Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος"

Transcript

1 Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Υλη του μαθήματος Η ύλη του μαθήματος χωρίζεται σε 3 μεγάλες ενότητες που προσπαθούν να απαντήσουν τα αντίστοιχα ερωτήματα: Μοντέλα υπολογισμού. Αυτόματα και γλώσσες. Τί είναι υπολογιστής; Θεωρία υπολογισιμότητας (computability theory). Τί είναι και τί δεν είναι υπολογίσιμο; Θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας (complexity theory). Τί μπορεί να υπολογιστεί σε μικρό χρόνο (ή χώρο) και τί όχι; Τί μπορεί να κάνει ένας υπολογιστής; (Ας υποθέσουμε πως έχουμε συμφωνήσει τί είναι ο υπολογιστής). Ο υπολογιστής λύνει «προβλήματα». Λύνει όλα τα προβλήματα; Υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορεί να λύσει ένας υπολογιστής;

2 Τί μπορεί να κάνει ένας υπολογιστής; (Ας υποθέσουμε πως έχουμε συμφωνήσει τί είναι ο υπολογιστής). Ο υπολογιστής λύνει «προβλήματα». Λύνει όλα τα προβλήματα; Υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορεί να λύσει ένας υπολογιστής; Πώς σχετίζονται τα προβλήματα που λύνει ένας υπολογιστής με τα προβλήματα των Μαθηματικών; Τί μπορούν να «κάνουν» και τί δεν μπορούν να «κάνουν» τα Μαθηματικά; Από αυτό το ερώτημα στις αρχές του 20ου αιώνα ξεκίνησε κατά κάποιο τρόπο η ιστορία μας. Η έννοια «πρόβλημα» 1) Υπάρχουν ακέραιοι x, y, z 1 και n > 2 τέτοιοι ώστε x n + y n = z n ; 2) Γράψτε ένα πρόγραμμα Pascal που όταν η είσοδος είναι ένα ακέραιο πολυώνυμο p (πολλών μεταβλητών), στην έξοδο απαντά αν το πολυώνυμο p έχει ακέραιες ρίζες. Π.χ. Αν η είσοδος είναι p = x 2 +2y 2 +3 πρέπει να απαντά «όχι» (γιατί;). Βασική διαφορά ανάμεσα στις δύο περιπτώσεις: Στην πρώτη περίπτωση η απάντηση είναι «ναι» ή «όχι», ενώ στη δεύτερη περίπτωση η απάντηση είναι ένα πρόγραμμα Pascal (αλγόριθμος). Η έννοια «πρόβλημα» 1) [x n +y n = z n ] είναι το περίφημο Θεώρημα του Fermat που προτάθηκε από τον Fermat. Παρέμεινε άλυτο για τετρακόσια περίπου χρόνια, ώς το 1994, όταν ο Andrew Wiles κατάφερε να το λύσει (η σωστή απάντηση στην ερώτηση είναι αρνητική). 2) [πρόγραμμα που να λύνει ακέραιες εξισώσεις] προτάθηκε από τον David Hilbert το 1900, είναι το περίφημο δέκατο πρόβλημα του Hilbert. Απαντήθηκε απο τον Yuri Matiyasevich το 1970, που έδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοιο πρόγραμμα Pascal. Μας ενδιαφέρουν τα προβλήματα της δεύτερης περίπτωσης, όπου το ζητούμενο είναι ένας αλγόριθμος και όχι ένα απλό «ναι» ή «όχι». Η έννοια «πρόβλημα» ΙΙ 1) Υπάρχουν ακέραιοι x, y, z 1 και n > 2 τέτοιοι ώστε x n + y n = z n ; 2) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο ακέραιους x, y, z 1, να αποφασίζει αν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n. 3) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο την πρόταση: «Για οποιουσδήποτε ακέραιους x, y, z 1 δεν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n», να αποφασίζει αν η πρόταση είναι αληθής. 4) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο μια μαθηματική πρόταση P (σε κατάλληλο συμβολισμό), να αποφασίζει αν η P είναι αληθής.

3 Η έννοια «πρόβλημα» ΙΙ 1) Υπάρχουν ακέραιοι x, y, z 1 και n > 2 τέτοιοι ώστε x n + y n = z n ; 2) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο ακέραιους x, y, z 1, να αποφασίζει αν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n. 3) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο την πρόταση: «Για οποιουσδήποτε ακέραιους x, y, z 1 δεν υπάρχει ακέραιος n > 2, τέτοιος ώστε x n + y n = z n», να αποφασίζει αν η πρόταση είναι αληθής. 4) Γράψτε ένα πρόγραμμα που με είσοδο μια μαθηματική πρόταση P (σε κατάλληλο συμβολισμό), να αποφασίζει αν η P είναι αληθής. Η Περίπτωση 4 αντιστοιχεί στο περίφημο Entscheidungsproblem του David Hilbert. Κάποια πρόσωπα της ιστορίας μας David Hilbert: Εθεσε (μεταξύ άλλων) τα ερωτήματα (i) αν μπορεί να αποδειχτεί πως τα Μαθηματικά είναι συνεπή (consistent) (2 o πρόβλημα του Η., 1900). (ii) αν υπάρχει αλγόριθμος για την επίλυση ακέραιων εξισώσεων (10 o πρόβλημα του Η., 1900). (iii) αν τα Μαθηματικά μπορούν να «αυτοματοποιηθούν» (Entscheidungsproblem, 1928). Kurt Gödel: Εδειξε ότι το (i) είναι αδύνατο με το περίφημο «Θεώρημα της μη πληρότητας» (1930). Alan Turing: Εθεσε τις βάσεις της Θεωρίας Υπολογισμού. Ορισε την έννοια του υπολογιστή (μηχανές Turing) και μελέτησε την έννοια της υπολογισιμότητας (1936). Εδειξε πως ουσιαστικά το (iii) είναι αδύνατο. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S».

4 Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S». Θεώρημα: Αν το S είναι συνεπές τότε 1. Η U είναι αληθής. 2. Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. 3. Η άρνηση της U, την οποία συμβολίζουμε U, δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S». Θεώρημα: Αν το S είναι συνεπές τότε 1. Η U είναι αληθής. 2. Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. 3. Η άρνηση της U, την οποία συμβολίζουμε U, δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. Πόρισμα: Δεν μπορούμε να αποδείξουμε εντός του S πως το S είναι συνεπές. Το Θεώρημα της μη πληρότητας του K. Gödel (απλοποιημένο) Ενα λογικό σύστημα S λέγεται συνεπές (consistent) αν κάθε πρόταση που αποδεικνύουμε εντός του S είναι αληθής. Ο Gödel διατύπωσε, στο φορμαλισμό ενός δεδομένου S, μία πρόταση U που λέει: «Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S». Θεώρημα: Αν το S είναι συνεπές τότε 1. Η U είναι αληθής. 2. Η U δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. 3. Η άρνηση της U, την οποία συμβολίζουμε U, δεν μπορεί να αποδειχτεί στο S. Πόρισμα: Δεν μπορούμε να αποδείξουμε εντός του S πως το S είναι συνεπές. Ο A. Turing και το Entscheidungsproblem Πρόταση Q(P, x): «Αν το πρόγραμμα P πάρει είσοδο τη συμβολοσειρά x, τότε το P θα τερματίσει». Θεώρημα: Υπάρχουν P 0 και x 0, για τα οποία δεν μπορεί να γραφτεί πρόγραμμα που να αποφασίζει, αν η πρόταση Q(P 0, x 0 ) είναι αληθής. Ο Turing έδειξε ακόμη πως η Q(P 0, x 0 ) μπορεί να εκφραστεί σαν λογική πρόταση. Από το Θεώρημα έπεται πως δεν μπορεί να γραφτεί πρόγραμμα που να αποδεικνύει τη λογική πρόταση Q(P 0, x 0 ) (ή το συμπλήρωμα της). Δεν μπορούμε λοιπόν να αυτοματοποιήσουμε τα Μαθηματικά. Δεν μπορούμε να γράψουμε ένα πρόγραμμα που να αποφασίζει ποιες μαθηματικές προτάσεις είναι αληθείς! Το Entscheidungsproblem του Hilbert είναι μη επιλύσιμο!

5 Η έννοια «πρόβλημα» ΙΙΙ Ζητάμε αλγορίθμους για τα ακόλουθα ερωτήματα. Π1: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Να βρεθεί στον G ένα μονοπάτι από το s στο t. Π2: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Υπάρχει στον G μονοπάτι από το s στο t; Το Π1 είναι πρόβλημα εύρεσης. απαντιέται με ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Το Π2 είναι πρόβλημα απόφασης, δηλ. Το Π2 ανάγεται στο πρόβλημα Π1: αν λύσω το πρόβλημα εύρεσης έχω λύσει και το πρόβλημα απόφασης. Το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα. Προβλήματα απόφασης και γλώσσες Ορισε ενα κατάλληλο πεπερασμένο αλφάβητο Σ. (Π.χ. Σ = {0, 1}). Κάθε πρόβλημα απόφασης κωδικοποιείται με μια γλώσσα, δηλ. ένα υποσύνολο του συνόλου όλων των δυνατών συμβολοσειρών Σ. Π.χ. Π2: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Υπάρχει στον G μονοπάτι από το s στο t; Αντίστοιχη γλώσσα L:= { δυαδικές συμβολοσειρές w, τ.ω. w =< G = (V, E), s, t > και ο G περιέχει μονοπάτι από το s στο t }. Χάριν κομψότητας και ευκολίας θα ασχοληθούμε κυρίως με προβλήματα α- πόφασης. Προβλήματα απόφασης και γλώσσες Ορισε ενα κατάλληλο πεπερασμένο αλφάβητο Σ. (Π.χ. Σ = {0, 1}). Κάθε πρόβλημα απόφασης κωδικοποιείται με μια γλώσσα, δηλ. ένα υποσύνολο του συνόλου όλων των δυνατών συμβολοσειρών Σ. Π.χ. Π2: Δίνεται γράφημα G = (V, E), και κορυφές s, t V. Υπάρχει στον G μονοπάτι από το s στο t; Αντίστοιχη γλώσσα L:= { δυαδικές συμβολοσειρές w, τ.ω. w =< G = (V, E), s, t > και ο G περιέχει μονοπάτι από το s στο t }. Συμβολοσειρές και γλώσσες Αλφάβητο: Αλφάβητο είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο. Τα μέλη του τα ονομάζουμε σύμβολα ή γράμματα. Π.χ. Σ 1 = {0, 1}, Σ 2 = {a, b,..., w}.συμβολοσειρά (string): Συμβολοσειρά ενός αλφάβητου Σ είναι μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του Σ. Π.χ είναι συμβολοσειρά του αλφάβητου Σ = {0, 1, 2}. Λύνω το Π2 ισοδύναμο με «δεδομένης συμβολοσειράς w, ανήκει η w στην L;»

6 Συμβολοσειρές και γλώσσες Αλφάβητο: Αλφάβητο είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο. Τα μέλη του τα ονομάζουμε σύμβολα ή γράμματα. Π.χ. Σ 1 = {0, 1}, Σ 2 = {a, b,..., w}.συμβολοσειρά (string): Συμβολοσειρά ενός αλφάβητου Σ είναι μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του Σ. Π.χ είναι συμβολοσειρά του αλφάβητου Σ = {0, 1, 2}. Τη (μοναδική) συμβολοσειρά μήκους 0, την ονομάζουμε κενή και τη συμβολίζουμε με ε. Το σύνολο των συμβολοσειρών μήκους k το συμβολίζουμε με Σ k, π.χ. {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11}. Συμβολοσειρές και γλώσσες Αλφάβητο: Αλφάβητο είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο. Τα μέλη του τα ονομάζουμε σύμβολα ή γράμματα. Π.χ. Σ 1 = {0, 1}, Σ 2 = {a, b,..., w}.συμβολοσειρά (string): Συμβολοσειρά ενός αλφάβητου Σ είναι μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του Σ. Π.χ είναι συμβολοσειρά του αλφάβητου Σ = {0, 1, 2}. Τη (μοναδική) συμβολοσειρά μήκους 0, την ονομάζουμε κενή και τη συμβολίζουμε με ε. Το σύνολο των συμβολοσειρών μήκους k το συμβολίζουμε με Σ k, π.χ. {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11}. Το σύνολο όλων των συμβολοσειρών του Σ το συμβολίζουμε με Σ. Π.χ. {0, 1} = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,...}. Πράξεις με συμβολοσειρές Παράθεση (concatenation): Η παράθεση δύο συμβολοσειρών x και y είναι η συμβολοσειρά xy που τη συμβολίζουμε xy ή x y. Π.χ. Η παράθεση του x = 011 και του y = 1001 είναι x y = Επανάληψη: Αν w είναι μια συμβολοσειρά, τότε w k αποτελείται από την παράθεση k αντιγράφων του w. Π.χ. (01) 3 = Αντίστροφη: Η αντίστροφη μιάς συμβολοσειράς w συμβολίζεται με w R και προκύπτει αν διαβάσουμε το w από το τέλος προς την αρχή. Π.χ R = Άσκηση: Δείξε ότι για οποιεσδήποτε συμβολοσειρές x και y: (x y) R = y R x R. Γλώσσες (Languages) Γλώσσα: Εστω Σ ένα αλφάβητο. Οποιοδήποτε υποσύνολο του Σ ονομάζεται γλώσσα του Σ. Π.χ. Εστω Σ = {0, 1,..., 9}. Τα παρακάτω σύνολα είναι γλώσσες του Σ: L 1 = {23, 044, 9999} (πεπερασμένη γλώσσα). L 2 = {ε, 1, 11, 111, 1111,...}. L 3 = {w : w είναι πρώτος αριθμός (η δεκαδική παράσταση του)} = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}. L 4 = {w : w είναι πρώτος αριθμός (η δυαδική παράσταση του)} = {10, 11, 101, 111, 1011, 1101,...}. L 5 = {} = (κενή γλώσσα). L 6 = {ε}. L 7 = {w : w είναι πρόγραμμα της C++ χωρίς input που δεν τελειώνει ποτέ (κωδικοποιημένο στο δυαδικό σύστημα)}. L 8 = {w : w είναι πρόγραμμα της C++ χωρίς input που κάποτε τελειώνει (κωδικοποιημένο στο δυαδικό σύστημα)}.

7 Πράξεις με γλώσσες Αφού οι γλώσσες είναι σύνολα, ορίζεται η ένωση L 1 L 2 και η τομή τους L 1 L 2 όπως και το συμπλήρωμα: Συμπλήρωμα: Το συμπλήρωμα μιας γλώσσας L του αλφαβήτου Σ συμβολίζεται με L και είναι η γλώσσα Σ L που αποτελείται από τις συμβολοσειρές του Σ που δεν ανήκουν στην L. Επιπλέον μπορούμε να ορίσουμε τις παρακάτω πράξεις σε γλώσσες: Παράθεση: Αν L 1 και L 2 είναι δυο γλώσσες του αλφαβήτου Σ, τότε η παράθεσή τους συμβολίζεται L 1 L 2 ή L 1 L 2 και ορίζεται σαν L 1 L 2 = {w : w = xy για κάποιο x L 1 και κάποιο y L 2 }. Π.χ. αν L 1 = {0, 1, 00} και L 2 = {ε, 00} τότε L 1 L 2 = {0, 1, 00, 000, 100, 0000}. Kleene star: Η Kleene star L μια γλώσσας L είναι η γλώσσα των συμβολοσειρών που προκύπτουν από παράθεση μηδέν ή περισσοτέρων συμβολοσειρών της L: L = {w w = w 1 w 2 w n για n 0 και w 1,..., w n L}. Π.χ. Αν L = {0, 11} τότε L = {ε, 0, 00, 11, 000, 011, 110, 0000, 0011, 0110, 1100, 1111,...}. Π.χ. Αν L = {ε} τότε L = {ε}. Π.χ. Αν L = {} τότε L = {ε} (άρα για κάθε L: ε L ). L + : Ορίζουμε επίσης L + = LL. Άσκηση: Για ποιές γλώσσες έχουμε L L + ; Πόσες συμβολοσειρές και γλώσσες υπάρχουν; Θεώρησε ένα αλφάβητο Σ (εξ ορισμού πεπερασμένο). Πόσες συμβολοσειρές και γλώσσες υπάρχουν; Θεώρησε ένα αλφάβητο Σ (εξ ορισμού πεπερασμένο). Πόσες συμβολοσειρές του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Πόσες γλώσσες του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Αλλά υπάρχουν πολλών ειδών «άπειρα». Πόσες συμβολοσειρές του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Πόσες γλώσσες του Σ υπάρχουν; Άπειρες. Αλλά υπάρχουν πολλών ειδών «άπειρα». Οπως θα δούμε, υπάρχουν «περισσότερες» γλώσσες από συμβολοσειρές...

8 Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν υπάρχει n N έτσι ώστε τα A και {1, 2,..., n} να είναι ισάριθμα. Ως πληθικός αριθμός του A ορίζεται το n (συμβολίζεται με A ). Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Αριθμήσιμα Σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφινοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν υπάρχει n N έτσι ώστε τα A και {1, 2,..., n} να είναι ισάριθμα. Ως πληθικός αριθμός του A ορίζεται το n (συμβολίζεται με A ). Ενα σύνολο A λέγεται άπειρο αν δεν είναι πεπερασμένο. Π.χ. το N είναι άπειρο (αποδείξτε το).

9 Αριθμήσιμα Σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφινοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμα άπειρο αν το A είναι ισάριθμο του N. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμο αν είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμα ά- πειρο. ( Ενα σύνολο που δεν είναι αριθμήσιμο λέγεται μη αριθμήσιμο). Αριθμήσιμα Σύνολα Ισάριθμα σύνολα: Δύο σύνολα A και B λέγονται ισάριθμα αν υπάρχει αμφινοσήμαντη αντιστοιχία f : A B. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμα άπειρο αν το A είναι ισάριθμο του N. Ενα σύνολο A λέγεται αριθμήσιμο αν είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμα ά- πειρο. ( Ενα σύνολο που δεν είναι αριθμήσιμο λέγεται μη αριθμήσιμο). Διαισθητικά, το A είναι αριθμήσιμο αν υπάρχει τρόπος να «λιστάρουμε» τα στοιχεία του, δηλ. να τα γράψουμε υπό μορφή ακολουθίας. Η λίστα μας είναι σωστή, αν για κάθε x A, μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση «ποια είναι η θέση του x στη λίστα;», δίνοντας έναν συγκεκριμένο αριθμό. Σχετικά με την ορολογία Αγγλικός όρος: countable. Στην ελληνική μετάφραση των Lewis-Papadimitriou: μετρήσιμο. Μια καλύτερη μετάφραση: αριθμήσιμο. Μετρώντας (συνέχεια) Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων: Το σύνολο των ζυγών αριθμών (αντιστοιχία: f(n) = n/2. Ακολουθία: 0, 2, 4,...). Το σύνολο των ακεραίων (Ακολουθία: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...). Το σύνολο των θετικών ρητών (Ακολουθία: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,...).

10 Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Απόδειξη: Εξ ορισμού το Σ είναι πεπερασμένο. Δημιουργούμε ακολουθία που περιέχει όλες τις συμβολοσειρές του Σ: Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Απόδειξη: Εξ ορισμού το Σ είναι πεπερασμένο. Δημιουργούμε ακολουθία που περιέχει όλες τις συμβολοσειρές του Σ: Πρώτη η συμβολοσειρά μήκους 0, μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 1 (ταξινομημένες), μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 2 (ταξινομημένες), κοκ. Θεώρημα: Το σύνολο Σ των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου Σ είναι α- ριθμήσιμο. Απόδειξη: Εξ ορισμού το Σ είναι πεπερασμένο. Δημιουργούμε ακολουθία που περιέχει όλες τις συμβολοσειρές του Σ: Πρώτη η συμβολοσειρά μήκους 0, μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 1 (ταξινομημένες), μετά όλες οι συμβολοσειρές μήκους 2 (ταξινομημένες), κοκ. Αυτή είναι η λεξικογραφική διάταξη των συμβολοσειρών του Σ. Π.χ. Αν Σ = {0, 1}, η ακολουθία είναι ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,....

11 Θεώρημα: Το σύνολο των γλωσσών ενός αλφαβήτου Σ είναι μη αριθμήσιμο. Απόδειξη: Με εις άτοπο απαγωγή. Εστω ότι το σύνολο των γλωσσών του Σ είναι αριθμήσιμο. Τότε θα υπάρχει μια ακολουθία S 1, S 2,... των γλωσσών του Σ τέτοια ώστε κάθε γλώσσα του Σ να εμφανίζεται μία φορά σε αυτή. Θα κατασκευάσουμε γλώσσα T του Σ που διαφέρει απο κάθε S i, i = 1, 2,.... Εστω w 1, w 2,... η λεξικογραφική ακολουθία όλων των συμβολοσειρών του Σ Θα φροντίσουμε ώστε η T να διαφέρει από την S i στη θέση του w i. Η T περιέχει τη συμβολοσειρά w i αν και μόνο αν η S i δεν περιέχει τη συμβολοσειρά w i. T = {w i : w i S i, i = 1, 2,...}. Θεώρημα: Το σύνολο των γλωσσών ενός αλφαβήτου Σ είναι μη αριθμήσιμο. Απόδειξη: Με εις άτοπο απαγωγή. Εστω ότι το σύνολο των γλωσσών του Σ είναι αριθμήσιμο. Τότε θα υπάρχει μια ακολουθία S 1, S 2,... των γλωσσών του Σ τέτοια ώστε κάθε γλώσσα του Σ να εμφανίζεται μία φορά σε αυτή. Θα κατασκευάσουμε γλώσσα T του Σ που διαφέρει απο κάθε S i, i = 1, 2,.... Εστω w 1, w 2,... η λεξικογραφική ακολουθία όλων των συμβολοσειρών του Σ Θα φροντίσουμε ώστε η T να διαφέρει από την S i στη θέση του w i. Η T περιέχει τη συμβολοσειρά w i αν και μόνο αν η S i δεν περιέχει τη συμβολοσειρά w i. T = {w i : w i S i, i = 1, 2,...}. Συνεπώς η ακολουθία S 1, S 2,... δεν περιέχει όλες τις γλώσσες του Σ. Άρα το σύνολο των γλωσσών του Σ είναι μη αριθμήσιμο. Συμπεράσματα για την αναπαράσταση των γλωσσών με πεπερασμένες περιγραφές. Οποιαδήποτε αναπαράσταση και αν διαλέξουμε, θα υπάρχουν γλώσσες που δεν περιγράφονται. Π.χ., υπάρχει κάποια γλώσσα L τέτοια ώστε κανένα πρόγραμμα C++ δεν μπορεί να τυπώσει όλες τις συμβολοσειρές της (ακόμα και αν το αφήσουμε να τρέχει για πάντα). Γιατί; Το σύνολο των προγραμμάτων είναι αριθμήσιμο, ενώ το σύνολο των γλωσσών δεν είναι. Συμπεράσματα για την αναπαράσταση των γλωσσών με πεπερασμένες περιγραφές. Οποιαδήποτε αναπαράσταση και αν διαλέξουμε, θα υπάρχουν γλώσσες που δεν περιγράφονται. Π.χ., υπάρχει κάποια γλώσσα L τέτοια ώστε κανένα πρόγραμμα C++ δεν μπορεί να τυπώσει όλες τις συμβολοσειρές της (ακόμα και αν το αφήσουμε να τρέχει για πάντα). Γιατί; Το σύνολο των προγραμμάτων είναι αριθμήσιμο, ενώ το σύνολο των γλωσσών δεν είναι. Οι γλώσσες που μας ενδιαφέρουν είναι αυτές που μπορούν να περιγραφούν (αυτές που έχουν πεπερασμένη περιγραφή). Υπάρχει πρόγραμμα C++ για αυτές τις γλώσσες; Αυτό είναι ένα κεντρικό θέμα του μαθήματος. Για να το μελετήσουμε πρέπει πρώτα να συμφωνήσουμε για το τί εννοούμε με τον όρο «πεπερασμένη περιγραφή».

12 Μέθοδος Διαγωνιοποίησης Πώς αποδείξαμε ότι το σύνολο των γλωσσών δεν είναι αριθμήσιμο; Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε λέγεται διαγωνιοποίηση και είναι πολύ απλή. Μέθοδος Διαγωνιοποίησης Πώς αποδείξαμε ότι το σύνολο των γλωσσών δεν είναι αριθμήσιμο; Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε λέγεται διαγωνιοποίηση και είναι πολύ απλή. Μέθοδος Διαγωνιοποίησης: Εστω R μια διμελής σχέση ενός συνόλου A, δηλαδή R είναι ένα υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου A A: R {(a 1, a 2 ) : a 1, a 2 A}. Τότε το διαγώνιο σύνολο = {(a : (a, a) R} διαφέρει από κάθε γραμμή R a = {b : (a, b) R} Π.χ. A = {1, 2, 3, 4, 5} και R = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} X X 2 X X X 3 X X 4 X X 5 X X X X Οι γραμμές της R είναι R 1 = {3, 5}, R 2 = {2, 4, 5}, R 3 = {3, 5}, R 4 = {2, 5}, και R 5 = {1, 2, 3, 5}. Το διαγώνιο σύνολο είναι το = {1, 4} και είναι διαφορετικό από κάθε γραμμή της R. Π.χ. A = {1, 2, 3, 4, 5} και R = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} X X X 2 X X X 3 X X 4 X X X 5 X X X X Οι γραμμές της R είναι R 1 = {3, 5}, R 2 = {2, 4, 5}, R 3 = {3, 5}, R 4 = {2, 5}, και R 5 = {1, 2, 3, 5}. Το διαγώνιο σύνολο είναι το = {1, 4} και είναι διαφορετικό απο κάθε γραμμή της R. X X

13 Πραγματικοί αριθμοί Την μέθοδο διαγωνιοποίησης την εισήγαγε ο Georg Cantor στα Την χρησιμοποίησε για να δείξει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι «μεγαλύτερο» από το σύνολο των φυσικών αριθμών N. Πραγματικοί αριθμοί Την μέθοδο διαγωνιοποίησης την εισήγαγε ο Georg Cantor στα Την χρησιμοποίησε για να δείξει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι «μεγαλύτερο» από το σύνολο των φυσικών αριθμών N. Θα δείξουμε κάτι ισχυρότερο. Θεώρημα: Το διάστημα (0, 1] R είναι μη αριθμήσιμο. Κατ επέκταση και το R αποκλείεται να είναι αριθμήσιμο. Πραγματικοί αριθμοί Κάθε x (0, 1], μπορεί να γραφτεί στο δεκαδικό σύστημα. Εστω το (0, 1] αριθμήσιμο. Τότε υπάρχει λίστα των στοιχείων του (0, 1] π.χ Προσθέτουμε 1 στο iστο ψηφίο του iστου αριθμού στη λίστα. Παίρνουμε Ας κατασκευάσουμε τώρα έναν αριθμό που διαφέρει απο τον πρώτο στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο, απο το δεύτερο στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο κοκ. που διαφέρει από όλους τους αριθμούς. Καταλήγουμε πως δεν μπορεί να υπάρχει λίστα όλων των πραγματικών αριθμών, άτοπο. Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα με την απόδειξη αυτη. Γιατί;

14 Το πρόβλημα με την απόδειξη είναι ότι η δεκαδική παράσταση ενος αριθμού δεν είναι μοναδική! Π.χ = Αριθμοί που από «συντακτική» άποψη φαίνονται διαφορετικοί μπορεί να είναι ίδιοι. Άρα μπορεί ο αριθμός που κατασκευάζουμε να ανήκει στη λίστα. Λύνεται αν κατασκευάσουμε σωστά το νέο αριθμό (π.χ. αν τα k-στο ψηφίο του αριθμού που κατασκευάζουμε διαφέρει κατά τουλάχιστον 2 από το αντίστοιχο ψηφίο του k-στού αριθμού). Η Υπόθεση του Συνεχούς Παρεμπιπτόντως, ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα της Λογικής στον 20ο αιώνα είναι η «Υπόθεση του Συνεχούς». Συνεχές (continuum) είναι ένα όνομα που χρησιμοποιείται για να δηλώσει το R. Υπόθεση του Συνεχούς: Δεν υπάρχει κανένα σύνολο «μεγαλύτερο» από τους φυσικούς N και «μικρότερο» από τους πραγματικούς R. Με άλλα λόγια, κάθε μη αριθμήσιμο σύνολο περιέχει ένα υποσύνολο ισάριθμο με το R. Η διαλεύκανση της Υπόθεσης είναι γνωστή ως το πρώτο πρόβλημα του Hilbert. Η Υπόθεση του Συνεχούς Η Υπόθεση του Συνεχούς Υπόθεση του Συνεχούς: Δεν υπάρχει κανένα σύνολο «μεγαλύτερο» από τους φυσικούς N και «μικρότερο» από τους πραγματικούς R. Με άλλα λόγια, κάθε μη αριθμήσιμο σύνολο περιέχει ένα υποσύνολο ισάριθμο με το R. Υπόθεση του Συνεχούς: Δεν υπάρχει κανένα σύνολο «μεγαλύτερο» από τους φυσικούς N και «μικρότερο» από τους πραγματικούς R. Με άλλα λόγια, κάθε μη αριθμήσιμο σύνολο περιέχει ένα υποσύνολο ισάριθμο με το R. Ο Gödel έδειξε το 1937 ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι συμβατή με τα αξιώματα της συνολοθεωρίας (άρα δεν υπάρχει απόδειξη ότι η υπόθεση δεν ισχύει). Ο Cohen έδειξε το 1963 ότι η άρνηση της Υπόθεσης του Συνεχούς είναι επίσης συμβατή με τα αξιώματα της συνολοθεωρίας (άρα δεν υπάρχει απόδειξη ότι η υπόθεση ισχύει). Συνεπώς η Υπόθεση του Συνεχούς δεν μπορεί ούτε να αποδειχτεί ούτε να καταρριφθεί!!!

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία.

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία. Γνωριµία Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άννα Φιλίππου annap@cs.ucy.ac.cy ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 0-1 Στοιχεία του μαθήματος Διδάσκουσα: Άννα Φιλίππου Γραφείο: FST-01

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αριθμήσιμα σύνολα Ορισμός Πόσαστοιχείαέχειτοσύνολο {a,b,r,q,x}; Οσακαιτοσύνολο {1,2,3,4,5}πουείναιυποσύνολοτου

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του προβλήματος

Η έννοια του προβλήματος Η έννοια του προβλήματος Οι άνθρωποι, από την πρώτη στιγμή της ύπαρξής τους, ήρθαν αντιμέτωποι με ποικίλα προβλήματα, τόσο στις καθημερινές τους δραστηριότητες όσο και σε διάφορους επιστημονικούς τομείς.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2 Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης Υπολογιστών

Κεφ. 2 Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης Υπολογιστών Κεφ. 2 Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης Υπολογιστών Αυτός ο κύριος δείχνει να έχει σοβαρά προβλήματα!!! 2.1.1 Πρόβλημα Ορισμός: Πρόβλημα είναι μια οποιαδήποτε κατάσταση χρειάζεται αντιμετώπιση, απαιτεί λύση,

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25 Κεφάλαιο 2 Κανονικές Γλώσσες & Πεπερασμένα Αυτόματα Σύνοψη Τα Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) είναι το απλούστερο και το πιο ευρέως διαδεδομένο μοντέλο υπολογισμού από αυτά που θα εξετάσουμε. Είναι επίσης γνωστά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες

Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες Αριθμοί Γενικές Παρατηρήσεις Συνθήκες Τα ερωτηματολόγια δόθηκαν σε ένα δείγμα 54 πρωτοετών φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Οι φοιτητές / φοιτήτριες δεν είχαν ενημερωθεί για την

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x» 5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα