АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

Transcript

1 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла x y P xy y x y y x y y ili P x y x y - површина троугла преко коодината тјемена ОБАВЕЗНИ ЗАДАЦИ. Одредити дужине страница троугла чија су тјемена А(,) B(4,) C(,5). Одредити на x-оси тачку која је подједнако удаљена од тачака М(7,-4) и N(,-). На y-оси наћи тачку која је подједнако удаљена од тачака А(,-4) и B(6,-) 4. Одредити апцису тачке А(x,) тако да је њено растојање од тачке B(-4,8) једнако. 5. Дата су тјемена троугла А(-,-) B(,-8) C(5,y) Одредити y тако да троугао буде правоугли са правим углом у тјемену А. 6. Одредити координате тачке М(x,y) која је подједнако удаљена од тачака А(-,-) B(-4,6) C(,-) и наћи то растојање. 7. Одредити дужине тежишних дужи троугла чија су тјемена А(,) B(5,) C(,-) 8. Одредити координате четвртог тјемена D паралелограма ABCD ако су дата остала три тјемена А(,) B(4,) C(5,) 9. Дате су тачке А(,-) и B(,) Одредити: а) Координате тачке М која је симетрична са тачком А у односу на тачку B као центром симетрије б) Координате тачке N симетричне тачки B у односу на А.. Одредити координате тежишта троугла чија су тјемена А(,4) B(-5,) и C(-,-6). Израчинати површину троугла чија су тјемена А(-,) B(8,-) C(,8). Одредити висину троугла h c ако су тјемена тог троугла А(-,-) B(,5) C(-,5). Дате су тачке А(-,-) и B(,-5) Одредити тачку C која дијели дуж AB у односу :, затим тачку D на x-оси која је подједнако удаљена од тачака C и B па наћи површину троугла ABD. 4.Тјемена троугла су А(,-4) B(7,6) и C(,). Тачка М дијели дуж АB у односу : а тачка N страницу BC у односу : Одредити: а) површине троуглова АBC, MNB и површину трапеза ACMN б) однос површина троуглова ACB и MNB. 5. Дате су тачке М (,) М (,y) и М (-4,-). Одредити y тако да те три тачке леже на истој правој. ТЕЖИ ЗАДАЦИ. Наћи тачке A и B тако да тачка C(-, -4) дијели дуж AB у размјери :4 а тачка D(6,-5) у размери :. Тачке P(,) Q(,4) и R(,-) су средине страница троуглаabc. Наћи површину троугла ABC. Дат је троугао A(-7,7) B(,) C(-,-). Наћи тачку D у којој симетрала угла код тјемена C дијели страницу AB. 4. Нека су P,Q и R средине страница троугла ABC. Израчунати површине троуглова ABC, PQR и доказати да је P ΔABC =P ΔPQR 5. Дата су два тјемена троугла ABC: A(,-),B(,). Одредити треће тјеме које припада правој x+y+= тако да површина троугла ABC буде једнака 4. 6.Тежиште троугла ABC чија је површина једнака, припада оси апциса. Одредити координате тјемена C ако је A(,) и B(,-) 7.Тјеме C троугла ABC има координате,, а друга два тјемена су A(-,) и B(,). Одредити тјеме C ако је површина троугла ABC једнака 4.

2 8. Два тјемена троугла су тачке A(-,) и B(,-). Одредити скуп тачака којем припада тјеме C ако је површина троугла ABC једнака 4. 9.Тачке A(8,6) B(,4) и C(x,y) су тјемена троугла. Одредити x и y тако да површина троугла буде, а страница AC=BC. Права одређена тачкама M(5,5) и N(,) сјече x осу. Одредити координате пресјечне тачке непоѕнавајући једначину праве MN РАЗНИ ОБЛИЦИ ЈЕДНАЧИНЕ ПРАВЕ y x n -ријешени или експлицитни облик јед. праве ( - коефициjент правца n - одсјечак на y - оси) Ax By C - неријешени или имплицитни облик јед. праве (или општи облик) x m y y n x - сегментни облик једначине праве y x - једначина праве кроз једну тачку y y y y - једначина праве кроз двије тачке x x x x Ax By C - нормални облик једначине праве A B Ax By C d - удаљеност тачке M x, y од праве Ax By C A B tg - угао између двије праве - услов паралелности двије праве - услов нормалности двије праве ОБАВЕЗНИ ЗАДАЦИ. У једначини x-(5p-)y-= одредти параметар p тако да права са x - осом грди угао од 45. У једначини праве -5x+y+4p-= одредити параметар p тако да права а) садржи координатни почетак б) на y-оси одсијеца одсјечак. Одредити одсјечке које права x-4y-= одсијеца на координатним осама па нацртати ген график. 4. Написати једначину праве која садржи тачку М(,-7) и на координатним осама одсијеца једнаке одсјечке. 5. Одредити једначину праве која гради са координатним осама троугао површине 6, ако је разлика одсјечака на координатним осама једнака 4 6. У једначини px-(p+)y-8= одредити параметар p тако да права гради два пута већи одсјечак на x-оси него на y - оси. 7. У једначини x+py-= одредити параметар p тако да одсјечак праве између координатних оса износи У једначини (p+)x+(p-5)y+4p= одредити p тако да је права паралелна : а) са x осом б) са x осом. 9. У једначини (m-n+5)x-(m-n)y+m-5n+= одредити m и n тако да права буде симетрала а) I квадранта б) II квадранта. Одредити угао под којим се сјеку праве x+y-9= и x-y+4=. Одредити угао за који треба да ротира права x-y+5= око своје тачке М(,) па да њен одсјечак на x оси буде 4.. Одредити једначину праве која пролази кроз тачку P(,) и паралелна је правој x+y-=. Одредити једначину праве која пролази кроз пресјек правих x-y+= и 5x+6y-4= и паралелна је правој 4x+y+7= 4. Одредити једначину праве која праолази кроз тачку P(,) и нормална је на праву x+y-=

3 5. Одредити једначину праве која пролази кроз пресјек правих x-y+4= и 4x-6y+= и нормална је на праву 5x+y+6= 6. Одредити пројекцију тачке А(-6,4) на праву 4x-5y+= 7. Одредити тачку R симетричну тачки P(-5,) у односу на праву x-y-= 8. Дате су тачке A(-,7) i B(5,-4). Одредити једначину праве која је нормална на праву AB и дијели дуж AB u односу 4:7 9. Наћи једначине тежишних дужи троугла чија су тјемена A(-,6) B(5,) C(-5,-). Одредити једначину праве која пролази кроз пресјек правих x+7y-= и x-y+6= и тачку А(8,-4). Изарчунати растојање пресјека правих x-y-5= и x+y-7= од праве x-4y+5=. У једначини праве mx+(m+7)y-48=одредити m тако да њено растојање од тачке А(,) буде. На правој x-y+8= одредити тачку која је подједнако удаљена од тачке А(8,) и од праве x+4y-= 4. На правој x-y-= одредити тачку која је подједнако удаљена од правих 7x-y-= и x+y-5= 5. На правоја x-y+= одредити тачку која је подједнако удаљена од тачака А(,-) и B(6,). 6. Наћи једначину праве која садржи координатни почетак и ако је њен одсјечак између правих x-y+5= и x-y+= једнак 7. Написати једначину праве која садржи тачку P(-5,4) тако да њен одсјечак између правих x+y+= и x+y-= буде 5 8. Написати једначине страница троугла ако је дато тјеме B(,-7) једначина висине h а : x+y+= и тежишне дужи t c : x+y+7= 9. Једначине двију страница троугла су: 5x-4y+5= и 4x+y-9= а његово тежиште је Т(,). Одредити координате тјемена троугла и једначину треће странице.. У троуглу ABC дате су једначине: страница AB: x+у-= висина h а : x+ 5y-= и h b : x+y -= Не одређујући координате тјемена и пресјечну тачку висина троугла одредити једначине других двију страница и треће висине. Дат је троугао ABC A(-5,-) B(7,6) C(5,4) а) једначину странице AB б) једначину тежишне дужи t ц) једначину висине h c д) углове A и B е) координате тежишта троугла ТЕЖИ ЗАДАЦИ. Ортоцентар троугла је у координатном почетку, а једначине правих које одеђују двије странице троугла су: x+y-= и x+5y-6=. Одредити једначину праве којој припада трећа страница.. Одредити јееначину праве која пролази кроз тачке A(-4,5) и B(,) и површину троугла између те праве и координатних оса.. Странице паралелограма припадају правама y=x-6 и x-y+6=, а центар му је тачка О(4,4). Наћи једначине преостале двије странице и испитати да ли је овај паралелограм ромб. 4. Дате су праве p : x-y-= и p : x+y-9= а) Израчунати површину троугла којег образују праве p, p и y оса b) Написати једначину праве која пролази кроз пресјек правих p, и p и нормална је на праву p. 5. Тачка A(,-5) је тјеме квадрата чија једна страница лежи на правој x-y-7=. Написати једначине страница AB и AD квадрата и израчунати његову површину. 6. Одредити једначине страница троугла ABC ако је дато тјеме B(,6) једначине висине x-7y-5= и тежишне дужи 4x+7y+5= из тјемена А 7. Дато је тјеме А(-,) и висине h b : x-y-= h c : x+y-= Одредити координате друга два тјемена троугла. 8. Ортоцентар троугла је у координатном почетку а једначине двију страница троугла су: x+y-= и x+5y-6=. Одредити једначину треће странице тог троугла. 9. Одредити једначину геометријског мјеста тачака чија се одстојања од x осе и од праве x-4y= односе као :.. Одредити једначину геометријског мјеста тачака средишта дужи конструисаних из тачке А(,4) до праве x-y+=.

4 КРУЖНИЦА Дефиниција: Кружница је скуп свих тачака у једној равни које су једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове центар. x p y q r - једначина кружнице ( p i q координате центра а r полупречник ) x y r - кружница са центром у координатном почетку p q n r n - услов додира праве y x n и кружнице r - услов додира за централну кружницу x px p y q y q - једначина тангенте кружнице у тачки М(x,y ) која припада тој кружници r ЕЛИПСА Дефиниција: Елипса је скуп свих тачака у једној равни чији је збир растојања, сваке њене тачке, од двије сталне тачке сталан број. Те сталне тачке су жиже елипсе. x y - једначина елипсе (канонски облик) b - велика полуоса b- мала полуоса F c, -координате жижа c b b n - услов додира праве y x n и елипсе xx yy - једначина тангенте елипсе у тачки М(x,y ) која b припада тој елипси. U ojim tčm tngente elipse x 4y 48 prlelne s prvom x y + 8 = dodiruju elipsu? x y. Kolii ugo ztvrju tngente n elipsu iz tče P(,-)? 8. Odredi jednčinu elipse oj prolzi tčm A(4,-) i B( 6,).

5 ХИПЕРБОЛА Дефиниција: Хипербола је скуп свих тачака у једној равни чија је разлика растојања, сваке њене тачке, од двије сталне тачке сталан број. Те сталне тачке су жиже хиперболе. x y - једначина хиперболе (канонски облик) b - реална полуоса b- имагинарна полуоса F c, -координате жижа c b b n - услов додира праве y x n и хиперболе xx yy - једначина тангенте хиперболе у тачки М(x,y ) која b припада тој хиперболи Хипербола обавезни задаци. Написати једначину хиперболе ако је одстојање тјемена 8 а одстојање жижа.. Напиисати једначину хиперболе ако је њена реална оса 6 и пролази кроз тачку М(9,-4). Написати једначину хиперболе која пролази кроз тачке а) М(,), N(7,) б) М(-,), N(,-) 4. Израчунати растојање жижа хиперболе x y од њених асимптота Кроз тачку А(,-5) конструисане су праве паралелне асимптотама хиперболе x y 4. Наћи једначине тих правих. 6. На хиперболи 9x 6y 44 наћи тачку која је два пута ближа десној него лијевој жижи. 7. Одредити параметар m тако да права mx y 4 буде тангента хиперболе x y 6 9 б) y mx 4x y 6 ц) x y m x 4y д) m x 6y 4m x 4y 6 8. Написати једначине тангената хиперболе 6x 5y 9 које су паралелне са правом а) x y 7 b) 5x 9y 45 x y c) 9x 4y 6 x y d) 4x y 64 x y 4 9. Написати једначине тангената хиперболе x y које су нормалне на праву 4x y 7 б) 4x y 6 x 5y. Одредити једначине тангенти конструисаних из тачке А(-,5) на хиперболу x y 5 б) А(,) x 9y 8 c) A(-,) x y. За који угао треба ротирати праву x y око тачке (,) да она постане тангента хиперболе x y. У пресјечним тачкама праве x y и хиперболе 4x y 6 конструисане су тангенте. Наћи угао између тих тангената б) x y x y ц) x y 5 x y. На хиперболи x 4y наћи тачку која је најближа тачки P(,5) б) x 4y 7 најближа правој x y 4 4. Написати једначину тангенте хиперболе x y 4 која са x-осом гради угао од 6 4 б) x y 6 6 ц) x y Написати једначине тангенате хиперболе x y 6 које са правом x y 5 граде угао од 45 б) x y права x y 6 угао Под којим углом се сјеку линије: а) x y и x y 9 б) x y 5 и x y 9 ц) x y 9 и x y 4

6 7. Која је тангента хиперболе 5x 7y подједнако удаљена од тачака А(7,) и B(,-) 8. Написати једначину тангенте хиперболе x y 9 која на y - оси има три пута већи одсјечак него на x - оси Написати једначину тангенте хиперболе x y 9 чији се одсјечци на координатним осама односе као :7. Написати једначину хиперболе аку су њене асимптоте y x и једна тангента 5x 6y 8. Написати једначину хиперболе ако су познате њене двије тангенте x y и 7x 4y б) 5x 6y 6 и x y 48. Наћи заједничке тангенте кривих x y и 5x y 4 б) x 4y и x y. Написати једначину тетиве хиперболе 4x 9y 6 која је тачком А(5,) преполовљена. 4. Наћи геометријско мјесто тачака које имају особину да је њихова удаљеност од тачке (-,) два пута већа него од праве x ПАРАБОЛА Дефиниција: Парабола је скуп свих тачака у равни с особином да је растојање сваке њене тачке од једне сталне тачке једнако растојању те тачке од једне сталне праве. Та тачка се зове жижа, а права директриса параболе y px - једначина параболе ( p- параметар параболе) p p F, - жижа параболе x - једначина директрисе. p n - услов додира праве y x n и параболе yy p x x - једначина тангенте параболе у тачки М(x,y ) која припада тој параболи. Кроз жижу параболе y 4x конструисана је права која са x-осом гради угао од. Написати једначину те праве и одредити дужину добијене тетиве.. Написати једначину тангенте параболе y 5x која са x-осом гради угао ода 45 б) y 6x угао од 5. Одредити једначину тангенте параболе која је паралелна датој правој а) y 9x права x y 4 б) y 8x права x y ц) y x права x y 4 д) y 6x и права 4x y 4. Одредити једначину тангенте параболе која је нормална на праву а) y 4x права x y 5 б) y x права x y 4 ц) x 6y права x 4y 7 д) y x и права 6x y 5. Написати једначине тангената параболе које пролазе кроз тачку а) y 8x ц) y 5 4x 4 M, д) y x M 7,6 6. Под којим углом се из тачке А(-4,-) види парабола y 6x 5, 7 M б) y 4x 7. Написати једначине тангената параболе y x које са правом 4x y 9 граде угао од 45 б) y x са правом y x 4 угао од Под којим углом се сјеку линије а) x y и y 4x б) x y и y 6x M, 9. Из тачке А(-5,) конструисана је на круг x y 5 тангента која је у исто вријеме и тангента параболе. Наћи површину троугла чија су тјемена тачке додира и жижа параболе.. Наћи заједничке тангенте кривих а) x 4y и y 4x б) y 4x и x y x 9 ц) y 6x и x y

7 . Дата је хипербола x y и парабола y 6x а) Одредити једначине њихових заједничких тангенти б) Израчунати површину трапеза чија су тјемена тачке додира тих тангенти ц) Под којим углом се из жиже параболе виде дијагонале трапеза?. На параболи y 6x наћи тачку која је најближа правој 4x y 4 б) y 4x y x. Написати једначину тетиве параболе y 4x која је тачком А(,) преполовљена б) y 9x А(5,) ц) y x А(,5) 4. У пресјечним тачкама праве x y 6 и параболе y x конструисане су тангенте. Израчунати угао између тих тангената. б) x y 4 y 4x ц) x y 4 y 4x 5. Из тачке С(-,-) конструисане су тангенте на парболу y 6x а) написати једначине тих тангената б) одередити угао између њих ц) израчунати површину троугла којег образују те тангенте и права која пролази кроз додирне тачке 6. Права x y сјече параболу y 4x Одредити: а) угао између тангенти у тим тачкама б) једначину тангенте параболе која је паралелна са том правом ц) једначину кружнице описане око троугла чија су тјемена пресјечне тачке дате праве и параболе и пресјек тангената повучених на парболу у тим тачкама 7. Права x y 8 је заједничка тангента елипсе и са њом конфокалне параболе. Одредити угао под којим се сјеку те криве. 8. Дата је права x y. Одредити једначину параболе која додирује ову праву и једначину кружнице која пролази кроз тачку А(,4) а центар јој је жижа параболе. Израчунати угао под којим се сјеку те криве. 9. Наћи геометријско мјесто тачака које су средине тетива параболе y 6x паралелних правој x y. Одредити једначину параболе y px m тако да додирује праву x y у тачки М(,)