ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,"

Λάμεχ Ζάρκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. (3. μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων. Οριακής τιμής: Mf() = f (),. Μέσης τιμής: Af() = f() /, αμφότερα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. / 4 γ). Να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη. δ). Να βρεθεί γραφικά το όπου η συνάρτηση h() = f() έχει μέγιστο.. (3. μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση f(, ) = + 4, και το σημείο A : (0,0) α). Να υπολογιστεί ο ρυθμός υποκατάστασης που ορίζει η συνάρτηση στο σημείο. β). Να βρεθεί η εξίσωση της ισοσταθμικής που διέρχεται από το σημείο και να γίνει το γράφημά της. γ). Να βρεθεί το στάσιμο σημείο της συνάρτησης και να διερευνηθεί αν είναι ακρότατο. δ). Να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι:.ομογενής, [. οιονεί κοίλη]. Μέρος Β 3. (.8 μονάδες). α). Να δοθεί η αναλυτική μορφή μιας συνάρτησης που να έχει το γράφημα της συνάρτησης f() της άσκησης. β). Ένα μονοπώλιο παράγει ένα προϊόν με σταθερό οριακό κόστος και γραμμική συνάρτηση ζήτησης, μεγιστοποιώντας το κέρδος. Το κράτος αντιμετωπίζει δύο εναλλακτικές περιπτώσεις: A. Να φορολογήσει τα έσοδα με τον συντελεστή t. B. Να φορολογήσει τα κέρδη με τον ίδιο συντελεστή t. Σε ποια από τις δύο περιπτώσεις θα έχουμε μικρότερη παραγωγή; 4. (.8 μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση U(,) = ln + ln α) Να βρεθούν τα γραφήματα των ισοσταθμικών της, να διερευνηθεί αν είναι:. ομογενής,. ομοθετική, 3. οιονεί κοίλη, και να υπολογιστεί η ελαστικότητα υποκατάστασης που ορίζει στο τυχόν σημείο. β) Θεωρούμε τη λύση (, ) του προβλήματος: ma{u(, ) C= v+ w= c}, Να διαπιστωθεί ότι ο λόγος s = / είναι συνάρτηση του λόγου t= v / w, και να βρεθεί η ελαστικότητα αυτής της συνάρτησης. Να ερμηνευτεί το αποτέλεσμα με όρους της οικονομίας. [γ) Να διαπιστωθεί και να ερμηνευτεί η ισότητα των ελαστικοτήτων στο α) και στο β)

2 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Λύσεις Μέρος Α. (4 μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων. Οριακής τιμής: Mf() = f (),. Μέσης τιμής: Af() = f() /, αμφότερα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. γ). Να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη. / 4 δ). Να βρεθεί γραφικά το όπου η συνάρτηση h() = f() έχει μέγιστο. α). Είναι το σημείο όπου η ακτίνα εφάπτεται της εφαπτομένης. β). Στο διάστημα 0 / 4 είναι μηδενικά αμφότερα. Στη συνέχεια:. Η παράγωγος γίνεται άπειρη και μετά συνέχεια μικραίνει.. Η μέση τιμή αυξάνει μέχρι το σημείο ισοελαστικότητας και μετά μικραίνει. Τα δύο συμπίπτουν στο σημείο ισοελαστικότητας. γ). Η συνάρτηση αποτελείται από δύο κοίλα τμήματα, αλλά στο σημείο ένωσης η παράγωγος αυξάνει. Επομένως δεν είναι ούτε κοίλη ούτε κυρτή. δ). Στο μέγιστο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στη διαγώνιο. Mf() Af() ισοελαστικότητα ma{f() }. (4 μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση f(, ) = + 4, και το σημείο A : (0,0) α). Να υπολογιστεί ο ρυθμός υποκατάστασης που ορίζει η συνάρτηση στο σημείο. β). Να βρεθεί η εξίσωση της ισοσταθμικής που διέρχεται από το σημείο και να γίνει το γράφημά της. γ). Να βρεθεί το στάσιμο σημείο της συνάρτησης και να διερευνηθεί αν είναι ακρότατο. δ). Να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι:. ομογενής,. οιονεί κοίλη. d f α). {f = =, f = 4 = 4} = = = 0.5 : ρυθμός υποκατάστασης d f 4 β). Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο είναι f(0,0) = 0. Επομένως η ισοσταθμική είναι η μηδενική. Συμπληρώνοντας τα τετράγωνα βρίσκουμε:

3 + 4 = + + ( ) ( 4 4 4) = + + = ( ) ( ) 4 0 ( ) + ( ) = 5 κύκλος με κέντρο (,) και ακτίνα 5. γ). Το στάσιμο σημείο είναι: {f = = 0, f = 4 = 0} {=, = }, στο κέντρο της παραπάνω ισοσταθμικής. Ο Εσσιανός πίνακας: f f 0 Hf = f = = < 0, f f 0 είναι αρνητικά ορισμένος, διότι f = < 0και H f = ( )( ) = 4> 0. Επομένως το στάσιμο είναι μέγιστο. Παρατήρηση. Το συμπέρασμα προκύπτει και από το συμπλήρωμα τετραγώνων που φέρνει τη συνάρτηση στη μορφή: f(, ) = 5 ( ) ( ) δ). Η συνάρτηση δεν είναι ομογενής διότι είναι το άθροισμα δύο συναρτήσεων: (+ 4) + ( ) που είναι ομογενείς αλλά διαφορετικού βαθμού. Είναι οιονεί κοίλη διότι η πάνω σταθμική είναι το εντός του κύκλου (έχει μέγιστο στο κέντρο) που είναι μια κυρτή περιοχή. Μέρος Β 3. ( μονάδες). α). Να δοθεί η αναλυτική μορφή μιας συνάρτησης που να έχει το γράφημα της συνάρτησης f() της άσκησης. β). Ένα μονοπώλιο παράγει ένα προιόν με σταθερό οριακό κόστος για το οποίο η συνάρτηση ζήτησης είναι γραμμική, μεγιστοποιώντας το κέρδος. Το κράτος αντιμετωπίζει δύο εναλλακτικές περιπτώσεις: Α. Να φορολογήσει τα έσοδα με συντελεστή t. Β. Να φορολογήσει τα κέρδη με τον ίδιο συντελεστή t. Σε ποία από τις δύο περιπτώσεις θα έχουμε μικρότερη παραγωγή; Πώς θα αλλάξει η απάντηση αν γενικότερα το έσοδο R() είναι μια κοίλη συνάρτηση και το κόστος C() μια κυρτή συνάρτηση; α). Αρχίζοντας με τη συνάρτηση c που έχει το σωστό σχήμα, τη μεταφέρουμε δεξιά κατά: / 4 c / 4 Στη συνέχεια προσαρμόζουμε το c ώστε να έχει την τιμή: f() = c / 4 = c= / 3. Επομένως μία συνάρτηση με την παραπάνω μορφή θα ήταν η ορισμένη τμηματικά: 4 f() = 0 για 0 / 4, f() = 3 4 = 3 3 για / 4 α Αντί της μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οιαδήποτε συνάρτηση της μορφής με α<. Αυτό θα μας επέτρεπε να προσαρμόσουμε στο =, όχι μόνο το ύψος αλλά και την παράγωγο.

4 β). Έχουμε τις συναρτήσεις: Κόστος: C= C0 + αq με α> 0, Ζήτηση: P= β γq με β> 0,γ > 0 Έσοδο: R(Q) = QP= Q(β γq) = βq γq Θέτουμε s= t. Ο παραγωγός θα μεγιστοποιήσει:. Στην περίπτωση A το κέρδος: β α ΠA = sr(q) C(Q) sr (Q) C (Q) = s(β γq) α= 0 QA = γ γs. Στην περίπτωση B το κέρδος: β α ΠB = s[r(q) C(Q)] s[r (Q) C (Q)] = s[(β γq) α] = 0 QB = γ γ Στη περίπτωση A θα έχουμε μικρότερη παραγωγή, διότι: β α β α α α Q < A Q B s γ γs < γ γ γ < γs < : αληθεύει. Στη γενική περίπτωση οι δύο συνθήκες γράφονται: A : C (Q) = sr (Q), B : C (Q) = R (Q) Το αριστερό μέρος είναι η ίδια αύξουσα συνάρτηση. Στο δεξιό μέρος έχουμε μια φθίνουσα συνάρτηση που είναι μικρότερη στην A. Συμπεραίνουμε ότι η τομή θα είναι μικρότερη στο A. Επομένως η απάντηση παραμένει ίδια. sr R C 4. ( μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση U(,) = ln + ln α) Να βρεθούν τα γραφήματα των ισοσταθμικών της, να διερευνηθεί αν είναι:. ομογενής,.ομοθετική, 3. οιονεί κοίλη, και να υπολογιστεί η ελαστικότητα υποκατάστασης που ορίζει στο τυχόν σημείο. β) Θεωρούμε τη λύση (, ) ma{u(, ) C= v+ w= c}, του προβλήματος: Να διαπιστωθεί ότι ο λόγος s= / είναι συνάρτηση του λόγου t= v / w, και να βρεθεί η ελαστικότητα αυτής της συνάρτησης. Να ερμηνευτεί το αποτέλεσμα με όρους της οικονομίας. (γ). Να διαπιστωθεί και να ερμηνευτεί η ισότητα των ελαστικοτήτων στο α) και στο β);) c α). U= ln = c = e α c =, όπου α= e : θετική σταθερά. U c Οι ισοσταθμικές είναι υπερβολικές καμπύλες. Δεν είναι ομογενής, αλλά είναι ομοθετική, διότι είναι συνάρτηση της ομογενούς g(, ) = f = ln g. Είναι και οιονεί κοίλη διότι η πάνω σταθμική είναι κυρτή. Q A Q B

5 Για να βρούμε την ελαστικότητα υποκατάστασης βρίσκουμε πρώτα το ρυθμό υποκατάστασης και τον εκφράζουμε ως συνάρτηση του λόγου: /. Έχουμε: d U d = = = E d U = d Η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι το ανάστροφο του παραπάνω: σ= E = : σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης d d β). Η συνθήκη περιορισμένης στασιμότητας μας δίνει: U U v = = = s= t Ets= : σταθερή όπως και στο α). C C v w w Ερμηνεύοντας το πρόβλημα ως πρόβλημα κατανάλωσης δύο προϊόντων με τιμές (v,w), διαθέσιμο εισόδημα c και συνάρτηση χρησιμότητας τη δοθείσα U(,), συμπεραίνουμε ότι αν ο λόγος των τιμών v / w αυξηθεί κατά κάποιο ποσοστό, ο (αντίστροφος) λόγος / συμμετοχής των δύο προϊόντων στη κατανάλωση θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσοστό. γ). Οι δύο ελαστικότητες είναι ίσες διότι στη λύση (, ) ο ρυθμός υποκατάστασης d / d συμπίπτει με τον λόγο των τιμών v / w (στις ελαστικότητες το πρόσημο δεν παίζει ρόλο) Πράγματι έχουμε: d U C v = = = d U C w Επομένως: σ= E d / d( / ) = E v / w ( / )

Σχετικά έγγραφα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα