ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:"

Transcript

1 & i

2 iii & :, 2016

3 Πρόλογος vii Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση στη θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και των Μιγαδικών Συναρτήσεων. Στις μέρες μας οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις αποτελούν μια από τις σημαντικότερες περιοχές τόσο των Θεωρητικών όσον και των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Το γεγονός αυτό οφείλεται, αφενός στη συχνότατη χρήση των Εξισώσεων Μερικών Παραγώγων στις Φυσικές, Τεχνολογικές, Οικονομικές και λοιπές Εφαρμοσμένες Επιστήμες, αφετέρου δε στην πληθώρα των νέων προβλημάτων, ερωτημάτων και θεωριών, που δημιουργούνται και αναπτύσσονται στην περιοχή των Θεωρητικών Μαθηματικών από την ερευνητική ενασχόληση για την επίλυση και γενικότερη μελέτη αυτών των εξισώσεων. Η θεωρία των Μιγαδικών Συναρτήσεων, γνωστή και ως Μιγαδική Ανάλυση, είναι ένας σημαντικός κλάδος των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Μαθηματικής Ανάλυσης, που μελετά τις ιδιότητες των συναρτήσεων των μιγαδικών αριθμών. Είναι χρήσιμη σε πολλούς κλάδους των Μαθηματικών, όπως η Αλγεβρική Γεωμετρία, η Θεωρία Αριθμών και τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά καθώς και στη Φυσική, συμπεριλαμβανομένης της Υδροδυναμικής και Θερμοδυναμικής, της Θεωρίας Χορδών και της Κβαντικής Θεωρία Πεδίου αλλά και σε τομείς της Μηχανικής, όπως η Αεροδιαστημική, η Μηχανολογίας, η Ηλεκτρολογίας. Με το πέρασμα των δεκαετιών η Μιγαδική Ανάλυση αναδεικνύεται σε ένα από τα πιο όμορφα καθώς και χρήσιμα αντικείμενα των Μαθηματικών. Στη σύγχρονη εποχή, έχει γίνει πολύ δημοφιλής μέσα από μια νέα ώθηση, που δέχεται ο κλάδος, από την Μιγαδική Δυναμική και τις εικόνες των fractals που παράγονται με τις επαναλήψεις ολόμορφων συναρτήσεων. Βασικό σκοπό της συγγραφής αυτής της εργασίας αποτέλεσε η παροχή στους φοιτητές των Μαθηματικών, Φυσικών και Τεχνολογικών Επιστημών αλλά και γενικότερα στην κοινότητα των μαθηματικών και εφαρμοσμένων επιστημόνων, ενός συγγράμματος, το οποίο θα δίδει τις θεμελιώδεις έννοιες, αξιώματα, θεωρία καθώς και μια ευρύτατη ποικιλία μεθόδων και τεχνικών επίλυσης μιας μεγάλης οικογένειας Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, οι οποίες, όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στο παρόν σύγγραμμα, αποτελούν προϊόν διαδικασιών μαθηματικής προτυποποίησης των κυριότερων φυσικών, τεχνολογικών, οικονομικών, κοινωνικών και λοιπών φαινομένων. Συγχρόνως παρέχονται όλα τα βασικά εισαγωγικά στοιχεία της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων -σειρές, ολοκληρώματα, ολοκληρωτικά υπόλοιπα, σύμμορφη απεικόνιση, κ.α.- αναγκαία σε πολλά πεδία τόσο των Θεωρητικών όσο και των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. ΜΕΡΟΣ Α. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Στο Κεφάλαιο 1, δίδονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Σκιαγραφείται η έννοια ενός καλά τοποθετημένου προβλήματος αρχικών και/ή

4 viii συνοριακών συνθηκών καθώς και η ευστάθεια (συνεχής εξάρτηση από τα δεδομένα) των λύσεων. Γίνεται η ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης στις δύο και περισσότερες διαστάσεις. Αναπτύσσεται μια μέθοδος επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές και ως εφαρμογή αυτής παρουσιάζεται η εύρεση της λύσης D Alembert της Κυματικής Εξίσωσης στην πραγματική ευθεία. Στο Κεφάλαιο 2, μετά από μια σύντομη ιστορική ανασκόπηση, γίνεται η μελέτη της γραμμικής ομογενούς ή μη ελλειπτικής εξίσωσης σε συγκεκριμένα φραγμένα πεδία στις δύο διαστάσεις (ορθογώνιο, δίσκος, δακτύλιος, κ.λ.π.) με διάφορα είδη συνοριακών συνθηκών (Dirichlet, Neumann, Robin ή μεικτές). Η βασική τεχνική επίλυσης σε όλο το Κεφάλαιο είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών ή μέθοδος Fourier. Τέλος, δίδονται οι κυριότερες ιδιότητες των λύσεων των ελλειπτικών προβλημάτων (αρμονικές συναρτήσεις), όπως μονοσήμαντο, αρχή μεγίστου, συνεχής εξάρτηση από συνοριακά δεδομένα, κ.λ.π.. Στο Κεφάλαιο 3, γίνεται αναλυτική παρουσίαση της διαδικασίας μαθηματικής προτυποποίησης σ ένα φαινόμενο διάδοσης θερμότητας σε μια πεπερασμένη ράβδο και διαμόρφωση της αντίστοιχης εξίσωσης θερμότητας. Στη συνέχεια δίδονται διάφοροι μέθοδοι επίλυσης ομογενών ή μη προβλημάτων παραβολικού τύπου με ομογενείς ή μη, χρόνοανεξάρτητες ή μη συνοριακές συνθήκες. Και σ αυτό το Κεφάλαιο η βασική τεχνική επίλυσης είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών. Επίσης παρουσιάζεται η ποιοτική επεξεργασία των λύσεων αυτών των προβλημάτων και αναδεικνύονται τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών, όπως ομαλότητα, ασυμπτωτική συμπεριφορά, μονοσήμαντο, χρόνος χαλάρωσης, κ.λ.π.. Τέλος, δίδονται βασικά εισαγωγικά στοιχεία της ποιοτικής θεωρίας των παραβολικών εξισώσεων, όπως αρχή μεγίστου, μονοσήμαντο των λύσεων και συνεχής εξάρτηση από τα αρχικά και συνοριακά δεδομένα. Στο Κεφάλαιο 4, μετά από μια σύντομη ιστορική ανασκόπηση, γίνεται αναλυτική παρουσίαση της διαδικασίας μαθηματικής προτυποποίησης σ ένα φαινόμενο κυματικής διάδοσης σε μια τέλεια εύκαμπτη πεπερασμένη χορδή και διαμόρφωση των αντίστοιχων βασικών γραμμικών και μη κυματικών εξισώσεων. Στη συνέχεια δίδονται διάφοροι μέθοδοι επίλυσης ομογενών ή μη προβλημάτων υπερβολικού τύπου με ομογενείς ή μη, χρόνοανεξάρτητες ή μη συνοριακές συνθήκες. Και σ αυτό το Κεφάλαιο η βασική τεχνική επίλυσης είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών. Επίσης παρουσιάζεται η ποιοτική επεξεργασία των λύσεων αυτών των προβλημάτων και αναδεικνύονται τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών, όπως ομαλότητα, μονοσήμαντο, φυσική σημασία, κ.λ.π.. Στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου 4 παρουσιάζονται μερικές από τις πλέον χαρακτηριστικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής (Εξίσωση Klein - Gordon, Εξίσωση Τηλεγράφου-Τηλεφώνου, Εξίσωση της Δοκού), δίδονται μέθοδοι επίλυσης και σχολιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών συνδεόμενα με τα φυσικά φαινόμενα, των οποίων αποτελούν το μαθηματικό πρότυπο. Στο Κεφάλαιο 5, μελετώνται τα προβλήματα των τριών προηγουμένων Κεφαλαίων 2, 3 και 4 (Ελλειπτικά, Παραβολικά, Υπερβολικά) σε περισσότερες χωρικές διαστάσεις (δύο και

5 ix τρεις). Φαινόμενα μετάδοσης θερμότητας ή ταλαντώσεων, που λαμβάνουν χώρα σε λεπτές πλάκες ή μεμβράνες, σε κυλίνδρους, ορθογώνια παραλληλόγραμμα ή σφαίρες, μπορούν να περιγραφούν από μερικές διαφορικές εξισώσεις, που ορίζονται στις δύο ή τρεις διαστάσεις ανάλογα με τους περιορισμούς. Εδώ για τη μελέτη των μη ομογενών προβλημάτων εκτός της βασικής μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών, που έχει χρησιμοποιηθεί μέχρι τώρα στα φραγμένα πεδία, παρουσιάζεται η τεχνική του πεπερασμένου μετασχηματισμού Fourier και εφαρμόζεται σε χαρακτηριστικές περιπτώσεις. Όπως θα φανεί στη συνέχεια οι τεχνικές, που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων σε περισσότερες διαστάσεις, αποτελούν φυσιολογική γενίκευση ή επέκταση των ήδη γνωστών μεθόδων, που αναπτύχθηκαν για μερικές διαφορικές εξισώσεις σε μια διάσταση. Εντούτοις πρέπει να τονισθεί ότι, οι διαδικασίες, που ακολουθούν είναι πολύπλοκες και συχνά οδηγούν σε προβλήματα Sturm-Liouville, των οποίων οι λύσεις είναι ειδικές συναρτήσεις. Ειδικότερα, προβλήματα ορισμένα σε κυκλικά ή κυλινδρικά πεδία οδηγούν σε λύσεις, που περιέχουν συναρτήσεις Bessel. Ενώ προβλήματα ορισμένα σε σφαιρικά πεδία οδηγούν σε λύσεις, που περικλείουν πολυώνυμα Legendre. Στα προηγούμενα Κεφάλαια 2 έως 5 αναπτύχθηκαν τεχνικές για τη μελέτη των τριών βασικών κατηγοριών μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης (και ανώτερης άρτιας) τάξης, όταν αυτά είναι ορισμένα σε φραγμένο πεδίο. Όμως σε πολλά φυσικά, βιολογικά, κοινωνικά, κ.λ.π., φαινόμενα παρουσιάζεται η ανάγκη το αντίστοιχο μαθηματικό πρόβλημα να εξετασθεί σε ένα μη-φραγμένο πεδίο. Στο Κεφάλαιο 6, θα μελετηθούν οι τρεις βασικές κατηγορίες μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης σε μη φραγμένο πεδίο (κυρίως στη μια χωρική διάσταση). Η μελέτη τέτοιων προβλημάτων θα βασισθεί σε δύο κατηγορίες τεχνικών. Η πρώτη μέθοδος βασίζεται στο χωρισμό μεταβλητών σε άπειρο πεδίο, ο οποίος οδηγεί στην ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσης ονομαζόμενη ολοκλήρωμα Fourier. Η δε δεύτερη κατηγορία τεχνικών είναι αυτή των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών. Συγκεκριμένα, εδώ θα ασχοληθούμε με τους μετασχηματισμούς Laplace, Fourier, Hankel καθώς και με κάποιες παραλλαγές αυτών. Στο Κεφάλαιο 7, θα δοθούν οι γενικές αρχές και μερικά παραδείγματα μιας αναλυτικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων συνοριακών ή αρχικών συνθηκών συνήθων διαφορικών εξισώσεων, η οποία βασίζεται στον καθορισμό μιας ειδικής συνάρτησης. Η συνάρτηση αυτή φέρει το όνομα του George Green, του ανθρώπου που πρώτος την εισήγαγε από τις αρχές του προπερασμένου αιώνα (1828). Η σπουδαιότητα της μεθόδου, εκτός των άλλων, έγκειται πρώτον στο γεγονός ότι, η διαφορική (συνήθης ή μερική) εξίσωση μετασχηματίζεται σε ολοκληρωτική, η επίλυση της οποίας είναι ευκολότερη και δεύτερον, η παράσταση της λύσης φανερώνει τον τρόπο εξάρτησής της, τόσο από τις περιοριστικές συνθήκες (αρχικές και / ή συνοριακές), που συνοδεύουν το πρόβλημα, όσον και από την εξωτερική επίδραση (μη-ομογενής όρος). Τέλος, στο Κεφάλαιο 8, ορίζεται η συνάρτηση Green για προβλήματα συνοριακών συνθηκών ή αρχικών και συνοριακών συνθηκών μερικών διαφορικών εξισώσεων και μελετώνται οι ιδιότητες αυτών. Στη συνέχεια γίνεται χρήση της συνάρτησης Green για την επίλυση

6 x χαρακτηριστικών περιπτώσεων των τριών βασικών κατηγοριών μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης κυρίως στη μια χωρική (αλλά και στις δύο και τρεις) διάσταση, όπου εμφανίζεται η σύνδεση της λύσης με τα δεδομένα (αρχικά και / ή συνοριακά) καθώς και με τους τυχόν μη ομογενείς όρους. ΜΕΡΟΣ Β. Μιγαδικές Συναρτήσεις Στο Κεφάλαιο 9, μετά από μια σύντομη αλλά αρκετά πλήρη αναφορά στην ιστορική εξέλιξη της θεωρίας των Μιγαδικών Αριθμών και της Μιγαδικής Ανάλυσης γενικότερα στην Ενότητα 9.1, στην Ενότητα 9.2 παρατίθενται, κατά ένα τρόπο αρκετά αναλυτικό τα βασικά στοιχεία της θεωρίας: των μιγαδικών αριθμών, του μιγαδικού επιπέδου, των ακολουθιών μιγαδικών αριθμών, του ορίου, της συνέχειας, της ομοιόμορφης συνέχειας των μιγαδικών συναρτήσεων καθώς και της τοπολογίας του μιγαδικού επιπέδου. Στη Ενότητα 9.3 ορίζονται και διατυπώνονται οι βασικές ιδιότητες των αναλυτικών (ολόμορφων) συναρτήσεων και στη συνέχεια στην Ενότητα 9.4 παρουσιάζονται οι πιο σημαντικές από αυτές, όπως η Εκθετική Συνάρτηση, οι στοιχειώδεις Τριγωνομετρικές και Υπερβολικές Συναρτήσεις και οι σχέσεις μεταξύ αυτών, η Λογαριθμική Συνάρτηση καθώς και η συνάρτηση Δύναμη Μιγαδικών Αριθμών. Το Κεφάλαιο 10, ασχολείται με τη θεωρία της Μιγαδικής Ολοκλήρωσης στην Ενότητα 10.1, όπου ορίζεται και παρατίθενται οι βασικές ιδιότητες καθώς και χαρακτηριστικά παραδείγματα των (επικαμπυλίων) μιγαδικών ολοκληρωμάτων. Στην Ενότητα 10.2 διατυπώνεται το Ολοκληρωτικό Θεώρημα Cauchy και δίδεται η απόδειξη αυτού κατά Cauchy καθώς και η γενίκευση αυτής κατά Goursat. Στην επόμενη Ενότητα 10.3 με τη βοήθεια του Ολοκληρωτικού Θεωρήματος Cauchy απλοποιείται ο υπολογισμός του αορίστου ολοκληρώματος. Στην Ενότητα 10.4 αποδεικνύεται ο Ολοκληρωτικός Τύπος Cauchy και στη συνέχεια παρατίθεται σειρά εφαρμογών αυτού, που αφορούν την παράγωγο αναλυτικών συναρτήσεων, το Θεώρημα Morera, την αρχή μεγίστου καθώς και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Στο Κεφάλαιο 11, ορίζεται κατ αρχήν η έννοια της σειράς μιγαδικών αριθμών και μελετώνται δύο βασικές οικογένειες αυτών. Στην Ενότητα 11.2 ορίζονται και παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά των Σειρών Taylor (και Σειρών Maclaurin) καθώς και πρακτικές μέθοδοι εύρεσης των Δυναμοσειρών. Στην Ενότητα 11.3 παρατίθεται η βασική θεωρία των Σειρών Laurent. Τέλος στην Ενότητα 11.4 αναπτύσσονται βασικές ιδιότητες και πράξεις στις Σειρές, όπως άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο, ομοιόμορφη συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση, αναλυτικότητα και μερομορφία. Στο Κεφάλαιο 12, ορίζεται η έννοια του ολοκληρωτικού υπόλοιπου και δίδονται αρκετά παραδείγματα. Στην Ενότητα 12.2 διατυπώνεται και αποδεικνύεται το Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων, η γενίκευση του και το Θεώρημα Αναπτύγματος Mi ag-leffler. Στη συνέχεια αναπτύσσεται μια σειρά από σημαντικές εφαρμογές αυτής της θεωρίας. Στην Ενότητα 12.3 υπολογίζονται γενικευμένα ολοκληρώματα ρητών Συναρτήσεων, στην 12.4

7 xi Ολοκληρώματα Fourier, στην 12.5 ολοκληρώματα πλειονότιμων συναρτήσεων, αφού εισαχθούν οι έννοιες του κλαδικού σημείου και των / κλαδικών τομών και στην Ενότητας 12.6 υπολογίζονται ορισμένα ολοκληρώματα Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων. Στην Ενότητα 12.7 παρουσιάζεται ο πολύ σημαντικός υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace. Στην Ενότητα 12.8 υπολογίζεται με απλό τόπο το άθροισμα σειρών συγκεκριμένης μορφής. Στην Ενότητα 12.9 αναπτύσσεται η αρχή ορίσματος, η οποία έχει ως συνέπεια αποτελέσματα σχετικά με την αρχή μεγίστου και αυτήν της σταθερής συνάρτησης. Στην Ενότητα αναπτύσσεται η εφαρμογή στη θεωρία Ευστάθειας και ειδικά στα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας καθώς και στη σχέση τους με την αρχή ορίσματος. Τέλος, στην Ενότητα αναπτύσσεται η έννοια του ολοκληρωτικού υπολοίπου στο άπειρο. Στο Κεφάλαιο 13, τέλος, κατ αρχήν αναπτύσσεται η έννοια της σύμμορφης απεικόνισης. Ξεκινούμε από την παρουσίαση ορισμένων βασικών μιγαδικών απεικονίσεων, όπως ο γραμμικός μετασχηματισμός w = az + b, ο τετραγωνικός μετασχηματισμός w = z 2, η αντίστροφη απεικόνιση w = z 1, η Εκθετική και η Λογαριθμική απεικόνιση. Στην Ενότητα 13.2 ορίζεται η σύμμορφη απεικόνιση και δίδονται βασικά παραδείγματα. Στη συνέχεια δίδονται οι πιο σημαντικές και χρήσιμες σύμμορφες απεικονίσεις. Στην Ενότητα 13.3 αναπτύσσονται οι ρητογραμμικοί μετασχηματισμοί ή Μετασχηματισμοί Möbius. Στην Ενότητα 13.4 εισάγονται οι μετασχηματισμοί Zhukovsky και Kármán-Tre z και συνδέονται με συγκεκριμένες εφαρμογές. Στην Ενότητα 13.5 παρουσιάζεται η βασική θεωρία του μετασχηματισμού Schwarz-Christoffel και δίδονται βασικές εφαρμογές. Τέλος, στην Ενότητα 13.6 αναπτύσσονται οι στοιχειώδεις σύμμορφες απεικονίσεις: ημιτονική συνάρτηση, συνημιτονική συνάρτηση, εφαπτομενική συνάρτηση, και οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις. Σε αυτό το Κεφάλαιο κατεβλήθη ιδιαίτερη προσπάθεια να υπάρχουν όλες οι απαραίτητες γραφικές παραστάσεις, λόγω του έντονου γεωμετρικού χαρακτήρα του αντικειμένου που αναπτύσσεται εδώ. Το βιβλίο περιέχει περίπου 300 αναλυτικά λυμένα Παραδείγματα, περίπου 230 Βιβλιογραφικές Αναφορές, 180 παραστατικά Σχήματα, 60 φωτογραφίες διακεκριμένων επιστημόνων με σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη των αντικειμένων του παρόντος συγγράμματος, και άνω των 1150 Προβλημάτων, αρκετά από τα οποία συνοδεύονται από τις απαντήσεις και/ή υποδείξεις επίλυσής τους. Όπου κρίνεται αναγκαίο γίνεται σύνδεση των μαθηματικών αποτελεσμάτων με το αντίστοιχο φυσικό ή άλλο φαινόμενο. Επίσης στις βασικές εξισώσεις γίνεται μια αναλυτική παρουσίαση της διαδικασίας Μαθηματικής προτυποποίησης, σε μια προσπάθεια κατανόησης της σύνδεσης των μεταβλητών και παραμέτρων του προβλήματος με τα επιμέρους στοιχεία του αντίστοιχου φαινομένου. Προαπαιτούμενες γνώσεις: για τον μελετητή αυτού του βιβλίου θεωρούνται τα θέματα, που αναπτύσσονται στα προπτυχιακά μαθήματα Λογισμού Μιας και Πολλών Μεταβλητών, Γραμμικής Άλγεβρας, Αναλυτικής Γεωμετρίας, Διανυσματικής Ανάλυσης, Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων, Σειρών και Μετασχηματισμών Fourier και Συνοριακών Προβλη-

8 xii μάτων. Ευχαριστίες: Το βιβλίο αυτό αναπτύχθηκε από τις σημειώσεις των μαθημάτων Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που έχω διδάξει τα τελευταία 30 χρόνια σε διάφορες Σχολές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου καθώς και στο Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης για αρκετά χρόνια. Γι αυτό θέλω να απευθύνω τις πρώτες ευχαριστίες μου στους πολυάριθμούς φοιτητές, που με πολύ υπομονή, κατανόηση, εύστοχες υποδείξεις, επιστημονικές ανησυχίες και νεανικό αυθορμητισμό, συνέβαλαν καθοριστικά στην παρούσα διαμόρφωση του ανά χείρας κειμένου. Στη συνέχεια θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους τους συναδέλφους από τον Τομέα Μαθηματικών της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών, καθώς και άλλες Σχολές του ΕΜΠ, που έτυχε κατά καιρούς άμεσα ή έμμεσα να συζητήσουμε θέματα σχετιζόμενα με το υλικό του ανά χείρας βιβλίου. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τον συνεργάτη μου Σταυρουλάκη Στυλιανό, που επιμελήθηκε με περισσή τέχνη τα σχεδιαγράμματα και τα Προγράμματα που αναπτύχθηκαν στο Α Μέρος, την κυρία Stefania Gulmini που επεξεργάστηκε άψογα τα σχέδια του Β Μέρους, το Δρ Δήμο Γκουνταρούλη για την πολύ σημαντική στήριξη που μου προσέφερε στη διαχείριση των κειμένων LATEX, την κυρία Ειρήνη Επταημέρου της «Angelakis Digital» για το πολύ ωραίο αποτέλεσμα της συνεργασίας μας, και τους ανθρώπους των εταιριών «MEDIA PRES, Γραφικές Τέχνες» και «Μοσχούρη Σταματία» για τον επαγγελματισμό και την απόλυτη συνέπεια που χειρίστηκαν το τελευταίο στάδιο της εκτύπωσης και βιβλιοδεσίας του ανά χείρας συγγράμματος. Αισθάνομαι επίσης την ανάγκη να εκφράσω τις άπειρες ευχαριστίες μου προς την οικογένεια μου για την υπομονή και την κατανόηση, που συνεχώς μου έδειχνε, αλλά και τη στήριξη, που κατά καιρούς χρειάστηκε να μου δώσει για την αποπεράτωση αυτού του έργου. Τέλος, προς όλους αυτούς που θα επιθυμούσαν να συμβάλλουν σε μια πληρέστερη και αρτιότερη εμφάνιση μιας μελλοντικής έκδοσης αυτού του συγγράμματος, αφού τους ευχαριστήσω προκαταβολικά, θα ήθελα να τους γνωρίσω ότι, μπορούν να στείλουν την όποια συμβολή τους στην ηλεκτρονική μου διεύθυνση. Νικόλαος Μ. Σταυρακάκης ή h p:// stavraka/ Αθήνα, 1 Μαρτίου Περισσότερα στοιχεία για το βιβλίο μπορείτε να βρείτε στην Ιστοσελίδα: h ps://service.eudoxus.gr/

9 >

10

11

12

13

14

15

16

17

18 ln, C

19

20

21 = = (, )

22 =,,,. ( ) (,, ) (,, ) = (,, ) (,, ) =,,

23 ( ) ( )

24 = + sin cos = + = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = + = / =( + ) + = = = =, C \{ } =

25 = = = = = = = = <, / < / = < = = < = ( ) = sin = >, / = / =sin = >, / = / =sin = >, ( / ) ( / ) =sin ( / ) < < ( / ), < < =sin < <, < < < =cos = cos ( ) >, sin( ) =cos = cos ( ) <, sin ( )

26 =cos =( + ) / = =cos = [, + ) =cos =( + ) (, ] =cos = =cos = = [, + ] : / < < / =tan :, = cosh > = +

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ

O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ 2018-2020 ƒπ à ª π ø ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής...5-7 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής...9 ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ANAΛΥΣΗ Ι 1) Πραγματικοί και φυσικοί αριθμοί -Αξιώματα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών -Τέλεια Επαγωγή 2) Ακολουθίες -Ορια ακολουθιών -Κριτήρια σύγκλισης -Ακολουθίες Cauchy

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ ) 5 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης Μαρτίου 4 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή Απριλίου 4 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4 Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες.............................

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 1) 4 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης 14 Φεβρουαρίου 014 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή 14 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΦΑΣΗ της από 3/4/2012 Συνεδρίασης του Δ.Σ. του Τμήματος Φυσικής. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) Για το 5ο εξάμηνο

AΠΟΦΑΣΗ της από 3/4/2012 Συνεδρίασης του Δ.Σ. του Τμήματος Φυσικής. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) Για το 5ο εξάμηνο ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) Ι. Ηλεκτρικό φορτίο-διατήρηση φορτίου-κβάντωση φορτίου-νόμος Coulomb-Ενέργεια συστήματος φορτίων-ηλεκτρικό πεδίο-κατανομές φορτίου-ροή, Νόμος Gauss. ΙΙ. Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί Lorentz 3. Δυναμική ενός σωματιδίου (Νόμοι της δυναμικής-ορμή-στροφορμήσυστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017

Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική ια- ϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Μ Ε). Η ιστοσελίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος 2015-2016 Κεφάλαιο 1ο Παράγραφοι: 1.1, 1.2 Κεφάλαιο 2ο Παράγραφοι: 2.3, 2.4 Κεφάλαιο 3ο Παράγραφοι: 3.1, 3.3 Κεφάλαιο 4ο Παράγραφοι: 4.1, 4.2 Κεφάλαιο 6ο Παράγραφοι:

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66 Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η. Σέρρες, 17 / 01 / 2014

Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η. Σέρρες, 17 / 01 / 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ & ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Σέρρες, 17 / 01 / 2014 Α Ν Α Κ Ο Ι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθµοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών Σ...

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Σ. ΑΝΔΡΕΑΔΑΚΗΣ Β. ΚΑΤΣΑΡΓΥΡΗΣ Σ. ΠΑΠΑΣΤΑΥΡΙΔΗΣ Γ. ΠΟΛΥΖΟΣ Α. ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Α έκδοση Μιγαδικών συναρτήσεων

Πρόλογος. Α έκδοση Μιγαδικών συναρτήσεων Πρόλογος Α έκδοση Μιγαδικών συναρτήσεων Οι Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής (Μ.Μ.Φ.) αποτελούν ένα αντικείµενο µε πολύ ευρύ περιεχόµενο. εν ϑα ήταν ίσως υπερβολή, αν έλεγε κανείς ότι σε τελευταία ανάλυση περιλαµβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN: 960-516-026-9 Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως:

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως: Γενικές π ληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Υπ ολογιστική μαθήματος: Υδραυλική με Εφαρμογές σε Υδραυλικά Έργα Πιστωτικές μονάδες: 5 Κωδικός μαθήματος: CE07_H05 Φόρτος εργασίας ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Προπτυχιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών Δομή Διάλεξης Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε καρτεσιανές συν/νες (οριακές συνθήκες σε επίπεδο). Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε σφαιρικές συν/νες (οριακές

Διαβάστε περισσότερα

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας. 1 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερμότητας Εστω είναι ανοικτό σύνολο του με γνωστή θερμοκρασία στο σύνορό του κάθε χρονική στιγμή και γνωστή αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο του Τότε οι φυσικοί νόμοι μας

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα