ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 RLC,, εξαρτηµένες πηγές

Transcript

1 Κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ Η γενική δοµή ενός ηλεκτρικού κυκλώµατος δίνεται στο Σχ... ιακρίνουµε τα σήµατα εισόδου ή διεγέρσεις του κυκλώµατος και τα σήµατα εξόδου ή αποκρίσεις τα οποία προκύπτουν µετά την επεξεργασία των σηµάτων εισόδου από το κύκλωµα.. ιέγερση Είσοδος RLC,, Γραµµικές εξαρτηµένες πηγές Απόκριση Εξοδος Σχ.. Είναι γνωστό ότι η θεωρία των ηλεκτρικών κυκλωµάτων χωρίζεται σε δύο θεµελιώδη τµήµατα: την ανάλυση κυκλωµάτων και την σύνθεση κυκλωµάτων. Το πρόβληµα της ανάλυσης συνίσταται στο να βρεθεί η απόκριση ενός κυκλώµατος µε γνωστή τοπολογία και το οποίο διεγείρεται από γνωστά σήµατα εισόδου. Η απόκριση του κυκλώµατος προκύπτει θεωρώντας τις κλασικές µεθόδους ανάλυσης κυκλωµάτων όπως η µέθοδος των κόµβων, βρόγχων κλπ. Το πραγµατικό όµως αντικείµενο του µηχανικού είναι το πρόβληµα της σύνθεσης ή της σχεδίασης των κυκλωµάτων. Σε αυτή την περίπτωση, οι διεγέρσεις είναι γνωστές ενώ οι αποκρίσεις θέλουµε να έχουν µια συγκεκριµένη µορφή. Το πρόβληµα λοιπόν συνίσταται στο να συνθέσουµε ένα κύκλωµα το οποίο να πληρεί τις προδιαγραφές που έχουν τεθεί για τις αποκρίσεις. Η σχηµατική παράσταση των προβληµάτων της ανάλυσης και της σύνθεσης δίνεται στο Σχ.... Γνωστή ιέγερση Γνωστό Κύκλωµα Απόκριση; Γνωστή ιέγερση Κύκλωµα ; Επιθυµητή Απόκριση Σχ..(α) Σχ..(β) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων

2 Ηλεκτρικά Φίλτρα Εναι φανερό ότι το πρόβληµα της σύνθεσης είναι πολύ πιο δύσκολο από αυτό της ανάλυσης. Ενώ εκ πρώτης όψεως τα δύο αυτά προβλήµατα φαίνονται να είναι απλώς το ένα αντίστροφο του άλλου, στην πραγµατικότητα υπάρχουν πολύ βασικές διαφορές µεταξύ τους: Η ανάλυση οδηγεί, συνήθως, σε κάποια λύση. Αντίθετα, το πρόβληµα της σύνθεσης µπορεί να µην έχει καµία λύση. Η ανάλυση έχει σχεδόν πάντα µια και µοναδική λύση. Αντίθετα, η σχεδίαση ενός κυκλώµατος µπορεί να οδηγήσει σε περισσότερες από µία λύση. Για να αποφασίσουµε ποιά από τις λύσεις θα επιλέξουµε θεωρούµε µια σειρά από παράγοντες που χαρακτηρίζουν µια συγκεκριµένη εφαρµογή. Τέτοιοι παράγοντες είναι οι τιµές των στοιχείων, το κόστος κατασκευής, ευκολία ρύθµισης, ευαισθησίες του κυκλώµατος σε µεταβολές στοιχείων κτλ. Η θεωρία της ανάλυσης κυκλωµάτων χρησιµοποιεί συγκεκριµένες µεθόδους όπως τη µέθοδο κόµβων, βρόχων, εξισώσεις καταστάσεων κλπ. Αντίθετα, η σύνθεση χρησιµοποιεί µια µεγάλη ποικιλία διαφορετικών µεθόδων. Πολλές τεχνικές σχεδίασης βασίζονται σε µεθόδους δοκιµής και αποτελέσµατος. Επίσης, σηµαντικό ρόλο στην διαδικασία σχεδίασης παίζει και η εµπειρία του σχεδιαστή... ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Τα ηλεκτρικά φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ηλεκτρικών κυκλωµάτων τα οποία χαρακτηρίζονται από συναρτήσεις µεταφοράς συγκεκριµένης µορφής. Ανάλογα µε τη µορφή τους, επεξεργάζονται διαφορετικά τα σήµατα εισόδου. Τα δυο βασικά χαρακτηριστικά των φίλτρων είναι το κέρδος και η απόσβεση. Ορισµένες ζώνες συχνοτήτων του σήµατος εισόδου διατηρούνται ή ενισχύονται στην έξοδο του φίλτρου, οπότε για τις συχνότητες αυτές έχουµε κέρδος. Άλλες ζώνες συχνοτήτων όµως συµπιέζονται ή απαλλείφονται τελείως στην έξοδο, οπότε γι αυτές τις συχνότητες έχουµε απόσβεση. Τα ηλεκτρικά φίλτρα µπορεί να υλοποιηθούν µε διάφορους τρόπους. Ανάλογα µε την µορφή υλοποίησης διακρίνουµε τους παρακάτω τύπους φίλτρων Παθητικά φίλτρα Ενεργά φίλτρα RC Φίλτρα διακοπτικών πυκνωτών (Switchedcapacitor filter) Ψηφιακά φίλτρα Τα παθητικά φίλτρα υλοποιούνται µε παθητικά και µόνο στοιχεία, δηλαδή αντιστάσεις (R ), Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων

3 Κεφάλαιο πυκνωτές (C ), και πηνία (L ). Τα φίλτρα αυτά είναι τα πρώτα που αναπτύχθηκαν στην δεκαετία του 930 και χρησιµοποιούνται ακόµα για ορισµένες περιοχές συχνοτήτων. Τα ενεργά φίλτρα είναι µια νεώτερη γενιά φίλτρων. Τα φίλτρα αυτά αποτελούνται απο αντιστάσεις και πυκνωτές και χρησιµοποιούν τελεστικούς ενισχυτές για να υλοποιήσουν τις εξαρτηµένες πηγές. Τα ενεργά φίλτρα εµφανίσθηκαν κυρίως µετά την δεκαετία του 970 οπότε άρχισε η µεγάλη ανάπτυξη των τελεστικών ενισχυτών. Τέτοια φίλτρα κατασκευάζονται ήδη µε την τεχνολογία των υβριδικών ολοκληρωµένων κυκλωµάτων. Αντικείµενο αυτών των σηµειώσεων είναι η κυκλωµατική µελέτη και µέθοδοι σχεδίασης ενεργών φίλτρων RC. Ακόµα νεώτερες γενιές φίλτρων είναι τα φίλτρα διακοπτικών πυκνωτών και τα ψηφιακά φίλτρα. Τα φίλτρα διακοπτικών πυκνωτών χρησιµοποιούν πυκνωτές και MOS διακόπτες. Τα ψηφιακά φίλτρα υλοποιούνται µε ειδικούς ψηφιακούς επεξεργαστές. Θεωρώντας τα παθητικά φίλτρα και τα ενεργά φίλτρα RC RC, τίθεται το ερώτηµα µε ποιό κριτήριο θα αποφασίσουµε αν θα χρησιµοποιήσουµε τον ένα ή τον άλλο τύπο φίλτρου. Για να καταλήξουµε σε ένα συγκεκριµένο τύπο φίλτρου πρέπει να λάβουµε υπόψη µας τους παρακάτω παράγοντες: Περιοχή συχνοτήτων λειτουργίας. Βάρος, κόστος και ευκολία κατασκευής. Ευαισθησίες του φίλτρου σε µεταβολές στοιχείων και ευστάθεια. Τροφοδοσίες των τελεστικών ενισχυτών. Με βάση τους παράγοντες αυτούς, µερικά απο τα πλεονεκτήµατα των ενεργών φίλτρων σχέση µε τα παθητικά φίλτρα είναι τα ακόλουθα: Μικρότερο κόστος και βάρος Μεγαλύτερη αξιοπιστία και απόδοση Τα ενεργά φίλτρα και τα ψηφιακά κυκλώµατα µπορούν να κατασκευασθούν στο ίδιο chip Τα ενεργά φίλτρα παράγουν κέρδος Η ρύθµιση των ενεργών φίλτρων είναι εύκολη Τα ενεργά φίλτρα µπορούν να υλοποιούν µεγάλη ποικιλία αποκρίσεων συχνότητας. RC σε Από την άλλη µεριά, τα πλεονεκτήµατα των παθητικών φίλτρων σε σχέση µε τα ενεργά φίλτρα RC είναι ταακόλουθα: Τα ενεργά φίλτρα RC χρησιµοποιούνται για χαµηλότερες περιοχές συχνοτήτων απο αυτές των παθητικών φίλτρων. Μια σύγκριση των περιοχών λειτουργίας των φίλτρων δίνονται στο Σχ..3. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 3

4 Ηλεκτρικά Φίλτρα Από το διάγραµµα αυτό προκύπτει ότι τα ενεργά φίλτρα χρησιµοποιούνται το πολύ µέχρι 0 MHz. Αυτό συµβαίνει λόγω του περιορισµένου εύρους ζώνης των τελεστικών ενισχυτών. Για υψηλότερες συχνότητες και µέχρι 00 MHz χρησιµοποιούνται τα παθητικά φίλτρα. Για συχνότητες τέλος κοντά στην µικροκυµατική περιοχή χρησιµοποιούνται µόνο κατανεµηµένα φίλτρα, κυµατοδηγοί ή φίλτρα οµοαξονικών αγωγών. Τα παθητικά φίλτρα έχουν µικρότερες ευαισθησίες σε µεταβολές στοιχείων απ ότι τα ενεργά φίλτρα. Αυτό είναι το βασικότερο ίσως πλεονέκτηµα των παθητικών σε σχέση µε τα ενεργά φίλτρα RC. Τα ενεργά φίλτρα χρειάζονται τροφοδοσία για τους ενισχυτές τους, ενώ τα παθητικά φίλτρα από τη φύση τους δεν έχουν τροφοδοσία. Η τροφοδοσία αυτή κυµαίνεται συνήθως από ± 5V. ± 5V µέχρι Αναλογικά φίλτρα RC Παθητικά φίλτρα RLC Κυµατοδηγοί Hz Σχ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε µερικές βασικές έννοιες που αφορούν τις συναρτήσεις µεταφοράς. Οι συναρτήσεις µεταφοράς αποτελούν ένα πολύ σηµαντικό εργαλείο στην µελέτη της συµπεριφοράς των ηλεκτρικών κυκλωµάτων και ιδιαίτερα των φίλτρων. Τα ηλεκτρικά κυκλώµατα που εξετάζουµε περιέχουν γραµµικά και χρονικά αµετάβλητα στοιχεία R, L, C και γραµµικές εξαρτηµένες πηγές. Θεωρούµε επίσης, ότι τα στοιχεία του κυκλώµατος έχουν µηδενικες αρχικές καταστάσεις. Η συνάρτηση µεταφοράς T (s) ορίζεται σαν ο λόγος της απόκρισης του κυκλώµατος Υ (s) (έξοδος) προς την διέγερση του κυκλώµατος, X() s (είσοδος): Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 4

5 Κεφάλαιο Εποµένως, Y () s T() s = () X() s Υ ( s) = T ( s) X ( s) () όπου X() s, Υ () s είναι οι Μ/Σ Laplace εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. Η T (s)µπορεί να περιγραφεί σαν λόγος δύο ρητών πολυωνύµων του s ως εξής: N() s a s... as a Τ () s = = Ds () b s... bs b 0 0 (3) Οι συντελεστές αριθµοί και s i, bi α των πολυωνύµων του αριθµητή και του παρονοµαστή είναι πραγµατικοί είναι η µιγαδική συχνότητα της µορφής: s = σ j ω (4) Αν τα πολυώνυµα N(), s D() s περιγραφούν συναρτήσει των ριζών τους ή T (s) παίρνει την παρακάτω µορφή η οποία είναι γνωστή σαν µορφή πόλωνµηδενικών: ( Τ s H s z )...( s z ) () = ( s p )...( s p ) a, H = (5) b όπου z, z,..., z είναι τα µηδενικά και p, p,..., p είναι οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς. Τα µηδενικά, είναι οι ρίζες του N() s και είναι οι τιµές του s για τις οποίες η z i T() s µηδενίζεται. Οι πόλοι, είναι οι ρίζες του Ds () και είναι οι τιµές του s για τις οποίες η T () s απειρίζεται. p i Οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς λέγονται και φυσικές ή χαρακτηριστικές συχνότητες και το πολυώνυµο Ds () του παρονοµαστή λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο. Στη γενική περίπτωση, οι πόλοι του συστήµατος καθορίζονται από το ελεύθερο (χωρίς ανεξάρτητες πηγές) κύκλωµα και δεν εξαρτώνται από την θέση της διέγερσης στο κύκλωµα. Κατά συνέπεια, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι το ίδιο για όλες τις συναρτήσεις µεταφοράς του συστήµατος. Είναι γνωστό ότι η απόκριση ενός φυσικού συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς T() s, µπορεί να θεωρηθεί σαν υπέρθεση δύο µορφών απόκρισης, της φυσικής απόκρισης και της εξαναγκασµένης απόκρισης. Η φυσική απόκριση οφείλεται στους πόλους του φυσικού συστήµατος (πόλοι της T() s ), ενώ η εξαναγκασµένη απόκριση καθορίζεται από τους πόλους της διέγερσης (πόλοι της X (s) ). Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 5

6 Συναρτήσεις Μεταφοράς Για να είναι ένα σύστηµα ευσταθές θα πρέπει οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς να κείνται στο αριστερό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού χώρου (LHP). Σ αυτήν την περίπτωση, η φυσική απόκριση στο χρόνο είναι υπέρθεση εκθετικά αποσβενυµένων όρων. Αυτό που µένει από την απόκριση του συστήµατος, µετά την σταδιακή απόσβεση της φυσικής απόκρισης, είναι οι όροι της εξαναγκασµένης απόκρισης. Οι πόλοι και τα µηδενικά µπορεί να είναι πεπερασµένα αλλά µπορεί να κείνται και στο άπειρο. Η µορφή της T() s για s είναι Τ s a = s (6) b () s Αν > τότε η T() s έχει ( ) πόλους στο άπειρο. Αν < τότε η T() s έχει ( ) µηδενικά στο άπειρο. Αν = τότε η T() s δεν έχει ούτε πόλους ούτε µηδενικά στο άπειρο. Γενικά, αν συµπεριλάβουµε τους πόλους και τα µηδενικά στο άπειρο, ο αριθµός των πόλων µιάς συνάρτησης µεταφοράς ισούται µε τον αριθµό των µηδενικών της..4 ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ ΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Είναι ιδιαίτερα σηµαντικό για την περίπτωση των φίλτρων να διαπιστώσουµε το πως αποκρίνεται ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς T() s όταν διεγείρεται απο µια ηµιτονοειδή πηγή µεταβλητής συχνότητας. Να υπενθυµήσουµε εδώ, ότι σύµφωνα µε την ανάλυση Fourier, κάθε σήµα µπορεί να θεωρηθεί σαν υπέρθεση συχνοτήτων µε συγκεκριµένα πλάτη και φάσεις. Η απόκριση µόνιµης κατάστασης σε ηµιτονοειδή διέγερση ή εν συντοµία απόκριση συχνότητας, καθορίζεται από την T() s για s = j ω. Σ αυτή την περίπτωση έχουµε: Τ ( jω) = Τ ( jω) arg θ ( jω) (7) Τ όπου Τ ( jω) είναι η συνάρτηση πλάτους και θ Τ ( jω) είναι η συνάρτηση φάσης της συνάρτησης µεταφοράς. Από την () για s = j ω προκύτπει ότι Υ ( jω) = T( jω) X( jω) (8) Αν θεωρήσουµε σαν είσοδο το σήµα x( t) = A cos( ω t φ) (9) τότε ο εξαναγκασµένος όρος της απόκρισης ή η ηµιτονοειδής απόκριση µόνιµης κατάστασης είναι (Σχ..4) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 6

7 Κεφάλαιο yt ( ) = A T( jω) cos( ωt φ θ ( j ω) ) (0) T Α xt () T(s) yt () cos ( ω t φ ) Α T ( jω) cos ( ω t φ θt ( jω) ) Σχ..4 Η απόκριση συχνότητας εξαρτάται από την µορφή της Τ ( jω). Η T (s) επηρεάζει το σήµα εισόδου µε δύο τρόπους. Το πλάτος Τ ( jω) επηρεάζει το πλάτος της ηµιτονοειδούς πηγής εισόδου, ενώ η φάση θ jω καθορίζει πως µεταβάλλεται η φάση του σήµατος εισόδου. Τ ( ) Εποµένως, η απόκριση συχνότητας καθορίζεται από την µορφή της συνάρτησης πλάτους ) Τ ( jω και της συνάρτησης φάσης θ Τ ( jω). Οι συναρτήσεις πλάτους και φάσης σχεδιάζονται στο πεδίο της συχνότητας και οι καµπύλες αυτές χαρακτηρίζουν την απόκριση συχνότητας του συστήµατος. Μια γεωµετρική ερµηνεία των συναρτήσεων πλάτους και φάσης µπορεί να δοθεί θεωρώντας το διάγραµµα πόλων και µηδενικών στο µιγαδικό πεδίοs. Από την (5) για s = j ω έχουµε T( jω) = Η ( jω z )...( jω z ) ( jω p )...( jω p ) () Θεωρούµε τους όρους jω s ) όπου µπορεί να είναι είτε ένας πόλος (s p ) είτε ένα ( i µηδενικό (s ). Στην γενική περίπτωση, το είναι µια µιγαδική ποσότητα και εκφράζεται ως εξής: s i i = z i i i s i s i = a j β () i = i Οι όροι (jω s i ) είναι δυνατόν να τεθούν στην µορφή: όπου jθ ( jω s ) = M e i i i (3) και i i i Μ = { a ( ω β ) } / θ i i (4) ω βi = ta (5) a Εποµένως, ο όρος (jω ) αντιστοιχεί σε ένα διάνυσµα από το z i στο j ω, µε µέτρο και z i M zi φάση θ z i σε σχέση µε µε τον θετικό πραγµατικό άξονα. Επίσης, ο όρος ( jω p i ) αντιστοιχεί σε Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 7

8 Ηµιτονοειδής Απόκριση Συχνότητας ένα διάνυσµα από το στο jω, µε µέτρο και φάση p i M pi θ p i όπως φαίνεται στο Σχ..5. Η () γίνεται ή jθzi j Μ ze... Mz e θ Τ ( jω) = j pi j M e θ... M e θ p p z p Mz... Mz Τ ( jω) = T ( j Mp... Mp e j j j = ω) e j j θzi... θz jθp... θp θτ( ω) (6) j I Mz jω z θ z Mp θ p p Re Σχ..5 Όπως ήδη αναφέραµε, οι βασικές διεργασίες ενός ηλεκτρικού φίλτρου είναι το κέρδος και η απόσβεση. Κέρδος έχουµε όταν οι συχνότητες µιας ζώνης του σήµατος εισόδου διατηρούνται ή και ενισχύονται. Σ αυτή την περίπτωση, έχουµε Τ ( jω). Αντίθετα, απόσβεση έχουµε όταν ορισµένες ζώνες συχνοτήτων του σήµατος εισόδου συµπιέζονται ή απορρίπτονται τελείως στην έξοδο, δηλαδή Τ ( jω) <. Είναι πολύ σηµαντικό να διακρίνουµε το κέρδος και την απόσβεση όπως εκφράζονται σε db (decibel). Το κέρδος Α σε db, ορίζεται ως εξής: A ( ω) = 0 log T ( jω) ( db ), Τ ( jω) (7) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 8

9 Κεφάλαιο Επίσης, ορίζουµε την απόσβεση αω ( ), σε db ως εξής: a ( ω) = 0 log T ( jω) ( db ), Τ ( jω) < (8) Το αρνητικό πρόσηµο στην (8) εισάγεται έτσι ώστε η απόσβεση να είναι θετική όταν το φίλτρο εισάγει απόσβεση ( Τ < ). Από την (8), η συνάρτηση πλάτους Τ ( jω) εκφράζεται συναρτήσει της απόσβεσης ως εξής 0 Τ ( jω ) = 0 α / (9) Οµοίως, από την (7) έχουµε: Τ ( jω) Αω ( )/0 = 0 (0) Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να εξετάσουµε µερικές πολύ βασικές τιµές απόσβεσης σε τις αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης πλάτους. Από την (0) έχουµε: Απόσβεση db αντιστοιχεί σε 0% µείωση του Τ (από.0 στο 0.89) Απόσβεση db αντιστοιχεί σε 0% µείωση του Τ (από.0 στο 0.794) Απόσβεση 3 db αντιστοιχεί σε 30% µείωση του Τ (από.0 στο 0.707) Απόσβεση 6 db αντιστοιχεί σε 50% µείωση του Τ (από.0 στο 0.50) db και.5 ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Όπως σηµειώσαµε προηγούµενα, τα διαγράµµατα πλάτους και φάσης συναρτήσει της συχνότητας είναι ένα πολύ σηµαντικό εργαλείο για να ανιχνεύσουµε τις ιδιότητες µιας συνάρτησης συστήµατος Τ () s και κατά συνέπεια του ηλεκτρικού κυκλώµατος που αντιστοιχεί. Από την () έχουµε: Τ j H z... z ( ω) = p... p jω jω... z z jω jω... p p () Η συνάρτηση κέρδους σε db είναι Α( ω) = 0 log T( jω) ή η( ω ) = 0 log K 0 log jω... 0 log z jω jω jω 0 log... 0 log z p p () Επίσης, από την () η συνάρτηση φάσης είναι: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9

10 ιαγράµµατα Bode θ ( jω) = 0 Τ o ή 80 ta ω ( )... ta z ω ( ) ta z ω ( )... ta p ω ( ) p (3) Ο ακριβής υπολογισµός των συναρτήσεων πλάτους και φάσης από τις () και (3) είναι µια πολύ επίπονη διαδικασία. Πολλές φορές, µια προσεγγιστική παράσταση του πλάτους και της φάσης είναι αρκετή για να µας δώσει την πληροφορία που χρειαζόµαστε. Οι προσεγγιστικές παραστάσεις πλάτους και φάσης συναρτήσει της συχνότητας λέγονται διαγράµµατα Bode. Τα διαγράµµατα αυτά µπορούν να δηµιουργηθούν µε σχετική ευκολία ακολουθώντας ορισµένους πολύ βασικούς κανόνες. Το πλάτος εκφράζεται σε Από την () προκύπτει ότι η συνάρτηση πλάτους σε db ενώ η συχνότητα χαράσσεται σε λογαριθµική κλίµακα. έχει διασπασθεί σε ένα άθροισµα απλών όρων που αντιστοιχούν στους πόλους και τα µηδενικά. Παρόµοια µορφή έχει και η φάση θ Τ ( jω) όπως φαίνεται από την (3). Εποµένως, το συνολικό διάγραµµα Bode πλάτους και φάσης ανάγεται στην µελέτη διαγραµµάτων των επί µέρους όρων όπως φαίνεται στην συνέχεια. db.5. ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΟΡΟΣ Κ Η συνάρτηση πλάτους είναι Α ο = 0log K, είναι δε θετική για Κ > και αρνητική για Κ <. Η φάση είναι 0 ο για Κ>0 και 80 ο για Κ<0. Το διάγραµµα του σταθερού όρου συναρτήσει της συχνότητας δίνεται στο Σχ ΡΙΖΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Στην περίπτωση αυτή υπάρχει ένας πόλος ή ένα µηδενικό στην αρχή των αξόνων s i = 0 που αντιστοιχεί σε ένα όρο j ω στον αριθµητή ή τον παρανοµαστή της (). Στην () οι όροι που αντιστοιχούν είναι της µορφής Α ± = 0 log jω (4) όπου το πρόσηµο () αντιστοιχεί σε ένα µηδενικό στο µηδέν και το πρόσηµο () αντιστοιχεί σε ένα πόλο στο µηδέν. Η φάση του όρου αυτού είναι 90 ο για το µηδενικό και 90 ο για τον πόλο. Το διάγραµµα πλάτους Α, δίνεται στο Σχ..7. Από το Σχ..7 είναι φανερό ότι το κέρδος είναι 0dB για ω = ( rad / sec). Επίσης, η κλίση της ευθείας είναι 6 db/oct ή 0 db/dec για το µηδενικό και 6dB/Oct ή 0 db/dec για τον πόλο. Στην περίπτωση πόλου ή µηδενικού στο µηδέν µε πολλαπλότητα ή έχουµε τον όρο: ± [ jω ] 0 log (5) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 0

11 Κεφάλαιο Από την (5) προκύπτει ότι το σηµείο 0dB συµβαίνει πάλι για ω= και ότι οι κλίσεις για το µηδενικό και τον πόλο είναι Να υπενθυµίσουµε εδώ οτι: ± 6dB / Oct ή ± 0dB / dec, αντίστοιχα. Αν για δύο συχνότητες ω και ω ισχύει ω = ω τότε οι δύο συχνότητες λέµε ότι χωρίζονται από µια οκτάβα (Octave). Αν ισχύει ω = 0ω τότε λέµε ότι οι συχνότητες χωρίζονται από µια δεκάδα (Decade). A ( 0 db ) 0log K K > 0 db 0 o ω 0 db 0log K K < 0 o 80 ω Σχ..6 0 db 0log( ω) Μηδενικό στο s=0 M(ω) (db) 0 db ω 0 0log( ω) Πόλος στο s=0 Σχ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ Στην περίπτωση που έχουµε ένα πραγµατικό και αρνητικό µηδενικό ή πόλο, στην () εµφανίζεται ένας όρος της µορφής s, όπου σ ι είναι η θέση της ρίζας στον πραγµατικό σ i άξονα. Ο παράγοντας αυτός αντιστοιχεί στην () σε έναν όρο της µορφής: A 3 j =0 log ω (6) σ i ± Για µικρές τιµές του ω, δηλαδή για χαµηλές συχνότητες, ο όρος A 3 προσεγγίζεται από την ασύµπτωτο 0 log( ) = 0 db. Η φάση για τις συχνότητες αυτές είναι 0 ο. Για µεγάλες τιµές του ω, Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων

12 ιαγράµµατα Bode δηλαδή για υψηλές συχνότητες, ο όρος ω ± 0 log (db) σ i A 3 προσεγγίζεται από την ασύµπτωτο: όπου το πρόσηµο () αντιστοιχεί στο µηδενικό και το πρόσηµο () αντιστοιχεί στον πόλο. Η φάση για τις συχνότητες αυτές προσεγγιστικά είναι 90 ο για το µηδενικό και 90 ο για τον πόλο. Τα διαγράµµατα της πραγµατικής και προσεγγιστικής παράστασης του όρου Α 3 δίνεται στο Σχ..8. Η κλίση των ασυµπτότων είναι 0dB/dec (6dB/Oct) για το µηδενικό και 0dB/dec (6dB/Oct) για τον πόλο. Επίσης η ασύµπτωτος τέµνει τον πραγµατικό άξονα στην συχνότητα σ i η οποία λέγεται και συχνότητα θλάσης (brea frequecy). Τα διαγράµµατα φάσης δίνονται στο Σχ..9. Η φάση στην συχνότητα θλάσης είναι o ± 45. Επίσης, η κλίση της ασυµπτώτου στο διάγραµµα φάσης είναι 45 ο /dec για το µηδενικό και 45 ο /dec για τον πόλο. Σχ..8 Σχ ΣΥΖΗΓΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ Ο όρος που αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος µιγαδικών µηδενικών ή πόλων είναι της µορφής: s s ω r Qω r ± (7) όπου είναι η συχνότητα συντονισµού (µέτρο των ριζών) και Q ο συντελεστής ποιότητας του ω r ζεύγους των ριζών. Στην () o όρος A 4 που αντιστοιχεί περιγράφεται ως εξής: A 4 = 0 log ω ω r j ω Qω r ± (8) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων

13 Κεφάλαιο Για πολύ χαµηλές συχνότητες η ασύµπτωτος είναι 0 log() = 0dB. Η αντίστοιχη φάση για τις συχνότητες αυτές είναι 0 ο. Για µεγάλες συχνότητες, η ασύµπτωτος της A 4 είναι: ± 0 log ω ω r Από την (9) προκύπτει ότι η ασύµπτωτος έχει κλίση (9) ± db / Oct ή ± 40dB / dec και τέµνει τον άξονα 0dB στην συχνότητα συντονισµού ω r. Στο Σχ..0 δίνονται οι πραγµατικές και οι προσεγγιστικές παραστάσεις πλάτους του διαγράµµατος Bode, θεωρώντας ότι οι ρίζες είναι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς. Για την συχνότητα συντονισµού ω r το πλάτος είναι ± 0 log (30) Q Για µεγάλες συχνότητες ω η φάση είναι 80 ο για τα µηδενικά και 80 ο για τους πόλους. Τα διαγράµµατα φάσης για την περίπτωση µιγαδικών πόλων δίνονται στο Σχ.., για διάφορες τιµές του Q. Σχ..0 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 3

14 ιαγράµµατα Bode Σχ.. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 4

15 Κεφάλαιο.6 ΤΥΠΟΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Τα ηλεκτρικά φίλτρα ταξινοµούνται ανάλογα µε την συµπεριφορά της απόκρισης σε ορισµένες ζώνες συχνοτήτων και συγκεκριµένα στις ζώνες διόδου και τις ζώνες αποκοπής. Στην ιδανική περίπτωση η ζώνη διόδου χαρακτηρίζεται από πλάτος απόκρισης T ( jω) = και απόσβεση a ( ω ) = 0 ( db), ενώ η ζώνη αποκοπής χαρακτηρίζεται από πλάτος απόκρισης T ( jω) = 0 και απόσβεση a( ω ) = ( db). T ( jω) Ιδεατό κατωδιαβατό φίλτρο T ( jω) Ιδεατό ανωδιαβατό φίλτρο Ζώνη διόδου Ζώνη αποκοπής Ζώνη αποκοπής Ζώνη διόδου ω 0 ω ω 0 ω (α) (β) T ( jω) Ιδεατό ζωνοδιαβατό φίλτρο T ( jω) Ιδεατό ζωνοφρακτικό φίλτρο Ζώνη αποκοπής Ζώνη διόδου Ζώνη αποκοπής Ζώνη διόδου Ζώνη αποκοπής Ζώνη διόδου ω 0 ω ω 0 ω (γ) Σχ.. (δ) Με βάση την κατανοµή των ζωνών διόδου και αποκοπής στον άξονα των συχνοτήτων, διακρίνουµε τους παρακάτω τύπους ιδανικών φίλτρων, όπως φαινετα ι στο Σχ..: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 5

16 Τύποι Ηλεκτρικών Φίλτρων Κατωδιαβατό φίλτρο ή φίλτρο LP(Lowpass) (Σχ..(α)). Στην περίπτωση αυτή η ζώνη διόδου εκτείνεται από το dc (χαµηλές συχνότητες) µέχρι την συχνότητα ω 0, η οποία είναι θεωρείται σαν συχνότητα αποκοπής. Ανωδιαβατό φίλτρο ή φίλτρο ΗP(Highpass) (Σχ..(β)). Το ανωδιαβατό φίλτρο είναι συµπληρωµατικό του κατωδιαβατού φίλτρου. Στην περίπτωση αυτή, η ζώνη αποκοπής εκτείνεται από 0 µέχρις ω 0, ενώ η ζώνη διόδου από ω 0 µέχρι. Ζωνοδιαβατό φίλτρο ή φίλτρο ΒΡ(Badpass) (Σχ..(γ)). Στην περίπτωση αυτή, η ζώνη διόδου εκτείνεται από ω µέχρις ω, ενώ όλες οι άλλες συχνότητες αποσβένυνται. Ζωνοφρακτικό φίλτρο ή φίλτρο ΒΕ(BadEliiatio) (Σχ..(δ)). Το φίλτρο αυτό είναι συµπληρωµατικό του ζωνοδιαβατού φίλτρου. Εδώ η ζώνη αποκοπής εκτείνεται από ω µέχρις ω, ενώ όλες οι άλλες συχνότητες περνούν χωρία απόσβεση. Ολοδιαβατό φίλτρο ή φίλτρο ΑΡ(Allpass). Στην περίπτωση αυτή, όλες οι συχνότητες περνούν χωρίς παραµόρφωση πλάτους. Οι ιδεατές µορφές φίλτρων του Σχ.. είναι αδύνατον να υλοποιηθούν µε ένα πεπερασµένο αριθµό στοιχείων. Αντίθετα, αυτό που είναι δυνατόν να πετύχουµε είναι κάποιες ρεαλιστικές παραστάσεις χαρακτηριστικών απόκρισης που αντιστοιχούν στους τέσσερις πρώτους τύπους φίλτρων όπως φαίνεται στο Σχ..3. Πολύ συχνά κατά την διαδικασία σχεδίασης φίλτρων αντί για το πλάτος T ( jω) χρησιµοποιούµε τα χαρακτηριστικά απόσβεσης. Γι αυτό τον λόγο ορίζουµε τα παρακάτω µεγέθη: Ζώνη διόδου(passbad): περιοχή συχνοτήτων όπου η απόσβεση είναι µικρότερη από µια µέγιστη τιµή a. ax Ζώνη αποκοπής(stopbad): περιοχή συχνοτήτων όπου η απόσβεση είναι µικρότερη από την τιµή α i Ζώνη µετάβασης(trasitiobad): περιοχή συχνοτήτων ανάµεσα σε ζώνες διόδου και αποκοπής. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 6

17 Κεφάλαιο Απόκριση πραγµατικού κατωδιαβατού φίλτρου Απόκριση πραγµατικού ανωδιαβατού φίλτρου T ( jω) T ( jω) (α) ω (β) ω T ( jω) Απόκριση πραγµατικού ζωνοδιαβατού φίλτρου T ( jω) Απόκριση πραγµατικού ζωνοφρακτικού φίλτρου (γ) ω (δ) ω Σχ..3 Με βάση τους παραπάνω ορισµούς, οι βασικοί τύποι φίλτρων προδιαγράφονται όπως φαίνεται στο Σχ..4. Στο κατωδιάβατο φίλτρο του Σχ..4(α) για παράδειγµα έχουµε: Στην ζώνη διόδου ( 0 ω p ) έχουµε a < aax, στην ζώνη αποκοπής (ω s ) έχουµε a > a i, ενώ η ζώνη µετάβασης εκτείνεται στην περιοχή ( ω p ω ). Οι προδιαγραφές του κατωδιαβατού φίλτρου περιγράφονται από το σύνολο των παραµέτρων ( αax, αi, ωp, ωs). Εποµένως, το πρόβληµα της σχεδίασης τίθεται ως εξής: Ζητείται να βρεθεί µια χαρακτηριστική απόσβεσης και η αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς έτσι ώστε να πληρούνται οι προδιαγραφές ( α, α, ω, ω ). ax i p s Παρόµοιες προδιαγραφές και προτάσεις σχεδίασης ισχύουν και για τις άλλες µορφές φίλτρων, Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 7 s

18 Τύποι Ηλεκτρικών Φίλτρων όπως φαίνεται στο Σχ..4. Στο Σχ..5 δίνονται οι αποκρίσεις απόσβεσης για ένα κατωδιαβατό και ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο. Στο κατωδιαβατό φίλτρο, η συχνότητα ω 0 ή ω hp αντιστοιχεί στη συχνότητα ηµίσειας ισχύος, όπου a Τ ( ω 0 ) = 3dB και T ( jω o ) = = Η συχνότητα ω 0 καθορίζει επίσης και το εύρος ζώνης 3dB (3dB Badwidth 3dB BW ) της χαρακτηριστικής απόκρισης του φίλτρου. Επίσης σηµειώνονται η συχνότητα διόδου (pass frequecy) ω καθώς και η συχνότητα αποκοπής (stop frequecy) οι οποίες καθορίζουν τις ζώνες διόδου και αποκοπής αντίστοιχα. Με παρόµοιο τρόπο στο ζωνοδιαβατό φίλτρο του Σχ..5(β) οι συχνότητες ω και ω καθορίζουν την ζώνη διόδου, ενώ οι συχνότητες ω 3 και ω 4 καθορίζουν τις ζώνες αποκοπής. Στην ζώνη διόδου το όριο απόσβεσης είναι a το οποίο είναι γενικά πολύ µικρότερο από τα 3dB τα οποία ορίζουν το εύρος ζώνης BW. ax p ω s Σχ..4 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 8

19 Κεφάλαιο Σχ..5.7 ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ Η κλιµακοποίηση αποτελεί ένα πολύ σηµαντικό εργαλείο στην διαδικασία σχεδίασης των ηλεκτρικών φίλτρων. Σε γενικές γραµµές, η σχεδίαση των φίλτρων ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: Σε πρώτη φάση, µε βάση τις εξισώσεις σχεδίασης υπολογίζονται τα κανονικοποιηµένα στοιχεία των φίλτρων. Οι τιµές αυτές είναι απλές και διευκολύνουν σε µεγάλο βαθµό την επιλογή των στοιχείων. Στην συνέχεια, αφού υπολογισθούν οι τιµές όλων των στοιχείων της διάταξης, χρησιµοποιούµε την τεχνική της κλιµακοποίησης για να πετύχουµε τις τιµές συχνοτήτων που απαιτούνται καθώς και τιµές στοιχείων πρακτικά υλοποιήσιµες. Γενικά, διακρίνουµε τρία είδη κλιµακοποίησης: Κλιµακοποίηση πλάτους, Κλιµακοποίηση συχνότητας, Κλιµακοποίηση χρόνου και χρονικής καθυστέρησης. Θεωρούµε το κλιµακωτό τετράπολο του Σχ..6. Η συνάρτηση µεταφοράς του τετραπόλου είναι: V s T() s = () V () (3) s Για s = jω έχουµε: V ( jω) Τ ( s) = = T ( jω) argθ ( jω) (3) V ( jω) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9

20 Κλιµακοποίηση I( s) I( s) V( s) V( s) Σχ..6 Αν θεωρήσουµε κάθε τµήµα του κυκλώµατος στο Σχ..6 ξεχωριστά, καταλήγουµε στα στοιχειώδη δίπολα του Σχ..7, τα οποία χαρακτηρίζονται από την σύνθετη αντίσταση εισόδου: V( jω) Ζ ( jω) = I( jω) (33) ή την σύνθετη αγωγιµότητα εισόδου: I( jω) Y ( jω) = V( jω) (34) V() s Is () Z( jω) Σχ..7 Οι σύνθετες αντιστάσεις και αγωγιµότητες των στοιχείων R, L, C είναι: Z R = R, Z L = j ω L, Z C = jωc (35) και Υ R = G, Y L = jωl, Y L = j ω C (36) Στην συνέχεια, θα εξετάσουµε τις έννοιες της διαστολής και της συµπίεσης της συχνότητας ή του χρόνου. Αν γίνουν οι παρακάτω αντικαταστάσεις x( t) x ( t) ή X ( jω) X ( j ω) (37) και γενικά X ( s) X ( s), > Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 0

21 Κεφάλαιο τότε θεωρούµε ότι τα x (t) και X ( jω) έχουν συµπιεσθεί στο χρόνο ή την συχνότητα, αντίστοιχα, µε ένα συντελεστή. Οµοίως, άν γίνουν οι αντικαταστάσεις ή και γενικά x( t) x ( t / ) X ( jω) X ( jω / ) (38) X ( s) X ( s / ), > τότε θεωρούµε ότι τα x (t) και X ( jω) έχουν διασταλεί ως προς το χρόνο και την συχνότητα, αντίστοιχα, µε ένα συντελεστή..7.. ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ Για να κλιµακοποιήσουµε το πλάτος της σύνθετης αντίστασης Z ( jω) µε έναν συντελεστή, αλλάζουµε απλώς το πλάτος της σύνθετης αντίστασης κάθε στοιχείου του κυκλώµατος µε τον ίδιο συντελεστή. Οι σύνθετες αντιστάσεις των στοιχείων R, L, C γίνονται: Z R = R, Z L = ω L, Z C = ω C / (39) Τα καινούργια στοιχεία που προκύπτουν δίνονται ως εξής: R = R o L = L o (40) C = C o όπου,, C είναι τα αρχικά στοιχεία και R, L, C είναι τα νέα στοιχεία που προκύπτουν R0 L0 0 µετά την κλιµακοποίηση. Η νέα σύνθετη αντίσταση Z ( jω) η οποία περιλαµβάνει τα στοιχεία, L, C είναι: Z ( jω) = Z o ( jω) (4) R όπου Z ( j ) 0 ω είναι η σύνθετη αντίσταση η οποία περλαµβάνει τα στοιχεία,,. Όταν R 0 L 0 C 0 > τότε λέµε ότι η σύνθετη αντίσταση κλιµακοποιείται προς τα πάνω. Όταν <, τότε λέµε ότι η σύνθετη αντίσταση κλιµακοποιείται προς τα κάτω. Η σταθερά λέγεται σταθερά κλιµακοποίησης πλάτους. Ένα παράδειγµα κλιµακοποίησης πλάτους σύνθετης αντίστασης δίνεται Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων

22 Κλιµακοποίηση στο Σχ..8. Σχ ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Κλιµακοποιούµε την συχνότητα µε τέτοιο τρόπο ώστε το πλάτος της σύνθετης αντίστασης να µην διαταράσσεται. Οι αντιστάσεις δεν εξαρτώνται από την συχνότητα και εποµένως δεν κλιµακοποιούνται ως προς αυτήν. Για το πηνίο έχουµε: Z jω ) = ω L0 = ( f ω) L = ( f ω) L = Z L ( jω ) (4) L ( 0 f 0 όπου f είναι ο συντελεστής κλιµακοποίησης συχνότητας και ω = ω είναι η κλιµακοποιηµένη συχνότητα. Επίσης, για τον πυκνωτή έχουµε: Z ( jω ) = = = = Z C ( jω ) (43) C 0 ω ( ) ( ) f ω C f ω C0 C0 f Τα καινούργια στοιχεία R, L, C που προκύπτουν από την κλιµακοποίηση συχνότητας δίνονται ως εξής: R = R 0 f L0 L = (44) f Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων

23 Κεφάλαιο C = C0 f Απο τις (4) και (43) προκύπτει ότι αν πολλαπλασιάσουµε την αντίδραση των πηνίων όπως επίσης και την επιδεκτικότητα των πυκνωτών µε τον συντελεστή f, αφήσουµε δε τις αντιστάσεις ανέπαφες, τότε η σύνθετη αντίσταση Z ( j ) 0 ω που απαρτίζεται από τα στοιχεία αυτά κλιµακοποιείται στην συχνότητα µε τον συντελεστή f και γίνεται Z ( j f ω). Το πλάτος της σύνθετης αντίστασης Z ( j ) δεν µεταβάλλεται. Αυτό που συµβαίνει είναι ότι 0 ω ολόκληρη η µορφή της Z ( j ) µεταφέρεται από µια περιοχή συχνοτήτων σε µια άλλη, 0 ω υψηλότερα ή χαµηλότερα ανάλογα αν > ή f f <. Ενα παράδειγµα κλιµακοποίησης συχνότητας δίνεται στο Σχ..9, όπου f = 500 rad/sec. Η παράσταση της Z ( j ) στις χαµηλές συχνότητες µεταφέρεται (κλιµακοποιείται) κατά 500 rad/sec 0 ω υψηλότερα στην συχνότητα. Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η κλιµακοποίηση κατά πλάτος και συχνότητα µπορεί να γίνει ταυτόχρονα. Συνδυάζοντας τις (40) και (44) προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις κλιµακοποίησης: R L R = o = L o (45) f C = f C o Σχ..9 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 3

24 Κλιµακοποίηση Στην µέχρι τώρα ανάλυση, θεωρήσαµε την κλιµακοποίηση συνθέτων αντιστάσεων. Παρόλα αυτά, στην µελέτη των ηλεκρικών φίλτρων το κυρίαρχο στοιχείο είναι η συνάρτηση µεταφοράς τάσεων. Ας θεωρήσουµε τον διαιρέτη τάσεως στο Σχ..9. Z V jω Z V( jω) Σχ..9 Η συνάρτηση µεταφοράς τάσης είναι: V Z Τ ( jω ) = = = (46) V Z Z Z / Z Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η T ( jω) είναι συνάρτηση του λόγου των συνθέτων αντιστάσεων και Z. Στο σηµείο αυτό προκύπτουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Z Η κλιµακοποίηση των και Z κατά πλάτος, δεν επηρεάζει την συνάρτηση µεταφοράς τάσεων. Z H κλιµακοποίηση των, Z στη συχνότητα, έχει σαν συνέπεια την κλιµακοποίηση της Z συνάρτησης µεταφοράς τάσεων στη συχνότητα µε τον ίδιο συντελεστή. Η παραπάνω παρατηρήσεις οι οποίες ισχύουν για το απλό κύκλωµα του Σχ..9, αποδεικνύεται ότι ισχύουν γενικά για κάθε συνάρτηση µεταφοράς τάσεων και ρευµάτων. Εποµένως, σε κάθε γραµµικό κύκλωµα η συνάρτηση µεταφοράς τάσεων δεν επηρεάζεται από την κλιµακοποίηση πλάτους των στοιχείων του. Η παρατήρηση αυτή αποτελεί την βάση των στρατηγικών σχεδίασης για να πετύχουµε πρακτικές και υλοποιήσιµες τιµές στοιχείων. Όσον αφορά την κλιµακοποίηση συναρτήσεων µεταφοράς στην συχνότητα κατά f έχουµε: T ( j ω ) = T ( j ω ) (47) o και γενικά, T () s T ( s ) o = (48) όπου ω = ω και s = s. T 0 ( s) είναι η συνάρτηση µεταφοράς η οποία περιλαµβάνει τα f f Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 4

25 Κεφάλαιο αρχικά στοιχεία R0, L0, C 0 και T (s) είναι η νέα συνάρτηση µεταφοράς η οποία περιλαµβάνει τα κλιµακοποιηµένα στοιχεία R, L, C που δίνονται από τις (45). Από τις (47) και (48) προκύπτει ότι: και γενικά ω T( jω ) = To( j ) (49) f s T()= s To( ) (50) f Από τις (49) και (50), ακολουθώντας την λογική των (38), προκύπτει ότι: Η κλιµακοποιηµένη συνάρτηση µεταφοράς T (s) έχει την ίδια ακριβώς µορφή µε αυτήν της T 0 ( s). Όλη η απόκριση συχνότητας της T 0 ( s) έχει µετατεθεί στην συχνότητα, προς τα πάνω (διαστολή) όταν f > ή προς τα κάτω (συµπίεση) όταν ή <. f Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε οτι κατά την διαδικασία σχεδίασης προέκυψε το κύκλωµα του Σχ..0. Tο κύκλωµα αποτελείται από δύο ανεξάρτητες µονάδες T ( ) και T ( s) συνδεδεµένες σε αλυσίδα. Επειδή ακριβώς, οι δύο µονάδες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, τις κλιµακοποιούµε ξεχωριστά όπως φαίνεται στην συνέχεια. s C, V i R, R, V o R = 0 Ω C,. R = 90Ω, /, = F T (s) R, C, C, T ( s) R, = C Ω, = 0 F C, = 09 /. F Σχ..0 Μονάδα Ι Η µονάδα αυτή έχει συνάρτηση µεταφοράς: Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 5

26 Κλιµακοποίηση s z s 0 T ( s) = =, p > z (5) s p s 00 Ως γνωστόν, η απόκριση αυτή αντιστοιχεί σε ένα ανωδιαβατό φίλτρο lead, και δίνεται στο Σχ... A (db) 0 db 0 db/dec 0 00 ω (rad/sec) Σχ.. A (db) 0 db 0 db/dec ω (rad/sec) Σχ.. Είναι φανερό ότι οι τιµές των στοιχείων της µονάδας δεν είναι πρακτικές και υλοπιήσιµες. Έστω, ότι θέλουµε η αντίσταση της µονάδας αυτής να είναι 0 ΚΩ. Εποµένως, επιλέγουµε 5 =0 και από τις (45) έχουµε: R R 0 5 = 0 = 0. = 0 KΩ και R = 0 5 =. KΩ 90 Ας υποθέσουµε επίσης, ότι θέλουµε να µεταθέσουµε την απόκριση συχνότητας από τα 0 rad/sec στα 000 rad/sec. Εποµένως, κλιµακοποιούµε στην συχνότητα µε συντελεστή τα και που επιλέχθηκαν και τις (45), η νέα τιµή του πυκνωτή είναι: f 7 C = = 0 = 0. µf Η απόκριση του κυκλώµατος µε τα νέα στοιχεία δίνεται στο Σχ... f =00. Με βάση Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 6

27 Κεφάλαιο Μονάδα ΙΙ Η µονάδα αυτή έχει συνάρτηση µεταφοράς T s z () s = s p s = s 0., p < z (5) Η απόκριση συχνότητας δίνεται στο Σχ..3. Tο κύκλωµα αυτό είναι γνωστό σαν κατωδιάβατο φίλτρο lag, πρώτης τάξης. A (db) 0 db 0. ω (rad/sec) Σχ..3 A (db) 0 00 ω (rad/sec) 0 db Σχ..4 Έστω ότι θέλουµε η απόκριση T ( j ) ω να µετατεθεί προς τα πάνω από τα 0. rad/sec στα 0rad/sec. Εποµένως, επιλέγουµε = 00 και =0. Τα καινούργια στοιχεία της µονάδας είναι: R = KΩ = 5 C = 0 = 0 F = 0 µ F f C = =. µf Η νέα απόκριση συχνότητας της µονάδας ΙΙ δίνεται στο Σχ..4. Το συνολικό κύκλωµα µε τα νέα στοιχεία δίνεται στο Σχ..5. Η απόκριση του κυκλώµατος είναι: Τ Vo ( jω) jω) = = T ( jω) T ( jω) (53) V ( jω) ( i Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 7 4

28 Κλιµακοποίηση Η παράσταση της T ( jω) δίνεται στο Σχ µF V i 0ΚΩ.ΚΩ 0ΚΩ.µF V o 0µF Σχ..5 A (db) 0 db ω (rad/sec) Σχ..6 Από το Σχ..6 προκύπτει ότι το συνολικό κύκλωµα υλοποιεί ένα ζωνοφρακτικό φίλτρο. Είναι φανερό ότι επιλέγοντας τους συντελεστές κλιµακοποίησης συχνότητας f για τα επιµέρους κυκλώµατα µπορούµε να ρυθµίσουµε κατάλληλα την απόκριση συχνότητας του συνολικού κυκλώµατος. Επί πλέον, οι συντελεστές κλιµακοποίησης πλάτους,, επιλέγονται έτσι ώστε να έχουµε πρακτικές και υλοποιήσιµες τιµές για τα στοιχεία του κυκλώµατος. Παράδειγµα. Θεωρούµε το κατωδιαβατό κύκλωµα SalleKey του Σχ..7. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 8

29 Κεφάλαιο C = F R = 00. Ω R = 00. Ω V i C = F r = r = Ω Ω Vo Σχ..7 Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος είναι: Τ 0 r / r RRCC ( s) = (54) r s s RC RC r RC RRCC Από την (54) για R = R = 00. Ω, C = C = F, r = r = Ω, έχουµε 4 0 Τ 0 ( s) = (55) 4 s 00s 0 Κλιµακοποίηση πλάτους Παρατηρούµε ότι όλοι οι συντελεστές της συνάρτησης µεταφοράς, περιέχουν τις αντιστάσεις και τους πυκνωτές πάντα σαν γινόµενα. Με άλλα λόγια, η συνάρτηση µεταφοράς είναι συνάρτηση του λόγου των συνθέτων αντιστάσεων. Εποµένως, όπως τονίσθηκε και προηγούµενα, η κλιµακοποίηση πλάτους των συνθέτων αντιστάσεων δεν επηρεάζει καθόλου την συνάρτηση µεταφοράς. RC i i Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε οι πυκνωτές του κυκλώµατος να έχουν τιµή 0.µF. Εποµένως, C = = 0 7 F = 0 Τα νέα στοιχεία που προκύπτουν είναι: C = C = 0. µ F R = R = R = = 0 Ω= 00KΩ Επειδή οι αντιστάσεις και r εµφανίζονται σαν λόγος r r r και αφορούν το κέρδος του ενισχυτή, Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 9

30 Κλιµακοποίηση κλιµακοποιούνται ανεξάρτητα r = r = 0ΚΩ Κλιµακοποίηση συχνότητας Έστω ότι θέλουµε η αρχική απόκριση συντελεστή 5. Εποµένως, έχουµε f Τ 0 ( jω) να µετατεθεί προς τα πάνω στην συχνότητα µε ένα = 5. Ας υποθέσουµε επίσης ότι θέλουµε οι πυκνωτές του κυκλώµατος να είναι.0 µf. 6 C = 0 / 5 = 0 6 = C0 = = 0 f 5 Εποµένως, τα νέα στοιχεία που προκύπτουν είναι: C = C = µ F R = R = R = = KΩ 0 r = r = 0ΚΩ Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος µε τα νέα στοιχεία είναι: Τ ( s ) = s s 0000 όπου s = s 5. Εποµένως, έχουµε: s Τ = = (56) 5 5 s s s 500s ΚΛΙΜΑΚΟΠΟΙΗΣΗ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ Θεωρούµε το σήµα ( t) = Asi( ω t) (57) Το σήµα όπου x 0 x(t) γράφεται ως εξής: t x( t) = Asi = Asi ω o t t 0 =. Η αντίστροφη σχέση t 0 και 0 ω 0 t o (57) ω δηλώνει ότι όταν η συχνότητα διαστέλλεται ο χρόνος συστέλλεται και αντίστροφα. Γενικά, ο συντελεστής κλιµακοποίησης στον χρόνο ορίζεται Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 30

31 Κεφάλαιο ως εξής: t = απαιτουµενη χρονικη αποκριση κανονικοποιηµενη χρονικη αποκριση (58) Είναι φανερό ότι < αντιστοιχεί σε συµπίεση του χρόνου ενώ > αντιστοιχεί σε διαστολή t του χρόνου. Στο Σχ..8 το σήµα x ( ) έχει κλιµακοποιηθεί στον χρόνο, σε σχέση µε το x ( t), µε t συντελεστή κλιµακοποίησης = t. t (α) (β) Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 3

32 Κλιµακοποίηση Από την (58) προκύπτει ότι Σχ..8 t = (59) f Εποµένως, οι εξισώσεις για συνδιασµένη κλιµακοποίηση πλάτους και χρόνου, µε βάση τις (45) είναι: R = R 0 L = t L 0 (60) C = t C 0 Υπάρχει µια ειδική κατηγορία κυκλωµάτων που προκαλούν χρονική καθυστέρηση της εξόδου σε σχέση µε το σήµα εισόδου. Η διεργασία αυτή φαίνεται στο Σχ..9. Κύκλωµα X (t) t Ι ΑΝΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ Σχ..9 X (t) D o t Είναι κοινή πρακτική να σχεδιάζουµε κυκλώµατα τα οποία προκαλούν κανονικοποιηµένη χρονική καθυστέρηση D 0 = sec. Το επόµενο βήµα είναι να κλιµακοποιήσουµε στον χρόνο ώστε να πετύχουµε την χρονική καθυστέρηση που θέλουµε. Ο συντελεστής κλιµακοποίησης χρονικής καθυστέρησης ορίζεται ως εξής D = απαιτουµενη χρονικη καθυστερηση κανονικοποιηµενη χρονικη καθυστερηση Οι σχέσεις της συνδυασµένης κλιµακοποίησης χρονικής καθυστέρησης και πλάτους είναι: R = R 0 (6) L = D L 0 (6) C = D C 0 Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 3

33 Κεφάλαιο Παράδειγµα.3 Θεωρούµε το παθητικό κύκλωµα του Σχ..30(α). Tο κύκλωµα αυτό παράγει χρονική καθυστέρηση D0 =sec. Θεωρούµε ότι η χρονική καθυστέρηση είναι αντίσταση στο φορτίο να είναι ΚΩ. D = 0 µ s, και έστω ότι θέλουµε η Έχουµε D0 =sec, D = 0 µ s και εποµένως επιλέγουµε =0 5. Επίσης, είναι φανερό ότι D 3 =0. Εποµένως, τα νέα στοιχεία που προκύπτουν από τις (6) είναι: R = R5 = 0 = KΩ C = = F =. 55 F C4 =. µ F L3 = = F = 5. 5 F Το κύκλωµα µε τα νέα στοιχεία δίνεται στο Σχ..30(β). R = L 3 = V C 4 = 0. i V 0 C = 55. R 5 = (α) ΚΩ 5.5 Η V i.f V 0.5 µf ΚΩ (β) Σχ..9.8 Ι ΑΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Οι πόλοι και τα µηδενικά κυκλωµάτων LC και RC δεν µπορούν να κείνται οπουδήποτε στο µιγαδικό επίπεδο. Σύµφωνα µε την θεωρία παθητικής σύνθεσης, υπάρχουν συγκεκριµένοι περιορισµοί στην θέση των πόλων και των µηδενικών κυκλωµάτων αυτών. Για παράδειγµα, στα κυκλώµατα LC, οι πόλοι είναι απλοί και κείνται στον φανταστικό άξονα j ω του µιγαδικού επιπέδου. Επίσης, στα κυκλώµατα RC οι πόλοι είναι απλοί και κείνται στον αρνητικό πραγµατικό Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 33

34 Τελεστικοί Ενισχυτές άξονα του µιγαδικού επιπέδου. Όπως θα δούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια, η εισαγωγή εξηρτηµένων πηγών αίρει τους παραπάνω περιορισµούς και µας επιτρέπει να τοποθετήσουµε τους πόλους οπουδήποτε µέσα στο µιγαδικό επίπεδο. Χρησιµοποιώντας, λοιπόν, κυκλώµατα RC µε εξηρτηµένες πηγές µπορούµε να µετακινήσουµε τους πόλους από τον αρνητικό πραγµατικό άξονα οπουδήποτε στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο (LHP). Τα κυκλώµατα αυτά παράγουν συναρτήσεις µεταφοράς όµοιες µε αυτές που µπορούν να υλοποιηθούν από κυκλώµατα RLC, µε την βασική διαφορά ότι τα πηνία έχουν απαλειφθεί. Αυτό είναι πολύ σηµαντικό στοιχείο, ιδιαίτερα για τις χαµηλές συχνότητες λειτουργίας των φίλτρων. Σ αυτές τις συχνότητες, τα πηνία είναι ογκώδη, βαριά, και αποκλίνουν σοβαρά από την ιδανική συµπεριφορά. Για την υλοποίηση των εξαρτηµένων πηγών χρησιµοποιούµε τους τελεστικούς ενισχυτές. Ο τελεστικός ενισχυτής είναι µια εξηρτηµένη πηγή τάσης από τάση. Η συµβολική παράσταση και το µοντέλο του τελεστικού ενισχυτή δίνονται στο Σχ..3. υ υ Α (α) i υ Z α Z o i i υ Αυ α υ o υ (β) Σχ..3 όπου Z i, Z 0 είναι η αντίσταση εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. U, i, και U, i είναι οι τάσεις και τα ρεύµατα στην αναστρέφουσα και µη αναστρέφουσα είσοδο του τελεστικού ενισχυτή. είναι η τάση ανάµεσα στις εισόδους του τελεστικού και Α είναι το κέρδος του ενισχυτή. Η σύνθετη αντίσταση εισόδου Z i είναι πολύ µεγάλη και το µέτρο της κυµαίνεται από Ω. υ a Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 34

35 Κεφάλαιο Επίσης, η αντίσταση εξόδου έχει πολύ µικρή τιµή και το µέτρο της κυµαίνεται από 5050 Ω. Z 0 Τέλος, το κέρδος του τελεστικού στο dc, ανάλογα µε την ποιότητα του ενισχυτή, έχει πολύ µεγάλες τιµές που κυµαίνονται από Στην ανάλυση που θα ακολουθήσει στα επόµενα κεφάλαια, θεωρούµε ότι τελεστικός ενισχυτής είναι ιδανικός. Ο ιδανικός ενισχυτής χαρακτηρίζεται από τις παρακάτω ιδιότητες: Η σύνθετη αντίσταση εισόδου Z i είναι άπειρη, δηλαδή, i = i = 0. Η σύνθετη αντίσταση εξόδου Z 0 είναι µηδέν, δηλαδή η τάση εξόδου υ 0 είναι ανεξάρτητη του φορτίου. Το κέρδος Α είναι άπειρο, για όλες τις συχνότητες. Επειδή δε η τάση υ 0 εναι πεπερασµένη η τάση υ a είναι µηδέν. Με άλλα λόγια, ανάµεσα στις εισόδους του τελεστικού εµφανίζεται ένα φαινόµενο βραχυκύκλωµα, δηλαδή, U = U Tο µοντέλο του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή δίνεται στο Σχ..3. υ α i i υ ο Σχ..3 Η παραδοχή βέβαια ότι το κέρδος Α είναι άπειρο, στην πραγµατικότητα, ισχύει µόνο για τις χαµηλές συχνότητες. Το κέρδος, Α(s), είναι συνάρτηση της συχνότητας και φθίνει δραστικά για πολύ µεγάλες συχνότητες. Κατά συνέπεια, στις υψηλές συχνότητες το µοντέλο του τελεστικού ενισχυτή αποκλίνει ουσιαστικά από αυτό του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή. Γενικά, η συµπεριφορά του τελεστικού ενισχυτή είναι συνάρτηση της συχνότητας. Αυτό δηµιουργεί αποκλίσεις στην απόκριση των ενεργών RC φίλτρων, ιδιαίτερα για µεγάλες συχνότητες. Παρόλα αυτά, για απλότητα στην ανάλυση, σε όλη την διάρκεια των σηµειώσεων αυτών, θα θεωρήσουµε ότι οι τελεστικοί ενισχυτές είναι ιδανικοί, ανεξάρτητα της συχνότητας..9 ΜΗ ΑΝΑΣΤΡΕΦΟΥΣΑ ΣΥΝ ΕΣΜΟΛΟΓΙΑ Το κύκλωµα της µη αναστρέφουσας συνδεσµολογίας δίνεται στο Σχ..33(α). Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 35

36 Τελεστικοί Ενισχυτές R R R L (α) υ ι υ ι (β) Σχ..33 Το κέρδος της µη αναστρέφουσας συνδεσµολογίας είναι V o R = = V R i (63) Το ισοδύναµο µοντέλο της συνδεσµολογίας δίνεται στο Σχ..33(β). Για την συνδεσµολογία αυτή ισχύουν οι παρακάτω παρατηρήσεις Το κέρδος είναι θετικό, και µεγαλύτερο ή ίσο της µονάδας. Το κέρδος εξαρτάται από τον λόγο των αντιστάσεων, R, γι αυτό και µπορεί να ρυθµισθεί µε µεγάλη ακρίβεια. Η πηγή V i βλέπει άπειρη αντίσταση εισόδου ( i = 0). R Η αντίσταση εξόδου είναι µηδέν. Εποµένως, η τάση V είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το 0 φορτίο R L. Θα πρέπει στο σηµείο αυτό να σηµειώσουµε ότι ο τελεστικός ενισχυτής θα πρέπει να είναι ικανός να δώσει το ρεύµα ( V V ) / R λόγω της αντίστασης ανάδρασης 0 i καθώς και το ρεύµα V / λόγω του φορτίου. 0 R L Εάν οι αντιστάσεις, αντικατασταθούν από τις σύνθετες αντιστάσεις και Z τότε το κέρδος της τάσης είναι: R R Z Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 36

37 Κεφάλαιο Vo ( s) Z ( s) ( s) = = (64) V ( s) Z ( s) i Αν στην µη αναστρέφουσα συνδεσµολογία θεωρήσουµε R, και R = 0 στο κύκλωµα του Σχ..34. Από την (63) προκύπτει ότι το κέρδος είναι µονάδα τότε καταλήγουµε V =. Γι αυτό το λόγο, το κύκλωµα αυτό λέγεται ακολουθητής τάσεως. Επειδή η αντίσταση εισόδου είναι άπειρη, και η αντίσταση εξόδου είναι µηδέν, ο ακολουθητής τάσεως λειτουργεί σαν αποµονωτική µονάδα (Buffer). Με άλλα λόγια, αν ο ακολουθητής τάσεως παραµβληθεί ανάµεσα σε µια πραγµατική πηγή τάσης και στο φορτίο αποµονώνει την πηγή τάσης από το φορτίο. Εποµένως, το σύστηµα πραγµατικής πηγής τάσης ακολουθητής τάσης συµπεριφέρεται σαν ιδανική πηγή τάσης, όπως φαίνεται στο Σχ..34(β). υ ι υo V o i (α) υ ι R s υ o R L (β) R s υ ι R L υ o (γ) Σχ ΑΝΑΣΤΡΕΦΟΥΣΑ ΣΥΝ ΕΣΜΟΛΟΓΙΑ Το κύκλωµα της αναστρέφουσας συνδεσµολογίας δίνεται στο Σχ..35. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 37

38 Τελεστικοί Ενισχυτές R υ ι R υo R L (α) υ R i υ i υ o (β) Σχ..35 Το κέρδος της αναστρέφουσας συνδεσµολογίας είναι: και γενικά, Vo R = = V R i Vo s Z s s () = () V () s = () Z () s i (65) (66) Το ισοδύναµο µοντέλο της αναστρέφουσας συνδεσµολογίας δίνεται στο Σχ..35(β). Για την αναστρέφουσα συνδεσµολογία ισχύουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Το κέρδος είναι αρνητικό. Το µέτρο του κέρδους µπορεί να γίνει µικρότερο της µονάδας ( R < R ), ίσο µε την µονάδα ( R = R ) ή µεγαλύτερο της µονάδας ( R > R ). Όπως και στην περίπτωση της µη αναστρέφουσας συνδεσµολογίας, το κέρδος εξαρτάται από τον λόγο των αντιστάσεων και R, γι αυτό και µπορεί να καθορισθεί επακριβώς. R Η αντίσταση εισόδου είναι ίση µε την R. Συνεπώς, η πηγή εισόδου V πρέπει να είναι ικανή να δώσει ρεύµα V i R. Γι αυτό τον λόγο, η πρέπει να είναι αρκετά µεγάλη (KΩ 0ΚΩ) ώστε να µην φορτίζει υπερβολικά την πηγή V. Η αντίσταση εξόδου είναι µηδέν. Συνεπώς, η τάση εξόδου V δεν επηρεάζεται από το φορτίο R L. Θα πρέπει βέβαια να τονισθεί ότι ο τελεστικός θα πρέπει να είναι ικανός να δώσει ένα R i 0 i V ρεύµα 0 R V λόγω της αντίστασης ανάδρασης καθώς και το 0 R L λόγω του φορτίου. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 38

39 Κεφάλαιο. ΣΥΝ ΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΤΗ Το κύκλωµα της συνδεσµολογίας αθροιστή δίνεται στο Σχ..36(α). R 3 R υ 3 υ R υo (α) R υo = ( υ 3υ3) (β) Σχ..36 Η τάση εξόδου V είναι 0 όπου Vo = ( V 3V3 ) R = και R 3 R = R 3 (67) Για το µοντέλο του αθροιστή το οποίο φαίνεται στο Σχ..36(β) ισχύουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Οι πηγές V και V 3 δεν έχουν αλληλεπίδραση µεταξύ τους. Η πηγή V δίνει το ρεύµα V R ενώ η πηγή V 3 δίνει ρεύµα V 3 R3. Η R δεν επιδρά στο κέρδος 3 της πηγής V 3 ενώ η δεν επιδρά στο κέρδος της πηγής V. R3 Η πηγή V βλέπει αντίσταση εισόδου ενώ η πηγή V βλέπει αντίσταση εισόδου R. R 3 3 Η αντίσταση εξόδου είναι µηδέν και ισχύουν αυτά τα οποία αναφέραµε για την αναστρέφουσα συνδεσµολογία. Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 39

40 Τελεστικοί Ενισχυτές. ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ Η συνδεσµολογία του διαφορικού ενισχυτή δίνεται στο Σχ..37(α). R υ υ R R a Rb υo (α) R a υ υ R R υ o b (β) Σχ..37 Η τάση εξόδου V είναι 0 όπου V V V o = R = R είναι το κέρδος της πηγής στην αναστρέφουσα είσοδο. Επίσης, (68) Rb R = Ra Rb R (69) είναι το κέρδος της πηγής στην µη αναστρέφουσα είσοδο. Αν θεωρήσουµε, R R R a = ( π.χ. R a = R και R b = R ) (70) R τότε η (68) γίνεται V ( V V ) o = b (7) όπου Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 40

41 Κεφάλαιο R = R (7) Από την (7) προκύπτει ότι η τάση εξόδου V 0 είναι η διαφορά των σηµάτων εισόδου ( V V) ενισχυµένη µε το κέρδος Σχ..37(β) και ισχύουν οι παρακάτω παρατηρήσεις:. Το ισοδύναµο µοντέλο του διαφορικού ενισχυτή δίνεται στο Η πηγή V βλέπει από µόνη της (V = 0) αντίσταση εισόδου R, ενώ η πηγή V βλέπει αντίσταση εισόδου R. a R b Η πηγή V πρέπει να είναι ικανή να δώσει ένα ρεύµα i = V /( R a R ). Επίσης, η πηγή V θα πρέπει να είναι ικανή να δώσει ένα ρεύµα i = V b Rb R R a b V / R Η αντίσταση εξόδου είναι µηδέν. Ο τελεστικός ενισχυτής θα πρέπει να είναι ικανός να δώσει Rb ένα ρεύµα Vo V / R Ra R b λόγω της ανάδρασης R καθώς και ένα ρεύµα λόγω του φορτίου. V 0 R L Σύνθεση Ενεργών και Παθητικών Κυκλωµάτων 4