ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ. Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ. Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica ρ. Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 009 Σκοπός των σηµειώσεων είναι η παροχή βασικών γνώσεων για την χρήση του λογισµικού Mathematica µε την βοήθεια απλών παραδειγµάτων. Ουσιαστικά πρόκειται για µια εισαγωγή σε κάποιες από τις δυνατότητες που προσφέρει το λογισµικό σε περιοχές που ενδιαφέρουν ένα µηχανικό. Πρέπει να σηµειωθεί ότι οι εντολές παρουσιάζονται στα παραδείγµατα στην σχετικά πιο απλή µορφή τους, ωστόσο υπάρχουν διάφορες επιλογές για την καθεµία από αυτές που σχετίζονται είτε µε την εµφάνιση των αποτελεσµάτων είτε µε τους υπολογισµούς και για αυτό ο αναγνώστης ενθαρρύνεται να χρησιµοποιήσει την βοήθεια που προσφέρει το λογισµικό για περεταίρω εµβάθυνση. Το Mathematica είναι ένα προγραµµατιστικό πακέτο µε πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τοµείς των µαθηµατικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση, ιαφορικές Εξισώσεις, Στατιστική κτλ). Η υπολογιστική µηχανή του Mathematica είναι ο πυρήνας (kernel), ενώ η σύνδεση µεταξύ του χρήστη και του πυρήνα γίνεται µέσω του front end (περιβάλλον εργασίας) και του Mathematica notebook. Η Mathematica είναι µια συµβολική γλώσσα µε την οποία µπορούν να εκτελεστούν υπολογισµοί χωρίς να γίνουν αριθµητικές πράξεις. Εισαγωγή στο Mathematica Το Mathematica µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως απλή αριθµοµηχανή: + Παρδ. Σηµειώνεται ότι µε έντονους χαρακτήρες δηλώνονται τα δεδοµένα που εισάγει ο χρήστης (input), ενώ µε τα δεδοµένα εξόδου (output) µε κανονικούς χαρακτήρες. Οι εντολές δίνονται

2 πάντα µε το πρώτο γράµµα κεφαλαίο, ενώ χρησιµοποιούνται αγκύλες για το όρισµα συναρτήσεων. Το Mathematica υπολογίζει ακριβώς την έκφραση, που δίνεται, ενώ µπορεί να δώσει µια προσέγγιση µε όση ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων απαιτείται. Παρδ. 0D Στο παρακάτω παράδειγµα ορίζονται µεταβλητές, όπου µπορούµε ανά πάσα στιγµή να δούµε το όρισµα τους ή και να τις διαγράψουµε. Παρδ. a ; b ; c a ê b d Sqrt@x^ yd?d Clear@dD x y Global`d d x y Ορισµός συνάρτησης Παρδ. f@x_d : x ^ ê; x 0 f@x_d : x ^ ê; x < 0 f@d f@ D 9 Πολλές φορές θέλουµε να υπολογίσουµε µια έκφραση χωρίς να καθορίσουµε γενικότερα µια τιµή σε µια µεταβλητή της. - -

3 Παρδ. x^ x + ê. x?x Global`x Μπορούµε επίσης να αναπτύξουµε σε όρους ή να απλοποιήσουµε εκφράσεις µε τις εντολές Expand[expr] και Simplify[expr] αντίστοιχα. Παρδ. 6 Expand@Hx + yl ^D x + x y + xy + y Factor@%D Hx + yl Together@x + êhx L + x^ êhx L ^D 6 + x x + 60 x x + x H + xl H + xl Υπολογισµός αθροισµάτων και γινοµένων Παρδ. 7 Sum@i^, 8i,,0<D 6 Product@ i, 8i,,6,0.<D ηµιουργία λιστών και πινάκων. Παρδ.8 "Ex.8" f@x_d : x ^ + x + Array@f, 0, 0D 8,, 7,,,,, 7, 7, 9< m Table@ k, 8k,,7,<D m@@dd 8, 6, 0, < - -

4 ê j, 8i,,<, 8j,,<D êê MatrixForm Εισαγωγή στο Mathematica Γραφικές παραστάσεις σε -διαστάσεις Παρδ. 9 Plot@x^, 8x,, <D : Needs@"PlotLegends`"D Plot@8x, x, x Sin@xD<, 8x, 6 π, 6 π<, PlotStyle 8Dashing@80.0<D, Dashing@80.0<D<, PlotLegend 8x, x, Sin@xD<D 0 ] x -x sinhxl - -

5 : Cos@tD Cos@00 td Sin@tD; y@t_d : Sin@tD Sin@00 td ParametricPlot@8x@tD, y@td<, 8t, 0, π<, AspectRatio 0.D ] ContourPlot@x^ + y^ 6 x y, 8x,, <, 8y, 6, 6<D DensityPlot@x^ + y^, 8x, 0, 0<, 8y, 0, 0<D - -

6 Γραφικές παραστάσεις σε -διαστάσεις Ο αριθµός των σηµείων που χρησιµοποιούνται επηρεάζει σε κάποιες περιπτώσεις την ποιότητα της γραφ. παράστασης. Παρδ. 0 g@x_, y_d : x ^ y ^ Exp@ Hx ^+ y ^LD PlotD@g@x, yd, 8x,, <, 8y,, <D PlotD@g@x, yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints 00D - 6 -

7 Επίλυση εξισώσεων Αλγεβρικές εξισώσεις Η γενική µορφή της εντολής είναι: Solve[equations, variables] Παρδ. x 7, xd ::x 9 >> s Solve@ x 7, xd; sol s@@,, DD 9 Οι εξισώσεις στο Mathematica παριστάνονται από διπλό ίσον, δηλαδή Στο παρακάτω παράδειγµα επιλύεται ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων και στην συνέχεια οι λύσεις χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό µιας έκφρασης. Παρδ. sol Solve@8x^ + y, x + y <, 8x, y<d x^ + y^ ê. sol 88y, x <, 8y, x << :, 90 > Άθροισµα ριζών µια εξίσωσης sol Solve@x^ 6 x^ + 6 x^ x 0, xd sol@@,, DD sol@@,, DD Sum@sol@@k,, DD, 8k,, <D ::x >, :x + >, :x 7 >, :x + 7 >> + 6 Αριθµητική επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων, χρησιµοποιώντας την εντολή NSolve: Παρδ. NSolve@x^ + x^ + x^ + x^ + x + 0, xd 88x.86<, 8x <, 8x <, 8x <, 8x << - 7 -

8 Μη αλγεβρικές εξισώσεις Στην περίπτωση µη αλγεβρικών εξισώσεων, χρησιµοποιείται η εντολή FindRoot, όπου µια αρχική τιµή εκκίνησης πρέπει να δηλωθεί. Επειδή µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία λύσεις είναι χρήσιµες οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις έτσι ώστε να υπάρχει µια καλύτερη εικόνα του προβλήµατος. Επίλυση της εξίσωσης sin x x Παρδ. Plot@8Sin@xD, x^ <, 8x, π, π<d FindRoot@Sin@xD x^, 8x, <D FindRoot@Sin@xD x^, 8x, <D x.096< 8x 0.667< Στην περίπτωση που υπάρχουν µιγαδικές λύσεις, θα πρέπει σαν αρχική τιµή να δοθεί αντίστοιχα ένας µιγαδικός αριθµός. Παρδ. 6 FindRoot@x^ + x + 0, 8x, 0<D FindRoot::jsing : Encountered a singular Jacobian at the point 8x< 8-0.<. Try perturbing the initial pointhsl. à 8x 0.< FindRoot@x^ + x + 0, 8x, I<D 8x < - 8 -

9 Υπολογισµός ορίου, παραγώγου, ελάχιστης τιµής και ολοκληρώµατος Παρδ. 7 Limit@H xl^tan@x π ê D, x D Limit@Abs@xDêx, x 0, Direction D Limit@Abs@xDêx, x 0, Direction D êπ Παράγωγοι διαφόρων τάξεων Παρδ. 8 f@x_d : x ^ x ^ + x ^; D@f@xD, xd D@f@xD, 8x, <D f'@d 0 x 6x + x + 7 x 9 Μερικές παράγωγοι συνάρτησεων πολλών µεταβλητών Παρδ. 9 p@x_, y_d : Exp@y D Sin@xD D@p@x, yd, x, yd D@p@x, yd, 8x, <D y Cos@xD y Sin@xD Τοπικό ελάχιστο και µέγιστο µιας συνάρτησης Σε αυτήν την περίπτωση χρειάζεται µια αρχική τιµή κοντά στο σηµείο που θέλουµε να υπολογίσουµε το τοπικό ελάχιστο/µέγιστο

10 Παρδ. 0 c@x_d : x + Sin@ xd Plot@c@xD, 8x,, <D FindMinimum@c@xD, 8x,.<D FindMinimum@c@xD, 8x, 0.<D FindMaximum@c@xD, 8x, 0.<D , 8x.966<< 8.86, 8x 0.698<< 8.86, 8x 0.698<< Υπολογισµοί ολοκληρωµάτων (αναλυτικά και αριθµητικά) Παρδ. IntegrateB x^ x^, xf x^ x^ x H + xl x I x + x M x In[8]: F@n_D : Sin@xD^n x Table@8n, F@nD êê Together<, 8n, 0, 0<D êê TableForm Out[9]//TableForm 0 x Cos@xD Hx Sin@ xdl H 9 Cos@xD + Cos@ xdl H x 8 Sin@ xd + Sin@ xdl H 0 Cos@xD + Cos@ xd Cos@ xdl 0 6 H60 x Sin@ xd + 9Sin@ xd Sin@6 xdl 9 Cos@xD+ Cos@xD 9 Cos@xD+Cos@7xD x 67 Sin@xD+68 Sin@xD Sin@6xD+Sin@8xD Cos@xD+880 Cos@xD 68 Cos@xD+0 Cos@7xD Cos@9xD x 00 Sin@xD+600 Sin@xD 0 Sin@6xD+ Sin@8xD Sin@0 xd

11 Παρδ. Hx ^ + y^ld, 8x,, <, 8y,, <D NIntegrate@ Exp@ Hx ^ + y^ld, 8x,, <, 8y,, <D π HErf@D Erf@DL HErf@D Erf@DL Στο παρακάτω παράδειγµα θα υπολογιστεί η επιφάνεια που περικλείεται ανάµεσα σε µια παραβολή και σε µια ευθεία. Παρδ. h@x_d : x ^ x + ; h@x_d : x + ; Plot@8h@xD, h@xd<, 8x,, <D points Solve@h@xD h@xd, xd a points@@,, DD; b points@@,, DD; b h@xd h@xd y x a Integrate@, 8x, a, b<, 8y, h@xd, h@xd<d - ::x J N>, :x J + N>>

12 Επίλυση κανονικών διαφορικών εξισώσεων Αναλυτική επίλυση Η µορφή της εντολής για την επίλυση µιας διαφορικής εξίσωσης µιας συνάρτησης y µε ανεξάρτητη µεταβλητή x είναι: DSolve[equation, y[x],x] Παρδ. DSolve@y''@xD y'@xd + y@xd 0, y@xd, xd ::y@xd xê C@D CosB x F + xê C@D SinB x F>> Αν ορίσουµε και αρχικές συνθήκες και στην συνέχεια χαράξουµε την γραφική παράσταση: Παρδ. sol DSolve@8y'@xD x + y@xd, y@0d <, y@xd, xd Plot@y@xDê. sol, 8x,, <D 88y@xD + x x<< Στο ακόλουθο παράδειγµα παράγονται γραφικές παραστάσεις της λύσης για διάφορες αρχικές συνοριακές συνθήκες. - -

13 Παρδ. 6 Εισαγωγή στο Mathematica s DSolve@y'@xD Cos@xD y@xd, y@xd, xd; sol s@@,, DD toplot Table@sol ê. C@D i, 8i,, <D; Plot@Evaluate@toplotD, 8x, 0, π<, PlotRange AllD Sin@xD C@D Αριθµητική επίλυση κανονικών διαφορικών εξισώσεων: Η γενική µορφή της αντίστοιχης εντολής είναι: NDSolve[equations, y, {x,xmin,xmax}] Παρδ. 7 eq y''@td Hy'@tDL^ + y@td 0; sol NDSolve@8eq, y@0d, y'@0d 0<, y@td, 8t, 0,0<D Plot@Evaluate@y@tD ê. sold, 8t, 0, 0<D 88y@tD InterpolatingFunction@880., 0.<<, <>D@tD<<

14 In[7]: sol7 DD sol7<, 8t, 0, 0, <D êê TableForm Out[7] 0.<<, Out[8]//TableForm Παρδ. 8 a ; b 0.; c ; eqa x'@td y@td; eqb y'@td H0 b y@td c x@tdl ê a; sol6 NDSolve@8eqA, eqb, x@0d 0, y@0d 0<, 8x, y<, 8t, 0,00<D ParametricPlot@8x@tD, y@td< ê. sol6, 8t, 0, 00<, PlotRange All, AxesLabel 8"x@tD", "x'@td"<d 88x InterpolatingFunction@880., 00.<<, <>D, y InterpolatingFunction@880., 00.<<, <>D<< x'@td 6 8 x@td - - Παρεµβολή µιας καµπύλης σε ζεύγη σηµείων Σε αυτό το παράδειγµα θα υπολογιστούν οι συντελεστές ενός πολυωνύµου που παρεµβάλει µια λίστα σηµείων. Η µέθοδος που χρησιµοποιείται είναι των ελαχίστων τετραγώνων. - -

15 Παρδ. 9 Εισαγωγή στο Mathematica "Ex.9" A ReadList@"c:êGZ.dat", Number, RecordLists TrueD; g ListPlot@A, PlotLabel "Points", PlotStyle Hue@0.0DD GZ Fit@A, 8ϕ, ϕ^, ϕ^, ϕ^7, ϕ^9, ϕ^<, ϕd g Plot@GZ, 8ϕ, 0, 68 ê 7.<, PlotLabel "Fitted Curve"D g Show@g, g, PlotLabel "Points and Fitted curve"d Ex Points ϕ ϕ.7 ϕ +.8 ϕ ϕ ϕ 0.8 Fitted Curve Points and Fitted curve

16 «υναµικός» υπολογισµός παραδείγµατα Μια δυνατότητα του Mathematica 6.0 είναι ο «δυναµικός» υπολογισµός διάφορων εκφράσεων (π.χ. ολοκλήρωµα ή µια γραφική παράσταση) όταν µεταβάλλεται µια παράµετρος του προβλήµατος. Το πλεονέκτηµα είναι ότι αλλάζοντας την παράµετρο από το παράθυρο ελέγχου γίνεται απευθείας ο υπολογισµός της έκφρασης. Παρδ. 0 Manipulate@Integrate@ êhx^ n + L, xd, 8n,,, <D n ArcTanB x F n ArcTanB +ê x F + LogA + ê xe LogA + ê x ê x E 6 ê Παρδ. Manipulate@Plot@ x a x^, 8x,., <D, 8a,, <D a

17 a Παρδ. ManipulateBPlotBx ax, 8x,, <F, 8a,, <F a

18 a Παρδ. Manipulate@DSolve@ y'@xd + Hy@xDL^ b 0, y@xd, xd, 8b,,6,<D b 99y@xD xê C@D b ::y@xd x C@D >, :y@xd x C@D >> b ::y@xd ê Hx >, C@DL ê :y@xd ê Hx >, C@DL ê :y@xd ê ê >, :y@xd >> Hx C@DLê Hx C@DLê - 8 -

Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica

Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 008 Σκοπός του φυλλαδίου είναι να παρέχει βασικές γνώσεις για την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica

Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 008 Σκοπός του φυλλαδίου είναι να παρέχει βασικές γνώσεις για την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στο Sage.

1. Εισαγωγή στο Sage. 1. Εισαγωγή στο Sage. 1.1 Το μαθηματικό λογισμικό Sage Το Sage (System for Algebra and Geometry Experimentation) είναι ένα ελεύθερο (δωρεάν) λογισμικό μαθηματικών ανοιχτού κώδικα που υποστηρίζει αριθμητικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Επίλυση εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 5ο: Επίλυση εξισώσεων και συστηµάτων Equations-Systems.nb Κεφάλαιο 5ο: Επίλυση εξισώσεων και συστηµάτων 5. Επίλυση εξισώσεων Το Mathematica διαθέτει αρκετές συναρτήσεις για την επίλυση εξισώσεων. Αυτές είναι: Solve[eqn, x] επιλύνει την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Επιλέξτε αυθαίρετα µία συνάρτηση ( x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ( x, ( x, έτσι ώστε τα σημεία x να μην

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην υπολογιστική άλγεβρα με το πρόγραμμα Maxima ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης http://stavrakoudis.econ.uoi.gr 7 Νοεμβρίου 2013 1 / 35 Λίγα λόγια για το Maxima

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Παρεµβολή Παρεµβολή interpoltion είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Επικ. Καθ. Ν. Καραµπετάκης, Τµήµα. Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ. Λίστες και πίνακες

Επικ. Καθ. Ν. Καραµπετάκης, Τµήµα. Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ. Λίστες και πίνακες Λίστες Επικ. Καθ. Ν. Καραµπετάκης Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ. Λίστες και πίνακες Η λίστα είναι ένα σύνολο αντικειµένων των οποίων τα σύµβολα περιέχονται µέσα σε άγκιστρα {}, και χωρίζονται µε κόµµα. Μας

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Λίστες - Πίνακες Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για να ορίσουμε τη λίστα χρησιμοποιούμε άγκιστρα {}, μέσα στα οποία βάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66 Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Mathematica

Εισαγωγή στο Mathematica Εισαγωγή στο Mathematica Συντακτικοί κανόνες, βασικές συναρτήσεις και σύμβολα Το Mathematica είναι ένα λογισμικό το οποίο εγκαθιστά στον υπολογιστή ένα διαδραστικό μαθηματικό περιβάλλον. Το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθµοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών Σ...

Διαβάστε περισσότερα

- 1 2π. - z2 2. ii = True

- 1 2π. - z2 2. ii = True 1η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209) Άσκηση 1η ü Ερώτηµα (α) f@z_d:= 1 2π 1 2 z2 p =Table@8n, D@f@zD, 8z, n

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy Διαφορικός λογισµός ΦΥΣ 111 - Διαλ.5 1 Έστω y = f(x) µια συναρτησιακή σχέση της µεταβλητής y ως προς την µεταβλητή x: y = f(x) = αx 3 + bx 2 + cx + H παράγωγος του y ως προς το x ορίζεται ως το όριο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica

Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica Πρώτη επαφή με το μαθηματικό πακέτο Mathematica Με δύο λόγια, μπορούμε να πούμε ότι η Mathematica είναι ένα πρόγραμμα που το χρησιμοποιούμε για να κάνουμε αναλυτικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Παραγωγίζοντας και ολοκληρώνοντας 1 1 Ακρότατα συνάρτησης Οι εντολές και Plot[x Cos[x],{x,0,20}] O ut[2 ]= FindMinimum[x Cos[x],{x,2}] {-3.28837,{x 3.42562}}

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ακρότατα συνάρτησης FindMinimum[f,{x, x 0 }] :βρίσκει ένα τοπικό ελάχιστο της f, ξεκινώντας από το σημείο x=x 0. FindMinimum[f,{x, x0}, {y, y 0 }], ] : τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση υναµικής ιεργασιών

Ανάλυση υναµικής ιεργασιών Ανάλυση υναµικής ιεργασιών Αντιπροσώπευση µε το Μοντέλο Κατάστασης- Χώρου (State-Space Space Models) υναµική Γραµµικών Συστηµάτων 1ης και 2ης Τάξης Συστήµατα SISO και MIMO Ο Μετασχηµατισµός Laplace για

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο. ε την COMPUTATION MEETS KNOWLEDGE

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο. ε την COMPUTATION MEETS KNOWLEDGE Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία ε την Α λοί υ ολογισ οί 1 Επίσημη ιστοσελίδα Για τρεις δεκαετίες, η Mathematica έχει καθορίσει την κατάσταση της τεχνολογίας στον τομέα της εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από

Διαβάστε περισσότερα

Από την Άλγεβρα των Υπολογισµών στα Υπολογιστικά Συστήµατα Άλγεβρας.

Από την Άλγεβρα των Υπολογισµών στα Υπολογιστικά Συστήµατα Άλγεβρας. Από την Άλγεβρα των Υπολογισµών στα Υπολογιστικά Συστήµατα Άλγεβρας Επικ. Καθηγητής Νικόλαος Καραµπετάκης Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη 54006 Email : karampet@math.auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

88x Ø 0, y Ø 0<, 8x Ø 0, y Ø 32<, 8x Ø 12, y Ø 8<, 8x Ø 28, y Ø 0<<

88x Ø 0, y Ø 0<, 8x Ø 0, y Ø 32<, 8x Ø 12, y Ø 8<, 8x Ø 28, y Ø 0<< 2η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209). Άσκηση 7, σελ. 8 "Mathematica & Εφαρµογές" Στ. Τραχανά ü Ποιοτική µελέτη δυναµικού συστήµατος. Περίπτωση της "επικράτησης του ισχυρότερου". Να γίνει ποιοτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

:= x 2 + c 1 H1 - xl x 2 + c 2 H1- xl 2 x 3 17 c 1 c c 2 c c c 2 : 1 Ø 2 Ø 111 >>

:= x 2 + c 1 H1 - xl x 2 + c 2 H1- xl 2 x 3 17 c 1 c c 2 c c c 2 : 1 Ø 2 Ø 111 >> 3η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 5229) Άσκηση. (2 µονάδες) ü a Θεωρούµε το συναρτησοειδές, J(y)=Ÿ AyH+xL 2 +xhy 'L 2 E x όπου η συνάρτηση είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιµη, µε y()= και y()=.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία στο Matlab

Βασικά στοιχεία στο Matlab Αριθμητική : + - * / ^ 3ˆ2 - (5 + 4)/2 + 6*3 >> 3^2 - (5 + 4)/2 + 6*3 22.5000 Βασικά στοιχεία στο Matlab Το Matlab τυπώνει την απάντηση και την καταχωρεί σε μια μεταβλητή που την ονομάζει ans. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5) ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα θέµατα που ακολουθούν καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα διαφόρων περιοχών των Μαθηµατικών. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 8 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: Μαϊου 8 Πριν από την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο SAGE. Νίκος Νοδαράκης. 31 Οκτωβρίου 2010

Εισαγωγή στο SAGE. Νίκος Νοδαράκης. 31 Οκτωβρίου 2010 Εισαγωγή στο Νίκος Νοδαράκης 31 Οκτωβρίου 2010 Τι είναι το ; Περιγραφή του Ορισµός Το είναι ένα δωρεάν σύστηµα λογισµικού µαθηµατικών ανοιχτού κώδικα κάτω από την άδεια GPL. Συνδυάζει τις δυνατότητες πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,

Εργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3, Εργαστήριο 4 Χημικοί Άóêçóç. In[]:= Plot Sec x, x, π, π 6 4 Out[]= -6-4 - 4 6 - -4-6 Άóêçóç. In[]:= p Plot Abs Abs x, x, 3, 3.0.5 Out[]= -3 - - 3 In[3]:= f x_ : π x p Plot f x, x, 3, 3 0.4 0.3 Out[4]=

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica http://users.auth.gr/~ppi/mathematica ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Γλώσσες Προγραμματισμού Fortran, C++, Java,. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ή ΣΥΜΒΟΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Computer Algebra Systems Mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος /4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Κεφάλαιο 3 Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Ενα µεγάλο µέρος της ανάλυσης δεδοµένων απαιτεί διάφορους µαθηµατικούς υπολογισµούς. Αυτό το κεφάλαιο εισαγάγει τον αναγνώστη στις διάφορες δυνατότητες που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου 1 Εμβαδά 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α=, να υπολογιστεί η παράσταση: 9 9 f ( x) dx f ( x) dx 1 6 ) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει Πειραματικό λύκειο Αναβρύτων Δρεκόλιας Δημήτρης Γ Λυκείου 2//2 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f(x) = 2e x x 2 + με πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα........................ Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία,

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. ρ ρμ

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. ρ ρμ 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή Προσαρμογή ρ ρμ http://ecouseschemegtug/couses/computtol_methods_fo_egees/ Παρεµβολή Προσαρμογή Παρεµβολή tepolto είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή

Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Πωσ μπορεί κανείσ να λύςει προβλήματα με τη βοήθεια τησ Mahemaica Πρόβλημα 9 α : Κλίςη

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 8 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 2 2.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Β) Στην προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιούµε τη ρητή ή την αυτονόητη δήλωση µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Σύνθετοι αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΜΙΝΗΣ Μαθηματικός Επιμορφ. Β

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΜΙΝΗΣ Μαθηματικός Επιμορφ. Β Ξεκινώντας με το Geogebra ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΜΙΝΗΣ Μαθηματικός Επιμορφ. Β www.geogebra.org 2 Λήψη αρχείων 3 Google Chrome Applications 4 Google Chrome Applications 5 Geogebra Web Applications 6 Geogebra

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα