιάµετρος της σφαίρας είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα που διέρχεται από το κέντρο περατούµενη και από τα δύο µέρη στην επιφάνεια της σφαίρας. Κώνος είναι το σχήµα που περιλαµβάνεται όταν ένα ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί γύρο από µια κάθετη πλευρά του που µένει σταθερή και επανέλθει στη θέση από την οποία άρχισε να κινείται. Και αν η σταθερή αυτή πλευρά είναι ίση µε την άλλη κάθετο, ο κώνος είναι ορθογώνιος, αν είναι µικρότερη αµβλυγώνιος αν δε µεγαλύτερη οξυγώνιος. Άξονας του κώνου είναι η σταθερή ευθεία γύρω από την οποία περιεστράφει ο κώνος. Βάση του κώνου είναι ο κύκλος που σχηµατίζεται από την περιφερόµενη πλευρά Κύλινδρος είναι το σχήµα που περιλαµβάνεται όταν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο περιστραφεί γύρο από µια κάθετη πλευρά του που µένει σταθερή και επανέλθει στη θέση από την οποία άρχισε να κινείται. Άξονας του κυλίνδρου είναι η σταθερή ευθεία γύρω από την οποία περιεστράφει το παραλληλόγραµµο. 23. B seij d oƒ kúkloi oƒ ØpÕ tîn Βάσεις (του κυλίνδρου) είναι οι κύκλοι που 101

25 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη penant on periagomšnwn dúo pleurîn grafòmenoi. 24. Omoioi kînoi kaˆ kúlindro e sin, ïn o te xonej kaˆ aƒ di metroi tîn b sewn n logòn e sin. 25. KÚboj stˆ scáma stereõn ØpÕ x tetragènwn swn periecòmenon. 26. 'Okt edròn sti scáma stereõn ØpÕ Ñktë trigènwn swn kaˆ sopleúrwn periecòmenon. 27. E kos edròn sti scáma stereõn ØpÕ e kosi trigènwn swn kaˆ sopleúrwn periecòmenon. 28. Dwdek edròn sti scáma stereõn ØpÕ dèdeka pentagènwn swn kaˆ sopleúrwn kaˆ sogwn wn periecòmenon. γράφονται από τις δύο περιφερόµενες πλευρές. Όµοιοι κώνοι και κύλινδροι είναι, εκείνοι των οποίων οι άξονες και οι διάµετροι των βάσεων είναι ανάλογοι. Κύβος είναι στερεό σχήµα περιεχόµενο από έξη ίσα τετράγωνα. Οκτάεδρο είναι στερεό σχήµα περιεχόµενο από οκτώ ίσα και ισόπλευρα τρίγωνα. Εικοσάεδρο είναι στερεό σχήµα περιεχόµενο από είκοσι ίσα και ισόπλευρα τρίγωνα. ωδεκάεδρο είναι στερεό σχήµα περιεχόµενο από δώδεκα ίσα ισόπλευρα και ισογώνια πεντάγωνα Πρόταση ΧΙ,1 (Θεώρηµα) EÙqe aj grammáj mšroj mšn ti oùk œstin n tù ØpokeimšnJ, pipšdj, mšroj dš ti n metewrotšrj. E g r dunatòn, eùqe aj grammáj táj ABG mšroj mšn ti tõ AB œstw n tù ØpokeimšnJ pipšdj, mšroj dš ti tõ BG n metewrotšrj. Estai d» tij tí AB sunec¾j eùqe a p' eùqe aj n tù ØpokeimšnJ pipšdj. œstw ¹ BD dúo ra eùqeiîn tîn ABG, ABD koinõn tmám stin ¹ AB Óper stˆn dúnaton, peid»per n kšntrj tù B kaˆ diast»mati tù AB kúklon gr ywmen, aƒ di metroi n souj pol»yontai toà kúklou perifere aj. EÙqe aj ra grammáj mšroj mšn ti oùk œstin n tù ØpokeimšnJ pipšdj, tõ d n metewrotšrj Óper œdei de xai. Μια ευθεία γραµµή δεν µπορεί να έχει ένα µέρος της επί ενός επιπέδου και ένα µέρος της πάνω από αυτό (εκτός). Έστω, αν αυτό είναι δυνατό, ότι ένα µέρος της γραµµής ΑΒΓ, το ΑΒ, βρίσκεται πάνω στο δοθέν επίπεδο, µέρος δε το ΒΓ πάνω από αυτό. Υπάρχει όµως µια ευθεία προέκταση της ΑΒ πάνω ότι δοθέν επίπεδο, έστω η Β. Υπάρχει άρα ένα τµήµα κοινό των δύο ευθειών ΑΒΓ και ΑΒ, το ΑΒ, το οποίο είναι αδύνατον διότι αν µε κέντρο το Β και ακτίνα το ΑΒ γράψοµε ένα κύκλο, οι διάµετροι θα αποκόψουν διαφορετικά τµήµατα περιφερειών. Άρα µια ευθεία γραµµής δεν είναι δυνατόν ένα µέρος να βρίσκεται πάνω σ ένα επίπεδο και ένα µέρος εκτός του επιπέδου αυτού. Το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί. 102

26 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη Πρόταση ΧΙ,2 (Θεώρηµα) 'E n dúo eùqe ai tšmnwsin ll»laj, n n e sin pipšdj, kaˆ p n tr gwnon n n stin pipšdj. DÚo g r eùqe ai aƒ AB, GD temnštwsan ll»laj kat tõ E shme on lšgw, Óti aƒ AB, GD n n e sin pipšdj, kaˆ p n tr gwnon n n stin pipšdj. E l»fqw g r pˆ tîn EG, EB tucònta shme a t Z, H, kaˆ pezeú-cqwsan aƒ GB, ZH, kaˆ di»cqwsan aƒ ZQ, HK lšgw prîton, Óti tõ EGB tr gwnon n n stin pipšdj. e g r sti toà EGB trigènou mšroj ½toi tõ ZQG À tõ HBK n tù ØpokeimšnJ [ pipšdj], tõ d loipõn n llj, œstai kaˆ mi j tîn EG, EB eùqeiîn mšroj mšn ti n tù ØpokeimšnJ pipšdj, tõ d n llj. e d toà EGB trigènou tõ ZGBH mšroj Ï n tù ØpokeimšnJ pipšdj, tõ d loipõn n llj, œstai kaˆ mfotšrwn tîn EG, EB eùqeiîn mšroj mšn ti n tù ØpokeimšnJ pipšdj, tõ d n llj Óper topon de cqh. tõ ra EGB tr gwnon n n stin pipšdj. n ú dš sti tõ EGB tr gwnon, n toútj kaˆ katšra tîn EG, EB, n ú d katšra tîn EG, EB, n toútj kaˆ aƒ AB, GD. aƒ AB, GD ra eùqe ai n n e sin pipšdj, kaˆ p n tr gwnon n n stin pipšdj Óper œdei de xai. Εάν δύο ευθείες τέµνονται µεταξύ τους, βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο, και κάθε τρίγωνο βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Έστω ότι δύο ευθείες οι ΑΒ και Γ τέµνονται µεταξύ τους στο σηµείο Ε. Λέγω ότι οι ΑΒ και Γ βρίσκονται σε ένα επίπεδο και κάθε τρίγωνο βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Ας έχουν ληφθεί πάνω στα ΕΓ και ΕΓ τυχόντα σηµεία τα Ζ και Η, και ας έχουν χαραχθεί τα ΓΒ και ΖΗ καθώς και τα ΖΘ και ΗΚ. Λέγω, κατά πρώτον, ότι το τρίγωνο ΕΓΒ βρίσκεται σε ένα επίπεδο. ιότι αν ένα µέρος του τριγώνου ΕΓΒ το ΖΘΓ ή το ΗΒΚ σε ένα επίπεδο το υπόλοιπο δε σε άλλο, θα είναι και ενός εκ των τµηµάτων ΕΓ, ΕΒ ένα µέρος στο υποκείµενο επίπεδο, ένα µέρος δε στο άλλο. Εάν δε το ΖΓΒΗ µέρος του τριγώνου ΕΓΒ είναι στο υποκείµενο επίπεδο, το δε υπόλοιπο σε άλλο, τότε και ένα µέρος των ευθειών ΕΓ και ΕΒ θα είναι στο υποκείµενο επίπεδο, το υπόλοιπο δε σε άλλο, το οποίο απεδείχθει άτοπο. Το τρίγωνο άρα ΕΒΓ βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Σε αυτό δε που βρίσκεται το τρίγωνο ΕΒΓ, σε αυτό είναι και κάθε µια από τις ΕΓ και ΕΒ, και σ αυτό που είναι καθεµιά από τις ΕΓ και ΕΒ σ αυτό θα είναι και οι ΑΒ και Γ. Άρα οι ευθείες ΑΒ και Γ βρίσκονται σε ένα επίπεδο, και κάθε τρίγωνο σε ένα επίπεδο βρίσκεται. Το οποίο ήταν να αποδειχθεί. 103

27 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη Πρόταση ΧΙ,3 (Θεώρηµα) 'E n dúo p peda tšmnv llhla, ¹ koin¾ aùtîn tom¾ eùqe stin. DÚo g r p peda t AB, BG temnštw llhla, koin¾ d aùtîn tom¾ œstw ¹ DB gramm» lšgw, Óti ¹ DB gramm¾ eùqe stin. E g r m», pezeúcqw põ toà D pˆ tõ B n mn tù AB pipšdj eùqe a ¹ DEB, n d tù BG pipšdj eùqe a ¹ DZB. œstai d¾ dúo eùqeiîn tîn DEB, DZB t aùt pšrata, kaˆ perišxousi dhlad¾ cwr on Óper topon. oùk ra aƒ DEB, DZB eùqe a e sin. Ðmo wj d¾ de xomen, Óti oùd llh tij põ toà D pˆ tõ B pizeugnumšnh eùqe a œstai pl¾n táj DB koináj tomáj tîn AB, BG pipšdwn. 'E n ra dúo p peda tšmnv llhla, ¹ koin¾ aùtîn tom¾ eùqe stin Óper œdei de xai. Εάν δύο επίπεδα τέµνονται µεταξύ τους, η κοινή τους τοµή είναι ευθεία. Ας τέµνονται µεταξύ τους δύο επίπεδα τα ΑΒ και ΒΓ, κοινή δε τοµή αυτών ας είναι η Β. Λέγω ότι η γραµµή Β είναι ευθεία. Καθότι αν δεν είναι, ας έχει αχθεί από το προς το Β, στο µεν επίπεδο ΑΒ η ευθεία ΕΒ, στο δε επίπεδο ΒΓ η ευθεία ΖΒ. Θα έχουν λοιπόν οι δύο ευθείες οι ΕΒ και ΖΒ τα ίδια πέρατα, και θα περιέχουν κάποιο χωρίο (περιοχή του επιπέδου, το οποίο είναι άτοπο. Άρα οι γραµµές ΕΖ και ΖΒ δεν είναι ευθείες. Με το ίδιο τρόπο λοιπόν θα δείξουµε ότι ούτε κάποια άλλη υπάρχει από τα στο Β εκτός από την κοινή τοµή Β των επιπέδων ΑΒ, ΒΓ. Εάν άρα δύο επίπεδα τέµνονται µεταξύ τους η κοινή τοµή αυτών είναι ευθεία. Το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί. Πρόταση ΧΙ,5 (Θεώρηµα) 'E n eùqe a trisˆn eùqe aij ptomšnaij ll»lwn prõj Ñrq j pˆ táj koináj tomáj pistaqí, aƒ tre j eùqe ai n n e sin pipšdj. pipšdj. EÙqe a g r tij ¹ AB trisˆn eùqe aij ta j BG, BD, BE prõj Ñrq j pˆ táj kat tõ B fáj fest tw lšgw, Óti aƒ BG, BD, BE n n e sin Εάν µια ευθεία είναι κάθετη σε τρεις τεµνόµενες µεταξύ τους ευθείες, στο κοινό σηµείο της τοµής τους, τότε οι τρεις ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ας είναι κάθετη κάποια ευθεία, η ΑΒ, σε τρεις ευθείες τις ΒΓ, Β, ΒΕ, στο σηµείο τοµής τους το Β. Λέγω ότι οι ΒΓ, Β, ΒΕ βρίσκονται σε ένα επίπεδο.. 104

28 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη Πρόταση ΧΙ,6 (Θεώρηµα) 'E n dúo eùqe ai tù aùtù pipšdj prõj Ñrq j ðsin, par llhloi œsontai aƒ eùqe ai. Εάν δύο ευθείες είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο, θα είναι παράλληλες µεταξύ τους. Πρόταση ΧΙ,7 (Θεώρηµα) 'E n ðsi dúo eùqe ai par llhloi, lhfqí d f' katšraj aùtîn tucònta shme a, ¹ pˆ t shme a pizeugnumšnh eùqe a n tù aùtù pipšdj stˆ ta j Εάν δυο ευθείς είναι παράλληλες και ληφθεί πάνω σε καθεµιά από ένα σηµείο, η ευθεία που ενώνει τα σηµεία αυτά βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε τις ευθείες. Πρόταση ΧΙ,9 (Θεώρηµα) Aƒ tí aùtí eùqe v par llhloi kaˆ m¾ oâsai aùtí n tù aùtù pipšdj kaˆ ll»laij e sˆ par llhloi. ύο ευθείες που είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία ενώ δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο µε αυτήν είναι µεταξύ τους παράλληλες. 105

29 Μερος 3 ο Τα µαθηµατικά έχουν συγκροτηθεί σε επιστήµη Πρόταση ΧΙ,11 (Πρόβληµα) 'ApÕ toà doqšntoj shme ou meteèrou pˆ tõ doqn p pedon k qeton eùqe an gramm¾n gage n. Από δοθέν σηµείο που βρίσκεται εκτός δοθέντος επιπέδου να αχθεί κάθετος προς το επίπεδο. Πρόταση ΧΙ,12 (Θεώρηµα) Tù doqšnti pipšdj põ toà prõj aùtù doqšntoj shme ou prõj Ñrq j eùqe an gramm¾n nastásai. Από δοθέν σηµείο που βρίσκεται επί δοθέντος επιπέδου να αχθεί κάθετος προς το επίπεδο. 106