Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί Συμπληρωματικά, διαβάστε όλο το Κεφάλαιο 2 των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης της 3ης Λυκείου Τα στοιχεία του συνόλου των μιγαδικών αριθμών είναι εκφράσεις της μορφής a+ib όπου a, b R,και iείναιένασύμβολο, C = {a+ib a, b R}. Με προφανή τρόπο μπορούμε να ταυτίσουμε τα στοιχεία του C με διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών, a+ib a, b) και μέσω αυτών με τα σημεία ενός επιπέδου στο οποίο έχει επιλεγεί ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς, a+ib a i +b j. Εάν z = a+ib,τότε a = Rezονομάζεταιπραγματικόμέροςτου z,ενώ b = Imz ονομάζεται φανταστικό μέρος του z. Προσέξτε ότι Re z και Im z είναι πραγματικοί αριθμοί. Τουποσύνολο {z C Imz = 0}τοταυτίζουμεμετουςπραγματικούς αριθμούς. Μέτρο του μιγαδικού αριθμού z = a+ib είναι ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός z = z z = a 2 +b 2. Στο C ορίζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός έτσι ώστε να συμφωνούν με τις πράξειςστο Rότανπεριοριστούνστοσύνολο {z C Imz = 0}καιναικανοποιείται 30

2 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 31 ησχέση i i = 1. πρόσθεση : a+ib)+c+id) = a+c)+ib+d) πολλαπλασιασμός : a+ib) c+id) = ac bd)+iad+bc) Ομιγαδικόςαριθμός a ibονομάζεταισυζυγήςτου z = a+ib,καισυμβολίζεται z. Παρατηρούμε ότι z + z = 2a = 2Rez z z = i2b = i2imz z z = a 2 +b 2 = z 2 Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός έχει ) αντίστροφο. Παρατηρούμε ότι αφού z z = z 2 1 είναιπραγματικόςαριθμός, z = 1,καισυνεπώς z 2 z z 1 = 1 z 2 z ή a+ib) 1 = Απόεδώέχουμεκαιτονκανόναγιατηδιαίρεση z w = z w w 2 ή a a 2 +b i b 2 a 2 +b. 2 a+ib c+id = a+ib)c id) c 2 +d 2 Εύκολα ελέγχουμε τις ακόλουθες ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών: z 1 +z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z n ) = z) n Σημειώνουμε τις ακόλουθες ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού z = z = z z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 +z 2 z 1 + z 2 Αναφέραμε τη δυνατότητα ταύτισης του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, C, με το επίπεδο, εφοδιασμένο με ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς. Μέσω αυτής της ταύτισης θα μιλάμε για το μιγαδικό επίπεδο. Στο μιγαδικό επίπεδο έχουμε τον πραγματικόάξονα,τονοποίοταυτίζουμεμετο R,καιτονφανταστικόάξονα,τονοποίο συμβολίζουμε Ri. Θα αξιοποιήσουμε αυτή τη δυνατότητα, χρησιμοποιώντας και γεωμετρικές έννοιες στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών. Ηδη έχουμε δει την έννοια του μέτρου μιγαδικού αριθμού,τοοποίοπροφανώςείναιίσομετηναπόστασηαπότο 0στομιγαδικόεπίπεδο. Μία άλλη παρατήρηση είναι ότι ζεύγη συζυγών μιγαδικών αριθμών αποτελούνται από σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα.

3 32 Επίπεδο και Χώρος Σχήμα 2.1: Σημεία του μιγαδικού επιπέδου Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών Θεωρούμε ένα μιγαδικό αριθμό z 0, στο επίπεδο, και υποθέτουμε ότι η ημιευθεία απότο0μέσωτου z,σχηματίζειγωνία ϑμετηθετικήημιευθείατουπραγματικού άξονα,όπου 0 ϑ < 2π. Σχήμα 2.2: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού Ηγωνία ϑσυνδέεταιμετα x = Rezκαι y = Imzμέσωτωνσχέσεων cosϑ = x x2 +y 2, sinϑ = y x2 +y 2 2.1)

4 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 33 Εάν z 0,ημοναδικήτιμή ϑηοποίαικανοποιείτιςεξισώσεις2.1καιβρίσκεταιστο διάστημα 0 ϑ < 2πονομάζεταιπρωτεύονόρισματουμιγαδικούαριθμού z,και συμβολίζεται με Argz). Κάθε άλλη τιμή ϑ που ικανοποιεί τις εξισώσεις 2.1 ονομάζεται όρισμα του z και συμβολίζεται argz). Είναι φανερό οτι δύο ορίσματα του z διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο του 2π. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό argz) argw) για να δηλώσουμε οτι οι πραγματικοί αριθμοί argz) και argw) διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο του 2π. Εάνγνωρίζουμεέναόρισματου z,καιτηναπόσταση rτου zαπότο0,μπορούμενα προσδιορίσουμετο z.τοπραγματικόμέροςτου zείναι x = rcosϑ,ενώτοφανταστικό μέροςτου zείναι y = rsinϑ.συνεπώς Παρατηρούμεότι r = x 2 +y 2 = z. z = x+iy = rcosϑ+irsinϑ = rcosϑ+isinϑ). Παράδειγμα2.1Εάν ϑ = 11 πκαι r = 2,τότε 6 z = 2 cos 11 ) 11 π +isin 6 6 π 3 = 2 2 +i 1 ) ) 2 = 3 i Αυτή η τριγωνομετρική μορφή έκφρασης των μιγαδικών αριθμών μας επιτρέπει να περιγράψουμε τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών γεωμετρικά. Θεωρούμετουςαριθμούς z 1 = r 1 cosϑ 1 +isinϑ 1 )και z 2 = r 2 cosϑ 2 +isinϑ 2 ),και υπολογίζουμε το γινόμενο z 1 z 2 = r 1 r 2 cosϑ 1 +isinϑ 1 )cosϑ 2 +isinϑ 2 ) = r 1 r 2 [cosϑ 1 cosϑ 2 sinϑ 1 sinϑ 2 )+icosϑ 1 sinϑ 2 +sinϑ 1 cosϑ 2 )] = r 1 r 2 cosϑ 1 +ϑ 2 )+isinϑ 1 +ϑ 2 )). Βλέπουμεδηλαδήότιτοάθροισματωνορισμάτωντωνμιγαδικώναριθμών z 1 και z 2 είναι ένα όρισμα του γινομένου τους argz 1 z 2 ) argz 1 +argz 2, 2.2)

5 34 Επίπεδο και Χώρος καιτομέτροτουγινομένουτωνμιγαδικώναριθμών z 1 και z 2 είναιτογινόμενοτων μέτρων τους z 1 z 2 = z 1 z ) Σχήμα 2.3: Γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών Στο Σχήμα 2.3, τα σημεία A, B, C, D αντιστοιχούν στους μιγαδικούς αριθμούς z 1, z 2, z 1 z 2 και1αντίστοιχα.απότιςσχέσεις2.2και2.3συμπεραίνουμεότιτατρίγωνα ODBκαι OACείναιόμοια.Οπολλαπλασιασμόςμετο z 2 στομιγαδικόεπίπεδοείναι μίαομοιοθεσία,έναςμετασχηματισμόςπουαπεικονίζεικάθεσημείο z 1 τουεπιπέδου σεένασημείο z 3 τέτοιοώστετοτρίγωνοπουσχηματίζουντα z 1 και z 3 μετο0,να είναιόμοιομετοτρίγωνοπουσχηματίζουντα1και z 2 μετο0.μεαυτήτηνέννοια, το z 1 z 2 είναιπροςτο z 1,όπωςτο z 2 είναιπροςτο1, z 1 z 2 : z 1 = z 2 : 1. όπουωςαναλογίαδενεννοούμεαπλώςτηνισότητατουλόγουτωνμηκώνόπωςστην ευθεία των πραγματικών αριθμών) αλλά και την ισότητα των αντίστοιχων γωνιών. Μεόρουςδιανυσμάτων,οπολλαπλασιασμόςμετο z 2,στρέφειτοδιάνυσμαθέσης του z 1 κατάγωνία Argz 2 ),καιτοπολλαπλασιάζειμετοναριθμό z 2. Παρατηρούμεότιοπολλαπλασιασμόςμε zτέτοιοώστε z = 1,είναιαπλώςστροφή του μιγαδικού επιπέδου κατά γωνία Argz). Ειδικότερα, ο πολλαπλασιασμός με τη φανταστική μονάδα i, είναι περιστροφή κατά π/2. Από αυτή την άποψη αποκτά γεωμετρικόνόημαηιδιότητα i 2 = 1: ηεπανάληψητηςπεριστροφήςκατά π/2δίδει περιστροφή κατά γωνία π, η οποία απεικονίζει κάθε σημείο στο αντίθετο του: i 2 z = z.

6 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 35 Οαντίστροφοςένοςμιγαδικούαριθμού z 0,υπολογίζεταιεύκολαεάνοzείναι σε τριγωνομετρική μορφή. Εστω z = rcosϑ+isinϑ),καιυποθέτουμεότιοαντίστροφοςέχειτριγωνομετρική μορφή z 1 = tcosϕ+isinϕ). Εχουμε 1 = zw = rtcosϑ+ϕ)+iϑ+ϕ)) αλλάομιγαδικόςαριθμός 1έχειμέτρο 1καιόρισμα 0.Συνεπώς rt = 1και ϑ+ϕ 0, και καταλήγουμε z 1 = 1 r cos ϑ)+isin ϑ)) δηλαδή z 1 = 1,και ϑείναιέναόρισματου z z 1, argz 1 ϑ. Ειδικότερα,για τοπρωτεύονόρισματου z 1 έχουμε { Arg z 1 2π Argz εάν Argz 0 = 0 εάν Argz = 0 Η τριγωνομετρική μορφή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τον υπολογισμό δυνάμεων μιγαδικώναριθμών.θεωρούμετοναριθμό z = rcosϑ+isinϑ)καιτιςδυνάμειςτου z 2 = rr cosϑ+ϑ)+isinϑ+ϑ)) = r 2 cos2ϑ)+isin2ϑ)) z 3 = r 2 r cos2ϑ+ϑ)+isin2ϑ+ϑ)) = r 3 cos3ϑ)+isin3ϑ)) και, όπως δείχνουμε εύκολα με επαγωγή στο n, z n = r n cosnϑ)+isinnϑ)). Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται Θεώρημα του De Moivre. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα στο z 1,βλέπουμεότιμπορείναεπεκταθείκαισεαρνητικούςακέραιους.Εάν n N, z n = r n cos nϑ)+isin nϑ)). Θεώρημα2.1Θεώρημα De Moivre)Γιακάθεμιγαδικόαριθμό z 0,καικάθε ακέραιο n Z,εάν z = rcosϑ+isinϑ),τότε z n = r n cosnϑ)+isinnϑ)) Άσκηση2.1Εάν zβρίσκεταιπάνωστομοναδιαίοκύκλο S 1,τότε z 1 = z. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κλασματικές δυνάμεις.

7 36 Επίπεδο και Χώρος Ρίζες της μονάδας Στοσύνολοτωνπραγματικώναριθμών,γιακάθεφυσικόαριθμό n,οαριθμός 1έχει μίαμοναδική n-οστήρίζαεάν nείναιπεριττός,ενώέχειδύο n-οστέςρίζες, 1και 1, εάνοnείναιάρτιος. Θαδούμεότιστοσύνολοτωνμιγαδικώναριθμώνοαριθμός1 έχειακριβώς n n-οστέςρίζεςγιακάθεφυσικόαριθμό n. Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης z n = 1. Γράφουμετο zσετριγωνομετρικήμορφή, z = rcosϑ+isinϑ)καιέχουμε z n = r n cosnϑ)+isinnϑ)) = 1, συνεπώς r n = 1, cosnϑ) = 1και sinnϑ) = 0. Συμπεραίνουμεότικάθε n-οστή ρίζατηςμονάδαςγράφεταιστημορφή cosϑ + isinϑ,όπου ϑικανοποιείτιςσχέσεις cosnϑ) = 1και sinnϑ) = 0.Απότιςσχέσειςαυτέςέχουμεότι nϑ = 2kπγια k Z, και συνεπώς ότι ϑ = k 2π, k Z. n Απομένει να δούμε ποιές από αυτές τις τιμές του ορίσματος δίδουν διαφορετικούς μιγαδικούςαριθμούς.εάνσυμβολίσουμε ϑ k = 2kπ n,έχουμε ϑ k+n = ϑ k +2π καισυνεπώς cosϑ k+n +isinϑ k+n = cosϑ k +isinϑ k.για k = 0, 1,...,n 1,έχουμε τις τιμές ϑ 0 = 0, ϑ 1 = 2π n,..., ϑ k = 2kπ n,..., ϑ n 1 = 2n 1)π n οι οποίες δίδουν όλες διαφορετικούς μιγαδικούς αριθμούς. Συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν ακριβώς n n-οστες ρίζες της μονάδας στο μιγαδικό επίπεδο, οι αριθμοί για k = 0, 1,...,n 1. cos 2kπ n +isin 2kπ n Εάντώραορίσουμε w n = cos 2π +isin 2π,έχουμε,για k = 0,...,n 1 n n wn k = cos 2kπ 2kπ +isin n n. Πούβρίσκονταιαυτοίοιαριθμοίστομιγαδικόεπίπεδο;Για k = 0έχουμετο 1. Ολεςοι n-οστέςρίζεςτηςμονάδαςβρίσκονταιστομοναδιαίοκύκλο, S 1 = {z C : z = 1}, και η γωνία που σχηματίζεται από το 0 μεταξύ διαφορετικών ριζών είναι πολλαπλάσιο του 2π n.συμπεραίνουμεότιοι n-οστέςρίζεςβρίσκονταιστιςκορυφέςενόςκανονικού πολυγώνου,με nκορυφές,μίαεκτωνοποίωνβρίσκεταιστο 1.

8 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 37 Σχήμα 2.4: Τρίτες και τέταρτες ρίζες της μονάδας Ρίζεςτου a C Εάν a = 0,τότεγιακάθε n,ημοναδική n-οστήρίζατου aείναι 0: z n = 0 z = 0. Εάν a 0,υποθέτουμεότι aγράφεταισετριγωνομετρικήμορφήως a = scosϕ+ isinϕ). Οπραγματικόςαριθμός sείναιθετικός,καισυμβολίζουμε s 1/n τηθετική πραγματική n-οστήρίζατου s. Θέτουμε z 0 = s 1/n cos ϕ n +isin ϕ n),καιπαρατηρούμε ότι z0 n = a,δηλαδή z 0 είναιμίααπότις n-οστέςρίζεςτου ) a. n z Εάν z k είναιμιαάλλη n-οστήρίζατου a,έχουμε k z0 = 1,καισυνεπώς z k z0 είναι μία n-οστή ρίζα της μονάδας. Καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα. Θεώρημα 2.2 Κάθε μιγαδικός αριθμός a 0, έχει n διαφορετικές μιγαδικές n-οστές ρίζες,καιεάν a = scosϕ+isinϕ)είναιμίατριγωνομετρικήμορφήτου a,οι n-οστές ρίζες είναι ϕ z k = s cos 1/n n + 2kπ ) ϕ +isin n n + 2kπ )) n για k = 0, 1,...,n 1. Εκθετική μορφή μιγαδικού αριθμού Θεωρούμετουςαριθμούς t + iϑκαι s + iϕ,καθώςκαιτους e t cosϑ + isinϑ)και e s cosϕ+isinϕ).παρατηρούμεότι e t cosϑ+isinϑ) e s cosϕ+isinϕ) = e t+s cosϑ+ϕ)+siniϑ+ϕ))

9 38 Επίπεδο και Χώρος και [ e t cosϑ+isinϑ) ] n = e nt cosnϑ)+isinnϑ)), δηλαδή ότι η αντιστοίχηση t+iϑ e t cosϑ+isinϑ) έχει τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης, να απεικονίζει αθροίσματα σε γινόμενα και ακέραια πολλαπλάσια σε δυνάμεις. Με βάση αυτή την παρατήρηση θα ορίσουμε τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση e t+iϑ = e t cosϑ+isinϑ), ή e z = e Rez) cosimz)+isinimz)). Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί σε εκθετική μορφή z = e log z +iargz. Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση έχει τις ιδιότητες αʹ. e z e w = e z+w βʹ. e z ) n = e nz γʹ. e z ) 1 = e z δʹ. e z = e z εʹ. e z = e Rez και arge z ) Imz Άσκηση 2.2 Επαληθεύσατε τις παραπάνω ιδιότητες της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης. Εφαρμογές Παράδειγμα 2.2 Αναπτύγματα δυνάμεων των cos ϑ, sin ϑ. Εάν z = cosϑ+isinϑ,τότε 1 z = cosϑ isinϑκαι 2cosϑ = z + 1 z 2isinϑ = z 1 z.

10 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 39 Απότουςτύπουςτου De Moivre, z n = cosnϑ+isinnϑκαι z n = cosnϑ isinnϑ. Άρα 2cosnϑ = z n + 1 z n 2.4) 2isinnϑ = z n 1 z n 2.5) Θαχρησιμοποιήσουμετην2.4γιαναεκφράσουμετο cos 6 ϑσεπολλαπλάσιατης ϑ: 2 6 cos 6 ϑ = z + 1 ) 6 z και καταλήγουμε Ανάλογα υπολογίζουμε ότι = z 6 +6z 4 +15z z z z 6 = z 6 + 1z ) +6 z 4 + 1z ) +15 z 2 + 1z ) = 2cos6ϑ+12cos4ϑ+30cos2ϑ+20 cos 6 ϑ = 1 32 cos6ϑ+6cos4ϑ+15cos2ϑ+10) 2i) 5 sin 5 ϑ = καιαπότην2.5έχουμε = z 1 ) 5 z z 5 1z ) 5 5 z 3 1z ) +10 z 1 ) 3 z 2 5 sin 5 ϑ = 2sin5ϑ 5sin3ϑ+10sinϑ) και sin 5 ϑ = 1 16 sin5ϑ 5sin3ϑ+10sinϑ). Παράδειγμα 2.3 Αναπτύγματα των cos nϑ, sin nϑ σε δυνάμεις. Από την ταυτότητα cos6ϑ+isin6ϑ) = cosϑ+isinϑ) 6 = cos 6 ϑ+6icos 5 ϑsinϑ+15i 2 cos 4 ϑsin 2 ϑ +20i 3 cos 3 ϑsin 3 ϑ+15i 4 cos 2 ϑsin 4 ϑ +6i 5 cosϑsin 5 ϑ+i 6 sin 6 ϑ,

11 40 Επίπεδο και Χώρος χωρίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, έχουμε cos6ϑ = cos 6 ϑ 15cos 4 ϑsin 2 ϑ+15cos 2 ϑsin 4 ϑ sin 6 ϑ και sin6ϑ = 6cos 5 ϑsinϑ 20cos 3 ϑsin 3 ϑ+6cosϑsin 5 ϑ. Παράδειγμα2.4Οιδιωνυμικοίσυντελεστές n,για k = 0, 1,..., nορίζονταιως οι συντελεστές του αναπτύγματος του διωνύμου 1+x) n = n k=0 n x k, και μπορούμε να τους υπολογίσουμε από τον τύπο n n! n k +1)n k +2) n 1)n = = k!n! 1 2 k Προσέξτεοτι 0! = 1,καισυνεπώς n 0) = n = 1. Θεωρούμε τα αθροίσματα και C = n k=0 n coskϑ = 1+ncosϑ+ nn 1) 2 S = n k=0 n sinkϑ = nsinϑ+ nn 1) 2 cos2ϑ+...+cosnϑ sin2ϑ+...+sinnϑ. Παρατηρούμε ότι C και S είναι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, αντίστοιχα, τουαναπτύγματοςτου 1+e iϑ ) n : 1+e iϑ ) n = = n k=0 n k=0 = C +is. n e ikϑ Χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες n coskϑ+isinkϑ) cos2ϕ = cos 2 ϕ sin 2 ϕ = 2cos 2 ϕ 1.

12 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 41 έχουμε sin2ϕ = 2sinϕcosϕ Συμπεραίνουμε ότι και 1+e iϑ ) n = 1+cosϑ+isinϑ) n = 2cos 2 ϑ 2 +2isin ϑ 2 cos ϑ ) n 2 = 2cos ϑ ) n cos ϑ 2 2 +isin ϑ ) n 2 = 2cos ϑ ) n cos nϑ ) nϑ +isin C = S = 2cos ϑ ) n cos nϑ 2 2 2cos ϑ ) n sin nϑ 2 2. Παράδειγμα 2.5 Εξετάζουμε το άθροισμα των n οστών ριζών της μονάδας, Παρατηρούμε ότι Q = 1+w n +w 2 n +...+w n 1 n. w n Q = w n 1+w n +...+w n 1 n ) = w n +w 2 n +...+w n 1 n = Q +w n n Συμπεραίνουμεότι w n 1)Q = 0,καιεφ όσον w n 1,έχουμε 1+w n +w 2 n +...+w n 1 n = 0. Ευθείες και κύκλοι στο μιγαδικό επίπεδο Η ευθεία που είναι παράλληλη στο διάνυσμα με συντεταγμένες a, b) και διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες c, d) αποτελείται από όλα τα σημεία με συντεταγμένες τηςμορφής x, y) = c, d) + ta, b)για t R. Απόαυτήτηνσχέσηπαίρνουμε,με

13 42 Επίπεδο και Χώρος απαλοιφή του t, την εξίσωση που ικανοποιούν οι συντεταγμένες x, y) των σημείων της ευθείας: bx c) = ay d) ή bx ay = cb da. Μπορούμε να εκφράσουμε την εξίσωση της ευθείας χρησιμοποιώντας μιγαδικούς αριθμούς.εάν α = a+ibκαι γ = c+id,τογενικόσημείο z = x+iyτηςευθείαςπου διέρχεταιαπότο γκαιείναιπαράλληληπροςτηνευθείαπουδιέρχεταιαπότο 0καιτο αικανοποιείτησχέση z = γ+tαγια t R.Γιανααπαλείψουμετο tαπότιςσχέσεις z = γ+tακαι z = γ+tᾱπολλαπλασιάζουμετηνπρώτημε ᾱκαιτηδεύτερημε ακαι παίρνουμε ᾱz ᾱγ = tᾱα = α z α γ. Ετσι καταλήγουμε στην εξίσωση που ικανοποιούν τα σημεία z της ευθείας, ᾱz γ) α z γ) = ) Οκύκλοςμεκέντροτοσημείομεσυντεταγμένες c, d)καιακτίνα r > 0αποτελείται απόόλατασημείαμεσυντεταγμένες x, y)πουαπέχουν rαπότοσημείο c, d),δηλαδή που ικανοποιούν την εξίσωση x c) 2 +y d) 2 = r 2. Στομιγαδικόεπίπεδοοκύκλοςμεκέντρο κ = c+idκαιακτίνα r > 0αποτελείται απότασημεία z = x+iyπουικανοποιούντηνεξίσωση z κ = r,δηλαδή z κ) z κ) = r ) Οι απεικονίσεις αντιστροφής στο μιγαδικό επίπεδο Στην πραγματική ευθεία R η απεικόνιση αντιστροφής t 1/t διατηρεί σταθερά τα σημεία 1και 1καιαπεικονίζειτασημείατουδιαστήματος 0, 1)στοδιάστημα 1, ) καιτασημείατουδιαστήματος 1, 0)στοδιάστημα, 1),καιαντίστροφατα σημεία του διαστήματος 1, ) στο διάστημα 0, 1) και τα σημεία του διαστήματος, 1) στο διάστημα 1, 0). Η απεικόνιση αντιστροφής δεν ορίζεται στο 0. Στο μιγαδικό επίπεδο θα θεωρήσουμε δύο απεικονίσεις αντιστροφής, την z 1/z, τηνοποίαθαονομάσουμεαναλυτικήαντιστροφή,καιτην z 1/ z,τηνοποίαθα ονομάσουμε γεωμετρική αντιστροφή. Και οι δύο αυτές απεικονίσεις ορίζονται σεόλοτομιγαδικόεπίπεδοεκτόςαπότο 0.

14 Κεφάλαιο 2 Μιγαδικοί Αριθμοί 43 Ηαναλυτικήαντιστροφήαπεικονίζειτο z = re iϑ = rcosϑ + isinϑ)στο z 1 = r 1 e iϑ = r 1 cosϑ isinϑ),δηλαδήστοσημείοτουοποίουτομέτροείναιτοαντίστροφοτουμέτρουτου z,καιτοόρισμαείναιτοαντίθετοτουορίσματοςτου z. Ηγεωμετρικήαντιστροφήαπεικονίζειτο z = re iϑ = rcosϑ + isinϑ)στο z 1 = r 1 e iϑ) = r 1 cosϑ + isinϑ),δηλαδήστοσημείοτουοποίουτομέτροείναιτο αντίστροφοτουμέτρουτουz,καιτοόρισμαείναιίσομετοόρισματουz.ηγεωμετρική αντιστροφήδιατηρείσταθεράτασημείαστομοναδιαίοκύκλο S 1 μεκέντροστο 0,για ταοποία z = 1καιστέλνειτασημείαστοεσωτερικότου S 1 σεσημείαστοεξωτερικό του S 1. Θεωρούμεένακύκλομεκέντρο κκαιακτίνα r,τουοποίουτασημείαικανοποιούν τηνεξίσωση z κ = r.θέλουμεναπροσδιορίσουμετηνεικόνατουκύκλουαπότην απεικόνιση fz) = 1/z,δηλαδήτοσύνολο {w C : w = 1z } {, z κ = r = w C : Από την εξίσωση του κύκλου έχουμε 1 w κ ) 1 w κ ) Εάν r 2 κ κ 0,ηεξίσωσηγίνεται = r 2 1 w w κ +κ κ = r2 w κ w 1 κ w κw = r 2 κ κ. w w w w = r2 κ κ κ w +κw r 2 κ κ) 2 r 2 κ κ } 1 w κ = r. w w + κ w r 2 κ κ + κw r 2 κ κ + κ κ = r 2 κ κ) ) ) 2 κ κ w w = κ κ r 2 κ κ r 2 w κ κ κ r 2 = r 2 r 2 κ κ) 2 r 2 κ κ r 2 ) 2 r κ κ r ) Δηλαδήτοσημείο wβρίσκεταισεκύκλομεκέντρο κ κ κ r 2 καιακτίνα r κ κ r 2. Εάν r 2 κ κ = 0,ηεξίσωσηγίνεται που είναι η εξίσωση μίας ευθείας. κw + κ w = 1 2.9) Συνοψίζοντας, η αναλυτική αντιστροφή z 1/z απεικονίζει τον κύκλο C

15 44 Επίπεδο και Χώρος σεκύκλο,εάν 0 C σεευθεία,εάν 0 C, και απεικονίζει την ευθεία ε σεκύκλο,εάν 0 ε σεευθεία,εάν 0 ε, Άσκηση 2.3 Δείξτεοτιηευθείαμεεξίσωση2.9)περνάειαπότοσημείο 1 2κ και είναικάθετηπροςτηνευθείαπουδιέρχεταιαπότο 0καιτο κ.