ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΝΟΡΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟ- ΜΙΚΗ Διπλωματική Εργασία ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΝΟΡΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Του ΝΙΚΟΛΑΟΥ Δ. ΤΣΙΡΙΓΩΤΗ Επιβλέπων Καθηγητής: Νούλας Αθανάσιος Υποβλήθηκε ως απαιτούμενο για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος στη Λογιστική και Χρηματοοικονομική Νοέμβριος 2016

2 Ευχαριστίες Ευχαριστώ τον καθηγητή μου Νούλα Αθανάσιο για την πολύτιμη βοήθεια του και τις συμβουλές του καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της διπλωματικής μου εργασίας. Επιπλέον ευχαριστώ την οικογένεια μου για την στήριξή τους. 1

3 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επενδυτική διαδικασία... 4 Η Έννοια της Απόδοσης... 9 Η Έννοια του Κίνδυνου Πηγές Κινδύνου Σχέση Απόδοσης Κινδύνου ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου Αναμενόμενη Απόδοση Χαρτοφυλακίου Κίνδυνος Χαρτοφυλακίου Απόδοση και Κίνδυνος Χαρτοφυλακίου με τη χρήση πινάκων Η έννοια της διαφοροποίησης Αποτελεσματικό Χαρτοφυλάκιο Αποτελεσματικό Σύνορο Αποτελεσματικό Σύνορο Χαρτοφυλακίου δύο Χρεογράφων Αποτελεσματικό Σύνορο Χαρτοφυλακίων πολλών Χρεογράφων Επιλογή Άριστου Χαρτοφυλακίου Εισαγωγή Ακίνδυνου Χρεογράφου Τεχνικές εύρεσης αποτελεσματικού συνόρου Κριτικές του Υποδείγματος Mean-Varance Το Υπόδειγμα του Ενός Δείκτη (Sngle Index Model) Συστηματικός και Μη Συστηματικός Κίνδυνος Αποτελεσματικό Σύνορο Χαρτοφυλακίων με το Υπόδειγμα του Ενός Δείκτη Εύρεση Βέλτιστου Χαρτοφυλακίου Το μοντέλο της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης (Mean Absolute Devaton) Εναλλακτικά Μοντέλα Εύρεσης Αποτελεσματικού Συνόρου ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή στην εμπειρική ανάλυση Παρουσίαση Μετοχών Υπολογισμός Αποτελεσματικού Μετώπου

4 Αποτελεσματικό Μέτωπο κατά Markowtz Αποτελεσματικό μέτωπο Χαρτοφυλακίου-Ομολόγου Αποτελεσματικό Μέτωπο με την χρήση του Sngle Index Model Αποτελεσματικό μέτωπο με το Mean-Absolute Devaton Επιλογή Βέλτιστου Χαρτοφυλακίου Υπόδειγμα Μέσου-Διακύμανσης Υπόδειγμα του Ενός Δείκτη Υπόδειγμα Μέσης-Απόλυτης Απόκλισης Αξιολόγηση Απόδοσης Χαρτοφυλακίων Συμπεράσματα Βιβλιογραφία Διαδικτυακές Πηγές

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εύρεση του αποτελεσματικού μετώπου μέσω τριών διαφορετικών μεθόδων, η επιλογή και η αξιολόγηση των άριστων χαρτοφυλακίων μετοχών του χρηματιστηριακού δείκτη EUROSTOXX50. Τα υ- ποδείγματα που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάλυση και την αποτίμηση των μετοχικών χαρτοφυλακίων είναι, το υπόδειγμα μέσου-διακύμανσης το οποίο διατυπώθηκε από το νομπελίστα οικονομολόγο Harry Markowtz το 1952, το μοντέλο του ενός δείκτη το οποίο προτάθηκε αργότερα από τον W.Sharpe καθώς και το υπόδειγμα της μέσης απόλυτης απόκλισης που προτάθηκε από τους Komo and Yamazak. Στο πρώτο κεφάλαιο της διπλωματικής εργασίας θα αναλυθούν οι βασικές έννοιες των χρηματοοικονομικών, όπως η απόδοση και ο κίνδυνος. Για να γίνουν πιο αντιληπτές, θα διατυπωθούν αναλυτικά οι μαθηματικοί τους τύποι, και θα χρησιμοποιηθούν σε παραδείγματα με πραγματικά στοιχεία. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιαστεί η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου όπως προτάθηκε από τον Markowtz. Θα αναλυθεί το υπόδειγμα μέσου διακύμανσης (Mean-Varance), το υπόδειγμα του ενός δείκτη (Sngle Index Model),το υπόδειγμα της μέσης απόλυτης απόκλισης (Mean Absolute Devaton) και θα διατυπωθούν τα μαθηματικά προβλήματα τετραγωνικού προγραμματισμού για τον καθορισμό των αποτελεσματικών μετώπων. Στο τρίτο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η εμπειρική έρευνα. Θα εφαρμοστεί το υπόδειγμα μέσου διακύμανσης, το υπόδειγμα του ενός δείκτη και το υπόδειγμα της μέσης απόλυτης απόκλισης στο σύνολο των μετοχών που περιέχονται στον δείκτη Eurostoxx 50. Αφού υπολογιστούν τα αποτελεσματικά σύνορα και με τις τρείς μεθόδους, θα βρεθούν τα βέλτιστα χαρτοφυλάκια και θα υπολογιστούν τα ποσοστά ε- πένδυσης στα επιμέρους χρεόγραφα. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης, θα επιλυθούν με το πρόσθετο επίλυσης του Mcrosoft Excel. 3

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Επενδυτική διαδικασία Επένδυση Στην οικονομική επιστήμη η επένδυση (nvestment) ορίζεται ως η δέσμευση χρηματικών ή άλλων πόρων από τη κατανάλωση στο παρόν, με την προσδοκία αύξησης της κατανάλωσης στο μέλλον [18]. Είναι δηλαδή η αναβολή της κατανάλωσης στο παρόν και η μεταφορά μέρους του εισοδήματος του επενδυτή στο μέλλον, με σκοπό τη βελτίωση του βιοτικού του επιπέδου. Ο ορισμός αυτός καθιστά την μελλοντική κατανάλωση ως το μεγαλύτερο κίνητρο για επενδύσεις. Πολλοί επενδυτές όμως υποστηρίζουν ότι το κίνητρό τους για επενδύσεις είναι να αυξήσουν τον πλούτο τους. Όμως μία αύξηση του πλούτου ο- δηγεί σε αύξηση της κατανάλωσης. Επομένως ο πλούτος και η κατανάλωση είναι δύο άρρηκτα συνδεδεμένες έννοιες. Ουσιαστικά η επένδυση αποτελεί μια δέσμευση χρημάτων και έχει στόχο μία σειρά χρηματικών εισροών στο μέλλον όπου θα αποζημιώνουν τον επενδυτή για: 1) τον χρόνο όπου τα χρήματα του είναι δεσμευμένα 2) τον αναμενόμενο πληθωρισμό κατά την περίοδο της επένδυσης και 3) την αβεβαιότητα των μελλοντικών πληρωμών Ο επενδυτής δεσμεύει λοιπόν ένα μέρος των κεφαλαίων του σε κάποια ε- πενδυτική επιλογή για ένα χρονικό διάστημα και αναμένει να αποκομίσει κέρδος στο μέλλον, με το ρίσκο να χάσει κάποιο μέρος ή στη χειρότερη περίπτωση και το σύνολο των επενδυμένων κεφαλαίων του. Το κέρδος του επενδυτή αποτελείται από την αναμενόμενη απόδοση της επένδυσης, ενώ το ρίσκο που υφίσταται ταυτίζεται με τον επενδυτικό κίνδυνο. Ο βασικός στόχος του επενδυτή είναι να επιτύχει τη μέγιστη απόδοση από μια επένδυση, για ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου, το οποίο είναι διατεθειμένος να αναλάβει. 4

7 Είναι πλέον φανερό ότι η εύρεση της κατάλληλης ισορροπίας μεταξύ απόδοσης και κινδύνου δεδομένων των στόχων, των πόρων και των προτιμήσεων του επενδυτή είναι η ουσία της επένδυσης. Οι έννοιες της απόδοσης και του κινδύνου θα αναλυθούν σε επόμενες παραγράφους. Επένδυση σε Χρεόγραφα Εξετάζοντας την έννοια της επένδυσης και σύμφωνα με την βιβλιογραφία, μπορούμε να διακρίνουμε δυο κύριες κατηγορίες. 1) Την επένδυση κεφαλαίων σε υλικοτεχνικό εξοπλισμό, με την προσδοκία αύξησης της παραγωγικής διαδικασίας και των κερδών της επιχείρησης. 2) Την επένδυση σε χρηματοοικονομικά προϊόντα, όπως μετοχές, ο- μόλογα, αμοιβαία κεφάλαια κτλ. Στην παρούσα εργασία, θα ασχοληθούμε με την δεύτερη κατηγορία επενδύσεων, την επένδυση σε χρεόγραφα (securtes). Ως χρεόγραφο (securty) ορίζεται ένα επενδυτικό διαπραγματεύσιμο προϊόν που εκδίδεται από μια κυβέρνηση, μια εταιρεία ή κάποιο άλλο οργανισμό και αποτελεί αποδεικτικό χρέους ή δικαίωμα σε διανεμόμενα κέρδη. Τα χρεόγραφα, είναι αποδεικτικά χρέους ή κυριότητας, τα οποία εκδίδονται από εκείνους τους επιχειρηματικούς οργανισμούς, δημόσιους και ιδιωτικούς, οι οποίοι επιθυμούν να αντλήσουν κεφάλαια από το ευρύ επενδυτικό κοινό. Στα χρεόγραφα περιλαμβάνονται οι μετοχές, τα ομόλογα, τα έντοκα γραμμάτια δημοσίου, τα προθεσμιακά συμβόλαια, τα μερίδια αμοιβαίων κεφαλαίων, τα συμβόλαια δικαιωμάτων προαίρεσης, τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης και άλλα προϊόντα που μπορούν να διαπραγματεύονται στη χρηματοπιστωτική αγορά. Κάθε χρεόγραφο ως μονάδα έχει μια αναμενόμενη απόδοση και εμπεριέχει κίνδυ- 5

8 νο. (Οπότε στο εξής θα εξετάζεται με τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της α- πόδοσής του). Επενδυτική Διαδικασία Ένας επενδυτής προτού επενδύσει, πρέπει να αποφασίσει ποια χρεόγραφα θα αγοράσει και σε τι ποσότητα το καθένα. Η διαδικασία που ακολουθείται ονομάζεται Επενδυτική διαδικασία. Είναι στην πραγματικότητα, τα βήματα που πρέπει να κάνει ο επενδυτής, για να δημιουργήσει και να διαχειριστεί το χαρτοφυλάκιο του. Τα βήματα είναι τα εξής: 1) Καθορισμός των Στόχων Η επενδυτική πολιτική πρέπει να έχει συγκεκριμένους και ξεκάθαρους στόχους. Πριν από όποια επενδυτική δραστηριότητα, πρέπει να υπάρχει σαφής εικόνα του σκοπού της επένδυσης. Αυτός ο σκοπός μπορεί να διαφέρει από επενδυτή σε επενδυτή. Άλλοι θέλουν απλά συντήρηση κεφαλαίων και μειωμένο κίνδυνο και άλλοι να αυξήσουν τον πλούτο τους αναλαμβάνοντας μεγαλύτερο κίνδυνο. 2) Ποσοστό Επένδυσης Το δεύτερο βήμα που πρέπει να ακολουθήσει ο επενδυτής είναι ο καθορισμός του ποσού των χρημάτων που προτίθεται να επενδύσει, ως ποσοστό του συνόλου των κεφαλαίων που διαθέτει. 3) Ανάλυση Χρεογράφων Η ανάλυση αυτή είναι στην ουσία η μελέτη των αποδόσεων και του κινδύνου των χρεογράφων. Ο λόγος που ο επενδυτής πρέπει να προχωρήσει στην ανάλυση αυτή, είναι διότι με αυτή τη διαδικασία μπορεί να καθορίσει αν ένα χρεόγραφο είναι σωστά αποτιμημένο από την αγορά. Κατά γενικό κανόνα η ανάλυση των χρεογράφων στοχεύει στην αναζήτηση υποτιμημένων χρεογράφων. Για αυτή την ανάλυση χρησιμοποιούνται δύο εναλλακτικές προσεγγίσεις. 6

9 Τεχνική Ανάλυση Η τεχνική ανάλυση είναι η μελέτη των ιστορικών τιμών των χρεογράφων, και η εκτίμηση της μελλοντικής τους απόδοσης μέσω τάσεων. Θεμελιώδης Ανάλυση Αντίθετα με την τεχνική ανάλυση, η θεμελιώδης ανάλυση βασίζεται στα θεμελιώδη στοιχεία της εκάστοτε εταιρείας ( Ισολογισμοί, Κατάσταση Αποτελεσμάτων Χρήσης, Δείκτες Θεμελιώδους Ανάλυσης, Πωλήσεις κτλ.) και συγκρίνει την πραγματική (εσωτερική) αξία της μετοχής, με την αντίστοιχη χρηματιστηριακή αξία της. Στην ίδια α- νάλυση λαμβάνεται υπόψη και το γενικότερο οικονομικό περιβάλλον στο οποίο δραστηριοποιείται η επιχείρηση όπως o πληθωρισμός, η οικονομική πολιτική, κ.τ.λ. Ακλουθώντας λοιπόν τις παραπάνω αναλύσεις, ο επενδυτής μπορεί να καταλήξει στα επιθυμητά για αυτόν χρεόγραφα και να επενδύσει σε αυτά. 4) Κατασκευή Χαρτοφυλακίου Μετά την ανάλυση των χρεογράφων ακολουθεί η κατασκευή του χαρτοφυλακίου. Χαρτοφυλάκιο λέγεται ο συνδυασμός των χρεογράφων τα οποία κατέχει ο επενδυτής. Για την κατασκευή του πρέπει να καθοριστεί η ακριβής ποσότητα χρημάτων που θα επενδυθούν σε κάθε χρεόγραφο. Ένας επίσης πολύ σημαντικός παράγοντας που πρέπει να ληφθεί υπ όψη είναι η διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου. Η έννοια της διαφοροποίησης θα αναλυθεί στο επόμενο κεφάλαιο. 5) Αξιολόγηση Η αξιολόγηση του χαρτοφυλακίου είναι η εκτίμηση της απόδοσης του. Για την αξιολόγηση του είναι σημαντικό να συγκριθεί η απόδοση του, με την απόδοση κάποιου άλλου χαρτοφυλακίου με παρόμοια χαρακτηριστικά κινδύνου. 6) Αναθεώρηση Το τελευταίο βήμα της επενδυτικής διαδικασίας είναι η Αναθεώρηση του χαρτοφυλακίου. Η αναθεώρηση περιλαμβάνει την εφαρμογή όλων των προηγούμενων βημάτων. Αυτό συμβαίνει διότι δεδομένα όπως οι στόχοι και οι πόροι μπορεί να αλλά- 7

10 ξουν. Με περαιτέρω ανάλυση των χρεογράφων μπορεί να μεταβληθούν οι εκτιμήσεις της απόδοσης και του κινδύνου, και νέα χρεόγραφα να είναι πιο ελκυστικά. Συνεπώς η Αναθεώρηση του Χαρτοφυλακίου είναι η συνεχής επανάληψη των βημάτων της επενδυτικής διαδικασίας. 8

11 Η Έννοια της Απόδοσης Η έννοια της απόδοσης (return) ορίζεται ως η ποσοστιαία μεταβολή της αξίας της επένδυσης, κατά τη διάρκεια ενός δεδομένου χρονικού διαστήματος. Η απόδοση είναι η κινητήρια δύναμη στην επενδυτική διαδικασία και αποτελεί την ανταμοιβή του επενδυτή για την ανάληψη του ρίσκου. Η πραγματοποιηθείσα απόδοση (hstorcal return) είναι η πραγματική απόδοση μιας επένδυσης, η οποία πραγματοποιήθηκε σε μια περασμένη χρονική περίοδο, οπότε οι τιμές των χρεογράφων είναι γνωστές. Η απόδοση R t ενός χρεογράφου τη χρονική στιγμή t ισούται με το λόγο της τελικής τιμής του διαστήματος που μελετάμε προς την αρχική τιμή -1. R t Pt 1 (1.1) Pt 1 Όπου: R t : Η απόδοση του χρεογράφου για τη χρονική περίοδο από t-1 έως t P t : Η τελική τιμή του χρεογράφου τη χρονική στιγμή t P : Η αρχική τιμή του χρεογράφου τη χρονική στιγμή t-1 t 1 Παράδειγμα: Οι τιμές κλεισίματος της μετοχής της Εθνικής Τράπεζας για περίοδο 2 ημερών έχουν ως εξής: Πίνακας 1.1 Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση 1/8/2016 0,189 2/8/2016 0,170-10,05% 9

12 Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.1) και αντικαθιστώντας τα δεδομένα προκύπτει ότι η απόδοση μίας περιόδου είναι -10,05% Δεδομένων των αποδόσεων R 1,R 2 R t για μια σειρά t περιόδων η Συνολική Απόδοση (TR) μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: T TR (1 Rt ) 1 (1.2) t1 Συνεχίζοντας από το προηγούμενο παράδειγμα, Πίνακας 1.2 Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση 1/8/2016 0,189 2/8/2016 0,170-10,05% 3/8/2016 0,172-1,2% η συνολική απόδοση της μετοχής για τρείς περιόδους είναι 1 0,1 *(1 0, 012) 1 0,1108 Τη στιγμή που πραγματοποιείται η επένδυση, ο επενδυτής προφανώς δεν μπορεί να γνωρίζει με απόλυτη βεβαιότητα την μελλοντική της εξέλιξη. Άρα η αξιολόγηση της επένδυσης δεν μπορεί παρά να βασίζεται σε εκτιμήσεις όσον αφορά την απόδοσή της, οι οποίες αναπόφευκτα εμπεριέχουν κάποιο βαθμό αβεβαιότητας. Γενικά, ο υπολογισμός της αναμενόμενης (μέσης) απόδοσης E(R) όταν υπάρχει διαθέσιμο ένα δείγμα ιστορικών στοιχείων για n περιόδους πραγματοποιείται ως εξής: ER ( ) n t1 n R t (1.3) 10

13 Πίνακας 1.3 Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση 1/8/2016 0,189 2/8/2016 0,170-10,05% 3/8/2016 0, % Η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής είναι, 0,1005 0, 0118 ( R) 0, Στην περίπτωση όπου οι αποδόσεις του χρεογράφου δεν θεωρούνται ισοδύναμα πιθανές τότε η αναμενόμενη απόδοση είναι ο σταθμικός μέσος όρος όλων των δυνητικών αποδόσεων μιας επένδυσης. Η κάθε δυνητική απόδοση σταθμίζεται με την αντίστοιχη πιθανότητα (Π) να συμβεί. Επομένως η αναμενόμενη απόδοση μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο: n E( R) R (1.4) 1 Οι αποδόσεις οι οποίες υπολογίζονται σύμφωνα με τη σχέση (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) είναι γνωστές ως: Η σχέση (1.1) ως απλή αριθμητική απόδοση (arthmetc return), Η σχέση (1.2) ως συνολική αριθμητική απόδοση (total arthmetc return), και Οι σχέσεις (1.3) και (1.4) ως μέση αριθμητική απόδοση (mean arthmetc return).. Οι μαθηματικοί αυτοί τύποι αποτελούν τον συνηθέστερο τρόπο προσδιορισμού της απόδοσης μιας επένδυσης. Συχνά όμως, η χρήση των αριθμητικών αποδόσεων παρουσιάζει ορισμένες ανακρίβειες στα αποτελέσματα, κυρίως όταν η υ- πάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στις αποδόσεις από έτος σε έτος. Για να αντιμετωπιστούν αυτές οι ανακρίβειες στα αποτελέσματα εισάγεται η έννοια της γεωμετρικής απόδοσης. 11

14 Θεωρώντας ότι η αξία μιας επένδυσης σε δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές t- 1 και t είναι Ρ t-1 και Ρ t αντίστοιχα, η γεωμετρική (λογαριθμική) απόδοση ορίζεται ως: R G t P ln (1.5) G t G P t 1 Πίνακας 1.4 Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση 1/8/2016 0,189 2/8/2016 0,170-10,6% Ακολουθώντας τον τύπο (1.5) η γεωμετρική απόδοση της μετοχής είναι 0,170 ln ,189 Δεδομένων των γεωμετρικών αποδόσεων R 1,R 2, R t για μια σειρά T περιόδων, η συνολική γεωμετρική απόδοση (TR) μπορεί να υπολογιστεί αθροίζοντας τις επιμέρους γεωμετρικές αποδόσεις: TR G G G G G n P n P n P n 1 P 2 G ln ln... G G G G R (1.6) P 1 P n1 P n2 P 1 1 Πίνακας 1.5 Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση 1/8/2016 0,189 2/8/2016 0,170-10,6% 3/8/2016 0,172 1,17%. 12

15 Για την γεωμετρική απόδοση στο παράδειγμά μας έχουμε G TR 10,6% 1.17% 0,0943 Δεδομένου ενός συνόλου γεωμετρικών αποδόσεων για n χρονικές περιό- G δους, η μέση γεωμετρική απόδοση ER ( ) υπολογίζεται απλά ως η μέση τιμή των αποδόσεων αυτών: Πίνακας 1.6 G ER ( ) n t1 R n g t (1.7) Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση 1/8/2016 0,189 2/8/2016 0,170-10,6% 3/8/2016 0,172 1,17% G 0,106 0, 0117 Επομένως, η αναμενόμενη απόδοση είναι ER ( ) 0, Στην περίπτωση όπου τα διαθέσιμα δεδομένα αφορούν τις αριθμητικές α- ποδόσεις μιας επένδυσης για n χρονικές περιόδους τότε η μέση γεωμετρική απόδοση μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση: 1/ n n G E( R ) (1 Rt ) 1 (1.8) t1 Η μέση γεωμετρική απόδοση ουσιαστικά προσδιορίζει την απόδοση με την οποία επανεπενδύονται τα αποτελέσματα κάθε χρονικής περιόδου μιας επένδυσης μέχρι τη λήξη της. Γίνεται δηλαδή η υπόθεση ότι τα κέρδη ή οι ζημίες κάθε περιόδου από την επένδυση επανεπενδύονται σε αυτή και μεταφέρονται έτσι στην αμέσως επόμενη χρονική περίοδο. Αντιθέτως η αριθμητική απόδοση υποθέτει ότι τα αποτελέσματα της επένδυσης που επιτυγχάνονται σε κάθε χρονική περίοδο ρευστοποιούνται και το επενδυμένο ποσό παραμένει σταθερό. Έτσι, ο αριθμητικός μέ- 13

16 σος θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν ενδιαφερόμαστε να παρουσιάσουμε τη μέση απόδοση μιας επένδυσης, για μία μόνο περίοδο ή για ένα μόνο έτος. Αν όμως ενδιαφερόμαστε να παρουσιάσουμε την απόδοση μιας επένδυσης για πολλές περιόδους, τότε πρέπει να χρησιμοποιείται ο γεωμετρικός μέσος. Η Έννοια του Κίνδυνου Στη διεθνή βιβλιογραφία ως κίνδυνος αναφέρεται η πιθανότητα το πραγματικό α- ποτέλεσμα από μια επένδυση να διαφέρει από το αναμενόμενο. Γενικά όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η διαφορά τόσο μεγαλύτερος είναι και ο κίνδυνος της επένδυσης. Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι όσο μεγαλύτερη η διασπορά των αποδόσεων μιας επένδυσης γύρω από την αναμενόμενη απόδοση της τόσο μεγαλύτερος ο κίνδυνος που αυτή περιέχει. Αν, για παράδειγμα, δεν υπάρχει διασπορά των πιθανών αποτελεσμάτων γύρω από το αναμενόμενο τότε δεν υπάρχει και κίνδυνος. Μετά τα παραπάνω, ο ακριβής ορισμός που δίνεται στον κίνδυνο είναι η μεταβλητότητα (varablty) των πιθανών αποτελεσμάτων (αποδόσεων) γύρω από την αναμενόμενη τιμή τους ή τον αριθμητικό τους μέσο. Από τη στατιστική, το πλέον δημοφιλές εργαλείο μέτρησης της μεταβλητότητας είναι το μέτρο της τυπικής απόκλισης και της διακύμανσης. Επομένως η διακύμανση των αναμενόμενων αποδόσεων δίνεται από την σχέση: 2 n ( R E( R)) N 1 2 (1.9) Παράδειγμα: Πίνακας 1.7 Ημερομηνία Τιμή κλεισίματος Απόδοση Κίνδυνος 1/8/2016 0, % 2/8/2016 0,170-10,6% 3/8/2016 0,172 1,17% 14

17 Αντικαθιστώντας στον τύπο, η διακύμανση των αποδόσεων της μετοχής της εθνικής τράπεζας είναι 2 0,007%, όμως για τον κίνδυνο, χρησιμοποιείται το 2 μέτρο της τυπικής απόκλισης. Επομένως, 0,007% 0.85% Εάν οι αποδόσεις των χρεογράφων δεν θεωρούνται ισοδύναμα πιθανές, τότε πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητα τους να συμβούν. Επομένως η διακύμανση, υπολογίζεται από τον τύπο: n 2 2 ( R E( R)) 1 (1.10) 15

18 Πηγές Κινδύνου Σύμφωνα με την παραδοσιακή προσέγγιση όλες οι επενδύσεις εμπεριέχουν κίνδυνο. Ο κίνδυνος αυτός προέρχεται από πολλές πηγές οι κυριότερες των οποίων είναι οι εξής: Κίνδυνος αγοράς Προέρχεται από τις μεταβολές στην χρηματιστηριακή αγορά και επηρεάζει όλες τις επενδύσεις και ιδιαίτερα τις μετοχές. Κίνδυνος επιτοκίων Μια πιθανή μεταβολή στα επιτόκια της αγοράς επηρεάζει την απόδοση μιας επένδυσης. Εάν υποθέσουμε ότι αυξάνονται τα επιτόκια της αγοράς τότε θα μειωθούν οι τιμές των αξιόγραφων και το αντίστροφο. Κίνδυνος πληθωρισμού Ο πληθωρισμός επηρεάζει το γενικό επίπεδο τιμών. Έτσι αν ο πληθωρισμός για το μέλλον είναι αβέβαιος τότε και η πραγματική απόδοση μιας επένδυσης ε- μπεριέχει κίνδυνο ακόμη και αν η ονομαστική της απόδοση είναι βέβαιη. Επιχειρηματικός / Χρηματοοικονομικός κίνδυνος Αυτού του είδους ο κίνδυνος προέρχεται από την επένδυση σε μια επιχείρηση και οφείλεται στην λειτουργία και την δραστηριότητα της ίδιας της επιχείρησης καθώς και από το ύψος των δανειακών της κεφαλαίων. Κίνδυνος ρευστότητας Είναι ο κίνδυνος ο οποίος προέρχεται από την αβεβαιότητα που υπάρχει σχετικά με τον χρόνο που απαιτείται για την μετατροπή της επένδυσης σε μετρητά. Συναλλαγματικός κίνδυνος Η απόδοση των χρεογράφων εξαρτάται από την μεταβολή της συναλλαγματικής ισοτιμίας. Μια υποτίμηση του ευρώ έναντι κάποιου άλλου νομίσματος θα μειώσει την απόδοση των ελληνικών μετοχών για τους ξένους επενδυτές. 16

19 Πολιτικός κίνδυνος Είναι ο κίνδυνος που οφείλεται στην αστάθεια του πολιτικού και οικονομικού περιβάλλοντος της χώρας. Η σύγχρονη ανάλυση χωρίζει τους κινδύνους σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία είναι ο συστηματικός κίνδυνος και η δεύτερη ο μη συστηματικός κίνδυνος. Στην πρώτη περίπτωση ο κίνδυνος προέρχεται από τις κινήσεις της αγοράς και δεν μπορεί να εξαλειφθεί από τον επενδυτή με την διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου. Αντιθέτως, ο μη συστηματικός κίνδυνος προέρχεται από τη λειτουργία των ίδιων των επιχειρήσεων και μπορεί να εξαλειφθεί με την διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου. Ο μη συστηματικός κίνδυνος περιλαμβάνει τον επιχειρηματικό / χρηματοοικονομικό κίνδυνο, τον κίνδυνο ρευστότητας, τον συναλλαγματικό κίνδυνο και τον πολιτικό κίνδυνο. Οι παραπάνω έννοιες θα αναλυθούν στο επόμενο κεφάλαιο. 17

20 Σχέση Απόδοσης Κινδύνου Η απόδοση μιας επένδυσης δεν μπορεί να εξεταστεί απομονωμένα χωρίς να συμπεριληφθεί και η εξέταση του κινδύνου της, αφού όλες οι επενδυτικές αποφάσεις περιλαμβάνουν μια ανταλλαγή, ένα συμβιβασμό (trade-off) μεταξύ απόδοσης και κινδύνου. Έστω ότι ένας επενδυτής επιθυμεί να αποφύγει κάθε πρακτικό κίνδυνο στην επένδυση του. Ο ασφαλέστερος τρόπος να το εξασφαλίσει αυτό είναι να καταθέσει τα διαθέσιμα για αυτόν κεφάλαια προς επένδυση σε ένα τραπεζικό λογαριασμό ή σε μία προθεσμιακή κατάθεση κάποιας συγκεκριμένης χρονικής διάρκειας έτσι ώστε να κερδίσει ένα εγγυημένο και προκαθορισμένο ποσό. Σε αυτή την περίπτωση μαζί με τον κίνδυνο απώλειας χρημάτων αφαιρείται και η δυνατότητα του επενδυτή να κερδίσει μεγαλύτερη απόδοση από αυτή της προκαθορισμένης απόδοσης που παρέχει η εκάστοτε τράπεζα. Επομένως ένας επενδυτής που θέλει να επιτύχει μεγαλύτερες αποδόσεις, πρέπει να είναι διατεθειμένος να αναλάβει μεγαλύτερο ρίσκο και να είναι προετοιμασμένος για την πιθανότητα να χάσει κάποια χρήματα. Στα χρηματοοικονομικά οι επενδυτές εξετάζονται και κατηγοριοποιούνται ανάλογα με την αποστροφή τους ως προς τον κίνδυνο (rsk averson). Αυτή εκφράζει το δισταγμό του επενδυτή να αποδεχθεί μια ευκαιρία με αβέβαιη απόδοση, δηλαδή δυνητικά μεγάλου κέρδους ή και μικρής ζημιάς και την προτίμηση μιας λιγότερο κερδοφόρας μεν αλλά με αρκετά μικρότερο κίνδυνο, εναλλακτικής επενδυτικής επιλογής. Ο συντηρητικός επενδυτής (rsk-averse) τείνει να αποφεύγει κάθε είδους ρίσκο και να προτιμάει μικρότερες και περισσότερο σίγουρες αναμενόμενες αποδόσεις. Ο συντηρητικός επενδυτής προτίθεται να αναλάβει πρόσθετο κίνδυνο μόνο όταν η αναμενόμενη απόδοση είναι ιδιαίτερα σημαντική. Ο ουδέτερος ως προς τον κίνδυνο (rsk-neutral) επενδυτής είναι αδιάφορος ως προς τις αναλογικές με την αναμενόμενη απόδοση αυξομειώσεις του κινδύνου, καθώς συμβιβάζεται με το γεγονός ότι η μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοση είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την ανάληψη μεγαλύτερου ρίσκου και αναλαμβάνει πρόσθετο κίνδυνο σε σχέση με το συντηρητικό επενδυτή, αρκεί να προσδοκά αναλογικά πρόσθετα οφέλη. Ο ριψοκίνδυνος επενδυτής (rsk-lover) θα προτιμήσει πάντοτε την ανάληψη υψηλότερων ρί- 18

21 σκων ακόμη κι αν αυξάνεται δυσανάλογα και ελάχιστα η αναμενόμενη απόδοση των επενδυτικών προϊόντων, έστω και αν μια παρόμοια επενδυτική επιλογή με λίγο χαμηλότερη απόδοση και πολύ μικρότερο κίνδυνο είναι διαθέσιμη. Κάθε επενδυτής επομένως λαμβάνει τις επενδυτικές του αποφάσεις σύμφωνα με την στάση του απέναντι στον κίνδυνο. Ο καλύτερος τρόπος για να απεικονίσουμε γραφικά τις προτιμήσεις και των τριών κατηγοριών επενδυτών είναι, να εξετάσουμε τις συναρτήσεις χρησιμότητάς τους (utlty functons). Οι συναρτήσεις χρησιμότητας του επενδυτή στο επίπεδο χρησιμότητας-πλούτου απεικονίζονται στο παρακάτω διάγραμμα. Διάγραμμα Η συνάρτηση χρησιμότητας 1 αντιστοιχεί στον τύπο επενδυτή ο οποίος επιδιώκει τον κίνδυνο (rsk-lover). Ο ριψοκίνδυνος επενδυτής εκτιμά ότι οι προοπτικές κέρδους των επενδύσεων του είναι μεγαλύτερες από την αναμενόμενη απόδοση τους. 19

22 2. Η συνάρτηση χρησιμότητας 2 αντιστοιχεί στον επενδυτή που είναι ουδέτερος ως προς τον κίνδυνο (rsk-neutral). Ο ουδέτερος προς τον κίνδυνο επενδυτής διαμορφώνει το χαρτοφυλάκιό του με μοναδικό κριτήριο την αναμενόμενη απόδοση και δε λαμβάνει υπόψη του τον κίνδυνο. Εκτιμά ότι οι προοπτικές κέρδους του είναι ίσες με την αναμενόμενη απόδοσή τους. 3. Η καμπύλη χρησιμότητας 3 αντιστοιχεί στον συντηρητικό επενδυτή ο οποίος αποστρέφεται τον κίνδυνο (rsk-averter). Ο συντηρητικός επενδυτής θεωρεί πως οι προοπτικές κέρδους των επενδύσεων του είναι μικρότερες από τις αναμενόμενες αποδόσεις τους. Λαμβάνει δηλαδή υπόψη του τον κίνδυνο. Συμφώνα με την σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου που θα παρουσιαστεί στο επόμενο κεφάλαιο, οι επενδυτές αποστρέφονται στον κίνδυνο (rsk averse). Ε- μπειρικές έρευνες έχουν αποδείξει ότι η σχέση μεταξύ αναμενόμενης απόδοσης και κινδύνου είναι θετική. Οι επενδύσεις οι οποίες ενέχουν υψηλότερο κίνδυνο θα πρέπει να προσφέρουν και στους επενδυτές μεγαλύτερη απόδοση για να τις προτιμήσουν. Συνεπώς η συνάρτηση χρησιμότητας που εκφράζει τις επενδύσεις είναι εκείνη του συντηρητικού επενδυτή. Οι προτιμήσεις του μεταξύ αναμενόμενης απόδοσης και κινδύνου μπορούν να παρουσιαστούν γραφικά μέσω των καμπυλών αδιαφορίας του, στο χώρο αναμενόμενης απόδοσης και κινδύνου. Οι καμπύλες αδιαφορίας του επενδυτή είναι ά- πειρες και παράλληλες όπως φαίνεται και στο επόμενο γράφημα. Διάγραμμα

23 Ο επενδυτής είναι αδιάφορος ανάμεσα στα σημεία (Ε(R), σ) που βρίσκονται στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Τα σημεία που βρίσκονται στην καμπύλη Ι 2 προτιμούνται από εκείνα της καμπύλης Ι 1 αφού προσφέρουν μεγαλύτερη απόδοση για δεδομένο επίπεδο κινδύνου. Ομοίως και τα σημεία που βρίσκονται στην καμπύλη Ι 3 προτιμούνται από τα εκείνα της Ι 2 και Ι 1. 21

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μία από τις σημαντικές προόδους στον τομέα των επενδύσεων κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών είναι, η αναγνώριση ότι δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα βέλτιστο χαρτοφυλάκιο επενδύσεων απλά συνδυάζοντας πολλούς μεμονωμένους τίτλους που έχουν τα επιθυμητά χαρακτηριστικά κινδύνου-απόδοσης. Συγκεκριμένα, έχει αποδειχθεί ότι ένας επενδυτής πρέπει να εξετάσει τη σχέση μεταξύ των χρεογράφων για την κατασκευή ενός βέλτιστου χαρτοφυλακίου που θα καλύψει τους επενδυτικούς του στόχους. Η αναγνώριση για το πώς να δημιουργήσουμε ένα βέλτιστο χαρτοφυλάκιο παρουσιάστηκε στη Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου. Η Σύγχρονη Θεωρία Χαρτοφυλακίου ασχολείται με την αποτελεσματική διαχείριση ενός χαρτοφυλακίου και στόχο έχει την επίτευξη συγκεκριμένων επενδυτικών σκοπών. Η επιστήμη της διαχείρισης χαρτοφυλακίου ουσιαστικά βοηθάει τον επενδυτή να αποκομίσει τα μέγιστα δυνατά κέρδη από μια επενδυτική επιλογή, έ- χοντας παράλληλα υποστεί το μικρότερο δυνατό κίνδυνο, σε μακροπρόθεσμο χρονικό ορίζοντα. Το 1952 ήταν μια καθοριστική χρονιά για την εξέλιξη της σύγχρονης θεωρίας χαρτοφυλακίου, με τη δημοσίευση του Harry Markowtz στη Journal of Fnance. Ο τίτλος της ήταν Portfolo Selecton. Περιέγραφε μια μέθοδο δημιουργίας αποτελεσματικών, διαφοροποιημένων χαρτοφυλακίων και αποτέλεσε την απαρχή όλης της σύγχρονης θεωρίας χαρτοφυλακίου, ενώ έδωσε στον Markowtz το 1990 το βραβείο Nobel οικονομικών επιστημών (μαζί με τους Merton Mller και Wllam Sharpe). Μέχρι την εποχή που γράφτηκε δεν είχε διατυπωθεί αντίστοιχη ολοκληρωμένη θεωρία, δηλαδή γεννήθηκε σε σχεδόν μηδενική βάση και εισήγαγε ως πρωταρχική την έννοια της διαφοροποίησης των επενδύσεων. Η διαφοροποίηση (dversfcaton) υπήρχε σαν ιδέα και πριν από τον Markowtz, ως τρόπος εξάλειψης του επενδυτικού κινδύνου. Ο ίδιος όχι μόνο επιβεβαίωσε μαθηματικά τη διαφοροποίηση αλλά έδειξε και ότι ο κίνδυνος δε μηδενίζεται μέσω αυτής, αλλά μπορεί να 22

25 μειωθεί αρκετά, κρατώντας σταθερή τη δεύτερη βασική συνιστώσα του προβλήματος, δηλαδή την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. Ο Markowtz λοιπόν ποσοτικοποίησε το ρίσκο και απέδειξε πως ο κατάλληλος συνδυασμός χρεογράφων, σε συγκεκριμένες αναλογίες και με τα κατάλληλα χαρακτηριστικά μπορεί να εξασφαλίσει την υψηλότερη δυνατή απόδοση σε ένα χαρτοφυλάκιο για δεδομένο επίπεδο ρίσκου. Έτσι εισήγαγε την μέχρι τότε ανύπαρκτη έννοια του αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου και κατ επέκταση του αποτελεσματικού συνόρου. Πριν τον Markowtz η προσέγγιση ήταν σχετικά απλή και μονοδιάστατη και είχε ως εξής: ο επενδυτής επέλεγε κάθε αξιόγραφο ανεξάρτητα από τα άλλα, με κριτήριο την απόδοση και τον κίνδυνό του. Ο Markowtz μέσω της διαφοροποίησης έκανε την καινοτόμο πρόταση να επιλέγονται τα αξιόγραφα με στόχο το τελικό συνολικό χαρτοφυλάκιο να είναι αποτελεσματικό (βέλτιστο), χωρίς να δίνεται αποκλειστική βάση στα επιμέρους στοιχεία των χρεογράφων, αλλά στη μεταξύ τους σχέση. Όπως θα δούμε και στις επόμενες παραγράφους, μετά την αρχική δημοσίευση του 1952, ήρθε ο Tobn το 1958 και εισήγαγε στην αρχική θεωρία το χρεόγραφο μηδενικού κινδύνου (rsk free asset). Αν έχουμε ένα χαρτοφυλάκιο που είναι αποτελεσματικό και το συνδυάσουμε με το χρεόγραφο μηδενικού κινδύνου, μπορούμε να επιτύχουμε μεγαλύτερη απόδοση, με το ίδιο ρίσκο. Ακολούθησε η έκδοση του βιβλίου του Markowtz το 1959 και η επέκταση της θεωρίας του το 1964 από το Sharpe, ο οποίος ήταν ένας εκ των θεμελιωτών του υποδείγματος του ενός δείκτη( Sngle Index model). Το Sngle Index model εισήγαγε τις έννοιες του συστηματικού και ειδικού ή μη συστηματικού κινδύνου. Ακολούθησαν και άλλα υποδείγματα ό- πως η θεωρία αντισταθμιστικής αποτίμησης (arbtrage prcng theory-apt) (Stephen Ross 1976) και έγιναν αρκετές μελέτες όχι μόνο προς την κατεύθυνση του υποδείγματος του Markowtz αλλά και με διαφορετικές προσεγγίσεις. Το υπόδειγμα το οποίο εισήγαγε ο Markowtz ονομάζεται επίσης μοντέλο μέσου-διακύμανσης (mean-varance model), το οποίο οφείλεται στο γεγονός ότι βασίζεται στην αναμενόμενη απόδοση (μέση τιμή) και την τυπική απόκλιση (κίνδυνο) των διαφόρων χαρτοφυλακίων. Ο Markowtz έκανε τις ακόλουθες υποθέσεις σχετικά με τη συμπεριφορά των επενδυτών και των χρηματοπιστωτικών αγορών : 23

26 Ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου οφείλεται στη μεταβλητότητα των αποδόσεων του εν λόγω χαρτοφυλακίου. Ο επενδυτής είναι απρόθυμος να αναλάβει επιπρόσθετο ρίσκο (rsk averse). Ο επενδυτής προτιμά πάντα να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητα του. Η συνάρτηση χρησιμότητας (utlty functon) του επενδυτή είναι κοίλη και αύξουσα, λόγω της αποστροφής του προς τον κίνδυνο και της προτίμησής του στην κατανάλωση. Η ανάλυση βασίζεται στο μοντέλο μίας επενδυτικής περιόδου. Ο επενδυτής είτε μεγιστοποιεί την απόδοση του χαρτοφυλακίου του, για ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου, είτε επιζητά την ελαχιστοποίηση του κινδύνου, με δεδομένη την επιθυμητή αναμενόμενη απόδοση. Οι επενδυτές εξετάζουν τη κάθε επένδυση θεωρώντας ότι αντιπροσωπεύεται από μια κατανομή των πιθανοτήτων των αναμενόμενων αποδόσεών της. 24

27 Αναμενόμενη Απόδοση Χαρτοφυλακίου Η αναμενόμενη απόδοση ενός χαρτοφυλακίου υπολογίζεται σαν το μέσο σταθμικό όρο των αναμενόμενων αποδόσεων τον μετοχών που το αποτελούν. Δηλαδή το ποσοστά (w) των συνολικών επενδυμένων κεφαλαίων που έχουν τοποθετηθεί σε κάθε αξιόγραφο. Όπου το άθροισμα των ποσοστών (w ) αντιπροσωπεύει το συνολικό επενδυμένο κεφάλαιο. n E( r ) w E r (2.1) P 1 Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε δημιουργήσει χαρτοφυλάκιο τριών μετοχών και τα ποσοστά 1 επένδυσης σε αυτές, ισοκατανέμονται. Δηλαδή, w1 w2 w3 w. Το αρχικό κεφάλαιο επένδυσης ( w ) είναι 900. n Οι τρείς μετοχές είναι οι: 1. Μετοχή της Εθνικής Τράπεζας (ΕΤΕ) 2. Μετοχή της Ελληνικά Πετρέλαια (ELPE) 3. Μετοχή της Jumbo (ΜΠΕΛΑ) 3 n Πίνακας 2.1 Ημερομηνία ΕΤΕ ELPE ΜΠΕΛΑ 1/8/2016 0,189 3,80 10,69 2/8/2016 0,170 3,68 10,76 3/8/2016 0,172 3,68 10,56 Ε(R ) Αφού υπολογιστούν οι αναμενόμενες αποδόσεις των χρεογράφων, η απόδοση του χαρτοφυλακίου υπολογίζεται με τον τύπο (2.1). Επομένως για την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου έχουμε: ERP ( ) ( 0.016) ( ) ή 2,307%

28 Κίνδυνος Χαρτοφυλακίου Ο κίνδυνος της χαρτοφυλακίου περιλαμβάνει το κίνδυνο του κάθε μεμονωμένου χρεογράφου που περιέχει, καθώς και τις διακυμάνσεις των αποδόσεων όλων των ζευγαριών των χρεογράφων που περιέχει. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των χρεογράφων που περιλαμβάνει το χαρτοφυλάκιο, τόσο μεγαλύτερη είναι η σχετική βαρύτητα της μέσης διακύμανσης των αποδόσεων των χρεογράφων. Οι παράγοντες που καθορίζουν το κίνδυνο της χαρτοφυλακίου είναι: οι διακυμάνσεις των αποδόσεων κάθε χρεογράφου οι συνδιακυμάνσεις των αποδόσεων μεταξύ των χρεογράφων που περιέχονται στο χαρτοφυλάκιο οι σταθμίσεις που έχει το κάθε χρεόγραφο (δηλαδή το ποσοστό της άξιας του χαρτοφυλακίου που έχει επενδυθεί στο χρεόγραφο αυτό). Ο κίνδυνος της χαρτοφυλακίου μετριέται με την τυπική απόκλιση σ P και εκφράζεται με τον εξής τύπο : n n n Rp p w w wj r rj (2.2) Var Cov, 1 1 j1 j Όπου: σ 2 p : Διακύμανση του Χαρτοφυλακίου W : Τα ποσοστά επένδυσης στα χρεόγραφα Cov( r,r j ): Η συνδιακύμανση μεταξύ των χρεογράφων Η συνδιακύμανση μπορεί επίσης να εκφραστεί σε όρους συσχέτισης των αποδόσεων ως εξής: Cov r, r j j j Όπου: ρ j : Συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των χρεογράφων I και j. Επομένως, αντικαθιστώντας στον τύπο, η διακύμανση του χαρτοφυλακίου μπορεί να εκφραστεί ως: 26

29 Var n n n 2 2 Rp w w wjj j (2.3) 1 1 j1 j Οι τιμές που μπορεί να λάβει ο συντελεστής συσχέτισης κυμαίνονται μεταξύ [-1,1]. Εάν Ρ 12 =1 Τότε υπάρχει πλήρης θετική συσχέτιση των αποδόσεων των χρεογράφων. Δηλαδή οι αποδόσεις των χρεογράφων κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Ρ 12 =-1 Τοτε υπάρχει πλήρης αρνητική συσχέτιση μεταξύ των αποδόσεων των χρεογράφων. Δηλαδή οι αποδόσεις κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Ρ 12 =0 Τότε δεν υπάρχει γραμμική συσχέτιση μεταξύ των αποδόσεων των χρεογράφων. Παράδειγμα (Συνέχεια) Πίνακας 2.2 Ημερομηνία ΕΤΕ ELPE ΜΠΕΛΑ 1/8/2016 0,189 3,80 10,69 2/8/2016 0,170 3,68 10,76 3/8/2016 0,172 3,68 10,56 Ε(R ) σ 0.085% 0.57% 0.83% Για να υπολογιστεί ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου πρέπει αρχικά να υπολογιστεί ο κίνδυνος του κάθε χρεογράφου, και οι συνδιακυμάνσεις τους. Για τον κίνδυνο του κάθε χρεογράφου συμφώνα με τον τύπο του κινδύνου, υπολογίζεται ότι: σ ΕΤΕ = σ ELPE = σ ΜΠΕΛΑ = Και για τις συνδιακυμάνσεις τους: Cov ( σ ETE, σ ELPE ) =

30 Cov ( σ ΕΤΕ, σ ΜΠΕΛΑ ) = Cov ( σ ΕΛΠΕ, σ ΜΠΕΛΑ ) = Αφού υπολογίστηκαν τα παραπάνω, πλέον είναι εφικτό να υπολογιστεί και ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου. Για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου σύμφωνα με τον τύπο (2.2) για τρείς μετοχές έχουμε: w w w 2 w w Cov( ETE, ELPE) P ETE ELPE ELPE ETE ELPE 2 w w Cov( ETE, ) 2 w w Cov(, ) ETE ή 4.2% P Απόδοση και Κίνδυνος Χαρτοφυλακίου με τη χρήση πινάκων Στην περίπτωση του χαρτοφυλακίου που αποτελείται από n πλήθος χρεογράφων με αναμενόμενες αποδόσεις E( R1), E( R2),..., E( R n), τυπικές αποκλίσεις 1, 2,..., n και ποσοστά επένδυσης ανά χρεόγραφο w1, w2,..., w n οι γενικοί τύποι απόδοσης και κινδύνου του χαρτοφυλακίου όπως έχουμε ήδη διατυπώσει είναι οι εξής: E( r ) w E r n P 1 n n n 2 2 p w w wjcov r, rj 1 1 j1 j Οι παραπάνω τύποι μπορούν να εκφραστούν και με την χρήση τριών πινάκων. Στην περίπτωση πολλών χρεογράφων προτιμάται η χρήση πινάκων αφού είναι απλούστερη και πιο συμπυκνωμένη. Ό πρώτος πίνακας περιέχει τις αναμενόμενες αποδόσεις των χρεογράφων και έχει μέγεθος n *1 : 28

31 ER ( 1) ER ( 2). ER ( ).. ER ( n) Ο δεύτερος πίνακας περιέχει τα ποσοστά επένδυσης των χρεογράφων που περιέχονται στο χαρτοφυλάκιο και έχει μέγεθος n *1: w1 w 2. w.. w n Ο τρίτος πίνακας, ονομάζεται μήτρα συνδιακυμάνσεων. Περιέχει δηλαδή τις συνδιακυμάνσεις των αποδόσεων των χρεογράφων και κάθε στοιχείο που βρίσκεται στην διαγώνιο του, αντιστοιχεί στη διακύμανση του κάθε χρεογράφου. Ο πίνακας έχει μέγεθος n* n και είναι συμμετρικός αφού Cov(, j) Cov( j, ), j. V 2 1 1n n1 2 n Χρησιμοποιώντας τώρα τους πίνακες ER, ( ) w, V οι τύποι της αναμενόμενης απόδοσης και του κινδύνου του χαρτοφυλακίου είναι: w1 E( R1) w 2 E( R2) T.. E( Rp) w E( R).... wn E( Rn) T (2.4) 29

32 p T w1 w1 w 2 w n T.. w Vw. 2. n 1 n.. wn wn (2.5) Η έννοια της διαφοροποίησης Εξετάζοντας τους παραπάνω παράγοντες που καθορίζουν τη διακύμανση της απόδοσης ενός χαρτοφυλακίου είναι φανερό ότι ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου εξαρτάται από την συνδιακύμανση και κατ επέκταση από τον συντελεστή συσχέτισης των αποδόσεων των επιμέρους χρεογράφων. Επομένως για να μειωθεί ο κίνδυνος, για ένα δεδομένο επίπεδο απόδοσης, είναι απαραίτητη η διαφοροποίηση (dversfcaton) του χαρτοφυλακίου. Η διαφοροποίηση συνίσταται στην διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου από όσο το δυνατόν περισσότερα και κατάλληλα επιλεγμένα χρεόγραφα, ώστε να μειωθεί σε σημαντικό ποσοστό η μεταβλητότητα της συνολικής απόδοσης του χαρτοφυλακίου. Βασική συνιστώσα της διαφοροποίησης αποτελεί η επιλογή χρεογράφων των οποίων οι αποδόσεις είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους, δηλαδή ο συντελεστής συσχέτισής τους τείνει στο μηδέν. Για να το εξετάσουμε αυτό, υποθέτουμε ότι επενδύουμε σε ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο περιέχει n αξιόγραφα, όπου οι αποδόσεις τους είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους, (σ j =0). Ο τύπος υπολογισμού του κινδύνου όπως είδαμε είναι: n n n rp p w w wj r rj Var Cov, 1 1 j1 j Var n rp p w 1 30

33 Αν υποθέσουμε ότι και το κεφάλαιο μας, ισοκατανέμεται μεταξύ των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου μας, δηλαδή W 1 =W 2 =W 3 =.=W n = 1/n τότε ο τύπος ισοδύναμα ισούται με: n 2 n n n 1 n n (2.6) Όπου : 2 είναι η μέση διακύμανση των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Μετά από την παραπάνω ανάλυση, διαπιστώνουμε ότι, καθώς ο αριθμός 1 2 των χρεογράφων (n) αυξάνεται, τότε ο όρος n μειώνεται και όσο το (n) τότε ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου τείνει στο μηδέν. Επομένως ο κίνδυνος θεωρητικά μπορεί να εξαλειφθεί μέσω της τέλειας διαφοροποίησης του χαρτοφυλακίου. 31

34 Αποτελεσματικό Χαρτοφυλάκιο Για να θεωρηθεί ένα χαρτοφυλάκιο αποτελεσματικό, πρέπει πρώτα να οριστεί η έννοια του αποτελεσματικού. Σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία, αποτελεσματικό χαρτοφυλάκιο (effcent portfolo), είναι εκείνο που για δεδομένη απόδοση ε- μπεριέχει τον ελάχιστο κίνδυνο και αντιστρόφως, εκείνο που για δεδομένο επίπεδο κινδύνου παρουσιάζει τη μέγιστη δυνατή απόδοση. Η μαθηματική διατύπωση του αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου είναι: Ένα χαρτοφυλάκιο P είναι αποτελεσματικό μόνο αν δεν υπάρχει κάποιο άλλο χαρτοφυλάκιο P 1 τέτοιο ώστε να ισχύουν αυστηρά οι παρακάτω σχέσεις: p E Rp E R 1 και p1 p Για την καλύτερη κατανόηση του αποτελεσματικού και μη αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου παρουσιάζεται το διάγραμμα (2.1). Στο συγκεκριμένο διάγραμμα οι επιλογές που έχει ο επενδυτής προς επένδυση, είναι τα χαρτοφυλάκια A,B,C,D,E και F. Όμως πρέπει να εξετάσουμε ποια από αυτά είναι αποτελεσματικά και ποια όχι. Διάγραμμα 2.1 Για να καταλήξουμε στο ποια χαρτοφυλάκια είναι αποτελεσματικά και ποια όχι θα τα συγκρίνουμε ανά ζευγάρι, με κριτήριο την αναμενόμενη απόδοση και τον κίνδυνο τους. Για το ζευγάρι A και E, παρατηρούμε ότι έχουν την ίδια αναμενόμενη απόδοση, αλλά το χαρτοφυλάκιο Α έχει μικρότερο κίνδυνο. Αρά με σιγουριά μπο- 32

35 ρούμε να πούμε ότι το χαρτοφυλάκιο E δεν είναι αποτελεσματικό. Το ίδιο ισχύει και για τα χαρτοφυλάκια B και D. Το επόμενο κριτήριο που πρέπει να εξετάσουμε είναι ο κίνδυνος των χαρτοφυλακίων. Εξετάζουμε αρχικά το ζευγάρι B και F. Βλέπουμε ότι για δεδομένο επίπεδο κινδύνου, το χαρτοφυλάκιο B παρουσιάζει μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοση. Άρα το χαρτοφυλάκιο F δεν είναι αποτελεσματικό. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια είναι τα A, B και C, αφού υπερτερούν από τα υπόλοιπα όσον αφορά την απόδοση και τον κίνδυνό τους. Αποτελεσματικό Σύνορο Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη απόδοση, τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου καθώς και την σημαντικότητα της διαφοροποίησης του. Η απόφαση για επένδυση, προϋποθέτει τη σύγκριση του κινδύνου και της απόδοσης όλων των πιθανών χαρτοφυλακίων. Για να προβεί ένας ε- πενδυτής σε μια τεκμηριωμένη επιλογή χαρτοφυλακίου, πρέπει να γνωρίζει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς του κινδύνου και της απόδοσης, που μπορεί να πετύχει με εναλλακτικούς συνδυασμούς χαρτοφυλακίων. Μόνο με αυτή τη γνώση είναι δυνατόν να προβεί σε τεκμηριωμένη επιλογή χαρτοφυλακίου. Το σημείο εκκίνησης για τη διερεύνηση της σχέσης μεταξύ κινδύνου και απόδοσης είναι μια μελέτη των χαρτοφυλακίων που αποτελούνται από δύο μόνο περιουσιακά στοιχεία υψηλού κινδύνου (rsky assets) χωρίς δυνατότητα ανοικτών πωλήσεων (short-sellng). Οι συνδυασμοί μεταξύ κινδύνου και απόδοσης που κατασκευάζονται μας δίνουν το σχήμα των συνόρων το οποίο εξαρτάται κυρίως από τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των αποδόσεων των δύο στοιχείων του ενεργητικού. Το αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός του συνόλου των χαρτοφυλακίων από τα οποία ένας επενδυτής θα πρέπει να επιλέξει, και το σύνολο των χαρτοφυλακίων τα οποία δεν θα πρέπει να επιλεχθούν. 33

36 Αποτελεσματικό Σύνορο Χαρτοφυλακίου δύο Χρεογράφων Έστω ότι επενδύουμε σε ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο περιλαμβάνει 2 μόνο αξιόγραφα, τα 1 και 2. Τα ποσοστά επένδυσης σε αυτά τα χρεόγραφα είναι W1 και W2, όπου W1=(1-W2). Κάτω από αυτές τις συνθήκες, έχουμε τρείς ακραίες περιπτώσεις ανάλογα της τιμής του συντελεστή συσχέτισης των αποδόσεων. Περίπτωση 1 (ρ 12 = +1) Η πρώτη περίπτωση που θα αναλύσουμε είναι η περίπτωση της τέλειας θετικής συσχέτισης των αποδόσεων των χρεογράφων όπου Ρ 12 = 1. Δηλαδή η αποδόσεις των χρεογράφων, ταυτίζονται. Αντικαθιστώντας τον συντελεστή συσχέτισης στον τύπο του κινδύνου του χαρτοφυλακίου, έχουμε: p w 1 1 w 2 2 2w1 w2 1 2 p w w (2.7) Ο παραπάνω τύπος δείχνει ότι η τυπική απόκλιση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου λαμβάνεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα των τυπικών αποκλίσεων των αποδόσεων για τα μεμονωμένα περιουσιακά στοιχεία, όπου οι σταθμίσεις είναι οι α- ναλογίες του χαρτοφυλακίου. Παρατηρώντας και την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου: ( R ) w E( R ) w E( R ) p Έτσι η αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι επίσης ένα σταθμισμένο άθροισμα των αναμενόμενων αποδόσεων των αξιόγραφων του χαρτοφυλακίου. Στην περίπτωση που εξετάζουμε όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις, ο κίνδυνος και η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι απλοί γραμμικοί συνδυασμοί του 34

37 κινδύνου και της απόδοσης του κάθε επιμέρους αξιόγραφου. Αυτό σημαίνει ότι ό- λοι οι πιθανοί συνδυασμοί αυτών, βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία γραμμή, στο χώρο αναμενόμενης απόδοσης - κινδύνου. Διάγραμμα 2.2 Περίπτωση 2 (ρ 12 = -1) Η δεύτερη περίπτωση είναι, της τέλειας αρνητικής συσχέτισης των αποδόσεων των χρεογράφων, όπου Ρ12=-1. Δηλαδή εάν η απόδοση του ενός αυξάνεται, τότε η α- πόδοση του άλλου μειώνεται. Αντικαθιστώντας τον συντελεστή συσχέτισης στον τύπο του κινδύνου του χαρτοφυλακίου, έχουμε: p w 1 1 w 2 2 2w1 w2 1 2 Ο όρος στις παρενθέσεις είναι ένα τέλειο τετράγωνο και η λύση του μας δίνει δύο ισοδύναμες αποδεκτές λύσεις. p w1 1 w2 2 p w w (2.8) ή

38 Σε αυτή την περίπτωση η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου είναι η απόλυτη τιμή της σταθμικής διαφοράς των τυπικών αποκλίσεων. Είναι η απόλυτη τιμή, διότι η τυπική απόκλιση δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Όσον αφορά την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου, παραμένει έ- νας σταθμικός μέσος όρος των αναμενόμενων αποδόσεων των χρεογράφων, ήτοι: ( R ) W E( R ) W E( R ) p Όπως προηγουμένως, ο κίνδυνος και η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι απλοί γραμμικοί συνδυασμοί του κινδύνου και της απόδοσης του κάθε αξιογράφου. Όμως λόγω του ότι ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου χαρακτηρίζεται από δύο εξισώσεις, όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί των δύο αξιογράφων βρίσκονται πάνω σε δύο γραμμές στο χώρο απόδοσης κινδύνου. Διάγραμμα 2.3 Σημαντικό γεγονός, αναφορικά με το αποτελεσματικό σύνορο στην περίπτωση όπου ο συντελεστής συσχέτισης είναι Ρ12=1, είναι ότι υπάρχει ένας συγκεκριμένος συνδυασμός χρεογράφων, τέτοιος ώστε ο συνολικός κίνδυνος του χαρτοφυλακίου να μηδενίζεται (σ p =0). Αυτό το χαρτοφυλάκιο ορίζεται ως χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου (ΧΜΚ). Συγκεκριμένα, όταν τα ποσοστά των επενδυμένων κεφαλαίων στα 36

39 χρεόγραφα είναι αντιστρόφως ανάλογα των σχετικών κινδύνων τους, τότε ο συνολικός κίνδυνος του χαρτοφυλακίου είναι μηδέν. Δηλαδή όταν ισχύει: W W W W Και αντικαταστήσουμε στον τύπο του κινδύνου, W p 1 W2 2 1 Ο συνολικός κίνδυνος μηδενίζεται. Περίπτωση 3 (ρ 12 = 0) Η Τρίτη και τελευταία περίπτωση είναι εκείνη των ασυσχέτιστων αποδόσεων μεταξύ των αξιόγραφων. Δηλαδή ο συντελεστής συσχέτισης Ρ 12 =0. Αντικαθιστώντας και πάλι στον τύπο του κινδύνου του χαρτοφυλακίου έχουμε: p w 1 1 w 2 2 (2.9) Όπως φαίνεται η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου είναι η τετραγωνική ρίζα του σταθμικού μέσου όρου των διακυμάνσεων των δυο αξιόγραφων. Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις η αναμενόμενη απόδοση είναι ο σταθμικός μέσος όρος των αναμενόμενων αποδόσεων των αξιόγραφων του χαρτοφυλακίου. ( R ) W E( R ) W E( R ) p

40 Στην περίπτωση αυτή ο κίνδυνος και η απόδοση του χαρτοφυλακίου μπορούν να παρουσιαστούν γραφικά ως μια καμπύλη γραμμή η οποία συνδέει τα δυο αξιόγραφα στο χώρο απόδοσης κινδύνου. Διάγραμμα 2.4 Σύμφωνα με το διάγραμμα δεν υπάρχει χαρτοφυλάκιο με κίνδυνο ίσο με το μηδέν όμως υπάρχει ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο έχει την ελάχιστη τυπική απόκλιση. Έτσι ορίζουμε το χαρτοφυλάκιο καθολικής ελάχιστης διακύμανσης το οποίο βρίσκεται στο αριστερό άκρο του αποτελεσματικού συνόρου. Η σύνθεση αυτού του χαρτοφυλακίου δίνεται από την σχέση: W Συνδυάζοντας τις τρεις προηγούμενες περιπτώσεις, η σχέση μεταξύ αναμενόμενης απόδοσης και τυπικής απόκλισης των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου για διαφορετικούς συντελεστές συσχέτισης μπορεί να παρουσιαστεί γραφικά: 38

41 Διάγραμμα 2.5 Άρα το σύνολο των συνδυασμών της αναμενόμενης απόδοσης και της τυπικής απόκλισης των αποδόσεων όλων των πιθανών συνδυασμών των αξιόγραφων σε ένα χαρτοφυλάκιο ορίζεται ως η καμπύλη δυνατοτήτων ενός χαρτοφυλακίου. Προχωρώντας την ανάλυση παρακάτω υποθέτουμε ότι δημιουργούμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς απόδοσης κινδύνου πολλών αξιόγραφων εξεταζόμενα ανά δύο κάθε φορά. Στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σύνολο χαρτοφυλακίων που παρουσιάζονται στο παρακάτω γράφημα. Διάγραμμα 2.6 Το σχήμα το οποίο προκύπτει λέγεται εφικτό σύνολο χαρτοφυλακίων και περιέχει όλους του δυνατούς συνδυασμούς αναμενόμενης απόδοσης και τυπικής απόκλισης 39

42 των αποδόσεων όλων των συνδυασμών των αξιόγραφων που περιέχονται σε πολλά χαρτοφυλάκια. Τα χαρτοφυλάκια αυτά ονομάζονται αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια, καθώς σε δεδομένο επίπεδο κινδύνου παρέχουν την μεγαλύτερη απόδοση και σε δεδομένη απόδοση παρουσιάζουν τον μικρότερο κίνδυνο. Το σύνολο όλων αυτών των αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων αντιπροσωπεύεται από την καμπύλη ΑΒ η οποία ορίζεται ως το αποτελεσματικό σύνορο. Άρα αποτελεσματικό σύνορο ή μέτωπο ορίζεται ως η καμπύλη που περιλαμβάνει τον καλύτερο συνδυασμό από όλους τους πιθανούς συνδυασμούς χρεογράφων. Ειδικότερα, το αποτελεσματικό σύνορο αντιπροσωπεύει το συνδυασμό των αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων τα οποία προσφέρουν τη μέγιστη τιμή απόδοσης για κάθε δεδομένο επίπεδο κινδύνου ή αντιστρόφως, τον ελάχιστο βαθμό κινδύνου για κάθε τιμή απόδοσης. Η περίπτωση του χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 2 χρεόγραφα, χρησιμεύει ιδιαίτερα στην κατανόηση της διαδικασίας της εύρεσης του αποτελεσματικού συνόρου όμως σπάνια αντιπροσωπεύει την πραγματικότητα. Σε αυτό το σημείο θα δούμε πως μπορούμε να γενικεύσουμε την προηγούμενη ανάλυση και να υπολογίσουμε το αποτελεσματικό σύνορο ενός χαρτοφυλακίου αποτελούμενο από Ν χρεόγραφα. 40

43 Αποτελεσματικό Σύνορο Χαρτοφυλακίων πολλών Χρεογράφων Αφού είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε το αποτελεσματικό σύνορο στην περίπτωση δύο χρεογράφων, θα εξετάσουμε και το πώς υπολογίζεται, στην περίπτωση που έχουμε πολλά χρεόγραφα. Στην παράγραφό αυτή θα μελετήσουμε τη αυθεντική διατύπωση του προβλήματος, όπως αυτή διατυπώθηκε από τον H.Markowtz. Σε αυτή την περίπτωση, για να υπολογιστεί το αποτελεσματικό σύνορο θα πρέπει να ισχύουν οι εξής παραδοχές: 1. Οι ανοικτές πωλήσεις, δεν επιτρέπονται ( no short sellng) 2. Δεν υπάρχει δυνατότητα επένδυσης στο ακίνδυνο χρεόγραφο. Το αποτελεσματικό σύνορο αποτελείται από όλους εκείνους τους συνδυασμούς χρεογράφων οι οποίοι ελαχιστοποιούν τον κίνδυνο για κάθε επίπεδο αναμενόμενης απόδοσης. Έτσι για να υπολογίσουμε το αποτελεσματικό σύνορο, πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου υπό τους περιορισμούς του σταθερού επιπέδου αναμενόμενης απόδοσης και της επένδυσης ολόκληρου του κεφαλαίου. Μαθηματικά για τον υπολογισμό του αποτελεσματικού συνόρου, η παραπάνω πρόταση διατυπώνεται ως εξής: Ελαχιστοποίηση: n n n w w wjcov R Rj 1 1 j1 j (, ) Υπό τους περιορισμούς: n w E( R ) E( Rp ), 1 n w 1, w 0 1,2,... n 1 Η έκφραση του παραπάνω προβλήματος υπολογισμού του αποτελεσματικού μετώπου, μπορεί να αποτυπωθεί με μεγαλύτερη ευκολία με την χρήση πινάκων. Όπως είδαμε η απόδοση και ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου με την τεχνική αυτή υπολογίζονται με τους τύπους (2.4) και (2.5). Επομένως η διατύπωση του προβλήματος με την χρήση πινάκων είναι: 41

44 Ελαχιστοποίηση: w Vw 2 T p T Υπό τους περιορισμούς: w E( R) E( R p ), w 1, w 0 1,2,..., n n 1 Τα σημεία τα οποία προκύπτουν από αυτή τη διαδικασία, αποτελούν τα αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια, και το σύνολο αυτών απεικονίζει το αποτελεσματικό σύνορο (διάγραμμα 2.7). Από το σχήμα φαίνεται ότι το αποτελεσματικό σύνορο είναι μια κοίλη συνάρτηση, που έχει ως αρχή το χαρτοφυλάκιο ελάχιστου κινδύνου και καταλήγει στο χαρτοφυλάκιο μέγιστης απόδοσης. Διάγραμμα

45 Επιλογή Άριστου Χαρτοφυλακίου Αφού υπολογιστεί το αποτελεσματικό μέτωπο και παρασταθεί γραφικά στο επίπεδο αναμενόμενης απόδοσης-κινδύνου, εν συνεχεία γίνεται η επιλογή του βέλτιστου χαρτοφυλακίου (optmal portfolo) από τον εκάστοτε επενδυτή. Το βέλτιστο ή άριστο χαρτοφυλάκιο προφανώς ανήκει στο σύνολο των αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων και δεν είναι μοναδικό. Διαφέρει από επενδυτή σε επενδυτή, αφού εξαρτάται από τις προτιμήσεις του, ως προς την ανταλλαγή μεταξύ απόδοσης και κινδύνου, οι οποίες περιλαμβάνονται στη συνάρτηση χρησιμότητάς του. Επομένως, το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο για ένα επενδυτή, είναι το αποτελεσματικό χαρτοφυλάκιο που έχει τη μεγαλύτερη γι αυτόν χρησιμότητα. Η χρησιμότητα ή αλλιώς η ωφέλεια του επενδυτή απεικονίζεται με την καμπύλη αδιαφορίας. Η καμπύλη αδιαφορίας (ndfference curve) απεικονίζει στο χώρο αναμενόμενης απόδοσης-κινδύνου όλα τα σημεία που αντιστοιχούν σ ένα δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας και παριστάνει τους όρους ανταλλαγής μεταξύ απόδοσης και κινδύνου, που απαιτεί ο κάθε επενδυτής. Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι άπειρες και παράλληλες (διάγραμμα 1.1) και όλα τα χαρτοφυλάκια που βρίσκονται σε μια δεδομένη καμπύλη αδιαφορίας, είναι το ίδιο επιθυμητά από τον επενδυτή. Επίσης ο επενδυτής απολαμβάνει μεγαλύτερη χρησιμότητα, επιλέγοντας χαρτοφυλάκια που ανήκουν σε καμπύλες αδιαφορίας που βρίσκονται περισσότερο βορειοδυτικά. Από τα παραπάνω, εξάγεται ότι οι δύο προϋποθέσεις της εύρεσης του βέλτιστου χαρτοφυλακίου είναι, πρώτον, η μεγιστοποίηση της συνάρτησης της χρησιμότητας του επενδυτή και δεύτερον, η εύρεση ενός αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου που τη μεγιστοποιεί. Συμπεραίνουμε ότι το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο καθορίζεται από εκείνο το σημείο του αποτελεσματικού μετώπου, με το οποίο εφάπτεται η υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας του επενδυτή, δηλαδή αυτή που βρίσκεται περισσότερο βορειοδυτικά. Γίνεται αντιληπτό, ότι αρκεί να χαράξουμε τις καμπύλες αδιαφορίας του ε- πενδυτή στο ίδιο διάγραμμα, αναμενόμενης απόδοσης-κινδύνου, με αυτό του απο- 43

46 τελεσματικού μετώπου (διάγραμμα 2.8). Παρατηρούμε ότι το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο είναι εκείνο το οποίο βρίσκεται στο βορειοδυτικότερο μέρος του αποτελεσματικού μετώπου και εφάπτεται με την καμπύλη αδιαφορίας Ι 2 στο σημείο Γ. Διάγραμμα 2.8 Τέλος πρέπει να τονίσουμε ότι το αποτελεσματικό μέτωπο αποτελεί το σύνορο μεταξύ των εφικτών (attanable) και μη χαρτοφυλακίων, καθώς κάτω από αυτό τα χαρτοφυλάκια είναι εφικτά αλλά δεν είναι αποτελεσματικά, ενώ πάνω από αυτό, έχουν μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοση, αλλά δεν είναι εφικτά. Οι επενδυτικές επιλογές που ανήκουν επάνω στο αποτελεσματικό μέτωπο παρουσιάζουν τους βέλτιστους συνδυασμούς απόδοσης-κινδύνου, για διαφορετικούς τύπους επενδυτών. Ξεκινώντας από νοτιοδυτικά, κοντά στο χαρτοφυλάκιο ε- λαχίστου κινδύνου (MV) βρίσκονται τα χαρτοφυλάκια χαμηλού ρίσκου-απόδοσης. Στην περιοχή του σημείου Δ υπάρχουν τα χαρτοφυλάκια μέτριου κινδύνουαπόδοσης. Έπειτα όσο κινούμαστε βορειοανατολικά, προς το χαρτοφυλάκιο μέγιστης απόδοσης (MR) συναντάμε συνδυασμούς υψηλότερου κινδύνου και υψηλής απόδοσης. 44

47 Εισαγωγή Ακίνδυνου Χρεογράφου Μέτα την αρχική δημοσίευση του Markowtz, ο Tobn (1958) εισήγαγε την έννοια του χρεογράφου μηδενικού κινδύνου και πώς μπορεί να ενσωματωθεί στην διαδικασία βελτιστοποίησης των χαρτοφυλακίων, προκειμένου να επιτευχθούν αποδόσεις με μικρότερο κίνδυνο. Ως ακίνδυνο χρεόγραφο (rsk free securty) μπορεί να θεωρηθεί ένα χρεόγραφο η απόδοση του οποίου δεν εμπεριέχει καμία αβεβαιότητα. Συνήθως ως α- κίνδυνο χρεόγραφο θεωρείται ένα έντοκο γραμμάτιο του δημοσίου. Ο επενδυτής μπορεί να επενδύσει στο ακίνδυνο χρεόγραφο και να απολάβει μια βέβαια απόδοση rf ή να δανειστεί με επιτόκιο rf και να επενδύσει σε κάποιο άλλο επικίνδυνο χρεόγραφο, στην περίπτωση που επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήσεις. Θεωρώντας ότι υπάρχει ένα τέτοιο χρεόγραφο, ο επενδυτής ενδιαφέρεται να συνθέσει ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από το ακίνδυνο χρεόγραφο και ένα σύνολο επικινδύνων χρεογράφων P (επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο). Η αναμενόμενη απόδοση του επικίνδυνου χαρτοφυλακίου είναι Ε(R p ) και ο κίνδυνος σ 2 p. Εξ' ορισμού ο κίνδυνος του ακίνδυνου χρεογράφου είναι σ 2 F=0. και η συσχέτιση του με το επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο είναι μηδέν. Βάσει αυτών των δεδομένων θεωρείται ότι ο επενδυτής επιθυμεί να κατασκευάσει ένα χαρτοφυλάκιο FP επενδύοντας ποσοστό w p του διαθέσιμου κεφαλαίου του στο επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο και το υπόλοιπο 1- w p στο ακίνδυνο χρεόγραφο. Ο κίνδυνος λοιπόν του χαρτοφυλακίου που εμπεριέχει το ακίνδυνο χρεόγραφο δίνεται από τη σχέση: (1 w ) w 2 w (1 w ) w (2.10) FP p F p p p p FP p F p p Άρα όπως είναι φυσικό ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου προσδιορίζεται αποκλειστικά και μόνο από τον κίνδυνο του επικίνδυνου χαρτοφυλακίου, σε συνδυασμό με το ποσοστό συμμετοχής του στο χαρτοφυλάκιο FP. Από την παραπάνω σχέση εύκολα διαπιστώνεται ότι w p FP. P H απόδοση του χαρτοφυλακίου FP μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: 45

48 F p RFP wf RF wpe Rp (2.11) Όπου w 1 w. Επομένως η σχέση μπορεί να ξαναγραφεί ως: RFP (1 wp ) RF wpe Rp FP FP 1 RF E( RP) P P E( RP) RF RF FP (2.12) P Η σχέση αυτή δείχνει ότι η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι μια γραμμική συνάρτηση του κίνδυνου και συνεπώς σε ένα διάγραμμα απόδοσης/κίνδυνου αναπαριστάται με μια γραμμή η οποία τέμνει τον κάθετο άξονα της απόδοσης στο σημείο R F, όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Στο σχήμα αυτό, εκτός της γραμμής που αντιστοιχεί στην παραπάνω σχέση παρουσιάζεται και μια καμπύλη η οποία α- ναπαριστά το σύνολο των αποτελεσματικών επικίνδυνων χαρτοφυλακίων (προφανώς το επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο που θα συμμετέχει στο χαρτοφυλάκιο FP πρέπει να είναι αποτελεσματικό). Διάγραμμα

49 Τα χαρτοφυλάκια που μπορεί να κατασκευάσει ο επενδυτής βρίσκονται πάντα πάνω σε κάποια από τις γραμμές που τέμνουν τον κάθετο άξονα της απόδοσης στο σημείο rf. Καθώς το χαρτοφυλάκιο FP προκύπτει ως συνδυασμός του ακίνδυνου χρεογράφου και κάποιου επικίνδυνου αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου, είναι δυνατόν να επιλεχτούν διαφορετικά επικίνδυνα αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια για την κατασκευή του χαρτοφυλακίου FP. Στην πραγματικότητα όμως ο επενδυτής έχει μόνο μια λογική επιλογή, το επικίνδυνο αποτελεσματικό χαρτοφυλάκιο P, το οποίο προσδιορίζεται από το σημείο στο οποίο η συνάρτηση εφάπτεται του αποτελεσματικού συνόλου των επικινδύνων χαρτοφυλακίων. Κανένας λογικός επενδυτής δεν θα επέλεγε να συνθέσει ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από το ακίνδυνο χρεόγραφο και το επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο P 1. Η απόδοση ενός τέτοιου χαρτοφυλακίου βρίσκεται πάνω στο γραμμικό τμήμα R F P 1 και προφανώς υπολείπεται της απόδοσης του χαρτοφυλακίου που περιλαμβάνει το ακίνδυνο χαρτοφυλάκιο και το επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο P που βρίσκεται πάνω στο γραμμικό τμήμα R F P. Επιπλέον ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου που περιλαμβάνει το ακίνδυνο χρεόγραφο και το επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο P 1 είναι αντίστοιχος με τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου που κατασκευάζεται από το ακίνδυνο χρεόγραφο και το επικίνδυνο χαρτοφυλάκιο P. Συνεπώς, με την εισαγωγή στην ανάλυση του ακίνδυνου χρεογράφου, το νέο αποτελεσματικό σύνολο είναι η γραμμή η οποία τέμνει τον κάθετο άξονα της απόδοσης στο σημείο r F και εφάπτεται του αποτελεσματικού συνόλου των επικινδύνων χαρτοφυλακίων. Το χαρτοφυλάκιο P περιλαμβάνει Ν επικίνδυνα χρεόγραφα, καθένα από τα οποία συμμετέχει σε αυτό σε ποσοστό w 1, w 2,,w n, έτσι ώστε w F +w 1 + +w n =1, όπου ως w F συμβολίζεται το ποσοστό συμμετοχής του ακίνδυνου χρεογράφου στο χαρτοφυλάκιο FP. Για να προσδιοριστεί λοιπόν το χαρτοφυλάκιο P θα πρέπει να προσδιοριστούν τα w 1, w 2,,w n. Επιπλέον δεδομένου ότι το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο FP είναι συνδυασμός του χαρτοφυλακίου P με το ακίνδυνο χρεόγραφο F, θα πρέπει να προσδιοριστεί και το ποσοστό συμμετοχής w F του ακίνδυνου χρεογράφου στο τελικό χαρτοφυλάκιο. Η απόδοση και ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου FP προσδιορίζονται ως εξής: 47

50 Η απόδοση του χαρτοφυλακίου FP: Ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου FP: ( R ) w R w E( R ) FP F F 1 m m 1 w RF w E( R ) 1 1 m R w E( R ) R F F 1 m n n n 2 2 FP w w wjcov r, rj 1 1 j1 j Ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου FP όπως αναφέραμε, εξαρτάται μόνο από τον κίνδυνο των επικίνδυνων χρεογράφων που περιέχονται στο χαρτοφυλάκιο, επομένως ο τύπος υπολογισμού του είναι ίδιος με αυτόν του χαρτοφυλακίου που περιέχει μόνο επικίνδυνα χρεόγραφα. 48

51 Τεχνικές εύρεσης αποτελεσματικού συνόρου Οι τεχνικές εύρεσης αποτελεσματικού συνόρου, σύμφωνα με το μοντέλο μέσου διακύμανσης του Markowtz κατηγοριοποιούνται ανάλογα με την δυνατότητα ή όχι επένδυσης σε ακίνδυνο χρεόγραφο καθώς και την δυνατότητα ή μη ανοιχτών πωλήσεων. Ειδικότερα οι τέσσερις κατηγορίες περιγράφονται ως εξής: 1) Δυνατότητα επένδυσης σε ακίνδυνο χρεόγραφο και οι ανοικτές πωλήσεις επιτρέπονται. 2) Δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυσης σε ακίνδυνο χρεόγραφο αλλά επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήσεις. 3) Δυνατότητα επένδυσης σε ακίνδυνο χρεόγραφο και οι ανοικτές πωλήσεις δεν επιτρέπονται. 4) Δεν επιτρέπεται ούτε η επένδυση σε ακίνδυνο χρεόγραφο ούτε οι ανοικτές πωλήσεις. Ανάλυση πρώτης περίπτωσης Ο καθορισμός του αποτελεσματικού μετώπου όταν επιτρέπονται και οι α- νοιχτές πωλήσεις και η επένδυση σε ακίνδυνο χρεόγραφο, θεωρείται ως η πιο απλή τεχνική. Γνωρίζουμε ότι η ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου υποθέτει ότι υπάρχει ένα μοναδικό χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων το οποίο προτιμάται από όλα τα άλλα χαρτοφυλάκια. Στην περίπτωση τώρα που έχουμε δυνατότητα επένδυσης στο ακίνδυνο χρεόγραφο και επιτρέπονται οι ανοιχτές πωλήσεις, το αποτελεσματικό μέτωπο προσδιορίζεται με βάση την παραδοχή πως η ευθεία μεταξύ ακίνδυνου χρεογράφου και βέλτιστου χαρτοφυλακίου είναι αυτή με την μέγιστη κλίση όπως αποδίδεται και παρακάτω γραφικά: 49

52 Διάγραμμα 2.10 Έτσι το αποτελεσματικό μέτωπο καθορίζεται βρίσκοντας το χαρτοφυλάκιο εκείνο με το μεγαλύτερο λόγο επιπλέον απόδοσης. Ως επιπρόσθετη απόδοση ορίζεται η αναμενόμενη απόδοση μείον την απόδοση του ακίνδυνου χρεογράφου προς την τυπική απόκλιση και είναι γνωστή ως δείκτης Sharpe. Βασιζόμενοι στα παραπάνω μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα για την εύρεση του αποτελεσματικού συνόρου. Μεγιστοποίηση : E( Rp) R p f Υπό τον περιορισμό: n 1 w 1 Γίνεται αντιληπτό ότι το σύστημα εξισώσεων είναι ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμούς. Υπάρχουν διάφορες τεχνικές επίλυσης του. Μία από αυτές είναι η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Μία εναλλακτική μέθοδος είναι να ενσωματωθεί ο περιορισμός στην αντικειμενική συνάρτηση και να μεγιστοποιηθεί χωρίς περιορισμούς. Δεδομένου ότι ισχύει: N R X R X R f F F 1 1 Τότε η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 50

53 N 1 N N N 2 2 X j 1 1 j1 j X E R R F X X Cov(, j) 1/2 Εάν ληφθούν όλες οι μερικές παράγωγοι k, και τεθούν ίσες με μηδέν τότε προκύπτει σύστημα εξισώσεων η επίλυση του οποίου μας δίνει τα ποσοστά ΧΚ του ε- πενδυόμενου ανά χρεόγραφο κεφαλαίου για τα οποία μεγιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση θ. 0 X k 1 1/2 N N N 2 2 Rk Rf X X X jcov(, j) 1 1 j1 j N N N N X X X jcov(, j) j1 j X E R R F 0 N 2 2X k k 2 X jcov( k, j) j1 jk N X E( R ) R E R R X X Cov k j k F N 1 2 ( k ) F k k j (, ) 0 N N N 2 2 j1 X X X jcov(, j) jk 1 1 j1 j 51

54 Θέτουμε: N F 1 N N N 2 2 X j 1 1 j1 j X E( R ) R X X Cov(, j) Επομένως: N E( Rk ) RF X k k X jcov( k, j) 0 j1 jk 2 ( N 2 k ) F k k j (, ) j1 jk E R R X X Cov k j Ορίζουμε νέα μεταβλητή k Xk και επομένως προκύπτει ότι: E( R ) R Z Cov(1, ) Z Cov(2, )... Z... Z Z (2.15) 2 F 1 2 N 1 N 1 N Αν επιλύσουμε το ανωτέρω σύστημα για τις τιμές Z1, Z2,..., Z n και κάνοντας χρήση της εξίσωσης X k N Z 1 k Z (2.16) βρίσκουμε τα X k επενδυόμενα ανά χρεόγραφο ποσοστά κεφαλαίου. Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα χαρτοφυλάκιο τριών μετοχών. Την μετοχή της OTE (OTE), της Foll-Folle (ΦΦΓΚΡΠ) και της Αεροπορίας Αιγαίου (ΑΡΑΙΓ). Από τις τιμές κλεισίματος των μετοχών για την περίοδο από 04/05/ /05/2016 υπολογίζουμε ότι: Η μέση απόδοση της OTE είναι 0.063%, της Foll-Folle είναι 0.160%, και της ΑΡΑΙΓ είναι 0.054% και αντίστοιχα, οι τυπικές αποκλίσεις των μετοχών είναι 3.51%, 2.87%, 2.55%. Η μέση ετήσια απόδοση του ακίνδυνου χρεογράφου έστω ότι είναι 8%. 52

55 Αντικαθιστώντας τα παραπάνω δεδομένα στον τύπο (2.16), έχουμε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων. E( R ) R z z z 2 1 F E( R ) R z z z 2 2 F E( R ) R z z z 2 3 F z z z z z z z z z Λύνοντας το σύστημα εξισώσεων, προκύπτει ότι z , z , z και N 1 Z 316,88 Για να βρούμε τα ποσοστά επένδυσης Χ k σε κάθε χρεόγραφο, αρκεί να κάνουμε χρήση του τύπου X k N Z 1 X1 0,39, X 2 2,70, X3 1,31 k Z. Έτσι η αναμενόμενη ετήσια απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι: ER ( p) 0,39*0,063% (2,7*0,16%) 1,31*0,054% 0.337% Και ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου είναι: p ,39 *3,51 2, 7 *2,87 1,31 *2.55 2*( 0,39)(2, 7)0, 052 2*( 0,39)( 1,31)(0, 039) 2*(2, 7)( 1,31)(0, 034) 7,58% p 53

56 Ανάλυση δεύτερης περίπτωσης Σε αυτή την περίπτωση οι ανοιχτές πωλήσεις επιτρέπονται αλλά δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυσης στο ακίνδυνο χρεόγραφο. Για να επιλύσουμε αυτό το πρόβλημα ακολουθούμε την ίδια μεθοδολογία με αυτήν που παρουσιάστηκε παραπάνω. Η μόνη διαφορά είναι ότι υποθέτουμε ότι υπάρχει ακίνδυνο χρεόγραφο, και υπολογίζουμε το αποτελεσματικό χαρτοφυλάκιο. Στη συνέχεια αλλάζουμε την απόδοση του ακίνδυνου χρεογράφου, και υπολογίζουμε το νέο αποτελεσματικό χαρτοφυλάκιο. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου σαρωθεί ολόκληρο το αποτελεσματικό σύνορο. Ανάλυση τρίτης περίπτωσης Η Τρίτη περίπτωση είναι εκείνη που επιτρέπεται η επένδυση στο ακίνδυνο χρεόγραφο αλλά απαγορεύονται οι ανοικτές πωλήσεις. Ο υπολογισμός του αποτελεσματικού συνόρου είναι ανάλογος με αυτόν της πρώτης περίπτωσης. Όμως λόγω της απαγόρευσης τον ανοικτών πωλήσεων, τα ποσοστά επένδυσης στα χρεόγραφα δεν μπορούν να είναι αρνητικά. Επομένως πρέπει να εισάγουμε έναν ακόμα περιορισμό. Το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί μαθηματικά ως εξής: Μεγιστοποίηση : E( Rp) R p f Υπό τους περιορισμούς: n w 1, W 0 1 Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματισμού. Οι περιορισμοί είναι γραμμικοί ενώ η αντικειμενική συνάρτηση περιέχει όρους δευτέρας τάξης w 2 και w w j.. Για την επίλυση αυτού του είδους των προβλημάτων χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι βασιζόμενοι στις συνθήκες Kuhn-Tucker, με την υπόθεση ότι αν μία λύση τις ικανοποιεί τότε η λύση αυτή ανήκει στο βέλτιστο χαρτοφυλάκιο. Στην περίπτωση που δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήσεις, το πρόβλημα που προκύπτει έχει να κάνει με το γεγονός ότι η αντικειμενική συνάρτηση Θ λαμβά- 54

57 νει τη μέγιστη τιμή της για w 0 παριστάνεται στο σημείο M ', όπως φαίνεται στο διάγραμμα (2.11) Διάγραμμα 2.11 Από το παραπάνω σχήμα προκύπτει ότι η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτη- σης παρατηρείται για w 0, τότε θα ισχύει 0, ενώ όταν μεγιστοποιείται η Θ το w 0 και θα ισχύει 0 w. w Γενικά όταν δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήσεις, τότε θα ισχύει ότι, 0 w για w 0 και εναλλακτικά, εισάγοντας μία νέα μεταβλητή U η ανισότητα διατυπώνεται ως εξής: U w 0 Η συνθήκη αυτή είναι η πρώτη συνθήκη Kuhn-Tucker. Από την πρώτη συνθήκη, προκύπτει ότι: w 0 0 U 0 w 55