2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Transcript

1 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ A. ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Δειγματοληπτική κατανομή της μέσης τιμής: τυπικό σφάλμα Διαστήματα εμπιστοσύνης (ΔΕ) B. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Παράδειγμα Γενική διαδικασία Σφάλματα & ισχύς της στατιστικής δοκιμασίας «Σημαντικό», πραγματικό & αξιοσημείωτο Σύγκριση των τιμών p με τα ΔΕ Γ. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Ανάλογα με τον στατιστικό έλεγχο Στην εκτιμητική 1 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ «ΔΕΙΓΜΑ» Δείγμα = ένα υποσύνολο του πληθυσμού, το οποίο μελετάμε. ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ Η ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΚΗ «ΔΕΙΓΜΑ -> ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ» Πληθυσμός = ένα σύνολο ατόμων ή αντικειμένων, με κάποια χαρακτηριστικά που θα θέλαμε να μελετήσουμε. 2 1

2 Στην επαγωγική στατιστική προσπαθούμε να περιγράψουμε κάποιο χαρακτηριστικό ενός πληθυσμού χρησιμοποιώντας την πληροφορία που περιέχεται σε ένα δείγμα παρατηρήσεων. 3 Στατιστική συμπερασματολογία/στατιστική επαγωγή (statistical inference) Εκτιμητική Για την εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων ενός πληθυσμού από ένα τυχαίο δείγμα που λαμβάνεται από αυτών. Έλεγχοι υποθέσεων Πόσο πιθανό είναι ότι οι διαφορές που υπάρχουν ανάμεσα στα παρατηρούμενα αποτελέσματα και τα αναμενόμενα (με βάση κάποια υπόθεση) οφείλονται καθαρά στην τύχη; Γίνεται έλεγχος της υπόθεσης Σημειακή εκτίμηση π.χ. μ.τ. του δείγματος Εκτίμηση διαστήματος Πόσο ακριβής είναι η εκτίμηση; Παραμετρικός Μη-παραμετρικός 4 2

3 A. ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Η δειγματοληπτική κατανομή της μέσης τιμής Τι είναι το τυπικό σφάλμα; 5 Στην ενότητα της Περιγραφικής Στατιστικής είδαμε πως υπολογίζονται ορισμένα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα ή στατιστικές. Πχ μ.τ., ΤΑ, διάμεσος, τεταρτημόρια κτλ Οι στατιστικές παρέχουν, κάτω από κάποιες προϋποθέσεις, και καλές σημειακές εκτιμήσεις των αντίστοιχων παραμέτρων του πληθυσμού. Κάθε μαθηματική έκφραση (τύπος) με βάση την οποία υπολογίζουμε την τιμή μιας στατιστικής ορίζει μια σημειακή εκτιμήτρια της αντίστοιχης παραμέτρου στον πληθυσμό. Π.χ. x= i n x i Αν εφαρμοσθεί ο τύπος στις παρατηρήσεις ενός δείγματος μεγέθους n, δίνει μια σημειακή εκτίμηση της άγνωστης μ.τ. μ του πληθυσμού. 6 3

4 Η στατιστική επαγωγή δεν ενδιαφέρεται μόνο για τη σημειακή εκτίμηση. Σκοπός είναι να δούμε πόσο κοντά μπορεί να είναι η εκτίμηση στην πραγματική (άγνωστη) τιμή της παραμέτρου. Η σημειακή εκτίμηση (από το συγκεκριμένο δείγμα) και οι ιδιότητες της δειγματοληπτικής κατανομής χρησιμοποιούνται για να εκτιμηθεί το πιθανό σφάλμα (της εκτίμησης) και κάποιο ανώτερο και κάποιο κατώτερο όριο τιμών, ανάμεσα στις οποίες αναμένεται να βρίσκεται η αληθής τιμή της παραμέτρου στον πληθυσμό. Η κατανομή πιθανότητας μιας στατιστικής που υπολογίζεται από όλα τα δυνατά ισομεγέθη τυχαία δείγματα (μεγέθους n) από έναν πληθυσμό ονομάζεται δειγματοληπτική κατανομή ή κατανομή δειγματοληψίας (sampling distribution). 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Το αρχείο Rouvas20.sav περιέχει μετρήσεις σε ένα δείγμα 20 νηπίων. Μια από αυτές τις μετρήσεις είναι το ύψος σώματος. Η μέση τιμή του ύψους είναι 112,5 εκ (ΤΑ 5,9 εκ), η ελάχιστη τιμή είναι 103 εκ και η μέγιστη 124 εκ. Αν υποθέσουμε ότι ο πληθυσμός από τον οποίον προήλθε το δείγμα είναι πολύ μεγαλύτερος, και ότι μπορούσαμε να επιλέξουμε με τυχαίο τρόπο ένα άλλο δείγμα μεγέθους 20 και να μετρήσουμε το ύψος, η μ.τ. αναμένεται να διαφέρει κάπως από την μ.τ. στο 1 ο δείγμα. π.χ. 110,2 εκ. 8 4

5 9 H TA της δειγματοληπτικής κατανομής ονομάζεται τυπικό σφάλμα (Τριχ- πιθανό σφάλμα). Το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής (SEΜ) αντιπροσωπεύει τη μεταβλητότητα της εκτίμησης. Δηλαδή, τι βαθμός σφάλματος υπάρχει στη μ.τ. του δείγματος όταν τη χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε την παράμερο μ. 10 5

6 Αν το χαρακτηριστικό έχει κανονική κατανομή στον πληθυσμό από τον οποίον γίνεται η δειγματοληψία, αποδεικνύεται ότι : 1) Οι εκτιμήσεις της μ.τ. θα έχουν κανονική κατανομή. 2) Η μ.τ. των εκτιμήσεων ισούται με την μ.τ. του πληθυσμού. 3) Το ΤΣ της μέσης τιμής δίνεται από τον τύπο SEM = σ n Συνήθως δεν γνωρίζουμε την ΤΑ του πληθυσμού αλλά υποθέτουμε ότι η ΤΑ του δείγματος (s) είναι μία καλή εκτίμηση. Τότε, το ΤΣ της μέσης τιμής εκτιμάται να είναι: SEM= s n 11 TΑ ( X ) = σ/( n) = 5.00/ 2 =3,54 (2 δ.ψ.) 12 6

7 Αν ο πληθυσμός από τον οποίον γίνεται η δειγματοληψία ΔΕΝ είναι κανονικός, αποδεικνύεται (με τη χρήση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος) ότι : 1) Όταν το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο, τότε οι εκτιμήσεις της μ.τ. έχουν κανονική κατανομή, όποια και να είναι η κατανομή των δεδομένων στον πληθυσμό. 2) Η μ.τ. των εκτιμήσεων ισούται με την μ.τ. του πληθυσμού. SEM 3) Το ΤΣ της μέσης τιμής δίνεται από τον τύπο SEM= s = σ Συνήθως δεν γνωρίζουμε την ΤΑ του πληθυσμού αλλά υποθέτουμε ότι η ΤΑ του δείγματος (s) είναι μία καλή εκτίμηση. Τότε, το ΤΣ της μέσης τιμής εκτιμάται να είναι: n n

8 Αρχική κατανομή = Ομοιόμορφη κατανομή επί των ακεραίων 0,1,...,9 Θεωρητική κατανομή πιθανότητας Κατανομή 400 μέσων τιμών από δείγματα μεγέθους 5 (από τυχαίους αριθμούς) Snedecor & Cochran (σελ. 46). 15 Παίρνοντας επαναλαμβανόμενα δείγματα από τον ίδιο πληθυσμό. Υπάρχει μειωμένη μεταβλητότητα στη δειγματοληπτική κατανομή των μέσων τιμών. SD= σ n Armitage & Berry σελ. 80 Java applet που απεικονίζει την ιδέα της δειγματοληπτικής κατανομής - (Rice Virtual Lab in Statistics) 16 8

9 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Εάν η δειγματοληψία γίνεται (χωρίς επανάθεση) από έναν πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους Ν, τότε η διακύμανση της δειγματοληπτικής κατανομής των μέσων τιμών θα είναι κατά προσέγγιση 2 σ N n. n N 1 αρκεί το μέγεθος των δειγμάτων (n) να είναι μεγάλο. (>30 περίπου) 17 Πώς ερμηνεύεται το τυπικό σφάλμα; Όσο πιο μικρό είναι το ΤΣ, τόσο πιο ακριβής είναι η εκτίμηση. Το ΤΣ είναι αυξημένο όταν το δείγμα είναι μικρό το χαρακτηριστικό έχει αυξημένη μεταβλητότητα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Συχνά βλέπουμε «μ.τ.(τσ)» («mean (SE)»). Το «ΤΣ» (SE) συνήθως αναφέρεται στο ΤΣ της μέσης τιμής (SEM). 18 9

10 Σε δημοσιευμένους πίνακες σύνοψης δεδομένων, άλλοτε βλέπουμε την μέση τιμή και την ΤΑ (SD), και άλλοτε τη μέση τιμή και το ΤΣ (SE). Ποια είναι η διαφορά τους; το ΤΣ (SEΜ ή SE) μας δίνει μια ιδέα για το πόσο ακριβής είναι η εκτίμηση της μ.τ., ενώ η ΤΑ συνοψίζει τη μεταβλητότητα των δεδομένων μας. Πρακτικά ΤΑ ΤΣ = n Ουσιαστικά και τα 2 είναι τυπικές αποκλίσεις! Απλά, το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής είναι η τυπική απόκλιση μιας κατανομής μέσων τιμών (από δείγματα μεγέθους n). 19 Γενικότερα, Tο τυπικό σφάλμα ενός στατιστικού δείκτη = Η τυπική απόκλιση του στατιστικού δείκτη. Για παράδειγμα, αν μας ενδιαφέρει το ποσοστό των παχύσαρκων νηπίων στον αγροτικό πληθυσμό της Κρήτης (π) έχουμε μια εκτίμηση από το δείγμα μας (p=15%, 3/20). Αν παίρναμε επαναλαμβανόμενα δείγματα μεγέθους 20 από τον πληθυσμό και απεικονίζαμε τα ποσοστά με ένα ιστόγραμμα, η δειγματοληπτική κατανομή της αναλογίας θα προσέγγιζε την κανονική κατανομή με μέση τιμή π. Η τυπική απόκλιση της κατανομής των εκτιμήσεων μιας αναλογίας είναι το τυπικό σφάλμα της αναλογίας

11 Η έννοια του τυπικού σφάλματος (SE) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Το ΤΣ της μέσης τιμής ενός δείγματος a) μετράει την μεταβλητότητα των παρατηρήσεων; OXI η ΤΑ μετράει την μεταβλητότητα των παρατηρήσεων b) είναι ανάλογο του αριθμού των παρατηρήσεων; ΟΧΙ, είναι ανάλογο του 1/ n c) είναι μεγαλύτερο από την εκτιμώμενη ΤΑ του πληθυσμού; ΟΧΙ, είναι ΤΑ/ n d) είναι μονάδα μέτρησης της πιθανής απόστασης της μέση τιμής του δείγματος από την μέση τιμή του πληθυσμού; ΝΑΙ 21 A. ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 22 11

12 «Τι είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης (ΔΕ) για μια μέση τιμή;» Το ΔΕ μας δίνει ένα εύρος τιμών, το οποίο είναι πολύ πιθανό να καλύπτει τη μέση τιμή του πληθυσμού που μας ενδιαφέρει. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. FEV 1 %PRED ΣΕ ΑΣΘΕΝΕΙΣ ΜΕ ΧΑΠ Έχουμε πάρει ένα τυχαίο δείγμα 91 ασθενών που διεγνώσθησαν με ΧΑΠ. Θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή της FEV 1 %pred κατά τη διάγνωση του ΧΑΠ. Η μέση τιμή του πληθυσμού συμβολίζεται με μ και η διακύμανση με σ 2. H μ.τ. του δείγματος x είναι η καλύτερη εκτίμηση (είναι αμερόληπτη) της μέση τιμής του πληθυσμού μ. x= 0,56 Αλλά υπάρχει πάντα κάποια «αβεβαιότητα» (τυχαία μεταβλητότητα) όταν έχουμε μόνο μια εκτίμηση. Πόση αβεβαιότητα σχετίζεται με τη συγκεκριμένη εκτίμηση; 23 Descriptives Copd_all.sav fev1pred Mean 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound Statistic Std. Error Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Το 95% ΔΕ για τη μ.τ. της FEV 1 %pred είναι από 51% έως 61%

13 «Πώς ερμηνεύεται το ΔΕ;» Δεν μας ενδιαφέρουν μόνο οι ασθενείς που έλαβαν μέρος στη μελέτη αλλά ένα ευρύτερο σύνολο ατόμων που διεγνώσθησαν με ΧΑΠ. Οπότε, θέλουμε να ξέρουμε με πόση ακρίβεια γνωρίζουμε την πραγματική μέση τιμή στον πληθυσμό των ασθενών (υποθέτοντας ότι το δείγμα είναι αντιπροσωπευτικό). Λέμε ότι «με 95% σιγουριά, η μέση τιμή του πληθυσμού περιέχεται στο διάστημα από 51% έως 61%» ή «έχουμε 95% εμπιστοσύνη ότι το διάστημα από 51% έως 61% καλύπτει τη μέση τιμή του FEV 1 %pred του πληθυσμού». 25 Αν παίρναμε επαναλαμβανόμενα δείγματα μεγέθους n από τον πληθυσμό και δημιουργούσαμε τα όρια εμπιστοσύνης για κάθε ένα, θα αναμέναμε ότι 95% των διαστημάτων θα περιείχαν την πραγματική μέση τιμή. Armitage & Berry pg

14 «Πώς υπολογίζεται ένα ΔΕ για μια μέση τιμή;» Γενική αρχή προσθέτουμε ή αφαιρούμε από την εκτίμηση (τη μ.τ.) ένα πολλαπλάσιο της ΤΑ της εκτίμησης Το 95% ΔΕ για τη μτ έχει τη μορφή x ± 1, 96 ΤΣ όταν η ΤΑ του δείγματος (s) είναι καλή εκτίμηση της ΤΑ του πληθυσμού (σ), στον υπολογισμό της ΤΑ της μ.τ. (δηλαδή του ΤΣ). 27 Εάν γνωρίζαμε το μ και το σ, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το 95% των τιμών στην κατανομή των μέσων τιμών βρίσκεται σε απόσταση ± 2ΤΑ από τη μ.τ. του πληθυσμού, δηλαδή ± 2ΤΣ (ή, για την ακρίβεια, ± 1,96ΤΣ). Δηλαδή περίπου το 95% των τιμών στην κατανομή των μέσων τιμών βρίσκεται σε απόσταση ± 2ΤΑ από τη μ.τ. του πληθυσμού, δηλαδή ± 2ΤΣ. Οπότε η πιθανότητα ότι η μτ του δείγματος x θα είναι στο διάστημα (μ-2τσ, μ+2τσ) = 0,95. Δηλαδή Δεν γνωρίζουμε τη μ & τη σ, αλλά διαθέτουμε όμως την σημειακή εκτίμηση x της μ από το δείγμα. Οπότε σ σ P( X 2 < µ < X+ 2 ) = 0,95 n n σ σ P( µ 2 < X< µ + 2 ) = 0,95 n n Κατώτερο όριο : μ.τ. του δείγματος (1,96 επί ΤΣ) Ανώτερο όριο: μ.τ. του δείγματος + (1,96 επί ΤΣ) για πιθανότητα ακριβώς 0,

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συν). Το 95% ΔΕ για τη μ.τ. της FEV 1 %pred είναι από 51% έως 61%. Πώς υπολογίστηκε αυτό το διάστημα; n=91 μ.τ.= 56 %αναμ s=23 %αναμ. Αν υποθέσουμε ότι η s είναι καλή εκτίμηση της σ, τότε SD SE = n = 23 = 2, ± (1,96 * 2,41) = 56 ± 4,7 = 51,2εως 60,7 29 Τι μπορούμε να κάνουμε αν θέλουμε να είμαστε πιο σίγουροι ότι η μ.τ. θα περιέχεται στο ΔΕ; Θα μπορούσαμε π.χ. να δημιουργήσουμε το 99% Δ.Ε. x ± 2,58 * ΤΣ 56 ± (2,58* 2,41) = 56 ± 6,2 = 49,8εως 62,2 Το 99% ΔΕ είναι από 49,8 έως 62,2 %αναμ. πιο ευρύ διάστημα 30 15

16 Το διάστημα x ± 1, 96 σ / n λέγεται το 95% διάστημα εμπιστοσύνης (95% confidence interval). x ± z / Το διάστημα λέγεται το 100(1-α) % α σ διάστημα εμπιστοσύνης. n α 0,1 0,05 0,01 0,001 z α 1,64 1,96 2,58 3,29 31 Armitage & Berry (σελ 69) z= x σ µ Λέγεται τυπική κανονική απόκλιση (standard normal deviate) ή τιμή-z (z value) 32 16

17 Στο προηγούμενο παράδειγμα θεωρήσαμε ότι η ΤΑ του δείγματος s ήταν καλή προσέγγιση της σ. Πότε δεν ισχύει αυτό; Όταν το δείγμα είναι μικρό. Συνήθως το πρόβλημα εμφανίζεται σε κλινικές έρευνες. Και τι κάνουμε; Δεν χρησιμοποιούμε το 1,96 αλλά μια (μεγαλύτερη) τιμή από μια κατανομή t, ανάλογα με το μέγεθος του δείγματος. Προϋπόθεση για την εφαρμογή της κατανομής t είναι ότι τα δεδομένα προέρχονται από κανονική κατανομή (αν όχι, δεν υπάρχει πρόβλημα εφ όσον δεν υπάρχει μεγάλη απόκλιση από την κανονική). 33 Δ.Ε. για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού με κανονική κατανομή και άγνωστη διακύμανση (μικρό δείγμα) Το Δ.Ε. εξαρτάται από το μέγεθός του δείγματος, και έχει τη μορφή x ( t s / n ) ± α όπου το t α είναι η κατάλληλη τιμή από την κατανομή t με n-1 βαθμούς ελευθερίας. Η κατανομή t είναι συμμετρική αλλά πιο φαρδιά και πιο επίπεδη στις άκρες της από την κανονική κατανομή

18 «Η κατανομή t με n-1 β.ε.» Οι β.ε. μετρούν την ποσότητα διαθέσιμης πληροφορίας στα δεδομένα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της σ 2. Οι β.ε = μέγεθος του δείγματος αριθμός των εκτιμώμενων παραμέτρων (περιορισμών). Εδώ εκτιμάμε την ΤΑ (τη διακύμανση). «The concept of the degrees of freedom is one of the more elusive statistical ideas» (Altman). Οι β.ε. αντιστοιχούν στο πόσα ανεξάρτητα «κομμάτια» πληροφορίας έχουμε Π.χ. Β=Χ 1 +Χ 2 +Χ 3. Αν γνωρίζουμε το σύνολό Β, τα 2 από τα 3 Χ ι μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές (είναι «ελεύθερα») αλλά το 3 ο Χ ι περιορίζεται σε κάποια συγκεκριμένη τιμή, οπότε υπάρχουν 2 βαθμοί ελευθερίας. 35 Όσο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος τόσο η t κατανομή πλησιάζει την κανονική. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Το μέσο επίπεδο συστολικής πίεσης σε ένα τυχαίο δείγμα 20 παιδιών ηλικίας 5-10 ετών είναι 109,0 mmhg και η ΤΑ είναι 7,85 mmhg. Η σ.π. φαίνεται να έχει κανονική κατανομή. Ποιο είναι το 95% Δ.Ε. για τη μ.τ.; 36 18

19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 συν. Τυχαίο δείγμα 20 παιδιών. Η σ.π. φαίνεται να έχει κανονική κατανομή. μ.τ. 109,0 mmhg s = 7,85 mmhg. Το κατώτερο όριο είναι x ( t s / n ) ± α Ποιο είναι το 95% Δ.Ε.; 109,0 2,093 (7,85 / 20)=105,3 mmhg και το ανώτερο 0.05 =, ,0 + 2,093 (7,85 / 20)=112,7 mmhg οπότε το 95% Δ.Ε. είναι από 105,3 έως 112,7 mmhg. t 2,093 {Χρησιμοποιώντας την κανονική κατανομή το κατώτερο όριο είναι 109,0 1,96 (7,85 / 20)=105,6 mmhg και το ανώτερο 109,0 + 1,96 (7,85 / 20)=112,4 mmhg } 37 ΣΥΝΟΨΗ ΔΕ για μια μέση τιμή *Είδαμε ότι και με πολύ μικρότερο n, μπορεί οι διαφορές να μην είναι μεγάλες. Παρατηρήσεις 1 δείγµα περίπου κανονική κατανοµή n<100* s όχι ίσο µε σ n>100 Θεωρούµε ότι s=σ x ± ( t α s / n ) x ± z / n το t α είναι τιμή από την κατανομή t με n-1 βαθμούς ελευθερίας. α σ α=0,05 => z=1,

20 Σελ 201 «Βιοστατιστική» Σταυρινός & Παναγιωτάκος (2007) Gutenberg 39 Από ποιους παράγοντες εξαρτάται το εύρος του ΔΕ; Από 1) Το μέγεθος του δείγματος. Τα μεγαλύτερα δείγματα δίνουν πιο ακριβή αποτελέσματα με μικρότερα ΔΕ. 2) Τη μεταβλητότητα του υπό μελέτη χαρακτηριστικού. 3) Το βαθμό εμπιστοσύνης που απαιτείται. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός εμπιστοσύνης που χρειάζεται τόσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τα ΔΕ δεν μπορούν να κάνουν ρύθμιση για τυχόν δειγματοληπτικά λάθη όπως μεροληψίες στο σχεδιασμό ή λάθη στην ανάλυση

21 Διαστήματα εμπιστοσύνης μέσης τιμής Τα 95% όρια εμπιστοσύνης της μέσης τιμής, εκτιμώμενα από ένα δείγμα a) είναι τα όρια μεταξύ των οποίων θα βρίσκεται η μέση τιμή του δείγματος με πιθανότητα 0,95; OXI η μέση τιμή του δείγματος πάντα περιέχεται! b) είναι τα όρια μεταξύ των οποίων θα βρίσκονται 95% των παρατηρήσεων σε μια μεγάλη σειρά δειγματοληψιών; OXI είναι τα όρια μεταξύ των οποίων, σε μια μεγάλη σειρά διαδοχικών δειγματοληψιών, θα βρίσκεται, 95 φορές στις 100, η μέση τιμή του πληθυσμού. c) είναι ένας τρόπος για να μετρηθεί η ακρίβεια της εκτίμησης της μέσης τιμής; ΝΑΙ d) είναι ένας τρόπος παρατηρήσεων; μέτρησης της μεταβλητότητας των ΟΧΙ 41 Η λογική των ΔΕ μπορεί να εφαρμοστεί και σε ποσοστά (π.χ. επιπολασμός) και άλλα συνοπτικά μέτρα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Myopia and night lighting in children in Singapore, BJO 2001, SM Saw et al 40% 19% 32% 9% = p [ z SE ( p )] SE ( p ) p (1 p ) / n ± α 42 21

22 43 Στατιστική συμπερασματολογία/στατιστική επαγωγή (statistical inference) Εκτίμητική Σημειακή εκτίμηση π.χ. μ.τ. του δείγματος Εκτίμηση διαστήματος Πόσο ακριβής είναι η εκτίμηση; Παραμετρικός Έλεγχοι υποθέσεων Πόσο πιθανό είναι ότι οι διαφορές που υπάρχουν ανάμεσα στα παρατηρούμενα αποτελέσματα και τα αναμενόμενα (με βάση κάποια υπόθεση) οφείλονται καθαρά στην τύχη; Γίνεται έλεγχος της υπόθεσης Μη-παραμετρικός 44 22

23 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ A. ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Δειγματοληπτική κατανομή της μέσης τιμής: τυπικό σφάλμα Διαστήματα εμπιστοσύνης (ΔΕ) B. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Παράδειγμα Γενική διαδικασία Σφάλματα & ισχύς της στατιστικής δοκιμασίας «Σημαντικό», πραγματικό & αξιοσημείωτο Σύγκριση των τιμών p με τα ΔΕ Γ. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Ανάλογα με τον στατιστικό έλεγχο Στην εκτιμητική 45 Β. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ (HYPOTHESIS TESTING) 46 23

24 Ο έλεγχος στατιστική υπόθεσης (έλεγχος σημαντικότητας) είναι ένας κανόνας με τον οποίο - αποφασίζουμε αν κάποιο δείγμα είναι «πιθανό» ή «απίθανο» δεδομένης της Η 0...η καλύτερα... - υπολογίζουμε το μέγεθος της αντίθεσης μεταξύ των αποτελεσμάτων του δείγματος και αυτών που προβλέπει η Η Παράδειγμα & Γενική Διαδικασία 48 24

25 Γενική διαδικασία έλεγχου μιας στατιστικής υπόθεσης 1. Σχηματισμός της μηδενικής υπόθεσης (Η 0 ) και της εναλλακτικής της υπόθεσης. 2. Έλεγχος των προϋποθέσεων του ελέγχου. 3. Ορισμός του επιπέδου στατιστικής σημαντικότητας (α) 4. Υπολογισμός της τιμής του «στατιστικού κριτηρίου ελέγχου» (test statistic) που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη Η Σύγκριση της τιμής του κριτηρίου ελέγχου με τιμές από μια γνωστή κατανομή πιθανοτήτων. 6. Εύρεση της πιθανότητας να προκύψει, όταν η Η 0 αληθεύει, μια τιμή του στατιστικού δείκτη ελέγχου που είναι όσο ή και περισσότερο ακραία από την παρατηρημένη τιμή. 7. Ερμηνεία της τιμής p 49 Γενική διαδικασία έλεγχου μιας στατιστικής υπόθεσης (ελέγχου στατιστικής σημαντικότητας). ΒΗΜΑ 1. Σχηματισμός της μηδενικής υπόθεσης (Η 0 ) και της εναλλακτικής της υπόθεσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΣΥΣΤΟΛΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΑΓΟΡΙΩΝ & ΚΟΡΙΤΣΙΩΝ ΗΛΙΚΙΑΣ 10 ΕΤΩΝ (ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ Τ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ) 2 τυχαία δείγματα: 46 αγόρια και 54 κορίτσια. Η 0 : Η μέση σ.π. δεν διαφέρει ανάλογα με το φύλο στην ηλικία των 10 ετών. H 0 : µ 1 = µ 2 Η Α : Η μέση σ.π. διαφέρει ανάλογα με το φύλο στην ηλικία των 10 ετών

26 Ομάδα 1 κορίτσια x 1 = 117,78 s 1 =10,62 Ομάδα 2 αγόρια x = 112,92 s 2 =9,44 2 Η 0 : μ 1 =μ 2 Η Α : μ 1 μ 2 Ρωτάμε... «Αν δεν υπάρχει πραγματική διαφορά στις μέσες συστολικές πιέσεις στον πληθυσμό πόσο πιθανό θα ήταν να βρεθούν αυτά τα δεδομένα (αποτελέσματα);» Η υπόθεση έλλειψης διαφοράς λέγεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), Η 0. Τη συγκρίνουμε με την εναλλακτική ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ αγοριών και κοριτσιών. Ρωτάμε «Εάν επαναλαμβανόταν η δειγματοληψία με το ίδιο μέγεθος δείγματος πολλές φορές, ποια θα ήταν η αναλογία των επαναλήψεων με αποτελέσματα τόσο μακριά ή πιο μακριά από τα αναμενόμενα;» Αυτή η αναλογία λέγεται η πιθανότητα ότι θα βρίσκαμε αυτά τα αποτελέσματα. 51 Αν η πιθανότητα είναι μεγάλη, τότε τα δεδομένα είναι συμβατά με την Η 0. Αν είναι μικρή, τότε είναι μάλλον απίθανα τα δεδομένα να έχουν βρεθεί όταν ισχύει η Η 0 και υπάρχει απόδειξη ότι ισχύει η Η Α. Γενική διαδικασία έλεγχου μιας στατιστικής υπόθεσης (ελέγχου στατιστικής σημαντικότητας). 1. Σχηματισμός της μηδενικής υπόθεσης (Η 0 ) και της εναλλακτικής της υπόθεσης. 2. Έλεγχος των προϋποθέσεων του ελέγχου. Μια προϋπόθεση για την ορθή εφαρμογή του ελέγχου t-test είναι ότι οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες. Π.χ. Δεν σημειώνουμε 2 μετρήσεις από κάθε άτομο

27 INDEPENDENT SAMPLES T-TEST Επίσης, οι κατανομές στους πληθυσμούς πρέπει να είναι κανονικές και οι διακυμάνσεις ίδιες. Εφαρμόζουμε t-test για ανεξάρτητα δείγματα Η 0 : μ 1 =μ 2 3. Ορισμός του επιπέδου στατιστικής σημαντικότητας (α) Το επίπεδο σημαντικότητας, α =Η πιθανότητα που επιλέγεται σαν όριο (cut-off) κάτω του οποίου απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Συμβατικά επιλέγεται το α= 0,05. [Θα δούμε στις επόμενες διαφάνειες ότι αν απορριφθεί η Η0 όταν στην πραγματικότητα ισχύει, τότε λέμε ότι έχει γίνει σφάλμα τύπου Ι (type I error). Η α είναι η (μέγιστη) πιθανότητα ότι θα γίνει ένα σφάλμα τύπου 53 Ι] Γενική διαδικασία έλεγχου μιας στατιστικής υπόθεσης (ελέγχου στατιστικής σημαντικότητας). 1. Σχηματισμός της μηδενικής υπόθεσης (Η 0 ) και της εναλλακτικής της υπόθεσης. 2. Έλεγχος των προυποθέσεων του ελέγχου. 3. Ορισμός του επιπέδου στατιστικής σημαντικότητας (α) 4. Υπολογισμός της τιμής του «στατιστικού κριτηρίου ελέγχου» (test statistic) που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη Η 0. Υπολογίζεται από τα δεδομένα και χρησιμοποιείται για να ελέγξει την Η 0. Ο στατιστικός δείκτης ελέγχου (το στατιστικό κριτήριο ελέγχου) για τον έλεγχο t για ανεξάρτητα δείγματα είναι t x = SE x 1 2 ( x 1 x 2 ) 54 27

28 Στους ελέγχους στατιστικών υποθέσεων, υπολογίζουμε την τιμή ενός κριτηρίου ελέγχου (στατιστική συνάρτηση ελέγχου, test statistic) Είναι μία τιμή που μπορεί να συγκριθεί με τιμές στην κατανομή πιθανοτήτων που αναμένεται να ακολουθεί το κριτήριο όταν ισχύει η Η 0. Π.χ. x 1 x2 Π.χ. Μηδέν. μ 1 -μ 2 =0 Συχνά έχει τη μορφή: Κριτήριο ελέγχου = Εκτίμηση Αναμενόμενη τιμή ΤΣ της εκτίμησης Οι στατιστικές συναρτήσεις ελέγχου ακολουθούν γνωστές θεωρητικές κατανομές πιθανοτήτων (με συνολικό εμβαδόν =1). 55 Ομάδα 1 κορίτσια x 1 = 117,78 s 1 =10,62 Ομάδα 2 αγόρια x = 112,92 s 2 =9,44 2 Η 0 : μ 1 =μ 2 Η Α : μ 1 μ 2 Ο στατιστικός δείκτης ελέγχου (το στατιστικό κριτήριο ελέγχου) για τον έλεγχο t για ανεξάρτητα δείγματα είναι t x1 x 2 = SE ( x x 2 ) 1 SE( x x ) 2 1 = 2,026 t = 117, , 026, 92 = 2,

29 Aν ισχύει η Η 0, ο δείκτης ακολουθεί κατανομή t με n 1 +n 2-2 βαθμούς ελευθερίας. Εδώ =98 t = 117, , 026, 92 = 2, ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (συν). Συγκρίνουμε την τιμή με την κατανομή t με =98 β.ε. Από τον πίνακα της κατανομής του t, βρίσκουμε ότι: Με 98 βε, t 0,05 = 1,99 (αμφίπλευρος έλεγχος) & t 0,01 = 2,64 οπότε 0,01<p<0,05. {δείτε τον πίνακα στις αναλυτικές σημειώσεις} P= 0,018 (από το SPSS) BMJ 1994;309:248 One sided and two sided tests of significance 58 29

30 Η τιμή p = η πιθανότητα ότι θα βρίσκαμε τα παρατηρούμενα αποτελέσματα (τη διαφορά, τη συσχέτιση κ.τ.λ.), ή πιο ακραία αποτελέσματα (μεγαλύτερη διαφορά, πιο στενή συσχέτιση), εφ όσον ισχύει η Η 0. Όσο μικρότερη είναι η τιμή p, τόσο ισχυρότερη απόδειξη υπάρχει εναντίον της Η0. Βρήκαμε ότι p=0,018. Πώς ερμηνεύουμε αυτήν την τιμή; 59 Γενική διαδικασία έλεγχου μιας στατιστικής υπόθεσης 1. Σχηματισμός της μηδενικής υπόθεσης (Η 0 ) και της εναλλακτικής της υπόθεσης. 2. Έλεγχος των προϋποθέσεων του ελέγχου. 3. Ορισμός του επιπέδου στατιστικής σημαντικότητας (α) 4. Υπολογισμός της τιμής του «στατιστικού κριτηρίου ελέγχου» (test statistic) που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη Η Σύγκριση της τιμής του κριτηρίου ελέγχου με τιμές από μια γνωστή κατανομή πιθανοτήτων. 6. Εύρεση της πιθανότητας να προκύψει, όταν η Η 0 αληθεύει, μια τιμή του στατιστικού δείκτη ελέγχου που είναι όσο ή και περισσότερο ακραία από την παρατηρημένη τιμή. 7. Ερμηνεία της τιμής p 60 30

31 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (συν) p=0,018. Συμπεραίνουμε ότι τα δεδομένα δεν είναι συμβατά με την Η0. Σε αυτό το παράδειγμα συνεπώς, απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (we reject the null hypothesis). Λέμε ότι το αποτέλεσμα είναι στατιστικά σημαντικό (statistically significant). Υπάρχει κάποια απόδειξη ότι υπάρχει πραγματική διαφορά στις μέσες συστολικές πιέσεις αγοριών & κοριτσιών ηλικίας 10 ετών. 61 Πότε απορρίπτουμε την Η 0, και πότε όχι; Συμβατικά επιλέγουμε α=0,05, δηλαδή θεωρείται ότι η Η 0 αστήρικτη όταν p<0,05. είναι p>0,05: Δεν υπάρχει απόδειξη διαφοράς. p μεταξύ 0,01 and 0,05: υπάρχει κάποια απόδειξη διαφοράς. p μεταξύ 0,001 και 0,01: υπάρχει ισχυρή απόδειξη διαφοράς. p μικρότερο από 0,001: υπάρχει πολύ ισχυρή απόδειξη διαφοράς. Αν ένα αποτέλεσμα είναι «μη-σημαντικό», δε σημαίνει ότι υπάρχει απόδειξη υπέρ της Η

32 Γιατί χρησιμοποιούνται ευρέως οι ανισότητες (p<0,05, p<0,01 ή p<0,001) αντί για τις ακριβείς πιθανότητες (π.χ. p=0,012); Επειδή 1) Αυτές οι ανισότητες θεωρούνται «δείκτες» του μεγέθους της απόδειξη εναντίον της Η 0. 2) παλιότερα χρησιμοποιόντουσαν Πίνακες σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό, για να βρεθούν οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε τιμές των στατιστικών κριτηρίων. Είναι προτιμότερο να παρουσιάζεται η ακριβής τιμή της p εκτός όταν η p είναι πολύ μικρή (π.χ. <0,0001)

33 Σφάλματα και ισχύς της στατιστικής δοκιμασίας 65 Σφάλματα και ισχύς της στατιστικής δοκιμασίας. Αν αποφασίσουμε να ορίσουμε ότι μια τιμή p 0,01 μας δίνει αρκετά ισχυρή απόδειξη ώστε να απορρίψουμε τη Η 0, τότε αν η Η 0 ισχύει θα πάρουμε λάθος απόφαση το πολύ 1 φορά στις 100. Σφάλμα τύπου Ι: Απόρριψη της Η 0 όταν αυτή είναι αληθής. Σφάλμα τύπου ΙΙ: Αποδοχή της Η 0 όταν αυτή είναι ψευδής. Φροντίζουμε να είναι πολύ μικρές οι πιθανότητες των 2 σφαλμάτων

34 Σφάλματα και ισχύς της στατιστικής δοκιμασίας. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΑΠΟΦΑΣΗ Η Η 0 ΕΙΝΑΙ ΑΛΗΘΗΣ Η Η 0 ΕΙΝΑΙ ΨΕΥΔΗΣ Η Η 0 ΔΕΝ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ Η Η 0 ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ P(σωστή απόφαση) = 1-α FALSE +VE P(σφάλμα τύπου Ι) = α = επίπεδο σημαντικότητας FALSE -VE P(σφάλμα τύπου II) = β P(σωστή απόφαση) = 1-β = η ισχύς του ελέγχου Η ισχύς (power) της μελέτης είναι η πιθανότητα ότι σε μια έρευνα θα τεκμηριωθεί σε στατιστικά σημαντικό βαθμό η ύπαρξη μιας διαφοράς που υπάρχει στον πληθυσμό. 67 Σελ 266 Campbell et al (2007) 68 34

35 Πολλαπλές συγκρίσεις (multiple comparisons) 69 Τροποποιήσεις για πολλαπλές συγκρίσεις (adjusting for multiple comparisons). Το πρόβλημα των πολλαπλών συγκρίσεων ισχύει όταν ελέγχουμε πολλές υποθέσεις συγχρόνως. Πχ. Σύγκριση της πρόσληψης διαφόρων θρεπτικών συστατικών σε άνδρες και γυναίκες. Ας υποθέσουμε ότι ελέγχουμε 10 Η 0 οι οποίες ισχύουν πραγματικά. Παίρνουμε α=0,05 κάθε φορά. Δηλαδή έχουμε πιθανότητα 0,95 ότι το αποτέλεσμα θα είναι στατιστικά μη-σημαντικό (δηλαδή «σωστό»). Με 10 συγκρίσεις, (1-α) 10 =0,95 10 = 0,599 0,6. Οπότε υπάρχει πιθανότητα 0,4 ότι θα βρεθεί τουλάχιστον 1 στατιστικά σημαντικό αποτέλεσμα ότι στην πραγματικότητα η Η 0 ισχύει. [ΣΗΜΕΙΩΣΗ Ο παραπάνω υπολογισμός δεν είναι απόλυτα σωστός γιατί οι έλεγχοι σπάνια είναι ανεξάρτητοι] 70 35

36 Μία γενική λύση στο πρόβλημα των πολλαπλών συγκρίσεων = Bonferroni correction (1-α) κ 1-κα (για πολύ μικρό α). Αν βάλουμε 1-κα =0,95 τότε α=0,05/κ. 71 Η διόρθωση κατα Bonferroni κάνει τους ελέγχους συντηρητικούς (conservative), δηλαδή η πραγματική πιθανότητα του σφάλματος τύπου Ι θα είναι <0,05. [επειδή συνήθως δεν είναι ανεξάρτητοι οι έλεγχοι]. Δεν υπάρχει όμως γενική συμφωνία για τον χειρισμό του προβλήματος των πολλαπλών συγκρίσεων. BMJ 1995;310:170 Multiple significance tests: the Bonferroni method 72 36

37 Σημαντικό, πραγματικό & αξιοσημείωτο 73 «Σημαντικό», πραγματικό & αξιοσημείωτο. Εάν μια διαφορά είναι στατιστικά σημαντική, τότε πολύ πιθανόν να είναι πραγματική (real), αλλά μπορεί να μην είναι ουσιαστική (important) Για παράδειγμα, τα ευρήματα μιας μελέτης μεγάλου μεγέθους μπορεί να είναι μικρά, μη-αξιοσημείωτα αλλά στατιστικώς πολύ σημαντικά ενώ σε μια μικρή μελέτη μπορεί να μη βρεθούν ουσιαστικές διαφορές. π.χ. Βρέθηκε ότι ένα καινούριο σύστημα εξυπηρέτησης στους χώρους αναμονής μιας κλινικής μειώνει τον χρόνο αναμονής κατά 1 λεπτό ανά άτομο και ότι αυτή η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική. Δεν είναι όμως ουσιαστική βελτίωση του χρόνου αναμονής

38 Εάν μια διαφορά δεν είναι στατιστικά σημαντική, αυτό δεν σημαίνει ότι η διαφορά δεν υπάρχει στην πραγματικότητα. - η έλλειψη σημαντικότητας μπορεί να οφείλεται στο ότι το μέγεθος του δείγματος ήταν μικρό. «Μη-σημαντική» δεν σημαίνει οπωσδήποτε «μη-υπαρκτή»! Όταν σχεδιάζουμε μια μελέτη προσπαθούμε να εξασφαλίσουμε ότι είναι πολύ πιθανό ότι αποτελέσματα που είναι κλινικά σημαντικά θα ανιχνευτούν (δηλαδή θα βρεθούν και στατιστικά σημαντικά). Σχεδιασμός μελέτης - Μέγεθος του δείγματος, power της μελέτης, επίπεδο σημαντικότητας, μέθοδος δειγματοληψίας... Σύγκριση των τιμών p με τα διαστήματα εμπιστοσύνης 76 38

39 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Ένα άρθρο των Lucas et al (1998, BMJ Vol 317, ) περιγράφει μια μελέτη της επίδρασης της δίαιτας πρόωρων βρεφών στον δείκτη νοημοσύνης (IQ) τους σε ηλικία 7 ½- 8 ετών. Παρουσιάζει τα ακόλουθα αποτελέσματα για το λεκτικό δείκτη νοημοσύνης (verbal IQ): Πλεονέκτημα του ειδικού γάλακτος σε σύγκριση με το standard γάλα = 4,6 IQ μονάδες p = 0,053 (t-test) 95% ΔΕ από 0,07 έως 9,3 μονάδες IQ 77 Έλεγχος υπόθεσης Δ.Ε. Αποφασίζουμε αν μια διαφορά είναι σημαντική η όχι. Είναι της μορφής υπάρχει / δεν υπάρχει βασισμένη μόνο στη στατιστική σημαντικότητα. Μας δίνει τη δυνατότητα να εκτιμήσουμε το μέγεθος της διαφοράς. «Δεν είναι σημαντική η διαφορά σε επίπεδο 5%» (p>0,05) Έχουμε 95% εμπιστοσύνη ότι η διαφορά στο μετέπειτα λεκτικό δείκτη νοημοσύνης (σε ηλικία 8 ετών) των πρόωρων βρεφών που παίρνουν ειδικό γάλα σε σχέση με τα βρέφη που παίρνουν το standard γάλα κυμαίνεται από μια μείωση 0,1 μονάδων μέχρι μια αύξηση 9,3 μονάδων

40 Υπάρχει όμως στενή σχέση μεταξύ των ελέγχων σημαντικότητας και των ΔΕ για τη σύγκριση μέσων τιμών. Συνήθως, - η τιμή p είναι <0,05 μόνο όταν το 95% ΔΕ δεν συμπεριλαμβάνει το 0 (ή την τιμή που ορίζει η Η 0 ). - και είναι <0,01 μόνο όταν το 99% ΔΕ δεν συμπεριλαμβάνει το 0 κ.τ.λ. 79 Η ICMJE συνιστά ότι στο στατιστικό μέρος ενός άρθρου πρέπει να αποφεύγεται η αποκλειστική χρήση της τιμής-p. When possible, quantify findings and present them with appropriate indicators of measurement error or uncertainty (such as confidence intervals). Avoid relying solely on statistical hypothesis testing, such as P values, which fail to convey important information about effect size. Accessed 10/09 Γενικώς στην πρόσφατη βιβλιογραφία, συνιστάται η παρουσίαση και της τιμής-p και του ΔΕ. Εάν πρέπει να αφαιρεθεί το ένα, θεωρείται 80 προτιμότερο να αφαιρεθεί η τιμή-p. 40

41 Γ. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ 81 Tο απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος υπολογίζεται πάντα κατά το σχεδιασμό μιας μελέτης. «Τι μέγεθος πρέπει να έχει το δείγμα μου;» Η απλή απάντηση είναι «όσο πιο μεγάλη είναι η μελέτη, τόσο περισσότερη ακρίβεια θα έχουν τα αποτελέσματα (οι εκτιμήσεις των παραμέτρων). ΑΛΛΑ - μεγαλύτερη διάρκεια μελέτης - αυξημένο κόστος - αν είναι εμφανές ότι μία θεραπεία είναι καλύτερη, θα ήταν αντιδεοντολογική η συνέχιση του πειράματος

42 Στατιστικές προσέγγισες: 1) Power approach (hypothesis testing) 2) Estimation approach (choose N to determine the width of a CI) 3) Bayesian approach (optimization of utility function, perhaps one that includes both precision of estimation and cost). 83 Επιλογή μεγέθους δείγματος ανάλογα με τον στατιστικό έλεγχο 84 42

43 Όταν βασίζονται στις αρχές των ελέγχων υποθέσεων, οι 4 παράγοντες που μαζί καθορίζουν το μέγεθος του δείγματος είναι οι ακόλουθοι: 1) Η ισχύς της μελέτης. Δηλαδή, η πιθανότητα ότι μια καθορισμένη διαφορά (επίδραση) θα βρεθεί στατιστικά σημαντική εφ όσον πραγματικά υπάρχει. 2) Το επίπεδο σημαντικότητας, α. Δηλαδή η μέγιστη πιθανότητα ότι θα βγάλουμε το λανθασμένο συμπέρασμα ότι υπάρχει διαφορά. Το α είναι το cut-off κάτω από το οποίο απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση. 3) Η μεταβλητότητα των παρατηρήσεων. Η διακύμανση όταν έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή. 4) Η εκτίμηση της έκβασης σε κάθε ομάδα ή η μικρότερη κλινικά σημαντική διαφορά μεταξύ ομάδων που θα μας ενδιέφερε να βρεθεί. 85 1) Η ισχύς της μελέτης. Συνήθως ορίζουμε το 80% ή 90%. 2) Το επίπεδο σημαντικότητας, α. Συνήθως ορίζουμε το 5% ή, μερικές φορές, το 1%. 3) Η μεταβλητότητα των παρατηρήσεων. Δύσκολο να βρεθεί πριν να έχουμε δεδομένα. Βασιζόμαστε σε δημοσιευμένες μελέτες με τις ίδιες εκβάσεις ή στα δεδομένα κάποιας πιλοτικής μελέτης. 4) Η μικρότερη κλινικά σημαντική διαφορά. Μπορεί να προσδιοριστεί

44 όσο πιο μικρό είναι το επίπεδο α, τόσο μεγαλύτερο είναι το απαιτούμενο δείγμα. όσο μεγαλύτερη είναι η επιθυμητή ισχύς, τόσο μεγαλύτερο είναι το απαιτούμενο δείγμα. όσο μικρότερη είναι η κλινικά σημαντική διαφορά, τόσο μεγαλύτερο είναι το απαιτούμενο δείγμα. 87 Εκτιμάμε την ΤΑ (ή την αναλογία) από: 1) Πιλοτική μελέτη 2) Παρόμοιες δημοσιευμένες μελέτες Θα μπορούσαμε να εκφραστούμε σε όρους τυπικής απόκλισης. Π.χ. Να πούμε ότι μας ενδιαφέρει μια διαφορά μεγέθους μίας ΤΑ, οπότε standardized difference =

45 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Σε ένα πρωτόκολλο μιας RCT όπου γυναίκες τυχαιοποιήθηκαν να λάβουν επιπλέον φροντίδα ή όχι μετά τη γέννα, αναφέρεται το εξής (σελ 594, C Morrell et al, BMJ, 2000): Σύγκριση μέσων τιμών. Έκβαση: Βαθμολόγηση αντίληψης υγείας. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (συν). Ισχύς = 0,85. α = 0,05. κλινικά σημαντική διαφορά = 5 μονάδες. σ = 20 μονάδες (από προηγούμενη μελέτη) Πώς υπολογίστηκε το μέγεθος του δείγματος; 45

46 Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω νομόγραμμα του Altman, υπολογίζουμε την τυποποιημένη διαφορά (standardized difference) ως δ/σ σελ 456 Altman 91 Tο νομόγραμμα του Altman Ι. Συνεχή δεδομένα, 2 ανεξάρτητες ομάδες. Ορίζουμε: 1. την ΤΑ της μεταβλητής (σε κάθε ομάδα) (s) 2. την κλινικά σημαντική διαφορά (δ) 3. το επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας (α) 4. την ισχύ (1-β) Υποθέτουμε ότι η μεταβλητή έχει κανονική κατανομή. Το συνολικό μέγεθος του δείγματος είναι Ν. Standardized difference = δ/s

47 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1. Μπορεί να θελήσουμε να τροποποιήσουμε το μέγεθος του δείγματος για να λάβουμε υπ όψιν μας το ποσοστό των ατόμων που αναμένεται να χαθεί από την παρακολούθηση (loss to follow-up) Αν το ποσοστό των ατόμων που αποχωρούν είναι r, τότε πολλαπλασιάζουμε το υπολογισμένο μέγεθος με το 100/(100-r) 2. Το νομόγραμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό μιας μελέτης όπου οι ομάδες δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος (λεπτομέρειες στον Altman σελ 460). Αν ο λόγος των ατόμων είναι k:1, τότε το τροποποιημένο συνολικό μέγεθος είναι n(1+ k) 2 / (4k). 3. Η ισχύς της μελέτης μπορεί να υπολογιστεί για προκαθορισμένο μέγεθος κατ ευθείαν από το νομόγραμμα. 93 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (συν). δ/σ = 5/20 = 0,25 Περίπου 600 γυναίκες συνολικά. Με 20% loss-to follow up => 600/0,8=

48 Tο νομόγραμμα του Altman μπορεί να εφαρμοστεί για τη σύγκριση 2 ομάδων γενικότερα. Ι. Με συνεχείς μεταβλητές, για τη σύγκριση 2 μέσων τιμών (όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα). ΙΙ. Με παρατηρήσεις κατά ζεύγη. ΙΙΙ. Για τη σύγκριση 2 αναλογιών. 95 ΙΙ. Συνεχή δεδομένα, παρατηρήσεις κατά ζεύγη* ή «εντός ατόμου» (within-person) μελέτες όπως cross-over studies. Ορίζουμε: 1. την ΤΑ της αναμενόμενης αλλαγής (s d ) 2. την κλινικά σημαντική διαφορά (δ) 3. το επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας (α) 4. την ισχύ (1-β) [Δυστυχώς, συχνά δεν έχουμε καλή εκτίμηση της s d.] Εδώ, Standardized difference = 2δ/s d. *Θα δούμε περισσότερες λεπτομέρειες για «παρατηρήσεις κατά ζεύγη» 96 στην 3 η ενότητα. 48

49 ΙΙΙ. Ποιοτικά δεδομένα (δυαδική έκβαση). Ο απλός υπολογισμός του μεγέθους του δείγματος στη σύγκριση δύο ποσοστών χρησιμοποιεί την κανονική προσέγγιση στην διωνυμική κατανομή και βασίζεται: 1) στην αναμενόμενη αναλογία με την καθορισμένη έκβαση σε κάθε ομάδα (p 1 & p 2 ) 2) Στο επίπεδο σημαντικότητας α 3) Στην ισχύ (1-β) Συχνά έχουμε γνώση της αναλογίας στην ομάδα ελέγχου, και πρέπει να ορίσουμε μία αντίστοιχη αναλογία στην ομάδα παρέμβασης που θα σήμαινε μια ουσιαστική διαφορά. Η μικρότερη διαφορά στις αναλογίες των «επιτυχιών» που είναι κλινικά σημαντική ονομάζεται 97 Αναμενόμενο όφελος (Benefit anticipated) (%) = δ = π 1 π 2 Αλλαγές στο μέγεθος του δείγματος στη σύγκριση 2 ποσοστών ανάλογα με το αναμενόμενο όφελος (δ): 98 σελ 120 Machin & Campbell. 49

50 Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το νομόγραμμα, υπολογίζουμε την τυποποιημένη διαφορά (standardized difference) ως p 1 p 2 p ( 1 p ) όπου p= p 1 + p 2 2 σελ Altman ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Σύγκριση 2 ποσοστών. 1) p 1 = 0,04 & p 2 = 0,015 δ= 0,025 2) α = 0,05 3) β = 0,1 0, 04+ 0, 015 p= = 0, p 1 p 2 0, 025 = = 0, 15 p ( 1 p ) 0, 0275 ( 0, 9725 ) τυποποιημένη διαφορά

51 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 (συν). Περίπου 2000 ασθενείς συνολικά. 101 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού του μεγέθους του δείγματος: 1) «Γρήγορη» Τύποι π.χ. Lehr s formula 2) Ειδικοί (δημοσιευμένοι) πίνακες & γραφήματα. Καλύπτουν διάφορες περιπτώσεις (π.χ. Σύγκριση 2 ποσοστών, ανάλυση επιβίωσης, συσχετίσεις κτλ) 3) Altman s nomogram είναι κατάλληλο για διάφορες στατιστικές δοκιμασίες {σας έχει δοθεί σε φωτοτυπία}. 4) Λογισμικά πακέτα π.χ. PS {δωρεάν} Έχουν το πλεονέκτημα ότι μπορούν εύκολα να δημιουργηθούν και γραφικές παραστάσεις

52 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (συν). Ισχύς = 0,85. α = 0,05. δ= (ελάχιστη) κλινικά σημαντική διαφορά = 5 μονάδες. σ = 20 μονάδες. Για τη σύγκριση των 2 μέσων τιμών, ο απαιτούμενος αριθμός ασθενών ανά ομάδα είναι 2 όπου 2σ = δ n 2 f ( α, β ) 2σ 2 /δ 2 = 2.(20/5) 2 =32. n 1 = 32.(7,85)= 251,2 = = 504 συνολικά (80%) n 2 = 32.(10,5)= = 672 συνολικά (90%) Ο κατάλληλος υπολογισμός του μεγέθους του δείγματος διαφέρει ανάλογα με την μορφή της στατιστικής ανάλυσης που θα ακολουθήσει. π.χ. T-test, x 2, ανάλυση επιβίωσης κτλ. Όπως προαναφέρθηκε, υπάρχουν διάφορα λογισμικά πακέτα που κάνουν τους κατάλληλους υπολογισμούς δείτε το site του UCSF. π.χ. PS {δωρεάν} Προσέξετε μόνο να είναι δημοσιευμένοι οι τύποι/αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται

53

54 107 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (συν). *The package PS Power & sample size calculations Version , copyright 1997 by WD Dupont & WD Plummer was used

55 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (συν). Αν ο στόχος ήταν να βρεθεί μια διαφορά των δέκα μονάδων : Difference in Population Means Τότε n = 2 (73) = 146 γυναίκες συνολικά (unadjusted). 109 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Αποθέματα λιπαρών οξέων στους ιστούς και κίνδυνος για καρκίνο του μαστού. Μία μελέτη ασθενών μαρτύρων. Η μεταβλητή κύριας έκβασης είναι το ποσοστό του ολεïκού οξέος στον υποδόριο ιστό. Η τυπική απόκλιση του ολεïκού οξέος στον ιστό του γλουτού θεωρείται ότι είναι 8. Μια διαφορά 5 ποσοστιαίων μονάδων θεωρείται ότι έχει κλινική σημασία. 55

56 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ, ΙΣΧΥΟΣ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ. 1 0,8 0,6 0,4 0, No. of cases σ 3 12 α=0.05 Figure 1. A plot of the power of the study to detect a difference of 5 in the mean oleic acid percentage against the number of cases required, assuming a case-control ratio of 3:2 (α=0.05). *The package PS Power & sample size calculations Version , copyright 1997 by WD Dupont & WD Plummer was used. 111 Επιλογή μεγέθους δείγματος στην εκτίμηση μιας παραμέτρου

57 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ. Χρησιμοποιούμε τις έννοιες ΤΣ και ΔΕ για να αποφασίσουμε για το μέγεθος του δείγματος. Υπολογίζουμε το μέγεθος του δείγματος που μας δίνει ένα ΔΕ με το επιθυμητό εύρος. Α. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ H εκτίμηση μιας μέσης τιμής γίνεται ως εξής: για να έχουμε 95% πιθανότητα ότι η μ.τ. βρίσκεται X L και X+ L παίρνουμε 1.96σ/ n=l. Οπότε n=4σ 2 / L 2 (αντικαθιστούμε το 1.96 με το 2 διότι ούτως ή άλλως δεν είμαστε σίγουροι για τη σ) 113 Β. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΝΟΣ ΠΟΣΟΣΤΟΥ Όταν ο στόχος της μελέτης είναι η εκτίμηση ενός ποσοστού, τότε δυστυχώς πρέπει να έχουμε κάποια ιδέα για τα αναμενόμενα αποτελέσματα για να υπολογίσουμε το μέγεθος του δείγματος. Χρησιμοποιούμε συνήθως την κανονική προσέγγιση στη δυωνυμική κατανομή. Για 95% εμπιστοσύνη: sample size n=4pq/l 2 where αναλογία, q=1-p & L= επιτρεπόμενο σφάλμα (+/-L) (όπου pq & L εκφράζονται σαν αναλογίες ή ποσοστά). [Snedecor & Cochran, pg439]. Η προσέγγιση ισχύει για μεγάλα δείγματα, και όταν η αναλογία p δεν πλησιάζει το 0 ή

58 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10. Εκτίμηση ενός ποσοστού. Ερευνήτρια: Τι μέγεθος δείγματος χρειάζομαι για να εκτιμήσω το ποσοστό των Κρητών που έχουν το αλληλόμορφο του FMF; Απάντηση του Στατιστικού: Έχετε κάποια ιδέα για το ποσοστό αυτό; Ερευνήτρια: Ξέρω ότι το μεγαλύτερο ποσοστό που έχει βρεθεί σε άλλη χώρα είναι 20% αλλά περιμένω ένα μικρότερο ποσοστό εδώ (10%; 5%;). Στην εκτίμηση, το μέγεθος του δείγματος εξαρτάται από το μέγεθος του σφάλματος που είμαστε διατεθειμένοι να δεχτούμε. 115 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 (συν) Estimated sample size Allowable error (absolute) 10% 12% 15% 20% (with pq & L all expressed as proportions or percentages). [Snedecor & Cochran, pg439]

59

60 119 Βιβλιογραφία Γενική 1) Petrie A & Sabin C (2005) Medical Statistics At a Glance 2nd ed. Blackwell. Sample size calculations Chapter 36. 2) Campbell MJ, Machin D & Walters SJ. (2007) Medical Statistics A Textbook for the Health Sciences 4 th ed. Wiley. Chapter 14 Sample size issues

61 Περισσότερες λεπτομέρειες για την επιλογή του μεγέθους του δείγματος υπάρχουν στα ακόλουθα βιβλία & άρθρα: 1) Machin, D., Campbell, M.J., Fayers, P.M. & Pinol, A.P.Y. (1997) Sample Size Tables for Clinical Studies 2nd edn Oxford, Blackwell. 2) Campbell MJ, Julious SA, Altman DG. Estimating sample sizes for binary, ordered categorical, and continuous outcomes in two group comparisons. British Medical Journal 1995;311: ) Lemeshow,S., Hosmer,D.W., Klar,J. and Lwanga,S.K (1990). Adequacy of sample size in health studies. Chichester: John Wiley & Sons