Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος"

Transcript

1 Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Υλη του μαθήματος Η ύλη του μαθήματος χωρίζεται σε 3 μεγάλες ενότητες που προσπαθούν να απαντήσουν τα αντίστοιχα ερωτήματα: Μοντέλα υπολογισμού. Αυτόματα και γλώσσες. Τί είναι υπολογιστής; Θεωρία υπολογισιμότητας (computability theory). Τί είναι και τί δεν είναι υπολογίσιμο; Θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας (complexity theory). Τί μπορεί να υπολογιστεί σε μικρό χρόνο (ή χώρο) και τί όχι; Τί μπορεί να κάνει ένας υπολογιστής; (Ας υποθέσουμε πως έχουμε συμφωνήσει τί είναι ο υπολογιστής). Ο υπολογιστής λύνει «προβλήματα». Λύνει όλα τα προβλήματα; Υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορεί να λύσει ένας υπολογιστής;

2 Τί μπορεί να κάνει ένας υπολογιστής; (Ας υποθέσουμε πως έχουμε συμφωνήσει τί είναι ο υπολογιστής). Ο υπολογιστής λύνει «προβλήματα». Λύνει όλα τα προβλήματα; Υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορεί να λύσει ένας υπολογιστής; Πώς σχετίζονται τα προβλήματα που λύνει ένας υπολογιστής με τα προβλήματα των Μαθηματικών; Τί μπορούν να «κάνουν» και τί δεν μπορούν να «κάνουν» τα Μαθηματικά; Από αυτό το ερώτημα στις αρχές του 20ου αιώνα ξεκίνησε κατά κάποιο τρόπο η ιστορία μας. Η έννοια «πρόβλημα» 1) Υπάρχουν ακέραιοι x, y, z 1 και n > 2 τέτοιοι ώστε x n + y n = z n ; 2) Γράψτε ένα πρόγραμμα Pascal που όταν η είσοδος είναι ένα ακέραιο πολυώνυμο p (πολλών μεταβλητών), στην έξοδο απαντά αν το πολυώνυμο p έχει ακέραιες ρίζες. Π.χ. Αν η είσοδος είναι p = x 2 +2y 2 +3 πρέπει να απαντά «όχι» (γιατί;). Βασική διαφορά ανάμεσα στις δύο περιπτώσεις: Στην πρώτη περίπτωση η απάντηση είναι «ναι» ή «όχι», ενώ στη δεύτερη περίπτωση η απάντηση είναι ένα πρόγραμμα Pascal (αλγόριθμος). Η έννοια «πρόβλημα» 1) [x n +y n = z n ] είναι το περίφημο Θεώρημα του Fermat που προτάθηκε από τον Fermat. Παρέμεινε άλυτο για τετρακόσια περίπου χρόνια, ώς το 1994, όταν ο Andrew Wiles κατάφερε να το λύσει (η σωστή απάντηση στην ερώτηση είναι αρνητική). 2) [πρόγραμμα που να λύνει ακέραιες εξισώσεις] προτάθηκε από τον David Hilbert το 1900, είναι το περίφημο δέκατο πρόβλημα του Hilbert. Απαντήθηκε απο τον Yuri Matiyasevich το 1970, που έδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοιο πρόγραμμα Pascal. Μας ενδιαφέρουν τα προβλήματα της δεύτερης περίπτωσης, όπου το ζητούμενο είναι ένας αλγόριθμος και όχι ένα απλό «ναι» ή «όχι». Η έννοια «πρόβλημα» ΙΙ 1) Υπάρχουν ακέραιοι x, y, z 1 και n > 2 τέτοιοι ώστε x n + y n = z n ; 2) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο ακέραιους x, y, z 1, να αποφασίζει αν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n. 3) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο την πρόταση: «Για οποιουσδήποτε ακέραιους x, y, z 1 δεν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n», να αποφασίζει αν η πρόταση είναι αληθής. 4) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο μια μαθηματική πρόταση P (σε κατάλληλο συμβολισμό), να αποφασίζει αν η P είναι αληθής.

3 Η έννοια «πρόβλημα» ΙΙ 1) Υπάρχουν ακέραιοι x, y, z 1 και n > 2 τέτοιοι ώστε x n + y n = z n ; 2) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο ακέραιους x, y, z 1, να αποφασίζει αν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n. 3) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο την πρόταση: «Για οποιουσδήποτε ακέραιους x, y, z 1 δεν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n», να αποφασίζει αν η πρόταση είναι αληθής. 4) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο μια μαθηματική πρόταση P (σε κατάλληλο συμβολισμό), να αποφασίζει αν η P είναι αληθής. Η Περίπτωση 4 αντιστοιχεί στο περίφημο Entscheidungsproblem του David Hilbert. Κάποια πρόσωπα της ιστορίας μας David Hilbert: Εθεσε (μεταξύ άλλων) τα ερωτήματα (i) αν μπορεί να αποδειχτεί πως τα Μαθηματικά είναι συνεπή (consistent) (2 o πρόβλημα του Η., 1900). (ii) αν υπάρχει αλγόριθμος για την επίλυση ακέραιων εξισώσεων (10 o πρόβλημα του Η., 1900). (iii) αν τα Μαθηματικά μπορούν να «αυτοματοποιηθούν» (Entscheidungsproblem, 1928). Kurt Gödel: Εδειξε ότι το (i) είναι αδύνατο με το περίφημο «Θεώρημα της μη πληρότητας» (1930). Alan Turing: Εθεσε τις βάσεις της Θεωρίας Υπολογισμού. Ορισε την έννοια του υπολογιστή (μηχανές Turing) και μελέτησε την έννοια της υπολογισιμότητας (1936). Εδειξε πως ουσιαστικά το (iii) είναι αδύνατο. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S».

4 Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S». Θεώρημα: Αν το S είναι συνεπές τότε 1. Η U είναι αληθής. 2. Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. 3. Η άρνηση της U, την οποία συμβολίζουμε U, δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S». Θεώρημα: Αν το S είναι συνεπές τότε 1. Η U είναι αληθής. 2. Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. 3. Η άρνηση της U, την οποία συμβολίζουμε U, δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. Πόρισμα: Δεν μπορούμε να αποδείξουμε εντός του S πως το S είναι συνεπές. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S». Θεώρημα: Αν το S είναι συνεπές τότε 1. Η U είναι αληθής. 2. Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. 3. Η άρνηση της U, την οποία συμβολίζουμε U, δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. Πόρισμα: Δεν μπορούμε να αποδείξουμε εντός του S πως το S είναι συνεπές. Ο A. Turing και το Entscheidungsproblem Πρόταση Q(P, x): «Αν το πρόγραμμα P πάρει είσοδο τη συμβολοσειρά x, τότε το P θα τερματίσει». Θεώρημα: Υπάρχουν P 0 και x 0, για τα οποία δεν μπορεί να γραφτεί πρόγραμμα που να αποφασίζει, αν η πρόταση Q(P 0, x 0 ) είναι αληθής. Ο Turing έδειξε ακόμη πως η Q(P 0, x 0 ) μπορεί να εκφραστεί σαν λογική πρόταση. Από το Θεώρημα έπεται πως δεν μπορεί να γραφτεί πρόγραμμα που να αποδεικνύει τη λογική πρόταση Q(P 0, x 0 ) (ή το συμπλήρωμα της). Δεν μπορούμε λοιπόν να αυτοματοποιήσουμε τα Μαθηματικά. Δεν μπορούμε να γράψουμε ένα πρόγραμμα που να αποφασίζει ποιες μαθηματικές προτάσεις είναι αληθείς! Το Entscheidungsproblem του Hilbert είναι μη επιλύσιμο!

5 Η έννοια «πρόβλημα» ΙΙΙ Ζητάμε αλγορίθμους για τα ακόλουθα ερωτήματα. Π1: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Να βρεθεί στον G ένα μονοπάτι από το s στο t. Π2: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Υπάρχει στον G μονοπάτι από το s στο t; Το Π1 είναι πρόβλημα εύρεσης. απαντιέται με ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Το Π2 είναι πρόβλημα απόφασης, δηλ. Το Π2 ανάγεται στο πρόβλημα Π1: αν λύσω το πρόβλημα εύρεσης έχω λύσει και το πρόβλημα απόφασης. Το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα. Προβλήματα απόφασης και γλώσσες Ορισε ενα κατάλληλο πεπερασμένο αλφάβητο Σ. (Π.χ. Σ = {0, 1}). Κάθε πρόβλημα απόφασης κωδικοποιείται με μια γλώσσα, δηλ. ένα υποσύνολο του συνόλου όλων των δυνατών συμβολοσειρών Σ. Π.χ. Π2: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Υπάρχει στον G μονοπάτι από το s στο t; Αντίστοιχη γλώσσα L:= { δυαδικές συμβολοσειρές w, τ.ω. w =< G = (V, E), s, t > και ο G περιέχει μονοπάτι από το s στο t }. Χάριν κομψότητας και ευκολίας θα ασχοληθούμε κυρίως με προβλήματα α- πόφασης. Προβλήματα απόφασης και γλώσσες Ορισε ενα κατάλληλο πεπερασμένο αλφάβητο Σ. (Π.χ. Σ = {0, 1}). Κάθε πρόβλημα απόφασης κωδικοποιείται με μια γλώσσα, δηλ. ένα υποσύνολο του συνόλου όλων των δυνατών συμβολοσειρών Σ. Π.χ. Π2: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Υπάρχει στον G μονοπάτι από το s στο t; Αντίστοιχη γλώσσα L:= { δυαδικές συμβολοσειρές w, τ.ω. w =< G = (V, E), s, t > και ο G περιέχει μονοπάτι από το s στο t }. Συμβολοσειρές και γλώσσες Αλφάβητο: Αλφάβητο είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο. Τα μέλη του τα ονομάζουμε σύμβολα ή γράμματα. Π.χ. Σ 1 = {0, 1}, Σ 2 = {a, b,..., w}.συμβολοσειρά (string): Συμβολοσειρά ενός αλφάβητου Σ είναι μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του Σ. Π.χ είναι συμβολοσειρά του αλφάβητου Σ = {0, 1, 2}. Λύνω το Π2 ισοδύναμο με «δεδομένης συμβολοσειράς w, ανήκει η w στην L;»

6 Συμβολοσειρές και γλώσσες Αλφάβητο: Αλφάβητο είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο. Τα μέλη του τα ονομάζουμε σύμβολα ή γράμματα. Π.χ. Σ 1 = {0, 1}, Σ 2 = {a, b,..., w}.συμβολοσειρά (string): Συμβολοσειρά ενός αλφάβητου Σ είναι μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του Σ. Π.χ είναι συμβολοσειρά του αλφάβητου Σ = {0, 1, 2}. Τη (μοναδική) συμβολοσειρά μήκους 0, την ονομάζουμε κενή και τη συμβολίζουμε με ε. Το σύνολο των συμβολοσειρών μήκους k το συμβολίζουμε με Σ k, π.χ. {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11}. Συμβολοσειρές και γλώσσες Αλφάβητο: Αλφάβητο είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο. Τα μέλη του τα ονομάζουμε σύμβολα ή γράμματα. Π.χ. Σ 1 = {0, 1}, Σ 2 = {a, b,..., w}.συμβολοσειρά (string): Συμβολοσειρά ενός αλφάβητου Σ είναι μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του Σ. Π.χ είναι συμβολοσειρά του αλφάβητου Σ = {0, 1, 2}. Τη (μοναδική) συμβολοσειρά μήκους 0, την ονομάζουμε κενή και τη συμβολίζουμε με ε. Το σύνολο των συμβολοσειρών μήκους k το συμβολίζουμε με Σ k, π.χ. {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11}. Το σύνολο όλων των συμβολοσειρών του Σ το συμβολίζουμε με Σ. Π.χ. {0, 1} = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,...}. Πράξεις με συμβολοσειρές Παράθεση (concatenation): Η παράθεση δύο συμβολοσειρών x και y είναι η συμβολοσειρά xy που τη συμβολίζουμε xy ή x y. Π.χ. Η παράθεση του x = 011 και του y = 1001 είναι x y = Επανάληψη: Αν w είναι μια συμβολοσειρά, τότε w k αποτελείται από την παράθεση k αντιγράφων του w. Π.χ. (01) 3 = Αντίστροφη: Η αντίστροφη μιάς συμβολοσειράς w συμβολίζεται με w R και προκύπτει αν διαβάσουμε το w από το τέλος προς την αρχή. Π.χ R = Άσκηση: Δείξε ότι για οποιεσδήποτε συμβολοσειρές x και y: (x y) R = y R x R. Γλώσσες (Languages) Γλώσσα: Εστω Σ ένα αλφάβητο. Οποιοδήποτε υποσύνολο του Σ ονομάζεται γλώσσα του Σ. Π.χ. Εστω Σ = {0, 1,..., 9}. Τα παρακάτω σύνολα είναι γλώσσες του Σ: L 1 = {23, 044, 9999} (πεπερασμένη γλώσσα). L 2 = {ε, 1, 11, 111, 1111,...}. L 3 = {w : w είναι πρώτος αριθμός (η δεκαδική παράσταση του)} = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}. L 4 = {w : w είναι πρώτος αριθμός (η δυαδική παράσταση του)} = {10, 11, 101, 111, 1011, 1101,...}. L 5 = {} = (κενή γλώσσα). L 6 = {ε}. L 7 = {w : w είναι πρόγραμμα της C++ χωρίς input που δεν τελειώνει ποτέ (κωδικοποιημένο στο δυαδικό σύστημα)}. L 8 = {w : w είναι πρόγραμμα της C++ χωρίς input που κάποτε τελειώνει (κωδικοποιημένο στο δυαδικό σύστημα)}.

7 Πράξεις με γλώσσες Αφού οι γλώσσες είναι σύνολα, ορίζεται η ένωση L 1 L 2 και η τομή τους L 1 L 2 όπως και το συμπλήρωμα: Συμπλήρωμα: Το συμπλήρωμα μιας γλώσσας L του αλφαβήτου Σ συμβολίζεται με L και είναι η γλώσσα Σ L που αποτελείται από τις συμβολοσειρές του Σ που δεν ανήκουν στην L. Επιπλέον μπορούμε να ορίσουμε τις παρακάτω πράξεις σε γλώσσες: Παράθεση: Αν L 1 και L 2 είναι δυο γλώσσες του αλφαβήτου Σ, τότε η παράθεσή τους συμβολίζεται L 1 L 2 ή L 1 L 2 και ορίζεται σαν L 1 L 2 = {w : w = xy για κάποιο x L 1 και κάποιο y L 2 }. Π.χ. αν L 1 = {0, 1, 00} και L 2 = {ε, 00} τότε L 1 L 2 = {0, 1, 00, 000, 100, 0000}. Kleene star: Η Kleene star L μια γλώσσας L είναι η γλώσσα των συμβολοσειρών που προκύπτουν από παράθεση μηδέν ή περισσοτέρων συμβολοσειρών της L: L = {w w = w 1 w 2 w n για n 0 και w 1,..., w n L}. Π.χ. Αν L = {0, 11} τότε L = {ε, 0, 00, 11, 000, 011, 110, 0000, 0011, 0110, 1100, 1111,...}. Π.χ. Αν L = {ε} τότε L = {ε}. Π.χ. Αν L = {} τότε L = {ε} (άρα για κάθε L: ε L ). L + : Ορίζουμε επίσης L + = LL. Άσκηση: Για ποιές γλώσσες έχουμε L L + ; Πόσες συμβολοσειρές και γλώσσες υπάρχουν; Θεώρησε ένα αλφάβητο Σ (εξ ορισμού πεπερασμένο). Πόσες συμβολοσειρές και γλώσσες υπάρχουν; Θεώρησε ένα αλφάβητο Σ (εξ ορισμού πεπερασμένο). Πόσες συμβολοσειρές του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Πόσες γλώσσες του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Αλλά υπάρχουν πολλών ειδών «άπειρα». Πόσες συμβολοσειρές του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Πόσες γλώσσες του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Αλλά υπάρχουν πολλών ειδών «άπειρα». Οπως θα δούμε, υπάρχουν «περισσότερες» γλώσσες από συμβολοσειρές...

8 Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν υπάρχει n N έτσι ώστε τα A και {1, 2,..., n} να είναι ισάριθμα. Ως πληθικός αριθμός του A ορίζεται το n (συμβολίζεται με A ). Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Αριθμήσιμα Σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφινοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν υπάρχει n N έτσι ώστε τα A και {1, 2,..., n} να είναι ισάριθμα. Ως πληθικός αριθμός του A ορίζεται το n (συμβολίζεται με A ). Ενα σύνολο A λέγεται άπειρο αν δεν είναι πεπερασμένο. Π.χ. το N είναι άπειρο (αποδείξτε το).

9 Αριθμήσιμα Σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφινοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμα άπειρο αν το A είναι ισάριθμο του N. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμο αν είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμα ά- πειρο. ( Ενα σύνολο που δεν είναι αριθμήσιμο λέγεται μη αριθμήσιμο). Αριθμήσιμα Σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφινοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμα άπειρο αν το A είναι ισάριθμο του N. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμο αν είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμα ά- πειρο. ( Ενα σύνολο που δεν είναι αριθμήσιμο λέγεται μη αριθμήσιμο). Διαισθητικά, το A είναι αριθμήσιμο αν υπάρχει τρόπος να «λιστάρουμε» τα στοιχεία του, δηλ. να τα γράψουμε υπό μορφή ακολουθίας. Η λίστα μας είναι σωστή, αν για κάθε x A, μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση «ποια είναι η θέση του x στη λίστα;», δίνοντας έναν συγκεκριμένο αριθμό. Σχετικά με την ορολογία Αγγλικός όρος: countable. Στην ελληνική μετάφραση των Lewis-Papadimitriou: μετρήσιμο. Μια καλύτερη μετάφραση: αριθμήσιμο. Μετρώντας (συνέχεια) Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων: Το σύνολο των ζυγών αριθμών (αντιστοιχία: f(n) = n/2. Ακολουθία: 0, 2, 4,...). Το σύνολο των ακεραίων (Ακολουθία: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...). Το σύνολο των θετικών ρητών (Ακολουθία: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,...).

10 Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Απόδειξη: Εξ ορισμού το Σ είναι πεπερασμένο. Δημιουργούμε ακολουθία που περιέχει όλες τις συμβολοσειρές του Σ: Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Απόδειξη: Εξ ορισμού το Σ είναι πεπερασμένο. Δημιουργούμε ακολουθία που περιέχει όλες τις συμβολοσειρές του Σ: Πρώτη η συμβολοσειρά μήκους 0, μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 1 (ταξινομημένες), μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 2 (ταξινομημένες), κοκ. Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Απόδειξη: Εξ ορισμού το Σ είναι πεπερασμένο. Δημιουργούμε ακολουθία που περιέχει όλες τις συμβολοσειρές του Σ: Πρώτη η συμβολοσειρά μήκους 0, μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 1 (ταξινομημένες), μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 2 (ταξινομημένες), κοκ. Αυτή είναι η λεξικογραφική διάταξη των συμβολοσειρών του Σ. Π.χ. Αν Σ = {0, 1}, η ακολουθία είναι ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,....

11 Θεώρημα: Το σύνολο των γλωσσών ενός αλφαβήτου Σ είναι μη αριθμήσιμο. Απόδειξη: Με εις άτοπο απαγωγή. Εστω ότι το σύνολο των γλωσσών του Σ είναι αριθμήσιμο. Τότε θα υπάρχει μια ακολουθία S 1, S 2,... των γλωσσών του Σ τέτοια ώστε κάθε γλώσσα του Σ να εμφανίζεται μία φορά σε αυτή. Θα κατασκευάσουμε γλώσσα T του Σ που διαφέρει απο κάθε S i, i = 1, 2,.... Εστω w 1, w 2,... η λεξικογραφική ακολουθία όλων των συμβολοσειρών του Σ Θα φροντίσουμε ώστε η T να διαφέρει από την S i στη θέση του w i. Η T περιέχει τη συμβολοσειρά w i αν και μόνο αν η S i δεν περιέχει τη συμβολοσειρά w i. T = {w i : w i S i, i = 1, 2,...}. Θεώρημα: Το σύνολο των γλωσσών ενός αλφαβήτου Σ είναι μη αριθμήσιμο. Απόδειξη: Με εις άτοπο απαγωγή. Εστω ότι το σύνολο των γλωσσών του Σ είναι αριθμήσιμο. Τότε θα υπάρχει μια ακολουθία S 1, S 2,... των γλωσσών του Σ τέτοια ώστε κάθε γλώσσα του Σ να εμφανίζεται μία φορά σε αυτή. Θα κατασκευάσουμε γλώσσα T του Σ που διαφέρει απο κάθε S i, i = 1, 2,.... Εστω w 1, w 2,... η λεξικογραφική ακολουθία όλων των συμβολοσειρών του Σ Θα φροντίσουμε ώστε η T να διαφέρει από την S i στη θέση του w i. Η T περιέχει τη συμβολοσειρά w i αν και μόνο αν η S i δεν περιέχει τη συμβολοσειρά w i. T = {w i : w i S i, i = 1, 2,...}. Συνεπώς η ακολουθία S 1, S 2,... δεν περιέχει όλες τις γλώσσες του Σ. Άρα το σύνολο των γλωσσών του Σ είναι μη αριθμήσιμο. Συμπεράσματα για την αναπαράσταση των γλωσσών με πεπερασμένες περιγραφές. Οποιαδήποτε αναπαράσταση και αν διαλέξουμε, θα υπάρχουν γλώσσες που δεν περιγράφονται. Π.χ., υπάρχει κάποια γλώσσα L τέτοια ώστε κανένα πρόγραμμα C++ δεν μπορεί να τυπώσει όλες τις συμβολοσειρές της (ακόμα και αν το αφήσουμε να τρέχει για πάντα). Γιατί; Το σύνολο των προγραμμάτων είναι αριθμήσιμο, ενώ το σύνολο των γλωσσών δεν είναι. Συμπεράσματα για την αναπαράσταση των γλωσσών με πεπερασμένες περιγραφές. Οποιαδήποτε αναπαράσταση και αν διαλέξουμε, θα υπάρχουν γλώσσες που δεν περιγράφονται. Π.χ., υπάρχει κάποια γλώσσα L τέτοια ώστε κανένα πρόγραμμα C++ δεν μπορεί να τυπώσει όλες τις συμβολοσειρές της (ακόμα και αν το αφήσουμε να τρέχει για πάντα). Γιατί; Το σύνολο των προγραμμάτων είναι αριθμήσιμο, ενώ το σύνολο των γλωσσών δεν είναι. Οι γλώσσες που μας ενδιαφέρουν είναι αυτές που μπορούν να περιγραφούν (αυτές που έχουν πεπερασμένη περιγραφή). Υπάρχει πρόγραμμα C++ για αυτές τις γλώσσες; Αυτό είναι ένα κεντρικό θέμα του μαθήματος. Για να το μελετήσουμε πρέπει πρώτα να συμφωνήσουμε για το τί εννοούμε με τον όρο «πεπερασμένη περιγραφή».

12 Μέθοδος Διαγωνιοποίησης Πώς αποδείξαμε ότι το σύνολο των γλωσσών δεν είναι αριθμήσιμο; Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε λέγεται διαγωνιοποίηση και είναι πολύ απλή. Μέθοδος Διαγωνιοποίησης Πώς αποδείξαμε ότι το σύνολο των γλωσσών δεν είναι αριθμήσιμο; Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε λέγεται διαγωνιοποίηση και είναι πολύ απλή. Μέθοδος Διαγωνιοποίησης: Εστω R μια διμελής σχέση ενός συνόλου A, δηλαδή R είναι ένα υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου A A: R {(a 1, a 2 ) : a 1, a 2 A}. Τότε το διαγώνιο σύνολο = {(a : (a, a) R} διαφέρει από κάθε γραμμή R a = {b : (a, b) R} Π.χ. A = {1, 2, 3, 4, 5} και R = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} X X 2 X X X 3 X X 4 X X 5 X X X X Οι γραμμές της R είναι R 1 = {3, 5}, R 2 = {2, 4, 5}, R 3 = {3, 5}, R 4 = {2, 5}, και R 5 = {1, 2, 3, 5}. Το διαγώνιο σύνολο είναι το = {1, 4} και είναι διαφορετικό από κάθε γραμμή της R. Π.χ. A = {1, 2, 3, 4, 5} και R = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} X X X 2 X X X 3 X X 4 X X X 5 X X X X Οι γραμμές της R είναι R 1 = {3, 5}, R 2 = {2, 4, 5}, R 3 = {3, 5}, R 4 = {2, 5}, και R 5 = {1, 2, 3, 5}. Το διαγώνιο σύνολο είναι το = {1, 4} και είναι διαφορετικό απο κάθε γραμμή της R. X X

13 Πραγματικοί αριθμοί Την μέθοδο διαγωνιοποίησης την εισήγαγε ο Georg Cantor στα Την χρησιμοποίησε για να δείξει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι «μεγαλύτερο» από το σύνολο των φυσικών αριθμών N. Πραγματικοί αριθμοί Την μέθοδο διαγωνιοποίησης την εισήγαγε ο Georg Cantor στα Την χρησιμοποίησε για να δείξει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι «μεγαλύτερο» από το σύνολο των φυσικών αριθμών N. Θα δείξουμε κάτι ισχυρότερο. Θεώρημα: Το διάστημα (0, 1] R είναι μη αριθμήσιμο. Κατ επέκταση και το R αποκλείεται να είναι αριθμήσιμο. Πραγματικοί αριθμοί Κάθε x (0, 1], μπορεί να γραφτεί στο δεκαδικό σύστημα. Εστω το (0, 1] αριθμήσιμο. Τότε υπάρχει λίστα των στοιχείων του (0, 1] π.χ Προσθέτουμε 1 στο iστο ψηφίο του iστου αριθμού στη λίστα. Παίρνουμε Ας κατασκευάσουμε τώρα έναν αριθμό που διαφέρει απο τον πρώτο στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο, απο το δεύτερο στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο κοκ. που διαφέρει από όλους τους αριθμούς. Καταλήγουμε πως δεν μπορεί να υπάρχει λίστα όλων των πραγματικών αριθμών, άτοπο. Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα με την απόδειξη αυτη. Γιατί;

14 Το πρόβλημα με την απόδειξη είναι ότι η δεκαδική παράσταση ενος αριθμού δεν είναι μοναδική! Π.χ = Αριθμοί που από «συντακτική» άποψη φαίνονται διαφορετικοί μπορεί να είναι ίδιοι. Άρα μπορεί ο αριθμός που κατασκευάζουμε να ανήκει στη λίστα. Λύνεται αν κατασκευάσουμε σωστά το νέο αριθμό (π.χ. αν τα k-στο ψηφίο του αριθμού που κατασκευάζουμε διαφέρει κατά τουλάχιστον 2 από το αντίστοιχο ψηφίο του k-στού αριθμού). Η Υπόθεση του Συνεχούς Παρεμπιπτόντως, ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα της Λογικής στον 20ο αιώνα είναι η «Υπόθεση του Συνεχούς». Συνεχές (continuum) είναι ένα όνομα που χρησιμοποιείται για να δηλώσει το R. Υπόθεση του Συνεχούς: Δεν υπάρχει κανένα σύνολο «μεγαλύτερο» από τους φυσικούς N και «μικρότερο» από τους πραγματικούς R. Με άλλα λόγια, κάθε μη αριθμήσιμο σύνολο περιέχει ένα υποσύνολο ισάριθμο με το R. Η διαλεύκανση της Υπόθεσης είναι γνωστή ως το πρώτο πρόβλημα του Hilbert. Η Υπόθεση του Συνεχούς Η Υπόθεση του Συνεχούς Υπόθεση του Συνεχούς: Δεν υπάρχει κανένα σύνολο «μεγαλύτερο» από τους φυσικούς N και «μικρότερο» από τους πραγματικούς R. Με άλλα λόγια, κάθε μη αριθμήσιμο σύνολο περιέχει ένα υποσύνολο ισάριθμο με το R. Υπόθεση του Συνεχούς: Δεν υπάρχει κανένα σύνολο «μεγαλύτερο» από τους φυσικούς N και «μικρότερο» από τους πραγματικούς R. Με άλλα λόγια, κάθε μη αριθμήσιμο σύνολο περιέχει ένα υποσύνολο ισάριθμο με το R. Ο Gödel έδειξε το 1937 ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι συμβατή με τα αξιώματα της συνολοθεωρίας (άρα δεν υπάρχει απόδειξη ότι η υπόθεση δεν ισχύει). Ο Cohen έδειξε το 1963 ότι η άρνηση της Υπόθεσης του Συνεχούς είναι επίσης συμβατή με τα αξιώματα της συνολοθεωρίας (άρα δεν υπάρχει απόδειξη ότι η υπόθεση ισχύει). Συνεπώς η Υπόθεση του Συνεχούς δεν μπορεί ούτε να αποδειχτεί ούτε να καταρριφθεί!!!

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία.

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία. Γνωριµία Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 1900 στο Παρίσι, ο David Hilbert έκανε μια ομιλία για τα 23 πιο σπουδαία μαθηματικά προβλήματα που κληρονομούσε ο 20ος αιώνας από τον 19ο. Το 10ο ήταν: Απόφανση περί επιλυσιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εισαγωγή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Όπως για όλες τις επιστήμες, έτσι και για την επιστήμη της Πληροφορικής, ο τελικός στόχος της είναι η επίλυση προβλημάτων. Λύνονται όμως όλα τα προβλήματα;

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άννα Φιλίππου annap@cs.ucy.ac.cy ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 0-1 Στοιχεία του μαθήματος Διδάσκουσα: Άννα Φιλίππου Γραφείο: FST-01

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αλφάβητα, Γλώσσες, Κανονικές Εκφράσεις

Θεωρία Υπολογισμού Αλφάβητα, Γλώσσες, Κανονικές Εκφράσεις 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 6 : Αλφάβητα, Γλώσσες, Κανονικές Εκφράσεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 4: Ισοδυναμία, διάταξη, άπειρα σύνολα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αριθμήσιμα σύνολα Ορισμός Πόσαστοιχείαέχειτοσύνολο {a,b,r,q,x}; Οσακαιτοσύνολο {1,2,3,4,5}πουείναιυποσύνολοτου

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του προβλήματος

Η έννοια του προβλήματος Η έννοια του προβλήματος Οι άνθρωποι, από την πρώτη στιγμή της ύπαρξής τους, ήρθαν αντιμέτωποι με ποικίλα προβλήματα, τόσο στις καθημερινές τους δραστηριότητες όσο και σε διάφορους επιστημονικούς τομείς.

Διαβάστε περισσότερα

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # = Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα