Υπολογιστική μελέτη σχηματισμού φυσαλίδων από μ-αγωγούς σε Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΧΗΜΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Υπολογιστική μελέτη σχηματισμού φυσαλίδων από μ-αγωγούς σε Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά Διπλωματική Εργασία Γεωργίου Α. Οικονόμου Υπεύθυνος Καθηγητής: Σ.Β. Παράς Επίβλεψη: ΥΔ Α.Δ. Πάσσος Θεσσαλονίκη 2016

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Τεχνολογίας Χημικών Εγκαταστάσεων του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης με επιβλέποντα τον Καθηγητή κ. Σπύρo Β. Παρά, στον οποίο οφείλω τις θερμότερες ευχαριστίες για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε κατά την ανάθεση του θέματος, την καθοδήγηση, την επιμονή του στην τελειότητα και την αμέριστη συμπαράστασή του κατά την εκπόνηση της διπλωματικής μου εργασίας. Εξίσου θα ήθελα να ευχαριστήσω την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια κ. Αικατερίνη Α. Μουζά για την καθοριστική συμβολή και βοήθειά της σε διάφορες κρίσιμες στιγμές. Ευχαριστώ, επίσης, τον κ. Άγη Πάσσο, υποψήφιο Διδάκτορα του Τμήματος Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ., για τη βοήθεια που μου προσέφερε στην εξοικείωσή μου με το κώδικα CFD και κυρίως για τη φιλότιμη βοήθειά του στα πάσης φύσεως τεχνικά προβλήματα. Πολλές ευχαριστίες οφείλω στους τεχνικούς του εργαστηρίου, κ. Φ. Λαμπρόπουλο και κ. Σ. Λέκκα για την τεχνική υποστήριξη στο πειραματικό τμήμα της εργασίας. Ακόμη, ευχαριστώ τους συναδέλφους και κυρίως φίλους, M. Γιαννακάκη, Σ. Ναμία και R. Tashi για την συμπαράστασή τους κατά τη διάρκεια αυτού του έτους και, τελειώνω με το βασικότερο σημείο αναφοράς μου, τους γονείς μου, τους οποίους ευχαριστώ για την ανεκτίμητη και άνευ όρων στήριξή τους.

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κίνητρο της παρούσας εργασίας απετέλεσε η ανάγκη κατανόησης και ερμηνείας των φαινομένων που επηρεάζουν το σχηματισμό των φυσαλίδων που δημιουργούνται σε στήλες φυσαλίδων με πορώδη κατανομέα της αέριας φάσης. Σκοπός της εργασίας είναι η υπολογιστική μελέτη του σχηματισμού φυσαλίδων από μ-αγωγούς οι οποίοι προσομοιάζουν με απλοποιητικό τρόπο δύο γειτονικούς πόρους του πορώδους κατανομέα. Για το σκοπό αυτό κατασκευάστηκε κατάλληλο μοντέλο με την χρήση Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (CFD). Αρχικά προσομοιώθηκε η δημιουργία φυσαλίδων από έναν μόνο μ- αγωγό και στη συνέχεια μελετήθηκε η δημιουργία και η αλληλεπίδραση των φυσαλίδων που σχηματίζονται από δύο γειτονικούς μ-αγωγούς. Ως υγρή φάση θεωρήθηκαν αφενός Νευτωνικά και αφετέρου μη-νευτωνικά ρευστά. Το υπολογιστικό μοντέλο επικυρώθηκε με δεδομένα που συλλέχθηκαν από αντίστοιχα πειράματα όπου ως Νευτωνικό ρευστό χρησιμοποιήθηκε νερό και ως μη-νευτωνικά υδατικά διαλύματα γλυκερίνης που περιείχαν κόμμι ξανθάνης. Αρχικά με την χρήση του επικυρωμένου υπολογιστικού μοντέλου πραγματοποιήθηκε σε Νευτωνικά ρευστά παραμετρική μελέτη με σκοπό να μελετηθεί η εξάρτηση του μεγέθους και του χρόνου αποκόλλησης των φυσαλίδων που δημιουργούνται από έναν μ- αγωγό από τις φυσικές ιδιότητες της υγρής φάσης, την εσωτερική διάμετρο του μ- αγωγού και την παροχή της αέριας φάσης. Βρέθηκε ότι με την αύξηση του ιξώδους και της επιφανειακής τάσης του υγρού ή της εσωτερικής διαμέτρου του μ-αγωγού προκύπτουν μεγαλύτερες φυσαλίδες. Ακόμη, πραγματοποιήθηκαν προκαταρκτικές προσομοιώσεις σε μη-νευτωνικά ρευστά οι οποίες έδειξαν ότι οι τιμές των μετρούμενων μεγεθών δεν διαφέρουν σημαντικά από αυτές των Νευτωνικών ρευστών σε ότι αφορά τον χρόνο αποκόλλησης και την ισοδύναμη διάμετρο των φυσαλίδων. Στη συνέχεια μελετήθηκε η αλληλεπίδραση μεταξύ δύο σχηματιζόμενων φυσαλίδων, ε- κτελώντας προσομοιώσεις σε δύο μ-αγωγούς τοποθετημένων σε μικρή απόσταση. Ο ε- μπορικός κώδικας όμως αδυνατεί να προσομοιώσει της παροχέτευση της υγρής φάσης ανάμεσα στις δύο σχηματιζόμενες φυσαλίδες και για το λόγο αυτό στα μη-νευτωνικά ρευστά προσδιορίστηκε η κατανομή του ρυθμού διάτμησης και κατ επέκταση του ιξώδους γύρω από φυσαλίδες που δημιουργούνται από ένα μόνο μ-αγωγό. Βρέθηκε ότι για όλα τα ρευστά που χρησιμοποιήθηκαν, οι τιμές που λαμβάνει ο ρυθμός διάτμησης αντι-

4 στοιχούν σε τιμές ιξώδους σημαντικά μεγαλύτερες από την τιμή του ασυμπτωτικού ιξώδους. Με βάση την παρατήρηση αυτή μπορούν να εξηγηθούν τα πειραματικά δεδομένα που έδειξαν ότι σε μη-νευτωνικά ρευστά δεν ευνοείται τη συνένωση. Η συμπεριφορά αυτή είναι όμοια με την αντίστοιχη των Νευτωνικών ρευστών με υψηλή τιμή ιξώδους και έτσι επιβεβαιώνεται η ιδέα ότι η συνένωση στα μη-νευτωνικά ρευστά δεν ευνοείται λόγω μεγάλων τιμών ιξώδους. Με βάση τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων διαμορφώθηκαν δύο νέοι συσχετισμοί που επιτρέπουν τον υπολογισμό του μεγέθους και του χρόνου αποκόλλησης της φυσαλίδας εάν είναι γνωστές οι ιδιότητες της υγρής φάσης, η παροχή του αερίου και η εσωτερική διάμετρος του ακροφυσίου.

5 ABSTRACT This work stems from the need to interpret the phenomena influencing bubble formation in bubble columns equipped with porous spargers. The aim of this work is to numerically investigate bubble formation from μ-tubes, which simulate through a simplified manner, the operation of the porous sparger in a bubble column and are used to study bubble interactions observed on the sparger surface. The numerical model constructed has been successfully validated by performing a series of relevant experiments, using deionized water as Newtonian liquid and aqueous glycerin solutions with a small amount of xanthan gum as typical shear-thinning non-newtonian liquids. Using the validated model the effect of the liquid phase physical properties, the inner diameter of the μ-tube and the volumetric gas flow rate, were examined on the bubble diameter and detachment time from a single μ-tube. It was found that with the increase of surface tension, viscosity or inner diameter bigger bubbles are produced from the μ-tube in Newtonian liquids. Also, some simulations were performed with the corresponding non-newtonian liquids and no big differences were observed in terms of bubble diameter and detachment time. With the results obtained from the simulations, two new correlations are exported, which allow the calculation of the bubble diameter and detachment time, if the physical properties of the liquid, the gas volumetric flow and the inner diameter are known. Also, the coalescence of bubbles formed from two adjacent μ-tubes into a static non- Newtonian liquid was investigated. The CFD code used failed to simulate the liquid film drainage between the two bubbles due to its restrictions. So, in order to overcome this obstacle simulations were performed with single bubbles formatting from one μ-tube. The CFD results reveal that the shear rate around an under-formation bubble attains relatively low values resulting to dynamic viscosity values 100% higher than the asymptotic value of the respective liquid. This finding confirms the notion that the low coalescence frequency found in our experiments may be attributed to high viscosity values a fact that is also encountered in bubble formation into highly viscous Newtonian liquids.

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Στήλες φυσαλίδων Δυνάμεις που επηρεάζουν το σχηματισμό μιας φυσαλίδας Ρεολογικές ιδιότητες Νευτωνικών - Μη νευτωνικών ρευστών Μοντέλο Herschel-Bulkley Διεπιφανειακά φαινόμενα ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Υπολογιστική ρευστοδυναμική (CFD) Προσομοίωση διφασικής ροής Προσέγγιση Euler-Euler Προσέγγιση Euler-Lagrange Μέθοδος VOF Προσομοίωση σχηματισμού φυσαλίδων Κατασκευή και αρχικές συνθήκες προσομοιώσεων Κατασκευή υπολογιστικού πλέγματος Χρησιμοποιούμενα ρευστά Πειραματική επικύρωση μοντέλου Αβεβαιότητα μετρήσεων Τεχνικές στατιστικής ανάλυσης ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Επίδραση ιξώδους Επίδραση της επιφανειακής τάσης Επίδραση της ογκομετρικής παροχής... 45

7 4.4. Επίδραση της εσωτερικής διαμέτρου του μ-αγωγού Συγκεντρωτικά αποτελέσματα Μελέτη σχηματισμού φυσαλίδων σε μη-νευτωνικά ρευστά Παραμετρική μελέτη Μελέτη συνένωσης φυσαλίδων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 62

8 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Λατινικοί χαρακτήρες C αριθμός Courant, - C d συντελεστής οπισθέλκουσας, - d 32 d b d p H id L P μέση διάμετρος Sauter φυσαλίδων, mm Ισοδύναμη διάμετρος φυσαλίδας, mm διάμετρος πόρου/μέση διάμετρος πόρων, mm ύψος της φυσαλίδας κατά τον κάθετο άξονα, mm εσωτερική διάμετρος μ-αγωγού, μm μήκος της φυσαλίδας κατά τον οριζόντιο άξονα, mm τριχοειδής πίεση, Ν/m Q παροχή αερίου, cm 3 /s r p t ακτίνα πόρου, mm χρόνος αποκόλλησης φυσαλίδας, s V όγκος φυσαλίδας, mm 3 u ταχύτητα εισόδου αερίου, m/s Ελληνικοί χαρακτήρες γ ρυθμός διάτμησης, s -1 ε G συγκράτηση αέριας φάσης, - μ δυναμικό ιξώδες, kg/(s.m) ρ πυκνότητα, kg/m 3 σ επιφανειακή τάση, N/m τ αδιάστατος χρόνος αποκόλλησης φυσαλίδας, -

9 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι στήλες φυσαλίδων είναι σημαντικές συσκευές επαφής υγρού αερίου. Η χρήση των στηλών εκτείνεται στις χημικές και βιοχημικές εφαρμογές, στις βιολογικές κατεργασίες καθώς και στην αποικοδόμηση της ενεργού ιλύος (ένα μη-νευτωνικό ψευδοπλαστικό ρευστό που περιέχει νερό, συστατικά αποβλήτων και βιομάζα). Η απουσία κινητών τμημάτων, που οδηγεί σε χαμηλή κατανάλωση ενέργειας, οι υψηλοί ρυθμοί μεταφοράς μάζας και ενέργειας είναι ιδιαίτερα πλεονεκτήματα που κατέχουν οι στήλες φυσαλίδων έ- ναντι των υπόλοιπων τύπων αντιδραστήρων (Passos et al., 2015). Μια σημαντική παράμετρος που καθορίζει την αποτελεσματικότητα μιας στήλης είναι η διαθέσιμη διεπιφάνεια υγρής-αέριας φάσης, η οποία με τη σειρά της είναι συνάρτηση του μεγέθους και του πλήθους των φυσαλίδων. Υπάρχουν διάφορα είδη κατανομέων της αέριας φάσης, όπως είναι ο πορώδης και ο διάτρητος δίσκος. Η χρήση των πορωδών κατανομέων, στην βάση των στηλών είναι σημαντική καθώς προσφέρουν πλεονεκτήματα έναντι των υπόλοιπων κατανομέων της αέριας φάσης. Πιο συγκεκριμένα, από τους πορώδεις κατανομείς προκύπτει μεγάλος αριθμός φυσαλίδων που διαθέτουν μικρό μέγεθος προσφέροντας μεγαλύτερη διαθέσιμη διεπιφάνεια υγρού-αερίου. Όμως, λόγω της περιορισμένης έρευνας σε στήλες με το συγκεκριμένο είδος κατανομέα, οι διαθέσιμες πληροφορίες που αφορούν την αλληλεπίδραση φυσαλίδων είναι περιορισμένες, όπως φαίνεται και από την βιβλιογραφική ανασκόπηση (Κεφάλαιο 2). Αναφέρεται ότι η κατανομή μεγέθους ε-

10 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 πηρεάζεται από φαινόμενα που συμβαίνουν είτε πάνω είτε στην περιοχή του κατανομέα (Mouza et al., 2005). Η πιθανή συνένωση μεταξύ φυσαλίδων οι οποίες σχηματίζονται από γειτονικές οπές, οδηγεί στον σχηματισμό μιας φυσαλίδας, προερχόμενη από γειτονικούς πόρους. Tα πειράματα τα οποία είναι προσανατολισμένα στην μελέτη των φαινομένων που συμβαίνουν στην επιφάνεια του κατανομέα είναι σημαντικά για την δημιουργία αυστηρών κριτηρίων που αφορούν την συνένωση και την διάσπαση των φυσαλίδων στο μικροσκοπικό επίπεδο (Delhaye & McLaughlin, 2003). Με στόχο να αποσαφηνιστεί ο μηχανισμός της συνένωσης μεταξύ δύο φυσαλίδων, σε προηγούμενη εργασία (Kazakis et al., 2008) πραγματοποιήθηκαν πειράματα στην μικροκλίμακα σε Νευτωνικά ρευστά στα οποία μελετήθηκε η συνένωση φυσαλίδων που σχηματίζονται από δύο γειτονικούς μ-σωλήνες. Βρέθηκε ότι η συχνότητα συνένωσης επηρεάζεται σημαντικά από την παροχή του αερίου και από το υγρό που χρησιμοποιείται, ενώ το μέγεθος της τελικής φυσαλίδας εξαρτάται από τον τύπο της συνένωσης. Με τα πειράματα αυτά εξετάζονται, με απλοποιημένο τρόπο, τα φαινόμενα που συμβαίνουν στην επιφάνεια ενός πορώδους κατανομέα που είναι εγκατεστημένος στην βάση μια στήλης φυσαλίδων, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο οι φυσαλίδες αλληλεπιδρούν στην συγκεκριμένη περιοχή. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνηθεί, χρησιμοποιώντας κώδικα Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (CFD), η επίδραση των φυσικών ιδιοτήτων της υγρής φάσης, της διαμέτρου του μ-αγωγού και της παροχής της αέριας φάσης στο σχηματισμό και τη συνένωση φυσαλίδων από μ-αγωγούς τόσο σε Νευτωνικά όσο και σε μη-νευτωνικά ρευστά. Η στρατηγική που ακολουθείται προκειμένου να επιτευχθεί ο σκοπός αυτός περιλαμβάνει: Την κατασκευή ενός υπολογιστικού μοντέλου και την πραγματοποίηση πειραμάτων για την πιστοποίηση της εγκυρότητας του μοντέλου αυτού (Κεφάλαιο 3). Προσομοιώσεις του σχηματισμού φυσαλίδων σε έναν μ-αγωγό με διαφορετικά Νευτωνικά ρευστά και σε μεγάλο εύρος παροχών, ώστε να μελετηθούν οι παράγο-

11 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 ντες που επηρεάζουν το μέγεθος και τον χρόνο αποκόλλησης των φυσαλίδων (Κεφάλαιο 4). Προσομοιώσεις για την μελέτη του φαινομένου της συνένωσης σε Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά (Κεφάλαιο 4). Η μελέτη του σχηματισμού φυσαλίδας σε έναν μ-σωλήνα περιλαμβάνει την μέτρηση της ισοδύναμης διαμέτρου της καθώς και του χρόνου αποκόλλησής της από το στόμιο του μ- σωλήνα. Πραγματοποιείται μελέτη της επίδρασης της επιφανειακής τάσης και του ιξώδους της υγρής φάσης, της εσωτερικής διαμέτρου του μ-σωλήνα καθώς και της παροχής του αερίου στα προαναφερθέντα μεγέθη. Επιπρόσθετα, μελετάται η συνένωση μεταξύ δύο φυσαλίδων από δύο γειτονικούς μ-αγωγούς, ένα φαινόμενο το οποίο είναι καθοριστικό για την κατανομή του μεγέθους των φυσαλίδων εντός μιας στήλης φυσαλίδων. Για την μελέτη της συνένωσης στις αντίστοιχες προσομοιώσεις χρησιμοποιούνται μ-αγωγοί εσωτερικής διαμέτρου 110μm, οι οποίοι τοποθετούνται σε απόσταση 200μm.

12 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2.1. Στήλες φυσαλίδων Οι στήλες φυσαλίδων χρησιμοποιούνται ως συσκευές διφασικής ροής σε χημικές, και βιοχημικές βιομηχανίες. Πιο συγκεκριμένα, αξιοποιούνται στην μεταλλουργία, σε υδρομεταλλουργικές διεργασίες αλλά και σε διεργασίες λυμάτων ως βιοχημικοί αντιδραστήρες. Παρέχουν σημαντικά πλεονεκτήματα σε ότι αφορά την λειτουργία και τη συντήρησή τους, όπως είναι οι υψηλοί ρυθμοί μεταφοράς θερμότητας και μάζας, τα κινητά μηχανικά μέρη και το χαμηλό κόστος λειτουργίας και συντήρησης. Οι στήλες φυσαλίδων μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην βιομηχανία σε διεργασίες όπου συνυπάρχουν υγρή και αέρια φάση (π.χ. απορρόφηση CO 2 από αμίνες, αλκυλίωση φαινολών με ισοβουτυλένιο και χλωρίωση αρωματικών υδρογονανθράκων), αλλά και ως συστήματα υγρού-αερίουστερεού (π.χ. υδρογόνωση βενζενίου σε κυκλοεξάνιο, παραγωγή μεθανόλης από αέριο σύνθεσης και παραγωγή υδρογονανθράκων από CO και ατμό). Οι στήλες φυσαλίδων παρουσιάζουν απλότητα σην κατασκευή τους και συνήθως αποτελούνται από ένα κατακόρυφο κυλινδρικό συνεχές, χωρίς εσωτερικά χωρίσματα, δοχείο (Σχήμα 1). με τον λόγο ύψους προς διάμετρο να κυμαίνεται μεταξύ 2 και 5 (Deckwer, 1992, Shah et al., 1982). Το αέριο τροφοδοτείται από την βάση της στήλης μέσω κατάλληλου κατανομέα ώστε να υπάρχει ομοιομορφία στην κατανομή των φυσαλίδων, ενώ η υγρή φάση μπορεί να τροφοδοτείται συνεχώς ή ασυνεχώς. Όταν υπάρχει συνεχής τρο-

13 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 5 φοδοσία της αέριας φάσης τότε μπορούν αν λειτουργούν σε ομορροή ή αντιρροή. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι δεν χρησιμοποιούνται μέσα ανάμιξης για την διασπορά της αέριας στην υγρή φάση. Σχήμα 1: Απλή στήλη φυσαλίδων με τις παροχές αερίου και υγρού σε είσοδο και έξοδο. Στα κυριότερα πλεονεκτήματα της στήλης συμπεριλαμβάνονται (Shah et al., 1982): Οι υψηλοί ρυθμοί μεταφοράς θερμότητας ανά όγκο αντιδραστήρα. Το μικρό κόστος εγκατάστασης. Η χρήση στερεών χωρίς την πρόκληση προβλημάτων διάβρωσης και λειτουργίας. Η δυνατότητα πραγματοποίησης αργών αντιδράσεων λόγω του μεγάλου χρόνου παραμονής της υγρής φάσης. Σε ότι αφορά τα κυριότερα μειονεκτήματα μιας στήλης (Deckwer, 1992, Shah et al., 1982): Η παρατηρούμενή συνένωση των φυσαλίδων οδηγεί σε μείωση της διεπιφάνειας μεταξύ υγρού και αερίου για την μεταφορά μάζας. Δύσκολος σχεδιασμός λόγω της πολύπλοκης υδροδυναμικής συμπεριφοράς και των πολλών παραμέτρων που πρέπει να προσδιοριστούν. Και στις δύο φάσεις μπορεί να παρατηρηθεί αναστροφή της ροής. Υπάρχει σχετικά υψηλή πτώση πίεσης. Βασικές σχεδιαστικές παράμετροι μιας στήλης φυσαλίδων είναι το κλάσμα κενού, δηλαδή το ποσοστό της αέριας στην υγρή φάση και η κατανομή μεγέθους φυσαλίδων, επειδή

14 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 6 από αυτές εξαρτάται η διαθέσιμη επιφάνεια επαφής μεταξύ υγρής και αέριας φάσης και κατ επέκταση η αποτελεσματικότητα μιας στήλης φυσαλίδων. Η διαθέσιμη διεπιφάνεια (α) δίνεται από την Εξ. 1: α = 6ε G d 32 (1) όπου, ε G το κλάσμα κενού και d 32 η μέση διάμετρος Sauter των φυσαλίδων. Η κατανομή αυτή επηρεάζεται με την σειρά της από το είδος του κατανομέα αέριας φάσης που επιλέγεται καθώς και την παροχή της αέριας φάσης και τις ιδιότητες της υγρής φάσης. Από τα διαφορετικά είδη κατανομέων που υπάρχουν, η χρήση του πορώδους κατανομέα (porous sparger) προσφέρει ένα πολύ σημαντικό πλεονέκτημα. Διαθέτει οπές διαμέτρου με τάξη μεγέθους μερικών μm από τις οποίες προκύπτουν περισσότερες και μικρότερες σε μέγεθος φυσαλίδες, που προσφέρουν μεγαλύτερη διεπιφάνεια εναλλαγής μεταξύ υγρού και αερίου. Οι φυσαλίδες που προκύπτουν έχουν ισοδύναμη διάμετρο φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη διάμετρο της οπής (Jakobsen, 2014). Ο πορώδης κατανομέας μπορεί να είναι κατασκευασμένος από μέταλλο, κεραμικό υλικό ή γυαλί (Σχήμα 2) και συγκριτικά με τον διάτρητο δίσκο ή το ακροφύσιο οδηγεί σε υψηλότερους συντελεστές μεταφοράς (Bouaifi et al. 2001). Το βασικό μειονέκτημα του πορώδους κατανομέα είναι απαίτηση για συχνό καθαρισμό του, καθώς λόγω του μικρού μεγέθους των οπών, αυτές φράζουν με μεγάλη συχνότητα (Deckwer, 1992, Hébrard et al. 1996). Σχήμα 2: Τυπικός πορώδης κατανομέας. Σε μια στήλη φυσαλίδων η πτώση πίεσης, το κλάσμα κενού και ο συντελεστής μεταφοράς εξαρτώνται από την περιοχή ροής που επικρατεί. Πρότυπο ή περιοχή ροής (flow re-

15 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 7 gime) ονομάζεται η γεωμετρική μορφή που μπορεί να λάβει η διεπιφάνεια μεταξύ των φάσεων μέσα στον αγωγό (Παράς, 2016). Η ανοδική κίνηση των φυσαλίδων εντός μιας στήλης μπορεί να διακριθεί σε δύο διαφορετικές περιοχές (Καζάκης, 2008), την ομογενή και την ετερογενή περιοχή. Είναι γενικά αποδεκτό ότι με βασικό κριτήριο την παροχή του αερίου παρατηρούνται δύο κύριες περιοχές ροής. Η ομογενής περιοχή ροής φυσαλίδων, η οποία συναντάται σε χαμηλές τιμές παροχής αερίου, χαρακτηρίζεται από φυσαλίδες μικρού μεγέθους. Οι φυσαλίδες σε αυτό το είδος της ροής είναι διακριτές σε όλο το μήκος της ροής και το κλάσμα κενού είναι ομοιόμορφο ακτινικά (Mouza et al., 2005). Η ετερογενής περιοχή συναντάται για υψηλότερες τιμές ογκομετρικής παροχής αερίου στην είσοδο μιας στήλης φυσαλίδων. Χαρακτηριστικό αυτού του είδους της ροής αποτελεί ο σχηματισμός μεγάλων αερίων μαζών, οι οποίες προκύπτουν από τη συνένωση μικρότερων φυσαλίδων. Οι μικρότερες αυτές φυσαλίδες, λόγω της μεγάλης δύναμης ορμής του αερίου αποκολλώνται σε σύντομο χρονικό διάστημα από τον πορώδη κατανομέα και με δεδομένο ότι διαθέτουν υψηλές ταχύτητες, συνενώνονται με τις φυσαλίδες που προπορεύονται σχηματίζοντας τις μεγάλες αέριες μάζες. Επομένως, το κλάσμα κενού ε G, αποκτά σχετικά μικρότερες τιμές (Mouza et al., 2005). Οι δύο αυτές περιοχές ροής διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τις υδροδυναμικές ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά μεταφοράς εντός της στήλης. Ανάλογα με το είδος του κατανομέα της αέριας φάσης που επιλέγεται καθώς και τις ιδιότητες του υγρού της στήλης και τα δύο είδη περιοχής ροής είναι δυνατόν να παρατηρηθούν με την μεταβολή της παροχής του αερίου (Mouza et al., 2005). Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται σχηματικά οι δύο περιοχές ροής που προαναφέρθηκαν. Πρέπει να σημειωθεί ότι η ομογενής περιοχή διαχωρίζεται στην περιοχή τέλειων φυσαλίδων για πολύ χαμηλές τιμές ογκομετρικής παροχής και στην περιοχή μη ομοιόμορφων φυσαλίδων για σχετικά υψηλότερες τιμές παροχής αερίου. Οι σημαντικότερες σχεδιαστικές παράμετροι μιας στήλης φυσαλίδων είναι (Deckwer, 1992; Shah et al., 1982): H περιοχή ροής (ομογενής ή ετερογενής). Tο κλάσμα κενού.

16 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 8 Tο μέγεθος και η κατανομή μεγέθους των φυσαλίδων και τα χαρακτηριστικά συνένωσής τους. Oι συντελεστές μεταφοράς μάζας και θερμότητας. H διεπιφάνεια μεταξύ υγρού-αερίου. (α) (β) (γ) Σχήμα 3: Περιοχές ροής: (α) ομογενής τέλειων φυσαλίδων, (β) ομογενής μη ομοιόμορφων φυσαλίδων και (γ) ετερογενής περιοχή (Hebrard et al., 1996). Συνήθως ο σχεδιασμός μιας στήλης φυσαλίδων βασίζεται στην χρήση εμπειρικών σχέσεων, οι οποίες όμως δεν είναι εφαρμόσιμες για συνθήκες λειτουργίας αρκετά διαφορετικές από αυτές στις οποίες προέκυψαν. Τέτοια σχέση για την πρόβλεψη του κλάσματος κενού στην ομογενή περιοχή για στήλες με πορώδη κατανομέα έχει διατυπωθεί από τους Mouza et al. (2005). Σχηματισμός φυσαλίδων Όπως προαναφέρθηκε, η κατανομή του μεγέθους των φυσαλίδων επηρεάζει σημαντικά διεπιφάνεια εναλλαγής μάζας και ενέργειας μεταξύ των δύο φάσεων στη στήλη φυσαλίδων. Η κατανομή αυτή εξαρτάται βασικά από το μέγεθος των δημιουργούμενων φυσαλίδων στην επιφάνεια του πορώδους κατανομέα, ειδικά για την περίπτωση της ομογενούς περιοχής όπου τα φαινόμενα συνένωσης και διάσπασης δεν κυριαρχούν Δυνάμεις που επηρεάζουν το σχηματισμό μιας φυσαλίδας Ο σχηματισμός μιας φυσαλίδας από έναν πόρο ή κατ επέκταση από έναν μ-σωλήνα ξεκινά όταν η πίεση της αέριας φάσης κάτω από τον πόρο λάβει μεγαλύτερες τιμές από

17 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 9 την υδροστατική πίεση πάνω από τον κατανομέα, αλλά και την τριχοειδή πίεση (capillary pressure) του πόρου, η οποία δίδεται από την Εξ. 2: ΔP = 2σ r p (2) όπου σ είναι η επιφανειακή τάση και r p είναι η διάμετρος της οπής. Κατά το στάδιο δημιουργίας μιας φυσαλίδας επιδρά ένα σύνολο από δυνάμεις, οι οποίες διαχωρίζονται ανάλογα με την κατεύθυνση που εφαρμόζονται. Επομένως, στις δυνάμεις που συγκρατούν την φυσαλίδα στο στόμιο του μ-σωλήνα ανήκουν κατά σειρά (Σχήμα 4): Αδράνεια: Οφείλεται στο βάρος της φυσαλίδας. Η δύναμη αυτή εκφράζει την α- δράνεια που αντιτίθεται στην αύξηση του μεγέθους της φυσαλίδας. Σημειώνεται ότι η πίεση του αερίου είναι τόσο μικρή ώστε να θεωρείται αμελητέα σε σχέση με τις υπόλοιπες δυνάμεις και για αυτό το λόγο θεωρείται ότι δε λαμβάνεται υπόψη στο ισοζύγιο ενέργειας (Snabre & Magnifotcham, 1998). Οπισθέλκουσα: Ασκείται κατά την κίνηση της φυσαλίδας από τα μόρια του υγρού. Στην περίπτωση στατικού υγρού ρευστού, η οπισθέλκουσα, F D, οφείλεται στην κίνηση της φυσαλίδας μέσα στο ρευστό. Η φορά της δύναμης είναι προς τα κάτω (αντίθετη της κίνησης της φυσαλίδας), είναι δηλαδή μια δύναμη που αντιτίθεται στην αποκόλληση της φυσαλίδας από τον μ-αγωγό. Δύναμη επιφανειακής τάσης: H δύναμη της επιφανειακής τάσης είναι η δύναμη που ασκεί το μ-αγωγό στη φυσαλίδα λόγω της επιφανειακής τάσης, σ, και αντιτίθεται στη μεταβολή της επιφάνειας της φυσαλίδας. Σχετικά με τις δυνάμεις που τείνουν να αποκολλήσουν την φυσαλίδα από το στόμιο, σε αυτές ανήκουν κατά σειρά: Άνωση: Ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου ρευστού και οφείλεται στη διαφορά πυκνοτήτων του αερίου με το υγρό. Ορμή: Λόγω της ταχύτητας ροής του αερίου στην είσοδο. Πίεση: Η δύναμη αυτή εκφράζει τη δύναμη που ασκείται στη φυσαλίδα λόγω της διαφοράς μεταξύ της πίεσης στο εσωτερικό της φυσαλίδας και της μέσης πίεσης του υγρού

18 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 10 Σχήμα 4: Στάδια διαδικασίας σχηματισμού φυσαλίδας. Προκειμένου να καταστεί πιο κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο αυτές οι δυνάμεις επηρεάζονται, παρουσιάζονται αναλυτικά οι σχέσεις από τις οποίες καθορίζονται οι παραπάνω δυνάμεις: i. Άνωση: F b = (ρ ρ g )gv (3) ii. Δύναμη ορμής: F g = π 4 d p 2 ρ g W g 2, W g = 4 Q πd p 2 (4) iii. Δύναμη πίεσης: F p = π 4 d p 2 (P g P) (5) iv. Οπισθέλκουσα: F d = 1 πd2 ρw2 C 2 4 d, C d (μ) (6) v. Αδράνεια: F i = (a + ρ g ) ρvg (7) ρ vi. Δύναμη επιφανειακής τάσης: F σ = πd a σ (8) όπου ρ, ρ g οι πυκνότητες του υγρού και του αερίου αντίστοιχα, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, α είναι η μέση επιτάχυνση της βαρύτητας, V o όγκος της φυσαλίδας, d p η διάμετρος της οπής, W g το βάρος της φυσαλίδας, Q η ογκομετρική παροχή στην είσοδο της οπής/μ-σωλήνα, P g και P η πίεση του αερίου και του περιβάλλοντος υγρού αντίστοιχα, C d ο συντελεστής οπισθέλκουσας λόγω της αντίστασης που προβάλλουν τα μόρια του υ- γρού κατά την σχετική κίνηση της φυσαλίδας εντός του υγρού και σ η επιφανειακή τάση του χρησιμοποιούμενου υγρού. Ο σχηματισμός μιας φυσαλίδας είναι μια διαδικασία η οποία αποτελείται από δύο στάδια, το στάδιο διόγκωσης και το στάδιο αποκόλλησης. Στο πρώτο στάδιο, αυτό της διόγκωσης, η φυσαλίδα είναι σφαιρική και παραμένει προσκολλημένη στο στόμιο του μ- σωλήνα αυξάνοντας διαρκώς το μέγεθός της με την συνεχή παροχή αερίου. Το στάδιο

19 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 11 αυτό διαρκεί όσο των σύνολο των δυνάμεων που τείνουν να διατηρούν προσκολλημένη την φυσαλίδα στον πόρο είναι μεγαλύτερο από το σύνολο των δυνάμεων που τείνουν να αποκολλήσουν την φυσαλίδα (Σχήμα 4). Στο δεύτερο στάδιο αυτό της αποκόλλησης από την οπή/μ-σωλήνα, το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται προς τα πάνω είναι αποκτά μεγαλύτερη τιμή από το αντίστοιχο άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται προς τα κάτω. Μέγεθος φυσαλίδας Οι Martin et al. (2011) αναφέρουν ότι το μέγεθος των φυσαλίδων είναι ανεξάρτητο από την τιμή της ογκομετρικής παροχής που αντιστοιχεί σε ταχύτητα μεγαλύτερη των 0.3m/s για μια συγκεκριμένη εσωτερική διάμετρο μ-σωλήνα. Επίσης, έχει μελετηθεί η επίδραση των ιδιοτήτων του υγρού που περιβάλει την υπό σχηματισμό φυσαλίδα, καθώς και της διαμέτρου του μ-σωλήνα. Συγκεκριμένα, έχει μελετηθεί η επίδραση του ιξώδους, της ε- πιφανειακής τάσης και της πυκνότητας του υγρού στον χρόνο αποκόλλησης και στον ό- γκο που αποκτά η φυσαλίδα την στιγμή της αποκόλλησης (Martin et al., 2011). Όσα προαναφέρονται αφορούν τον σχηματισμό μιας φυσαλίδας από έναν μ-αγωγό. Όμως, τα φαινόμενα συνένωσης λαμβάνουν χώρα απευθείας στην επιφάνεια του πορώδους κατανομέα. Οι φυσαλίδες που παράγονται αλληλοεπιδρούν είτε κατά τον σχηματισμό τους είτε την στιγμή που αποκόπτονται από τον κατανομέα, με αποτέλεσμα η κατανομή μεγέθους να διαφοροποιείται ακόμη και ελάχιστα εκατοστά πάνω από τον κατανομέα. Επομένως, πραγματοποιείται μέτρηση της κατανομής του μεγέθους των φυσαλίδων λίγα εκατοστά (3-4cm) άνω του πορώδους κατανομέα (Mouza et al., 2005), ώστε να προσδιοριστεί η αλλαγή της κατανομής του μεγέθους των φυσαλίδων σε σχέση με την επιφάνεια των πόρων από του οποίους και προκύπτουν. Έτσι, κρίθηκε απαραίτητο η μελέτη να εντοπιστεί στην επιφάνεια του πορώδους κατανομέα (Καζάκης, 2008) Ρεολογικές ιδιότητες Νευτωνικών - Μη νευτωνικών ρευστών Όπως προαναφέρθηκε η εργασία αφορά τη μελέτη του σχηματισμού και της συνένωσης φυσαλίδων σε μ-αγωγούς και χρησιμοποιούνται Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά. Παρακάτω παρατίθενται οι ρεολογικές ιδιότητες τόσο των Νευτωνικών όσο και των μη- Νευτωνικών ρευστών, ενώ γίνεται και μια κατηγοριοποίηση των τελευταίων.

20 Με βάση το (Σχήμα 5) παρατηρείται γραμμικότητα μεταξύ της διατμητικής τάσης (τ) και του ρυθμού διάτμησης (γ), δηλαδή το ιξώδες είναι σταθερό και ανεξάρτητο του μεγέθους του ρυθμού διάτμησης (γ). Τα Νευτωνικά ρευστά αποτελούνται από μικρά ισοτροπικά μόρια (συμμετρικά στο σχήμα και στις ιδιότητες), τα οποία δεν προσανατολίζονται ανάλογα με την ροή. Όμως είναι δυνατόν να παρατηρηθεί Νευτωνική συμπεριφορά και από υγρά με ανισοτροπικά μόρια, ανεξάρτητα από τις τιμές του ρυθμού διάτμησης, ενώ άλλα ρευστά σε πολύ χαμηλές τιτ, Pa 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 12 Τα Νευτωνικά ρευστά έλαβαν την ονομασία τους από τον Νεύτωνα που περιέγραψε την ρεολογική συμπεριφορά των ρευστών τα οποία παρουσιάζουν μια γραμμική εξάρτηση μεταξύ της διατμητικής τάσης (shear stress) και του ρυθμού διάτμησης (shear rate). Η εξάρτηση αυτή περιγράφεται με μια σχέση, γνωστή ως νόμο τον Νεύτωνα σύμφωνα με την οποία: τ = μ. γ (9) Η σταθερά αναλογίας μ, της Εξ. 9, είναι το δυναμικό ιξώδες το οποίο συνήθως μετριέται σε mpa.s και παρουσιάζεται στο Σχήμα 5. H διατμητική τάση μετριέται σε mpa, ενώ ο ρυθμός διάτμησης μετριέται σε s -1. Στα Νευτωνικά ρευστά συγκαταλέγονται το νερό, το μέλι καθώς και διάφοροι οργανικοί διαλύτες. γ, s -1 Σχήμα 5: Εξάρτηση της διατμητικής τάσης από τον ρυθμό διάτμησης σε Νευτωνικό ρευστό.

21 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 13 μές ιξώδους καταγράφεται επίσης Νευτωνική συμπεριφορά. Τέτοιες περιπτώσεις είναι τα διαλύματα πολυμερών και πρωτεϊνών. Ένα ρευστό ονομάζεται μη-νευτωνικό όταν η καμπύλη που παρουσιάζει την σχέση μεταξύ ρυθμού διάτμησης και διατμητικής τάσης δεν είναι ευθύγραμμη. Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση που το ιξώδες δεν είναι σταθερό για συγκεκριμένες τιμές θερμοκρασίας και πίεσης, αλλά αντίθετα διαφοροποιείται ανάλογα με τις συνθήκες ροής όπως είναι η γεωμετρία και ο ρυθμός διάτμησης που αναπτύσσεται εντός του ρευστού. Δύο είναι οι κύριες κατηγορίες μη-νευτωνικών ρευστών και οι οποίες θα αναλυθούν παρακάτω, τα διασταλτικά (shear thickening) και τα ψευδοπλαστικά (shear thinning). Στα διασταλτικά ρευστά όπως και στα ψευδοπλαστικά η διατμητική τάση για μηδενικό ρυθμό διάτμησης είναι επίσης μηδέν. Στα διασταλτικά ρευστά το ιξώδες δεν αυξάνεται γραμμικά με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης. Η συμπεριφορά αυτή συναντάται σε εναιωρήματα στερεών, όπου για χαμηλούς ρυθμούς διάτμησης το υγρό που βρίσκεται ανάμεσα στα στερεά εμποδίζει την εμφάνιση υψηλής τάσης, ενώ με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης τα στερεά τμήματα διαστέλλονται ελαφρώς και το διαθέσιμο ρευστό δεν είναι αρκετό για την λίπανση των στερεών κατά την κίνησή τους με αποτέλεσμα την αύξηση του φαινομενικού ιξώδους. Παρόμοια συμπεριφορά έχει καταγραφεί και σε ε- ναιωρήματα ρυζιού. Ο όρος διασταλτικά χρησιμοποιείται για όλα τα ρευστά στα οποία καταγράφεται αύξηση του φαινομενικού ιξώδους με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης, ακόμη και αν δεν υπάρχει διαστολή με τον ρυθμό διάτμησης. Τα διαθέσιμα βιβλιογραφικά δεδομένα είναι περιορισμένα, καθώς τα διασταλτικά ρευστά δεν χρησιμοποιούνται εκτενώς στην χημική βιομηχανία. Τα ρευστά τα οποία συναντώνται συχνότερα στις διάφορες εφαρμογές και μελέτες είναι τα ψευδοπλαστικά (shear-thinning) μη-νευτωνικά ρευστά. Τα ψευδοπλαστικά ρευστά χαρακτηρίζονται από την τιμή του φαινομενικού ιξώδους, ( η = τ γ ), το οποίο και μειώνεται με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης γ. Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται η συμπεριφορά των ρευστών που προαναφέρθηκαν. Παρατηρείται ότι η διατμητική τάση, σε αντίθεση με την συμπεριφορά στο Σχήμα 5 για τα Νευτωνικά ρευστά, δεν αυξάνεται γραμμικά με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης στα μη-νευτωνικά ρευστά.

22 Διατμητική τάση 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 14 Ιξωδοπλαστικό Πλαστικό Bingham Διασταλτικό ρευστό Ψευδοπλαστικό Νευτωνικό ρευστό Σχήμα 6: Μεταβολή διατμητικής τάσης με τον ρυθμό διάτμησης (Chhabara, 2006). Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται η τυπική κατανομή ενός ψευδοπλαστικού ρευστού. Παρατηρείται ότι για πολύ χαμηλές ή αντίστοιχα πολύ χαμηλές τιμές ρυθμού διάτμησης, το φαινομενικό ιξώδες παραμένει σταθερό και επομένως το ψευδοπλαστικό ρευστό συμπεριφέρεται ως ένα Νευτωνικό ρευστό για αυτές τις τιμές ρυθμού διάτμησης. Το ιξώδες του ρευστού μειώνεται από μ ο (Εξ. 10) έως μ (Εξ. 11) με τον ρυθμό διάτμησης. Όμως, οι περιοχές πολύ χαμηλού η πολύ υψηλού ρυθμού διάτμησης δεν είναι εύκολο να μελετηθούν καθώς οι τιμές αυτές προσεγγίζονται κυρίως θεωρητικά. lim γ 0 τ γ lim γ τ γ Ρυθμός διάτμησης = μ 0 (Ιξώδες μηδενικού ρυθμού διάτμησης) (10) = μ (Ιξώδες άπειρου ρυθμού διάτμησης) (11) Το φαινομενικό ιξώδες των ρευστών αυτών επομένως σταδιακά μειώνεται, δηλαδή το ρευστό γίνεται πιο λεπτόρρευστο (shear thinning), για αυξανόμενο ρυθμό διάτμησης και τείνει να λάβει μία σταθερή τιμή για υψηλές τιμές του ρυθμού διάτμησης (Σχήμα 7).

23 μ, mpa.s 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 15 Η πλειοψηφία των μη-νευτωνικών ρευστών παρουσιάζουν ψευδοπλαστική συμπεριφορά υπό τις κατάλληλες συνθήκες, με χαρακτηριστικό παράδειγμα τα πολυμερικά διαλύματα. Γενικά το εύρος των τιμών του ρυθμού διάτμησης για τις οποίες το φαινομενικό ιξώδες παραμένει σταθερό, αυξάνεται όταν το μοριακό βάρος της διαλυμένης ουσίας στο υδατικό διάλυμα ή η συγκέντρωσή της μειώνεται. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν ορισμένα διαλύματα πολυμερών, αιωρήματα αμύλου, η μαγιονέζα, η σοκολάτα, το γιαούρτι, και τα υδατικά διαλύματα κόμμεος ξανθάνης κ.α. Νευτωνικό γ, s -1 Ψευδοπλαστικό Σχήμα 7: Κατανομή ιξώδους με την μεταβολή του ρυθμού διάτμησης σε ένα ψευδοπλαστικό ρευστό (Kontopoulou, 2011) Μοντέλο Herschel-Bulkley Με το πέρασμα των χρόνων έχουν προταθεί διαφορετικά μοντέλα για την περιγραφή της ψευδοπλαστικής συμπεριφοράς των διαφόρων μη-νευτωνικών ρευστών. Στην παρούσα εργασία για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιείται το μοντέλο Herschel-Bulkley. Το μοντέλο αυτό πρόκειται για μια γενίκευση του μοντέλου Bingham και χρησιμοποιείται για τα μη Νευτωνικά ρευστά τα οποία παρουσιάζουν οριακή διατμητική τάση (τ ο ) για μηδενική τιμή του ρυθμού διάτμησης (Viscoplastic fluid). Στο μοντέλο Herschel-Bulkley (Εξ. 12 & 13), σε αντίθεση με το μοντέλο Bingham, η γραμμική εξάρτηση του ρυθμού διάτμησης από την διατμητική τάση αντικαθίσταται από εκθετική εξάρτηση. Πιο συγκεκριμένα ισχύει, n τ = τ 0 + k γ τ > τ 0 (12) γ = 0 τ < τ 0 (13) όπου, όπου τ η διατμητική τάση (Pa), τ ο οριακή διατμητική τάση (Pa), γ ο ρυθμός διάτμησης (s -1 ), k αδιάστατη σταθερά και n ο εκθετικός παράγοντας (Galdi, 2008).

24 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 16 Το μοντέλο είναι αρκετά ευέλικτο συγκριτικά με άλλα διαθέσιμα μοντέλα (Bingham, Casson) περιγραφής της συμπεριφοράς ψευδοπλαστικών ρευστών και μπορεί να γίνει προσαρμογή του (fitting) σε πειραματικά δεδομένα που έχουν ληφθεί υπό μεγάλο εύρος συνθηκών Διεπιφανειακά φαινόμενα Επιφανειακή τάση Στις διεπιφάνειες υγρού-αερίου η επιφανειακή τάση προκύπτει από τις αναπτυσσόμενες δυνάμεις συνοχής μεταξύ των μορίων του υγρού, οι οποίες είναι εντονότερες από τις α- ντίστοιχες δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των μορίων του υγρού και του αέρα (λόγω της δύναμης προσρόφησης). Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι μια δύναμη η ο- ποία έχει φορά προς το εσωτερικό της επιφάνειας, λόγω της οποίας το ρευστό συμπεριφέρεται σαν να διέθετε ελαστική μεμβράνη στην επιφάνειά του. Επομένως, η επιφάνεια βρίσκεται υπό τάση λόγω αυτών των μη ομοιόμορφων δυνάμεων που ασκούνται. Με δεδομένες τις υψηλές τιμές των δυνάμεων συνοχής μεταξύ των μορίων του, το νερό παρουσιάζει υψηλή τιμή επιφανειακής τάσης συγκριτικά με τα περισσότερα γνωστά υγρά. Η επιφανειακή τάση είναι ένας πολύ σημαντικός παράγοντας για στα τριχοειδή φαινόμενα (Lambert, 2013). Προκειμένου να επιτευχθεί η επέκταση του εμβαδού της διεπιφάνειας, μεταφέρονται μόρια από το εσωτερικό του υγρού στην επιφάνεια. Αυτό όμως απαιτεί την κατανάλωση έργου έναντι των συνεκτικών (cohesive) διαμοριακών δυνάμεων του υγρού, με αποτέλεσμα, η γραμμομοριακή ελεύθερη ενθαλπία στην διεπιφάνεια να είναι μεγαλύτερη από εκείνη στο εσωτερικό της υγρής φάσης. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η επιφανειακή τάση είναι μια πρόσθετη ελεύθερη ενθαλπία της διεπιφάνειας. Στο διεθνές σύστημα SI οι μονάδες είναι J/m 2 ή Kg/s 2 ή Ν/m. Όπως φαίνεται και από τις μονάδες, αυτή η πρόσθετη ελεύθερη ενθαλπία ανά μονάδα επιφανείας είναι, επίσης, μια δύναμη ανά μονάδα μήκους (Σχήμα 8). Έτσι, μπορεί να εξηγηθεί ο λόγος για τον οποίο οι σταγόνες λαδιού μέσα σε νερό λαμβάνουν σφαιρικό σχήμα. Το σύστημα τείνει να ελαχιστοποιήσει την ελεύθερη ενέργεια της επιφάνειας του (Παναγιώτου, 1998). Σε μια φυσαλίδα η επιφανειακή τάση προκαλείται από την επίδραση μη ομοιόμορφων δυνάμεων από τα μόρια του υ- γρού στην επιφάνεια της φυσαλίδας (Yuan, 2013).

25 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 17 Σχήμα 8: Οι ελκτικές δυνάμεις μεταξύ των μορίων στην επιφάνεια και στο εσωτερικό ενός υγρού. Σχήμα 9: Επίδραση της επιφανειακής τάσης στην επιφάνεια φυσαλίδας (Yuan, 2013). Γωνιά επαφής (Contact angle) Πολλές φορές μία φάση διαχωρίζεται από τις γειτονικές της φάσεις με περισσότερες από μία διεπιφάνειες (διεπιφάνειες υγρού-αερίου, στερεού-υγρού, υγρού-υγρού, κ.λ.π.). Στην περίπτωση που μια σταγόνα αποτεθεί σε μία επίπεδη μεταλλική επιφάνεια στο σύστημα διαμορφώνονται τρεις διεπιφάνειες: μια υγρού-αερίου, μια υγρού-στερεού, και μια στερεού-αερίου. Κάθε μία από αυτές τις διεπιφάνειες χαρακτηρίζεται από μία διεπιφανειακή τάση σ αβ, όπου οι δείκτες α και β δηλώνουν τις διαχωριζόμενες φάσεις α και β (Παναγιώτου, 1998). Το συγκεκριμένο σχήμα, το οποίο θα λάβει η σταγόνα του υγρού κατά την εναπόθεσή της πάνω σε μία στερεή επιφάνεια, εξαρτάται (μη λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση της βαρύτητας) από τα σχετικά μεγέθη των διεπιφανειακών τάσεων σ αβ οι οποίες καθορίζονται με τη σειρά τους από τις σχετικές εντάσεις των διαφόρων διαμοριακών αλληλεπιδράσεων. Σε περίπτωση που τα μόρια του υγρού έλκονται περισσότερο από τα μόρια του στερεού απ ότι μεταξύ τους, τότε το υγρό εξαπλώνεται (spreads) ή διαβρέχει (wets)

26 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 18 τη στερεά επιφάνεια και τότε η συγκεκριμένη επιφάνεια θεωρείται υδρόφιλη. Στην περίπτωση που η διαφορά μεταξύ των διαμοριακών δυνάμεων υγρού-στερεού και υγρούυγρού είναι σημαντική τότε το υγρό εξαπλώνεται πλήρως (complete wetting) στο στερεό μέχρι σχηματισμού ενός μονομοριακού στρώματος. Αυτό, παραδείγματος χάριν, συμβαίνει, κατά την εναπόθεση μίας μικρής σταγόνας νερού πάνω σε πολύ καθαρή γυάλινη επιφάνεια. Στην άλλη οριακή περίπτωση, που οι μεταξύ των μορίων του υγρού διαμοριακές δυνάμεις είναι σημαντικά μεγαλύτερες απ ότι μεταξύ των μορίων υγρού-στερεού η διεπιφάνεια στερεού-υγρού τείνει στο μηδέν. Το στερεό τότε είναι πλήρως αδιάβροχο από το υγρό και η επιφάνεια θεωρείται υδρόφοβη (Παναγιώτου, 1998). Φυσικά δεν συναντώνται μόνο οι παραπάνω ακραίες καταστάσεις διαβροχής, αλλά υ- πάρχουν και ενδιάμεσες καταστάσεις μερικής διαβροχής. Σ αυτές, η σταγόνα του υγρού σχηματίζει μία γωνία ισορροπίας με τη στερεά επιφάνεια μεταξύ 0 ο και 180 ο γνωστή σαν γωνία επαφής (contact angle) ή γωνία διαβροχής (wetting angle). Στο Σχήμα 10 παρουσιάζονται τρεις τυπικές περιπτώσεις οι οποίες είναι κατά σειρά: οξεία, ορθή και αμβλεία γωνία επαφής. Η γωνία επαφής μιας υγρής σταγόνας με στερεά επιφάνεια μετράται πάντοτε από την πλευρά του υγρού (Παναγιώτου, 1998). Σχήμα 10: Τρεις τυπικές περιπτώσεις γωνιών επαφής. Επομένως μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι η γωνία επαφής οφείλεται στην πρόσθετη ελεύθερη ενέργεια του συστήματος λόγω της παρουσίας διεπιφανειών, ο ίδιος, δηλαδή, λόγος που προκαλεί την εμφάνιση της επιφανειακής τάσης. Η γωνία επαφής και η επιφανειακή τάση είναι δύο άρρηκτα συνδεδεμένα μεγέθη, όχι όμως ταυτόσημα ή ι- σοδύναμα (Παναγιώτου, 1998). Φαινόμενα διαβροχής Η κάθε σχηματιζόμενη διεπιφάνεια χαρακτηρίζεται από μια διεπιφανειακή τάση. Πιο συγκεκριμένα, η διεπιφάνεια υγρού-αερίου έχει διεπιφανειακή τάση γ lg, η διεπιφάνεια υγρού- στερεού γ ls και η διεπιφάνεια αερίου-στερεού εμφανίζει τάση γ gs. To σχήμα της

27 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 19 σταγόνας στην ισορροπία καθορίζεται από το μέγεθος αυτών των τάσεων. Οι τρεις αυτές δυνάμεις δρουν ανά μονάδα μήκους της διαβρεχόμενης περιμέτρου και είναι εφαπτόμενες των αντίστοιχων διεπιφανειών. Η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών στην ισορροπία πρέπει να ισούται με μηδέν. Όμως, με δεδομένο ότι το σημείο εφαρμογής των τριών αυτών δυνάμεων δεν μετακινείται εκτός της στερεής επιφάνειας και δεν αποσπάται από αυτήν, λαμβάνονται οι προβολές των δυνάμεων αυτών στην στερεή επιφάνεια (Σχήμα 11). Όπως προαναφέρθηκε, η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών πρέπει να είναι μηδέν. Έτσι προκύπτει η ακόλουθη σχέση (Εξ. 14) η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Young για την γωνία επαφής: γ gs = γ ls + γ lg cos θ (14) Σχήμα 11: Ορισμός γωνίας επαφής. Η ποσότητα cos θ ονομάζεται διαβροχή (wetting) και λαμβάνει τιμές από +1 (πλήρης διαβροχή) έως -1 (πλήρως αδιάβροχη επιφάνεια). Με βάση την Εξ. 14, για υγρά με χαμηλή επιφανειακή τάση γ lg η στερεή επιφάνεια διαβρέχεται σε μεγάλη έκταση, γεγονός το ο- ποίο δηλώνει υψηλή τιμή cos θ και μικρή γωνία θ. Έτσι, για cos θ > 0 η επιφάνεια είναι υδρόφιλη για το σύστημα υγρό-στερεό και στην περίπτωση αυτή ισχύει γ gs > γ ls. Για μια υδρόφοβη επιφάνεια ισχύει αντίστοιχα γ gs < γ ls (Παναγιώτου, 1998).

28 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Για τις ανάγκες της μελέτης του σχηματισμού φυσαλίδων από μ-αγωγούς πραγματοποιήθηκε μια σειρά από προσομοιώσεις, με την χρήση υπολογιστικού πακέτου, σε Νευτωνικά ρευστά, όπου εξετάστηκε τόσο η επίδραση της γεωμετρίας του μ-αγωγού, όσο και η επίδραση των ιδιοτήτων των χρησιμοποιούμενων ρευστών. Ακόμη, πραγματοποιήθηκαν πειράματα με Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά με σκοπό να πιστοποιηθεί η εγκυρότητα του χρησιμοποιούμενου κώδικα, αφού πρώτα δημιουργήθηκε η κατάλληλη πειραματική διάταξη. Επιπλέον, μελετήθηκε ο τρόπος με τον οποίο δύο φυσαλίδες αλληλεπιδρούν όταν προέρχονται από γειτονικούς μ-αγωγούς σε μη-νευτωνικά ρευστά, όμως περιγραφή της συγκεκριμένης διάταξης αλλά και του τρόπου με τον οποίο η συνένωση δύο φυσαλίδων μελετήθηκε τελικά, γίνεται στο Κεφάλαιο 4. Τα φαινόμενα που συμβαίνουν στην περιοχή του πορώδους κατανομέα επηρεάζουν σημαντικά την διαθέσιμη επιφάνεια εναλλαγής και άρα την αποτελεσματική λειτουργία της στήλης (Mouza et al., 2005). Στην εργασία αυτή πραγματοποιείται η απλοποίηση της διεργασίας σχηματισμού φυσαλίδων σε πορώδη κατανομέα με την προσομοίωση σχηματισμού μιας φυσαλίδας από έναν μ-σωλήνα αντίστοιχης διαμέτρου με αυτήν μιας οπής του πορώδους κατανομέα (Σχήματα 12 & 13). Η προσομοίωση αυτή, που βασίζεται σε αντίστοιχη πειραματική διάταξη, πραγματοποιείται με την χρήση υπολογιστικού κώδικα CFD. Έτσι, χωρίς κόστος και σε μικρό χρονικό διάστημα μελετάται η επίδραση των ιδιο-

29 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 21 τήτων διαφορετικών ρευστών στον χρόνο αποκόλλησης και τον σχηματισμό φυσαλίδων από έναν μ-αγωγό. (α) (β) Σχήμα 12: Ο πορώδης κατανομέας: (α) όπως τοποθετείται στην βάση μιας στήλης φυσαλίδων και (β) όπως φαίνεται με την χρήση ηλεκτρoνικού μικροσκοπίου. (α) Σχήμα 13: Δημιουργία φυσαλίδας από μ-σωλήνα: (α) σε πειραματική διάταξη και (β) με CFD. (β) 3.1. Υπολογιστική ρευστοδυναμική (CFD) Με σκοπό να μελετηθεί ο σχηματισμός μια φυσαλίδας από έναν μ-σωλήνα και να μελετηθούν οι επιδράσεις των ιδιοτήτων του περιβάλλοντος ρευστού, χρησιμοποιήθηκε ένας εμπορικός κώδικας CFD (ANSYS Inc. 2015). Οι κώδικες CFD έχουν εφαρμοστεί με επιτυχία σε πολλές εφαρμογές της ρευστομηχανικής, όπως είναι η μελέτη της αεροδυναμικής των αυτοκινήτων, η ροή μέσα από αντλίες, η καύση και η μεταφορά θερμότητας. Σε ότι αφορά τις διφασικές ροές, όπως αυτή που μελετήθηκε στην συγκεκριμένη εργασία, χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων

30 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 22 στοιχείων. Πιο συγκεκριμένα, η προσέγγιση του τρόπου αλλαγής μιας διαρκώς μεταβαλλόμενης μεταβλητής σε έναν πεπερασμένο αριθμό κελιών ενός πλέγματος ονομάζεται διακριτοποίηση (Zienkiewicz, 2005). Τα βασικά τμήματα που αποτελούν μια προσομοίωση CFD είναι (Wesseling, 2001): Το τμήμα προεπεξεργασίας όπου δημιουργείται η γεωμετρία του προβλήματος και κατασκευάζεται το υπολογιστικό πλέγμα (grid) το οποίο αποτελείται από στοιχειώδεις όγκους (κελιά), όπου γίνεται η διακριτοποίηση των εξισώσεων. Ακόμη, στο τμήμα της προεπεξεργασίας τίθεται οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος καθώς και οι φυσικοχημικές ιδιότητες του ρευστού και του αερίου. Ακόμη, επιλέγεται η μέθοδος ανίχνευσης της διεπιφάνειας μεταξύ υγρού και αερίου. Το τμήμα επίλυσης όπου γίνεται η διακριτοποίηση των διαφορικών εξισώσεων και επιλύονται οι αλγεβρικές εξισώσεις που προέκυψαν. Το τμήμα της μετεπεξεργασίας, όπου με κατάλληλο λογισμικό γίνεται ανάλυση των αποτελεσμάτων Προσομοίωση διφασικής ροής Κατά την πραγματοποίηση προσομοιώσεων διφασικής ροής με κώδικα CFD υπάρχουν δύο πιθανές διαφορετικές προσεγγίσεις (Joshi, 2001). Στις δύο αυτές προσεγγίσεις το πεδίο ροής της συνεχούς φάσης προσδιορίζεται με την επίλυση των εξισώσεων Navier- Stokes, αλλά η διεσπαρμένη φάση μπορεί να υπολογιστεί είτε θεωρώντας την ότι αποτελείται από διακεκριμένα σωματίδια (π.χ. φυσαλίδες) (προσέγγιση Euler-Lagrange ή particle tracking) είτε ως μια ημισυνεχή φάση (προσέγγιση Euler-Euler) Προσέγγιση Euler-Euler Στην προσέγγιση Euler-Euler όλες οι φάσεις αντιμετωπίζονται ως ψευδοσυνεχείς φάσεις. Θεωρείται ότι σε κάθε κελί του υπολογιστικού πλέγματος μπορούν να συνυπάρξουν ένα κλάσμα τόσο από τη συνεχή όσο και από τη διεσπαρμένη φάση. Η πιθανότητα ώστε μια φάση να βρεθεί σε ένα κελί του υπολογιστικού πλέγματος καθορίζεται από κλάσμα ό- γκου της. Σε αυτήν την προσέγγιση, οι εξισώσεις Navier-Stokes επιλύονται ξεχωριστά και για την υγρή και για την αέρια φάση, για τις οποίες ισχύουν οι ίδιες εξισώσεις. Η υπολογιστική ισχύς που απαιτείται, καθορίζεται από τον αριθμό των κελιών του πλέγματος. Η

31 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 23 συγκεκριμένη προσέγγιση προτιμάται για πραγματικές διεργασίες, όπου το μέγεθος του κάθε σωματιδίου που αποτελεί την διεσπαρμένη φάση δεν εξετάζεται Προσέγγιση Euler-Lagrange Η προσέγγιση Euler-Lagrange εφαρμόζεται σε συστήματα που περιλαμβάνουν μια διεσπαρμένη φάση η οποία είναι κάποιο ρευστό ή κάποιο στερεό. Η διεσπαρμένη φάση σχηματίζεται από μεγάλο αριθμό διακεκριμένων σωματιδίων, η κίνηση των οποίων ανιχνεύεται μεμονωμένα εντός της συνεχούς φάσης. Οι εξισώσεις ορμής και των φάσεων του συστήματος φανερώνουν ότι τα πεδία ταχύτητας των φάσεων μπορούν να αλληλοεπηρεαστούν και έτσι με βάση αυτές τις αλληλεπιδράσεις μπορεί να υπολογιστεί ένα νέο πεδίο ροής. Το γεγονός αυτό αντιστοιχεί σε μια προσέγγιση η οποία περιορίζεται υπολογιστικά από τον αριθμό των μεμονωμένων σωματιδίων που μπορούν να παρακολουθούνται σε ένα συγκεκριμένο χρόνο (Sun, 2013). Αποτέλεσμα είναι ότι η προσέγγιση Euler- Lagrange μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε διφασικά συστήματα στα οποία το κλάσμα ό- γκου της διεσπαρμένης φάσης είναι μικρότερο από 10-15%.Η προσέγγιση αυτή επιτρέπει την απευθείας προσομοίωση των δυνάμεων που ασκούνται σε μια διακεκριμένη φυσαλίδα. Έτσι, φαινόμενα συνένωσης και διάσπασης φυσαλίδων, καθώς και αλληλεπίδρασης υγρής-αέριας και αέριας-αέριας φάσης προσομοιώνονται καλύτερα. Ένα ακόμη πλεονέκτημα της προσέγγισης είναι ότι δεν εμφανίζονται αστάθειες κατά τη διαδικασία της επίλυσης των εξισώσεων κίνησης των φυσαλίδων (Sokolichin et al., 1997) Μέθοδος VOF Η μέθοδος VOF (Volume of Fluid), πρόκειται ουσιαστικά για ένα υποσύνολο της προσέγγισης Euler-Lagrange και περιορίζεται σε διφασικά συστήματα υγρού-υγρού και αποτελείται από τεχνικές προσδιορισμού διεπιφάνειας. Κυρίως χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων ροής ελεύθερης επιφάνειας ή και στρωτής ροής. Ακόμη, η μέθοδος αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων που απαιτούν τον προσδιορισμό του σχήματος φυσαλίδων και την ανάλυση του τρόπου διαχωρισμού (breakage) και συνένωσης (coalescence) φυσαλίδων. Αυτός είναι και ο λόγος που στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται η συγκεκριμένη μέθοδος. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι η ύπαρξη μικρού αριθμού σωματιδίων εντός της συνεχούς φάσης.

32 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 24 Στην μέθοδο αυτή, όπως και στην προσέγγιση Euler-Lagrange, η διαδικασία επίλυσης ξεκινά με την επίλυση των χρονικά μεταβαλλόμενων (transient) εξισώσεων ορμής Navier-Stokes για τη συνεχή φάση και σε κάθε υπολογιστικό χρονικό βήμα (time step) υπολογίζεται εκ νέου η ταχύτητα και η νέα θέση της κάθε φυσαλίδας. Η απεικόνιση της φυσαλίδας και τελικά ο προσδιορισμός της διεπιφάνειας στηρίζεται στο κλάσμα κενού της κάθε φάσης. Η μέθοδος VOF είναι κατάλληλη για μη αναμίξιμα ρευστά. Για τον προσδιορισμό της θέσης της διεπιφάνειας χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις συνέχειας και ορμής (Εξ. 15 & 16), οι οποίες για ένα ασυμπίεστο ρευστό μπορούν να γραφούν ως εξής: V = 0 (15) ρ(f)( V + V. V ) = P + ρ(f)g + [2μ(F)D ] + F t s (16) όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού, V είναι το διάνυσμα της ταχύτητα, P η πίεση, F s η δύναμη στην φυσαλίδα and μ το ιξώδες. Ο τανυστής του ρυθμού διάτμησης δίνεται από την Εξ. 17 : D = 1 ( V + V T ) (17) 2 Ο τρόπος με τον οποίο αναπτύσσεται το πεδίο ροής στην μέθοδο VOF, καθορίζεται από την ακόλουθη εξίσωση μεταφοράς (Εξ. 18): F + uf + uf + wf = 0 t x y z (18) όπου, F η συνάρτηση του κλάσματος όγκου το ρευστού σε κάθε κελί, t ο χρόνος, (x, y, z) καρτεσιανές συντεταγμένες και (u, v, w) τα διανύσματα της ταχύτητας. Ο τρόπος με τον οποίο η συνάρτηση F αλλάζει, καθορίζεται από τους υπολογισμούς των ροών σε όλες τις πλευρές (faces) του κελιού. Το κλάσμα κενού λαμβάνει τιμές από 0 για κελία στα οποία υπάρχει μόνο αέριο έως 1 για τα κελιά στα οποία υπάρχει μόνο ρευστό. Οι ενδιάμεσες τιμές λαμβάνονται στις περιπτώσεις όπου εντός του κελιού συνυπάρχει υγρή και αέρια φάση. Να σημειωθεί ότι η Εξ. 15 δεν επιλύεται για την συνεχή φάση καθώς σε εκείνη την περιοχή το κλάσμα όγκου του υγρού είναι σταθερό και ίσο με 1. Η μέθοδος VOF εκτός από προβλήματα 2D, μπορεί να αξιοποιηθεί και για προβλήματα που επιλύονται στον τρισδιάστατο χώρο κάνοντας τις κατάλληλες παραδοχές στην αρχική μέθοδο.

33 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 25 Πρέπει να τονιστεί ότι και οι τρεις μέθοδοι έχουν μεγάλες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ και είναι διαρκούν μεγάλα χρονικά διαστήματα. Στο Σχήμα 14 παρουσιάζονται οι τρεις μέθοδοι συγκριτικά. Για την μέθοδο Euler-Euler τα κελιά στου υπολογιστικού πλέγματος είναι μεγαλύτερα από τα σωματίδια της διεσπαρμένης φάσης. Στα κελιά αυτά είναι γνωστά μόνο το τοπικό κλάσμα του αερίου και το πεδίο ροής. Για την μέθοδο Euler- Lagrange, τα κελία είναι εκ νέου μεγαλύτερα από το μέγεθος των σωματιδίων της διεσπαρμένης φάσης. Όμως, σε αυτήν την περίπτωση τα σωματίδια παρακολουθούνται από τον αλγόριθμο μεμονωμένα το καθένα. Στην μέθοδο VOF τα κελιά του υπολογιστικού χώρου είναι σαφώς μικρότερα από τα σωματίδια που εξετάζονται (Σχήμα 14). (α) (β) (γ) Σχήμα 14: Σύγκριση τριών των τριών υπολογιστικών προσεγγίσεων για διφασικές ροές: (α) VOF, (β) Euler-Lagrange και (γ) Euler-Euler ((Sun, 2013) Προσομοίωση σχηματισμού φυσαλίδων Τα τελευταία χρόνια με την βελτίωση των υπολογιστικών αλγορίθμων και την ενίσχυση της δύναμης επεξεργασίας των υπολογιστών, η χρήση της υπολογιστικής ρευστομηχανικής αποτελεί ένα πολύτιμο εργαλείο για την κατανόηση των διφασικών ροών όπως είναι η άνοδος μιας φυσαλίδας εντός ενός ακίνητου ρευστού. Έτσι, αποφεύγονται τα πολυδάπανα εργαστηριακά πειράματα. Στην παρούσα εργασία μελετάται ο σχηματισμός φυσαλίδων από μ-αγωγούς εντός ακίνητων ρευστών με την χρήση του κώδικα ANSYS Fluent 15.0 και της μεθόδου Volume of Fluid (VOF).

34 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Κατασκευή και αρχικές συνθήκες προσομοιώσεων Η δημιουργία μιας φυσαλίδας σε ακίνητο ρευστό επηρεάζεται από μια σειρά παραμέτρων, όπως είναι οι ιδιότητες του ρευστού (πυκνότητα, ιξώδες και επιφανειακή τάση) καθώς και οι συνθήκες πραγματοποίησης του πειράματος. Χαρακτηριστικά αναφέρονται: η θερμοκρασία η πίεση και η επίδραση της βαρύτητας. Αρχικά κατασκευάζεται η γεωμετρία του προβλήματος (Σχήμα 15). Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 16 το πρόβλημα της κίνησης της φυσαλίδας μπορεί να θεωρηθεί συμμετρικό ως προς τον κύριο άξονα κίνησής της. Κατασκευάζεται ένας υπολογιστικός χώρος σε δύο διαστάσεις (2D) με κάθετο άξονα συμμετρίας, ο οποίος χρησιμοποιείται ως απλοποίηση (Σχήμα 16). Με τον τρόπο αυτό, για το πλέγμα (grid) που κατασκευάζεται απαιτείται μικρότερος αριθμός κελιών, γεγονός το οποίο οδηγεί σε προσομοιώσεις που απαιτούν μικρότερη υπολογιστική ισχύ και χρόνο. Ο ακριβής αριθμός των κελιών του πλέγματος αλλά και η στρατηγική με την οποία κατασκευάστηκε το πλέγμα αναλύεται σε επόμενο κεφάλαιο. Οι διαστάσεις του υπολογιστικού χώρου είναι 1cm ύψος και 5mm πλάτος. Ο χώρος κατασκευάστηκε με ικανοποιητικό πλάτος ώστε να αποφευχθούν τυχόν επιδράσεις από το πλευρικό τοίχωμα. Για το σκοπό αυτό, το πλάτος είναι κατά 50% μικρότερο του ύψους (Zhang et al., 2010, Pourtousi et al., 2015). Η εσωτερική διάμετρος στις διάφορες προσομοιώσεις κυμαίνεται από 80μm έως 110μm, ενώ η εξωτερική διάμετρος βρίσκεται στα 50μm. Οι διαστάσεις αυτές είναι αντίστοιχες με τα εργαστηριακά πειράματα τα οποία έχουν προηγηθεί σε παλαιότερες μελέτες (Kazakis et al. 2008). Σχήμα 15: Γεωμετρία μ-σωλήνα και του χώρου σχηματισμού της φυσαλίδας.

35 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 27 Σχήμα 16: Γεωμετρία υπολογιστικού χώρου. Στη συνέχεια αναφέρονται οι αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν για την υλοποίηση του συνόλου των προσομοιώσεων: Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε είναι όμοια με αυτήν ενός μ-σωλήνα. Ο υπολογιστικός χώρος είναι σε δύο διαστάσεις (2D). Οι προσομοιώσεις είναι μεταβαλλόμενες με τον χρόνο (transient) και γίνεται επιλογή του κατάλληλου χρονικού διαστήματος (time-step) εντός του οποίου υπάρχει σύγκλιση στις εξισώσεις που επιλύονται. Να σημειωθεί ότι σε κάθε time-step ο αλγόριθμός πρέπει να επιλύει τις εξισώσεις μεταφοράς σε ένα κελί του πλέγματος και για το λόγο αυτό ο αριθμός Courant πρέπει να διατηρείται μικρότερος της μονάδας (Tu, 2013). Ο αριθμός αυτός δίνεται από την Εξ. 19: C = c Δt Δx C max (19) όπου C είναι ο αδιάστατος αριθμός Courant, Δt το χρονικό διάστημα (time-step), Δx η απόσταση που καθορίζεται από το κελί και C max η μέγιστη τιμή που λαμβάνει ο αριθμός, η οποία είναι συνήθως 1. Επομένως, προκειμένου να υπάρχει η επιθυμητή σύγκλιση τα χρονικά διαστήματα στα οποία χωρίστηκε το συνολικό φαινόμενο έχουν διάρκεια 1μs και οι επαναλήψεις (iterations) σε κάθε χρονικό διάστημα είναι ίσες με 20. Άξονας συμμετρίας Χ χρησιμοποιείται για την μείωση του υπολογιστικού κόστους. Η είσοδος του αερίου στον χώρο ορίζεται μέσω της ογκομετρικής παροχής. Στην κορυφή του υπολογιστικού χώρου υπάρχει ατμοσφαιρική πίεση, όπως συμβαίνει και στα αντίστοιχα πειράματα. Επιλογή των κατάλληλων φυσικών και χημικών ιδιοτήτων υγρής και αέριας φάσης.

36 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 28 Στον Πίνακα 1 παρουσιάζεται το εύρος των τιμών των μελετώμενων παραμέτρων του διφασικού προβλήματος σχηματισμού της φυσαλίδας εντός ενός ακίνητου Νευτωνικού ρευστού. Πίνακας 1: Εύρος τιμών μελετώμενων παραμέτρων. παράμετρος Εύρος Q (cm 3 /s) μ (mpa.s) 1-16 σ (mν/m) ρ (kg/m 3 ) id (μm) Όπως προαναφέρθηκε χρησιμοποιείται η μέθοδος VOF. Όμως, με δεδομένο ότι στο πρόβλημα που μελετάται η διφασική ροή καθορίζεται κυρίως από την επιφανειακή τάση, χρησιμοποιείται επιπρόσθετα και η μέθοδος Coupled Level Set. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται για τον καλύτερο υπολογισμό της καμπυλότητας της διεπιφάνειας. Ο αλγόριθμος αυτός διαφέρει ελαφρώς από τους αντίστοιχους αλγόριθμους για τον υπολογισμό του κλάσματος κενού. Ουσιαστικά η μέθοδος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της καμπυλότητας της διεπιφάνειας και σε φαινόμενα όπου κυριαρχεί η επιφανειακή τάση προκύπτουν ακριβέστερα αποτελέσματα. Έτσι, δεν υπάρχει απαίτηση από την μέθοδο VOF για εξομάλυνση της διεπιφάνειας (smoothing). Στα μειονεκτήματα αυτού του συνδυασμού ανήκει η απαίτηση για την δημιουργία πυκνότερου πλέγματος συγκριτικά με την χρήση μονό της μεθόδου VOF, καθώς και το γεγονός ότι πρέπει επιλεχθεί η μέθοδος Geometric Reconstruction για την χωρική ανάλυση του πλέγματος (ANSYS Inc., 2015). Στις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν, οι εξισώσεις που διέπουν το πρόβλημα επιλύονται με την χρήση αλγορίθμου βασισμένου στην επικρατούσα πίεση (pressure based solver). Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος SIMPLEC, με τον οποίο συνδυάζεται η πίεση με την ταχύτητα. Όπως προαναφέρθηκε, χρησιμοποιείται η μέθοδος Geometric Reconstruction ώστε να προσδιορίζονται οι ροές σε κελιά τα οποία είναι πλήρως κατειλημμένα από κάποια φάση, ώστε να καθορίζεται με ακρίβεια η θέση της διεπιφάνειας. Ο αλγόριθμος αυτός είναι κατάλληλος για φαινόμενα τα οποία μεταβάλλονται και εξαρτώνται από τον χρόνο. Ακόμη, για την αποφυγή των επιδράσεων των διανυσμάτων της πίεσης στην κύρια ροή της φυσαλίδας, χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος

37 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 29 PRESTO! για την ανάλυση των διανυσμάτων της ταχύτητας. Ο αλγόριθμος αυτός παρουσιάζει ακριβή αποτελέσματα σε διφασικά προβλήματα όπου εμφανίζονται ισχυρές δυνάμεις στην διεσπαρμένη φάση (ANSYS Inc., 2015). Προκειμένου να επιτευχθεί μεγαλύτερη ακρίβεια στην ποσότητα των ροών στις επιφάνειες των κελιών του πλέγματος, χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος διακριτοποίησης Second Order Upwind, με βάση τον οποίο η τιμές των μεγεθών που έχουν προκύψει από το αμέσως προηγούμενο χρονικό διάστημα (time-step), χρησιμοποιούνται ως αρχικές συνθήκες στα όρια του επόμενου κελιού ώστε να υπολογιστούν οι νέες τιμές στο κέντρο του. H μέθοδος Second Order είναι πιο ακριβής από την αντίστοιχη First Order, καθώς προκειμένου να γίνουν οι νέοι υπολογισμοί (στο επόμενο timestep) λαμβάνονται δύο σημεία της διεπιφάνειας ως αρχικά και όχι ένα (ANSYS Inc., 2015). Για τις ανάγκες της μελέτης αυτή χρησιμοποιήθηκε ένας υπολογιστής υψηλών επιδόσεων (High Performance Cluster). Συνολικά υπάρχουν διαθέσιμοι 56 πυρήνες και 196 GB RAM, ενώ κάθε προσομοίωση ολοκληρώνεται σε περίπου 48 ώρες από την στιγμή της εκκίνησης. Για μεγαλύτερη ευκολία και ταχύτητα δημιουργήθηκε κατάλληλο παραμετρικό σύστημα, στο οποίο τέθηκαν όλες οι τιμές των μελετώμενων μεγεθών και με κατάλληλο προγραμματισμό οι τιμές αυτές διαφοροποιούνταν αυτόματα μετά το τέλος κάθε προσομοίωσης και όχι χειροκίνητα Κατασκευή υπολογιστικού πλέγματος Προκειμένου να μελετηθεί ακριβέστερα το σχήμα της δημιουργούμενης φυσαλίδας, κρίνεται αναγκαία η κατασκευή του βέλτιστου πλέγματος. Έτσι, κατασκευάζεται πλέγμα το οποίο είναι αρκετά πυκνό στην είσοδο του αερίου, στην περιοχή δηλαδή όπου προβλέπεται να συμβούν σημαντικά φαινόμενα. Τέτοια φαινόμενα είναι ο σχηματισμός, η διόγκωση, η αποκόλληση και τελικά η κίνηση της φυσαλίδας εντός του ρευστού. Για το σκοπό αυτό επιλέγεται το μήκος της πλευρά του κελιού στην συγκεκριμένη περιοχή ίσο με 1.5μm. Στον υπόλοιπο υπολογιστικό χώρο, που δεν ανήκει στην περιοχή ενδιαφέροντος το μήκος της πλευράς του κελιού έχει τεθεί ίσο με 19μm. Ουσιαστικά το πλέγμα χωρίστηκε σε δύο περιοχές ώστε να μειωθεί ο τελικός αριθμός κελιών, να μην επηρεαστεί η ακρίβεια της λύσης και να μειωθεί το υπολογιστικό κόστος. Για την κατασκευή του πλέγματος χρησιμοποιείται αλγόριθμος ο οποίος καθορίζει τον ρυθμό με τον οποίο τα κελία μεγαλώνουν όσο αυξάνεται η απόσταση από την κύρια περιοχή ροής (Growth rate algo-

38 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 30 rithm). Τελικά προκύπτει πλέγμα αποτελούμενο από 174,000 τετραεδρικά κελιά (Σχήμα 17). Για τον έλεγχο της ποιότητας του πλέγματος χρησιμοποιείται ένας δείκτης ανομοιομορφίας (Value of Skewness), ο οποίος αποτελεί ένδειξη της μεταβολής του μεγέθους των κελιών στα διάφορα σημεία του πλέγματος. Αυτός ο δείκτης είναι στο συγκεκριμένο πλέγμα που κατασκευάστηκε είναι μικρότερος από 0.4 (η μέγιστη αποδεκτή τιμή για πλέγμα καλής ποιότητας είναι 0.5) και αντιστοιχεί σε ρυθμό αύξησης μεγέθους κελιών μικρότερο του 10% με το ανώτατο αποδεκτό ποσοστό να είναι 20% (Wesseling, 2001). Σχήμα 17: Υπολογιστικό πλέγμα (grid) για την μελέτη δημιουργίας φυσαλίδων. Ο προσδιορισμός για το κατάλληλο μέγεθος κελιού και άρα του τελικού αριθμού των κελιών βασίζεται σε μια ανάλυση κατά την οποία μελετάται η επίδραση της πυκνότητας του πλέγματος στην τελική λύση (Grid dependence study). Για διαφορετικές τιμές μεγέθους κελιού, γίνεται προσπάθεια ώστε να προσδιοριστεί το μέγεθος κελιού για το οποίο ο χρόνος αποκόλλησης αλλά και η ισοδύναμη διάμετρος της φυσαλίδας σταθεροποιούνται και γίνονται ανεξάρτητες από το πλέγμα. Να σημειωθεί ότι λόγω της στρατηγικής που ακολουθήθηκε για την κατασκευή το πλέγματος, ο τελικός αριθμός των κελιών επηρεάζεται ουσιαστικά μόνο από τα κελιά που βρίσκονται στην περιοχή εισόδου του αερίου. Επομένως, παρακάτω η μεταβλητή που μελετάται αναφέρεται στο μέγεθος των κελιών της περιοχής εκείνης. Σε μεγαλύτερη απόσταση το μέγεθος παραμένει σταθερό καθώς δεν επηρεάζει την ακρίβεια της λύσης.

39 d b, mm 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 31 Στον Πίνακα 2 παρουσιάζονται τα μήκη της ακμής των κελιών της κύριας περιοχής ροής που μελετώνται καθώς και ο αντίστοιχος αριθμός κελιών πλέγματος που προκύπτει. Παρατηρείται ότι ο συνολικός αριθμός των κελιών δεν αυξάνεται γραμμικά με την με την μείωση του μήκους της πλευράς του κελιού. Πίνακας 2: Μήκος ακμής κελιού στην περιοχή κύριας ροής και συνολικός αριθμός κελιών πλέγματος. Μήκος ακμής, μm Συνολικός αριθμός κελιών πλέγματος , , , , , ,000 Στο Σχήμα 18 παρουσιάζεται η εξάρτηση της ισοδύναμης διαμέτρου της φυσαλίδας από τις διαφορετικές τιμές κελιών πλέγματος σε νερό για σταθερή παροχή Q=0.052cm 3 /s και για εσωτερική διάμετρο id=110μm Αριθμός κελιών πλέγματος Σχήμα 18: Εξάρτηση d b φυσαλίδας από τον αριθμό των κελιών του πλέγματος (σε νερό για σταθερή παροχή Q=0.052cm 3 /s και για id=110μm). Στο Σχήμα 19 παρουσιάζεται η εξάρτηση του χρόνου αποκόλλησης φυσαλίδας για διαφορετικούς αριθμούς κελιών υπολογιστικού πλέγματος. Όλες οι προσομοιώσεις πραγ-

40 t, s 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 32 ματοποιούνται εκ νέου σε νερό για σταθερή παροχή Q=0.052cm 3 /s και για εσωτερική διάμετρο id=110μm Αριθμός κελιών πλέγματος Σχήμα 19: Εξάρτηση t φυσαλίδας από τον αριθμό των κελιών του πλέγματος (σε νερό για σταθερή παροχή Q=0.052cm 3 /s και για id=110μm). Από τα δύο αυτά διαγράμματα προκύπτει ότι άνω των 200,000 κελιών, τα υπό μελέτη μεγέθη δεν επηρεάζονται από την αριθμό των κελιών του πλέγματος. Επομένως, με σκοπό να δημιουργηθεί ένα υπολογιστικό πλέγμα με το οποίο θα προκύπτουν ακριβείς λύσεις αλλά ταυτόχρονα θα περιορίζεται η κατανάλωση σε υπολογιστική ισχύ και θα μειώνεται ο απαιτούμενος χρόνος για την πραγματοποίηση των προσομοιώσεων, επιλέγεται ως βέλτιστη τιμή τα 200,000 κελιά Χρησιμοποιούμενα ρευστά Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούνται τόσο Νευτωνικά όσο και μη-νευτωνικά ρευστά για την επικύρωση του χρησιμοποιούμενου μοντέλου και υλοποίηση των απαραίτητων προσομοιώσεων για την μελέτη του σχηματισμού και της συνένωσης φυσαλίδων. Στον Πίνακα 3 παρουσιάζονται οι σημαντικότερες φυσικές ιδιότητες των Νευτωνικών ρευστών (πυκνότητα, ιξώδες και επιφανειακή τάση), ενώ στον Πίνακα 4 παρουσιάζονται οι φυσικές ιδιότητες των μη-νευτωνικών ρευστών που χρησιμοποιούνται. Πρέπει να σημειωθεί ότι για την πυκνότητα και την επιφανειακή τάση των μη-νευτωνικών ρευστών γίνεται η παραδοχή ότι έχουν ίδια τιμή με τα αντίστοιχα Νευτωνικά υδατικά διαλύματα. Τα μη-νευτωνικά ρευστά που χρησιμοποιούνται ακολουθούν το μοντέλο Herschel-

41 μ, Pa s 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 33 Bulkley, ενώ η κατανομή του ιξώδους τους με το ρυθμό διάτμησης μετρήθηκε με μαγνητικό ρεόμετρο (AR-G2, TA Instruments ). Στο Σχήμα 20 παρουσιάζεται η κατανομή ιξώδους για το μη-νευτωνικό διάλυμα γλυκερίνης (G2). Πίνακας 3: Ιδιότητες χρησιμοποιούμενων Νευτωνικών ρευστών (Mouza et al., 2005, Ebbing, 2013). Νερό (W) Γλυκερίνη 30% (G1 N ) Γλυκερίνη 67% (G2 N ) 1-Βουτανόλη1.5% (B) Κηροζίνη (K) ρ (kg/m 3 ) μ (mpa.s) σ (mn/m) Πίνακας 4: Ιδιότητες χρησιμοποιούμενων μη-νευτωνικών ρευστών. Γλυκερίνη 30% v/v με ξανθάνη 0.035g/100ml (G1) Γλυκερίνη 67% v/v με ξανθάνη 0.035g/100ml (G2) ρ (kg/m 3 ) μ (mpa.s) σ (mn/m) Πείραμα Herschel Bulkley γ, s -1 Σχήμα 20: Μεταβολή του ιξώδους με τον ρυθμό διάτμησης σε μη-νευτωνικό ρευστό (G2).

42 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πειραματική επικύρωση μοντέλου Μια συνηθισμένη διαδικασία κατά την υπολογιστική μελέτη φαινομένων, είναι η επιβεβαίωση του χρησιμοποιούμενου μοντέλου. Κατά την διαδικασία αυτή, δημιουργείται μια πειραματική διάταξη με την οποία πραγματοποιείται μια σειρά πειραμάτων με διαφορετικά ρευστά (Νευτωνικά και μη-νευτωνικά), στα οποία προσδιορίζεται ο χρόνος αποκόλλησης και η ισοδύναμη διάμετρος σε έναν ικανοποιητικό αριθμό φυσαλίδων ώστε να ελαχιστοποιηθούν πιθανά σφάλματα. Στην συνέχεια πραγματοποιούνται οι αντίστοιχες προσομοιώσεις, έχοντας τα ίδια υγρά, τις ίδιες παροχές και τις ίδιες συνθήκες θερμοκρασίας και πίεσης. Πιο συγκεκριμένα, η ακρίβεια και η αξιοπιστία του χρησιμοποιούμενου κώδικα αξιολογείται με την πραγματοποίηση μιας σειράς από τρία πειράματα και τις αντίστοιχες προσομοιώσεις, με σκοπό να προσδιοριστεί η απόκλιση στην ισοδύναμη διάμετρο και τον χρόνο αποκόλλησης από το στόμιο του μ-σωλήνα. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται φαίνεται στα Σχήματα 21 & 22 και είναι ίδια με αυτήν που χρησιμοποιήθηκε για την μελέτη συνένωσης φυσαλίδων σε προηγούμενη εργασία (Μέγαρη, 2015). Τα τρία αυτά πειράματα πραγματοποιούνται σε θερμοκρασία 20±1 O C και σε ατμοσφαιρική πίεση. Ως αέριο το οποίο εισάγεται από τον μ-σωλήνα επιλέγεται ο ατμοσφαιρικός αέρας. Για τις ανάγκες των πειραμάτων και με σκοπό να παρακολουθείται με ακρίβεια η διόγκωση και η αποκόλληση της φυσαλίδας σε όλη την διάρκεια του πειράματος, χρησιμοποιείται μια ψηφιακή υψηλής ταχύτητας κάμερα (Fastec HighSpec4). Ο ρυθμός εγγραφής της κάμερας για τα συγκεκριμένα πειράματα έχει τεθεί στα 3000fps (frames per second), ενώ το δοχείο εντός του οποίου σχηματίζεται η φυσαλίδα τοποθετείται ανάμεσα στην ψηφιακή κάμερα και το κατάλληλο σύστημα φωτισμού. Η ισοδύναμη διάμετρος και ο χρόνος αποκόλλησης μετρούνται με την χρήση κατάλληλου λογισμικού (Redlake MotionScope ). Η ισοδύναμη διάμετρος υπολογίζεται από την στιγμή του σχηματισμού της φυσαλίδας μέχρι την αποκόλλησή της από το στόμιο του μ-σωλήνα και δίνεται από την Εξ. 20: 3 d b = L 2 H (20) όπου L είναι το μήκος της φυσαλίδας κατά τον οριζόντιο άξονα και H το ύψος της φυσαλίδας κατά τον κάθετο άξονα (Σχήμα 23).

43 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 35 Σχήμα 21: Πειραματική διάταξη για την μελέτη σχηματισμού φυσαλίδων: (1) Πειραματικός θάλαμος (2) Βαλβίδα (3) Ψηφιακή κάμερα (4) Μετατροπέας πίεσης (Καζάκης, 2008). (α) (β) Σχήμα 22: Πειραματική διάταξη: (α) Τμήμα εισόδου της αέριας φάσης και (β) κελί και οι μ-αγωγοί. L H Σχήμα 23: Ισοδύναμη διάμετρος φυσαλίδας.

44 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 36 Λόγω της μικρής τάξης μεγέθους της παροχής, δεν χρησιμοποιείται ροόμετρο, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 21, καθώς το σφάλμα θα ήταν αρκετά μεγάλο. Επομένως, χρησιμοποιείται μια διαφορετική μέθοδος προσδιορισμού της ογκομετρικής παροχής, σύμφωνα με την οποία μετρείται η αύξηση του όγκου της φυσαλίδας σε γνωστό χρονικό διάστημα. Έτσι, υπολογίζεται ο ρυθμός αύξησης του όγκου. Ο όγκος μιας φυσαλίδας προκύπτει από την Εξ. 21, με βάση την ισοδύναμη διάμετρο d b σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: V = 4π(d b 2 )3 3 (21) Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 5) για τα δύο υδατικά διαλύματα γλυκερίνης που περιέχουν κόμη ξανθάνης αλλά και για το νερό, υπάρχει συμφωνία μεταξύ πειραματικών και υπολογιστικών αποτελεσμάτων για τις ίδιες ογκομετρικές παροχές αερίου Q g. Συγκεκριμένα, τόσο για την ισοδύναμη διάμετρο όσο και για τον χρόνο αποκόλλησης, υπάρχει απόκλιση μικρότερη από 5%, η οποία μπορεί να οφείλεται στην αβεβαιότητα που υπάρχει κατά την μέτρηση των φυσαλίδων ή στην διαφοροποίηση των συνθηκών κατά την υλοποίηση των πειραμάτων οι οποίες δεν είναι εύκολα ανιχνεύσιμες. Με βάση τα αποτελέσματα αυτά επιβεβαιώνεται η ορθότητα της μεθόδου υπολογισμού της παροχής στην πειραματική διάταξη. Πίνακας 5: Αποτελέσματα επικύρωσης κώδικα CFD. Χρόνος αποκόλλησης, s d b, mm Υγρό Q G, cm 3 /s Πειρ CFD % Απόκλιση Πειρ CFD % Απόκλιση Νερό G G Στα Σχήματα 24 & 25 γίνεται σύγκριση φυσαλίδων όπως αυτές προκύπτον από τις προσομοιώσεις και τα αντίστοιχα πειράματα. Η σύγκριση αυτή πραγματοποιείται μέσω τυπικών στιγμιότυπων φυσαλίδων τα οποία λήφθηκαν κατά την υλοποίηση της προσομοίωσης και του αντίστοιχου πειράματος για το μη-νευτωνικό υδατικό διάλυμα γλυκερίνης 67% με κόμη ξανθάνης. Είναι φανερό ότι πειράματα και προσομοιώσεις δεν συμφωνούν

45 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 37 μόνο ως προς τον χρόνο αποκόλλησης και την ισοδύναμη διάμετρο αλλά και ως προς το σχήμα που έχουν οι φυσαλίδες κατά τον σχηματισμό τους. Σχήμα 24: Τυπικό σχήμα φυσαλίδας στο στάδιο της διόγκωσης: (α) Προσομοίωση CFD, (β) Πείραμα και (γ) Σύγκριση (G2), Q G =0.012cm 3 /s. G2 Σχήμα 25: Τυπικό σχήμα φυσαλίδας στο στάδιο της αποκόλλησης: (α) Προσομοίωση CFD, (β) Πείραμα και (γ) Σύγκριση (G2), Q G =0.012cm 3 /s.

46 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 38 Από τα παραπάνω σχήματα των φυσαλίδων στις προσομοιώσεις και τα πειράματα, κατά το στάδιο της αποκόλλησης και της διόγκωσης εξάγεται το συμπέρασμα ότι το μοντέλο που κατασκευάστηκε μπορεί να προβλέψει με ακρίβεια τα χαρακτηριστικά ροής κατά την διάρκεια σχηματισμού φυσαλίδων με ικανοποιητική ακρίβεια Αβεβαιότητα μετρήσεων Η αβεβαιότητα της μέτρησης είναι μια παράμετρος που χαρακτηρίζει την διασπορά των τιμών του μετρούμενου μεγέθους και πρέπει να συνοδεύει τα αποτελέσματα κάθε μέτρησης. Στην αβεβαιότητα συνεισφέρουν τα τυχαία σφάλματα, η ατελής διόρθωση των συστηματικών σφαλμάτων καθώς και τα άγνωστα συστηματικά σφάλματα (Παράς & Μουζά, 2015). Βασικές προϋποθέσεις ώστε ο υπολογισμός της αβεβαιότητας να γίνει με επιστημονική ακρίβεια είναι η εμπειρία στις μετρήσεις και η καλή γνώση των στατιστικών τεχνικών. Στην παρούσα εργασία σφάλματα υπάρχουν στην μέτρηση του μεγέθους των φυσαλίδων τόσο στις προσομοιώσεις όσο και κατά την υλοποίηση των πειραμάτων. Σε ότι αφορά τα πειράματα, κατά τη λήψη των εικόνων ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην ταχύτητα του φωτοφράχτη (shutter). Η ευκρίνεια βελτιώνεται με την αύξηση της ταχύτητας του φωτοφράχτη. Ακόμη, η χρήση κατάλληλου φακού και μεγέθυνσης στο σημείο ενδιαφέροντος είναι σημαντικές παράμετροι για την αποφυγή σκιών και τελικά για την αύξηση της ακρίβειας των μετρούμενων μεγεθών. Εν προκειμένω, η κάμερα υψηλής ταχύτητας που χρησιμοποιείται έχει ταχύτητα φωτοφράχτη (shutter) 1/1000s -1 ο οποίος εκτιμάται ότι συνεισφέρει σε μια αβεβαιότητα μικρότερη του 10% κατά τη μέτρηση της διαμέτρου των φυσαλίδων, το οποίο αυξάνεται όσο αυξάνεται η παροχή του υγρού και μειώνεται το μέγεθος των φυσαλίδων, καθώς αναλογικά το σφάλμα αντιστοιχεί σε μικρότερη απόσταση. Οι εικόνες που λαμβάνονται, υφίστανται επεξεργασία στο πρόγραμμα Redlake MotionScope. Το συγκεκριμένο πρόγραμμα διαθέτει διακριτική ικανότητα 1 pixel, το οποίο αντιστοιχεί σε πραγματικό μέγεθος περίπου 5μm. Λαμβάνονται πολλές τιμές διαμέτρων για πολλές φυσαλίδες (40 με 50 φυσαλίδες) του ίδιου πειράματος, προς ελάττωση της αβεβαιότητας της μέτρησης και λαμβάνεται ως τελική μέτρηση ο μέσος όρων των τιμών. Σχετικά με την αβεβαιότητα που υπάρχει στις μετρήσεις των φυσαλίδων στις προσομοιώσεις CFD, αυτή υπεισέρχεται κυρίως λόγω συστηματικών σφαλμάτων που σχετίζονται με το πάχος της διεπιφάνειας υγρού-αερίου το οποίο κυμαίνεται στα 50μm, αλλά

47 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 39 και την ανάλυση του ίδιου του πλέγματος η οποία στην περιοχή της ροής κυμαίνεται στα 10μm. Επίσης, αβεβαιότητα υπάρχει και λόγω τυχαίων σφαλμάτων κατά την μέτρηση του μήκους. Τα τυχαία σφάλματα όμως λόγω της τεχνικής μέτρησης που χρησιμοποιείται ελαχιστοποιούν τα τυχαία σφάλματα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μέγιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση της διαμέτρου των φυσαλίδων στα αντίστοιχα πειράματα είναι 10μm, το ότι η ελάχιστη μετρούμενη διάμετρος στην παρούσα μελέτη είναι περίπου 1.5cm και με τη βοήθεια της βασικής εξίσωσης διάδοσης σφάλματος (Εξ. 22), προκύπτει ότι η αβεβαιότητα στη μέτρηση του μεγέθους των φυσαλίδων είναι περίπου ±15%. Σχετικά με την αβεβαιότητα στο μέγεθος των φυσαλίδων στις προσομοιώσεις, εκ νέου με βάση τις εξισώσεις διάδοσης σφάλματος, η συνολική αβεβαιότητα κυμαίνεται στο ±5% (Παράς, 2015). δw = ( w x δx)2 + ( w y δy)2 + ( w z δz)2 (22) όπου δx, δy, δz είναι τυχαία σφάλματα κατά την μέτρηση των x, y, z και δw το σφάλμα της γνωστής συνάρτησης w (x, y, z) Τεχνικές στατιστικής ανάλυσης Στις περισσότερες φυσικές και χημικές διεργασίες επιδρούν πολλοί παράγοντες οι οποίοι δεν είναι ανεξάρτητοι αλλά αλληλεπιδρούν δίνοντας σύνθετα πολυπαραγοντικά συστήματα. Οι σύγχρονες στατιστικές μέθοδοι διευκολύνουν την μελέτη τέτοιων συστημάτων, οργανώνοντας τις υφιστάμενες αναλυτικές μεθόδους. Προκειμένου να πραγματοποιηθεί ακριβέστερη ανάλυση μιας σειράς πειραμάτων, είναι αναγκαίος ο ορισμός των παραγόντων (factors) αλλά και των εξαρτημένων μεταβλητών, οι οποίες είναι γνωστές και ως αποκρίσεις (responses) του συστήματος που μελετάται. Προκειμένου να θεωρείται ένας παράγοντας σωστά επιλεγμένος είναι αναγκαίο να διαθέτει ορισμένα χαρακτηριστικά. Πιο συγκεκριμένα πρέπει να: Ελέγχεται εύκολα Μετρείται με ικανοποιητική ακρίβεια Επηρεάζονται οι επιλεγμένες αποκρίσεις με την μεταβολή του παράγοντα Υπάρχει μη γραμμική εξάρτηση των υπόλοιπων επιλεγμένων παραγόντων

48 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 40 Αντίστοιχα υπάρχουν χαρακτηριστικά τα οποία μια απόκριση πρέπει να διαθέτει. Πιο συγκεκριμένα πρέπει να: Ποσοτικοποιείται εύκολα Μετρείται με ικανοποιητική ακρίβεια Είναι όσο το δυνατόν απλούστερη. H μεθοδολογία επιφάνειας απόκρισης (Response Surface Methodology, RSM) η οποία είναι ένα σύνολο από μαθηματικές και στατιστικές τεχνικές οι οποίες εφαρμόζονται για την κατασκευή εμπειρικών μοντέλων για το σχεδιασμό, την ανάπτυξη και τη βελτιστοποίηση διεργασιών και προϊόντων (Κανάρης, 2008). Ουσιαστικά με την τεχνική αυτή γίνεται σύνδεση των αποκρίσεων και των παραγόντων. Στις επιφάνειες απόκρισης, οι οποίες είναι διαφόρων τάξεων, οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι οι παράγοντες ενώ οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι οι αποκρίσεις του συστήματος: y = f(x 1, x 2,, x k ) (23) Στην περίπτωση που μελετάται η επίδραση δύο ανεξάρτητων παραγόντων σε σχέση με μια εξαρτημένη μεταβλητή, η συνάρτηση που προκύπτει από την Εξ. 23 λαμβάνει την μορφή επιφάνειας, Η γραφική αναπαράσταση της επιφάνειας απόκρισης δεν είναι δυνατή όταν μελετάται η επίδραση περισσότερων από δύο ανεξάρτητων παραγόντων. Καθοριστικό στοιχείο για την ακρίβεια και εγκυρότητα του μοντέλου αποτελεί ο βαθμός του πολυωνύμου, το οποίο θα περιγράψει τη συνάρτηση. Συνηθέστερη επιλογή αποτελούν τα μοντέλα δεύτερης τάξης. Η γενική μορφή τέτοιων πολυωνύμων παρουσιάζεται στην Εξ. 24: k k j=1 k i=j y = a 0 + a j p j + a jj p j 2 + a ij p i j=1 p j (24) Όταν το υπό μοντελοποίηση σύστημα αναμένεται να έχει μη γραμμική συμπεριφορά προτιμάται η προσέγγιση της απόκρισης του συστήματος από τους επιλεγμένους παράγοντες να έχει τη μορφή ενός πολυωνύμου δευτέρου βαθμού (Anderson, 2005). Όπως και στις περισσότερες μοντελοποιήσεις των φυσικών και χημικών συστημάτων, στη μεθοδολογία RSM οι παράγοντες και οι αποκρίσεις συνήθως έχουν αδιάστατη μορφή. Στην συγκεκριμένη εργασία, ως ανεξάρτητες μεταβλητές χρησιμοποιήθηκαν ο αριθμός Reynolds και ο αριθμός Morton, ενώ οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι ο αδιάστατος χρόνος

49 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 41 αποκόλλησης (τ) και η ανηγμένη διάμετρος (d b /D). Επομένως, προκύπτουν δύο πολυώνυμα δευτέρου βαθμού, ένα για κάθε εξαρτημένη μεταβλητή, με την μορφή της Εξ. 24. Οι συντελεστές για τις εξισώσεις αυτές προέκυψαν έπειτα από κατάλληλη επεξεργασία από το πρόγραμμα Minitab Με βάση τις εξισώσεις αυτές προκύπτουν τιμές για τον χρόνο αποκόλλησης και την ανηγμένη διάμετρο, για τις ίδιες τιμές αριθμού Morton και Reynolds με τις οποίες πραγματοποιήθηκαν οι αντίστοιχες προσομοιώσεις. Στη συνέχεια κατασκευάζονται διαγράμματα για κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή, στα οποία αναπαρίστανται οι αποκλίσεις μεταξύ των τιμών όπως αυτές προέκυψαν από τις προσομοιώσεις και των τιμών από την εξίσωση της μεθοδολογίας RSM. Όπως προαναφέρθηκε για την κατασκευή του μοντέλου προκειμένου να περιγραφεί πληρέστερα το συγκεκριμένο πρόβλημα διφασικής ροής και να ποσοτικοποιηθεί η επίδραση των ιδιοτήτων του ρευστού εισάγονται αδιάστατες μεταβλητές οι οποίες είναι κατά σειρά: Ο αριθμός Reynolds που δίνεται από την Εξ. 25: Re = ρdu μ (25) και είναι βασισμένος στις ιδιότητες της αέριας φάσης. Συγκεκριμένα, ρ (kg/m 3 ) είναι η πυκνότητα του αερίου που εισάγεται, D (m) είναι η εσωτερική διάμετρος του ακροφυσίου, u (m/s) είναι η ταχύτητα εισαγωγής του αερίου στην είσοδο του μ- αγωγού και μ (kg/m.s) είναι το ιξώδες του αερίου. Ο αριθμός Morton που δίνεται από την Εξ. 26: Μο = gμ4 ρσ 3 (26) και είναι βασισμένος στις ιδιότητες του υγρού. Συγκεκριμένα, g (m/s 2 ) η επιτάχυνση της βαρύτητας, μ (kg/m.s) είναι το ιξώδες του περιβάλλοντος υγρού, ρ είναι η πυκνότητα του περιβάλλοντος υγρού και σ (Ν/m) η επιφανειακή τάση του υγρού. H ανηγμένη διάμετρος φυσαλίδας: d b D που βασίζεται στην εσωτερική διάμετρο του μ-σωλήνα.

50 3. ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 42 Ο αδιάστατος χρόνος αποκόλλησης φυσαλίδας που δίνεται από την Εξ. 27: τ = tu D (27) και βασίζεται στην ταχύτητα και την εσωτερική διάμετρο του μ-σωλήνα. Συγκεκριμένα, t (s) είναι ο χρόνος αποκόλλησης της φυσαλίδας, u (m/s) είναι η ταχύτητα της φυσαλίδας και D (m) η εσωτερική διάμετρος του ακροφυσίου.

51 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό αναλύονται αρχικά τα αποτελέσματα που αφορούν την μελέτη που πραγματοποιήθηκε, ώστε να αποσαφηνιστεί η επίδραση των παραγόντων στον σχηματισμό φυσαλίδας από έναν μ-αγωγό σε Νευτωνικά ρευστά με διαφορετικές ιδιότητες. Επίσης, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που αφορούν την μελέτη της συνένωσης φυσαλίδων από δύο γειτονικούς μ-αγωγούς σε Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά. Λόγω περιορισμών που θέτει ο ίδιος ο κώδικας τα τελικά αποτελέσματα που αφορούν τα μη- Νευτωνικά ρευστά εξάγονται με βάση το πεδίο ροής περιμετρικά μιας φυσαλίδας που δημιουργείται από έναν μ-αγωγό Επίδραση ιξώδους Για να μελετηθεί η επίδραση του ιξώδους, χρησιμοποιήθηκαν τα εξής ρευστά: νερό (W), υδατικό διάλυμα γλυκερίνης 30% (G1 N ) και υδατικό διάλυμα γλυκερίνης 67% (G2 N ). Τα ρευστά αυτά επιλέχθηκαν καθώς έχουν παραπλήσιες τιμές επιφανειακής τάσης και πυκνότητας, ενώ διαφέρουν κυρίως ως προς το ιξώδες. Συγκεκριμένα, το νερό έχει το μικρότερο ιξώδες, ενώ αυτό αυξάνεται καθώς αυξάνεται η περιεκτικότητα σε γλυκερίνη. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχήμα 26. Παρατηρείται ότι καθώς το ιξώδες αυξάνεται, ο χρόνος αποκόλλησης και η ισοδύναμη διάμετρος αυξάνονται επίσης. Το φαινόμενο αυτό ερμηνεύεται ως εξής: μεγαλύτερο ιξώδες προκαλεί μεγαλύτερες δυνάμεις οπισθέλκουσας στη σχηματιζόμενη φυσαλίδα, καθυστερώντας το σχηματισμό της. Η φυ-

52 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 44 σαλίδα παραμένει προσκολλημένη στο στόμιο για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Έτσι εισέρχεται σε αυτή μεγαλύτερη ποσότητα αερίου, με αποτέλεσμα την αύξηση της ισοδύναμης διαμέτρου. Οι διαφορές πυκνότητας μεταξύ υγρού και αερίου είναι σε κάθε περίπτωση αρκετά μεγάλες, επομένως οι διαφορές πυκνοτήτων μεταξύ των υγρών θεωρούνται αμελητέες. Επίσης, αμελητέες θεωρούνται και οι διαφορές στην επιφανειακή τάση μεταξύ των υγρών. Να σημειωθεί ότι τα αποτελέσματα αυτά προέκυψαν για την ίδια τιμή ογκομετρικής παροχής (Q=0.052cm 3 /s). (α) Νερό (β) Γλυκερίνη 30% (γ) Γλυκερίνη 67% t: 0.042s d b : 1.58mm t: 0.054s d b : 1.76mm t: 0.059s d b : 1.82mm Σχήμα 26: Επίδραση του ιξώδους στο χρόνο αποκόλλησης και την ανηγμένη διάμετρο Επίδραση της επιφανειακής τάσης Η επίδραση της επιφανειακής τάσης μελετήθηκε χρησιμοποιώντας νερό (W), 1 βουτανόλη (Β) και κηροζίνη (Κ). Τα ρευστά αυτά έχουν παραπλήσιο ιξώδες, ενώ διαφέρουν σημαντικά ως προς την επιφανειακή τάση. Το νερό έχει την μεγαλύτερη επιφανειακή τάση, ενώ μικρότερη έχει η 1 βουτανόλη και ακόμα μικρότερη η κηροζίνη. Τυπικά αποτελέσματα για σταθερή ογκομετρική παροχή αερίου (Q = 0.052cm 3 /s) παρουσιάζονται στο Σχήμα 27. Παρατηρείται ότι καθώς η επιφανειακή τάση μειώνεται, ο χρόνος αποκόλλησης και η ισοδύναμη διάμετρος μειώνονται επίσης. Αυτό εξηγείται ως εξής: Μικρότερη επιφανειακή τάση συνεπάγεται μικρότερες δυνάμεις που συγκρατούν τη φυσαλίδα στο στόμιο. Έτσι η φυσαλίδα αποκολλάται πιο νωρίς και συνεπώς έχει μικρότερη ισοδύναμη διάμετρο, επειδή εισέρχεται σε αυτή μικρότερη ποσότητα αερίου.

53 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 45 (α) Νερό (β) 1-Βουτανόλη (γ) Κηροζίνη Σχήμα 27: Επίδραση της επιφανειακής τάσης στο χρόνο αποκόλλησης (t) και στην ισοδύναμη διάμετρο (d b ) για σταθερή ογκομετρική παροχή αερίου (Q = cm 3 /s). Για σταθερή ογκομετρική παροχή, μείωση της επιφανειακής τάσης προκαλεί μείωση του χρόνου αποκόλλησης και της ισοδύναμης διαμέτρου. Οι διαφορές πυκνότητας μεταξύ υγρού και αερίου είναι σε κάθε περίπτωση αρκετά μεγάλες, επομένως οι διαφορές πυκνοτήτων μεταξύ των υγρών θεωρούνται αμελητέες Επίδραση της ογκομετρικής παροχής Για τη μελέτη της επίδρασης της ογκομετρικής παροχής στο χρόνο αποκόλλησης και την ισοδύναμη διάμετρο χρησιμοποιήθηκαν όλα τα ρευστά. Πραγματοποιήθηκαν τρεις προσομοιώσεις για κάθε ρευστό, σε διαφορετικές ογκομετρικές παροχές αέρα. Τα αποτελέσματα για την κηροζίνη παρουσιάζονται στο Σχήμα 28. (α) Q = cm 3 /s (β) Q = cm 3 /s (γ) Q = cm 3 /s t: 0.097s d b : 1.44mm t: 0.035s d b : 1.48mm t: 0.015s d b : 1.40mm Σχήμα 28: Επίδραση της ογκομετρικής παροχής στο χρόνο αποκόλλησης και στην ανηγμένη διάμετρο για την κηροζίνη σε παροχή: (α) Q = cm 3 /s, (β) Q = cm 3 /s και (γ) Q = cm3/s. Παρατηρείται ότι στην ενδιάμεση παροχή (Q=0.052cm 3 /s) εμφανίζεται η μέγιστη διάμετρος φυσαλίδας, ενώ με αύξηση της παροχής η διάμετρος μειώνεται. Η συμπεριφορά

54 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 46 αυτή συναντάται σε όλα τα χρησιμοποιούμενα ρευστά. Αυτό ερμηνεύεται με βάση τις δυνάμεις ορμής: Σε ενδιάμεσες τιμές παροχής, η ορμή του αερίου τείνει να αποκολλά τη φυσαλίδα νωρίτερα, όμως οι δυνάμεις ορμής δεν είναι τόσο ισχυρές με αποτέλεσμα να προκύπτουν φυσαλίδες μεγαλύτερης διαμέτρου καθώς στον ίδιο χρόνο παρέχεται μεγαλύτερη ποσότητα αερίου. Σε υψηλότερες τιμές αερίου, παρά το γεγονός ότι παρέχεται μεγάλη ποσότητα αερίου, οι δυνάμεις ορμής είναι ιδιαίτερα υψηλές με αποτέλεσμα οι φυσαλίδες να αποκολλώνται γρήγορα και να μην έχουν αρκετό διαθέσιμο χρόνο ώστε να αποκτήσουν μεγαλύτερο μέγεθος Επίδραση της εσωτερικής διαμέτρου του μ-αγωγού Για την μελέτη της επίδρασης της εσωτερικής διαμέτρου του μ-αγωγού, πραγματοποιήθηκαν προσομοιώσεις με όλα τα Νευτωνικά ρευστά για τρεις σταθερές ογκομετρικές παροχές αερίου. Παρατηρείται ότι με την αύξηση της εσωτερικής διαμέτρου (id), τόσο η ισοδύναμη διάμετρος της φυσαλίδας όσο και ο χρόνος αποκόλλησής της αυξάνονται. Όσο αυξάνεται η διάμετρος, αυξάνεται και η περίμετρος του στομίου στο οποίο βρίσκεται προσκολλημένη η φυσαλίδα. Με την αύξηση της περιμέτρου για σταθερή παροχή, μειώνεται η ταχύτητα του αερίου και άρα η δύναμη της ορμής. Επομένως, βρίσκονται προσκολλημένες για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα στον μ-αγωγό. Στο Σχήμα 29 παρουσιάζεται η επίδραση της εσωτερικής διαμέτρου σε φυσαλίδες οι οποίες σχηματίζονται σε νερό και για ογκομετρική παροχή Q = cm 3 /s. (α) id=80μm (β) id=110μm (γ) id=150μm Σχήμα 29: Επίδραση της εσωτερικής διαμέτρου του μ-αγωγού στον χρόνο αποκόλλησης (t) και την ισοδύναμη διάμετρο (db) για το νερό: (a) id=80μm, (β) id=110μm και (γ) id=150μm (Q = cm 3 /s).

55 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συγκεντρωτικά αποτελέσματα Στον Πίνακα 6 παρουσιάζονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα που αφορούν σχηματισμού φυσαλίδων σε έναν μ-αγωγό εσωτερική διαμέτρου id=80μm. Πίνακας 6: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα προσομοιώσεων σε έναν μ-αγωγό εσωτερικής διαμέτρου 80μm. Διάλυμα t, s d b, mm τ, - d b /D, - Q, cm 3 /s Mo, - Re, - Νερό (W) E E Γλυκερίνη 30% (G1 N ) E Γλυκερίνη 67% (G2 N ) E E Βουτανόλη (Β) E Κηροζίνη (Κ) E E Στον Πίνακα 7 παρουσιάζονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα που αφορούν τις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν για εσωτερική διάμετρο μ-αγωγού id=110μm. Πίνακας 7: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα προσομοιώσεων σε έναν μ-αγωγό εσωτερικής διαμέτρου 110μm. Διάλυμα t, s d b, mm τ, - d b /D, - Q, cm 3 /s Mo, - Re, E Νερό (W) E E Γλυκερίνη 30% (G1 N ) Γλυκερίνη 67% (G2 N ) 1-Βουτανόλη (Β) E E E E E E E Κηροζίνη (Κ) E E-09 94

56 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 48 Στον Πίνακα 8 παρουσιάζονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα που αφορούν τις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν για εσωτερική διάμετρο μ-αγωγού id=150μm. Πίνακας 8: Συγκεντρωτικά αποτελέσματα προσομοιώσεων σε έναν μ-αγωγό εσωτερικής διαμέτρου 150μm. Διάλυμα t, s d b, mm τ, - d b /D, - Q, cm 3 /s Mo, - Re, - Νερό (W) Γλυκερίνη 30% (G1 N ) Γλυκερίνη 67% (G2 N ) 1-Βουτανόλη (Β) Κηροζίνη (Κ) E E E E E E E E E E E E E E Στο Σχήμα 30 παρουσιάζεται μια τυπική διαδικασία σχηματισμού φυσαλίδας από έναν μ-αγωγό: (α) Διόγκωση (β) Αποκόλληση (γ) Νέα φυσαλίδα t=7ms t=15ms t=25ms Σχήμα 30: Τυπική διαδικασία σχηματισμού φυσαλίδας (σε κηροζίνη): (α) Στάδιο διόγκωσης (β) Στάδιο αποκόλλησης (γ) Σχηματισμός νέας φυσαλίδας.

57 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Μελέτη σχηματισμού φυσαλίδων σε μη-νευτωνικά ρευστά Ο σχηματισμός φυσαλίδας από έναν μ-αγωγό δεν μελετήθηκε μόνο για τα Νευτωνικά ρευστά αλλά πραγματοποιήθηκαν προσομοιώσεις και για μη-νευτωνικά ρευστά. Παρατηρήθηκε ότι οι διαφορές τόσο στον χρόνο αποκόλλησης όσο και στην ισοδύναμη διάμετρο δεν υπερβαίνουν το 10%. Επομένως, δεν κρίθηκε σκόπιμη η υλοποίηση παραμετρικής μελέτης, όμοιας με αυτήν που πραγματοποιείται για τα Νευτωνικά ρευστά. Στον Πίνακα 9 παρατίθενται ενδεικτικά αποτελέσματα για τα διαλύματα γλυκερίνης που περιέχουν κόμη ξανθάνης (G1 και G2) με την χρήση μ-αγωγών εσωτερικής διαμέτρου id=110μm. Πίνακας 9: Αποτελέσματα σχηματισμού φυσαλίδων σε μη-νευτωνικά ρευστά. Διάλυμα t, s d b, mm τ, - d b /D, - Q, cm 3 /s Re, - Γλυκερίνη 30% v/v με ξανθάνη (G1) Γλυκερίνη 67% v/v με ξανθάνη (G2) Στον Πίνακα 10 γίνεται συγκριτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων για τα Νευτωνικά και τα αντίστοιχα μη-νευτωνικά ρευστά, σε ότι αφορά τον χρόνο αποκόλλησης και την ισοδύναμη διάμετρο. Πίνακας 10: Συγκριτική παρουσίαση αποτελεσμάτων για Νευτωνικά και μη-νευτωνικά ρευστά Διάλυμα t, s d b, mm Διάλυμα t, s d b, mm Γλυκερίνη 30% v/v με ξανθάνη (G1) Γλυκερίνη 67% v/v με ξανθάνη (G2) %Απόκλ. (t) %Απόκλ. (d b ) Γλυκερίνη % (G1 N ) Γλυκερίνη % (G2 N )

58 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Παραμετρική μελέτη Από τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που παρουσιάζονται στην παράγραφο 4.5, είναι δυνατόν να προκύψει μια συσχέτιση των αρχικών συνθηκών της παροχής του αερίου, του χρησιμοποιούμενου υγρού και της εσωτερικής διαμέτρου του μ-αγωγού, με δύο κατάλληλες μεταβλητές απόκρισης όπως περιγράφηκαν στην παράγραφο Προκειμένου να επιτευχθεί ο σκοπός αυτός χρησιμοποιείται η μεθοδολογία επιφάνειας απόκρισης RSM, όπως αυτή περιγράφηκε στην παράγραφο Ως μεταβλητές απόκρισης χρησιμοποιούνται ο αδιάστατος χρόνος αποκόλλησης και η ανηγμένη διάμετρο της φυσαλίδας. Επομένως, προκύπτουν δύο σχέσεις πρόβλεψης, μια για κάθε μεταβλητή απόκρισης, Πιο συγκεκριμένα για την ανηγμένη διάμετρο το μοντέλο 2 ης τάξης που χρησιμοποιήθηκε έχει την μορφή που δίνεται από την Εξ. 28: d b /D = a 0 + a 1 Mo + a 2 Re + a 3 Mo 2 + a 4 Re 2 + a 5 Mo Re (28) Για τον χρόνο αποκόλλησης το μοντέλο 2 ης τάξης, που επίσης χρησιμοποιείται και δίνεται από την Εξ. 29, έχει την ίδια μορφή με την γενική εξίσωση (Εξ. 24) τ = a 0 + a 1 Mo + a 2 Re + a 3 Mo 2 + a 4 Re 2 + a 5 Mo Re (29) Για την στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων χρησιμοποιείται το λογισμικό Minitab Μετά τον προσδιορισμό των συντελεστών της μεθόδου RSM, πραγματοποιείται αξιολόγηση της εγκυρότητας και της προβλεπτικής ικανότητας των μοντέλων με την χρήση σημείων επαλήθευσης (verification points). Πρόκειται για σημεία τα οποία προκύπτουν από πρόσθετες προσομοιώσεις που υλοποιούνται προκειμένου να γίνει η επικύρωση της ακρίβειας του μοντέλου (Πίνακας 11). Πίνακας 11: Σημεία επαλήθευσης μοντέλου RSM. Διάλυμα t, s d b, mm τ, - d b /D, - Q, cm 3 /s Mo, - Re, - Γλυκερίνη 30% (G1 N ) Γλυκερίνη 67% (G2 N ) 1-Βουτανόλη (Β) E E E E E E-11 94

59 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 51 Να σημειωθεί ότι τα σημεία σχεδιασμού (design points) και επαλήθευσης είναι αυτά που παρουσιάζονται στην παράγραφο 4.5. Στα Σχήματα 31 & 32 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της μεθόδου RSM, συγκριτικά με τις πειραματικές τιμές % (db/d) EXP % Design points Verification points (db/d) RSM Σχήμα 31: Απόκλιση μεθόδου RSM από τα πειραματικά αποτελέσματα για την ανηγμένη διάμετρο % % τ EXP Design points Verfication points τ RSM Σχήμα 32: Απόκλιση μεθόδου RSM από τα πειραματικά αποτελέσματα για τον αδιάστατο χρόνο αποκόλλησης.

60 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 52 Στον Πίνακα 12 παρουσιάζονται οι τιμές των συντελεστών για τις Εξ. 28 & 29 όπως αυτές προκύπτουν από το λογισμικό Minitab Πίνακας 12: Τιμές συντελεστών μοντέλου της μεθόδου RSM. Μεταβλητή απόκρισης α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 τ, E E E+06 d b /D, E E E Μελέτη συνένωσης φυσαλίδων Η συνένωση των φυσαλίδων είναι ένας μηχανισμός ο οποίος αποτελείται από τρία στάδια (Καζάκης, 2008): Αρχικά η φυσαλίδες διογκώνονται και προσεγγίζουν μεταξύ τους σε απόσταση η οποία κυμαίνεται μεταξύ 1-10μm Στη συνέχεια η στιβάδα υγρού που δημιουργείται ανάμεσα στις φυσαλίδες λεπταίνει και διαθέτει πλέον πάχος της τάξεως των 0.01μm. Τέλος, η υγρή αυτή στιβάδα διαρρηγνύεται λόγω αστάθειας. Στην περίπτωση που δύο φυσαλίδες σχηματίζονται από δύο γειτονικούς μ-αγωγούς, ο χρόνος επαφής μεταξύ των δύο φυσαλίδων πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον απαιτούμενο χρόνο συνένωσης, ώστε να υπάρξει διάρρηξη της σχηματιζόμενης στιβάδας. Ο χρόνος συνένωσης επηρεάζεται από την αύξηση του μεγέθους των φυσαλίδων, καθώς όσο αυτές διογκώνονται η δημιουργούμενη μεταξύ τους στιβάδα αυξάνεται διαφοροποιώντας των απαιτούμενο χρόνο συνένωσης. Τα αρχικά πειράματα σε μη-νευτωνικά ρευστά (Μέγαρη et al., 2015) δείχνουν ότι οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των υπό-σχηματισμό φυσαλίδων αλλά και ο χρόνος συνένωσης εξαρτώνται σημαντικά από τις ιδιότητες της υγρής φάσης, την απόσταση μεταξύ των μ- αγωγών και την παροχή του αερίου. Είναι γνωστό ότι ο χρόνος συνένωσης είναι αντιστρόφως ανάλογος από το ιξώδες της υγρής φάσης (Καζάκης, 2008). Ακόμη, αναφέρεται ότι η πιθανότητα συνένωσης εξαρτάται από τα υδροδυναμικά χαρακτηριστικά της παροχέτευσης της στιβάδας που συμβαίνει μεταξύ των φυσαλίδων, τις ιδιότητες των δύο ε-

61 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 53 πιφανειών που αλληλεπιδρούν καθώς και από την εξωτερική ροή που επηρεάζει την έ- νταση των συγκρούσεων. Επομένως, το ιξώδες του υγρού και ο χρόνος παραμονής της φυσαλίδας στο στόμιο είναι δύο αντικρουόμενοι παράγοντες που επιδρούν στην συνένωση των φυσαλίδων. Η βασική δύναμη που συγκρατεί μια φυσαλίδα στο στόμιο ενός μ-αγωγού είναι η επιφανειακή τάση, αλλά καθώς η παροχή του αερίου αυξάνεται η δύναμη της ορμής κυριαρχεί. Επομένως, ο χρόνος επαφής των δύο φυσαλίδων γίνεται μικρότερος από τον χρόνο συνένωσης, δηλαδή οι φυσαλίδες δεν παραμένουν προσκολλημένες στους μ-αγωγούς αρκετό χρόνο ώστε να διαρρηχθεί η μεταξύ τους στιβάδα (Hagesaether, 2002). Ακόμη, με την αύξηση της παροχής του αερίου, ο ρυθμός διόγκωσης των φυσαλίδων αυξάνεται, με αποτέλεσμα η τιμή του ρυθμού διάτμησης γύρω από την φυσαλίδα επίσης να αυξάνεται. Σε προηγούμενη εργασία (Μέγαρη et. al., 2015), μελετήθηκε η αλληλεπίδραση φυσαλίδων που σχηματίζονται από μ-αγωγούς τοποθετημένους σε απόσταση 200μm και 700μm σε διαφορετικά μη-νευτωνικά ρευστά. Για την μεγαλύτερη τιμή απόστασης, όπως αναμενόταν η συχνότητα συνένωσης είναι σημαντικά χαμηλή (μικρότερη του 10%) και ανεξάρτητη από την τιμή της παροχής του αερίου ή το είδος του μη-νευτωνικού ρευστού. Για την απόσταση των 700μm οι φυσαλίδες συγκρούονται ενώ βρίσκονται στο τελικό στάδιο της διόγκωσής τους και επομένως δεν υπάρχει αρκετός διαθέσιμος χρόνος ώστε να διαρρηχθεί η στιβάδα που σχηματίζεται ανάμεσα τους. Αντίθετα, για την απόσταση των 200μm, οι φυσαλίδες συγκρούονται στα αρχικά στάδια του σχηματισμού τους. Στο Σχήμα 33 παρουσιάζονται τα στάδια αλληλεπίδρασης φυσαλίδων σχηματιζόμενες από μ-αγωγούς τοποθετημένους σε απόσταση 200μm σε Νευτωνικά (G2 Ν, G3 Ν ) και μη- Νευτωνικά (G2). Να σημειωθεί ότι το Νευτωνικό G3 Ν, είναι ένα υδατικό διάλυμα γλυκερίνης υψηλής συγκέντρωσης και πολύ υψηλού ιξώδους. Τα πειράματα με τα Νευτωνικά ρευστά αποδεικνύουν ότι για χαμηλές τιμές ιξώδους, η συχνότητα συνένωσης προσεγγίζει το 100% (Σχήμα 33α), ενώ για υψηλότερες τιμές ιξώδους (άνω των 50mPa.s) δεν παρατηρείται συνένωση (Σχήμα 33β). Η συμπεριφορά των μη-νευτωνικών ρευστών είναι όμοια με εκείνη των Νευτωνικών υψηλού ιξώδους καθώς και στις περιπτώσεις αυτές δεν παρατηρείται συνένωση (Σχήμα 33γ).

62 t=0 msec t=4 msec t=8 msec t=16 msec 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 54 Σχήμα 33: Στάδια αλληλεπίδρασης φυσαλίδων από δύο γειτονικούς μ-αγωγούς σε απόσταση 200μm για: (α) G2, (β) G3 και (γ) G2 N, Q G =0.10cm 3 /s (Kαζάκης, 2008). Στο παρακάτω Σχήμα 34 παρουσιάζεται η κατανομή της συχνότητας συνένωσης (f) μεταξύ δύο φυσαλίδων σχηματιζόμενες από δύο μ-αγωγούς σε Νευτωνικό διάλυμα (G2 N ) με την αύξηση της ογκομετρικής παροχής (Q). Παρατηρείται, ότι ενώ σε χαμηλές τιμές παροχής αερίου η συχνότητα συνένωσης είναι πολύ υψηλή, από την τιμή Q=0.18cm 3 /s. Προκειμένου να εξηγηθεί η παρατηρούμενη συμπεριφορά των μη-νευτωνικών ρευστών μπορεί να γίνει η υπόθεση ότι ο ρυθμός διάτμησης που αναπτύσσεται στο υγρό που βρίσκεται γύρω από τις σχηματιζόμενες φυσαλίδες λαμβάνει σχετικά χαμηλές τιμές οδηγώντας σε υψηλότερες τιμές ιξώδους σύμφωνα με το Σχήμα 20. Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί με την πραγματοποίηση πειραμάτων. Επομένως, πραγματοποιούνται προσομοιώσεις με την χρήση CFD, τα αποτελέσματα των οποίων παρουσιάζονται στο κεφάλαιο αυτό.

63 f, % 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Q, cm 3 /s Σχήμα 34: Συχνότητα συνένωσης φυσαλίδων με την αύξηση της παροχής αερίου για Νευτωνικό ρευστό G2 N (Καζάκης, 2008) Στο αρχικό στάδιο της μελέτης πραγματοποιούνται προσομοιώσεις με τη χρήση δύο μ- αγωγών σε απόσταση 200μm, τόσο για Νευτωνικά όσο και για μη-νευτωνικά ρευστά. Όπως, προκύπτει από τα αποτελέσματα ο κώδικας μπορεί να προβλέψει τη συνένωση μεταξύ των φυσαλίδων στα Νευτωνικά ρευστά χαμηλού ιξώδους, όμως για την περίπτωση των Νευτωνικών ρευστών υψηλού ιξώδους αλλά και για την περίπτωση των μη- Νευτωνικών ρευστών ο κώδικας αποτυγχάνει να προβλέψει την παροχέτευση της υγρής φάσης ανάμεσα στις δύο φυσαλίδες ανεξάρτητα από την παροχή του αερίου και την α- πόσταση των μ-αγωγών (Σχήματα 35 & 36). Όπως, αναφέρεται στην βιβλιογραφία (Hoang, 2013) όταν δύο διεπιφάνειες βρεθούν σε απόσταση λίγων κελιών υπολογιστικού πλέγματος η συνένωσή τους είναι αναπόφευκτη. Με βάση τα αποτελέσματα αυτά, επιλέγεται η κατανομή του ρυθμού διάτμησης να υπολογιστεί γύρω από μια φυσαλίδα η οποία διογκώνεται σε μονό μ-αγωγό για διαφορετικές παροχές αερίου. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιείται το επικυρωμένο μοντέλο CFD. Γνωρίζοντας τις τιμές που λαμβάνει ο ρυθμός διάτμησης μπορεί να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες τιμές που λαμβάνει το ιξώδες, με βάση την καμπύλη ιξώδους για το συγκεκριμένο ρευστό. Από τις προσομοιώσεις εξάγεται το συμπέρασμα ότι ο ρυθμός διάτμη-

64 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 56 σης παραμένει σταθερός γύρω από την επιφάνεια της φυσαλίδας τόσο για το στάδιο της επιμήκυνσης όσο και για το στάδιο της αποκόλλησης (Σχήμα 37). Η παρατήρηση αυτή είναι αναμενόμενη καθώς ο ρυθμός διάτμησης εξαρτάται κυρίως από τον ρυθμό διόγκωσης της φυσαλίδας, ο οποίος για σταθερή ογκομετρική παροχή αερίου είναι επίσης σταθερός. Σχήμα 35: Αλληλεπίδραση φυσαλίδων σε νερό (W). Σχήμα 36: Αλληλεπίδραση φυσαλίδων σε μη-νευτωνικό διάλυμα G2. Στο Σχήμα 37 παρουσιάζεται η κατανομή του ρυθμού διάτμησης στο στάδιο επιμήκυνσης και αποκόλλησης για το μη-νευτωνικό διάλυμα γλυκερίνης με κόμη ξανθάνης (G2), για ογκομετρική παροχή Q G =0.10cm 3 /s. Όμοια αποτελέσματα προκύπτουν και στις προσομοιώσεις για το διάλυμα G1. Είναι φανερό από την κατανομή, ότι ο ρυθμός διάτμησης επηρεάζεται από την διόγκωση της φυσαλίδας και επομένως λαμβάνει σχετικά χαμηλές τιμές στην περιοχή της επιφάνειας της φυσαλίδας. Αυτές οι χαμηλές τιμές ρυθμού διάτμησης οδηγούν σε ηψηλές τιμές ιξώδους (Σχήμα 20), γεγονός το οποίο επηρεάζει τον μηχανισμό συνένωσης των φυσαλίδων. Καθώς η φυσαλίδα σχηματίζεται, ο ρυθμός διάτμησης λαμβάνει τιμές μεταξύ s -1 (Σχήμα 37) στην οριζόντια διεύθυνση και σύμφωνα με το Σχήμα 33 οι φυσαλίδες αλληλ-

65 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 57 επιδρούν στην διέυθυνση αυτή. Επομένως, ο υπολογισμός των τιμών του ρυθμού διάτμησης στην περιοχή αυτή είναι σημαντικός, αφού η συνένωση των φυσαλίδων πραγματοποιείται στην συγκεκριμένη περιοχή. Ο ρυθμός διάτμησης δεν λαβάνει τιμές που τείνουν στο άπειρο (Σχήμα 20), τόσο για το στάδιο της διόγκωσης όσο και για το στάδιο της αποκόλλησης. Σχήμα 37: Κατανομή ρυθμού διάτμησης γύρω από φυσαλίδα κατά το στάδιο της: (α) διόγκωσης και (β) αποκόλλησης (G2), Q=0.10cm 3 /s. Συγκρίνοντας την κατανομή ρυθμού διάτμησης μεταξύ του σταδίου επιμήκυνσης και διόγκωσης, παρατηρείται ότι μεγαλύτερο ποσοστό του μη-νευτωνικού υγρού λαμβάνει μεγαλύτερες τιμές ρυθμού διάτμησης καθώς η φυσαλίδα επιμηκύνεται. Η παρατήρηση αυτή βρίσκεται σε συμφωνία με την κατανομή του ιξώδους που υπολογίζεται για τα ίδια στάδια (Σχήμα 38). Το ιξώδες στο στατικό ψευδοπλαστικό διάλυμα G2, μειώνεται ελαφρώς με την αύξηση του μεγέθους της φυσαλίδας, λόγω της συμπεριφοράς του συγκεκριμένου μη-νευτωνικού ρευστού.

66 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 58 Σχήμα 38: Κατανομή ιξώδους γύρω από φυσαλίδα κατά το στάδιο της: (α) διόγκωσης και (β) αποκόλλησης (G2), Q=0.10cm 3 /s. Συγκεκριμένα, το ιξώδες κοντά στην επιφάνεια της φυσαλίδας είναι χαμηλότερο από το ιξώδες που αντιστοιχεί σε μηδενικό ρυθμό διάτμησης. Όμως, με βάση τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων το ιξώδες γύρω από την φυσαλίδα δεν αποκτά τις τιμές του ασυμπτωτικού ιξώδους n, με βάση τις τιμές του ρυθμού διάτμησης.