ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΚΠΟΝΗΤHΣ: ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ AEM: 4749 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ: ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΜΗΤΣΗ ΣΕΒΑΣΤΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ: 6 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2012

2 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ ΤΙΤΛΟΣ: ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΚΠΟΝΗΤΗΣ: ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Διευθυντής: Καθηγητής Κ. Δ. Μπουζάκης ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Καθηγήτρια Σ. Μήτση Αριθμός Διπλωματικής: 6/2012 i

3 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι ρομποτικοί βραχίονες έχουν πλέον ευρεία χρήση στην βιομηχανία, και ιδιαίτερα τις τελευταίες δεκαετίες, ένα μεγάλο μέρος του ανθρώπινου δυναμικού έχει αντικατασταθεί πλήρως από αυτούς. Η πρόοδος που έχει σημειωθεί στον τομέα αυτόν, από την περίοδο της βιομηχανικής επανάστασης, οπότε και πρωτοεμφανίστηκε η τάση για αυτοματοποίηση, είναι πολύ σημαντική και μάλιστα είναι εμφανής και στα ίδια τα ρομπότ. Παλαιότερα ο καθορισμός της διαδρομής του βραχίονα γινόταν καταγράφοντας την κίνηση του βραχίονα από την χειροκίνητη καθοδήγηση του, διαδικασία γνωστή ως online προγραμματισμός. Για την αντιμετώπιση προβλημάτων που σχετίζονταν με τον online προγραμματισμό, όπως για παράδειγμα η χρονοβόρα και ανακριβής διαδικασία του, αναπτύχθηκε ο offline προγραμματισμός, κατά τον οποίο είναι δυνατή η ταυτόχρονη εργασία του ρομπότ και ο προγραμματισμός μελλοντικής εργασίας (του ρομπότ) από τον προγραμματιστή. Η παρούσα διπλωματική εργασία αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του offline προγραμματισμού και σκοπός της είναι η εύρεση της βέλτιστης διαδρομής ρομποτικού βραχίονα, με παράλληλη αποφυγή συγκρούσεων με εμπόδια, στο χώρο εργασίας. Οι αλγόριθμοι που αναπτύχθηκαν για αυτόν τον σκοπό εφαρμόστηκαν σε προβλήματα με βραχίονες τριών και πέντε βαθμών ελευθερίας. Έχοντας ως είσοδο την αρχική και τελική θέση του βραχίονα και χρησιμοποιώντας έναν συνδυασμό ευριστικών και εξελικτικών αλγορίθμων υπολογίζεται η βέλτιστη διαδρομή του βραχίονα που ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια: α) Ελαχιστοποίηση του χρόνου κίνησης του βραχίονα β) Ελαχιστοποίηση της ενέργειας κίνησης. Η εύρεση του βέλτιστου σημείου συνίσταται ουσιαστικά στον καθορισμό των τιμών των γωνιών κάθε άρθρωσης του βραχίονα κατά μήκος της διαδρομής. Οι αποδεκτές παραγόμενες διαδρομές δεν πρέπει να προκαλούν συγκρούσεις στον χώρο εργασίας, και πρέπει να βρίσκονται εντός των φυσικά επιτρεπτών ορίων κίνησης κάθε άρθρωσης ( κατασκευαστικά όρια των αρθρώσεων). Τέλος η λύση πρέπει να είναι βέλτιστη ως προς τον απαιτούμενο χρόνο κίνησης, αλλά και της απαιτούμενης ενέργειας κίνησης. Η αντικειμενική συνάρτηση δηλαδή που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί συνοψίζεται στην σχέση:, όπου ο πρώτος όρος αφορά την καταναλισκόμενη ενέργεια, ενώ ο δεύτερος τον χρόνο κίνησης. Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν είναι ένας συνδιασμός αλγορίθμων όπως οι: A*, grassfire, γενετικοί αλγόριθμοι, pattern search. Επίσης αναπτύχθηκε και ένας αλγόριθμος ο οποίος αποτελεί τροποποίηση του Α* και ονομάστηκε τροποποιημένος Α*.Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν φαίνονται στο σχήμα 1. Οι προσομοιώσεις των προβλημάτων έγινε στο προγραμματιστικό περιβάλλον MATLAB. ii

4 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχήμα 1: Αλγόριθμοι που αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο της διπλωματικής εργασίας Ένας από τους στόχους της διπλωματικής ήταν οι αλγόριθμοι που προτείνονται να είναι όχι μόνο ορθοί (παράγουν σωστό αποτέλεσμα), αλλά να είναι και υπολογιστικά εφικτοί. Αυτό είναι ένα αρκετά δύσκολο και ενδιαφέρον πρόβλημα καθώς μια αφελής προσέγγιση θα αύξανε τον αριθμό των απαιτούμενων πράξεων εκθετικά στην αύξηση των βαθμών ελευθερίας του βραχίονα. Οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι φαίνεται να συγκλίνουν σε μια βέλτιστη λύση στην πλειοψηφία των διεξαχθέντων πειραμάτων, ενώ σε περιπτώσεις αποτυχίας η παραχθείσα λύση είναι τοπικό και όχι ολικό ελάχιστο. Αποτελέσματα των αλγορίθμων που αναπτύχθηκαν σε πρόβλημα εύρεσης της βέλτιστης διαδρομής βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας φαίνονται στα σχήματα 2 έως 4 που ακολουθούν. Οι διαδρομές και η τροχιά φαίνεται ότι συγκλίνουν για αυτές τις δύο λύσεις. iii

5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχήμα 2: Τιμές γωνιών κάθε άρθρωσης κατά την διαδρομή που βρέθηκε με τον υβριδικό αλγόριθμο Σχήμα 3: Τιμές γωνιών κάθε άρθρωσης κατά την διαδρομή που βρέθηκε με τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο iv

6 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχήμα 4: Τροχιές άκρου ρομποτικού βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας σε πρόβλημα εύρεσης βέλτιστης διαδρομής που επιλύθηκε με υβριδικό και τροποποιημένο Α* αλγόριθμο. Ενδεικτικά, στον πίνακα 1 αναφέρονται οι χρόνοι κίνησης του βραχίονα και οι χρόνοι εκτέλεσης των αλγορίθμων σε μια εφαρμογή εύρεσης βέλτιστης διαδρομής ρομποτικού βραχίονα 5 βαθμών ελευθεριάς Βάρος Χρόνος κίνησης Χρόνος (δευτερόλεπτα) Τροποποιημένος A* Τροποποιημένος A* Υβριδικός Πίνακας 1: Συγκριτικά αποτελέσματα αλγορίθμων τροποποιημένου Α* και υβριδικού ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τις τέσσερις μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν για την επίλυση του προβλήματος βέλτιστης τροχιάς, μόνο 2 από αυτές φαίνεται να είναι πρακτικά εφαρμόσιμες, ο υβριδικός αλγόριθμος και ο τροποποιημένος Α* αλγόριθμος. Οι 2 άλλοι λόγω των υπολογιστικών απαιτήσεων που έχουν και περιορισμών στον τρόπο λειτουργίας τους δεν είναι πρακτικά εφαρμόσιμοι. Η κατάλληλη επιλογή συντελεστών βαρύτητας αλλά και μεθοδολογίας, είναι σημαντικός παράγοντας στην ορθή επίλυση ενός προβλήματος μέσα σε αποδεκτούς χρόνους. v

7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ & ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Το πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης του τροποποιημένου Α* αλγόριθμου αντί του υβριδικού είναι ότι ο χρήστης είναι σε θέση να γνωρίζει μέσα σε πια όρια κινείται η διαφορά της διαδρομής που βρήκε από την ολική βέλτιστη διαδρομή. Από την άλλη ο υβριδικός αλγόριθμος έχει το πλεονέκτημα ότι σε γενικές γραμμές είναι πιο γρήγορος από τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο. vi

8 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή Σκοπός της εργασίας Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη των υπό μελέτη ρομποτικών βραχιόνων Μεθοδολογία Denavit-Hartenberg Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη ρομποτικού βραχίονα 3 βαθμών ελευθερίας Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη ρομποτικού βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας Στάθμη γνώσεων Grassfire αλγόριθμος Αλγόριθμος A* Bresenham line αλγόριθμος Γενετικοί αλγόριθμοι Pattern Search αλγόριθμος Προσδιορισμός βέλτιστης διαδρομής κίνησης ρομποτικού βραχίονα Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος Προτεινόμενοι αλγόριθμοι Πρώτο Στάδιο Δεύτερο Στάδιο η μέθοδος η μέθοδος η μέθοδος η μέθοδος Εφαρμογές των προτεινόμενων αλγορίθμων Ρομποτικός βραχίονας 3 βαθμών ελευθερίας Επίλυση εφαρμογών με χρήση A* αλγορίθμου... 26

9 Εφαρμογή 1η Εφαρμογή 2η Εφαρμογή 3η Εφαρμογή 4η Εφαρμογή 5η Επίλυση εφαρμογής με χρήση τροποποιημένου A* αλγορίθμου Εφαρμογή 6η Επίλυση εφαρμογής με χρήση A* αλγόριθμο και αλγόριθμο μείωσης ενδιάμεσων σημείων Ρομποτικός βραχίονας 5 βαθμών ελευθερίας Πρώτη σειρά εφαρμογών με χρήση του υβριδικού αλγορίθμου Εφαρμογή 1η Εφαρμογή 2η Δεύτερη σειρά εφαρμογών με χρήση υβριδικού αλγορίθμου και τροποποιημένου A* αλγορίθμου Εφαρμογή 3η Εφαρμογή 4η Εφαρμογή 5η Συμπεράσματα Μελλοντική εξέλιξη αλγορίθμου Βιβλιογραφία Περίληψη στα αγγλικά... 81

10 1. Εισαγωγή Οι ρομποτικοί βραχίονες έχουν πλέον ευρεία χρήση στην βιομηχανία, και ιδιαίτερα τις τελευταίες δεκαετίες, ένα μεγάλο μέρος του ανθρώπινου δυναμικού έχει αντικατασταθεί πλήρως από αυτούς. Η δυνατότητα αυτοματοποίησης της εργασίας, και η μεγάλη ακρίβεια με την οποία μπορεί να εκτελεστεί, καταστούν τους ρομποτικούς βραχίονες αναπόσπαστο κομμάτι στην παραγωγική διαδικασία των περισσότερων σύγχρονων βιομηχανικών μονάδων. Η διαρκής εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων οδηγεί στη συνεχή ανάπτυξη και εξέλιξη του πεδίου των βιομηχανικών ρομπότ. Η πρόοδος που έχει σημειωθεί στον τομέα αυτόν, από την περίοδο της βιομηχανικής επανάστασης, οπότε και πρωτοεμφανίστηκε η τάση για αυτοματοποίηση, είναι πολύ σημαντική και μάλιστα είναι εμφανής και στα ίδια τα ρομπότ. Τα ρομπότ διακρίνονται σε γενεές, ανάλογα με το σύστημα ελέγχου που διαθέτουν και το βαθμό εξέλιξης της τεχνητής νοημοσύνης τους. Η πρώτη γενιά βιομηχανικών ρομπότ χαρακτηρίζεται από έλλειψη αισθητήρων και ακολουθεί προκαθορισμένες και στατικές τροχιές. Τα ρομπότ της δεύτερης γενεάς έχουν αισθητήρες, υψηλό επίπεδο υπολογιστικής ικανότητας και υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραμματισμού. Τέλος, τα 1

11 ρομπότ της τρίτης γενιάς είναι βασισμένα στην τεχνητή νοημοσύνη, και έχουν τη δυνατότητα ανίχνευσης, όρασης, ανάλυσης δεδομένων και λήψης αποφάσεων. Είναι αναμφισβήτητο γεγονός ότι η εξέλιξη των βιομηχανικών ρομπότ ακολουθεί αλματώδη πορεία. Παλαιότερα ο καθορισμός της διαδρομής του βραχίονα γινόταν καταγράφοντας την κίνηση του βραχίονα από την χειροκίνητη καθοδήγηση του. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται online προγραμματισμός. Για την αντιμετώπιση προβλημάτων που σχετίζονταν με τον online προγραμματισμό, όπως για παράδειγμα η χρονοβόρα και ανακριβής διαδικασία του, αναπτύχθηκε ο offline προγραμματισμός, κατά τον οποίο είναι δυνατή η ταυτόχρονη εργασία του ρομπότ και ο προγραμματισμός μελλοντικής εργασίας (του ρομπότ) από τον προγραμματιστή. Με τον offline προγραμματισμό επιτυγχάνεται πλήρης εποπτεία του χώρου εργασίας, έλεγχος και αποφυγή σύγκρουσης του ρομπότ με αντικείμενα του χώρου, αφού αυτή θα γίνει αντιληπτή κατά τον προγραμματισμό και δεν θα συμβεί στην πραγματικότητα. Έτσι μειώνεται το κόστος και ο χρόνος, ενώ παράλληλα αυξάνεται η ακρίβεια στην εργασία. Σκοπός στον offline προγραμματισμό είναι η βελτιστοποίηση της τροχιάς του βραχίονα, όσον αναφορά τον χρόνο κίνησης ή την ελαχιστοποίηση της ενέργειας που καταναλώνεται ή οποιασδήποτε άλλης παραμέτρου, κατά την οποία τροχιά να μην συγκρούεται με το περιβάλλον του. [1] 1.1. Σκοπός της εργασίας Η παρούσα διπλωματική ασχολείται με την ανάπτυξη αλγόριθμου εύρεσης της βέλτιστης διαδρομής του βραχίονα μεταξύ δύο θέσεων, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο χρόνος κίνησης του και η καταναλισκόμενη ενέργεια, με παράλληλη αποφυγή των εμποδίων που βρίσκονται στο χώρο εργασίας. Η μεθοδολογία που αναπτύχθηκε αφορά off-line προγραμματισμό βιομηχανικού βραχίονα. Στην παρούσα διπλωματική παρουσιάζεται: Ένα βασικό θεωρητικό υπόβαθρο των αρχών κινηματικής ανάλυσης και σύνθεσης ρομπότ. Αυτό περιλαμβάνει τον καθορισμό της θέσης των μελών στον χώρο σύμφωνα με την μεθοδολογία Denavit - Hartenberg. Η προσομοίωση του ρομποτικού βραχίονα και των εμποδίων με απλά γεωμετρικά σχήματα Μια υπολογιστικά αποδεκτή μεθοδολογία έλεγχου συγκρούσεων του ρομποτικού βραχίονα (σύγκρουση με εμπόδια στον χώρο εργασίας ή και μεταξύ των μελών του). Το θεωρητικό υπόβαθρο των αλγόριθμων που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση του προβλήματος της βέλτιστης τροχιάς. Η χρήση των προτεινόμενων αλγορίθμων σε εφαρμογές με ρομποτικούς βραχίονες 3 και 5 βαθμών ελευθερίας και η παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Η ανάλυση και σχολιασμός των αποτελεσμάτων. 2

12 2. Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη των υπό μελέτη ρομποτικών βραχιόνων Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά κινηματικά μεγέθη για ρομποτικούς βραχίονες τριών βαθμών ελευθερίας (τύπου 3-R) και 5 βαθμών ελευθερίας (τύπου 5-R). Το παρόν κεφάλαιο περιέχει τα εξής: Σύντομη παρουσίαση της μεθόδου Denavit Hartenberg για τον προσδιορισμό των κινηματικών μεγεθών ενός ρομποτικού βραχίονα. Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη ρομποτικού βραχίονα 3 βαθμών ελευθερίας. Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη ρομποτικού βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας 2.1. Μεθοδολογία Denavit-Hartenberg Για την κινηματική μελέτη ενός ρομποτικού βραχίονα είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την θέση όλων των μελών του ως προς κάποιο ακίνητο σύστημα αναφοράς συναρτήσει των μεταβλητών εισόδου (γωνίες αρθρώσεων). Θεωρώντας σε κάθε μέλος του βραχίονα ένα σύστημα αναφοράς σταθερό ως προς αυτό το μέλος και με την χρήση κατάλληλων μητρώων μετασχηματισμού, είναι δυνατόν να μετασχηματίστούν οι συντεταγμένες από το σύστημα αναφοράς του ενός μέλους στο σύστημα αναφοράς κάποιου άλλου μέλους. Με την κατάλληλη επιλογή τον συστημάτων αναφοράς οι Denavit Hartenberg πρότειναν μια μέθοδο με την χρήση συγκεκριμένων μητρώων μετασχηματισμού, με την οποία υπολογίζονται τα κινηματικά μεγέθη ενός βραχίονα. Το μητρώο μετασχηματισμού για άρθρωση περιστροφής που μετασχηματίζει τις συντεταγμένες ενός σημείου από το σύστημα συντεταγμένων ενός μέλους στο σύστημα συντεταγμένων του προηγούμενου μέλους είναι: (2.1) Όπου τα μεγέθη a i d i θ i α i είναι οι παράμετροι κάθε μέλους. Kατά συνέπεια ο υπολογισμός των συντεταγμένων ενός σημείου P από το τοπικό σύστημα συντεταγμένων F i στο ακίνητο F 0 γίνεται ως εξής: Όπου P i οι συντεταγμένες του σημείου P εκφρασμένες στο σύστημα συντεταγμένων F i και P 0 οι συντεταγμένες του σημείου P στο σύστημα συντεταγμένων F 0 [1],[2],[3] (2.2) 3

13 2.2. Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη ρομποτικού βραχίονα 3 βαθμών ελευθερίας Ένας από τους βραχίονες που χρησιμοποιήθηκε είναι o ρομποτικός βραχίονας 3 βαθμών ελευθερίας με τρείς αρθρώσεις περιστροφής που φαίνεται στο σχήμα 1. Σχήμα 1: Βραχίονας 3 βαθμών ελευθερίας 3-R και συστήματα συντεταγμένων κατά Denavit Hartenberg Τα συστήματα συντεταγμένων που εκλέχθηκαν σύμφωνα με την μεθοδολογία Denavit- Hartemberg παρουσιάζονται στα σχήματα 1 και 2.Το σύστημα συντεταγμένων έχει το ίδιο χρώμα με το μέλος που είναι σταθερά δεμένο πάνω, ενώ με μαύρο χρώμα είναι σχεδιασμένο το σταθερό σύστημα συντεταγμένων στο οποίο θα υπολογιστούν όλα τα σημεία. 4

14 Σχήμα 2: Τα συστήματα συντεταγμένων σύμφωνα με την μέθοδο Denavit-Hartemberg, χωρίς να φαίνεται ο βραχίονας Τα μητρώα μετασχηματισμού Denavit-Hartemberg τα οποία μετασχηματίζουν τις συντεταγμένες από το ένα σύστημα στο αμέσως προηγούμενο και τα χαρακτηριστικά μεγέθη είναι: Μέλος i Μεταβλητή α i ( o ) (mm) d i (mm) Περιοχή μεταβολής της θ i 1 Θ έως Θ έως 45 3 Θ έως 225 (2.3) (2.4) 5

15 (2.5) όπου: Τα θ 1, θ 2, θ 3 είναι οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των 3 αρθρώσεων του βραχίονα ενώ τα d 2 και a 2 είναι γεωμετρικά χαρακτηριστικά του βραχίονα τα οποία φαίνονται στο σχήμα 1. Τα μέλη του ρομποτικού βραχίονα έχουν προσομοιωθεί με κυλίνδρους με σφαιρικά άκρα. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και οι διαστάσεις των μελών του φαίνονται στο σχήμα 3 που ακολουθεί. Σχήμα 3: Διαστάσεις ρομποτικού βραχίονα 3 βαθμών ελευθερίας 6

16 2.3. Χαρακτηριστικά κινηματικά και γεωμετρικά μεγέθη ρομποτικού βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας Όπως και με τον βραχίονα 3 βαθμών ελευθερίας τα μέλη του βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας αναπαραστάθηκαν με κυλινδρικά κομμάτια που έχουν σφαιρικά άκρα. Τα συστήματα συντεταγμένων που εκλέχθηκαν σύμφωνα με την μεθοδολογία Denavit-Hartemberg παριστάνονται στα σχήματα 4 και 5. Σχήμα 4: Ρομποτικός βραχίονας 5 βαθμών ελευθερίας και άξονες συντεταγμένων των μελών κατά Denavit- Hartenberg 7

17 Σχήμα 5: Άξονες συντεταγμένων των μελών κατά Denavit-Hartenberg, χωρίς να φαίνεται ο βραχίονας Τα μητρώα μετασχηματισμού Denavit-Hartenberg και τα χαρακτηριστικά μεγέθη για τον παραπάνω βραχίονα είναι: Μέλος i Μεταβλητή α i ( o ) (mm) d i (mm) Περιοχή μεταβολής της θ i 1 Θ έως Θ έως 45 3 Θ έως Θ έως Θ έως 100 (2.6) (2.7) 8

18 (2.8) (2.9) (2.10) Όπου: Τα d 2 d 4 a 2 φαίνονται στο σχήμα 4 ενώ οι γωνίες θ 1 έως θ 5 είναι οι γωνίες των αρθρώσεων του βραχίονα. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και οι διαστάσεις του βραχίονα φαίνονται στο σχήμα 6 που ακολουθεί. Σχήμα 6: Διαστάσεις ρομποτικού βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας 9

19 3. Στάθμη γνώσεων Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάπτυξη της μεθοδολογίας επίλυσης του προβλήματος εύρεσης βέλτιστης διαδρομής Grassfire αλγόριθμος (Dijkstra algorithm) Ο grassfire είναι ένας αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής (single-source shortest path problem) μεταξύ δύο κόμβων ενός πλέγματος. [4] Πως Λειτουργεί: Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί ένα ν-διαστατο πλέγμα με ένα αρχικό και ένα τελικό σημείο. Αρχικά σε έναν πίνακα Α σημειώνεται το αρχικό σημείο, και ένας πίνακα Β, που έχει όσες διαστάσεις έχει και το πλέγμα, γεμίζει με μεγάλες τιμές (10 5 ), εκτός της θέσης όπου βρίσκεται το αρχικό σημείο το οποίο παίρνει την τιμή 0 1. Για κάθε σημείο του πίνακα Α αναζητούνται όλα τα γειτονικά σημεία τα οποία είναι προσβάσιμα. 2. Για κάθε ένα από αυτά τα σημεία υπολογίζεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, c, για την μετακίνηση από το προηγούμενο σημείο στο παρόν. Αν η τιμή του πίνακα Β στην θέση του σημείου αυτού είναι μικρότερη τιμή του πίνακα Β στην θέση του σημείου από το οποίο προήλθε συν το c που υπολογίστηκε, τότε το σημείο αυτό μπαίνει στον πίνακα Α και η τιμή του πίνακα Β στην θέση του σημείου αυτού αυτή γίνεται ίση με το άθροισμα που αναφέραμε πριν. Επίσης ένας πίνακας Γ ίδιου μεγέθους με τον Β, στην θέση του σημείου που βρέθηκε πριν, γεμίζει με τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο προήλθε (θα χρειαστεί για την αντίστροφη διαδρομή). 3. Αν ο πίνακας Α είναι κενός ή η τιμή του πίνακα Β στην θέση του τελικού σημείου είναι η μικρότερη στον πίνακα Β, ο αλγόριθμος τερματίζει, αλλιώς επαναλαμβάνεται το βήμα 1 4. Στον πίνακα Γ από την θέση του τελευταίου σημείου ακολουθείται η διαδρομή που είναι σημειωμένη σε κάθε σημείο 3.2. Αλγόριθμος A* O αλγόριθμος A* είναι ένας υπολογιστικός αλγόριθμος που χρησιμοποιείται σε προβλήματα εύρεσης μονοπατιού (path finding) μεταξύ δύο θέσεων. Χρησιμοποιεί 'best first' αναζήτηση και βρίσκει την διαδρομή με το μικρότερο κόστος από ένα δεδομένο αρχικό σημείο σε ένα τελικό. Πως Λειτουργεί: Χρησιμοποιεί την συνάρτηση κόστους. που αποτελείται από 2 μέρη, Η συνάρτηση αναπαριστά το κόστος της μετακίνησης από το αρχικό σημείο μέχρι κάποιο σημείο. Στο σημείο η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται αθροίζοντας το κόστος της μετακίνησης από το αρχικό σημείο μέχρι το σημείο από το οποίο προήλθε το παρόν σημείο,, συν το κόστος μετακίνησης από το προηγούμενο σημείο στο παρόν σημείο. 10 (3.1)

20 Η συνάρτηση αντιπροσωπεύει το ελάχιστο δυνατό κόστος από το παρόν σημείο μέχρι το τελικό. Η συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με ένα συντελεστή βαρύτητας ε, ο οποίος μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη ή ίση της μονάδας. Όταν το ε>1 τότε η το κόστος μετακίνησης από κάποιο σημείο μέχρι το τελικό,, έχει μεγαλύτερη βαρύτητα από το κόστος μετακίνησης από το αρχικό σημείο μέχρι το σημείο,. Αυτό σημαίνει ότι όσο πιο κοντά βρίσκεται ένα σημείο στο τελικό σημείο, τόσο μικρότερη τιμή θα έχει η συνάρτησης κόστους,. Αποδεικνύεται ότι το κόστος της διαδρομής που θα βρεθεί από τον αλγόριθμο Α* μπορεί να είναι έως και ε φορές μεγαλύτερο από το κόστος της διαδρομής που βρίσκει ο αλγόριθμος Α* με βάρος ε=1. Όσο αυξάνεται όμως η τιμή του ε, αναμένεται να μικρύνει ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου. Όπως και ο αλγόριθμος grassfire, ο αλγόριθμος βρίσκει μία βέλτιστη διαδρομή σε ένα διακριτό χώρο, δίνοντας όμως προτεραιότητα στα σημεία που a priori έχουν την μικρότερη αναμενόμενη συνάρτηση κόστους προς το τελικό σημείο. Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου δεν είναι σταθερός αλλά εξαρτάται από την δομή του χώρου και τυπικά αναμένεται να ολοκληρωθεί σε μικρότερο χρόνο από τον grassfire ο οποίος έχει σταθερό χρόνο εκτέλεσης για δεδομένα αρχικά και τελικά σημεία. Αυτή η βελτίωση έρχεται με κόστος σε χρήση της μνήμης. H διαδικασία που ακολουθεί ο αλγόριθμος είναι η εξής: Ξεκινώντας από το αρχικό σημείο, ο αλγόριθμος διατηρεί μια λίστα σημείων προς έλεγχο γνωστή σαν open list. Όσο μικρότερη η τιμή της συνάρτησης στο σημείο, τόσο αυξάνει και η προτεραιότητα για έλεγχο αυτού του σημείου. Σε κάθε βήμα το σημείο με την μικρότερη διαγράφεται από την λίστα, οι τιμές των συναρτήσεων και των γειτονικών του σημείων υπολογίζονται και τα σημεία αυτά τοποθετούνται στην λίστα. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι η τιμή της συνάρτησης του τελικού σημείου να είναι η μικρότερη από την τιμή της συνάρτησης όλων των υπολοίπων σημείων στην λίστα. Το διάγραμμα ροής του αλγορίθμου Α* φαίνεται στο σχήμα 7 που ακολουθεί. [5] (3.2) 11

21 Εικόνα 7: Διάγραμμα ροής του A* αλγόριθμου. Στα σχήματα 8 και 9 παρουσιάζεται μια εφαρμογή του αλγόριθμου A* για την εύρεση της διαδρομής στο επίπεδο xy ενός κινητού ρομπότ. Δίνονται η αρχική και τελική θέση του ρομπότ και το εμπόδιο. Σκοπός είναι να βρεθεί η διαδρομή με τον μικρότερο χρόνο κίνησης από το αρχικό στο τελικό σημείο, γνωρίζοντας ότι το ρομπότ μπορεί να κινηθεί κατά τους άξονες x και y με την ίδια ταχύτητα. Οι άδειοι κύκλοι αντιπροσωπεύουν τα σημεία του open list, τα οποία μετά το πέρας του αλγορίθμου δεν έχουν διερευνηθεί. Οι χρωματισμένοι κύκλοι είναι τα σημεία που 12

22 έχουν διερευνηθεί. Το χρώμα στους κύκλους υποδηλώνει την απόσταση από την αρχική θέση. Όσο πιο πράσινο τόσο πιο μακριά από αυτή. Η πράσινη γραμμή αντιπροσωπεύει την βέλτιστη διαδρομή που βρήκε ο αλγόριθμος Α* [6]. Σχήμα 8: Παράδειγμα με χρήση αλγόριθμου Α* με βάρος=1 Σχήμα 9: Παράδειγμα με χρήση αλγόριθμου Α* με βάρος>1 13

23 3.3. Bresenham line αλγόριθμος Ο αλγόριθμος Bresenham είναι ένας αλγόριθμός που καθορίζει ποια σημεία σε ένα ν-διαστατο πλέγμα πρέπει να σχεδιαστούν για να δημιουργηθεί προσεγγίστηκα μια ευθεία γραμμή ανάμεσα σε δύο δοσμένα σημεία. Χρησιμοποιείται ευρέως για να σχεδιάζονται γραμμές στην οθόνη του υπολογιστή. O αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε είναι μια τροποποίηση του Bresenham για περισσότερες από 2 διαστάσεις που χρησιμοποιείται στα σχεδιαστικά προγράμματα. Στο σχήμα 10 φαίνεται η εύρεση των στοιχείων ενός πλέγματος που αναπαριστούν ένα ευθύγραμμο τμήμα [7],[8]. Σχήμα 10: Αποτέλεσμα του αλγόριθμου Bresenham σε πρόβλημα 2 διαστάσεων Γενετικοί Αλγόριθμοι Ο τρόπος λειτουργίας των Γενετικών Αλγορίθμων είναι εμπνευσμένος από την βιολογία. Χρησιμοποιεί την ιδέα της εξέλιξης μέσω γενετικής μετάλλαξης, φυσικής επιλογής και διασταύρωσης. Στην πράξη ο αλγόριθμος ξεκινά μ' ένα σύνολο λύσεων - ονομάζονται γονιδιώματα, δανειζόμενες το όνομά τους από τη βιολογία- οι οποίες συνιστούν τον "πληθυσμό". Κατόπιν ζητείται από τον υπολογιστή να δημιουργήσει μια σειρά τυχαίων ανασυνδυασμών και μεταλλάξεων των "γονιδιωμάτων". Οι πιο ικανές λύσεις για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα συνεχίζουν να εξελίσσονται και ανασυνδυάζονται τυχαία, μέχρις ότου "επιβιώσουν" οι καλύτερες. Συνήθως, όσο περισσότερες γενιές περνούν τόσο καλύτερες λύσεις βρίσκονται, μπορεί όμως ο αλγόριθμος να βρεθεί σε σημείο του πεδίου των λύσεων από όπου και δεν μπορεί να προχωρήσει λόγο του ότι βρίσκεται σε τοπικό μέγιστο. Για το λόγο αυτό έχουν υπάρχουν διαφορετικές εκδοχές του αλγόριθμου ανάλογα με τη μορφή του προβλήματος. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι είναι αρκετά απλοί στην υλοποίησή τους. Οι τιμές για τις παραμέτρους του συστήματος πρέπει να κωδικοποιούνται με τρόπο ώστε να αναπαρασταθούν από μια μεταβλητή που περιέχει σειρά χαρακτήρων ή δυαδικών ψηφίων (0/1). Αυτή η μεταβλητή μιμείται το γενετικό κώδικα (γονιδίωμα) που υπάρχει στους ζωντανούς οργανισμούς. Αρχικά, ο Γενετικός Αλγόριθμος παράγει πολλαπλά αντίγραφα της μεταβλητής/γενιτικού κώδικα, 14

24 συνήθως με τυχαίες τιμές, δημιουργώντας ένα πληθυσμό λύσεων. Κάθε λύση (τιμές για τις παραμέτρους του συστήματος) δοκιμάζεται για το πόσο κοντά φέρνει την αντίδραση του συστήματος στην επιθυμητή, μέσω μιας συνάρτησης που δίνει το μέτρο ικανότητας της λύσης και η οποία ονομάζεται συνάρτηση ικανότητας (Σ.Ι). Οι λύσεις που βρίσκονται πιο κοντά στην επιθυμητή, σε σχέση με τις άλλες, σύμφωνα με το μέτρο που μας δίνει η Σ.Ι, αναπαράγονται στην επόμενη γενιά λύσεων και λαμβάνουν μια τυχαία μετάλλαξη. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία για αρκετές γενιές, οι τυχαίες μεταλλάξεις σε συνδυασμό με την επιβίωση και αναπαραγωγή των γονιδιωμάτων/λύσεων που πλησιάζουν καλύτερα το επιθυμητό αποτέλεσμα θα παράγουν ένα γονίδιο/λύση που θα περιέχει τις τιμές για τις παραμέτρους που ικανοποιούν όσο καλύτερα γίνεται την Σ.Ι. Υπάρχουν διάφορες εκδοχές της παραπάνω διαδικασίας για τους Γ.Α από τις οποίες κάποιες περιλαμβάνουν και τη διασταύρωση (ζευγάρωμα) γονιδίων/λύσεων ώστε ο αλγόριθμος να φτάσει στο αποτέλεσμα πιο γρήγορα. Καθώς υπάρχει το στοχαστικό (τυχαίο) συστατικό της μετάλλαξης και ζευγαρώματος, κάθε εκτέλεση του Γ.Α μπορεί να συγκλίνει σε διαφορετική λύση και σε διαφορετικό χρόνο. Η απόδοση του Γ.Α εξαρτάται επί το πλείστον από την συνάρτηση ικανότητας και συγκεκριμένα από το κατά πόσο το μέτρο της περιγράφει την βέλτιστη λύση [1],[2],[9] Pattern Search αλγόριθμος Ο pattern Search αλγόριθμος είναι μια ευριστική μέθοδος βελτιστοποίησης που όπως και ο γενετικός αλγόριθμος δεν χρησιμοποιεί παραγώγους. Πως Λειτουργεί Από ένα αρχικό σημείο, π.χ. σε πρόβλημα 2 μεταβλητών (x 1,x 2 ), δημιουργεί ένα πλέγμα από σημεία τα οποία αποτελούνται από τα γειτονικά του αρχικού. Στην περίπτωση αυτή το πλέγμα με τα σημεία είναι (x 1 +d,x 2 ), (x1-d,x 2 ), (x 1,x 2 +d), (x 1,x 2 -d), όπου d είναι ένας πραγματικός αριθμός. Αν κάποιο από αυτά τα σημεία δίνει καλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από το αρχικό τότε αυτό παίρνει την θέση του αρχικού και η το d παραμένει σταθερό ή μεγαλώνει. Σε αντίθετη περίπτωση το αρχικό σημείο παραμένει το ίδιο και το d ελαττώνεται (συνήθως γίνεται το μισό). Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου γίνει ο προκαθορισμένος αριθμός επαναλήψεων ή το d γίνει πολύ μικρό. Στο σχήμα 11 παριστάνονται τα βήματα που ακολουθεί ο αλγόριθμος για την εύρεση του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης [10]. Σχήμα 11: Pattern search μετά από 5 επαναλήψεις 15

25 4. Προσδιορισμός βέλτιστης διαδρομής κίνησης ρομποτικού βραχίονα Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται η μαθηματική προσέγγιση του προβλήματος καθώς και οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι με τους οποίους γίνεται η επίλυση του. Το θεωρητικό υπόβαθρο που χρειάζεται για την κατανόηση της λειτουργίας των αλγορίθμων παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος για ρομποτικό βραχίονα που m βαθμών ελευθερίας με m περιστροφικές αρθρώσεις. Για την επίλυση του προβλήματος έγιναν οι εξής παραδοχές: Οι αρθρώσεις του βραχίονα μπορούν να κινηθούν με την μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που δίνεται για την κάθε άρθρωση. Η περιγραφή της διαδρομής στο επίπεδο των αρθρώσεων του βραχίονα γίνεται με ευθύγραμμα τμήματα. Ο βραχίονας και τα εμπόδια είναι προσομοιωμένα με κυλινδρικές επιφάνειες. Κατά την κίνηση του βραχίονα στα ευθύγραμμα τμήματα δεν υπάρχει σύγκρουση με το εμπόδιο. Σύμφωνα με τα παραπάνω ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για την μετακίνηση του βραχίονα από ένα σημείο x n σε ένα άλλο x n+1 όταν δεν παρεμβάλλεται εμπόδιο ανάμεσα τους, υπολογίζεται από την σχέση: (3.3) όπου η γωνία που παίρνει η άρθρωση i στο σημείο και η μέγιστη επιτρεπτή γωνιακή ταχύτητα κάθε άρθρωσης. Έτσι μια διαδρομή που αποτελείται από ν σημεία ο συνολικός χρόνος κίνησης είναι: Επειδή όμως δεν μας ενδιαφέρει μόνο ο χρόνος της διαδρομής αλλά και η ενέργεια που καταναλώνεται πρέπει να βρεθεί και μια ποσότητα που να προσδιορίζει αυτό το μέγεθος. Ο παρακάτω όρος στην σχέση (3.5) δίνει ένα μέτρο για το πόσο κινήθηκαν οι αρθρώσεις του βραχίονα επομένως και της ενέργειας που θα καταναλώσει. Από ένα σημείο σε ένα άλλο ισχύει Όπου είναι ένας συντελεστής βαρύτητας της ενέργειας που καταναλώνει ο κινητήρας κάθε άρθρωσης. Για ολόκληρη την διαδρομή αυτός ο όρος προκύπτει: 16 (3.6) (3.4) (3.5)

26 Έτσι το πρόβλημα διαμορφώνεται πλέον στην εύρεση των τιμών των μεταβλητών που δίνουν το ολικό ελάχιστο στην αντικειμενική συνάρτηση F: (3.7) όπου είναι τα βάρη των 2 αυτών όρων 4.2. Προτεινόμενοι αλγόριθμοι Οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι που ακολουθούν περιλαμβάνουν δύο στάδια στην διαδικασία εύρεσης βέλτιστης διαδρομής. Το πρώτο στάδιο είναι κοινό για όλους τους αλγορίθμους και αποτελεί διαδικασία που γίνεται μία μόνο φορά για μια συγκεκριμένη τοποθέτηση ρομποτικού βραχίονα εμποδίου. Στο σχήμα 12 φαίνονται περιληπτικά τα στάδια των προτεινόμενων αλγόριθμων Πρώτο στάδιο Σχήμα 12: Προτεινόμενοι αλγόριθμοι Πρώτο στάδιο όλων των αλγορίθμων είναι η δημιουργία του C-space του βραχίονα-εμποδίου. Ο C-space είναι ο χώρος με τις πιθανές θέσεις που μπορεί να κατέχει ένα σύστημα το οποίο υπόκειται σε περιορισμούς. Για την δημιουργία του C-space, λύθηκε το ορθό πρόβλημα της κινηματικής του βραχίονα για διάφορες γωνίες των αρθρώσεων μέσα στα όρια λειτουργίας. Οι συντεταγμένες των γωνιών όπου δεν παρατηρείται σύγκρουση με κάποιο εμπόδιο αποτελούν το Configuration space (C-space). 17

27 O βραχίονας και το εμπόδιο αναπαραστάθηκε χρησιμοποιώντας κυλίνδρους. Ο έλεγχος σύγκρουσης πραγματοποιήθηκε μεταξύ των μελών του βραχίονα και του εμποδίου, αλλά και μεταξύ των ίδιων των μελών. Αυτό πραγματοποιήθηκε ως εξής: Για κάθε μέλος του βραχίονα βρέθηκε η ελάχιστη απόσταση d(r(i),r(j)) μεταξύ του άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου (που έχει ακτίνα R(i), όπου i το μέλος i του βραχίονα) και του άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου του κάθε εμποδίου (που έχει ακτίνα ρ(j), όπου j το εμπόδιο j) [11]. Σχήμα 13: Έλεγχος σύγκρουσης κυλινδρικών επιφανειών Αν κάποια από τις αποστάσεις d(r(i),r(j)) είναι μικρότερη από το άθροισμα R(i)+r(j), τότε υπάρχει σύγκρουση μεταξύ βραχίονα και εμποδίου. Με την ίδια λογική ελέγχεται και αν πραγματοποιείται σύγκρουση μεταξύ των διαφορετικών μελών του βραχίονα. Έτσι δημιουργείται ένας πίνακας στον οποίο φαίνεται σε ποιες θέσεις του διακριτοποιημένου χώρου υπάρχει σύγκρουση και σε ποιες όχι. Μέσω αυτού γίνεται δυνατός ο έλεγχος συγκρούσεων κατά την διαδρομή του βραχίονα. Στο σχήμα 14 παρουσιάζεται ο C-space του ζεύγους βραχίονα-εμποδίου που βρίσκονται στον χώρο εργασίας (workspace) [12],[13]. Σχήμα 14: Μετάβαση από το Work space στο Configuration Space (C-space) σε ρομποτικό βραχίονα 2 βαθμών ελευθερίας 18

28 Δεύτερο Στάδιο Δεύτερο βήμα είναι ο καθορισμός του μονοπατιού που θα ακολουθήσει ο βραχίονας στο C-space. Για την εύρεση του χρησιμοποιήθηκαν 4 διαφορετικές μεθοδολογίες που παρουσιάζονται στην συνέχεια. Στις 3 πρώτες γίνεται χρήση ευριστικών αλγορίθμων βελτιστοποίησης, ενώ στην τέταρτη ενός συνδυασμού από ευριστικούς και ντετερμινιστικούς αλγορίθμους βελτιστοποίησης. Ποιο αναλυτικά οι μεθοδολογίες είναι οι εξής: η μέθοδος Η πρώτη μέθοδος για την εύρεση του μονοπατιού κάνει χρήση του αλγόριθμου grassfire. Παρόλο που ο αλγόριθμος αυτός είναι εύκολος στην υλοποίηση, δεν είναι καθόλου γρήγορος, ειδικά σε προβλήματα με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Για αυτόν τον λόγο δεν παρουσιάζω και τα αποτελέσματα του. Παρόλα αυτά είχε το πλεονέκτημα ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πρόβλημα όπου δεν επιζητούνται προκαθορισμένες θέσεις των αρθρώσεων η μέθοδος Στην δεύτερη μέθοδο γίνεται χρήση του αλγόριθμου Α* για την εύρεση της διαδρομής. Παρόλο που ο αλγόριθμος Α* είναι πιο γρήγορος από τον αλγόριθμο grassfire,όπως και στον αλγόριθμο grassfire, η βέλτιστη διαδρομή που βρίσκει ο Α* θα περνά πάντα από συνεχόμενα σημεία του πλέγματος. Έτσι στην ουσία υπεισέρχονται στο πρόβλημα βελτιστοποίησης περιορισμοί λόγο της χρησιμοποίησης του αλγορίθμου και μόνο η μέθοδος Στην τρίτη μέθοδο γίνεται χρήση του τροποποιημένου αλγόριθμου Α* για την εύρεση της διαδρομής, ο οποίος αποτελεί μια τροποποιημένη έκδοση του Α* που αναπτύχθηκε πάνω στα πλαίσια της διπλωματικής. Οι ευριστικοί αλγόριθμοι της 1 ης και 2 ης μεθοδολογίας βρίσκουν μια βέλτιστη διαδρομή με την προϋπόθεση ότι η μετακίνηση από ένα σημείο γίνεται μόνο προς τα γειτονικά του στον διαφοροποιημένο χώρο στον οποίο κινείται. Αυτό όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δημιουργεί στο πρόβλημα περαιτέρω περιορισμούς. Έτσι ήταν επιτακτική η ανάγκη ανάπτυξης ενός αλγορίθμου που θα βρίσκει μια βέλτιστη διαδρομή στον διακριτό χώρο, χωρίς όμως η διαδρομή να περνά από διακριτά σημεία του χώρου. Αυτό πραγματοποιείται με την χρήση του τροποποιημένου Α* αλγόριθμου. Το διάγραμμα ροής του τροποποιημένου Α* αλγόριθμου φαίνεται στο σχήμα

29 Σχήμα 15: Διάγραμμα ροής τροποποιημένου A* αλγορίθμου 20

30 Πως λειτουργεί: Η γενική φιλοσοφία του τροποποιημένου αλγόριθμου είναι ίδια με αυτή του απλού A* αλγόριθμου. Αυτό που αλλάζει είναι ο τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης (βλέπε αλγόριθμο A*). To κόστος k(x) δεν αντιπροσωπεύει πλέον το κόστος της διαδρομής από το παρόν σημείο, Θ n, μέχρι το σημείο από το οποίο προήλθε, Θ n-1, αλλά αντιπροσωπεύει το κόστος της διαδρομής από το παρόν σημείο Θ n μέχρι το σημείο Θ s. To σημείο Θ s είναι το πιο μακρινό σημείο της διαδρομής από την οποία προήλθε το σημείο Θ n και υπολογίζεται ως εξής: Από το σημείο Θ n-1 ακολουθείτε ηαντίστροφη πορεία από την οποία προέκυψε δηλαδή το Θ n-2. Αν μεταξύ αυτού του νέου σημείου και του παρόντος σημείου Θ n δεν υπάρχουν εμπόδια( δηλαδή αν στο ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν αυτά τα 2 σημεία, δεν παρεμβάλλεται εμπόδιο), τότε το σημείο Θ n-2 παίρνει την θέση του Θ n-1 και πλέον το k(θ n ) είναι το κόστος της διαδρομής από το καινούριο Θ n-1 έως να πάω απευθείας στο Θ n. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου υπάρξει κάποιο εμπόδιο μεταξύ αυτών των δύο σημείων ή έως ότου το σημείο Θ n-1 πάρει την τιμή του αρχικού σημείου Θ initial. Ο έλεγχος παρεμβολής εμποδίου ανάμεσα στα 2 σημεία γίνεται με την χρησιμοποίηση του αλγορίθμου bressenham, o οποίος δοσμένου αρχικού και τελικού σημείου βρίσκει τα ενδιάμεσα σημεία που αποτελούν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα 2 αυτά σημεία. Αν κανένα από αυτά τα σημεία που επιστρέφει ο αλγόριθμος δεν βρίσκονται πάνω σε εμπόδιο (δηλαδή στις συντεταγμένες αυτού του σημείου στον πίνακα C-space δεν παρατηρείται σύγκρουση), τότε σημαίνει ότι δεν παρεμβάλλεται εμπόδιο. Τα υπόλοιπα βήματα του αλγορίθμου είναι ακριβώς ίδια με του αλγόριθμου A*. Στο σχήμα 16 παρουσιάζεται μια εφαρμογή του τροποποιημένου αλγόριθμου A* για την εύρεση της διαδρομής σε επίπεδο xy, ενός κινητού ρομπότ. Δίνονται η αρχική και τελική θέση του ρομπότ και το εμπόδιο. Σκοπός είναι να βρεθεί η διαδρομή με την ελάχιστη απόσταση από το αρχικό σημείο [1,1] στο τελικό σημείο [100,100]. Τα άδεια τετράγωνα αντιπροσωπεύουν τα σημεία του open list, τα οποία μετά το πέρας του αλγορίθμου δεν έχουν διερευνηθεί. Τα μωβ τετράγωνα είναι τα σημεία που έχουν διερευνηθεί. Η γαλάζια γραμμή αντιπροσωπεύει την βέλτιστη διαδρομή που βρήκε ο αλγόριθμος. 21

31 Σχήμα 16: Εύρεση διαδρομής με την ελάχιστη απόστασης σε πρόβλημα κίνησης κινητού ρομπότ με χρήση του τροποποιημένου Α* αλγόριθμου. Στο σχήμα 17 παρουσιάζεται η επίλυση του προβλήματος εύρεσης ελάχιστης απόστασης σε ένα κινητό ρομπότ με χρήση του τροποποιημένου και απλού A*. Η αρχική θέση βρίσκεται στο σημείο [1,1] και η τελική στο [100,100]. Σχήμα 17: Διαδρομή με χρήση του αλγόριθμου A* και του τροποποιημένου A* αλγόριθμου 22

32 Η διαδρομή που είναι σχεδιασμένη με μπλε γραμμή είναι η λύση του αλγόριθμου A*, ενώ αυτή με την γαλάζια γραμμή είναι η λύση του τροποποιημένου A* αλγόριθμου. Ο A* μπορώντας να κινηθεί μόνο στα αριστερά, δεξιά, πάνω, κάτω, και διαγώνια διπλανά σημεία, βρίσκει την βέλτιστη διαδρομή για αυτούς τους περιορισμούς στην κίνηση. Αντίθετα ο τροποποιημένος αλγόριθμος μπορεί να μετακινηθεί σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου η μέθοδος Η τελευταία μεθοδολογία που χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση του μονοπατιού συνδυάζει τους αλγορίθμους βελτιστοποίησης Α*, γενετικό και pattern search καθώς και έναν αλγόριθμο μείωσης ενδιάμεσων κόμβων. Ο συνδυασμός των τεσσάρων αυτών αλγορίθμων από δω και στο εξής θα αναφέρεται ως υβριδικός αλγόριθμος. Ο αλγόριθμος αυτός έχει 4 στάδια τα οποία παρουσιάζονται παρακάτω: 1 ο στάδιο: Εύρεση μιας αρχικής βελτιστοποιημένης διαδρομής από την αρχική θέση στην τελική, ελεύθερης συγκρούσεων, με την χρήση του αλγορίθμου Α star. H διαδικασία εύρεσης της διαδρομής αυτής είναι ίδια με αυτήν που παρουσιάστηκε στη μέθοδο 2. Η διαδρομή που θα βρεθεί θα χρησιμοποιηθεί ως αρχικός πληθυσμός στον γενετικό αλγόριθμο. 2 ο στάδιο: Μείωση των σημείων της διαδρομή που βρέθηκε στο πρώτο στάδιο με την χρήση ενός αλγόριθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων. Ο αλγόριθμος αυτός δεν είναι αλγόριθμος βελτιστοποίησης καθώς η χρήση του αποσκοπεί μόνο στο να μειωθεί ο αριθμός των μεταβλητών που υπεισέρχονται στον γενετικό αλγόριθμο και όχι στην ελαχιστοποίηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. 3 ο στάδιο: Χρήση του γενετικού αλγορίθμου για την εύρεση των m θέσεων οι οποίες θα αποτελούν τα άκρα των ευθυγράμμων τμημάτων από τα οποία αποτελείται η διαδρομή που θα ακολουθήσει ο βραχίονας. Αυτές οι άγνωστες παράμετροι είναι επομένως οι μεταβλητές του προβλήματος ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης. Η αντικειμενική συνάρτηση που ελαχιστοποιείται στον αλγόριθμο είναι η συνάρτηση F της σχέσης (3.7) στην οποία προστίθεται όμως και μια συνάρτηση ποινής για κάθε τμήμα που πραγματοποιείται σύγκρουση. (3.9) Ο έλεγχος της σύγκρουσης δεν γίνεται μόνο στις m θέσεις που αναφέρθηκαν πιο πάνω αλλά και για τα ενδιάμεσα σημεία των ευθύγραμμων τμημάτων των οποίων οι m αυτές θέσεις αποτελούν άκρα. Τα ενδιάμεσα σημεία των ευθύγραμμων αυτών τμημάτων υπολογίζοντας χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο bresenham και ελέγχοντας από τον C-space αν υπάρχει σύγκρουση σε εκείνες τις θέσεις. Έτσι =0 αν δεν πραγματοποιήται σύγκρουση σε κανένα ενδιάμεσο σημείο των. Διαφορετικά το = c = σταθερό κόστος. Έτσι οι διαδρομές στις οποίες πραγματοποιείται σύγκρουση τιμωρούνται με αύξηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο αλγόριθμος αυτός παρότι σχετικά γρήγορος, υπάρχει περίπτωση να εγκλωβιστεί σε τοπικό ελάχιστο (αν και θεωρητικά σε άπειρο χρόνο ο γενετικός εγγυάται εύρεση βέλτιστης λύσης). 4 ο στάδιο: Χρήση του αλγόριθμου pattern search ο οποίος ξεκινώντας από την λύση που δίνει ο 23

33 γενετικός αλγόριθμος στο 3 ο στάδιο δίνει την τελική διαδρομή. Ο pattern search χρησιμοποιείται γιατί συγκλίνει πιο γρήγορα από τον γενετικό αλγόριθμο στο τοπικό ελάχιστο της αντικειμενικής συνάρτησης. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι η ίδια που χρησιμοποιεί και ο γενετικός αλγόριθμος στο 3 ο στάδιο. 5. Εφαρμογές των προτεινόμενων αλγόριθμων Οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι εφαρμόστηκαν σε προβλήματα με τους ρομποτικούς βραχίονες 3 και 5 βαθμών ελευθερίας που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 3. Χρησιμοποιήθηκαν διάφορα εμπόδια, ταχύτητες αρθρώσεων, διακριτοποιήσεις, καθώς και επιθυμητές αρχικές και τελικές θέσεις του βραχίονα Ρομποτικός βραχίονας 3 βαθμών ελευθερίας Η πρώτη πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε είναι η παρακάτω. Ο βραχίονας 3 βαθμών ελευθερίας που περιγράφεται στο κεφάλαιο 3.1 και το εμπόδιο που φαίνεται στo σχήμα 18. Σχήμα 18: Διαστάσεις εμποδίου Το αποτελείται από κυλίνδρους διαμέτρου 80 mm. Εμπόδιο και βραχίονας φαίνονται στο σχήμα

34 Σχήμα 19:Εμπόδιο (μπλε σωλήνες) δίπλα στον βραχίονα Πρώτο βήμα είναι ο υπολογισμός του C-space του βραχίονα-εμποδίου. Οι γωνίες του βραχίονα κυμαίνονται μεταξύ των ορίων: -160 o < θ 1 < 160 o -225 o < θ 2 < 45 o -45 o < θ 3 < 225 o Το πλέγμα του C-space είναι διακριτοποιημένο ανά 5.15 o και στις τρεις μεταβλητές (θ 1, θ 2, θ 3 ). Το C-space απεικονίζεται στα σχήματα 20 και 21. Τα τετράγωνα αναπαριστούν τις θέσεις όπου παρατηρείται σύγκρουση του βραχίονα με το εμπόδιο. Σχήμα 20: Εμπόδιο που αναπαριστάται με κίτρινα τετράγωνα στο C-space. Μια μονάδα μήκος πάνω στους άξονες αντιπροσωπεύει μεταβολή 5.15 o στις αρθρώσεις. 25

35 Σχήμα 21: C-space από διαφορετική οπτική γωνία Επίλυση εφαρμογών με χρήση του A* αλγορίθμου Στις τρεις πρώτες εφαρμογές χρησημοποιήθηκε η ίδια αρχική και τελική τοποθέτηση του βραχίονα που φένεται στα σχήματα 22 έως 25, αλλά η κάθε εφαρμογή διαφέρει από την προηγούμενη ως προς τις μέγιστες ταχύτητες αρθρώσεων. Επίσης έγινε επίλυση για ένα έυρος τιμών του βάρους του A* αλγόριθμου και έγινε σύγκριση αποτελεσμάτων. Τα δεδομένα τριών πρώτων εφαρμογών φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Συντεταγμένες στο C-space Θέση άρθρωσης σε ο X 1 Χ 2 X 3 Θ 1 Θ 2 Θ 3 Αρχική θέση Τελική θέση Σημεία πλέγματος C-space/μονάδα χρόνου Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα αρθρώσεων (μοίρες/sec) Εφαρμογή Άρθρωση Άρθρωση

36 Σχήμα 22: Βραχίονας στην αρχική θέση αρθρώσεων [ 50, 1, 1 ] Σχήμα 23: Βραχίονας στην αρχική θέση αρθρώσεων από διαφορετική οπτική γωνία 27

37 Σχήμα 24: Βραχίονας στην τελική θέση αρθρώσεων [ 5, 1, 40] Σχήμα 25: Βραχίονας στην τελική θέση αρθρώσεων από διαφορετική οπτική γωνία 28

38 Για την τέταρτη και πέμπτη εφαρμογή χρησημοποιήθηκε η αρχική και τελική τοποθέτηση του βραχίονα που φένεται στα σχήματα 26 και 27. Όπως και οι 3 πρώτες εφαρμογές και αυτές επιλύθηκαν για ένα έυρος τιμών του βάρους του A* αλγόρίθμου. Τα δεδομένα των εφαρμογών 4 και 5 φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Συντεταγμένες στο C-space Θέση άρθρωσης σε ο X 1 Χ 2 X 3 Θ 1 Θ 2 Θ 3 Αρχική θέση Τελική θέση Σημεία πλέγματος C-space/μονάδα χρόνου Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα αρθρώσεων (μοίρες/sec) Εφαρμογή Άρθρωση Άρθρωση Σχήμα 26: Αρχική θέση 29

39 Σχήμα 27: Βραχίονας στην τελική θέση αρθρώσεων [ 5, 1, 40] Εφαρμογή 1 Στην πρώτη εφαρμογή οι μέγιστες ταχύτητες σε όλες τις αρθρώσεις (στο επίπεδο τον μεταβλητών του C-space) είναι ίδιες. Το πρόβλημα λύθηκε για ένα εύρος τιμών του βάρους και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται γραφικά στα σχήματα που ακολουθούν. Στο σχήμα 28 φαίνεται πως μεταβάλλεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, συναρτήσει της τιμής του βάρους του αλγόριθμου Α*. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης παραμένει σταθερή για όλο το εύρος των βαρών. Αυτό συμβαίνει, είτε γιατί οι διαδρομές είναι ίδιες, είτε γιατί οι διαφορετικές διαδρομές έχουν το ίδιο αντικειμενικό κόστος. Στο σχήμα 31 πχ. οι διαδρομές που βρέθηκαν από τον αλγόριθμο είναι διαφορετικές ενώ η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ίδια για όλα τα βάρη 1,2 και 3. 30

40 Σχήμα 28: Αντικειμενική συνάρτηση (απαιτούμενος χρόνος διαδρομής) συναρτήσει βάρους (weight) Στο σχήμα 29 παρουσιάζεται ο χρόνος επίλυσης του αλγορίθμου συναρτήσει του βάρους. Ο χρόνος εκτέλεσης για βάρος = 1 είναι ιδιαίτερα μεγάλος σε σχέση με τους υπόλοιπους χρόνους και αυτό οφείλεται στο ότι στον αλγόριθμος Α* για μοναδιαίο βάρος η επιλογή των σημείων προς έλεγχο ακολουθεί μια προκαθορισμένη φορά, η οποία είναι αποτέλεσμα του προγραμματισμού του αλγορίθμου. Για βάρη μεγαλύτερα του 1, η επιλογή των σημείων που γίνεται με κριτήριο την απόσταση από το τελικό σημείο, και έτσι στις περιπτώσεις όπου υπάρχει περισσότερες από μία βέλτιστη διαδρομή τότε επιταχύνεται η εύρεση μίας εξ αυτών των διαδρομών αφού τα σημεία που ψάχνει ο αλγόριθμος τείνουν να πλησιάσουν το τελικό σημείο. Στα διαγράμματα των επόμενων παραδειγμάτων αντί για βάρος = 1 έχει επιλεγεί ίσο με για να ξεπεραστεί να μην δημιουργείτε τέτοιο πρόβλημα. 31

41 Σχήμα 29: Χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμου ως συνάρτηση του βάρους Επειδή ο χρόνος εκτέλεσης είναι υποκειμενικός, εξαρτάται δηλαδή από τον τρόπο προγραμματισμού, την γλώσσα προγραμματισμού, τα τεχνικά χαρακτηριστικά του υπολογιστή αλλά και από παράγοντες που δεν μπορούν να προβλεφτούν, όπως την χρήση cpu από προγράμματα που τρέχουν παράλληλα (π.χ. antivirus, internet explorer κ.α.), θεωρήθηκε σκόπιμο να παρατεθεί και ένα διάγραμμα (σχήμα 30) όπου παρουσιάζεται ο αριθμός των σημείων του C- space που ελέγχθηκαν (στοιχεία στην open list) και από τα οποία εξαρτάται άμεσα ο χρόνος εκτέλεσης. Σχήμα 30: Αριθμός των σημείων του C-space που βρίσκονται στην λίστα για έλεγχο 32

42 Παρακάτω στα σχήματα 31 και 32 παρουσιάζεται η γραφική απεικόνιση στον C-space, των διαδρομών που βρέθηκαν από τον αλγόριθμο για βάρος=1, βάρος=2 και βάρος=3. Σχήμα 31: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 1 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1,2 και 3 Σχήμα 32: Διαφορετική οπτική γωνία Παρατηρέιται ότι παρότι η διαδρομή αλλάζει για διαφορετικές τιμές των βάρών, όλες οι διαδρομές είναι βέλτιστες αφού έχουν το ίδιο αντικειμενικό κόστος με τη διαδρομή που 33

43 αντιστοιχεί σε βάρος=1 (βέλτιστο). Στην γενική περίπτωση αυτό δεν είναι το αναμενόμενο, καθώς αναμένεται ότι με την αύξηση του βάρους, θα αυξηθεί και το αντικειμενικό κόστος. Σε κάποιες περιοχές φαίνονται μόνο 2 διαδρομές επειδή η μία γραμμή επικαλύπτει την άλλη. Οι τροχιές του άκρου του βραχίονα των 3 διαδρομών που παριστάνονται στο C-space στα σχήματα 31 και 32 φαίνονται στο σχήμα 33 που ακολουθεί. Σχήμα 33: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 1 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1,2 και Εφαρμογή 2 Στην δεύτερη εφαρμογή η ταχύτητα μιας εκ των αρθρώσεων είναι πολύ μικρότερη από των υπολοίπων. Έτσι ο χρόνος κίνησης ουσιαστικά καθορίζεται από την κίνηση της άρθρωσης αυτής. Παρακάτω παρουσιάζονται γραφικά τα αποτελέσματα της επίλυση με τον αλγόριθμο A* για διάφορες τιμές του βάρους. Στο σχήμα 34 φαίνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου, συναρτήσει του βάρους. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για μικρές τιμές του βάρους παραμένει σταθερή ενώ όσο αυξάνει το βάρος παρατηρούνται μικρές αυξομειώσεις. Γενικά φαίνεται ότι το βάρος του αλγορίθμου Α* για τιμές μέχρι 3, δεν επηρεάζει σημαντικά την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Στο σχήμα 35 φαίνονται ποιοτικά ο αριθμός των σημείων που μπήκαν στην λίστα για έλεγχο, συναρτήσει του βάρους. 34

44 Σχήμα 34: Αντικειμενική συνάρτηση (απαιτούμενος χρόνος διαδρομής) και χρόνος εκτέλεσης αλγόριθμου συναρτήσει του βάρους (weight) Σχήμα 35: Αριθμός των σημείων του C-space που βρίσκονται στην λίστα για έλεγχο Στα παρακάτω σχήματα 36 και 37 παρουσιάζεται η γραφική απεικόνιση στον C-space των διαδρομών που βρέθηκαν από τον αλγόριθμο A* για βάρος=1 και βάρος=2. 35

45 Σχήμα 36: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 2 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και 2 Σχήμα 37: Διαδρομή από διαφορετική γωνία Στο σχήμα 38 έχει παρασταθεί γραφικά η τροχία του άκρου του βραχίονα για τις λύσεις που έδωσε ο αλγόριθμος Α* σε αυτήν την εφαρμογή, για βάρη 1 και 2. 36

46 Σχήμα 38: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 2 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και Εφαρμογή 3η Στην τρίτη εφαρμογή οι μέγιστες ταχύτητες αρθρώσεων είναι πάλι διαφορετικέςγια κάθε άρθρωση. Τα αποτελέσματα από την επίλυση του προβλήματος με τον αλγόριθμο A* για διάφορες τιμές του βάρους παρουσιάζονται στην συνέχεια. Στο σχήμα 39 φαίνεται η τιμή της αντικειμενική συνάρτησης συναρτήσει του βάρους του αλγόριθμου Α*. Σε αυτήν την εφαρμογή η τιμή της αντικειμενικής αυξάνει όσο αυξάνει η τιμή του βάρους ενώ ο χρόνος για τιμές του βάρους>1.7 και μέχρι την τιμή 3 ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου παραμένει πρακτικά σταθερός. Σχήμα 39: Αντικειμενική και χρόνος εκτέλεσης σαν συνάρτηση του βάρους. 37

47 Μια πιο λεπτομερής εξέταση στην περιοχή του βάρους από και παρουσιάζεται στο σχήμα 40. Σχήμα 40: Αντικειμενική και χρόνος εκτέλεσης σαν συνάρτηση του βάρους. Η γραφική απεικόνιση στον C-space της διαδρομής που βρέθηκε από τον αλγόριθμο A* για βάρος=1 φαίνεται στην σχήμα 41 ενώ η τροχιά του άκρου της διαδρομής αυτής φαίνεται στο σχήμα 42.. Σχήμα 41: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 3 με τον Α* αλγόριθμο για βάρος=1 38

48 Σχήμα 42: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 3 με τον Α* αλγόριθμο για βάρος= Εφαρμογή 4 Στην 4 η εφαρμογή η επίλυση με A* για διάφορες τιμές του βάρους έδωσε τα αποτελέσματα που ακολουθούν. Παρόμοια με τις προηγούμενες εφαρμογές, το σχήμα 43 δείχνει την τιμή που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση σε σχέση με το βάρος. Ενώ το σχήμα 44 δείχνει το χρόνο εκτέλεσης του αλγορίθμου συναρτήσει του βάρους. Για τιμές του βάρους>1.5 παρατηρείται ότι η τιμή της αντικειμενικής παραμένει σταθερή, όπως και ο χρόνος εκτέλεσης για τιμές του βάρους > 2. Σχήμα 43: Αντικειμενική συνάρτηση (χρόνος διαδρομής) σαν συνάρτηση του βάρους 39

49 Σχήμα 44: Χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμου ως συνάρτηση του βάρους Η γραφική απεικόνιση στον C-space των διαδρομών που βρέθηκαν από τον αλγόριθμο A* για βάρος=1 και 2 φαίνεται στην σχήμα 45. Σχήμα 45: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 4 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και 2 40

50 Η τροχιά του άκρου του βραχίονα της διαδρομής που βρέθηκε από τον αλγόριθμο Α* για βάρος=1 φαίνεται στο σχήμα 46, ενώ η τροχιά της διαδρομής με βάρος =2 φαίνεται στο σχήμα 47. Σχήμα 46: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 4 με τον Α* αλγόριθμο για βάρος=1 Σχήμα 47: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 4 με τον Α* αλγόριθμο για βάρος=2 41

51 Εφαρμογή 5 Η επίλυση της 5 ης εφαρμογής με τον αλγόριθμο A* για διάφορες τιμές του βάρους έδωσε τα εξής αποτελέσματα. Το σχήμα 48 δείχνει την τιμή που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση σε σχέση με το βάρος ενώ το σχήμα 49 δείχνει το χρόνο εκτέλεσης του αλγορίθμου συναρτήσει του βάρους. Σχήμα 48: Αντικειμενική (χρόνος διαδρομής) σαν συνάρτηση του βάρους Σχήμα 49: Χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμου σαν συνάρτηση του βάρους 42

52 Η διαδρομές που βρέθηκαν από τον αλγόριθμο Α* για βάρος = 1 και 2 έχουν παρασταθεί στον C- space και φαίνονται στο σχήμα 50, ενώ στο σχήμα 51 φαίνονται οι αντίστοιχες τροχιές του άκρου του βραχίονα για τις δύο αυτές διαδρομές. Σχήμα 50: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 5 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και 2 Σχήμα 51: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 5 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και 2 43

53 Παρατηρήσεις: Παρατηρείται ότι ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου έχει την μέγιστη τιμή στην περιοχή κοντά στα βάρη από 1-2 ενώ μετά από αυτήν την περιοχή ο χρόνος παραμένεις σχετικά σταθερός. Αυτό βέβαια εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα και δεν είναι σίγουρο ότι με μεγαλύτερο βάρος ο αλγόριθμος θα επιλύσει σε μικρότερο χρόνο. Από την άλλη είναι προφανές ότι με την αύξηση του βάρους υπάρχει και αύξηση ου αντικειμενικού κόστους. Μπορεί ένα μεγαλύτερο βάρος να οδηγήσει σε καλύτερο αντικειμενικό κόστος από ότι ένα μικρότερο αλλά πάντα η διαδρομή με βάρος = 1 έχει την ελάχιστο κόστος. Η διαδρομή με βάρος = 1 είναι βέλτιστη στα προβλήματα όπου οι μέγιστες ταχύτητες των αρθρώσεων είναι ίσες. Σε αντίθετη περίπτωση δεν είναι βέλτιστες. Για αυτόν τον λόγο αναπτύχθηκε ο τροποποιημένος αλγόριθμος A*, ο οποίος παρουσιάζεται στην αμέσως επόμενη εφαρμογή Επίλυση εφαρμογής με χρήση τροποποιημένου A* αλγορίθμου Επειδή όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο αλγόριθμος A* βρίσκει βέλτιστη λύση υπό προϋποθέσεις στην κίνηση, θεωρήθηκε σκόπιμο η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου που να βρίσκει βέλτιστη λύση σε οποιεσδήποτε συνθήκες κίνησης. Έτσι δημιουργήθηκε ο τροποποιημένος A* ο οποίος μπορεί να βρει βέλτιστη λύση ακόμα και σε προβλήματα που ο A* δεν μπορεί. Η εφαρμογή που ακολουθεί έγινε με σκοπό να συγκριθούν τα αποτελέσματα ενός προβλήματος που έχει επιλυθεί και με τους δυο αυτούς αλγορίθμους Εφαρμογή 6 Η 6 η εφαρμογή επιλύθηκε με τους αλγόριθμους A* και τροποιημένο A*. Τα δεδομένα των εφαρμογων αναγράφονται στον παρακάτω πίνακα Συντεταγμένες στο C-space Θέση άρθρωσης σε ο X 1 Χ 2 X 3 Θ 1 Θ 2 Θ 3 Αρχική θέση Τελική θέση Εφαρμογή Σημεία πλέγματος C-space/μονάδα χρόνου Άρθρωση Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα αρθρώσεων (μοίρες/sec) Άρθρωση Το πρόβλημα επιλύθηκε για βάρη=1 και 1.5. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα αποτελέσματα των λύσεων που έδωσε ο κάθε αλγόριθμος. 44

54 Βάρος αλγόριθμος A* Τροποποιημένος A* A* Τροποποιημένος A* Αντικειμενική Χρόνος επίλυσης (δευτερόλεπτα) Οι διαδρομές που βρέθηκαν από του 2 αυτούς αλγόριθμους για βάρη = 1 και 1.5 έχουν παρασταθεί στο C-spacε, στα σχήματα 52 και 53. Σχήμα 52: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 6 με τον τροποποιημένο και απλό Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και

55 Σχήμα 53: Διαδρομή στο C-space που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 6 με τον τροποποιημένο και απλό Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και 1.5, χωρίς να φαίνεται το εμπόδιο Στα σχήματα 54 και 55 φαίνονται οι τροχιές του άκρου του βραχίονα για τις διαδρομές που βρήκαν οι δύο αλγόριθμοι. Σχήμα 54: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 6 με τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και

56 Σχήμα 55: Τροχιά άκρου βραχίονα που προέκυψε από την επίλυση της εφαρμογής 6 με τον Α* αλγόριθμο για βάρη 1 και 1.5 Παρότι ο τροποποιημένος A* αλγόριθμος δίνει την βέλτιστη λύση, είναι πολύ πιο περίπλοκος στην υλοποίηση από τον απλό A* αλγόριθμο και έχει μεγαλύτερη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Αυτό τον καθιστά μη πρακτικό για προβλήματα μεγάλων βαθμών ελευθερίας ή πολύ μεγάλης διακριτοποίησης. Παρόλα αυτά στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζεται η λύση του προβλήματος εύρεσης βέλτιστης διαδρομής σε βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας με την χρήση του τροποποιημένου A* αλγόριθμου Επίλυση εφαρμογής με A* αλγόριθμο και αλγόριθμο μείωσης ενδιάμεσων σημείων. Επειδή ο υβριδικός αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε στα προβλήματα με βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας χρειάζεται τον αλγόριθμο μείωσης ενδιάμεσων κόμβων, επιλέχθηκε το παρακάτω παράδειγμα για να γίνει κατανοητή η λειτουργία του αλγόριθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων. Ο αλγόριθμος αυτός έχει ως είσοδο την λύση που δίνει ο αλγόριθμος Α* και ως έξοδο μια νέα διαδρομή με λιγότερους κόμβους, που δεν είναι απαραίτητα πιο καλή από άποψη κόστους από την διαδρομή από την οποία προήλθε. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα της εφαρμογής αυτής. 47

57 Σημεία πλέγματος C-space X 1 Χ 2 X 3 Αρχική θέση Τελική θέση Άρθρωση Σημεία πλέγματος C- space/μονάδα χρόνου Στα σχήματα 56 έως 61 έχουν παρασταθεί στο C-space η λύση του αλγόριθμου Α* για διάφορες τιμές των βαρών και οι αντίστοιχες διαδρομές του αλγόριθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων. Με γαλάζια γραμμή παρίσταται ο A* αλγόριθμος ενώ με μαύρη ο αλγόριθμος μείωσης των ενδιάμεσων σημείων. Με μπλε κύκλους συμβολίζονται οι θέσεις που ελέγχει ο A* αλγόριθμος. Σχήμα 56: Λύση αλγορίθμου A* με μοναδιαίο βάρος (γαλάζια γραμμή) και η αντίστοιχη διαδρομή από τον αλγόριθμο μείωσης των κόμβων της (μαύρη γραμμή). 48

58 Σχήμα 57: Λύση αλγορίθμου A* με βάρος=1.3 (γαλάζια γραμμή) και η αντίστοιχη διαδρομή από τον αλγόριθμο μείωσης των κόμβων της (μαύρη γραμμή). Σχήμα 58: Κάτοψη του σχήματος 57 49

59 Σχήμα 59: Λύση αλγορίθμου Α* με βάρος=1.7 (γαλάζια γραμμή) και η αντίστοιχη διαδρομή από τον αλγόριθμο μείωσης των κόμβων της (μαύρη γραμμή). Σχήμα 60: Αλγόριθμου Α* με βάρος=2.5 (γαλάζια γραμμή) και η αντίστοιχη διαδρομή από τον αλγόριθμο μείωσης των κόμβων της (μαύρη γραμμή). 50

60 Σχήμα 61: Σχήμα 60 από διαφορετική οπτική γωνία Παρατηρείται ότι όσο πιο μεγάλη η τιμή του βάρους τόσο λιγότερες θέσεις ελέγχει ο A* (μικρότερος χρόνος εκτέλεσης). 51

61 5.2 Ρομποτικός βραχίονας 5 βαθμών ελευθερίας Στις εφαρμογές που ακολουθούν έχει χρησιμοποιηθεί ο ρομποτικός βραχίονας 5 βαθμών ελευθερίας ο οποίος παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3. Χρησιμοποιήθηκαν 2 διαφορετικά εμπόδια ενώ η επίλυση των εφαρμογών αυτών έγινε με την χρήση του υβριδικού αλγορίθμου και του τροποποιημένου αλγόριθμου A* Πρώτη σειρά εφαρμογών με χρήση του υβριδικού αλγορίθμου Για την πρώτη σειρά εφαρμογών χρησιμοποιήθηκε το εμπόδιο που απεικονίζεται στο σχήμα 62 Σχήμα 62: Διαστάσεις εμποδίου Ο υπολογισμός του C-space έγινε με διακριτοποίηση [0.1, 0.1, 0.11, 0.3, 0.4] rad. Δεν είναι δυνατή η απεικόνιση του C-space, όπως έγινε με στις εφαρμογές του βραχίονα με τρεις βαθμούς ελευθερίας, καθώς σε αυτήν την περίπτωση ο C-space είναι 5-διαστατος. Ο C-space δημιουργείται σε αρκετά μεγάλο χρόνο, ο οποίος αυξάνει με την αύξηση των εμποδίων και του μεγέθους της διακριτοποίησης, αλλά δημιουργείται μόνο μια φορά για συγκεκριμένη τοποθέτηση βραχίοναεμποδίου. Χρειάστηκαν περίπου 65 λεπτά για την δημιουργία του συγκεκριμένου C-space. Επίσης η διαδικασία του υπολογισμού του C-space μπορεί να γίνει με παράλληλο προγραμματισμό, πράγμα που επιταχύνει την όλη διαδικασία. Τα δεδομένα της πρώτης σειράς εφαρμογών φαίνονται στους παρακάτω πίνακες: Εφαρμογή 1 Θέση άρθρωσης σε ο Θ 1 Θ 2 Θ 3 Θ 4 Θ 5 Αρχική θέση

62 Τελική θέση Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα αρθρώσεων (μοίρες/sec) Άρθρωση 1 Άρθρωση 2 Άρθρωση 3 Άρθρωση 4 Άρθρωση Εφαρμογή 2 Θέση άρθρωσης σε ο Θ 1 Θ 2 Θ 3 Θ 4 Θ 5 Αρχική θέση Τελική θέση Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα ω (μοίρες/sec) Άρθρωση 1 Άρθρωση 2 Άρθρωση 3 Άρθρωση 4 Άρθρωση Εφαρμογή 1η Η πρώτη εφαρμογή λύθηκε χρησιμοποιώντας τον υβριδικό αλγόριθμο. Η αρχική και η τελική τοποθέτηση του βραχίονα φαίνεται στις εικόνες 63 και 64. Σχήμα 63: Αρχική θέση βραχίονα 53

63 Σχήμα 64: Τελική θέση βραχίονα Στο πρώτο στάδιο του αλγορίθμου, που υπολογίζεται μια αρχική διαδρομή, χρησιμοποιήθηκε ο A* με βάρος = 1.8. Τα αποτελέσματα του A* αλγόριθμου παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα 65. Με διαφορετικά χρώματα έχουν παρασταθεί οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των αρθρώσεων κατά την διαδρομή. Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου ήταν 354 δευτερόλεπτα. Σχήμα 65:Διαδρομή A* με βάρος=1.8 Το δεύτερο στάδιο του υβριδικού αλγορίθμου, που γίνεται χρήση του αλγόριθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων, έδωσε το αποτέλεσμα που φαίνεται στο σχήμα 66. Σε αυτό το σχήμα 54

64 παρουσιάζονται με συνεχείς γραμμές οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των αρθρώσεων κατά την διαδρομή μετά το πέρας του αλγόριθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων. Οι ενδιάμεσοι κόμβοι από 39, που βρέθηκαν από την λύση του αλγόριθμου A*, μειώθηκαν σε 8. Πλέον ο γενετικός αλγόριθμος θα έχει σαν είσοδο μόνο μεταβλητές αντί για. Σχήμα 66: Αλγόριθμος μείωσης ενδιάμεσων κόμβων (συνεχής γραμμή) και γενετικός-pattern search (διακεκομμένη) Στο τρίτο στάδιο χρησιμοποιείται ο γενετικός αλγόριθμος. Τα ορίσματα του είχαν τις εξής τιμές: Αριθμός πληθυσμού: 1000 Μέγιστος Χρόνος εκτέλεσης: 5 λεπτά Μέγιστος αριθμός γενεών: 500 (δεν ήταν η ενεργή συνθήκη τερματισμού) Μετάλλαξη: 0.12 Διασταύρωση: 0.8 Αριθμός πληθυσμού με την καλύτερη αντικειμενική που παραμένει αμετάβλητος στην επόμενη γενιά: 2 Στο σχήμα 67 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του γενετικού αλγορίθμου. Στο πάνω διάγραμμα του σχήματος φαίνονται η μεταβολή του βέλτιστου κόστους κάθε γενιάς, καθώς και η μέση τιμή του κόστους όλων των ατόμων σε κάθε γενιά. Στο κάτω διάγραμμα του ίδιου σχήματος φαίνεται η λύση του γενετικού αλγορίθμου, δηλαδή οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων στους ενδιάμεσους κόμβους της διαδρομής. 55

65 Σχήμα 67: Αποτέλεσμα γενετικού αλγορίθμου Τελευταίο στάδιο του υβριδικού αλγορίθμου αποτελεί ο pattern search αλγόριθμος που βελτίωσε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από σε και έκανε 45 δευτερόλεπτα. Η τελική διαδρομή φαίνεται με διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα 66. Επειδή χρησιμοποιήθηκε ο γενετικός pattern search δύο φορές (για σύγκριση αποτελεσμάτων) εμφανίζονται 2 διακεκομμένες γραμμές για κάθε άρθρωση. Δεν σημειώθηκε σημαντική διαφορά στο κόστος της αντικειμενικής συνάρτησης, πράγμα που σημαίνει ότι ο αλγόριθμος συγκλίνει. Στο σχήμα 68 φαίνεται η αρχική, η τελική και μια ενδιάμεση θέση του βραχίονα στην βέλτιστη διαδρομή που βρέθηκε από τον υβριδικό αλγόριθμο. Με γαλάζιες σφαίρες έχει παρασταθεί η τροχιά του άκρου του βραχίονα. 56

66 Σχήμα 68: Αρχική τελική και ενδιάμεση θέση και τροχιά του άκρου του βραχίονα μετά που δίνει η λύση του αλγορίθμου Εφαρμογή 2 Παρόμοια με την πρώτη εφαρμογή, και η δεύτερη εφαρμογή επιλύθηκε χρησιμοποιώντας τον υβριδικό αλγόριθμο. Η αρχική και τελική τοποθέτηση του βραχίονα φαίνεται στα σχήματα 69 και 70. Σχήμα 69: Αρχική θέση βραχίονα 57

67 Σχήμα 70: Τελική θέση βραχίονα Στο πρώτο στάδιο ο αλγόριθμος A* έχει βάρος = 1.8. Τα αποτελέσματα της λύσης του αλγορίθμου φαίνονται στο σχήμα 71 όπου παρουσιάζονται οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των αρθρώσεων του βραχίονα κατά την διαδρομή. Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου ήταν 288 δευτερόλεπτα Σχήμα 71:Διαδρομή A* με βάρος=1.8 58

68 Στο δεύτερο στάδιο με την χρησιμοποίηση του αλγορίθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων, επιτυγχάνεται μείωση των ενδιάμεσων κόμβων από 23 (λύση του A* αλγόριθμου) σε 6. Στο σχήμα 72 φαίνεται η λύση που δίνει ο αλγόριθμος μείωσης ενδιάμεσων κόμβων με διακεκομμένες γραμμές Σχήμα 72: Διαδρομή μετά την χρησιμοποίηση του αλγορίθμου μείωσης ενδιάμεσων κόμβων (διακεκομμένες). Τελική διαδρομή μετά το τέλος του αλγορίθμου pattern-search (συνεχείς) Στο τρίτο στάδιο χρησιμοποιείται ο γενετικός αλγόριθμος. Τα ορίσματα του είχαν τις εξής τιμές: Αριθμός πληθυσμού: 1000 Μέγιστος Χρόνος εκτέλεσης: 5 λεπτά Μέγιστος αριθμός γενεών: 500 (δεν ήταν η ενεργή συνθήκη τερματισμού) Μετάλλαξη: 0.12 Διασταύρωση: 0.8 Αριθμός πληθυσμού με την καλύτερη αντικειμενική που παραμένει αμετάβλητος στην επόμενη γενιά: 2 Τα αποτελέσματα του γενετικού αλγορίθμου παρουσιάζονται στο σχήμα 73. Στο πάνω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται η μεταβολή του βέλτιστου κόστους κάθε γενιάς, ενώ στο κάτω φαίνεται η λύση του γενετικού αλγορίθμου, δηλαδή οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων στους ενδιάμεσους κόμβους της διαδρομής. 59

69 Σχήμα 73: Αποτελέσματα γενετικού αλγορίθμου Στο τελευταίο στάδιο γίνεται χρήση του pattern search αλγορίθμου που βελτιώνει το κόστος της αντικειμενικής από σε Ο χρόνος εκτέλεσης του ήταν 19 δευτερόλεπτα. Η τελική διαδρομή φαίνεται με συνεχείς γραμμές στο σχήμα 72. Στο σχήμα 74 φαίνεται η αρχική, η τελική και μια ενδιάμεση θέση του βραχίονα στην βέλτιστη διαδρομή που βρέθηκε από τον υβριδικό αλγόριθμο. Με γαλάζιες σφαίρες παρουσιάζεται η τροχιά του άκρου του βραχίονα. Σχήμα 74: Αρχική, τελική και ενδιάμεση θέση και τροχιά του άκρου του βραχίονα 60

70 Δεύτερη σειρά εφαρμογών με χρήση υβριδικού αλγορίθμου και τροποποιημένου A* αλγορίθμου Σε αυτή την σειρά εφαρμογών χρησιμοποιήθηκε το εμπόδιο που φαίνεται Στο σχήμα 75. Σχήμα 75: Γεωμετρία εμποδίου Το καινούριο C-space διακριτοποιήθηκε ανά γωνίες [0.09, 0.09, 0.09, 0.3, 0.4] rad και ο χρόνος που απαιτήθηκε για να υπολογιστεί ήταν 76 λεπτά. Τα δεδομένα των εφαρμογών που ακολουθούν φαίνονται στους παρακάτω πίνακες. Θέση άρθρωσης σε ο Θ 1 Θ 2 Θ 3 Θ 4 Θ 5 Αρχική θέση Τελική θέση Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα ω (μοίρες/sec) Άρθρωση Εφαρμογή 3η Εφαρμογή 4η

71 Θέση άρθρωσης σε ο Θ 1 Θ 2 Θ 3 Θ 4 Θ 5 Αρχική θέση Τελική θέση Μέγιστη γωνιακή ταχύτητα ω (μοίρες/sec) Άρθρωση Εφαρμογή 5η Εφαρμογή 3 Η αρχική και τελική τοποθέτηση του βραχίονα φαίνεται στα σχήματα 76 και 77. Σχήμα 76: Αρχική θέση βραχίονα 62

72 Σχήμα 77: Τελική θέση βραχίονα Αρχικά το πρόβλημα επιλύθηκε με τον υβριδικό αλγόριθμο. Για το πρώτο στάδιο ο αλγόριθμος A* έχει βάρος = 1.8. Τα αποτελέσματα της λύσης του αλγορίθμου παριστάνονται στο σχήμα 78 όπου παρουσιάζονται οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των αρθρώσεων του βραχίονα κατά την διαδρομή. Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου ήταν 64 δευτερόλεπτα. Σχήμα 78: Μεταβολή των γωνιών των αρθρώσεων στην διαδρομή που βρέθηκε από τον αλγόριθμο A* με βάρος=1.8 63

73 Όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα, τα ενδιάμεσα σημεία είναι περίπου 65 άρα για 5 βαθμούς ελευθερίας οι άγνωστες παράμετροι είναι 65*5=325. Ο αλγόριθμος μείωσης ενδιάμεσων κόμβων τα ελαττώνει σε 7. Ο γενετικός αλγόριθμος που ακολουθεί έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Αριθμός πληθυσμού: 1000 Μέγιστος Χρόνος εκτέλεσης: 5 λεπτά Μέγιστος αριθμός γενεών: 500 Μετάλλαξη: 0.12 Διασταύρωση: 0.8 Αριθμός πληθυσμού με την καλύτερη αντικειμενική που παραμένει αμετάβλητος στην επόμενη γενιά: 2 Τα αποτελέσματα του γενετικού αλγορίθμου φαίνονται στο σχήμα 79. Στο πάνω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται η μεταβολή του βέλτιστου κόστους κάθε γενιάς, ενώ στο κάτω φαίνεται η λύση του γενετικού αλγορίθμου, δηλαδή οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων στους ενδιάμεσους κόμβους της διαδρομής. Σχήμα 79: Αντικειμενική και βέλτιστη λύση που βρέθηκε από τον γενετικό αλγόριθμο Μετά από τον γενετικό ακολουθεί ο pattern search που δίνει την λύση που φαίνεται στο σχήμα 80. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης βελτιώθηκε από , που είχε η λύση του γενετικού αλγόριθμου, σε Ο χρόνος εκτέλεσης του ήταν 52 δευτερόλεπτα. 64

74 Σχήμα 80: Γωνίες αρθρώσεων κατά την κίνηση στην διαδρομή που βρέθηκε από τον Pattern search Στο σχήμα 81 φαίνεται η αρχική, η τελική και μια ενδιάμεση θέση του βραχίονα στην βέλτιστη διαδρομή που βρέθηκε από τον υβριδικό αλγόριθμο. Με γαλάζιες σφαίρες παρουσιάζεται η τροχιά του άκρου του βραχίονα. Σχήμα 81: Αρχική και τελική θέση, και διαδρομή άκρου του βραχίονα 65

75 Το ίδιο πρόβλημα επιλύθηκε και με τον τροποποιημένο αλγόριθμο A*. Με το ίδιο βάρος =1.8 που επιλέχτηκε και για τον A*, ο χρόνος επίλυσης του τροποποιημένου A* αλγόριθμου ήταν 11 λεπτά. Οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων κατά την διαδρομή που βρέθηκε από τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο φαίνονται στο σχήμα 82. Σχήμα 82: Λύση τροποποιημένου A* αλγόριθμου Σχήμα 83: Τροχιά άκρου του βραχίονα της εφαρμογής 3, από την διαδρομή που προέκυψε από την επίλυση με τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο 66

76 Η σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο αυτών αλγορίθμων φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Βάρος Χρόνος κίνησης Χρόνος (δευτερόλεπτα) A* A* Τροποποιημένος A* Τροποποιημένος A* Αλγόριθμος μείωσης αμελητέος ενδιάμεσων κόμβων Γενετικός-Pattern search (προκαθορισμένος χρόνος γενετικού)+86 (χρόνος pattern search) Παρατηρείται ότι υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ του χρόνου κίνησης της λύσης του τροποποιημένου Α* και του υβριδικού αλγορίθμου. Αυτό συμβαίνει γιατί έχει επιλεχθεί ένα αρκετά μεγάλο βάρος για τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο. Για να μπορούν να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για το κατά πόσο η λύση που βρέθηκε από τον υβριδικό αλγόριθμο προσεγγίζει την βέλτιστη λύση θα πρέπει να επιλυθεί το πρόβλημα με τον τροποποιημένο αλγόριθμο Α* για μοναδιαίο βάρος. Επειδή δε στο επίπεδο του C-space οι ταχύτητες είναι ίσες, οι λύσεις του προβλήματος με την χρήση Α* και τροποποιημένου Α* αλγόριθμου με μοναδιαία βάρη, θα έχουν το ίδιο αντικειμενικό κόστος. Όπως ήταν αναμενόμενο η λύση του προβλήματος με τους δύο προαναφερθείς αλγορίθμους για βάρος=1.01 έδωσαν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση, ίση με Ο χρόνος εκτέλεσης του A* αλγόριθμου ήταν 2 ώρες και του τροποποιημένου A* 5 ώρες. Η διαφορά στην αντικειμενική του A* και τροποποιημένου Α* αλγόριθμου με βάρος 1.01 και του γενετικού-pattern search (θεωρητικά η λύση του A* είναι βέλτιστη) οφείλετε στο γεγονός ότι ο γενετικός-pattern search ψάχνει λύσεις και στα ενδιάμεσα σημεία του C-space ενώ οι αλγόριθμοι A* ψάχνουν λύσεις που βρίσκονται πάντα πάνω στα σημεία του C-space. Για αυτόν τον λόγο πρέπει και να ελέγχεται αν υπάρχει οριακή σύγκρουση στην διαδρομή που θα προκύψει από τον υβριδικό αλγόριθμο. Από το παράδειγμα αυτό προκύπτει ότι είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσω τον υβριδικό αλγόριθμο και να επιλέξω ένα μεγάλο βάρος για τον A* αλγόριθμο, αφού στο μετέπειτα στάδιο ο γενετικός θα προσεγγίσει την βέλτιστη λύση σε πολύ μικρό χρόνο Εφαρμογή 4η Σε αυτήν την εφαρμογή η αρχική και τελική θέση του βραχίονα είναι ίδιες με την εφαρμογή 3, αλλά οι μέγιστες ταχύτητες των αρθρώσεων είναι [1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 2] (βήματα C-space/sec) ή [5.7, 6.2, 6.7, 24.1, 45.8] (rad/sec). Στο παράδειγμα αυτό υπάρχουν διαφορετικές ταχύτητες, πλέον ο απλός A* με βάρος=1 δεν μπορεί να δώσει βέλτιστη λύση ενώ ο τροποποιημένος A* με βάρος=1 μπορεί. 67

77 Η εφαρμογή αυτή επιλύθηκε πρώτα με τον υβριδικό αλγόριθμο. Για το πρώτο στάδιο του αλγορίθμου ο αλγόριθμος A* με βάρος=1.8 έδωσε την λύση που φαίνεται στο σχήμα 84, όπου παρουσιάζονται οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των αρθρώσεων του βραχίονα κατά την διαδρομή. Ο χρόνος εκτέλεσης του ήταν 22 λεπτά. Σχήμα 84: Διαδρομή που βρέθηκε από τον αλγόριθμο A* Στο δεύτερο στάδιο ο αλγόριθμος μείωσης ενδιάμεσων κόμβων μείωσε τους κόμβους από 58 σε 5. Έπειτα ακολούθησε ο γενετικός αλγόριθμος με τα εξής χαρακτηριστικά: Αριθμός πληθυσμού: 1000 Μέγιστος Χρόνος εκτέλεσης: 5 λεπτά Μέγιστος αριθμός γενεών: 500 Μετάλλαξη: 0.12 Διασταύρωση: 0.8 Αριθμός πληθυσμού με την καλύτερη αντικειμενική που παραμένει αμετάβλητος στην επόμενη γενιά: 2 Τα αποτελέσματα του γενετικού αλγορίθμου φαίνονται στο σχήμα 85. Στο πάνω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται η μεταβολή του βέλτιστου κόστους κάθε γενιάς, ενώ στο κάτω φαίνεται η λύση του γενετικού αλγορίθμου, δηλαδή οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων στους ενδιάμεσους κόμβους της διαδρομής. 68

78 Σχήμα 85: Αντικειμενική και βέλτιστη 'γεννιά που βρέθηκαν από τον γενετικό Και τέλος ο pattern search μετά από 90 δευτερόλεπτα μείωσε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από σε Η τελική λύση του υβριδικού αλγόριθμου φαίνεται στο σχήμα 86. Η τροχιά του άκρου του βραχίονα παρουσιάζεται στο σχήμα 87. Σχήμα 86: Με συνεχή γραμμή η λύση από τον αλγόριθμο μείωσης ενδιάμεσων κόμβων και με διακεκομμένες η τελική λύση του Pattern-Search 69

79 Σχήμα 87: Αρχική και τελική θέση και τροχιά του άκρου του βραχίωνα. Στο ίδιο σχήμα (σχήμα 88) έχουν σχεδιαστεί οι τροχιές του άκρου του βραχίονα των εφαρμογών 3 και 4 από την επίλυση που έγινε με τον υβριδικό αλγόριθμο. Σχήμα 88: Σύγκριση βέλτιστων διαδρομών των εφαρμογών 3 και 4 που επιλύθηκαν με τον υβριδικό αλγόριθμο. 70

80 Η εφαρμογή 4 επιλύθηκε και με τον τροποποιημένο A* αλγόριθμο με βάρος = 1.8. Ο χρόνος επίλυσης ήταν 12 λεπτά και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης της διαδρομής που βρέθηκε ήταν 5,02.Η λύση που έδωσε ο αλγόριθμος για την εφαρμογή αυτή παρουσιάζεται στο σχήμα 89. Η διαδρομή του άκρου του βραχίονα φαίνεται στο σχήμα 90. Στο ίδιο σχήμα (σχήμα 91) έχουν σχεδιαστεί οι τροχιές του άκρου του βραχίονα, της εφαρμογής 4, της διαδρομής που βρέθηκε από τον υβριδικό και τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο. Εικόνα 89: Μεταβολή των γωνιών των αρθρώσεων κατά την διαδρομή που βρέθηκε από τον τροποποιημένο Α* αλγόριθμο Σχήμα 90: Διαδρομή τροποποιημένου A* 71

81 Σχήμα 91: Παρουσίαση βελτιστοποιημένων διαδρομών των δύο αλγορίθμων Εφαρμογή 5η Η αρχική και τελική θέση του βραχίονα σε αυτήν την εφαρμογή φαίνεται στα σχήματα 92 και 93 που ακολουθούν. Σχήμα 92: Αρχική θέση του βραχίονα 72

82 Σχήμα 93: Τελική θέση του βραχίονα Για την επίλυση με A* και βάρος =1.8 χρειάστηκαν 4 δευτερόλεπτα. Τα αποτελέσματα του αλγορίθμου συνοψίζονται στο σχήμα 94, όπου παρουσιάζονται οι τιμές που παίρνουν οι γωνίες των αρθρώσεων του βραχίονα κατά την διαδρομή. Σχήμα 94: Κίνηση των αρθρώσεων του βραχίονα που έδωσε σαν λύση ο A*. 73

83 Έπειτα χρησιμοποιήθηκε ο αλγόριθμος μείωσης ενδιάμεσων κόμβων που μείωσε τους κόμβους από 55 σε 7. O γενετικός αλγόριθμος που ακολούθησε είχε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά, ενώ τα αποτελέσματα από την επίλυση του φαίνονται στο σχήμα 95. Αριθμός πληθυσμού: 1000 Μέγιστος Χρόνος εκτέλεσης: 5 λεπτά Μέγιστος αριθμός γενεών: 500 Μετάλλαξη: 0.12 Διασταύρωση: 0.8 Αριθμός πληθυσμού με την καλύτερη αντικειμενική που παραμένει αμετάβλητος στην επόμενη γενιά: 2 Τέλος ο pattern search βελτίωσε το κόστος της αντικειμενικής από σε Η τελική διαδρομή φαίνεται στο σχήμα 96. Σχήμα 95: Λύση γενετικού αλγορίθμου, βέλτιστη γενεά και τιμή αντικειμενικής. 74

84 Σχήμα 96: Με συνεχόμενη γραμμή η λύση που δίνει ο αλγόριθμος μείωσης ενδιάμεσων κόμβων, και με διακεκομμένη γραμμή η τελική λύση μετά και το πέρας του Pattern search Η τροχιά του άκρου του βραχίονα της διαδρομής που βρέθηκε από τον υβριδικό αλγόριθμο φαίνεται στο σχήμα 97. Σχήμα 97: Τελική διαδρομή άκρου βραχίονα 75